最短路模型的建立幻灯演示
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图论模型(最优连线问题最短路问题)PPT课件
择的边组成图为无圈图，②新选边是满足①的尽可能 小的权。
（3）当（2）不能继续执行时停止。
（其思想是：在剩余边集中找边权最小的边添加到生成树中，同时又 不能产生回路即以局部的最优谋求全局的最优。）
上述的描述实际上是最小生成树的逐 步生长过程，上例的最小生成树如下：
A 5
1 3
D
8 E
水厂
9
B 7
6 10
著名数学家欧拉
七桥问题
图的基本概念
无 向 图
1 定义：由顶点和边组成的图形称为图。 有 向 图
赋
权
图
2 边e与顶点u、v相关联。顶点u与v相邻。
e
u
边e1与e2相邻。
e1
v
e2
u=v时，边e称为环。
3度
定义：与顶点v关联的边的数目称为顶点的度数， 记为d(v)。（注：环算2度。）
对于有向图的顶点的度数，还可分为出度 d ( v ) 和 入度 d ( v ) 。
u3
u6
0 8
1
6
u8
5
10
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2
6
1
1
u4
10
u7
第五步：min{8,11,11,9,8,12,7,11,11}，u3。
u2
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第六步：min{11,12,11,11,9}，u7。
u2
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（3）当（2）不能继续执行时停止。
（其思想是：在剩余边集中找边权最小的边添加到生成树中，同时又 不能产生回路即以局部的最优谋求全局的最优。）
上述的描述实际上是最小生成树的逐 步生长过程，上例的最小生成树如下：
A 5
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D
8 E
水厂
9
B 7
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著名数学家欧拉
七桥问题
图的基本概念
无 向 图
1 定义：由顶点和边组成的图形称为图。 有 向 图
赋
权
图
2 边e与顶点u、v相关联。顶点u与v相邻。
e
u
边e1与e2相邻。
e1
v
e2
u=v时，边e称为环。
3度
定义：与顶点v关联的边的数目称为顶点的度数， 记为d(v)。（注：环算2度。）
对于有向图的顶点的度数，还可分为出度 d ( v ) 和 入度 d ( v ) 。
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第五步：min{8,11,11,9,8,12,7,11,11}，u3。
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第六步：min{11,12,11,11,9}，u7。
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2
《最短路问题》课件
3 最短路问题的历史
渊源
最短路问题最早由荷兰 数学家 Edsger Dijkstra 在 1956 年提出。
最短路问题的定义
图论中的最短路问 题指什么？
在无向连通图或有向连通图 中，从某一起点到其余各顶 点的最短路径。
什么是路径长度？
路径长度是指路径上边或弧 的权值之和。
什么是无环图？
无环图指不存在环的图，可 以用拓扑排序求解最短路。
《最短路问题》PPT课件
欢迎来到最短路问题的世界。在本课件中，我们将介绍四种最短路算法及其 应用，并分析它们的优缺点。
问题背景
1 什么是最短路问题？ 2 为什么需要解决最
短路问题？
最短路问题是计算从源 节点到目标节点的最短 路径的问题。它是图论 中的一个经典算法问题。
很多实际问题都涉及到 最短路径的计算，比如 电网、交通、通信等领 域。
Floyd-Warshall算法解决的是所有点对之间 的最短路径问题，可以处理有向图或负边权 图。
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法解决的是有向图中含有负 权边的单源最短路径问题。
A*算法
A*算法综合了贪心和广度优先搜索，在启发 函数的帮助下，可以高效解决带权图上的单 源最短路径问题。
算法示例
1
Step 1
假设我们要求从 A 点到其他各点的最
Step 2
2
短路径。
首先初始化 A 点到其他各点的距离为
无穷大，A 点到自身的距离为 0。
3
Step 3
找到 A 点的直接邻居，更新其距离值。
Step 4
4
重复 Step 3，直到所有节点的距离值 都已经更新。
总结
数学建模最短路问题PPT课件
第19页/共54页
实现Kruskal算法的MATLAB程序： %加权图的存储结构采用边权矩阵[b(i,j)]m×3 b=[1 1 1 2 2 3 3 4
24535455 8 1 5 6 7 9 10 3]; [B,I]=sortrows(b’,3); B=B’; m =size(b,2); n=5; t=1:n; k=0; T=[ ]; c = 0;
1
8
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1
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6 10
33
51 1 421 1 4 22 3 34 5 5 78 inf 196 5 3
第16页/共54页
实现Prim算法的MATLAB程序： a=[0 8 inf 1 5;8 0 6 inf 7;inf 6 0 9 10;1 inf 9 0 3;…
5 7 10 3 0]; T=[ ]; e=0; v=1; n=5; sb=2:n; %1代表第一个红点，sb代表 白点集。 for j=2:n %构造初始候选边的集合
0
7
9
W
0 5 1 2 0 3 9
0 4 6
0
3 0
因 G 是无向图，故 W 是对称矩阵．
第27页/共54页
迭代 次数
１ 2 3 4 5 6 7 8
最后标记:
l (v) z (v)
u1
u2
０
0２
2
l(ui )
u3 u4
u5
１８
8
8
3
8
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02 17
3
u1 u1
u1 u6
u2
u6 u7
因此, 可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点 的最短路．
实现Kruskal算法的MATLAB程序： %加权图的存储结构采用边权矩阵[b(i,j)]m×3 b=[1 1 1 2 2 3 3 4
24535455 8 1 5 6 7 9 10 3]; [B,I]=sortrows(b’,3); B=B’; m =size(b,2); n=5; t=1:n; k=0; T=[ ]; c = 0;
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实现Prim算法的MATLAB程序： a=[0 8 inf 1 5;8 0 6 inf 7;inf 6 0 9 10;1 inf 9 0 3;…
5 7 10 3 0]; T=[ ]; e=0; v=1; n=5; sb=2:n; %1代表第一个红点，sb代表 白点集。 for j=2:n %构造初始候选边的集合
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因 G 是无向图，故 W 是对称矩阵．
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迭代 次数
１ 2 3 4 5 6 7 8
最后标记:
l (v) z (v)
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u3 u4
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u6 u7
因此, 可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点 的最短路．
第三节 最短路问题PPT课件
定义: 给定一个赋权有向图，即给了一个有向图
G=（V，A，W） ，对每一个弧aij =(vi,vj)∈A ， 相应地有权w（aij ） =wij ∈V1 ，又给定 G中的 两个顶点vs ,vt 。设 P是G 中从vs 到 vt的一条路，
定义路 P的权是 P中所有弧的权之和，记为W(P)
。最短路问题就是要在所有从vs 到vt 的路中，求 一条权最小的路，即求一条从vs 到vt 的路P* ，
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
则resent= vk,
， 。 Sk Sk1 vk
Tk Tk1 vk
若k=n，则结束，否则转第二步。
6
例 用Dijkstra算法求前面例子中从v1到各点的最短路。
v2 1
6 2
v5
2
v9
6
3
v1
3 v3 6
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v6 2 v7
v8
7
图上标号法:
v2 v1,6 1
v5
v1, ∞ 2
转步骤二。
29
用逐次逼近算法求从V1到V6的最短路
v2
5
4
v1
-3
5
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v3
v6 v4 6
2
v5
30
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
运筹学05_图与网络分析2-最短路幻灯片PPT
－1
v5
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1 －3
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1 v6
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v8
8 －5 2
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终 点
lij
P(t)1j
起 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 t=1 t=2 t=3 t=4 点
v1 0 -1 -2 3 0 0 0 0
v2 6 0 2 -1 -5 -5 -5
v3 -3 0 -5 1 -2 -2 -2 -2
运筹学05_图与网络分析2-最短 路幻灯片PPT
本PPT课件仅供大家学习使用 请学习完及时删除处理 谢谢！
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一般的最短路问题描述：
给定一个赋权有向图D=(V,A)，对每一个弧a=(vi,vj)，相应地有权
3
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v2
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v6
2
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8.5 v9
4 v8 9
最短路算法上课ppt
优点
缺点
优点
优点
效率低，需要遍历所有点（特别是有时候不需要最优解）、运算中占用空间大
缺点
算法简明易懂、并且一定能得到最优解
优点
Dijkstra算法可能不是最优先使用的方法，因为算法的运算速度效率，往往要比精确度更加重要
实际运用
但似乎在实际运行时效果并不理想！ 这样利用Dijkstra算法设计一个属于我们自己的导航系统啦。
最佳优先搜索简介
这个算法的运算流程跟Dijkstra的流程类似，只不过它考察的是选取点到终点的距离，并且这个距离的权值是评估出来的，这也就是启发式的思想。举例说明，如果说目标的终点在北面，那么越靠近北面的点权值就越小，那么算法在搜索过程中，所加入点集的点就会倾向于北面，因此不用搜索全图东南西北，更多的是搜索北面的点，速度来说会优于Dijkstra算法很多。
01
A*算法能够解决有固定障碍物的路径规划问题，并且能很快地给出解，但是当障碍物是移动的时候，我们又应该如何对算法进行改从而给出解呢？
02
一个典型问题：AGV小车线路规划！
智能码头：AGV
AGV中文名：自动导引小车
是自动化码头水平运输系统中用于搬运集装箱的搬运设备。
其主要职责：就是在规定的时间窗口范围内完成堆场和岸桥之间实现集装箱的传送。
一
算法的描述上看去相当复杂，我们给出下面例子来具体说明整个算法的运行流程！
首先我们要有如下概念：
假设P：v→km是从顶点v到km的一条最短路径，那对这条路径上任意其他一点ki，都有 P上关于v→ ki的子路径为v到点ki的最短路径。
即最短路径的子路径仍然是最短路径，最短路算法本质上上基于这种思想展开的。
最短路问题及相关算法介绍
最短路模型的建立幻灯演示
题目中的回路必须经过某2个结点,这 样可以以这两个结点为分界,将环拆为2条 路径,这两条路径互不相交. 单纯地进行两次求最长路径是行不通的, 这样要么无法保证两条路加起来最长,要 么无法保证两条路径不相交 但是我们可以重新根据原图来重新构造 一个状态转移图,再根据这个图来求最长 路径.
符号及变量说明:
题目重述:
给出图G,找出一个包含起点和终点的哈密 顿回路,使回路通过的结点数最多.
问题分析:
这显然是一个图的模型,关键是考察我 们能怎样利用这个图的模型求解. 求回路这不是我们最熟悉的算法,在图 论中,我们最先接触的也是我们比较熟悉 的算法应该是求最短路,求生成树,求匹 配,求网络流等.需要将题目给出的模型 转换为一个我们所熟悉的模型.
这里再给出一组样例输入来更方便地表达这个模型: 56 A B C D E BC AD CE AB DE AC
从城市A到城市E的两条路径分别到达城市i,j可 以表示为V(i,j),我们用两条路径分别到的城市 作为状态,再建立一个图. V(A,A); V(A,D) V(A,E); V(B,E); V(C,E); V(E,E); 等……
另外,V(A,B)到V(D,C)可以选取以下路线 V(A,B)→V(A,C) →V(D,C) 也可以 V(A,B→)V(D,B) →V(D,C) 明显的, 应为两条路径是没有分别的,所 以两种路线是等价的,
为了避免数据冗余,这里规定V(i,j)的i<=j(拓 扑序列)而且仅当(i,j为起点或终点时i=j).这样 子还有一个好处是得到的图是无环图.这样 子就得到了一个状态图.
记V(A,B)表示第一条路径到达A,第二条 路径到达B.
模型的建立:
可以观察到题目提供的数据中给出了经 过拓扑排序后的顶点且规定路路径的方向 始终向着终点,而且起点是第一个结点, 终点是最后一个结点,那么也就是说我们 将环拆为2条路径之后,我们并不需要"走 回头路".这样我们可一将题目给出的无 向图变为有向图,而且边的方向朝着终点.
最短路问题(课堂PPT)
5
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0
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V2
3
6 5 5 V6
V1 4
7 2
V4 7
1
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V5 4
V3
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4
6
(4)找出所有与v1,v2,v3相邻的未标记的点v4,v5,v6，求出
从v1直接到这些点的距离(v1->v4:7)以及经过v2到这些点 的距离(v1->v2->v4:11;v1->v2->v5:10;v1->v2->v6:8)以及 经过v3到这些点的距离(v1->v3->v4:6;v1->v3->v5:12)找出 这些距离中最短的路径为v1->v3->v4，最短距离为L14=6， 将v4标记为6
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时间
2 3 3 2
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(2)找出同v1相邻的未标号的点有v2,v3,v4，求出从
v1到其所有相邻点的距离(v1->v2:5;v1->v3:4;v1>v4:7)，距离最短路径为v1->v3，最短距离为L13=4， 将v3标记为4
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(5)找出所有与v1,v2,v3,v4相邻的未标记的点v5,v6，求出
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(4)找出所有与v1,v2,v3相邻的未标记的点v4,v5,v6，求出
从v1直接到这些点的距离(v1->v4:7)以及经过v2到这些点 的距离(v1->v2->v4:11;v1->v2->v5:10;v1->v2->v6:8)以及 经过v3到这些点的距离(v1->v3->v4:6;v1->v3->v5:12)找出 这些距离中最短的路径为v1->v3->v4，最短距离为L14=6， 将v4标记为6
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v1到其所有相邻点的距离(v1->v2:5;v1->v3:4;v1>v4:7)，距离最短路径为v1->v3，最短距离为L13=4， 将v3标记为4
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(5)找出所有与v1,v2,v3,v4相邻的未标记的点v5,v6，求出
63 最短路问题PPT课件
第六章 图与网络分析
6.1图与网络的基本知识 6.2 树 6.3最短路径问题 6.4网络最大流问题 6.5最小费用最大流问题
1
6.3 最短路问题
Shortest Path Problem
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现问从u1到u8,的各条路线中,哪一条的总长度最短? 3
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最短路问题
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现问从u1到u8,的各条路线中,哪一条的总长度?
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最短路问题
最短路问题
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6.3 最短路问题
Shortest Path Problem
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现问从u1到u8,的各条路线中,哪一条的总长度?
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现问从u1到u8,的各条路线中,哪一条的总长度?
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最短路问题
最短路问题
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求V(A,A)到V(E,E)的最长路即可.
对于任意给出的图,建立V(a,b)到V(c,d)的 边当(a到c有边或b到d有边,且c<=d(当且仅 当c,d是起点或终点时c=d)), 可以发现,每经 过一个结点,经过的城市数就多一个,所以可 以赋边的权值为1. 由于这样子建立的图是无环图,所以用最 短路的相关算法求V(s,s)到V(e,e)的最长路径 即可.至此,此题的最短路模型建立完毕.
记V(A,B)表示第一条路径到达A,第二条 路径到达B.
模型的建立:
可以观察到题目提供的数据中给出了经 过拓扑排序后的顶点且规定路路径的方向 始终向着终点,而且起点是第一个结点, 终点是最后一个结点,那么也就是说我们 将环拆为2条路径之后,我们并不需要"走 回头路".这样我们可一将题目给出的无 向图变为有向图,而且边的方向朝着终点.
题目重述:
给出图G,找出一个包含起点和终点的哈密 顿回路,使回路通过的结点数最多.
问题分析:
这显然是一个图的模型,关键是考察我 们能怎样利用这个图的模型求解. 求回路这不是我们最熟悉的算法,在图 论中,我们最先接触的也是我们比较熟悉 的算法应该是求最短路,求生成树,求匹 配,求网络流等.需要将题目给出的模型 转换为一个我们所熟悉的模型.
Байду номын сангаас
另外,V(A,B)到V(D,C)可以选取以下路线 V(A,B)→V(A,C) →V(D,C) 也可以 V(A,B→)V(D,B) →V(D,C) 明显的, 应为两条路径是没有分别的,所 以两种路线是等价的,
为了避免数据冗余,这里规定V(i,j)的i<=j(拓 扑序列)而且仅当(i,j为起点或终点时i=j).这样 子还有一个好处是得到的图是无环图.这样 子就得到了一个状态图.
这里再给出一组样例输入来更方便地表达这个模型: 56 A B C D E BC AD CE AB DE AC
从城市A到城市E的两条路径分别到达城市i,j可 以表示为V(i,j),我们用两条路径分别到的城市 作为状态,再建立一个图. V(A,A); V(A,D) V(A,E); V(B,E); V(C,E); V(E,E); 等……
最短路模型的建立
leokan
引言:
最短路是我们比较找接触到的图论算法, 对于许多问题,常常可以化为最短路模型 求解,下面以Canada Tour一题为例,讲讲 最短路模型的建立.
【例子】Canada Tour
You have won a contest sponsored by an airline. The prize is a ticket to travel around Canada, beginning in the most western point served by this airline, then traveling only from west to east until you reach the most eastern point served, and then coming back only from east to west until you reach the starting city. No city may be visited more than once, except for the starting city, which must be visited exactly twice (at the beginning and the end of the trip). You are not allowed to use any other airline or any other means of transportation. Given a list of cities served by the airline and a list of direct flights between pairs of cities, find an itinerary which visits as many cities as possible and satisfies the above conditions beginning with the first city and visiting the last city on the list and returning to the first city.
程序:
见PDF文档
总结:
对于我们不熟悉的模型,需要灵活运用已 有知识,善于用我们熟悉的模型解题.这是一 个在信息学竞赛中很有用的技巧.
谢谢
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题目中的回路必须经过某2个结点,这 样可以以这两个结点为分界,将环拆为2条 路径,这两条路径互不相交. 单纯地进行两次求最长路径是行不通的, 这样要么无法保证两条路加起来最长,要 么无法保证两条路径不相交 但是我们可以重新根据原图来重新构造 一个状态转移图,再根据这个图来求最长 路径.
符号及变量说明: