2020届高考数学二轮复习疯狂专练10直线与圆(文)

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2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练

2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一倾斜角与斜率例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l 310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α．故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值. 【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35ak a k CB AB +=-=∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y = 【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x ym m+=，代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+nym x 中要求m ，n 均非零。

故做题时应考虑此情形【思维点拨】求解基本直线方程问题通常比较简单，考虑时注意每种形式的适用范围即可。

不要漏解。

题型三直线位置关系的判断例1 直线()1:3230l kx k y +--=和()()2:2220l k x k y -++-=互相垂直，则实数k 的值是（）A. 2-或1-B. 2或1-C. 2-或1D. 2或1 【答案】D【解析】根据直线垂直的充要条件得到： ()()()3*22*20k k k k -+-+= 化简为23201k k k -+=⇒= 或2 故选择D【易错点】本题若采用斜率之积为-1求解，则容易错误。

2020年高考真题分类汇编专题10直线和圆pdf

10 直线和圆1.（2020•北京卷）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）． A . 4 B . 5C . 6D . 7【答案】A【解析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心(),C x y ，则()()22341x y -+-=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345=+=，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A. 【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.2.（2020•全国1卷）已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（） A. 210x y --= B. 210x y +-= C. 210x y -+= D. 210x y ++=【答案】D【解析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l 的距离为2221125221d ⨯++==>+，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而24PA MP =-，当直线MP l ⊥时，min 5MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D .【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．3.（2020•全国2卷）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（） A.55B.255C.355D.455【答案】B【解析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离.【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==；圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--==圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==；所以，圆心到直线230x y --=的距离为255. 故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4.（2020•江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知3(0)2P ，，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________．【答案】105【解析】根据条件得PC AB ⊥,再用圆心到直线距离表示三角形P AB 面积，最后利用导数求最大值. 【详解】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d ，则231||=236,||144AB d PC -=+= 所以2221236(1)(36)(1)2PABSd d d d ≤⋅-+=-+ 令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去）当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PABS取最大值为105，故答案为：105【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 5.（2020•天津卷）已知直线380x y -+=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．【答案】5【解析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ，进而利用弦长公式22||2AB r d =-，即可求得r ．【详解】因为圆心()0,0到直线380x y -+=的距离8413d ==+，由22||2AB r d =-可得22624r =-，解得=5r ．故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题． 6.（2020•浙江卷）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |＝2，且P 为函数y ＝234x -图像上的点，则|OP |＝（） A .222B .4105C .7D .10【答案】D【解析】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数234y x =-的图象上，即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-的图象上，所以，由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得132332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+=．故选：D . 【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．7.（2020•浙江卷）设直线:(0)l y kx b k =+>，圆221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，若直线l 与1C ，2C 都相切，则k =_______；b ＝______．【答案】 (1).33 (2). 233-【解析】由直线与圆12,C C 相切建立关于k ，b 的方程组，解方程组即可. 【详解】由题意，12,C C 到直线的距离等于半径，即22||11b k =+，22|4|11k b k +=+，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得323,33k b ==-.故答案为：323;33-【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.。

2020届高考数学(文)课标版二轮复习训练习题：专题五第1讲直线与圆

(1)求 M 的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△POM 的面积.
解析 (1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-4)2=16,
所以圆心为 C(0,4),半径为 4. 设 M(x,y),则��=(x,y-4),��=(2-x,2-y). 由题设知��·��=0,故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点 P 在圆 C 的内部, 所以 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2为半径的圆.
| ‒ 1 + 0 + 3|
切线的距离,即 r=d= 12 + 12 = 2,则圆的方程为(x+1)2+y2=2. 3.已知圆 M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 2.则圆 M 与圆 N:(x-1) 2+(y-1)2=1 的位置关系是( )
A.内切 B.相交
解析圆 C:(x-3)2+(y-3)2=72 的圆心 C 的坐标为(3,3),半径 r=6 2,
因为直线 x+y-m=0 垂直于圆 C 的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,所以圆心到直线的距离为 2 2,
|6 ‒ ��|
则有 d= 1 + 1=2 2, 解得 m=2 或 10.
8.已知直线 ax+y-1=0 与圆 C:(x-1)2+(y+a)2=1 相交于 A、B 两点,且△ABC 为等腰直角三角

2020版高考数学二轮复习专题限时集训直线与圆文

由⎩⎪⎨⎪⎧x －ky ＋1＝0，x2＋y2＝4得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0.则Δ＝4k 2＋12(k 2＋1)＞0.y 1＋y 2＝2k k2＋1.x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k2＋1.因为OM →＝OA→＋OB →.故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k2＋1，2k k2＋1.又点M 在圆C 上. 故4k2＋12＋4k2k2＋12＝4.解得k ＝0.法二：由直线与圆相交于A .B 两点.OM →＝OA →＋OB →.且点M 在圆C 上.得圆心C (0,0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半.为1.即d ＝11＋k2＝1.解得k ＝0.]5．(20xx·惠州模拟)已知直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m ＜3)所截得的弦长为4 3.且P 为圆C 上任意一点.点A 为定点(2,0).则|PA |的最大值为( )A.29－13 B ．5＋13 C ．27＋13D.29＋13D [根据题意.圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13的圆心C 为(－3.m ).半径r ＝13.若直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m ＜3)所截得的弦长为4 3.则圆心到直线的距离d ＝r2－⎝⎛⎭⎪⎫4322＝1. 则有|－12＋3m ＋1|16＋9＝1.解可得：m ＝2或m ＝163(舍).则m ＝2.点A 为定点(2,0).则|AC |＝25＋4＝29. 则|PA |的最大值为|AC |＋r ＝29＋13. 故选D.]6．过点C (3,4)作圆x 2＋y 2＝5的两条切线.切点分别为A .B .则点C 到直线AB 的距离为________．4 [以OC 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522.AB 为圆C 与圆O ：x 2＋y 2＝5的公共弦.所以AB 的方程为x 2＋y 2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y －22＝5－254.化简得3x ＋4y －5＝0. 所以点C 到直线AB 的距离d ＝|3×3＋4×4－5|32＋42＝4.]7．已知直线l ：ax －3y ＋12＝0与圆M ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A .B 两点.且∠AMB ＝π3.则实数a ＝________.±3 [直线l 的方程可变形为y ＝13ax ＋4.所以直线l 过定点(0,4).且该点在圆M 上．圆的方程可变形为x 2＋(y －2)2＝4.所以圆心为M (0,2).半径为2.如图.因为∠AMB ＝π3.所以△AMB 是等边三角形.且边长为2.高为 3.即圆心M 到直线l 的距离为 3.所以|－6＋12|a2＋9＝ 3.解得a ＝± 3.]8．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个.则实数a 的取值范围为________．(－32.32) [由圆的方程可知圆心为(0,0).半径为2.因为圆O 上到直线l 的距离等于1的点至少有2个.所以圆心到直线l 的距离d ＜r ＋1＝2＋1.即d ＝|－a|12＋12＝|a|2＜3.解得a ∈(－3 2.32)．][能力提升练] (建议用时：15分钟)9．(20xx·武汉模拟)已知圆C 经过点A (0,0).B (7,7).圆心在直线y ＝43x 上．(1)求圆C 的标准方程；(2)若直线l 与圆C 相切且与x .y 轴截距相等.求直线l 的方程．[解] (1)根据题意.设圆C 的圆心为(a .b ).半径为r .则其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.因为圆C 经过点A (0,0).B (7,7).圆心在直线y ＝43x 上.则有⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝r2，a －72＋b －72＝r2，b ＝4a 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4，r ＝5，则圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25. (2)若直线l 与圆C 相切且与x .y 轴截距相等. 分2种情况讨论：①直线l 经过原点.设直线l 的方程为y ＝kx .则有|3k －4|1＋k2＝5.解得k ＝－34.此时直线l 的方程为y ＝－34x ；②直线l 不经过原点.设直线l 的方程为x ＋y －m ＝0.则有|7－m|1＋1＝5.解得m ＝7＋52或7－5 2.此时直线l 的方程为x ＋y ＋52－7＝0或x ＋y －52－7＝0.综上可得：直线l 的方程为y ＝－34x 或x ＋y ＋52－7＝0或x ＋y －52－7＝0.10．(20xx·南昌模拟)如图.已知圆O 的圆心在坐标原点.点M ( 3.1)是圆O 上的一点．(1)求圆O 的方程；(2)若过点P (0,1)的动直线l 与圆O 相交于A .B 两点．在平面直角坐标系xOy 内.是否存在与点P 不同的定点Q .使得|QA||QB|＝|PA||PB|恒成立？若存在.求出点Q 的坐标；若不存在.请说明理由．[解] (1)点M ( 3.1)是圆O 上的一点.可得圆O 的半径为3＋1＝2. 则圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)若直线l 的斜率为0.可得直线方程为y ＝1.A ( 3.1).B (－ 3.1). 由|PA |＝|PB |.可得|QA |＝|QB |.即Q 在y 轴上.设Q (0.m ). 若过点P (0,1)的动直线l 的斜率不存在.设直线方程为x ＝0. 则A (0,2).B (0.－2).由|QA||QB|＝|PA||PB|可得|m －2||m ＋2|＝13.解得m ＝1或4.由Q 与P 不重合.可得Q (0,4).下证斜率存在且不为0的直线与圆的交点.也满足|QA||QB|＝|PA||PB|成立．若直线的斜率存在且不为0.可设直线方程为y ＝kx ＋1. 联立圆x 2＋y 2＝4.可得(1＋k 2)x 2＋2kx －3＝0. 设A (x 1.y 1).B (x 2.y 2). 可得x 1＋x 2＝－2k 1＋k2.x 1x 2＝－31＋k2. 由k QA ＋k QB ＝y1－4x1＋y2－4x2＝kx1＋1－4x1＋kx2＋1－4x2所以线段AB 的长度是455.]【押题2】已知圆(x ＋1)2＋y 2＝16的圆心为M .点P 是圆M 上的动点.点N (1,0).点G 在线段MP 上.且满足(GN →＋GP →)⊥(GN →－GP →)．(1)求点G 的轨迹C 的方程；(2)过点D (0,2)的直线l 与曲线C 交于A .B 两点.若以AB 为直径的圆恰好过原点O .求直线l 的方程．[解] (1)因为(GN →＋GP →)⊥(GN →－GP →).所以(GN →＋GP →)·(GN →－GP →)＝0.即GN →2－GP →2＝0.所以|GN →|＝|GP →|.所以|GM |＋|GN |＝|GM |＋|GP |＝|MP |＝4＞2＝|MN |.所以点G 在以M .N 为焦点.长轴长为4的椭圆上．可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0).则2a ＝4,2c ＝2.即a ＝2.c ＝1.则b 2＝3.所以点G 的轨迹C 的方程为x24＋y23＝1.(2)由题意知.直线l 的斜率必存在.设直线l 的方程为y ＝kx ＋2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x24＋y23＝1，消去y 可得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0.由Δ＞0得k 2＞14.(*)设A (x 1.y 1).B (x 2.y 2).则x 1＋x 2＝－16k 3＋4k2.x 1x 2＝43＋4k2.因为以AB 为直径的圆恰好过原点O .所以OA ⊥OB .即OA →·OB →＝0.则有x 1x 2＋y 1y 2＝0. 所以x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝0.(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝0.得41＋k23＋4k2－32k23＋4k2＋4＝0.即4(1＋k 2)－32k 2＋4(3＋4k 2)＝0.解得k 2＝43.满足(*)式.所以k ＝±233.故直线l 的方程为y ＝±233x ＋2.。

2020年高考数学二轮复习：10 直线圆

得的弦长为________。
垂直，则圆 ൅
与直线相交所
【答案】
【考点】直线与圆相交的性质
三、解答题（共 4 题；共 40 分）
18.如图，，是某景区的两条道路（宽度忽略不计，
为道路
上一游客休息区，已知 tan∠
，
为东西方向），Q 为景区内一景点，A （百米），Q 到直线，的距
C.
D. 或
【答案】 B
【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
3.设直线
与圆相交于 ഀ 两点，
为坐标原点，若
为等边三角形，
则实数的值为（）
A. ± 【答案】 B
B. ±
C. ±
D. ±
【考点】点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系
4.过三点 ഀጀ ， ഀጀ ， ഀ ጀ 的圆截直线
，
由

故直线
由
，解得

的方程为得
，所以 ഀጀ .
ጀ， ഀ ഀ
即
ഀ ጀ ，故
ጀ
答：水上旅游线的长为 km .
，
ഀጀ （晦）.
（2）解：将喷泉记为圆 P，由题意可得 ഀ ጀ ，
生成 t 分钟时，观光车在线段上的点 C 处，
则
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
，所以
ഀ ጀ.
若喷泉不会洒到观光车上，则晦对
‫ݔ‬
的距离为，则直线
A. ഀ
B.

ഀ

C. ഀ
D. ഀ
【答案】 B
【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系
10.已知直线过圆

2020届高考数学(文)二轮强化专题卷(9)直线与圆

（9）直线与圆1、若直线()(213)a x a y ＋＋－＝与直线1230))2((a x a y －＋＋＋＝互相垂直，则a 等于( ) A ．1 B ．－1C ．±1D ．－22、直线102nmx y +-=在y 轴上的截距是1-,0y --的倾斜角的2倍,则( )A.m =,2n = B.m =,2n =-C.m =,2n =-D.m =,2n = 3、已知点()()2,3,2,2A B ---，直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（） A.1k ≥或4k ≤-B.41k -≤≤C.1k <-D.14k -≤≤4、若点1,M a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,N b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭都在直线:1l x y +=上,则点1,P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,Q b c⎛⎫ ⎪⎝⎭和l 的关系是( ) A. P 和Q 都在l 上B. P 和Q 都不在l 上C. P 在l 上, Q 不在l 上D. P 不在l 上, Q 在l 上5、过点1(1,)A －与()11B －，且圆心在直线20x y +=－上的圆的方程为（） A ．()22()314x y ++=－ B ．22()(114)x y +=－－ C ．()22314()x y ++=－D ．()()22114x y +++=6、若倾斜角为60︒的直线l 与圆22:630C x y y +-+=交于,M N 两点，且30CMN ∠=︒，则直线l 的方程为（） A30y -++=30y -+-=B20y -++=20y -+=C0y -=0y -D10y -+10y -+=7、过圆22:4O x y +=外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为,A B 若||AB =则PA PB ⋅= ( )A ．4B ．6C ．D ．8、直线3430x y -+=与圆221x y +=相交所截的弦长为( )A ．45 B ．85C ．2D ．39、要在一个矩形纸片上画出半径分别是4cm 和1cm 的两个外切圆，该矩形面积的最小值是（） A.36B.72C. 80D.10010、若圆224x y +=与圆()222600x y ay a ++-=>的公共弦的长为a =（） A.2B.12C.111、已知三角形的一个顶点1(4,)A -，它的两条角平分线所在直线的方程分别为11:0l x y --=和20:1l x -=，则BC 边所在直线的方程为 .12、已知圆()()22:1225C x y -+-=,直线()()():211740R l m x m y m m +++--=∈,则直线l 被圆 C 所截得的弦的长度最小值为__________13、若过点(P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长AB =____________.14、若直线20x y m -+=与圆224680x y x y +-++=相切，则实数m = ______ ． 15、已知圆22:2430++-+=C x y x y1.已知不过原点的直线l 与圆C 相切,且在x 轴,y 轴上的截距相等,求直线l 的方程2.求经过原点且被圆C 截得的线段长为2的直线方程答案以及解析1答案及解析：答案：C 解析：2答案及解析：答案：B 解析：3答案及解析：答案：A解析：()()23122104m m m m m -------≤∴≥或1m ≤-直线l 的斜率k m =-，所以4k -≥或1k -≤-，即4k ≤-或1k ≥，选A ．4答案及解析：答案：A 解析：5答案及解析：答案：B 解析：6答案及解析：答案：A解析：设直线l y m -+=，由30CMN ∠=︒，且圆的半径r C 到直线l 的距离为32m d -==，解得3m =，故直线l 的方程为30y -++=或30y -+-.7答案及解析：答案：B解析：由题可知圆心()0,0O ，半径2r =．因为AB =，2OA OB ==，所以2π3AOB ∠=，又PA OA ⊥，PB OB ⊥，所以π3APB ∠=．在Rt PAO △中，1π26APO APB ∠=∠=，所以PA =．又PB PA ==所以πcos cos 3PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠== 6．故选B ．8答案及解析：答案：B解析：因为直线3430x y -+=与圆221x y +=,那么圆心()0,0,半径为1,圆心到直线的距离为35则利用勾股定理可知相交所截的弦长为85,选B9答案及解析：答案：B 解析：如图，作WG SC ⊥，则四边形WDCG 是矩形，∵两圆相切，∴145WS SC WD =+=+=， ∵=413SG SC GC -=-=， ∴4WG =，∴矩形QHBA 的长1449AB AD CD CB =++=++=，宽448BH =+=， ∴矩形纸片面积的最小值28972 cm =⨯=.10答案及解析：答案：C 解析：圆224x y +=的圆心为原点O ，半径2r =.将方程224x y +=与方程22260x y ay ++-=相减，得：弦所在直线方程为1y a=，所以22212a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0a >，所以1a =. 故选C.11答案及解析：答案：230x y -+=解析：A 不在这两条角平分线上，因此12 ,l l 是另两个角的角平分线，点A 关于直线1l 的对称点A ，点A 关于直线2l 的对称点2A 均在边BC 所在直线l 上. 设()111,A x y ,则有11111114411022y x x y +⎧⨯=-⎪-⎪⎨+-⎪--=⎪⎩，解得1103x y =⎧⎨=⎩∴()10,3A ，同理设()222,A x y ，易求得()22,1A --.∴BC 边所在直线方程为230x y -+=.故填230x y -+=.12答案及解析：答案：解析：13答案及解析：解析：14答案及解析：答案：-3或-13解析：15答案及解析：答案：1.∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零,设直线方程为+=x y a∴圆心()1,2c∴1=-a或3=a所求切线方程为: 10++=x y或30+-=x y2.当直线斜率不存在时,直线即为y轴,此时,交点坐标为()()0,1,0,3线段长为2, 符合故直线0=x当直线斜率存在时,设直线方程为=y kx,即0-=kx y由已知得,圆心到直线的距离为13 14 =⇒=-k直线方程为34 =-y x综上,直线方程为30,4 ==-x y x解析：。

备考部编版2020高考数学二轮复习选择填空狂练十直线与圆文

10 直线与圆1．[2018·八一中学]已知直线l：20ax y a+--=在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）A．1 B．1-C．2或1 D．2-或12．[2018·宜昌期末]若点12⎛⎫⎪⎝⎭,到直线():300l x y m m++=>m=（）A．7 B．172C．14 D．173．[2018·宣威五中]若直线l过点()12-,且与直线2340x y-+=垂直，则l的方程为（）A．3210x y+-=B．2310x y+-=C．3210x y++=D．2310x y--=4．[2018·成都外国语]已知直线310x y-+=的倾斜角为α，则1sin22α=（）A．310B．35C．310-D．1105．[2018·黑龙江实验]点()23A-,关于直线1y x=-+的对称点为（）A．()3,2-B．()4,1-C．()5,0D．()3,16．[2018·大庆实验]若直线20ax y a--=与以()3,1A，()1,2B为端点的线段没有公共点，则实数a的取值范围是（）A．()1,1,2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭U B．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C．()(),21,-∞-+∞U D．()2,1-7．[2018·洪都中学]已知直线l：y x m=+与曲线x m的取值范围是（）A．⎡-⎣B．(1-⎤⎦C．⎡⎣D．(⎤⎦8．[2018·航天中学]已知点()2,0A-，()0,2B，点C是圆2220x y x+-=上任意一点，则ABC△面积的最大值是（）A．6 B．8 C．3-D．39．[2018·哈尔滨三中]过点()1,3A-，()3,1B-，且圆心在直线210x y--=上的圆的标准方程为（）A．()()22114x y+++=B．()()221116x y+++=一、选择题C ．()22113x y -+=D ．()2215x y -+=10．[2018·南昌质检]已知()0,4A -，()2,0B -，()0,2C 光线从点A 射出，经过线段BC (含线段端点)反射，恰好与圆()()22925x a y a -+-=相切，则（） A．11a -≤≤-B．115a ≤≤-C．115a ≤≤+D．11a -≤≤+11．[2018·湖北联考]已知圆22:4C x y +=，直线:l y x b =+．当实数[]0,6b ∈时，圆C 上恰有2个点到直线l 的距离为1的概率为（）ABC ．12D ．1312．[2018·雅安诊断]t ∀∈R ，[]t 表示不大于t 的最大整数，如[]0.990=，[]0.11-=-，且x ∀∈R ，()()2f x f x =+，[]1,1x ∀∈-，()[]()221,,4D x y x t y ⎧=-+≤⎨⎩[]}1,3t ∈-．若(),a b D ∈，则()f a b ≤的概率为（） ABCD13．[2018·西城44中]已知直线()2350t x y -++=不通过第一象限，则实数t 的取值范围__________． 14．[2018·黄陵中学]已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为________________．15．[2018·益阳调研]分别在曲线ln y x =与直线26y x =+上各取一点M 与N ，则MN 的最小值为__________．16．[2018·南师附中]已知直线0x y b -+=与圆229x y +=交于不同的两点A ，B ．若O 是坐标原点，且OA OB +≥uu r uu u r u r ，则实数b 的取值范围是________________．二、填空题1．【答案】D【解析】当0a =时，直线方程为2y =，显然不符合题意，当0a ≠时，令0y =时，得到直线在x 轴上的截距是2aa+，令0x =时，得到直线在y 轴上的截距为2a +，根据题意得22aa a+=+，解得2a =-或1a =，故选D ． 2．【答案】B【解析】=3102m +=±，∵0m >，∴172m =．故选B ． 3．【答案】A【解析】∵2340x y -+=的斜率23k =，∴32k '=-，由点斜式可得()3212y x -=-+，即所求直线方程为3210x y +-=，故选A ． 4．【答案】A【解析】直线310x y -+=的倾斜角为α，∴tan 3α=，∴22211sin cos tan 33sin 22sin cos 22sin cos tan 19110a αααααααα=⋅====+++，故选A ． 5．【答案】B【解析】设点()23A -,关于直线1y x =-+的对称点为(),P a b ，则()312AP b k a --==-，∴5a b -=，①，又线段AP 的中点23,22a b +-⎛⎫⎪⎝⎭在直线1y x =-+上，即32122b a -+=-+，整理得3a b +=，②，联立①②解得4a =，1b =-．∴点()23A -,关于直线1y x =-+的对称点P 点的坐标为()4,1-，故选B ． 6．【答案】D【解析】直线20ax y a --=可化为2y ax a =-，∵该直线过点()3,1A ，∴3120a a --=，解得1a =；又∵该直线过点()1,2B ，∴220a a --=，解得2a =-；又直线20ax y a --=与线段AB 没有公共点，∴实数a 的取值范围是()2,1-．故选D ． 7．【答案】B【解析】根据题意，可得曲线x =y x m =+表示平行于y x =的直线，其中m 表示在y 轴上的截距，作出图象，如图所示，答案与解析一、选择题从图中可知1l ，2l 之间的平行线与圆有两个交点，1l ，2l 在y 轴上的截距分别为2-，1-， ∴实数m 的取值范围是(2,1--⎤⎦，故选B ．8．【答案】D【解析】∵AB 为定值，∴当C 到直线AB 距离最大时，ABC △面积取最大值， ∵点C 是圆2220x y x +-=，()2211x y -+=上任意一点，∴C 到直线AB 距离最大为圆心()1,0到直线AB ：20x y -+=距离加半径1，即为10232112-++=+，从而ABC △面积的最大值是132122322⎛⎫+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭，选D ． 9．【答案】B【解析】过AB 的直线方程为2y x =-+，A 、B 的中点为()1,1，∴AB 的垂直平分线为y x =， ∴圆心坐标为210y x x y =⎧⎨--=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩，即圆心坐标为()1,1--，半径为()()2211134r =-++--=，∴圆的方程为()()221116x y +++=；故选B ． 10．【答案】D 【解析】如图，A 关于BC 对称点()6,2D -，要使反射光线与圆()()22925x a y a -+-=相切，只需使得射线DB ，DC 与圆相切即可，而直线DB 的方程为220x y ++=，直线DC 为2y =． 42355a a ++=3522a -=1a =-，15，3513511a -≤≤．故选D ．11．【答案】A【解析】圆C 的圆心坐标为()0,0O ，半径为2，直线l 为：0x y b -+=．由32b =，即32b=时，圆上恰有一个点到直线距离为1，由12b =，即2b =时，圆上恰有3个点到直线距离为1．∴当()2,32b ∈时，圆上恰有2个点到直线l 的距离为1，故概率为322263-=．故选A ．12．【答案】D【解析】由x ∀∈R ，()()2f x f x =+得函数()f x 的周期为2T =．函数()f x 的图像为如图所示的折线部分，集合()[]()[]221,,1,34D x y x t y t ⎧⎫=-+≤∈-⎨⎬⎩⎭对应的区域是如图所示的五个圆，半径都是12．由题得215524S ⎛⎫⎛⎫ ⎪=⨯π⨯=π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭全，事件()f a b ≤对应的区域为图中的阴影部分，111111513244422284S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯π⨯-⨯π⨯-⨯⨯⨯=π+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦阴影；∴由几何概型的公式得5111845254P π+==+ππ．故选D ．二、填空题13．【解析】由题意得直线()2350t x y -++=恒过定点()0,5-，且斜率为()23t --， ∵直线()2350t x y -++=不通过第一象限，∴()230t --≤，解得故实数t 的取值范围是14．【答案】660x y -+=或660x y --= 【解析】设直线l 的方程为1x y a b +=，∴132ab =，且16b a -=，解得6a =-，1b =或6a =，1b =-，∴直线l 的方程为16x y +=-或16xy -=，即660x y -+=或660x y --=．．答案：660x y -+=或660x y --=．15．【答案】(7ln 25+【解析】由()ln 0y x x =>，得1y x '=，令12x =，即12x =，1ln ln 22y ==-，则曲线ln y x =上与直线26y x =+平行的切线的切点坐标为1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭，由点到直线的距离公式得(7ln 25d +==，即(7ln 25MN +=．16．【答案】(-U【解析】设AB 的中点为D ，则2OA OB OD +=uu r uu u r uuu r ，故OD AB uuu r u r ，即2218OD AB ≥u u u r u u u r ，再由直线与圆的弦长公式可得：2AB =（d 为圆心到直线的距离），又直线与圆相交故d r <3b <⇒-<根据2218OD AB ≥u u u r u u u r ，2AB ⎡=⎣uu u r 得23OD ≥uuu r ，由点到线的距离公式可得222b OD =uuu r ，即要232b b ≥⇒≥b ≤综合可得：b 的取值范围是(-U ．。

2020高考数学大二轮专题突破文科通用直线与圆圆锥曲线精选试题及答案解析(10页)

2020高考数学大二轮专题突破文科通用直线与圆圆锥曲线精选试题1.(节选)已知圆M:x2+y2=r2(r>0)与直线l1:x-y+4=0相切,设点A为圆上一动点,AB⊥x轴于B,且动点N满足=2,设动点N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)略.2.(2019甘肃武威第十八中学高三上学期期末考试)已知圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.(1)求证:圆C1和圆C2相交;(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.3.已知圆O:x2+y2=4,点A(,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.4.(2019全国卷1,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.5.(2019天津河北区高三二模)已知椭圆C:=1(a>b>0)过点P(2,1),且短轴长为2.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P作x轴的垂线l,设点A为第四象限内一点且在椭圆C上(点A不在直线l上),点A关于l的对称点为A',直线A'P与椭圆C交于另一点B.设O为坐标原点,判断直线AB与直线OP的位置关系,并说明理由.6.(2019天津第一中学高三下学期第五次月考)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,F2的坐标满足圆Q方程(x-)2+(y-1)2=1,且圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a.(1)求椭圆C1的方程;(2)过点P(0,1)的直线l1:y=kx+1交椭圆C1于A,B两点,过P与l1垂直的直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD中点,若△MAB的面积为,求k的值.参考答案专题突破练24直线与圆及圆锥曲线1.解(1)设动点N(x,y),A(x0,y0),因为AB⊥x轴于B,所以B(x0,0).已知圆M的方程为x2+y2=r2,由题意得r==2,所以圆M的方程为x2+y2=4.由题意,=2,所以(0,-y0)=2(x0-x,-y),即将A(x,2y)代入圆M:x2+y2=4,得动点N的轨迹方程为+y2=1.(2)略.2.(1)证明圆C1的圆心C1(1,3),半径r1=,圆C2的圆心C2(5,6),半径r2=4, 两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-,所以|r1-r2|<d<r1+r2.所以圆C1和C2相交.(2)解将圆C1和圆C2的方程相减,得4x+3y-23=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.因为圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离为d==3,故两圆的公共弦长为2-=2.3.解(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,故|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4.所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中a=2,c=,b=1,则曲线Γ的方程为+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,则.设B(x0,y0),则x0(x0-)+=0.又=1,解得x0=,y0=±.则k OB=±,k AB=∓,则直线AB的方程为y=±(x-),即x-y-=0或x+y-=0.4.解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=--.从而--,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.5.解(1)由题意得解得∴椭圆C的方程为=1.(2)直线AB与直线OP平行,证明如下:由题意知,直线PA的斜率存在且不为零.PA,PA'关于l:x=2对称,则直线PA与PA'斜率互为相反数.设直线PA:y-1=k(x-2),PB:y-1=-k(x-2).设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y得(4k2+1)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-4=0, -∴2x1=--.∴x1=--.同理,x2=-.∴x1-x2=-.∵y1=k(x1-2)+1,y2=-k(x2-2)+1,∴y1-y2=k(x1+x2)-4k=-.∵A在第四象限,∴k≠0 且A不在直线OP上,∴k AB=-.-又k OP=,∴k AB=k OP.故直线AB与直线OP平行.6.解(1)因为F2的坐标满足圆Q方程(x-)2+(y-1)2=1,故当y=0时,x=,即F2(,0),故c=.因为圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a,所以点Q(在椭圆上,故有=1.联立方程组解得所以椭圆方程为=1.(2)因为直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD的中点,所以QM与直线l2垂直.又因为直线l1与直线l2垂直,所以QM与直线l1平行.所以点M到直线AB的距离即为点Q到直线AB的距离.即点M到直线AB的距离为d=.设点A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程组解得(1+2k2)x2+4kx-2=0,Δ=b2-4ac=16k2+8(2k2+1)=32k2+8>0,由韦达定理可得--则|x1-x2|=----.所以AB=|x1-x2|=.所以△MAB的面积为.所以.即·|k|=,两边同时平方,化简得,28k4-47k2-18=0,解得k2=2或k2=-(舍).故k=±.此时l2:y=±x+1.圆心Q到l2的距离h=-<1成立.综上所述,k=±.。

2020年高考数学二轮专项提升(江苏)专题10 直线与圆的应用(原卷版)

专题10 直线与圆的应用1、【2019年高考北京卷文数】设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． .2、【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．3、【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．4、【2018年高考全国I 卷文数】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．5、【2018年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．6、【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．.7、【2018年高考全国I 卷文数】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．8、【2018年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．9、【2018年高考全国Ⅲ卷文数】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（）A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，10、【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由．一、圆的有关概念和方程1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆2、圆的标准方程：设圆心的坐标(),C a b ，半径为r ，则圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=3、圆的一般方程：圆方程为220x y Dx Ey F ++++=（1）22,x y 的系数相同（2）方程中无xy 项（3）对于,,D E F 的取值要求：2240D E F +->4、确定圆的方程的方法和步骤;确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程. 5.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.二、直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：（1）几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则： ① 当r d >时，直线与圆相交 ② 当r d =时，直线与圆相切 ③ 当r d <时，直线与圆相离（2）代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的方程，再判断解的个数。

2020版新高考数学二轮复习-练习-直线与圆 Word版含解析

第1讲直线与圆[做真题]题型一圆的方程1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2解析：选A.由题可知，圆心为(1，4)，结合题意得|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.2．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0＜m ＜4，r ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为(x－32)2＋y 2＝254. 答案：(x －32)2＋y 2＝2543．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. 题型二直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[2，32]D ．[22，32]解析：选A.圆心(2，0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为A (－2，0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以△ABP 的面积S ＝12|AB |d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2，6]，即△ABP 面积的取值范围是[2，6]．2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10解析：选C.设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20. 所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，所以M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，所以|MN |＝46，故选C.3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．解析：设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2＝23，得d ＝3，即||3m －3m 2＋1＝3，解得m ＝－33，则直线l ：x －3y ＋6＝0，数形结合可得|CD |＝|AB |cos 30°＝4.答案：4[学习指导意见]1．直线与方程(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(2)根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．体会斜截式与一次函数的关系．(3)探索并掌握两点间的距离公式．点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离，会求两直线的交点坐标．2．圆与方程(1)由圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程． (2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系． (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．空间直角坐标系了解空间直角坐标系，明确感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用空间两点间的距离公式．直线的方程 [考法全练]1．若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A ．1±2或0 B ．2－52或0C ．2±52D ．2＋52或0解析：选A.因为平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，所以k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a 3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1±2.故选A. 2．若直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行，则m 的值为( ) A ．7 B ．0或7 C ．0D ．4解析：选B.因为直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行，所以m (m －1)＝3m ×2，所以m ＝0或7，经检验，都符合题意．故选B.3．已知点A (1，2)，B (2，11)，若直线y ＝⎝⎛⎭⎫m －6m x ＋1(m ≠0)与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2，0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪(0，6]C ．[－2，－1]∪[3，6]D ．[－2，0)∪(0，6]解析：选C.由题意得，两点A (1，2)，B (2，11)分布在直线y ＝⎝⎛⎭⎫m －6m x ＋1(m ≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，所以⎝⎛⎭⎫m －6m －2＋1⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫m －6m －11＋1≤0，解得－2≤m ≤－1或3≤m ≤6，故选C.4．已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0，4)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为__________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 1与l 2的交点为(1，2)．显然直线x ＝1不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，因为P (0，4)到直线l 的距离为2，所以|－4＋2－k |1＋k 2＝2，所以k ＝0或k ＝43.所以直线l 的方程为y＝2或4x －3y ＋2＝0.答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝05．(一题多解)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于直线l 对称，则直线l 2的方程是________．若直线l 3与l 关于点(1，1)对称，则直线l 3的直线方程是________．解析：法一：l 1与l 2关于l 对称，则l 1上任意一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1，0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上的一点，设其关于l 的对称点为(x ，y )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.即(1，0)，(－1，－1)为l 2上两点，故可得l 2的方程为x －2y －1＝0. 因为l 3∥l ，可设l 3的方程为x －y ＋c ＝0，则 |1－1－1|2＝|1－1＋c |2. 所以c ＝±1，所以l 3的方程为x －y ＋1＝0.法二：设l 2上任一点为(x ，y )，其关于l 的对称点为(x 1，y 1)，则由对称性可知⎩⎨⎧x ＋x 12－y ＋y 12－1＝0，y －y 1x －x 1×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y ＋1，y 1＝x －1.因为(x 1，y 1)在l 1上，所以2(y ＋1)－(x －1)－2＝0，即l 2的方程为x －2y －1＝0. 因为l 3∥l ，可设l 3的方程为x －y ＋c ＝0，则 |1－1－1|2＝|1－1＋c |2.所以c ＝±1，所以l 3的方程为x －y ＋1＝0. 答案：x －2y －1＝0 x －y ＋1＝0(1)两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．(2)轴对称问题的两种类型及求解方法圆的方程 [典型例题]在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由． (2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．【解】由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0. 设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则可得Δ＝m 2－8m >0，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m . 令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0，2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC →·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0或m ＝－12.由Δ>0得m <0或m >8，所以m ＝－12，此时C (0，－1)，AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫－14，0即圆心，半径r ＝|CM |＝174，故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋y 2＝1716. (2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0，将点C (0，2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0，整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0. 令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－y ＝0，x ＋2y －2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝25，y ＝45，故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0，1)和⎝⎛⎭⎫25，45.求圆的方程的2种方法[对点训练]1．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．⎝⎛⎭⎫－23，0 C ．(－2，0)D ．⎝⎛⎭⎫－2，23 解析：选D.若方程表示圆，则a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，化简得3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.2．经过原点且与直线x ＋y －2＝0相切于点(2，0)的圆的标准方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝4解析：选A.设圆心的坐标为(a ，b )，则a 2＋b 2＝r 2①，(a －2)2＋b 2＝r 2②，ba －2＝1③，联立①②③解得a ＝1，b ＝－1，r 2＝2.故所求圆的标准方程是(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选A.3．(2019·山东青岛模拟)已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0，若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA →·OB →＝－6(其中O 为坐标原点)，则圆M 的半径为( )A ． 5B ． 6C ．7D ．2 2解析：选C.圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1－a (a <1)，圆心M (1，0)，则|OM |＝1，因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA →＝－MB →，且|MA →|＝|MB →|＝r ，则OA →·OB →＝(OM →＋MA →)·(OM →＋MB →)＝(OM →－MB →)·(OM →＋MB →)＝OM →2－MB →2＝1－r 2＝－6，所以r 2＝7，得r ＝7，所以圆的半径为7，故选C.直线与圆、圆与圆的综合问题[典型例题]命题角度一切线问题已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x 4＋y2＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A ．⎝⎛⎭⎫12，14B ．⎝⎛⎭⎫14，12C ．⎝⎛⎭⎫34，0D ．⎝⎛⎭⎫0，34 【解析】因为点P 是直线x 4＋y2＝1上的一动点，所以设P (4－2m ，m )．因为P A ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．所以圆心C 的坐标是⎝⎛⎭⎫2－m ，m2，且半径的平方r 2＝（4－2m ）2＋m24，所以圆C 的方程为(x －2＋m )2＋⎝⎛⎭⎫y －m22＝（4－2m ）2＋m 24，① 又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x ＋1)＝0，所以由⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1＝0，2x －y ＝0得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝12，所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫14，12.故选B. 【答案】 B过一点求圆的切线方程的方法(1)过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线的方程的求法若切线斜率存在，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k (k ≠0)，由垂直关系知切线斜率为－1k，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则可由图形写出切线方程x ＝x 0.(2)过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线的方程的求法当切线斜率存在时，设切线斜率为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当切线斜率不存在时要加以验证．命题角度二弦长问题已知圆C 经过点A (－2，0)，B (0，2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx＋1与圆C 相交于P ，Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)过点(0，1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．【解】 (1)设圆心C (a ，a )，半径为r ，因为圆C 经过点A (－2，0)，B (0，2)，所以|AC |＝|BC |＝r ，即（a ＋2）2＋（a －0）2＝（a －0）2＋（a －2）2＝r ，解得a ＝0，r ＝2，故所求圆C的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设圆心C 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S .因为直线l ，l 1都经过点(0，1)，且l 1⊥l ，根据勾股定理，有d 21＋d 2＝1.又|PQ |＝2×4－d 2，|MN |＝2×4－d 21，所以S ＝12|PQ |·|MN |＝12×2×4－d 2×2×4－d 21＝216－4（d 21＋d 2）＋d 21d 2＝212＋d 21d 2≤212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d 21＋d 222＝212＋14＝7，当且仅当d 1＝d 时，等号成立，所以四边形PMQN 面积的最大值为7.求解圆的弦长的3种方法命题角度三直线与圆的综合问题已知圆C 经过点A (0，2)，B (2，0)，圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，且直线3x＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为2 3.点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N .(1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求BA 1→·BA 2→；(3)求证：|AN |·|BM |为定值．【解】 (1)易知圆心C 在线段AB 的中垂线y ＝x 上，故可设C (a ，a )，圆C 的半径为r .因为直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为23，且r ＝a 2＋（a －2）2，所以C (a ，a )到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|7a ＋5|5＝r 2－3＝2a 2－4a ＋1，所以a ＝0或a ＝170.又圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，所以a ＝0，此时r ＝2，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)将y ＝x ＋1代入x 2＋y 2＝4得2x 2＋2x －3＝0. 设A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－32.所以BA 1→·BA 2→＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋5＝－3＋1＋5＝3.(3)证明：当直线P A 的斜率不存在时，|AN |·|BM |＝8. 当直线P A 与直线PB 的斜率都存在时，设P (x 0，y 0)，直线P A 的方程为y ＝y 0－2x 0x ＋2，令y ＝0得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 02－y 0，0. 直线PB 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 02－x 0.所以|AN |·|BM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2y 02－x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2x 02－y 0＝4＋4⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 0x 0－2＋x 0y 0－2＋x 0y 0（x 0－2）（y 0－2）＝4＋4×y 20－2y 0＋x 20－2x 0＋x 0y 0（x 0－2）（y 0－2）＝4＋4×4－2y 0－2x 0＋x 0y 0（x 0－2）（y 0－2）＝4＋4×4－2y 0－2x 0＋x 0y 04－2y 0－2x 0＋x 0y 0＝8，综上，|AN |·|BM |为定值8.讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．[对点训练]1．自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0解析：选D.由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r ＝2，如图．因为|PQ |＝|PO |，且PQ ⊥CQ ，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 2＋y 2＋4＝(x －3)2＋(y ＋4)2，即6x －8y －21＝0，所以点P 的轨迹方程为6x －8y －21＝0，故选D.2．(2019·江苏南师大附中期中改编)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 过点A (0，－8)，且与圆x 2＋y 2－6x －6y ＝0相切于原点，则圆C 的方程为________________，圆C 被x 轴截得的弦长为________________．解析：将已知圆化为标准式得(x －3)2＋(y －3)2＝18，圆心为(3，3)，半径为3 2.由于两个圆相切于原点，圆心连线过切点，故圆C 的圆心在直线y ＝x 上．由于圆C 过点(0，0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y ＝－4上．联立y ＝x 和y ＝－4，得圆心C 的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为42，所以圆C 的方程为(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝32，即x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0.圆心C 到x 轴距离为4，则圆C 被x 轴截得的弦长为2×（42）2－42＝8.答案：x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0 83．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 与y 轴相切，且过点M (1，3)，N (1，－3)． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且直线OA 与直线OB 的斜率之积为－2.求证：直线l 恒过定点，并求出定点的坐标．解：(1)因为圆C 过点M (1，3)，N (1，－3)，所以圆心C 在线段MN 的垂直平分线上，即在x 轴上，故设圆心为C (a ，0)，易知a >0，又圆C 与y 轴相切，所以圆C 的半径r ＝a ，所以圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2. 因为点M (1，3)在圆C 上，所以(1－a )2＋(3)2＝a 2，解得a ＝2. 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)记直线OA 的斜率为k (k ≠0)，则其方程为y ＝kx .联立⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2＋y 2＝4，y ＝kx ，消去y ，得(k 2＋1)x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝4k 2＋1.所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋1，4k k 2＋1.由k ·k OB ＝－2，得k OB ＝－2k ，直线OB 的方程为y ＝－2kx ，在点A 的坐标中用－2k代替k ，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2k 2＋4，－8k k 2＋4.当直线l 的斜率不存在时，4k 2＋1＝4k 2k 2＋4，得k 2＝2，此时直线l 的方程为x ＝43.当直线l 的斜率存在时，4k 2＋1≠4k 2k 2＋4，即k 2≠2.则直线l 的斜率为4kk 2＋1－－8k k 2＋44k 2＋1－4k 2k 2＋4＝4k （k 2＋4）＋8k （k 2＋1）4（k 2＋4）－4k 2（k 2＋1）＝3k （k 2＋2）4－k 4＝3k2－k 2.故直线l 的方程为y －4kk 2＋1＝3k 2－k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 2＋1.即y ＝3k 2－k 2⎝⎛⎭⎫x －43，所以直线l 过定点⎝⎛⎭⎫43，0. 综上，直线l 恒过定点，定点坐标为⎝⎛⎭⎫43，0.一、选择题1．已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D ．⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选C.直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33（x ＋2），y ＝－3（x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．2．圆C 与x 轴相切于T (1，0)，与y 轴正半轴交于A 、B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4解析：选A.由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，故选A.3．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B.圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意，M (0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝4，所以两圆的圆心距为2，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．4．(多选)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件是( )A ．0<m <1B ．m <1C ．－2<m <1D ．－3<m <1解析：选AC.圆x 2＋y 2－2x －1＝0的圆心为(1，0)，半径为 2.因为直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d ＝|1＋m |1＋1<2，所以|1＋m |<2，解得－3<m <1，求其充分不必要条件，即求其真子集，故由选项易得AC 符合，故选AC.5．在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( )A ．102B ．10C ．5D ．10解析：选D.由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，因为过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以MP ⊥MQ ，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10，故选D.6．(一题多解)(2019·潍坊模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选C.法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －ky ＋1＝0，x 2＋y 2＝4得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋1)>0，y 1＋y 2＝2k k 2＋1，x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k 2＋1，因为OM →＝OA →＋OB →，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2＋1，2k k 2＋1，又点M 在圆C 上，故4（k 2＋1）2＋4k 2（k 2＋1）2＝4，解得k ＝0. 法二：由直线与圆相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，且点M 在圆C 上，得圆心C (0，0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d ＝11＋k2＝1，解得k ＝0.二、填空题7．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22，于是sin ∠OPH ＝|OH ||OP |＝222＝12，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan 150°＝－33. 答案：－338．已知圆O ：x 2＋y 2＝4到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则实数a 的取值范围为________．解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆O 到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <r ＋1＝2＋1，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)．答案：(－32，32)9．(2019·高考浙江卷)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________．解析：法一：设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.法二：因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－（－2）×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.答案：－2 5三、解答题10．已知点M (－1，0)，N (1，0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．解：(1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )，由题意得（x ＋1）2＋y 2＝3·（x －1）2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求．(2)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1，0)．设曲线E 的圆心为E ，则E (2，0)，设线段CD 的中点为P ，连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2.设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22，由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3， |EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，所以⎝⎛⎭⎫t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＝3－（t －2）22，整理得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3，所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x －x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m2，y －12＝x 2（x －x22），又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m 2，－12)，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－（m2）2＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．12．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1)因为圆心在直线l ：y ＝2x －4上，也在直线y ＝x －1上，所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1，得圆心C (3，2)，又因为圆C 的半径为1，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1，又因为点A (0，3)，显然过点A ，圆C 的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0，所以|3k －2＋3|k 2＋12＝1，解得k ＝0或k ＝－34，所以所求切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3，即y －3＝0或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上，所以设圆心C 为(a ，2a －4)，又因为圆C 的半径为1，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －2a ＋4)2＝1. 设M (x ，y )，又因为|MA |＝2|MO |，则有 x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D ，所以点M 既在圆C 上，又在圆D 上，即圆C 与圆D 有交点，所以2－1≤a 2＋（2a －4＋1）2≤2＋1，解得0≤a ≤125，所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125.。

2020—2021年最新高考总复习数学二轮复习直线与圆专题强化练习题.docx

第一部分一14一、选择题1．(文)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )A. 2B.82 3C. 3D.83 3[答案] B[解析] 由l1∥l2知3＝a(a－2)且2a≠6(a－2)，2a2≠18，求得a＝－1，∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋23＝0，两条平行直线l1与l2间的距离为d＝|6－23|12＋(－1)2＝823.故选B.(理)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0[答案] D[解析] 圆心(0,3)，又知所求直线斜率为1，∴直线方程为x －y＋3＝0.[方法点拨] 1.两直线的位置关系方程约束条件位置关系l 1：y ＝k 1x ＋b 1 l 2：y ＝k 2x ＋b 2l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0 l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 平行k 1＝k 2，且b 1≠b 2A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0 相交 k 1≠k 2特别地， l 1⊥l 2⇒k 1k 2＝－1A 1B 2≠A 2B 1特别地，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0 重合 k 1＝k 2且b 1＝b 2A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝02.与直线y ＝kx ＋b 平行的直线设为y ＝kx ＋b 1，垂直的直线设为y ＝－1k x ＋m(k ≠0)；与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线设为Ax ＋By ＋C 1＝0，垂直的直线设为Bx －Ay ＋C 1＝0.求两平行直线之间的距离可直接代入距离公式，也可在其中一条直线上取一点，求其到另一条直线的距离．2．(文)(2015·安徽文，8)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12[答案] D[解析] 考查1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式．∵直线3x＋4y＝b与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，∴|3＋4－b|32＋42＝1⇒b＝2或12，故选D.(理)(2015·辽宁葫芦岛市一模)已知圆C与直线x－y＝0及x －y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2[答案] B[解析] 由题意知，圆心C既在与两直线x－y＝0与x－y－4＝0平行且距离相等的直线上，又在直线x＋y＝0上，设圆心C(a，－a)，半径为r，则由已知得|2a|2＝|2a－4|2，解得a＝1，∴r＝2，故选B.[方法点拨] 1.点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：d>r ⇔点在圆外，d＝r⇔点在圆上；d<r⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r2(或0)作比较，大于r2(或0)时，点在圆外；等于r2(或0)时，点在圆上；小于r2(或0)时，点在圆内．2．直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表.方法位置关系几何法：根据d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2与r的大小关系代数法：⎩⎪⎨⎪⎧Ax＋By＋C＝0(x－a)2＋(y－b)2＝r2消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号相交d<r Δ>0相切d＝r Δ＝0相离d>r Δ<03.求圆的方程有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程；(2)代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径．3．(文)(2014·安徽文，6)过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A. (0，π6] B．(0，π3]C. [0，π6] D．[0，π3][答案] D[解析] 由题意可画出示意图：易知过点P的圆的两切线为PA与PM.PA处倾斜角为0，在Rt△POM中易知PO＝2，OM＝1，∴∠OPM＝π6，∠OPA＝π6，∴∠MPA＝π3，∵直线l倾斜角的范围是[0，π3]．[方法点拨] 本题还可以设出直线l的方程y＝kx＋b，将P 点代入得出k与b的关系，消去未知数b，再将直线代入圆方程，利用Δ>0求出k的范围，再求倾斜角的范围．1．求直线的方程常用待定系数法．2．两条直线平行与垂直的判定可用一般式进行判定，也可以用斜率判定．(理)(2015·山东理，9)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A．－53或－35B．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34[答案] D[解析] 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则其直线方程为y ＋3＝k(x －2)，即kx －y －2k －3＝0，∵光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，∴12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D.4．(文)(2014·湖南文，6)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11[答案] C[解析] 本题考查了两圆的位置关系．由条件知C 1：x 2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，圆心与半径分别为(0,0)，(3,4)，r 1＝1，r 2＝25－m ，由两圆外切的性质知，5＝1＋25－m ，∴m ＝9.[方法点拨] 圆与圆的位置关系表现形式位置关系几何表现：圆心距d 与r 1、r 2的关系代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况相离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解(理)一动圆过点A(0,1)，圆心在抛物线y＝14x2上，且恒与定直线l相切，则直线l的方程为( )A．x＝1 B．x＝1 32C．y＝－132D．y＝－1[答案] D[解析] ∵A(0,1)是抛物线x2＝4y的焦点，又抛物线的准线为y＝－1，∴动圆过点A，圆心C在抛物线上，由抛物线的定义知|CA|等于C到准线的距离，等于⊙C的半径，∴⊙C与定直线l：y＝－1总相切．5．(文)(2014·哈三中一模)直线x＋y＋2＝0截圆x2＋y2＝4所得劣弧所对圆心角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] D[解析] 弦心距d ＝|2|2＝1，半径r ＝2，∴劣弧所对的圆心角为2π3.(理)(2014·福建理，6)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 圆心O(0,0)到直线l ：kx －y ＋10＝0的距离d ＝11＋k2，弦长为|AB|＝21－d 2＝2|k|1＋k2，∴S △OAB ＝12×|AB|·d ＝|k|k 2＋1＝12，∴k ＝±1，因此当“k ＝1”时，“S △OAB ＝12”，故充分性成立．“S △OAB ＝12”时，k 也有可能为－1，∴必要性不成立，故选A.[方法点拨] 1.直线与圆相交时主要利用半弦、半径、弦心距组成的直角三角形求解．2．直线与圆相切时，一般用几何法体现，即使用d ＝r ，而不使用Δ＝0.6．(2015·太原市一模)已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215[答案] D[解析] 圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆的最长弦AC 为直径25；设圆心M(2，－1)，圆的最短弦BD ⊥ME ，∵ME ＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，∴BD ＝2R 2－ME 2＝23，故S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×25×23＝215. 7．(2015·重庆理，8)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210[答案] C[解析] 易知圆的标准方程C ：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心O(2,1)，又因为直线l ：x ＋ay －1＝0是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知a ＝－1，A(－4，－1)，又因为直线AB 与圆相切，则△OAB 为直角三角形，|OA|＝(2＋4)2＋(1＋1)2＝210，|OB|＝2，|AB|＝OA 2－OB 2＝6.8．过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线共有( )A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] D[解析] 过P(－2,3)与x轴负半轴和y轴正半轴围成的三角形面积的最小值是12，所以过一、二、三象限可作2条，过一、二、四象限可作一条，过二、三、四象限可作一条，共4条．9．(文)(2014·江西理，9)在平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )A.45π B.34πC．(6－25)π D.54π[答案] A[解析] 本题考查直线与圆的位置关系、抛物线的定义及数形结合求最值的数学思想．依题意，∠AOB＝90°，∴原点O在⊙C上，又∵⊙C与直线2x＋y－4＝0相切，设切点为D，则|OC|＝|CD|，∴圆C的圆心C的轨迹是抛物线，其中焦点为原点O，准线为直线2x＋y－4＝0.要使圆C的面积有最小值，当且仅当O、C、D三点共线，即圆C的直径等于O点到直线的距离，∴2R＝45，∴R＝25.S＝πR 2＝45π.选A.(理)两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆：x 2＋y 2＋2x －4＝0相切，则a 的取值范围是( )A ．a>7或a<－3B ．a>6或a<－ 6C ．－3≤a ≤－6或6≤a ≤7D ．a ≥7或a －3[答案] C[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，由⎩⎪⎨⎪⎧|2(－1)＋a|5<5|2(－1)＋a 2＋1|5<5得－6<a<6，两条直线都和圆相离时，由⎩⎪⎨⎪⎧|2(－1)＋a|5>5|2(－1)＋a 2＋1|5>5得a<－3，或a>7，所以两条直线和圆“相切”时a 的取值范围－3≤a ≤－6或6≤a ≤7，故选C.[方法点拨] 与圆有关的最值问题主要题型有： 1．圆的半径最小时，圆面积最小．2．圆上点到定点距离最大(小)值问题，点在圆外时，最大值d ＋r ，最小值d －r(d 是圆心到定点距离)；点在圆内时，最大值d ＋r ，最小值r －d.3．圆上点到定直线距离最值，设圆心到直线距离为d ，直线与圆相离，则最大值d ＋r ，最小值d －r ；直线与圆相交，则最大值d ＋r ，最小值0.4．P(x ，y)为⊙O 上一动点，求x 、y 的表达式(如x ＋2y ，x 2＋y 2等)的取值范围，一段利用表达式的几何意义转化．二、填空题10．(文)设直线mx －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦长为23，则m ＝________.[答案] 0[解析] 圆的半径为2，弦长为23，∴弦心距为1，即得d ＝|m ＋1|m 2＋1＝1，解得m ＝0.(理)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin2A＋sin2B＝12sin2C，则直线ax－by＋c＝0被圆x2＋y2＝9所截得弦长为________．[答案] 27[解析] 由正弦定理得a2＋b2＝12c2，∴圆心到直线距离d＝|c|a2＋b2＝c12c2＝2，∴弦长l＝2r2－d2＝29－2＝27.11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合可解决此题，属中档题．要使圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，只需满足圆心到直线的距离小于1即可．即|c|122＋52<1，解|c|<13，∴－13<c<13.12．已知过点P(2,1)有且只有一条直线与圆C：x2＋y2＋2ax ＋ay＋2a2＋a－1＝0相切，则实数a＝________.[答案] －1[解析] 由条件知点P在⊙C上，∴4＋1＋4a＋a＋2a2＋a－1＝0，∴a＝－1或－2.当a＝－1时，x2＋y2－2x－y＝0表示圆，当a＝－2时，x2＋y2－4x－2y＋5＝0不表示圆，∴a＝－1.三、解答题13．(2015·福建文，19)已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．[分析] 考查：1.抛物线标准方程；2.直线和圆的位置关系．(1)利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化；(2)欲证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．可证明点F到直线GA和直线GB的距离相等(此时需确定两条直线方程)；也可以证明∠AGF＝∠BGF，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．[解析] 法一：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋p 2 .因为|AF|＝3，即2＋p2＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x.(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B(12，－2)．又G(－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．法二：(1)同法一．(2)设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r. 因为点A(2，m)在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－2. 又G(－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r.这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．14．(文)已知圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r>0)经过点(1，3)． (1)求圆C 的方程；(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l ，它与圆C 相交于A 、B 两个不同点，且满足关系OM →＝12OA →＋32OB →(O 为坐标原点)的点M 也在圆C 上，如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)由圆C ：x 2＋y 2＝r 2，再由点(1，3)在圆C 上，得r 2＝12＋(3)2＝4，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)假设直线l 存在，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)． ①若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －1＝k(x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)＋1，x 2＋y 2－4＝0.消去y 得，(1＋k 2)x 2＋2k(k ＋1)x ＋k 2＋2k －3＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－2k (k ＋1)1＋k 2＝－2＋2－2k1＋k 2，x 1x 2＝k 2＋2k －31＋k 2＝1＋2k －41＋k2，y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k(k ＋1)(x 1＋x 2)＋(k ＋1)2＝2k ＋41＋k2－3，因为点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在圆C 上，因此，得x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4，由OM →＝12OA →＋32OB →得，x 0＝x 1＋3x 22，y 0＝y 1＋3y 22，由于点M 也在圆C 上，则(x 1＋3x 22)2＋(y 1＋3y 22)2＝4，整理得x 21＋y 214＋3·x 22＋y 224＋32x 1x 2＋32y 1y 2＝4，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以1＋2k －41＋k 2＋(2k ＋41＋k 2－3)＝0，从而得，k 2－2k ＋1＝0，即k ＝1，因此，直线l 的方程为 y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0. ②若直线l 的斜率不存在，则A(－1，3)，B(－1，－3)，M(－1－32，3－32)(－1－32)2＋(3－32)2＝4－3≠4，故点M 不在圆上与题设矛盾，综上所知：k ＝1，直线方程为x －y ＋2＝0.(理)已知圆O：x2＋y2＝2交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为22的椭圆，其左焦点为F.若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交直线x＝－2于点Q.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(1,1)，求证：直线PQ与圆O相切；(3)试探究：当点P在圆O上运动时(不与A，B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．[解析] (1)因为a＝2，e＝22，所以c＝1，则b＝1，即椭圆C的标准方程为x22＋y2＝1.(2)因为P(1,1)，F(－1,0)，所以k PF＝1 2，∴k OQ＝－2，所以直线OQ的方程为y＝－2x.又Q在直线x＝－2上，所以点Q(－2,4)．∴k PQ＝－1，k OP＝1，∴k OP·k PQ＝－1，即OP⊥PQ，故直线PQ与圆O相切．(3)当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆P保持相切的位置关系，设P(x0，y0)，(x0≠±2)，则y20＝2－x20，k PF＝y0x0＋1，k OQ＝－x0＋1y0，∴直线OQ的方程为y＝－x0＋1y0x，∴点Q(－2，2x0＋2y0)，∴k PQ＝y0－2x0＋2y0x0＋2＝y20－(2x0＋2)(x0＋2)y0＝－x20－2x0(x0＋2)y0＝－x0y0，又k OP＝y0x0.∴k OP·k PQ＝－1，即OP⊥PQ(P不与A、B重合)，直线PQ始终与圆O相切．15．(文)(2014·石家庄市质检)已知动圆C过定点M(0,2)，且在x轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C方程；(2)设点A为直线l：x－y－2＝0上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为P 、Q ，求△APQ 面积的最小值及此时点A 的坐标．[解析] (1)设动圆圆心坐标为C(x ，y)，根据题意得 x 2＋(y －2)2＝y 2＋4，化简得x 2＝4y.(2)解法一：设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y y ＝kx ＋b消去y 得x 2－4kx －4b ＝0.设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k x 1x 2＝－4b，且Δ＝16k 2＋16b以点P 为切点的切线的斜率为y ′1＝12x 1，其切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －14x 21.同理过点Q 的切线的方程为y ＝12x 2x －14x 22.两条切线的交点A(x A ，y B )在直线x －y －2＝0上，解得⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝x 1＋x 22＝2ky A＝x 1x24＝－b ，即A(2k ，－b)．则：2k ＋b －2＝0，即b ＝2－2k ，代入Δ＝16k 2＋16b ＝16k 2＋32－32k ＝16(k －1)2＋16>0， |PQ|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝41＋k2k 2＋b ，A(2k ，－b)到直线PQ 的距离为d ＝|2k 2＋2b|k 2＋1， S △APQ ＝12|PD|·d ＝4|k 2＋b|·k 2＋b ＝4(k 2＋b)32＝4(k 2－2k ＋2)32＝4[(k －1)2＋1]32.当k ＝1时，S △APQ 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0)．解法二：设A(x 0，y 0)在直线x －y －2＝0上，点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)在抛物线x 2＝4y 上，则以点P 为切点的切线的斜率为y 1＝12x 1，其切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －y 1，同理以点Q 为切点的方程为y ＝12x 2x －y 2.设两条切线均过点A(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝12x 1x 0－y 1，y 0＝12x 2x 0－y 2.点P ，Q 的坐标均满足方程y 0＝12xx 0－y ，即直线PQ 的方程为：y ＝12x 0x －y 0，代入抛物线方程x 2＝4y 消去y 可得： x 2－2x 0x ＋4y 0＝0 |PQ|＝1＋14x 20|x 1－x 2|＝1＋14x 204x 20－16y 0A(x 0，y 0)到直线PQ 的距离为d ＝|12x 20－2y 0|14x 20＋1，S △APQ ＝12|PQ|d ＝12|x 20－4y 0|·x 20－4y 0＝12(x 20－4y 0) 32 ＝12(x 20－4x 0＋8) 32 ＝12[(x 0－2)2＋4] 32 当x 0＝2时，S △APQ 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0)．(理)已知点A(－2,0)，B(2,0)，直线PA 与直线PB 斜率之积为－34，记点P 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的方程；(2)设M 、N 是曲线C 上任意两点，且|OM→－ON →|＝|OM →＋ON →|，是否存在以原点为圆心且与MN 总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设P(x ，y)，则由直线PA 与直线PB 斜率之积为－34得，y x ＋2·y x －2＝－34(x ≠±2)，整理得曲线C 的方程为x 24＋y23＝1(x ≠±2)．(2)若|OM→－ON →|＝|OM →＋ON →|，则OM →⊥ON →. 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．若直线MN 斜率不存在，则y 2＝－y 1，N(x 1，－y 1)．由OM →⊥ON →得y 1x 1·－y 1x 1＝－1，又x 214＋y 213＝1.解得直线MN 方程为x ＝±127.原点O 到直线MN 的距离d ＝127. 若直线MN 斜率存在，设方程为y ＝kx ＋m. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y23＝1得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.∴x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1·x 2＝4m 2－124k 2＋3. (*)由OM →⊥ON →得y 1x 1·y 2x 2＝－1，整理得(k 2＋1)x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m2＝0.代入(*)式解得7m2＝12(k2＋1)．此时(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0中Δ>0. 此时原点O到直线MN的距离d＝|m|k2＋1＝127.故原点O到直线MN的距离恒为d＝127.存在以原点为圆心且与MN总相切的圆，方程为x2＋y2＝12 7 .。

高考数学二轮复习疯狂专练10直线与圆文

直线与圆1．[2017·武邑中学]过点()2,3A 且垂直于直线250x y +-=的直线方程为（）A ．240x y -+=B ．270x y +-=C ．230x y -+=D ．250x y -+= 【答案】A【解析】根据两直线垂直，斜率乘积为1-，即240x y -+=．2．[2017·甘肃二诊]圆心为()4,0且与直线）A ．()2241x y -+=B ．()22412x y -+=C ．()2246x y -+=D ．()2249x y ++= 【答案】B【解析】结合圆心坐标可知，圆的方程为：()22412x y -+=． 3．[2017·咸阳二模]已知命题p ：“1m =-”，命题q ：直线0x y -=与直线20x m y +=互相垂直”，则命题p 是命题q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【答案】A【解析】命题q 中，直线20x m y +=的斜率是1-，所以211m -=-，1m =±，所以命题p 是命题q 成立的充分不必要条件．选A ．4．[2017·榆林二中]圆22420x y x y a ++-+=截直线30x y +-=所得弦长为2，则实数a 等于（）一、选择题（5分/题）A ．2B ．2-C ．4D ．4-【答案】D【解析】圆的标准方程为22(2)(1)5x y a ++-=-，∴圆的圆心为()2,1-，∴圆心到直线30x y +-=的距离为d ==．由条件得2=，解得4a =-．5．[2017·贵阳一中]已知圆22:(1)(3)9C x y -+-=的圆心C 在直线l 上，且l 与直线20x y +-=平行，则l 的方程是（）A ．40x y +-=B ．40x y ++=C ．20x y --=D ．20x y -+= 【答案】A【解析】设直线l 为0x y m ++=，代入点(1,3)得4m =-．故选A ．6．[2017·遂宁二诊]已知直线20ax y +-=与圆()()22:14C x y a -+-=相交于A B 、两点，且线段AB 是圆C 的所有弦中最长的一条弦，则实数a 等于（）A ．2B ．1±C ．1或2D ．1 【答案】D【解析】由题设可知直线20ax y +-=经过圆心()1,C a ，所以2201a a -=⇒=，应选答案D ．7．[2017·赣州二模]已知动点(),A A A x y 在直线:6l y x =-上，动点B 在圆22:2220C x y x y +---=上，若30CAB ∠=︒，则A x 的最大值为（）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】如图所示，设点(),6A A A x x -，圆心C 到直线AB 的距离为d ，则，因为直线AB 与圆C 有交点，所以。

高考数学二轮复习124分项练10直线与圆文

的轨迹方程为 x2＋(y－1 )2＝1，则 m 的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4答案 D解析设 P(x，y)，PQ 的中点为 M(x0，y0)，则由中点坐标公式得Error!
因为点 M (x0，y0)在圆 x2＋(y－1 )2＝1 上，
( ) ( ) 所以
x－1 2
2＋ y＋2m－1 2＝1，
12＋4 分项练 10 直线与圆
1．(2018·襄阳调研)已知点 P(1,2)和圆 C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点 P 作圆 C 的切线有
两条，则 k 的取值范围是( )
A．R
( ) C. －233，233
答案 C
( ) B. －∞，233 ( ) D. －233，0
( ) 解析圆 C： x＋2k 2＋(y＋1 )2＝1－34k2，
A.{1，－1，3，－3} C.{1，－1} 答案 A
B.{5，－5，3，－3} D.{3，－3}
解析 d＝|a|＝2＋1＝3 或 d＝|a|＝2－1＝1，
所以 a＝1，－1,3，－3.
7．(2018·河北省衡水中学模拟)若平面内两定点 A，B 间的距离为 2，动点 P 与 A，B 的距离
之比为 2，当 P，A，B 不共线时，△PAB 面积的最大值是( )
因为过 P 有两条切线，
所以 P 在圆外，从而Error!
解得－2 3<k<2 3.
3
3
2．(2018·拉萨模拟)已知点 P 在圆 C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0 上运动，则点 P 到直线 l：x－2y
－5＝0 的距离的最小值是( )
A．4 B. 5 C. 5＋1 D. 5－1
答案 D
解析圆 C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0 可化为(x－2)2＋(y－1 )2＝1，圆心 C(2,1)，半径为 1，

2020高考数学课标二轮：专题能力训练直线与圆含解析

(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).
因为圆N与x轴相切,与圆M外切,
所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,
从而7-y0=5+y0,解得y0=1.
因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.
(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为 =2.
设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,
∴S△ABP= ·|AB|·d'= d',∴2≤S△ABP≤6.
4.已知实数a,b满足a2+b2-4a+3=0,函数f(x)=asinx+bcosx+1的最大值记为φ(a,b),则φ(a,b)的最小值是()
A.1B.2C. +1D.3
答案:B
解析:由题意知φ(a,b)= +1,且a,b满足a2+b2-4a+3=0,即点(a,b)在圆C:(a-2)2+b2=1上,圆C的圆心为(2,0),半径为1, 表示圆C上的动点(a,b)到原点的距离,最小值为1,所以φ(a,b)的最小值为2.故选B.
(1)证明由题设知,圆C的方程为(x-t)2+ =t2+ ,化简,得x2-2tx+y2- y=0.当y=0时,x=0或2t,则A(2t,0);当x=0时,y=0或 ,则B ,故S△AOB= |OA|·|OB|= |2t|· =4为定值.
(2)解∵|OM|=|ON|,∴原点O在MN的中垂线上.
设MN的中点为H,则CH⊥MN,
所以k的取值范围为 .
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,
整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.

(新高考)2020版高考数学二轮复习专题过关检测(二十)直线与圆文

专题过关检测（二十）直线与圆A 级——“12＋4”提速练1．与直线l ：x －2y ＋1＝0垂直且过点(－1,0)的直线m 在y 轴上的截距为( ) A ．2 B ．－2 C ．1D ．－1解析：选B 直线l ：x －2y ＋1＝0的斜率是12，由题意可知所求直线的斜率k ＝－2，故所求直线方程是y ＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋2＝0，令x ＝0，解得y ＝－2.故选B.2．“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为两直线平行，所以斜率相等，即－2a ＝－b2，可得ab ＝4，又当a ＝1，b ＝4时，满足ab ＝4，但是两直线重合，故选C.3．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切D ．内切解析：选B 圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心是O 1(1,0)，半径是r 1＝1，圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心是O 2(0,2)，半径是r 2＝2，因为|O 1O 2|＝5，故|r 1－r 2|<|O 1O 2|<|r 1＋r 2| 所以两圆的位置关系是相交．4．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6B ．－π3或π3C ．－π6或π6D.π6解析：选A 圆(x －2)2＋(y －3)2＝4的圆心为(2,3)，半径r ＝2，圆心(2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|2k |k 2＋1，因为直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，所以由勾股定理得r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322，即4＝4k 2k 2＋1＋3，解得k ＝±33，故直线的倾斜角为π6或5π6.5．圆x 2＋y 2＋4x －2y －1＝0上存在两点关于直线ax －2by ＋1＝0(a >0，b >0)对称，则1a＋4b的最小值为( )A ．3＋2 2B ．9C ．16D ．18解析：选D 由圆的对称性可得，直线ax －2by ＋1＝0必过圆心(－2,1)，所以a ＋b ＝12.所以1a ＋4b＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝2⎝⎛⎭⎪⎫5＋b a＋4a b ≥2(5＋4)＝18，当且仅当b a ＝4ab，即2a ＝b 时取等号． 6．(2019·重庆七校联合考试)两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0和x 2＋y 2＋2x －8＝0相交于两点M ，N ，则线段MN 的长为( )A.355 B ．4 C.655D.1255解析：选D 两圆方程相减，得直线MN 的方程为x －2y ＋4＝0，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的标准形式为(x ＋1)2＋y 2＝9，所以圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的圆心为(－1,0)，半径为3，圆心(－1,0)到直线MN 的距离d ＝35，所以线段MN 的长为232－⎝⎛⎭⎪⎫352＝1255.故选D. 7．(2019·广东七校联考)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (8,0)，以OA 为直径的圆与直线y ＝2x 在第一象限的交点为B ，则直线AB 的方程为( )A ．x ＋2y －8＝0B ．x －2y －8＝0C ．2x ＋y －16＝0D ．2x －y －16＝0解析：选A 如图，由题意知OB ⊥AB ，因为直线OB 的方程为y ＝2x ，所以直线AB 的斜率为－12，因为A (8,0)，所以直线AB 的方程为y －0＝－12(x －8)，即x ＋2y －8＝0，故选A.8．已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2，点P (a ，b )(ab ≠0)是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为l 1，直线l 2的方程为ax ＋by －r 2＝0，那么( )A ．l 1∥l 2，且l 2与圆O 相离B ．l 1⊥l 2，且l 2与圆O 相切C ．l 1∥l 2，且l 2与圆O 相交D ．l 1⊥l 2，且l 2与圆O 相离解析：选A 由题意可得a 2＋b 2<r 2，OP ⊥l 1. 因为k OP ＝ba ，所以l 1的斜率k 1＝－a b. 故直线l 1的方程为y －b ＝－a b(x －a )，即ax ＋by －(a 2＋b 2)＝0.又直线l 2的方程为ax ＋by －r 2＝0，故l 1∥l 2，圆心到直线l 2的距离为|0＋0－r 2|a 2＋b 2>r2r＝r ，故圆和直线l 2相离．9．(2019·石家庄模拟)已知圆C 截两坐标轴所得弦长相等，且圆C 过点(－1,0)和(2,3)，则圆C 的半径为( )A ．8B ．2 2C ．5D. 5解析：选D 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，∵圆C 经过点(－1,0)和(2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋1)2＋b 2＝r 2，(a －2)2＋(b －3)2＝r 2，∴a ＋b －2＝0 ①，又圆C 截两坐标轴所得弦长相等，∴|a |＝|b | ②，由①②得a ＝b ＝1，∴圆C 的半径为5，故选D.10．设直线x －y ＋m ＝0(m ∈R)与圆(x －2)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若线段CD 的长度为7，则m ＝( )A ．1或3B ．1或－3C ．－1或3D ．－1或－3解析：选D 联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，(x －2)2＋y 2＝4，得2x 2＋2(m －2)x ＋m 2＝0，得Δ＝－4(m 2＋4m －4)．设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2－m ，x 1x 2＝m 22，所以|CD |＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝－m 2－4m ＋4＝7，解得m ＝－3或m ＝－1，此时Δ>0成立．11．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则实数a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，3 2 ]解析：选A 由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆O 上到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <r ＋1＝2＋1，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)．12．已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 分别是切点，若四边形PACB 的面积的最小值是2，则k 的值为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选D 由题意知，圆C 的圆心为C (0,1)，半径r ＝1，四边形PACB 的面积S ＝2S△PBC，若四边形PACB 的面积的最小值是2，则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝12r |PB |＝12|PB |，则|PB |的最小值为2，此时|PC |取得最小值，而|PC |的最小值为圆心到直线的距离，所以|5|k 2＋1＝12＋22＝5，即k 2＝4，由k >0，解得k ＝2.13．已知直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相切，则m ＝________.解析：因为圆C ：x 2＋y 2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相切，所以2＝31＋m2，解得m ＝±52. 答案：±5214．(2019·浙江高考)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________.解析：由题意得，圆心C (0，m )到直线2x －y ＋3＝0的距离d ＝|－m ＋3|5＝r ，又r ＝|AC |＝4＋(m ＋1)2，所以|－m ＋3|5＝4＋(m ＋1)2，解得m ＝－2，所以r ＝ 5. 答案：－2515．已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直，则m 的值为________；动直线l ：mx －y ＝1被圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0截得的最短弦长为________．解析：因为直线mx －y ＝1与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直，所以m ×1＋(－1)×m (m －1)＝0，解得m ＝0或m ＝2.动直线l ：mx －y ＝1过定点(0，－1)，圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝9，圆心(1,0)到直线mx －y －1＝0的距离的最大值为(0－1)2＋(－1－0)2＝2，所以动直线l 被圆C 截得的最短弦长为29－(2)2＝27.答案：0或2 2716．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________．解析：因为AB 为直径，所以AD ⊥BD ，所以BD 即B 到直线l 的距离，BD ＝|0－2×5|12＋22＝2 5.因为CD ＝AC ＝BC ＝r ，又CD ⊥AB ，所以AB ＝2BC ＝210，设A (a,2a )，AB ＝(a －5)2＋4a 2＝210⇒a ＝－1或3(a ＝－1舍去)．答案：3B 级——拔高小题提能练1．在平面直角坐标系xOy 中，以(－2,0)为圆心且与直线(3m ＋1)x ＋(1－2m )y －5＝0(m ∈R)相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋y 2＝16 B ．(x ＋2)2＋y 2＝20 C ．(x ＋2)2＋y 2＝25D ．(x ＋2)2＋y 2＝36解析：选C 根据题意，设圆心为P ，则点P 的坐标为(－2，0)．对于直线(3m ＋1)x ＋(1－2m )y －5＝0，变形可得m (3x －2y )＋(x ＋y －5)＝0，即直线过定点M (2,3)，在以点(－2,0)为圆心且与直线(3m ＋1)x ＋(1－2m )y －5＝0相切的圆中，面积最大的圆的半径r 长为MP ，则r 2＝MP 2＝25，则其标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝25.2．(2020届高三·广东七校联考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B ，C 分别在x 轴和y 轴的非负半轴上，点A 在第一象限，且∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，则( )A ．OA 的最大值是42，最小值是4B ．OA 的最大值是8，最小值是4C ．OA 的最大值是42，最小值是2D ．OA 的最大值是8，最小值是2解析：选A 因为∠BAC ＝90°，∠BOC ＝90°，所以O ，B ，A ，C 四点共圆，且在以BC为直径的圆上．又AB ＝AC ＝4，所以BC ＝4 2.因此当OA 为圆的直径时，OA 取得最大值，为42，如图①所示；当点B (或点C )与原点O 重合时，OA 取得最小值，为4，如图②所示．故选A.3．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，A ，B 为圆O 上的两个动点，且|AB |＝2，M 为弦AB 的中点，C (22，a )，D (22，a ＋2)．当A ，B 在圆O 上运动时，始终有∠CMD 为锐角，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)解析：选B 连接OM ，由题意得|OM |＝5－1＝2，∴点M 在以O 为圆心，半径为2的圆上．设CD 的中点为N ，则N (22，a ＋1)，且|CD |＝2.∵当A ，B 在圆O 上运动时，始终有∠CMD 为锐角，∴以O 为圆心，半径为2的圆与以N (22，a ＋1)为圆心，半径为1的圆外离，∴(22)2＋(a ＋1)2>3，整理得(a ＋1)2>1，解得a <－2或a >0.∴实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．4．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x(x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．解析：法一：由题意可设P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋4x(x 0>0)，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥22x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号．故所求最小值是4.法二：设P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，4x 0＋x 0(x 0>0)，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x 20.令1－4x 20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴P (2，32)，曲线y ＝x ＋4x(x >0)上的点P 到直线x ＋y ＝0的最短距离即为此时点P到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|2＝4.答案：45．(2019·洛阳统考)已知直线x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，C 为圆周上一点，线段OC 的中点D 在线段AB 上，且3AD ―→＝5DB ―→，则r ＝________.解析：如图，过O 作OE ⊥AB 于E ，连接OA ，则|OE |＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知|AE |＝|EB |，不妨令|AD |＝5m (m >0)，由3AD ―→＝5DB ―→可得：|BD |＝3m ，|AB |＝8m ，则|DE |＝4m －3m ＝m ，在Rt △ODE 中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2＝(2)2＋m 2，①在Rt △OAE 中，有r 2＝(2)2＋(4m )2，② 联立①②，解得：r ＝10. 答案：10。