应用力学课件

F D 2W cos α F ix F Ax F D sin α 0 m A ( F i ) l F D cos α 2Wl 0 F Ax 2Wtanα ( F i ) l F Ay Wl 0 m D F Ay W
( F i ) 200 P 700 Q 800 R A 0 R A 20 kN
B
2)求圆轴CD截面之间的扭矩、画扭矩图和应力图。
T max 0.4 10 2 kN m 2
A C −
D

B τmax
T max 2kN∙m max Wt 3)画圆轴弯矩图和正应力图。
【例8-5】图示齿轮传动轴中，L=200mm，大、小齿轮 的节圆直径满足D1=2D2=200mm，两齿轮都是直齿， 压力角α＝20º ，作用在大齿轮上的主动力R1=2000N， 轴材料的许用应力[σ]=150MPa。不考虑剪力影响，按 第三强度理论设计轴的直径。
【解】1)对传动轴作受力分析
2）列平衡方程
B F
σ'
2)当梁上只有P作用时，其弯
a
A
P b B C σmin σ''
矩图和应力图为：
正应力：σ
M ( x) y Iz
Pab/(a+b)
A + C
3)F、P同时作用时正应力：

F M ( x) y A Iz
B
σ σmax
5)梁处于单向应力状
4)整个梁正应力在C截面上 下边缘取得极值：
【解】1)F单独作用下轴承受的最大正应力
max
N max 4 F d2 A
σmax
d
m F
m T max 2)m单独作用下轴 τ max 0. 2 d 3 承受的最大剪应力 Wt 3)F、m共同作用下单元体处于拉(压)与 τmax 剪切二向应力状态，其强度校核为
τmax
T
σ2 4 τ2 σ2 4 τ2 σ eq 3 max max
T
τmax
M max 2 kN m
max
M max Wz
A C
2kN∙m + D M B
σmin M
σmax
4)圆轴CD截面之间处于弯/扭组合变形状 态，处于二向应力状态。
σ τ
5)强度计算：
2 4 2 2 4 2 M m ax 4 T m ax eq 3 max max Wz Wt
由危险点的应力状态和构件材料选用合适的强度理 论进行强度计算。
注意：由于平面弯曲时横截面上的剪力引起的最大剪 应力一般远小于横截面上的正应力，也远小于扭矩引
起的最大剪应力，故在组合变形的应力计算中，若无
特别要求，由剪力引起的剪应力一般都可忽略，故在 作组合变形构件的内力图时剪力图一般不必画出。
§8-2 拉伸或压缩与弯曲组合
4F m 2 4 129 .6 MPa [σ ] 3 πd 0.2 d
2 2 2 2 σ eq 4 σ 3 τ σ max 3 τ max
2
2
τ
σ
4F m 2 3 112 .7 MPa [σ ] 3 πd 0.2 d 故该轴按第三强度理论校核不合格、按第四强度理论 校核合格。
2 2
2
2
M m ax T m ax 1 M 2 T 2 10 M 2 T 2 [ ] max max max max 4 3 2 Wz d Wz Wz
10 10 103 2 2 2 2 故d 3 M max T max 3 2 2 61 .8 mm [ ] 120 10 6
6)中性轴位置：
F M ( x) y σ 0 A Iz
即最大拉应力和最大压应
力均须满足强度条件。
F Iz y AM (x)
【例8-2】若图示AB梁的直径为 d，材料为塑性材料且其许用应 力为[σ]，确定许可载荷W。 【解】1）求AB梁的约束反力。
l
l D B W
FAx A
FAy α C C α
L FBz B D D2 R2 α x y FBx
3）求解
R 2 2 R1 4000 N F Bx 2 R 2 cos R1 sin 2277 .8 N 3 R1 cos 2 R 2 sin 285 .6 N F Bz 3 F Ax R 2 cos R1 sin F Bx 796 .9 N F Az R1 cos R 2 sin F Bz 796 .9 N
100 A RA Q C Q D P P RB P 500 200
200 B Q
【解】1)对圆轴作受力分析。
m
轴
( F i ) mC mD 100 Q 200 P 0 Q 2P 20 kN
m m
A
( F i ) 800 R B 600 P 100 Q 0 R B 10 kN
π d 3 [σ ] W 8d tan α 10πl
【例8-3】用应变片测得弹性模量为E的矩形截面杆上 下表面的轴向线应变分别为εa、 εb ，试求拉力P及其 偏心距e。
P
εa
P e z b P
e
【解】1）将P向轴线平移。
M e Pe
P Me
εb εa Me
2）由虎克定律得：
εb
Ebh( a b) a 1 P M e 1 P 6 Pe a A E bh b 2 P E E Wz h 2 b 1 P M e 1 P 6 Pe e h( a b) 6( a b) b E E A W z E bh b h2
h
§8-3 扭转与弯曲组合变形
一、扭转与弯曲组合变形的概念 轴同时受到扭转外力偶和横向外力作用时横截面上的
内力有扭矩和弯矩的组合变形。 二、例题
【例8-4】图示传动轴，两轮分别受力P、Q作用使系 统处于平衡状态。若已知P = 10 kN，轴材料的许用应 力 [σ] = 120 MPa。不计轮和轴的自重，试分别按第三 强度理论和第四强度理论设计轴的直径d。 400
5）画扭矩图和弯矩图 a)扭矩图
187.9N∙m + A C D B
b)弯矩图 y-x平面受力图
x
FAx
4）将轴（含轮）上所有外 力表示成x方向和z方向
R1x C
R2x
FBx
A
D
B
y
FAx＝796.9N，FAz＝796.9N， R1x＝684.0N，R1z＝-1879.4N，
y-x平面弯矩Mz图
455.6N∙m 159.4N∙m A C + D B
z L L F ix F Ax R1 sin R 2 cos F Bx 0 α C F iz F Az R1 cos R 2 sin F Bz 0 R1 m x ( F i ) L R1 cos 2 L R 2 sin 3L F Bz 0 FAz D1 m y ( F i ) D1 R1 cos D 2 R 2 cos 0 FAx A 2 2 m z ( F i ) L R1 sin 2 L R 2 cos 3L F Bx 0
一、拉伸或压缩与弯曲组合变形的概念 构件受横向力和纵向力共同作用或受纵向偏心外力作 用时横截面上有轴力和弯矩的组合变形。 二、例题 【例8-1】写图示简支梁的强 度条件并确定中性轴位置。
F A a C A F F + P b
B F
O y
z
【解】1)当梁上只有F作用 时，其轴力图和应力图为：
F 正应力：σ A
§8-4 拉伸(压缩)与扭转组合变形
一、拉伸(压缩)与扭转的组合变形的概念 构件受纵向力和扭转外力偶共同作用时横截面上的内 力有轴力和扭矩的组合变形。 二、例题
【例8-6】某轴承受的外力偶矩m=200N∙m，轴向载荷 F＝10kN。已知轴的直径d＝25mm，材料的许用应力 为[σ] = 120 MPa，按第三强度理论和第四强度理论校 核轴的强度。
2
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第八章 组合变形构件的强度
§8-1 概述 §8-2 拉伸或压缩与弯曲组合 §8-3 扭转与弯曲组合变形 §8-4 拉伸(压缩)与扭转组合变形
§8-1 概述
一、组合变形的概念 由两种或两种以上的基本变形组合而成的复合变形。 二、叠加原理（叠加法） 分析组合变形时，可先将外力进行简化或分解，把构 件上的外力转化成几组静力等效的载荷，其中每一组 载荷对应着一种基本变形。 分别计算每一组基本变形各自引起的应力、内力、应 变和位移，然后将所得结果叠加，便是构件在组合变 形下的应力、内力、应变和位移，这就是叠加原理。 三、关于叠加原理的几个注意事项
σ
max min
态，强度条件为：
a)塑性材料梁：
σ max F Pab [σ ] A ( a b) W z

F MC F Pab A Wz A ( a b) W z
b)脆性材料梁：
F Pab [σ t ] σ max t A ( a b) Wz σ max c F Pab [σ c ] A ( a b) W z
即：FDx= FDsinα=2Wtanα， FDy= FDcosα=2W
l l B W
2）画内力图。
2Wtanα
FAx A
轴力图：