高一数学人教A版二次函数与一元二次方程、不等式(1)学习任务单

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人教A版高中数学第一册(必修1)学案5：2.3 第1课时二次函数与一元二次方程、不等式

2.3第1课时二次函数与一元二次方程、不等式学习目标1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．知识梳理知识点一一元二次不等式的概念①x2＞0；②－3x2－x≤5；③x3＋5x－6＞0；④ax2－5y＜0(a为常数)；⑤ax2＋bx＋c＞0.知识点二“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系有两个不相等的实根有两个相等的实数根“相同”或“不相同”)知识点三一元二次不等式的解法利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式．解一元二次不等式的一般步骤： (1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0； (2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．知识点四一元二次不等式的恒成立问题1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是R 的等价条件是a >0且Δ<0. 2．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是R 的等价条件是a <0且Δ<0.3．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：≥f (x )恒成立⇔≥f (x )max ；≤f (x )恒成立⇔≤f (x )min .思考二次不等式ax 2＋2x －1＜0的解集为R ，则a 的取值范围是________．题型探究题型一解不含参一元二次不等式例1 解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－2x 2＋3x －2＜0； (4)－12x 2＋3x －5＞0.反思与感悟解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集．跟踪训练1解下列不等式：(1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0；(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．题型二解含参数的一元二次不等式例2解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)．反思与感悟含参数不等式的解题步骤(1)将二次项系数化为正数；(2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有两个相异实根，为了写出解集还要比较两个根的大小)．另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式．跟踪训练2解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0.题型三“三个二次”关系的应用例3已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx ＋a＜0的解集．反思与感悟求一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，先求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，再根据函数图像与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集．当两个“有关联”的不等式同时出现时，应注意根与系数的关系的应用．跟踪训练3已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．题型四不等式恒成立问题例4对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为________．反思与感悟有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种：(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图像建立关于参数的不等式求解．跟踪训练4 对任意a ∈『－1,1』，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( ) A ．1＜x ＜3 B ．x ＜1或x ＞3 C ．1＜x ＜2D ．x ＜1或x ＞2易错点不注意一元二次不等式二次项系数的正负致误例5 若一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为{x |x ＜－3或x ＞5}，则ax 2－bx ＋c ＜0的解集为________________．错解由根与系数的关系得：⎩⎨⎧ －3＋5＝－b a，－3×5＝c a，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a ，c ＝－15a .代入得ax 2＋2ax －15a ＜0，① ∴x 2＋2x －15＜0，②∴(x －3)(x ＋5)＜0，∴－5＜x ＜3. 『『答案』』{x |－5＜x ＜3}错因分析 ①式化为②式，忽略了二次项系数a 的符号，并非同解变形．正解由根与系数的关系得：⎩⎨⎧－ba＝－3＋5，ca ＝－3×5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a ，c ＝－15a . ∴ax 2＋2ax －15a ＜0，又由解集的形式知a ＜0， ∴上式化为x 2＋2x －15＞0， ∴(x －3)(x ＋5)＞0，∴x ＞3或x ＜－5. 误区警示1．注意隐含信息的提取有些信息是隐含在题设的条件中的，适当挖掘题设信息可较好地完成对解答题目不明信息的突破，如本例借助不等式及其解集的对应关系得出“a ＜0”这一关键信息，从而避免不必要的讨论．2．注意“三个二次”的关系二次函数的零点，就是相应一元二次方程的根，也是相应一元二次不等式解集的分界点．当堂检测1．下面所给关于x 的几个不等式：①3x ＋4＜0；②x 2＋mx －1＞0；③ax 2＋4x －7＞0；④x 2＜0.其中一定为一元二次不等式的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13＜x ＜12，则a ，c 的值为( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝6D ．a ＝－1，c ＝－63．已知x ＝1是不等式2x 2－6 x ＋8≥0的解，则的取值范围是______________． 4．不等式x 2＋3x －4＜0的解集为________．5．已知关于x 的不等式mx 2－(2m ＋1)x ＋m －1≥0的解集为空集，求实数m 的取值范围．课堂小结1.解一元二次不等式的常见方法(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像的简图； ③由图像得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助因式分解或配方求解．当m <n 时，若(x －m )(x －n )>0，则可得x >n 或x <m ；若(x －m )(x －n )<0，则可得m <x <n .有口诀如下：大于取两边，小于取中间． 2．含参数的一元二次不等式在解含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程的根的讨论：二根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程的根的大小的讨论：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2.3．对于部分恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .——★参*考*答*案★——思考『『答案』』①②『『解析』』①②是，符合定义；③不是，因为未知数的最高次数是3，不符合定义；④不是，当a＝0时，它是一元一次不等式，当a≠0时，它含有两个变量x，y；⑤不是，当a＝0时，不符合一元二次不等式的定义．思考『『答案』』相同思考『『答案』』(－∞，－1)『『解析』』⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4＋4a ＜0⇒a ＜－1.例1 解 (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为{x |x ＞－12或x＜－3}．(2)原不等式可化为⎝⎛⎭⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝94. (3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R .(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图像开口向上，所以原不等式的解集为∅. 跟踪训练1解 (1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图像知，原不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞6}． (2)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)＞0.方程(x －2)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图像知，原不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞2}． (3)由原不等式得8x 2－8x ＋4＞4x －x 2. ∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4＞0. 解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23.结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图像知，原不等式的解集为{x |x ≠23}．例2解原不等式可化为(ax ＋1)(x －1)＜0，当a ＝0时，x ＜1；当a ＞0时，⎝⎛⎭⎫x ＋1a (x －1)＜0， ∴－1a ＜x ＜1；当a ＝－1时，x ≠1；当－1＜a ＜0时，⎝⎛⎭⎫x ＋1a (x －1)＞0， ∴x ＞－1a 或x ＜1；当a ＜－1时，－1a ＜1，∴x ＞1或x ＜－1a.综上，当a ＝0时，原不等式的解集是{x |x ＜1}；当a ＞0时，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a ＜x ＜1；当a ＝－1时，原不等式的解集是{x |x ≠1}；当－1＜a ＜0时，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1或x ＞－1a .当a ＜－1时，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1a 或x ＞1.跟踪训练2解原不等式可化为 (x －a )(x －a 2)＞0 讨论a 与a 2的大小(1)当a 2＞a 即a ＞1或a ＜0时，x ＞a 2或x ＜a . (2)当a 2＝a 即a ＝0或a ＝1时，x ≠a . (3)当a 2＜a 即0＜a ＜1时， x ＞a 或x ＜a 2.综上，当a ＜0或a ＞1时，解集为{x |x ＞a 2或x ＜a }，当a ＝0或1时，解集为{x |x ≠a }，当0＜a ＜1时，解集为{x |x ＞a 或x ＜a 2}．例3解方法一由题意可得a ＜0，且α，β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴由根与系数的关系得⎩⎨⎧ba＝－(α＋β)＜0， ①ca ＝αβ＞0，②∵a ＜0,0＜α＜β，∴由②得c ＜0，则cx 2＋bx ＋a ＜0可化为x 2＋b c x ＋ac ＞0.①÷②，得b c ＝－(α＋β)αβ＝－⎝⎛⎭⎫1α＋1β＜0. 由②得a c ＝1αβ＝1α·1β＞0.∴1α，1β为方程x 2＋b c x ＋ac ＝0的两根．又∵0＜α＜β，∴0＜1β＜1α，∴不等式x 2＋b c x ＋a c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1β或x ＞1α，即不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1β或x ＞1α.方法二由题意知a ＜0，∴由cx 2＋bx ＋a ＜0，得c a x 2＋ba x ＋1＞0.将方法一中的①②代入，得αβx 2－(α＋β)x ＋1＞0，即(αx －1)(βx －1)＞0. 又∵0＜α＜β，∴0＜1β＜1α.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1β或x ＞1α.跟踪训练3 解 ∵x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}， ∴1,2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2，b ＝1×2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，代入所求不等式，得2x 2－3x ＋1＞0. 解得x ＜12或x ＞1.∴bx 2＋ax ＋1＞0的解集为{x |x ＜12或x ＞1}．例4『『答案』』－2＜a ＜2『『解析』』由题意知，f (x )开口向上，故要使f (x )＞0恒成立，只需Δ＜0即可，即(a －4)2－4(5－2a )＜0，解得－2＜a ＜2. 跟踪训练4『『答案』』B 『『解析』』∵f (x )＞0， ∴x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0，即(x －2)a ＋(x 2＋4－4x )＞0，设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)．由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＞0，g (－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x 2－4x ＋4＝x 2－3x ＋2＞0，－x ＋2＋x 2＋4－4x ＝x 2－5x ＋6＞0， ∴x ＜1或x ＞3.当堂检测1．『『答案』』B『『解析』』②④一定是一元二次不等式． 2．『『答案』』B『『解析』』易知a ＜0，且⎩⎨⎧－5a ＝12＋13，c a ＝13×12，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，c ＝－1. 3．『『答案』』≤2或≥4『『解析』』x ＝1是不等式2x 2－6 x ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得2－6＋8≥0，解得≥4或≤2. 4．『『答案』』(－4,1)『『解析』』易得方程x 2＋3x －4＝0的两根为－4,1，所以不等式x 2＋3x －4＜0的解集为(－4,1)．5．解 (1)当m ＝0时，原不等式化为－x －1≥0，∴x ≤－1，解集非空．(2)当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝[－(2m ＋1)]2－4m (m －1)＜0，∴m ＜－18，∴综上，m ＜－18.。

2.3 第1课时二次函数与一元二次方程、不等式学案(人教A版必修第一册)

【自主学习】1.一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或，其中a，b，c均为常数，a≠0.2．二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．注意：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．3．“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系【小试牛刀】1.不等式x2－3x－10＜0的解集是___ _____.2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．()(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．()(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx ＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}．()(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.()【经典例题】题型一一元二次不等式的解法注意：解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零.(2)计算相应的判别式.(3)当Δ＞0时求出相应的一元二次方程的两根.(4)根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集.注意：解含参数的一元二次不等式的步骤例1 解下列不等式：(1)－x2＋7x>6；(2)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)；(3)(2－x)(x＋3)<0．例2 解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．注意：先求出方程x2－ax－2a2＝0的两根x1＝2a，x2＝－a，再通过比较2a与－a的大小写出不等式的解集．[跟踪训练] 1 解关于x的不等式(a∈R)：x2－(a＋a2)x＋a3＞0.题型二三个“二次”关系的应用例3 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．注意：由x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，可知1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，可求出a，b的值，从而得解．[跟踪训练] 2已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.【当堂达标】1．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.下面所给关于x 的几个不等式：①3x ＋4＜0；②x 2＋mx －1＞0；③ax 2＋4x －7＞0；④x 2＜0.其中一定为一元二次不等式的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.若不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12，则a ，c 的值为( )A.a ＝6，c ＝1B.a ＝－6，c ＝－1C.a ＝1，c ＝6D.a ＝－1，c ＝－64．已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N ＝( )A ．{x |－4<x <3}B ．{x |－4<x <－2}C ．{x |－2<x <2}D ．{x |2<x <3}5．若0<a <1，不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <a C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >a 或x <1a D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a 6．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <13，则a －b 的值为( )A ．14B ．－14C ．10D ．－107．不等式x 2＋3x －4＜0的解集为__ ______.8.当a >－1时，关于x 的不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集是________．9．解不等式：0≤x 2－x －2≤4.10．解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.【参考答案】【自主学习】1. 一个 ax 2＋bx ＋c >0 ax 2＋bx ＋c <02. 实数x3. {x |x ＜x 1或x ＞x 2} {x |x 1＜x ＜x 2} ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－b 2a∅ R ∅【小试牛刀】1.{x |－2＜x ＜5} 解析由于x 2－3x －10＝0的两根为－2，5，故x 2－3x －10＜0的解集为{x |－2＜x ＜5}.2.(1)× (2)× (3)× (4)√ 【经典例题】例1 [解] (1)原不等式可化为x 2－7x ＋6<0. 解方程x 2－7x ＋6＝0得，x 1＝1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－7x ＋6的图象知，原不等式的解集为{x |1<x <6}． (2) (3)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2. ∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0. 解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23. 结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠23. （3）原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0. 方程(x －2)(x ＋3)＝0两根为2和－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x |x <－3或x >2}．例2 [解] 原不等式转化为(x －2a )(x ＋a )<0，对应的一元二次方程的根为x 1＝2a ，x 2＝－a .①当2a >－a ，即a >0时，不等式的解集为{x |－a <x <2a }； ②当2a ＝－a ，即a ＝0时，原不等式化为x 2<0，无解； ③当2a <－a ，即a <0时，不等式的解集为{x |2a <x <－a }．综上所述，当a >0时，原不等式的解集为{x |－a <x <2a }；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为{x |2a <x <－a }．[跟踪训练] 1 解将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0变形为(x －a )(x －a 2)＞0. 当a ＜0时，有a ＜a 2，所以不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}；当a ＝0时，a ＝a 2＝0，所以不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当0＜a ＜1时，有a ＞a 2，所以不等式的解集为{x |x ＜a 2或x ＞a }；当a ＝1时，a ＝a 2＝1，所以不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}；当a ＞1时，有a ＜a 2，所以不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}. 例3 [解] ∵x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}， ∴1,2是x 2＋ax ＋b ＝0的两根．由韦达定理有⎩⎨⎧ －a ＝1＋2，b ＝1×2，得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝2，代入所求不等式bx 2＋ax ＋1>0，得2x 2－3x ＋1>0. 由2x 2－3x ＋1>0⇔(2x －1)(x －1)>0⇔x <12或x >1. ∴bx 2＋ax ＋1>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12或x >1. [跟踪训练] 2 解由题意可得a ＜0，且α，β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， ∴由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ba ＝－（α＋β）＜0， ①c a ＝αβ＞0， ②∵a ＜0，0＜α＜β，∴由②得c ＜0，则cx 2＋bx ＋a ＜0可化为x 2＋b c x ＋ac ＞0. ①÷②，得b c ＝－（α＋β）αβ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＋1β＜0.由②得a c ＝1αβ＝1α·1β＞0.∴1α，1β为方程x 2＋b c x ＋ac ＝0的两根.又∵0＜α＜β，∴0＜1β＜1α，∴不等式x 2＋b c x ＋ac ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1β或x ＞1α，即不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1β或x ＞1α.【当堂达标】1. C [解析] 由题可知－7和－1为ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝21a ，a＝3.2.B 解析 ②④一定是一元二次不等式.3. 解析易知a ＜0，且⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＝12＋13，c a ＝13×12⇒⎩⎨⎧a ＝－6，c ＝－1.4. C [解析] 由题意得N ＝{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，所以M ∩N ＝{x |－2<x <2}，选C.5. A [解析] 不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0化为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，因为0<a <1，故a <1a ，解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a . 6.D [解析] 不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <13，可得－12，13是一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个实数根， ∴－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a ，解得a ＝－12，b ＝－2， ∴a －b ＝－12－(－2)＝－10，7. (－4，1) 解析易得方程x 2＋3x －4＝0的两根为－4，1，所以不等式x 2＋3x －4＜0的解集为(－4，1).8. {x |x <－a 或x >1} [解析] 原不等式可化为(x ＋a )(x －1)>0，方程(x ＋a )(x －1)＝0的两根为－a,1，∵a >－1，∴－a <1，故不等式的解集为{x |x <－a 或x >1}．9.[解] 原不等式等价于{ x 2－x －2≥0，x 2－x －2≤4. 解x 2－x －2≥0，得x ≤－1或x ≥2；解x 2－x －2≤4，得－2≤x ≤3.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥2}∩{x |－2≤x ≤3}＝{x |－2≤x ≤－1或2≤x ≤3}．10.[解] ①当a ＝0时，原不等式即为－x ＋1<0，解得x >1. ②当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a 或x >1.③当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.若a ＝1，即1a ＝1时，不等式无解；若a >1，即1a <1时，解得1a <x <1；若0<a <1，即1a >1时，解得1<x <1a . 综上，当a <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1.。

二次函数与一元二次方程不等式学案-高一上学期数学人教A版(1)

已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值．
练习3：已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式
x2－bx－a<0的解集是________
恒成立问题
【典例4】已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围．
练习4:不等式x2＋mx＋＞0恒成立的条件是()
二次函数与一元二次方程、不等式
一、学习目标：
1.结合一元二次函数图象及一元二次方程解一元二次不等式；（重点）
2.能解含有参数的一元二次不等式，利用一元二次函数图象解决不等式恒成立问题（重点）
二、知识导学：
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
3．不等式x2＋6x＋10<0的解集是()
A．ØB．RC．{x|x>5}D．{x|x<2}
4．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是()
A. B. C．ØD.
5.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是________．
6.已知不等式ax2－bx＋4<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值．
7.解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a>0个相等的实根x1，x2且x1＝x2
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
三、典例解析：
【典例1】不含参数的一元二次不等式的解法
解下列不等式：
(1)2x2－3x－2>0(2)x2－2x＋3>0.

二次函数与一元二次方程、不等式教案新人教A版必修第一册

二次函数与一元二次方程、不等式教案新人教A版必修第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【素养目标】1．理解一元二次方程与二次函数的关系．(数学抽象)2．掌握图象法解一元二次不等式．(直观想象)3．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(数学抽象)4．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．(数学运算) 5．会用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式．(逻辑推理)6．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(数学运算)【学法解读】在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的学习中，可以先以讨论具体的一元二次函数变化情况为情境，使学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式的概念；然后进一步探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，归纳总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序．2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式一、必备知识·探新知基础知识知识点1：一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________________.一元二次不等式的一般形式是：_________________________或_________________________.知识点2：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系思考2：如何用图解法解一元二次不等式？提示：图解法解一元二次不等式的一般步骤：(1)将原不等式化为标准形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a>0)；(2)求Δ＝b2－4ac；(3)若Δ<0，根据二次函数的图象直接写出解集；(4)若Δ≥0，求出对应方程的根，画出对应二次函数的图象，写出解集．基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．()(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()(3)设二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，且x10的解集不可能为{x|x1(4)不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)或ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集为空集，则方程ax2＋bx＋c＝0无实根．()[解析](1)当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根．则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅.(3)当二次项系数小于0时，不等式f(x)>0的解集为{x|x1(4)当Δ<0时，一元二次不等式的解集为空集，此时方程无实根．2．不等式2x≤x2＋1的解集为()A．∅B．RC．{x|x≠1}D．{x|x>1或x[解析] 将不等式2x≤x2＋1化为x2－2x＋1≥0，∴(x－1)2≥0，∴解集为R，故选B．3．不等式(2x－5)(x＋3)<0的解集为_____________________.二、关键能力·攻重难题型探究题型一解一元二次不等式例题1：解下列不等式．(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0；(3)－x2＋2x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0.[分析] 根据三个二次之间的关系求解即可．[归纳提升] 解一元二次不等式的步骤(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式．(2)计算相应的判别式．(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．【对点练习】❶不等式6x2＋x－2≤0的解集为______________________.题型二三个“二次”的关系例题2：已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1[分析] 给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和方程ax2－bx＋2＝0的两根，由根与系数的关系可求a，b的值．【对点练习】❷若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．题型三解含有参数的一元二次不等式例题3：解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0.[分析] 二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}．④当－4(1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数a>0，a＝0，a<0；(2)关于不等式对应方程的根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)；(3)关于不等式对应方程的根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x10.WORD模版源自网络，仅供参考！如有侵权，可予删除！文档中文字均可以自行修改。

二次函数与一元二次方程不等式学案——高一上学期数学人教A版

分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型＞0(<0)或 ≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可．
例2.解关于x的不等式（1）ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R).（2）2x2＋ax＋2>0(a∈R).
例3.设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围．
章节
2．3
课题
二次函数与一元二次方程、不等式
教
学
目
标
1.会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．
2.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．
教学重点
二次函数与一元二次方程、不等式的联系，借助二次函数求解一元二次不等式。
教学难点
含参一元二次不等式的解法，不等式恒成立、能成立问题的解决思路。
【新知探究】
一、三个二次及其关系
1．一元二次不等式的概念
我们把只含有一个未知数，并且未知数的的不等式，称为一元二次不等式．
2．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使方程的实数x叫做
二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点
8、已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是，求ax2－bx＋c＞0的解集．
9、解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3>0.
10、已知f(x)＝x2＋2(a－2) >0恒成立，求实数a的取值范围。
3．三个二次的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册 (1)

的解集
Δ＝0
Δ>0

x|x<x1 或 x>x2} x|x≠－ b
2a
__________
Δ<0
R
Δ＝b2 －4ac ax2 ＋bx
＋c<0(a>0)
的解集

x|x1<x<x2
__________
∅
∅
一不含参数的一元二次不等式的解法
例1 解不等式：（1）-3x2+6x-2>0；（2）4x2-4x+1≤0.
a
a
a
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤-1}；
当a>0时，不等式的解集为 x x 2 或x 1 ；当-2<a<0时，不等式的解集为 x 2 x 1 ；

a

a
当a＝-2时，不等式的解集为{-1}；当a<-2时，不等式的解集为 x 1 x 2 .
第二章一元二次函数、方程和不等式
2.3二次函数与一元二次方程、不等式
学习目标
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
3.会解一元二次不等式.
重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的
解法展开，突出体现数形结合思想.
1.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.
2.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
3.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
4.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象的草图.

新教材人教A版必修第一册 2.3二次函数与一元二次方程不等式1 学案

2．3 二次函数与一元二次方程、不等式(1)内容标准学科素养1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．数学抽象直观想象逻辑推理、数学运算2.掌握图象法解一元二次不等式．3.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.授课提示：对应学生用书第24页[教材提炼]知识点一一元二次不等式的概念预习教材，思考问题我们知道，方程x2＝1的一个解是x＝1，解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立．那么什么是不等式x2＞1的解？你能举出一个解吗？你能写出不等式x2＞1的解集吗？知识梳理(1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式(quadric inequality in one unknown)．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0.(2)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．即一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．知识点二二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系预习教材，思考问题函数y＝x2－1的零点与方程x2－1＝0及不等式x2－1＞0解之间有什么关系？知识梳理(1)Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1，或x＞x2}{x|x≠－b2a}R(2)不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解方法将原不等式化成ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的形式计算Δ＝b2－4ac的值Δ＞0方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，解得x1，x2(x1＜x2)Δ＝0方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝－b2a原不等式的解集为{x|x≠－b 2aΔ＜0方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根原不等式的解集为R[自主检测] 1．不等式x＞x2的解集是()A．{x|x＞1}B．{x|x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．R答案：C2．不等式x2＋6x＋10＜0的解集是()A ．∅B ．RC ．{x |x ＞5}D ．{x |x ＜2}答案：A3．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a ＜0，那么ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为( ) A ．{x |x ＞3或x ＜－2} B ．{x |x ＞2或x ＜－3} C ．{x |－2＜x ＜3} D ．{x |－3＜x ＜2}答案：C4．不等式－x 2＋x －2＜0的解集为________．答案：R授课提示：对应学生用书第25页探究一一元二次不等式的解法 [例1] 解下列不等式． (1)－x 2＋2x －23＞0；(2)－12x 2＋3x －5＞0；(3)4x 2－18x ＋814≤0.[解析] (1)两边都乘以－3，得3x 2－6x ＋2＜0，∵3＞0，Δ＝36－24＝12＞0，且方程3x 2－6x ＋2＝0的根是x 1＝1－33，x 2＝1＋33. ∴原不等式的解集是{x |1－33＜x ＜1＋33}． (2)不等式可化为x 2－6x ＋10＜0， Δ＝(－6)2－4×10＝－4＜0， ∴原不等式的解集为∅.(3)不等式可化为16x 2－72x ＋81≤0，即(4x －9)2≤0，∵4x －9＝0时，x ＝94.∴原不等式的解集为{x |x ＝94}.解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集.1．求不等式2x 2－3x －2≥0的解集．解析：∵2x 2－3x －2＝0的两解为x 1＝－12，x 2＝2，且a ＝2＞0，∴不等式2x 2－3x －2≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－12，或x ≥2. 2．解不等式－x 2＋2x －3＞0. 解析：不等式可化为x 2－2x ＋3＜0. 因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，方程x 2－2x ＋3＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集是∅.探究二含参数的一元二次不等式[例2] 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0(a ∈R )． [解析] 原不等式可化为(x －a )(x －a 2)＞0.当a ＜0时，a ＜a 2，原不等式的解集为{x |x ＜a ，或x ＞a 2}；当a ＝0时，x 2＞0，原不等式的解集为{x |x ≠0}；当0＜a ＜1时，a 2＜a ，原不等式的解集为{x |x ＜a 2，或x ＞a }；当a ＝1时，a 2＝a ，原不等式的解集为{x |x ≠1}；当a ＞1时，a ＜a 2，原不等式的解集为{x |x ＜a ，或x ＞a 2}．综上所述：当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x |x ＜a ，或x ＞a 2}；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |x ＜a 2，或x ＞a }；当a ＝0时，解集为{x |x ≠0}；当a ＝1时，解集为{x |x ≠1}．解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论．将本例不等式变为：解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ∈R ，a ＞0)．解析：因为a ＞0，所以原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. ①当a ＝1时，1a＝1，⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0无解； ②当a ＞1时，1a ＜1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0，得1a ＜x ＜1； ③当0＜a ＜1时，1a ＞1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0，得1＜x ＜1a .综上，a ＞1时，不等式的解集为{x |1a ＜x ＜1}；a ＝1时，不等式的解集为∅；0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |1＜x ＜1a }．探究三三个二次之间的关系[例3] [教材P 52例1、例2的拓展探究] (1)已知解集求函数若不等式y ＝ax 2－x －c ＞0的解集为(－2,1)，则函数的图象为( )[解析] 因为不等式的解集为(－2,1)，所以a ＜0，排除C ，D ；又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.[答案] B(2)已知方程的根或函数零点求不等式若函数y ＝x 2－ax ＋1有负数零点，则a 的范围为________．[解析] 有零点， ∴Δ＝a 2－4≥0， ∴a ≥2或a ≤－2，∵f (0)＝1，要使x 2－ax ＋1＝0有负根，则对称轴x ＝a2＜0，即a ＜0.∴a ≤－2. [答案] a ≤－2 (3)已知解集求不等式已知x 2＋px ＋q ＜0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12＜x ＜13，解关于x 的不等式qx 2＋px ＋1＞0. [解析] 由已知得，x 1＝－12，x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的根，∴－p ＝－12＋13，q ＝－12×13，∴p ＝16，q ＝－16.∵不等式qx 2＋px ＋1＞0， ∴－16x 2＋16x ＋1＞0，即x 2－x －6＜0，∴－2＜x ＜3，故不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．应用三个“二次”之间的关系解题的思想一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．授课提示：对应学生用书第26页分久必合——分类讨论思想解含参数不等式►逻辑推理含有参数的一元二次不等式，因为含有参数，便大大增加了问题的复杂程度．分类讨论是解决这类问题的主要方法，确定分类讨论的标准时，要着重处理好以下三点：(1)讨论的“时刻”，即在什么时候才开始进行讨论．要求转化必到位，过早或过晚讨论都会使问题更加复杂化．(2)讨论的“点”，即以哪个量为标准进行讨论．若把握不好这一类，问题就不能顺利解决．(3)考虑要周到，即讨论对象的各种情况都要加以分析，给出结论． 1．讨论二次项系数型为主当二次项系数为字母时，首先要讨论二次项系数是否为0，若二次项系数为0，则该不等式变为一次不等式；若二次项系数不为0，解集则与二次项系数的正负相关．[典例] 解关于x 的不等式，ax 2＋(1－a )x －1＞0. [解析] 原不等式化为(x －1)(ax ＋1)＞0 (1)当a ＝0时，原不等式为x －1＞0，∴x ＞1， (2)当a ＞0时，原不等式为(x －1)(x ＋1a )＞0.两根为1与－1a 且1＞－1a ，∴得x ＞1或x ＜－1a；(3)当a ＜0时，原不等式化为(x －1)(x ＋1a )＜0两根为1与－1a，又∵当－1＜a ＜0时，－1a ＞1，∴得1＜x ＜－1a.当a ＝－1时，不等式为(x －1)2＜0，解集为∅，当a ＜－1时，－1a ＜1，∴得－1a＜x ＜1.综上，当a ＞0时，解集为{x |x ＞1，或x ＜－1a }；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当－1＜a ＜0时，解集为{x |1＜x ＜－1a }；当a ＝－1，解集为∅；当a ＜－1时，解集为{x |－1a ＜x ＜1}．规律总结解二次项含参数的一元二次不等式一定要对参数大于0，等于0和小于0展开讨论． 2．讨论判别式型为主当二次不等式中有字母，且不易观察出所对应方程是否有实根，此时应对方程有无实根进行讨论．[典例] 解关于x 的不等式：2x 2＋ax ＋2＞0. [解析] Δ＝a 2－16＝(a －4)(a ＋4)．(1)当a ＞4或a ＜－4时，Δ＞0，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜14(－a －a 2－16)或x ＞14(－a ＋a 2－16).(2)当a ＝±4时，Δ＝0，方程只有一根x ＝－a 4，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠－a 4. (3)当－4＜a ＜4时，Δ＜0，方程无根，∴原不等式的解集为R . 规律总结若一元二次方程判别式符号不确定，应分Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0讨论． 3．讨论根的大小型为主当一元二次不等式中有字母，而导致根的大小不易区别时，应通过作差法，由根的大小确定字母范围．[典例] 解关于x 的不等式：x 2－2x ＋1－a 2≥0. [解析] 原不等式等价于(x －1－a )(x －1＋a )≥0.①当a ＞0时，1＋a ＞1－a ，所以原不等式的解集为{x |x ≥1＋a ，或x ≤1－a }． ②当a ＝0时，原不等式的解集为全体实数R .③当a ＜0时，1－a ＞1＋a ，原不等式的解集为{x |x ≥1－a ，或x ≤1＋a }．规律总结当不等式对应方程根的大小不确定时，必须讨论根的大小，以确定不等式的解集．在解关于含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a ＞0，a ＜0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程是否有根的讨论：二根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1＞x 2，x 1＝x 2，x 1＜x 2.。

人教A版高中学案数学必修一课件第二章一元二次函数、方程和不等式二次函数与一元二次方程、不等式

即 − − ≤ ,解得− ≤ ≤ ,所以不等式的解集为{| − ≤ ≤ }.故选A.
5.（多选题）下列不等式的解集为的是() AB
A.4 2 − 4 + 1 ≥ 0B.− 2 + 2 − 2 < 0
2
C. − 3 + 2 > 0D. +
1
+1
− < < ,
∴实数的取值范围是{| − < < },故选D.
4.[2024徐州质检]已知关于的不等式 2 + + < 0的解集是{| < −1或 > 2},
则不等式 2 + − ≤ 0的解集是() A
A.{| − 1 ≤ ≤ 2}B.{| ≤ −1或 ≥ 2}

或

> ,所以
3.若不等式4 2 + + 4 > 0的解集为,则实数的取值范围是() D
A.{| − 16 < < 0}B.{| − 16 < ≤ 0}C.{| < 0}D.{| − 8 < < 8}
[解析]∵不等式 + + > 的解集为,∴ = − × × < ,解得
−7
7.已知不等式 2 + 5 + > 0的解集为{|2 < < 3}，则 + =____.
< ,
[解析]由不等式 + + > 的解集为{| < < },可得 + =
×=
= −,
ቊ
所以 + = − − = −.

人教A版高中数学第一册(必修1)学案1：2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课程标准学科素养1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．2．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.通过对二次函数与一元二次方程、不等式的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”“直观想象”的核心素养.课前自主学习知识点一元二次不等式(1)一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0.『微思考』不等式x2－y2＞0是一元二次不等式吗？(2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．(3)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根没有实数根『微体验』1．不等式(1－x)(3＋x)＞0的解集是()A．{x|－3＜x＜1}B．{x|x＜－3或x＞1}C．{x|－1＜x＜3}D．{x|x＜－1或x＞3}2．不等式x2－2x－5＞2x的解集是________．3．不等式－3x2＋5x－4＞0的解集为________.4．二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集为R，则a的取值范围是________．课堂互动探究探究一一元二次不等式的解法例1 求不等式4x2－4x＋1＞0的解集．变式探究将本例不等式变为：－x2＋2x－3＞0，求解此不等式的解集．『方法总结』解一元二次不等式的一般步骤：第一步，将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．第二步，求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．第三步，画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．第四步，观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．跟踪训练1求下列一元二次不等式的解集．(1)x2－5x＞6；(2)－x2＋7x＞6.探究二二次函数与一元二次方程、不等式间的关系例2 已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．『方法总结』应用三个“二次”之间的关系解题的思想一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．跟踪训练2已知不等式ax2－bx＋2＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值．探究三一元二次不等式的实际应用问题例3 某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．『方法总结』一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定『答案』时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练3在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m. 又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2. 问谁超速行驶应负主要责任．随堂本课小结1．解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．2．一元二次不等式解集的记忆方法(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)与ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集的记忆口诀：大于取两边，小于取中间．(2)当一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0与ax2＋bx＋c＜0的二次项系数a＜0时，可以转化为a ＞0.3．解一元二次不等式应用题解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．——★ 参*考*答*案 ★——课前自主学习知识点一元二次不等式『微思考』提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． (3) {x |x ＜x 1，或x ＞x 2} ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2a {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅『微体验』 1．A『『解析』』不等式变为(x －1)(x ＋3)＜0，解得－3＜x ＜1. 2．{x |x ＞5或x ＜－1}『『解析』』由x 2－2x －5＞2x ，得x 2－4x －5＞0，因为x 2－4x －5＝0的两根为－1，5，故x 2－4x －5＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞5}． 3．∅『『解析』』原不等式变形为3x 2－5x ＋4＜0. 因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23＜0，所以3x 2－5x ＋4＝0无解．由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图象可知，3x 2－5x ＋4＜0的解集为∅. 4．a ＜－1『『解析』』由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4＋4a ＜0⇒a ＜－1.课堂互动探究探究一一元二次不等式的解法例1 解因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，所以方程4x 2－4x ＋1＝0的解是x 1＝x 2＝12，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12. 变式探究解不等式可化为x 2－2x ＋3＜0.因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，方程x 2－2x ＋3＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集是∅. 跟踪训练1 解 (1)由x 2－5x ＞6，得x 2－5x －6＞0. ∵x 2－5x －6＝0的两根是x ＝－1或6，∴原不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞6}． (2)由－x 2＋7x ＞6，得x 2－7x ＋6＜0. ∵x 2－7x ＋6＝0的两个根是x ＝1或6， ∴不等式x 2－7x ＋6＜0的解集为{x |1＜x ＜6}．探究二二次函数与一元二次方程、不等式间的关系例2 解由根与系数的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2，b ＝1×2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2.∴不等式bx 2＋ax ＋1＞0，即2x 2－3x ＋1＞0. 由2x 2－3x ＋1＞0，解得x ＜12或x ＞1.∴bx 2＋ax ＋1＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜12或x ＞1. 跟踪训练2 解方法一：由题设条件知a ＞0，且1,2是方程ax 2－bx ＋2＝0的两实根．由根与系数的关系，知⎩⎨⎧1＋2＝b a，1×2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.方法二：把x ＝1,2分别代入方程ax 2－bx ＋2＝0中，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋2＝0，4a －2b ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.探究三一元二次不等式的实际应用问题例3 解设花卉带的宽度为x m(0＜x ＜300)，则中间草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m. 根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋60 000≥0，即(x －600)(x －100)≥0，解得0＜x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100』．跟踪训练3 解由题意列出不等式S 甲＝0.1x 甲＋0.01x 2甲＞12，解得x 甲＜－40或x 甲＞30， S 乙＝0.05x 乙＋0.005x 2乙＞10.解得x 乙＜－50或x 乙＞40. 由于x ＞0，从而得x 甲＞30 km/h ，x 乙＞40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任．。

高中数学新教材人教A版必修第一册学案：2.3二次函数与一元二次方程、不等式(1)Word版含答案

【新教材】2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1.通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

2.使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题．3.渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。

重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集;难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．一、预习导入阅读课本50-52页，填写。

1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4acΔ>0 Δ=0 Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根有两相异实根x1,x2(x1<x2)有两相等实根x1=x2没有实数根ax2+bx+c>0 (a>0)的解集ab2 -=2.一元二次不等式ax 2+bx+c>0 (a>0)的求解的算法.(1)解ax 2+bx+c=0； (2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x 的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x 的结果. 1. 不等式2230x x +-<的解集为（）A ．{|3x x <-或1}x >B ．{|1x x <-或3}x >C ．{|13}x x -<<D ．{|31}x x -<<2. 不等式2620x x --+≤的解集是（）A ．21|32x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．12|23x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或 C ．21|32x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或 D ．12{|}23x x -≤≤ 3. 若不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（） A ．12a <-或12a > B ．12a >或0a < C ．12a >D ．1122a -<<题型一解不等式例1求下列不等式的解集（1）x 2−5x +6>0 （2）9x 2−6x +1>0 （3）−x 2+2x −3>0 跟踪训练一1、求下列不等式的解集（1）(x +2)(x −3)>0；（2）3x 2−7x ≤10；（3）−x 2+4x −4<0 （4）x 2−x +14≤0题型二一元二次不等式恒成立问题例2(1).如果方程20ax bx c ++=的两根为2-和3且0a <，那么不等式20ax bx c ++>的解集为____________．(2).已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（） A ．01k ≤≤ B ．01k <≤ C ．k 0<或1k > D ．0k ≤或1k >跟踪训练二1．已知不等式20x x a -->的解集为{|3x x >或}2x <-，则实数a =__________. 2.对任意实数x ，不等式2(3)2(3)60a x a x ----<恒成立，则实数a 的取值范围是____．题型三一元二次不等式的实际应用问题例3一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y （单位：元）之间有如下的关系： y =−2x 2+220x .若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？跟踪训练三1.用可围成32 m 墙的砖头，沿一面旧墙(旧墙足够长)围成猪舍四间(面积大小相等的长方形)．应如何围才能使猪舍的总面积最大？最大面积是多少？ 1．不等式24430x x --≤的解集是 A ．{x|x ≤−12或x ≥32}B ．{x|−12≤x ≤32}C ．{x|x ≤−32或x ≥12} D ．{x|−32≤x ≤12}2．已知集合{}2|20A x xx =->，{|0B x x =<<，则有（）A ．AB =∅ B ．A B R =C ．B A ⊆D ．A B ⊆3．若不等式2(1)0mx m x m +-+>对实数x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围（） A ．1m <-或13m > B ．1m > C ．13m >D ．113m -<<4．不等式210x x +-<的解集是_________________ 5．关于x 的不等式290x kx ++>的解集是R ，求实数k 的取值范围是 _______.6．已知2(),f x ax x a a R =+-∈．（1）若1a =，解不等式()1f x ≥；（2）若0a <，解不等式()1f x >．7．已知不等式()210x a x a -++≤的解集为A .(Ⅰ)若2a =，求集合A ； (Ⅰ)若集合A 是集合{}41x x -≤≤的子集，求实数a 的取值范围.答案小试牛刀 1-3．DBC 自主探究例1【答案】（1）{x|x <2,或x >3}（2）{x|x ≠13}（3）∅跟踪训练一【答案】（1）{x|x <−2,或x >3}（2）{x|x ≤−3,或x ≥103}（3）{x|x ≠2}（4）{x|x =12}例2【答案】（1）{}|23x x -<<（2）A【解析】（1）由韦达定理得231236bac a⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，6b a c a =-⎧∴⎨=-⎩，代入不等式20ax bx c ++>，得260ax ax a -->，0a <，消去a 得260x x --<，解该不等式得23x -<<，因此，不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23x x -<<，故答案为：{}|23x x -<<.（2）当0k =时，不等式为80≥恒成立，符合题意；当0k >时，若不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则2364(8)0k k k ∆=-+≤，解得01k <≤；当k 0<时，不等式2680kx kx k -++≥不能对任意x ∈R 恒成立。

高一数学(人教A版)二次函数与一元二次方程、不等式(1)教学设计

的根，所以零点的可能情况与方程解的情况是相同的.那何为一元二次不等式呢？顾名思义，它也应该是一元二次大家族里的一个成员，同时它又属于不等式的范畴，在介绍他之前，我们先来看一个实际问题！引例：我家里有一块空地，根据它的大小我买了一段24米长的栅栏. 我想用这段栅栏围成一个面积大于20平方米的矩形苗圃. 设该矩形的一边长为a米，请你确定实数a可以取哪些值？我们设矩形的一边长为a米，其邻边的长度就为12−a米.学生活动一：同学们，你能把这道题中对于矩形面积的要求转化为一个不等式吗？对矩形面积的限制可以用不等式表示：a(12−a)>20大家在处理实际问题时一定要注意未知数的实际意义，这往往会带给未知数一些限制：a与12−a均表示栅栏的长度，所以0<a<12.怎么解这个不等式呢，很多同学是不是已经跃跃欲试了？！尝试一：观察这个不等式的形式，左侧是两个因式a与(12−a)相乘的形式，我们能否利用这个特征来解呢？右侧的20可以分解为20=4×5=2×10=1×20，显然，a34612−a986没什么有用的规律，所以从这个特征出发不易求解，即便现在解出来了，如果把20换成非常大的数字就不好解了.尝试二：有些同学注意到a>0且12−a>0这个特征，运用不等式同解原理，两侧同时除以a或者12−a，转化为：12−a>20a 或a>2012−a虽然左侧化为了一元一次形式，但右侧是分式形式，仍然不能求解！显然这是一类我们不曾接触过的不等式，用我们已学的方法解决不了. 我们先来研究一下，应该如何为它命名. 我们回想一下一元一次不等式，它只含有一个未知数，所以叫做“一元”. 我们再来看这个不等式（用手指着屏幕），它也只含有一个未知数a，所以它是一元的. 接下来看它的次数，不等式经过去括号运算，再将左侧的12a−a2移至右侧，整理为a2−12a+20<0，左侧代数式中未知数a的最高次项的次数为2次，所以我们应该称它为一元二次不。

二次函数与一元二次方程、不等式的应用教案新人教A版必修第一册

二次函数与一元二次方程、不等式的应用教案新人教A版必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式2.3.2 二次函数与一元二次方程、不等式的应用【目标】1.理解三个二次的关系，会解与一元二次不等式有关的恒成立问题；2.能从实际问题中建立-元二次不等式的模型，并会应用其解决实际问题.【重点】利用--元二次不等式解诀恒成立问题及实际问题.【难点】从实际问题中建立一元二次不等式的模型.要点整合夯基础...知识点一简单的分式不等式的解法【填一填】若与是关于的多项式，则不等式（或，或，或）称为分式不等式.解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）求解.（1）；（2）；（3）；（4）；【答一答】1.不等式的解集为.答案：解析：原不等式可以化为，即，故原不等式的解集为.2.不等式的解集是.答案：或解析：原不等式于，解得或，故不等式的解集是或.【答一答】3.不等式在上恒成立，你能写出成立的等价条件吗？提示：.知识点三一元二次不等式的实际应用【填一填】对于一元二次不等式的应用题，其解题关键在于如何把文字语言换成数学语言从而把实际问题转换成数学问题.同时注意问题答案的实际意义，还要增强解决问题的自信心，不要被问题的表面形式所迷惑.【答一答】4.解不等式应用题的解题步骤是什么？提示：（1）阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量、找准不等关系；（2）引入数学符号，用不等式表示不等关系（或表示成函数关系）；（3）解不等式（或求函数最值）；（4）回扣实际问题.典例讲练破题型...类型一简单的分式不等式的解法【例1】解下列不等式.（1）；（2）.【分析】等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组.【解】（1）∵，或，或，∴原不等式的解集为，或.（2）方法一：原不等式可化为，或，或.∴原不等式的解集为.方法二：原不等式可化为.∴原不等式的解集为.通法提炼（1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零.（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.【变式训练1】（1）下列选项中，使不等式成立的的取值范围是（）A.B.C.D.答案：A（2）不等式：的解集为.答案：解析：（1）由可得，即，解得，所以.（2）因为，所以原不等式可化为，即，解得，所以原不等式的解集为.类型二不等式恒成立问题命题视角1：一元二次不等式在实数集上恒成立问题【例2】关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.【分析】【解】（1）若，即时，若，不等式变化为，解集为；若，不等式变为，解集为.∴时满足条件.（2）若，即时，原不等式解集为的条件是.解得，综上所述，当时，圆不等式解集为.通法提炼不等式对任意恒成立，或；不等式对任意恒成立，或.【变式训练2】若不等式对一切恒成立，则的取值范围是.答案：解析：当，即时，不等式为，恒成立，解集为，∴满足条件；当时，则原不等式解集为时，满足，解得.综上所述，的取值范围是.命题视角2：一元二次不等式在某特定范围.上恒成立问题【例3】己知，若，恒成立，求的取值范围.【分析】对于含参数的函数在某特定范围上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，通常利用函数最值转化.【解】若，恒成立可转化为：，或或，解得的取值范围为.通法提炼或型不等式是恒成立问题中最基本的类型，由在上恒成立，则（，存在最大值）；在.上恒成立，则（，存在最小值）.【变式训练3】若，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：，不等式恒成立.①当时，不等式为恒成立，此时；②当时，.∵，∴，∴（当且仅当，即时取等号），∴.综上，实数的取值范围为.类型三一元二次不等式的实际应用【例4】某农贸公司按每担元的价格收购某农产品，并每元纳税元（又称征税率为个百分点），计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低个百分点，预测收购量可增加个百分点.（1）写出降税后税收（万元）与的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的，试确定的取值范围.【解】（1）降低税率后的税率为，农产品的收购量为万担，收购总金额为万元.依题意得.（2）原计划税收为（万元）.依题意得，化简得，解得.又因为，所以.故的取值范围是.通法提炼解不等式应用题的步骤【变式训练4】某商品每件的成本价为元，售价为元，每天售出件.若售价降低成（成），则售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价.（1）设该商品一天的销售额为元，试求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；（2）若要求该商品一天的销售额至少为元，求的取值范围.解：（1）若售价降低成，则降低后的商品售价为元，售出商品的数量为件，由题意，得与之间的函数关系式为.因为售价不能低于成本低，所以，解得，所以，的取值范围为.（2）由题意，的，化简得，解得，因为，所以的取值范围是.课堂达标练经典1.若集合，则（）A.B.C.D.答案：B解析：∵，∴.2.已知不等式的解集为空集，则的取值范围是（）A.B.C.或D.或答案：A解析：依题意应有，解得，故选A.3.不等式的解集为.答案：或解析：且或.4.已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为.答案：解析：根据题意得，解得.5.已知当时，不等式恒成立，求的取值范围.答案：见解析解析：∵当时，恒成立，∴当时，恒成立.令，∵，且对称轴方程为，∴，∴，∴的取值范围为.课堂小结——本课须掌握的四大问题1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.2.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法，这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到下述简单结论：（1）恒成立；（2）恒成立台.3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为，用来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.4.一元二次方程根的分布问题要注意数形结合，从开口方向，对称轴位置，判别式等方面考虑.WORD模版源自网络，仅供参考！如有侵权，可予删除！文档中文字均可以自行修改。

2.3一元二次函数方程和不等式两课时学案-高一上学期数学人教A版

2.3一元二次函数、方程和不等式（1）学习目标1. 经历从实际情境抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义，培养数学抽象的核心素养.2. 能借助二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集，培养数学运算的核心素养.知识点一基本不等式一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 .一元二次不等式的一般形式是：或 .思考1：不等式x 2＋2x>0是一元二次不等式吗？思考2：一元二次不等式的一般形式中“a ≠0”可以省略吗？知识点二二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系典例分析题型一解一元二次不等式例1 解下列不等式的解集．(1)2x 560x -+> (2)29610x x -+>(3)2230x x <－＋－ (4)23520.x x >－＋－[方法总结] 解一元二次不等式的步骤(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的形式．(2)计算相应的判别式．(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． (4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．变式训练 1有两个相等的实数(1)2{|42}{|60}M x x N x x x M N =-<<=--<⋂=已知集合，，则 ; (2)2{|560}{|10}x x x N x x B =-+>=-<⋂=已知集合A ，，则A .题型二含参数的一元二次不等式的解法例2 设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2−（a +1）x +1<0 .[方法总结] 在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数a >0，a ＝0，a <0；(2)关于不等式对应方程的根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)； (3)关于不等式对应方程的根的大小的讨论：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2.变式训练2.解关于x 的不等式ax 2+x −（a +1）<0 .题型三已知一元二次方程的解集求参数的值或取值范围例3 已知不等式mx 2+2x ＋6m>0（1）若此不等式的解集为{x|2<x<3},求实数m 的值; （2）若此不等式的解集为{x|x ≠−1m },求实数m 的值;（3）若此不等式的解集为R ，求实数m 的取值范围; （4）若此不等式的解集为∅，求实数m 的取值范围.变式训练3 若不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求不等式cx 2＋bx+a<0的解集． [拓展提高]1.（多选题）已知不等式ax 2+bx +c ≥0 的解集是{x|−1≤x ≤2} ，对于系数a ,b ,c ，下列结论正确的是( )a +b =0 B. a +b +c >0 C. c >0 D. b <02.不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集。

新教材高中数学第二章二次函数与一元二次方程不等式导学案新人教A版必修第一册(含答案)

新教材高中数学新人教A 版必修第一册：第1课时二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】 (1)了解一元二次不等式的现实意义．(2)借助二次函数图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性．(3)能够借助二次函数，求解一元二次不等式．题型 1一元二次不等式的解法【问题探究1】如课本图2.3－1，二次函数y ＝x 2－12x ＋20的图象与x 轴有两个交点，这与方程x 2－12x ＋20＝0的根有什么关系？【问题探究2】你能从二次函数y ＝x 2－12x ＋20的图象上找到x 2－12x ＋20<0的解集吗？例1 解下列不等式：(1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－4x 2＋18x －814≥0； (3)－2x 2＋3x －2<0.题后师说解不含参数的一元二次不等式的一般步骤跟踪训练1 解下列不等式．(1)3x2－7x≤10；<0.(2)x2－x＋14题型 2含参数的一元二次不等式的解法例2 设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2＞0. 一题多变解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.题后师说解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算．跟踪训练2 解关于x的不等式x2－(a＋2)x＋2a<0．随堂练习1.不等式x2－4>0的解集是( )A．{x|－2<x<2} B．{x|x<－2}C．{x|x>2} D．{x|x<－2或x>2}2．关于x的不等式－x2＋5x＋6≤0的解集为( )A．{x|x≤－2或x≥3}B．{x|－2≤x≤3}C．{x|－1≤x≤6}D．{x|x≤－1或x≥6}3．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是( )A．{x|x<－n或x>m}B．{x|－n<x<m}C．{x|x<－m或x>n}D．{x|－m<x<n}4．已知a<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2<0的解集是____________．课堂小结1.一元二次不等式的概念及解法．2．含参数的一元二次不等式的解法．第1课时二次函数与一元二次方程、不等式问题探究1 提示：函数的图象与x 轴交点的横坐标正好是方程的根．问题探究2 提示：从图象上看，位于x 轴上方的函数值大于零，位于x 轴下方的函数值小于零，故x 2－12x ＋20<0的解集为{x |2<x <10}．例1 解析：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x |x >－12或x <－3}． (2)原不等式可化为(2x －92)2≤0，所以原不等式的解集为{x |x ＝94}．(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .跟踪训练1 解析：(1)不等式3x 2－7x ≤10，即3x 2－7x －10≤0，即不等式等价于(x ＋1)(3x －10)≤0，由二次函数的图象与性质可知原不等式的解集为{x |－1≤x ≤103}．(2)不等式x 2－x ＋14<0，因为x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，由二次函数的图象与性质可知原不等式的解集为∅.例2 解析：(1)当a ＝0时，不等式可化为x －2＞0，解得x ＞2，即原不等式的解集为{x |x ＞2}．(2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a ＜－12时，解不等式得－1a ＜x ＜2，即原不等式的解集为{x |－1a <x <2}； ②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12＜a ＜0时，解不等式得2＜x ＜－1a ，即原不等式的解集为{x |2<x <－1a }； ④当a ＞0时，解不等式得x ＜－1a 或x ＞2，即原不等式的解集为{x |x <－1a ，或x >2}．一题多变解析：Δ＝a 2－16，下面分情况讨论：(1)当Δ＜0，即－4＜a ＜4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R .(2)当Δ＝0，即a ＝±4时，若a ＝－4，则原不等式等价于(x －1)2＞0，故x ≠1；若a＝4，则原不等式等价于(x ＋1)2＞0，故x ≠－1；(3)当Δ＞0，即a ＞4或a ＜－4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两个根为x 1＝14(－a －√a 2−16)，x 2＝14(－a ＋√a 2−16)．此时原不等式等价于(x －x 1)(x －x 2)＞0，∴x ＜x 1或x ＞x 2.综上，当－4＜a ＜4时，原不等式的解集为R ；当a ＝－4时原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}；当a ＞4或a ＜－4时，原不等式的解集为{x |x ＜14(－a －√a 2−16)，或x ＞14(－a ＋√a 2−16)}；当a ＝4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠－1}．跟踪训练2 解析：x 2－(a ＋2)x ＋2a <0，即(x －a )(x －2)<0；当a ＝2时，不等式化为(x －2)2<0，不等式无解；当a >2时，解不等式(x －a )(x －2)<0，得2<x <a ；当a<2时，解不等式(x－a)(x－2)<0，得a<x<2；综上所述，a＝2时，不等式无解，a>2时，不等式的解集为{x|2<x<a}，a<2时，不等式的解集为{x|a<x<2}．[随堂练习]1．解析：x2－4＝(x＋2)(x－2)>0，解得x<－2或x>2，所以不等式的解集为{x|x<－2或x>2}．答案：D2．解析：由－x2＋5x＋6＝－(x－6)(x＋1)≤0，解得x≤－1或x≥6.故选D.答案：D3．解析：不等式变形为(x－m)(x＋n)<0，方程(x－m)(x＋n)＝0的两根为m，－n，显然由m＋n>0得m>－n，所以不等式的解为－n<x<m.故选B.答案：B4．解析：因为x2－4ax－5a2<0，所以(x－5a)(x＋a)<0，又a<0，所以不等式x2－4ax －5a2<0的解集为{x|5a<x<－a}．答案：{x|5a<x<－a}。

高中必修第一册统编人教A版《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》优秀教学教案教学设计

第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）本节课是新版教材人教A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第3节《一元二次不等式及其解法》第１课时。

从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。

从思想层面看，本节课突出本现了数形结合思想。

同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。

课程目标学科素养1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3.培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

a.数学抽象：一元二次不等式的定义及解法； b.逻辑推理：理解三个二次的关系； c.数学运算：按步骤解决一元二次不等式； d.直观想象：运用二次函数图像解一元二次不等式；e.数学建模：将生中的不等关系转化为一元二次不等式解决；重点：1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想. 难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.多媒体（一）、情境导学问题园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．由题意，得:（１２－x）x＞２０，其中x∈｛x｜０＜x＜１２｝．整理得x２－１２x＋２０＜０，x∈｛x｜０＜x＜１２｝．①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．一元二次不等式的定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般表达式ax2+bx+c>0 (a≠0)或ax2+bx+c<0 (a≠0)，其中a，b，c均为常数.（二）、探索新知问题：二次函数y=x2-5x的函数图像如下，思考：当x为何值时，y=0，函数图像与x轴有什么关系？当x为何值时，y＜0，函数图像与x轴有和关系？当x为何值时，y＞0，函数图像与x轴有什么关系？思考：对于一般一元二次不等式的解集怎么求呢？我们知道，对于一元二次方程a x2+b x+c=0(a＞0)，设其判别式为Δ=b2-4ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.根据二次函数及其对应的不等式与方程之间的联系，填写下列表格。

高中数学人教版A版精品学案《二次函数与一元二次方程、不等式》

二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】（1）从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．（2）从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．【学习重难点】二次函数与一元二次方程和不等式的关系。

【学习过程】一、自主学习Δ>0Δ＝0Δ0时，解形如a2＋b＋c>0（≥0）或a2＋b＋c0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．（2）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当≤0D．3－2＋1>0解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．答案：C2．不等式（＋1）≤0的解集为（）A．[－1，＋∞）B．[－1，0）C．（－∞，－1]D．[－1，0]解析：解不等式得－1≤≤0，故选D．答案：D3．函数＝错误!的定义域为（）A．[－7，1]B．（－7，1）C．（－∞，－7]∪[1，＋∞）D．（－∞，－7）∪（1，＋∞）解析：由7－6－2>0，得2＋6－76a5a6a6a200a200a200a20a20a0，则关于的不等式（m－）（n＋）>0的解集是（）A．{|m}B．{|－nn}D．{|－m0可化为（－m）（＋n）0，得m>－n，则不等式（－m）（＋n）0的解集为错误!0的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．（2，＋∞）B．（－∞，2）C．（－∞，0）∪（2，＋∞）D．（0，2）解析：由题意知原不等式对应方程的Δ2m600，即2－50＋6000；（2）2－3＋5>0；（3）4（22－2＋1）>（4－）．解析：（1）2＋2－15>0⇔（＋5）（－3）>0⇔3，所以不等式的解集是{|3}．（2）因为Δ＝（－3）2－4×1×5＝－114－2．∴原不等式等价于92－12＋4>0．解方程92－12＋4＝0，得1＝2＝错误!．结合二次函数＝92－12＋4的图象知，原不等式的解集为错误!．9．若关于的一元二次不等式a2＋b＋c，求关于的不等式c2－b＋a>0的解集．解析：由题意知错误!0中得错误!a a2＋错误!a a＋a>0（a2a2a8a9a2a0，则－a2a2a2a2a0时，{|－a<<2a}；当a<0时，{|2a<<－a}；当a＝0时，∅．。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式——高一数学人教A版(2019)必修第一册课前导学

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 —— 高一数学人教A 版（2019）必修第一册课前导学一、新知自学1.一元二次不等式：一般地，把只含有一个，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是或20ax bx c ++<，其中a ，b ，c 均为常数， .2.一元二次不等式的零点：一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，把使2ax bx c ++= 的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点.3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表：二、问题思考1.解含参数的“一元二次不等式”时，一般需对参数进行分类讨论，根据运算的需要如何分类呢？2.一元二次不等式解决实际应用问题的步骤是什么？三、练习检测1.一元二次不等式2210x x --<的解集是( )A.112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣B.112xx ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭∣ C.112xx ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭∣D.112xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣ 2.对任意的(1,4)x ∈，不等式2220ax x -+>恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.[1,)+∞B.1,12⎛⎫⎪⎝⎭C.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3.已知命题“x ∃∈R ，使2(2)(2)10m x m x -+-+≤”是假命题，则实数m 的取值范围为( ) A.(6,)+∞B.(2,6)C.[2,6)D.(,2]-∞4.（多选）已知关于x 的不等式，则下列说法中正确的是( )A.若，则不等式的解集为RB.若，则不等式的解集为或0}x <C.若1a >，则不等式的解集为{1xx a <+∣或2}x a > D.若1a <，则不等式的解集为{2xx a <∣或1}x a >+ 5.若不等式2440x ax ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围是_________.22(31)220x a x a a -+++>1a =0a ={1xx >∣【答案及解析】一、新知自学1.未知数 2 20ax bx c ++> 0a ≠2.03.不相等 {|}2b x x a ≠- 12{|}x x x x <<二、问题思考1.（1）关于不等式类型的讨论，当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.（2）关于不等式对应方程根的个数的讨论.当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式∆与0的关系. （3）关于不等式对应方程的根的大小的讨论. 2.（1）理解题意，搞清量与量之间的关系；（2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为教学中的一元二次不等式（组）问题；（3）解这个一元二次不等式（组），得到实际问题的解. 三、练习检测 1.答案：D解析：2210x x --<即(1)(21)0x x -+<，解得112x -<<.因此，不等式的解集是112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣.故选D.2.答案：D解析：因为对任意的(1,4)x ∈，都有2220ax x -+>恒成立，所以a >任意的(1,4)x ∈恒成立.设22222221122x y x x x x -⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭(1,x ∈1x <<=2x =时，max y =取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选D.3.答案：C解析：由题意可知关于x 的不等式2(2)(2)10m x m x -+-+>恒成立.①当20m -=，即2m =时，10>恒成立；②当20m -≠，即2m ≠时，220,(2)4(2)0,m m m ->⎧⎨---<⎩解得26m <<.综上，实数m 的取值范围为[2,6). 4.答案：BCD解析：关于x 的不等式22(31)220x a x a a -+++>可转化为2(31)2(1)0x a x a a -+++>，即(2)[(1)]0x a x a --+>①.若1a =，则①式转化为2(2)0x ->，此时不等式的解集为{2}x x ≠∣，故A 错误；若0a =，则①式转化为(1)0x x ->，此时不等式的解集为{1xx >∣或0}x <，故B 正确；若1a >，则21a a >+，此时不等式的解集为{1xx a <+∣或2}x a >，故C 正确；若1a <，则21a a <+，此时不等式的解集为{2x x a <∣或1}x a >+，故D 正确. 5.答案：{|88}a a -<<解析：因为不等式2440x ax ++>的解集为R ，所以24440a ∆=-⨯⨯<，解得88a -<<，故实数a 的取值范围是{|88}a a -<<.。

《二次函数与一元二次方程》学习任务单

三、资源链接
（提示：提供相关资源链接）
四、困惑与建议
在具体教学过程中，课堂气氛有点沉闷，与我的初衷相悖。可能如果在平时，气氛会更加自然轻松点。在今后的教育教学中，要多下点工夫在如何调动课堂气氛，使语言和教态更加生动上。初中学生的注意力还是比较容易分散的，兴趣也比较容易转移，因此，越是生动形象的语言，越是宽松活泼的气氛，越容易被他们接受。如何找到适合自己适合学生的教学风格？或严谨有序，或生动活泼，或诙谐幽默，或诗情画意，或春风细雨润物细无声，或激情飞扬，每一种都是教学魅力和人格魅力的展现。我将不断摸索，不断实.课题名称：沪科版九年级上册数学“二次函数与一元二次方程>”
2.达成目标：
1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系。
2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。
3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标。
3.学习方法建议：
1、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。
2、引导探索研究发现法，教材通过引导，探索出二次函数与一元二次方程之间的关系。
4.课堂学习形式预告：
教学中应注重学生思维多样性的培养。数学教学的探究过程中，对于问题的结果应是一个从“特殊”逐步走向“一般”的过程，而不是在一开始就让学生沿着教师预先设定好方向去思考，这样感觉像是整个课堂仅在我的掌握之中，每个环节步步指导，层层点拔，惟恐有所纰漏，实际上却是控制了学生思维的发展。再加上我是急性子，看到学生一道题目要思考很久才能探究出答案，我就每次都忍不住在他们即将做出答案的时候将方法告诉他们。这样容易造成学生对老师的依赖，不利于学生独立思考和新方法的形成。