综合法和分析法
综合法与分析法知识点总结
综合法与分析法知识点总结综合法与分析法是在研究认知过程和解决问题过程中的两种基本方法。
它们在科学研究、管理决策、问题解决等领域中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将从综合法和分析法的基本概念、特点、适用范围、主要方法与应用技巧等方面进行综合分析，并结合具体例子进行具体说明。
一、综合法综合法是指在进行研究分析时，采用多个角度、多种方法进行综合比较，综合研究问题的方法。
综合法的主要特点有：1. 多因素综合：综合法强调多方面、多因素的综合研究。
它可以从不同的角度、不同的层面分析问题，得出综合、全面的结论。
2. 积极开放：综合法强调对各种可能性的积极开放，不固步自封，能够克服单一因素分析的片面性。
3. 统筹兼顾：综合法要求在研究中综合各种看法，避免偏听片信，充分尊重每个因素，统筹兼顾。
综合法的主要方法包括层层分析法、交叉综合法、数字与模型综合等。
在实际应用中，可以通过案例分析、数学模型分析等方法进行具体操作。
例如，在管理决策中，如果要分析一个市场是否具有潜在的发展前景，可以采用综合法。
首先，可以从市场规模、人口结构、经济发展情况等多个角度综合考虑；其次，可以采用数字模型进行综合分析，将不同因素的影响定量化，最终形成综合判断。
二、分析法分析法是通过对现象的分解、逐一研究，从而对复杂问题的本质和规律进行探讨的方法。
分析法的主要特点有：1. 逐一分解：分析法要求对问题进行逐层逐一的分解，从整体到局部，从细微到粗大地深入研究每个问题。
2. 重点着眼：分析法要求对问题的各个方面着重研究，找到问题的关键和症结所在，从而能够深刻理解问题。
3. 系统性：分析法在进行研究时需要具有系统性，从不同的角度对问题进行分析，形成全面、系统的认识。
分析法主要包括逐步分析法、归纳分析法、因果分析法等。
在实际应用中可以通过对数据的分解、对问题的逐步归纳等方法进行具体操作。
举例而言，在生产管理中，如果要分析一个生产环节中出现的问题，可以采用分析法。
综合法与分析法
变题：
已知 a,b, c R，且 a b c 1
求证：(1)a2 b2 c2 1 ; 3
(2) a b c 3.
例2.如图，四棱锥 P ABCD中，
PC 平面ABCD, PC 2,
在四边形ABCD 中，点M 在PB上，
PB与平面ABC成 30 角.
（1）求证：CM // 面PAD; （2）求证：面PAB 面PAD.
其推证过程为：
结论 已知条件
特点：
从“未知”看“需知”，逐步靠拢 “已知”
3.直接证明 直接从原命题的条件逐步推得命题成立.
（综合法和分析法是直接证明的两种基本方法）
注：直接证明的一般形式为：
本题条件
已知定义 已知公理
⇒
A⇒
B⇒
C
已知定理
⇒ 本题结论
例1:如图，已知AB,CD相交于点O, △ACO≌△BDO,AE=BF, 求证：CE=DF
求证:
1 - tan2α= 1 - tan2β . 1 + tan2α 2(1 + tan2β)
练习1:平行四边形ABCD中，AE⊥BD,垂足为E,
CF⊥BD,垂足为F, 求证：AE=CF
D
E
C
F
A
B
练习2:求证： 3 - 2 > 6 - 5
练习3:设a,b为互不相等的正数，且a+b=1, 证明：1 + 1 > 4
复习
1.推 理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳
(特殊到一般）
类比 （特殊到特殊）
三段论 （一般到特殊）
两种推理的作用?
合情推理为演绎推理确定了目标和方向
高中数学知识点精讲精析 综合法与分析法
4.3.2综合法与分析法1．综合法利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出定理1 如果a,b R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b 时取"="号) 证明:a2+b2-2ab=(a-b)2≥0 当且仅当a=b 时取等号.所以 a2+b2≥2ab(当且仅当a=b 时取等号).定理2 如果a,b,c R+,那么a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c 时取"="号) 证明:∵a3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac) =(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0 ∴ a3+b3+c3≥3abc,很明显,当且仅当a=b=c 时取等号.用综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，2．分析法从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一"充分的"条件,为此逐步往前追溯(执果索因),一直追溯到已知条件或一些真命题为止.例如要证a2+b2≥2ab 我们通过分析知道,使a2+b2≥2ab 成立的某一"充分的"条件是a2-2ab+b2≥0,即(a-b)2≥0就行了.由于是真命题,所以a2+b2≥2ab 成立.分析法的证明过程表现为一连串的"要证……,只要证……",最后推至已知条件或真命题证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定用分析法证明不等式的逻辑关系是：12n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐分析法的书写格式： 要证明命题B 为真，只需要证明命题1B 为真，从而有…… 这只需要证明命题2B 为真，从而又有…… ……这只需要证明命题A 而已知A 为真，故命题B 1．已知a 、b 、c 都是正数，求证：＋>证明：观察原不等式中含有a 2+ab +b 2即a 2+b 2＋ab 的形式，联想到余弦定理：c 2=a 2+b 2-2ab •CosC ,为了得到a 2+b 2＋ab 的形式,只要C =120°，这样：可以看成a 、b 为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边可以看成b 、c 为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边 可以看成a 、c 为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边构造图形如下，AB =, BC =, AC =显然AB +BC >AC ，故原不等式成立。
《综合法和分析法》(上课用)
[解析] 当 a＋b≤0 时，∵ a2＋b2≥0， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立． 当 a＋b＞0 时， 用分析法证明如下： 要证 a2＋b2≥ 22(a＋b)， 只需证( a2＋b2)2≥[ 22(a＋b)]2.
即证 a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
[点评] (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性 质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
(2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步 寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证) 的不等式；
(3) 用 分 析 法 证 明 数 学 命 题 时 ， 一 定 要 恰 当 地 用 好 “ 要 证”、“只需证”、“即证”等词语．
2．综合法的基本思路 用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法的推理形式为 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q 其逻辑依据是三段论式演绎推理．
思路方法技巧 命题方向 综合法的应用
[例 1] 已知 a，b 是正数，且 a＋b＝1， 求证：1a＋1b≥4.
[分析] 注意到条件 a＋b＝1，可在待证式中进行 1 的代 换(或利用字母之间的倒数关系，将待证式左边乘以 1，即乘以 (a＋b)变形后用基本不等式证明．也可以先将 a＋b＝1 利用基 本不等式转化为 ab的不等式，再看待证式能否向 ab(或 ab) 转化．
[证明] 解法一：∵a，b 是正数且 a＋b＝1， ∴a＋b≥2 ab，∴ ab≤12，∴ab≤14，a1b≥4. ∴1a＋1b＝a＋ abb＝a1b≥4.
综合法和分析法
综合法和分析法综合法和分析法在研究学科领域中是两种常见的研究方法。
综合法是指通过对各种不同的材料、数据和观点进行整合和综合，以便从中得出全面的结论和理解。
分析法则是通过对研究对象的各个方面进行分解，研究其组成部分以及它们之间的关系，以便深入分析和理解问题。
综合法在研究领域中被广泛运用，具有很高的可靠性和适用性。
通过综合不同的材料和观点，我们可以从多个角度对问题进行分析和解释，以提供更全面的研究结果。
综合法注重整体性思维，能够考虑到问题的各个方面，并找到它们之间的联系和共同点。
这种方法还可以帮助我们发现问题的不足之处，并提出改进和优化的建议。
然而，综合法也存在一些限制和挑战。
首先，由于需要处理大量的材料和观点，综合法可能会非常耗时和繁琐。
其次，由于材料和观点的多样性，可能存在信息的冲突和矛盾，这需要我们在整合的过程中面对和解决。
最后，综合法需要研究人员具备较高的分析和综合能力，以便处理和整合各种不同的信息和观点。
相比之下，分析法注重研究对象的细节和内部结构。
通过对研究对象进行分解和分析，我们可以更深入地了解其组成和特征，并揭示其内在的规律和原理。
分析法强调的是逐步推导和推理，通过分析对象的各个方面来得出结论和解释。
这种方法通常用于对复杂问题的解析和深入研究，能够帮助我们更好地理解问题的本质和内在机制。
然而，分析法也有一些局限性。
首先，由于分析法强调细节和局部，可能会忽视整体的视角和综合的信息。
其次，分析法可能会产生过于复杂和抽象的结论，这可能会使得解释和应用变得困难。
最后，分析法需要研究人员具备扎实的专业知识和技术背景，以便进行准确和有效的分析。
在实际研究中，综合法和分析法通常会结合使用，以取长补短。
综合法可以帮助我们从多个角度全面地了解问题，而分析法则可以帮助我们深入研究问题的细节和内部结构。
这种综合运用可以提高研究的可靠性和有效性，以得出更准确和全面的结论。
综合法和分析法作为两种研究方法，具有各自的优势和限制。
综合法和分析法
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
法三 1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2 当 a＝b 时，取“＝”号．
ba·ab＝4.当且仅
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型二 分析法的应用 【例 2】 设 a，b 为实数，求证： a2＋b2≥ 22(a＋b)．
[思路探索] 题目条件要求使用分析法证明不等式，只需要注 意分析法证明问题的格式即可．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型一 综合法的应用 【例 1】 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n
∈N*)，其中 m 为常数，且 m≠－3. (1)求证：{an}是等比数列； (2)若数列{an}的公比 q＝f(m)，数列{bn}满足 b1＝a1，bn＝32f(bn －1)(n∈N*，n≥2)，求证：b1n为等差数列．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
3．分析法 (1)定义：一般地，从要证明的 结论出发 ，逐步寻求使它成立 的 充分条件 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显 成立的条件(已知条件 、 定理 、 定义 、 公理 等)为止，这种 证明方法叫做分析法． (2)框图表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示 为：
＋2 c·a＋2 c> a2b2c2＝abc.(10 分) 即a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c>abc 成立． ∴logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c<logxa＋logxb＋logxc 成立．(12 分)
课前探究学习
课堂讲练互动
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
综合法和分析法
综合法和分析法
一、综合法
1、一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。
2、综合法的思维方向是”，即由已知条件出发，逐步推出其必要条件（由因导果），最后推导出所要证明的结论成立，故综合法又叫顺推证法或由因导果法．综合法的依据：已知条件以及逻辑推理的基本理论，在推理时要注意：作为依据和出发点的命题一定要正确．
二、分析法
1、 1、一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法。
2、分析法的思维特点是：执果索因；分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故命题B必为真。
3、用分析法证明的模式：
用分析法证：为了证明命题B为真，这只需证明命题B，为真，从而有……这只需证明命题B：为真，从而有……这只需证明命题A为真．而已知A为真，故B必真．可见分析法是”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法。
特别提醒：当命题不知从何人手时，有时可以运用分析法来解决，特别是对
于条件简单而结论复杂的题目，往往更是行之有效．用分析法证明时，往往在最后加上一句步可逆，这无形中就出现了两个问题：①分析法证明过程的每一步不一定”，也没有必要要求”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件；②如果非要”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只适用于证明等价命题了，但是，只要我们搞清了用分析法证明问题的逻辑结构，明确四种命题之间的关系，那么用分析法证明不等式还是比较方便的。
综合法和分析法
x 3 x 2
x 4,
2
展开得 2x 5 2 x 1 x 4 2x 5 2 x 3 x 2, 即
x 1 x 4 x 3 x 2 ，
2 2
只需证 x 1 x 4 x 3 x 2 ， 即证x2-5x+4<x2-5x+6,即4<6，这显然成立. ∴当x≥4时， x 1
(4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R), (5)a+b+c,a2+b2+c2,ab+bc+ca这三个式子之间的关系，由 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)得出.三式中已知两式，
第三式即可由设等式用另两式表示出来.
例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别 为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数 列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
2 2
练习:当x≥4时，证明： x 1 x 2 证明:欲证 只需证 即证
x 3 x 4.
x 1 x 2 x 3 x 4 (x≥4)，
x 1 x 4 x 3 x 2 x 4 ，
x 1 x 4
2 B A C 证明： B 3 A B C
b ac a c 2ac cos B ac
2 2 2
a 2ac c 0 a c
2 2
∴△ＡＢＣ为等边三角形．
练习：在锐角三角形中，A、B、C为三角形内角，求证： sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
综合法与分析法
综合法与分析法的概念 (1)综合法： 一般地，从_已__知__条__件__出发，利用定义、公理、定理、性质 等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法 叫做综合法.综合法又叫_顺__推__证__法__或_由__因__导__果__法__.
(2)分析法： 证明命题时，从_要__证__的__结__论__出发，逐步寻求使它成立的_充__分__ _条__件__，直至所需条件为_已__知__条__件__或_一__个__明__显__成__立__的__事__实__(定 义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成 立，这种证明方法叫做分析法，这是一种_执__果__索__因__的思考和 证明方法.
用综合法证明不等式
综合法证明不等式的方法 (1)综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系， 为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差 异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的 关键.
(2)综合法证明不等式所依赖的已知不等式主要有如下几个：
①a2≥0(a∈R)；②(a-b)2≥0(a,b∈R),其变形有
只需证
a b2
a b2
a b 2 ab
,
4a
4b
即证： (a b)2 a b 2 (a b)2,
2a
2b
只需证
ab a b ab,
2a
2b
即证：
a b 1 a b，
2a
2b
即 b 1 a,
a
b
只需证 b 1 a .
ab
∵a>b>0, b 1 a 成立.
ab
a2 b2 2ab,(a b)2 ab，a2 b2 1 a b2；
2
分析与综合法
AD BD
1
4．前进型分析法 这种分析法，其思路是从整体物中已经成立的某 一部分出发，运用已有的知识逐步寻找并扩展到 其它部分成立的条件，最终挺进到原事物成立的 必要条件，也就是原命题成立的必要条件。
数论常用的方法
例3 设在一个由实数组成的有限数列中，任意7个相继项的 和都是负数，而任意11个相继项的和都是正数，试问，这 样的数列最多能包含多少项。 解：从已经明确的部分出发，即（最小项） ∵a1+…+a7＜0，a1+a2+…+a11＞0， ∴a8+a9+…+a11＞0。（由已知：到11项是已成立的部分） 顺序往前推进，可得a11+a12+…+a14＞0，则有 a8+a9+…+2a11+…+a14＞0。 但∵ a8+a9+…+a14＜0，∴a11＞0。（从11进到14，得a11＞0） 用同样的方法，顺序往前推进，可得a12＞0，a13＞0，因 而a11+a12+a13＞0，(推至16项)但因为a11+a12+…+a17＜0， ∴a14+…+a17＜0。(考察17项) 另一方面，从a7+…+a17＞0及a7+…+a13＜0，可得 a14+…+a17＞0。与前矛盾，因此项数≤16。(从11前进到17项， 第17项不成立，故只能是≤16)
分析与综合法
一、分析法与数学解题的分析法 1、分析法：把研究的对象分为各个组成部分，各个不同的 因素、不同的层次，然后分别地加以研究探索，从而认识 和理解事物的一种方法，这是方法论中的分析法，也是数 学思想方法中的分析法。 2、数学解题中的分析法： 指从结果追溯到其产生的原因的思维方法，它是从所需要 论证的结论出发，以一系列的已知定义、定理为依据逐步 逆推，从而达到已知条件（也叫执果索因）
综合法和分析法
从已知条件和某些数学定义,定理,公理等出发,经过一系列推理 论证,最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.
例:已知a, b 0, 求证:a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) 4abc
证明 : b 2 c 2 2bc, a 0 a (b 2 c 2 ) 2abc. 同理, b(c 2 a 2 ) 2abc. a (b 2 c 2 ) b(c 2 a 2 ) 4abc.
得到一个明显 成立的条件
S
E A
F
C B
用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表 示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:
P P1 P1 P2 …
Pn-1 Qm-1 Pn Qm
… Q1 Q 2
Q
Q1
用P表示已知条件,已有的定义,定理,公理等.Q表 示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3
…
Qn
Q
例3 ABC中, 三个内角A,B.C对应的边分别为a,b,c. 且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列, 求证 ABC为等边三角形.
0 A C 2 B B 60 (为什么?) 分析 :由A,B,C成等差数列可得什么?
由a,b,c成等比数列可得什么? b2 ac
怎把边,角联系起来?
余弦定理 : b2 a2 c2 2ac cos B
文字语言 学会语言转换
找出隐含条件
图形语言
符号语言
2.分析法.(逆推证法)(执果索因法)
从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充 分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判 定一个明显成立的条件(已知,定理,定义,公 理等).这种证明的方法叫做分析法.
分析和综合法
分析和综合法
分析法：分析是把整体分解为部分，把复杂的事物分解为简单要素分别加以
研究的一种思维方法。
分析的任务是从事物或现象的总体中，分出构成该事物或现象的部分、要素和属性，使事物的各种届性和本质清晰地呈现在人们的面前。
客观对象是多种质的复杂统一体，或者说是多种规定的复杂统一体。
人们为了从总体上把握复杂事物的本质，必须首先把统——体的各个部分、各种要素暂时地割裂开来，把被考察的因素从统一体中暂时抽取出来，暂时孤立起来．以便让它单独地起作用。
分析方法在认识中的作用首先表现在：它能把复杂的事物简单化，为下—步研究提供便利条件；其次，它使人们对事物的认识易于深化、易于揭尔事物的本质和规律。
分析的方法也有它的局限性：由于它着眼于局部的研究，就可能将人的眼光限制在狭隘的领域里，把本来互相联系的东西暂时割裂开来考察，也容易造成一种孤立、片面地看问题的习惯。
综合法：综合，就是在思想巾把对象的各个部分、各个方面和各种因素
联结起来考虑的一种思维方法。
综合力法在认识中的作用在于：首先，综合方法能全面地、本质地、深刻地揭示事物自身及一事物和另一事物的联系，使人们对各种事物有一个全面的本质的正确认识；其次．综合的认识优于分析的地方，在于它恢复并把握了事物本来的联系和中介、克服了分析给人的眼光造成的局限，把分析得出的片断、分散、余乱的资料鲜过综合，形成理论和理论体系，出而就能揭示出事物在共分割状态下不留显现出来的特性。
2.2.1综合法和分析法
分析法 又叫逆推证法或执果索 . , 因法
用Q表示要证明的结论 则分析法可用框图表示 : , 为
Q P1
P1 P2
P2 P3
得到一个明显 成立的条件
例 2 如图 2.2 1 所示 , SA 平面ABC, AB BC, 过A作SB 的垂线, 垂足为E , 过E作SC的 垂线, 垂足为F.求证 AF SC.
a,b, c成等比数列转化为符号语言就是 ac. , b 此时,如果能把角和边统一起 ,那么就可以进一 来 步寻找角和边之间的关 , 进而判断三角形的形 系 状, 余弦定理正好满足要求 .于是,可以用余弦定理 为工具进行证明 .
2
证明 由A,B, C成等差数列有2B A C. , 因为A,B, C为ΔABC的内角 所以A B C π. , π 由 ① ②, 得B . 3 2 由a,b, c成等比数列有b ac. ,
1 即证 cos α sin α cos2 β sin2 β , 2 1 2 即证1 2 sin α 1 2 sin2 β , 2 即证4 sin2 α 2 sin2 β 1.
2 2
由于上式与③ 相同,于是问题得证.
用P表示已知条件定义、定 理、公理 等 , 用Q 表示要证明的结论 则上述过 , 程可用框图表示为:
π 例3 已知α, β kπ k Z , 且 2 sin θ cos θ 2 sin α , ① sin θ cos θ sin β ,
2 2 2
②
1 tan α 1 tan β 求证 : . 2 2 1 tan α 2 1 tan β
分析法与综合法
分析法与综合法一、分析法与综合法的定义1、定义所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法． 分析法的思维全貌可概括为下面形式： “结论需知1需知2…已知”．所谓综合法，是指“由因导果”的思维方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法．综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式： “已知可知1可知2…结论”．二 、例题赏析例1、已知：a b ∈R ，，且a b ≠，求证：3322a b a b ab +>+．证明一：（分析法）要证3322a b a b ab +>+， 即证22()()()a b a ab b ab a b +-+>+， 因为0a b +>，故只需证22a ab b ab -+>， 即证2220a ab b -+>， 即证2()0a b ->， 因为a b ≠，所以2()0a b ->成立， 所以3322a b a b ab +>+成立．证明二：（综合法）由a b ≠，知2()0a b ->，即2220a ab b -+>，则22a ab b ab -+>．又0a b +>，则22()()()a b a ab b ab a b +-+>+，即3322a b a b ab +>+．实际证题过程中，分析法与综合法往往是结合起来运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是比较少的．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相反，综合法居主导地位，而分析法伴随着它．特别是，对于那些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠拢“已知”，都有一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难．为保证探索方向准确及过程快捷，人们又常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标．从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径．上面所言的思维模式可概括为如下图所示：综合法与分析法是逻辑推理的思维方法，它对于培养思维的严谨性极为有用．把分析法与综合法两者并列起来进行思考，寻求问题的解答途径方式，就是人们通常所说的分析、综合法．下面举一具体例子加以说明：例2、若a b c ，，是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg lg lg 222a b b c c aa b c +++++>++． 证明：要证lglg lg lg lg lg 222a b b c c aa b c +++++>++ 只需证lglg()222a b b c c aa b c +++>， 只需证222a b b c c aabc +++>． 但是，02a b ab +>≥，02b c bc +>≥，02c aca +>≥． 且上述三式中的等号不全成立，所以222a b b c c aabc +++>．因此lg lg lg lg lg lg 222a b b c c aa b c +++++>++． 注：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法．例3、例1 如图1，在四面体A VBC -中，60VA VB VC AVB AVC ==∠=∠=，，90BVC ∠=，求证：平面VBC ⊥平面ABC ．分析：要证面面垂直需通过线面垂直来实现，可是哪一条直线是我们所需要的与平面垂直的直线呢？ 我们假设两平面垂直已经知道，则根据两平面垂直的性质定理，在平面VBC 内作VD BC ⊥，则VD ⊥平面ABC ，所以VD 即为我们所要寻找的直线． 要证明VD ⊥平面ABC ，除了已知的VD BC ⊥之外，还需要在平面ABC 内找一条直线与VD 垂直，哪一条呢？ 假设已知知道VD ⊥平面ABC ，则VD 与平面ABC 内的任意直线均垂直，即必有VD AB VD AC ，⊥⊥，但这两个垂直的证明较难入手，还有其他的直线吗？连结AD 呢？假设已经知道VD ⊥平面ABC ，则必有VD AD ⊥．通过计算可得到90VDA ∠=，原题得证．证明：设BC 的中点为D ，连结VD AD ，，因为VB VC =，所以VD BC ⊥；设1VA VB VC ===，因为6090AVB AVC BVC ∠=∠=∠=，，所以2122AB AC BC VD AD =====，，，所以90VDA ∠=，即VD AD ⊥，又已知AD BC D =，所以VD ⊥平面ABC ，又VD ⊂平面VBC ，所以平面VBC ⊥平面ABC ．例4、如图2，在长方体1111ABCD A BC D -中， 证明：平面1A BD ∥平面11CB D ．分析：要证明两平面平行，需在一平面内寻找两条相交直线与另一平面平行．假设两平面平行已知，则一个平面内的任意直线均与另一个平面平行，所以有11A B A D BD ，，均与平面11CB D 平行，选择任意两条均可，不妨选择11A B A D ，．要想证明11A BA D ，与平面11CB D 平行，需在平面11CB D 内寻找两条直线分别与11A B A D ，平行，假设11A B A D ，与平面11CB D 平行已知，则根据线面平行的性质定理，过1A B 的平面11A BCD 与平面11CB D 相交所得的交线1CD 与1A B 平行；过1A D 的平面11A DCB 与平面11CB D 相交所得的交线1B C 与1A D 平行．11CD B C ，即为所要寻找的直线．从而易知11CD B C ，分别与11A BA D ，平行，原题得证． 证明：因为1111ABCD A BC D -为长方体，所以有11A D BC ∥，即四边形11A BCD 为平行四边形，从而有11AB CD ∥，又已知1A B ⊄平面111CB D CD ⊂，平面11CB D ，进而有1A B ∥平面11CB D ；同理有11A D BC ∥，从而有1AD ∥平面11CB D ；又已知111A B A D A =，所以有平面1A BD ∥平面11CB D ．从上面的两例可以看出，分析法的基本思路是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．同学们可以在学习过程中，沿着这样的解题思路，亲自体验一下分析法在立几证明中的妙用.例4、 设A 、B 、C 是双曲线xy=1上的三点，求证：△ABC 的垂心H 必在此双曲线上．分析：如图1－1，设H 的坐标为(x 0，y 0)，要证H 在此双曲线上，即证x 0y 0=1．而H 是两条高AH 与BH 的交点，因此需求直线AH 、BH 的方程，进而从所得方程组中设法推出x 0y 0=1．α，证明:如图1－1，由已知可设A、B、C的坐标分别为()β设点H的坐标为(x0，y0)，则由①式左乘②式右及①式右乘②式左，得化简可得x0y0(α-β)=α-β．∵ α≠β，∴x0y0=1．故H点必在双曲线xy=1上．解说:本证法的思考过程中，从分析法入手，得出证点H在双曲线xy=1上就是证x0y0=1．这为综合法证明此题指明了目标．在用综合法证明的过程中，牢牢抓住这个目标，去寻找x0、y0的关系式，用式子①与②相乘，巧妙地消去参数α、β、γ，得到x0y0=1．从而避免了解方程的麻烦，提高了解题速度．练习：1、设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ） A ．22- B ．335-C ．－3D ．27-2、．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ）Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．不确定3．观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n ++++<+≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -++++<≥ Ｄ．22211121(2)2321n n n n ++++<+≥ 4、已知实数0≠a ，且函数)12()1()(2ax x a x f +-+=有最小值1-，则a =__________。
2.2.1综合法和分析法
1、 求 证 ： cos sin cos 2 2、 已 知 tan sin a , tan sin b 求 证： （a b ) 16ab
2 2 2
4
4
3、 已 知a , b, c R , a b c 1 1 1 1 求 证（ ： 1)( 1)( 1) 8 a b c
3 7 2 5成立
反思
在本例中，如果我们从“21<25”出发， 逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但 由于我们很难想到从“21<25”入手，所以 用综合法比较困难.
• [点评] • (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、 已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论； • 2）分析法证明思路为：从求证的结论出发，逐步 寻求使结论成立的充分条件，直至把证明的结论 归结为一个明显成立的条件即可。 • (3) 用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好 “要证”、“只需证”、“即证”等关联词语．
a+b 练习：证明不等式： 2
ab
(a>0,b>0).
综合法
证法1:
因为;( a b ) 0
2
a+b 证法2:要证; ab 2 只需证;a + b 2 ab
分析法
所以 a + b 2 ab 0 所以 a + b 2 ab
a+b ab 成立 所以 2
只需证;a + b 2 ab 0
课堂小结
1.在数学证明中，综合法最常用的数学方法，若从已 知入手能找到证明的途径，则用综合法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，在解题表述 中要注意语言的规范性和逻辑性.
综合法与分析法
定义： 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每
一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判 定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止， 这种证明的方法叫做分析法（逆推证法）。特点：执果索因
分析法的框图表示：
Q⇐P1 ―→ P1⇐P2 ―→ P2⇐P3 ―→…―→ 得到一个明显成立的条件
2.函数 f(x)＝xlo|xg|a|x|(0<a<1)的图象大致是
中物理
解析 取 a＝12，当 x＝2 时，f(2)＝－1<0，排除 A，B； 当x＝－2时，f(－2)＝1>0，排除D，故选C.
3.设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，a＋b＝2，则必有
a2＋b2 A.1≤ab≤ 2
√ a2＋b2
P⇒Q1 ―→ Q1⇒Q2 ―→ Q2⇒Q3 ―→…―→ Qn⇒Q
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表 示所要证明的结论.
1.从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，其 逐步推理实质上是寻找它的 必要条件 . 2.用综合法证明不等式，其证明步骤严谨、逐层递进、条理清晰、 形式简洁.
综合法 分析法
综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方 法，也是解决数学问题时常用的思维方式.
不等式：a
+ 2
b
ab (a>0,b>0)的证明.
运用以前学过的数学知识，大家自己证明试试看！
证明:
∵ ( a b)2 0
∴ a + b 2 ab 0
∴ a + b 2 ab
∴
a+b 2
ab
又∵ c2+b2 ≥ 2bc,b>0 ∴ b(c2+a2) ≥ 2abc.
综合法分析法
授益教育综合法与分析法做任何事情都要讲究方法。
方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半。
解答数学问题，关键也在于掌握思考问题的方法，少走弯路，以尽快获得满意的答案（1）综合法运用综合法解决问题时，我们的思路是：分析题中给出的已知条件，考虑根据这些条件能求得出什么，再根据这些求出的条件考虑还能求得什么。
这样逐步推导，直到推出题目要求的物理量，完成题目的求解。
这样一个从已知推到未知的科学思维方法叫综合法。
综合法的思维过程的流程图：已知量经验`规律`定理中间待求量待求量用途：①读题。
使心态变从容。
②没有思路时，面对“卡壳”时，“走一步，算一步”。
用来寻找思路。
注意：题目中出现的数据99%都是有用的，如果题目中还有一个条件没有用，那这个条件就是本题的突破口。
（2）分析法分析题目要求的问题，考虑要解决这些问题，需要哪些量，又需要求得什么。
就这样逐步向前推导，直到最后求出我们需要的量。
然后将推导的步骤反过来写，就完成了题目的求解。
这样一个将未知推演还原为已知的科学思维方法就叫分析法。
分析法的思维过程的流程图：待求量中间待求量已知量用途：用来寻找思路。
总结：综合法是我们在已经储存了大量的知识，积累了丰富的经验的基础上所用的一种方法，其优点是叙述起来简洁、直观、条理、清楚，综合法可使我们从已知的知识中进一步获得新知识分析法是一种从未知到已知的逻辑推理方法．在探求问题的证明时，它可以帮助我们构思，因而在一般分析问题时，较多地采用分析法，只是找到思路后，往往用综合法加以叙述，正如恩格斯所说“没有分析就没有综合”。
两种方法同时运用，前后夹击，攻克题目。
分析法、综合法
分析法和综合法分析与综合都是思维的基本方法，无论是研究和解决一般问题，还是数学问题，分析和综合都是最基本的具有逻辑性的方法。
分析与综合本是两种思想方法，但因二者具有十分密切的联系，因此把二者结合起来阐述。
1. 分析法和综合法的概念。
分析是把研究对象的整体分解为若干部分、方面和因素，分别加以考察，找出各自的本质属性及彼此之间的联系。
综合是把研究对象的各个部分、方面和因素的认识结合起来，形成一个整体性认识的思维方法。
分析是综合的基础，综合是分析的整合，综合是与分析相反的思维过程。
在研究数学概念和性质时，往往先把研究对象分解成几个部分、方面和要素进行考察，再进行整合从整体上认识研究对象，形成理性认识。
实际上教师和学生都在经常有意识和无意识地运用了分析和综合的思维方法。
如认识等腰梯形时，可以从它的边和角等几个要素进行分析：它有几条边？几个角？四条边有什么关系？四个角有什么关系？再从整体上概括等腰梯形的性质。
数学中的分析法一般被理解为：在证明和解决问题时，从结论出发，一步一步地追溯到产生这一结论的条件是已知的为止，是一种“执果索因”的分析法。
综合法一般被理解为：在证明和解决问题时，从已知条件和某些定义、定理等出发，经过一系列的运算或推理，最终证明结论或解决问题，是一种“由因导果”的综合法。
如小学数学中的问题解决，可以由问题出发逐步逆推到已知条件，这是分析法；从已知条件出发，逐步求出所需答案，这是综合法。
再如分析法和综合法在中学数学作为直接证明的基本方法，应用比较普遍。
因此，分析法和综合法是数学学习中应用较为普遍的相互依赖、相互渗透的思想方法。
2. 分析法和综合法的重要意义。
大纲时代的小学数学教育，比较重视逻辑思维能力的培养，在教学过程中重视培养学生的分析、综合、抽象、概括、判断和推理能力，其中培养学生分析和综合的能力、推理能力是很重要的方面，如在解答应用题时重视分析法和综合法的运用，也就是说可以先从应用题的问题出发，找出解决问题需要的条件中哪些是已知的、哪些是未知的，未知的条件又需要什么条件解决，这样一步一步倒推，直到利用最原始的已知条件解决。
综合法和分析法
一、复习：
推理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳
类比
三段论
(特殊到一般） （特殊到特殊）（一般到特殊）
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的 重要思维过程.
数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.
问题 1：已知 a, b 0 ，求证：a(b2 c2 ) b(c2 a2 )≥ 4abc
2
只要证 0 ≤ ( a b )2
因为最后一个不等式成 立，故结论成立。
综合法
分析法
表达简洁!
目的性强,易于探索!
练一练：
1、求证： 6 7 2 2 5
2、求证： a a 1 a 2 a 3(a 3)
3、已知1 tan a 1,求证：3sin 2a 4cos2a 2 tan a
综合法的特点:由因导果
分析法的特点：执果索因.
上联：由因导果，顺藤摸瓜 下联：执果索因，逆推破案 横批：得心应手
ab ≤ a b (a 0,b 0)? 指出其中的证明方法的特点. 2
证法1:对于正数a,b, 有
（ a b）2 ≥ 0
证法2:要证 ab ≤ a b 2
只要证 2 ab ≤ a b
a b 2 ab ≥ 0 只要证 0 ≤ a 2 ab b
a b ≥ 2 ab a b ≥ ab
象这种利用已知条件和某些数学定义、公 理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推 导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综 合法.(又称顺推证法)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
当 a b 时，a m a ;
bm b
当a b 时，a m a ;
bm b
已知a＞1，求证： a 1 a 1 2 a 证明：∵a＞1 ∴a+1＞0 a-1＞0
要证
a1 a1 2 a
只需证
2
2
a1 a1 2 a
综合法和分析法有什么区 别和联系？
1、综合法是由因导果，而分析法是执果索因，它 们是截然相反的两种证明方法. 分析法的证明过程， 恰好是综合法的分析、思考的逆过程。 2、分析法是逆向思维，综合法表述简单，在解决 实际问题时，往往采用分析法探思路，综合法书写 过程。
例3 已知， k (k z)
同理, b(c2 a2 ) 2abc. a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) 4abc.
从已知条件和某些数学定义,定理,公理等出发,经过 一系列推理论证,最后推导出所要证明的结论成立的 证明方法.
若用P表示已知条件、已有的定义、定理、 公理等.Q表示所要证明的结论,则综合法可 用框图怎样表示?
2、利用哪个知识点可以沟通两个 数的平方和与这两个数的积的不等关系？
基本不等式
3、若已知a＞0，b＞0，如何证明 这个不等式呢？
a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) 4abc
例:已知a,b 0,求证:a(b2 c2) b(c2 a2) 4abc
证明: Q b2 c2 2bc, a 0 a(b2 c2 ) 2abc.
b2 ac
怎样把边,角联系起来?
余弦定理: b2 a2 c2 2ac cos B
探究（二）：分析法
4、对于不等式 a b ab (a、b 0) 2
若证该不等式成立，只要证明什么？
只需证 a b 2 ab
只需证 a+b-2 ab 0
等式立.
若用Q表示所要证明的结论，则分析法的 推理过程用框图可怎样表示？
Q P1 P1 P2 P2 P3 …
得到一个明显 成立的条件
分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”。
例2. 求证：. 3 7 2 5
证明：因为 3 7 和2 5 都是正数， 所以为了证明 3 7 2 5
只需证明 ( 3 7)2 (2 5)2 展开得 10 2 21 20
即2 21 10, 21 5, 21 25
因为21 25成立，
所以（ 3 7）2 (2 5)2 成立，
即证明了 3 7 2 5
例2. 求证. 3 7 2 5
证法二
Q 21 25，
21 5,
2 21 10,
即 10 2 21 20
( 3 7)2 (2 5)2
3 72 5
2
sin c os 2 sin sin c os sin 2
求证：
1 tan2 1 tan2 1 tan2 2(1 tan2 )
用P表示已知条件,定义,定理,公理等, 用Q表示要证的结论,则上述过程可用 框图表示为:
Pn P’
P P1 P1 P2 …
Q’ Qm … Q2 Q1 Q1 Q
只需证
(a b)2
(a b)2
a b 2 ab
4a
4b
即证 (a b)2 ( a b)2 (a b)2
2a
2b
即证 1 b 2 1 a
a
b
即证
b 1 a
a
b
由已知a>b>0,，可知上式显然成立
所以原命题成立
例6:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂 足为F,求证 AF⊥SC S
即证 a 1 2 a2 1 a 1 4a
即证
a2 1 a
即证 -1＜0 （成立） 所以原不等式 a 1 a 1 2 a 成立
1.在数学证明中，综合法和分析法是
两种最常用的数学方法，若从已知入手 能找到证明的途径，则用综合法，否则 用分析法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条件， 分析法的每步推理都是寻找充分条件， 在解题表述中要注意语言的规范性和逻 辑性.
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
已知 a, b, m 都是正数，并且a b, 求证 a m a
bm b
证明： ∵ a,b, m 都是正数， 为了要证明 a m a bm b
只需证明 (a m)b a(b m)
即 ab bm ab am
即 bm am 因此，只需证明 b a
因为b a成立， 所以 a m a 成立 bm b
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
…
Qn Q
综合法又叫“顺推证法”或“由因导果 法”。
例1、ABC 中，三个内角A,B,C对应的边分 别为a,b,c，且A,B,C成等差数列，a,b,c成
等比数列 .求证 ABC为等边三角形。
分析： 由A,B,C成等差数列可得什么？
A C 2B
B
3
由a，b，c成等比数列可得什么？
3.综合法和分析法是两种互逆的思维模 式，在证明某些较复杂的问题时，常采 用分析综合法，用综合法拓展条件，用 分析法转化结论，找出已知与结论的连 结点.
作业：
P89练习：1，2，3.
再 见
已知a>b>0,求证
(a b)2 a b
(a b)2
ab
8a
2
8b
证明：由于a>b>0,，要证原不等式成立
由于 ( a b)2 0 显然成立，反推 回去即得原不等式成立.其中上述各 步推理中所寻求的条件是充分条件， 还是必要条件？
充分条件
从证明的结论出发,逐步寻求使它成立 的充分条件,直至最后,把要证明的结论 归结为判定一个明显成立的条件(已知, 定理,定义,公理等).这种证明的方法叫做 分析法.
推理
合情推理
演绎推理
归纳
(特殊到一般）
类比
三段论
（特殊到特殊） （一般到特殊）
探究（一）：综合法 1、对于不等式
a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) 4abc
其左右两边的结构有什么特点？
右边是3个数a，b，c的乘积的4倍，左边 为两项之和，其中每一项都是一个数与 另两个数的平方和之积.