【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1练习：1.3.3非(not).doc

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【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第2章圆锥曲线与方程2.2.1 Word版含解析

数学学习总结资料源自学学习总结资料9 ．若方程
x2 y2 ＋ 2 ＝ 3 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 m 的取值范围是 m－1 m －4
________. 导学号 92600366 [答案] (－∞，－2) [解析] 由题意，方程可化为
2 m －4>0 ∴ ，解得 m<－2. 1－m>0
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C．21 [答案] D
D．26
[解析] |AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8， ∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16， ∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21， ∴△ABF2 的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26. 二、填空题 x2 y2 5．(2016· 浙江丽水高二检测)设双曲线与椭圆＋＝1 有共同的焦点，且与椭圆相交， 27 36 有一个交点的坐标为( 15，4)，则此双曲线的方程为________. 导学号 92600372 [答案] y2 x2 －＝1 4 5 x2 y2 ＋＝1 的焦点坐标是(0，± 3)，根据双曲线的定义，知 2a＝ 27 36
，
9A＋ 16 B＝1 256 9 A＋25B＝1
225
A＝－16 ，解之得 1 B＝9
1
.
y2 x2 ∴所求双曲线方程为－＝1. 9 16
一、选择题 1．已知双曲线中心在原点，一个焦点为 F1(－ 5，0)，点 P 在该双曲线上，线段 PF1 的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是导学号 92600368 ( x2 A．－y2＝1 4 x2 y2 C．－＝1 2 3 y2 B．x2－＝1 4 x2 y2 D．－＝1 3 2 )

【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第1章常用逻辑用语1.2.2 Word版含解析

选修1-1 第一章 1.2 1.2.2一、选择题1．(2016·甘肃通渭县高二检测)设p ：1<x <2；q ：2x >1，则p 是q 成立的导学号 92600104( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵1<x <2⇒2x >1，而 2x >1⇒/ 1<x <2，故选A ．2．一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是导学号 92600105( )A ．m >1，n <－1B ．mn <0C ．m >0，n <0D ．m <0，n <0 [答案] B[解析] 先找出原条件的等价条件，因为此一次函数过第一、三、四象限，所以⎩⎨⎧－m n>01n <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0.从而A ，B ，C ，D 中只有B 满足题意． 3．“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的导学号 92600106( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] log 12(x ＋2)<0＝log 121，∴x ＋2>1即x >－1，而x >1⇒x >－1，反之不然．故选B ．4．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的导学号 92600107( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 若a ＝2，则ax ＋2y ＝0即为x ＋y ＝0与直线x ＋y ＝1平行，反之若ax ＋2y ＝0与x ＋y ＝1平行，则－a2＝－1，a ＝2，故选C ．5．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则“m ＝1”是“(a －m b )⊥a ”的导学号 92600108( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝1×2×cos60°＝1，(a －m b )⊥a ⇔(a －m b )·a ＝0⇔|a |2－m a ·b ＝0⇔m ＝1，故选C ．6．下列四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是导学号 92600109( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3[答案] A[解析] ∵a >b ＋1⇒a －b >1⇒a －b >0⇒a >b ， ∴a >b ＋1是a >b 的充分条件．又∵a >b ⇒a －b >0⇒/ a >b ＋1， ∴a >b ＋1不是a >b 的必要条件，∴a >b ＋1是a >b 成立的充分而不必要条件．二、填空题7．若条件p ：(x ＋1)2>4，条件q ：x 2－5x ＋6<0，则q 是p 的________条件.导学号 92600110 [答案] 充分不必要[解析] 因为(x ＋1)2>4，所以x <－3或x >1.又x 2－5x ＋6<0，所以2<x <3，所以q ⇒p ，即q 是p 的充分不必要条件．8．已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )，都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的________条件.导学号 92600111[答案] 充分不必要[解析] 点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，即a n ＝2n ＋1，∴{a n }为等差数列，但是{a n }是等差数列却不一定就是a n ＝2n ＋1.9．已知p ：2x ＋m >0，q ：x 2－4x >0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________.导学号 92600112[答案] m ≤－8[解析] p ：x >－m2，q ：x <0或x >4，由条件知p ⇒q ，∴－m2≥4，∴m ≤－8.三、解答题10．(2016·山东济南高二检测)指出下列各题中p 是q 的什么条件.导学号 92600113 (1)p ：x －2＝0；q ：(x －2)(x －3)＝0； (2)p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等； (3)p ：m <－2；q ：方程x 2－x －m ＝0无实根； (4)p ：一个四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等． [解析] (1)因为x －2＝0⇒(x －2)(x －3)＝0，而(x －2)(x －3)＝0⇒/ x －2＝0，所以p 是q 的充分不必要条件．(2)因为两个三角形相似⇒/ 两个三角形全等，而两个三角形全等⇒两个三角形相似，所以p 是q 的必要不充分条件．(3)因为m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根，而方程x 2－x －m ＝0无实根⇒/ m <－2，所以p 是q 的充分不必要条件． (4)因为矩形的对角线相等，所以p ⇒q .而对角线相等的四边形不一定是矩形，所以q ⇒/ p . 所以p 是q 的充分不必要条件．一、选择题1．设{a n}是等比数列，则“a1<a2<a3”是“数列{a n}是递增数列”的导学号92600114 ()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析]若a1<a2<a3，则a1<a1q<a1q2，若a1>0，则q>1，此时为递增数列，若a1<0，则0<q<1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．2．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的导学号92600115()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] B[解析]由条件知，甲⇒乙⇒丙⇔丁，∴甲⇒丁且丁⇒/ 甲，故选B．3．“φ＝π”是“曲线y＝sin (2x＋φ)过坐标原点”的导学号92600116()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]本题考查充要条件及三角函数的性质．当φ＝π时，y＝sin (2x＋π)＝－sin 2x，此时图象过原点；而当函数图象过原点时，可以取其他值．选A．4．设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的导学号92600117()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选A．二、填空题5．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的________条件.导学号 92600118[答案] 充分不必要[解析] 圆心为(a ，b )，半径r ＝ 2.若a ＝b ，有圆心(a ，b )到直线y ＝x ＋2的距离d ＝r ，所以直线与圆相切．若直线与圆相切，有|a －b ＋2|2＝2，则a ＝b 或a －b ＝－4，所以“a＝b ”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．6．已知全集S ，若p ：A B ，q ：∁S B ∁S A ，则p 是q 的________条件.导学号 92600119 [答案] 充要[解析] 利用集合的图示法，如下图，A B ⇒∁S B ∁S A ，∁S B ∁S A ⇒A B ⊆S . ∴p 是q 的充分条件，也是必要条件，即p 是q 的充要条件．三、解答题7．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.导学号 92600120[解析] 充分性：(由ac <0推证方程有一正根和一负根) ∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0， ∴方程一定有两不等实根，设为x 1、x 2，则x 1x 2＝ca <0，∴方程的两根异号．即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根. 必要性：(由方程有一正根和一负根，推证ac <0)， ∵方程有一正根和一负根，设为x 1、x 2，则由根与系数的关系得x 1x 2＝ca <0，即ac <0，综上可知：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 8．(2016·浙江杭州高二检测)设p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥03－x ≥0x ＋3y ≤12，q ：x 2＋y 2>r 2(x 、y ∈R ，r >0)，若p 是q 的充分不必要条件，求实数r 的取值范围.导学号 92600121[解析] 设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y －12≥03－x ≥0x ＋3y ≤12， B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2>r 2，x 、y ∈R ，r >0}．如图，集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以原点为圆心、r 为半径的圆的外部．设原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为d ，则d ＝|4×0＋3×0－12|5＝125.∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，∴0<r <125，∴实数r 的取值范围是(0，125)．。

【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第2章圆锥曲线与方程2.1.2 Word版含解析

选修1-1 第二章 2.1 2.1.2一、选择题1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于导学号 92600326( )A ．4B ．5C ．7D ．8[答案] D[解析] 由题意知，c ＝2，a 2＝m －2，b 2＝10－m ， ∴m －2－10＋m ＝4，∴m ＝8.2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e 为导学号 92600327( )A ．12B ．13C ．14D ．22 [答案] A[解析] 由题意，得a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12.3．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是导学号 92600328( )A ．x 225＋y 220＝1B ．x 220＋y 225＝1C ．x 220＋y 245＝1D ．x 280＋y 285＝1[答案] B[解析] 椭圆9x 2＋4y 2＝36的焦点为(0，5)，(0，－5)， ∵b ＝25，∴a 2＝25，故选B ．4．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为导学号 92600329( )A ．5－12 B ．3－12 C ．32D ．5＋12[答案] A[解析] 设椭圆的焦距为2c ，短轴长为2b ，长轴长为2a ，由题意得(2b )2＝4ac ，即b 2＝ac .又b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac ， ∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝－1±52.∵e ∈(0,1)，∴e ＝5－12. 5．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为导学号 92600330( )A ．14B ．12C ．2D ．4[答案] A[解析] 由题意y 21m ＋x 2＝1，且1m＝2， ∴m ＝14.故选A ．6．已知焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 2＝1，其离心率为32，则实数m 的值是导学号 92600331( )A ．4B ．14C ．4或14D ．12[答案] B[解析] 由题意，得a 2＝1，b 2＝m ， ∴c 2＝a 2－b 2＝1－m ， ∴离心率e ＝c a ＝1－m ＝32，∴m ＝14.二、填空题7．已知椭圆的中心在原点，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆标准方程为________.导学号 92600332[答案] x 281＋y 272＝1或x 272＋y 281＝1[解析] ∵椭圆长轴长为18，∴a ＝9. 又两个焦点将长轴三等分，∴a －c ＝2c ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝72. ∵焦点位置不确定，∴方程为x 281＋y 272＝1或x 272＋y 281＝1.8．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________.导学号 92600333[答案] 3或163[解析] 当焦点在x 轴上时，e ＝4－m 2＝12， ∴m ＝3.当焦点在y 轴上时，e ＝m －4m＝12，∴m ＝163. 9．已知B 1、B 2为椭圆短轴的两个端点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，若四边形B 1F 1B 2F 2为正方形，则椭圆的离心率为________.导学号 92600334[答案]22[解析] 如图，由已知得b ＝c ＝22a ，∴e ＝c a ＝22.三、解答题10．(2016·江苏苏州高二检测)已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直.导学号 92600335(1)求椭圆的离心率； (2)求△PF 1F 2的面积．[解析] (1)由题意可知a 2＝49，b 2＝24，∴a ＝7，b ＝26，c 2＝a 2－b 2＝25，∴c ＝5，e ＝57.(2)由椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14，由题意可知在Rt △PF 1F 2中有：|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝100，∴2|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝142－100＝96， ∴|PF 1||PF 2|＝48.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24.一、选择题1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为导学号 92600336( )A ．x 2144＋y 2128＝1或x 2128＋y 2144＝1B ．x 26＋y 24＝1C ．x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1D ．x 24＋y 26＝1或x 26＋y 24＝1[答案] C[解析] 由条件知a ＝6，e ＝c a ＝13，∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32，故选C ．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为导学号 92600337( )A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1D ．x 212＋y 24＝1[答案] C[解析] 根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b 2＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.3．若直线y ＝x ＋6与椭圆x 2＋y 2m2＝1(m >0且m ≠1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为导学号 92600338( )A ．1B ． 5C ．2D ．2 5[答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋6x 2＋y 2m 2＝1，得(1＋m 2)x 2＋26x ＋6－m 2＝0，由已知Δ＝24－4(1＋m 2)(6－m 2)＝0，解得m 2＝5， ∴椭圆的长轴长为2 5.4．已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为导学号 92600339( )A ．1B ．1或2C ．2D ．0[答案] C[解析] 因为直线过定点(3，－1)且3225＋(－1)236<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l 与椭圆有2个公共点．二、填空题5．若椭圆的一个焦点将其长轴分成3 2两段，则椭圆的离心率为________.导学号 92600340[答案] 5－2 6[解析] 椭圆的一个焦点将其长轴分成a ＋c 与a －c 两段， ∴a ＋c a －c ＝32， ∴(3－2)a ＝(3＋2)c ， ∴e ＝ca＝5－2 6.6．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，则椭圆的方程是________.导学号 92600341[答案] x 212＋y 29＝1[解析] 如图所示，cos ∠OF 2A ＝cos60°＝|OF 2||AF 2|，即c a ＝12.又a －c ＝3， ∴a ＝23，c ＝3， ∴b 2＝(23)2－(3)2＝9. ∴椭圆的方程是x 212＋y 29＝1.三、解答题7．已知斜率为1的直线l 经过椭圆x 2＋4y 2＝4的右焦点交椭圆于A 、B 两点，求弦长|AB |.导学号 92600342[解析] 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由椭圆方程知：a 2＝4，b 2＝1，∴c 2＝3，∴右焦点F (3，0)．∴直线l 的方程为y ＝x －3，代入椭圆方程得 5x 2－83x ＋8＝0. ∴x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，∴|AB |＝2|x 2－x 1|＝2(x 1＋x 2)2－8x 1x 2＝85.8．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率.导学号 92600343[解析] 解法一：设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a 、b 、c ，则焦点为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形.在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.解法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.。

【成才之路】高中数学 1.3.3非(not)练习新人教A版选修1-1

1.3.3非（not）一、选择题1．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么( )A．命题p不一定是假命题B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真值相同[答案] B[解析] “非p”为真命题，则命题p为假，又p或q为真，则q为真，故选B．2．已知命题p：x∈A∪B，则p的否定是( )A．x∉A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A∩B D．x∈A∩B[答案] A[解析] x∈A∪B即x∈A或x∈B，∴¬p：x∉A且x∉B．3．如果命题“¬(p∨q)”为假命题，则( )A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为假命题[答案] C[解析] “¬(p∨q)”为假命题，则“p∨q”为真命题，即p，q中至少有一个为真命题．4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(¬q)；④(¬p)∨q中，真命题是( )A．①③B．①④C．②③D．②④[答案] C[解析] 当x>y时，两边乘以－1可得－x<－y，所以命题p为真命题，当x＝1，y＝－2时，因为x2<y2，所以命题q为假命题，所以②③为真命题，故选C．5．已知命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题为真命题的是( ) A．p∧q B．p∨qC．¬p D．(¬p)∧(¬q)[答案] B[解析] ∵p为真，q为假，∴¬p为假，¬q为真．∴p∧q为假，p∨q为真，¬p为假，(¬p)∧(¬q)为假．故选B项．6．已知条件p ：a ≤1，条件q ：|a |≤1，则¬p 是¬q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由|a |≤1得－1≤a ≤1， ∴¬p ：a >1，¬q ：a <－1或a >1， ∴¬p ⇒¬q ，但¬q ⇒/ ¬p ，故选A ．二、填空题7．已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面．命题p ：若α∥β，m α， n β，则m ∥n ；命题q ：若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β；下面的命题中：①p ∨q ；②p ∧q ；③p ∨(¬q )；④(¬p )∧q .真命题的序号是________(写出所有真命题的符号)．[答案] ①④[解析] 易知p 是假命题，q 是真命题．∴¬p 为真，¬q 为假，∴p ∨q 为真，p ∧q 为假，p ∨(¬q )为假，(¬q )∧q 为真． 8．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z .若“p ∧q ”，“¬q ”都是假命题，则x 的值组成的集合为________.[答案] {－1,0,1,2}[解析] 因为“p ∧q ”为假，“¬q ”为假，所以q 为真，p 为假．故⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x <6x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3x ∈Z ，因此x 的值可以是－1,0,1,2.9．已知命题p ：x 2＋2x －3>0，命题q ：13－x >1，若“¬q 且p ”为真，则x 的取值范围是________.[答案] (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞) [解析] 由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1， ∴p ：x <－3或x >1. 由13－x >1, 得x －2x －3<0， ∴2<x <3.∴q ：2<x <3，¬q ：x ≤2或x ≥3.若“¬q 且p ”为真，则有⎩⎪⎨⎪⎧x <－3或x >1x ≤2或x ≥3，∴x <－3或1<x ≤2或x ≥3. 三、解答题10．写出下列命题的否定和否命题： (1)菱形的对角线互相垂直； (2)若a 2＋b 2＝0，则a ＝0，b ＝0；(3)若一个三角形是锐角三角形，则它的三个内角都是锐角．[解析] (1)原命题的否定：菱形的对角线不互相垂直．原命题的否命题：不是菱形的四边形的对角线不互相垂直．(2)原命题的否定：若a 2＋b 2＝0，则a 和b 中至少有一个不为0. 原命题的否命题：若a 2＋b 2≠0，则a 和b 中至少有一个不为0.(3)原命题的否定：若一个三角形是锐角三角形，则它的三个内角不都是锐角．原命题的否命题：若一个三角形不是锐角三角形，则它的三个内角不都是锐角．一、选择题1．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．(¬p )∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∨(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )[答案] C[解析] ∵p 真，q 假，∴¬p 为假，¬q 为真，故选C ． 2．对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题： ①p 或¬q 是真命题； ②p 且¬q 是真命题； ③¬p 且¬q 是假命题； ④¬p 或q 是假命题．其中真命题是( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④ [答案] C[解析] 若p 且q 为真命题，则p 真，q 真，¬p 假，¬q 假，所以p 或¬q 真，¬p 且¬q 假，故选C ．3．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．¬q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真[答案] C[解析] 本题考查命题真假的判断．p 为假命题，q 为假命题．所以p ∧q 为假命题．对“p ∧q ”真假判定：全真为真，一假则假．4．已知命题p ：对任意x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果命题¬p 是真命题，那么实数a 的取值范围是( )A ．a <13B ．0<a ≤13C ．a ≤13D ．a ≥13[答案] C[解析] ∵命题¬p 是真命题， ∴命题p 是假命题． ∵对任意x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝4－12a <0，∴a >13.∴当a >13时，命题p 为真命题，∴命题p 是假命题时，a ≤13.二、填空题5．命题p ：2不是质数，命题q ：2是无理数，在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“¬p ”、“¬q ”中，假命题是________，真命题是________.[答案] “p ∧q ”“¬q ” “p ∨q ”“¬p ”[解析] 因为命题p 假，命题q 真，所以命题“p ∧q ”假，命题“p ∨q ”真，“¬p ”真，“¬q ”假．6．已知命题p ：不等式x 2＋x ＋1≤0的解集为R ，命题q ：不等式x －2x －1≤0的解集为{x |1<x ≤2}，则命题“p ∨q ”“p ∧q ”“¬p ”“¬q ”中正确的命题是________.[答案] p ∨q ，¬p[解析] ∴∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，∴命题p 为假，¬p 为真； ∵x －2x －1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x －x －1≠0⇔1<x ≤2.∴命题q 为真，p ∨q 为真，p ∧q 为假，¬q 为假．三、解答题7. (2015·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设命题p ：实数x 满足(x －a )(x －3a )<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足x －3x －2≤0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若¬p 是¬q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵a ＝1，∴不等式化为(x －1)(x －3)<0，∴1<x <3；由x －3x －2≤0得，2<x ≤3，∵p ∧q 为真，∴2<x <3. (2)∵¬p 是¬q 的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件，又q ：2<x ≤3，p ：a <x <3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a >3，∴1<a ≤2.8．已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若¬p 是¬q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．[解析] 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴¬p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1， ∴¬q ：x <m －1或x >m ＋1. 又∵¬p 是¬q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1m ＋1<5，或⎩⎪⎨⎪⎧m －1>1m ＋1≤5，∴2≤m ≤4.。

【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第3章导数及其应用3.1.1、2 Word版含解析

选修1-1 第三章 3.1 3.1.1、2一、选择题1．(2016·山东枣庄高二月考)在物体运动变化过程中，自变量的改变量Δx 的取值为导学号 92600527( )A ．Δx >0B ．Δx <0C ．Δx ＝0D ．Δx ≠0[答案] D[解析] Δx 可正也可负，但是不可以为0，故选D.2．对于函数y ＝1x ，当Δx ＝1时，Δy 的值是导学号 92600528( )A ．1B ．－1C ．0.1D ．不能确定[答案] D[解析] 函数值的改变量是指函数在某一点附近的改变量，因而要求Δy 必须指明在哪一点处．3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数可表示为导学号 92600529( ) A ．f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)ΔxB ．f ′(x 0)＝lim Δx →[f (x 0＋Δx )－f (x 0)] C ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) D ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx[答案] A[解析] B 中lim Δx →[f (x 0＋Δx )－f (x 0)]表示函数值的变化量的极限；C 中f (x 0＋Δx )－f (x 0)表示函数值的变化量；D 中f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx表示函数的平均变化率．4．(2016·山西临汾高二质检)一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是导学号 92600530( )A ．－3B ．3C ．6D ．－6[答案] D[解析] 当Δt 趋近于0时，－3Δt －6趋近于－6，即t ＝1时该质点的瞬时速度是－6. 5．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝导学号 92600531( ) A ．Δx －3 B ．(Δx )2－3Δx C ．－3 D ．0[答案] C[解析] f ′(0)＝lim Δx →0 (0＋Δx )2－3(0＋Δx )－02＋3×0Δx＝lim Δx →0 Δx 2－3ΔxΔx ＝lim Δx →0(Δx －3)＝－3.故选C.6．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝aΔx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则导学号 92600532( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b[答案] C[解析] ∵f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 aΔx ＋b (Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (a ＋bΔx )＝a .∴f ′(x 0)＝a . 二、填空题7．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，ΔyΔx ＝________.导学号 92600533[答案] (Δx )2＋6Δx ＋12[解析] ∵Δy ＝(2＋Δx )3－2－6＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx ，∴ΔyΔx ＝(Δx )2＋6Δx ＋12.8．在自由落体运动中，物体位移s(单位：m )与时间t (单位：s)之间的函数关系式s ＝12g t 2(g＝9.8 m/s 2)，试估计t ＝3s 时物体下落的瞬时速度是________.导学号 92600534[答案] 29.4 m/s[解析] 从3s 到(3＋Δt )s 这段时间内位移的增量： Δs ＝s(3＋Δt )－s(3)＝4.9(3＋Δt )2－4.9×32 ＝29.4Δt ＋4.9(Δt )2，从而，Δs Δt ＝29.4＋4.9Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于29.4 m/s.9．已知函数f (x )在x ＝x 0处的导数为4，则lim Δx →f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝__________.导学号 92600535[答案] 8 [解析] lim Δx →f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0[f (x 0＋2Δx )－f (x 0)2Δx ×2]＝2lim Δx →f (x 0＋2Δx )－f (x 0)2Δx＝2f ′(x 0)＝2×4＝8. 三、解答题10．一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，求此物体在t ＝2时的瞬时速度.导学号 92600536[解析] 由于Δs ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22) ＝3Δt －4Δt －Δt 2＝－Δt －Δt 2，∴Δs Δt ＝－Δt －Δt 2Δt＝－1－Δt . ∴v ＝lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(－1－Δt )＝－1. ∴物体在t ＝2时的瞬时速度为－1.一、选择题1．质点运动规律为s ＝2t 2＋5，则在时间(3,3＋Δt )中，相应的平均速度等于导学号 92600537( )A ．6＋ΔtB ．12＋Δt ＋9C ．12＋2ΔtD ．12[答案] C[解析] Δs Δt ＝[2(3＋Δt )2＋5]－(2×32＋5)Δt＝12＋2Δt .2．(2016·山东聊城高二月考)做直线运动的物体，其位移s 和时间t 的关系是：s ＝3t －t 2，则它的初速度是导学号 92600538( )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t[答案] B[解析] 初速度即为t ＝0时的瞬时速度，Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt ＝3Δt －Δt 2Δt＝3－Δt 2. 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt趋近于3，故它的初速度为3.3．(2016·浙江台州检测)若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则lim h →f (x 0＋h )－f (x 0)h导学号 92600539( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0，h 都无关[答案] B[解析] 由导数的定义可知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关，故选B.4．(2016·安徽淮北高二检测)设f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝导学号 92600540( )A ．－1B ．12C ．1D ．13[答案] C[解析] ∵f ′(－1)＝lim Δx →f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝lim Δx →0 a (Δx －1)3＋aΔx ＝3a ，∴3a ＝3，解得a ＝1.故选C.二、填空题5．已知物体的运动方程是S ＝－4t 2＋16t (S 的单位为m ；t 的单位为s)，则该物体在t ＝2s 时的瞬时速度为__________.导学号 92600541[答案] 0 m/s[解析] ΔS ＝－4(2＋Δt )2＋16(2＋Δt )＋4×22－16×2＝－4Δt 2，∴ΔS Δt ＝－4Δt 2Δt＝－4Δt ， ∴v ＝lim Δt →ΔSΔt ＝lim Δt →0(－4Δt )＝0. ∴物体在t ＝2s 时的瞬时速度为0 m/s.6．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________.导学号 92600542 [答案]28π3[解析] ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. 三、解答题7．求函数f (x )＝3x －2x 在x ＝1处的导数.导学号 92600543[解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )－21＋Δx －1＝2＋3Δx －21＋Δx ＝3Δx ＋2Δx1＋Δx ，Δy Δx ＝3Δx ＋2Δx 1＋Δx Δx ＝3＋21＋Δx ， ∴lim Δx →Δy Δx ＝lim Δx →0 (3＋21＋Δx)＝5，∴f ′(1)＝5. 8．一物体的运动方程如下：(单位：m ，时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3)29＋3(t －3)2(0≤t <3). 求：(1)物体在t ∈[3,5]时的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度.导学号 92600544[解析] (1)∵物体在t ∈[3,5]时的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]时的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]时的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt ＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －18)＝－18，即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f (1＋Δt )－f (1)Δt＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3(1－3)2Δt ＝3Δt －12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12，即物体在t ＝1时的瞬时速率为－12 m/s.。

【成才之路】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件：第1章常用逻辑用语 1.3.3

1.理解逻辑联结词“非”的意义． 2．能把文字、符号语言相互转化，能够区分命题的否定与它的否命题．
第一章 1.3 1.3.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
重点：了解“非”的含义，能判断由“非”组成的命题的真假．
难点：命题的否定与否命题的区别，复合命题的否定．
第一章 1.3 1.3.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
命题的否定与否命题写出下列各命题的否定形式及否命题． (1)面积相等的三角形是全等三角形； (2)若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b全为零； (3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.
第一章 1.3 1.3.3
第一章 1.3 1.3.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
[方法规律总结] 1.判断含有逻辑联结词的复合命题真假的方法步骤为：
第一步，分析复合命题的结构，找到组成它的简单命题p 和q.
第二步，利用数学知识，判定简单命题p和q的真与假．第三步，利用真值表判定复合命题的真假． 2．否定性命题，可举反例判断其假．
∵q是假命题，∴¬q是真命题，
p∧q是假命题，p∨q是真命题.
第一章 1.3 1.3.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修1-1
2．命题“若a<b，则2a<2b”的否命题是__________，命题的否定是__________.
[答案] 若a≥b，则2a≥2b 存在实数a、b满足a<b，但2a≥2b [解析] 命题“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”，命题的否定是“若p，则¬q”．
第一章 1.3 1.3.3

【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第3章导数及其应用3.3.1 Word版含解析

选修1-1 第三章 3.3 3.3.1一、选择题1．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的递减区间是导学号 92600651( ) A ．(－∞，0) B ．(0,2) C ．(－∞，2) D ．(2，＋∞)[答案] B[解析] f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝3x 2－6x <0，解得0<x <2，所以函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的递减区间是(0,2)．2．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上导学号 92600652( ) A ．是增函数 B ．是减函数C ．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上减D ．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增 [答案] A[解析] f ′(x )＝2－cos x >0在(－∞，＋∞)上恒成立．3．(2016·江西抚州高二检测)函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是导学号 92600653( )A ．(13，＋∞)B ．(－∞，13)C ．[13，＋∞)D ．(－∞，13)[答案] C[解析] y ′＝3x 2＋2x ＋m ，由题意知3x 2＋2x ＋m ≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.4．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是导学号 92600654( )[答案] C[分析] 由导函数f ′(x )的图象位于x 轴上方(下方)，确定f (x )的单调性，对比f (x )的图象，用排除法求解．[解析] 由f ′(x )的图象知，x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．只有C 符合题意，故选C ．5．(2016·贵州贵阳一中月考)函数y ＝x ln x 在(0,5)上的单调性是导学号 92600655( ) A ．单调递增 B ．单调递减C ．在(0，1e )上单调递减，在(1e ，5)上单调递增D ．在(0，1e )上单调递增，在(1e ，5)上单调递减[答案] C[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)． ∵y ′＝ln x ＋1，令y ′>0，得x >1e .令y ′<0，得0<x <1e.∴函数y ＝x ln x 在(0，1e )上单调递减，在(1e，5)上单调递增．6．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是导学号 92600656( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)[答案] D[解析] 由条件知f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k ≥1.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．二、填空题7．函数y ＝x 3－x 2－x 的单调递增区间为________.导学号 92600657 [答案] (－∞，－13)，(1，＋∞)[解析] ∵y ′＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)， ∴由y ′>0得，x >1或x <－13.8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为(－1,3)，则b ＝________，c ＝________.导学号 92600658[答案] －3 －9[解析] f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0f ′(3)＝9，即⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝027＋6b ＋c ＝0，解得b ＝－3，c ＝－9.9．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________.导学号 92600659[答案] (－∞，0][解析] ∵f (x )＝x 3－ax 2－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－2ax －3，又因为f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数， f ′(x )＝3x 2－2ax －3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤1f ′(1)＝3×12－2a －3≥0，解得a ≤0，故答案为(－∞，0]．三、解答题10．(2016·北京昌平区高二检测)设函数f (x )＝13x 3＋mx 2＋1的导函数f ′(x )，且f ′(1)＝3.(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间.导学号 92600660 [解析] (1)f ′(x )＝x 2＋2mx ， ∴f ′(x )＝1＋2m ＝3，∴m ＝1. ∴f (x )＝13x 3＋x 2＋1，∴f (1)＝73.∴切线方程为y －73＝3(x －1)，即3x －3y ＋4＝0.(2)f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，令f ′(x )>0，得x >0或x <－2，令f ′(x )<0，得－2<x <0，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)，递减区间为(－2,0)．一、选择题1．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是导学号 92600661( )[答案] D[解析] 由f (x )的图象知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x )≤0，在(－∞，0)上f ′(x )≥0，故选D ．2．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是导学号 92600662( )A．y＝2－3x2B．y＝ln xC．y＝1x－2D．y＝sin x[答案] C[解析]A中，y′＝－6x，当－1<x<0时，y′>0，当0<x<1时，y′<0，故函数y＝2－3x2在区间(－1,1)上不是减函数，B中，y＝ln x在x＝0处无意义；C中，y′＝－1(x－2)2<0对x∈(－1,1)恒成立，∴函数y＝1x－2在区间(－1,1)上是减函数；D中，y′＝cos x>0对x∈(－1，1)恒成立，∴函数y＝sin x在(－1,1)上是增函数．3．定义在R上的函数f(x)，若(x－1)·f′(x)<0，则下列各项正确的是导学号92600663 ()A．f(0)＋f(2)>2f(1) B．f(0)＋f(2)＝2f(1)C．f(0)＋f(2)<2f(1) D．f(0)＋f(2)与2f(1)大小不定[答案] C[解析]当x>1时，f′(x)<0，f(x)是减函数，∴f(1)>f(2)．当x<1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，∴f(0)<f(1)．因此f(0)＋f(2)<2f(1)．4．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有导学号92600664()A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0′，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0[答案] B[解析]由已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∵x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上递增．∴x<0时，f(x)递增，g(x)递减．∴x<0时f′(x)>0，g′(x)<0.二、填空题5．(2016·山东潍坊一中高二期末)函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为________. 导学号92600665[答案] (π3，π)[解析] 由f ′(x )＝1－2cos x >0得cos x <12，又x ∈(0，π)，所以π3<x <π，故函数f (x )的单调递增区间为(π3，π)．6．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________. 导学号 92600666[答案] (－∞，12)[解析] f ′(x )＝a (x ＋2)－ax －1(x ＋2)2＝2a －1(x ＋2)2，由题意得x <－2时，f ′(x )≤0恒成立， ∴2a －1≤0，∴a ≤12.又当a ＝12时，f (x )＝12x ＋1x ＋2＝12，此时，函数f (x )在(－2，＋∞)上不是减函数，∴a ≠12.综上可知，a 的取值范围为(－∞，12)．三、解答题7．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11). 导学号 92600667(1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .因为f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数；当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数；当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数．8．(2016·广东汕头高二质检)函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象都过点P (2,0)，且在点P 处有相同的切线.导学号 92600668(1)求实数a 、b 、c 的值；(2)设函数F (x )＝f (x )＋g (x )，求F (x )的单调区间． [解析] (1)∵函数f (x )、g (x )的图象都过点P (2,0)， ∴f (2)＝16＋2a ＝0，解得a ＝－8，g (2)＝4b ＋c ＝0.又f (x )、g (x )的图象在点P 处有相同的切线，且f ′(x )＝6x 2－8, g ′(x )＝2bx ， ∴f ′(2)＝g ′(2)，∴4b ＝16，∴b ＝4，c ＝－16. ∴a ＝－8，b ＝4，c ＝－16.(2)由(1)知，f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16， ∴F (x )＝2x 3＋4x 2－8x －16，∴F ′(x )＝6x 2＋8x －8＝6(x ＋2)(x －23)．令F ′(x )＝6(x ＋2)(x －23)>0，得x <－2或x >23，∴函数F (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(23，＋∞)．令F ′(x )＝6(x ＋2)(x －23)<0，得－2<x <23，∴函数F (x )的单调递减区间为(－2，23)．综上，F (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(23，＋∞)，单调递减区间为(－2，23)．。

【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第3章导数及其应用综合素质检测 Word版含解析

第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k 1、k 2，则k 1、k 2的大小关系为导学号 92600775( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定[答案] A[解析] y ＝sin x ，y ′＝cos x ，∴k 1＝cos 0＝1，k 2＝cos π2＝0，k 1>k 2.2．y ＝x α在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为导学号 92600776( ) A ．4 B ．－4 C ．1 D ．－1[答案] B[解析] y ′＝(x α)′＝αx α－1，由条件知，y ′|x ＝1＝α＝－4.3．函数y ＝x 2cos x 的导数为导学号 92600777( ) A ．y ′＝2x cos x －x 2sin x B ．y ′＝2x cos x ＋x 2sin x C ．y ′＝x 2cos x －2x sin x D ．y ′＝x cos x －x 2sin x[答案] A[解析] y ′＝(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2·(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 4．函数y ＝12x －x 3的单调递增区间为导学号 92600778( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(－2,2) D ．(2，＋∞)[答案] C[解析] y ′＝12－3x 2＝3(4－x 2)＝3(2＋x )(2－x )，令y ′>0，得－2<x <2，故选C ． 5．(2016·福建宁德市高二检测)曲线f (x )＝ln x x在x ＝e 处的切线方程为导学号 92600779( )A ．y ＝1eB ．y ＝eC ．y ＝xD ．y ＝x －e ＋1e[答案] A[解析] f ′(x )＝1－ln x x 2，∴f ′(e)＝1－ln ee 2＝0， ∴曲线在x ＝e 处的切线的斜率k ＝0. 又切点坐标为(e ，1e )，∴切线方程为y ＝1e.6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a ＝导学号 92600780( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是方程f ′(x )＝0的实数根，∴a ＝5. 7．三次函数f (x )＝mx 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是导学号 92600781( )A ．m <0B ．m <1C ．m ≤0D ．m ≤1[答案] C[解析] f ′(x )＝3mx 2－1，由题意知3mx 2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，当m ＝0时，－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立；当m ≠0时，由题意得m <0，综上可知m ≤0.8．已知抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为导学号 92600782( )A ．20B ．9C ．－2D ．2[答案] C[解析] 由题意得y ′|x ＝2＝1，又y ′＝－4x ＋b ， ∴－4×2＋b ＝1，∴b ＝9，又点(2，－1)在抛物线上，∴c ＝－11，∴b ＋c ＝－2，故选C ．9．三次函数当x ＝1时，有极大值4；当x ＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是导学号 92600783( )A ．y ＝x 3＋6x 2＋9xB ．y ＝x 3－6x 2＋9xC ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x[答案] B[解析] 设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， ∵函数图象过原点，∴d ＝0.f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0f ′(3)＝0f (1)＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝027a ＋6b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－6c ＝9，∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，故应选B ．10．(2016·山西大同高二月考)某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P 元，销售量为Q ，则销售量Q (单位：件)与零售价P (单位：元)有如下关系Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)导学号 92600784( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元[答案] D[解析] 设毛利润为L (P )，由题意知L (P )＝PQ －20Q ＝Q (P －20)＝(8 300－170P －P 2)(P －20)＝－P 3－150P 2＋11 700P －166 000，所以L ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700.令L ′(P )＝0，解得P ＝30或－130(舍)．此时L (30)＝23 000，因为在P ＝30附近的左侧L ′(P )>0，右侧L ′(P )<0.所以L (30)是极大值也是最大值．11．(2016·山东滕州市高二检测)已知f ′(x )是函数f (x )在R 上的导函数，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是导学号 92600785( )[答案] C[解析] ∵x ＝－2时， f (x )取得极小值，∴在点(－2,0)左侧，f ′(x )<0，∴xf ′(x )>0，在点(－2,0)右侧f ′(x )>0，∴xf ′(x )<0，故选C ．12．(2016·山西晋城月考)已知f (x )＝x 3－3x ，过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围是导学号 92600786( )A ．(－1,1)B ．(－2,3)C ．(－1,2)D ．(－3，－2)[答案] D[解析] 设切点为(t ，t 3－3t )，f ′(x )＝3x 2－3，则切线方程为y ＝(3t 2－3)(x －t )＋t 3－3t ，整理得y ＝(3t 2－3)x －2t 3.把A (1，m )代入整理，得2t 3－3t 2＋m ＋3＝0 ①.因为过点A 可作三条切线，所以①有三个解．记g (t )＝2t 3－3t 2＋m ＋3，则g ′(t )＝6t 2－6t ＝6t (t －1)，所以当t ＝0时，极大值g (0)＝m ＋3，当t ＝1时，极小值g (1)＝m ＋2.要使g (t )有三个零点，只需m ＋3>0且m ＋2<0，即－3<m <－2.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．若函数f (x )＝x 3－f ′(1)x 2＋2x －5，则f ′(2)＝______.导学号 92600787 [答案]223[解析] ∵f ′(x )＝3x 2－2f ′(1)x ＋2， ∴f ′(1)＝3－2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝53.因此f ′(2)＝12－4f ′(1)＋2＝223.14．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为________.导学号 92600788[答案] c <14[解析] ∵f ′(x )＝x 2－x ＋c 且f (x )有极值， ∴f ′(x )＝0有不等的实数根，即Δ＝1－4c >0. 解得c <14.15．已知函数f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m 在[0,1]上的最小值为13，则实数m 的值为________.导学号 92600789[答案] 2[解析] f ′(x )＝x 2－2x －1，令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋2，∴f (x )在(1－2，1＋2)上单调递减，即f (x )在[0,1]上单调递减，∴f (x )min ＝f (1)＝13－1－1＋m ＝13，解得m ＝2.16．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是________.导学号 92600790[答案] a <－1[解析] ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . 当a ≥0时，y 不可能有极值点，故a <0. 由e x ＋a ＝0，得e x ＝－a ，∴x ＝ln(－a )． ∴x ＝ln(－a )即为函数的极值点． ∴ln(－a )>0，即ln(－a )>ln1. ∴a <－1.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝x 2＋cx ＋d ，又f (2x ＋1)＝4g (x )，且f ′(x )＝g ′(x )，f (5)＝30.求g (4)．导学号 92600791[解析] 由f (2x ＋1)＝4g (x )，得4x 2＋2(a ＋2)x ＋(a ＋b ＋1)＝4x 2＋4cx ＋4d .于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝2c ， ①a ＋b ＋1＝4d ， ②由f ′(x )＝g ′(x )，得2x ＋a ＝2x ＋c ，∴a ＝c ， ③ 由f (5)＝30，得25＋5a ＋b ＝30.④由①③可得a ＝c ＝2，由④得b ＝－5，再由②得d ＝－12，∴g (x )＝x 2＋2x －12.故g (4)＝16＋8－12＝472.18．(本题满分12分)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，求实数a 的值.导学号 92600792[解析] 设直线与曲线y ＝x 3的切点坐标为(x 0，y 0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 3y 0x 0－1＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，切线的斜率k ＝0， ∴切线方程为y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0y ＝ax 2＋154x －9，得ax 2＋154x －9＝0. Δ＝(154)2＋36a ＝0，解得a ＝－2564.当x 0＝32时，k ＝274，其切线方程为y ＝274(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝274(x －1)y ＝ax 2＋154x －9，得ax 2－3x －94＝0.Δ＝(－3)2＋9a ＝0，解得a ＝－1.综上可知a ＝－1或a ＝－2564.19．(本题满分12分)(2016·安徽合肥高二检测)已知函数f (x )＝16x 3－20ax 2＋8a 2x －a 3，其中a ≠0，求f (x )的极值.导学号 92600793[解析] ∵f (x )＝16x 3－20ax 2＋8a 2x －a 3，其中a ≠0， ∴f ′(x )＝48x 2－40ax ＋8a 2＝8(6x 2－5ax ＋a 2) ＝8(2x －a )(3x －a )，令f ′(x )＝0，得x 1＝a 2，x 2＝a 3.(1)当a >0时，a 3<a2，则随着x 的变化，f ′(x )、 f (x )的变化情况如下表：∴当a ＝a 3时，函数取得极大值f (a 3)＝a 27；当x ＝a 2时，函数取得极小值f (a2)＝0.(2)当a <0时，a 2<a3，则随着x 的变化，f ′(x )、 f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝a 2时，函数取得极大值f (a2)＝0；当x ＝a 3时，函数取得极小值f (a 3)＝a 327.综上所述，当a >0时，函数f (x )在x ＝a 3处取得极大值f (a 3)＝a 327，在x ＝a 2处取得极小值f (a 2)＝0；当a <0时，函数f (x )在x ＝a 2处取得极大值f (a 2)＝0在x ＝a 3处取得极小值f (a 3)＝a 327.20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx (x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象在点x ＝3处的切线与直线24x －y ＋1＝0平行，函数f (x )在x ＝1处取得极值，求函数f (x )的解析式，并确定函数的单调递减区间；(2)若a ＝1，且函数f (x )在[－1,1]上是减函数，求b 的取值范围.导学号 92600794 [解析] (1)∵f (x )＝ax 3＋bx (x ∈R )， ∴f ′(x )＝3ax 2＋b .由题意得f ′(3)＝27a ＋b ＝24，且f ′(1)＝3a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－3. 经检验成立． ∴f (x )＝x 3－3x . 令f ′(x )＝3x 2－3<0，得－1<x <1，∴函数f (x )的减区间为(－1,1)． (2)当a ＝1时，f (x )＝x 3＋bx (x ∈R )，又∵f (x )在区间[－1,1]上是减函数，∴f ′(x )＝3x 2＋b ≤0在区间[－1,1]上恒成立，即b ≤－3x 2在区间[－1,1]上恒成立， ∴b ≤(－3x 2)min ＝－3.21．(本题满分12分)(2016·云南芒市一中高二检测)已知函数f (x )＝e x －x 2＋a ，x ∈R 的图象在点x ＝0处的切线为y ＝bx .导学号 92600795(1)求函数f (x )的解析式；(2)若f (x )>kx 对任意的x >0恒成立，求实数k 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝e x －2x ，切线的斜率k ＝e 0－0＝1，∴b ＝1. ∴切线方程为y ＝x ，切点坐标为(0,0)． ∴e 0＋a ＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝e x －x 2－1. (2)由(1)知e x －x 2－1>kx (x >0)恒成立， ∴k <e x －x 2－1x (x >0)恒成立．令g (x )＝e x －x 2－1x(x >0)，∴k <g (x )min 即可 g ′(x )＝x e x －e x －x 2＋1x 2＝e x (x －1)－(x －1)(x ＋1)x 2＝(x －1)(e x －x －1)x 2∵x >0，∴e x －x －1>0.∴g (x )在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增， ∴当x ＝1时，g (x )取最小值g (1)＝e －2，∴k <e －2.22．(本题满分12分)某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x ).导学号 92600796(1)求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；(提示：利润＝产值－成本) (2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP (x )的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？[解析] (1)P (x )＝R (x )－C (x )＝－10x 3＋45x 2＋3240x －5000(x ∈N ＋，且1≤x ≤20)； MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－30x 2＋60x ＋3275(x ∈N ＋，且1≤x ≤19)． (2)P ′(x )＝－30x 2＋90x ＋3240＝－30(x －12)(x ＋9)， ∵x >0，∴P ′(x )＝0时，x ＝12，∴当0<x <12时，P ′(x )>0，当x >12时，P ′(x )<0， ∴x ＝12时，P (x )有最大值．即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大． (3)MP (x )＝－30x 2＋60x ＋3275＝－30(x －1)2＋3305. 所以，当x ≥1时，MP (x )单调递减，所以单调减区间为[1,19]，且x ∈N ＋.MP (x )是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘比较，利润在减少．。

【成才之路】高中数学人教版选修1-1练习：1.1.2、3四种命题间的相互关系(含答案解析)

选修 1-1第一章1.11.1.2 、 3一、选择题1．设 a、 b 是向量，命题“若 a＝－ b，则 |a|＝ |b| 的”抗命题是导学号 92600042 ()A．若a≠－ b，则 |a|≠ |b| B ．若a＝－ b，则 |a|≠ |b|C．若 |a|≠，|b|则a≠－ b D ．若 |a|＝ |b|，则a＝－ b[答案 ]D[分析 ]将原命题的条件改为结论，结论改为条件，即得原命题的抗命题．2．命题：“若 x2<1，则－ 1<x<1 ”的逆否命题是导学号92600043 ()A．若 x2≥1，则 x≥1，或 x≤－ 1B．若－ 1<x<1 ，则 x2<1C．若 x>1 ，或 x< －1，则 x2>1D．若 x≥1，或 x≤－ 1，则 x2≥1[答案] D[分析 ]－1<x<1的否认为x≤－ 1 或 x≥1，x2<1 的否认为x2≥1，故逆否命题为“若x≤－1或x≥1，则x2≥ 1，”应选D．3．命题“若 c<0，则方程 x2＋ x＋ c＝ 0 有实数解”，则导学号92600044 ()A．该命题的抗命题为真，逆否命题也为真B．该命题的抗命题为真，逆否命题也假C．该命题的抗命题为假，逆否命题为真D．该命题的抗命题为假，逆否命题也为假[答案 ]C[分析 ]如：当 c＝ 0 时，方程 x2＋ x＋ c＝ 0 有实数解，该命题的抗命题“若方程x2＋x＋c＝0有实数解，则c<0”是假命题；若 c<0，则＝ 1－4c>0，命题“若 c<0，则方程 x2＋ x＋c＝ 0 有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题．4．已知一个命题与它的抗命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中导学号92600045()A．真命题个数必定是奇数B．真命题个数必定是偶数C．真命题个数可能是奇数，也可能是偶数D．以上判断都不对[答案]B[分析 ]由于原命题是真命题，则它的逆否命题必定是真命题，一个命题的抗命题是真命题，则它的否命题必定是真命题，应选B．5．关于实数 a、b、 c，以下命题中是真命题的是导学号 92600046 ()A．若 a>b，则 ac>bc B．若 ac2>bc2，则 a>b2211C．若 a>b，则 ac >bc D ．若 a>b，则a<b[答案 ]B[分析 ]∵ac2>bc2，∴ c2>0，∴ a>b.6．有以下四个命题：(1)若“ x＋ y＝ 0，则 x、y 互为相反数”的否命题；(2)对“顶角相等”的抗命题；(3)若“ x≤－3，则 x2－x－ 6>0”的否命题；(4)直“角三角形的两锐角互为余角”的抗命题．此中真命题的个数是导学号92600047 ()A． 0B．1C．2D．3[答案]B[分析 ](1) “若 x＋y≠0，则 x 与 y 不是相反数”是真命题．(2)对“顶角相等”的抗命题是“相等的角是对顶角”是假命题．(3)原命题的否命题是“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－ x－ 6≤0可得－ 2≤x≤3，当 x＝ 4 时， x> － 3 而 x2－ x－ 6＝6>0 ，故是假命题．(4)若“一个三角形的两锐角互为余角，则这个三角形是直角三角形”，真命题．二、填空题7．命题“若 a>1，则 a>0 ”的逆否命题是 ______命题 (填“真”或“假” ). 导学号92600048 [答案]真[分析 ]∵原命题为真，∴其逆否命题为真．8．命题“若 x＝ 3， y＝ 5，则 x＋ y＝ 8”的抗命题是____________________ ；否命题是__________________ ，逆否命题是____________________. 导学号92600049[答案 ]抗命题：若x＋ y＝ 8，则 x＝ 3，y＝ 5；否命题：若x≠3或 y≠5，则 x＋ y≠8；逆否命题： x＋y≠8，则 x≠3或 y≠5.9 ．命题“若 a>b，则2a>2 b”的否命题是 ________ ，为 ________( 填“真”或“假”)命题 . 导学号 92600050[答案 ]a b若 a≤b，则 2 ≤2真[分析 ]指数函数 y＝ 2x在 R 上为增函数，所以其否命题为真．三、解答题10．写出以下命题的抗命题、否命题与逆否命题．(1)假如一条直线垂直于平面内的两条订交直线，那么这条直线垂直于这个平面；(2)假如x>10，那么x>0；(3)当x＝ 2 时， x2＋ x－ 6＝ 0.导学号92600051[分析 ](1)抗命题：假如一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的两条订交直线；否命题：假如一条直线不垂直于平面内的两条订交直线，那么这条直线不垂直于这个平面；逆否命题：假如一条直线不垂直于一个平面，那么这条直线不垂直于这个平面内的两条订交直线．(2)抗命题：假如x>0，那么 x>10；否命题：假如x≤10，那么 x≤0；逆否命题：假如x≤0，那么 x≤10.(3)抗命题：假如x2＋ x－6＝ 0，那么 x＝ 2；否命题：假如x≠2，那么 x2＋ x－ 6≠0；逆否命题：假如x2＋ x－ 6≠0，那么 x≠2.一、选择题1．命题“假如 a、 b 都是奇数，则ab 必为奇数”的逆否命题是导学号92600052 ()A．假如 ab 是奇数，则a、 b 都是奇数B．假如 ab 不是奇数，则a、 b 不都是奇数C．假如 a、b 都是奇数，则ab 不是奇数D．假如 a、b 不都是奇数，则ab 不是奇数[答案]B[分析 ]命题“假如a、b都是奇数，则ab 必为奇数”的逆否命题是“假如 ab 不是奇数，则 a、 b 不都是奇数”．2．若命题p 的否命题为r ，命题r 的抗命题为s、 p 的抗命题为t，则s 是 t 的导学号92600053 ()A．逆否命题 B ．抗命题C．否命题D．原命题[答案] C[分析 ]解法一：特例：在△ABC 中，∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边分别为a、 b、c，p：若∠ A＝∠ B，则 a＝ b，r：若∠ A≠∠ B ，则 a≠b，s：若 a≠b，则∠ A≠∠ B ，t：若 a＝b，则∠ A ＝∠ B. 故 s 是 t 的否命题．解法二：如图可知，s 与 t 互否．3．命题：“若 a2＋ b2＝0(a、b∈ R) ，则 a＝ 0 且 b＝ 0”的逆否命题是导学号92600054 ()A．若 a≠ b≠ 0(a、b∈R)，则 a2＋ b2≠0B．若 a＝ b≠ 0(a、 b∈ R)，则 a2＋ b2≠0C．若 a≠0且 b≠ 0(a、 b∈ R)，则 a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠ 0(a、b∈ R)，则22a ＋b ≠0[答案 ]D[分析 ]命题中的条件及结论的否认分别是a2＋ b2≠0，a≠0或b≠ 0(a、 b∈R)，所以命题的逆否命题是“若a≠0或b≠0(a、b∈ R)，则a2＋b2≠ 0．”4． (2016 ·东济南高二检测山)原命题“圆内接四边形是等腰梯形”，则以下说法正确的选项是导学号92600055 ()A．原命题是真命题 B ．抗命题是假命题C．否命题是真命题D．逆否命题是真命题[答案] C[分析 ]原命题可改写为：若一个四边形是圆内接四边形，则该四边形是等腰梯形，为假命题；抗命题为：若一个四边形是等腰梯形，则该四边形是圆内接四边形，是真命题；原命题的否命题是真命题，逆否命题为假命题，应选C．二、填空题5． (2016 ·东枣庄高二检测山)有以下三个命题：导学号92600056① “全等三角形的面积相等”的否命题；② “若 q≤1，则 x2＋ 2x＋ q＝ 0 有实根”的抗命题；③ “不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．此中全部真命题的序号为________．[答案]②[分析 ]命题①可考虑“全等三角形的面积相等”的抗命题：“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，所以命题①是假命题；命题②是“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”，是真命题；命题③是假命题．6．已知命题“若m－ 1<x<m ＋ 1，则1<x<2 ”的抗命题为真命题，则m 的取值范围为______.导学号92600057[答案 ][1,2][分析 ]由已知得，若1<x<2建立，则m－ 1<x<m ＋ 1 也建立．m－ 1≤1∴，∴ 1≤m≤2.m＋ 1≥2三、解答题7．(2016 ·东菏泽高二检测山 )设原命题为“已知 a、b 是实数，若 a＋ b 是无理数，则 a、b都是无理数”．写出它的抗命题、否命题和逆否命题，并分别说明它们的真假 . 导学号 92600058[分析 ]抗命题：已知a、 b 为实数，若a、 b 都是无理数，则a＋ b 是无理数．如 a＝2，b＝－2， a＋ b＝ 0 为有理数，故为假命题．否命题：已知a、 b 是实数，若a＋b 不是无理数，则a、 b 不都是无理数．由抗命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、 b 是实数，若a、 b 不都是无理数，则a＋ b 不是无理数．如 a＝2， b＝2，则 a＋ b＝ 2＋2是无理数，故逆否命题为假．8．(2016 ·西太原高二检测山)在等比数列 {a n} 中，前 n 项和为 S n，若 S m，S m＋2，S m＋1成等差数列，则a m， a m＋2， a m＋1成等差数列 . 导学号92600059(1)写出这个命题的抗命题、否命题、逆否命题；(2)判断这个命题的抗命题何时为假，何时为真，并给出证明．[分析 ] (1)这个命题的抗命题是在等比数列{a n} 中，前 n 项和为 S n，若 a m， a m＋2， a m＋1成等差数列，则S m， S m＋2， S m＋1成等差数列．否命题是：在等比数列{a n} 中，前 n 项和为 S n，若 S m， S m＋2， S m＋1不可等差数列，则a m， a m＋2， a m＋1不可等差数列．逆否命题是：在等比数列{a n} 中，前 n 项和为 S n，若 a m，a m＋2，a m＋1不可等差数列，则S m， S m＋2， S m＋1不可等差数列．(2)设等比数列 {a n} 的公比为 q，则当 q＝ 1 时，这个命题的抗命题为假，证明以下：易知 a m＝ a m＋2＝ a m＋1＝ a1≠0，若 a m， a m＋2， a m＋1成等差数列，则S m＋2－ S m＝ 2a1， S m＋1－S m＋2＝－ a1，明显 S m＋2－ S m≠S m＋1－S m＋2.当 q≠1时，这个命题的抗命题为真，证明以下：由于 a m＝ a1q m－1， a m＋2＝ a1q m＋1， a m＋1＝ a1q m，若 a m，a m＋2， a m＋1成等差数列，则a1q m－1＋ a1q m＝ 2a1q m＋1，即 1＋q＝ 2q2，也就是 1－ q2＝q2－q，m＋2－ a1m＝ a12m又 S ＋－S＝ a1－q－ q－ q，m 2m1－ q1－ q1－qS m＋1－ S m＋2＝a1－q m＋ 1－q m＋ 2 1－ q－ a11－ q2－m＝ a1－ q2m，＝ a11－ q1－ q即 S m＋2－ S m＝ S m＋1－ S m＋2.。

2016学年高二人教版数学选修1-1练习：3章末小结 Word版含答案

高考对导数的考查形式多样，难易均有，可以在选择题和填空题中出现，主要以导数的运算，导数的几何意义，导数的应用为主(研究单调性、极值和最值等)；也容易在解答题中出现，有时候作为压轴题，考查导数的综合应用，主要以函数为背景，以导数为工具，考查运用导数研究函数的单调性、极值和最值问题，在函数、不等式、解析几何等知识网络交汇点命题．专题一利用导数研究函数的图象通过导数研究函数图象的变化规律，是考试的热点题型．导数绝对值的大小，反映了函数变化的快慢，在图象上表现为陡缓；导数的正负，反映了函数的增减性，在图象上表现为升降．y＝f(x)的导数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()分析：解答本题可以从导函数递增，即切线斜率越来越大入手分析．解析：因为函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )在区间[a ，b ]上是增函数，即在区间[a ，b ]上各点处函数的变化率是递增的，故图象应越来越陡峭．由图易知选A.答案：A专题二导数几何意义的应用导数的几何意义主要应用在研究函数图象的切线问题中，此时关键是抓住切点，它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中若题中没有给出切点，往往需要设出切点．特别提醒：审题时注意两种说法：“在某点处的切线与”与“过某点的切线”不一样．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解析：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为 f ′(x 0)＝3x 20＋1， ∵直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，∵直线l 过点(0，0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16整理得：x 30＝－8，∴x 0＝－2. ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标(x 0、y 0)、则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4 ∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.专题三利用导数研究函数单调性导数与函数的单调性相结合的常见问题： (1)判断单调性；(2)求函数的单调区间；(3)已知单调性，求参数的值．特别提醒：(1)要在定义域内求单调区间；单调区间不能“∪”连接． (2)已知单调性，求参数的值时，注意端点值的处理．函数f (x )＝ln x －a （x －1）x(x >0，a ∈R )．(1)试求f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求证：函数f (x )的图象存在唯一零点的充要条件是a ＝1.分析：解答(1)可以利用解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0得函数的单调区间；(2)可以从充分性与必要性两方面来证明．(1)解析：f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)，单调递增；当a >0时，x ∈(0，a )，f ′(x )<0，f (x )在(0，a )上单调递减； x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (2)证明：充分性：a ＝1时，由(1)知，在x ＝1处有极小值也是最小值，即f (x )min ＝f (1)＝0.而f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴在(0，＋∞)上有唯一的零点x ＝1.必要性：f (x )＝0在(0, ＋∞)上有唯一解，且a >0，由(1)知，在x ＝a 处有极小值也是最小值f (a )，f (a )＝0，即ln a －a ＋1＝0.令g (a )＝ln a －a ＋1，g ′(a )＝1a －1＝1－a a .当0<a <1时，g ′(a )>0，g (a )在(0，1)上单调递增；当a >1时，g ′(a )<0，g (a )在(1，＋∞)上单调递减．∴在(0，＋∞) 上有唯一解a ＝1，使得g (a )＝0.专题四利用导数研究函数的极值与最值利用导数求函数的极值和最值也是高考的热点内容之一，在主客观题中均有体现． (1)应用导数求函数极值的一般步骤： ①确定函数f (x )的定义域； ②解方程f ′(x )＝0的根；③检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号，若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值，若左负右正，则f (x )在此根外取得极小值，否则，此处不是f (x )极值点．(2)求函数f (x )在[a ，b ]上最值的步骤： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．特别地：①当f (x )在[a ，b ]上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得；②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(或极小)值，则可以判定f (x )在该点处取得最大(最小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝kf (x ＋2)，其中常数k 为负数，且f (x )在区间 [0，2]上有表达式f (x )＝x (x －2)．(1)求f (－1)，f (2.5)的值；(2)写出f (x )在 [－3，3]上的表达式，并讨论函数f (x )在[－3，3]上的单调性； (3)求出f (x )在[－3，3]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的值．解析：(1)f (－1)＝kf (－1＋2)＝kf (1)＝k ×1×(1－2)＝－k .∵f (0.5)＝kf (2.5)，∴f (2.5)＝1k f (0.5)＝1k ⎝⎛⎭⎫－34＝－34k . (2)∵f (x )＝x (x －2)，x ∈[0，2]，设－2≤x <0，则0≤x ＋2<2， ∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k (x ＋2)(x ＋2－2)＝kx (x ＋2)．设－3≤x <－2，则－1≤x ＋2<0， ∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k 2(x ＋2)(x ＋4)．设2<x ≤3，则0<x －2≤1. 又∵f (x －2)＝kf (x )，∴f (x )＝1k f (x －2)＝1k(x －2)(x －4)． ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k 2（x ＋2）（x ＋4），－3≤x <－2，kx （x ＋2），－2≤x <0，x （x －2），0≤x ≤2，1k（x －2）（x －4），2<x ≤3.k <0，由二次函数知识得f (x )在[－3，－2]上是增函数，在[－2，－1]上是增函数，在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数，在(2，3]上是增函数．(3)由函数f (x )在[－3，3]上的单调性可知，f (x )在x ＝－3或x ＝1处取得最小值f (－3)＝－k 2或f (1)＝－1，而在x ＝－1或x ＝3处取得最大值f (－1)＝－k 或f (3)＝－1k.故有：①k <－1时，f (x )在x ＝－3处取得取小值f (－3)＝－k 2，在x ＝－1处取得最大值f (－1)＝－k .②k ＝－1时，f (x )在x ＝－3与x ＝1处取得最小值f (－3)＝f (1)＝－1，在x ＝－1与x ＝3处取得最大值f (－1)＝f (3)＝1.③－1<k <0时，f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝－1，在x ＝3处取得最大值f (3)＝－1k.专题五导数的综合应用导数是研究函数非常有用的工具，可以和许多考点相联系． (1)解决恒成立问题．(2)数形结合，研究函数的图象交点情况(方程根的个数问题)．已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值点且0<x 1<1<x 2<2.(1)证明a >0；(2)求z ＝a ＋2b 的取值范围．分析：已知函数的极值点，即知f ′(x )＝0的根及不等式f ′(x )>0的端点，从而可证明(1)：解答(2)可以把问题转化为线性规划，利用图解法．解析：f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .(1)由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根．所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)，当x <x 1时，f (x )为增函数，f ′(x )>0，由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0.(2)在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）>0，f ′（1）<0，f ′（2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.由不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：2－b ＝0，a －3b ＋2＝0，4a －5b ＋2＝0所围成的ΔABC 的内部(如图所示)，其三个顶点分别为：A ⎝⎛⎭⎫47，67，B (2，2)，C (4，2)．z 在这三点的值依次为167，6，8.所以z 取值范围⎝⎛⎭⎫167，8. 专题六生活中的导数导数在生活中的应用主要有：(1)利用导数的意义，可以解决瞬时变化率问题；(2)利用导数可以解决实际生活，生产中的优化问题．设某物体一天中的温度T 是时间t 的函数，T (t )＝at 3＋bt 2＋ct ＋d (a ≠0)，其中温度的单位是 ℃，时间的单位是小时．中午12：00相应的t ＝0，中午以后相应的t 取正数，中午12：00以前相应的t 取负数(如早上8：00相应的t ＝－4下午16：00相应的t ＝4)．若测得该物体在早上8：00的温度为8 ℃，中午12：00的温度为60 ℃，下午13：00的温度为58 ℃，且已知该物体的温度早上8：00与下午16：00具有相同的变化率．(1)求该物体的温度T 关于时间t 的函数关系式；(2)该物体在上午10：00到下午14：00这段时间(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？分析：本题函数关系式已经给出，只需确定其中的系数即可；解答(2)时可以利用导数求该函数的最值．解析：(1)因为T ′＝3at 2＋2bt ＋c ，而T ′(－4)＝T ′(4)，故48a －8b ＋c ＝48c ＋8b ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧T （0）＝d ＝60，T （－4）＝－64a ＋16b －4c ＋d ＝8，T （1）＝a ＋b ＋c ＋d ＝58，48a ＋8b ＋c ＝48a －8b ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－3，d ＝60.∴T (t )＝t 3－3t ＋60(－12≤t ≤12)．(2)在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62 ℃.。

【成才之路】高中数学人教版选修1-1练习：综合素质检测2(含答案解析)

第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线x 2－5y 2＝5的焦距为导学号 92600493( ) A ．6 B ．26 C ．23 D ．4 3[答案] B[解析] 双曲线方程化为标准方程为x 25－y 2＝1，∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝6，∴c ＝6.∴焦距为2c ＝2 6.2．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是导学号 92600494( ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y[答案] C[解析] ∵抛物线过点(－4,4)，∴设其方程为：y 2＝－2px 或x 2＝2py(p>0)，将(－4,4)代入可得p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y.3．若椭圆x 29＋y 2m 2＝1(m>0)的一个焦点坐标为(1,0)，则m 的值为导学号 92600495( )A ．5B ．3C ．2 3D ．2 2[答案] D[解析] 由题意得9－m 2＝1，∴m 2＝8，又m>0，∴m ＝2 2.4．3<m<5是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的导学号 92600496( )A ．充分但非必要条件B ．必要但非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件[答案] A[解析] 当3<m<5时，m －5<0，m 2－m －6>0，∴方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线．若方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线，则(m －5)(m 2－m －6)<0， ∴m<－2或3<m<5，故选A ．5．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于导学号 92600497( )A ．31414B ．324C ．32D ．43[答案] C[解析] 由条件知，a 2＋5＝9，∴a 2＝4，∴e ＝c a ＝32.6．如果点P(2，y 0)在以点F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上，则|PF|＝导学号 92600498( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C[解析] 根据抛物线的定义点P 到点F 的距离等于点P 到其准线x ＝－1的距离d ＝|2－(－1)|＝3，故C 正确．7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是导学号 92600499( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 [答案] B[解析] 双曲线的离心率e 1＝a 2＋b 2a ，椭圆的离心率e 2＝m 2－b 2m ，由a 2＋b 2a ·m 2－b 2m ＝1得a 2＋b 2＝m 2，故为直角三角形．8．(2015·全国卷Ⅰ文)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝导学号 92600500( )A ．3B ．6C ．9D ．12[答案] B [解析] 如图：∵抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴椭圆E 的右焦点为(2,0)，∴c ＝2， ∵c a ＝12，∴a ＝4， ∴b 2＝a 2－c 2＝12.∵抛物线的准线为x ＝－2， ∴|AB|＝2b 2a ＝2×124＝6.9．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有导学号 92600501( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|[答案] C[解析] ∵2x 2＝x 1＋x 3， ∴2(x 2＋p 2)＝(x 1＋p 2)＋(x 2＋p2)，∴2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|，故选C ．10．(2016·山东济宁高二检测)已知F 1、F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A 、B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为导学号 92600502( )A ．6B ．5C ．4D ．3[答案] A[解析] 由椭圆方程可知，a 2＝16，∴a ＝4.在△ AF 1B 中，由椭圆定义可知周长为4a ＝16，若有两边之和是10，∴第三边的长度为6.11．已知动圆P 过定点A(－3,0)，并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64内切，则动圆的圆心P 的轨迹是导学号 92600503( )A ．线段B ．直线C ．圆D ．椭圆[答案] D[解析] 如下图，设动圆P 和定圆B 内切于M ，则动圆的圆心P 到两点，即定点A(－3,0)和定圆的圆心B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8.∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，故选D ．12．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为导学号 92600504( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．0[答案] B[解析] ∵直线与圆无交点，∴4m 2＋n 2>2， ∴m 2＋n 2<4，∴点P 在⊙O 内部，又⊙O 在椭圆内部，∴点P 在椭圆内部， ∴过点P 的直线与椭圆有两个交点．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．(2016·广东河源市高二检测)抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 到y 轴的距离为________.导学号 92600505[答案] 2[解析] 如图所示，F 为抛物线x 2＝4y 的焦点，直线y ＝－1为其准线，过点P 作准线的垂线，垂足为A 且交x 轴于点B.∵|PF|＝3，∴|PA|＝3，∴|PB|＝2.14．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________.导学号 92600506[答案] 12[解析] ∵AB ＝2c ＝4，∴c ＝2. 又AC ＋CB ＝5＋3＝8＝2a ，∴a ＝4. ∴椭圆离心率为c a ＝12.15．两个正数a 、b 的等差中项是92，等比中项是25，且a ＞b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为________.导学号 92600507[答案]415[解析] ∵两个正数a 、b 的等差中项是92，等比中项是25，且a ＞b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2＝92，ab ＝25，a>b ，解得a ＝5，b ＝4，∴双曲线方程为x 225－y 216＝1，∴c ＝25＋16＝41，∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝c a ＝415.16．(2016·山东青岛高二检测)设抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，直线l 过F 与C 交于A 、B 两点，若|AF|＝3|BF|，则l 的方程为__________.导学号 92600508[答案] y ＝±3(x －12)[解析] 由题意得，抛物线y 2＝2x 的焦点F(12，0)．设l ：y ＝k(x －12)，A(x 1，y 2)、B(x 2，y 2)，则由|AF|＝3|BF|得x 1＋12＝3(x 2＋12)，即x 1＝3x 2＋1；联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝－12，得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0，则x 1x 2＝x 2(3x 2＋1)＝14，解得x 2＝16，又x 1＋x 2＝4x 2＋1＝1＋2k 2，即k 2＝3，k ＝±3，即直线l 的方程为y ＝±3(x －12)．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)求下列双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线；(2)以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±x2为渐近线的双曲线.导学号 92600509[解析] (1)∵双曲线x 216－y 24＝1的焦点为(±25，0)，∴设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 220－a 2＝1(20－a 2>0) 又点(32，2)在双曲线上，∴18a 2－420－a 2＝1，解得a 2＝12或30(舍去)， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.(2)椭圆3x 2＋13y 2＝39可化为x 213＋y 23＝1，其焦点坐标为(±10，0)， ∴所求双曲线的焦点为(±10，0)，设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)∵双曲线的渐近线为y ＝±12x ，∴b a ＝12，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝10－a 2a 2＝14，∴a 2＝8，b 2＝2，即所求的双曲线方程为：x 28－y 22＝1.18．(本题满分12分)根据下列条件求抛物线的标准方程：导学号 92600510 (1)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)； (2)焦点在x 轴负半轴上，焦点到准线的距离是5.[解析] (1)因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且－p2＝－2，所以p ＝4，所以，所求抛物线的标准方程是x 2＝－8y.(2)由焦点到准线的距离为5，知p ＝5，又焦点在x 轴负半轴上，所以，所求抛物线的标准方程是y 2＝－10x.19．(本题满分12分)已知过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.导学号 92600511 [解析] (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得：|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x. (2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1、x 2＝4，y 1＝－22、y 2＝42，从而A(1，－22)、B(4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.20．(本题满分12分)已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)经过点P(32，1)，离心率e ＝32，直线l 与椭圆交于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，向量m ＝(ax 1，by 1)、n ＝(ax 2，by 2)，且m ⊥n.(1)求椭圆的方程；导学号 92600512(2)当直线l 过椭圆的焦点F(0，c)(c 为半焦距)时，求直线l 的斜率k.[解析] (1)由条件知⎩⎨⎧c a ＝321a 2＋34b 2＝1a 2＝b 2＋c2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1.∴椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)依题意，设l 的方程为y ＝kx ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3y 24＋x 2＝1，消去y 得(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0，显然Δ>0，x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4，由已知m·n ＝0得，a 2x 1x 2＋b 2y 1y 2＝4x 1x 2＋(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝(4＋k 2)x 1x 2＋3k(x 1＋x 2)＋3＝(k 2＋4)(－1k 2＋4)＋3k·－23k k 2＋4＋3＝0，解得k ＝±2. 21．(本题满分12分)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为233，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为32.导学号 92600513 (1)求双曲线C 的方程；(2)直线y ＝kx ＋m(km≠0)与该双曲线C 交于不同的两点C 、D ，且C 、D 两点都在以点A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围．[解析] (1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝233ab a 2＋b2＝32a 2＋b 2＝c2，解得a 2＝3，b 2＝1.所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 23－y 2＝1，消去y 得， (1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，由已知：1－3k 2≠0且Δ＝12(m 2＋1－3k 2)>0⇒m 2＋1>3k 2① 设C(x 1，y 1)、D(x 2，y 2)，CD 的中点P(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝3km1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k 2，因为AP ⊥CD ，所以k AP ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2－0＝m ＋1－3k 23km ＝－1k，整理得3k 2＝4m ＋1② 联立①②得m 2－4m>0，所以m<0或m>4，又3k 2＝4m ＋1>0，所以m>－14，因此－14<m<0或m>4.22．(本题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝22，左、右焦点分别为F 1、F 2，点P(2，3)，点F 2的线段PF 1的中垂线上.导学号 92600514(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线F 2M 与F 2N 的倾斜角互补，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．[解析] (1)由椭圆C 的离心率e ＝22，得c a ＝22，其中c ＝a 2－b 2，椭圆C 的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，又点F 2在线段PF 1的中垂线上， ∴|F 1F 2|＝|PF 2|，∴(2c)2＝(3)2＋(2－c)2，解得c ＝1. ∵e ＝22，∴a 2＝2，b 2＝1. ∴所求的椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意，知直线l 斜率存在，其方程为y ＝kx ＋m. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝kx ＋m，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 其中Δ＝(4km)2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)>0，即2k 2－m 2>－1.设M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1，且kF 2M ＝kx 1＋m x 1－1，kF 2N ＝kx 2＋mx 2－1. 由已知直线F 2M 与F 2N 的倾斜角互补，得kF 2M ＋kF 2N ＝0，即kx 1＋m x 1－1＋kx 2＋mx 2－1＝0. 化简，得2kx 1x 2＋(m －k)(x 1＋x 2)－2m ＝0， ∴2k·2m 2－22k 2＋1－－2k 2＋1－2m ＝0，整理得m ＝－2k ，∴直线l 的方程为y ＝k(x －2)．当x －2＝0时，y ＝0，该方程就与参数k 无关，因此直线l 过定点，该定点的坐标为(2,0)．。

【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第2章圆锥曲线与方程2.3.1 Word版含解析

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p＝4 p＝4 解得，或 m＝2 6 m＝－2 6
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∴所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝± 2 6. 解法二：设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)， p p 则焦点坐标 F(－，0)，准线方程 x＝ . 2 2 由抛物线定义知，点 M 到焦点的距离等于 5，即点 M 到准线的距离等于 5， p 则 3＋＝5，∴p＝4，∴抛物线方程为 y2＝－8x. 2 又点 M(－3，m)在抛物线上， ∴m2＝24，∴m＝± 2 6， ∴所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝± 2 6. 8．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在坚直方向上高度之差至少要 0.5 m．若行驶车道总宽度 AB 为 6 m，计算车辆通过隧道的限制高度是多少米？(精确到 0.1 m) 导学号 92600441
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1 C． 0，8 [答案] C
1 D． 0，4
1 1 [解析] 抛物线的标准方程为 x2＝ y，∴p＝，且焦点在 y 轴的正半轴上，故选 C． 2 4 5．抛物线 y2＝4x 上一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是导学号 92600428 ( ) A．0 7 C． 8 [答案] A [解析] 设 M(x0，y0)，则 x0＋1＝1，∴x0＝0，∴y0＝0. 6．从抛物线 y2＝4x 图象上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且|PM|＝5，设抛物线焦点为 F，则△MPF 的面积为导学号 92600429 ( A．10 C．6 [答案] A [解析] 设 P(x0，y0)，∵|PM|＝5，∴x0＝4，∴y0＝± 4， 1 ∴S△MPF＝ |PM|· |y0|＝10. 2 二、填空题 7 ．若抛物线 y2 ＝ 2px 的焦点坐标为 (1,0) ，则 p ＝ ________ ，准线方程为 ________. 导学号 92600430 [答案] 2 x＝－1 p [解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由＝1 知 p＝2，则准线方程为 x＝－ 2 p ＝－1. 2 8．以双曲线 x2 y2 －＝1 的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是 16 9 B ．8 D．4 ) 15 B． 16 17 D． 16

【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修1-1习题：第3章导数及其应用3.4 Word版含解析

选修1-1 第三章 3.4一、选择题1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是导学号 92600741( )[答案] A[解析] 加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A ．2．(2016·广东东莞高二检测)若商品的年利润y (万元)与年产x (百万件)的函数关系式y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为导学号 92600742( )A ．1百万件B ．2百万件C ．3百万件D ．4百万件[答案] C[解析] 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．3．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2·(60－x 2)(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为导学号 92600743( )A ．30B ．40C ．50D ．35[答案] B[解析] V ′(x )＝(30x 2－x 32)′＝60x －32x 2，x ∈(0,60)．令V ′(x )＝0，得x ＝40.∴当x ＝40时，箱子的容积有最大值．4．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每1m 2的造价为15元，箱壁每1 m 2的造价为12元，则箱子的最低总造价为导学号 92600744( )A ．900元B ．840元C ．818元D ．816元[答案] D[解析] 设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意得箱底面积为483＝16(m 2)，箱底另一边的长度为16x m ，则l ＝16×15＋(2×3x ＋2×3×16x)×12＝240＋72⎝⎛⎭⎫x ＋16x ，l ′＝72⎝⎛⎭⎫1－16x 2.令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)．当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0.故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元．5．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x >0)；生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，则应生产导学号 92600745( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台[答案] A[解析] 设利润为y (万元)，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－2x 3＋x 2＝18x 2－2x 3(x >0)， y ′＝36x －6x 2，令y ′>0，得0<x <6，令y ′<0，得x >6，∴当x ＝6时，y 取最大值，故为使利润最大，则应生产6千台．6．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为导学号 92600746( )A ．3VB ．32V C ．34V D ．23V [答案] C[解析] 如图，设底面边长为x (x >0)，则底面积S ＝34x 2，∴h ＝V S ＝4V 3x 2. S 表＝x ·4V 3x 2×3＋34x 2×2＝43V x ＋32x 2，S ′表＝3x －43V x 2，令S ′表＝0得x ＝34V ，因为S 表只有一个极值，故x ＝34V 为最小值点．二、填空题7．(2016·山东淄博月考)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨.导学号 92600747[答案] 20[解析] 设该公司一年内总共购买n 次货物，则n ＝400x，∴总运费与总存储费之和f (x )＝4n ＋4x ＝1 600x ＋4x ，令f ′(x )＝4－1 600x 2＝0，解得x ＝20，x ＝－20(舍)，x ＝20是函数f (x )的最小值点，故x ＝20时， f (x )最小．8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为________.导学号 92600748[答案] 3[解析] 设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，∴L ＝27R 2，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋54πR，∴S ′(R )＝2πR －54πR 2＝0，令S ′＝0得R ＝3，∴当R ＝3时，S 表最小．9．用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2 1，该长方体的最大体积是________.导学号 92600749[答案] 3 m 3[解析] 设长方体的宽为x ，则长为2x ，高为92－3x (0<x <32)，故体积为V ＝2x 2⎝⎛⎭⎫92－3x ＝－6x 3＋9x 2，V ′＝－18x 2＋18x ，令V ′＝0得，x ＝0或1， ∵0<x <32，∴x ＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2 m 、1 m 、1.5 m 时，体积最大，最大体积V max ＝3 m 3. 三、解答题10．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？导学号 92600750[解析] 设水箱底边长为x cm ，则水箱高为h ＝60－x2(cm)．水箱容积V ＝V (x )＝60x 2－x 32(0<x <120)(cm 3)．V ′(x )＝120x －32x 2.令V ′(x )＝0得，x ＝0(舍)或x ＝80.当x 在(0,120)内变化时，导数V ′(x )的正负如下表：因此在x ＝80处，函数V (x )取得极大值，并且这个极大值就是函数V (x )的最大值．将x ＝80代入V (x )，得最大容积 V ＝802×60－8032＝128 000(cm 3)．答：水箱底边长取80 cm 时，容积最大，最大容积为128 000 cm 3.一、选择题1．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是导学号 92600751( )A ．150B ．200C ．250D ．300[答案] D[解析] 由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390.由P ′(x )＝0，得x＝300.当0≤x ≤300时，p ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大，故选D ．2．三棱锥O －ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC ＝2x ，OA ＝x ，OB ＝y ，且x ＋y ＝3，则三棱锥O －ABC 体积的最大值为导学号 92600752( )A ．4B ．8C ．43D ．83[答案] C[解析] V ＝13×2x 22·y ＝x 2y 3＝x 2(3－x )3＝3x 2－x33(0<x <3)，V ′＝6x －3x 23＝2x －x 2＝x (2－x )．令V ′＝0，得x ＝2或x ＝0(舍去)． ∴x ＝2时，V 最大为43.3．某工厂需要建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为导学号 92600753( )A ．16 m,16 mB ．32 m,16 mC ．32 m,8 mD ．16 m,8 m[答案] B[解析] 如图所示，设场地一边长为x m ，则另一边长为512xm.因此新墙总长度L ＝2x ＋512x (x >0)，L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝16或x ＝－16(舍去)． ∵L 在(0，＋∞)上只有一个极值点， ∴x ＝16必是最小值点． ∵x ＝16，∴512x＝32.故当堆料场的宽为16 m ，长为32 m 时，可使砌墙所用的材料最省．4．(2016·山东莱芜高二月考)某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进行该路段的时刻t 之间关系可近似地用如下函数给出：y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294.则在这段时间内通过该路段用时最多的时刻是导学号 92600754( )A ．6时B ．7时C ．8时D ．9时[答案] C[解析] y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t ＋12)(t －8)，令y ′＝0得t ＝－12(舍去)或t ＝8.当6≤t <8时，y ′>0；当8<t ≤9时，y ′<0，∴当t ＝8时，y 有最大值．二、填空题5．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料.导学号 92600755 [答案] 4[解析] 设底面边长为x ，则高为h ＝256x 2，其表面积为S ＝x 2＋4×256x 2×x ＝x 2＋256×4x ，S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，则x ＝8，则当高h ＝25664＝4时S 取得最小值． 6．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，要使利润最大每件定价为________元.导学号 92600756[答案] 85[解析] 设每件商品定价x 元，依题意可得利润为L ＝x (200－x )－30x ＝－x 2＋170x (0＜x ＜200)．L ′＝－2x ＋170，令－2x ＋170＝0，解得x ＝1702＝85.因为在(0,200)内L 只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大．三、解答题7．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元，已知每生产x 件这样的产品需要再增加可变成本C (x )＝200x ＋136x 3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？导学号 92600757[解析] 设该厂生产x 件这种产品利润为L (x ) 则L (x )＝500x －2 500－C (x ) ＝500x －2 500－⎝⎛⎭⎫200x ＋136x 3 ＝300x －136x 3－2 500(x ∈N )令L ′(x )＝300－112x 2＝0，得x ＝60(件)又当0≤x <60时，L ′(x )>0 x >60时，L ′(x )<0所以x ＝60是L (x )的极大值点，也是最大值点．所以当x ＝60时，L (x )＝9 500元．答：要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．8. (2016·广东佛山检测)如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记|CD |＝2x ，梯形的面积为S .(1)求面积S 以x 为自变量的函数解析式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值.导学号 92600758[解析] (1)依题意，建立以AB 的中点O 为原点，AB 所在的直线为x 轴的平面直角坐标系，如图所示，则点C (x ，y )满足方程x 2＋y 24＝1，且x >0，y >0，∴y ＝21－x 2(0<x <1)．∴S ＝12(2x ＋2)·21－x 2＝2(x ＋1)1－x 2(0<x <1)．(2)令f (x )＝S 2＝4(x ＋1)2(1－x 2)(0<x <1)，则f ′(x )＝8(x ＋1)2(1－2x )．令f ′(x )＝0，解得x ＝12或x ＝－1(舍去)．当0<x <12时， f ′(x )>0, f (x )为增函数；当12<x <1时，f ′(x )<0, f (x )为减函数． ∴f (12)是f (x )在区间(0,1)上的极大值，也是最大值，且f (12)＝274，此时S ＝332.故当x ＝12时，S 取得最大值332.。

高中数学选修1_1全册习题(答案详解)

目录：数学选修1-1第一章常用逻辑用语 [基础训练A组]第一章常用逻辑用语 [综合训练B组]第一章常用逻辑用语 [提高训练C组]第二章圆锥曲线 [基础训练A组]第二章圆锥曲线 [综合训练B组]第二章圆锥曲线 [提高训练C组]第三章导数及其应用 [基础训练A组]第三章导数及其应用 [综合训练B组]第三章导数及其应用 [提高训练C组]（数学选修1-1）第一章常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是（）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是。

(人教版)数学高中选修1-1同步练习 (全书完整版)

（人教版）高中数学选修1-1（全册）同步练习汇总►基础梳理1．命题的定义．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．♨思考：如何判断一个语句是不是命题？答案：判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．2．命题的结构．本章中我们只讨论“若p ，则q ”这种形式的命题．我们把这种形式的命题中的p 叫做命题的条件，把q 叫做命题的结论．►自测自评1．下列语句是命题的是①(填序号)． ①π2是无限不循环小数 ②3x ≤5③什么是“温室效应”？ ④明天给我买本《金版学案》解析：选项①，“π2是无限不循环小数”是陈述句，并且它是真的，所以是命题；选项②，因为无法判断“3x ≤5”的真假，所以选项②不是命题；选项③是疑问句，选项④是祈使句，故都不是命题．2．语句“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”(C ) A ．不是命题 B ．是假命题 C ．是真命题 D ．不能判断真假3．把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行”改成“若p ，则q ”的形式：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行．1．下列语句是命题的是(B )①72＋1≠50 ②5－x ＝0 ③存在x ∈R ，使x 2－4>0 ④平行于同一条直线的两条直线平行吗？A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④2．下列命题中是真命题的是(B ) A.3是有理数 B ．22是实数C ．e 是有理数D ．{x |x 是小数}R3．下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两相等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的序号是________．答案：②④4．将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)正n 边形(n ≥3)的n 个内角全相等； (2)方程x 2－x ＋1＝0有两个实根； (3)菱形的对角线互相垂直； (4)偶函数的图象关于y 轴对称．答案：(1)若n (n ≥3)边形是正多边形，则它的n 个内角全相等．真命题． (2)若一个方程是x 2－x ＋1＝0，则它有两个实根．假命题． (3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．真命题． (4)若一个函数是偶函数，则它的图象关于y 轴对称．真命题．1．下列语句中，是命题的个数是(B )①求证：3是无理数 ②－5∈Z ③5是无理数 ④x 2－4x ＋7≥0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列四个命题中是真命题的为(C ) A ．若sin A ＝sin B ，则∠A ＝∠B B ．若lg x 2＝0，则x ＝1C ．若a >b ，且ab >0，则1a <1bD ．若b 2＝ac ，则a 、b 、c 成等比数列 3．下列说法正确的是(D )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．语句“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题解析：A 写成“若p 则q ”的形式，B 是命题，C 假命题． 4．(2013·肇庆二模)对于平面α和直线m ，n ，下列命题中假命题的个数是(D )①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ∥α，n ⊂a ，则m ∥n ④若m ∥n ，n ∥α，则m ∥αA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是(C ) A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC D ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC 6．(2013·广州二模)对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是(D ) A ．|a ·b |＝|a ||b | B ．|a ＋b |＝|a |＋|b | C ．(a ·b )c ＝a (b ·c ) D ．a ·a ＝|a |27．命题“末位数字是0或5的整数，能被5整除”，条件p ：________________________________________________________________________；结论q ：________________________________________________________________________；是________命题(填“真”或“假”)．解析：“末位数字是0或5的整数，能被5整除”改写成“若p ，则q ”的形式为：若一个整数的末位数是0或5，则这个数能被5整除，为真命题．答案：一个整数的末位数是0或5 这个数能被5整除真8．命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，得－3≤a ＜0.∴－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]9．下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条体对角线两两相等，则四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的序号是________．答案：②④10．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足条件：f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1，0]上是增函数，给出下面关于f (x )的命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝－1对称；③f (0)≤f (1)；④f (2)＝f (0)；⑤f (x )在[1，2]上是减函数．其中正确的命题序号是________．答案：①②④11．将下列命题改成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)正n 边形(n ≥3)的n 个内角全相等； (2)方程x 2－x ＋1＝0有两个实根； (3)菱形的对角线互相垂直； (4)偶函数的图象关于y 轴对称．答案：(1)若n (n ≥3)边形是正多边形，则它的n 个内角全相等．真命题． (2)若一个方程是x 2－x ＋1＝0，则它有两个实根．假命题． (3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．真命题． (4)若一个函数是偶函数，则它的图象关于y 轴对称．真命题．12．已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p ，q 一真一假，求m 的取值范围．解析：当p 为真命题时， ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－m ＜0，x 1·x 2＝1＞0，∴m ＞2.当q 为真命题时，Δ＝42(m －2)2－16＜0， ∴1＜m ＜3.若p 、q 一真一假，则， p 真q 假或p 假q 真， ①若p 真q 假， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3， ∴m ≥3.②若p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3， ∴1＜m ≤2.综上m 的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)． 13．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x ＜0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解析：因为A ∩B ＝∅是假命题，所以A ∩B ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≤－1或m ≥32. 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2都非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0，解得m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≥32在全集U 中的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．►体验高考1．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，是真命题的是(D ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④解析：①中没有强调这两条直线是相交的. ③中这两条直线也可以相交或是异面． 2．设a ，b 为正实数，现有下列命题： ①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；②若1b －1a＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中真命题有____________(写出所有真命题的序号)．答案：①④►基础梳理1．四种命题的概念．(1)一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．(2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题．(3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的相互关系．3．四种命题的真假性．由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．,►自测自评1．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是(A)A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数2．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以是(D) A．1或2或3或4B．1或3C．0或4D．0或2或43．若命题p的逆命题为q，命题q的否命题为r，则p是r的逆否命题．解析：设p为：“若m，则n”，则q为：“若n，则m”，所以r为：“若綈n，则綈m”．故p是r的逆否命题．1．“若x，y∈R且(x－1)2＋(y－1)2＝0，则x，y全为1”的否命题是(B)A．若x，y∈R且(x－1)2＋(y－1)2≠0，则x，y全不为1B．若x，y∈R且(x－1)2＋(y－1)2≠0，则x，y不全为1C．若x，y∈R且x，y全为1，则(x－1)2＋(y－1)2＝0D．若x，y∈R且xy≠1，则(x－1)2＋(y－1)2＝02．下列命题中，不是真命题的是(D)A．“若b2－4ac>0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C．“x2＝9，则x＝3”的否命题D．“内错角相等”的逆命题3．命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”，用反证法证明时反设为：________________________________________________________________________.答案：若a≠1或b≠14．已知命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．答案：逆命题：已知，a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．否命题：已知，a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．逆否命题：已知，a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．5．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，对a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立，证明a＋b≥0.证明：原命题的逆否命题为：a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．以下证明其逆否命题：若a＋b<0，则a<－b，b<－a，又因为y＝f(x)是R上的增函数，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．又因为原命题和逆否命题有相同的真假性，所以求证成立．1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是(C)A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解2．下列说法中正确的是(D)A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．3．已知原命题“若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(B)A．0个B．1个C．2个D．3个4．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题；④“若ab是无理数，则a、b是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是(B)A．0个B．1个C．2个D．3个5．命题“若c>0，则函数f(x)＝x2＋x－c有两个零点”的逆否命题的是：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________，则c ≤0.答案：若函数f (x )＝x 2＋x －c 没有两个零点6．若命题p 的否命题是q ，命题q 的逆命题是r ，则r 是p 的逆命题的________．解析：本题主要考查四种命题的相互关系．显然，r 与p 互为逆否命题．答案：否命题 7．(x －1)(x ＋2)＝0的否定形式是________________________________________________________________________．答案：(x －1)(x ＋2)≠0 8．命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：若a ≤b ，则2a ≤2b －1 9．有下列五个命题：①“若a 2＋b 2＝0，则ab ＝0”的逆否命题； ②“若a >b ，则ac >bc ”的逆命题③“若a 1b”的逆否命题；④“若1a <1b <0，则ab bc ，则a >b ”，这是一个假命题． ③原命题是一个真命题，所以逆否命题也为真命题．④若1a <1b<0，则b <a <0，则ab >b 2故原命题为真命题，所以逆否命题也为真命题．⑤逆命题为“若a ab”．若a －b >0，1b <1a<0，则⎩⎪⎨⎪⎧－a >－b >0，－1b >－1a >0，故a b >b a . 故这是一个假命题．答案：②⑤10．若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.证明(用反证法)：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x 2－2y ＋π2＋⎝⎛⎭⎫y 2－2z ＋π3＋⎝⎛⎭⎫z 2－2x ＋π6＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，显然a ＋b ＋c >0，这与假设a ＋b ＋c ≤0相矛盾．因此a ，b ，c 中至少有一个大于0.►体验高考1．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(C )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：本小题主要考查四种命题的真假，易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个，选C.2．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是(A ) A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3 C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3 D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝33．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(B ) A ．若一个数是负数，则它的平方不是正数 B ．若一个数的平方是正数，则它是负数 C ．若一个数不是负数，则它的平方不是正数 D ．若一个数的平方不是正数，则它不是负数 4．命题“若p 则q ”的逆命题是(A )A ．若q 则pB ．若綈p 则綈qC ．若綈q 则綈pD ．若p 则綈q5．命题“若a ＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是(C )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4►基础梳理1．充分条件和必要条件．一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．充要条件．一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．♨思考：如何从集合与集合之间的关系上理解充分条件、必要条件和充要条件？答案：对于集合A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，分别是使命题p 和q 为真命题的对象所组成的集合.,►自测自评1．已知集合A ，B ，则“A ⊆B ”是“A ∩B ＝A ”的(C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的(C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件．解析：由a ＝2能得到(a －1)(a －2)＝0，但由(a －1)·(a －2)＝0得到a ＝1或a ＝2，而不是a ＝2，所以a ＝2是(a －1)(a －2)＝0的充分不必要条件．1．在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的(B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当A ＝170°时，sin 170°＝sin 10°<12，所以“过不去”；但是在△ABC 中，sinA >12⇒30°<A <150°⇒A >30°，即“回得来”． 2．(2014·湛江一模)“x >2”是“(x －1)2>1”的(B ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．“b 2＝ac ”是“ a ，b ，c 成等比数列”的________条件．解析：因为当a ＝b ＝c ＝0时，“b 2＝ac ”成立，但是a ，b ，c 不成等比数列；但是“a ，b ，c 成等比数列”必定有“b 2＝ac ”．答案：必要不充分4．求不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件．解析：当a ＝0时，2x ＋1>0不恒成立．当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1>0恒成立 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0⇔a >1. ∴不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件是a >1.5．已知p ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0，q ：2x 2－3x －2≥0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析：令M ＝{x |2x －3x －2≥0} ＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0}⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥2 N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0}＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0}⇒{x |x ≤a －2或x ≥a }，已知q ⇒p 且p ⇒/ q ，得M ?N .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－12，a <2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a ≤2⇔32≤a <2或32<a ≤2⇔32≤a ≤2.即所求a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，2.1．(2013·深圳二模)设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的(A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的(B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．若等比数列{a n }的公比为q ，则“q >1”是“a n ＋1>a n (n ∈N )”的(D ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：可以借助反例说明：①如数列：－1，－2，－4，－8，…公比为2，但不是增数列；②如数列：－1，－12，－14，－18，…是增数列，但是公比为12<1.4．(2013·东莞二模)已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的(A )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件5．已知直线a 、b 和平面α，则a ∥b 的一个必要不充分条件是(D )A ．a ∥α，b ∥αB ．a ⊥α，b ⊥αC ．a ∥α，b ⊂αD ．a 、b 与平面α成等角6．圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是(B ) A ．k ∈(－2， 2) B ．k ∈(－3， 3)C ．k ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．k ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系．依题意知圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点⇔d ＝21＋k 2>1⇔k ∈(－3，3)．7．已知命题p ：不等式x 2＋1≤a 的解集为∅，命题q ：f (x )＝a x (a >0且a ≠1)是减函数，则p 是q 的____________________．解析：命题p 相当于命题：a <1，命题q 相当于：0<a <1.所以，p 是q 的必要不充分条件．答案：必要不充分条件8．已知条件p ：x 2＋x －2>0，条件q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：令A ＝{x |x 2＋x －2>0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |x >a }，∵p 是q 的充分不必要条件，∴B ?A ，∴a ≥1.答案：a ≥19．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件． (1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ； (2)p ：a ＝3，q ：(a ＋2)(a －3)＝0；(3)p ：a 0的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解析：由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1，令A ＝{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－p 4.当B ⊆A 时，即－p4≤－1.即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件．11．已知p ：－2≤－1－ x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．分析：(1)用集合的观点考察问题，先写出綈p 和綈q ，然后，由綈q ⇒綈p ，但綈p ⇒/綈q 来求m 的取值范围；(2)将綈p 是綈q 的必要不充分条件转化为p 是q 的充分不必要条件再求解．解析：方法一由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m ，或x <1－m ，m >0}．由－2≤1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴綈p ：B ＝{x |x ＞10，或x ＜－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，结合数轴∴A ?B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，解得m ≥9.1＋m ≥10.方法二 ∴綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p ，且綈p ⇒/ 綈q .∴p ⇒q ，且q ⇒/ p ，即p 是q 的充分不必要条件．结合数轴∵p ：C ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：D ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}∴C ?D ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥10，1－m ≤－2，∴m ≥9.所以实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．12．求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1>0对于一切实数x 都成立的充要条件是0<a <4.证明：ax 2－ax ＋1>0(a ≠0)恒成立 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0⇔0<a <4. ►体验高考 1．(2014·安徽卷)“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的(B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由ln(x ＋1)<0得－1<x <0，故选B. 2．(2014·广东卷)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的(C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B ⇔sin A ≤sin B . 3．(2014·浙江卷)设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的(A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．(2014·北京卷)设a 、b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的(D ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．(2013·福建卷)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的(A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若x ＝2且y ＝－1，则x ＋y －1＝0；反之，若x ＋y －1＝0，x ，y 有无数组解，如x ＝3，y ＝－2等，不一定有x ＝2且y ＝－1，故选A.6．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的(A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件►基础梳理 1．且(and )．(1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作p ∧q .读作“p 且q ”．(2)当p ，q 两个命题都为真命题时，p ∧q 就为真命题；当p ，q 两个命题中只要有一个命题为假命题时，p ∧q 就为假命题．2．或(or )．(1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作p ∨q .读作“p 或q ”．(2)当p ，q 两个命题中，只要有一个命题为真命题时， p ∨q 就为真命题；当p ，q 两个命题都为假命题时，p ∨q 就为假命题．3．非(not )． (1)定义：一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p .读作“非p ”或“p 的否定”．(2)若p 为真命题时，则綈p 必为假命题；若p 为假命题，则綈p 为真命题．4．复合命题真值表．复合命题的真假可通过真值表加以判断：p q 非p p 或q p 且q 真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假联结词，后确定被联结的简单命题)；(2)判断各个简单命题的真假；(3)结合真值表推断复合命题的真假．5．复合命题的否定．(1)命题的否定：“綈p”是命题“p”的否定，命题“綈p”与命题“p”的真假正好相反．(2)命题(p∧q)的否定：命题(p∧q)的否定是“綈p∨綈q”．(3)命题(p∨q)的否定：命题(p∨q)的否定是“綈p∧綈q”．6．常用词语及其否定．原词语等于大于(＞)小于(＜)是都是否定词语不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是原词语至多有一个至少有一个至多有n个否定词语至少有两个一个也没有至少有n＋1个原词语任意的任意两个所有的能否定词语某个某两个某些不能1．命题：“不等式(x－2)(x－3)<0的解为2<x<3”，使用的逻辑联结词的情况是(B)A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“且”C．使用了逻辑联结词“或”D．使用了逻辑联结词“非”2．命题p与非p(C)A．可能都是真命题B．可能都是假命题C．一个是真命题，另一个是假命题D．只有p是真命题3．若命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是(C)A．非pB．p且qC．p或qD．非p且非q4．若xy＝0，则x＝0或y＝0；若xy≠0，则x≠0且y≠0(填“且”或“或”)．1．以下判断正确的是(B)A．若p是真命题，则“p∧q”一定是真命题B．命题“p∧q”是真命题，则命题p一定是真命题C．命题“p∧q”是假命题时，命题p一定是假命题D．命题p是假命题时，命题“p∧q”不一定是假命题2．若p、q是两个简单命题，且“p∨q”的否定是真命题，则必有(B)A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真3．若命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－b a .命题q ：不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x 1；(2)p ：平行四边形对角线互相平分，q ：平行四边形的对角线互相垂直．解析：(1)p ∧q ：3是无理数且3>1；真命题． p ∨q ：3是无理数或3>1；真命题．綈p ：3不是无理数；假命题．(2)p ∧q ：平行四边形的对角线互相平分且垂直；假命题． p ∨q ：平行四边形的对角线互相平分或互相垂直；真命题．綈p ：平行四边形的对角线不互相平分；假命题．5．(1)已知命题p ：2x 2－3x ＋1≤0和命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围；(2)已知命题s ：方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一根在(0，1)内，另一根在(2，3)内．命题t ：函数f (x )＝ln(mx 2－2x ＋1)的定义域为全体实数．若s ∨t 为真命题，求实数m 的取值范围．解析：(1)对于命题p ：2x 2－3x ＋1≤0，解得12≤x ≤1.对于命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，解得a ≤x ≤a ＋1，∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p 且綈pD /⇒綈q ，得p ⇒q 且q ⇒/ p .所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ＋1≥1解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ≥0即0≤9 ≤12所以实数的取值范围是0≤a ≤12.(2)对于命题s ：方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一根在(0.1)内，另一根在(2，3)内，设g (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧g （0）>0，g （1）＜0，g （2）＜0，g （3）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1＋m －3＋m <0，4＋2m －6＋m <0，9＋3m －9＋m >0.解得0<m <23.对于命题t ：函数f (x )＝ln(mx 2－2x ＋1)的定义域为全体实数，则有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4－4m <0，解得m >1.又s ∨t 为真命题，即s 为真命题或t 为真命题．故所求实数m 的取值范围为0<m <23或m >1.1．已知命题p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1，2}，由它们构成的“p ∨q ”，“p ∧q ”和“綈p ”形式的命题中，真命题有(B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．命题p ：a 2＋b 2<0(a ，b ∈R )；命题q ：a 2＋b 2≥0(a ，b ∈R )，下列结论中正确的是(A ) A ．“p ∨q ”为真 B ．“p ∧q ”为真 C ．“綈p ”为假 D ．“綈q ”为真 3．如果命题“p 且q ”是假命题，“非p ”是真命题，那么(D ) A ．命题p 一定是真命题 B ．命题q 一定是真命题 C ．命题q 一定是假命题D ．命题q 可能是真命题也可能是假命题解析：因为“非p ”是真命题，所以命题p 为假，所以无论q 是真或是假“p 且q ”都是假命题．所以应选D.4．如果命题“綈p ∨綈q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的为(A ) ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧q ”是假命题； ③命题“p ∨q ”是真命题；④命题“p ∨q ”是假命题． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④ 5．(2013·汕头一模)设α、β为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，m ⊂α，n ⊂β，有两个命题：p ：若α∥β，则m ∥n ；q ：若n ⊥α，则α⊥β，那么(D )A ．“p 或q ”是假命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“非p 或q ”是假命题D ．“非p 且q ”是真命题解析：由已知得，p 是假命题，q 是真命题，则非p 是真命题，故“p 或q ”是真命题，A 错；“p 且q ”是假命题，B 错；“非p 或q ”是真命题，C 错；“非p 且q ”为真命题，D 正确．6．(2013·江门一模)设命题p ：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位得到的曲线关于y 轴对称；命题q ：函数y ＝|3x －1|在[－1，＋∞)上是增函数，则下列判断错误的是(D ) A ．p 为假 B ．綈q 为真 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真解析：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位得到的图象的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，它是非奇非偶函数，它的图象不关于y 轴对称，故p 是假命题；函数y ＝|3x －1|，由图象可知在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，故q 也是假命题．綈q 为真命题，p ∧q 为假命题，p ∨q 也是假命题，故D 是不正确的．7．命题p ：菱形的对角线互相垂直，则p 的否命题是________________________________________________________________________，綈p 是________________________________________________________________________．答案：不是菱形的四边形，其对角线不互相垂直菱形的对角线不互相垂直 8．已知命题p ：(x ＋2)(x －6)≤0，命题q ：－3≤x ≤7，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则实数x 的取值范围为________．解析：由题条件可知p 与q 一真一假，p 为真命题时，x 满足－2≤x ≤6，∴满足条件的x 的范围是[－3，－2)∪(6，7]．答案：[－3，－2)∪(6，7]9．设有两个命题．命题p ：不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅；命题q ：函数f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围．解析：对于p ：因为不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝[－(a ＋1)]2－4<0. 解这个不等式得：－3<a <1.对于q ：f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数，则有a ＋1>1，所以a >0.又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题．所以p 、q 必是一真一假．当p 真q 假时有－3<a ≤0，当p 假q 真时有a ≥1. 综上所述，a 的取值范围是(－3，0]∪[1，＋∞)．10．设p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋14a 的定义域为R ；q ：关于x 的不等式3x －9x <a 对一切正实数均成立．如果“p ∨q ”为真，且“p ∧q ”为假，求实数a 的取值范围解析：若p 为真，即ax 2－x ＋14a >0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－a 2<0，∴a >1. 令y ＝3x －9x＝－⎝⎛⎭⎫3x －122＋14，由x >0得3x >1，∴y ＝3x －9x 的值域是(－∞，0)．∴若q 为真，则a ≥0.由“p ∨q ”为真，且“p ∧q ”为假，知p ，q 一真一假．当p 真q 假时，a 不存在；当p 假q 真时，0≤a ≤1. 综上，a 的取值范围是[0，1]． ►体验高考 1(2014·湖南卷)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是(C ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 2．(2013·湖北卷)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(A )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q解析：命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降在指定范围”的否命题，即“p ∧q ”的否定．选A.3．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是(C )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∨q 为假D ．p ∧q 为真。

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