2006年高三一轮复习讲座六 ----不等式
高考数学一轮复习第6章不等式6.3基本不等式课件理
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2．(2018·广西三市调研)已知 m，n 为正实数，向量 a ＝(m,1)，b＝(1－n,1)，若 a∥b，则m1 ＋2n的最小值为_3_＋__2__2__．
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解析 ∵a∥b，∴m－(1－n)＝0，即 m＋n＝1，又 m，
n
为
正
实
数
，
∴
1 m
＋
2 n
＝
＝fa＋2 b，Q＝f(
ab)，R＝f
a2＋2 b2，则(
)
A．P＜Q＜R B．P＜R＜Q
C．R＜Q＜P D．R＜P＜Q
用导数法．
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解析 f′(x)＝x＋1 1－1＝x－＋x1(x＞－1)，由 f′(x)>0 解 得－1<x<0，由 f′(x)<0 解得 x>0，所以 f(x)在(－1,0)上单调 递增，在(0，＋∞)上单调递减．
∴存在 m＝± 3使得△ABF1 的面积最大．
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方法技巧 基本不等式的综合运用常见题型及求解策略
1．应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小， 有时也与其他知识进行综合命题，如角度 1 典例，结合函数 的单调性进行大小的比较．
根据题意得出三角形面积表达式，求最 值时，用基本不等式法．
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解 (1)易知直线 l：x＝my＋2 与 x 轴的交点坐标为 (2,0)，∴椭圆 C：ax22＋y2＝1(a>0)的一个焦点坐标为(2,0)，
∴c＝2，∴a2＝c2＋1＝4＋1＝5. 故椭圆 C 的方程为x52＋y2＝1. (2)存在． 将 x＝my＋2 代入x52＋y2＝1 并整理得(m2＋5)y2＋4my－ 1＝0， Δ＝(4m)2－4(m2＋5)×(－1)＝20m2＋20>0，
高三第一轮复习数学---一元二次不等式的解法
不等式的解集。
新疆和静高级中学
4、简单分式不等式的解法
f (x ) (1) > 0 ⇔ f (x )⋅ g (x ) > 0 g (x )
f (x ) (2) < 0 ⇔ f (x )⋅ g (x ) < 0 g (x )
f (x ) f (x ) ⋅ g (x ) ≥ 0 (3) ≥ 0⇔ g (x ) g (x ) ≠ 0
ax2+bx+c=0的解 x=x1或x=x2 ax2+bx+c>0解集 ax2+bx+c<0解集 {x︱x1<x<x2} x=x1=x2
− b } 2a
无实数解 R Φ
{x︱x<x1或x>x2} {x︱x≠ Φ
注意题型：①一元二次式中有字母的讨论 ②解集已知的一元二次不等式有关问题 ③利用图象解恒成立问题
( x + 2 )( x − 1)
x2 − x − 2 (4) ≥1 x −1
新疆和静高级中学
例2、已知不等式 ax 2 + bx + c > 0 的解集为
{x 2 < x < 3} ，求不等式 cx 2 + bx + a < 0 的解集。
注意不等式解与方程根的关系
新疆和静高级中学
例3、例3、已知 f ( x ) = x + 2( a − 2) x + 4 ，
(m − 1)x 2 + (m − 2)x − 1 = 0 （2）若关于x的方程
的两个不等实根的倒数平方和不大于2， 求m的取值范围。 （3）如果抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴 交于C点，且 S ∆ABC 的面积等于2，试确定m的值。 新疆和静高级中学
高三数学高考第一轮复习课件：不等式
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中 应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显 然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化 或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
第34讲 │ 编读互动 编读互动
第34讲 │ 知识要点 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 双基固化 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
（１）理解不等式的性质及其证明． （２）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （３）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （４）掌握简单不等式的解法． （５）理解不等式｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ ｂ｜．
第六单元 │ 复习策略
复习策略
不等式
目录
第34讲 不等式的概念与性质 第35讲 均值不等式 第36讲 不等式的解法 第37讲 不等式的证明 第38讲 含绝对值的不等式
第六单元 不等式
第六单元 │ 知识框架 知识框架
第六单元 │ 考点解读 考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的 解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
高考数学一轮复习必备 第51课时 第六章 不等式-含绝对值的不等式
第51课时：第六章 不等式——含绝对值的不等式课题：含绝对值的不等式一．复习目标：1．理解含绝对值的不等式的性质，及其中等号成立的条件，能运用性质论证一些问题；2．会解一些简单的含绝对值的不等式．二．知识要点：1．含绝对值的不等式的性质：①||||||||||a b a b a b -≤+≤+，当 时，左边等号成立；当 0 ab ≥时，右边等号成立．②||||||||||a b a b a b -≤-≤+，当 时，左边等号成立；当 时，右边等号成立．③进而可得：||||||||||a b a b a b -≤±≤+．2．绝对值不等式的解法： ①0a >时，|()|()()f x a f x a f x a >⇔><-或；|()|()f x a a f x a <⇔-<<；②去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法；③根据绝对值的几何意义，通过数形结合解绝对值不等式．三．课前预习：1．不等式|lg ||||lg |x x x x -<+的解集为 （ ）()A (0,)+∞ ()B (0,1) ()C (1,)+∞ ()D (1,10)2．不等式1|21|2x ≤-<的解集为 （ ）()A 13(,0)[1,)22- ()B 13{01}22x x -<<≤≤且 ()C 13(,0][1,)22- ()D 13{01}22x x -<≤≤<且3．()f x 为R 上的增函数，()y f x =的图象过点(0,1)A -和下面哪一点时，能确定不等式|(1)|1f x -<的解集为{|14}x x << （ ）()A (3,1) ()B (4,1) ()C (3,0) ()D (4,0)4．已知集合{||1|}A x x a =-≤，{||3|4}B x x =->，且A B φ=，则a 的取值范围是 ．5．设有两个命题：①不等式|||1|x x m +->的解集是R ；②函数()(73)x f x m =--是减函数，如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数m 的取值范围是 ．四．例题分析：例1．已知01x <<，01a <<，试比较|log (1)|a x -和|log (1)|a x +的大小．例2．求证：||||||1||1||1||a b a b a b a b +≤+++++．例3．设,,a b c R ∈，已知二次函数2()f x ax bx c =++，2()g x cx bx a =++，且当||1x ≤时，|()|2f x ≤，（1）求证：|(1)|2g ≤；（2）求证：||1x ≤时，|()|4g x ≤．例4．设m 等于||a 、||b 和1中最大的一个，当||x m >时，求证：2||2a b x x +<．五．课后作业：1．若,a b R ∈，且||||a c b -<，则 （ ）()A ||||||a b c <+ ()B ||||||a b c >- ()C a b c <+ ()D a b c >-2．若0m >，则||x a m -<且||y a m -<是||2x y m -<的 （ ）()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件 ()D 既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 、()g x ，设不等式|()||()|f x g x a +<(0)a >的解集是M ，不等式|()()|f x g x a +<(0)a >的解集是N ，则集合M 、N 的关系是 （ ）()A N M ≠⊂ ()B M N = ()C M N ⊆ ()D M N ≠⊂4．不等式||22x x x x ≥++的解集是 ． 5．不等式|4||3|x x a -+-<的解集不是空集，则a 的取值范围是 ．6．若实数,a b 满足0ab >，则①||||a b a +>；②||||a b b +<；③||||a b a b +<-；④||||a b a b +>-．这四个式子中，正确的是 ．7．解关于x 的不等式2||x a a -<（a R ∈）． 8．解不等式：（1）2|1121|x x x -+>；（2）|3||21|12x x x +-->+．9．设有关于x 的不等式lg(|3||7|)x x a ++->，（1）当1a =时，解这个不等式；（2）当a 为何值时，这个不等式的解集为R ．10．设二次函数2()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-，都有|()|1f x ≤， 求证：（1）||1a c +≤；（2）对一切[1,1]x ∈-，都有|2|4ax b +≤．。
高三数学复习第六章 不等式、推理与证明
演 练 知 能 检 测
第一节
不等关系与不等式
[归纳· 知识整合]
回 扣 主 干 知 识
突 破 热 点 题 型
1．比较两个实数大小的法则 设a，b∈R，则 a－b＞0 (1)a＞b⇔ ； a－b＝0 (2)a＝b⇔ ； a－b＜0 (3)a＜b⇔ . 2．不等式的基本性质 性质 对称性 传递性 可加性 性质内容 a>b⇔_____ b<a a>b，b>c⇒______ a>c 注意 ⇔ ⇒ ⇔
[例3] 个结论： (1)(2012· 湖南高考)设a>b>1，c<0，给出下列三
提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
c c ①a>b；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是 ( )
演 练 知 能 检 测
A．①
B．①②
C．②③
D．①②③
数学(6省专版)
＝(x－1)2＋1>0， ∴3x2－x＋1>2x2＋x－1.
演 练 知 能 检 测
数学(6省专版)
第一节
不等关系与不等式
回 扣 主 干 知 识
aa－b aabb a－b b－a a－b 1 a－b (2)abba＝a b ＝a b ＝b . aa－b a ∵当a>b，即a－b>0，b>1时，b >1，
第一节
不等关系与不等式
c d (2)已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0， a － b >0(其中a，
回 扣 主 干 知 识
b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个 不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是 ( )
【学海导航】高三数学第一轮总复习6.5含有绝对值的不等式课件
拓展练习 若对一切实数x，不等式|x+1|+|x-
2|＞a恒成立，求实数a的取值范围.
解：设f(x)=|x+1|+|x-2|，
则f(x)＞a
f(x)］min＞a.
因为f(x)=|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，
ห้องสมุดไป่ตู้
当且仅当(x+1)(x-2)≤0，即-1≤x≤2时取等号，
所以［f(x)］min=3.故a的取值范围是(-∞,3).
11
题型2 求含绝对值的不等式的解集
2. 解下列不等式：
(1)|x-x2-2|＞x2-3x-4;
(2)| 3x 1 |≤1(a＞- 1，为常数).
x-a
3
解：(1)解法1：原不等式等价于x-x2-2＞x2-
3x-4或x-x2-2＜-(x2-3x-4)，
所以0＜x＜1.
7
已知不等式|2x-t|+t-1＜0的解集为(- 1
2
, 1 )，则______.
2
解：依题意|2x-t|＜1-t，所以t-1＜2x-t＜
1-t，
即2t-1＜2x＜1，即t- 1 ＜x＜ 1 ,所以
2
2
t=0.
8
题型1 比较含绝对值的代数式的大小 1. 设f(x)= -x，已知|x-a|＜1，比较
盘点指南：①||a|-|b||;②|a|+|b|;③||a|-|b||;④
|a|+|b|;⑤a;⑥-a;⑦f2(x)≤g2(x); ⑧
f f
(x) (x)
g(x)
-g(x);⑨
f(x)≥g(x)或f(x)≤-g(x) .
第六章 不等式
2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编第六章《不等式》一、选择题（共15题）1．（安徽卷）不等式112x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,2)-∞⋃(2,)+∞解：由112x <得：112022x x x--=<，即(2)0x x -<，故选D 。
2．（江苏卷）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是 （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）a a a a 1122+≥+（C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+213 【思路点拨】本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论。
【正确解答】运用排除法，C 选项21≥-+-ba b a ，当a-b<0时不成立。
【解后反思】运用公式一定要注意公式成立的条件如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 3．（江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（ ） A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a解： 故选D4．（山东卷）设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f (x )>2的解集为 (A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞）11bx b 001x x b a 11ax x a 00x x 1x 0x x bx 1011b x x x 1ax 01b a x x 0a ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎪⎧⎪⇔⇔⇒⎨⎨⎩⎪⎪⎩＋＋－－－或－（＋）－或（－）或(C)（1，2）⋃ （10 ，+∞） (D)（1，2）解：令12x e ->2（x <2），解得1<x <2。
高三一轮复习—-基本不等式及其应用的教学设计-(树德中学-彭春波)
高三数学(shùxué)一轮复习——基本不等式及其应用树德(shù dé)中学彭春波一、教学背景(bèijǐng)分析1.高考(ɡāo kǎo)考纲要求：①理解基本不等式及成立(chénglì)条件②能应用基本不等式判断大小和求最值③应用基本不等式解决实际问题和综合问题2.学生情况介绍高2012级5班是理科平行班，现已具备了必要的感知能力、概括能力、逻辑推理能力，但比较复杂的举一反三的灵活变通、综合能力还有待提高，通过本节课的教学，学生能达到对基本不等式的常见应用题型的熟练化、综合问题的解题思维提升化。
二．教学目标1.知识与技能（1）通过本节课的学习，能掌握基本不等式并能理解等号成立的条件及几何意义（2）通过基本不等式的复习，能灵活比较大小、求有关最值等应用2.过程与方法（1）通过本节课的学习，能体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等（2）通过本节课的学习，能体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程（3）能体会例题的变式改变过程，达到灵活应用的能力3.情感态度与价值观（1）通过变式教学，逐步培养学生的探索研究精神（2）通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯（3）通过高考试题与教材例题对比教学，培养学生重视基础，勿好高骛远的习惯三．教学重难点:1．重点：正确应用基本不等式进行判断和计算。
2．难点：基本不等式的变形应用。
四、教学方法:以启发引导，探索发现为主导，讲解练习为主线，用一题多解，一题多变突出重点、突破难点，以综合应用提高分析解决问题的能力，培养创新能力。
五、教学过程提出问题高考在线一、问题引入——高考在线（1）（安徽）下列结论正确的是（）A.当且时，B.当0x时，C.当时，的最小值为2D.当时，无最大值（2）（全国）若,，则（）A. B.C. D.（3）（2014四川理科14）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是以高考试题为背景引入本课，突出基本不等式在高考中的地位。
高考数学命题走势6-近年的“不等式”考到怎样难度？
近年的“不等式”考到怎样难度？不等式在高考中属主体内容，它与代数内容联系密切，高考中所占比例约为10~15%.从近三年的高考试题来看，考查的内容及其难度主要以有以下几点：一、不等式的性质、基本不等式和绝对值不等式的考查，大多出现在选择题或填空题中，一般属于容易题或中档题.因此，关于这一部分的知识，考生在备考中要注意理解并深刻记忆基本公式.【例1】 （2006年江苏卷）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是 （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）aa a a 1122+≥+ （C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+213 解答：运用排除法，C 选项21≥-+-ba b a ，当a-b<0时不成立。
【点评】本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论.运用公式一定要注意公式成立的条件,如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a .如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba【例2】 （2007年陕西卷）某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v 1，v 2,v 3,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为（A ）3321v v v ++（B ）3111321v v v ++（C ）3321v v v（D ）3211113v v v ++解答：设三个连续时间段的时长分别为t 1,t 2,t 3,依题意有v 1t 1=v 2t 2=v 3t 3=l ,总的增长量为3l ，则t 1+t 2+t 3=l ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++321111v v v .故该生物在所讨论的整个时段内平均增长速度为.11133321321v v v t t t l ++=++选D.【点评】 有些考生对平均增长速度和各段内的增长速度不理解，这就要求考生注意理解教材中的算术平均数，几何平均数及调和平均数的大小关系，充分认识高考试题来源于教材又高于教材的意义，并在高三备考阶段，特别是一轮复习阶段注重对课本知识的复习. 二、单纯考查不等式的解法、不等式的证明的试题很少，通常以不等式与函数、数列、解析几何、三角等知识的综合问题的形式出现，此类问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高.【例3】（2005年辽宁卷 ）在Ｒ上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗．若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则（Ａ）11<<-a （Ｂ）20<<a（Ｃ）2321<<-a （Ｄ）2123<<-a 解答：∵)1)(()()(a x a x a x a x ---=+⊗-，∴不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则1)1)((<---a x a x 对任意实数x 成立，即使0122>++--a a x x 对任意实数x 成立，所以0)1(412<++--=∆a a ，解得2321<<-a ，故选C ． 【点评】熟悉一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系．【例4】 （2006年山东卷）设f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-,2),1(log ,2,221x x x t t x 则不等式f (x )>2的解集为 (A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）⋃ （10 ，+∞） (D)（1，2） 解答：令12x e->2（x <2），解得1<x <2.令23log (1)x ->2（x ≥2）解得x ∈（10，+∞） 选C.【例5】 （2007年安徽卷）解不等式(311)(sin 2)0x x --->． 解答：因为对任意x ∈R ，sin 20x -<，所以原不等式等价于3110x --<．即311x -<，1311x -<-<，032x <<，故解为203x <<．所以原不等式的解集为203x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 【点评】本题将绝对值和三角函数融合到解不等式中进行考查，其根源是高次不等式的解法，解简单的高次不等式时，将高次系数化为正，再进行因式分解（往往分解为多个一次因式的乘积的形式），然后运用“数轴标根”．三、不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，复习时尤其是注意以导数或向量为背景的导数（或向量）、不等式、函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题.【例6】 （2006年四川卷）已知函数f (x )=)0(ln 22>++x x a xx , f (x )的导函数是)(x f '.对任意两个不相等的正数12x x 、，证明：（Ⅰ）当0a ≤时，1212()()()22f x f x x xf ++>；（Ⅱ）当4a ≤时，1212()()f x f x x x ''->-。
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6-6 直接证明与间接证明课件 文
∴f(0)≥0.于是 f(0)＝0.
(2)对于 f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2 不满足新定义中的条件②， ∴f(x)＝2x，(x∈[0,1])不是理想函数． 对于 f(x)＝x2，x∈[0,1]，显然 f(x)≥0，且 f(1)＝1. 任意的 x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1， f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－x21－x22＝2x1x2≥0， 即 f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2)． ∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数． 对于 f(x)＝ x，x∈[0,1]，显然满足条件①②. 对任意的 x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1， 有 f2(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2 x1x2＋x2)＝－2 x1x2≤0， 即 f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2.∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不满足条件③. ∴f(x)＝ x(x∈[0,1])不是理想函数．综上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数， f(x)＝2x(x∈[0,1])与 f(x)＝ x(x∈[0,1])不是理想函数．
命题角度2 分析法的应用
典例2
已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.
求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c. 证明 要证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c，
即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，
也就是a＋c b＋b＋a c＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
2．分析法 (1)定义：从___要__证__明__的__结__论___出发，逐步寻求使它成立的__充__分__条__件_，直到最后，把要证明的结论归 结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法． (2)框图表示： Q⇐P1 ―→ P1⇐P2 ―→ P2⇐P3 ―→…―→ 得到一个明显成立的条件 (其中Q表示要证明的结 论)． (3)思维过程：执果索因．
高三第一轮复习数学---含绝对值的不等式的解法
高三第一轮复习数学---含绝对值的不等式的解法一、教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法二、教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间的交、并等各种运算三、教学过程：（一）主要知识：1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =） ()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,0,00,a a a a a a2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）（1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）；（4）图象法或数形结合法；(如讨论a x x =--122的解有个数)（5）不等式同解变形原理：即()a x a a a x <<-⇔><0()a x a x a a x -<>⇔>>或0()c b ax c c c b ax <+<-⇔><+0()c b ax c b ax c c b ax -<+>+⇔>>+或0()()()()()x g x f x g x g x f <<-⇔<()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>⇔>或()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<<⇔>><<或03、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。
（二）主要方法：1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；2．去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-．（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．（三）例题分析：例1、解下列不等式（1）x x 3232->-解：原不等式等价于032<-x ，所以不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>32x x （2）532<-x（3）x x 232>-（4）4321≤-≤x（5）1+<x x（6）312-->+x x（7）22<+ax例2、设0>a ，不等式c b ax <+的解集为{}12<<-x x ，求c b a ::答：c b a ::=2：1：3例3、若a x x >+++12恒成立，求实数a 的取值范围。
高考数学一轮复习 第6章 不等式 第1讲 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式讲义 理(含解析)-
第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0<b ⇒1a <1b.(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(5)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋ma ＋m； b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析 因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析 因为c <b <a ，且ac <0，所以a >0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立， 当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型 一 不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析 解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ， 由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________． 答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型 二 不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 本题采用分类讨论思想． 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究 把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？ 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析 将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型 三 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围． 解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围． 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。
高中数学_不等式复习(基础篇)教学设计学情分析教材分析课后反思
高考专题复习之六――不等式(基础篇)学情分析一、整体情况1、所教学生为文科实验班，共34人，是高三新成立的班，这些学生在高一、高二时都分布在平行班中，高一、高二时学生在班内相对较好。
2、数学数学基础相对较好，但数学学习习惯不够规范，具体表现在：书写不规范、思维不够清晰，缺乏思维的深度、数学运算能力不强、在数学问题中对数学知识和方法的提取与转化能力弱、缺少做题的灵活性个性品质需要再进一步提高二、本部分知识掌握情况对于本部分知识，学生在新授课和一轮复习时对一些基础题型已经能够较熟练地处理，再加之新授课中对基本题型如不等式性质的运用、解一元二次不等式等相关的单一的基本题型已经掌握较好，本节课的重点是通过对典型问题的解读分析，在思维上让学生再进一步提高，使学生能够站在更高的高度看待与不等式有关的问题，对知识点的辨认、提取、讨论、解决方面能够再上一个台阶。
三、教学目标知识1、进一步掌握不等式的性质2、掌握基本不等式的特征及运用条件3、掌握一元二次不等式与对应一元二次方程和一元二次函数的关系方法1、能较清晰地识别、辨认并能有针对性地处理与不等式有关的常见题型.2、能够较熟练地解一元二次不等式3、能够较熟练地运用基本不等式求最大（小）值4、初步掌握分类讨论的分类标准思想1、进一步提高分类整合、数形结合的能力2、通过观察、归纳、抽象等方式，培养学生求真求实的科学精神，体会数学的应用价值，提高学生的逻辑推理能力和学数学用数学的意识.四、教学策略与教学手段根据复习课的特点以及数学知识的特点，在课堂上主要采用以题促学、以题促思、学生在老师指导下进行互助合作的模式；在复习基本题型的同时突出复习重点、攻克思维难点，同时辅以多媒体演示，最大限度地提高教学效率。
高考专题复习之六:不等式(基础篇)效果分析对于本节课，我认为自己做到了以下几点：1、对所教学生的学习情况做了细致、全面的了解和分析；2、对所复习知识点在高考中的地位和作用做了全面的分析；3、对所选题目进行了精心的筛选，力争做到具有代表性，能反应高考考查的方向；4、对重点难点的突破做到了循序渐进；5、在课堂控制方面坚持以学生为主体充分挖掘学生的潜力；学生方面：1、对不等式部分有了更深刻的认识；2、对于不等式部分在高考中的地位和作用认识更到位；3、从思维层面上对不等式相关的综合题目有了一定的理性认识.专题复习之六――不等式（基础篇）教材分析一、考试大纲及考试说明的要求：1、不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2、一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3、基本不等式：2a b +≥ (0,0)a b ≥≥ （1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.二、教材分析1、本部分教材是高中数学必修五中的内容，由于本部分知识即具有知识性、工具性的特点，但在整个数学知识体系中本部分有着举足轻重的作用。
【创新设计】高三数学一轮复习 6-3基本不等式 ab≤a+b2(a≥0,b≥0)随堂训练 理 苏教版
第3课时 基本不等式 ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)一、填空题1．已知x ＞0，y ＞0且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________．解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋4y ＝1，∴x ＋4y ＝1≥24xy ，∴xy ≤116.答案：1162．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为______． 解析：∵0＜x ＜1，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3×[x ＋(1－x )2]2＝34，此时x ＝1－x ，∴x ＝12. 答案：123．(江苏省启东中学高三质量检测)已知两个正数x ，y 满足x ＋4y ＋5＝xy ，则xy 取最小值时x ，y 的值分别为________，________. 解析：xy ≥2x ·4y ＋5，当且仅当x ＝4y 时取等号，令xy ＝t (t ＞0)，则不等式为t2－4t －5≥0，解得t ≥5或t ≤－1(舍去)．∴xy ＝t ＝5，又x ＝4y ，则x ＝10，y ＝52.答案：10 524．设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值是________．解析：由x －2y ＋3z ＝0得y ＝x ＋3z2，代入y 2xz 得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz4xz＝3，当且仅当x＝3z 时取“＝”．答案：35．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋2n的最小值为________．解析：∵A (－2，－1)，A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴－2m －n ＋1＝0， 即2m ＋n ＝1，mn ＞0，∴m ＞0，n ＞0.1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2nn＝2＋n m＋4mn＋2≥4＋2·n m ·4mn＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．故1m ＋2n的最小值为8.答案：86．(江苏省高考命题研究专家原创卷)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．解析：由x ∈(0，＋∞)、y ∈(0，＋∞)、a ∈(0，＋∞)知：(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝a ＋1＋y x ＋ax y ≥a ＋1＋2a ＝(a ＋1)2.当且仅当y x ＝ax y 时，等号成立，即(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a＋1)2.又(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9恒成立，∴(a ＋1)2≥9，即a ＋1≥3，∴a ≥4，即a 的最小值为4.答案：47．(江苏省高考命题研究专家原创卷)如果实数x 、y 满足x 2＋4y 2＝4，则(1＋2xy )(1－2xy )的最小值为________． 解析：由4＝x 2＋4y 2≥2x 2·4y 2得，4x 2y 2≤4，当且仅当x 2＝4y 2＝2时“＝”号成立． ∴(1＋2xy )(1－2xy )＝1－4x 2y 2≥－3.∴(1＋2xy )(1－2xy )的最小值为－3. 答案：－3 二、解答题8．对于任意x ∈R，不等式2x 2－a x 2＋1＋3＞0恒成立，求实数a 的取值范围． 解：原不等式可化为a ＜2x 2＋3x 2＋1＝2x 2＋2＋1x 2＋1＝2x 2＋1＋1x 2＋1恒成立．问题转化为求f (x )＝2x 2＋1＋1x 2＋1的最小值．令u ＝x 2＋1≥1 而函数f (u )＝2u ＋1u在[1，＋∞)上单调递增，∴f (u )≥f (1)＝2＋1＝3，∴f (x )min ＝3，∴a ＜3. 9．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，试证：(1)bc a ＋ac b ＋ab c ≥a ＋b ＋c ；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .证明：(1)∵a 、b 、c ∈(0，＋∞)，∴bc a ＋acb ≥2 bc a ·acb＝2c ， 同理ac b ＋ab c ≥2a ，ab c ＋bc a ≥2b ，∴2(bc a ＋ac b ＋ab c )≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c .(2)∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a 2b＋b ≥2a ①同理b 2c ＋c ≥2b ②c 2a＋a ≥2c ③ ①＋②＋③得a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋a ＋b ＋c ≥2a ＋2b ＋2c ，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .10. 某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消费的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．问：这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值． 解：设这台机器的最佳使用年限是n 年，则n 年的保养、维修、更换易损零件的总费用为：0.2＋0.3＋0.4＋…＋0.1(n ＋1)＝n 2＋3n20，这n 年机器的总费用是：7＋0.2＋0.2n ＋n 2＋3n20＝7.2＋n 2＋7n20，这n 年机器的平均费用是：y ＝7.2＋n 2＋7n20n＝0.35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 20＋7.2n ， 又n 20＋7.2n ≥2 7.230＝1.2，等号当且仅当n 20＝7.2n， 即n ＝12时成立．故这台机器最佳使用年限是12年，年平均费用的最小值为1.55万元．1．已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝ (x ＜0)，则m ，n 之间的大小关系为________． 解析：m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4(a ＞2)，当a －2＝1a －2，即a ＝3时取等号．又x ＜0，∴x 2－2＞－2，∴n ＝ ＝4.∴m ＞n . 答案：m ＞n2．(2009·江苏徐州六县联考)徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a 元(a >0)． (1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 解：(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为500v，全程运输成本为y ＝a ·500v ＋0.01v 2·500v ＝500a v＋5v ，故所求函数及其定义域为y ＝500av＋5v ，v ∈(0,100]．(2)依题意知a ，v 都为正数，故有500av＋5v ≥100a ，当且仅当500a v＝5v ，即v ＝10a 时上式中等号成立．①若10a ≤100，即0<a ≤100时则当v ＝10a 时，全程运输成本y 最小．②若10a >100，即a >100时，则当v ∈(0,100]时，有y ′＝－500a v 2＋5＝5(v 2－100a )v2<0. ∴函数y 在v ∈(0,100]上单调递减．也即当v ＝100时，全程运输成本y 最小． 综上知，为使全程运输成本y 最小，当0<a ≤100时行驶速度应为v ＝10a 千米/时； 当a >100时行驶速度应为v ＝100千米/时．。
高三一轮复习教案-一元二次不等式(数学)
第1节 一元二次不等式一、考纲要求⑴经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。
⑵ 通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
⑶会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。
⑷掌握三个“二次”之间的关系并灵活运用。
二、知识回顾1．________________________________________________，称为一元二次不等式3．一元二次不等式解法的基本步骤： (1)化成标准形式：________________(2)判断________________，进一步求方程的根；(3)根据△及a 的正负，再根据“大于取两边，小于夹中间”写解集．设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如上表：4．分式不等式的解法1）等价变形法(1)化成标准形式： （2）等价变形)()(>x g x f 0)()(≥x g x f 2）分类讨论法：三、基础检测：1、解下列不等式：（1） 01442>+-x x （2）0322>-+-x x （3）(2x+1)(x-3)>3(x 2+2) ． （4）213>-+x x （5）312<<x （6）111+<-x x 2．条件甲：x 3-4x 2+3x ≤0，条件乙：x 2-3x+2≤0，那么乙是甲的（ ） A ． 必要不充分条件 B ． 充分不必要条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件3．不等式2)1(+-x x ≥0的解集是（ ）A ． {x|x>1}B ． {x|x ≥1}C ． {x|x ≥1或x= -2}D ． {x|x ≥-2且x ≠1} 四、例题精析知识点1：解一元二次不等式例题1（1）0)3)((>--x a x 练习：03222>-+a ax x知识点2 一元二次不等式与一元二次方程的关系例题2不等式ax 2+（ab +1）x +b ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}，则a +b =_______.巩固练习 设不等式210ax bx ++>的解集为13{|1}x x -<<，求a +b【例题3】求实数m 的范围，使y =lg ［mx 2+2（m +1）x +9m +4］对任意x ∈R 恒有意义.巩固练习本题若要使值域为全体实数，m 的范围是什么?知识点3：一元二次不等式与二次函数的关系 【例题4】不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式ax 2－bx +c ＞0的解集为_____巩固练习若不等式ax 2+bx+1>0的解集是｛x ㄧ-2＜x ＜3｝，则a ，b 值分别为 ．【例题5】若不等式2x －1＞m （x 2－1）对满足|m |≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围. 【分析】对于m ∈［－2，2］，不等式2x －1＞m （x 2－1）恒成立，把m 视为主元，利用函数的观点来解决.巩固练习设22{|430},{|280}A x x x B x x x a =-+<=-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围.1．不等式2x+3－x 2>0的解集是 （ ） A ．{x| －1<x<3} B ．{x| x>3或x<－1} C ．{x| －3<x<1} D ．{x| x>1或x<－3}2．不等式ax 2+bx+2>0的解集是11(,)23-，则a －b 等于 （ ） A ．－4 B ．14 C ．－10 D ．103．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0，1]恒成立，则 （ ） A ．m ≤－3 B ．m ≥3 C ．－3≤m<0 D ．m ≥－44．如果关于x 的不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(-∞，2] B ．(-∞，－2)C ．(－2，2]D ．(－2，2)5．不等式x 2－px －q<0的解是2<x<3，则不等式qx 2－px －1>0的解是 （ ） A ．11(,)(,)23-∞-⋃-+∞ B ．11(,)23--C ．11(,)(,)23-∞⋃+∞D 。
2006高考第一轮复习指导-重在提高能力学习方法
2006高考第一轮复习指导:重在提高能力学习方法在传统意义上的三轮备考操作中，第一轮是进行教材知识的总复习，但是我们发现在新形势下，第一轮复习的效果越来越差，主要原因是很多学校的第一轮备考是在吃夹生饭，很是辛苦，但没有做到恰到好处，该拔高的没有上去，该淡化的却在强化。
针对这样的现实，建议在第一轮备考中师生要把着眼点放在能力提高和增分操作上，也就是要适当地向第二轮专题备考进行渗透。
第一次循环：从现在开始的三四个月，要求：(接昨日)操作建议(1)做题时联系高考题；(2)多做思考，由厚变薄；(3)把握好备考尺度：避免过难、过易的题目。
3.增分操作目标：初步量化分解自己的各科成绩，据此制定自己的增分目标。
原则：充分发挥并强化自己的优势，扬长避短。
操作建议(1)第一次循环中的增分操作不是最重要的目的，但需要培养增分的意识。
(2)操作中不必分出单独的时间，应该在上述两个阶段中随时穿插。
(3)有效的做法是尽可能解决由于粗心大意、时间安排不合理、表达不规范、知识稍有欠缺等原因导致的失分。
首轮复习数学盯紧函数一O九中学特级教师林向群考生在数学首轮复习中，往往存在两个误区，一是只顾埋头做题而不注重反思，有些同学在做题时，只要结果对了就不再深思做题中使用的解题方法和题目所体现出来的数学思想；二是只注重课堂听课效率，而不注重课后练习，这在文科生中显得尤为普遍，这往往会导致考生看到考题觉得自己会，可一做就错。
因此，在数学首轮复习中，林老师提出了五项建议。
一、夯实基础，知识与能力并重。
没有基础谈不到能力，复习要真正地回到重视基础的轨道上来。
这里的基础不是指针对考试、机械重复的训练，而是指要搞清基本原理、基本方法，体验知识形成过程以及对知识本质意义的理解与感悟。
同时，对基础知识进行全面回顾，并形成自己的知识体系。
二、复习中要把注意力放在培养自己的思维能力上。
培养自己独立解决问题的能力始终是数学复习的出发点与落脚点，要在体验知识的过程中，适时进行探究式、开放式题目的研究和学习，深刻领悟蕴涵在其中的数学思想方法，并加以自觉的应用，力求做到使自己的理性思维能力、分析问题和解决问题的能力有切实的提高。
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2006年高三一轮复习讲座六 ----不等式主讲教师：王思俭 （苏州中学）二、复习要求1、不等式的概念及性质；2、不等式的证明；3、不等式的解法；4、不等式的应用。
三、学习指导1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。
不等式的基本性质有： （1）对称性或反身性：a>b ⇔b<a ； （2）传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ；（3）可加性：a>b ⇒a+c>b+c ，此法则又称为移项法则； （4）可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。
不等式运算性质：（1）同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ； （2）正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。
特例：（3）乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； （4）开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n1n1b a >；（5）倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a 1<。
掌握不等式的性质，应注意：（1）条件与结论间的对应关系，如是“⇒”符号还是“⇔”符号； （2）不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。
2、均值不等式；利用完全平方式的性质，可得a 2+b 2≥2ab （a ，b ∈R ），该不等式可推广为a 2+b 2≥2|ab|；或变形为|ab|≤2b a 22+；当a ，b ≥0时，a+b ≥ab 2或ab ≤22b a ⎪⎭⎫⎝⎛+.在具体条件下选择适当的形式。
3、不等式的证明：（1）不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法； （2）在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用； （3）证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。
4、 不等式的解法：解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。
一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。
利用序轴标根法可以解分式及高次不等式。
含参数的不等式应适当分类讨论。
5、不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。
在解决问题过程中，应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。
用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。
研究不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等。
四、典型例题例1、 已知f(x)=ax 2-c ，-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，试求f(3)的取值范围。
分析：从条件和结论相互化归的角度看，用f(1)，f(2)的线性组合来表示f(3)，再利用不等式的性质求解。
设f(3)=mf(1)+nf(2) ∴ 9a-c=m(a-c)+n(4a-c) ∴ 9a-c=(m+4n)a-(m+n)c ∴ ⎩⎨⎧=+=+1n m 9n 4m∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=38n 35m∴ f(3)=)2(f 38)1(f 35+-∵ -4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5 ∴35≤)1(f 35≤320,38-≤)2(f 38≤340 ∴ -1≤f(3)≤20 说明：1、本题也可以先用f(1)，f(2)表示a ，c ，即a=31[f(2)-f(1)]，c=31[f(2)-4f(1)]，然后代入f(3)，达到用f(1)，f(2)表示f(3)的目的。
2、本题典型错误是从-4≤a-c ≤-1，-1≤4a-c ≤5中解出a ，c 的范围，然后再用不等式的运算性质求f(3)=9a-c 的范围。
错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形。
2、本题还可用线性规划知识求解。
例2、 设a>0，b>0，求证：ab b a +≥b a +。
分析：法一：比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。
左-右=abb a )b a ()a1b 1)(b a (aa b b b a b a ab b a --=--=-+-=--+abb a )b a (2+-=≥0∴ 左≥右 法二：基本不等式根据不等号的方向应自左向右进行缩小，为了出现右边的整式形式，用配方的技巧。
∵ b ba +≥a 2a ab +≥b 2∴ 两式相加得：ab b a +≥b a +例3、 设实数x ，y 满足y+x 2=0，0<a<1，求证：)a a (log y x a +≤812log a +。
分析：∵ yxa a +≥81)21x (212x x yx 22a 2a 2a2+---+==，81)21x (212+--≤81，0<a<1 ∴ 81)21x (212a 2+--≥81a 2∴ yxa a +≥81a 2 ∴ )a a (log yxa +≤812log )a 2(log a 81a+= 说明：本题在放缩过程中，利用了函数的单调性，函数知识与不等式是紧密相连的。
例4、已知a ，b 为正常数，x ，y 为正实数，且1ybx a =+，求x+y 的最小值。
分析：法一：直接利用基本不等式：xayy bx b a )y b x a )(y x (y x +++=++=+≥ab 2b a ++当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=1yb x a y bx x ay ，即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ab b y ab a x 时等号成立 说明：为了使得等号成立，本题利用了“1”的逆代换。
法二：消元为一元函数 途径一：由1y bx a =+得by ay x -= ∴ b a )b y (by aby b y ab a y b y ab )b y (a y b y ay y x ++-+-=+-+=+-+-=+-=+ ∵ x>0，y>0，a>0∴ 由by ay->0得y-b>0 ∴ x+y ≥b a ab 2++当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-1y b x a b y b y ab，即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ab a x ab b y 时，等号成立途径二：令θ=2cos x a ，θ=2sin y b ，θ∈（0，2π）∴ θ=θ=22sec a cos a x ，θ=2csc b y∴ x+y=θ+θ++=θ++θ+2222cot b tan a b a )cot 1(b )tan 1(a ≥ab 2b a ++ 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+θ=θ1y b x a cot b tan a 时，等号成立说明：本题从代数消元或三角换元两种途径起到了消元作用。
例5、已知f(x)=-3x 2+a(6-a)x+b （1）解关于a 的不等式f(1)>0；（2）当不等式f(x)>0的解集为（-1，3）时，求实数a ，b 的值。
分析：（1）f(1)=-3+a(6-a)+b=-a 2+6a+b-3 ∵ f(1)>0 ∴ a 2-6a+3-b<0 △=24+4b当b ≤-6时，△≤0 ∴ f(1)>0的解集为φ；当b>-6时，6b 3a 6b 3++<<+-∴ f(1)>0的解集为{}6b 3a 6b 3|x ++<<--（2）∵ 不等式-3x 2+a(6-a)x+b>0的解集为（-1，3）∴ f(x)>0与不等式(x+1)(x-3)<0同解 ∵ 3x 2-a(6-a)x-b<0解集为（-1，3） ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=3b 33)a 6(a 2解之得⎪⎩⎪⎨⎧=±=9b 33a例6、设a ，b ∈R ，关于x 方程x 2+ax+b=0的实根为α，β，若|a|+|b|<1，求证：|α|<1，|β|<1。
解题思路分析：在不等式、方程、函数的综合题中，通常以函数为中心。
法一：令f(x)=x 2+ax+b则 f(1)=1+a+b>1-(|a|+|b|)>1-1=0 f(-1)=1-a+b>1-(|a|+|b|)>0 又∵ 0<|a|≤|a|+|b|<1 ∴ -1<a<1 ∴ 212a 21<-<-∴ f(x)=0的两根在（-1，1）内，即|α|<1，|β|<1 法二：∵α+β=-a ，αβ=b ∴ |α+β|+|αβ|=|α|+|β|<1∴ |α|-|β|+|α||β|<|α+β|+|αβ|<1 ∴（|α|-1）（|β|+1）<0 ∵ |β|+1>0 ∴ |α|<1 同理：|β|<1说明：对绝对值不等式的处理技巧是适度放缩，如|a|-|b|≤|a+b|及|b|-|a|≤|a ±b|的选择等。
例7、某人乘坐出租车从A 地到乙地，有两种方案：第一种方案，乘起步价为10元，每km 价1.2元的出租车；第二种方案，乘起步价为8元，每km 价1.4元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的里路是相等的，则此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较适合？分析：设A 地到B 地距离为mkm ，起步价内行驶的路为akm 显然，当m ≤a 时，选起步价为8元的出租车比较合适当m>a 时，设m=a+x （x>0），乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)=10+1.2x ，Q(x)=8+1.4x∵ P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x)∴ 当x>0时，P(x)<Q(x)，此时起步价为10元的出租车比较合适 当x<10时，P(x)>Q(x)，此时选起步价为8元的出租车比较合适 当x=10时，此时两种出租车任选同步练习（一）选择题1、“a>0且b>0”是“2ba +≥ab ”的 A 、充分而非必要条件 B 、必要而非充要条件 C 、充要条件 D 、既非充分又非必要条件 2、设a<0，则关于x 的不等式42x 2+ax-a 2<0的解集为A 、（6a ,7a -）B 、（7a ,6a -）C 、（a 72,7a -）D 、φ3、若0<a<b 且a+b=1，则四个数21，b ，2ab ，a 2+b 2中最大的是 A 、 21 B 、b C 、2ab D 、a 2+b 24、已知x>0，f(x)=)x1x ()x 1x (2)x 1x ()x 1x (333666+++-+-+，则 A 、f(x)≤2 B 、f(x)≥10 C 、f(x)≥6 D 、f(x)≤3 5、已知)2a (2a 1a p >-+=，2a 4a 22q -+-=（a>2），则 A 、 p>q B 、p<q C 、p ≥q D 、p ≤q 6、若|a-c|<h ， |b-c|<h ，则下列不等式一定成立的是A 、 |a-b|<2hB 、|a-b|>2hC 、|a-b|<hD 、|a-b|>h 7、关于x 的方程9x+(a+4)·3x+4=0有解，则实数a 的取值范围是 A 、 （-∞，-8]∪[0，+∞） B 、（-∞，-4） B 、 [-8，4） D 、（-∞，-8] 8、若a>0，b>0，且2a+b=1，则S=2ab -4a 2-b 2的最大值是 A 、212- B 、12- C 、212+ D 、12+ （二）填空题9、设a>0，b>0，a ，b 是常数，则当x>0时，函数f(x)=x)b x )(a x (++的最小值是______。