初中数学最值问题解题技巧,初中数学求最小值问题经典例题专题讲解及答案解析(共50题)
中考数学中的最值问题解法
中考数学中的最值问题解法在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。
下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。
一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1.（2022山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【】A．21B．5C．【答案】A。
【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=DE=14555D．521AB=1。
2AD2AE212122，∴OD的最大值为：21。
故选A。
例2.（2022湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=42，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是▲【答案】4。
【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM。
∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM。
在△AME与△AMN中，∵BE=BN，∠EBM=∠NBM，BM=BM，∴△BME≌△BMN（SAS）。
∴ME=MN。
初中几何中的最短路径与最值问题，快速解题思路及典型练习
初中几何中的最短路径与最值问题，快速解题思路及典型练习
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初中几何中最值问题的依据是:''两点之间,线段最短''、''垂线段最短''.在解决最值问题时,通常利用轴对称、平移等变换作出最值位置,从而把已知问题转化为容易解决的问题。
平面几何中最值问题综合性强、能力要求高.解题时要善于运用特殊与一般、转化、建模等数学思想，灵活运用特殊位置法、轴对称法、平移法、旋转法、构造三角形法、判别式法、配方法等各种数学方法，找到几何最值取得时的位置;或将问题转化成基本最短路径模型;或建立方程、函数模型，再求解。
两点在直线同侧的最短路径问题
给出一条直线，A、B两点在直线的同侧，要在直线上找到一个点，使这个点到A点和到B点的距离最短。
步骤：
①找到A（或B）关于直线的对称点P
②连接PB（PA）交直线于O，点O就是所要找的点
造桥选址问题
A、B在一条河的两岸，要在河上造一座桥MN，使A到B的路径AMNB最短。
步骤：
①作出河的宽度M′N′
②将M′N′平移，使M′向A点平移，N′向A′点平移，即AA′=M′N′
③连接A′B与河岸b交于N点
④过N点作直线a的垂线，垂足为M 。
则MN就是桥的位置.
涉及到两个动点的最短路径问题
给出一个正方形，已知两个定点和两个动点，
要在直线上找到这两个动点，使这四个点所围的四边形周长最小。
步骤：
①找到两个定点关于正方形的边的对称点，
②连接两个对称点，和正方形边的两边有两个交点。
③交点就是动点的位置
下面小编找了很多相关的练习，提供给老师、同学们去练习，只有见得多，练得多，才能熟能生巧哦！。
初中数学求最大值最小值的方法
初中数学求最大值最小值的方法求解最大值最小值的问题，在初中数学中主要注重以下方法：插值法、二分法、多项式函数的性质、排列组合和不等式。
一、插值法插值法常用于确定连续函数在其中一区间内的最大值最小值。
插值法的基本思想是根据已知的一些数值推算未知数值，然后利用推算得到的数值进行分析。
在初中数学中，可以应用插值法来确定一个函数在两个点之间的最大值最小值。
具体步骤如下：1.根据题目给出的条件，建立函数模型；2.根据给出的两个点，求出这两个点之间的差值；3.根据差值构造等差数列或等比数列；4.利用等差数列或等比数列的特性，给出一个近似的解；5.根据近似解，验证是否等差数列或等比数列的最大值最小值。
二、二分法二分法是一种逐步逼近的方法，它可以用来求解一个问题的最大值最小值。
二分法的基本思想是将问题的解域逐步缩小，通过排除不可能的解来逼近最终的解。
在初中数学中，可以应用二分法来求解一元函数的最大值最小值。
具体步骤如下：1.利用题目给出的条件建立函数模型；2.根据函数模型在给定区间内进行等分，确定中位数；3.利用中位数确定的点，验证其是否是函数的最大值最小值；4.如果不是，根据中位数及其左右两边的点，更新最大值最小值的区间；5.重复步骤2-4，直到得出符合条件的最大值最小值。
三、多项式函数的性质多项式函数的性质可以用来求解多项式函数在其中一区间内的最大值最小值。
在初中数学中，可以利用多项式函数的性质来求解复杂的多项式函数的最大值最小值。
具体步骤如下：1.利用给出的多项式函数进行展开；2.根据多项式的展开式，提取各项的系数和次数；3.通过观察各项的系数和次数，判断函数的最大值最小值出现的条件；4.根据判断条件，确定最大值最小值的区间；5.在确定的区间内，求解最大值最小值。
四、排列组合排列组合可以用来求解一组数据的最大值最小值。
在初中数学中，可以利用排列组合的方法来求解一组数据的最大值最小值。
具体步骤如下：1.根据题目给出的数据，列出所有可能的排列组合；2.根据题目要求的最大值或最小值的属性，制定策略；3.运用制定的策略，筛选出符合条件的排列组合；4.对筛选出的排列组合进行比较，得出最大值最小值。
初三最值问题的常用解法及模型
初三最值问题的常用解法及模型一、引言初三数学中最值问题一直是学生们头疼的难题。
最值问题不仅仅是考察学生对知识点的掌握程度，更重要的是考验学生解决实际问题和推理的能力。
在本文中，我们将探讨初三数学中最值问题的常用解法及模型，帮助学生们更好地理解和应对这一难点。
二、常用解法1. 图形法最值问题常常可以通过图形法来解决。
给定一个函数y = f(x)，可以通过画出其图像，然后找出函数的极值点来求解最值问题。
通过观察图像的特点，我们可以更直观地理解函数的最值点在何处，从而得到更准确的解。
2. 性质法有些最值问题可以通过利用函数的性质来解决。
关于一元二次函数的最值问题，我们可以通过一元二次函数的性质，如开口方向、顶点位置等来推导出最值点的位置，从而得到解的方法。
3. 等式法有些最值问题可以通过建立方程或不等式来解决。
通过建立关于未知数的方程或者不等式，我们可以将最值问题转化为解方程或解不等式的问题，从而得到最值点的位置。
三、常用模型1. 长方形面积最大问题给定一段定长的绳子，用这段绳子围成一个长方形，求这个长方形的面积最大是一个最值问题。
通过建立关于长方形面积的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解长方形面积最大问题。
2. 等边三角形周长最小问题给定一个定长的线段，求能够围成等边三角形的线段最小是一个常见的最值问题。
通过建立关于等边三角形周长的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解等边三角形周长最小问题。
3. 盒子体积最大问题给定一定面积的纸张，通过剪切和折叠，能够制成一个盒子，求使得盒子体积最大的折法是一个典型的最值问题。
通过建立关于盒子体积的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解盒子体积最大问题。
四、个人观点和理解最值问题在初三数学中是一个重要的难点，但也是一个可以锻炼学生逻辑思维能力和数学推理能力的好机会。
通过多维度的解法和模型，学生们可以更好地理解和掌握最值问题的解法，并且能够将数学知识与实际问题相结合，培养出更强的数学建模能力。
初中数学 几何最值专题
初中数学几何最值专题初中数学中，几何最值问题是一个常见的专题。
以下是一些常见的几何最值问题的类型和解决方法：一、两点之间线段最短原理：两点之间线段最短。
应用：在解决几何最值问题时，常常需要利用这个原理来找到两个点之间的最短路径。
例如，在一个矩形中，从一个顶点到另一个顶点的最短路径是通过矩形的对角线。
二、三角形三边关系原理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
应用：在解决几何最值问题时，可以利用这个原理来判断三角形的形状和大小。
例如，在一个三角形中，已知两边长分别为a和b，第三边长为c，则c的取值范围是|a-b|<c<a+b。
当c取最小值时，三角形为直角三角形；当c取最大值时，三角形为等腰三角形。
三、利用对称性求最值原理：利用对称性可以简化问题，找到最值。
应用：在解决几何最值问题时，可以利用对称性来找到最值。
例如，在一个圆内，从一个点到一个定直线的距离的最值可以通过作该点关于定直线的对称点来找到。
同样地，在一个矩形内，从一个点到一个定点的距离的最值也可以通过作该点关于矩形中心的对称点来找到。
四、利用旋转和平移求最值原理：利用旋转和平移可以改变图形的位置和方向，从而找到最值。
应用：在解决几何最值问题时，可以利用旋转和平移来找到最值。
例如，在一个三角形中，已知两边长分别为a和b，夹角为θ，则可以通过旋转和平移将三角形转化为直角三角形，从而找到第三边长的最值。
五、利用相似性和全等性求最值原理：利用相似性和全等性可以将复杂问题转化为简单问题，从而找到最值。
应用：在解决几何最值问题时，可以利用相似性和全等性来找到最值。
例如，在两个相似的三角形中，已知其中一个三角形的三边长分别为a、b、c，则可以通过相似性找到另一个三角形的三边长的最值。
同样地，在两个全等的图形中，可以通过全等性找到它们之间的最短距离或最大面积等。
初中数学最值问题典型例题(含答案分析)
考查知识点：1、“两点之间线段最短”（2、代数计算最值问题 问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式 出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件 问题 方法 中考数学最值问题总结 ,“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
3、二次函数中最值问题） 配方求多项式取值 二次函数顶点）圆、坐标轴、抛物线等。
如下左图， A 、B 是直线I 同旁的两个定点.在直线I 上确定一点P ，使PA PB 的值最小. 作点 A 关于直线I 的对称点A ，连结AB 交I 于 点P ，则PA PB AB 的值最小 例1、如图，四边形 ABCD 是正方形，△ ABE 是等边三 角形，M 为对角线BD （不含B 点） 上任意一点，将 BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接 EN 、AM 、CM . (1) 求证：△ AMB ENB ; (2) ①当M 点在何处时，AM+CM 的值最小;②当 M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由;(3) 当AM+BM+CM 的最小值为 ■■ ■■■ I 时，求正方形的边长。
例2、如图13,抛物线y=ax2+ bx + c（a丰（的顶点为（1,4 ）,交x轴于A B,交y轴于D, 其中B点的坐标为（3,0 ）（1）求抛物线的解析式（2）如图14,过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小•若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由•（3）如图15,抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN// BD,交线段AD于点N,连接MD使厶DN WA BMD若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b >2a且点F在AD上(以下问题的结果可用a,b表示)(1) 求DBF;(2) 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转45°得图2,求图2中的S^DBF;(3) 把正方形AEFG绕点A旋转任意角度，在旋转过程中DBF是否存在最大值，最小值？如果存在，试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。
初中数学竞赛专题选讲最大、最小值含答案
初中数学比赛专题选讲 ( 初三 .20)最大 最小值一、内容概要1.求二次函数 y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) ，的最大、最小值常用两种方法：①配方法：原函数可化为y=a(x+b ) 2+ 4ac b 2 .2a 4a∵在实数范围内 (x+ b) 2≥ 0，2a∴若 a>0 时，当 x=－b时， y最小值=4acb 2 ；2a4a若 a<0 时，当 x=－b时， y 最大值 =4acb 2 .2a4a②鉴别式法：原函数可化为对于x 的二次方程 ax 2+bx+c －y=0.∵ x 在全体实数取值时，∴ △≥ 0即 b 2－ 4a(c － y) ≥ 0，4ay ≥ 4ac －b 2 .若 a>0， y ≥若 a<0， y ≤4ac b 24a4ac b 24a24acb，这时取等号，则 y 为最小值；24acb，这时取等号，则 y 为最大值.有时自变量 x 定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用来临界点，一般用配方法方便 .2.用上述两种方法，可推出以下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大.最大值是定值平方的四分之一 .比如：两正数 x 和 y ，假如 x+y=10, 那么 xy 的积有最大值，最大值是 25.定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小. 最小值是定值的算术平方根的 2 倍 .比如：两正数 x 和 y ，假如 xy=16,那么 x+y 有最小值，最小值是8.证明定理一，可用配方法，也叫结构函数法.设 a>0,b>0,a+b=k .(k 为定值 ).2 那么 ab=a(k － a)= －a 2+ka=－ (a － 1k) 2+k.242当 a= k 时， ab 有最大值k.24证明定理二，用鉴别式法，也叫结构方程法 .设 a>0,b>0,ab=k (k 为定值 ) ，再设 y=a+b.那么 y=a+ k,a 2－ ya+k=0. （这是对于 a 的二次议程方程）a∵ a 为正实数，∴△≥ 0.即 ( － y) 2－ 4k ≥0， y 2－ 4k ≥ 0.∴y ≤－ 2 k ( 不合题意舍去 ) ； y≥ 2 k .∴ y 最小值 =2 k .解方程组a b 2 k ， 得 a=b= k .abk.∴当 a=b= k 时， a+b 有最小值 2k .3. 在几何中，求最大、最小值还有以下定理： 定理三： 一条边和它的对角都有定值的三角形，其余两边的和有最大值 .当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其余两边的和有最小值 .当这两边相等时，其和的值最小 .定理五：周长相等的正多边形，边数许多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例 1.已知： 3x2+2y2 =6x,x 和 y 都是实数，求： x2+y2的最大、最小值 .解：由已知y2=6x3x 2,∵ y 是实数，∴ y2≥ 0.2即 6 x3x2≥ 0， 6x －3x2≥ 0， x 2－ 2x ≤ 0.2解得0≤ x≤ 2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x2 +y2=x2+6x3x2=－1 ( x － 3) 2 + 9222在区间 0≤ x≤ 2 中，当 x=2时， x2 +y2有最大值 4.∴当 x=0 时， x2+y2=0 是最小值 .例 2.已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求：这个矩形周长、面积的最小值 .解：用结构方程法 .设矩形的长，宽分别为 a,b其周长、面积的数值为 k.那么 2(a+b)=ab=k.即a b1k，2ab k.∴a 和 b 是方程x2－1kx+k=0的两个实数根 . 2∵a, b 都是正实数，∴△≥ 0.即( －k) 2－ 4k≥ 0. 2解得 k ≥ 16；或 k ≤ 0 .k ≤ 0 不合题意舍去.∴当k ≥ 16 取等号时，a+b,ab的值最小，最小值是16.即这个矩形周长、面积的最小值是16.例 3. 如图△ ABC 的边 BC=a, 高 AD=h, 要剪下一个 矩形 EFGH ，问 EH 取多少长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？解：用结构函数法 A设 EH=x, S 矩形 =y,则 GH=y.HhxG∵△ AHG ∽△ ABC ，BXCEa DFyh x .∴xah∴ y=ax( h x) a( x h )2 ah .hh 2 4∴当 x= h时， y 最大值 = ah.2 4即当 EH=h时，矩形面积的最大值是ah .24例 4. 如图已知：直线 m ∥ n ，A ，B ，C 都是定点， AB=a, AC=b, 点 P 在 AC 上，BP 的延伸线交直线 m于 D. Aa Bn问：点 P 在什么地点时， S △ PAB +S △ PCD 最小？xP解：设∠ BAC=α， PA=x, 则 PC=b －x.b∵m ∥ n ，∴CD＝PC.mD CAB PA∴CD=a(b x)xS △ PAB +S △ PCD = 1 axSin α + 1a(b x)(b － x) Sin α2 2x= 1aSin α ( x b 2 2bx x 2 )2x= 1aSin α (2x+ b22b) .2x2 2∵2x ×b=2b 2( 定值 ) ，依据定理二， 2x +b有最小值 .xx∴ 当 2x =b 2x， x= 1 2b 时，2S +S 的最小值是 (2－1)abSin α .△ PAB △ PCD例 5. 已知： Rt △ ABC 中 , 内切圆 O 的半径 r=1. B求： S △ ABC 的最小值 .acO1解：∵S =ab ∴ ab ＝ 2S .r=1Ab△ ABC2△C∵ 2r=a+b － c,∴ c=a+b － 2r.∴a+b － 2r= a 2 b 2 .两边平方，得 a 2 +b 2 +4r 2+2ab －4(a+b)r= a2+b 2. 4r 2+2ab － 4(a+b)r=0.用 r=1,ab=2S △ 代入， 得 4+4S △ － 4(a+b) =0.a+b=S △ +1.∵ab=2S △ 且 a+b=S △ +1.∴a,b 是方程 x 2 －(S △ +1)x+2S △ =0 的两个根 .∵a,b 是正实数，∴△≥ 0，即 [ －(S △+1)] 2－4×2S △ ≥ 0， S △ 2－6S △ +1≥0 .解得 S △ ≥ 3+2 2 或 S △≤3－2 2 . S △≤3－ 2 2 不合题意舍去 .∴S的最小值是 3+22.△ ABC例 6. 已知： . 如图△ ABC 中， AB= 6 2 ，∠ C=30 . 求： a+b 的最大值 .解：设 a+b=y , 则 b=y － a.依据余弦定理，得( 62 ) 2=a 2+(y － a) 2－ 2a(y －a)Cos30写成对于 a 的二次方程：(2+ 3 )a 2－(2+ 3 )ya+y 2－ (8+4 3 )=0.∵a 是 数，∴△≥ 0.C30b a即 (2+2 22≥ 0，3 ) y －4(2+3 )[y －(8+4 3 )]BAcy 2 －(8+4 3)2 ≤0.∴ － (8+4 3 ) ≤ y ≤ (8+43 ).∴a+b 的最大 是 8+43 .又解：依据定理三∵AB 和∠ C 都有定 .C30∴当 a=b ， a+b 的 最大 .ba由余弦定理， (62 22c2 ) =a＋ b － 2abCos30AB可求出 a=b=4+2 3 . ⋯⋯⋯三、1. x 1,x 2,x 3,x 4 ,x 5 足 . x 1+x 2+x 3+x 4 +x 5 =. x 1 x 2x 3 x 4 x 5 ，那么 . x 5 的最大 是＿＿＿＿＿＿ .2.若矩形周 是定 20cm,那么当 和 分 ____，____ ，其面 最大，最大面 是______.3.面 100cm 2 的矩形周 的最大 是＿＿＿＿＿＿＿＿.4. a,b 均 正数且a+b=ab, 那么 a+b 的最小是 ________.5.若 x>0,x+ 9的最小 是 ________. x6.ABCD如 直 上有 A 、 B 、C 、 D 四个点 . 那么到 A ，B ，C ，D 距离之和 最小 的点，位于＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其和的最小 等于定 段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿..7.如右图△ ABC中， AB=2， AC=3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ是以 AB，BC，CA为边的正方形，则暗影部份的面积的和的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ .8. 以下四个数中最大的是()（A） tan48 +cot48 ..(B)sin48+cos48 . (C) tan48 +cos48 .(D)cot48 +sin48.9.已知抛物线 y=－ x2 +2x+8 与横轴交于 B， C两点，点 D 均分 BC，若在横轴上侧的点 A 为抛物线上的动点，且∠ BAC为锐角，则 AD的取值范围是 __________10.如图△ ABC中，∠ C=Rt∠， CA=CB=1，点 P 在 AB上，CPQ⊥ BC于 Q.问当 P 在 AB上什么地点时， S△APQ最大？Q11.AP B △ ABC中， AB=AC=a，以 BC为边向外作等边三角形 BDC，问当∠ BAC取什么度数时AD最长？12.已知 x2+2y2=1, x,y 都是实数，求 2x+5y2的最大值、最小值 .13. △ ABC中∠ B=，，求的最大值及这时三角形的形状.60AC=1BA+BC14.直角三角形的面积有定值 k, 求它的内切圆半径的最大值 .15.D， E，F 分别在△ ABC的边 BC、 AC、 AB上，若 BD∶ DC=CE∶EA=AF∶ FA =k∶ (1 － k) (0<k<1). 问 k 取何值时， S△DEF的值最小？16.△ ABC中， BC=2，高 AD=1，点 P，E，F 分别在边 BC，AC，AB上，且四边形PEAF是平行四边形 . 问点 P 在 BC的什么地点时， S PEAF的值最大？参照答案1. 5.2. 5 ，5 25.3. 40cm4. 45. 6上， BC+AD.7. 最大值是 9，∵ S = 1 × 3× 2×SinBAC,∠ BAC=90度时价最大 .△28. (A).9. 3<AD ≤ 910. P 在 AB 中点时， S △最大值 =1，S △ =x2 x822x 与 2 － x 的和有定值，当 x= 2 － x 时， S △ 值最大 .11.当∠ BAC=120度时， AD 最大，在△ ABD 中，设∠ BAD=α由正弦定理ADa，当 150 －α =90 时，AD 最大 .Sin (180 30 2a) Sin3012.当 x= 2 时，有最大值29；当 x=－1 时，有最小值－ 2 ( 仿例 3).51013. 当 a=c 时， a+c 有最大值 2，这时是等边三角形 .14. 内切圆半径的最大值 r=( 2 －1) S △ ( 仿例 6).15. 当 k= 1 时， S △ DEF = 1 S △ ABC ，16. 当 PB=1时， S 有最大值 1.24216. 当点 P 是 BC 中点时，面积最大值是 1.2。
中考数学《最值问题》及参考答案
中考数学《最值问题》及参考答案一、轴对称求最小值1.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，△ABC是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的值最小，求这个最小值．2.四边形ABCD中,∠BAD=122°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,当△AMN周长最小时,求∠MAN的度数．3.如图,∠AOB =45°,OC为∠AOB内部一条射线,点D为射线OC上一点,OD=√2,点E、F分别为射线0A、OB上的动点,求△DEF周长的最小值．二、垂线段最短求最值4.如图,矩形ABCD中,AD=3,AB=4,M为线段BD上一动点,MP⊥CD于点P,MQ⊥BC于点Q,求PQ 的最小值．5.如图,边长为6的等边三角形ABC中,E是对称轴AD上一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF,则在点E运动的过程中,求DF的最小值．6.如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为AB上一动点(不与A、 B重合),作PE ⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,求EF的最小值．7.如图,在ΔABC中,∠BAC=90,AB=6,BC=10,BD平分∠ABC,若P,Q分别是BD,AB上的动点,求PA+PQ的最小值．8.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以AB为边在AB上方作正方形ABDE,过点D作DF⊥CB,交CB的延长线于点F,连接BE,P,N分别为AC,BE上的动点,连接AN, PN,若DF=5,AC=9,求AN+PN的最小值.二、两点之间,线段最短求最值9.如图,等边△ABC的边长为4,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A´B´C´公关于直线l对称,D为线段BC´上一动点,求AD+CD的最小值是( )10.如图,在长方形ABCD中,AB=3,AD=4,动点P满足S△PCD=14S长方形ABCD´,求点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值．三、三角形三边的关系求最值问题11.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的坐标分别为A(-1,0)、B(0,2)、 C(4,2)、D(3,0),点P是AD边上的一个动点,若点A关于BP的对称点为A´,求则A´C的最小值．参考答案1.析：连接BP.因为点B 与点D 关于直线AC 对称，所以PB=PD .所以PD+PE =PB+PE≥BE，所以PD+PE 的最小值即为BE 的长．BE ＝AB ＝6，则PD+PE 的值最小为6．2.析：如图,延长AB 到A ´使得BA ´=AB,延长AD 到A ´使得DA"=AD,连接A ´A"与BC 、CD 分别交于点M 、N.∵∠ABC=∠ADC=90° ∴ A 、A ´关于BC 对称,A 、A"关于CD 对称,此时ΔAMN 的周长最小∵BA=BA ´,MB ⊥ AB ∴MA =MA ´同理:NA=NA" ∴∠A ´=∠MAB,∠A"=∠NAD∵∠AMN =∠A ´+∠MAB =2∠A ´,∠ANM =∠A"+∠NAD =2∠A"∴∠AMN +∠ANM = 2(∠A ´+∠A")∵∠BAD=122° ∴ ∠A ´+LA"=180°-∠BAD=58° ∴∠AMN +∠ANM=2x58°=116∴∠MAN =180-116°=64°3.析：作点D 作关于OA 的对称点P,点D 关于OB 的对称点Q,连接PQ,与OA 的交点为点E,与OB 的交点为点F.△DEF 的最小周长为DE +EF +QF =PE+EF+QF =PQ连接OP 、OQ,则OP=0Q=√2 ∵∠POQ =2∠AOB=90°∴ΔOPQ 是等腰直角三角形∴PQ =√2OD=2∴ΔDEF 的周长的最小值是2.4.析：如图,连接CM∵MP ⊥CD 于点P,MQ ⊥BC 于点Q ∴∠CPM =∠CQM=90°∴四边形ABCD 是矩形∴BC=AD=3,CD=AB=4,∠BCD=90°∴四边形PCQM 是矩形,PQ =CM∴BD =√32+42=5当CM ⊥BD 时,CM 最小,则PQ 最小,此时,S △BCD =1 2BD ·CM=12BC ·CD ∴PQ 的最小值为125.5.析：取线段AC 的中点G,连接EG∵ΔABC 为等边三角形,AD 为△ABC 的对称轴∴CD=CG=1 2AB=3,∠ACD =60° ∵ ∠ECF =60°∴∠FCD =∠ECG在ΔFCD 和ΔECG 中,FC =EC,∠FCD=∠ECG,DC=GC∴ΔFCD ≌AECG ∴DF =GE当EG ⊥AD 时,EG 最短,即DF 最短∵点G 为AC 的中点,EG=DF=1 2CD=32 6.析： 连接CP.∵∠C=90,AC=3,BC =4 ∴AB =√32+42=5∵PE ⊥AC,PF ⊥BC,∠C=90°∴四边形CFPE 是矩形∴EF =CP由垂线段最短可得CP ⊥AB 时,线段EF 的值最小S △ABC=1 2BC ·AC=12AB ·CP ∴1 2×4×3=12×5·CP ∴CP =2.4 7.如图,作点Q 关于直线BD 的对称点Q ´∵BD 平分∠ABC ∴点Q 在BC 上连接PQ ´,则PA+PQ 的最小值即为PA+PQ ´的最小值∴当A 、P 、Q ´三点共线且AQ ´⊥BC 时,PA+PQ 的值最小过点A 作AM ⊥BC 于点M,则PA+PQ 的最小值即为AM 的长∵AB=6,BC=10 ∴AC ²=10²-6²=64 ∴AC=8∵ S △ABC =1 2AM ·BC=1 2AB ·AC ∴AM=AB·AC BC =48 10=4.88.析：连接AD ，与BE 交于点O∵四边形ABDE 是正方形 ∴BE ⊥AD,OD =OA ，点A 与点D 关于直线BE 对称 求PN + AN 的最小值，只需D ，N ，P 在同一条直线上，由于P ，N 分别是AC 和BE 上的动点，过点D 作DP ⊥AC 于P 交BE 于点 N ，此时PN + AN =PN+ND=PD ，由△ABC ≌ △BDF 可知，BF= AC = 9，BC=DF=5，易知四边形DFCP 是矩形，CF=PD=BF+BC=9+5=149.析：如图,连接AD∵△ABC 是边长为4的等边三角形 ∴AB =BC=4,∠ABC=60° ∵△ABC 与△ A ´B ´C ´关于直线l 对称∴A ´B=BC,∠AB ´C ´=60°∴∠CBC ´=60°=∠A ´BD∴△BCD ≌△BA ´D(SAS)∴A ´D=CD ∴CD +AD =AD +A ´D当A 、D 、A ´三点共线时,AD+A ´D 最小,此时CD+AD 最小,最小为4+4=8.10.析：如图,设APC 的CD 边上的高是h.∵S △PCD =1 2S 长形ABCD ,AD=4 ∴1 2·CD ·h =1 4CD ·AD ∴h=12AD=2 ∵动点P 在与CD 平行且与CD 的距离是2的直线l 上连接AC 交直线l 于点P ´∵l//CD,AD=4,四边形ABCD 是长方形 ∴l ⊥AD,l ⊥BC∴直线l 是BC 边的垂直平分线 ∴BP ´=CP ´∴AP ´+BP ´=AP ´+CP ´ ∴ AC 的长是最短距离∴AC=√32+4=5,PA +PB 的最小值为5.11.析：连接BA ´∵AB=√5,BC =4若点A 关于BP 的对称点为A ´ ∴BA ´=BA=√5在△BA ´C 中,A ´C ≥BC-BA ´,即AC ´≥4-√5∴AC ´的最小值为4-√5。
中学数学的最值极值问题
中学数学的最值极值问题
中学数学中的最值极值问题通常涉及到函数的最大值和最小值，以及函数在某些点处的极值。
以下是一些解决这些问题的基本步骤：
1. 求导数：对于给定的函数，首先需要求出它的导数。
这可以通过求解函数的导函数来实现。
2. 找到导数为0的点：导数为0的点是函数的可能最值或极值点。
这些点可以通过求解导数为0的方程来找到。
3. 检查导数的符号：在导数为0的点处，需要检查导数的符号以确定该点是最值还是极值。
如果导数在该点的左侧为正，右侧为负，则该点为函数的最大值点。
如果导数在该点的左侧为负，右侧为正，则该点为函数的最小值点。
如果导数在该点的左右两侧都为正或都为负，则该点为函数的极值点。
4. 检查边界条件：在求解最值或极值时，还需要检查函数的边界条件。
这些条件可能包括函数的定义域、范围等。
通过以上步骤，可以解决中学数学中的最值极值问题。
九年级数学最大值、最小值问题
通过代入原题、反证法等方式 检验答案的正确性。
避免常见错误
01
02
忽视题目中的限制条件， 导致答案不符合题意。
计算错误，如加减乘除 运算错误、开方运算错 误等。
03
理解错误，如对题意理 解不准确、对概念理解 模糊等。
04
书写不规范，如步骤跳 跃、缺少必要的说明和 推导等。
05 练习题与答案解析
基础练习题
在一个给定的范围内，一个函数 所能取到的最小的值。
实际问题中求解意义
优化问题
在实际生活中，经常需要找到某个量的最大值或最小值，以达到最优化的目的。 例如，在经济学中，生产者追求成本最小化和利润最大化；在工程学中，设计 师需要确保结构的强度和稳定性等达到最优。
决策依据
通过求解最大值、最小值问题，可以为决策者提供有力的数据支持，帮助他们 做出更加明智的决策。
利用三角形两边之和大于第三边，两 边之差小于第三边的性质求最值。
对称性质
利用对称点的性质求最值，如点到直 线的距离最短时，点关于直线对称。
不等式法
基本不等式
应用算术平均数-几何平均数不等 式（AM-GM不等式）求最值。
柯西不等式
应用柯西不等式求最值，注意等号 成立的条件。
排序不等式
对于两组数，通过排序后应用不等 式求最值。
结合函数图像，利用几何意义（如距离、面积等）来求解最值问 题。
注意定义域和值域
在求解过程中，要特别注意函数的定义域和值域，避免出现不符 合实际情况的解。
实际应用题中最值问题
理解题意并建立数学模型
认真阅读题目，理解题意，将实际问题抽象为数学模型， 明确已知条件和求解目标。
列出方程或不等式
根据已知条件和求解目标，列出相应的方程或不等式。
几何最值问题常用解法初二
几何图形中常见最值问题的解法平面几何图形中的最值问题是近几年中考常见的题型，此类问题常让学生无从下手，特别是新市民子女，由于他们数学知识的短缺、题目信息采集不够、综合应用能力弱、数学思维紊乱，课本知识理解不到位等原因造成错误为此我在平时教学中注重对这类问题的归类整理，在教学中对他们进行必要的专题拓展训练，引导他们归纳、总结、获得解决这类问题的基本技能，培养他们的思维习惯.一、轴对称变换—最短路径问题1.书本原型:(1)点A 、点B 在直线l 两侧，在直线l 找一点P ，使PA PB +值最小.分析根据两点之间线段最短.点P 既在直线l 上，又在线段AB 上，PA PB +值最小.解连接AB ，交直线l 于点P ，点P 就是所要求作的点.(2)点A 、点B 在直线l 同侧，在直线l 找一点P ，使PA PB +最小.分析利用轴对称的性质找一个点1B ，使得1PB PB =，因而1PA PB PA PB +=+，要使PA PB +最小，只要1PA PB +最小，只要A 、P 、1B 三点共线.解作点B 关于l 的对称点1B ，连接1AB 交l 于点，点P 就是所要求作的点.(也可以作点A 关于l 的对称点1A ，连接1A B 交l 于点P ，点P 就是所要求作的点).2.应用例1在右图中，以直线l 为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系，点(1,2)A 、(4,1)B .(1)在x 轴上找一点P ，使PA PB +最小，请在图中画出点P ，并求出点PA PB +的最小值.分析作A 、B 两点中的一点关于x 轴的对称点，连接这个对称点与另一点的线段交x 轴于点P .PA PB +的最小值实际上就是线段1AB 的长3.∴PA PB +的最小值是3.(2)在y 轴上找一点C ，在x 轴上找一点D ，使四边形ACDB 的周长最小，则点C 的坐标为，点D 的坐标为.分析本题两个动点C 、D ,要使四边形ACDB 的周长最小，只要AC CD BD AB +++的值最小，而AB 是一个定值，只要AC CD BD ++最小.作点A 关于y 轴的对称点1A ，作点B 关于x 轴的对称点1B ，则1AC A C =，1BD B D =，AC CD +11BD A C B D CD +=++，只要1A 、C 、D 、1B 共线，则11A C B D CD ++最小，从而AC CD BD ++最小.解作点A 关于y 轴的对称点1A ，作点B 关于x 轴的对称点1B ，连接11A B .交y 轴于点C ，交x 轴于点D .设直线11A B ，的解析式为y kx b =+, 点A (1,2)关于y 的对称点1(1,2)A -， 点B (4,1)关于x 轴的对称点1(4,1)B -，241k b k b -+=⎧∴⎨+=-⎩，解得3/57/5k b =-⎧⎨=⎩，∴直线11A B 的解析式为37.55y x =-+∴点C 的坐标为7(0,5，点D 的坐标为7(,0)3.二、垂线段最短—最短路径问题1.书本原型在灌溉时，要把河中的水引到农田P 处，如何挖渠使渠道最短.分析根据垂线段最短，P 到直线l 最短的距离是点P 到直线l 的垂线段的长.解过点P 作直线河岸l 的垂线段，垂足为点A ，线段PA 就是最短的渠道.2.应用例3如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点(4,0)A -、(0,4)B ，⊙O 的半径为1(O 为坐标原点)，点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线,PQ Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为.分析因为PQ 是⊙O 的切线，连接OQ ，则90PQO ∠=︒.由勾股定理得222PQ PO OQ =-.因为⊙O 的半径1OQ =，要使PQ 最小，只要PO 最小，从而转化为求PO 的最小值，当PO AB ⊥时，PO 最小值为2.PQ ∴.四、平面展开图—最短路径问题我们常常遇到蚂蚁从一个几何体的一个侧面上一个点，绕过侧面走到另一个点，怎样走最近的问题.通常将曲面展平，转化为两点之间线段最短、垂线段最短问题，从而将曲面的最短路径问题转化为平面最短路径问题例5如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是.分析这是一个蚂蚁爬行的最短路径问题，将圆柱的侧面展平，得到一个矩形.蚂蚁从容器外壁爬到容器内壁最短，就是蚂蚁沿圆柱侧面爬到容器顶经过某一点P ，再爬到点A 的最短路径，实际上就是在一边DE 上找一点P ，使1PA PB +最小.根据轴对称—最短路径问题的作图步骤得蚂蚁沿线段2BA 最短，根据勾股定理可得2BA 的长.解在21Rt A B B ∆中，2112A B = cm ,15BB =cm由勾股定理得，222221114425169A B A B BB =+=+= ,213A B ∴=cm.所以蚂蚁爬行的最短路线长是13cm.学生觉得难以解决的几何最值问题，我在平时的教学中注重把书本原型跟学生讲透;让学生理解书本上的原理:两点之间线段最短、垂线段最短、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，让学生感受到数学中的化归思想、数形结合思想，让学生有章可循，有法可用.授人以鱼不如授人以渔，对于新市民子女的数学学习，主要是提高他们数学学习兴趣，学会解题技能，让他们感受到学习数学乐趣，让他们想学数学、能学数学、学好数学，从而爱上数学，真正实现《新课程标准》所倡导的理念:“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展.”。
数学最值问题解题思路初中
数学最值问题解题思路初中数学是一门需要逻辑思维和分析能力的学科，而解题则是数学学习过程中的重头戏。
数学最值问题既是数学中非常重要的问题之一，也是初中数学中难度较大的一个章节。
本文将围绕数学最值问题解题思路进行阐述，帮助初中学生更好地解决这类难题。
一、题目分析在解决数学最值问题时，首先需要对题目进行仔细的分析。
要明确所求的最大值或最小值是什么，在什么条件下取得。
例如，有一道题目：设x、y是正数，且 x+y=10，求x和y的乘积最大值。
在分析题目时，我们需要明确所求答案：即x和y的乘积最大值；以及条件：即x和y之和为10。
二、关键公式在解决数学最值问题时，关键公式是必不可少的。
不同的问题需要使用不同的公式。
这就需要对不同的问题、不同的公式进行分类总结。
下面是一些常用的公式：1.平均数不等式：对于任意n个数a1,a2,a3,……an，其算术平均数 A 与其（n个数）的几何平均数 G 有A≥G，一般写作：(a1+a2+a3+...+an)/n ≥ (a1a2a3...an)^(1/n)2.柯西不等式：对于任意两个有限数列 a1,a2,a3,...an 和b1,b2,b3,...bn(a1b1+a2b2+...+anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... an^2) (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)3.全纯函数极值定理：对于全纯函数 f(z) 的一个正圆盘域，如果它在该圆盘上有极值，那么它必须是圆盘中的一个常数。
三、解题步骤1. 确定问题：明确题目所求最大值或最小值，并对条件进行分析。
2. 设变量：如果题目中没有已知量或自变量，则需要自己设定变量，常见的为设定两个变量。
3. 建立方程式：依据题意利用已知量或所设变量建立方程。
4. 化简方程式：对方程式进行化简，方便进行计算。
5. 求解方程式：依照前面所列出的关键公式进行计算求解。
6. 判断答案的正确性：有时算出的答案需要进行反向验证，以确认答案的正确性。
初中数学最值问题汇总
初中数学最值问题汇总
初中数学中的最值问题主要涉及以下几种类型：
1、最大值和最小值：在给定条件下，求某个变量的最大值或最小值。
2、最佳选择问题：在多种选择中，通过比较各种情况的成本或收益，选择最优的方案。
3、图形中的最值问题：在图形中求某一点或某一段的最值，如圆、抛物线、三角形等。
以下是一些常见的最值问题及解决方法：
1、配方法：对于二次函数，通过配方将函数转化为顶点式，从而容易求出最大值或最小值。
2、轴对称：对于线段和直线的问题，常常通过轴对称找到最短路径或最小值。
3、均值不等式：在求几个数的和的最小值时，常常使用均值不等式。
4、函数的单调性：利用函数的单调性来求解最值问题。
此外，还有如利用导数求解最值、概率统计中的最值问题等。
在解决最值问题时，需要灵活运用各种数学知识和方法。