微积分基本公式

x0 x
lim f ( ) x0
当x 0 时, x, 而 f ( x) 在[a, b] 上连续,
Φ( x) f ( x)
4
Φ( x) d
x
f (t)dt f ( x)
dx a
证 x (a, b) , Φ( x) f ( x) .
若x a , 取x 0, a x (a, b) ,
f (t)dt ,
则
x
F( x)
f
(ln
x)
1 x
f
1 x
1 x 2
1 x
f (ln x)
1 x2
f
1 x
10
例3 求下列极限.
x (arctant)2 dt
(1) lim 0
x
1 x2
分析：这是 型未定式，应用洛必达法则.
解
原式
(arctan x )2
lim
x
x
2
4
.
1 x2
的平面图形的面积.
y
解
A sin x dx
0
cosx 0
2.
o
x
23
1
例5 设 f (x)是连续函数, 且 f ( x) x 2 f ( x)dx , 0 求 f (x) .
解
设
1
f ( x)dx I ,
于是 f ( x) x 2I ,
0
两边在[0, 1]上积分,
1
1
1
0 f ( x)dx 0 x dx 2I 0 dx ,
11
例3 求下列极限.
x2 cos t 2 dt
(2) lim 0 x0 x sin x
分析：这是 0 型未定式， 0
等价无穷
x2 cos t 2 dt
解 原式 lim 0 x0
x2
小替换
2x cos lim
x4
limcos x4
1.
x0 2x
x0
12
例3 求下列极限.
1 et2 dt
(3) lim x0
cos x
x2
分析：这是 0 型未定式， 0
解 原式 lim ecos2 x ( sin x)
x0
2x
e cos2 x lim
1
.
x0 2
2e
13
例4 设 F( x) x2
x
f (t)dt ，其中 f ( x) 是连续函数,
xa a
则 lim F(x)
.
x a
x 2
x
f (t)dt
证 limF( x) lim a
x0
x
x
x x
x
lim a f (t)dt x f (t)dt a f (t)dt
x0
x
x x
lim x f (t)dt
x 0
x
3
y
x x
Φ( x) lim x f (t)dt
x 0
x
( x)
由积分中值定理得
o a x x x b x
Φ( x) lim f ( )x ( 在 x 与 x x 之间)
20
例1 求 2 (2cos x sin x 1)dx. 0
解
原式
(2 sin
x
cos
x
x)
2
0
3
2
.
例2
设
f
(x)
25x，，
0 1
x 1，求 x2
2
f ( x)dx .
0
y
解
2
1
2
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
0
0
1
1
2
0 2x dx 1 5dx
而 Φ(a) 0 , Φ(b) b f ( x)dx ， a b
所以 f ( x)dx Φ(b) Φ(b) Φ(a) a [F(b) C][F(a) C] F(b) F(a) .
一般把 F(b) F(a) 简记成F ( x) b . a
b f ( x)dx F ( x) b —牛顿—莱布尼茨公式
xa
xa x a
x
f (t)dt
a2 lim a
a2 lim f ( x)
xa x a
xa
a2 f (a) .
14
例5 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续,在(a, b) 内可导,且f ( x) 0 ,
记 F ( x) 1 x f (t)dt .证明:在(a, b) 内F ( x) 0 .
( x a) f ( x) 0 , 15
令 g( x) ( x a) f ( x)
x
f (t)dt ,
a
则 g( x) ( x a) f ( x) 0 ,
所以 g(x) 单调不增,
而 g(a) 0 , 故当 x (a, b) 时, g(x) g(a) 0 .
16
例5 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续,在(a, b) 内可导,且f ( x) 0 ,
§6.3 微积分基本定理
用定义求定积分实际上是行不通 的,下面介绍计算定积分的方法
原函数存在定理 牛顿-莱布尼茨公式
1
原函数存在定理
定理6.3 设函数f ( x)在[a, b]上连续, 则变上限积分
x
Φ( x) a f (t)dt
在[a, b]上可导, 且
Φ( x) d
x
f (t)dt f ( x), x [a, b]
证 设 Φ( x) x f (t)dt ，则 (x) f (t)dt Φ[( x)]，
a
a
所以
d
(x)
f (t)dt Φ[( x)]( x) f [( x)]( x) .
dx a
7
更一般地，设 ( x) ， ( x) 在[a, b] 上可导,则
d (x)
f (t)dt
dx ( x)
x2 1 5 6 . 0
o 12x
21
例3 求 1 cos 2x dx . 0
解
原式
2 | cos x |dx
0
/2
2 cos x dx 2 cos x dx
0
/2
2 sinx /2 2 sinx
0
/2
2 2.
22
例4 计算曲线 y sin x 在 [0, ]上与 x 轴所围成
原函数.
该定理告诉我们, 连续函数一定有原函数.
6
变限积分函数的求导：
d x f (t)dt f ( x) ，
dx a
d
b
f (t)dt
d
x f (t)dt f ( x) ，
dx x
dx b
设(x) 在[a, b]上可导,则
d
(x)
f (t)dt f [( x)]( x) .
dx a
xa a
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
令 g( x) ( x a) f ( x)
x
f (t)dt ,
a
则 g( x) f ( x) ( x a) f ( x) f ( x)
同上可证 Φ (a) f (a) ;
若x b , 取x 0, b x (a, b) ,
同上可证 Φ (b) f (b) . 证毕。
5
Φ( x) d
x
f (t)dt f ( x)
dx a
原函数存在定理 如果 f ( x) 在[a,b] 上连续，则变上限积分函数
x
Φ( x) f (t)dt 就是 f ( x) 在[a, b] 上的一个 a
即 I 1 2I , I 1 ，
2
2
f (x) x 1 .
24
练习：
P43~44 习题六(A) 5. (1),(4) 6. (2), (4),(6) 11. 13. 单数题
25
f ( x) sinx et2 dt , f ( x) esin2 x cos x ; 1
d x2 f (t )dt f ( x2 ) 2x .
dx a
d
x3
f (t)dt
f (x3)3x2
f (x2)2x .
dx x2
9
例2
设 f (x) 为连续函数, F(x)
ln x 1
一个原函数,则
b
a f ( x)dx F(b) F(a)
证 已知F( x)是 f ( x)的一个原函数，
又 Φ( x)
x
f (t )dt 也是f ( x) 的一个原函数,
a
Φ( x) F( x) C , x [a,b]
18
x
Φ( x) a f (t )dt , Φ( x) F( x) C ,
a
a
19
b f ( x)dx F ( x) b
a
a
上述公式通常称为微积分基本公式,它揭示了 定积分与不定积分之间的关系,给定积分的计算提 供了一种简便而有效的方法.
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分可用它的任 意一个原函数在区间 [a,b]端点上的值来表示.
注意 当a b时，上述公式仍成立.
(x a)2
)(
x
a)
f ( x) f ( ) ,
xa
而 f (x) 0 , f ( x) 单调不增, f (x) f ( ) ,
F(x) 0 ， x (a, b) .
17
6.2.2 牛顿—莱布尼茨公式
定理2 (微积分基本公式) 设函数 f ( x) 在[a, b] 上连续, F ( x) 是 f ( x) 的任意
dx a
x
Φ( x) a f (t)dt
y y f (x)
Φ( x)
oa
x
bx 2
Φ( x) d
x
f (t)dt f ( x) .
dx a
证 x (a, b) , 取x,使得 x x (a, b) ,
Φ( x) lim Φ( x x) Φ( x)
x0
x
x x
x
lim a f (t)dt a f (t)dt
记 F ( x) 1 x f (t)dt .证明:在(a, b) 内F ( x) 0 .
xa a
x
( x a) f ( x) f (t)dt
或证 F( x)
a
(x a)2
,
由积分中值定理， x f (t)dt f ( )(x a)， (a, x) a
F (
x)
(x
a)
f
( x) f (
f [ ( x)] ( x) f [( x)]( x) .
(x)
由
百度文库
f (t)dt
(x)
( x)
(x)
a f (t )dt a f (t)dt
即可得结论。
8
例1 求下列变限积分函数的导数.
f (x)
x
sint dt ,
f ( x) sin x ;
1
f ( x) 2 1 t 2 dt , f ( x) 1 x2 ; x