一元二次方程新题型展示
一元二次方程的应用【十大题型】(举一反三)(浙教版)(解析版)
一元二次方程的应用【十大题型】【题型1 传播问题】 (1)【题型2 增长率问题】 (4)【题型3 营销问题】 (7)【题型4 工程问题】 (11)【题型5 行程问题】 (14)【题型6 图表信息题】 (19)【题型7 数字问题】 (21)【题型8 与图形有关的问题】 (24)【题型9 动态几何问题】 (27)【题型10 其他问题】 (36)【题型1 传播问题】【例1】(2023春·福建泉州·八年级校联考期中)2019年年底以来,湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染疾病。
(1)在新冠初期,人们因为不了解这种病毒所以也没有及时进行隔离,若有1人感染后经过两轮的传染将会有144人感染了“新冠”,求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人?(2)后来,大家众志成城,全都隔离在家,但玲玲爷爷种的糖心苹果遇到了滞销,于是玲玲在朋友圈帮爷爷销售,糖心苹果的成本为8元/千克,她发现当售价为12元/千克时,每天可卖出40千克,而每涨1元时,每天就少卖出10千克.如果每天要达到150元的利润而且又最大限度地帮爷爷增加销量,请你帮玲玲确定销售单价.【答案】(1)11人(2)11元【分析】(1)设每轮传染中平均一个人传染了x人,根据1人感染“新冠”经过两轮传染后共有144人感染“新冠”,列出一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.(2)设小玲应该将售价定为y元,则每天可以卖出[40−10(y−12)]千克,根据总利润=每斤的利润销售×数量,列出一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.【详解】(1)解:设每轮传染中平均一个人传染了x人,依题意,得:1+x+x(1+x)=144,即(1+x)2=144解得:x1=11,x2=−13(不合题意,舍去).答:每轮传染中平均一个人传染了11人.(2)解:设玲玲应该将售价定为y元,则每天可以卖出[40−10(y−12)]千克,依题意得:(y−8)[40−10(y−12)]=150,整理,得:y2−24y+143=0,解得:y1=11,y2=13∵最大限度的帮爷爷增加销量,∴小玲应该将售价定位11元,答:小玲应该将售价定为11元.【点睛】此题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.【变式1-1】(2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末)一次会议上,每两个参加会议的人都相互握了一次手,经统计所有人一共握了66次手,则这次会议到会的人数是()A.11B.12C.22D.33【答案】B【分析】可设参加会议有x人,每个人都与其他(x−1)人握手,共握手次数为1x(x−1),根据一共握了662次手列出方程求解.【详解】解:设参加会议有x人,依题意得:1x(x−1)=66,2整理,得x2−x−132=0,解得x1=12,x2=−11,(舍去)则参加这次会议的有12人.故选:B.【点睛】考查了一元二次方程的应用,计算握手次数时,每两个人之间产生一次握手现象,故共握手次数为1x(x−1).2【变式1-2】(2023春·黑龙江七台河·八年级统考期末)某种植物的主干长出若干个数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是111,则每个支干长出个小分支.【答案】10【分析】设每个支干长出x个小分支,利用主干、支干和小分支的总数是111,列出一元一次方程,解方程即可求解.【详解】解:设每个支干长出x个小分支,根据题意得:1+x+x×x=111即x2+x−110=0,(x−10)(x+11)=0解得:x1=10,x2=−11(舍去)故答案为:10.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,根据题意列出一元二次方程是解题的关键.【变式1-3】(2023春·广东江门·八年级台山市新宁中学校考期中)组织一次排球邀请赛,采取单循环的形式,即每两个队都要打一场比赛.(1)如果有四个队参赛,则需要打多少场比赛?(2)写出比赛的总场数y与参赛队伍数量x之间的函数关系式;(3)经过最后统计,共打了28场比赛,求这次比赛共有多少个队参加?【答案】(1)6;(2)y=1x(x−1)2(3)8×4×(4−1)场;【分析】(1)采取单循环的形式,如果有四个队参赛,则需要打:12(2)直接根据题意列出函数关系式即可;(3)根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.【详解】(1)如果有四个队参赛,则需要打:1×4×(4−1)=6场;2(2)总场数y与参赛队伍数量x之间的函数关系式:y=1x(x−1);2(3)设比赛组织者应邀请x个队参赛,根据题意得:1x(x−1)=28,2解得:x1=8,x2=−7(舍去),这次比赛共有8个队参加.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键.【题型2 增长率问题】【例2】(2023春·重庆九龙坡·八年级统考期末)某图书店在2022年国庆节期间举行促销活动,某课外阅读书进货价为每本8元,标价为每本15元.(1)该图书店举行了国庆大回馈活动,连续两次降价,每次降价的百分率相同,最后以每本9.6元的价格售出,求图书店每次降价的百分率;(2)在九月底该书店老板去进货该书500本,按照(1)两次降价后的价格在国庆节全部售出;国庆节后老板去进货发现进货价上涨了a%,进货量比九月底增加3a%,以标价的八折全部售出后,比国庆节的总利润多1200元,求a%的值.【答案】(1)20%(2)16【分析】(1)设商城每次降价的百分率为x,利用经过两次降价后的价格=原价×(1−每次降价的百分率)2,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其符合题意的值即可得出结论;(21200元列出方程,求出a%的值即可【详解】(1)设图书店每次降价的百分率为x,依题意得:15(1−x)2=9.6,解得:x1=0.2=20%,x2=1.8(不合题意,舍去).答:商城每次降价的百分率为20%.(2)根据题意得,500×(1+3a%)×[15×80%−8(1+a%)]−500×(9.6−8)=1200整理得,2000a%−12000(a%)2=0,或a%=0(舍去)解得,a%=16故a%的值为16【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.【变式2-1】(2023春·黑龙江大庆·八年级校考期末)随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多,数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径.某市2020年数字阅读市场规模为400万元,2022年数字阅读市场规模为576万元.(1)求2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率;(2)若年平均增长率不变,求2023年该市数字阅读市场规模是多少万元?【答案】(1)20%(2)预计2023年该市数字阅读市场规模是691.2万元【分析】(1)设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为x,利用2022年该市数字阅读市场规模=2020年该市数字阅读市场规模×(1+2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率)2,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其符合题意的值即可得出结论;(2)利用2023年该市数字阅读市场规模=2022年该市数字阅读市场规模×(1+2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率),可预计出2023年该市数字阅读市场规模.【详解】(1)解:设2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为x根据题意得:400(1+x)2=576解得:x1=0.2=20%,x2=−2.2(不符合题意,舍去)答:2020年到2022年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为20%(2)576×(1+20%)=691.2(万元)∴预计2023年该市数字阅读市场规模是691.2万元.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出一元二次方程;(2)根据各数量之间的关系,列式计算.【变式2-2】(2023春·河北承德·八年级承德市第四中学校考期中)在国家的宏观调控下,某市的商品房成交价由今年3月份的5000元/m2下降到5月份的4050元/m2(1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少?(2)如果房价继续回落,按此降价的百分率,你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破3000元/m2请说明理由.【答案】(1)10%(2)不会,理由见解析【分析】(1)设4、5两月平均每月降价的百分率是x,那么4月份的房价为5000(1−x),5月份的房价为5000(1−x)2,然后根据5月份的4050元/m2即可列出方程解决问题;(2)根据(1)的结果可以计算出今年7月份商品房成交均价,然后和3000元/m2进行比较即可作出判断.【详解】(1)解:设4、5两月平均每月降价的百分率是x,5000(1−x)2=4050(1−x)2=4050 50001−x=±910x1=110=10%,x2=1910(舍)答:4、5两月平均每月降价的百分率是10%.(2)否,理由如下:∵4050×(1−110)2=3280.5(元)3280.5>3000,∴预测到7月份该市的商品房成交均价不会跌破3000元/m2.【点睛】此题考查了一元二次方程的应用,和实际生活结合比较紧密,正确理解题意,找到关键的数量关系,然后列出方程是解题的关键.【变式2-3】(2023春·山西太原·某电器商店销售某品牌冰箱,该冰箱每台的进货价为2500元,已知该商店去年10月份售出50台,第四季度累计售出182台.(1)求该商店11,12两个月的月均增长率;(2)调查发现,当该冰箱售价为2900元时,平均每天能售出8台;售价每降低50元,平均每天能多售出4台.该商店要想使该冰箱的销售利润平均每天达到5000元,求每台冰箱的售价.【答案】(1)20%(2)2750元【分析】(1)设该商店11,12两个月的月均增长率为x,则该商店去年11月份售出50(1+x)台,12月份售出50(1+x)2台,根据该商店去年第四季度累计售出182台,可得出关于x的一元二次方程,解之取其符合题意的值即可得出结论;(2)设每台冰箱的售价为y元,则每台的销售利润为(y−2500)元,平均每天可售出(8+4×2900−y50)台,利用总利润=每台的销售利润×平均每天的销售量,可得出关于y的一元二次方程,解之即可得出结论.【详解】(1)解:设该商店11,12两个月的月均增长率为x,则该商店去年11月份售出50(1+x)台,12月份售出50(1+x)2台,根据题意得:50+50(1+x)+50(1+x)2=182,整理得:25x2+75x−16=0,解得:x1=0.2=20%,x2=−3.2(不符合题意,舍去).答:该商店11,12两个月的月均增长率为20%;)台,(2)设每台冰箱的售价为y元,则每台的销售利润为(y−2500)元,平均每天可售出(8+4×2900−y50根据题意得:(y−2500)(8+4×2900−y)=5000,50整理得:y2−5500y+7562500=0,解得:y1=y2=2750.答:每台冰箱的售价为2750元.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.【题型3 营销问题】【例3】(2023春·湖南长沙·八年级校联考期中)春节是中国的传统节日,每年元旦节后是购物的高峰期,2023年元月某水果商从农户手中购进A、B两种红富士苹果,其中A种红富士苹果进货价为28元/件,销售价为42元/件,其中B种红富士苹果进货价为22元/件,销售价为34元/件.(注:利润=销售价−进货价)(1)水果店第一次用720元购进A B两种红富士苹果共30件,求两种红富士苹果分别购进的件数;(2)第一次购进的红富士苹果售完后,该水果店计划再次购进A、B两种红富士苹果共80件(进货价和销售价都不变),且进货总费用不高于2000元.应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润,最大销售利润是多少?(3)春节临近结束时,水果店发现B种红富士苹果还有大量剩余,决定对B种红富士苹果调价销售.如果按照原价销售,平均每天可售4件.经调查发现,每降价1元,平均每天可多售2件,为了尽快减少库存,将销售价定为每件多少元时,才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元?【答案】(1)A中苹果购进10件,B中苹果购进20件(2)购进A种苹果40件,B中苹果40件时,获得最大销售利润为1040元(3)将销售价定为每件27元时,才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元【分析】(1)设A,B两种苹果分别购进x件和y件,列方程组求解即可.(2)设购进A种苹果m件,利润为w元,列出w关于m的函数关系式讨论最值即可.(3)设B种苹果降价a元销售,根据利润=90元,列出一元二次方程求出a,得到结果.【详解】(1)解:设A,B两种苹果分别购进x件和y件,由题意得:{x+y=3028x+22y=720,解得{x=10y=20,答:A中苹果购进10件,B中苹果购进20件.(2)解:设购进A种苹果m件,则购进B种苹果(80−m)件,由题意得:28m+22(80−m)≤2000,∴m≤40,设利润为w元,则w=(42−28)m+(34−22)(80−m)=2m+960,∵2>0,∴w随m的增大额增大,∴当m=40时,w最大值=2×40+960=1040.故购进A种苹果40件,B中苹果40件时,获得最大销售利润为1040元.(3)解:设B种苹果降价a元销售,则每天多销售2a件,每天每件利润为(12−a)元,由题意得:(4+2a)(12−a)=90,解得,a=3或a=7,∵为了尽快减少库存,∴a=7,∴34−7=27,答:将销售价定为每件27元时,才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元.【点睛】本题考查了二元一次方程组,一次函数,一元一次不等式以及一元二次方程的应用,读懂题意找出等量或不等关系是解题关键.【变式3-1】(2023春·广东江门·八年级期末)汽车专卖店销售某种型号的汽车.已知该型号汽车的进价为10万元/辆,销售一段时间后发现:当该型号汽车售价定为15万元/辆时,平均每周售出8辆;售价每降低0.5万元,平均每周多售出2辆.(1)当售价为13.5万元/辆时,求平均每周的销售利润.(2)若该店计划下调售价,增大销量,但要确保平均每周的销售利润为40万元,每辆汽车的售价定为多少合适?【答案】(1)平均每周的销售利润是49万元(2)每辆汽车的售价定为12万元更合适【分析】(1)根据当该型号汽车售价定为15万元/辆时,平均每周售出8辆;售价每降低0.5万元,平均每周多售出1辆,即可求出当售价为13.5万元/辆时,平均每周的销售量,再根据销售利润=一辆汽车的利润×销售数量列式计算;(2)设每辆汽车降价x万元,根据每辆的盈利×销售的辆数=40万元,列方程求出x的值,进而得到每辆汽车的售价.×2=14(辆),【详解】(1)解:∵当售价为13.5万元/辆时,平均每周销量为:8+15−13.50.5∴平均每周利润为:(13.5−10)×14=49(万元),答:平均每周的销售利润是49万元;(2)解:设每辆汽车的售价是x万元,(x−10)(8+15−x×2)=40.0.5化简,得(x−10)(17−x)=10,x2−27x+180=0,解得:x1=12,x2=15,由于希望增大销量,定价12万元售价更合适,答:每辆汽车的售价定为12万元更合适.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用,读懂题意找准数量关系与等量关系是解题的关键.【变式3-2】(2023春·四川乐山·八年级统考期末)今年超市以每件25元的进价购进一批商品,当商品售价为40元时,三月份销售256件,四、五月该商品十分畅销,销售量持续上涨,在售价不变的基础上,五月份的销售量达到400件.(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率.(2)经市场预测,六月份的销售量将与五月份持平,现商场为了减少库存,采用降价促销方式,经调查发现,该商品每降价1元,月销量增加5件,当商品降价多少元时,商场六月份可获利4250元?【答案】(1)25%(2)5元【分析】(1)利用平均增长率的等量关系:a(1+x)2=b,列式计算即可;(2)利用总利润=单件利润×销售数量,列方程求解即可.【详解】(1)解:设平均增长率为x,由题意得:256×(1+x)2=400,解得:x=0.25或x=−2.25(舍);∴四、五这两个月的月平均增长百分率为25%;(2)解:设降价y元,由题意得:(40−y−25)(400+5y)=4250,整理得:y2+65y−350=0,解得:y=5或y=−70(舍);∴当商品降价5元时,商场六月份可获利4250元.【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用.根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键.【变式3-3】(2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试)正月十五是中华民族传统的节日——元宵节,家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗.位于北关古城内的盼盼手工汤圆店,计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆,已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉,而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉(每天只能生产其中一种).(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套,且全部及时加工成汤圆,则总共生产了多少袋手工汤圆?(2)为保证手工汤圆的最佳风味,汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕.据统计,每袋手工汤圆的成本为13元,售价为25元时每天可售出225袋,售价每降低2元,每天可多售出75袋.汤圆店按售价25元销售2天后,余下8第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店,若最终获利40500元,则促销时每袋应降价多少元?【答案】(1)总共生产了9000袋手工汤圆(2)促销时每袋应降价3元【分析】(1)设总共生产了a袋手工汤圆,利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可;(2)设促销时每袋应降价x元,利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可.【详解】(1)设总共生产了a袋手工汤圆,依题意得,0.3a450+0.5a300=21解得a=9000,经检验a=9000是原方程的解,答:总共生产了9000袋手工汤圆(2)设促销时每袋应降价x元,当刚好10天全部卖完时,x)=40500依题意得,225×2×(25−13)+8(25−13−x)(225+752整理得:x2−6x+45=0Δ=62−4×45<0,∴方程无解∴10天不能全部卖完∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为(15−13)[9000−x)]=12600−600x2×225−8(225+752∴依题意得,225×2×(25−13)+8(25−13−x)(225+75x)+12600−600x=405002解得x1=1,x2=3∵要促销∴x=3即促销时每袋应降价3元.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用,解题的关键:(1)找准等量关系,正确列出一元一次方程;(2【题型4 工程问题】【例4】(2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末)某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造.原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米,则32小时恰好完成改造任务.(1)求A型设备每小时铺设的路面长度;(2)通过勘察,此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米.在实际施工中,B型设备在铺路效率不变的情况下,时间比原计划增加了(m+25)小时,同时,A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米,而使用时间增加了m小时,求m的值.【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米(2)18【分析】(1)设B型设备每小时铺设的路面x米,可得:32x+32(2x+30)=4800,解方程即可解得答案;(2)根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程,解方程即可得答案.【详解】(1)设B型设备每小时铺设的路面x米,则A型设备每小时铺设路面(2x+30)米,由题意得:32x+32(2x+30)=4800,解得x=40,2x+30=80+30=110米,所以A型设备每小时铺设的路面110米;(2)根据题意得:40(32+m+25)+(110−3m)(m+32)=4800+1000,解得m=18,m=0(舍去),答:m的值是18.【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用,解题的关键是读懂题意,找到等量关系列出方程.【变式4-1】(2023春·宁夏中卫·八年级校考期中)随着铁路运量的不断增长,重庆火车北站越来越拥挤,为了满足铁路交通的快速发展,该火车站从去年开始启动了扩建工程,其中某项工程,甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月,并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍.(1)求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月?(2)若甲队每月的施工费为100万元,乙队每月的施工费比甲队多50万元,在保证工程质量的前提下,为了缩短工期,拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程.在完成这项工程中,甲队施工时间是乙队施工时间的2倍,那么,甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元?(甲、乙两队的施工时间按月取整数)【答案】(1)甲队单独完成这项工程需15个月,乙队单独完成这项工程需10个月.(2)甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元.【分析】(1)若乙队单独完成这项工程需x个月,则甲队单独完成这项工程需(x+5)个月,等量关系为:“两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍”,据此列方程求解即可.(2)设甲队施工m个月,求出乙施工的时间,根据工程款不超过1500万元,列不等式求解.【详解】解:(1)设乙队单独完成这项工程需x个月,则甲队单独完成这项工程需(x+5)个月,根据题意,得x(x+5)=6(x+x+5),即x2−7x−30=0,解得x1=10,x2=−3(不合题意,舍去).∴x+5=15.答:甲队单独完成这项工程需15个月,乙队单独完成这项工程需10个月.m个月,(2)设甲队施工m个月,则乙施工的时间为12m≤1500,由题意得,100m+(100+50)12解得:m≤847∵施工时间为整数,∴m≤8,答:完成这项工程,甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用,难度一般,解本题的关键是根据题意设出未知数列出方程及不等式求解.【变式4-2】(2023春·重庆云阳·八年级校联考期中)2020年初,武汉爆发了新型冠状病毒引起的肺炎,并迅速在全国传染开来,与此同时医护人员一直坚守在抗击肺炎的前线,为我们保驾护航!罗曼·罗兰说:“凡是行为善良与高尚的人,定能因之而担当患难.”他们是最可亲可敬的人!由此,医疗物资护目镜的需求量大大增加,两江新区某护目镜生产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗,在接到单位的返岗通知后,员工们都毫无怨言,快速回到了自己的工作岗位,用自己的实际行动践行着一份责任和担当.已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线A,B.原计划A生产线每小时生产护目镜400个,B生产线每小时生产护目镜500个.(1)若生产线A,B一共工作12小时,且生产护目镜的总数量不少于5500个,则B生产线至少生产护目镜多少小时?(2)原计划A,B生产线每天均工作8小时,但现在为了尽快满足我市护目镜的需求,两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数,但因为机器损耗及人员不足原因,A生产线每增加1小时,该生产线每小时的产量将减少10个,B生产线每增加1小时,该生产线每小时的产量将减少15个.这样一天生产的护目镜将比原计划多3300个,求该厂实际每天生产护目镜的时间.【答案】(1)B生产线至少生产口罩7小时;(2)该厂实际每天生产口罩的时间为14ℎ.【分析】(1)设B生产线至少生产口罩x小时,根据生产护目镜的总数量不少于5500个列出不等式求解即可;(2)设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为t,根据实际一天生产的护目镜将比原计划多3300个列出方程求解即可.【详解】(1)解:设B生产线至少生产口罩x小时(12−x)400+500x≥5500解得:x≥7答:B 生产线至少生产口罩7小时.(2)解:设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为t(400−10t)(8+t)+(500−15t)(8+t)=8×400+8×500+3300 解得:t 1=22,t 2=6 生产时间:6+8=14ℎ答:设该厂实际每天生产口罩的时间为14ℎ.【点睛】此题主要考查了一元一次不等式和一元二次方程的实际应用,关键是正确理解题意,找出题目中的不等关系和等量关系,列出不等式和方程.【变式4-3】(2023春·重庆合川·八年级校考期中)甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程,隧道总长2000米,甲、乙分别从隧道两端向中间施工,计划每天各施工6米.因地质情况不同,两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样.甲每合格完成1米,隧道施工成本为6万元;乙每合格完成1米,隧道施工成本为8万元.(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的43,求甲最多施工多少米?(2)实际施工开始后因地质情况比预估更复杂,甲乙两队每日完成量和成本都发生变化.甲每合格完成1米隧道施工成本增加m 万元时,则每天可多挖12m 米,乙因特殊地质,在施工成本不变的情况下,比计划每天少挖14m 米,若最终每天实际总成本比计划多(11m -8)万元,求m 的值.【答案】(1)1000米;(2)4【分析】(1)设甲工程队施工x 米,则乙工程队施工(2000-x )米,由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的43,即可得出关于x 的一元一次不等式,解之取其中的最大值即可得出结论;(2)根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合每天实际总成本比计划多(11m -8)万元,即可得出关于m 的一元二次方程,解之即可得出结论.【详解】解:(1)设甲工程队施工x 米,则乙工程队施工(2000-x )米, 依题意,得:8(2000-x )≥43×6x , 解得:x ≤1000.答:甲最多施工1000米.(2)依题意,得:(6+m )(6+12m )+8(6-14m )=6×(6+8)+11m -8,整理,得:m 2-8m +16=0,解得:m1=m2=4.答:m的值为4.【点睛】考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用,解题的关键是:(1)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式;(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程.【题型5 行程问题】【例5】(2023春·重庆云阳·八年级校联考期中)周末,小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发,匀速跑向距离12000m处的B地,小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍,那么小明比小红早5分钟到达B地.(1)求小明、小红的跑步速度;(2)若从A地到达B地后,小明以跑步形式继续前进到C地(整个过程不休息),据了解,在他从跑步开始前30分钟内,平均每分钟消耗热量10卡路里,超过30分钟后,每多跑步1分钟,平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里,在整个锻炼过程中,小明共消耗2300卡路里的热量,小明从A地到C地锻炼共用多少分钟.【答案】(1)480m/min;400m/min(2)70min【分析】(1)分别设小红和小明的速度,根据等量关系(小明比小红早5分钟到达B地)列出等量关系式,(2)先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地,然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程,最后求解.【详解】(1)解:设小红的速度为xm/min,则小明的速度为1.2xm/min,依据题意列方程得,12000x −120001.2x=5,∴12000×1.2−12000=5×1.2x,∴x=400,经检验,x=400是原式方程的解.∴1.2×400=480m/min.∴小红的速度为400m/min,小明的速度为480m/min.故答案为:480m/min;400m/min.。
一元二次方程(考题猜想,15种题常考题型)解析版—2024-2025学年九年级数学上学期期中考点串讲
一元二次方程(考题猜想,15种题常考题型)➢直接开平方➢配方法➢因式分解法➢公式法➢用适当的方法解方程➢含绝对值的一元一次方程➢换元法➢判断一元二次方程根的情况➢确定字母的取值或范围➢根与系数关系的综合应用➢与几何图形的综合应用➢储蓄问题➢行程问题➢工程问题➢进制问题一.直接开平方(共3小题)1.(23-24九年级上·吉林长春·期中)方程260x -=的解是( )A.12x x ==B.1x =2x =C .126x x ==D .16x =,26x =-2.(23-24九年级上·广东韶关·期中)一元二次方程260x -=的根为 .3.(23-24九年级上·江苏常州·期中)解方程:()22910x x --=.二.配方法(共3小题)4.(20-21九年级上·四川成都·期中)一元二次方程2610x x --=配方后可变形为( )A .2(3)8x -=B . ()2310x -=C .2(3)8x +=D .2(3)10x +=【答案】B【分析】本题考查解一元二次方程—配方法.根据配方法可以将题目中的方程写成完全平方的形式.【详解】解:2610x x --=Q ,261x x \-=,26919x x \-+=+,()2310x \-=,故选:B .5.(22-23九年级上·湖南永州·期中)用配方法解方程2810x x ++=时,则方程需变形为()24x += .【分析】本题考查解一元二次方程—配方法,将常数项移到方程的右边,两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后,即可得出答案.解一元二次方程常用的方法有:直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法,解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法.【详解】解:∵2810++=,x x∴281+=-,x x∴2816116++=.x xx x++=-+,即281615故答案为:156.(23-24九年级上·福建福州·期中)解方程:(1)()224x-=(2)213-=x x三.因式分解法(共3小题)7.(22-23九年级上·安徽芜湖·期中)若实数x 满足()()222616=0x x x x +-+-,则2x x +的值为( )A .8B .2-C .8或2-D .8-或2【答案】A【分析】本题考查解一元二次方程,把2x x +看成一个整体,利用因式分解法解方程即可.【详解】解:()()2226160x x x x +-+-=,因式分解得,()()22820x x x x +-++=,∴280x x +-=,220x x ++=,∴28x x +=,22x x +=-(满足此式实数不存在,舍去),故选:A .8.(23-24九年级上·湖北武汉·期中)一元二次方程232x x =的根为 .9.(22-23九年级上·海南省直辖县级单位·期中)解下列方程(1)2350x x -=(2)2314x x+=四.公式法(共3小题)10.(23-24九年级上·福建厦门·期中)x)A.2x x2310-+=2310x x++=B.2C.22310x x+-=+-=D.22310x x-的值互为相反数,那么x的值为.2x12.(23-24九年级上·广东东莞·期中)解方程.(1)2--=;2510x x2五.用适当的方法解方程(共3小题)13.(22-23九年级上·辽宁锦州·期中)按指定的方法解方程:(1)22410x x -+=(公式法)(2)2926x x -=+(因式分解法)14.(22-23九年级上·江苏无锡·期中)选择合适的方法解方程:(1)2540x x -+=;(2)2(1)40x +-=.【答案】(1)11x =,24x =(2)11x =,23x =-【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.(1)利用因式分解法求解可得;(2)利用直接开平方法求解可得.【详解】(1)2540x x -+=,(1)(4)0x x --=,10x \-=或40x -=,解得:11x =,24x =;(2)2(1)40x +-=,2(1)4x +=,12x +=或12x +=-,解得:11x =,23x =-.15.(22-23九年级上·山东济宁·期中)(1)解方程:()24190x --=;(2)解方程:2420x x --=.六.含绝对值的一元二次方程(共2小题)16.(22-23九年级上·湖南永州·期中)阅读下面的材料,并完成相应的任务.材料:解含绝对值的方程:2560x x --=.解:分两种情况:(1)当0x ³时,原方程可化为:2560x x --=,解得16x =,21x =-(舍去);(2)当0x <时,原方程可化为:2560x x +-=,解得16x =-,21x =(舍去).综上所述:原方程的解是16x =,26x =-.任务:请参照上述方法解方程:220x x --=.【答案】12x =,22x =-【分析】分两种情况讨论∶ 当0x ³时,当0x <时,即可求解.【详解】解:分两种情况讨论(1)当0x ³时,原方程可化为220x x --=解得:12x =,21x =-(舍去);(2)当0x <时,原方程可化为220x x +-=解得:12x =-,21x =(舍去);∴综上所述,原方程的根是12x =,22x =-.【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程,解题的关键是根据题意分两种情况讨论.17.(23-24九年级上·河南洛阳·期中)有人说“数学是思维的体操”,运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝.阅读下列例题及其解答过程:例:解方程22||30x x --=.解:①当0x ³时,原方程为2230x x --=,解得11x =-(与0x ³矛盾,舍去),23x =.②当0x <时,原方程为2230x x +-=,解得11x =(与0x <矛盾,舍去),23x =-.所以原方程的根是13x =,23x =-.在上面的解答过程中,我们对x 进行讨论,从而化简绝对值.这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论.请仿照上述例题的解答过程,解方程:2||10x x --=.七.换元法(共3小题)18.(23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中)关于x 的方程()20a x m b ++=的解是12x =-,21x =(a ,m ,b 均为常数,0a ¹),则方程()220a x m b +++=的解是( )A .10x =,21x =-B .10x =,23x =C .14x =-,21x =-D .14x =,23x =19.(23-24九年级上·江苏苏州·期中)若()()2222260x y x y +-+-=,则22x y +的值为.【答案】3【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程,将22x y +看成一个整体计算即可.【详解】解:设22z x y =+,原方程为:260z z --=,解得123,2z z ==-,Q 220³+x y ,223x y \+=.故答案为:3.20.(23-24九年级上·辽宁锦州·期中)阅读材料:为了解方程()()22215140x x ---+=,我们可以将21x -看作一个整体,设21x y -=…①,那么原方程可化为2540y y -+=,解得11y =,24y =,当1y =时,211x -=,∴22x =,∴x =当4y =时,214x -=,∴25x =,∴x =,故原方程的解为1x =,2x =3x =4x =以上解题方法叫做换元法,在由原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到了解方程的目的,体现了转化的数学思想;请利用以上知识解方程:()()22260x x x x +++-=八.判断一元二次方程根的情况(共3小题)21.(22-23九年级上·重庆綦江·期中)关于x 的一元二次方程2810x x +-=的根的情况是( )A .有两个不相等实数根B .没有实数根C .有两个相等的实数根D .不能确定【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用,熟练掌握相关方法是解题关键.根据根的判别式即可求出答案.【详解】解:2810x x +-=∵()2248411680b ac --D ==´´-=>,∴方程有两个不相等的实数根.故选:A .22.(23-24九年级上·辽宁沈阳·期中)一元二次方程26100x x +=-根的情况是 实数根(填“有”或“没有”).【答案】没有【分析】此题考查了一元二次方程的根,利用一元二次方程根的判别式24b ac D =-判断方程的根的情况即可,熟练掌握方程的判别式24b ac D =-,当0D >时方程有两个不相等的实数根,当0D =时方程有两个相等的实数根,当0D <时方程无实数根.【详解】解:()2246411040b ac D =-=--´´=-<,∴方程没有实数根,故答案为:没有23.(23-24九年级上·广东河源·期中)证明:无论k 取何值,关于x 的方程()2310k x kx -++=恒有实数根所以方程有两个不相等的实数根,所以不论k 取何值,方程总有实数根九.确定字母的取值或范围(共3小题)24.(22-23九年级上·福建莆田·期中)若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等实数根,则k 的值是( )A .1-B .1C .4-D .4【答案】D【分析】本题考查的是根的判别式,即一元二次方程20ax bx c ++=(0a ¹)的根与24b ac -有如下关系:①当240b ac ->时,方程有两个不相等的两个实数根;②当240b ac -=时,方程有两个相等的两个实数根;③当240b ac -<时,方程无实数根.根据关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根可知240b ac -=,求出k 即可.【详解】解:Q 关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等实数根,\2(4)40k D =--=,解得:4k =.故选:D .25.(21-22九年级上·天津滨海新·期中)若关于x 的一元二次方程230x x c -+=有两个实数根,则c 的取值范围为 .26.(23-24九年级上·新疆伊犁·期中)已知关于x 的方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根.求实数m 的取值范围.十.根与系数关系的综合应用(共3小题)27.(23-24九年级上·湖北武汉·期中)已知实数a ,b 满足 23510a a +-=,2530b b --=,且1ab ¹,则ab的值为( )A .53-B .1-C .3-D .13-28.(22-23九年级上·四川内江·期中)如果m n 、是两个不相等的实数,23m m -=,23n n -=,那么代数式2222021n mn m -++ .【答案】2032【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系,代数式求值.熟练运用一元二次方程根的定义和根与系数的关系,把代数式化成已知式子形式及两根和、积的形式,是解此题的关键.由题意得m ,n 是230x x --=的两个不相等的实数根,则根据根的定义和根与系数的关系可知:2226n n -=,1m n +=,3=-mn ,变形2222021n mn m -++,为222222021n n mn m n --+++,代入求解即可.【详解】mn Q 是两个不相等的实数,且满足2233m m n n -=-=,,mn \是方程230x x --=的两根,2226n n \-=,1m n +=,3=-mn ,2222021n mn m \-++222222021n n mn m n =--+++6322021=+++2032=.故答案为:2032.29.(23-24九年级上·山西临汾·期中)已知关于x 的一元二次方程()2931104kx k x k -+++=有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围.(2)是否存在k 的值,使得两根互为相反数.若存在,求出此时k 的值,若不存在,请说明理由.十一.与几何图形的综合应用(共4小题)30.(23-24九年级上·云南昆明·期中)若一个三角形不是等边三角形且边长均满足方程21090-+=,则x x此三角形的周长是()A.11B.19C.20D.11或1931.(20-21九年级上·四川凉山·期中)已知等腰三角形(不是等边三角形)的三边长均满足方程22860x x -+=,则这个等腰三角形的周长为,【答案】7【分析】根据题意由等腰三角形的底和腰是方程22860x x -+=的两根,解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长,注意需要分当1是等腰三角形的腰时与当3是等腰三角形的腰时讨论,然后根据三角形周长的求解方法求解即可.【详解】解:22860x x -+=Q ,(1)(3)0,x x \--=解得:1x =或3x =,∵等腰三角形的底和腰是方程22860x x -+=的两根,∴当1是等腰三角形的腰时,113+<,不能组成三角形,舍去;当3是等腰三角形的腰时,133+>,则这个三角形的周长为1337++=.故答案为:7.【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三边关系以及解一元二次方程.解题的关键是注意分类讨论思想的应用32.(23-24九年级上·山西长治·期中)已知等腰ABC V 的两边长是关于x 的一元二次方程()()21210x k x k -++-=的两个实数根.(1)当5k =时,求ABC V 的周长.(2)若ABC V 为等边三角形,求k 的值.【答案】(1)10(2)3k =【分析】(1)将5k =代入方程,求出方程的两个根,根据等腰三角形的定义,分两种情况讨论求解;(2)根据题意,得到方程有两个相等的实数根,进而得到240b ac D =-=,求解即可.【详解】(1)解:当5k =时,一元二次方程为2680x x -+=,解得2x =或4x =.∴ABC V 是等腰三角形,∴三边长为4,4,2或2,2,4(舍去),∴ABC V 的周长44210=++=.(2)∵ABC V 为等边三角形,∴方程有两个相等的实数根,∴()()()22222418121886930b ac k k k k k k k k -=-+--=++-+=-+=-=éùëû,解得3k =.【点睛】本题考查解一元二次方程,根的判别式.熟练掌握解一元二次方程的方法,以及根的判别式与根的个数的关系,是解题的关键.33.(23-24九年级上·山东济宁·期中)已知关于x 的一元二次方程()()220b c x ax b c +-+-=,其中a ,b ,c分别为ABC V 三边的长.(1)已知1x =是方程的根,求证:ABC V 是等腰三角形;(2)如果ABC V 是直角三角形,其中90B Ð=°,请你判断方程的根的情况,并说明理由.十二.储蓄问题(共2小题)34.(21-22九年级上·广西河池·期中)王洪存银行5000元,定期两年后取出共6050元,如果每年的年利率不变,则年利率为( )A .5%B .20%C .15%D .10%【答案】D【分析】设年利率为x ,根据“两年后的定期本息=本金´(1+年利率)2”建立方程,解方程即可得.【详解】解:设年利率为x ,由题意得:()2500016050x +=,解得120.110%, 2.10x x ===-<(不符题意,舍去),即年利率为10%,故选:D .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,正确建立方程是解题关键.35.(22-23九年级上·广东佛山·期中)某人在银行存了400元钱,两年后连本带息一共取款484元,设年利率为x ,则列方程为 .【答案】24001484x +=()【分析】本题为复利问题,一般形式为21a x b +()=,如果设年利率为x ,那么根据题意可得出方程.【详解】解:设年利率为x ,则根据公式可得:24001484x +=();故答案为:24001484x +=().【点睛】本题考查一元二次方程的应用,解决此类两次变化问题,可利用公式21a x b +()=,其中a 是变化前的原始量,b 是两次变化后的量,x 表示平均每次的增长率十三.行程问题(共3小题)36.(23-24九年级上·山西临汾·期中)飞机起飞前,先要在跑道上滑行一段路程,滑行时是匀加速运动,其公式为212s at =,如 果飞机起飞前滑行距离750m ,其中215m/s a =,则飞机起飞的时间t = s .故答案为:10.37.(23-24九年级上·湖南岳阳·期中)在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车,突然发现前面有情况,紧急刹车后又滑行30米才停车.刹车后汽车滑行10米时用了 秒.的算术平均数)与路程s ,时间t 的关系为s v t =×.现有一个小球以5m/s 的速度开始向前滚动,并且均匀减速,4s 后小球停止运动.(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少?(2)小球滚动5m 1.41»)【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少1.25m/s (2)小球滚动5m 约用了1.2秒【分析】(1)根据以5m/s 的速度开始向前滚动,并且均匀减速,4s 后小球停止运动列式计算即可;(2)设小球滚动5m 约用了x 秒,由时间´速度=路程,列出一元二次方程,解方程即可.【详解】(1)解:小球的滚动速度平均每秒减少()54 1.25m/s ¸=,十四.工程问题(共1小题)39.(22-23九年级上·四川成都·期中)由于疫情反弹,某地区开展了连续全员核酸检测,9月7日,医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了A 、B 两个采样点进行核酸采样,当天共采样9220份,已知A 点平均每人采样720份,B 点平均每人采样700份.(1)求A 、B 两点各有多少名医护人员?(2)9月8日,医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样,这天,社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围,同时重新规划,决定从B 点抽调部分医护人员到A 点经调查发现,B 点每减少1名医护人员,人均采样量增加份,A 点人均采样量不变,最后当天共采样9360份,求从B 点抽调了多少名医护人员到A 点?【答案】(1)A 检测队有6人,B 检测队有7人(2)从B 检测队中抽调了2人到A 检测队【分析】(1)设A 点有x 名医护人员,B 点有y 名医护人员,根据“A 、B 两个采样点共13名医护人员,且当天共采样9220份”,即可得出关于x ,y 的且当天共采样9220份,即可得出关于x ,y 的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)设从B 点抽调了m 名医护人员到A 点,则B 点平均每人采样()70010m +份,根据重新规划后当天共采样9360份,即可得出关于m 的一元_二次方程,解之取其符合题意的值,即可得出结论.【详解】(1)解:设A 检测队有x 人,B 检测队有y 人,依题意得:137207009200x y x y +=ìí+=î,分解得:67x y =ìí=î答:A 检测队有6人,B 检测队有7人;(2)解:设从B 检测队中抽调了m 人到A 检测队,则B 检测队人均采样()70010m +人,依题意得:()()()72067001079360m m m +++-=,解得:29140m m -+=,解得:12m =,27m =,由于从B 对抽调部分人到A 检测队,则7m <故2m =,答:从B 检测队中抽调了2人到A 检测队.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等关系,正确列出二元一次方程组;(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程十五.进制问题(共1小题)40(22-23九年级上·河北保定·期中)第十四届国际数学教育大会(-14ICME )会徽的主题图案(如图)有着丰富的数学元素,展现了我国古代数学的文化魅力,其下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统,有0~7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是3210387848582021´+´+´+´=,表示-14ICME 的举办年份.(1)八进制数3746换算成十进制数是 ;(2)小华设计了一个n 进制数120,则n 的值为.【答案】 2022 9【分析】(1)根据已知,从个位数字起,将八进制的每一位数分别乘以08,18,28,38,再把所得结果相加即可得解;(2)根据n 进制数和十进制数的计算方法得到关于n 的方程,解方程即可求解.【详解】解:(1)3210374638784868=´+´+´+´1536448326=+++2022=.故八进制数字3746换算成十进制是2022.故答案为:2022;(2)依题意有:21043120n n n +´+´=,解得19n =,213n =-(舍去).故n的值是9.【点睛】本题主要考查因式分解的应用,有理数的混合运算,解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法.。
第21章 一元二次方程(六大热考题型)(解析版)
第21章《一元二次方程》分层练习1.(2018秋·广东清远·九年级统考期末)一元二次方程22350x x -+=的一次项是( )A .3xB .3x -C .3D .3-【答案】B【分析】根据一元二次方程的一般形式判断即可.【详解】一元二次方程22350x x -+=的一次项是3x-故选:B .【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式:20ax bx c ++=,其中a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项,熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键.2.(2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测)将方程24825x x +=化成20ax bx c ++=的形式,则a ,b ,c 的值分别为( )A .4,8,25B .4,2,25-C .4,8,25-D .1,2,25【答案】C 【分析】将原方程化为一般形式,进而可得出a ,b ,c 的值.【详解】解:将原方程化为一般形式得:24825=0x x +-,∴4a =,8b =,25c =-.故选:C .【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式,牢记“一般地,任何一个关于x 的一元二次方程经过整理,都能化成如下形式()200ax bx c a ++=¹,这种形式叫一元二次方程的一般形式”是解题的关键.3.(2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中)把一元二次方程231x x -=化为一般形式后,它的常数项为( )A .1B .1-C .3D .3-【答案】B【分析】根据一元二次方程的一般式及定义,即可求解.【详解】解:231x x -=转化为一般式得,2310x x --=,∴常数项为1-,故选:B .【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用,掌握一元二次方程的定义和形式是解题的关键.4.(2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌市八中校考期中)一元二次方程22510x x +-=的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )A .2,5,1-B .2,5,1C .2,5,0D .22x ,5x ,1-【答案】A【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式有关知识.根据一元二次方程的一般形式:20(,,ax bx c a b c ++=是常数且0)a ¹中,2ax 叫二次项,bx 叫一次项,c 是常数项,其中a ,b ,c 分别叫二次项系数,一次项系数,常数项,直接进行判断即可.【详解】解:一元二次方程22510x x +-=,则该方程的二次项系数为2,一次项系数为5,常数项为1-.故选:A .【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式,掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键.考查题型三 一元二次方程的解1.(2022秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习)若m 是一元二次方程2520x x --=的一个实数根,则220225m m -+的值是( )A .2018B .2019C .2020D .2021【答案】C【分析】先将m 代入方程中得到252m m -=,再代入所求式子中求解即可.【详解】解:∵m 是一元二次方程2520x x --=的一个实数根,∴2520m m --=,则252m m -=,∴220225m m-+()220225m m =--20222=-2020=,故选:C .【点睛】本题考查一元二次方程的解、代数式求值,理解方程的解满足方程是解答的关键.2.(2023春·安徽阜阳·九年级阶段练习)若关于x 的一元二次方程()22390m x x m -++-=的一个根为0,则m 的值为( )A .3B .0C .3-D .3-或3【答案】C【分析】利用一元二次方程根的定义,确定出m 的值即可.【详解】解:∵关于x 的一元二次方程()22390m x x m -++-=的一个根为0,∴30m -¹且290m -=,解得:3m =-.故选:C .【点睛】本题考查了一元二次方程的解,一元二次方程的定义,一元二次方程的一般形式为20(,,ax bx c a b c ++=为常数且0)a ¹,理解一元二次方程的定义是解题的关键.3.(2023·广东珠海·校考三模)如果关于x 的一元二次方程210ax bx ++=的一个解是1x =,则代数式2023a b --的值为( )A .2022-B .2022C .2023D .2024【答案】D【分析】由题意知,10a b ++=,则1a b +=-,根据()20232023a b a b --=-+,计算求解即可.【详解】解:由题意知,10a b ++=,∴1a b +=-,∴()202320232024a b a b --=-+=,故选:D .【点睛】本题考查了一元二次方程的解,代数式求值.解题的关键在于对知识的熟练掌握.4.(2023·福建南平·校联考模拟预测)若关于x 的一元二次方程260x ax -+=的一个根是2-,则a 的值为( )A .2-B .3-C .4-D .5-【答案】D【分析】根据方程解的定义,把2x =-代入方程求解即可.【详解】解:∵关于x 的一元二次方程260x ax -+=的一个根是2-,∴()()22260a --´-+=,解得:5a =-.故选:D .【点睛】本题考查一元二次方程解的定义.掌握一元二次方程解的定义是解题的关键.\129x x +=-,1217x x =,2119170x x ++=,2229170x x ++=,\()()22112281653x x x x ++-+12()()171617143x x =--+--+12)141(1)(x x =++1212()141x x x x =´+++)1417(91=´-+126=.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式,一元二次方程根的定义,一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握以上知识是解题的关键.考查题型六 一元二次方程与实际问题1.(2023·广东阳江·统考一模)自2023年1月以来,甲流便肆虐横行,成为当前主流流行疾病.某一小区有1位住户不小心感染了甲流,由于甲流传播感染非常快,小区经过两轮传染后共有121人患了甲流.(1)每轮感染中平均一个人传染几人?(2)如果按照这样的传播速度,经过三轮传染后累计是否超过1500人患了甲流?【答案】(1)10人(2)不超过【分析】(1)设每轮感染中平均一个人传染x 人,根据题意列方程解方程即可;(2)根据(1)可知每轮感染中平均一个人传染10人,进而得到三轮后患病总人数为1331即可解答.【详解】(1)解:设每轮感染中平均一个人传染x 人.根据题意得()11121x x x +++=,解得10x =,或12x =-,∵0x >,∴10x =,答:每轮感染中平均一个人传染10人;(2)解:根据题意可得:第三轮的患病人数为()31011331+=,∵13311500<,∴经过三轮传染后累计患甲流的人数不会超过1500人,答:经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过1500人;【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题,读懂题意明确数量关系是解题的关键.2.(2023·湖南郴州·统考中考真题)随旅游旺季的到来,某景区游客人数逐月增加,2月份游客人数为1.6万人,4月份游客人数为2.5万人.(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率;(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长,但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人,则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人?【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人【分析】(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x,根据题意,列出一元二次方程,进行求解即可;(2)设5月份后10天日均接待游客人数是y万人,根据题意,列出不等式进行计算即可.【详解】(1)解:设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x,由题意,得:()2x+=,1.612.5x==(负值已舍掉);解得:0.2525%答:这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%;(2)设5月份后10天日均接待游客人数是y万人,由题意,得:()y+£+,2.12510 2.5125%y£;解得:0.1∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人.【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用,找准等量关系,正确的列出方程和不等式,是解题的关键.3.(2022秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习)2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱,象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神.为满足市场需求,某超市购进一批吉祥物“冰墩墩”,进价为每个15元,第一天以每个25元的价格售出30个,为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”,从第二天起降价销售,根据市场调查,单价每降低1元,可多售出3个.(1)当售价小于25元时,试求出第二天起每天的销售量y (个)与每个售价x (元)之间的函数关系式;(2)如果前两天共获利525元,则第二天每个“冰墩墩”的销售价格为多少元?【答案】(1)3105y x =-+(2)第二天每个“冰墩墩”的销售价格为20元【分析】(1)利用第二天起每天的销售量303=+´每个降低的价格,即可解答;(2)利用总利润=每个销售利润´销售数量,结合前两天共获利525元,即可列一元二次方程,解之即可.【详解】(1)解:由题意可得()303253105y x x =+-=-+,\第二天起每天的销售量y (个)与每个售价x (元)之间的函数关系式为3105y x =-+;(2)解:由题意可得()()()251530153105525x x -´+--+=,整理得2506000x x -+=,解得120x =,230x =,当230x =时,不符合题中让更多的消费者拥有“冰墩墩”降价的主旨,\20x =,答:第二天每个“冰墩墩”的销售价格为20元.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,一次函数的应用,解题的关键是找准等量关系.4.(2023·山东东营·统考中考真题)如图,老李想用长为70m 的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD ,并在边BC 上留一个2m 宽的门(建在EF 处,另用其他材料).(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为6402m 的羊圈?(2)羊圈的面积能达到6502m 吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.【答案】(1)当羊圈的长为40m ,宽为16m 或长为32m ,宽为20m 时,能围成一个面积为6402m 的羊圈;(2)不能,理由见解析.【分析】(1)设矩形ABCD 的边m AB x =,则边()7022722BC x x =-+=-m ,根据题意列出一元二次方程,解方程即可求解;(2)同(1)的方法建立方程,根据方程无实根即可求解.【详解】(1)解:设矩形ABCD 的边m AB x =,则边()7022722BC x x =-+=-m .根据题意,得()722640x x -=.化简,得2363200x x -+=.解得116x =,220x =.当16x =时,722723240x -=-=;当20x =时,722724032x -=-=.答:当羊圈的长为40m ,宽为16m 或长为32m ,宽为20m 时,能围成一个面积为6402m 的羊圈.(2)解:不能,理由如下:由题意,得()722650x x -=.化简,得2363250x x -+=.∵()236432540´=--=-<D ,∴一元二次方程没有实数根.∴羊圈的面积不能达到6502m .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,根据题意列出一元二次方程,解一元二次方程是解题的关键.1.(2022秋·陕西西安·九年级校考期中)如图,已知A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点,16cm AB =,6cm AD =,动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发,点P 以3cm /s 的速度向点B 移动,一直到点B 为止,点Q 以2cm /s 的速度向点D 移动.问:(1)P 、Q 两点从出发开始几秒时,四边形PBCQ 的面积为233cm ?(2)几秒时点P 点Q 间的距离是10厘米?则|162PM x =-22(165)610x -+=解得:85x ==∴P 、Q 出发1.6(1)若点P 从点A 移动到点B 停止,点Q 是10cm ?(2)若点P 沿着AB BC CD ®®移动,点求经过多长时间PBQ V 的面积为212cm【答案】(1)8s 5或24s 5;。
20道一元二次方程
20道一元二次方程一、直接开平方法类型(5道)1. 解方程x^2=9。
2. 求解方程(x - 2)^2=16。
3. 解一元二次方程3(x+1)^2=27。
4. 求方程(2x - 1)^2=4的解。
5. 解方程(1)/(2)(x + 3)^2=8。
二、配方法类型(5道)6. 用配方法解方程x^2+4x - 1 = 0。
7. 求解方程x^2-6x+5 = 0(用配方法)。
8. 用配方法解一元二次方程2x^2-4x - 3 = 0。
9. 解关于x的方程x^2+3x+(9)/(4)=0(配方法)。
10. 用配方法解方程3x^2+8x - 3 = 0。
三、公式法类型(5道)11. 用公式法解一元二次方程x^2-3x - 4 = 0。
12. 求解方程2x^2+5x - 3 = 0(公式法)。
13. 用公式法解3x^2-2x - 1 = 0。
14. 解一元二次方程x^2+2x - 2 = 0(公式法)。
15. 用公式法求方程4x^2-4x+1 = 0的解。
四、因式分解法类型(5道)16. 用因式分解法解方程x^2-x - 6 = 0。
17. 求解方程(x + 1)(x - 3)=0。
18. 用因式分解法解一元二次方程x^2-9 = 0。
19. 解关于x的方程x^2+5x = 0(因式分解法)。
20. 用因式分解法解方程2x^2-x - 1 = 0。
一元二次方程学习资料一、一元二次方程的定义形如ax^2+bx + c = 0(a≠0)的方程叫做一元二次方程,其中a是二次项系数,b 是一次项系数,c是常数项。
二、一元二次方程的解法1. 直接开平方法- 对于方程x^2=k(k≥0),其解为x = ±√(k)。
- 对于方程(x - m)^2=n(n≥0),解为x=m±√(n)。
- 例如在方程x^2=9中,k = 9,则x=±3;在方程(x - 2)^2=16中,m = 2,n = 16,解得x = 2±4,即x = 6或x=-2。
一元二次方程20道题
一元二次方程20道题一、基础型题目1. 有一个一元二次方程,你能找出这个方程的两个根吗?就像找藏在树洞里的小松鼠一样哦。
2. 方程,这就像一个神秘的小盒子,你得打开它找到里面的答案(也就是方程的根)呢。
3. 对于一元二次方程,先把它化简一下,再求根呀,就像给小宠物梳理毛发一样,先整理好再找问题的关键。
4. 一元二次方程,这个方程看起来很简洁呢,快把它的根找出来,就像从简单的迷宫里找到出口一样容易。
5. 看这个方程,你可以先提取公因式,然后再求解,就像拆礼物一样,一层一层来。
6. 方程,想象你是一个小侦探,要找到让这个方程成立的那些数字(根)哦。
7. 一元二次方程,这个方程就像一个等待被解开的小谜题,你能解开它求出根吗?8. 对于,你得想办法把这个方程破解了,找到那两个能让等式成立的神秘数字(根)呀。
9. 方程,它在向你求救呢,快用你的数学魔法把它的根找出来吧。
10. 一元二次方程,就像走在一条有宝藏(根)的小路上,你要找到那些宝藏哦。
二、稍复杂型题目(含系数不是1的二次项或者配方相关)11. 看这个有点难的一元二次方程,你要像超级英雄一样克服困难求出它的根哦。
12. 方程,这就像一个复杂的拼图,你得把每一块(通过求根的步骤)都放对位置呢。
13. 对于一元二次方程,这个方程可是可以用配方的方法轻松求解的哦,就像给蛋糕做漂亮的装饰(配方)然后再享用(求出根)。
14. 一元二次方程,这个方程看起来有点棘手,不过你要是掌握了配方或者求根公式就没问题啦,就像掌握了魔法咒语一样。
15. 方程,你要想办法把这个方程的根找出来,就像在茂密的森林里找到特定的花朵一样。
16. 对于,先把方程化简一下再求根,就像给杂乱的房间先收拾一下再找东西一样。
17. 一元二次方程,这个方程很适合用配方来求解呢,就像给小机器人调整零件(配方)让它正常运转(求出根)。
18. 方程,你得动动脑筋,是用求根公式还是先化简再求根呢?就像选择走哪条路去远方(求出根)。
一元二次方程40道题及过程
降
次
∴x+1= 或x+1=- ,
即x1=-1+ ,x2=-1- .
2
【例3】解方程(1)x -4x+4=5;
2
2
(1)分析:x -4x+4 =(x-2) ,
2
(2)(2x-1) =(x-2)2 .
(2)分析:如果把2x-1看成
同样可以用直接开平方法
是(x-2)2的平方根,同样可
求解.
以用直接开平方法求解.
(4)4x²-121=0;
(5)3x(2x+1)=4x+2;
(6)(x-4)²=(5-2x)².
则有 x = 0 或 x + 1 =0,
x1=0, x2=-1.
【例1】解下列方程
(1)x2-1.21=0
解:(1)移项,得x2=1.21,
(2)4x2-1=0
(2)移项,得4x2=1,
∵x是1.21的平方根,
2
解:(1) (x-2) =5,
(2)2x-1=± ( − )²,
即 x-2=± ,
即 2x-1=±(x-2),
即x-2= 或x-2=- ,
∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2,
所以x1=2+ ,x2=2- .
即x1=-1,x2=1.
2.解下列方程:
(1)x2-0.81=0;
解:(1)x²=0.81,
【例1】 用公式法解下列方程:
(1)2x²-x-1=0;
(2) 4x²-3x+2=0;
(3) 2x²-2 x+1=0.
解:(2)a=4,b=-3,c=2,
b²-4ac=(-3)²-4×4×2=-7<0,
专题01 一元二次方程(四大类型)(题型专练)(解析版)
专题01 一元二次方程(四大类型)【题型1 判断一元二次方程】【题型2 一元二次方程定义-求含参数取值范围】【题型3 一元二次方程的一般式】【题型4 一元二次方程的解】【题型1 判断一元二次方程】1.(2023春•洞头区期中)在下列方程中,属于一元二次方程的是( )A.x2=2+3x B.2(x﹣1)+x=2C.D.x2﹣xy+4=0【答案】A【解答】解:A、由原方程,得x2﹣3x﹣2=0,符合一元二次方程的定义,故本选项符合题意;B、由原方程,得3x﹣4=0,未知数x的最高次数是1;故本选项不符合题意;C、由原方程,得x3+3x2﹣2=0,未知数x的最高次数是3;故本选项不符合题意;D、未知数x的最高次数是3;故本选项错不符合题意;故选:A.2.(2023春•瑶海区期中)下列方程是一元二次方程的是( )A.B.ax2+bx+c=0(a、b、c为常数)C.(x﹣1)(x+2)=1D.3x2﹣2xy﹣5y2=0【答案】C【解答】解:根据一元二次方程的定义可知,A选项不是整式方程,故A不符合题意;B选项,当a=0时,不是一元二次方程,故B不符合题意;C选项符合题意;D选项是二元二次方程,故D不符合题意,故选:C.3.(2022秋•武侯区期末)下列方程中,属于一元二次方程的是( )A.x﹣2y=1B.x2﹣2x+1=0C.x2﹣2y+4=0D.x2+3=【答案】B【解答】解:选项A,方程中含有两个未知数,不是一元二次方程,故该选项不符合题意;选项B,方程中只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次的整式方程,是一元二次方程.该选项符合题意.选项C,方程中含有两个未知数,不是一元二次方程,故该项不符合题意;选项D,方程不是整式方程,不是一元二次方程,故该选项不符合题意.故选:B.4.(2022秋•襄州区期末)关于x的方程(a﹣1)x2+4x﹣3=0是一元二次方程,则( )A.a>1B.a=1C.a≠1D.a≥0【答案】C【解答】解:由题意得:a﹣1≠0,解得:a≠1,故选:C.5.(2022秋•颍州区期末)下列方程中,二元二次方程是( )A.2x2+3x﹣4=0B.y2+2x=0C.y(x2+x)=2D.【答案】B【解答】解:A、方程中含有一个未知数;故本选项错误;B、方程中含有两个未知数,且未知数的次数是2,符合二元二次方程的定义;故本选项正确;C、由原方程,得yx2+yx=2,该方程的最高次数是3;故本选项错误;D、由原方程,得y2x﹣3y2+1=0该方程的最高次数是3;故本选项错误.故选:B.【题型2 一元二次方程定义-求含参数取值范围】6.(2023春•西湖区校级期中)若是关于x的一元二次方程,则m 的值是( )A.2B.﹣2C.0D.2或﹣2【答案】D【解答】解:∵是关于x的一元二次方程,∴m2﹣2=2,∴m=2或m=﹣2,故选:D.7.(2023春•谯城区校级月考)若方程(m+2)x2+mx﹣5=0是关于x的一元二次方程,则m应满足 m≠﹣2 .【答案】m≠﹣2.【解答】解:根据题意,得m+2≠0,解得m≠﹣2.故答案为:m≠﹣2.8.(2023春•环翠区期中)若(m+1)x m(m﹣1)+2mx﹣1=0是关于x的一元二次方程,则m的值是 2 .【答案】2.【解答】解:∵(m+1)x m(m﹣1)+2mx﹣1=0是关于x的一元二次方程,∴m+1≠0且m(m﹣1)=2,解得m=2,故答案为:2.9.(2022秋•保山期末)如果关于x的方程(m+3)x|m+1|+4x﹣2=0是一元二次方程,则m的值是 1 .【答案】1.【解答】解:由题意知,|m+1|=2,且m+3≠0.解得m=1或﹣3且m≠﹣3,∴m=1.故答案是:1.【题型3 一元二次方程的一般式】10.(2022秋•洪泽区期中)方程x2﹣5x=0二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A.1,5,0B.0,5,0C.0,﹣5,0D.1,﹣5,0【答案】D【解答】解:方程x2﹣5x=0二次项系数、一次项系数、常数项分别是1,﹣5,0.故选:D.11.(2022秋•禹州市期中)将一元二次方程(2x+1)(x﹣3)=5化成一般形式,正确的是( )A.2x2﹣7x﹣8=0B.2x2﹣5x﹣8=0C.2x2﹣7x+2=0D.2x2﹣5x+2=0【答案】B【解答】解:将一元二次方程(2x+1)(x﹣3)=5化成一般形式得2x2﹣5x+8=0.故选:B.12.(2022秋•龙胜县期中)方程x2=3(2x﹣1)的一般形式( )A.x2+6x﹣3=0B.x2+6x﹣1=0C.x2﹣6x+1=0D.x2﹣6x+3=0【答案】D【解答】解:将方程x2=3(2x﹣1)转化为一般形式得x2﹣6x+3=0.故选:D.13.(2022秋•新洲区月考)将一元二次方程2x2﹣3=x化成一般形式ax2+bx+c=0后,一次项系数和常数项分别是( )A.1,﹣3B.﹣1,﹣3C.﹣3,﹣1D.﹣3,1【答案】B【解答】解:将一元二次方程2x2﹣3=x化成一般形式是2x2﹣x﹣3=0,则一次项系数和常数项分别是﹣1和﹣3.故选:B.14.(2022秋•易县期中)方程2x2﹣3x=1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )A.2、3、1B.2、﹣3、1C.2、3、﹣1D.2、﹣3、﹣1【答案】D【解答】解:方程整理得:2x2﹣3x﹣1=0,则二次项系数、一次项系数、常数项分别是2,﹣3,﹣1,故选:D.15.(2022秋•惠东县期末)已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m=0的一个根是x=2,则m的值为( )A.﹣10B.﹣2C.2D.10【答案】D【解答】解:把x=2代入可得22+3×2﹣m=0,解得m=10,故选:D.16.(2023春•靖西市期中)将一元二次方程(x﹣2)(x+3)=12化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数),其中c的值是( )A.﹣18B.﹣6C.6D.18【答案】A【解答】解:(x﹣2)(x+3)=12,x2+3x﹣2x﹣6﹣12=0,x2+x﹣18=0,所以c=﹣18,故选:A.17.(2023春•崇左月考)把一元二次方程x(x﹣1)=4(x+1)化为一般形式是 x2﹣5x﹣4=0 .【答案】x2﹣5x﹣4=0.【解答】解:x2﹣x=4x+4,x2﹣5x﹣4=0,故答案为:x2﹣5x﹣4=0.18.(2022秋•铜仁市期末)一元二次方程x2+2x=1的二次项系数、一次项系数与常数项的和等于 2 .【答案】2.【解答】解:x2+2x=1的一般形式为x2+2x﹣1=0,∴二次项系数、一次项系数与常数项分别为1,2,﹣1,∴1+2﹣1=2,故答案为:2.19.(2022秋•双牌县期末)将方程2x(x﹣1)=3(x﹣5)化为一般形式 2x2﹣5x+15=0 .【答案】2x2﹣5x+15=0.【解答】解:2x(x﹣1)=3(x﹣5),去括号,得2x2﹣2x=3x﹣15,移项,得2x2﹣2x﹣3x+15=0,合并同类项,得2x2﹣5x+15=0,故答案为:2x2﹣5x+15=0.20.(2022秋•颍州区期末)若一个一元二次方程的二次项系数为1,常数项为0,其中一个根为x=3,则该方程的一般形式为 x2﹣3x=0 .【答案】见试题解答内容【解答】解:由题意可得,该方程的一般形式为:x2﹣3x=0.故答案为:x2﹣3x=0.【题型4 一元二次方程的解】21.(2022秋•光山县期末)若x=1是关于x的一元二次方程x2﹣mx+3=0的一个解,则m的值是( )A.6B.5C.4D.3【答案】C【解答】解:∵x=1是关于x的一元二次方程x2﹣mx+3=0的一个解,∴1﹣m+3=0,解得m=4.故选:C.22.(2022秋•武安市期末)若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根,则6m2﹣9m+2018的值为( )A.2018B.2019C.2020D.2021【答案】D【解答】解:∵m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根,∴2m2﹣3m﹣1=0,∴2m2﹣3m=1,∴6m2﹣9m+2018=3(2m2﹣3m)+2018=3×1+2018=3+2018=2021,故选:D.23.(2023春•西湖区校级期中)已知m是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根,则代数式2m2﹣6m的值为( )A.0B.2C.﹣2D.4【答案】B【解答】解:∵m是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根,∴m2﹣3m﹣1=0,∴m2﹣3m=1,∴2m2﹣6m=2(m2﹣3m)=2×1=2,故选:B.24.(2022秋•魏都区校级期末)x=﹣2是关于x的一元二次方程2x2+3ax﹣2a2=0的一个根,则a的值为( )A.1或4B.﹣1或﹣4C.﹣1或4D.1或﹣4【答案】D【解答】解:∵一元二次方程2x2+3ax﹣2a2=0有一个根为x=﹣2,∴2×(﹣2)2+3ax﹣2a2=0,解得,a=1或﹣4,故选:D.25.(2023春•温州期中)已知a是方程x2+2x﹣1=0的一个解,则代数式﹣a2﹣2a+8的值为( )A.0B.5C.6D.7【答案】D【解答】解:∵a是方程x2+2x﹣1=0的一个解,∴a2+2a=1,则﹣a2﹣2a+8=﹣(a2+2a)+8=﹣1+8=7.故选:D.26.(2023春•富阳区期中)若关于x的一元二次方程(m﹣3)x2+x+m2﹣9=0的一个根为0,则m的值为( )A.3B.0C.﹣3D.﹣3或3【答案】C【解答】解:∵关于x的一元二次方程(m﹣3)x2+x+m2﹣9=0的一个根为0,∴m﹣3≠0且m2﹣9=0,解得:m=﹣3.故选:C.27.(2023•陇南模拟)关于x的一元二次方程2x a﹣2+m=4的解为x=1,则a+m 的值为( )A.9B.8C.6D.4【答案】C【解答】解:因为关于x的一元二次方程2x a﹣2+m=4的解为x=1,可得:a﹣2=2,2+m=4,解得:a=4,m=2,所以a+m=4+2=6.故选:C.28.(2023•南海区模拟)已知a是方程x2﹣2x﹣2023=0的根,则代数式2a2﹣4a﹣2的值为( )A.4044B.﹣4044C.2024D.﹣2024【答案】A【解答】解:∵a是方程x2﹣2x﹣2023=0的根,∴a2﹣2a﹣2023=0,即a2﹣2a=2023,∴2a2﹣4a﹣2=2(a2﹣2a)﹣2=2×2023﹣2=4046﹣2=4044.故选:A.29.(2023•桂林一模)已知m是一元二次方程x2﹣4x+2=0的一个根,则8m﹣2m2+2的值为( )A.6﹣16B.﹣6C.6D.6+16【答案】C【解答】解:∵m是一元二次方程x2﹣4x+2=0的一个根,∴m2﹣4m+2=0,∴m2﹣4m=﹣2,∴8m﹣2m2+2=﹣2(m2﹣4m)+2=﹣2×(﹣2)+2=4+2=6,故选:C.30.(2023•官渡区校级模拟)已知a是方程x2+3x+2=0的一个根,则代数式a2+3a 的值为( )A.﹣2B.2C.﹣4D.﹣4或﹣10【答案】A【解答】解:∵a是方程x2+3x+2=0的一个根,∴a2+3a+2=0,∴a2+3a=﹣2,故选:A.31.(2023•襄州区开学)若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根是x=﹣1,则2018﹣a+b的值是( )A.2013B.2016C.2023D.2021【答案】C【解答】解:把x=﹣1代入方程ax2+bx+5=0得a﹣b+5=0,所以a﹣b=﹣5,所以2018﹣a+b=2018﹣(a﹣b)=2018﹣(﹣5)=2023.故选:C.32.(2022秋•铜梁区校级期末)已知m为一元二次方程x2+3x﹣2023=0的根,那么2m2+6m的值为( )A.﹣4046B.﹣2023C.0D.4046【答案】D【解答】解:∵m为一元二次方程x2+3x﹣2023=0的一个根.∴m2+3m=2023,∴2m2+6m=2(m2+3m)=2×2023=4046.故选:D.33.(2022秋•香洲区期末)已知a是方程x2﹣2x﹣1=0的解,则代数式2a2﹣4a的值为( )A.2B.﹣1C.1D.﹣2【答案】A【解答】解:∵a是方程x2﹣2x﹣1=0的一个解,∴a2﹣2a﹣1=0,即a2﹣2a=1,∴2a2﹣4a=2(a2﹣2a)=2×1=2.故选:A.34.(2022秋•雷州市期末)已知方程x2﹣2x﹣2=0的一个根是m,则代数式3m2﹣6m+2017的值为( )A.2022B.2023C.2024D.2025【答案】B∴m2﹣2m﹣2=0,即m2﹣2m=2,∴3m2﹣6m+2017=3(m2﹣2m)+2017=6+2017=2023,故选:B.35.(2022秋•朔城区期末)已知t为一元二次方程x2﹣1011x+2023=0的一个解,则2t2﹣2022t值为( )A.﹣2023B.﹣2022C.﹣4046D.﹣4044【答案】C【解答】解:∵t为一元二次方程x2﹣1011x+2023=0的一个解,∴t2﹣1011t+2023=0,∴t2﹣1011t=﹣2023,∴2t2﹣2022t=2(t2﹣1011t)=2×(﹣2023)=﹣4046,故选:C.36.(2022秋•城西区校级期末)若m是方程x2+x﹣1=0的根,则2m2+2m+2022的值为( )A.2024B.2023C.2022D.2021【答案】A【解答】解:∵m是方程x2+x﹣1=0的根,∴m2+m﹣1=0,∴m2+m=1,∴2m2+2m+2022=2(m2+m)+2022=2×1+2022=2024.故选:A.37.(2022秋•孝南区期末)已知a是方程2x2+4x﹣3=0的一个根,则a2+2a﹣1的值是( )A.1B.2C.D.【答案】C∴2a2+4a﹣3=0,整理得,a2+2a=,∴a2+2a﹣1=﹣1=,故选:C.38.(2022秋•武安市期末)若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根,则6m2﹣9m+2018的值为( )A.2018B.2019C.2020D.2021【答案】D【解答】解:∵m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根,∴2m2﹣3m﹣1=0,∴2m2﹣3m=1,∴6m2﹣9m+2018=3(2m2﹣3m)+2018=3×1+2018=3+2018=2021,故选:D.39.(2023春•西湖区校级期中)若a为方程x2﹣3x﹣6=0的一个根,则代数式﹣3a2+9a﹣5的值为 ﹣23 .【答案】﹣23.【解答】解:∵a为方程x2﹣3x﹣6=0的一个根,∴a2﹣3a﹣6=0,∴a2﹣3a=6,∴﹣3a2+9a﹣5=﹣3(a2﹣3a)﹣5=﹣3×6﹣5=﹣23.故答案为:﹣23.40.(2023春•涡阳县期中)若x=﹣a是一元二次方程x2+x﹣3=0的一个根,则2029﹣2a2+2a= 2023 .【答案】2023.【解答】解:∵x=﹣a是一元二次方程x2+x﹣3=0的一个根,∴(﹣a)2﹣a﹣3=0,∴a2﹣a=3,∴2029﹣2a2+2a=2029﹣2(a2﹣a)=2029﹣2×3=2023.故答案为:2023.41.(2023春•义乌市校级月考)已知a是方程2x2﹣3x﹣5=0的一个解,则﹣4a2+6a的值为 ﹣10 .【答案】﹣10.【解答】解:把x=a代入方程得:2a2﹣3a﹣5=0,则2a2﹣3a=5,则﹣4a2+6a=﹣2(2a2﹣3a)=﹣10.故答案为:﹣10.。
一元二次方程新题型展示
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领导 : 过2人怎样优 惠呢? 超 5
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评 点 : 题 主要 考 查 我 们 的观 察 、 算 和探 究 能 力 , 本 计 以及 运 用
一元二次方程10道例题
一元二次方程10道例题一、直接开平方法例1:解方程(x - 3)^2=16解析:对于方程(x - 3)^2 = 16,根据直接开平方法,我们得到:x-3=±4当x - 3=4时,x=4 + 3=7;当x-3=-4时,x=- 4+3=-1。
所以方程的解为x_1 = 7,x_2=-1。
二、配方法例2:解方程x^2+6x - 7 = 0解析:在方程x^2+6x-7 = 0中,1. 移项得x^2+6x=7。
2. 配方:在等式两边加上一次项系数一半的平方,即x^2+6x + 9=7 + 9,得到(x + 3)^2=16。
3. 然后用直接开平方法,x+3=±4。
- 当x+3 = 4时,x=1。
- 当x + 3=-4时,x=-7。
所以方程的解为x_1=1,x_2 = - 7。
三、公式法例3:解方程2x^2-5x+3=0解析:对于一元二次方程ax^2+bx + c=0(a≠0),其求根公式为x=(-b±√(b^2 - 4ac))/(2a)。
在方程2x^2-5x + 3=0中,a = 2,b=-5,c = 3。
1. 先计算判别式Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×3=25 - 24 = 1。
2. 把a、b、Δ的值代入求根公式,得到x=(5±√(1))/(4)。
- 当取正号时,x=(5 + 1)/(4)=(3)/(2)。
- 当取负号时,x=(5-1)/(4)=1。
所以方程的解为x_1=(3)/(2),x_2 = 1。
四、因式分解法例4:解方程x^2-3x+2=0解析:1. 对x^2-3x + 2进行因式分解,得到(x - 1)(x - 2)=0。
2. 则有x-1=0或者x - 2=0。
- 当x-1=0时,x = 1。
- 当x-2=0时,x=2。
所以方程的解为x_1=1,x_2=2。
例5:解方程6x^2+x - 1=0解析:1. 对6x^2+x - 1进行因式分解,得到(2x + 1)(3x - 1)=0。
一元二次方程新题型展示
一元二次方程新题型展示作者:刘顿来源:《试题与研究·中考数学》2015年第03期一元二次方程是初中数学中的重点内容,频频亮相中考试卷,不仅如此,还不断创新,让我们一起看看2015年中考中又有哪些新题型。
一、开放型例1 (2015·曲靖)一元二次方程x2-5x+c=0有两个不相等的实数根且两根之积为正,若c 是整数,则c=[CD#4](只需填一个)。
分析:由题意,得c的值只需满足c是正整数,Δ>0即可。
解:∵一元二次方程x2-5x+c=0有两个不相等的实数根且两根之积为正,∴Δ>0,c>0,即Δ=(-5)2-4×1×c=25-4c>0,∴0又∵c是整数,∴满足条件的c值不唯一,可以是1,2,3,4,5,6这6个数中的任何一个。
说明:本题是一道开放型问题,c必须满足:一是正数;二是整数;三是保证Δ>0。
例2 (2015·丽水)解一元二次方程x2+2x-3=0时,可转化为两个一元一次方程,请写出其中的一个一元一次方程[CD#4]。
分析:可以对原方程的左边因式分解,使之转化为两个一次因式的乘积,进而得到两个相应的一元一次方程,所以答案不唯一。
解:分解因式,得(x+3)(x-1)=0。
∴x+3=0或x-1=0,即答案不唯一。
故填x+3=0或x-1=0。
说明:本题要求的结果是其中的一个一元一次方程,虽然比较简单,但会有少数同学不能熟练地掌握因式分解解一元二次方程的方法,而盲目地用公式法去解一元二次方程,可能会得出错误结果。
二、逆用一元二次方程根与系数的关系例3 (2015·日照)如果m,n是两个不相等的实数,且满足m2-m=3,n2-n=3,那么代数式2n2-mn+2m+2 015=[CD#4]。
分析:将方程m2-m=3,n2-n=3分别变形为m2-m-3=0,n2-n-3=0,而m,n是两个不相等的实数,此时,可以将m,n看成是一元二次方程x2-x-3=0的两个不相等的实数根,于是有m+n=1,mn=-3,再对2n2-mn+2m+2 015适当变形即可求解。
一元二次方程基本题型展示
题型1一元二次方程的概念问题例1 关于x的方程(m-)xm2-1-x+3=0是一元二次方程,则m的值为.解:根据一元二次方程的定义,得m2-1=2,m- ≠0.解之,得m=±,m≠ .所以m=- .点评:本题应注意两点:①未知数的最高次数是2;②二次项系数不能为0.题型2一元二次方程的解法问题解一元二次方程时,首先考虑用因式分解法,这种方法最简捷;其次考虑用求根公式法,这种方法是万能的,它能解所有的一元二次方程;再次考虑用配方法,因为这种方法较为复杂.如果方程可以直接开平方,就用直接开平方法.例2 已知关于x的方程2x2-ax-a2=0的一个根为1,求另一个根.解:把1代入方程,得2-a-a2=0,即a2+a-2=0.分解因式,得(a+2)(a-1)=0,所以a=-2或a=1.当a=-2时,原方程为x2+x-2=0.解得x1=1,x2=-2,即另一个根为-2.当a=1时,原方程为2x2-x-1=0.解得x1=1,x2=- .即另一个根为- .故原方程的另一个根为-2或- .例3 已知(x2+y2)2-y2=x2+6,求x2+y2的值.解:原方程可化为(x2+y2)2-(x2+y2)-6=0.分解因式,可得(x2+y2+2)(x2+y2-3)=0.因x2+y2+2≠0,故x2+y2-3=0,即x2+y2=3.点评:一个方程两个未知数,想求出x,y的值后,再求x2+y2的值是不可能的.故我们可以把x2+y2看成一个整体元,将方程化为关于x2+y2的一元二次方程,通过解方程达到求值的目的.题型3一元二次方程根的判别式问题一元二次方程根的判别式δ=b2-4ac,只要知道它的值,不需要解方程便能判断方程根的情况.另外,它在解含有参数的一元二次方程中起着限制作用,即参数的取值要确保方程有实数根.例4 已知关于x的方程mx2-(2m+1)x+m+3=0.(1) m取何值时方程有两个不相等的实数根?(2) m取何值时方程有两个相等的实数根?(3) m取何值时方程没有实数根?解:δ=[-(2m+1)]2-4m(m+3)=-8m+1.(1)当-8m+1>0且m≠0,即m<且m≠0时,方程有两个不相等的实数根.(2)当-8m+1=0且m≠0,即m= 时,方程有两个相等的实数根.(3 )当-8m+1<0且m≠0,即m>时,方程没有实数根.点评:这类问题的一般解法是:首先计算δ,然后根据题设列出不等式或方程,解方程或不等式求出参数的值或取值范围;当二次项系数含有参数时,还要注意二次项系数不能为零.例5 已知关于x的方程x2+2(2-m)x+3-6m=0,求证:无论m取什么实数,方程总有实数根.证明:δ=[2(2-m)]2-4(3-6m)=4m2+8m+4=4(m+1)2.∵无论m取什么实数,总有4(m+1)2≥0,即δ≥0,∴无论m取什么实数,方程总有实数根.题型4一元二次方程根与系数的关系问题一元二次方程根与系数的关系,也是中考的重点内容,与它有关的代数式计算变化多样,要引起重视.例6 已知方程x2-5x+7=0的两根为x1,x2,求下列代数式的值:(1)(x1-1)(x2-1);(2)+ ;(3)+ .解:由根与系数的关系,得x1+x2=5,x1x2=7.(1)(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=7-5+1=3.(2)+ = = .(3)+ =(x1+x2)2-2x1x2=52-2×7=11.点评:运用根与系数的关系求参数的值时,所求参数的值一定要保证方程有实数根.因此,根与系数的关系要与判别式δ≥0结合起来用.题型5一元二次方程的应用问题列一元二次方程解应用题,关键是审清题意,发现题目中的等量关系,并将其“译”成数学式子.一般步骤是:①审题,明确已知与未知;②设未知数,可直接设或者间接设;③列方程,把等量关系转化为方程;④解方程,检验后写出答语.例7 一个三位数,十位上的数字比个位上的数字大3,百位上的数字等于个位上数字的平方.若这个三位数比它的个位上的数字与十位上的数字之积的25倍大202,求这个三位数.解:设个位数字为x,则十位上的数字为x+3,百位上的数字为x2.由题意,得100x2+10(x+3)+x=25x(x+3)+202.整理,得75x2-64x-172=0. 解得x1=2,x2=- (不合题意,舍去).∴x+3=5,x2=4.这个三位数是452.例8 某农具厂今年1月份生产一批甲、乙两种型号的新式农具,其中乙型农具16台.从2月份起,甲型农具每月增产10台,乙型农具按相同的增长率逐月递增.又知2月份甲、乙两种型号农具的产量之比为3∶2,3月份两种型号的农具产量之和为65台.求乙型农具每月的增长率和甲型农具1月份的产量.分析:本题要求的有两个未知数,间接的未知数有多个,但2月份的产量起承上启下的作用,因此可以设2月份甲型农具的产量为3x台,见下表.解:设2月份甲型号农具的产量为3x台.由题意,得(3x+10)+1+ •2x=65.整理,得x2+12x-220=0. 解得x1=10,x2=-22(不合题意,舍去).∴×100%=25%,3x-10=20.答:乙型农具每月的增长率为25%,甲型农具1月份的产量为20台.注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以pdf格式阅读原文。
中考一元二次方程创新试题赏析
中考一元二次方程创新试题赏析众所周知,一元二次方程是方程大家庭中的重中之重,历年各地的中考试卷都少不了,而且试题的形式越来越趋于创新,现就近年来中考中有关一元二次方程创新试题,举几例供同学们赏析.一、开放型问题例1(1)已知一元二次方程有一个根为1,那么这个方程可以是___(只需写出一个方程).(2)写出两个一元二次方程,使每个方程都有一个根为0,并且二次项系数都为1:___.(3)若方程x 2-m =0有整数根,则m 的值可以是___(只填一个). 解析(1)因为一元二次方程如果有解,则它一定有两个实数解,所以有一个根为1的一元二次方程有无数个.如,x 2=1,x 2-2x +1=0,2x 2-x -1=0,…等等.(2)和第(1)小题一样,有一个根为0的一元二次方程有无数个,不过必须满足二次项系数都为 1.如,x 2=0,,x 2-x =0,-12x 2=0, 3x 2-x =0,…等等.(3)对于方程x 2-m =0要有整数根,则必须满足m 是一个非负数的完全平方数,如,0,1,4,9,…等等.说明 对于(1)所列举的一元二次方程只要满足系数之和为零,都有一个根为1,即对于实系数一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),如果a +b +c =0,则必有一根为1;反过来,也成立. 对于(2)所列举的一元二次方程只要满足常数项为零,都有一根为0,即对于实系数一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),如果c =0,则必有一根为0;反过来,也成立.对于(3),如果给定的方程是x 2+m =0形式,则要使方程有整数根,则m 必须满足是非正数的完全平方数.二、 辨别改错题例2 阅读下列解题过程:题目:已知方程x 2+3x +1=0的两个根为α、β,求αββα+的值.解:因为方程x 2+3x +1=0的两个根为x ==αβ所以α≠β;①,得α+β=-3,αβ=1;②331-==-;③ 阅读后回答问题:上面的解题过程是否正确?若不正确,指出错在哪一步,并写出正确的解题过程.简析 不正确.第(3)步错.正确的解题过程是:因为方程x 2+3x +1=0的两个根为x =2b a -±=321-±⨯=,即α=,β=32-.所以α≠β.得α+β=-3<0,αβ=1>0,所以α<0,β<0,所以·αβαβ+=3. 说明 由α+β=-3<0,αβ=1>0,得出α<0,β<0,是求解本题的一个特别要注意符号问题.例3 已知关于x 的一元二次方程x 2-mx +2m -1=0的两个实数根的平方和为23,求m 的值.某同学的解答如下:解:设x 1、x 2是方程的两根,由求根公式,得x ===2m .得x 1+x 2=-m ,x 1x 2=2m -1; 由题意,得x 12+x 22=23;又x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2;所以,m 2-2(2m -1)=23.解之,得m 1=7, m 2=-3,所以,m 的值为7或-3.上述解答中有错误,请你指出错误之处,并重新给出完整的解答.简析 认真分析某同学的解题过程发现有两处错误:一是“x 1+x 2=-m ”,应该是“x 1+x 2=m ”;二是求得m 的值应满足原方程的b 2-4ac ≥0,即满足m 2-8m +4≥0,此时当m =7时,m 2-8 m +4<0,所以m =7应舍去.正确的解答是:设x 1、x 2是方程的两根,由求根公式,得x =2b a-±==.得x 1+x 2=m ,x 1x 2=2m -1;由题意,得x 12+x 22=23;又x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2;所以,m 2-2(2m -1)=23. 解之,得m 1=7, m 2=-3,当m =7时,m 2-8 m +4<0,即b 2-4ac <0,所以m =7应舍去.,所以,m 的值为-3.说明 本题中的“x 1+x 2=-m ”这一错误,虽然不影响求解的答案,但它毕竟是错误,另外,在运用根与系数的关系解题时,必须保证原方程有实数根,即b 2-4ac ≥0.例4 阅读下列解题过程:题目:已知方程x 2+mx +1=0的两个实数根是p 、q ,是否存在m 的值,使得p 、q 满足111p q+=?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.解:存在满足题意的m 值.由求根公式求得p +q =m ,pq =1.∴111p q m m p q pq ++===. ∵111p q +=,∴m =1. 阅读后回答下列问题:上面的解题过程是否正确?若不正确,写出正确的解题过程.简析 不正解.认真分析上面的解题过程发现错误是“p +q =m ”,应该是“p +q =-m ”,这样代入111p q+=即可求得m =-1,当m =-1时,原方程求根公式中b 2-4ac <0,没有实数根,所以不存在m 的值,使得p 、q 满足111p q +=.正确的解法是:不存在满足题意的m 值.利用求根公式可求得p +q =-m ,pq =1.所以111p q m m p q pq +-+===-. 因为111p q+=,所以m =-1.而当m =-1时,原方程的b 2-4ac <0,所以不存在m 的值,使得p 、q 满足111p q +=. 三、方法模拟型例5 阅读材料:已知p 2-p -1=0,1-q -q 2=0,且pq ≠1,求1pq q+的值. 解:由p 2-p -1=0及1-q -q 2=0,可知p ≠0,q ≠0,又因为pq ≠1,所以1p q ≠,所以1-q -q 2=0可变形为21110q q ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的特征,所以p 与1q 是方程x 2-x -1=0的两个不相等的实数根,则11,p q +=即11pq q+=. 根据阅读材料所提供的方法,完成下面的解答.已知:2m 2-5m -1=0,21520n n +-=,且m ≠n ,求:11m n+的值. 简析 通过阅读题设提供的方法,我们可以仿照此法使问题获解.由2m 2-5m-1=0知m ≠0,因为m ≠n ,所以11m n ≠,得21520m m+-=,根据2215152020m m n n +-=+-=与的特征,即11m n与是方程x 2+5x -2=0的两个不相等的实数根,所以115m n+=-. 说明 本题也可以这样求解:由21520n n +-=得2n 2-5n -1=0,根据2m 2-5m -1=0与2n 2-5n -1=0的特征.且m ≠n ,所以m 与n 是方程2x 2-5x -1=0的两个不相等的实数根,即51,22m n mn +==-,所以5112512m n m n mn ++===--.四、猜想归纳题例6 观察下列方程:(1)x +2x =3;(2)x +6x =5;(3)x +12x=7;……按此规律写出关于x 的第n 个方程为___;此方程的解为___.简析 由左边分式的分子2,6,12,…可知第n 个方程的分子应是n (n +1),而右边是3,5,7,…可知第n 个方程的右边应是2n +1,所以关于x 的第n 个方程为x +()1n n x +=2n +1;解关于x 的方程:x +()1n n x+=2n +1可用两种方法,即方法1,先分别求出方程(1)x +2x =3;(2)x +6x =5;(3)x +12x =7的解,然后找出其中的规律即得x 1=n ,x 2=n +1;方法2,直接解关于x 的方程:x +()1n n x+=2n +1同样也可以获解. 说明 求解此类问题一定要根据已知条件,从中找到规律,从而得到一般的结论使问题获解.例7 先阅读下列一段文字,然后解答问题.下面是一类方程和它的解的情况:x -1x =112的解是x 1=2,x 2=-12; x -1x =223的解是x 1=3,x 2=-13; x -1x =334的解是x 1=4,x 2=-14; x -1x =445的解是x 1=5,x 2=-15; 问题:观察上述方程及其解,再猜想出方程x -1x =101011的解,并写出检验. 简析 因为112=2-12,223=3-13,334=4-14,445=5-15,而101011=11-111,所以由此可以猜想出方程x -1x =101011的解是x 1=11,x 2=-111.检验:当x 1=11时,x -1x =11-111=101011,当x 2=-111时,x -1x =-111-1111-=101011,所以x 1=11,x 2=-111都是方程x -1x =101011的解. 说明 处理这类问题一定要认真阅读分析,灵活应用所学知识求解.五、自编应用题例8 实际生产、生活中存在大量如下关系式:路程=速度×时间;工作量=工作效率×工作时间;……,即三个量a、b、c之间存在数量关系a=bc,现在请编一道含有这种关系的应用题,要求:(1)用“行程问题”、“工程问题”以外的其它贴近实际的素材编制;(2)仅编“已知两个量求第三个量”的实际问题,并正确解答的最多得6分;(3)编题或解答中有创新的加2分.简析本题意在考查同学们的应用数学的能力,要求较高,开放性强,解答时必须按照题目的要求求解,同时应注意编的题目要有创新意识,充分体现自己的创新能力.说明这是一道不可多得的好题,同学们要能正解求解此类问题,在平时就要注意培养用数学知识去解决实际问题的能力.。
一元二次方程组计算题50道
一元二次方程组计算题50道一、简单形式(型,)1.- 这题就像找两个数,它们加起来是3,乘起来是2呢。
2.- 想象一下,哪两个数相乘是6,相减(这里是加起来是 - 5的相反数5哦)是5呢?3.- 来看看,哪两个数加起来等于7,乘起来等于10呢?4.- 这就好比要把18拆成两个数相乘,这两个数加起来要是9哦。
5.- 找两个数,一个数加上另一个数是2,这两个数相乘是 - 8,有点小挑战哦。
6.- 想一下,哪两个数乘起来是 - 5,加起来是4呢?7.- 这里要找的两个数,乘起来是 - 7,加起来是 - 6的相反数6哦。
8.- 就像猜谜语,两个数乘起来15,加起来8呢。
9.- 找两个数,它们加起来是10,乘起来是9。
10.- 哪两个数相乘是24,加起来是11呢?二、的简单型11.- 这个有点不一样啦,不过我们还是可以想办法。
把2乘以1得2,然后找两个数乘起来是2,加起来是3哦。
12.- 先看3乘以2等于6,然后找两个数乘起来是6,加起来是5(这里是 - 5的相反数5哦)。
13.- 4乘以3是12,找两个数乘起来12,加起来7。
14.- 5乘以4是20,哪两个数乘起来20,加起来9(这里是 - 9的相反数9哦)?15.- 6乘以5是30,找两个数乘起来30,加起来11。
16.- 2乘以3是6,找两个数乘起来6,加起来7(这里是 - 7的相反数7哦)。
17.- 3乘以4是12,找两个数乘起来12,加起来8。
18.- 先化简为,2乘以3是6,找两个数乘起来6,加起来5(这里是 - 5的相反数5哦)。
19.- 5乘以7是35,找两个数乘起来35,加起来12。
20.- 6乘以6是36,找两个数乘起来36,加起来13(这里是 - 13的相反数13哦)。
三、带常数项为负数且型- 要找两个数,乘起来是 - 10,加起来是3哦。
22.- 哪两个数乘起来是 - 21,加起来是 - 4的相反数4呢?23.- 找两个数,乘起来是 - 16,加起来是6。
简单一元二次方程30题
30个简单的一元二次方程题目:解方程:x²- 4x + 4 = 0解方程:2x²- 8x + 8 = 0解方程:x²- 6x + 9 = 0解方程:x²+ 2x - 3 = 0解方程:x²- 5x = 0解方程:3x²- 12x = 0解方程:x²+ 4x - 12 = 0解方程:x²- 10x + 25 = 0解方程:(x - 1)²= 9解方程:2x²- 3x - 2 = 0解方程:x²+ 5x + 6 = 0解方程:x²- 14x + 49 = 0解方程:x²- 2x - 3 = 0解方程:x²+ 6x + 9 = 0解方程:x²- 8x = 0解方程:x²- 25 = 0解方程:4x²- 4x + 1 = 0解方程:x²- 7x + 12 = 0解方程:x²+ 3x - 4 = 0解方程:x²- 16 = 0解方程:x²+ 8x + 16 = 0解方程:x²- 3x - 4 = 0解方程:x²- 11x + 28 = 0 解方程:x²+ 10x = 0解方程:x²- 4 = 0解方程:x²- 12x + 36 = 0 解方程:x²+ 2x = 0解方程:x²+ 12x + 36 = 0 解方程:x²- 18x + 81 = 0 解方程:x²- 6 = 0解题答案如下:解:x₁ = x₂ = 2解:x₁ = x₂ = 2解:x₁ = x₂ = 3解:x₁ = 1, x₂ = -3解:x₁ = 0, x₂ = 5解:x₁ = 0, x₂ = 4解:x₁ = -6, x₂ = 2解:x₁ = x₂ = 5解:x₁ = 4, x₂ = -2解:x₁ = -1/3, x₂ = 2解:x₁ = -2, x₂ = -3解:x₁ = x₂ = 7解:x₁ = -1, x₂ = 3解:x₁ = x₂ = -3解:x₁ = 0, x₂ = 8解:x₁ = 5, x₂ = -5解:x₁ = x₂ = 1/2解:x₁ = 3, x₂ = 4解:x₁ = -4, x₂ = 1解:x₁ = 4, x₂ = -4解:x₁= x₂ = -2解:x₁ = -4, x₂ = 1解:x₁ = -1, x₂ = 4解:x₁ = 2, x₂ = 6解:x₁ = 2, x₂ = -2解:x₁ = x₂ = 3解:x₁ = 0, x₂ = -2解:x₁ = x₂ = -6解:x₁ = x₂ = 9解:x₁ = √6, x₂ = -√6注意:以上解是基于一元二次方程的公式x = [-b ±√(b²- 4ac)] / (2a) 得到的,其中a, b, c 是一元二次方程ax²+ bx + c = 0 的系数。
初中数学《一元二次方程的解法》十大题型含解析
一元二次方程的解法【十大题型】【题型1直接开平方法解一元二次方程】【题型2配方法解一元二次方程】【题型3公式法解一元二次方程】【题型4因式分解法解一元二次方程】【题型5十字相乘法解一元二次方程】【题型6用适当方法解一元二次方程】【题型7用指定方法解一元二次方程】【题型8用换元法解一元二次方程】【题型9解含绝对值的一元二次方程】【题型10配方法的应用】知识点1:直接开平方法解一元二次方程根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法,叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式;②直接开平方化为两个一元一次方程;③解两个一元一次方程得到原方程的解.【题型1直接开平方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)将方程(2x-1)2=9的两边同时开平方,得2x-1=,即2x-1=或2x-1=,所以x1=,x2=.【答案】±33-32-1【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可【详解】∵(2x-1)2=9∴2x-1=±3∴2x-1=3,2x-1=-3∴x1=2,x2=-1【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法,掌握运算法则是解题关键2(23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习)用直接开平方解下列一元二次方程,其中无解的方程为()A.x2+9=0B.-2x2=0C.x2-3=0D.(x-2)2=0【答案】A【分析】根据负数没有平方根即可求出答案.【详解】解:(A )移项可得x 2=-9,故选项A 无解;(B )-2x 2=0,即x 2=0,故选项B 有解;(C )移项可得x 2=3,故选项C 有解;(D )x -2 2=0,故选项D 有解;故选A .【点睛】本题考查一元二次方程,解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法.3(23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习)如果关于x 的一元二次方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解,则m 的取值范围是.【答案】m ≥7【分析】根据平方的非负性得出不等式,求出不等式的解集即可.【详解】解:∵方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解,∴m -7≥0,解得:m ≥7,故答案为:m ≥7.【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式,能得出关于m 的不程是解此题的关键.4(23-24九年级上·河南南阳·阶段练习)小明在解一元二次方程时,发现有这样一种解法:如:解方程x x +4 =6.解:原方程可变形,得:x +2 -2 x +2 +2 =6.x +2 2-22=6,x +2 2=10.直接开平方并整理,得.x 1=-2+10,x 2=-2-10.我们称小明这种解法为“平均数法”(1)下面是小明用“平均数法”解方程x +5 x +9 =5时写的解题过程.解:原方程可变形,得:x +a -b x +a +b =5.x +a 2-b 2=5,∴x +a 2=5+b 2.直接开平方并整理,得.x 1=c ,x 2=d .上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为______,______,______,______.(2)请用“平均数法”解方程:x -5 x +7 =12.【答案】(1)7,2,-4,-10.(2)x 1=-1+43,x 2=-1-43.【分析】(1)仿照平均数法可把原方程化为x +7 -2 x +7 +2 =5,可得x +7 2=9,再解方程即可;(2)仿照平均数法可把原方程化为x +1 -6 x +1 +6 =12,可得x +1 2=48,再解方程即可;【详解】(1)解:∵x +5 x +9 =5,∴x +7 -2 x +7 +2 =5,∴x +7 2-4=5,∴x +7 2=9,∴x +7=3或x +7=-3,解得:x 1=-4,x 2=-10.∴上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为7,2,-4,-10.(2)∵x -5 x +7 =12,∴x +1 -6 x +1 +6 =12,∴x +1 2-36=12,∴x +1 2=48,∴x +1=43,x +1=-43,解得:x 1=-1+43,x 2=-1-43.【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法,新定义运算的含义,理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键.知识点2配方法解一元二次方程将一元二次方程配成(x +m )2=n 的形式,再用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.用配方法解一元二次方程的步骤:①把原方程化为ax 2+bx +c =0(a ≠0)的形式;②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.【题型2配方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)用配方法解方程,补全解答过程.3x 2-52=12x .解:两边同除以3,得______________________________.移项,得x 2-16x =56.配方,得_________________________________,即x -112 2=121144.两边开平方,得__________________,即x -112=1112,或x -112=-1112.所以x 1=1,x 2=-56.【答案】x 2-56=16x x 2-16x +112 2=56+112 2 x -112=±1112【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1,常数项移到右边,两边加上一次项系数一半的平方,利用完全平方公式变形后,开方即可求出解.【详解】3x 2-52=12x .解:两边同除以3,得x 2-56=16x .移项,得x 2-16x =56.配方,得x2-16x+1122=56+112 2,即x-1 122=121144.两边开平方,得x-112=±1112,即x-112=1112,或x-112=-1112.所以x1=1,x2=-5 6.【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.2(23-24九年级下·广西百色·期中)用配方法解方程x2-6x-1=0时,配方结果正确的是()A.x-32=9 B.x-32=10 C.x+32=8 D.x-32=8【答案】B【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程,解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤.根据配方法的步骤,求解即可.【详解】解:x2-6x-1=0移项得:x2-6x=1配方得:x2-6x+9=1+9即x-32=10故选:B3(24-25九年级上·全国·假期作业)用配方法解方程:x2+2mx-m2=0.【答案】x1=-m+2m,x2=-m-2m【分析】本题考查了解一元二次方程--配方法.先移项,再进行配方,最后开方即可得.【详解】解:移项得x2+2mx=m2,配方得x2+2mx+m2=m2+m2,即x+m2=2m2,所以原方程的解为:x1=-m+2m,x2=-m-2m.4(2024·贵州黔东南·一模)下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x-8=0的过程,请认真阅读并完成相应的任务.解:移项,得2x2+4x=8第一步二次项系数化为1,得x2+2x=4第二步配方,得x+22=8第三步由此可得x+2=±22第四步所以,x1=-2+22,x2=-2-22第五步①小明同学的解答过程,从第步开始出现错误;②请写出你认为正确的解答过程.【答案】①第三步;②详见解析【分析】本题主要考查了解一元二次方程,熟练掌握配方法,先将方程2x2+4x-8=0变为x2+2x=4,然后配方为x+12=8,再开平方即可.【详解】解:①小明同学的解答过程,从第三步开始出现错误;②2x2+4x-8=0,移项,得2x2+4x=8,二次项系数化为1,得x2+2x=4,配方,得x+12=5,由此可得x+1=±5,所以,x1=-1+5,x2=-1-5.知识点3公式法解一元二次方程当b2-4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方,其实数根可写为x=-b±b2-4ac2a的形式,这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式,把各项系数的值直接代入这个公式,这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【题型3公式法解一元二次方程】1(23-24九年级上·山西大同·阶段练习)用公式法解关于x的一元二次方程,得x= -6±62-4×4×12×4,则该一元二次方程是.【答案】4x2+6x+1=0【分析】根据公式法的公式x=-b±b2-4ac2a,可得方程的各项系数,即可解答.【详解】解:∵x=-b±b2-4ac2a=-6±62-4×4×12×4,∴a=4,b=6,c=1,从而得到一元二次方程为4x2+6x+1=0,故答案为:4x2+6x+1=0.【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程,熟记公式是解题的关键.2(23-24九年级上·广东深圳·期中)用公式法解一元二次方程:x-23x-5=0.解:方程化为3x2-11x+10=0.a=3,b=,c=10.Δ=b 2-4ac =-4×3×10=1>0.方程实数根.x ==,即x 1=,x 2=53.【答案】-11(-11)2有两个不相等的--11 ±12×311±162【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即.【详解】解:方程化为3x 2-11x +10=0.a =3,b =-11,c =10.Δ=b 2-4ac =-11 2-4×3×10=1>0.方程有两个不相等的实数根.x =--11 ±12×3=11±16,即x 1=2,x 2=53.故答案为:-11;(-11)2;有两个不相等的;--11 ±12×3;11±16;2.【点睛】本题考查公式法解一元二次方程,熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键.3(23-24九年级上·河南三门峡·期中)用公式法解方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0),下列代入公式正确的是()A.x =-b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) B.x =b ±b 2-4ac2a C.x =b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) D.x =-b ±b 2-4ac2a【答案】B【分析】先将方程进行化简,然后根据一元二次方程的求根公式,即可做出判断.【详解】解:方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)可化为ax 2-bx +c =0由求根公式可得:x =-(-b )±(-b )2-4ac 2a =b ±b 2-4ac 2a 故选:B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式,准确的识记求根公式是解答本题的关键.4(23-24九年级上·广东深圳·期中)用求根公式法解得某方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根互为相反数,则()A.b =0B.c =0C.b 2-4ac =0D.b +c =0【答案】A【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根x 1、x 2,由题意得x 1+x 2=0,可求出b =0.【详解】∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根,∴Δ=b2-4ac≥0且a≠0.求根公式得到方程的根为x=-b±b2-4ac2a,两根互为相反数,所以x1+x2=0,即-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=0,解得b=0.故选:A.【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法,相反数的意义,熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键.知识点4因式分解法解一元二次方程当一个一元二次方程的一边是0,另一边能分解为两个一次因式的乘积时,就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4因式分解法解一元二次方程】1(23-24九年级下·安徽亳州·期中)关于x的一元二次方程x x-2=2-x的根是()A.-1B.0C.1和2D.-1和2【答案】D【分析】本题主要考查了解一元二次方程,先移项,然后利用因式分解法解方程即可得到答案.【详解】解:∵x x-2=2-x,∴x x-2+x-2=0,∴x+1x-2=0,∴x+1=0或x-2=0,解得x=-1或x=2,故选:D.2(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)以下是某同学解方程x2-3x=-2x+6的过程:解:方程两边因式分解,得x x-3=-2x-3,①方程两边同除以x-3,得x=-2,②∴原方程的解为x=-2.③(1)上面的运算过程第______步出现了错误.(2)请你写出正确的解答过程.【答案】(1)②(2)过程见解析【分析】(1)根据等式的性质作答即可;(2)先移项,然后用因式分解法求解.【详解】(1)解:∵x-3可能为0,∴不能除以x-3,∴第②步出现了错误故答案为②.(2)解:方程两边因式分解,得x x-3=-2x-3,移项,得x x-3+2x-3=0,∴x-3x+2=0,∴x1=3,x2=-2.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法,常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法,熟练掌握各种方法是解答本题的关键.3(23-24九年级下·安徽安庆·期中)对于实数m,n,定义运算“※”:m※n=m2-2n,例如:2※3=22 -2×3=-2.若x※5x=0,则方程的根为()A.都为10B.都为0C.0或10D.5或-5【答案】C【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程,解题关键是理解题意.现根据新定义运算得出一元二次方程,再求解即可.【详解】解:根据定义运算m※n=m2-2n可得,x※5x=0即为x2-5x·2=0,即x x-10=0,∴x1=0,x2=10,则方程的根为0或10.故选:C.4(13-14九年级·浙江·课后作业)利用因式分解求解方程(1)4y2=3y;(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0.【答案】(1)y1=0,y2=34;(2)x1=-32,x2=3【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根;(2)利用提公因式法分解因式求出方程的根.【详解】(1)4y2=3y;4y2-3y=0y(4y-3)=0y=0或4y-3=0∴y1=0,y2=34,故答案为:y1=0,y2=3 4;(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0(2x+3)(x-3)=02x+3=0或x-3=0 x1=-32,x2=3,故答案为:x1=-32,x2=3.【点睛】本题考查利用因式分解解方程,关键是防止丢掉方程的根.例如:解方程4y2=3y时,给方程两边同除以y,解得y=34,而丢掉y=0的情况.【题型5十字相乘法解一元二次方程】1(23-24九年级下·广西百色·期中)以下是解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一种方法:二次项的系数a分解成a1a2,常数项c分解成c1c2,并且把a1,a2,c1,c2排列为:然后按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若此时满足a1c2+a2c1=b,那么ax2+bx+c=0(a≠0)就可以因式分解为(a1x +c1)(a2x+c2)=0,这种方法叫做“十字相乘法”.那么6x2-11x-10=0按照“十字相乘法”可因式分解为()A.(x-2)(6x+5)=0B.(2x+2)(3x-5)=0C.(x-5)(6x+2)=0D.(2x-5)(3x+2)=0【答案】D【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出6x2-11x-10=(2x-5)(3x+2)即可.【详解】∵∴6x2-11x-10=2x-53x+2=0.故选:D.【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式,正确分解常数项是解题关键.2(23-24九年级上·江西上饶·期末)试用十字相乘法解下列方程(1)x2+5x+4=0;(2)x2+3x-10=0.【答案】(1)x1=-4,x2=-1;(2)x1=2,x2=-5.【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解,继而得出两个关于x的一元一次方程,进一步求解可得答案;(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解,继而得出两个关于x的一元一次方程,进一步求解可得答案.【详解】(1)解:x2+5x+4=0x+4=0x+1x+4=0或x+1=0∴x1=-4,x2=-1;(2)解:x2+3x-10=0x+5=0x-2x+5=0或x-2=0∴x1=2,x2=-5.3(23-24九年级下·广西梧州·期中)解关于x的方程x2-7mx+12m2=0得()A.x1=-3m,x2=4mB.x1=3m,x2=4mC.x1=-3m,x2=-4mD.x1=3m,x2=-4m【答案】B【分析】本题主要考查了解一元二次方程,掌握运用十字相乘法求解即可.直接运用十字相乘法解一元二次方程即可.【详解】解:x2-7mx+12m2=0,x-3mx-4m=0,x-3m=0或x-4m=0,x1=3m,x2=4m.故选B.4(23-24九年级下·重庆·期中)阅读下面材料:材料一:分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形,“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积,具体做法如下:对关于x,y的二次三项式ax2+bxy+cy2,如图1,将x2项系数a=a1⋅a2,作为第一列,y2项系数c=c1⋅c2,作为第二列,若a1c2+a2c1恰好等于xy项的系数b,那么ax2+bxy+cy2可直接分解因式为:ax2+bxy+cy2=a1x+c1ya2x+c2y示例1:分解因式:x2+5xy+6y2解:如图2,其中1=1×1,6=2×3,而5=1×3+1×2;∴x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y);示例2:分解因式:x2-4xy-12y2.解:如图3,其中1=1×1,-12=-6×2,而-4=1×2+1×(-6);∴x2-4xy-12y2=(x-6y)(x+2y);材料二:关于x,y的二次多项式ax2+bxy+cy2+d x+ey+f也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积.如图4,将a=a1a2作为一列,c=c1c2作为第二列,f=f1f2作为第三列,若a1c2+a2c1=b,a1f2+a2f1=d,c1f2+c2f1=e,即第1、2列,第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则,则原式分解因式的结果为:ax2+bxy+cy2+d x+ey+f=a1x+c1y+f1a2x+c2y+f2;示例3:分解因式:x2-4xy+3y2-2x+8y-3.解:如图5,其中1=1×1,3=(-1)×(-3),-3=(-3)×1;满足-4=1×(-3)+1×(-1),-2=1×(-3)+1×1,8=(-3)×(-3)+(-1)×1;∴x2-4xy+3y2-2x+8y-3=(x-y-3)(x-3y+1)请根据上述材料,完成下列问题:(1)分解因式:x2+3x+2=;x2-5xy+6y2+x+2y-20=;(2)若x,y,m均为整数,且关于x,y的二次多项式x2+xy-6y2-2x+my-120可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积,求出m的值,并求出关于x,y的方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解.【答案】(1)(x+1)(x+2),(x-3y+5)(x-2y-4);(2)m=54m=-56,x=-1y=4和x=2y=-4【分析】(1)①直接用十字相乘法分解因式;②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可;(2)用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值.【详解】解:(1)①1=1×1,2=1×2,3=1×1+1×2,∴原式=(x+1)(x+2);②1=1×1,6=(-2)×(-3),-20=5×(-4)满足(-5)=1×(-2)+1×(-3),1=1×5+1×(-4),2=(-2)×5+(-3)×(-4)∴原式=(x-3y+5)(x-2y-4);(2)①1-35a1c1f11-2-4a2c2f2{a1c2+a2c1=-5a1f22+a2f1=1c1f2+c2f1=2②1-21013-12{a1c2+a2c1=1a1f2+a2f1=-2c1f2+c2f1=m1-2-121310(x-2y+10)(x+3y-12)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=54(x-2y-12)(x+3y+10)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=-56当m=54时,(x-2y+10)(x+3y-12)=-1{x-2y+10=1x+3y-12=-1或{x-2y+10=-1x+3y-12=1,x=-75y=245(舍),{x=-1y=4当m=-56时,(x-2y-12)(x+3y+10)=-1{x-2y-12=1x+3y+10=-1或{x-2y=12=1x+3y+10=1,{x=2y=-4或x=695y=25(舍)综上所述,方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解有{x=-1y=4和{x=2y=-4;方法二:x2+xy+(-6y2)-2x+my-120=(x+3y)(x-2y)-2x+my-12y =(x+3y+a)(x-2y+b)=(x+3y)(x-2y)+(a+b)x+(3b-2a)y+ab {a+b=-2⇒{a=-123b-2a=m ab=-120 b=10或{a=10⇒m=54b=-12m=-56.【点睛】本题考查了因式分解的方法--十字相乘法,弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键.【题型6用适当方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·江苏宿迁·期末)用适当的方法解下列方程:(1)x2=4x;(2)x-32-4=0;(3)2x2-4x-5=0;(4)x-1x+2=2x+2.【答案】(1)x1=4,x2=0(2)x1=5,x2=1(3)x1=2+142,x2=2-142(4)x1=-2,x2=3【分析】本题考查了一元二次方程的解法,解一元二次方程-因式分解法,公式法,熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.(1)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算,即可解答;(2)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算,即可解答;(3)利用解一元二次方程-公式法进行计算,即可解答;(4)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算,即可解答.【详解】(1)解:x2-4x=0x x-4=0,解得x1=4,x2=0(2)解:x-3-2x-3+2=0x-5x-1=0,解得x1=5,x2=1(3)解:∵a=2,b=-4,c=-5∴b2-4ac=-42-4×2×-5=16--40=56∴x=4±562×2=2±142解得x1=2+142,x2=2-142(4)解:x-1x+2-2x+2=0x+2x-1-2=0,x+2x-3=0,∴x+2=0,x-3=0,解得x1=-2,x2=32(23-24九年级上·山西太原·期中)用适当的方法解下列一元二次方程:(1)x2+4x-2=0;(2)x x+3=5x+15.【答案】(1)x1=6-2,x2=-6-2(2)x1=-3,x2=5【分析】本题考查的是一元二次方程的解法,掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键.(1)利用配方法解方程;(2)先移项,再利用提公因式法解方程.【详解】(1)解:移项,得x2+4x=2,配方,得x2+4x+4=2+4,x+22=6,两边开平方,得x+2=±6,所以,x1=6-2,x2=-6-2;(2)解:原方程可变形为:x x+3=5x+3,x x+3-5x+3=0,x+3x-5=0,x+3=0或x-5=0,所以,x1=-3,x2=53(23-24九年级下·山东泰安·期末)用适当的方法解下列方程(1)3x2=54;(2)x+13x-1=1;(3)4x2x+1=32x+1;(4)x2+6x=10.【答案】(1)x1=32,x2=-32(2)x1=-1+73,x2=-1-73(3)x1=-12,x2=34(4)x1=-3+19,x2=-3-19【分析】(1)方程整理后,利用直接开平方法求解即可;(2)方程整理后,利用求根公式法求解即可;(3)方程利用因式分解法求解即可;(4)方程利用配方法求解即可.【详解】(1)解:方程整理得:x2=18,开方得:x=±32,解得:x1=32,x2=-32;(2)解:方程整理得:3x2+2x-2=0,这里a=3,b=2,c=-2,∵△=22-4×3×(-2)=4+24=28>0,∴x=-2±276=-1±73,解得:x1=-1+73,x2=-1-73;(3)解:方程移项得:4x(2x+1)-3(2x+1)=0,分解因式得:(2x+1)(4x-3)=0,所以2x+1=0或4x-3=0,解得:x1=-12,x2=34;(4)解:配方得:x2+6x+9=19,即(x+3)2=19,开方得:x+3=±19,解得:x1=-3+19,x2=-3-19.【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法,公式法,直接开平方法,配方法,熟练掌握根据方程的特征选择恰当的解法是解本题的关键.4(23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末)用适当的方法解下列方程.(1)(x+2)2-25=0;(2)x2+4x-5=0;(3)2x2-3x+1=0.【答案】(1)x1=3,x2=-7(2)x1=1,x2=-5(3)x1=12,x2=1【分析】(1)利用平方差公式,可以解答此方程;(2)利用因式分解法解方程即可;(3)利用因式分解法解方程即可.【详解】(1)解:(x+2)2-25=0,(x+2-5)(x+2+5)=0,∴x-3=0或x+7=0,解得x1=3,x2=-7;(2)解:x2+4x-5=0,x-1x+5=0,∴x-1=0或x+5=0,解得x1=1,x2=-5;(3)解:2x2-3x+1=0,2x-1x-1=0,∴2x-1=0或x-1=0,解得x1=12,x2=1.【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法:先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).【题型7用指定方法解一元二次方程】1(23-24九年级下·山东日照·期末)用指定的方法解下列方程:(1)4(x-1)2-36=0(直接开方法)(2)x2+2x-3=0(配方法)(3)(x+1)(x-2)=4(公式法)(4)2(x+1)-x(x+1)=0(因式分解法)【答案】(1)x1=4,x2=-2;(2)x1=1,x2=-3;(3)x1=3,x2=-2;(4)x1=-1,x2=2.【分析】(1)直接利用开方法进行求解即可得到答案;(2)直接利用配方法进行求解即可得到答案;(3)直接利用公式法进行求解即可得到答案;(4)直接利用因式分解法进行求解即可得到答案;【详解】解:(1)∵4x-12-36=0∴(x-1)2=9,∴x-1=±3,∴x1=4,x2=-2;(2)∵x2+2x=3,∴x2+2x+1=4,∴(x+1)2=4,∴x+1=±2,∴x1=1,x2=-3;(3)∵x2-x-6=0,∴△=1-4×1×(-6)=25,∴x=1±252=1±52,∴x1=3,x2=-2;(4)∵2x+1-x x+1=0∴(x+1)(2-x)=0,∴x+1=0或2-x=0,∴x1=-1,x2=2.【点睛】本题主要考查了解一元二次方程,解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.2(23-24九年级下·山东烟台·期中)用指定的方法解方程:(1)x2-4x-1=0(用配方法)(2)3x2-11x=-9(用公式法)(3)5x-32=x2-9(用因式分解法)(4)2y2+4y=y+2(用适当的方法)【答案】(1)x1=5+2,x2=-5+2(2)x1=11+136,x2=11-136(3)x1=3,x2=92(4)y1=12,y2=-2【分析】本题考查了解一元二次方程,正确掌握相关性质内容是解题的关键.(1)运用配方法解方程,先移项再配方,然后开方即可作答.(2)先化为一般式,再根据Δ=b2-4ac算出,以及代入x=-b±Δ2a进行化简,即可作答.(3)先移项,再提取公因式,令每个因式为0,进行解出x的值,即可作答.(4)先移项,再提取公因式,令每个因式为0,进行解出x的值,即可作答.【详解】(1)解:x2-4x-1=0移项,得x2-4x=1配方,得x 2-4x +4=1+4,即x -2 2=5∴x -2=±5解得x 1=5+2,x 2=-5+2;(2)解:3x 2-11x =-93x 2-11x +9=0Δ=b 2-4ac =121-4×3×9=121-108=13∴x =11±136解得x 1=11+136,x 2=11-136;(3)解:5x -3 2=x 2-95x -3 2-x 2-9 =05x -3 2-x -3 x +3 =0x -3 5x -3 -x +3 =x -3 4x -18 =0则x -3=0,4x -18=0解得x 1=3,x 2=92;(4)解:2y 2+4y =y +22y 2+4y -y +2 =02y y +2 -y +2 =02y -1 y +2 =0∴2y -1=0,y +2=0解得y 1=12,y 2=-2.3(23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中)用指定的方法解方程:(1)12x 2-2x -5=0(用配方法)(2)x 2=8x +20(用公式法)(3)x -3 2+4x x -3 =0(用因式分解法)(4)x +2 3x -1 =10(用适当的方法)【答案】(1)x 1=2+14,x 2=2-14(2)x 1=10,x 2=-2(3)x 1=3,x 2=0.6(4)x 1=-3,x 2=43【分析】(1)利用配方法解方程即可;(2)利用公式法解方程即可;(3)利用因式分解法解方程即可;(4)先将给出的方程进行变形,然后利用因式分解法解方程即可.【详解】(1)移项,得:12x 2-2x =5,系数化1,得:x 2-4x =10,配方,得:x 2-4x +4=14,(x -2)2=14,x -2=±14,∴x 1=2+14,x 2=2-14;(2)原方程可变形为x 2-8x -20=0,a =1,b =-8,c =-20,Δ=(-8)2-4×1×-20 =64+80=144>0,原方程有两个不相等的实数根,∴x =-b ±b 2-4ac 2a =8±1442=8±122,∴x 1=10,x 2=-2;(3)原方程可变形为:x -3 x -3+4x =0,整理得:x -3 5x -3 =0,解得x 1=3,x 2=0.6;(4)原方程可变形为:3x 2+5x -2-10=0,整理得:3x 2+5x -12=0,3x -4 x +3 =0,∴x 1=-3,x 2=43【点睛】本题主要考查的是配方法,公式法,因式分解法解一元二次方程的有关知识,掌握配方法的基本步骤,一元二次方程的求根公式是解题关键.4(23-24九年级上·河北邯郸·期中)按指定的方法解下列方程:(1)x 2=8x +9(配方法);(2)2y 2+7y +3=0(公式法);(3)x +2 2=3x +6(因式分解法).【答案】(1)x 1=9,x 2=-1.(2)x 1=-3,x 2=-12.(3)x 1=-2,x 2=1.【分析】(1)先把方程化为x 2-8x +16=25,可得x -4 2=25,再利用直接开平方法解方程即可;(2)先计算△=72-4×2×3=49-24=25>0,再利用求根公式解方程即可;(3)先移项,再把方程左边分解因式可得x +2 x -1 =0,再化为两个一次方程,再解一次方程即可.【详解】(1)解:x 2=8x +9,移项得:x 2-8x =9,∴x 2-8x +16=25,配方得:x-42=25,∴x-4=5或x-4=-5,解得:x1=9,x2=-1.(2)解:2y2+7y+3=0,∴△=72-4×2×3=49-24=25>0,∴x=-7±254=-7±54,∴x1=-3,x2=-12.(3)解:x+22=3x+6,移项得:x+22-3x+2=0,∴x+2x-1=0,∴x+2=0或x-1=0,解得:x1=-2,x2=1.【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法,掌握“配方法,公式法,因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键.【题型8用换元法解一元二次方程】1(23-24九年级下·浙江杭州·期中)已知a2+b2a2+b2+2-15=0,求a2+b2的值.【答案】3【分析】先用换元法令a2+b2=x(x>0),再解关于x的一元二次方程即可.【详解】解:令a2+b2=x(x>0),则原等式可化为:x(x+2)-15=0,解得:x1=3,x2=-5,∵x>0,∴x=3,即a2+b2=3.a2+b2的值为3.【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法,注意a2+b2为非负数是本题的关键.2(23-24九年级下·安徽合肥·期中)关于x的方程x2+x2+2x2+2x-3=0,则x2+x的值是()A.-3B.1C.-3或1D.3或-1【答案】B【分析】本题考查解一元二次方程,熟练掌握用换元法解方程是解题的关键.设x2+x=t,则此方程可化为t2+2t-3=0,然后用因式分解法求解即可.【详解】解:设x2+x=t,则此方程可化为t2+2t-3=0,∴t-1t+3=0,∴t-1=0或t+3=0,解得t1=1,t2=-3,∴x2+x的值是1或-3.∵x2+x=-3,即x2+x+3=0,Δ=12-4×1×3=-11<0方程无解,故x2+x=-3舍去,∴x2+x的值是1,故选:B.3(23-24九年级上·广东江门·期中)若a+5ba+5b+6=7,则a+5b=.【答案】1或-7【分析】本题主要考查解一元二次方程,设a+5b=x,则原方程可变形为x x+6=7,方程变形后运用因式分解法求出x的值即可得到结论.【详解】解:设a+5b=x,则原方程可变形为x x+6=7,整理得,x2+6x-7=0,x-1x+7=0,x-1=0,x+7=0,∴x=1,x=-7,即a+5b=1或-7,故答案为:1或-7.4(23-24九年级上·山东临沂·期中)利用换元法解下列方程:(1)2x4-3x2-2=0;(2)(x2-x)2-5(x2-x)+4=0.【答案】(1)x1=2,x2=-2(2)x1=1+172,x2=1-172,x3=1+52,x4=1-52【分析】(1)根据换元思想,设y=x2,则y=2或y=-12,由此即可求解;(2)设y=x2-x,则y=4或y=1,由此即可求解.【详解】(1)解:(1)设y=x2,则原方程化为2y2-3y-2=0,∴y=2或y=-12,当y=2时,x2=2,∴x1=2,x2=-2,当y=-12时,x2=-12,此时方程无解,∴原方程的解是x1=2,x2=-2.(2)解:设y=x2-x,则原方程化为y2-5y+4=0,∴y=4或y=1,当y=4时,x2-x=4,∴x1=1+172,x2=1-172,当y=1时,x2-x=1,∴x3=1+52,x4=1-52.∴原方程的解是x1=1+172,x2=1-172,x3=1+52,x4=1-52.【点睛】本题主要考查换元思想解高次方程,掌握我一元二次方程的解法是解题的关键.【题型9解含绝对值的一元二次方程】1(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)阅读下面的材料,解答问题.材料:解含绝对值的方程:x2-3|x|-10=0.解:分两种情况:①当x≥0时,原方程化为x2-3x-10=0解得x1=5,x2=-2(舍去);②当x<0时,原方程化为x2+3x-10=0,解得x3=-5,x4=2(舍去).综上所述,原方程的解是x1=5,x2=-5.请参照上述方法解方程x2-|x+1|-1=0.【答案】x1=2,x2=-1【分析】根据题意分两种情况讨论,化简绝对值,然后解一元二次方程即可求解.【详解】解:分两种情况:①当x+1≥0,即x≥-1时,原方程化为x2-x+1-1=0,解得x1=2,x2=-1;②当x+1<0,即x<-1时,原方程化为x2+x+1-1=0,解得x3=0(舍去),x4=-1(舍去).综上所述,原方程的解是x1=2,x2=-1.【点睛】本题考查了解一元二次方程,分类讨论是解题的关键.2(23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中)解方程x2+2|x+2|-4=0.【答案】x1=0,x2=-2【分析】对x+2进行分类讨论,先把绝对值号化简后方程变形为一般的一元二次方程,再利用因式分解法解出方程的解,最后结合x的取值范围最终确定答案即可.【详解】解:①当x+2≥0,即x≥-2时,方程变形得:x2+2(x+2)-4=0∴x2+2x=0∴x(x+2)=0∴x1=0,x2=-2;②当x+2<0,即x<-2时,方程变形得:x2-2(x+2)-4=0∴x2-2x-8=0∴(x+2)(x-4)=0∴x1=-2(舍去),x2=4(舍去)∴综上所述,原方程的解是x1=0或x2=-2.【点睛】本题考查了含绝对值的方程、一元二次方程的解法等知识,渗透了分类讨论的思想.3(23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习)解方程x2-22x+3+9=0.【答案】x1=1,x2=3【分析】分x≥-32与x<-32,化简绝对值得到一元二次方程,解一元二次方程即可求解.【详解】当2x+1≥0,即x≥-32时,原方程可化为:x2-2(2x+3)+9=0整理得:x2-4x+3=0解得:x1=1,x2=3当2x+1<0,即x<-32时,原方程可化为:x2+2(2x+3)+9=0整理得x2+4x+15=0∵Δ=42-4×1×15=-44<0,∴此方程无实数解,综上所述,原方程的解为:x1=1,x2=3【点睛】本题考查了解一元二次方程,分类讨论化简绝对值是解题的关键.4(23-24九年级上·山西太原·阶段练习)解方程x2-|x-5|-2=0【答案】x1=-1+292,x2=-1-292【分析】根据题意分x-5≥0和x-5<0两种情况,分别解方程即可.【详解】解:①当x-5≥0时,即x≥5时,原方程化为x2-x+5-2=0,即x2-x+3=0,a=1,b=-1,c=3,∴Δ=b2-4ac=-12-4×1×3=-11<0,∴原方程无解,②当x-5<0时,即x<5时,原方程化为x2+x-5-2=0,即x2+x-7=0,a=1,b=1,c=-7,∴Δ=b2-4ac=12-4×1×-7=29>0x=-1±292×1解得:x1=-1+292,x2=-1-292.【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程,解题的关键是根据题意分两种情况讨论.【题型10配方法的应用】1(23-24九年级上·河北沧州·期中)【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法,这种方法常被用到代数式的变形中,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值,最小值等.例:求代数式y2+4y+8的最小值.解:y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4,∵y+22≥0,∴y+22+4≥4∴当y =-2时,y 2+4y +8的最小值是4.(1)【类比探究】求代数式x 2-6x +12的最小值;(2)【举一反三】若y =-x 2-2x 当x =________时,y 有最________值(填“大”或“小”),这个值是________;(3)【灵活运用】已知x 2-4x +y 2+2y +5=0,则x +y =________;(4)【拓展应用】如图某农场计划建造一个矩形养殖场,为充分利用现有资源,该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为15m ),另外三面用栅栏围成,中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形,栅栏的总长度为24m .当BF 为多少时,矩形养殖场的总面积最大?最大值为多少?【答案】(1)3(2)-1;大;1(3)1(4)当BF =4m ,矩形养殖场的总面积最大,最大值为48m 2.【分析】本题主要考查了配方法的应用,熟练掌握配方法是解题的关键:(1)把原式利用配方法变形为x -3 2+3,再仿照题意求解即可;(2)把原式利用配方法变形为-x +1 2+1,再仿照题意求解即可;(3)把原式利用配方法变形为x -2 2+y +1 2=0,再利用非负数的性质求解即可;(4)设BF =xm ,则CF =2BF =2xm ,则BC =3xm ,进而求出AB =24-3x 3m ,则S 矩形ABCD =3x ⋅24-3x 3=-3x -4 2+48,据此可得答案.【详解】(1)解:x 2-6x +12=x 2-6x +9 +3=x -3 2+3,∵x -3 2≥0,∴x -3 2+3≥3,∴当x =3时,x 2-6x +12的最小值为3;(2)解:y =-x 2-2x=-x 2-2x -1+1=-x+12+1,∵x+12≥0,∴-x+12≤0,∴-x+12+1≤1,∴当x=-1时,y=-x2-2x有最大值,最大值为1,故答案为:-1;大;1;(3)解:∵x2-4x+y2+2y+5=0,∴x2-4x+4+y2+2y+1=0,∴x-22+y+12=0,∵x-22≥0,y+12≥0,∴x-22=y+12=0,∴x-2=0,y+1=0,∴x=2,y=-1,∴x+y=2-1=1;(4)解:设BF=xm,则CF=2BF=2xm,∴BC=3xm,∴AB=24-3x3m,∴S矩形ABCD =3x⋅24-3x3=-3x2+24x=-3x-42+48,∵x-42≥0,∴-3x-42≤0,∴-3x-42+48≤48,∵AD=BC=3x≤15,∴0<x≤5,∴当x=4时,S矩形ABCD最大,最大值为48,∴当BF=4m,矩形养殖场的总面积最大,最大值为48m2.2(2023·河北石家庄·一模)已知A=x2+6x+n2,B=2x2+4x+n2,下列结论正确的是()A.B-A的最大值是0B.B-A的最小值是-1C.当B=2A时,x为正数D.当B=2A时,x为负数【答案】B【分析】利用配方法表示出B-A,以及B=2A时,用含n的式子表示出x,确定x的符号,进行判断即可.【详解】解:∵A=x2+6x+n2,B=2x2+4x+n2,∴B-A=2x2+4x+n2-x2+6x+n2=2x2+4x+n2-x2-6x-n2=x2-2x=x-12-1;∴当x=1时,B-A有最小值-1;当B=2A时,即:2x2+4x+n2=2x2+6x+n2,∴2x2+4x+n2=2x2+12x+2n2,∴-8x=n2≥0,∴x≤0,即x是非正数;故选项A,C,D错误,选项B正确;故选B.【点睛】本题考查整式加减运算,配方法的应用.熟练掌握合并同类项,以及配方法,是解题的关键.3(23-24九年级上·四川攀枝花·期中)已知三角形的三条边为a,b,c,且满足a2-10a+b2-16b+89= 0,则这个三角形的最大边c的取值范围是()A.c>8B.5<c<8C.8<c<13D.5<c<13【答案】C【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方,再根据偶次方的非负性可得出a和b的值,然后根据三角形的三边关系可得答案.【详解】解:∵a2-10a+b2-16b+89=0,∴(a2-10a+25)+(b2-16b+64)=0,∴(a-5)2+(b-8)2=0,∵(a-5)2≥0,(b-8)2≥0,∴a-5=0,b-8=0,∴a=5,b=8.∵三角形的三条边为a,b,c,∴b-a<c<b+a,∴3<c<13.又∵这个三角形的最大边为c,∴8<c<13.故选:C.【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用,熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键.4(23-24九年级下·浙江宁波·期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用.例如:已知x可取任何实数,试求二次三项式x2+2x+3的最小值.解:x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2;∵无论x取何实数,都有(x+1)2≥0,∴(x+1)2+2≥2,即x2+2x+3的最小值为2.【尝试应用】(1)请直接写出2x2+4x+10的最小值______;【拓展应用】(2)试说明:无论x取何实数,二次根式x2+x+2都有意义;【创新应用】(3)如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,若AC+BD=10,求四边形ABCD的面积最大值.【答案】(1)8;(2)见解析;(3)25 2【分析】(1)利用配方法把2x2+4x+10变形为2(x+1)2+8,然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值;(2)利用配方法得到x2+x+2=x+122+74,则可判断x2+x+2>0,然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x取何实数,二次根式x2+x+2都有意义;(3)利用三角形面积公式得到四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅BD,由于BD=10-AC,则四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅10-AC,利用配方法得到四边形ABCD的面积=-12(AC-5)2+252,然后根据非负数的性质解决问题.【详解】解:(1)2x2+4x+10=2x2+2x+10=2x2+2x+1-1+10=2(x+1)2+8,∵无论x取何实数,都有2(x+1)2≥0,∴(x+1)2+8≥8,即x2+2x+3的最小值为8;故答案为:8;(2)x2+x+2=x+122+74,∵x+122≥0,∴x2+x+2>0,∴无论x取何实数,二次根式x2+x+2都有意义;(3)∵AC⊥BD,。
专题21.1一元二次方程【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册[含答案]
专题21.1 一元二次方程【十大题型】【人教版】【题型1 辨别一元二次方程】【题型2 由一元二次方程的定义求字母的值】 【题型3 由一元二次方程的定义字母的取值范围】 【题型4 由一元二次方程的一般形式识别系数】 【题型5 由一元二次方程的一般形式求字母的值】 【题型6 由一元二次方程的解求字母或代数式的值】 【题型7 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】 【题型8 根据实际问题列一元二次方程】 【题型9 由一元二次方程的解求另一方程的解】 【题型10 一元二次方程与一元一次方程的综合】知识点1:一元二次方程的定义等号两边都就是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数得最高次数就是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.【题型1 辨别一元二次方程】【例1】(23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习)1.下列方程中,属于一元二次方程的是( )A .21x y +=B .20ax bx c ++=C .130x x+=D .220x -=【变式1-1】(23-24九年级上·上海长宁·期末)2.下列关于x 的方程中,一定是一元二次方程的是( )A .2110x-=B 25x =C .260ax x +-=D .(1)51x x x +=-【变式1-2】(23-24九年级上·四川成都·期末)3.下列方程中,关于x 的一元二次方程的是( )A .()()230x x --=B .34x x+=C .20ax bx c ++=D .23321x x -+=【变式1-3】(23-24九年级上·新疆伊犁·期末)4.下列方程,是一元二次方程的是( )①2320x x +=,②22340x xy -+=,③214x x-=,④20x =.A .①②B .①②④C .①③④D .①④【题型2 由一元二次方程的定义求字母的值】【例2】(23-24九年级下·江苏扬州·期末)5.已知关于x 的方程()()132340k k x k x --+-+=是一元二次方程,则k 的值应为( )A .3±B .3C .3-D .不能确定【变式2-1】(23-24九年级下·河北保定·期末)6.关于x 的方程27320a x x ---=是一元二次方程,则a = .【变式2-2】(23-24九年级下·安徽合肥·期末)7.若关于x 的方程()211540m m x x +++-=是一元二次方程,则m 的值是( )A .1B .1-C .0D .1±【变式2-3】(23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末)82||370m x -+-=是一元二次方程,则m =.【题型3 由一元二次方程的定义字母的取值范围】【例3】(23-24九年级上·福建泉州·期末)9.关于x 的方程210ax x --=是一元二次方程,则a 的取值范围是( )A .0a >B .0a ¹C .0a <D .a 为任意实数【变式3-1】(23-24九年级上·北京大兴·期末)10.若2(3)340a x x ---=是关于x 的一元二次方程,则a 的取值范围是 .【变式3-2】(23-24九年级上·四川遂宁·期中)11.若方程(a-2)x 2+x=3是关于x 的一元二次方程,则a 的范围是( )A .a≠2B .a≥0C .a≥0且a≠ 2D .a 为任意实数【变式3-3】(23-24九年级下·重庆·期末)12.如果关于x 的不等式组4437m x x x ->ìí<+î有且仅有三个整数解,且关于y 的方程()2210m y my -++=是一元二次方程,则符合条件的所有整数m 之和为.知识点2:一元二次方程的一般形式一般形式:ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中,ax 2就是二次项,a 就是二次项系数;bx 就是一次项,b 就是一次项系数;c 就是常数项.【题型4 由一元二次方程的一般形式识别系数】【例4】(23-24九年级下·山东烟台·期中)13.一元二次方程23410x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A .3,4-,1-B .3,4,1C .3,4,1-D .3,1-,4-【变式4-1】(23-24九年级下·广西梧州·期中)14.下列方程是一元二次方程的一般形式的是( )A .()214x -=B .()23227x -=C .2530x x -=D 228x +=【变式4-2】(23-24九年级上·甘肃天水·期中)15.将一元二次方程22(3)(4)10x x x +-=-化成它的一般形式为 .【变式4-3】(23-24九年级下·山东烟台·期中)16.若将关于x 的一元二次方程()2322x x ax x +-=-化成一般形式后,其二次项系数为1,常数项为2-,则该方程中的一次项系数为( )A .5B .3C .5-D .3-【题型5 由一元二次方程的一般形式求字母的值】【例5】(23-24九年级·上海·假期作业)17.已知关于x 方程235x mx m x -+-=的各项系数与常数项之和为2,求m 的值.【变式5-1】(23-24九年级上·山东青岛·期中)18.关于x 的一元二次方程()()223530m x m x ++--=的一次项系数为4,则m 的值为( )A .3B .0C .3或-3D .0或3【变式5-2】(23-24九年级上·江苏徐州·期中)19.关于x 的一元二次方程235x mx x +=+化为一般形式后不含一次项,则m 的值为( )A .0B .±3C .3D .-3【变式5-3】(23-24九年级上·全国·专题练习)20.若关于x 的一元二次方程(21)()2ax x a a +-=-的二次项系数是4-,则a 的值为.知识点3:一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根.方程的解得定义就是解方程过程中验根得依据.【题型6 由一元二次方程的解求字母或代数式的值】【例6】(23-24九年级下·江苏·专题练习)21.已知a 是方程2210x x +-=的一个根,则代数式()()212a a a +++的值= .【变式6-1】(23-24九年级上·黑龙江·期中)22.已知一元二次方程240x x m -+=有一个根为2,则m 值为 .【变式6-2】(23-24九年级上·江苏南京·期末)23.若m 是关于x 的方程250ax bx ++=的一个根,则27am bm +-的值为( )A .-2B .1C .12D .-12【变式6-3】(23-24九年级上·广东广州·期中)24.已知a 是方程2202210x x -+=的一个根,则22202220211a a a -++的值为 .【题型7 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】【例7】(23-24九年级上·山西长治·期中)25.将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-,就可以将2x 表示为关于x的一次多项式,也可以将3x 表示为()2x x x px q ×=-=…,从而达到“降次”的目的,我们将这种方法称为“降次法”,通过这种方法可以化简次数较高的代数式.若210x x +-=,则3222023x x ++的值为( )A .2025B .2024C .2023D .2022【变式7-1】(23-24九年级上·黑龙江大兴安岭地·期中)26.已知m 是方程x 2+x -1=0的根,则式子m 3+2m 2+2020的值为( )A .2018B .2019C .2020D .2021【变式7-2】(23-24·重庆·一模)27.已知m 为方程230x x +-=的一个根,则代数式32226m m m +-+的值为 .【变式7-3】(23-24九年级上·上海徐汇·阶段练习)28.已知a 是关于x 的一元二次方程2110x x --=的一个根,则232112311a a a --+的值等于 .【题型8 根据实际问题列一元二次方程】【例8】(23-24九年级下·重庆·期中)29.由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求,创下良好口碑,自上映以来票房连创佳绩.据不完全统计,第一周票房约5亿元,以后两周以相同的增长率增长,三周后票房收入累计达约20亿元,设增长率为x ,则方程可以列为( )A .255520x ++=B .()25120x +=C .()35120x +=D .()()25515120x x ++++=【变式8-1】(23-24·山西晋中·二模)30.某旅游景点的商场销售一款山西文创产品,平均每天可售出100件,每件获利30元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.调查发现,如果这款文创产品的售价每降低1元,那么平均每天可多售出10件.商场要想平均每天获利3640元,这款文创产品每件应降价多少元?设这款文创产品每件降价x 元,根据题意可列方程为( )A .()()30100103640x x +-=B .()()30100103640x x ++=C .()()30100103640x x -+=D .()()30100103640x x --=【变式8-2】(23-24·广西南宁·二模)31.2024年汤姆斯杯羽毛球赛于4月27日至5月5日在成都举行,根据赛制规定,所有参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛,小组赛阶段每队都要与小组内其他队进行一场比赛,已知中国队所在的小组有n 支队伍,共安排了6场小组赛.根据题意,下列方程正确的是( )A .1(1)62n n +=B .1(1)62n n -=C .(1)6n n +=D .(1)6n n -=【变式8-3】(23-24九年级下·全国·专题练习)32.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4,设个位数字为x ,则方程为( )A .()()2241044x x x x +-=-+-B .()2241044x x x x ++=+--C .()()2241044x x x x ++=++-D .()()2241044x x x x ++=+--【题型9 由一元二次方程的解求另一方程的解】【例9】(23-24九年级下·山东淄博·期中)33.若关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=¹有一根为2022,则方程()()2115a x b x +++=-必有根为( )A .2022B .2020C .2019D .2021【变式9-1】(23-24九年级下·江苏南通·阶段练习)34.若关于x 的一元二次方程()2200ax bx a ++=¹有一根为2021x =,则一元二次方程()212a x bx b -+-=-必有一根为( )A .2019B .2020C .2021D .2022【变式9-2】(23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习)35.关于x 的方程a (x+m )2+b=0的根是x 1=5,x 2=-6,(a ,b ,m 均为常数,a≠0),则关于x 的方程a (x+m+2)2+b=0的根是 【变式9-3】(23-24九年级上·四川凉山·阶段练习)36.已知关于x 的一元二次方程2()0m x h k --=(,,m h k 均为常数,且0m ¹)的解是12x =,25x =,则关于x 的一元二次方程2(3)m x h k -+=的解是.【题型10 一元二次方程与一元一次方程的综合】【例10】(23-24九年级下·全国·假期作业)37.已知关于x 的方程()()2242310m x m x m -+-+-=.(1)当m 为何值时,此方程为一元一次方程?(2)当m 为何值时,此方程为一元二次方程?【变式10-1】(23-24九年级上·江苏南京·期末)38.关于x 的方程ax 2+bx+c=0,有下列说法:①若a≠0,则方程必是一元二次方程;②若a=0,则方程必是一元一次方程,那么上述说法( )A .①②均正确 B .①②均错 C .①正确,②错误 D .①错误,②正确【变式10-2】(23-24九年级上·全国·课后作业)39.某中学数学兴趣小组对关于x 的方程()()11210m m xm x +++--=提出了下列问题:(1)是否存在m 的值,使方程为一元一次方程?若存在,求出m 的值,并解此方程;(2)是否存在m 的值,使方程为一元二次方程?若存在,求出m 的值.【变式10-3】(23-24九年级下·江苏南京·期末)40.已知关于x 的方程(1﹣2k )x 2﹣x ﹣1=0(1)若此方程为一元一次方程,求k 的值.(2)若此方程为一元二次方程,且有实数根,试求k 的取值范围.1.D【分析】本题考查一元二次方程的识别,只含有一个未知数,且含未知数的项的最高次数为2的整式方程,是一元二次方程,进行判断即可.【详解】解:A 、是二元一次方程,不符合题意;B 、当0a =时,20ax bx c ++=不是一元二次方程,不符合题意;C 、是分式方程,不符合题意;D 、是一元二次方程,符合题意;故选D .2.D【分析】本题考查的是一元二次方程的定义,熟知只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键.根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可.【详解】解:A .2110x -=中含有分式,不是一元二次方程,故本选项不符合题意;B 25x =,不是整式方程,故本选项不符合题意;C .当0a =时,260ax x +-=不是一元二次方程,故本选项不符合题意;D .(1)51x x x +=-是一元二次方程,故本选项符合题意.故选:D .3.A【分析】本题考查的是一元二次方程的定义,熟知只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键.根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可.【详解】解:A. ()()230x x --=,整理可得2560x x -+=,是一元二次方程,故此选项符合题意; B. 34x x+=,分母中含有未知数,不是整式方程,故此选项不符合题意; C. 20ax bx c ++=,仅当0a ¹时,原方程为一元二次方程,故此选项不符合题意;D. 23321x x -+=,最高次项的次数为3,故此选项不符合题意;故选:A .4.D【分析】本题考查的是一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.据此对各选项进行逐一分析即可.【详解】解:①2320x x +=是一元二次方程;②22340x xy -+=含有两个未知数,不是一元二次方程;③214x x-=不是整式方程,不是一元二次方程;④20x =是一元二次方程.故选:D .5.C【分析】根据一元二次方程的定义:未知数的最高次数是2;二次项系数不为0;是整式方程;含有一个未知数.【详解】解:由关于x 的方程||1(3)(23)40k k x k x --+-+=是一元二次方程,得||12k -=且30k -¹.解得3k =-.故选:C .【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.6.3±【分析】根据一元二次方程的定义解题即可.【详解】解:由题意得272a -=,解得:3a =±,故答案为:3±.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是()200ax bx c a ++=¹.特别要注意0a ¹的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.7.A【分析】本题考查一元二次方程的定义,掌握一元二次方程的定义是解题的关键.理解一元二次方程的定义,需要抓住两个条件:①二次项系数不为0;②未知数的最高次数为2;结合一元二次方程的定义,可以得到关于m 的方程和不等式,求解即可得到m 的值.【详解】解:Q 关于x 的方程()211540m m x x +++-=是一元二次方程,\21012m m +¹ìí+=î,解得1m =.故选:A .8.4【分析】根据只含有一个未知数,且未知数的最高指数为2的整式方程为一元二次方程,则22m -=,然后选出合适的值即可.2||370m x -+-=是一元二次方程,|2|2m \-=0¹,4m \=或0,0m ¹,4m \=,故答案为:4.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,结合一元二次方程的概念求出参数值是解题关键.9.B【分析】本题考查了一元二次方程的定义,熟记一元二次方程的定义是解题的关键.只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程,根据一元二次方程的定义得出0a ¹即可.【详解】解:∵方程210ax x --=是关于x 的一元二次方程,∴0a ¹.故选:B .10.3a ¹【分析】此题考查了一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程,根据一元二次方程的定义解答即可.【详解】Q 方程2(3)340a x x ---=是关于x 的一元二次方程,30a \-¹,解得3a ¹.故答案为:3a ¹.11.C【详解】试题分析:由于方程是一元二次方程,所以二次项系数必定不等于零,即20a -¹,所以2a ¹,又因为被开方式大于或者等于零,即0a ³,所以选C .考点:一元二次方程的二次项不等于零,被开方式大于或者等于零点评:这类题目在考试中一般出现于选择题,一元二次方程的各项系数确定,都要遵循一元二次方程的一般式,既然为一元二次方程,那么二次项系数必定存在,即二次项系数应该不为零,而被开方式大于或者等于零,由此可以确定a 的取值范围.12.8【分析】先表示出不等式组的解集,由不等式组有且仅有三个整数解确定出m 的取值,再由关于y 的方程()2210m y my -++=是一元二次方程,求出满足题意整数m 的值,进而求出和.【详解】4437m x x x ->ìí<+î①②,由①得14m x <-,由②得72x >-,∵不等式组有且仅有三个整数解,∴7124m x -<<-,即x 可取3,2,1---,∴1104m -<-£,∴04m <£,∵关于y 的方程()2210m y my -++=是一元二次方程,∴20m -¹,解得2m ¹,∴04m <£且2m ¹,1,3,4m \=,1348\++=,故答案为:8.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及一元二次方程的定义,熟练掌握解一元一次不等式组的方法以及一元二次方程的定义是解题的关键.13.A【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式是:20ax bx c ++=(a ,b ,c 是常数且0a ¹),特别要注意0a ¹的条件.在一般形式中, a ,b ,c 分别叫二次项系数,一次项系数,常数项,根据概念作答即可.【详解】解:一元二次方程23410x x --=的二次项系数是3,一次项系数4-,常数项1-.故选A .14.C【分析】本题主要考查的是一元二次方程的一般形式等知识点,一般地,任何一个关于x 的一元二次方程经过整理,都能化成如下形式()200ax bx c a ++=¹,这种形式叫一元二次方程的一般形式,据此判定即可得解,熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键.【详解】A .()214x -=不是一元二次方程的一般形式,故A 错误,不符合题意;B .()23227x -=不是一元二次方程的一般形式,故B 错误,不符合题意;C .2530x x -=是一元二次方程的一般形式,故C 正确,符合题意;D 228x +=不是一元二次方程的一般形式,故D 错误,不符合题意;故选:C .15.22140x x --=【分析】一元二次方程的一般形式是:20ax bx c ++=(a b c ,,是常数且0a ¹),据此,对原方程通过去括号、移项即可将原方程转化为一般式方程.【详解】原方程去括号得,222862410x x x x -+-=-,移项,合并得:22140x x --=,故答案为:22140x x --=.【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式,理解一元二次方程的一般形式是解题的关键.16.A【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式,一元二次方程的一般式为()200ax bx c a ++=¹,把原方程先去括号,然后移项,合并同类项,化为一般式,进而求出a 的值,即可求出答案.【详解】解:()2322x x ax x +-=-,22322x x ax ax +-=-,()()231220a x a x -++-=,Q 将关于x 的一元二次方程()2322x x ax x +-=-化成一般形式后,其二次项系数为1,31a \-=,解得:2a =,121225a \+=+´=,则该方程中的一次项系数为5,故选A .17.2m =-【分析】首先把关于x 方程235x mx m x -+-=化为一般形式,根据各项系数与常数项之和等于2,求出m 的值即可.【详解】解:整理方程得()2530x m x m -+--=,化为一般形式即为()2530x m x m +-+=,方程的各项分别为2x ,()5m x -,3m ,其中未知项系数分别为1,()5m -,依题意即有()1532m m +-+=,解得:2m =-.【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式是:20ax bx c ++=(a ,b ,c 是常数且0a ¹)特别要注意0a ¹的条件.18.A【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式,及一元二次方程的定义,根据一元二次方程的一般形式可知,一元二次方程的二次项系数不能为0以及题干中方程的二次项系数是()3m +确定30m +¹,另外一次项系数等于4,确定29m =,据此解答.【详解】解:∵一元二次方程()()223530m x m x ++--=的一次项系数等于4,∴254m -=∴3m =或3m =-.又∵二次项系数不为0,∴30m +¹,解得3m ¹-,∴3m =.故选:A .19.C【分析】此题考查了一元二次方程的定义,解题关键是理解一元二次方程的一般形式,将一元二次方程化为一般式,根据不含一次项可得一次项系数为0,求解即可.【详解】解:方程235x mx x +=+化为一般形式为:()2350x m x +--=由题意可得:30m -=解得3m =故选:C20.2-【分析】本题考查多形式乘以多项式,一元二次方程的一般形式,根据多项式乘以多项式化简得出一元二次方程为:2222220ax a x x a -+-+=,得出24a =-,求解即可得出答案.【详解】解:∵22(21)()222ax x a ax a x x a a +-=-+-=-,∴一元二次方程为:2222220ax a x x a -+-+=,根据题意可得:24a =-,解得:2a =-,故答案为:2-.21.3【分析】本题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值、完全平方公式、一元二次方程的解等知识点,准确熟练地进行计算是解题的关键.根据一元二次方程的解的意义可得2210a a +-=,从而可得221a a +=,然后再对多项式进行去括号,合并同类项,最后把221a a +=代入化简后的式子进行计算即可.【详解】解:∵a 是方程2210x x +-=的一个根,∴2210a a +-=,∴()()222212212241a a a a a a a a a +++=++++=++,当221a a +=时,原式()22212113a a =++=´+=.故答案为:3.22.4【分析】把2x =代入原方程,解方程即可.【详解】解:一元二次方程240x x m -+=有一个根为2,所以,22420m -´+=,解得,4m =,故答案为:4.【点睛】本题考查了一元二次方程的解,解题关键是明确方程解的意义,代入未知数的值求解.23.D【分析】把x m = 代入已知方程,可得:250am bm ++=,则25am bm +=-,将其整体代入所求的代数式进行解答即可.【详解】解:由题意得:250am bm ++=,∴25am bm +=-,∴2712am bm +-=-,故选:D .【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义,把根代入方程得到的代数式巧妙变形来解题是一种不错的解题方法.24.2021【分析】本题考查了分式的化简求值,一元二次方程的解,准确熟练地进行计算是解题的关键.根据题意可得:把x a =代入方程2202210x x -+=中得:2202210a a -+=,从而可得212022a a +=,220221a a =-, 120220a a -+=,进而可得12022a a+=,然后代入式子中进行计算,即可解答.【详解】解:由题意得:把x a =代入方程2202210x x -+=中得:2202210a a -+=,221120222022120220,,a a a a a a\+==--+=,12022a a \+=,222022202212021202212021120221202112022a a a a a a a a\-+=--+=-+=-=+ 故答案为:2021.25.B【分析】此题考查一元二次方程,整体代入法:根据方程变形得到21x x =-,21x x +=,仿照已知整体代入化简即可得到答案,正确理解整体代入法达到降次解方程的目的是解题的关键.【详解】∵210x x +-=,∴21x x =-,21x x +=,∴3222023x x ++()2122023x x x =-++2222023x x x =-++22023x x =++12023=+2024=故选:B .26.D【分析】先利用m 是方程x 2+x -1=0的根得到m 2=-m +1,则可表示出m 3=2m -1,然后利用整体代入的方法计算即可.【详解】解:∴m 是方程x 2+x -1=0的根,∴m 2+m -1=0,∴m 2=-m +1,∴m 3=m (-m +1)=-m 2+m =m -1+m =2m -1∴m 3+2m 2+2020=2m -1+2(-m +1)+2020=2m -1-2m +2+2020=2021.故选:D .【点睛】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.27.9【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值,解题关键是运用整体代入思想进行解题.先将m 代入方程得23m m +=,再将23m m +=代入()()2232m m m +--变形后的式子进行化简求值即可.【详解】解:根据题意得:23m m +=,Q 32226m m m +-+32226m m m m ++-=+()2226m m m m m ++-=+2326m m m +-=+26m m =++36=+9=.故答案为:9.28.121【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义,根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到2110a a --=,进而得到221111a a a a -=-=,,再把所求式子转化为()()22211a a a a a ---,据此整体代入求解即可.【详解】解:∵a 是关于x 的一元二次方程2110x x --=的一个根,∴2110a a --=,∴221111a a a a -=-=,,∴232112311a a a --+()()3221212aa a a --=-()()22211aa a a a --=-22aa a=-121=,故答案为:121.29.D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.根据第一天的票房及增长率,即可得出第二天票房约()51x +亿元、第三天票房约()251x +亿元,根据三天后票房收入累计达约20亿元,即可得出关于的一元二次方程,此题得解.【详解】解:Q 第一天票房约5亿元,增长率为x ,\第二天票房约()51x +亿元,第三天票房约()251x +亿元.依题意得:()()25515120x x ++++=.故选:D .30.C【分析】此题考查了一元二次方程的应用,设这款文创产品每件降价x 元,根据题意列出方程即可,根据题意列出方程是解题的关键.【详解】解:设这款文创产品每件降价x 元,根据题意可列方程为:()()30100103640x x -+=,故选:C .31.B【分析】本题考查了一元二次方程的应用,正确理解题意、找准相等关系是解题的关键.每一支队伍都要和另外的()1n -支队伍进行比赛,于是比赛总场数=每支队的比赛场数´参赛队伍¸重复的场数,即可解答.【详解】解:共有n 支队伍参加比赛,根据题意,可列方程为1(1)62n n -=;故选:B .32.C【分析】本题考查了数的表示方法,要会利用未知数表示两位数,然后根据题意列出对应的方程求解.根据个位数与十位数的关系,可知十位数为4x +,那么这两位数为:()104x x ++,这两个数的平方和为:()224x x ++,再根据两数的值相差4即可得出答案.【详解】解:依题意得:十位数字为:4x +,这个数为:()104x x ++这两个数的平方和为:()224x x ++,Q 两数相差4,()()2241044x x x x \++=++-.故选:C .33.D【分析】设1t x =+,即()()2115a x b x +++=-可改写为250at bt ++=,由题意关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=¹有一根为2022x =,即250at bt ++=有一个根为2022t =,所以12022x +=,x =2021.【详解】由()()2115a x b x +++=-得到()()21150a x b x ++++=,对于一元二次方程()()2115a x b x +++=-,设1t x =+,所以250at bt ++=,而关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=¹有一根为2022x =,所以250at bt ++=有一个根为2022t =,则12022x +=,解得2021x =,所以一元二次方程()()2115a x b x +++=-有一根为2021x =.故选:D .【点睛】本题考查一元二次方程的解.掌握换元法解题是解答本题的关键.34.D【分析】对于一元二次方程()()21120a x b x -+-+=,设1t x =-得到220at bt ++=,利用220at bt ++=有一个根为2021t =得到12021x -=,从而可判断一元二次方程()()2112a x b x -+-=-必有一根为2022x =.【详解】解:∵()212a x bx b -+-=-,∴()()21120a x b x -+-+=,设1t x =-,∴220at bt ++=,而关于x 的一元二次方程()2200ax bx a ++=¹有一根为2021x =,∴220at bt ++=有一个根为2021t =,则12021x -=,解得2022x =,∴一元二次方程()212a x bx b -+-=-必有一根为2022x =.故选:D .【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.35.x 1=3,x 2=-8【分析】将方程a (x+m+2)2+b=0变形为a (x+2+m )2+b=0,对照已知方程及其根得出x+2=5或x+2=-6,解之可得答案.【详解】解:∵关于x 的方程a (x+m )2+b=0的根是x 1=5,x 2=-6,∴关于x 的方程a (x+m+2)2+b=0,即a[(x+ 2)+ m]2+b=0,∴a[(x+ 2)+ m]2+b=0满足x+2=5或x+2=-6,解得x 1=3,x 2=-8,故答案为:x 1=3,x 2=-8【点睛】此题主要考查了方程解的定义以及直接开方法求解,注意由两个方程的特点,运用整体思想进行简便计算.36.121,2x x =-=【分析】本题考查同解方程,涉及换元法,令3x y +=,由题意得到2()k y h m-=的解为122,5y y ==,解方程即可得到答案,读懂题意,由同解方程求解是解决问题的关键.【详解】解:Q 关于x 的一元二次方程2()0m x h k --=(,,m h k 均为常数,且0m ¹)的解是122,5x x ==,即2()k x h m-=的解为122,5x x ==;令3x y +=,\关于x 的一元二次方程2(3)m x h k -+=化为2()m y h k -=,Q 2()k x h m -=的解为122,5x x ==,\2()k y h m-=的解为122,5y y ==,即32x +=或35x +=,121,2x x \=-=,\关于x 的一元二次方程()23m x h k -+=的解是121,2x x =-=,故答案为:121,2x x =-=.37.(1)2m =-(2)2m ¹±【详解】解:(1)由题意,得240,20,m m ì-=í-¹î解得2m =-.(2)由题意,得240m -¹,∴2m ¹±.38.C【分析】根据一元二次方程及一元一次方程的定义解答即可.【详解】关于x 的方程ax 2+bx+c=0,①若a≠0,则方程必是一元二次方程,正确;②若a=0,b≠0,则方程是一元一次方程,错误;故选C【点睛】本题考查了一元二次方程与一元一次方程的定义,熟记定义是解题的关键.39.(1)存在,0m =时=1x -;1m =-时13x =-(2)存在,1m =【分析】(1)根据一元一次方程的定义,分情况求解即可;(2)根据一元二次方程的定义,列出式子,求解即可.【详解】(1)解:存在,由题可知11m +=或10m +=或10m +=时方程能为一元一次方程,当11m +=时,解得0m =,此时程为10x --=,解得=1x -;当10m +=时,解得1m =-,此时方程为310x --=,解得13x =-.当10m+=时,方程无解;(2)存在.根据一元二次方程的定义可得1210mmì+=í+¹î,解得1m=.【点睛】此题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义,解题的关键是熟练掌握一元二次方程和一元一次方程的定义,只含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程为一元一次方程,只含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程.40.(1) k=12;(2)﹣1≤k<12或12<k≤2.【详解】试题分析:(1)因为方程为一元一次方程,所以二次项系数等于0且一次项系数不等于0,令二次项系数1-2k=0求出k的值即可;(2)令△≥0,二次项系数不等于0,被开方式大于等于0进行解答即可.试题解析:(1)由(1﹣2k)x2﹣x﹣1=0是一元一次方程,得1﹣2k=0,解得k=12;(2)由(1﹣2k)x2﹣x﹣1=0为一元二次方程,且有实数根,得△=)2﹣4(1﹣2k)×(﹣1)≥0,且1﹣2k≠0,k+1≥0,4k+4+4(1﹣2k)≥0,﹣4k≥﹣8,k≤2,即﹣1≤k<12或12<k≤2,此方程为一元二次方程,且有实数根,k的取值范围﹣1≤k<12或12<k≤2.点睛:本题考查了一元二次方程,二次项的系数为零且一次项的系数不为零是一元一次方程,二次项系数不等于零是一元二次方程,根的判别式大于或等于零时方程有实数根.。
初三一元二次方程题目
初三一元二次方程题目1. 一元二次方程的基本概念- 题目:判断方程x^2-2x + 1=(x + 1)(x - 3)是否为一元二次方程。
- 解析:- 首先将方程右边展开:(x + 1)(x - 3)=x^2-3x+x - 3=x^2-2x-3。
- 原方程x^2-2x + 1=(x + 1)(x - 3)可化为x^2-2x + 1=x^2-2x-3。
- 移项合并同类项后得到1=-3,这是一个矛盾等式,且化简后方程中二次项消去了。
- 所以该方程不是一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式及各项系数- 题目:指出方程3x^2-5 = 2x的二次项系数、一次项系数和常数项。
- 解析:- 先将方程化为一般形式ax^2+bx + c = 0(a≠0)的形式。
- 方程3x^2-5 = 2x化为3x^2-2x-5 = 0。
- 所以二次项系数a = 3,一次项系数b=-2,常数项c = - 5。
3. 一元二次方程的解法之直接开平方法- 题目:解方程(x - 3)^2=16。
- 解析:- 对于方程(x - 3)^2=16,根据直接开平方法。
- 可得x - 3=±4。
- 当x - 3 = 4时,解得x=7;当x - 3=-4时,解得x=-1。
- 所以方程的解为x_1=7,x_2=-1。
4. 一元二次方程的解法之配方法- 题目:用配方法解方程x^2+6x - 7 = 0。
- 解析:- 首先在方程两边加上一次项系数一半的平方。
- 对于方程x^2+6x - 7 = 0,一次项系数为6,一半为3,其平方为9。
- 方程变形为x^2+6x+9 - 9 - 7 = 0,即(x + 3)^2-16 = 0。
- 移项得(x + 3)^2=16。
- 然后用直接开平方法,x+3=±4。
- 解得x_1=1,x_2=-7。
5. 一元二次方程的解法之公式法- 题目:用公式法解方程2x^2-5x + 3 = 0。
- 解析:- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0),其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
一元二次方程50道题
一元二次方程50道题一、基础形式类(1 - 10题)1. 解方程x^2+3x + 2 = 0。
这个方程就像是一个小迷宫,我们得找到让这个等式成立的x的值哦。
2. 求解方程x^2-5x + 6 = 0。
这就好比是给x找一个合适的家,让这个等式舒舒服服的。
3. 解一元二次方程x^2+x - 6 = 0。
这个方程像是一个小谜题,x是那个神秘的答案呢。
4. 求方程x^2-3x - 4 = 0的解。
感觉就像在数字的森林里找宝藏,宝藏就是x的值。
5. 解方程x^2+2x - 3 = 0。
这个方程是一个等待我们破解的小密码,密码就是x 的正确数值。
6. 求解x^2-4x + 3 = 0。
这就像是一场数字的捉迷藏,x躲在某个地方,我们要把它找出来。
7. 解一元二次方程x^2+4x + 3 = 0。
这个方程像是一个数字的小盒子,我们要打开它找到x。
8. 求方程x^2-2x - 8 = 0的解。
就像是在数字的海洋里捞针,针就是x的值。
9. 解方程x^2+5x - 14 = 0。
这个方程是一个数字的小挑战,看我们能不能征服它找到x。
10. 求解x^2-6x + 8 = 0。
这就像给x安排一个合适的位置,让这个等式完美成立。
二、含系数类(11 - 20题)11. 解2x^2+3x - 2 = 0。
这个方程里2就像是x的一个小跟班,我们要一起找到合适的x。
12. 求解3x^2-5x + 2 = 0。
3在这儿可有点小威风,不过我们可不怕,照样能找到x。
13. 解一元二次方程 - x^2+2x + 3 = 0。
这个负号就像个小捣蛋鬼,但我们能搞定它找到x。
14. 求方程4x^2-4x + 1 = 0的解。
4这个家伙让方程看起来有点复杂,不过没关系。
15. 解方程 - 2x^2-3x + 1 = 0。
这个负2就像个小乌云,我们要拨开乌云见x。
16. 求解5x^2+2x - 3 = 0。
5在这里就像个大力士,不过我们要指挥它来找到x。
一元二次方程解法例题
一元二次方程解法例题一、配方法例题1. 例题:解方程x^2+6x + 4 = 0。
- 首先呢,我们要把这个方程变成完全平方式的样子。
对于x^2+6x这部分,我们知道完全平方公式(a + b)^2=a^2+2ab + b^2,这里a=x,2ab = 6x,那b就是3。
- 我们就在方程两边加上3^2,同时为了保持等式成立,也要在右边减去3^2。
方程就变成了x^2+6x+3^2+4 - 3^2=0。
- 也就是(x + 3)^2+4 - 9 = 0,进一步得到(x + 3)^2=5。
- 然后呢,开平方可得x+3=±√(5)。
- 最后解得x=-3±√(5)。
2. 再看一个例子,解方程2x^2-5x+1 = 0。
- 先把二次项系数化为1,方程两边同时除以2,得到x^2-(5)/(2)x+(1)/(2)=0。
- 对于x^2-(5)/(2)x这部分,按照完全平方公式,2ab =-(5)/(2)x,a = x,所以b=-(5)/(4)。
- 方程两边加上(-(5)/(4))^2,同时右边也要减去(-(5)/(4))^2,就变成x^2-(5)/(2)x+(-(5)/(4))^2+(1)/(2)-(-(5)/(4))^2=0。
- 也就是(x-(5)/(4))^2+(1)/(2)-(25)/(16)=0,化简得到(x-(5)/(4))^2=(25)/(16)-(8)/(16)=(17)/(16)。
- 开平方得x-(5)/(4)=±(√(17))/(4)。
- 解得x=(5±√(17))/(4)。
二、公式法例题1. 例题:解方程x^2-3x - 4 = 0。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(这里a = 1,b=-3,c = - 4),有个求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
- 先算判别式Δ=b^2-4ac,把a = 1,b=-3,c = - 4代入,得到Δ=(-3)^2-4×1×(-4)=9 + 16=25。
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一元二次方程新题型展示
作者:汤慧
来源:《初中生(三年级)》2008年第10期
在中考试题中出现了一些一元二次方程创新题,这些试题设计新颖,别具一格,现略举几例,请赏析.
一、定义新运算型
例1 将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成a bc d,定义a bc
d=ad-bc,上述记号就叫做2阶行列式. 若x+1 x-11-x x+1=6,则x= .
分析:本题以行列式为起点,以一元二次方程为载体,将整式的四则混合运算与行列式的计算相结合,考查我们的转化能力和计算能力.只要能正确将新的运算符号转化为常规运算符号和熟练掌握多项式乘法法则,问题就不难解决.
简解:根据行列式的运算法则得(x+1)2-(x-1)(1-x)=6,解得x=± .
二、阅读理解题
例2 先阅读,再填空解答:
方程x2-3x-4=0的根是:x1=-1,x2=4,则x1+x2=3,x1x2=-4;
方程3x2+10x+8=0的根是:x1=-2,x2=- ,则x1+x2=- ,x1x2= .
(1)方程2x2+x-3=0的根是:x1= ,x2= ,则x1+x2= ,x1x2= ;
(2)若x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,且a,b,c为常数)的两个实数根,那么x1+x2,x1x2与系数a,b,c的关系是:x1+x2= ,x1x2= ;
(3)如果x1,x2是方程x2+x-3=0的两个根,根据(2)所得结论,求x2 +x22的值.
分析:认真观察所给方程的两根之和与两根之积,就会发现:两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 求x2 +x22的值可利用关系:x2 +x22=(x1+x2)2-2x1x2求得.
简解:(1)解2x2+x-3=0得x1=- ,x2=1,
∴ x1+x2=- ,x1x2=- .
(2)x1+x2=- ,x1x2= .
(3)根据(2)可知,x1+x2=-1,x1x2=-3,则x2 +x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-1)2-2×(-3)=7.
评点:本题主要考查我们的观察、计算和探究能力,以及运用所发现的结论迁移到新的情境中解决新问题的能力,其中阅读是基础,理解是关键,应用是难点.
三、规律探索型
例3 探究下表中的奥秘,并完成填空:
将你发现的结论一般化,并写出来.
解:(1)依次填上:- ,-3;,3.
(2)一般结论为:若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2,则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).
评点:以几个具体的方程为切入点,让我们观察、思考和演算,并探索、发现得出一般性的结论,体现了由特殊到一般、再由一般到特殊的认识规律,能有效地考查归纳总结能力.
四、对话型
例4 某单位于“三·八”妇女节期间组织女职工到温泉“星星竹海”观光旅游,下面是领队与旅行社导游就收费标准的一段对话:
领导:组团去“星星竹海”旅游每人收费是多少?
导游:如果人数不超过25人,人均旅游费用为100元.
领导:超过25人怎样优惠呢?
导游:如果超过25人,每增加1人,人均旅游费用降低2元,但人均旅游费用不得低于70元.
该单位按旅行社的收费标准组团游览“星星竹海”结束后,共支付给旅行社2 700元. 请你根据上述信息,求该单位这次到“星星竹海”观光旅游的共有多少人?
分析:这是一道对话型应用题,信息是通过领导与导游的对话给出的,考查我们搜集、处理信息的能力,求解这类对话信息问题时一定要抓住对话所提供的关键信息,利用这些信息,从中找出等量关系.
简解:设该单位这次到“星星竹海”观光旅游共有x人,依题意有:
[100-2(x-25)]x=2 700.
化简得:x2-75x+1 350=0.
解得x1=45,x2=30.
又因100-2(x-25)≥70,
∴ x≤40.
因此该单位这次到“星星竹海”观光旅游共有30人.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。