2017年高考数学一轮复习同步导学案——第17讲利用导数研究函数单调性,极值最值

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高考数学第一轮高效复习导学案-导数

高考数学第一轮高效复习导学案导数及其应用1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2. 熟记八个基本导数公式(c,m x (m 为有理数)，x x a e x x a x x log ,ln ,,,cos ,sin 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.第一课时导数概念与运算【学习目标】1．了解导数的定义、掌握函数在某一点处导数的几何意义——图象在该点处的切线的斜率；2．掌握幂函数、多项式函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式及两个函数的和、差、积、商的导数运算法则及简单复合函数的求导公式，并会运用它们进行求导运算；【考纲要求】导数为B 级要求【自主学习】1．导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比xy ∆∆的，即)(x f '＝＝． 2．导函数：函数y ＝)(x f 在区间(a, b)内的导数都存在，就说)(x f 在区间( a, b )内，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值，就是)(x f 在0x 处的导数.3．导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 .4．求导数的方法(1) 八个基本求导公式)('C ＝；)('n x ＝；(n∈Q) )(sin 'x ＝， )(cos 'x ＝)('x e ＝， )('x a ＝)(ln 'x ＝， )(log 'x a ＝(2) 导数的四则运算)('±v u ＝])(['x Cf ＝ )('uv ＝，)('vu ＝ )0(≠v 【基础自测】1.在曲线y=x 2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx ，2+Δy ），则xy ∆∆为 . 2.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则)(x f '= .3.设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π，则点P 横坐标的取值范围为 .4.曲线在y=53123+-x x 在x=1处的切线的方程为 . 5.设曲线y ax e =在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= .[典型例析]例1．求函数y=12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.例2. 求下列各函数的导数：（1）;sin 25x xx x y ++= （2）);3)(2)(1(+++=x x x y （3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x y （4）.1111x x y ++-=例3. 已知曲线y=.34313+x （1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.例4. 设函数bx ax x f ++=1)( (a,b∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y=3. （1）求)(x f 的解析式；（2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.[当堂检测]1. 函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝2．在曲线y =x 2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+△x ,2+△y )，则xy ∆∆为 3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为4.设f (x )、g(x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,()()()()f x g x f x g x ''+＞0.且g(3)=0.则不等式f (x )g(x )＜0的解集是________________5．在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数有个。

高三数学复习学案——利用导数研究函数的单调性

在切点处切线的斜率为
3．利用导数判断函数单调性的一般步骤
4．函数在区间上为增（减）函数，则在上恒成立，且不恒为0。
班级小组姓名________使用时间______年______月______日编号10
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学案内容
学生笔记（教师点拨）
二、基础练习
1. 是的导函数，的图象如右图所示，
学案内容
一、知识梳理：
1.导数公式和导数的四则运算：
区别幂函数、指数函数，对数函数的导数公式
明确复合函数的求导法则和除法的求导法则
2.导数的几何意义：
（1）求在某点处的切线的斜率或倾斜角
（2）求“在”某点处的切线方程
求“过”某点处的切线方程
（3）已知切线方程求参数：切点在切线上；
切点在曲线上；
，且，则不等式的解集是
6．已知直线与曲线相切，则的值为( )
A．1B．2C．-1D．-2
7．已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b) ，若在区间上单调递增，则b的取值范围为．
8.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（）
A．（，1）B．（，+ ）C．（，）D．（，+ ）
则的图象只可能是 ( )
2．函数 = ,其中a,b,c为实数,则是在R上是增函数的（）条件
A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也_．
4．曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．
5．设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，
（2）若函数在区间上不单调，求的取值范围？若在区间上存在单调递减区间呢？
四、课堂小结：
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当堂训练

函数的单调性与导数导学案

函数的单调性与导数导学案课题函数的单调性与导数学习目标知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系；2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间。

过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法；2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。

情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。

学习重点探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。

学习难点探索函数的单调性与导数的关系。

教学方法问题启发式学生学习过程师生合作探究复习 1：导数的几何意义复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法（图像法，定义法）问题提出：判断y=x 2的单调性，如何进行？（分别用图像法，定义法完成）那么如何判断();,0,sin )(π∈-=x x x x f 的单调性呢？探究任务一：函数单调性与其导数的关系：问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图像，图(2）表示高台跳水运动员的速度5.68.9)(')(+-==t t h t V h 的图像。

通过观察图像, 运动员从起跳到最高点，以及从最尝试用图像和定义去解决。

【引导】随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，。

（2）从最高点到入水，运动员离水面的高h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，。

高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？此时你能发现)(')(t h t h 和这两个函数图像有什么联系吗?问题2：结合函数x y =，2x y =，3x y =，xy 1=，观察图（1）～图（4），探讨函数与其导函数是否也存在问题（1）的关系呢？问题3：通过对问题1和问题2的观察，你能得到原函数的单调性与其导函数的正负号有何关系？你能得到怎样的结论？问题4：上述结论主要是通过观察得到的，你能结合导数的几何意义为切线的斜率，你能从这个角度给予说明吗？探究任务二：()0'=x f 与函数单调性的关系：问题5：若函数()x f 的导数()0'=x f ，那么()x f 会是一个什么函数呢？问题6：在区间()b a ,上()0'≥x f ，则函数()x f 区间()b a ,必为增函数，你认为这句话对吗？请说明理由。

湖南省株洲县五中2017年高考数学第一轮复习导学案函

函数的单调性一、学习目标1．理解函数单调性的定义、图象特征；2．能判断函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最值、解抽象函数的不等式.二、回归教材1．设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域内某个区间D 的任意两个自变量的值1x 、2x ，当12x x <时都有_____,那么函数()f x 叫做区间D 上的增函数；当12x x <时都有_____,那么函数()f x 叫做区间D 上的减函数.2．判断函数为单调的常用方法（1）图象法：__________________.（2）定义法：__________________.（3）复合法则：__________________.（4）运算法则：__________________.（5）导数方法：__________________.三、基础自测1．函数()1x f x x+=的单调减区间是（） A.定义域 B.R C.()0,+∞ D. ()(),0,0,-∞+∞2．如果函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（）A ．3a ≤-B ． a ≥3-C ．5a ≤D ．5a ≥3．下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（）A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x= D ．||y x x = 4．已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞是单调增函数，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是 .四、典例剖析例1试求出下列函数的单调区间：（1）1y x =-；（2）221y x x =+-；（3）2432xx y -+-=.例2讨论函数()1122ax f x a x +⎛⎫=≠ ⎪+⎝⎭在()2,-+∞上的单调性.23例3已知函数()f x 的定义域[]1,1-，且对于任意的1x 、[]21,1x ∈-，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-. （1）试判断函数()f x 在区间[]1,1-上是增函数还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式()()2516f x f x -<.五、巩固练习1.下列函数()f x 中，满足“对任意()12,0,x x ∈+∞，当12x x <时，都有()()12f x f x >”的是（）A ．()1f x x= B ．()()21f x x =- C ．()x f x e = D ． ()()ln 1f x x =+ 2.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（）A y=cos2x ，x ∈R B. y=log 2|x|，x ∈R 且x ≠0c. y=2x xe e --，x ∈R D. y=x 3+1，x ∈R 六、高考链接已知0a >，函数()2ln f x x ax =-.（1）求()f x 的单调区间；（2）当18a =时，证明：存在()02,,x ∈+∞使()032f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 24。

利用导数判断函数的单调性教案

利用导数判断函数的单调性教案一、教学目标：1. 让学生理解导数的定义和几何意义。

2. 学会利用导数判断函数的单调性。

3. 能够运用导数解决实际问题。

二、教学内容：1. 导数的定义和几何意义。

2. 利用导数判断函数的单调性。

3. 导数在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 重点：导数的定义，导数与函数单调性的关系。

2. 难点：利用导数判断函数的单调性，解决实际问题。

四、教学方法与手段：1. 教学方法：讲解法，案例分析法，讨论法。

2. 教学手段：黑板，PPT。

五、教学过程：1. 导入：回顾导数的定义和几何意义，引导学生思考导数与函数单调性的关系。

2. 新课讲解：讲解如何利用导数判断函数的单调性，通过示例让学生理解并掌握方法。

3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用导数判断函数的单调性，解决实际问题。

4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂练习环节，观察学生对利用导数判断函数单调性的掌握程度。

2. 课后作业的完成情况，评估学生对知识的巩固程度。

3. 学生参与讨论的积极性和对实际问题分析的能力。

七、教学反思：2. 根据学生的反馈调整教学方法，提高教学效果。

3. 针对学生的掌握情况，适当调整教学内容和难度。

八、教学拓展：1. 引导学生思考导数在其他数学领域的应用，如微分方程、优化问题等。

2. 介绍导数在物理学、经济学等学科中的应用，拓宽学生的视野。

九、教学资源：1. PPT课件：包含导数定义、几何意义、判断函数单调性的方法及实际案例。

2. 练习题：涵盖不同难度的题目，用于巩固所学知识。

3. 实际问题案例：涉及多个领域的实际问题，用于引导学生运用导数解决实际问题。

十、教学进度安排：1. 本节课共计45分钟，具体安排如下：导入：5分钟新课讲解：15分钟案例分析：15分钟课堂练习：10分钟作业布置：5分钟2. 课后作业：布置课后练习，要求学生在下次课堂上提交。

《4.3.1 利用导数研究函数的单调性》教案

《4.3.1 利用导数研究函数的单调性》教案教学目标：知识与技能：借助函数的图象了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；过程与方法：通过本节的学习，掌握利用导数判断函数单调性的方法；情感、态度与价值观：通过实例探究函数的单调性与导数的关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力.教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性；教学难点：利用导数的符号判断函数的单调性；判断复合函数的单调区间及应用. 教学过程：一、自学导航1．情境：(1) 必修一中，如何定义函数单调性的？（2）如何用定义判断一些函数的单调性？一般地，设函数f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x) 在这个区间上是减函数．问题：能否用定义法讨论函数()xf x e x=-的单调性？学生活动讨论函数342+-=x x y 的单调性. 解：取x1＜x2，x1、x2∈R ，取值 f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3) 作差＝(x1－x2)(x1＋x2－4) 变形当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)，定号 ∴y ＝f(x)在(－∞, 2)单调递减．判断当2＜x1＜x2时， x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，∴y ＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y ＝f(x)在(－∞, 2)单调递减，y ＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增.2. 研究函数342+-=x x y 的导函数值的符号与单调性之间的关系. 二、探究新知1.导数符号与函数单调性之间的关系我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342+-=x x y 的图像可以看到：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即y '>0时，函数y=f(x) 在区间（2，∞+）内为增函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即y '<0时，函数y=f(x) 在区间（∞-，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数. 如果在这个区间内y '>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y '<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数.说明：（1）如果某个区间内恒有y '=0，则f(x)等于常数；（2）y '>0（或y '<0）是函数在(a ，b ）上单调增（或减）的充分不必要条件.2.利用导数确定函数的单调性的步骤： (1) 确定函数f(x)的定义域； (2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f '(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x)＜0，得函数的单调递减区间．三、例题精讲：例1 求函数()23252x f x x x =--+的单调区间.解：()f x '=3x2－x －2=0，得x=1，23-.在（－∞，－32）和［1，+∞)上()f x '>0，f （x ）为增函数；在［－32，1］上f '（x ）<0，f （x ）为减函数.所以所求f （x ）的单调增区间为（－∞，－32]和［1，+∞)，单调减区间为［－32，1］.变式题1：求函数2()2ln f x x x =-的单调区间．答案：增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 变式题2：设函数()(0)kx f x xe k =≠．求函数()f x 的单调区间；解：由()()'10kxf x kx e =+=，得()10x k k =-≠，若0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m若0k <，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减..w.k.s.5.u.c.o点评：（1）注意定义域和参数对单调区间的影响；（2）同一函数的两个单调区间不能并起来；（3）求函数的单调区间，求导的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法，但它是一种一般性的方法.例2 若函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是答案：1[,)3+∞变式题1:若函数123+++=mx x x y 有三个单调区间，则实数m 的取值范围是 .答案：1(,)3-∞ 变式题2:若函数123+++=mx x x y 在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则实数m 的值是 . 答案：-5变式题3：若函数123+++=mx x x y 在1(0,)2上既不是单调递增函数也不是单调递减函数，则整数m 的值是 . 答案：-1.m 变式题4：若函数123+++=mx x x y 的单调递减区间是4[2,]3-，则则实数m 的值是 .答案：-8例3 设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为答案：④变式题1：如果函数()y f x =的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：①函数()y f x =在区间1(3,)2--内单调递增； ②函数()y f x =在区间1(,3)2-内单调递减；③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增； ④函数()y f x =的单调递增区间是xyO图xyO①xyO ② xyO ③yO④x-2 2xyO1-1 -11[2,2][4,)-+∞则上述判断中正确的是____________．答案：③变式题2：已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中()f x '是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是答案：③备选例题：已知函数()ln 3(R)f x a x ax a =--∈．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45︒，对于任意的]2,1[∈t ，函数32()['()]2mg x x x f x =++在区间)3,(t 上总不是单调函数，求m 的取值范围；(3)求证：ln 2ln3ln 4ln 1(2,N )234n n n n n *⨯⨯⨯⨯<≥∈．解：(1)(1)'()(0)a x f x x x -=>当0>a 时，)(x f 的单调增区间为(]0,1，减区间为[)1,+∞；当0<a 时，)(x f 的单调增区间为[)1,+∞，减区间为(]0,1；O-22xy1 -1-2 12Oxy-2-2 21-112O-2 4xy1-1 -212 O-22xy-124 ①② ③ ④当0=a 时，)(x f 不是单调函数(2)12)2('=-=a f 得2-=a ，()2ln 23f x x x =-+- ∴x x mx x g 2)22()(23-++=，∴2)4(3)('2-++=x m x x g ∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数，且()02'g =-∴⎩⎨⎧><0)3('0)('g t g 由题意知：对于任意的]2,1[∈t ，'()0g t <恒成立，所以，'(1)0'(2)0'(3)0g g g <⎧⎪<⎨⎪>⎩，∴3793m -<<-(3)令1-=a 此时3ln )(-+-=x x x f ，所以2)1(-=f ，由(Ⅰ)知3ln )(-+-=x x x f 在),1(+∞上单调递增，∴当),1(+∞∈x 时)1()(f x f >，即01ln >-+-x x ，∴1ln -<x x 对一切),1(+∞∈x 成立，∵2,N*n n ≥∈，则有1ln 0-<<n n ，∴n n n n 1ln 0-<<ln 2ln 3ln 4ln 12311(2,N )234234n n n n n n n *-∴⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅=≥∈四、课堂精练1. 设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是 .答案：(0,)342. 已知函数()y f x =在定义域[4,6]-内可导，其图象如图，记()y f x =的导函数为'()y f x =，则不等式'()0f x ≥的解集为 .411[4,][1,]33-- 3. 若函数()321f x x ax =-+在（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围为 .答案：a≥3 讨论函数1()cos 2f x x x =-的单调性.答案：函数在7[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈上单调递增；在711[2,2]()66k k k Z ππππ++∈上单调递增五、回顾小结判断函数单调性的方法；2.导数符号与函数单调性之间的关系；3.利用导数确定函数的单调性的步骤. 分层训练1.函数y=8x2-lnx 的单调递增区间是 . 答案：1[,)4+∞2．已知x R ∈，奇函数32()f x x ax bx c =--+在[1,)+∞上单调，则字母,,a b c 应满足的条件是．答案：a=c=0,3b ≤3.已知函数3221()(41)(1527)23f x x m x m m x =--+--+在（－∞，+∞）上是增函数，则m 的取值范围是 . 答案：2＜m ＜44.若函数2()2ln f x x x =-在定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数,则实数k 的取值范围是 .答案：33(,)22-5. 已知函数()ln f x x =,()a g x x =,设()()()F x f x g x =+．求函数()F x 的单调区间；解：()()()()ln 0aF x f x gx x=+=+>，()()221'0a x aF x x x x x -=-=>（1）若0a >，由()()'0,F x x a >⇒∈+∞，∴()F x 在(),a +∞上单调递增.由()()'00,F x x a <⇒∈，∴()F x 在()0,a 上单调递减.∴()F x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞.（2）若0a ≤，则()'0F x >在()0,+∞上恒成立，∴()F x 在()0,+∞上单调递增.6.已知函数32()(1)(2)(,)f x x a x a a x b a b R =+--++∈．若函数()f x 在区间（-1,1）上不单调，求a 的取值范围．答案：（-5，-1）六、拓展延伸1.已知函数32()f x x bx cx d =+++在(,0)-∞上是增函数，在（0，2）上是减函数，且方程f (x)=0有三个根，它们分别是,2,αβ.(1)求c 的值；（2）求证：(1)2f ≥；（3）求||αβ-的取值范围.（1）解：2()32f x x bx c '=++，由条件知(0)0f '=，0c ∴=.（2）证明：由2()320f x x bx '=+=得1220,3bx x ==-，∵ f (x)在（0，2）上是减函数，2223b x ∴=-≥即3b ≤-，又(2)84f b d =++=(1)13f b d b ∴=++=--≥. （3）解：322()(84)(2)[(2)24]f x x bx b x x b x b =+-+=-++++由 f (x)=0有三个根分别是,2,αβ，,αβ∴是方程2(2)240x b x b ++++=的两根2||(2)16b αβ∴-=-+，由（2）可知3b ≤-||3αβ∴-≥. 2.已知a R ∈,函数3211()2()32f x x ax ax x R =-++∈. （1）当a=1时，求函数f (x)的单调递增区间；（2）函数f (x)是否在R 上单调递减，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由；（3）若函数f (x)在[1,1]-上单调递增，求a 的取值范围.解: (1) 当a=11a =时,3211()232f x x x x=-++,2()2f x x x ∴'=-++. 令()0,f x ∴'>即2()2f x x x ∴'=-++, 即220x x -++>，解得12x -<<.所以函数f (x)的单调递增区间是(1,2)-.(2) 若函数f(x)在R 上单调递减,则()0f x ∴'≤对x R ∈都成立,所以220x ax a -++≤对x R ∈都成立, 即220x ax a --≥对x R ∈都成立.280a a ∴∆=+≤, 解得80a -≤≤.∴当80a -≤≤时, 函数f (x)在R 上单调递减.(3) 解法一：∵函数f(x)在[-1,1]上单调递增,()0f x ∴'≥对[1,1]x ∈-都成立, 220x ax a --≤对[1,1]x ∈-都成立.令2()2g x x ax a =--，则(1)120(1)120g a a g a a =--≤⎧⎨-=+-≤⎩，解得1a ≥. 解法二：函数f (x)在[1,1]-上单调递增,()0f x ∴'≥对[1,1]x ∈-都成立, 220x ax a --≤对[1,1]x ∈-都成立.即22x a x ≥+对[1,1]x ∈-都成立. 令2()2x g x x =+, 则2(4)()(2)x x g x x +'=+. 当10x -≤<时，()0g x '<；当01x <≤01x <≤时，()0g x '>. ()g x ∴在[1,0]-上单调递减,在[0,1]上单调递增.1(1)1,(1)3g g -==，()g x ∴在[1,1]-上的最大值是1.1a ∴≥.七、课后作业八、教学后记：。

高三数学一轮复习精品学案：第1课时利用导数研究函数的单调性

第2讲导数的应用最新考纲 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)；3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；4.会利用导数解决某些简单的实际问题.知识梳理1.函数的单调性与导数(1)在区间D上，若f′(x)≥0，且f′(x)＝0不连续成立⇔函数f(x)在区间D上递增；(2)在区间D上，若f′(x)≤0，且f′(x)＝0不连续成立⇔函数f(x)在区间D上递减；(3)在区间D上，若f′(x)＝0恒成立⇔函数f(x)在区间D上是常函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷f(x)为极大值f(x)为极小值(1)在闭区间『a，b』上连续的函数f(x)在『a，b』上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在『a，b』上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在『a，b』上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)函数的极大值不一定比极小值大.()(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.(4)x0为f(x)的极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0两侧导数符号异号.答案(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√2.(选修2－2P32A4改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A.1B.2C.3D.4解析由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正.答案A3.函数f(x)＝e x－x的单调递增区间是()A.(－∞，1』B.『1，＋∞)C.(－∞，0』D.(0，＋∞)解析令f′(x)＝e x－1>0得x>0，所以f(x)的递增区间为(0，＋∞).答案D4.函数f(x)＝ln x－ax在x＝1处有极值，则常数a＝________.解析∵f′(x)＝1x－a，∴f′(1)＝1－a＝0，∴a＝1，经检验符合题意.答案 15.(2014·全国Ⅱ卷改编)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是________.解析依题意得f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x 在(1，＋∞)上恒成立， ∵x >1，∴0<1x <1，∴k ≥1. 答案『1，＋∞)第1课时利用导数研究函数的单调性考点一利用导数研究不含参数的函数的单调性『例1』已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，所以3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，得x (x ＋1)(x ＋4)<0. 解之得－1<x <0或x <－4.所以g (x )的单调减区间为(－1，0)和(－∞，－4). 规律方法 (1)确定函数单调区间的步骤：①确定函数f (x )的定义域； ②求f ′(x )；③解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.(2)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(x ＝0时，f ′(x )＝0)，但f (x )＝x 3在R 上是增函数.『训练1』已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，(x >0). 则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5. 但－1∉(0，＋∞)，舍去.当x ∈(0，5)时，f ′(x )<0；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴f (x )的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0，5). 考点二利用导数研究含参数函数的单调性『例2』 (2017·临沂调研)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数. (1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性.解(1)由题意知a＝0时，f(x)＝x－1x＋1，x∈(0，＋∞).此时f′(x)＝2（x＋1）2.可得f′(1)＝12，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝ax＋2（x＋1）2＝ax2＋（2a＋2）x＋ax（x＋1）2.当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1).①当a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－12（x－1）2x（x＋1）2≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减.②当a＜－12时，Δ＜0，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减.③当－12＜a＜0时，Δ＞0.设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，则x1＝－（a＋1）＋2a＋1a，x2＝－（a＋1）－2a＋1a.由x1＝a＋1－2a＋1－a＝a2＋2a＋1－2a＋1－a＞0，所以x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减.综上可得：当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－12时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－（a ＋1）＋2a ＋1a ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）＋2a ＋1a ，－（a ＋1）－2a ＋1a 上单调递增. 规律方法利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论时，要做到不重不漏.『训练2』 (2016·四川卷节选)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －ee x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数. (1)讨论f (x )的单调性； (2)证明：当x >1时，g (x )>0.(1)解由题意得f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x (x >0). 当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减. 当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增. (2)证明令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1. 当x >1时，s ′(x )>0，所以e x －1>x ，从而g (x )＝1x －1ex －1>0.考点三利用函数的单调性求参数(易错警示)『例3』 (2017·成都诊断)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0). (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在『1，4』上单调递减，求实数a 的取值范围.解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，①所以h ′(x )＝1x －ax －2，由h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2<0有解，② 即a >1x 2－2x 有解.设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min 即可. 而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.(2)由h (x )在『1，4』上单调递减得，当x ∈『1，4』时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，③ 即a ≥1x 2－2x 恒成立.设G (x )＝1x 2－2x ，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，因为x ∈『1，4』，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.规律方法利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法 (1)函数f (x )在区间D 上存在递增(减)区间. 方法一：转化为“f ′(x )>0(<0)在区间D 上有解”；方法二：转化为“存在区间D 的一个子区间使f ′(x )>0(<0)成立”. (2)函数f (x )在区间D 上递增(减).方法一：转化为“f ′(x )≥0(≤0)在区间D 上恒成立”问题；方法二：转化为“区间D 是函数f (x )的单调递增(减)区间的子集”. 易错警示对于①：处理函数单调性问题时，应先求函数的定义域；对于②：h (x )在(0，＋∞)上存在递减区间，应等价于h ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，易误认为“等价于h ′(x )≤0在(0，＋∞)上有解”，多带一个“＝”之所以不正确，是因为“h ′(x )≤0在(0，＋∞)上有解即为h ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，或h ′(x )＝0在(0，＋∞)上有解”，后者显然不正确；对于③：h (x )在『1，4』上单调递减，应等价于h ′(x )≤0在『1，4』上恒成立，易误认为“等价于h ′(x )<0在『1，4』上恒成立”.『训练3』 (1)函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋2x ＋1的递减区间为(－2，－1)，则实数a 的值为________.(2)(2017·兰州模拟)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在『－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是________. 解析 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＋2，由已知得－2，－1是f ′(x )的两个零点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－2）＝4＋2a ＋2＝0，f ′（－1）＝1＋a ＋2＝0，解得a ＝－3.(2)由已知得f ′(x )＝－x ＋bx ＋2≤0在『－1，＋∞)上恒成立， ∴b ≤(x ＋1)2－1在『－1，＋∞)上恒成立，∴b ≤－1. 答案 (1)－3 (2)(－∞，－1』『思想方法』1.已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意函数f (x )的定义域.2.含参函数的单调性要注意分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性.3.已知函数单调性求参数可以利用给定的已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决.『易错防范』1.求单调区间应遵循定义域优先的原则.2.注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别.3.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.4.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零.。

高考数学一轮复习-用导数研究函数的单调性ppt课件

恒成立，即 ≥
恒成立，又 =
在 , +∞ 上单调递减，故
< ，所以
+
+
+
≥ ，当 = 时，导数不恒为0.故选D.
02
研考点题型突破
题型一不含参数的函数的单调性
典例1 函数y = xln x(
D )
A.是严格增函数
B.在
1
0,
e
上是严格增函数，在
1
, +∞
e
上是严格减函数
为 , .故选A.
（2）函数f x
[解析] 函数
或 =
2
x2
0,
= x 的增区间为________.
ln 2
2

⋅ − ⋅ ⋅
= ，则′ =

，当

.
.令′ = ，解得 =
∈ −∞, 时,′ < ,函数单调递减，当 ∈ ,
（2）已知函数f x = ex − e−x − 2x + 1，则不等式f 2x − 3 >
3
, +∞
1的解集为_________.
2
[解析] = − − − + ，其定义域为，
∴ ′ = + − − ≥ ⋅ − − = ，当且仅当 = 时取“=”，∴ 在
在 a, b 上单调递减，则当x ∈ a, b 时，f′ x ≤ 0恒成立.
2.若函数f x 在 a, b 上存在增区间，则当x ∈ a, b 时，f′ x > 0有解；若函数f x
在 a, b 上存在减区间，则当x ∈ a, b 时，f′ x < 0有解.

高考数学复习知识点讲解教案第17讲导数与函数的极值、最值

探究点三利用导数解决实际问题
例5（1）某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元. 已知销售额函数是（是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元；是常数），若种植2万斤莲藕，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕( )
BCD
A. B. C. D.
[解析] 函数的定义域为，，由函数既有极大值也有极小值，得方程在上有两个不等实根.令，则在上有两个不等实根，故所以,,，故选 .
3.【微点2、微点3】若是函数的极值点，则的极小值为_____.
[解析] 由，得，因为是函数的极值点，所以，即，解得.可得，令，得或，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得极小值 .
[解析] ，令，得或 .当时，；当时，；当时，.故在处取得极小值 .
2.［教材改编］函数在区间上的最大值是_______.
[解析] ，令，得.当时，；当时，.故函数在上单调递减，在上单调递增，所以在区间上的最大值是, .
3.［教材改编］将一段长为的铁丝截成两段，一段弯成正方形，另一段弯成圆.为了使正方形与圆的面积之和最小，则弯成圆的铁丝的长是_ _____ .
[解析] 设弯成圆的铁丝的长为,则弯成正方形的铁丝的长为 ,记正方形与圆的面积之和为，则，.令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故当时取得最小值，即当弯成圆的铁丝的长为时，正方形与圆的面积之和最小.
题组二常错题
◆ 索引：混淆极值与极值点的概念;忽视连续函数在区间上不一定存在最值;混淆恒成立与能成立问题.4.函数的极值点为 ________；函数的极值点__________（填“存在”或“不存在”）.

利用导数判断函数的单调性教案

利用导数判断函数的单调性教案一、教学目标1. 让学生理解导数的定义和几何意义；2. 学会利用导数判断函数的单调性；3. 能够运用单调性解决实际问题。

二、教学重难点1. 导数的定义和几何意义；2. 利用导数判断函数的单调性。

三、教学方法1. 讲解法：讲解导数的定义、几何意义和判断函数单调性的方法；2. 示例法：通过典型例题演示和分析，让学生掌握判断函数单调性的技巧；3. 练习法：让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。

四、教学准备1. 导数的定义和几何意义的相关资料；2. 典型例题及解题思路；3. 练习题。

五、教学过程1. 导入：回顾导数的定义和几何意义，引导学生思考如何利用导数判断函数的单调性。

2. 新课讲解：讲解如何利用导数判断函数的单调性，并举例说明。

3. 示例分析：分析典型例题，引导学生掌握判断函数单调性的方法和技巧。

4. 练习巩固：让学生独立完成练习题，检验对导数判断函数单调性的掌握程度。

5. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点，强调重点和难点。

6. 布置作业：布置相关练习题，让学生进一步巩固所学知识。

六、教学反思在课后对教学效果进行反思，看学生是否掌握了利用导数判断函数单调性的方法，及时调整教学策略，提高教学效果。

七、课时安排本节课安排2课时，共计45分钟。

八、教学评价通过课堂讲解、练习题和课后作业，评价学生对利用导数判断函数单调性的掌握程度。

九、教学拓展引导学生思考如何利用导数判断函数的极值和拐点，为后续课程做铺垫。

十、教学资源1. 导数的定义和几何意义的相关教材和资料；2. 典型例题及解题思路的PPT；3. 练习题及答案。

六、教学活动设计1. 课堂导入：通过回顾上一节课的内容，引导学生思考如何利用导数来判断函数的单调性。

2. 新课讲解：详细讲解利用导数判断函数单调性的方法和步骤，并通过示例进行说明。

3. 小组讨论：让学生分成小组，讨论如何解决一些复杂的函数单调性问题，并分享各自的解题思路。

2013-2014学年高三数学一轮复习导学案：利用导数研究函数的单调性与极值

1 2 x a ln x(a R) 2
，求 a， b 的值
（1）若函数 f(x) 的图象在 x=2 处的切线方程为 y=x+b （2）函数 f(x)在 (1, ) 上为增函数，求 a 的取值范围
4
课题：利用导数研究函数的单调性
班级
姓名：
一：学习目标 1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间。 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值 3. 利用函数的单调性和极值求参数的范围二：课前预习 1.函数 f ( x) x3 3x 2 的单调增区间 2.若函数值范围是 3.函数 f ( x) ( x 3)e x 的单调递增区间是 4. 函数 f ( x) x 3x 1 在 x
3 2
上是增函数，则实数 a 的取 f ( x) x3 ax 2在区间（， 1 +）
处取得极小值。
5.确定下列函数的单调区间备（1） f ( x) 2 x ln x
2
注
(2) f ( x) a a (a 0, a 1)
x
x
三：课堂研讨例 1.求函数 f ( x) 2sin x cos 2 x( x (0, 2 )) 的单调递减区间
3
3 2 x 1, ( x R ) ，其中 a 0 ． 2
（Ⅰ ）若 a 1 ，求曲线 y f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程；（Ⅱ ）若在区间
1 1 , 上， f ( x) 0 恒成立，求 a 的取值范围． 2 2
四：学后反思
课堂检测利用导数研究函数的单调性与极值班级

第三章第17课利用导数研究函数的单调性

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第三章
导数及其应用
1 2 (0,1) ．函数y＝2x －lnx的单调减区间为________
2 1 x －1 x－1x＋1 【解析】y′＝x－ x ＝ x ＝ (x＞0)，令y′＜0得0＜x＜1，所以函 x
数的单调减区间为(0,1)．
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利用导数研究函数的单调性
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导数及其应用
激活思维
(－1,11) ． 1. (选修 22P28 例 1 改编)函数 f(x)＝x3－15x2－33x＋6 的单调减区间为________
【解析】f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，令f′(x)<0，即(x－11)(x＋ 1)<0，得f(x)的单调减区间为(－1,11)．亦可填写闭区间或半开半闭区间． 1 0， e ． 2. (选修 22P29 练习 4(1)改编)函数 y＝xln x 的单调减区间为________
8 f(0)f(2)＝1×3－12＋1＜0，所以

新高考数学复习考点知识与题型专项训练17--- 利用导数研究函数的单调性(解析版)

新高考数学复习考点知识与题型专项训练专题4.2 利用导数研究函数的单调性1．（2017·山东高考真题（文））若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是（）A ．()2x f x -=B ．()2f x x =C ．()-3xf x = D ．()cos f x x =【答案】A【解析】对于A,令()e 2x xg x -=⋅,()11e 22ln e 21ln 022x x x x x g x ---⎛⎫⎛⎫=+=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭',则()g x 在R 上单调递增,故()f x 具有M 性质,故选A.2．（2020·河南新乡·高三三模（理））函数()cos xf x e x =-的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由()cos x f x e x =-，则()sin xf x e x '=+当0x >时，e 1x >则()sin 0xf x e x '=+>，所以函数()f x 在()0+∞，上单调递增，则排除选项A ，C 又22cos022f e e ππππ--⎛⎫-=--=> ⎪⎝⎭（），排除除选项B 故选：D3．（2020·甘肃省岷县第一中学高二开学考试（理））设函数f （x ）在定义域内可导，y=f （x ）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x ）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】根据()f x 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A 选项符合，故本题选A.4．（2020·广东东莞·高二期末）函数()(2)x f x x e =+的单调递增区间是（） A ．(,3)-∞ B ．(0,3) C ．(3,0)- D ．(3,)-+∞【答案】D 【解析】由已知()(3)x f x x e '=+，当3x <-时()0f x '<，当3x >-时()0f x '>，所以增区间为(3,)-+∞．故选：D ．5．（2020·江苏常熟·高二期中）若函数()332f x x bx =-+在区间()2,3内单调递增，则实数b 的取值范围是（）A ．4b ≤B ．4b <C ．4b ≥D ．4b >【答案】A【解析】3()32f x x bx =-+，2()33f x x b '=-，∵函数()332f x x bx =-+在区间()2,3内单调递增，∴导函数2()33f x x b '=-0,(2,3)x ≥∈恒成立，则2,(2,3)b x x ≤∈恒成立，故4b ≤. 故选：A ．6.（2018·浙江高考模拟）已知数列的前项和为，则下列选项正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】构造函数，所以在上递增，，可得，令，，，化为，，即，故选B.7.（2019·浙江高考模拟）设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()22'f x xf x x +>，则不等式()()220182018x f x ++ ()420f -->的解集为（）A ．()2020,0-B ．(),2020-∞-C ．()2016,0-D ．(),2016-∞- 【答案】B【解析】由()()22'f x xf x x +>， 0x （＜），得： 232'xf x x f x x +（）（）＜，即23'0x f x x ⎡⎤⎣⎦（）＜＜，令2F x x f x =（）（），则当0x ＜时，得'0F x （）＜，即0F x -∞（）在（，）上是减函数，2201820182018242F x x f x F f ∴+=++-=-（）（）（），（）（），即不等式等价为201820F x F +--（）（）＞， F x （）在0-∞（，）是减函数，∴由F 20182x F +-（）＞（）得， 20182x +-＜，即2020.x -＜故选B ．8. （2019·吉林省实验高三月考（理））已知函数，则的小关系是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】函数为偶函数，，，当时，，函数在上递增，，即，故选：．9. （2019·北京高考模拟（文））已知函数)0()(>+=x xax x f 的单调递减区间为)2,0(，单调递增区间为(2,)+∞，那么=a ____．【答案】4. 【解析】依题意可知x ＝2是函数f （x ）的极小值点，又2'()1a f x x =-，所以，'(2)14a f =-＝0，解得：a ＝4,经检验成立故答案为：410．（2019·黑龙江大庆实验中学高考模拟（文））已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有()()22f x xf x '+<成立，则使得()()22424x f x f x -<-成立的x 的取值范围为_____．【答案】()(),22,-∞-⋃+∞ 【解析】由()f x 是偶函数，所以当0x >时，由()()22f x xf x '+<得()()220f x xf x -'+<，设()()22g x x f x x =-，则()()()()()222220g x xf x x f x x x f x xf x '''=+-=+-<⎡⎤⎣⎦，即当0x >时，函数()g x 为减函数，由()()22424x f x f x -<-得()()22424x f x x f -<-，即()()2g x g <，因为()f x 是偶函数，所以()g x 也是偶函数，则()()2g x g <，等价为()()2g x g <，即2x ，得2x >或2x <-，即x 的取值范围是()(),22,-∞-⋃+∞，故答案为：()(),22,-∞-⋃+∞．1. （2017·浙江高考模拟）已知函数()3211132f x ax x x =+++（a R ∈），下列选项中不可能是函数()f x 图象的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵()3211132f x ax x x =+++（a R ∈）∴()21f x ax x '=++当0a =时， ()1f x x '=+，易得()f x 在(),1-∞-上为减函数，在()1,-+∞上为增函数，故A 可能；当14a ≥时， 0∆≤， ()0f x '≥， ()f x 为增函数，故B 可能；当0a <时， 0∆>， ()f x '有两个不相等且互为异号的实数根， ()f x 先递减再递增然后再递减，故C 可能；当104a <<时， 0∆>， ()f x '有两个不相等的负实数根， ()f x 先递增再递减然后再递增，故D 错误.故选D2．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高三其他（文））已知函数2()cos f x x x =-，则31,(0),52f f f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小关系是（） A ． 31(0)52f f f ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ． 13(0)25f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ． 31(0)52f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ． 13(0)25f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】函数22()()cos()cos ()f x x x x x f x -=---=-=，()f x ∴为偶函数，(0.5)(0.5)f f ∴=-， ()2sin f x x x '=+，当02x π<<时， ()2sin 0f x x x '=+>，函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递增， (0)(0.5)(0.6)f f f ∴<<，即(0)(0.5)(0.6)f f f <-<，故选B ．3.（2019·福建高考模拟（文））函数的导函数满足在上恒成立，且，则下列判断一定正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令函数F（x），则F′（x），∵f′（x）＞f（x），∴F′（x）＞0，故函数F（x）是定义在R上的增函数，∴F（1）＞F（0），即，故有f（1）＞ef（0）；又，∴，故选：A.4.（2019·山东高考模拟（文））若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数，则f′（x）＝﹣sin2x﹣2a（cos x﹣sin x）+4a﹣3．∵函数f（x）在上单调递增，可得f′（x）≥0，令t＝cos x﹣sin x（x）∈[﹣1，1]，则sin2x= 1﹣t2即t2﹣2at+4a﹣4≥0在[﹣1，1]恒成立，∴a，不等式右边的最大值为，∴a≥．故选：A．5.（2018·浙江镇海中学高三期中）已知函数，则函数的图象为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】=，当x ＜0时，=．令g （x ）=2x 3﹣1+ln （﹣x ），由，得，当x ∈（﹣∞，）时，g′（x ）＞0，当x ∈（，0）时，g′（x ）＜0．所以g （x ）有极大值为=．又x 2＞0，所以f′（x ）的极大值小于0．所以函数f （x ）在（﹣∞，0）上为减函数．当x ＞0时，=．令h （x ）=2x 3﹣1+lnx ，．所以h （x ）在（0，+∞）上为增函数，而h （1）=1＞0，h （）=﹣．又x 2＞0，所以函数f′（x ）在（0，+∞）上有一个零点，则原函数有一个极值点．综上函数f （x ）的图象为D 中的形状．故选：D ．6．（2019·广东高考模拟（文））若函数2()1ln f x x x a x =-++在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是_____.【答案】1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】22'()21a x x af x x x x-+=-+=，由题意得，'()0f x ≥在()0,∞+上恒成立，即221122()48a x x x ≥-+=--+在()0,∞+上恒成立，因为112()48x --+的最大值为18，所以a 的取值范围是1[,)8+∞，故答案是：1[,)8+∞.7．（2019·天津高考模拟（文））已知曲线1xe y x a =+在1x =处的切线l 与直线230x y +=垂直，则实数a 的值为______.【答案】25e【解析】直线230x y +=的斜率为2-3,可得曲线在1x =处的切线为32，'2x e y x a-=-+，当1x =，'32y =，可得312e a -+=，可得25a e =，故答案：25a e =. 8．（2019·浙江高三期末）已知函数()32f x x ax bx c =+++在开区间()1,0-上单调递减，则22a b +的取值范围是_____.【答案】9)5∞⎡+⎢⎣，由题意，()'2320f x x ax b =++≤在()1,0-恒成立.只需要()()''1000f f ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即可，整理得3200a b b -+≤⎧⎨≤⎩，作出其对应的平面区域如图所示；所以把22a b +视为平面区域内的点与原点距离的平方，由点到直线的距离公式可得22223009d 521⎛⎫--== ⎪+⎝⎭，所以22a b +的最小值为95，则22a b +的取值范围是9)5∞⎡+⎢⎣，. 故答案为9)5∞⎡+⎢⎣， 9.（2018·浙江余姚中学高考模拟）已知函数．（1）当时，试求曲线在点处的切线；（2）试讨论函数的单调区间．【答案】（1）；（2）见解析（Ⅰ）当时，函数定义域为，切线为（Ⅱ）当时，函数定义域为，在上单调递增当时，恒成立，函数定义域为，又在单调递增，单调递减，单调递增当时，函数定义域为，在单调递增，单调递减，单调递增当时，设的两个根为且，由韦达定理易知两根均为正根，且，所以函数的定义域为，又对称轴，且，在单调递增，单调递减，单调递增10．（2018届重庆市第八中学高考适应性（八））已知函数.（1）当时，讨论的导函数的单调性；（2）当时，，求的取值范围.【答案】(1) 当时，，的单调递减区间为；当时，，的单调递增区间为.(2).【解析】（1）当时，，，当时，，的单调递减区间为；当时，，的单调递增区间为.（2），（i）当时，，所以在上单调递增，.（ii）当时，，由，得，①当时，，所以时，，在上单调递增，又由，所以，即在上单调递增，所以有.②当时，，当时，，在上单调递减，又由，所以，所以在上单调递减，所以有，故此时不满足，综上，.1．（2017·浙江高考真题）函数()()y y f x f x ==，的导函数的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ． 2.（2018·全国高考真题（文））函数的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】函数过定点，排除，求得函数的导数，由得，得或，此时函数单调递增，排除，故选D.3．（2017·江苏高考真题）已知函数()3xx 1f x =x 2x+e -e-，其中e 是自然数对数的底数，若()()2f a-1+f 2a0≤，则实数a 的取值范围是_________。

2019-2020年高考数学一轮复习第四章导数及其应用第17课利用导数研究函数的单调性课件

[变式训练 1] (2016·四川高考节选)设函数 f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝1x－eex，其中 a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．讨论 f(x)的单调性．
[解] 由题意得 f′(x)＝2ax－1x＝2axx2－1(x>0)．当 a≤0 时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．当 a>0 时，由 f′(x)＝0 有 x＝ 1 ，
[易错与防范] 1．求单调区间应遵循定义域优先的原则． 2．注意两种表述“函数 f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数 f(x)的减区间为(a，b)”的区别． 3．在某区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x) 在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 4．可导函数 f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对 ∀ x ∈ (a ， b) ，都有 f′(x) ≥0(f′(x)≤0)，且 f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．
[变式训练 3] (2017·镇江模拟)若函数 f(x)＝23x3－2x2＋ax＋10 在区间[－1,4] 上具有单调性，则实数 a 的取值范围是________. 【导学号：62172095】
(－∞，－16]∪[2，＋∞) [函数 f(x)＝23x3－2x2＋ax＋10 在区间[－1,4]上具有单调性，分两种情况：函数 f(x)在区间[－1,4]上单调递增，即 f′(x)＝2x2－4x ＋a≥0 在[－1,4]上恒成立，即判别式 Δ＝(－4)2－4×2×a≤0，解得 a≥2；函数 f(x)在区间[－1,4]上单调递减，即 f′(x)＝2x2－4x＋a≤0 在[－1,4]上恒成立，需 f′(4)≤0，解得 a≤－16.于是，实数 a 的取值范围是(－∞，－16]∪[2，＋∞)．]

《导数在研究函数中的应用》易错点导学案

《导数在研究函数中的应用》易错点导学案姓名: 班级: 组别: 组名:____________【学习目标】1.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间；会利用单调性求参数的取值范围；2.掌握利用导数求函数极值、最值的方法，并能解决相关综合问题；【重点难点】重点：能利用导数研究函数的单调性；难点：掌握利用导数求函数最值的方法；【学习过程】知识点一：函数的单调性与导数例1.求函数4431)(3+-=x x x f 的单调区间。

变式1：求函数3)(x x f =的单调区间。

变式2：已知函数1)(3+=ax x f 是R 上的增函数，求实数a 的取值范围。

结论：（1）函数单调递增的充分条件：如果),(,0)('b a x x f ∈>，则f(x)在区间（a,b ）上（2）函数单调递增的必要条件：如果f(x)在区间（a,b ）上单调递增，则注意：当)('x f 在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正时，f(x)在这个区间上也是单调递增的。

在求参数的取值范围时，应检验知识点二：函数的极值与导数例2.求函数16114)(23+-+=x x x x f 的极值。

结论：求函数极值的方法：（1）求)('x f（2）求方程0)('=x f 的根。

（3）检查)('x f 在方程根左右的值的符号，如果或即可取得极值。

上述结论哪一点是最容易忽略什么呢？试做本题，做完后尝试作归纳：变式题：若函数223)(a bx ax x x f +++=在x=1处取得极值10，试求a,b 的值。

知识点三：函数的最值与导数题型一：利用导数求函数的最值例3.（2007江苏）函数812)(3+-=x x x f 在区间[]3,3-上的最大值与最小值分别是M 和m ，求M-m=结论：求可导函数f(x)在闭区间[]b a ,上的最大值与最小值的步骤：题型二：利用函数的最值求参数变式1：函数b x x x f +-=12)(3在区间[]3,3-上的最小值为-8，求b 及它在该区间上的最大值。

高三数学第一轮复习导学案：第17课时导数的综合应用

题型一：导数与函数图像1 已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图像大致为( )2.函数y ＝ln|x |x 的图像大致是( )题型二：导数与不等式1.设l 为曲线C ：y ＝ln x x 在点(1,0)处的切线．(1)求l 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．2.设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .①求f (x )的单调区间与极值；②求证：当a >ln2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.3.已知a>0，函数f(x)＝ln x－ax2，x>0.(f(x)的图像连续不断)①求f(x)的单调区间；②当a＝18时，证明：存在x0∈(2，＋∞)，使f(x0)＝f(32)．题型三：导数与方程1.已知函数f(x)＝ln x－12ax2－2x.①若函数f(x)在x＝2处取得极值，求实数a的值；②若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；③当a＝－12时，关于x的方程f(x)＝－12x＋b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．2.已知函数f(x)＝ln x－x，h(x)＝ln xx. ①求h(x)的最大值；②若关于x的不等式xf(x)≥－2x2＋ax－12对一切x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围；③若关于x的方程f(x)－x3＋2e x2－bx＝0恰有一解，其中e为自然对数的底数，求实数b的值．题型四：导数与最优化问题请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．。

高考数学一轮复习利用导数研究函数的单调性课件

【常用结论】 1.利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x) >0或f′(x) <0求出单调区间. (2)当方程f′(x)=0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间. (3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间.
解题新思维构造法的应用【结论】构建新函数解答比较大小和不等式问题分析已知条件的特点构造新的函数,对新函数求导确定其单调性,再由单调性进行大小的比较.
【典例】(2020·凉山模拟)若0<x1<x2<a都有x2ln x1-x1ln x2<x1-x2成立,则a的最大值为 ( )
A. 1
B.1
提示:(1)√.
(2)×.不一定,如函数y= 的1 导函数y′=- <0恒1 成立,但是函数y= 的图1象
x
x2
x
不是恒下降的.
(3)×.不一定,如y=x3在[-1,3]上单调递增,但是y′=3x2在x=0处的值为0.
【易错点索引】
序号 1 2
3
易错警示忽视定义域优先的原则分类讨论时分类标准出错
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在(a,b)内f′(x)≤0,且f′(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内是减函数.
() (2)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0,则函数f(x)在定义域上一定单调递减. () (3)已知函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f′(x)>0恒成立. ( )
第二节利用导数研究函数的单调性
内容索引

2017年高考数学一轮复习同步导学案——第17讲 利用导数研究函数单调性,极值最值

高考数学第一轮高效复习导学案-导数

高三数学复习学案——利用导数研究函数的单调性

函数的单调性与导数导学案

湖南省株洲县五中2017年高考数学第一轮复习导学案 函

利用导数判断函数的单调性教案

《4.3.1 利用导数研究函数的单调性》教案

高三数学一轮复习精品学案：第1课时 利用导数研究函数的单调性

高考数学一轮复习-用导数研究函数的单调性ppt课件

高考数学复习知识点讲解教案第17讲 导数与函数的极值、最值

利用导数判断函数的单调性教案

2013-2014学年高三数学一轮复习导学案：利用导数研究函数的单调性与极值

第三章 第17课 利用导数研究函数的单调性

新高考数学复习考点知识与题型专项训练17--- 利用导数研究函数的单调性(解析版)

2019-2020年高考数学一轮复习第四章导数及其应用第17课利用导数研究函数的单调性课件

《导数在研究函数中的应用》易错点导学案

高三数学第一轮复习导学案：第17课时 导数的综合应用

高考数学一轮复习利用导数研究函数的单调性课件

2017年高考数学一轮复习同步导学案——第17讲利用导数研究函数单调性,极值最值

湖南省株洲县五中2017年高考数学第一轮复习导学案函

高三数学一轮复习精品学案：第1课时利用导数研究函数的单调性

高考数学复习知识点讲解教案第17讲导数与函数的极值、最值

第三章第17课利用导数研究函数的单调性

高三数学第一轮复习导学案：第17课时导数的综合应用