数学高二-选修2-2课时作业导数的乘法与除法法则

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数学高二-选修2-2素材教材基础第二章4导数的四则运算法则

§4 导数的四则运算法则前面我们已经学习了常函数、幂函数、正弦函数、余弦函数的求导公式.当这些函数进行加、减、乘、除运算时，如何对这些函数求导呢？本节课我们就开始探讨这方面的问题. 高手支招1细品教材一、导数的加、减法状元笔记对于和、差的求导法则，可以推广到任意有限个可导函数的情形，即［u(x)+v(x)+…+w(x)］′=u′(x)+v′(x)+…+w′(x).1.导数的加、减法法则两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差).2.表达式：［f(x)±g(x)］′=f′(x)±g′(x).3.证明：令y=f(x)±g(x)，Δy=［f(x+Δx)±g(x+Δx)］-［f(x)±g(x)］=［f(x+Δx)-f(x)］±［g(x+Δx)-g(x)］=Δf±Δg, ∴x y ∆∆=x f ∆∆±x g ∆∆，0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x (x f ∆∆±xg ∆∆)= 0lim →∆x x f ∆∆±0lim →∆x x g ∆∆，即［f(x)±g(x)］′=f′(x)±g′(x). 【示例】函数f(x)=x 1-x 的导数是（） A.21x -x1 B.-21x +x 21 C.21x -x 21 D.-21x -x 21 思路分析：(x 1)′=-21x ,(x)′=x21,∴f′(x)=-21x -x 21. 答案：D 二、导数的乘、除法1.常数与函数的积的导数（1）法则：常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积.（2）表达式：［cf(x)］′=cf′(x).2.两个函数的积的导数（1）法则：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数.（2）表达式：［f(x)g(x)］′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).（3）证明：令y=f(x)g(x)，则Δy=f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x)=f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x+Δx)+f(x)g(x+Δx)-f(x)g(x),x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(g(x+Δx)+f(x)xx g x x g ∆-∆+)()(, 因为g(x)在点x 处可导，所以当Δx→0时，g(x+Δx)→g(x)，从而0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(g(x+Δx)+f(x)·0lim →∆x xx g x x g ∆-∆+)()( =f′(x)g(x)+f(x)g′(x).【示例】设y=-2e x sinx,则y′等于（）A.-2e x cosxB.-2e x sinxC.2e x sinxD.-2e x (sinx+cosx)思路分析：y′=-2(e x sinx+e x cosx)=－2e x (sinx+cosx).答案：D状元笔记在计算导数时要注意：［f(x)g(x)］′≠f′(x)g′(x)，［)()(x g x f ］′≠)(')('x g x f . 3.两个函数的商的导数（1）法则：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方.（2）表达式：［)()(x g x f ］′=)()(')()()('2x g x g x f x g x f -［g(x)≠0］. （3）证明：y=)()(x g x f , Δy=)()()()()()()()()()(x g x x g x x g x f x g x x f x g x f x x g x x f ∆+∆+-∆+=-∆+∆+ =)()()]()()()([)]()()()([x g x x g x g x f x x g x f x g x f x g x x f ∆+-∆+--∆+ =)()()]()()[()()]()([x g x x g x g x x g x f x g x f x x f ∆+-∆+--∆+, xy ∆∆=)()()()()()()()(x g x x g x x g x x g x f x g x x f x x f ∆+∆-∆+-∆-∆+. 因为g(x)在点x 处可导，所以当Δx→0时，g(x+Δx)→g(x).∴0lim →∆x xy ∆∆=)()()(')()()('x g x g x g x f x g x f •-，即［)()(x g x f ］′=)()(')()()('x g x g x f x g x f -［g(x)≠0］. 【示例】y=x x 4的导数是_____________. 思路分析：直接利用公式及运算法则.答案：y′=x x 44ln 1- 高手支招2基础整理本节的内容就是关于导数的运算：导数的加、减法法则和应用，导数的乘、除法法则和应用.主要内容如下：。

2020-2021学年北师大版数学选修2-2作业课件：2.4 第13课时导数的乘法与除法法则

A．1 C．－2
1 B.2 D．2
解析：y′＝sin2x－1si－n2cxosxcosx＝1－sinc2oxsx.
由题意，知1a＝1－sinc2oπ2sπ2＝1，得a＝1.
6．若函数f(x)＝
ex x
在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，
则x0的值等于( C )
A．0
B．1
1 C.2
D．不存在
7．曲线y＝x＋x 2在点(－1，－1)处的切线方程为( A ) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
12．(12分)求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝xx＋－11； (3)y＝lnxx；(4)y＝excosx. 解：(1)解法1：y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝ 4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9. 解法2：∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3， ∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.
，则a
＝__e____.
解析：f′(x)＝ex＋logax′cosxc－os2exx＋logaxcosx′ ＝ex＋xln1 acoscxo＋s2xex＋logaxsinx. 由f′(π)＝－eπ－πl1n a＝－eπ－1π，得ln a＝1，所以a＝e.
三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)解源自：∵y′＝x＋2－x x＋22
＝
2 x＋22
，∴切线的斜率k＝
2 －1＋22
＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
8．已知函数f(x)＝
x＋12＋sinx x2＋1

高中数学选修2-2 北师大版 2.4.2导数的乘法与除法法则2 学案

课题 2. 4.2 导数的乘法与除法法则学习目标1．理解导数的乘法与除法法则．2．将导数公式和导数四则运算相结合，灵活解决一些导数问题．学习重点：函数的积、商的求导法则的推导．学习难点：函数的积、商的求导法则的推导．学习方法：以讲学稿为依托的探究式教学方法。

学习过程一、课前预习指导：一般地，若两个函数f (x )和g (x )的导数分别是f ′(x )和g ′(x )，则[f (x )g (x )]′＝_______________________；))()((x g x f ＝___________________________.特别地，当g (x )＝k 时，有[kf (x )]′＝________．二、新课学习：自主学习：课本70--73页问题探究一导数的乘法与除法运算法则1 设函数y ＝f (x )在X 0处的导数为f ′(X 0)，g (x )＝x 2我们来求y ＝f (x ) g (x )= x 2在X 0处的导数。

例1 求下列函数的导数：（1）y ＝X 2e x (2) y ＝xsinx; (3) y ＝xlnx例2 求下列函数的导数：(1) y ＝x x sin ; (2) y ＝xx ln 2.学后检测1. 求下列函数的导数(1)y ＝x ＋3x 2＋3 ; (2)y ＝x sin x －2cos x例3 求下列函数的导数：(1) y ＝X 2(lnx+sinx);(2)y=2_cos x xx .例4.求曲线f(x)＝x+2x lnx过点（1,0）的切线方程。

三、当堂检测：1．设y＝－2e x sin x，则y′等于( )A．－2e x cos x B．－2e x sin x C．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)2．曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2 3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( )A.193B.163C.133D.103四、课堂小结：五、课后作业：六．板书设计七．教（学）后反思。

北师版数学高二选修2-2课件导数的乘法与除法法则

b x
(a，b为常数)过Байду номын сангаасP(2，－5)，
且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是_－__3__.
解析 y＝ax2＋bx的导数为 y′＝2ax－xb2，
直线 7x＋2y＋3＝0 的斜率为－72.
由题意得44aa－＋b2b4＝＝－－725，，
解得ab＝＝－－12，，
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)成立吗？答案不成立.因为[f(x)g(x)]′＝(x5)′＝5x4，而f′(x)＝3x2，g′(x)＝2x，所以f′(x)g′(x)＝6x3，所以[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x).
答案
思考2
[f(x)g(x)]′与f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)有什么关系？答案 [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x).
第二章 §4 导数的四则运算法则
4.2 导数的乘法与除法法则
学习目标
1.理解并掌握导数的乘法与除法法则. 2.掌握导数的运算法则. 3.能运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.
内容索引
问题导学题型探究当堂训练
问题导学
知识点导数的乘法与除法法则
已知f(x)＝x3，g(x)＝x2.
思考1
2.积、商的求导法则 (1)若c为常数，则[c·f(x)]′＝c·f′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)， [gfxx]′＝f′xgxg－2xfxg′x； (3)当 f(x)＝1 时，有[g1x]′＝－gg′2xx.
本课结束
解答
类型二导数运算法则的综合应用命题角度1 利用导数求函数解析式例2 设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得 f′(x)＝xcos x，并求出f(x)的解析式.

高级中学高中数学(北师大版)选修2-2导学案：第二章导数的乘法与除法法则(第6讲)

四、堂中互动
例２、解：
。
将x=1代入，得所求切线的斜率。
曲线过点（1，0）的切线方程为。
五、即学即练
１．
２．
练案答案
A组
1．C；2．A；3． 4.
B组
１．解：，，
又，∴ 对恒成立，∴ ，
∵ ，∴ ．
２．
高二年级数学（理）学科导学案
课题：导数的乘法与除法法则（第6讲）
【学习目标】
了解两个函数积、商的求导法则，初步掌握这些法则的应用
【重点难点】
重点：积、商求导法则的应用
难点：积的求导法则的导出
【教学课型】多媒体教学
【教学课时】1课时
【教学流程】
■自主学习（课前完成，含独学和质疑）
阅读教材内容，完成下列问题：
C．或
D．或
3.已知函数，则
4.曲线在点处的切线的斜率为
5．曲线在点（0，1）处的切线方程为__________________. Nhomakorabea能力提升
1.一质点运动方程，若速度最大值为，且对任意的，在与时速度相同，求的值．
2.求下列函数的导数：
；．
学案答案
三、课前预习
1．
２． ; ;
1.f′(x0)= = ____________________。
2.[f(x)+g(x)]′=___________
[f(x)-g(x)]′=___________
3．[f(x)•g(x)]′=
■合作探究（对学、群学）
例1:求下列函数的导数：
(1) （2）
（3）；（4）。
例2:求曲线在点（1，1）处的切线方程。

高中数学北师大版选修2-2课时作业2.4.2 导数的乘法与除法法则 Word版含解析

选修第二章§课时作业一、选择题．函数＝(－)(－)的导数是′＝( )．．－(－)．－(－) ．－－解析：∵＝－(＋)＋，∴′＝()′－(＋)·()′＋()′＝－－.答案：．函数＝的导数是′＝( )．．．．解析：′＝()′＝()′＋()′＝－＝.答案：．曲线＝－在点(，)处的切线的斜率为( )．－．．－．解析：′＝＝，把＝代入得导数值为，即为所求切线的斜率．答案：．经过原点且与曲线＝相切的直线的方程是( )．＋＝或＋＝．－＝或＋＝．＋＝或－＝．－＝或－＝解析：设切点为(，)，因为′＝()′＝，所以切线斜率为，又切线过原点，所以＝＝，即＋＋＝，解得＝－或＝－，从而切点为(－)或(－，)．所以切线方程为＋＝或＋＝.答案：二、填空题．函数＝的导数是．解析：法一：′＝′＝＝＝.法二：∵＝＝－，∴′＝′＝′＝－′＝－×＝.答案：．函数()＝在＝处的导数是．解析：′＝′＝′＝，∴′＝＝＝.答案：．曲线＝在点()处的切线方程为．解析：∵′＝＝，∴切线的斜率＝＝－，∴所求切线方程为－＝－(－)，即＝－＋. 答案：＝－＋三、解答题．求下列函数的导数：()＝－＋θ(θ为常数)；()＝；()＝(－)(＋)．解：()′＝()′－＋(θ)′＝()′＋()′－＋＝－－.()′＝＝＝－.()法一：∵＝(－)(＋)＝＋－－，∴′＝(＋－－)′＝()′＋()′＋()′－[′＋()′]－′＝＋＋－－－＝(＋－－)＋－. 法二：′＝(－)′(＋)＋(－)(＋)′＝(－)(＋)＋(－)＝(＋－－)＋－..[·北京高考节选]已知函数()＝＋＋.若曲线＝()在点(，())处与直线＝相切，求与的值．解：由()＝＋＋，得′()＝(＋)．因为曲线＝()在点(，())处与直线＝相切，所以′()＝(＋)＝，()＝，解得＝，＝.。

高中数学选修2-2 北师大版导数的乘法与除法法则同步训练(含答案)

4.2导数的乘法与除法法则双基达标 (限时20分钟)1．函数f (x )＝e xx 的导数是( )．A.e x x 2B.e x (x －1)x 2C.e x (1－x )x 2D.e x (1＋x )x 2答案 B2．曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( )．A.π22 B ．π2 C.π44D ．2π2解析切线方程为y ＝－x ，故围成的三角形的面积为π22. 答案 A3．已知f ′(x )＝4x 3，且f (1)＝－1，则( )．A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2C ．f (x )＝4x 3－5D ．f (x )＝x 4＋2解析 ∵f ′(x )＝4x 3， ∴可设f (x )＝x 4＋c (c 为常数)．又∵f (1)＝－1，∴1＋c ＝－1， ∴c ＝－2. 答案 B4．曲线y ＝x 2－3x 在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为________．解析根据题意可设切点为P (x 0，y 0) ，f ′(x )＝2x －3，令f ′(x 0)＝0，即2x 0－3＝0，得x 0＝32，代入曲线方程得y 0＝－94，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－94. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－945．某汽车启动阶段的路程函数s(t)＝2t3－5t2，则t＝2时，汽车的瞬时速度是________．解析s′(t)＝6t2－10t，则s′(2)＝4.答案 46．求下列函数的导数．(1)y＝x2sin x＋2cos x；(2)y＝e x＋1 e x－1.解(1)y′＝(x2sin x)′＋(2cos x)′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＋2(cos x)′＝2x sin x＋x2cos x－2sin x.(2)y′＝(e x＋1)′(e x－1)－(e x＋1)(e x－1)′(e x－1)2＝e x(e x－1)－(e x＋1)e x(e x－1)2＝－2e x(e x－1)2.综合提高(限时25分钟)7．设y＝－2e x sin x，则y′等于()．A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)解析y′＝－2(e x sin x＋e x cos x)＝－2e x(sin x＋cos x)．答案 D8．曲线y＝sin xsin x＋cos x－12在点M(π4，0)处的切线斜率为()．A．－12 B.12C．－22 D.22解析y′＝cos x（sin x＋cos x）－（cos x－sin x）sin x（sin x＋cos x）2＝1（sin x＋cos x）2，故y′|x＝π4＝12，∴曲线在点M(π4，0)处的切线的斜率为12.答案 B9．函数y＝lg x在x＝1处的切线方程为_______________________ _________________________________________________．答案 y ＝lg e(x －1) 10．函数f (x )＝ln xx ＋1＋2x (x ＞0)的导数为________．解析 ∵f (x )＝ln xx ＋1＋2x (x ＞0) ∴f ′(x )＝(ln x )′(x ＋1)－ln x ·(x ＋1)′(x ＋1)2＋(2x )′ ＝1x (x ＋1)－ln x (x ＋1)2＋2x ln 2 ＝1＋1x －ln x (x ＋1)2＋2x ln 2.答案1＋1x －ln x (x ＋1)2＋2x ln 211．曲线S ：y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在点A (0,1)处的切线为l 1：y ＝x ＋1，在点B (3,4)处的切线为l 2：y ＝－2x ＋10，求a 、b 、c 、d .解找出四个关于a 、b 、c 、d 的方程，联立求解．由已知条件可得y ′＝3ax 2＋2bx ＋c ，故有⎩⎨⎧c ＝1(k 1＝1)，①27a ＋6b ＋c ＝－2(k 2＝－2)，②d ＝1(A ∈S )，③27a ＋9b ＋3c ＋d ＝4(B ∈S )，④将c ＝d ＝1代入②④得 ⎩⎨⎧27a ＋6b ＝－3，27a ＋9b ＝0，于是⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝－13.12．(创新拓展)已知曲线f (x )＝1a x 2－1(a ＞0)在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．解 f ′(x )＝2a x ，则f ′(1)＝2a ，又f (1)＝1a －1，所以切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a －1，切线l 的方程为y －1a ＋1＝2a (x －1)．令x ＝0，得y ＝－1a －1；令y ＝0，得x ＝12(a。

北师大版高中数学选修2-2导数的乘法与除法法则

解：
（1）可设 f (x) = x2 , g(x) = ln x + sin x
则有：f (x) = 2x, g(x) = 1 + cos x x
根据导数的乘法法则，得：
[ ] x2(ln x + sin x)
= 2x(ln x + sin x) + x2 ( 1 + cos x) x
= x + 2x ln x + 2x sin x + x2 cos x
f (x0 + x) x
f (x0 ) + (x0 + x)2 - x02 x
f (x0 )
由于
lim (
0
x0
+
x)2
=
x
2 0
lim
x 0
f ( x0
+ x) x
f ( x0 )
=
f ( x0 )
lim ( x0
x 0
+
x)2
-
x
2 0
x
= 2x0
=
g ( x0 )

f (x)

g(
x)

=
f (x)g(x) - f (x)g(x) g 2 ( x)
解：
（1）设 f (x) = x2 , g(x) = ex，可知 f (x) = 2x, g(x) = ex
由导数的乘法法则：
[ f (x)g(x) ] = f (x)g(x) + f (x)g(x)
设 y = f (x) 在 x0处的导数为 f (x) ，g(x) = x2，求 y = f (x)g(x) = x2 f (x)在 x0处的导数。

导数的乘法与除法法则

导数的乘法与除法法则导数是微积分中的重要概念之一，它表示函数在其中一点的变化率。

在微积分中，导数的乘法与除法法则是最基本的求导规则之一、它们帮助我们在求解复杂函数的导数时，通过简单的运算规则得出结果。

接下来，我将详细解释导数的乘法与除法法则，并举例说明它们的应用。

首先，我们来看导数的乘法法则。

如果我们有两个函数f(x)和g(x)，它们在同一点x处都可导，那么它们的乘积的导数就可以用以下的公式表示：(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)简而言之，这个公式告诉我们，两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以第一个函数。

举个例子来说明：假设我们要求函数f(x) = x^2和g(x) = sin(x)的乘积在x = π处的导数。

首先，我们求出f'(x) = 2x和g'(x) =cos(x)，然后将这些值代入公式：(fg)'(π) = f'(π)g(π) + f(π)g'(π)= 2πsin(π) + (π^2)cos(π)=0+(-π^2)=-π^2因此，函数f(x) = x^2和g(x) = sin(x)的乘积在x = π处的导数为-π^2接下来，我们来看导数的除法法则。

如果我们有两个函数f(x)和g(x)，且g(x)不等于0，那么它们的比值的导数可以用以下的公式表示：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2简而言之，这个公式告诉我们，两个函数的比值的导数等于分子的导数乘以分母，再减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。

举个例子来说明：假设我们要求函数f(x)=x^3和g(x)=x的比值的导数。

(f/g)'(x)=(3x^2*x-x^3*1)/(x^2)^2=(3x^3-x^3)/x^4=2x^3/x^4=2/x因此，函数f(x)=x^3和g(x)=x的比值的导数为2/x。

人教新课标版数学高二-选修2-2课时作业复数代数形式的乘除运算

3.2.2复数代数形式的乘除运算课时目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．3．理解共轭复数的概念．1．复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i (a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝________________.2．复数乘法的运算律对任意z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝________结合律(z1·z2)·z3＝__________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝__________3.共轭复数设z＝a＋b i (a，b∈R)，则z＝________叫z的共轭复数．若b≠0，则z叫虚数z的________虚数，且z＋z＝______，z－z＝______，两共轭复数在复平面内所对应点关于________对称．4．复数的除法a＋b ic＋d i＝____________＝____________ (c＋d i≠0)．5．i的乘方设i为虚数单位，则i1＝________，i2＝________，i3＝________，i4＝______.一、选择题1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2等于()A．4＋2i B．2＋iC．2＋2i D．3＋i2．已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2zz －1等于( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2 3．设z ＝3＋i ，则1z等于( )A ．3＋iB ．3－i C.310i ＋110 D.310＋110i 4．设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i 2是实数，则a 等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2 5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－346．设a ，b 为实数，若复数1＋2i a ＋b i ＝1＋i ，则( )A ．a ＝32，b ＝12 B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32 D ．a ＝1，b ＝37．已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.8．设x 、y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y ＝__________________________________________________________. 9．若实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy ＝______. 三、解答题10．计算：3＋4i4－3i ＋9＋2i.11.已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝z2＋i，且|ω|＝52，求ω.能力提升12．复数z＝i1＋i在复平面上对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限13．已知复数z1＝i(1－i)3，(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化．答案知识梳理1．(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 2.3.a －b i 共轭 24.(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i ) (ac ＋bd )＋(bc －ad )ic 2＋d 25．i －1 －i 1 作业设计1．A [∵z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ， ∴z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i －i －i 2 ＝3＋2i ＋1＝4＋2i.]2．A [z 2－2z z －1＝(1＋i )2－2(1＋i )1＋i －1＝2i －2－2i i＝－2i ＝－2ii2＝2i.]3．D [1z ＝13－i ＝3＋i 10＝310＋i 10.]4．B [∵a1＋i ＋1＋i 2＝a －a i 2＋1＋i 2＝a ＋12＋1－a 2i 为实数，∴1－a 2＝0，∴a ＝1.]5．A [∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i. z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ，又∵z 1·z 2∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝34.]6．A [∵1＋2ia ＋b i＝1＋i ，∴a ＋b i ＝1＋2i 1＋i ＝(1＋2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3＋i2，∴a ＝32，b ＝12.]7．1解析 ∵a ＋2i i ＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝b i －1.∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1. 8．4 解析x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i⇒x (1＋i )(1－i )(1＋i )＋y (1＋2i )(1＋2i )(1－2i )＝5(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )⇒12x (1＋i)＋15y (1＋2i) ＝(12x ＋15y )＋(12x ＋25y )i ＝12(1＋3i) ⇒⎩⎨⎧12x ＋15y ＝1212x ＋25y ＝32⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5，∴x ＋y ＝4. 9．1解析由(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，得(x ＋y )＋(x －y )i ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴xy ＝1.10．解3＋4i 4－3i ＋9＋2i ＝(3＋4i )i4i －3i 2＋9＋2i ＝(3＋4i )i3＋4i ＋9＋2i ＝9＋3i.11．解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i ，由题意，得a ＝3b ≠0. ∵|ω|＝|z2＋i|＝52，∴|z |＝a 2＋b 2＝510，将a ＝3b 代入上式，得a ＝±15，b ＝±5，故ω＝±15＋5i2＋i＝±(7－i)．12．A [∵z ＝i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i ，∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．] 13．解方法一 (1)z 1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i) ＝2－2i ， ∴|z 1|＝22＋(－2)2＝2 2.方法二 |z 1|＝|i(1－i)3|＝|i|×|1－i|3 ＝1×(2)3＝2 2. (2)∵|z |＝1，∴设z ＝cos θ＋isin θ， |z －z 1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i| ＝(cos θ－2)2＋(sin θ＋2)2＝9＋42sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4. ∴当sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝1时，|z －z 1|2取得最大值 9＋42，从而得到|z －z 1|的最大值为22＋1.。

高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章导数及其应用几个常用函数的导数及导数的运算法则一

1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)明目标、知重点1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x，y ＝x 的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．1．几个常用函数的导数原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x2.原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a >0)f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a(a >0且a ≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝1x情境导学]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题．探究点一几个常用函数的导数思考1 怎样利用定义求函数y ＝f (x )的导数？答 (1)计算ΔyΔx ，并化简；(2)观察当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值； (3)ΔyΔx 趋近于的定值就是函数y ＝f (x )的导数．思考2 利用定义求下列常用函数的导数： ①y ＝c ，②y ＝x ，③y ＝x 2， ④y ＝1x，⑤y ＝x .答 ①y ′＝0，②y ′＝1，③y ′＝2x ，④y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝ lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0 －1x (x ＋Δx )＝－1x 2(其它类同)， ⑤y ′＝12x.思考3 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率．物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．(1)函数y ＝f (x )＝c (常数)的导数的物理意义是什么？ (2)函数y ＝f (x )＝x 的导数的物理意义呢？答 (1)若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．(2)若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．思考4 在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的图象，并根据导数定义，求它们的导数．(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ (3)函数y ＝kx (k ≠0)增(减)的快慢与什么有关？答函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的图象如图所示，导数分别为y ′＝2，y ′＝3，y ′＝4.(1)从图象上看，函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的导数分别表示这三条直线的斜率．(2)在这三个函数中，y ＝4x 增加得最快，y ＝2x 增加得最慢．(3)函数y ＝kx (k >0)增加的快慢与k 有关系，即与函数的导数有关系，k 越大，函数增加得越快，k 越小，函数增加得越慢．函数y ＝kx (k <0)减少的快慢与|k |有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k |越大，函数减少得越快，|k |越小，函数减少得越慢．思考5 画出函数y ＝1x的图象．根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程．答函数y ＝1x 的图象如图所示，结合函数图象及其导数y ′＝－1x2发现，当x <0时，随着x 的增加，函数y ＝1x减少得越来越快；当x >0时，随着x 的增加，函数减少得越来越慢．点(1,1)处切线的斜率就是导数y ′|x ＝1＝－112＝－1，故斜率为－1，过点(1,1)的切线方程为y ＝－x ＋2.思考6 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？答可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度．探究点二基本初等函数的导数公式思考你能发现8个基本初等函数的导数公式之间的联系吗？答公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例．例1 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x)′＝5xln 5；(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x3′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x ；(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.反思与感悟对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin π3＝32是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指数式，利用公式2求导．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝(12)x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝(12)x ln 12＝－(12)xln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12；(4)y ′＝1x ln13＝－1x ln 3. 例2 判断下列计算是否正确．求y ＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下：y ′|x ＝π3＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π3′＝－sin π3＝－32. 解错误．应为y ′＝－sin x ， ∴y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.反思与感悟函数f (x )在点x 0处的导数等于f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x 0代入导函数求解，不能先代入后求导．跟踪训练2 求函数f (x )＝ln x 在x ＝1处的导数．解 f ′(x )＝(ln x )′＝1x，∴f ′(1)＝1，∴函数f (x )在x ＝1处的导数为1. 探究点三导数公式的综合应用按照基本初等函数的导数公式，我们可以解决两类问题： (1)可求基本初等函数图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程． (2)知切线斜率可求切点坐标．例3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大．解设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0＝1.故可得P(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0.由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，故P(1,1)点即为所求弧¼AOB上的点，使△ABP的面积最大．反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3 点P是曲线y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e x相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x 距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(e x)′＝e x，∴e x0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为2 2.1．给出下列结论：①若y＝1x3，则y′＝－3x4；②若y＝3x，则y′＝133x；③若y＝1x2，则y′＝－2x－3；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3. 其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析①y＝1x3＝x－3，则y′＝－3x－4＝－3x4；②y＝3x＝x13，则y′＝13·x－23≠133x；③y ＝1x2＝x －2，则y ′＝－2x －3；④由f (x )＝3x ，知f ′(x )＝3， ∴f ′(1)＝3. ∴①③④正确．2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C.12xD.32答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．0，π4]∪3π4，π)B ．0，π)C ．π4，3π4]D ．0，π4]∪π2，3π4]答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ， ∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1，∴αl ∈0，π4]∪3π4，π)．4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.呈重点、现规律]1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础过关1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x，则y ′＝2xln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．2．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B.3．已知f (x )＝x a，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A 解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4.4．曲线y ＝1x在x ＝a 处的切线的倾斜角为3π4，则a ＝____.答案134解析 y ′＝(12x -)′＝－12·32x -，∴y ′|x ＝a ＝－12·32a -＝－1，∴a ＝134.5．若曲线y ＝12x -在点(a ，12a -)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于( )A ．64B ．32C ．16D ．8 答案 A解析 ∵y ＝12x -，∴y ′＝－1232x -，∴曲线在点(a ，12a -)处的切线斜率k ＝－1232a -，∴切线方程为y －12a -＝－1232a -(x －a )．令x ＝0得y ＝3212a -；令y ＝0得x ＝3a .∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·3212a -＝9412a ＝18，∴a ＝64. 6．曲线y ＝9x在点M (3,3)处的切线方程是________．答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x2，∴y ′|x ＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0. 7．求下列函数的导数：(1)y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x 4)；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x2.(2)y ′＝(1x 4)′＝(x －4)＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)∵y ＝－2sin x2(1－2cos 2x4)＝2sin x2(2cos 2x 4－1)＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e 答案 D解析 y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0， ①y 0＝e x 0， ②k ＝e x 0， ③∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x)＝x ＋e x，则f ′(1)＝________. 答案 2解析设e x＝t ，则x ＝ln t (t >0)， ∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1t＋1，∴f ′(1)＝2.10．求下列函数的导数： (1)y ＝x x ；(2)y ＝x 7；(3)y ＝－1x5；(4)y ＝ln 3；(5)y ＝x x 3(x >0)．解 (1)y ′＝(x x )′＝(32x )′＝32312x -＝32x .(2)y ′＝7x 6.(3)y ′＝(－x －5)′＝5x －6＝5x6.(4)y ′＝(ln 3)′＝0.(5)因为y ＝x x 3，所以y ＝52x ，所以y ′＝(52x )′＝52512x -＝5232x ＝5x x 2.11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值．解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1，由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，但sin x ∈－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解根据题意可知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.三、探究与拓展13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x .。

高二数学(选修2-2人教B版)-导数公式表及导数的四则运算法则(1)

y ln x
y' f (x)
y' ax ln a y' ex y' 1
x ln a y' 1
x
基本初等函数的导数公式表
y f (x)
y' f (x)
y sin x
y' cos x
y cos x
y' sin x
思考
如何求下面几个函数的导数？
① y x7 x6 3x5
思考如何求函数 h(x) x x2 的导数？
h(x x) h(x) x x (x x)2 (x x2 ) x x x2 (x)2 2x x x x2
根据导数定义 1.求函数值增量
思考如何求函数 h(x) x x2 的导数？
h(x x) h(x) x x (x x)2 (x x2 ) x x x2 (x)2 2x x x x2 x (x)2 2x x
② y x sin x ex x
③ y tan x
④ y (3x 1) sin 2x
思考
如何求下面几个函数的导数？
① y x7 x6 3x5
② y x sin x ex x
③ y tan x y sin x cos x
④ y (3x 1) sin 2x y sin 2x 2sin x cos x
思考两个函数的积的导数、商的导数，与这两个函数的导数又有什么关系呢？
举例设 f (x) x ，g(x) x2 ，则 f '(x) 1 ，g '(x) 2x ， ( f (x) g(x))' (x x2 )' (x3)' 3x2
f '(x)g(x) f (x)g'(x) 1 x2 x 2x 3x2

山东高二数学北师大版选修2-2课时作业：2.4.2 导数的乘法与除法法则 Word版含解析

选修2-2　第二章　§4　课时作业12一、选择题1．函数y ＝(x －a )(x －b )的导数是y ′＝( )A ．ab B ．－a (x －b )C ．－b (x －a )D ．2x －a －b解析：∵y ＝x 2－(a ＋b )x ＋ab ，∴y ′＝(x 2)′－(a ＋b )·(x )′＋(ab )′＝2x －a －b .答案：D 2．函数y ＝sin x cos x 的导数是y ′＝( )A ．sin 2x B ．cos 2x C ．sin2xD ．cos2x 解析：y ′＝(sin x cos x )′＝(sin x )′cos x ＋sin x (cos x )′＝cos 2x －sin 2x ＝cos2x .答案：D 3．曲线y ＝－在点M (，0)处的切线的斜率为( )sin xsin x ＋cos x 12π4A ．－B ．1212C ．－D ．2222解析：y ′＝＝，把x ＝代入得导数值为，cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )211＋sin2x π412即为所求切线的斜率．答案：B 4．经过原点且与曲线y ＝相切的直线的方程是( )x ＋9x ＋5A ．x ＋y ＝0或＋y ＝0B ．x －y ＝0或＋y ＝0x25x25C ．x ＋y ＝0或－y ＝0D ．x －y ＝0或－y ＝0x25x25解析：设切点为(x 0，y 0)，因为y ′＝()′＝，所以切线斜率为，又x ＋9x ＋5－4(x ＋5)2－4(x 0＋5)2切线过原点，所以＝＝，即x ＋18x 0＋45＝0，解得x 0＝－3或－4(x 0＋5)2y 0x 0x 0＋9x 0(x 0＋5)20x 0＝－15，从而切点为(－3,3)或(－15，)．所以切线方程为x ＋y ＝0或＋y ＝0.35x25答案：A 二、填空题5．函数y ＝的导数是________．x －1x ＋1解析：法一：y ′＝′(x －1x ＋1)＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝＝.(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)22(x ＋1)2法二：∵y ＝＝1－，x －1x ＋12x ＋1∴y ′＝′＝′(1－2x ＋1)(－2x ＋1)＝－2′＝－2×＝.(1x ＋1)－1(x ＋1)22(x ＋1)2答案：2(x ＋1)26．函数f (x )＝在x ＝处的导数是________．sin x －2cos x3cos x π6解析：y ′＝′＝′(sin x －2cos x3cos x)(13tan x －23)＝，13cos2x ∴f ′＝＝＝.(π6)13cos2π613×(32)249答案：497．曲线y ＝在点(1,1)处的切线方程为________．x2x －1解析：∵y ′＝＝，∴切线的斜率k ＝＝－1，∴所求切线2x －1－2x(2x －1)2－1(2x －1)2－1(2×1－1)2方程为y －1＝－(x －1)，即y ＝－x ＋2.答案：y ＝－x ＋2三、解答题8．求下列函数的导数：(1)y ＝x cos x －e x ＋sin θ(θ为常数)；(2)y ＝；lg x x ＋1(3)y ＝(4x －x )(e x ＋1)．解：(1)y ′＝(x cos x )′－e x ＋(sin θ)′＝(x )′cos x ＋x (cos x )′－e x ＋0＝cos x －x sin x －e x .(2)y ′＝(lg x )′(x ＋1)－lg x ·(x ＋1)′(x ＋1)2＝＝－.1x ln10·(x ＋1)－lg x(x ＋1)21x (x ＋1)ln10lg x(x ＋1)2(3)法一：∵y ＝(4x －x )(e x ＋1)＝4x e x ＋4x －x e x －x ，∴y ′＝(4x e x ＋4x －x e x －x )′＝(4x )′e x ＋4x (e x )′＋(4x )′－[x ′e x ＋x (e x )′]－x ′＝4x e x ln4＋4x e x ＋4x ln4－e x －x e x －1＝e x (4x ln4＋4x －1－x )＋4x ln4－1.法二：y ′＝(4x －x )′(e x ＋1)＋(4x －x )(e x ＋1)′＝(4x ln4－1)(e x ＋1)＋(4x －x )e x ＝e x (4x ln4＋4x －1－x )＋4x ln4－1.9. [2013·北京高考节选]已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x .若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值．解：由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )．因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，f (a )＝b ，解得a ＝0，b ＝1.。

北师版数学高二-选修2-2课时作业导数的乘法与除法法则

4.2 导数的乘法与除法法则一、选择题1．下列求导运算正确的是( )A ．(x ＋3x )′＝1＋3x2 B ．(log 2x )′＝1x ln2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x2．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角 3．若函数f (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，且f ′(x )是函数f (x )的导函数，则f ′(1)等于( )A ．24B ．－24C ．10D ．－104．函数f (x )＝x cos x －sin x 的导函数是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数5．设曲线y ＝f (x )＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2B.12C ．－12D ．－2 6．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f 2015(x )等于( )A ．－sin x ＋cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x －cos xD ．sin x ＋cos x7．在下面的四个图像中，其中一个图像是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图像，则f (－1)等于( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或53二、填空题8．设f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，若h (x )＝f (x )＋2g (x )，则h ′(5)＝________. 9．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为______________．10．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________.11．设曲线y ＝2－cos x sin x 在点(π2，2)处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝________. 三、解答题12．若函数f (x )＝e xx在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值．13．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图像在点M (－1，f (－1))处的切线的方程为x ＋2y ＋5＝0，求函数的解析式．四、探究与拓展14．已知f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，则a f ′(a )＋b f ′(b )＋c f ′(c )＝________. 15．已知函数f (x )＝13ax 3－14x 2＋cx ＋d 满足f (0)＝0，f ′(1)＝0，且f ′(x )≥0在R 上恒成立，求f (x )的解析式．答案精析1．B 2.C 3.A 4.B 5.D 6.A 7.B8.5169.x －y －1＝0 10.4096 11.1 12．解 ∵f ′(x )＝e x x －e x x 2＝e x (x －1)x 2， ∴f ′(c )＝e c (c －1)c 2. 依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，即e c c ＋e c (c －1)c 2＝0， ∴2c －1＝0，得c ＝12. 13．解由函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图像在点M (－1，f (－1))处的切线的方程为x ＋2y ＋5＝0知，－1＋2f (－1)＋5＝0，所以f (－1)＝－2，所以－a －61＋b＝－2，因为f ′(－1)＝－12，又f ′(x )＝a (x 2＋b )－2x (ax －6)(x 2＋b )2，所以a (1＋b )＋2(－a －6)(1＋b )2＝－12，解得a ＝2，b ＝3(因为b ＋1≠0，b ＝－1舍去)．所以所求的函数的解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3. 14．015．解由f (0)＝0，得d ＝0，f ′(x )＝ax 2－12x ＋c ，由f ′(1)＝0，得a －12＋c ＝0，即c ＝12－a ， f ′(x )＝ax 2－12x ＋c ≥0在R 上恒成立，当a ＝0时显然不成立，当a ≠0时需a >0，且Δ＝14－4ac ＝14－4a (12－a )＝4a 2－2a ＋14≤0，即(2a －12)2≤0，所以2a －12＝0，所以a ＝14，所以c ＝14，所以f (x )＝112x 3－14x 2＋14x .。

高中数学选修2-2北师大版教案：2.4.2导数的乘法与除法法则

课时教案科目：数学授课时间：第周星期年月日一、复习： 1、常见函数的导数公式：0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且()'x xe e = 1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a==>≠且 x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=2、运算法则法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 []()()''()'()f x g x f x g x ±=±法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．[]()'()'cf x cf x =二、探究新课自学课本44页,，得出:法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭例1 求下列函数的导数（1）2(23)(32)y x x =+- (两种方法) （2）()sin h x x x = （3）y =xx sin 2（4）y =332++x x （选讲）例2求满足下列条件的函数()f x(1) ()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-=(2)'()f x 是一次函数, 2'()(21)()1x f x x f x --=变式：已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2)，且在点M 处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式三、课堂检测：1.课本46页练习2. 专家伴读27页变式2四、小结：1. 理解两个函数的积、商的求导法则（公式）；2、会运用上述公式，求含有积、商综合运算的函数的导数；五、作业A：课本48页A组1（3）-（6）、4（1）（2）B：课本48页 A组4（3）-（8）六、预习：课本46-47页内容，记忆求导法则。

数学高二-选修2-2课时作业 导数的乘法与除法法则

数学高二-选修2-2素材 教材基础 第二章4导数的四则运算法则

2020-2021学年北师大版数学选修2-2作业课件：2.4 第13课时 导数的乘法与除法法则