函数的概念导学案

(1) f x x2 x ， g x x 1 ；
x
(2) f x x ， g x x ；
x
x
(3) f x x2 ， g x x 12 ；
(4) f x x ， g x x2 ．
-6-
1． 设 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的有( )
④
×
x＝1 时，在 N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性
答案：B
2．函数 f x x 1 的定义域为( )
x2
A．(1，＋∞)
B．[1，＋∞)
C．[1,2) 答案：D
D．[1,2)∪(2，＋∞)
3．下列各组函数表示同一函数的是( )
A． y x2 9 与 y＝x＋3 x3
C．y x0 与 y 1 x 0
思考 1：有人说：“根据对应关系 S 350t ，这趟列车加速到 50km / t 后，运行 1h 就前 进了 350km ．”你认为这个说法正确吗?
第二章 一元二次函数、方程和不等式
问题二：某电气维修公司要求工人每周工作至少 1 天，至多不超过 6 天如果公司确定的
工资标准是每人每天 350 元，而且每周付一次工资。显然，工人一周的工资 w （元）和 他一周工作天数 d （天）的关系可表示为 w 350d ．②
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而
应该用并集符号“ ”连接．
自我检测 3：函数 f x x 1 的定义域是( )
x 1
A．[－1,1)
B．[－1,1)∪(1，＋∞)
C．[－1，＋∞)
D．(1，＋∞)
【知识点四】两函数为同一函数的判断方法 判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对 应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．
（3） f a a 3 1 ， f a 1 a 2 1 ．
a2
a 1
【例 3-2】
答案：①要使函数有意义，需满足
x＋2≥0，
x≥－2，
即
x2－x－6≠0，
x≠－2 且 x≠3，
得 x>－2 且 x≠3．
所以所求函数的定义域为(－2,3)∪(3，＋∞)．
②要使函数有意义，需满足
x－1≠0，
_； ___．
第二章 一元二次函数、方程和不等式
【知识点三】函数定义域的求法
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：
①分式的分母不为 0； ②偶次根式的被开方数非负；③ y x0 要求 x 0 ．
(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得 各式子都有意义的公共部分的集合．
A．0 个 C．2 个
B．1 个 D．3 个
2．函数 f x x 1 的定义域为( )
x2
A．(1，＋∞)
B．[1，＋∞)
C．[1,2) 3．下列各组函数表示同一函数的是( )
D．[1,2)∪(2，＋∞)
A． y x2 9 与 y＝x＋3 x3
C． y x0 与 y 1 x 0
B． y x2 1与 y x 1 D． y x 1, x Z 与 y x 1, x Z
4．已知函数 f(x)＝－1，则 f(2)的值为( )
A．－2
C．0
5．求下列函数的定义域：
(1
f
x
x2
6 3x
2
；
(2) f x x 10 ；
x x
(3) f x 2x 3 1 1 ．
2x x
B．－1 D．不确定
【参考答案】
第二章 一元二次函数、方程和不等式
情景：①是；②不是．
思考 1：根据问题的条件，我们不能判断列车以 350 km/h 运行半小时后的情况，所以上 述说法不正确、显然，其原因是没有关注到 t 的变化范圈．
思考 2：问题 1 和问题 2 中的函数不是同一个函数，因为问题 1 中 t 的取值集合与问题 2 中 d 的取值集合不同．
思考 3：变量 I 是变量 t 的函数．
1． 设 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的有( )
A．0 个 C．2 个
图号 ①
正误 ×
B．1 个 D．3 个
原因 x＝2 时，在 N 中无元素与之对应，不满足任意性
- 10 -
②
√
同时满足任意性与唯一性
③
×
x＝2 时，对应元素 y＝3∉N，不满足任意性
设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y ，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一的值与它 对应，则称 x 是自变量， y 是 x 的函数；其中自变量 x 的取值的集合叫做函数的定义域， 和自变量 x 的值对应的 y 的值叫做函数的值域。
情景：请同学们考虑以下两个问题：
① y 1是函数吗？ ② y x 和 y x2 是同一个函数吗？
B． y x2 1与 y x 1 D．y x 1, x Z 与 y x 1, x Z
答案：C
4．已知函数 f(x)＝－1，则 f(2)的值为( )
x ，按照对应关系，在数集 B 中部有唯一确定的数 y 和它对应．
【自我检测 1】
－1，5
【自我检测 2】答案：(1) 2
(2)(－∞，1)∪(2,3]
【自我检测 3】答案：B
【自我检测 3】答案：（2）
-8-
【例 1-1】答案：对于集合 A 中的任意一个值，在集合 B 中都有唯一的值与之对应， (1)(4)中对应关系 f 是从集合 A 到集合 B 的一个函数． (2)集合 A 中的元素 3 在集合 B 中没有对应元素，且集合 A 中的元素 2 在集合 B 中有两个 元素(5 和 6)与之对应，故所给对应关系不是集合 A 到集合 B 的函数． (3)A 中的元素 0 在 B 中没有对应元素，故所给对应关系不是集合 A 到集合 B 的函数． 【例 1-2】写出下列函数的对应法则、定义域、值域
x2
（1）求函数的定义域；
（2）求
f
3 ，
f
2 3
；
（3）当 a 1 时，求 f a ， f a 1 ．
第二章 一元二次函数、方程和不等式
【例 3-2】求下列函数的定义域．
① f x
x
2
x2
1 x
6
；
② f x x 10 ．
x x
题型四 两函数为同一函数的判断方法
【例 4】试判断下列函数是否为同一函数．
函数 y＝f(x)中 x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域(domain)；与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)．
显然，值域是集合 B 的子集．
自我检测 1：下列从集合 A 到集合 B 的对应关系 f 是函数的是( ) A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A 中的数平方 B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A 中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A 中的数取倒数 D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求 A 中平行四边形的面积
x≠1，
即
|x|＋x≠0，
x>0，
所以 x>0 且 x≠1，
所以所求函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．
【例 4】答案：
序号 是否相同
原因
(1)
不同
(2)
不同
(3)
不同
(4)
相同
定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为 R 对应关系不同，f(x)＝ 1 ，g(x)＝ x x 定义域相同，对应关系不同 定义域和对应关系相同
本题中，d 和 w 是两个变量，而且对于 d 的每一个确定的值， w 都有唯一确定的值与之对应，所以 w 是 d 的函数．
思考 2：问题 1 和问题 2 中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什 么? 问题三：下图是北京市 2016 年 11 月 23 日的空气质量指数变化图．如何根据该图确定这
x
为了得到函数更准确的定义，我们一起看下面几个函数，回答相应的问题：
问题一：某“复兴号”高速列车加速到 350km 后保持匀速运行半小时，这段时间内，列 车行进的路程 S （单位：km）与运行时间 t(单位：h）的关系可以表示为 S 350t ．①
本题中， t 和 S 是两个变量， 而且对于 t 的每一个确定的值， S 都有唯一确定的值与之对应， 所以 S 是 t 的函数．
思考 5：上述四个问题有何异同点： 不同点： 相同点：
-2-
【知识点一】函数的概念 1．函数的概念
一般地，设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确 定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function)，记作 y＝f(x)，x∈A． 2．函数的定义域和值域
【例 2】试用区间表示下列实数集
（1） [5, 6) （2） [9, ) （3） (, 1] [5, 2) （4） (, 9) (9, 20)
【例 3-1】已知函数 f x x 3 1 ．
x2
（1）3, 2 2, ；
第二章 一元二次函数、方程和不等式
（2）
f
3
1 ；
f
2 3
33 3 ； 38
§3．1．1 函数的概念
导学目标： 1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数， 建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。 2．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．
（预习教材 P59~ P66，回答下列问题） 回忆：初中学习的函数概念是什么？
思考 4：
思考 5：上述四个问题有何异同点： 不同点： 实例（1）（2）是用解析式刻画变量之间的对应关系，但有不同的取值范围； 实例（3）是用图象刻画变量之间的对应关系； 实例（4）是用表格刻画变量之间的对应关系． 相同点：
（1）都包含两个非空数集，用 A ， B 来表示；
（2）都有一个对应关系；
（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集 A 中的任意一个数
“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．
3．无穷大的几何表示
定义
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
符号
数轴表示
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x>a}
(a，＋∞)
{x|x≤b}
(－∞，b]
{x|x<b}
(－∞，b)
自我检测 2：试用区间表示下列实数集
(1)
x
1
x
5
____
2
(2) x x 1或2 x 3 _____
(2) u 3 v3 ； (4) y x2
x
题型一 函数的定义 【例 1-1】根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合 A 到集合 B 的函数：
(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8； (2)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如右图所示； (3)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|； (4)A＝Z，B＝{－1,1}，n 为奇数时，f(n)＝－1，n 为偶数时，f(n)＝1．
一天内任一时刻 t 的空气质量指数的值 I ？
思考 3：本题中变量 I 是变量 t 的函数吗？
问题四：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低， 生活质量越高。下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省 城镇居民的生活质量越来越高．
思考 4：本题中恩格尔系数 r 是时间（年） y 的函数吗？请仿照前面的方法描述说明？
【知识点二】区间的概念 1．区间的几何表示
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a<x<b}
开区间
(a，b)
{x|a≤x<b}
半开半闭区间
[a，b)
{x|a<x≤b}
半开半闭区间
(a，b]
2．实数集 R 的区间表示
实数集 R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”；
判断同一函数的三个步骤和两个注意点 (1)判断同一函数的三个步骤
(2)两个注意点： ①在观察定义域时，应观察所给函数的原型；
观察对应关系时，应观察等价化简后的函数形式； ②与用哪个字母表示无关．
自我检测 4：下列函数中哪个与函数 y x 是同一个函数？
-4-
2
(1) y x ； (3) y x2 ；
【例 1-2】写出下列函数的对应法则、定义域、值域
题型二 集合的区间表示法
【例 2】试用区间表示下列实数集
（1） x 5 x 6
（2） x x 9
（3） x x 1x 5 x 2
（4） x x 9x 9 x 20
题型三 函数定义域的求法
【例 3-1】已知函数 f x x 3 1 ．