建模 灾情巡视

灾情巡视路线问题的研究摘要本文分析的是最佳的巡视路线问题，我们用Kruskral 算法对原路线图进行处理，求得其最小生成树，并以巡视总路程、各组巡视时间和路程（时间）均衡度为目标函数建立模型，通过图论软件包、Matlab 软件求解，并对结果进行均衡度检验，设计出了最佳巡视路线，而且对影响最佳巡视路线的因素进行了定量分析。

针对问题一：问题一我们运用了用Kruskral 算法对原路线图进行处理，求得其最小生成树，提出了分块准则，我们根据分块准则，建立了以巡视总路程和路程均衡度为目标函数的多目标标模型，并通过分析比较和路程均衡度检验，最终得出了最佳巡视路线，此时巡视总路程公里5.622=S ，路程均衡度为%3.6=s α具体巡视路线见表三。

针对问题二：我们通过分析可知在此种情况下至少需分四组巡视，并在题一得出的最小生成树的基础上，提出分块准则，建立了以个组巡视总时间和时间均衡度为目标函数的多目标模型，并通过分析比较和时间均衡度检验，得出了最佳巡视路线，此时25.2124.22,27.22,05.224321====T T T T 小时，小时小时小时，时间均衡度%7.6=t α，具体巡视路线见图二。

针对问题三：我们通过图论软件包求出了所有的点到点O 的最短距离，以及离O 最远的点为H 点，我们以巡视H 点的最短时间为各组各组巡视时间的上限，运用图论软件包和自己分析判断，最终制订了最佳巡视路线，此分组组数为23组，具体数据和巡视路线见表五。

针对问题四：我们假设该问题是已经定分为三组的情形，且在乡镇停留时间为在村停留时间整数倍情况下讨论V t T 和，的改变对最佳巡视路线的影响。

由问题一的求解结果可知，第三组巡视路线较第一组、第二组巡视路线长，所以我们只讨论在V t T 和，改变时对第三组巡视路线的影响进行分析以说明问题。

最终得出结论：停留时间的改变对最佳巡视路线影响较大；汽车时速的改变对最佳巡视路线的确定影响较小。

关键词：Kruskral 算法 图论软件包 最小生成树1.问题重述1.1问题的提出下图为某县的乡镇、村公路网络示意图，公路边的数字为该路段的公里数。

今年夏天某县遭受水灾。

为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡镇、村巡视，巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡镇、村，又回到县政府所在地的路线。

1.2需要解决的问题问题1：若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线图问题2：假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时。

要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。

问题3：在上述关于T , t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。

问题4：若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳巡视路线的影响。

2.问题分析2.1问题一的分析此题要求我们分三组巡视路线，使三组的总路程最小且各组尽可能的均衡，为此我们可以考虑建立以三组巡视路线总路程值最小和三组路程的均衡度两个目标函数的模型。

首先我们可以运用Kruskral算法构造巡视图的最小生成树，然后以最小生成树的主干将生成树分成三组，分别构造出每组总路线值最小的回路，如果以上两个目标值不佳，我们还可以重新分组，进过多次调整达到较为合理的结果。

2.2问题二的分析此问在第一问基础上增加了时间限制，要求在二十四小时内完成巡视，我们算得完成巡视所需的总停留时间为69小时，如果按照第一问中分三组巡视，完成巡视所需的总停留时间应该不大于72⨯小时，则每辆汽车行驶的时间3=24不能超过()172=-小时，而车行驶速度为35公里/每小时，这显然不能满足693需求，为此我们考虑至少需要分四组，如果分四组，完成巡视所需的总停留时间应该不大于96⨯小时，则每辆汽车行驶的时间不能超过()94=2496=-小369时，在这种情况下，巡视的总路程的最大值为()1015⨯96=-公里，我们以6935题一巡视总路程622.5公里为参考值，将巡视人员分为四组是可行的，然后我们分别以四组巡视的总路程、四组路程均衡度、四组完成巡视的停留时间和时间均衡度为目标函数建立模型，并重点考虑四组完成巡视的停留时间和时间均衡度为目标函数建立模型。

2.3问题三的分析此题在第二问基础上放宽了条件，即巡视人员不受限制，此时完成巡视的时间由离县政府最远的乡（镇）或村决定要求完成巡视的最短时间，我们只要求离O点最短距离最大的巡视点，然后算出行驶时间与在巡视点停留的时间之和即为完成巡视的最短时间，在最短巡视时间要求下，如果我们可以分足够多的组，必定能完成巡视人物，但考虑到这在现实生活中是不可能的，所以我们应该在满足条件的基础上尽量减少巡视组数，然后求出最小生成树后可以对每个结点进行遍历，借助图论软件包进行协助，这样可以求出最佳的巡视路线，2.4问题四的分析假设该问题是己定分三组的情形,且要求在尽快完成巡视的情况下讨论V t T 和,的改变对最佳巡视路线的影响。

由问题一的求解结果可知 ,第三组巡视路线较第一组 、第二组巡视路线费时,故我们不妨讨论在V t T 和,改变时对第三组巡视路线的影响进行分析以说明问题。

3.模型假设假设一：汽车在路上的速度时一定的，不会出现抛锚等现象； 假设二：巡视过程中，在每个乡镇、村停留时间一定，不因特殊情况而延误时间； 假设三：每个小组的汽车行书速度基本相同； 假设四：分组后，各小组只能走自己区内的路，不能走其它小组的路，出公路外。

假设五：村镇被巡视一次后，再次经过时不会停留。

假设六：巡视时可以经过一条路多次4.符号约定T巡视人员在各乡停留时间 t 巡视人员在各村停留时间 i T 第i 组巡视人员巡视总时间0T 巡视总时间 V汽车行驶速度 S汽车行驶总路程 i S各组汽车行驶路程 s α各组路程均衡度 N 分组组数 C 各组巡视的村庄数目 Z各组巡视的乡镇数目(),G V E赋权连通图i G (),G V E 的第i 个子图 i V(),G V E 的第i 个子图的顶点数iM乡（镇）的巡视数（() 2,1=i ）i m 村的巡视数maxS是各巡视组中最长的路程tα各组时间均衡度5.数据处理为了便于制定出最佳的巡视路线，首先我们运用Kruskral 求得巡视路线图的最小生成树：图1 最小生成树6.问题一的解答针对问题一我们建立模型一 6.1模型一的建立 6.1.1确定目标函数根据题意，根据题目信息，我们将巡视路线图抽象为一个赋权无向连通图()E V G ,，现要分三组进行巡视，则需要将()E V G ,分成三个子图()3,2,1=i G i ，在每个子图I G 中寻找路程最小的回路()3,2,1i S ，于是我们以汽车行驶总路程和各组行驶路程的均衡度为目标函数：⎩⎨⎧sSMin α6.1.2 确定约束条件各组行驶路线路程最小值：()3,2,1,=i S Min i则行驶路线总路程最小值：∑=3iiS MinS Min根据路线巡视图可知，除县政府意外有52个巡视点，则各组巡视点之和应该满足523=∑i iV且各组行驶路程的均衡度s α应该小于0.1才算比较均衡即()()()1.0<-=i i i s S Max S Min S Max α6.1.3 综上所述，得到问题一的模型⎩⎨⎧sS Min α()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==∑∑52.33i ii I i s i iV S Max S Min S Max S Min S Min t s α6.2 模型一的求解 6.2.1确定准则为了设计出更为合理的巡视路线，我们规定了以下准则 准则一：尽量使同一支干上集分支上的点分在同一组； 准则二：尽量使相邻干支上的点分到同一组； 准则三：尽量将长的干支与短的干支分到同一组6.2.2求解过程在以上准则前提下，我们根据最小树分块原则，将图(),G V E 初步分块成三个子图i G ()1,2,3i =，提出了三种设计方案，每种方案是在前种方案基础上进行调整，最终确定方案三时最佳的。

设计方案一：我们根据分组原则确定第一条分组方案，方案一如下（具体路线图见附图一）表一：巡视路线图1此种情况下总的行驶路程为：5.5783==∑iiS MinS Min 公里，路程的均衡度为：()()()%6.35=-=i i i s S Max S Min S Max α方案一结果分析由计算结果可知，行驶总路程5.578=S Min ，结果较满意，但均衡度%10%6.35<=s α，说明此分组方案明显不能达到均衡的要求，故需重新调整分组方案，为此我们考虑第二种分组方案。

设计方案二：鉴于方案一不能满足要求，故我们提出来方案二，方案二如下（具体路线图见附图二）表二：巡视路线图2组号 巡视路线巡视路程 1O ~1~B~34~35~32~31~33~A~R~29~Q~30~Q~28~27~26~P~O154.02 O ~P~26~N~24~23~21~K~22~17~16~I~18~I~15~14~H~14~13~J~19~L~20~25~M~0 239.3 3O ~2~5~6~7~E~9~F~10~F~12~G~11~E~8~4~D~3~C~O185.2组号 巡视线路巡视路程 1 O ~1~B~34~35~32~31~33~A~R~29~Q~30~Q~28~27~24~23~N~26~P~O192.32 O ~M~25~21~K~17~22~17~16~I~18~I~15~14~H~14~13~J~19~L~20~25~M~0 223.03O ~2~5~6~7~E~9~F~10~F~12~G~11~E~8~4~D~3~C~O185.2此种情况下总的行驶路程为：5.6003==∑iiS MinS Min 公里，路程的均衡度为：()()()%0.17=-=i i i s S Max S Min S Max α方案二结果分析此结果虽然较第一种行驶总路程有所增加，但均衡度明显有所改善，考虑到此时均衡度i α仍然大于0.1，故我们需进一步改进。

设计方案三：第三组方案如下（具体路线图见下图2）表三：巡视路线图3编号 巡视路线巡视路程 1 O~1~B~A~34~35~32~31~33~A~R~29~Q~30~Q~28~27~24~23~N~26~P~O203.7 2 O~M~25~21~K~17~16~17~22~K~18~I~15~14~13~J~19~L~2025~M~O202.6 3O~C~3~D~4~8~E~9~F~10~F~12~H~12~G~11~E~7~6~5~2~O216.2此种情况下总的行驶路程为：5.6223==∑iiS MinS Min路程的均衡度为：()()()%3.6=-=i i i s S Max S Min S Max α方案三结果分析经调整以后计算发现，总的行驶路程有所增加，但增加不大；路程的均衡度α已经满足要求，故我们认为方案三是合理的分组方案，下图23.6<=%10%s我们确定的具体的三组巡视路线图图2 三组巡视路线图7.问题二的解答针对问题二，我们建立了模型二。