第08计 小姐开门 何等轻松-跳出题海我有36计之高中数学破题之道 含解析 精品
数学破题36计(183页电子版超级秘笈)
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第 1 计 芝麻开门 点到成功........................................................................................................... 1 第 2 计 西瓜开门 滚到成功........................................................................................................... 4 第 3 计 诸葛开门 扇到成功........................................................................................................... 7 第 4 计 关羽开门 刀举成功........................................................................................................... 9 第 5 计 才子开门 风情万种......................................................................................................... 13 第 6 计 勇士开门 手脚咚咚......................................................................................................... 15 第 7 计 模特开门 见一知众............................
数学破题36大招
目录目录 (1)第1关：极值点偏移问题--对数不等式法 (2)第2关：参数范围问题—常见解题6法 (6)第3关：数列求和问题—解题策略8法 (9)第4关：绝对值不等式解法问题—7大类型 (13)第5关：三角函数最值问题—解题9法 (19)第6关：求轨迹方程问题—6大常用方法 (24)第7关：参数方程与极坐标问题—“考点”面面看 (37)第8关：均值不等式问题—拼凑8法 (43)第9关：不等式恒成立问题—8种解法探析 (49)第10关：圆锥曲线最值问题—5大方面 (55)第11关：排列组合应用问题—解题21法 (59)第12关：几何概型问题—5类重要题型 (66)第13关：直线中的对称问题—4类对称题型 (69)第14关：利用导数证明不等式问题—4大解题技巧 (71)第15关：函数中易混问题—11对 (76)第16关：三项展开式问题—破解“四法” (82)第17关：由递推关系求数列通项问题—“不动点”法 (83)第18关：类比推理问题—高考命题新亮点 (87)第19关：函数定义域问题—知识大盘点 (93)第20关：求函数值域问题—7类题型16种方法 (100)第21关：求函数解析式问题—7种求法 (121)第22关：解答立体几何问题—5大数学思想方法 (124)第23关：数列通项公式—常见9种求法 (129)第24关：导数应用问题—9种错解剖析 (141)第25关：三角函数与平面向量综合问题—6种类型 (144)第26关：概率题错解分类剖析—7大类型 (150)第27关：抽象函数问题—分类解析 (153)第28关：三次函数专题—全解全析 (157)第29关：二次函数在闭区间上的最值问题—大盘点 (169)第30关：解析几何与向量综合问题—知识点大扫描 (178)第31关：平面向量与三角形四心知识的交汇 (179)第32关：数学解题的“灵魂变奏曲”—转化思想 (183)第33关：函数零点问题—求解策略 (194)第34关：求离心率取值范围—常见6法 (199)第35关：高考数学选择题—解题策略 (202)第36关：高考数学填空题—解题策略 (211)第1关：极值点偏移问题--对数不等式法我们熟知平均值不等式：即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是.我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式，以下简单给出证明：不妨设，设，则原不等式变为：以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题目1：（2015长春四模题）已知函数有两个零点，则下列说法错误的是A. B. C. D.有极小值点，且【答案】C【解析】函数导函数：有极值点，而极值，，A正确.有两个零点：，，即：①②①-②得：根据对数平均值不等式：，而，B正确，C错误而①+②得：，即D成立.题目2：（2011辽宁理）已知函数.若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，，，则，①②①-②得：，化简得：③而根据对数平均值不等式：③等式代换到上述不等式④根据：（由③得出）∴④式变为：∵，∴，∴在函数单减区间中，即：题目3：(2010天津理)已知函数.如果，且.证明：.【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则，，两边取对数①②①-②得：根据对数平均值不等式题目4：（2014江苏南通市二模）设函数，其图象与轴交于两点，且.证明：（为函数的导函数）.【解析】根据题意：，移项取对数得：①②①-②得：，即：根据对数平均值不等式：，①+②得：根据均值不等式：∵函数在单调递减∴题目5：已知函数与直线交于两点.求证：【解析】由，，可得：①，②①-②得：③①+②得：④根据对数平均值不等式利用③④式可得：由题于与交于不同两点，易得出则∴上式简化为:∴第2关：参数范围问题—常见解题6法求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
第25计函数开门以静显动-跳出题海我有36计之高中数学破题之道(解析版).docx
【计名释义】函数把运动学带进了数学•函数本身讲的是数的互动，而静则是运动过程中的某一即时状态.动以静为参照， 没有参照物的运动是没有意义的，同样没有“静数”的函数也无意义.当变量（动数）的个数较多时，我们 先考虑一对互动中的变数，而把其他变数暂视静止（常数或参数），例如，考虑二次函数y =ax 2^bx+c 时・， 是把看作一对互动的变数，而把eb,c 看作“静数”.其实，也在变化，只是要等到紺要考虑它们的 变化时再把它们视作变数.【典例示范】【例1】 某工厂有旧墙一面长14米，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126平方米的厂 房,工程条件：①建1米新墙的费用为d 元；②修1米旧墙的费用是纟元；③拆去1米旧墙，用所得材料建1米新墙的费用为纟元.经过讨论有两种方案：2（1） 利用旧墙的一段无米（*14）为矩形厂房一面的边长；（2） 矩形厂房利用旧墙的一而边长为.^14.问如何利用旧墙，即兀为多少米时，建墙费用最省？（1）、（2） 两种方案哪个更好？【分析】 通过分析已知条件比较容易想到用函数模型來解此题.以建墙费用为目标函数，再通过讨论函数 的最小值来解决问题.【解答】 设利用I 口墙的一面边长为兀米，则矩形的另一面边长为竺.米.（1）利用旧墙的一段兀米（*14）为矩形一面边长，则修旧墙的费用为一元，将剩余的旧墙拆得的材料4建新墙的费用为—X ）元,其余建新墙的费用为：（2兀+习竺-14.元，所以，跳出题海，我有36计故总费用为:得：y =la—-1 |(0<x<14), 1.4 % 丿⑵若利用IH 墙一面矩形边长兀$14,则修旧墙的费用为元，建新墙的费用为(2兀++ 2a x + ^-^-7 (x> 14)I兀 丿以下用求导法解决问题：, 126・ y =2“ (1 -——).- %2.•.x>V126 时，>0,而 14>V126 .故xW [14,+8)时函数y 单调增.・・」二14 吋,y inill =— + 2J14 + —-7 | = 35-5。
用数字密码巧记三十六计
数字密码速记“三十六计”中国经典兵法成语三十六计里面有一计为大家所熟知：“三十六计走为上策”，但是大家是否知道这三十六计都是哪些呢，知道了你能记住吗？今天我就给大家介绍一个能让你倒背如流的记忆方法：数字密码来快速记忆三十六计。
现在我们就一起来学习这个方法吧！第一计：瞒天过海1的数字密码是“树”。
你要渡过一片大海，但你的船不能被天上的敌机发现，这时你想了一个好办法，用一棵大树顶在头上，偷偷地渡过了大海。
当你想到1的时候，就想到树，想到树的时候，就想到你用树瞒着天上的敌机，安全渡过大海，这就是“瞒天过海”。
第二计：围魏救赵2的数字密码是“鸭子”。
我们想象有一大群鸭子，里三层，外三层地团团围住一座城堡。
这座城堡叫做魏，由于魏家人把它们的旧照（救赵）给抢走了，那些勇敢的鸭子把魏家给围了起来，要求魏家人把旧照还给它们。
当你想到2的时候，就想到鸭子，鸭子在做什么呢？它们在“围魏救赵”。
第三计：借刀杀人3的数字密码是“耳朵”。
想象在战场上，有一个英雄借来了一把刀，去砍他的敌人，但没想到，却把自己的一只耳光砍掉了。
想到3就想到耳朵，借把刀来杀人却砍掉了自己的一只耳朵。
这就是“借刀杀人”的结果。
第四计：以逸待劳4的数字密码是“红旗”。
想象你拿了一面红旗，站在山顶上，大声对山脚下的朋友喊道：“你们谁先到山顶，我这面红旗就奖给谁！”说完后，你很悠闲地坐在山顶，等着他们喘着粗气跑上来。
当你想到4的时候就会想到红旗，你拿着红旗“以逸待劳”。
第五计：趁火打劫5的数字密码是“钩子”。
想象有一间珠宝店失火了，一个贼趁着别人都在救火的时候，用一只系着长绳的钩子去偷店里的珠宝。
这就是＂趁火打劫＂！第六计：声东击西6的数字密码是“勺子”。
想象你手上拿着一把很有魔力的勺子，当你在西边敲的时候，竟然在东边发出了声音。
当你想到６的时候，你就想到这个有着魔力的勺子，你拿着勺子＂声东击西＂。
第七计：无中生有7的数字密码是“拐杖”。
想象有个魔术师，忽然在空荡荡的手中变出了一根拐杖，这真是＂无中生有＂呀。
第36计 思想开门 人数灵通-跳出题海我有36计之高中数学破题之道 含解析 精品
跳出题海，我有36计第36计 思想开门 人数灵通【计名释义】为什么要学数学？难道仅仅是为了那几个公式、那几项法则、那几条定理？学过数学的人，到后来多数把那些具体的公式、法则和定理忘得一干二净，这岂不是说，他们的数学白白学了？所谓“数学使人聪明”，就是学过数学的人们，看待问题和解决问题时有一种优质的、高品位的思想. 这种思想，它来自数学公式、法则和定理的学习过程，但它一旦形成了思想，就可以与形成它的数学具体的知识相对分离. 而与人的灵性结合，形成人的自觉行为活动. 中学数学可以形成的思想（方法），公认的有七种，这七种思想首先要与人的灵性融合，反过来，在解决数学问题时，又能使数学问题也具有灵性，从而达到人与数的沟通、实现“人数合一”的思想境界.【典例示范】【例1】 校明星篮球队就要组建了，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A 级的可作为入围选手.选拔过程中每人最多投篮5次，若投中了3次则确定为B 级，若投中4次以上则可确定为A 级，已知高三（1）班阿明每次投篮投中的概率是21. (1)求阿明投篮4次才被确定为B 级的概率；（2）若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率.【解答】 (1)求阿明投篮4次才被确定为B 级的概率，即求前3次中恰有2次投中且第4次必投中的概率，其概率为P =C 23·（21）2·21·21=163.④投中0次，其仅有“否否”一种投球方式，其概率为：P （1）=（21）2=41， ∴P =P (3)+P (2)+P (1)+P (0)=163+325+163+ 41=3225. 【点评】 本题是以考生喜闻乐见的体育运动为背景的一种概率应用题，考查或然和必然的思想.【例2】下面的数表1=13+5=87+9+11=2713+15+17+19=6421+23+25+27+29=125所暗示的一般规律是 .【解析】（n2-n+1)+(n2-n+3)+…+［n2-n+(2n-1)］= n3设第n行左边第一个数为a n，则a1=1，a2=3，a n+1=a n+2n. 叠加得a n=n2-n+1，而第n行等式左边是n个奇数的和，故第n行所暗示的一般规律是（n2-n+1)+(n2-n+3)+…+［n2-n+(2n-1)］=n3.【点评】数表问题由来已久，常作为高考数列开放性探索题.由高中的数学竞赛到高考中的杨辉三角问题研究，此类问题走势也在增强.由已知的有限条件探讨到无限的规律中去.【强化训练】1．若下列关于的方程，，，（为常数）中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先假设三个方程都无实根，利用判别式为负值得到的取值范围，再利用补集进行求解．详解：若三个方程都无实根，则，即，即；若三个方程至少有一个方程有实根，则或．点睛：1.在处理涉及“至少有一个”、“至多有个”问题时，往往可以转化为其对立事件“一个也没有”、“至少有个”，利用补集思想进行求解；2.处理一元二次方程解的个数问题时，往往要根据判别式的符号进行判定，若二次项实数含有字母时，要注意讨论二次项系数是否为0．2．“”是“函数在区间上有零点”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A点睛：本题主要考查零点定理以及充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3．在中，若，边上中线长为3，则（）A. -7B. 7C. -28D. 28【答案】A点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式.二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量数量积的坐标运算，即可求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．4．如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用平面向量的线性运算，得出满足的不等关系，再利用线性规划思想求解.详解：由题意，当在线段上时，，当点在线段上时，，∴当在四边形内（含边界）时，（＊），又，作出不等式组（＊）表示的可行域，如图，表示可行域内点与连线的斜率，由图形知，，即，∴，，故选C.点睛：在平面向量的线性运算中，如图，的范围可仿照直角坐标系得出，，类比于轴，直角坐标系中有四个象限，类比在（）中也有四个象限，如第Ⅰ象限有，第Ⅱ象限有，第Ⅲ象限有，第Ⅳ象限有，也可类比得出其中的直线方程，二元一次不等式组表示的平面区域等等.5．实数满足，则最大值为（）A. 3B. 5C.D.【答案】B【解析】分析：画出可行域，将目标函数转化为，根据表示可行域内与原点连接的斜率，结合图形即可得结果.详解：画出表示的可行域，如图，化简，表示可行域内与原点连接的斜率，由，得，最大值为，的最大值为，即最大值为，故选B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．已知抛物线（）与双曲线（，）有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，且轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先设出点A的坐标，然后结合点在双曲线上可求得直线斜率的平方，结合其数值可得直线倾斜角的取值范围.故双曲线的渐近线的倾斜角所在的区间为.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查抛物线的性质，双曲线的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．函数()f x 按照下述方式定义，当2x ≤时， ()22f x x x =-+；当2x >时， ()()132f x f x =-，方程()15f x =的所有实数根之和是（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】D【解析】分析：首先利用题中所给的函数解析式，画出相应区间上的函数的图像，之后借助于当2x >时，()()132f x f x =-的条件，画出后边若干段图像，观察每段上的对称轴，得到其对应的根的和，求得结果. 详解：画出函数的图像，结合图像可知，当2x <时，两根之和为2， 当25x <<时，两根之和为8， 当58x <<时，两根和为14，所以方程的所有根之和为24，故选D.点睛：该题考查的是有关方程根的和的问题，在求解的过程中，需要对函数的解析式进行分析，画出函数的图像，根据图像的对称性，求得根的和即可.8．已知函数，，对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是______________．【答案】点睛：本题考查函数中多元变量任意存在的问题，一般来说都转化为子集问题，若是任意，存在，满足，即转化为，若是任意，任意，满足，即转化为，本题意在考查转化与化归的能力.9．已知函数，，，若关于x的方程f(x)+g(x)=0有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是____．【答案】【解析】分析：根据函数的奇偶性，把方程有四个不同的实数解，转化为方程在上有两个解，进而转化为与在在上有两个解，利用函数的性质即可求解．详解：由，则，所以函数是偶函数，所以要使得方程有四个不同的实数解，则，只需有两个不同的实数解，即方程在上有两个解，要使得与在在上有两个解，则，即．点睛：本题考查了由方程解得个数求解参数问题，解答中涉及到函数的奇偶性、函数的单调性，以及函数的图象的综合应用，其中根据函数的奇偶性，把方程有四个不同的实数解，转化为方程在上有两个解是解答的关键，着重考查了转化的思想方法的应用，试题属于中档试题．10．已知0,0a b >>，则2222629ab abb a b a +++的最大值是__________．【解析】分析：将2222629ab ab b a b a +++通分后，再将分子分母同时除以22a b ，再设3b a t a b+=，根据对勾函数的性质，即可求得2222629ab abb a b a +++的最大值.详解：∵3322224224622489910ab ab ab a bb a b a b a b a ++=++++∴2222238248931010b a b a a b ab b a b a a b a b⎛⎫+⨯+⨯⎪⎝⎭=⎛⎫++++ ⎪⎝⎭令3b a t a b +=，则22223884310b a t a b t b aa b⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪⎝⎭. ∵0,0a b >>∴t ≥∴2884t t t t =++ 又∵4y t t =+在)⎡+∞⎣上为单调递增∴43min t t ⎛⎫+== ⎪⎝⎭ ∴2222629ab abb a b a +++的最大值是8=点睛：解答本题的关键是将等式化简到22238310b a a b b aa b⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭，再通过换元将其形式进行等价转化，最后运用对勾函数的单调性求出该函数的最值，从而使得问题获解.形如()(0,0)bf x ax a b x=+>>的函数称为对勾函数，其单调增区间为,⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭；单调减区间为⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，⎛ ⎝.。
第07计 模特开门 见一知众-跳出题海我有36计之高中数
跳出题海，我有36计【计名释义】一时装模特，在表演时，自己笑了，台下一片喝彩声. 她自感成功，下去向老板索奖. 谁知老板不仅没奖，反而把她炒了. 冤枉不？不冤枉！.模特表演是不能笑的. 试想，模特一笑，只能显示模特本人的特色，谁还去看她身上的服装呢？所以，模特一笑，特在模掉！数学的特殊性（特值）解题，既要注意模特的特殊性，更要注意模特的模式性（代表性），这样，才能做到“一点动众”. 特值一旦确定，要研究的是特值的共性.选择题中的“特值否定”，填空题中的“特值肯定”，解答题中的“特值检验”，都是“一点动众”的例子.【典例示范】【例1】 如果0<a <1,那么下列不等式中正确的是 （ ）A .(1-a )31>(1-a )21 B .log (1-a )(1+a )>0 C .(1-a )3>(1+a )2 D .(1-a )1+a >1【点评】本题是一个选择题，因此可以选一个模特数代表一类数，一点动众. 你还需要讲“道理”吗？x y 21log =为减函数，log 2123=<1log 210, B 不对；x y )21(=也是减函数，12121023=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛,D 不对；直接计算，C 也不对；只有A 是对的. 【例2】已知定义在实数集R 上的函数y =f (x )恒不为零，同时满足:f (x+y )=f (x )·f (y ),且当x >0时，f (x )>1,那么当x <0时，一定有 （ ）A ．f (x )<-1B .-1<f (x )<0C .f (x )>1D .0<f (x )<1【点评】题干中的函数抽象，先选定特殊的指数函数使之具体，而指数函数无穷无尽地多，索性再特殊到底，选定最简单且又符合题意的函数y =2x, 这就是我们这题的模特,结果是轻而易举地找出了正确答案.在考场上分分秒秒值千金，你还愿意纠缠在“为什么”上无谓地牺牲自己宝贵的时间吗？ 【思考2】 取特值. 令x =0, y =0, 有f (0) = ［f (0)2( f (x )≠0), 则f (0)=1,f (0)= f (x-x )= f (x ) f (-x ), 即)(1)(x f x f -=, 当x <0时，-x >0. 由条件：f (-x )>1, 故x <0时, 0< f (x )<1.【例3】 若A, B, C 是△ABC 的三个内角，且A<B<C （C ≠2π), 则下列结论中正确的是（ ） A .sinA <sinC B .cosA <cosC C .tanA <tanC D .cotA <cotC【思考】本题的模特是取特殊角. 令A =30°, B = 45°,C =105°, 则cosC <0,tanC <0,cotC <0.B 、C 、D .故A .【点评】此题用常法论证也不难，但是谁能断言：本解比之常法不具有更大的优越性呢？【强化训练】1．若a b >，则下列不等式中正确的是（ ）A . 22a b <B .11a b< C . 222a b ab +> D . 22ac bc > 【答案】C【解析】取3,2,a b a b ==>，但22a b >，故A 错；取2,2,a b a b ==->，但11a b>，故B 错； ()2222a b ab a b +-=-，因a b >，故0a b ->，从而()22220a b ab a b +-=->，故C 正确；若0c =，则220ac bc ==，故D 错，综上，选C .2．设()32xf x x =-.则在下列区间中，使函数()f x 有零点的区间是( )A . ()1,0-B . ()0,1C . ()1,2D . ()2,3【答案】C3．已知245log 6,log 12,log 15a b c ===，则（ ）A . a b c >>B . b c a >>C . c a b >>D . c b a >>【答案】A【解析】224455log 61log 3,log 121log 3,log 151log 3a b c ==+==+==+， 所以a b c >>。
高考数学解题破题36计
高考数学解题破题36计第1计 芝麻开门 点到成功 ●计名释义七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了.数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.●典例示范［例题］将杨辉三角中的每一个数r n C 都换成分数rn C n )1(1+，就得到一个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出rn x n r n nC C n C n 11)1(1)1(1-=+++，其中=x .令221)1(1160130112131n n n C n nC a +++++++=- ，则=∞→n n a lim.［分析］ 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意.莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点11的主意.［解Ⅰ］ 将等式rn x n r n nC C n C n 11)1(1)1(1-=+++与右边的顶点三角形对应（图右），自然有21)1(1=+rnC n21)1(1=+xnC n1111=-r n nC对此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1对一般情况讲，就是x = r+1 这就是本题第1空的答案.［插语］ 本题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x = r+1.第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项31.［解Ⅱ］ 在三角形中先找到了数列首项31，并将和数列 ++++=60130112131n a 中的各项依次“以点连线”（图右实线），实线所串各数之和就是an . 这个an ，就等于首项31左上角的那个21. 因为21在向下一分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍去的各项（虚线所串）所成数列的极限是0.因此得到=∞→n n a lim 21这就是本题第2空的答案.［点评］ 解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数31，采用的方法是以点串线——三角形中的实线，实线上端折线所对的那个数21就是问题的答案.事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质. 例如从201这个数开始，向左下连线（无穷射线），所连各数之和（的极限）就是201这个数的左上角的那个数121. 用等式表示就是1211401601201=⋯+++［链接］ 本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4分的小题，而是一个10分以上的大题. 有关解答附录如下.［法1］ 由rn r n r n nC C n C n 111)1(1)1(1-+=+++知，可用合项的办法，将n a 的和式逐步合项. 221)1(1130112131n n n C n nC a ++++++=-11221242322)1(1)1(1)1(11514131n n n n C n C n C n nC C C C +-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++++=-11121242322)1(111514131n n n C n nC nC C C C +-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=--11222)1(13131n C n C C +-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=111)1(121n C n C +-=n n )1(121+-=→21［法2］ 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即231241302)1(11514131---++++++=n n n n n C n nC C C C a 根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项1)1(1-+n n C n ，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为21，故1)1(121---=n n n C n a ，从而21)1(121l i m l i m 1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=-∞→∞→n nn n n C n a［法3］ （2）将1+=r x 代入条件式，并变形得rn r n r n C n nC C n )1(11)1(111+-=+-+取,1=r 令 ,,,3,2n n =得1211223121)12(131C C C -=+= 1312234131)13(1121C C C -=+=，1413245141)14(1301C C C -=+= … … …1111211)1(11-----=n n n nC C n nC 1112)1(11)1(1n n n C n nC C n +-=+-以上诸式两边分别相加，得)1(121+-=n n a n 21［说明］ 以上三法，都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀. 为此我们认识到“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义.●对应训练1．如图把椭圆1162522=+y x 的长轴AB 分成8份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+……+|P7F|=_______.2．如图所示，直三棱柱ABC —A1B1C1中，P ，Q 分别是侧棱AA1，CC1上的点，且A1P=CQ ，则四棱锥B1—A1PQC1的体积与多面体ABC —PB1Q 的体积比值为 .→●参考解答1．找“点”——椭圆的另一个焦点F2.连接P1F2 、P2F2 、…、P7F2，由椭圆的定义FP5+P5 F2 = 2a =10 如此类推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = … =FP7 + P7F2 = 7×10 = 70 由椭圆的对称性可知，本题的答案是70的一半即35. 2．找“点”——动点P 、Q 的极限点.如图所示，令A1P = CQ = 0. 即动点P 与A1重合，动点Q 与C 重合.则多面体蜕变为四棱锥C —AA1B1B ，四棱锥蜕化为三棱锥C —A1B1C1 .显然311 1 1 —=C B A C V V 棱柱.∴11 1 —C B A C V ∶BB AAC V 1 1 —=21于是奇兵天降——答案为21.［点评］ “点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局. 这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一.第2计 西瓜开门 滚到成功●计名释义比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.●典例示范 ［题1］对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f '（x ）≥0，则必有 A. f （0）＋f （2）< 2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2 f （1） C. f （0）＋f （2）≥ 2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1）［分析］ 用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想. 这点在已条件（x-1）f ＇(x)≥0中暗示得极为显目.其一，对f ＇(x)有大于、等于和小于0三种情况； 其二，对x-1，也有大于、等于、小于0三种情况. 因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.［解一］ （i ）若f ＇(x) ≡ 0时，则f(x)为常数：此时选项B 、C 符合条件.（ii ）若f ＇(x)不恒为0时. 则f ＇(x)≥0时有x ≥1，f （x ）在[)∞,1上为增函数；f ＇(x)≤0时x ≤1. 即f （x ）在(]1,-∞上为减函数. 此时，选项C 、D 符合条件. 综合（i ），（ii ），本题的正确答案为C.［插语］ 考场上多见的错误是选D. 忽略了f ＇(x) ≡ 0的可能. 以为（x-1）f ＇(x) ≥0中等号成立的条件只是x-1=0，其实x-1=0与f ＇(x)=0的意义是不同的：前者只涉x 的一个值，即x=1，而后是对x 的所有可取值，有f ＇(x) ≡ 0.［再析］ 本题f （x ）是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f （0），f （1），f （2）. 因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想.［解二］ （i ）若f ＇(x)=0，可设f （x ）=１. 选项Ｂ、Ｃ符合条件. （ii ）f ＇(x)≠0. 可设f(x) =（x-1）2 又 f ＇(x)=2（x-1）.满足 (x-1) f ＇(x) =2 (x-1)2≥0，而对 f (x)= (x-1)2. 有f （0）= f （2）=1，f （1）=0 选项C ，D 符合条件. 综合（i ），（ii ）答案为C.［插语］ 在这类 f (x)的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x-1)2. 如果在同类中找到了(x-1)4 ，(x-1)34 ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化.［再析］ 本题以函数（及导数）为载体. 数学思想①——“函数方程（不等式）思想”. 贯穿始终，如由f '（x ）= 0找最值点x =0，由f '（x ）>0（<0）找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题.由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.［解三］ （i ）若f (0)= f (1)= f (2)，即选B ，C ，则常数f (x) = 1符合条件. （右图水平直线）（ii ）若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.（右图上拱曲线），但不满足条件(x-1) f '（x ）≥0若f (0)= f (2)> f (1)对应选项C ，D （右图下拱曲线）. 则满足条件(x-1) f '（x ）≥0.［探索］ 本题涉及的抽象函数f (x)，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x-1) f '（x ）≥0，并由此可以判定f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然，有这种性质的具体函数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.［变题］ 以下函数f (x)，具有性质(x-1) f '（x ）≥0从而有f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函数是 A. f （x ）= (x-1)3 B. f （x ）= (x-1)21 C. f （x ）= (x-1)35 D. f （x ）= (x-1)20052006［解析］ 对A ，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；对B ，f (0)无意义； 对C ，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求； 答案只能是D. 对D ， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.且f '（x ）=20052006(x-1)20051 使得 (x-1) f ＇(x) =(x-1)20052006(x-1)20051≥0.［说明］ 以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如f '（x ）=(x-1) 122-m n ，其中m ，n 都是正整数，且n≥m.［点评］ 解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化，这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.［题2］ 已知实数x ，y 满足等式 369422=+yx ，试求分式5-x y的最值。
第06计+勇士开门+手脚咚咚-跳出题海我有36计之高中数学破题之道+Word版含解析
跳出题海，我有36计【计名释义】一个妇女立在衙门前的大鼓旁边，在哭. 一勇士过来问其故.妇女说：“我敲鼓半天了，衙门还不开.” 勇士说：“你太斯文，这么秀气的鼓捶，能敲出多大声音？你看我的！”说完，勇士扑向大鼓，拳打脚踢. 一会儿，果然衙门大开，衙役们高呼：“有人击鼓，请老爷升堂！”考场解题，何尝不是如此：面对考题，特别是难题，斯文不得，秀气不得，三教九流，不拘一格. 唯分是图，雅的，俗的，一并上阵.【典例示范】【例1】已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P (3,1)是一个定点，则|MP |＋|MF |的最小值是() A . 2 B . 3 C . 4 D . 5【答案】C【点睛】求抛物线上一点到抛物线内一点的距离与到焦点的距离的和，应利用抛物线的定义转化为抛物线上的点到已知点的距离与到准线距离的和，当垂足、抛物线内的点、抛物线上的点三点共线时，距离和最小，即为抛物线内的点到准线的距离。
【例2】已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时， ()()'0f x xf x +<，若()20f =，则不等式()0xf x >的解集为（ ）A . {|2002}x x x -<<<<或B . {|22}x x x -或C . {|202}x x x -<或D . {|202}x x x <-<<或【答案】D【强化训练】1．已知12F F ，为双曲线22154x y -=的左、右焦点，P (3，1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则2AP AF +的最小值为( )A 4B 4C －D 【答案】C【解析】21AF AF =-则211AP AF AP AF PF +=+-≥-C 。
2．已知椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F ， O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4AF =，则PA PO +的最小值为（ ）A .B .C .D . 【答案】A【解析】3．直线y m =分别与曲线()21y x =+，与()ln 1y x x =++交于点,A B ，则AB 的最小值为( )A B . 1 C . 32 D . 2 【答案】B【解析】直线y m =分别与曲线()21y x =+，与()ln 1y x x =++交于点,A B ，设()()12,,,A x m B x m .有： ()()12221,ln 1x m x x m +=++=， 所以()221ln 111,22x x m x ++=-=- 所以()()2222122ln 1ln 12122x x x x AB x x x +++--=-=--=.令()()()1ln 12,1,1,11x f x x x x f x x x -=+-->-=-=++' 当()1,0x ∈-时， ()0f x '>, ()f x 单调递增；当()0,x ∞∈+时， ()0f x '<, ()f x 单调递减； ()()()02,12f x f x f AB ≤=-=≥.即AB 的最小值为1.故选B . 点睛：本题的解题关键是将要求的量用一个变量来表示，进而利用函数导数得到函数的单调性求最值，本题中有以下几个难点：（1）多元问题一元化，本题中涉及的变量较多，设法将多个变量建立等量关系，进而得一元函数式；（2）含绝对值的最值问题，先研究绝对值内的式子的范围，最后再加绝对值处理.4．已知函数()ln f x x =，若()11f x -<，则实数x 的取值范围是（ ）A . (),1e -∞+B . ()0,+∞C . ()1,1e +D . ()1,e ++∞【答案】C5．已知函数()20172017log x f x =+ )20173x x --+，则关于x 的不等式()()126f x f x -+>的解集为（ ）A . (),1-∞B . ()1,+∞C . ()1,2D . ()1,4【答案】A【解析】由题意易知： ()201720172017log x x g x -=-+ )x 为奇函数且在()∞∞-+，上单调递增,∴()()12336g x g x -+++>，即()() 21g x g x >-∴21x x >-∴1x <∴不等式()()126f x f x -+>的解集为(),1-∞故选：A6．奇函数()f x 在()0-∞，上单调递增，若()10f -=，则不等式()0f x <的解集是（ ） A . ()(),10,1-∞-⋃ B . ()(),11,-∞-⋃+∞C . ()()1,00,1-⋃D . ()()1,01,-⋃+∞【答案】A7．已知函数()x xf x e e -=-，若()()22log 12log 0f m f m +->，则实数m 的取值范围是（ ） A . ()1,2 B . 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C . ()0,1 D . ()0,2【答案】D【解析】()()x x f x e e f x --=-=-，所以()f x 是奇函数，单调递增，所以()()22log 2log 1f m f m >-， 22log 2log 1m m >-，得2log 1m <，所以02m <<，故选D 。
第03计诸葛开门扇到成功-跳出题海我有36计之高中数学破题之道(解析版)
7
[来源 : 学科网 ZXXK]
【点睛】本题主要考查构造函数并利用导数证明求解不等式
. 首先观察已知所给的不等式，左边是一个整式
的形式，右边是两个对数的和，将两个对数的真数相加，发现和左边有点类似，故将不等式左边变为右边
的形式，从而构造函数 f x lnx x 1利用导数来解决本题 .
2．已知函数 f x
在图像上显示的即是函数的图象无限的接
近渐近线 . 在双曲线中 c a
a2 b2
c
a2
，在椭圆中
a
a2 b2 a2
【强化训练】 1．已知实数 x, y 满足 3x y ln x 2 y 3 ln 2x 3 y 5 ，则 x y （ ） [来源:学科网]
12
A.
B.
5
【答案】 C
14
C.
5
16
D.
7
18
【点评】 这里，“借来”的不是等差数列本身的性质，而是等差数列求和时曾用过的办法——倒序相加法
.
【例 2】8．过双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 右顶点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于
两点，
则此双曲线离心率的取值范围为 _____________ ．
【答案】 1, 5
b
b
【解析】双曲线的渐近线方程为 y
e
m 有一解即可，设
e1
h( x）有极小值
e2 ，故
6．在推导等差数列前 n 项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得
sin21 sin2 2
sin 2 89 __________ ．
【答案】 44.5
【解析】令 S sin 21 sin2 2
2018高考跳出题海我有36计之高中数学破题之道(word版含答案) (3)
跳出题海，我有36计第10计 聋子开门 慧眼识钟 【计名释义】一群人到庙里上香，其中有一个聋子，还有一个小孩.上香完毕，发现小孩不见了.半天找不到影子后，大家来“问”这聋子.聋子把手一指，发现小孩藏在大钟底下，而且还在用手拍钟.大家奇怪，连我们都没有听见小孩拍钟的声音，聋子怎么听着了呢？其实，大伙把事情想错了，聋子哪里听到了钟声，只是凭着他的亮眼，发现大钟底下是好藏小孩的地方.聋子的直觉感往往超过常人.数学家黎曼是个聋子，据说，他所以能创立他的黎曼几何，主要受益于他的超人的直觉看图.为了增强直觉思维，建议大家在解数学题时，不妨装装聋子，此时，难题的入口处，可能闪出耀眼的灯光.【典例示范】【例1】设函数()222f x ax x =-+，对于满足14x <<的一切x 值都有()0f x >，则实数a 的取值范围为（ ）A . 1a ≥B .112a << C . 12a ≥ D . 12a > 【答案】D【方法点晴】本题主要考查二次函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.本题就是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.【例2】已知，则______；则__________． 【答案】 1 60 【解析】令得：1=因为，所以点睛：赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.【强化训练】1．定义在上的偶函数，满足，且在上是减函数，又与是锐角三角形的两个内角，则（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】、为锐角三角形的两内角．∴，则．∴．且、．又∵，在上单调递减．∴在上单调递减．又∵是上偶函数．∴在上单调递增．∴．故选．点睛：（1）在锐角三角形ABC中，，则,有，同理有：（2）偶函数满足；（3）周期性：是周期为的函数.2．已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，若对任意的正实数，都有恒成立，且，则使成立的实数的集合为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】构造函数,当时,依题意有,所以函数在上是增函数,由于函数为奇函数,故在时,也为增函数,且,,所以不等式根据单调性有,故选.【点睛】本小题主要考查函数导数与单调性,考查构造函数法解不等式的方法,考查函数的奇偶性与单调性.题目给定,这是一种常见的构造函数的题目,本题是构造函数,构造那种函数,主要利用乘法或者除法的导数进行猜想.3．函数为定义在上的奇函数，当时，函数单调递增。
高中数学破题三十六计，让你解题所向披靡，轻松拿高分，学霸跪下叫爸爸！
高中数学破题三十六计，让你解题所向披靡，轻松拿高分，学
霸跪下叫爸爸！
还有谁！还有谁！怎么一个能打的都没有！”，数学居高临下的看着这些刚刚被它殴打到鼻青脸肿的学渣，
“变态数学题，你别嚣张，一定有人会收拾你的！”.
在高考中，
许多高中生都活在数学的阴影和恐惧下，因为它的武功之高无人能敌，几乎整个高考的人都曾经挑战过它，但都一一落败，曾经有人想要夜袭数学，但无意间听到它睡觉做梦时瑟瑟发抖地说：“求你们了，不要用36计打我了，我认输，我认输，你们学魁帮的人我都惹不起，惹不起......”，
不可一世的数学竟然在梦中害怕到求饶，所有人听到这个消息时都震惊不已并立即动身想要查明36计是何物，学魁帮的人又是何方高人，在经过一番调查之后，他们终于知道了一切的真相，
“数学因为忍受不了和学魁帮的人比试经常被殴打而偷偷跑了出来，而学魁帮的人因为学会了超级秘笈《数学破题36计》而个个武功高强”.
数学破题36计！183页！一本让数学瑟瑟发抖的超级秘笈，计计致命，堪称是数学的无敌克克克克克克克克克克克克克克星！得到它的人从此改变人生轨迹，走上人生巅峰，令无数曾经仰望的学霸低下头来叫“爸爸”！
可惜秘籍只在校园中留下几章残篇，并留下一个无人破解的线索，只要破解这个线索，就能得到秘籍的全本，这条线索是，
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补充最强大脑启蒙课三十六计(讲师版)
数字文字 任意抽背
思维 整理
科目知识 如何运用
最强大脑之三十六计
关闭手机
心态归零
遵守时间
课堂要求
积极参与
不要大声喧哗
注意环境卫生
课间要求
保持礼仪
课后要求
注意安全
第01计 瞒天过海 第03计 借刀杀人 第05计 趁火打劫 第07计 无中生有 第09计 隔岸观火 第11计 李代桃僵 第13计 打草惊蛇 第15计 调虎离山 第17计 抛砖引玉
第02计 围魏救赵 第04计 以逸待劳 第06计 声东击西 第08计 暗度陈仓 第10计 笑里藏刀 第12计 顺手牵羊 第14计 借尸还魂 第16计 欲擒故纵 第18计 擒贼擒王
第20计－混水摸鱼 第22计－关门捉贼 第24计－假道伐虢 第26计－指桑骂槐 第28计－上屋抽梯 第30计－反客为主 第32计－空城计 第34计－苦肉计 第36计－走为上
1.地球极半径：6356km 地球赤道半径：6378km 地球平均半径：6371km
2.马克思出生日期：1818年5月5日 3.秦始皇统一中国：公元前221年 4.阿伏伽德罗常数：6.02*10 23 5.叶绿体色素:类胡萝卜素占1/4
二溜
第27计 假痴不癫
耳机
第28计 上屋抽梯
恶霸
第29计 树上开花
阿胶
第30计 反客为主
三菱车
第31计 美人计
鲨鱼
第32计 空城计
扇儿
第33计 反间计
闪闪
第34计 苦肉计
绅士
第35计 连环计
珊瑚
第36计 走为上计
山鹿
第01计 瞒天过海 第03计 借刀杀人 第05计 趁火打劫 第07计 无中生有 第09计 隔岸观火 第11计 李代桃僵 第13计 打草惊蛇 第15计 调虎离山 第17计 抛砖引玉
第05计 才子开门 风情万种-跳出题海我有36计之高中数
跳出题海，我有36计【计名释义】所谓才子，就是才思繁捷的弟子. 数学才子，也像画学才子一样，胡洒乱泼，墨皆成画. 这里，人们看到的“胡乱”只是外表. 在里手看来，科学的规律，艺术的工夫，全藏肘后. 别人肩上的重负，移到他的掌上，都成了玩意儿.【典例示范】【例1】 试比较以下三数的大小：22ln ，33ln ，55ln［旁白］ 才子一看，发现是个错解，于是有以下的评语.［评语］ 学了导数可糟糕，杀鸡到处用牛刀，单调区间不清楚，乱用函数比大小.【解二】 作差比较法22ln -33ln =98ln 6169ln 8ln 323ln 22ln 3=-=⨯-<0 22ln -55ln =2532ln 1011025ln 32ln 525ln 22ln 5=-=⨯->0［旁白］ 才子一看，答案虽是对的，但解题人有点过于得意，因此得到以下评语.［评语］解题成本你不管，别人求近你走远，作差通分太费力，面对结果向回转.［旁白］ 大家听才子这么说，纷纷要求才子本人拿出自己的解法来，于是有了以下的奇解. ［奇解］22ln ×3ln 3=9ln 8ln <1 22ln ×5ln 5=25ln 32ln >1 ⇒ 33ln >22ln >55ln⇒55ln 22ln 33ln >>［旁白］ 大家一看，十分惊喜，但对解法的来历有点奇怪. 于是才子有了如下的自评.［自评］ 标新本来在立意，别人作商我作积，结果可由心算出，不用花费纸和笔.［旁白］ 这时，上面那位提供解法一的人有点不服气：难道“求导法”就不能解出此题吗？ 才子回答：当然能！不过需要“统一单调区间”，请看下解 【正解】 f (x) =x x ln ⇒ f ＇(x)=21xln x e<0 (x ≥3) ⇒33ln >44ln >55ln ⇒ 33ln >22ln >55ln［旁白］ 大家一看，齐声说妙，要求才子再评说一下. 于是又有了下面的奇文.［评语］ 因为数3比e 大，单调区间从3划，数4也在本区间，故把数2搬个家.【例2】 已知向量a =(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b =3，则b = ( )A ．(23，21) B ．(21,23) C.( 43341，) D ．（1，0） 【特解】由|b |=1，排除C ；又b 与x 轴不平行，排除D ；易知b 与a 不平行，排除A.答案只能为B. 【评说】本解看似简单，但想时不易，要看出向量b 与A(2123，)是平行向量，一般考生不能做到. 【别解】因为b 是不平行于x 轴的单位向量，可排除C 、D 两项. 又a ·b =3,将A 代入不满足题意,所以答案只能为B.【评说】本题通过三次筛选才得出正确答案,思维量很大,到A 、B 选项时还需动手计算，真是淘尽黄沙始是金啊！【另解】设b =(cos α,sin α),则a ·b =(3,1)·(cos α,sin α)= 3cos α+sin α=3 sin(60°+α)=23在区间（0，π）上解α得：α=60°.故b =(2321，). 【评说】本题涉及解三角方程，并确定解答区间，这不是一个小题的份量. 【错解】选A 者,误在(21)2123=，a ，选C 者,误在|（433,41）·a |=1. 选D 者，没有考虑到（1，0）与x 轴平行.【评说】本题三个假支的设计，其质量很高，各有各的错因，相信各有各的“选择人”.【强化训练】1．函数()y f x =的图像如下图所示，则函数()0.2log y f x =的图像大致是( )A. B. C. D.【答案】C2．函数3cos sin y x x x =+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意可知： 3cos sin y x x x =+的为奇函数，排除B ； 当x 2π=时， 1y =，当x π=时， 30y π=-<，排除A ，C ，故选：D点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时， ()()'0f x xf x +<，若()20f =，则不等式()0xf x >的解集为（ ）A. {|2002}x x x -<<<<或B. {|22}x x x -或C. {|202}x x x -<或D. {|202}x x x <-<<或 【答案】D4．已知0.41.9a =， 0.4log 1.9b =， 1.90.4c =，则（ ） A. a b c >> B. b c a >> C. a c b >> D. c a b >> 【答案】C【 方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 5．已知1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ln a x =， 2ln b x =， 3ln c x =，那么（ ） A. a b c << B. c a b << C. b a c << D. b c a << 【答案】C6．本周日有5所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选1所或2所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是相同的，则不同的选法共有（ ） A. 330种 B. 420种 C. 510种 D. 600种【答案】A【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决． 7．如图，用6种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有 ( )A. 400种B. 460种C. 480种D. 496种 【答案】C【解析】涂A 有6种涂法， B 有5种， C 有4种，因为D 可与A 同色，故D 有4种， ∴由分步乘法计数原理知，不同涂法有6544480⨯⨯⨯=种，故选C ．【方法点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.8．已知直线22(0,0)ax by a b -=>>过圆224210x y x y +-++=的圆心，则111a b ab++的最小值为__________． 【答案】8【解析】圆心为（2，﹣1），则代入直线得：2a+2b=2，即a+b=1，则有()211122a b a b a b a b a b ab a babb a +++⎛⎫++=++=++ ⎪⎝⎭()2228,≥+= （当且仅当12a b ==时取等号） 故答案为8．9．已知数列{}n a 满足1112n n n a a a +++=+， 1n a ≠-且11a =． （1）求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）令1n n b a =+， ()111n n n n c nb b -+=-，求数列{}n c 的前2018项和2018S ．【答案】（1）3221n n a n -=-（2）40364037【解析】试题分析：（1）利用分离常数法，将已知化简得111111n n a a +-=++，由此求得11n a +的通项公式，进而求得n a 的通项公式.（2）由（1）化简()1112121nn c n n ⎛⎫=-+⎪-+⎝⎭利用分组求和法求得2018S 的值.（2）由（1）知221n b n =-，∴()111n n n n c nb b -+=- ()12212121n n n n -=-⋅⋅-+，∴()1112121nn c n n ⎛⎫=-+⎪-+⎝⎭，20181111111133557220181220181S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-⋯-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯-⨯+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭40364037=． 10．已知函数()()212x f x x x e -=-.(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若对任意1x ≥，都有()0f x mx x m --+≤恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）f(x)在(－∞，－上单调递减，在(上单调递增，在递减；（2）实数m 的取值范围为[1，＋∞).试题解析：(Ⅰ)由已知得()()21'2x f x x e -=-+，当()0f x '<，即220x -+<时， x <x >当()0f x '>，即220x -+>时， x <<f(x)在(,-∞上单调递减，在(上单调递增，在)+∞上单调递减．(Ⅱ)令()()2121x g x x x e mx m -=---+， 1x ≥，由已知可得()20g ≤，即1m ≥－，下面只要考虑1m ≥－的情况即可． g ′(x)＝(2－x 2)ex －1－m ，令h(x)＝(2－x 2) ex －1－m ，则h ′(x)＝－(x 2＋2x －2)ex －1，因为x ≥1，所以x 2＋2x －2>0，所以h ′(x)<0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递减，即g ′(x)在[1，＋∞)上单调递减，则g ′(x )≤g ′(1)＝1－m. ①当1－m ≤0，即m ≥1时，此时g ′(x )≤0，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x )≤g(1)＝0，满足条件；②当1－m>0，即－1≤m<1时，此时g ′(1)>0，g ′(2)＝－2e －m<0，所以存在x 0∈(1，2)，使得g ′(x 0)＝0，则当1<x<x 0时，g ′(x)>0；当x>x 0时，g ′(x)<0，所以g(x)在[1，x 0]上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减， 所以当x ∈[1，x 0]时，g(x )≥g(1)＝0，此时不满足条件． 综上所述，实数m 的取值范围为[)1,+∞。
用数字密码巧记三十六计
数字密码速记“三十六计”中国经典兵法成语三十六计里面有一计为大家所熟知：“三十六计走为上策”，但是大家是否知道这三十六计都是哪些呢，知道了你能记住吗？今天我就给大家介绍一个能让你倒背如流的记忆方法：数字密码来快速记忆三十六计。
现在我们就一起来学习这个方法吧！第一计：瞒天过海1的数字密码是“树”。
你要渡过一片大海，但你的船不能被天上的敌机发现，这时你想了一个好办法，用一棵大树顶在头上，偷偷地渡过了大海。
当你想到1的时候，就想到树，想到树的时候，就想到你用树瞒着天上的敌机，安全渡过大海，这就是“瞒天过海”。
第二计：围魏救赵2的数字密码是“鸭子”。
我们想象有一大群鸭子，里三层，外三层地团团围住一座城堡。
这座城堡叫做魏，由于魏家人把它们的旧照（救赵）给抢走了，那些勇敢的鸭子把魏家给围了起来，要求魏家人把旧照还给它们。
当你想到2的时候，就想到鸭子，鸭子在做什么呢？它们在“围魏救赵”。
第三计：借刀杀人3的数字密码是“耳朵”。
想象在战场上，有一个英雄借来了一把刀，去砍他的敌人，但没想到，却把自己的一只耳光砍掉了。
想到3就想到耳朵，借把刀来杀人却砍掉了自己的一只耳朵。
这就是“借刀杀人”的结果。
第四计：以逸待劳4的数字密码是“红旗”。
想象你拿了一面红旗，站在山顶上，大声对山脚下的朋友喊道：“你们谁先到山顶，我这面红旗就奖给谁！”说完后，你很悠闲地坐在山顶，等着他们喘着粗气跑上来。
当你想到4的时候就会想到红旗，你拿着红旗“以逸待劳”。
第五计：趁火打劫5的数字密码是“钩子”。
想象有一间珠宝店失火了，一个贼趁着别人都在救火的时候，用一只系着长绳的钩子去偷店里的珠宝。
这就是＂趁火打劫＂！第六计：声东击西6的数字密码是“勺子”。
想象你手上拿着一把很有魔力的勺子，当你在西边敲的时候，竟然在东边发出了声音。
当你想到６的时候，你就想到这个有着魔力的勺子，你拿着勺子＂声东击西＂。
第七计：无中生有7的数字密码是“拐杖”。
想象有个魔术师，忽然在空荡荡的手中变出了一根拐杖，这真是＂无中生有＂呀。
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跳出题海，我有36计【计名释义】有一大汉，想进某屋. 门上并未加锁，但他久推不开，弄得满头大汗.后面传来一位小姐轻轻的声音：“先生别推，请向后拉！”大汉真的向后一拉，果然门就轻轻地开了. 大汉奇怪地问：“这门上并没有写拉字，你怎么知道是拉门的呢？”小姐答：“因为我看到你推了半天，门还不动，那就只有拉了！”数学上的“正难则反”就是这位小姐说的意思. 既然正面遇上困难，那就回头是岸，向反方向走去.【典例示范】【例1】求证：抛物线没有渐近线.【分析】二次曲线中仅有双曲线有渐近线，什么是渐近线？人们的解释是与曲线可以无限接近却又没有公共点的直线.抛物线是否有这样的直线？我们无法直接给予证明.怎么办？“正难反收”，假定抛物线有渐近线，是否会导出不合理的结果？【例2】设A、B、C是平面上的任意三个整点（即坐标都是整数的点），求证：△ABC不是正三角形.【分析】平面上的整数点无穷无尽的多，可以组成无穷无尽个各不相同的三角形，要想逐一证明这些三角形都不是正三角形是不可能的，怎么办？正难反做！.)()()()(2122122112123123y y x x y x y x x x y y y x d -+--+---=但是|AB |=212212)()(y y x x -+-∴S △ABC =d AB ∙||21= (x 3y 2-x 2y 3)+(x 2y 1-x 1y 2)+(x 1y 3-x 3y 1). 即S △ABC 为有理数. 另一方面，S △ABC =].)()[(43||432122122y y x x AB -+-= ① ∵|AB |≠0, ∴S △ABC 为无理数. ② ①与②矛盾，故不存在三个顶点都是整数点的正三角形.【例3】 设f (x )=x 2+a 1x +a 2为实系数二次函数,证明：| f (1)|, | f (2)|, | f (3)|中至少有一个不小于.21【分析】三数中至少有一个不小于21的情况有七种，而三数中“都小于21”的情况只有一种，可见“正面”繁杂，“反面”简明，也应走“正难反收”的道路. 【解答】假定同时有：| f (1)|<21、| f (2)|<21、 | f (3)|<21, 那么： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+<--<+<--<+<-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<++<-<++<-<++<-••••③217a a 3219•••••②27a a 229••••••①21a a 2321a a 392121a a 242121a a 121212********* ①+③: -11<4a 1+2a 2<-9 ④ ②×2: -9<4a 1+2a 2<-7 ⑤ ④与⑤矛盾，从而结论成立.【小结】“正难反收”中的“难”有两种含义，一是头绪繁多，所以难于处理.因为“繁”，所以“难”，处理不当即陷入“剪不断，理还乱”的困境；二是试题的正面设置，使人感到无法可求，无章可循，从而找不到破解的头绪，从而无从下手.遇到以上这两种情况，考生即应懂得“迷途知返”，走“正难反收”的道路.一般地说，与排列组合、概率有关的试题，往往应走“正繁则反”的道路，而一切否定式的命题，则应首选反证法.因为原命题与其逆否命题一定等价，只要推倒了命题结论的反面，正面自然顺理成章地成立.【强化训练】1．据新闻报道，因永冻土层融化，进水，位于挪威北部的“末日种子库”进水.为了解其中的种子是否受到影响，专家先随机从中抽取10种不同的种子（包括,,A B C ）进行检测，若专家计划从这10种种子中随机选取3种进行试种，则其中至少包含,,A B C 中之一的概率为（ ） A.532 B. 1724 C. 712 D. 15【答案】B2．已知()0a b c ∈+∞，，，，则下列三个数4916a b c b c a+++，， （ ） A. 都大于6 B. 至少有一个不大于6 C. 都小于6 D. 至少有一个不小于6 【答案】D 【解析】设4916,a b c b c a+++，都小于6，则4a b ++9b c ++16c a+＜18，利用基本不等式可得4a b ++ 916+b c c a ++， 这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，故下列三个数4916a b c b c a+++，，至少有一个不小于6， 故选：D3．现有3个命题：1p ：函数()lg 2f x x x =--有2个零点.2p ：面值为3分和5分的邮票可支付任何(7,)n n x N >∈分的邮资.3p ：若2a b c d +=+=， 4ac bd +>，则a 、b 、c 、d 中至少有1个为负数.那么，这3个命题中，真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】对于1p ，由图可知lg y x = 与2y x =- 的图象有两个交点，所以函数()lg 2f x x x =--有2个零点，1p 正确；对于2p ，对(7,)n n x N >∈分三种情况， ()()3,31553,32315k k m n k k +=+⨯++=-+ ，都能用整数个3 或5 表示， 2p 正确；对于3p ，假设0,0,0,0a b c d ≥≥≥≥ ，则0,ad bc +≥ 又()()4a b c d ac bd ad bc ++=+++= 可得()40,ad bc ac bd +=-+<这与0,ad bc +≥相矛盾，故假设不成立，所以3p 正确,故选D. 4．设,,x y z R +∈， 111,,a x b y c z y z x=+=+=+，则,,a b c 三数( ) A. 都小于2 B. 都大于2 C. 至少有一个不大于2 D. 至少有一个不小于2 【答案】D【解析】因为,,x y z 为正数，假设111,,a x b y c z y z x=+=+=+ 都小于2 ，则1116x y z y z x +++++<， 1111116x y z x y z y z x x y z+++++=+++++≥与假设相矛盾，因此答案为至少有一个不小于2，故选D.5．设实数a,b,c 满足a+b+c=1,则a,b,c 中至少有一个数不小于 ( ) A. 0 B. 13 C. 12D. 1 【答案】B6．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、文综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、文综不安排在同一节，则不同的安排方法共有 ． 【答案】30【解析】先将语文、数学、英语、文综4科分成3组，每组至少1科，则不同的分法种数为24C ，其中数学、文综安排在同一节的分法种数为1， 故数学、文综不安排在同一节的分法种数为241C -，再将这3组分给3节课有33A 种不同的分配方法，根据分步计数原理知，不同的安排方法共有24(1)C -3330A =．【命题意图】本题考查排列组合基础知识，意在考查分析转化能力． 7．已知(),,0,1a b c ∈，求证： ()()()1,1,1a b b c c a ---至少有一个不大于14. 【答案】见解析【解析】试题分析：至少有一个不大于14可反设都大于14，运用均值不等式及同向不等式相加的性质即可推出矛盾. 试题解析： 假设()()()1111,1,1444a b b c c a ->->-> ()()()()()(11,11,11,1+1+111133a b b c c a a b b c c a -+≥>=-+≥>=-+≥>=-+-+-+>++>所以所以所以因为33>矛盾，所以假设不成立所以()()()1,1,1a b b c c a ---至少有一个不大于14. 8．已知,a b 是不相等的正数,且3322a b a b -=-.求证： 413ab <+< 【答案】见解析∴()222222a b a ab b a ab b a b +=++>++=+.∴1a b +>.要证4/3a b +<,只需证()34a b +<, 只需证()()234a b a b +<+,即()()2222324a ab b a ab b ++<++,只需证2220a ab b -+>,只需证()20a b ->, 而,a b 为不相等的正数,∴()20a b ->显然成立. 故而4/3a b +<成立. 综上, 14/3a b <+<.9．已知ΔABC 的三条边分别为a b c ，，求证：11a b ca b c+>+++【答案】证明见解析由0a b c +>>知()()f a b f c +>即11a b ca b c+>+++.10．已知f(x)=a x+x 2x 1-+ (a>1). 证明:方程f(x)=0没有负数根. 【答案】见解析【解析】试题分析：对于否定性命题的证明，可用反证法，先假设方程()0f x =有负数根，经过层层推理，最后推出一个矛盾的结论.点睛：本题考查了函数的零点问题与方程的根的问题，方程的根，就是指方程成立的未知数的值，对于结论是否定形式的命题，往往反证法证明。