最新湘教版九年级数学上4.1正弦和余弦(3课时)ppt公开课优质教学课件
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湘教版九年级数学上册第4章4.1《正弦和余弦》精品PPT教学课件
AB DE
α
α
万向思维精品图书
∵ ∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E. 从而 sin B sin E, 因此 AC DF .
AB DE
由此可得，在有一个锐角等于 α的所有直角三
角形中，角 α的邻边与斜边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
万向思维精品图书 如图，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜
（1）
（2）
万向思维精品图书
小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，
算出：
A的对边 斜边
3 3.3
10 . 11
小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm， 斜边A′B′=2.2cm，
算出：
A'的对边 斜边
2 2.2
10 . 11
万向思维精品图书
由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形 中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于 10 .
11
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐
角 α ，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数
呢？
万向思维精品图书
新知探究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其
中∠A=∠D= α， ∠C=∠F=90°，则
BC AB
EF 成
DE
立吗？为什么？
α
α
万向思维精品图书
∵ ∠A=∠D = α， ∠C=∠F= 90°，
边的比叫作角 α的余弦，记作 cos ，即
cos 角 的邻边 斜边
α
万向思维精品图书
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，
cos= sin( -).
sin= cos( -).
α
α
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∵ ∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E. 从而 sin B sin E, 因此 AC DF .
AB DE
由此可得，在有一个锐角等于 α的所有直角三
角形中，角 α的邻边与斜边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
万向思维精品图书 如图，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜
（1）
（2）
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小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，
算出：
A的对边 斜边
3 3.3
10 . 11
小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm， 斜边A′B′=2.2cm，
算出：
A'的对边 斜边
2 2.2
10 . 11
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由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形 中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于 10 .
11
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐
角 α ，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数
呢？
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新知探究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其
中∠A=∠D= α， ∠C=∠F=90°，则
BC AB
EF 成
DE
立吗？为什么？
α
α
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∵ ∠A=∠D = α， ∠C=∠F= 90°，
边的比叫作角 α的余弦，记作 cos ，即
cos 角 的邻边 斜边
α
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从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，
cos= sin( -).
sin= cos( -).
《正弦和余弦》PPT课件 (公开课获奖)2022年湘教版 (4)
0；
│-3│ 1；
3. 判断（对的打“√”，错的打“×”）
：
（1）一个有理数的绝对值一定是正数。 (
)
（2）－1.4<0，则│－1.4│<0。
()
（3） │－32︱的相反数是32
()
（4） 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数
相等
()
（5） 互为相反数的两个数的绝对值相等 ( )
4. 已知有三个数a、b、c在数轴上的 位置如下图所示
如图，在数轴上表示－5的点与原点的距离是5， 即－5的绝对值是5，记作|－5|＝5.
议一议 一个数的绝对值与这个数有什 么关系？ 例如：|3|＝3，|＋7|＝7 一个正数的绝对值是它本身；
例如：|－3|＝3，|－2.3|＝2.3
一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0.
因为正数可用a＞0表示，负数可用 a＜0表示，所以上述三条可表述成：
(1)如果a＞0，那么|a|＝a
(2)如果a＜0，那么|a|＝－a
(3)如果a＝0，那么|a|＝0
－10、－8两数中，哪个数大？它们的绝对值呢？
表示－10的点A比表示－8的点B离开原点比较 远. 显然|－10|＞|－8| 因为点A在点B的左边，所以 －10＜－8. 由此得出结论： 两个负数比较大小，绝对值 大的反而小. 一个数的绝对值大于或等于0.
抽象
总结
在数轴上，表示一个数的点与原点的 距 离叫做该数的绝对值（absolute value)。
你能明白吗？
•想一想 互为相反数的两个数的绝对 值有什么关系？
•一对相反数虽然分别在原点两边， 但 它们到原点的距离是相等的.
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.
最新湘教版九年级数学上册精品课件-4.1正弦和余弦(第3课时)
B
2019/8/31
A
C
3
单击此处编母版标题样式
讲授新课
余弦
•合单作击探此究处编辑母版文本样式 • 如第二图级所示， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形，
• 第三级
其中∠A =• ∠第四D级，∠C =∠F = 90°，则 • 第五级
AC AB
DF DE
成立吗？为什么？
B E
A
2019/8/31
cos
A
A的邻边 斜边
=
b c
sin 2
A cos2
A
a
2
c
b
2
c
a2 b2 c2
c2 c2
1
2019/8/31
16
单击此处编母版标题样式
1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角 (•注单意•击第数此二形处级结编合辑，母构版造文直本角样三式角形). 2.sinA、• 第c三os级A是一个比值（数值）.
2.学会用计算• 第器五级求锐角的余弦值或根据余弦值求锐
角．
2019/8/31
2
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导入新课
问题引入
• 单如击图此，处在编辑Rt母△版AB文C本中样，式∠C＝90°，当锐角 A 确定•时第，二∠级 A的对边与斜边的比就随之确定.
• 第三级
此时，• 第其四• 级他第五边级 之间的比是否也确定了呢？
=
a c
sinA=cosB
2019/8/31
12
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典例精析
•例单2•击第计此二算处级：编c辑os3母0°版文－本3c样os式60°+ 2cos245°
2019/8/31
A
C
3
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讲授新课
余弦
•合单作击探此究处编辑母版文本样式 • 如第二图级所示， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形，
• 第三级
其中∠A =• ∠第四D级，∠C =∠F = 90°，则 • 第五级
AC AB
DF DE
成立吗？为什么？
B E
A
2019/8/31
cos
A
A的邻边 斜边
=
b c
sin 2
A cos2
A
a
2
c
b
2
c
a2 b2 c2
c2 c2
1
2019/8/31
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1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角 (•注单意•击第数此二形处级结编合辑，母构版造文直本角样三式角形). 2.sinA、• 第c三os级A是一个比值（数值）.
2.学会用计算• 第器五级求锐角的余弦值或根据余弦值求锐
角．
2019/8/31
2
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问题引入
• 单如击图此，处在编辑Rt母△版AB文C本中样，式∠C＝90°，当锐角 A 确定•时第，二∠级 A的对边与斜边的比就随之确定.
• 第三级
此时，• 第其四• 级他第五边级 之间的比是否也确定了呢？
=
a c
sinA=cosB
2019/8/31
12
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典例精析
•例单2•击第计此二算处级：编c辑os3母0°版文－本3c样os式60°+ 2cos245°
2022年湘教版九上《正弦和余弦》立体课件(公开课版)
( 6 )2 ( 3 ) 2 (3 2 )3 (2 ) ;
第一章 二次根式复习
(7) a2b22a(b ab);
(8)a a2 (a0).
二次根式化简结果的要求： （1）根号内不含有开的尽方的因式； （2）根号内不含有分母.
例5
第一章 二次根式复习
设a、b、c为△ABC的三边，试化简：
( a b c ) 2 ( a b c ) 2 ( b a c ) 2 ( c a b ) 2
AB2 AC2 BC 2 2BC 2
AB 2BC
因此 BC BC 1 2 AB 2BC 2 2
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小 如何，这个角的对边与斜边的比都等于 2
2
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜
边的比都等于 1 ，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都 2
4.1 正弦和余弦
第1课时 正弦
问题 :为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿
情 着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地
境 进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为
使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
探
B
究
C A
分析： 这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A＝30°，BC＝35m，求AB
8
8
4 4 _____4 _4 ______
15
15
5 5 _____5 _5 _ ______
24
24
你发现了什么规律?请用字母表示规律,并任意 选几个数验证你所发现的规律.
探究二
【最新湘教版精选】湘教初中数学九上《4.1正弦和余弦》PPT课件 (5).ppt
学生组内讨论探索 (学生画图并运用三角形相似知识加以证明) 规律：(1)直角三角形中，锐角大小确定后，这个角的对边与 斜边的比值随之确定； (2)直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比 值越大.
1.教师提出问题，学生测量比较后寻找规律. 2.以小组为单位学生根据所学相似形知识探索、证明得 出规律，教师稍作总结. 在△ABC中，∠C=90°. 我们把锐角A的对边与斜边的比叫做弦记作sinA.
即sinA= A的对边= a . 斜边 c
例如：当∠A=30°时，sinA=sin30°= 1 .
2
当∠A=45°时，sinA=sin45°= 2 .
2
教师根据上面学生回答总结得出概念，学生理解认识概念、
写法意义.
理解认识30°、45°角的正弦值.
本节学了哪些内容?你有哪些认识和收获? (正弦概念及正弦求法) 教师引导学生自我总结，学会梳理知识体系，加深认识， 自我提升.
1.请同学们测量手中一副三角板中30°、45°角所对的边 与斜边的长度，求出它们的比值，结合所学同组内学生交流，能 发现什么规律?
规律：不论三角板大小，30°、45°、60°角的对边与斜 边的比值是个固定值.
2.若是普通直角三角形，当一个锐角的度数固定时，这个 角的对边与斜边的比值是否也是固定值呢?
第四章 锐角三角函数
4.1 锐角三角函数
第1课时 正弦
正确理解认识正弦概念，会根据边长求出正弦值.
引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边 与斜边的比值是固定值的事实.
一、创设情境，导入新课
1.你知道直角三角形有哪些特殊的性质吗? 2.有一个2锐角是30°的直角三角形有哪些性质特点? 3.有一个锐角是45°的直角三角形有那些性质特点? 教师提出问题，学生复习回答，尝试发现直角三角 形中的某些规律.教师汇总归纳，引入新课.
【最新湘教版精选】湘教初中数学九上《4.1正弦和余弦》PPT课件 (5).ppt
1.请同学们测量手中一副三角板中30°、45°角所对的边 与斜边的长度，求出它们的比值，结合所学同组内学生交流，能 发现什么规律?
规律：不论三角板大小，30°、45°、60°角的对边与斜 边的比值是个固定值.
2.若是普通直角三角形，当一个锐角的度数固定时，这个 角的对边与斜边的比值是否也是固定值呢?
学生组内讨论探索 (学生画图并运用三角形相似知识加以证明) 规律：(1)直角三角形中，锐角大小确定后，这个角的对边与 斜边的比值随之确定； (2)直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比 值越大.
1.教师提出问题，学生测量比较后寻找规律. 2.以小组为单位学生根据所学相似形知识探索、证明得 出规律，教师稍作总结. 在△ABC中，∠C=90°. 我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sinA).
如：∠A的正弦记作sinA.
即sinA= A的对边= a . 斜边 c
例如：当∠A=30°时，sinA=sin30°= 1 .
2
当∠A=45°时，sinA=sin45°= 2 .
2
教师根据上面学生回答总结得出概念，学生理解认识概念、
写法意义.
理解认识30°、45°角的正弦值.
本节学了哪些内容?你有哪些认识和收获? (正弦概念及正弦求法) 教师引导学生自我总结，学会梳理知识体系，加深认识， 自我提升.
第四Байду номын сангаас 锐角三角函数
4.1 锐角三角函数
第1课时 正弦
正确理解认识正弦概念，会根据边长求出正弦值.
引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边 与斜边的比值是固定值的事实.
一、创设情境，导入新课
1.你知道直角三角形有哪些特殊的性质吗? 2.有一个2锐角是30°的直角三角形有哪些性质特点? 3.有一个锐角是45°的直角三角形有那些性质特点? 教师提出问题，学生复习回答，尝试发现直角三角 形中的某些规律.教师汇总归纳，引入新课.
4.1正弦和余弦 第3课时 课件 2024-2025学年 湘教版数学九年级上册
【解析】∵∠C＝90°，sin A＝1123 ， ∴cos A＝ 1－11232 ＝153 ， ∵∠A＋∠B＝90°， ∴sin B＝cos A＝153 ， cos B＝sin A＝1123 .
重点 1 余弦 【典例 1】(2022·怀化质检)如图，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求 sinA· cos A 的值．
【思维切入】根据勾股定理求出 BC→根据锐角三角函数求出 sin A，cos A→计算得 出答案．
【自主解答】在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，由勾股定理得，BC＝
5+2思维赋能
教材 P116T9 设 α 为任一锐角，则 sin2α＋cos2α＝1； 互余两角的关系：cosα＝sin (90°－α)； sin α＝cos (90°－α) 解读：同一锐角正弦与余弦的平方和为 1； 一个角的正(余)弦等于它的余角的余(正)弦
(2022·邵阳质检)在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，若 sin A＝1123 ，求 cos A，sin B， cos B.
2．(改变图形和结论)已知 CD 是 Rt△ ABC 斜边上的高，且 AB＝10，若 BC＝8，
4
则 cos ∠ACD＝____5 ____．
【解析】∵CD 是 Rt△ ABC 斜边上的高， ∴CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∴cos ∠ACD＝cos B＝BACB ＝180 ＝54 .
C．34
D．34
2．已知
sin
2 42°≈3
，则 cos 48°的值约为(
A
)
A．23
B．31
C．23
D．－23
重点 1 余弦 【典例 1】(2022·怀化质检)如图，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求 sinA· cos A 的值．
【思维切入】根据勾股定理求出 BC→根据锐角三角函数求出 sin A，cos A→计算得 出答案．
【自主解答】在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，由勾股定理得，BC＝
5+2思维赋能
教材 P116T9 设 α 为任一锐角，则 sin2α＋cos2α＝1； 互余两角的关系：cosα＝sin (90°－α)； sin α＝cos (90°－α) 解读：同一锐角正弦与余弦的平方和为 1； 一个角的正(余)弦等于它的余角的余(正)弦
(2022·邵阳质检)在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，若 sin A＝1123 ，求 cos A，sin B， cos B.
2．(改变图形和结论)已知 CD 是 Rt△ ABC 斜边上的高，且 AB＝10，若 BC＝8，
4
则 cos ∠ACD＝____5 ____．
【解析】∵CD 是 Rt△ ABC 斜边上的高， ∴CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∴cos ∠ACD＝cos B＝BACB ＝180 ＝54 .
C．34
D．34
2．已知
sin
2 42°≈3
，则 cos 48°的值约为(
A
)
A．23
B．31
C．23
D．－23
新湘教版九年级数学上册《正弦和余弦》公开课课件
1．在直角三角形ABC中， ∠C= 90º ， BC=3，AB=5． 例 B 题 （１）求∠A的正弦 sin A ； 5 （２）求∠B的正弦 sin B ． 3 C A
2、在直角三角形ABC中，∠C= 90º ，BC=3， AC=5 。
（１）求∠A的正弦 sin A ； （２）求∠B的正弦 sin B ． B 3 C
65角的对边 斜边
的值，
与同桌和邻近桌的同学交流，计算出 的比值是否相等（精确到0.01）？
结论：在有一个锐角为65º 的所有直角三角形中， 65º 角的对边与 斜边的比值是一个常数，它约等于0.91．
猜想:若把65º 角换成任意的一个锐角α, 那这个角的对边与斜边的比值也是一 个常数吗?
结论证明
探 究
1、在纸上画有一个角为30º 的直角三角 形, 思考30º 角的对边与斜边的比值有什 么规律？ A 在直角三角形△ABC中，∠C=90º
6 ， 如果∠A=30ºBC=3 那么AB=
C B
斜边AB=10 那么BC=
5 。
0.5 结论：30º 角的对边斜边的比值是____
Hale Waihona Puke 做一做每位同学画一个直角三角形，其中一个锐 角为65º ，量出65º 角的对边长度和斜边长 度，计算：
。
EF E F 求证： DF DF
证明： ∵ ∠E =∠E ' = 90º ，
∠D =∠D ' =α，
已知：任意两个直角三角形△DEF和△D'E'F'， ∠D =∠D ' =α，∠E =∠E'= 90º F' D
D'
E ∴
E'
F
∴ △DEF ∽ △D'E'F ' ． ∴
正弦和余弦ppt-湘教版九上优质课件PPT
（1） sinα＝0.1087，则α≈ （2） sinα＝0.9358，则α≈
6°14′ 69°21′
（3） cosα＝0.7081，则α≈ 44°55′
（4） cosα＝0.1396，则α≈ （5） sinα＝0.3152，则α≈ （6） cosα＝0.5168，则α≈
81°59′ 18°22′ 58°53′
2021/02/01
7
Thank you
感谢聆听 批评指导
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年XX月XX日
感谢您的观看！本教学内容具有更强的时代性和丰富性，更适合学习需要和特点。为了 方便学习和使用，本文档的下载后可以随意修改，调整和打印。欢迎下载！
2021/02/01
8
关键是要先按计算器左上角的“SHIFT”键 （有的型号的计算器写的是“2ndf”键）．
例题
SinA=0.9816 2ndf
按键的顺序
Sin 0 . 9 8 1 6 =
显示结果
Sin-1=0.9816 =78.991 840 39
3．已知正弦值或余弦值，用计算器求相应的锐角α （精 确到1′）． 操作（1） sinα＝0.8268，则α≈ 55°46′
新设想
用计算器求．
50°
A
2021/02/01
2
用计算器求锐角的正弦值和余弦值,要用到 sin cos 两个键:
例如,求sin160,cos420,
Sin160 sin Cos420 cos
按键的顺序
1
6
=
4
2
=
显示结果 0.275 637 355 0.743 144 825
由于计算器的型号与功能的不同,按相应的说明书使用.
湘教版九年级数学 4.1 正弦和余弦(学习、上课课件)
知1－练
sin 67°38′24′′； 解：sin 67°38′24′′≈ 0.924 8.
(2)用计算器求锐角α 的度数(精确到0.1 °)：
sinα＝0.516 8. α ≈ 31.1°.
解题秘方：紧扣使用计算器的操作步骤，正确 按键得出结果.
感悟新知
知1－练
3-1. [ 期末·莱阳 ] 若用我们数学课本上采用的科学计 算器计算 sin42 ° 16′，按键顺序正确的是 ( C )
解：原式＝12＋
2 2
2－13×
3 2
2＝12＋ 12－13×32-1. [ 期末·石家庄裕华区 ] 已知 α 为锐角，且sin(α－
10 ° ) =
3 2
，则
α
等于(
A
)
A． 70° B． 60°
C． 40° D． 30°
感悟新知
例3 (1)用计算器求正弦值(精确到0.000 1)：
1. sin α是完整的数学符号，是一个整体，不能理解成
sin·α . 2. 正弦符号后面可以跟单个小写希腊字母或单个大写英文
字母或三个大写英文字母或数字表示的角，也可以跟度 数，如sin α，sin A，sin ∠ABC，sin ∠2，sin 70° .
感悟新知
知1－练
例1 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，如果AB=2， BC=1， 3
感悟新知
知2－练
例4 [母题 教材 P115 练习 T1 ]在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，请根据下列 条件分别求出∠A的正弦、余弦值： (1)a＝6，b＝8；(2)b＝2，c＝ 10.
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣正弦、余弦揭示了直角三角形的边 角之间的数量关系，先利用勾股定理求 出未知边的长度，然后根据定义求∠ A的 正弦、余弦值.
正弦和余弦ppt-湘教版九上PPT课件
（2） sinα＝0.1436，则α≈ 8°15′
（3） cosα＝0.3279，则α≈ 70°52′
2020年10（月24日） cosα＝0.9356，则α≈
20°41′
5
1．用计算器求下列锐角的正弦值和余弦值
（精确到0.0001）：
练习
角度 ( )
sin
cos
35° 68°
88° 9° 30°18′
关键是要先按计算器左上角的“SHIFT”键 （有的型号的计算器写的是“2ndf”键）．
例题
SinA=0.9816 2ndf
按键的顺序
Sin 0 . 9 8 1 6 =
显示结果
Sin-1=0.9816 =78.991 840 39
3．已知正弦值或余弦值，用计算器求相应的锐角α （精 确到1′）． 操作（1） sinα＝0.8268，则α≈ 55°46′
（1） sinα＝0.1087，则α≈ （2） sinα＝0.9358，则α≈
6°14′ 69°21′
（3） cosα＝0.7081，则α≈ 44°55′
（4） cosα＝0.1396，则α≈ （5） sinα＝0.3152，则α≈ （6） cosα＝0.5168，则α≈
81°59′ 18°22′ 58°53′
76°18′ 9°38′ 81°53′
0.5736 0.9272 0.9994 0.1564 0.5045
0.9715 0.1673 0.9900
0.3746 0.3746 0. 0349 0.9877 0.8634
0.2368 0.9859 0.1409
2020年10月2日
6
2．已知正弦值或余弦值，用计算器求相应的锐 练 习 角α （精确到1′）．
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第4章 锐角三角函数
4.1 正弦和余弦
第2课时 特殊角的正弦、用计算器求锐角的正弦
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.学习并掌握一些特殊锐角的正弦值；（重点）
2.学会利用计算器求锐角的正弦值或根据正弦值求锐角．(重点)
导入新课
探索30°角的三角函数值. ①观察一副三角板，其中有几个锐角？它们分别等于 多少度？ ②回忆：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于 一半 斜边的_______. ③sin30°等于多少呢？你是怎样得到的？
讲授新课
一 特殊角的正弦值
问题1：如何求sin 45°的值？
如图所示，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°. 于是∠B=45°. 从而AC=BC．
根据勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=BC2+BC2=2BC2. 于是AB= BC.
AB 2BC 2 2
因此 sin 45 BC BC 1 2
求出它的对应锐角.
例如，已知sinα=0.7071，依次按键
，显示结果为44.999…，
表示角α约等于45°.
当堂练习
1.利用计算器计算：
（1）sin 40 ≈
sin 15 30' ≈ （2）
0.6428 （精确到0.0001 ）；
0.2672 （精确到0.0001 ）； 31.5 54.0
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时， 不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个
固定值．
引出定义： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与 斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA 即
A的对边 a sin A 斜边 c
斜边 c b
B a 对边 C
A 例如，当∠A＝30°时，我们有 1 sin A sin 30 2 当∠A＝45°时，我们有
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
2 sin A sin 45 2
例 如图所示，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3，
AB=5. （1）求sinA的值； （2）求sinB的值.
∠A’＝α，那么
BC 与 AB
B
B' C ' 有什么关系．你能解释一下吗？ A' B '
B'
A
C
A'
C'
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
BC AB , B ' C ' A' B '
BC B ' C ' . AB A' B '
归纳总结
B
45的锐角所对的直角边 2 , 斜边 2
60 的锐角所对的直角边 ？ 斜边
A
45 °
C
这些比值与三角形的大小有关吗？
综上可知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当 ∠A＝30°、45°、 60° 时，它的对边与 斜边的比都是一个固定值.
任意画Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使得∠C＝∠C’＝90°，∠A＝
问题2：如何求sin 60°的值？
如图所示，构造一个Rt△ABC ，使∠B=60°，则 ∠A=30°，从而 根据勾股定理得 AC2=AB2-BC2=AB2于是 因此 .
典例精析
例1 计算：sin230°－ 2 sin45°＋sin260°
2 3 1 解： 原式 2 2 2 2 1 3 1 4 4
B
?
100m
70 °
A
C
直角三角形中锐角A与它的对边和斜边之间是否也存 在某种关系呢？
如果将条件中的70°改为30°，你能求AB吗？
B B
100m
70 ° A C A
30 °
C
这个比值与三角形的 大小有关吗？
30 锐角所对的直角边 1 斜边 2
在直角三角形中，45°的锐角所对的直角边与斜 边的比值会是一个常数吗，你能求这个常数吗？
A.扩大2倍
C.缩小2倍
B.不变
D.无法确定
2. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°， BC=5，AB=13. （1）求sinA的值； 5 答： 13 （2）求sinB的值．
12 答： 13
3. 如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4）， 连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. 解 如图，设点A（3，0）， 连接P A . 在△APO中，由勾股定理得
OP OA2 AP2 32 42 5
AP 4 因此 sin OP 5
●
A
课堂小结
正弦的概念：在直角三角形中， 锐角α的对边与斜边的比叫做角α 的正弦
正弦 正弦的性质：α确定的情况下， sinα为定值，与三角形的大小 无关
课后作业
见本课时习
九年级数学上（XJ） 教学课件
2
2
通常我们把
(sin30°)2简记为
sin230°
0.
二 利用计算器求正弦值
至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°） 的正弦值，而对于一般锐角α的正弦值，我们可以利用计算 器来求.
例如：求50°角的正弦值，可以在计算器上依次按键 ，显示结果为0.7660…
如果已知正弦值，我们也可以利用计算器
，是户外运动者青睐之地.其中，金紫山海拔约1400米，雾 景乃金紫山一绝.清晨、傍晚或雨后时分常见屡屡轻雾自山 谷升起，气流在山峦间穿行，犹如人间仙境. 若从顶峰至道观修 一条滑道，滑道大 约长多少米？
讲授新课
一 锐角正弦的概念
问题：同学们，从上述情境中，你可以找到一个什么数学
问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？
(1)解: ∠A的对边BC=3，斜边AB=5.
BC 3 sin A . AB 5
(2)解: ∠B的对边是AC，根据勾股定理，得 AC2 = AB2-BC2
= 52-32 = 16
于是 AC = 4 因此 sin B AC 4
AB
5
当堂练习
1.在直角三角形ABC中，若三边长都扩大二倍，则锐角 A的正弦值（ B )
九年级数学上（XJ） 教学课件
第4章 锐角三角函数
4.1 正弦和余弦
第1课时 正 弦
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.理解并掌握锐角正弦的定义； 2.在直角三角形中求锐角的正弦值．(重点)
导入新课
观察与思考
金紫山上有个道观，与顶峰的海拔差约为100米，除了
迂回的登顶小路之外，还有一条70度左右的碎石坡可以登顶