数列(综合1,2)

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第一讲等差数列(1、2)

第一讲等差数列
在数串中，每两个相邻数的差相等，像这样一串数，我们称它为等差数列。

其中每一个数都叫做这个等差数列的一项，第一个数叫第一项，用a1表示；第二个数叫第二项，用a2表示……第n个数叫第n项，用a n表示.a1,a n又分别叫这个数列的首项和末项,，字母n表示等差数列的项数，等差数列中，从第2项开始，后边一项与前面一项的差始终是相等的，用字母d表示这个差，即d=a2-a1=a3-a2=…＝a n-a n-1 。

我们把d 叫做和等差数列的公差。

等差数列的通项公式: a n=a1+(n-1)d; n= (a n-a1)÷d+1.
等差数列的求和公式：a1+a2+a3+…+a n-1+a n＝（a1+a n)×n÷2 例：等差数列3，5，7，……的第10项和第100项。

例：已知等差数列3，6，9，12，………问45这个数是这个数列的第几项？
例：计算：1+4+7+.……+298
练习：1. 191+187+183+179+.……+111
2. 23+23×2+23×3+23×4+.……+23×23
3. 求所有两位数的和。

4. 求所有三位数的和。

5. （2002+2000+1998+.……+6+4+2）-（1+3+5+7+.……+1999+2001）。

高中数学第一章数列 1.2 等差数列 1.2.2 第2课时等差数列的综合问题学案(含解析)北师

第2课时等差数列的综合问题知识点一等差数列的性质[填一填](1)若{a n}为等差数列，则距首末距离相等的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝….(2)若{a n}为等差数列，m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.(3)若{a n}为等差数列，m，k，n成等差数列，则a m，a k，a n也成等差数列(m，k，n∈N＋)，即若m＋n＝2k，则a m＋a n＝2a k.[答一答]1．对于性质：若{a n}为等差数列，m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p ＋a q，请给出证明．提示：证明：设{a n}的公差为d，则a m＝a1＋(m－1)d，a n＝a1＋(n－1)d，a p＝a1＋(p－1)d，a q＝a1＋(q－1)d，∴a m＋a n＝2a1＋(m＋n－2)d，a p＋a q＝2a1＋(p＋q－2)d，∵m＋n＝p＋q，∴a m＋a n＝a p＋a q.知识点二等差数列前n 项和的性质[填一填](1)等差数列前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 可写成S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，即S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)的形式，当A ≠0时(即d ≠0)，S n 是关于n 的二次函数，其图像是抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上的一群孤立的点．(2)若{a n }，{b n }都是等差数列，则{pa n ＋qb n }(p ，q 为常数)是等差数列．(3)若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…(k ∈N ＋)也是等差数列，其公差等于k 2d .(4)若等差数列{a n }的项数为2n (n ∈N ＋)，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)(a n ，a n ＋1为中间两项)，且S偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n.(5)若等差数列{a n }的项数为2n －1(n ∈N ＋)，则S 2n －1＝(2n －1)a n (a n 为中间项)，且S 奇－S偶＝a n ，S 偶S 奇＝n －1n .[答一答]2．等差数列前n 项和的“奇偶”性质：在等差数列{a n }中，公差为d ，①若数列共有2n 项，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n ；②若数列共有2n ＋1项，则S 2n＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n(n ＋1)．请给出证明．提示：证明：①若数列共有2n 项，则S 2n ＝2n (a 1＋a 2n )2＝2n (a n ＋a n ＋1)2＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2＝2na n ＋12＝na n ＋1，S 奇＝n (a 1＋a 2n －1)2＝2na n2＝na n ，S 偶－S 奇＝na n ＋1－na n ＝n (a n ＋1－a n )＝nd ， S 偶S 奇＝a n ＋1a n ；②若数列共有2n ＋1项，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝2(2n ＋1)a n ＋12＝(2n ＋1)a n ＋1，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2＝2na n ＋12＝na n ＋1，S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝2(n ＋1)a n ＋12＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1， S 偶S 奇＝n(n ＋1)．1．三数成等差数列的设法为：a －d ，a ，a ＋d ，其中d 为公差；四数成等差数列的设法为：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，其公差为2d .2．会用方程的思想处理等差数列的有关问题．等差数列的通项公式与前n 项和公式涉及五个量：a 1，d ，n ，a n ，S n ，知道其中任意三个就可以通过列方程组求出另外两个(俗称“知三求二”)．解等差数列问题的基本方法是方程法，在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换，使运算更加迅速和准确．类型一等差数列的性质的应用【例1】在等差数列{a n }中，(1)若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝350，则a 2＋a 8＝________；(2)若a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，且a 4<a 2，则a 5＝________； (3)若a 3＝6，则a 1＋2a 4＝________.【解析】若设出a 1，d 从通项公式入手，运算过程较为繁琐，若能利用性质，可使问题简化．(1)∵a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5＝a 2＋a 8，又由已知a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝350，∴5a 5＝350， ∴a 5＝70，∴a 2＋a 8＝2a 5＝140.(2)∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，又由等差数列的性质知a 3＋a 4＝a 2＋a 5，∴2(a 2＋a 5)＝34，∴a 2＋a 5＝17.又a 2·a 5＝52，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝17a 2·a 5＝52，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4a 5＝13，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13a 5＝4，又∵a 4<a 2，∴a 4－a 2＝2d <0， ∴d <0，∴a 2>a 5，∴a 5＝4.(3)∵a 3＝6，∴a 1＋2a 4＝a 1＋a 3＋a 5＝a 3＋(a 1＋a 5)＝a 3＋2a 3＝3a 3＝18. 【答案】 (1)140 (2)4 (3)18规律方法等差数列具有一些性质，例如当m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)时，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N ＋)时，有a m ＋a n ＝2a k ；a n ＝a m ＋(n －m )d 等等．灵活运用这些性质，可大大简化解题过程．【例2】在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 5＋a 8＝9，a 3a 5a 7＝－21，求数列的通项公式．【思路探究】要求通项公式，需要求出首项a 1及公差d ，由a 2＋a 5＋a 8＝9和a 3a 5a 7＝－21直接求解很困难，这就促使我们转换思路．如果考虑到等差数列的性质，注意到a 2＋a 8＝2a 5＝a 3＋a 7，问题就容易解决了．【解】 a 2＋a 5＋a 8＝9，a 3a 5a 7＝－21，又由等差数列的性质知a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝2a 5，∴a 5＝3， ∴a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝6，① 又a 3a 5a 7＝－21， ∴a 3a 7＝－7，②由①②解得a 3＝－1，a 7＝7或a 3＝7，a 7＝－1. ∴a 3＝－1，d ＝2或a 3＝7，d ＝－2. 由通项公式的变形公式a n ＝a 3＋(n －3)d ，得a n ＝2n －7或a n ＝－2n ＋13.规律方法若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，此性质要求等式两边必须是两项和的形式，否则不成立，如a 10≠a 2＋a 8，只能是a 2＋a 8＝a 3＋a 7，使用时应切记它的结构特征．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝36，则a 2＋a 4＋a 5＋a 6＋a 8＝90. 解析：a 3＋a 7＝a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝2a 5＝36， ∴a 2＋a 4＋a 5＋a 6＋a 8＝＝36＋36＋18＝90.类型二等差数列前n 项和的性质【例3】项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．【思路探究】根据等差数列中的奇数项依次仍成等差数列，偶数项依次仍成等差数列可求解．【解】设等差数列{a n }共有(2n ＋1)项，则奇数项有(n ＋1)个，偶数项有n 个，中间项是第(n ＋1)项，即a n ＋1，所以S 奇S 偶＝12(a 1＋a 2n ＋1)·(n ＋1)12(a 2＋a 2n )·n＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n ＝4433＝43.解得n ＝3.又因为S 奇＝(n ＋1)·a n ＋1＝44，所以a n ＋1＝11. 故这个数列的中间项为11，共有2n ＋1＝7项．规律方法在等差数列{a n }中，(1)若项数为2n ＋1(n ∈N ＋)，则S 奇S 偶＝n ＋1n ，其中S 奇＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝na n ＋1；(2)若数列的项数为2n (n ∈N ＋)，则S 偶－S 奇＝nd .【例4】已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( )A ．100B ．120C ．390D ．540【解析】方法一：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝30，30a 1＋435d ＝210，解得⎩⎨⎧a 1＝65，d ＝25.∴S n ＝65n ＋n (n －1)2·25＝15(n 2＋5n )．∴S 20＝15×(202＋5×20)＝100.方法二：设S n ＝An 2＋Bn ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧100A ＋10B ＝30，900A ＋30B ＝210，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝15，B ＝1.∴S n ＝15n 2＋n .∴S 20＝15×202＋20＝100.方法三：由题意，知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也是等差数列． ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20，即S 20＝13(3S 10＋S 30)＝S 10＋13S 30＝100.【答案】 A规律方法一个等差数列，从首项起，分成项数相等的若干段后，各段内诸项之和组成新的等差数列．若每段含有n 项，则新公差是原公差的n 2倍．(1)已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为3. (2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 017，其前n 项和为S n ，若S 1010－S 88＝2，则S 2 017的值等于－2_017.解析：(1)由等差数列前n 项和的性质，得S 偶－S 奇＝102×d (d 为该数列的公差)，即30－15＝5d ，解得d ＝3.(2)方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 1010－S 88＝2得－2 017×10＋10×92d10－－2 017×8＋8×72d8＝2，解得d ＝2，所以S 2 017＝－2 017×2 017＋2 017×2 0162×2＝－2 017.方法二：由等差数列前n 项和的性质可知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列，设其公差为d ，则由S 1010－S 88＝2可得2d ＝2，即d ＝1.又S 11＝－2 017，所以S 2 0172 017＝－2 017＋(2 017－1)×1＝－1，所以S 2 017＝－2 017.类型三等差数列的综合应用题【例5】已知数列{a n }是等差数列． (1)若a m ＝n ，a n ＝m (m ≠n )，求a m ＋n ； (2)若S m ＝n ，S n ＝m (m >n )，求S m ＋n .【思路探究】 (1)由通项公式或前n 项和公式得a 1和d 的关系，通过解方程组求得a 1和d ，进而求得a m ＋n 和S m ＋n .(2)利用等差数列的性质可使问题简化．【解】设首项为a 1，公差为d ， (1)解法一：由a m ＝n ，a n ＝m ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(m －1)d ＝n ，a 1＋(n －1)d ＝m ，解得a 1＝m ＋n －1，d ＝－1.∴a m ＋n ＝a 1＋(m ＋n －1)d ＝m ＋n －1－(m ＋n －1)＝0. 解法二：由a m ＝n ，a n ＝m ，得d ＝n －mm －n ＝－1，∴a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ×(－1)＝0. (2)解法一：由已知可得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝na 1＋n (n －1)2d ，n ＝ma 1＋m (m －1)2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝n 2＋m 2＋mn －m －nmn ，d ＝－2(m ＋n )mn .∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋(m ＋n )(m ＋n －1)2d ＝－(m ＋n )．解法二：∵{a n }是等差数列， ∴可设S n ＝An 2＋Bn .则⎩⎪⎨⎪⎧Am 2＋Bm ＝n ，①An 2＋Bn ＝m .②①－②得A (m 2－n 2)＋B (m －n )＝n －m ， ∵m ≠n ，∴A (m ＋n )＋B ＝－1.∴S m ＋n ＝A (m ＋n )2＋B (m ＋n )＝－(m ＋n )．规律方法 (1)灵活运用性质求等差数列中的量，可以简化运算，提高解题速度及准确性；(2)在应用性质：若m ＋n ＝l ＋k ，则a m ＋a n ＝a l ＋a k 时，首先要找到项数和相等的条件，然后根据需要求解，解决此类问题要有整体代换的意识．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，且前n 项和为S n . (1)求数列{S nn }的前n 项和T n ；(2)求数列{1T n}的前n 项和．解：(1)由a n ＋1＝a n ＋2，得数列{a n }是等差数列，且a 1＝1，公差d ＝2，从而a n ＝2n －1，∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2.∴S nn ＝n ，从而T n ＝n (n ＋1)2. (2)由(1)有1T n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)，其前n 项和为2[(11－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝2nn ＋1.——多维探究系列—— 特殊值法解等差数列问题特殊值法在解一些选择题和填空题中经常用到，就是通过取一些特殊值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形等来求解或否定问题的目的．用特殊值法解题时要注意，所选取的特例一定要简单，且符合题设条件．【例6】在等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n 满足条件S 2n S n ＝4n ＋2n ＋1，n ＝1,2，…，则a n ＝________.【思路分析】因S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ＋n (n －1)2d ，则S 2n ＝2na 1＋2n (2n －1)2d ＝2n ＋n (2n －1)d ，故S 2n S n ＝2n ＋n (2n －1)d n ＋n (n －1)2d＝2(2dn ＋2－d )dn ＋2－d ＝4n ＋2n ＋1，解得d ＝1，则a n ＝n . 【规范解答】 n已知正数数列{a n }对任意p ，q ∈N ＋，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，若a 2＝4，则a 9＝( C ) A ．6 B ．9 C ．18D ．20解析：解法一：∵a 2＝a 1＋1＝a 1＋a 1＝4，∴a 1＝2，a 9＝a 8＋1＝a 8＋a 1＝2a 4＋a 1＝4a 2＋a 1＝18.解法二：∵a 2＝a 1＋1＝a 1＋a 1＝4，∴a 1＝2，令p ＝n ，q ＝1，所以a n ＋1＝a n ＋a 1，即a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }是等差数列，且首项为2，公差为2，故a 9＝2＋(9－1)×2＝18.一、选择题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝10，则a 3的值为( C ) A.65B ．1C ．2D ．3 解析：∵S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3，∴a 3＝15S 5＝15×10＝2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( C ) A ．1 B.53C ．－2D ．3解析：由题意，得6＝3×4＋3×22d ，解得d ＝－2.3．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项和S 10等于( C ) A ．138 B ．135 C ．95 D ．23解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋3d ＝4，a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝10，解得a 1＝－4，d ＝3，所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝95. 二、填空题4．在数列{a n }中，a n ＝5n －105，则当n ＝20或21时，S n 取最小值．5．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N ＋，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为110.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . a 3＝a 1＋2d ＝16，S 20＝20a 1＋20×192d ＝20. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝16，2a 1＋19d ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝20，d ＝－2.∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝200－90＝110. 三、解答题6．等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝－38，a 12＝0，求S n 的最小值以及相对应的n 值．解：解法一：(单调性法)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋d )＋(a 1＋2d )＝－38a 1＋11d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－22d ＝2.∴当⎩⎨⎧ a n ≤0a n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－22＋2(n －1)≤0－22＋2n ≥0时，S n 有最小值，解得11≤n ≤12， ∴当n ＝11或12时，S n 取得最小值，最小值为S 11＝S 12＝－132. 解法二：(配方法)由解法一得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－22d ＝2，∴S n ＝－22n ＋n (n －1)2×2＝n 2－23n ＝⎝⎛⎭⎫n －2322－5294， ∴当n ＝11或12时，S n 取得最小值，最小值为S 11＝S 12＝－132. 解法三：(邻项比较法)由解法二得S n ＝n 2－23n ，又由⎩⎪⎨⎪⎧ S n ≤S n －1，S n ≤S n ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－23n ≤(n －1)2－23(n －1)，n 2－23n ≤(n ＋1)2－23(n ＋1)，解得11≤n ≤12，故S 11＝S 12， ∴当n ＝11或12时，S n 取得最小值，最小值为S 11＝S 12＝－132.。

高中数学课件：第二章 2.1 数列的概念与简单表示法第一课时数列的概念与通项公式

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[研一题] [例 1] 项公式： 4 1 4 2 (1)5，2，11，7，…； 1 9 25 (2)2，2，2，8， 2 ，…； (3)7,77,777，…；根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通
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(4)0,3,8,15,24，…； 1 3 7 15 31 (5)2，4，8，16，32，…； 2 10 17 26 37 (6)3，－1， 7 ，－ 9 ， 11，－13，….
＋
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[悟一法] 1．根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一般的认识事物的规律．解决这类问题一定要注意观察项与序号的关系和相邻项间的关系．具体地可参考以下几个思路
(1)统一项的结构，如都化成分数、根式等．
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(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式，如例1.(1) 中可把分子、分母分别处理． (3)对于符号交替出现的情况，可观察其绝对值，再以 (－1)n(n∈N*)处理符号，如例1.(6)．
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[巧思] 求出数列{an}的通项公式是解决本题的关键．由
a1·2·3·…·an＝n2可得a1·2·3·…·an－1＝(n－1)2，故可求an. a a a a
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[妙解]
∵a1·2·3· an＝n2(n∈N*)，① a a …·
∴当 n≥2 时，a1·2·3· an－1＝(n－1)2.② a a …· ① n2 由，得 an＝ 2(n≥2) ② n－1 n2 9 25 61 (1)∵an＝ (n≥2)，∴a3＋a5＝4＋16＝16. n－12
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(4)数列 2,4,6,8，…的通项公式是 an＝2n； (5)数列 1,2,4,8，…的通项公式是 an＝2n 1； (6)数列 1,4,9,16，…的通项公式是 an＝n2； 1 1 1 1 1 (7)数列1，2，3，4，…的通项公式是 an＝n.

第二章第一单元数列的概念和简单表示法递推公式

第二章数列第一单元数列的概念与简单表示法 (山东济宁市嘉祥县第三中学数学组李本强)2010-11-9 【考纲要求】1．数列的概念和简单表示法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)。

(2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数。

2．等差数列、等比数列(1)理解等差数列、等比数列的概念。

(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式。

(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

(4)了解等差数列与一次函数的关系、等比数列与指数函数的关系。

【方法点拨】用函数知识解决数列问题数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n 项和公式都可以看成是关于n 的函数，特别是等差数列的通项公式可以看成是关于n 的一次函数（公差d ≠０时），而其求和公式可以看成是关于n 的二次函数.数列的单调性的判断可以借助于函数单调性的判断方法，数列中各项大小的比较，可以借助函数图象的直观性来比较.因此，许多数列问题可以用函数的知识进行分析，加以解决.1．等差数列的通项公式可以看成自变量为n 的一次函数（公差d ≠０时）例1已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，是否存在常数k ，使得2211n n n ka S S +-=-成立.分析：将n a 看成是n 的一次函数，设出函数解析式并代入进行求解.解：设存在常数k ，使得2211n n n ka S S +-=-成立，令n a pn q =+（p 、q 为常数），则221()1n n k pn q S S ++-=-.① 又∵(12)(1)2n pS p n nq n n nq =++++=++ ,，代入①式变为22223121()22kp n kpqn kq pn p q n p q ⎛⎫++-=+-+-+ ⎪⎝⎭， 22321221()kp p kpq p q kq p q ⎧=⎪⎪⎪∴=-+⎨⎪⎪-=-+⎪⎩， ②， ③， ④由②，得 0p =或32kp =. 将p=0代入③、④不成立.将kp=代入③，得 4p q =-，代入④，得21164kp pp -=-+，即331324p p -=-， ∴3227p =，从而得出8164k =． ∴存在常数k ，使得2211n n n ka S S +-=-成立.评注：存在型探索性问题，是指判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）不确定的问题.这类问题常常出现“是否存在”、“是否有”等形式的疑问句，以示结论有待于确定.解答此类问题的思路是：通常假设题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论的证明.2．等差数列的前n 项和可看成是关于n 的二次函数例2 已知等差数列{}n a ，首项1a ，且310S S =，问此数列前几项的和最大？最大值是多少？分析：等差数列前n 项和n S 为特殊的二次函数，所以可采用配方法求其最值. 解：设等差数列公差为d ，前n 项和为n S ， ∵310S S =，即116d a =-， ∴211111111113169(1)(1)22612248n S na n n d na n n a a n a ⎛⎫⎛⎫=+-=+--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴当n=6或n=7时，67172S S a ==为最大. 评注：关于等差数列前n 项和最大（小）问题，可转化为二次函数问题，再结合二次函数的最值问题加以分析，但应特别注意，当对称轴不是正自然数时，应将与对称轴最接近的两个自然数代入函数关系式，再求值比较，以便确定n 取何值时，n S 最大（最小）. 第一单元数列及数列的递推公式⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为}{a n ，其中n a 是数列的第n 项. ⒋ 数列的通项公式：如果数列}{a n 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式.⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n .⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，… 6．数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6.是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列 2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列. 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列. 常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 7.数列的表示法:(1)通项公式法:如果数列}{a n 的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

2022年秋高中数学第四章数列4.1数列的概念第1课时数列的概念与简单表示课件新人教A版选择性必修第

(4) 1 , 3 , 5 , 7 ,…;
1
1
1
1
(5)-1×2 , 2×3,-3×4 , 4×5,…;
(6)4,0,4,0,4,0,….
分析观察、分析项的特征,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系.
解 (1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察,
1 4 9 16 25
1
所以是数列的第
10
4
令 2
+3
解得
=
16
,则
27
3
n=2或
5 项.
4n2+12n-27=0,
9
n=-2,
注意到 n∈N
16
,所以27 不是此数列中的项.
*
探究点四数列的单调性及其应用
角度1 数列单调性判断
【例4】已知数列{an}的通项公式

an=2+3 (k∈R).
(1)当k=1时,判断数列{an}的单调性;
2 ++1
.
2-1
(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项
1
n
为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是 an=(-1) ·(+1).
(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数
的形式表示通项公式,即 an=
4,为奇ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,
0,为偶数.
得原数列的一个通项公式为an=10n-1.
(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为
2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分

北师版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件第1章数列 1.2 数列的函数特性 (2)

11

(n∈N+),试问数列{an}有没有
最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,请说明理由.
分析数列{an}的通项公式
求解最大(小)项
计算 an+1-an
确定增减性
解 (方法一)∵an+1-an=(n+2)
10 +1
10
-(n+1)
11
11
∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
1.能从函数的单调性方面研究数列的特性,并能画出有规律的简
课标要求单数列的图象.
2.了解数列的函数特性.
基础落实·必备知识全过关
知识点数列的增减性
注意n∈N+
一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它的前一项,即an+1>an,
8
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)数列的分类.
(2)数列增减性的判断.
(3)数列的最大值和最小值.
2.方法归纳:等价转化、分类讨论.
3.常见误区:忽略n∈N+.
成果验收·课堂达标检测
1.(多选题)下列叙述不正确的是(ABC )
A.1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B.1,3,1,3,……是常数列
2.数列的图象是平面直角坐标系内的一串点.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)如果一个数列不是递增数列,那么它一定是递减数列.( × )
(2)无穷数列不可能是常数列.( × )

4.1数列的概念(第2课时数列的递推公式)课件高二上学期数学人教A版选择性(1)

A.5
B.6
C.7
D.8
解析因为a1=2,an+1=an+n,所以
a2=a1+1=2+1=3,a3=a2+2=3+2=5,a4=a3+3=5+3=8.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2.[探究点三]已知数列{an}的前 n 项和
1
A.
20
解析
1
B.20
1
a6=S6-S5=
用后面的项表示前面的项的形式,若项数很大,则应考虑数列的周期性.
变式训练 1 若数列{an}满足
解析
1
3
1
13
1+
1+ 1
a2= 1-
1
=
1+
a1=2,an+1=
,n∈N*,则
1-
1+2
1+ 2
=-3,a
3=
1-2
1- 2
=
1-3
1
1+ 3
=,a
4=
1+3 2
1- 3
=
=2=a1,∴{an}是周期为 4 的数列,∴a2 022=a2=-3.
6
1
1
− =- .故选
5 30
1
Sn= ,则
1
C.
30
D.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
a6 的值等于( D )
1
D.30
3.[探究点三]已知数列{an}的前n项和Sn=4n2-10n,则a2a6=( B )
A.52
B.68
C.96

2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：数列中的综合问题

§6.6数列中的综合问题考试要求数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容．一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n 项和公式等．题型一等差数列、等比数列的综合运算例1(2023·厦门模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32n 2＋12n ，递增的等比数列{b n }满足b 1＋b 4＝18，b 2·b 3＝32.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n ·b n ，n ∈N +，求数列{c n }的前n 项和T n .解(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n 2＋12n －32(n －1)2＋12(n －1)＝3n －1，又∵当n ＝1时，a 1＝S 1＝2符合上式，∴a n ＝3n －1.∵b 2b 3＝b 1b 4，∴b 1，b 4是方程x 2－18x ＋32＝0的两根，又∵b 4>b 1，∴解得b 1＝2，b 4＝16，∴q 3＝b4b 1＝8，∴q ＝2，∴b n ＝b 1·q n －1＝2n .(2)∵a n ＝3n －1，b n ＝2n ，则c n ＝(3n －1)·2n ，∴T n ＝2·21＋5·22＋8·23＋11·24＋…＋(3n －1)·2n ，2T n ＝2·22＋5·23＋8·24＋11·25＋…＋(3n －1)·2n ＋1，将两式相减得－T n ＝2·21＋3(22＋23＋24＋…＋2n )－(3n －1)·2n ＋1＝4＋322(1－2n －1)1－2－(3n －1)·2n ＋1＝(4－3n )·2n ＋1－8，∴T n ＝(3n －4)·2n ＋1＋8.思维升华数列的综合问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化．跟踪训练1(2022·全国甲卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知2S nn＋n ＝2a n ＋1.(1)证明：{a n }是等差数列；(2)若a 4，a 7，a 9成等比数列，求S n 的最小值．(1)证明由2S nn＋n ＝2a n ＋1，得2S n ＋n 2＝2a n n ＋n ，①所以2S n ＋1＋(n ＋1)2＝2a n ＋1(n ＋1)＋(n ＋1)，②②－①，得2a n ＋1＋2n ＋1＝2a n ＋1(n ＋1)－2a n n ＋1，化简得a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }是公差为1的等差数列．(2)解由(1)知数列{a n }的公差为1.由a 4，a 7，a 9成等比数列，得a 27＝a 4a 9，即(a 1＋6)2＝(a 1＋3)(a 1＋8)，解得a 1＝－12.所以S n ＝－12n ＋n (n －1)2＝n 2－25n2－6258，所以当n ＝12或13时，S n 取得最小值，最小值为－78.题型二数列与其他知识的交汇问题命题点1数列与不等式的交汇例2(1)已知数列{a n }满足a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1na n ＝n 2＋n (n ∈N +)，设数列{b n }满足：b n ＝2n ＋1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n <nn ＋1λ(n ∈N +)恒成立，则实数λ的取值范围为()A.14，＋∞C.38，＋∞答案D解析数列{a n }满足a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1na n ＝n 2＋n ，①当n ≥2时，a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1＝(n －1)2＋(n －1)，②①－②得1na n ＝2n ，故a n ＝2n 2，当n ＝1时，a 1＝2也满足上式．数列{b n }满足：b n ＝2n ＋1a n a n ＋1＝2n ＋14n 2(n ＋1)2＝141n 2－1(n ＋1)2，则T n ＝141＋…＋1n 2－1(n ＋1)2＝141－1(n ＋1)2，由于T n <nn ＋1λ(n ∈N +)恒成立，故141－1(n ＋1)2<n n ＋1λ，整理得λ>n ＋24n ＋4，因为y ＝n ＋24n ＋4＝n ∈N +上单调递减，故当n ＝1＝38，所以λ>38.(2)已知数列{a n }满足a 1＝37，3a n ,2a n ＋1，a n a n ＋1成等差数列．{a n }的通项公式；②记{a n }的前n 项和为S n ，求证：1271S n <7528.①解由已知得4a n ＋1＝3a n ＋a n a n ＋1，因为a 1＝37≠0，所以由递推关系可得a n ≠0恒成立，所以4a n ＝3a n ＋1＋1，所以4a n －4＝3a n ＋1－3，即1a n ＋1－1又因为1a 1－1＝73－1＝43，所以数列是首项为43，公比为43的等比数列，所以1a n－1，所以a n ＝11.②证明由①可得a n ＝111－1＝37×－1，所以S n ≥37＋37×＋…＋37×－1＝1271n，a n ＝11<1，S 1＝37<7528，当n ≥2时，S n <37＋＋ (37)1－34＝7528－3<7528.综上所述，1271n≤S n <7528成立．命题点2数列与函数的交汇例3(1)(2023·龙岩模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋4x ，记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若f (a 1＋2)＝100，f (a 2022＋2)＝－100，则S 2022等于()A ．－4044B ．－2022C ．2022D ．4044答案A解析因为f (－x )＝－13x 3－4x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，因为f (a 1＋2)＝100，f (a 2022＋2)＝－100，所以f (a 1＋2)＝－f (a 2022＋2)，所以a 1＋2＋a 2022＋2＝0，所以a 1＋a 2022＝－4，所以S 2022＝2022(a 1＋a 2022)2＝－4044.(2)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1,2]，且a 4＋λa 10＋a 16＝15，则实数λ的最大值为________．答案－12解析因为a 4＋λa 10＋a 16＝15,所以a 1＋3d ＋λ(a 1＋9d )＋a 1＋15d ＝15，令λ＝f (d )＝151＋9d －2，因为d ∈[1,2]，所以令t ＝1＋9d ，t ∈[10,19]，因此λ＝f (t )＝15t －2，当t ∈[10,19]时，函数λ＝f (t )是减函数，故当t ＝10时，实数λ有最大值，最大值为f (10)＝－12.思维升华(1)数列与不等式的综合问题及求解策略①判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．②以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值．③考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明．(2)数列与函数交汇问题的主要类型及求解策略①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n 项和公式、求和方法等对式子化简变形．跟踪训练2(1)设{a n }是等比数列，函数y ＝x 2－x －2023的两个零点是a 2，a 3，则a 1a 4等于()A ．2023B ．1C ．－1D ．－2023答案D解析由题意a 2，a 3是x 2－x －2023＝0的两根．由根与系数的关系得a 2a 3＝－2023.又a 1a 4＝a 2a 3，所以a 1a 4＝－2023.(2)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N +)，S n 为其前n 项和．数列{b n }为等差数列，且满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.①求数列{a n }，{b n }的通项公式；②设c n ＝1b n ·log 2a 2n ＋2，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n <12.①解由题意知，{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝a 1·2n －1＝2n －1.所以S n ＝2n－1.设等差数列{b n }的公差为d ，则b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，所以d ＝2，b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.②证明因为log 2a 2n ＋2＝log 222n ＋1＝2n ＋1，所以c n ＝1b n ·log 2a 2n ＋2＝1(2n －1)(2n ＋1)＝所以T n －13＋13－15＋…＋12n －1－因为n ∈N +，所以T n <12，＝n 2n ＋1.当n ≥2时，T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)>0，所以数列{T n }是一个递增数列，所以T n ≥T 1＝13.综上所述，13≤T n <12.课时精练1．(2022·汕头模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15,4a 1,2a 3，a 5成等差数列，则a 1等于()A ．52－5B ．52＋5C ．52D ．5答案A解析设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q >0，由前4项和为15,4a 1,2a 3，a 5成等差数列，可得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝15，4a 3＝4a 1＋a 5，即4a 1＋a 1q 4＝4a 1q 2，即q 2－2＝0，解得q ＝2，a 1＝52－5.2．(2023·焦作模拟)直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过____年其投入资金开始超过7000万元()(参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845)A ．14B ．13C ．12D ．11答案C解析设该公司经过n 年投入的资金为a n 万元，则a 1＝2000×1.12，由题意可知，数列{a n }是以2000×1.12为首项，以1.12为公比的等比数列，所以a n ＝2000×1.12n ，由a n ＝2000×1.12n >7000可得n >log 1.1272＝lg 7－lg 2lg 1.12≈11.1，因此，该公司需经过12年其投入资金开始超过7000万元．3．在正项等比数列{a n }中，3为a 6与a 14的等比中项，则a 3＋3a 17的最小值为()A ．23B ．89C ．6D ．3答案C解析因为{a n }是正项等比数列，且3为a 6与a 14的等比中项，所以a 6a 14＝3＝a 3a 17，则a 3＋3a 17＝a 3＋3·3a 3≥2a 3·3·3a 3＝6，当且仅当a 3＝3时，等号成立，所以a 3＋3a 17的最小值为6.4．(2023·岳阳模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝－2a 5,1<a 3<2，则数列{a 3n }的前5项和S 5的取值范围是()－118，－－338，－答案A解析设等比数列{a n }的公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝－12，数列{a 3n }是首项为a 3，公比为q 3＝－12的等比数列，则S 51＋12＝1116a 35．(多选)(2023·贵阳模拟)已知函数f (x )＝lg x ，则下列四个命题中，是真命题的为()A ．f (2)，f (10)，f (5)成等差数列B ．f (2)，f (4)，f (8)成等差数列C ．f (2)，f (12)，f (72)成等比数列D ．f (2)，f (4)，f (16)成等比数列答案ABD解析对于A ，f (2)＋f (5)＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，2f (10)＝2lg 10＝1，故f (2)，f (10)，f (5)成等差数列，故是真命题；对于B ，f (2)＋f (8)＝lg 2＋lg 8＝lg 16,2f (4)＝2lg 4＝lg 16，故f (2)，f (4)，f (8)成等差数列，故是真命题；对于C ，f (2)·f (72)＝lg 2×lg ＝lg 212＝f 2(12)，故f (2)，f (12)，f (72)不成等比数列，故是假命题；对于D ，f (2)f (16)＝lg 2×lg 16＝4lg 22＝(2lg 2)2＝lg 24＝f 2(4)，故f (2)，f (4)，f (16)成等比数列，故是真命题．6．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了F n ＝22n＋1(n ＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F 5＝641×6700417，不是质数．现设a n ＝log 4(F n －1)(n ＝1,2，…)，S n 表示数列{a n }的前n 项和．若32S n ＝63a n ，则n 等于()A ．5B ．6C ．7D ．8答案B解析因为F n ＝22n＋1(n ＝0,1,2，…)，所以a n ＝log 4(F n －1)＝log 4(22n＋1－1)＝log 422n＝2n －1，所以{a n }是等比数列，首项为1，公比为2，所以S n ＝1(1－2n )1－2＝2n －1.所以32(2n －1)＝63×2n －1，解得n ＝6.7.宋元时期我国数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中“落—形”就是每层为“三角形数”的三角锥垛，三角锥垛从上到下最上面是1个球，第二层是3个球，第三层是6个球，第四层是10个球，…，则这个三角锥垛的第十五层球的个数为________．答案120解析∵“三角形数”可写为1,1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5，…，∴“三角形数”的通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴这个三角锥垛的第十五层球的个数为a 15＝15×162＝120.8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝ln n ，若存在p ∈R ，使得a n ≤pn 对任意的n ∈N +都成立，则p 的取值范围为________．答案ln 33，＋∞解析数列{a n }的通项公式为a n ＝ln n ，若存在p ∈R ，使得a n ≤pn 对任意的n ∈N +都成立，故p ，设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2，令f ′(x )＝1－ln x x 2＝0，解得x ＝e ，故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)，所以函数在x ＝e 处取最大值，由于n ∈N +，所以当n ＝3时函数最大值为ln 33.所以p 的取值范围是ln 33，＋9．记关于x 的不等式x 2－4nx ＋3n 2≤0(n ∈N +)的整数解的个数为a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，满足4T n ＝3n ＋1－a n －2.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设c n ＝2b n －，若对任意n ∈N +，都有c n <c n ＋1成立，试求实数λ的取值范围．解(1)由不等式x 2－4nx ＋3n 2≤0可得，n ≤x ≤3n ，∴a n ＝2n ＋1，T n ＝14×3n ＋1－12n －34，当n ＝1时，b 1＝T 1＝1，当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝12×3n －12，∵b 1＝1适合上式，∴b n ＝12×3n －12.(2)由(1)可得，c n ＝3n －1＋(－1)n －1，∴c n ＋1＝3n ＋1－1＋(－1)n ＋1，∵c n <c n ＋1，∴c n ＋1－c n ＝2×3n ＋52(－1)n >0，∴(－1)n λ>－45×2n ，当n 为奇数时，λ<45×2n ，由于45×2n 随着n 的增大而增大，当n ＝1时，45×2n 的最小值为85，∴λ<85，当n 为偶数时，λ>－45×2n ，由于－45×2n 随着n 的增大而减小，当n ＝2时，－45×2n 的最大值为－165，∴λ>－165，综上可知，－165<λ<85.10．设n ∈N +，有三个条件：①a n 是2与S n 的等差中项；②a 1＝2，S n ＋1＝a 1(S n ＋1)；③S n ＝2n ＋1－2.在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且________．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若{a n ·b n }是以2为首项，4为公差的等差数列，求数列{b n }的前n 项和T n .注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．解(1)选择条件①：因为a n 是2与S n 的等差中项，所以2a n ＝2＋S n ，所以当n ≥2时，2a n －1＝2＋S n －1，两式相减得，2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，在2a n ＝2＋S n 中，令n ＝1，可得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2·2n －1＝2n .选择条件②：由a 1＝2，S n ＋1＝a 1(S n ＋1)，知S n ＋1＝2(S n ＋1)，当n ＝1时，可求得a 2＝4，所以当n ≥2时，S n ＝2(S n －1＋1)，两式相减得，a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又a 1＝2，a 2＝4也满足上式，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2·2n －1＝2n .选择条件③：在S n ＝2n ＋1－2中，令n ＝1，则a 1＝21＋1－2＝2，当n ≥2时，有S n －1＝2n －2，两式相减得，a n ＝2n (n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝2满足上式，所以a n ＝2n .(2)因为{a n ·b n }是以2为首项，4为公差的等差数列，所以a n ·b n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，由(1)知，a n ＝2n ，所以b n ＝2n －12n －1，所以T n ＝1＋3＋5＋…＋2n －12n －1，12T n ＝1＋3＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，两式相减得，12T n ＝1＋2＋2＋…＋2－1－2n －12n ＝1＋2×21－12－2n －12n ＝3－2n ＋32n，所以T n ＝6－2n ＋32n －1.11．(2022·北京)设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递增数列”是“存在正整数N 0，当n >N 0时，a n >0”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案C 解析设无穷等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d .若{a n }为递增数列，则d >0，则存在正整数N 0，使得当n >N 0时，a n ＝dn ＋a 1－d >0，所以充分性成立；若存在正整数N 0，使得当n >N 0时，a n ＝dn ＋a 1－d >0，即d >d －a 1n对任意的n >N 0，n ∈N +均成立，由于n →＋∞时，d －a 1n→0，且d ≠0，所以d >0，{a n }为递增数列，必要性成立．故选C.12．已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝ln(a 1＋a 2＋a 3)．若a 1>1，则()A ．a 1<a 3，a 2<a 4B ．a 1>a 3，a 2<a 4C ．a 1<a 3，a 2>a 4D ．a 1>a 3，a 2>a 4答案B 解析因为ln x ≤x －1(x >0)，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝ln(a 1＋a 2＋a 3)≤a 1＋a 2＋a 3－1，所以a 4＝a 1·q 3≤－1.由a 1>1，得q <0.若q ≤－1，则ln(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q )·(1＋q 2)≤0.又a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)≥a 1>1，所以ln(a 1＋a 2＋a 3)>0，矛盾．因此－1<q <0.所以a 1－a 3＝a 1(1－q 2)>0，a 2－a 4＝a 1q (1－q 2)<0，所以a 1>a 3，a 2<a 4.13．函数y ＝f (x )，x ∈[1，＋∞)，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N +，①函数f (x )是增函数；②数列{a n }是递增数列．写出一个满足①的函数f (x )的解析式________．写出一个满足②但不满足①的函数f (x )的解析式________．答案f (x )＝x 2f (x )(答案不唯一)解析由题意，可知在x ∈[1，＋∞)这个区间上是增函数的函数有许多，可写为f (x )＝x 2.第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为f (x ).则这个函数在1，43上单调递减，在43，＋∴f (x )在[1，＋∞)上不是增函数，不满足①.而对应的数列为a n 在n ∈N +上越来越大，属于递增数列．14．设函数f (x )－4，x ≤－3，x 2＋2，x >－3，数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )(n ∈N +)，若{a n }是等差数列．则a 1的取值范围是__________．答案(－∞，－3]∪{－2,1}解析画出函数f (x )的图象如图所示，当a 1≤－3时，a 2＝f (a 1)＝a 1－4≤－7，a 3＝f (a 2)＝a 2－4≤－11，…，数列{a n }是首项为a 1，公差为－4的等差数列，符合题意，当a 1>－3时，因为{a n }是等差数列，①若其公差d >0，则∃k 0∈N +，使得0k a >2，这与a n ＋1＝f (a n )＝2－a 2n ≤2矛盾，②若其公差d ＝0，则a 2＝－a 21＋2＝a 1，即a 21＋a 1－2＝0，解得a 1＝－2或a 1＝1，则当a 1＝－2时，a n ＝－2为常数列，当a 1＝1时，a n ＝1为常数列，此时{a n }为等差数列，符合题意，③若其公差d <0，则∃k 0∈N +，使得0k a >－3且01k a ＋≤－3，则等差数列的公差必为－4，因此001k k a a ＋－＝－4，所以2－002k k a a －＝－4，解得0k a ＝－3(舍去)或0k a ＝2.又当0k a ＝2时，000123k k k a a a ＋＋＋＝＝＝…＝－2，这与公差为－4矛盾．综上所述，a 1的取值范围是(－∞，－3]∪{－2,1}．15．若数列{a n }对于任意的正整数n 满足：a n >0且a n a n ＋1＝n ＋1，则称数列{a n }为“积增数列”．已知“积增数列”{a n }中，a 1＝1，数列{a 2n ＋a 2n ＋1}的前n 项和为S n ，则对于任意的正整数n ，有()A ．S n ≤2n 2＋3B ．S n ≥n 2＋4nC ．S n ≤n 2＋4nD ．S n ≥n 2＋3n 答案D 解析∵a n >0，∴a 2n ＋a 2n ＋1≥2a n a n ＋1，∵a n a n ＋1＝n ＋1，∴{a n a n ＋1}的前n 项和为2＋3＋4＋…＋n ＋1＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2，∴数列{a 2n ＋a 2n ＋1}的前n 项和为S n ≥2×n (n ＋3)2＝n 2＋3n .16．设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的正整数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b nn ∈N +)，求证：b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n <1＋n .(1)解由已知a n ＋22＝2S n (n ∈N +)，整理得S n ＝18(a n ＋2)2，所以S n ＋1＝18(a n ＋1＋2)2.所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝18[(a n ＋1＋2)2－(a n ＋2)2]＝18(a 2n ＋1＋4a n ＋1－a 2n －4a n )，整理得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －4)＝0，由题意知a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1－a n ＝4，而a 1＝2，即数列{a n }是a 1＝2，d ＝4的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －2.(2)证明令c n ＝b n －1，则c n ＋a n a n ＋1－＝12n －1－12n ＋1.故b 1＋b 2＋…＋b n －n ＝c 1＋c 2＋…＋cn…1－12n ＋1<1.故b 1＋b 2＋…＋b n <1＋n .。

高等数学(第五版)1-2 数列的极限

2.数列极限的定义
由上例可知我们需要研究当n不断增大时，数列xn的变化趋势.
极限的直观定义 1)： n无限增大时，如果 n ( 当 x 无限接近于某个常数，称a是数列x n的极限. a
记作 lim xn a 或 xn a ( n )
n
( 1)n1 1 ( 1)n 例. (1) xn 1 ; (2) xn 2n ; (3) xn . n 2
实现的.
2. 反映 xn与a的距离，可以任意小说明 xn与a的距离想要多小就可多 . 小
3. N反映在n无限增大的过程中 n增大到 , 什么程度就能使xn与a的距离小于 .

简单的说, lim xn a 指的是xn与a的距离想要
n
多小就可多小，只要足够大。 n
即不管取得多么小，当足够大时, xn a . n
例如
2,4,8,,2 n ,;
1,1,1,, (1)
n1
{2 n }
,;
{(1)
n 1
}
数列的几何解释：
1.数列对应着数轴上一个点列 . 可看作一动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3
x1
x 2 x4
xn
2.数列也可看作定义在正整数集合上的函数 . 即 xn f (n), n N y x1 x3
怎样说明？
1 1 1 比如要使 xn 1 , 即 , 只要 n 10, 10 n 10 1 即数列第10项之后的所有项与的距离小于 . 1 10 1 要使 xn 1 , 只要 n 100, 100
1 要使 x n 1 , 只要 n 1000 , 1000
一般的，对于任意给定的正数 . 1 要使 xn 1 ，只要 n , 这样就说明了xn与1 的距离想要多小就可多小，

高中数学选择性必修二(人教版)《4.1 数列的概念第一课时数列的概念与简单表示法》课件

()
(2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．
()
(3)数列的项可以相等．
()
(4)数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．所有正奇数的立方按从小到大的顺序组成数列，其前3项为______．
答案：1,27,125
知识点二数列的分类与通项公式
[对点练清]
[多选]下面四个结论中正确的是
()
A．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集
{1,2,3，…，n})上的函数
B．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
C．数列的项数是无限的
D．数列的通项公式是唯一的解析：数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C错；数列的通
项公式可能不唯一，比如数列1,0，－1，0,1,0，－1,0，…的通项公
(1)从图(2)开始观察每个图案从上往下的小正方形个数有什么规律？提示：按照1,3,5,7，…，1的顺序分布． (2)按照此图规律，f(6)为多少？提示：f(1)＝1＝2×1×0＋1， f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1， f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1， f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，故f(n)＝2n(n－1)＋1. 当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
题型一数列的概念及分类 [学透用活]
(1) 数列的定义中要把握两个关键词： “ 一定顺序 ” 与 “ 一列数”．也就是说，构成数列的元素是数，并且这些数是按照“一定顺序” 排列着的，即确定的数在确定的位置上．
(2)数列的项与它的项数是两个不同的概念：项是指出现在这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即 an＝f(n)；而项数是指这个数列共有多少项．

综合基础知识数列知识点归纳总结

综合基础知识数列知识点归纳总结一、数列的概念。

1. 定义。

- 按照一定次序排列的一列数称为数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），往后各项依次叫做这个数列的第2项、第3项……第n项。

- 例如：1，3，5，7，9是一个数列，1是首项，这个数列的第n项可以表示为a_n=2n - 1（n = 1,2,3,4,5）。

2. 数列的表示方法。

- 列举法。

- 就是将数列中的项一一列举出来。

如数列2,4,6,8,10，直接把各项写出来表示这个数列。

- 通项公式法。

- 如果数列{a_n}的第n项a_n与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。

- 例如，数列1,(1)/(2),(1)/(3),(1)/(4),(1)/(5),·s，其通项公式为a_n=(1)/(n)(n∈N^*)。

- 递推公式法。

- 通过给出数列的第一项（或前几项），并给出数列的某一项与它的前一项（或前几项）的关系式来表示数列。

- 例如，斐波那契数列1,1,2,3,5,8,·s，它满足递推公式a_n=a_n - 1+a_n -2(n≥slant3)，a_1=a_2=1。

二、等差数列。

1. 定义。

- 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

- 例如数列3,5,7,9,11是等差数列，公差d = 2，因为5 - 3=7 - 5 = 9 - 7=11 - 9 = 2。

2. 通项公式。

- a_n=a_1+(n - 1)d，其中a_1是首项，n是项数，d是公差。

- 例如，在等差数列{a_n}中，a_1=2，d = 3，则a_n=2+(n - 1)×3=3n - 1。

3. 前n项和公式。

- S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+(n(n - 1))/(2)d- 例如，等差数列{a_n}中，a_1=1，d = 2，n = 5。

数列综合复习课件-2024届高三数学一轮复习

）,38的特
2.在等差数列中,a4+a6=3,则a5(a3+2a5+a7)=___9__
3. 在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a10-a12的值为
（C ）
A.20
B.22
C.24
D.28
4.已知数列{an}中,a1=1,并且3an+1-3an=1,则a301= （ B ）
例 1.等差数列{an}满足 a3＝8，a7=16，记{an}的前 n 项和为 Sn. (2)令 bn＝Sn＋1 2，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
(2)因为 Sn＝n(a1＋ 2 an)＝n(2n2定＋6通)＝项n2＋3n，
巧裂项
所以 bn＝Sn＋1 2＝n2＋31n＋2＝(n＋1)1(n＋2)＝n＋1 1－n＋1 2. 消项求和
数列综合复习
年份试卷题号
2023 全国1
7、 20
2022 新高考1 17
2021 全国乙 19
考点
等差的通项公式及前n项和
已知Sn求an，裂项相消求和
应用错位相减法求和
分值难度 5、12 中
10 中 12 中
2020 新高考1 18
等差、等比数列的前n项和
12 中
2019 新高考1 18
分析: 等差数列｛an｝的通项an是关于n的一次式,前项和Sn是关于n的二次式(缺常数项).求等差数列的前n项和 Sn 的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法.
思路2：从函数的角度来分析数列问题.
设等差数列｛an｝的公差为d,则由题意得:
9a1
1 2
9 (9

高中数学选择性必修二 4 1 2数列的递推公式

= ቊ
− − ,
= ,
≥
合作探究
思考
已知数列{ }的前n项和公式为 = + ,你能求出{ }的通项公式吗？
解答：
因为 = = ，
= − − = + − [ − ) + −
并且当n=1时， = × = 依然成立.
=+ =

= +
=+ =

= +
=+ =

−
（ ≥ ）,
新知讲解
数列前n项和的定义、前n项和公式
1 把数列{ }从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{ }的前n项和，
记作 ,
即 = + + ⋯ + .
所以{ }的通项公式是 = .
= ( ≥ )
课堂练习
1 填空
（1）数列{ } 中, = − ，+ = − ,则 = _____.
（2）数列{ } 中, = ，且 + = ,则 = _____.
（3）数列{ } 中, + − −n=0,则 − = _____.
设数列{an}中, = , = −
解：
∵ = , = −
∴

−
=
=
−

− ≥ ,求数列的通项公式 .
− ≥ ,
,

− −

×
×
×⋯×
×
×
− − −

高中数学第四章数列1第1课时数列的概念与简单表示法课件新人教A版选择性必修2

若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是( ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列【解析】选A.an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，所以an＋1>an，即{an}是递增数列．
D．摆动数列
【补偿训练】已知下列数列：
(1)0，0，0，0，0，0；
(2)0，－1，2，－3，4，－5，…；
2．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式． (2)讨论数列{an}的单调性，并证明你的结论．【解析】(1)因为f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，所以有2log2an－2－log2an＝－2n，即an－a1n ＝－2n，所以an2 ＋2nan－1＝0，解得an＝－n± n2＋1 .
【解析】由数列中项的多少可知(1)是有穷数列，(2)(3)(4)(5)是无穷数列，根据数列单调性的定义知(3)是递增数列，(4)是递减数列，(1)是常数列，(2)(5)是摆动数列．答案：(1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) (2)(5)
探究点二用观察法求数列的通项公式
A．1，13 ，312 ，313 ，…
B．sin
π 13
，sin
2π 13
，sin
3π 13
，sin
4π 13
，…
C．－1，－12 ，－13 ，－14 ，…
D．1，2，3，4，…，30
【思维导引】(1)根据数列的定义去判断． (2)根据无穷数列和递增数列的定义逐一判断四个选项，即可得正确答案．
【解析】(1)选C.A中的{1，2，3，5，7}表示集合而不是数列，故A错，B中的两个数列是不同的两个数列，因为1，0，－1，－2这四个数的顺序不一样，故B错误，数列0，2，4，6，8，…，可记为{2(n－1)}，而不是{2n}，故D错．

高中数学2020届高三专题复习版块七.数列综合1(无答案)

【例1】已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈⑴证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； ⑵求数列{}n a 的通项公式；⑶若数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列．【例2】已知数列{}n a 的首项为13a =，通项n a 与前n 项和n S 之间满足12(2)≥n n n a S S n -=⋅．⑴求证：1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求公差；⑵求数列{}n a 的通项公式．【例3】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22(1,2,3)n n S a n =-=L ，数列{}n b 中，11b =，点1()n n P b b +，在直线2y x =+上． ⑴求数列{}{}n n a b ，的通项公式n a 和n b ； ⑵设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求满足167n T <的最大正整数n ．【例4】已知等比数列{}n a 满足1611a a +=，且34329a a =. ⑴求数列{}n a 的通项n a ；⑵如果至少存在一个自然数m ，恰使123m a -，2()m a ，149m a ++这三个数依次成等差数列，问这样的等比数列{}n a 是否存在?若存在，求出通项公式；若不存在，请说明理由.【例5】已知等差数列{}n a ，公差为d ，求3521123n n n S a x a x a x a x -=+++L (1)x ≠【例6】已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=．（2003北京-文-16）⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵令3n n n b a =⋅，求数列{}n b 前n 项和的公式．【例7】在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件242,1,2,1n n S n n S n +==+L ， ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵记(0)n a n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：数列的综合问题

k＝1
n
n
＝ {[a2k－(－1)2k－1a2k－1]b2k－1＋[a2k＋1－(－1)2ka2k]b2k}＝ 2k·4k，
k＝1
k＝1
n
设 Tn＝ 2k·4k，
k＝1
123456
所以Tn＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n×4n， 4Tn＝2×42＋4×43＋…＋(2n－2)·4n＋2n×4n＋1，两式相减得－3Tn＝2(41＋42＋43＋…＋4n)－2n×4n＋1 ＝2×411－－44n－2n×4n＋1＝2×4n3＋1－4－2n×4n＋1，所以 Tn＝6n－294n＋1＋8，
n 1
所以an＝a1qn－1＝3 2 .
123456
(2)若bn＝log3a2n－1，求数列{bn}的前n项和Tn. 由(1)可得a2n－1＝3n－1，所以bn＝log3a2n－1＝n－1，故 Tn＝0＋1＋2＋…＋n－1＝nn－ 2 1.
123456
2.(2022·潍坊模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，S3＝a3＋6. (1)求数列{an}的通项公式；
当n＝1时，整理得2a1＝k·21，解得k＝1，
故2a1＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an＝n·2n(k∈R)，
(a)
当n≥2时，2a1＋3a2＋4a3＋…＋nan－1＝(n－1)·2n－1，
(b)
(a)－(b)得an＝2n－1(首项符合通项)，
所以an＝2n－1.
123456
(2)若 bn＝n＋1l1og2an＋1，且数列{bn}的前 n 项和 Tn＝19090，求 n 的值. 由(1)得 bn＝n＋1l1og2an＋1＝nn1＋1＝1n－n＋1 1，所以 Tn＝1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1＝1－n＋1 1＝19090，解得 n＝99.

第1章数列(单元复习课件)高二数学(湘教版2019选择性必修第一册)

(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
由(1)可得an＝4n－1，an＋1＝4n，所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n，那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n) ＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n) ＝4n－3 1＋nn2＋1.
⑧(－1)nlog3[n(n＋1)]＝(－1)n[log3n＋log3(n＋1)]；
⑨(－1)n2n－14n2n＋1＝(－1)n2n1－1＋2n1＋1.
【例7】已知数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＝2，S4＝16，{an＋1}是等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
设等比数列{an＋1}的公比为q，其前n项和为Tn，
A.4
B.5
C.6
D.7
设等差数列的公差为d，则a＝1＋d，b＝19－d，从而a＋b＝20，
由题意知，d>0，故a>0，b>0，所以(a＋b)1a＋1b6＝1＋16＋ba＋1b6a≥17＋2 ba·1b6a＝25，即1a＋1b6≥2250＝54，当且仅当ba＝1b6a，即b＝4a时取“＝”，又a＝1＋d，b＝19－d，解得d＝3，所以19＝1
题型突破
题型一：等差数列的有关计算
等差数列的计算技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为 d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可解决等差数列的有关问题.另外亦可用等差中项及性质找到项与项之间的关系进行解题，此种解法计算量较小. (2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7 项、…时，可同理设出. (3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…时，可同理设出.

数学必修5教学课件第一章数列1.1.2

可.(2)图像的上升或下降显示数列的增减性.
解:(1)列表如下.
n1 2
3
4
5
6
789…
an -7 -12 -15 -16 -15 -12 -7 0 9 …
描点:在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图像. (1,-7),(2,-12),(3,-15),(4,-16),(5,-15),(6,-12),(7,-7),(8,0),(9,9),…
分析:通过考查 f(x)=2��1-11的单调性得到数列{an}的增减性,同时
考查 an 的符号,即可得到{an}的最大项和最小项.
1
解:因为函数
f(x)=2��1-11
=
2
��2
上是减少的,
在
11 2
,
+
∞
上是减少的,所以当 1≤n≤5 时,
an<0,{an}是递减的;
解法一:因为 an=32��-��1, 所以 an+1=32��++22,
于是
an+1-an=32��++22
−
3��-1 2��
=
(2��+22)·2��>0,
所以 an+1>an,故{an}是递增数列.
-11-
-7-
1.1 数列的概念
探究一
探究二
图像如图.
探究三
首页思维辨析
自主预习
合作学习
当堂检测
(2)数列{an}的图像既不是上升的,也不是下降的,所以{an}既不是

数列综合练习18讲(求通项、求和、数列性质、数列和不等式综合一应俱全)

目录第1讲累加法、累乘法、差商法求通项 .................................................................................................................................. 1 第2讲已知n S 求n a .......................................................................................................................................................................... 4 第3讲构造辅助数列求通项 ......................................................................................................................................................... 6 第4讲分组求和 ................................................................................................................................................................................ 7 第5讲裂项求和 ................................................................................................................................................................................ 9 第6讲倒序相加 .............................................................................................................................................................................. 11 第7讲等差绝对值求和 ................................................................................................................................................................. 13 第8讲错位相减求和 ..................................................................................................................................................................... 13 第9讲数列的通项与求和综合 ................................................................................................................................................... 15 第10讲数列单调性问题 .............................................................................................................................................................. 18 第11讲数列的奇偶性问题 .......................................................................................................................................................... 21 第12讲数列周期性问题 .............................................................................................................................................................. 23 第13讲数列最值问题 ................................................................................................................................................................... 24 第14讲数阵问题（数列群问题） ............................................................................................................................................ 26 第15讲创新型数列问题 .............................................................................................................................................................. 31 第16讲存在性问题（整除问题） ............................................................................................................................................ 33 第17讲简单的数列与不等式证明 ............................................................................................................................................ 36 第18讲数列与其他知识点综合 . (38)第1讲累加法、累乘法、差商法求通项题型1 累加法1．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，若1111(2)3(2,*)n n n n n a a a a a n n N -+-++=∈，则数列{}n a 的通项n a = ． 2．若数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*n N ∈都有11n n a a n +=++，则1220172018201911111a a a a a ++⋯+++= ． 3．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，且*111123(2,)n n n n n n a a a a a a n n N -+-++=∈．（1）证明：数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）求数列1{2n n a a +}n 的前n 项和．题型2 累乘法1．已知数列{}n a 满足11a =，且1(1)n n na n a +=+，则(n a = )A ．1n +B ．nC ．1n -D ．2n -2．已知数列{}n a 满足1(2)(1)n n n a n a ++=+，且213a =，则(n a = )A ．11n + B ．121n - C ．121n n -- D ．11n n -+ 3．已知数列{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=，若数列{}n b 满足12nn n b b +=+，且12b =，则式子312123n nb b b b a a a a +++⋯+的值是( ) A ．122n n +- B ．(1)22n n -+ C ．(1)22n n +- D ．1(1)22n n +-+4．设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0(1n n n n n a na a a n +++-+==，2，3，)⋯，则4a = ，n a = ． 5．已知数列{}n a 满足123a =，12n n na a n +=+，求通项公式n a ．6．已知数列{}n a 满足13a =，131(1)32n n n a a n n +-=+，求n a 的通项公式．题型3差商法1．已知数列{}n a 中，11a =，对所有*n N ∈，都有212n a a a n ⋯=，则3(a = )A ．32B ．3C ．9D ．942．已知数列满足11222()2n n na a a n N -+++⋯+=∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）若n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）求证221n S n n +-．3．已知数列n a 满足21*123222()2n n na a a a n N -+++⋯+=∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）若n nnb a =求数列{}n b 的前n 项和n S ． 4．已知数列{}n a 满足112324296n n a a a a n -+++⋯+=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2||(3log )3n n a b n =-，探求使123111116nm b b b b -+++⋯+>恒成立的m 的最大整数值． 5．已知数列{}n a 满足1231(1)(41)23(1)6n n n n n a a a n a na -+-+++⋯+-+=．（Ⅰ）求2a 的值；（Ⅱ）若111nn i i i T a a =+=∑，则求出2020T 的值；（Ⅲ）已知{}n b 是公比q 大于1的等比数列，且11b a =，35b a =，设1n n c b λ+=，若{}n c 是递减数列，求实数λ的取值范围6．已知数列{}n a 满足12a =，1121222(*)n n n n a a a na n N -+++⋯+=∈．（Ⅰ）求:an （Ⅱ）求证：1223111132(*)61112n n a a a n n n N a a a +----<++⋯+<∈--- 7．已知数列{}n a 满足11121(22)2(*)n n n a a a n N n-+++⋯+=∈．（1）求1a ，2a 和{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若4n S S 对任意的正整数n 恒成立，求实数k 的取值范围． 8．（1）设数列{}n a 满足211233333n n na a a a -+++⋯+=，*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式；（2）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =，求数列{}n a 的通项公式．第2讲已知nS 求na1．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2log (1)1n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．2n n a =B ．3122n n n a n =⎧=⎨⎩C ．12n n a -=D ．12n n a +=2．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =-，1n n a S +=，那么5(a = ) A ．4-B ．8-C ．16-D ．32-3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，*(1)()2nn n a S n N +=∈，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．*2()n a n n N =∈B ．*2()n n a n N =∈C ．*2()n a n n N =+∈D ．2*()n a n n N =∈4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14121n n S a n +-=-，11a =，*n N ∈，则{}n a 的通项公式(n a = ) A ．nB ．1n +C ．21n -D ．21n +5．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22a =，2121(*)n n a S n n N +=++∈，若对任意的*n N ∈，123111120nn a n a n a n a λ+++⋯+-++++恒成立，则实数λ的取值范围为( ) A ．(-∞，2] B ．(-∞，1]C ．1(,]4-∞D ．1(,]2-∞6．已知数列{}n a 满足：12a =，21(1)0(*)n n n a S S n N ++-=∈，其中n S 为{}n a 的前n 项和．若对任意的n 均有12(1)(1)(1)n S S S n ++⋯+恒成立，则的最大整数值为( )A ．2B ．3C ．4D ．57．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22(*)n S n n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式n a = ．设211(1)nn n n n a b a a ++=-，则数列{}n b 的前n 项和n T = ．8．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，若11a =，12n n S a +=，则数列{}n a 的通项公式n a = ． 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1211121n nS S S n ++⋯+=+，则数列{}n a 的通项公式n a = ． 10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231122n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式n a = ．11．已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的*n N ∈，均有n a ，n S ，2n a 成等差数列，则n a = ．12．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2*1441,n n a S n n N +=++∈，且2a ，5a ，14a 恰好是等比数列{}n b 的前三项．记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的*n N ∈，不等式3()362n T k n +-恒成立，则实数k 的取值范围是．13．已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足2*42()n nn S a a n N =+∈，则n a = ． 14．数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，其前n 项和为n S ，则（1）13599a a a a +++⋯+= ；（2）4n S = ．15．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，对任意*n N ∈，1(1)32n n n nS a n =-++-且1()()0n n a p a p +--<恒成立，则实数p 的取值范围是．16．设数列{}n a 前n 项和n S ，且11a =，2{}n n S n a -为常数列，则n a = ．17．已知数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意2n ，均有34n S -、n a 、13122n S ---成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a = ． 18．设a R ∈，函数()f x lnx ax =-．（1）若3a =，求曲线()y f x =在(1,3)P -处的切线方程；（2）求函数()f x 单调区间．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22(*)n n S a n N =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21log ()n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：121111nT T T ++⋯+<． 20．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足22()0nn S n n S -+=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设14n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ．证明：1n T <．21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2*1(,)n S n n a a R n N =+++∈∈．（1）若2a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 是等差数列，11n n n a b n S ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在*n N ∈，使得13(1)n n n T S a +=+？若存在，求出所有满足条件的n 的值；若不存在，请说明理由． 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2321112322n S S S S n n n +++⋯+=+．（1）求数列{}n a 的前n 项和n S 和通项公式n a ；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得715n T >的最小正整数n ． 23．已知数列{}n a 各项均为正数，n S 是数列{}n a 的前n 项的和，对任意的*n N ∈都有2232n n n S a a =+-．数列{}n b 各项都是正整数，11b =，24b =，且数列12,b b a a ，3,,n b b a a ⋯是等比数列．（1）证明：数列{}n a 是等差数列；（2）求数列{}n b 的通项公式n b ；（3）求满足124n n S b <+的最小正整数n ． 24．已知数列{}n a 各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的*n N ∈，都有24(1)n n S a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n e tS 对任意的*n N ∈恒成立，求实数t 的最大值．25．已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的n N +∈，有3322n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3311log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，n s 是数列{}n a 的前n 项和，对任意的*n N ∈，有222()n n n s pa pa p p R =+-∈．（1）求常数p 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．第3讲构造辅助数列求通项1．已知数列{}n a 满112,413n n a a a +==+，则数列{}n a 的通项公式为．2．已知数列{}n a 的首项12a =，1122n n n a a ++=+，则{}n a 的通项n a = ．3．数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，*n N ∈，则{}n a 的通项公式为．变式：已知数列{}n a 中12a =，312n n a a +=，*n N ∈，则{}n a 的通项公式为．4．已知数列{}n a 满足12a =，且*112(2,)1n n n na a n n N a n --=∈+-，则n a = ．5．已知数列{}n a 满足1a a =，*121()n n a a n N +=+∈．（1）若数列{}n a 是等差数列，求通项公式n a ；（2）已知2a =，求证数列{1}n a +是等比数列，并求通项公式n a ． 6．已知数列{}n a 满足：132a =，且*113(2,)21n n n na a n n N a n --=∈+-．（1）求1212nna a a ++⋯+的值；（2）求证：*2151()263n n a a a n n N n++⋯++-∈；（3）设*()nn a b n N n=∈，求证：122n b b b ⋯<．第4讲分组求和1．数列1，1，2，3，5，8，13，21，⋯最初是由意大利数学家斐波拉契于1202年研究兔子繁殖问题中提出来的，称之为斐波拉契数列．又称黄金分割数列．后来发现很多自然现象都符合这个数列的规律．某校数学兴趣小组对该数列探究后，类比该数列各项产生的办法，得到数列{}:1n a ，2，1，6，9，10，17，⋯，设数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）请计算123a a a ++，234a a a ++，345a a a ++．并依此规律求数列{}n a 的第n 项n a = ．（2）31n S += ．（请用关于n 的多项式表示，其中2222(1)(21)123)6n n n n +++++⋯+=2．求数列的前n 项和：2111111,4,7,,32,n n a a a-+++⋯+-⋯．3．数列{}n a 中，*1112,,()22n n n a a a a n N n +-=-=∈+，n P 为抛物线24y x =与直线n y a =的交点，过n P 作抛物线的切线交直线1x =-于点n Q ，记n Q 的纵坐标为n b ．（Ⅰ）求n a ，n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ．（附2222(1)(21):123)6n n n n +++++⋯+=4．已知数列{}n a 满足11a =，2*12(1)()n n na n a n n n N +-+=+∈．（1）求证：数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列：（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．5．已知正项数列{}n a 的前三项分别为1，3，5，n S 为数列的前n 项和，满足：22321(1)(1)(3)(n n nS n S n n An Bn A +-+=+++，B R ∈，*)n N ∈．（1）求A ，B 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n b 满足122(1)()222n n nb b b n a n N ++=++⋯+∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．（参考公式：222112(1)(21))6n n n n ++⋯+=++6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，45627a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n b a =，求数列{}n b 前n 项和n T ．参考公式：222(1)(21)126n n n n ++++⋯⋯+=．7．已知数列{}n a 的前n 项和为3n n S =，数列{}n b 满足11b =-，*1(21)()n n b b n n N +=+-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求数列{}n b 的通项公式n b ；（3）求数列{}n b 的前n 项和n T ．参考公式：22221123(1)(21)6n n n n +++⋯+=++．8．已知数列{}n a 满足123(1)258(31)2n n n a a a n a ++++⋯+-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(31)32(32)n n a nn a b n n -=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．9．已知数列{}n a 满足123(1)258(31)2n n n a a a n a ++++⋯+-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(31)22n n a n nnb a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．10．已知数列{}n a 满足*1(1)(1)()n n nS n S n n n N +=+++∈，且11a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(2)1(1)(1)(1)n n n n a b n n n ++=≠+-，记23n n T b b b =++⋯+，求n T ．11．在数列{}n a 中，13a =，12(2)(2n n a a n n -=+-，*)n N ∈．（1）求证：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的与前n 项和n S ．12．单调递增数列{}n a 满足21231()2n n a a a a a n +++⋯+=+．（1）求1a ，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设111,21,n n n a n a n c a n -+-⎧=⎨⨯+⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．13．已知数列{}n a 和{}n b 满足122n b n n a a a -⋯=，若{}n a 为等比数列，且11a =，212b b =+．（1）求n a 与n b ；（2）设1*12()()2(1)n n c n N n n -=-∈+，求数列{}n c 的前n 项和n S ．第5讲裂项求和1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且912162a a =+，24a =，则数列1{}n S 的前20项的和为( )A ．1920B ．2021C ．2122D ．22232．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足(1)2n n n S +=，则数列11{}n n a a +的前10项的和为．3．已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，若数列11{}n na a -+的前n 项和为5，则n = ． 4．已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)(2n n n n a a n n a +-==-，3，4，)⋯．（1）求3a 、4a 的值；（2）设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +并求{}n b 的通项公式；（3）设*1sin 3()cos cos n n n c n N b b +=∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且223n n a a =+，33S =，数列{}n b 为等比数列，13310b b a +=，24610b b a +=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若11(1)(1)(1)n n n n n b c b b b -+=+++，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求使得2116n T λλ<-恒成立的实数λ的取值范围．6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5125S S =，212n n a a -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b a =，且n b ，2n ，*n N ∈，求证：{}n b 的前n项和n T <．7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2321112322n S S S S n n n +++⋯+=+．（1）求数列{}n a 的前n 项和n S 和通项公式n a ；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得715n T >的最小正整数n ． 8．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足11a =，*11,n a n N +=∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足214n n n n b a a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*n N ∀∈，不等式0n T na -<恒成立，求实数a 的取值范围．9．等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11(1)(1)n n n n a b a a ++=--，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．10．已知数列{}n a 满足21*123444()4n n na a a a n N -+++⋯+=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设421n nn a b n =+，求数列1{}n n b b +的前n 项和n T ．11．已知数列{}n a 前n 项和n S 满足113,144,2n n n S a a n -=⎧=⎨++⎩．（1）设12n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式；（2）若2log n C =，数列11{}n n C C +的前n 项和为n T ，求证：423n T <．12．已知数列{}n a 满足123a =，*113()2n n n n a a a a n N ++-=∈．（1）求证数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列1{}n n a a +的前n 项和，证明：49n S <．13．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，并且11a =，对任意正整数n ，142n n S a +=+；设12(1n n n b a a n +=-=，2，3，)⋯．()I 证明数列{}n b 是等比数列，并求{}n b 的通项公式； ()II 设21221,3n n n n n b C T log C log C ++⎧⎫=⎨⎬⋅⎩⎭为数列的前n 项和，求n T ． 14．设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项；（2）若(2)(1)n n n n b c b b =--，数列{}n c 的前n 项和n T ，求证：213n T <．15．设数列{}n a 为等差数列，{}n b 为单调递增的等比数列，且12327a a a ++=-，123512b b b =，112233||a a b b a a +=+=+（1）求22a b +的值及数列{}n a ，{}n b 的通项；（2）若(2)(1)nn n n b c b b =--，求数列{}n c 的前n 项和n S ．第6讲倒序相加1．已知函数21()1f x x =+，则111(2016)(2015)(2)()()()220152016f f f f f f ++⋯+++⋯++的值为( ) A ．2014B ．2015C ．2016D ．20172．已知函数3()(1)2f x x =-+，数列{}n a 为等比数列，0n a >，且1009a e =，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，则122017()()()(f lna f lna f lna ++⋯+= ) A ．20172B ．2017C ．4034D ．80683．已知函数1()log (0,1)21a x f x a a x=+>≠-，正项等比数列满足1009a =且13n a <<．则313232017(log )(log )(log )f a f a f a ++⋯+等于( )A ．1008B ．110082C ．110092D ．10094．已知函数()f x 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，且10090a >，则12320162017()()()()()f a f a f a f a f a +++⋯⋯++的值( )A ．恒为负数B ．恒为正数C ．恒为0D ．可正可负5．已知函数3()3(5)28f x x x =-+-，{}n a 是公差不为0的等差数列，122017()()()4034f a f a f a ++⋯+=，则1009()f a 的值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．56．已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且120190lga lga +=，若22()1f x x =+，则122019()()()(f a f a f a ++⋯+= )A ．2018B ．4036C ．2019D ．40387．如果函数221()1x f x x -=+，那么111(1)(2)(2015)()()()232015f f f f f f ++⋯++++⋯+的值为．8．已知函数22()1x f x x =+，那么1()()f x f x+= ，f （1）f +（2）f +（3）111(2015)()()()232015f f f f +⋯++++⋯+=． 9．已知函数()1xx e f x e =+，数列{}n a 为等比数列，0n a >，且10091a =，则122017()()()f lna f lna f lna ++⋯+= ．10．设函数21()212x x f x =-+，数列{}n a 是公差为2的等差数列，且满足122019()()()0f a f a f a ++⋯+=，则10091011a a = ．11．已如函数1()1x x e f x e -=+，()(1)1g x f x =-+，*12321()()()()()n n a g g g g n N n n n n-=+++⋯+∈，则数列{}n a 的通项公式为．12．任意实数a ，b ，定义,0,0ab ab a b a ab b⎧⎪=⎨<⎪⎩⊕，设函数()f x lnx x =⊕，正项数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且10101a =，12320192020()()()()()f a f a f a f a f a e +++⋯++=-，则2020a = ． 13．已知函数22()log (1)log (1)f x x x =--+ （1）求函数的定义域；（2）求1111()()()()2014201520142015f f f f ++-+-的值．14．已知：()1x f x x =+，求111()()()201520142f f f f ++⋯++（1）(0)f f ++（1）f +（2）(2015)f ⋯+ 15．已知函数22()1x f x x =+．（1）求f （2）与1()2f ，f （3）与1()3f ；（2）由（1）中求得的结果，你能发现()f x 与1()f x 的关系吗？并证明你的发现；（3）求f （1）f +（2）f +（3）111(2015)()()()232015f f f f +⋯++++⋯+的值．第7讲等差绝对值求和1．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且35a =，99S =，数列||n n b a = （1）求{}n a 的通项公式（2）求数列n b 的前n 项和n T ．2．已知等差数列{}n a 的公差不为零，111a =，且2a ，5a ，6a 成等比数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设123||||||||n n S a a a a =+++⋯+，求n S ．3．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =且23125(22)a a a =+．（1）求d ，n a ．（2）若0d <，求123||||||||n a a a a +++⋯+．4．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列．（1）求d ，n a ；（2）若0d <，求12||||||n a a a ++⋯+．5．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，110a =．（1）求d ，n a ；（2）求1220||||||a a a ++⋯+．6．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且12a ，222a +，351a -成等比数列．（1）求d ，n a ；（2）若0d <，求123||||||||n a a a a +++⋯+第8讲错位相减求和1．已知{}n a 为等比数列，11a =，427a =；n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，13b =，535S =．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n 满足(*)nn n a b n N =∈，求数列{}n 的前n 项和n T ．2．{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为*(),{}n n S n N b ∈是等差数列．已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令22,,n n n n nn b b c a b n +⎧⎪⋅=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和为2n Q ；（3）若(32)n n C n a =-则数列{}n c 前n 项和n T ①求n T②若对2n ，*n N ∈任意，均有2(5)63135n T m n n --+恒成立，求实数m 的取值范围（4）由（3）知对于数列的不等式问题，一般都是求最值，那么在数列中求一个数列最值的方法有哪些？（5）将数列{}n a ，{}n b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：1a ，1b ，2b ，2a ，3a ，3b ，4b ，4a ，5a ，5b ，6b ，⋯，求这个新数列的前n 项和n P（6）设2,2(log 1),2k n n kn n b n d b b n ⎧≠⎪=⎨+=⎪⎩，其中*k N ∈，求2*1()ni i d n N =∈∑ （7）是否存在新数列{}n c ，满足等式11122nn i n i i b c n ++-==--∑成立，若存在，求出数列{}n c 的通项公式；若不存在，请说明理由．（8）通过解本题体会数列求和方法，数列求和方法的本质是什么？3．已知公差0d ≠的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且535S =，1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：122313131n n n b b ba =++⋯++++，求数列{}nb 的通项公式；（3）令(1)4n nn a b c -=，*n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且534a a -=，535S =，等比数列{}n b 满足231b a =+，371b a =+．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求21321n n a b a b a b +++⋯+的值．5．设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知13a =，23227a a =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n b 是以函数24sin y x π=的最小正周期为首项，以2为公比的等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且534a a -=，535S =，等比数列{}n b 满足231b a =+，371b a =+．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求22221321n n a b a b a b +++⋯+的值．7．已知在等差数列{}n a 中，34a =前7项和等于35，数列{}n b 中，点(n b ，)n s 在直线220x y +-=上，其中n s 是数列{}n b 的前n 项和*()n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：数列{}n b 是等比数列；（3）设n n n c a b =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T 并证明；4532n T <． 8．已知各项都为整数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535S =，且2a ，31a +，6a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设3n n n a b =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：54nT <． 9．已知等差数列{}n a 的公差0d >，且1611a a =，3412a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列112{}2n nn a a ++-的前n 项和n T ． 10．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，4a 是1a 与3a 的等比中项，55S =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11nS nn n b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．11．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，4410s b -= （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设nn n a b =，求数列{}n 的前n 项的和n T ．第9讲数列的通项与求和综合1．已知数列{}n a 的通项公式是12n n a -=，数列{}n b 的通项公式是3n b n =，令集合1{A a =，2a ，⋯，n a ，}⋯，1{B b =，2b ，⋯，n b ，}⋯，*n N ∈．将集合AB 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{}n c ．则数列{}n c 的前28项的和28S = ． 2．已知数列{}n a 满足1231232222n nn a a a a +++⋯+=----，*n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令11(2)(2)n n n b a a +=--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n T <．3．已知数列{}n a 满足1231(1)(41)23(1)6n n n n n a a a n a na -+-+++⋯+-+=．（1）求n a （2）求数列11{}n n a a +的前n 项和n T （3）已知{}n b 是公比q 大于1的等比数列，且11b a =，35b a =，设1n n c b λ+=，若{}n c 是递减数列，求实数λ的取值范围4．（1）已知数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，求通项公式n a ；（2）在数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +-=+，求数列的通项n a ；（3）在数列{}n a 中，11a =，前n 项和23n n n S a +=，求{}n a 的通项公式n a ．（4）已知在每项均大于零的数列{}n a 中，首项11a =，且前n 项和n S满足*n S S n N -∈，2)n ，求n a ．5．（1）在数列{}n a 中，12a =，132n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）已知数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+，求数列{}n a 的通项公式n a ；（3）已知数列{}n a 满足2121233331n n a a a a n -+++⋯+=+，*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式n a ；（4）已知数列{}n a 满足112,1,2n n n a n a a n ++-⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，且11a =，求数列{}n a 的通项公式n a ．6．已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，并且1(1)(3)4n n n S a a =-+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）已知数列{}n b 满足12(41)(41)na n n nb +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．7．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H 型数列”．（1）若数列{}n a 为“H 型数列”，且113a m =-，21a m=，34a =，求实数m 的取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“H 型数列”，且其前n 项和n S 满足2*()n S n n n N <+∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H 型数列”， 23n n b a =，5(1)2n n n a c n -=+，当数列{}n b 不是“H 型数列”时，试判断数列{}n c 是否为“H 型数列”，并说明理由．8．已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c ，且1n n n b a a +=-，*1()n n n c b b n N +=-∈．若{}n b 是一个非零常数列，则称{}n a 是一阶等差数列，若{}n c 是一个非零常数列，则称{}n a 是二阶等差数列．（Ⅰ）已知11a =，11b =，1n c =，试写出二阶等差数列{}n a 的前五项；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：222n n n a -+=；（Ⅲ）若{}n a 的首项12a =，且满足1*132()n n n n c b a n N ++-+=-∈，判断{}n a 是否为二阶等差数列． 9．在等差数列{}n a 中，已知23a =，78a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n S ，若512n S =，求n 的值． 10．设数列{}n a 满足：11a =，点*1(,)()n n a a n N +∈均在直线21y x =+上．（1）证明数列{1}n a +等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）若2log (1)n n b a =+，求数列{(1)}n n a b +的前n 项和n T ．11．已知正项数列{}n b 满足2211111,2n n n n n nb b b b b b b +++=--=+．若数列{}n a 满足11211111,()(2n n n a a b n b b b -==++⋯+且*)n N ∈ （1）求数列{}n b 的通项公式n b ；（2）证明：1*322(4,)n n a n n N ->-∈；（3）求证：*1211110(1)(1)(1)()3n n N a a a ++⋯+<∈． 12．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，211n n n a S S ++=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(21)(21)3nn n a n n a b a a +=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．13．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令211441(1)n n n n n n b a a -++-=-，求数列{}n b 的前n 项和2n T ；（Ⅲ）若对于*n N ∀∈，2222n T λλ<--恒成立，求λ范围． 14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且163(*)n n S a n N +=+∈．（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若(31)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且163()n n S a a N ++=+∈．（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）设122233(1)(221)(2)(1)n n n n n n b log a log a --++=++，求{}n b 的前n 项和n T ． 16．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1*63()n n S a n N +=+∈．（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若32(31)log n n n b n a a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n +，n S ，a 成等差数列*()n N ∈．（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若21(21)log ()n n n b n a a +=+，求数列1{}nb 的前n 项和n T ．18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n +，n S ，a 成等差数列*()n N ∈．（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若21(1)log ()n n n b an a a +=-，求数列1{}nb 的前n 项和n T ．第10讲数列单调性问题1．已知数列{}n a 与{}n b 满足113()n n n n b b a a ++-=-，*n N ∈，在数列{}n a 中，2163n n a n =-，设数列{}n b 中的最小项是第k 项，则k 等于( )A ．30B ．28C ．26D ．242．在数列{}n a 中，22293n a n n =-++，则此数列最大项的值是( ) A ．103B ．8658C ．8258D ．1083．设函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足()n a f n =，n N +∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3)B ．(2,3)C ．9(,3)4D ．(1,2)4．已知{}n a 是递增数列，且对于任意的*n N ∈，2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是．5．已知数列{}n a 是递增数列，且对于任意的n N +∈，223n a n n λ=++恒成立，则实数λ的取值范围是． 6．已知数列{}n b 满足113(1)2n n n n b λ-+=+-，对于任意的*n N ∈，都有1n n b b +>恒成立，则实数λ的取值范围．7．数列{}n a 满足1232()n n a a a a n a n N ++++⋯=-∈．数列{}n b 满足2(2)2n n nb a -=-，则{}n b 中的最大项的值是．8．已知数列{}n a ，11a =，前n 项和n S 满足1(3)0n n nS n S +-+=，（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若24()n n a b n =，求数列{(1)}nn b -的前n 项和n T ；（Ⅲ）设2()n nnna λ=-，若数列{}n 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．9．已知数列{}n a 中，2(a a a =为非零常数），其前n 项和n S 满足：*1()()2n n n a a S n N -=∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2a =，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{}n a 中满足n a b p +的最大项恰为第32p -项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由． 10．设数列{}n a 满足：10a =，1(1)3n n n a a n +=++．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设434n n na b +=，求数列{}n b 中的最大项的值．11．已知()f x 是定义在实数集R 上的不恒为0的函数，对任意实数x ，y 有()()()f x f y f x y =+，当0x >时，有0()1f x <<．（Ⅰ）求(0)f 的值，并证明()f x 恒正；（Ⅱ）判断()f x 在实数集R 上单调性；（Ⅲ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，113a =，()(n a f n n =为正整数）．令()n nb f S =，问数列{}n b 中是否存在最大项？若存在，求出最大项的值；若不存在，试说明理由． 12．已知数列{}n a 满足：123n n a a a a n a +++⋯+=-，(1n =，2，3，)⋯．（1）求证：数列{1}n a -是等比数列；（2）令(2)(1)(1n n b n a n =--=，2，3)⋯，求数列{}n b 的最大项的值；（3）对第（2）问中的数列{}n b ，如果对任意*n N ∈，都有214n b t t +，求实数t 的取值范围．13．已知无穷数列{}n a 满足：10a =，2*1(n na a c n N +=+∈，)c R ∈．对任意正整数2n ，记{|n M c =对任意{1i ∈，2，3，}n ⋯，||2}i a ，{|M c =对任意*i N ∈，||2}i a ．（Ⅰ）写出2M ，3M ；（Ⅱ）当14c >时，求证：数列{}n a 是递增数列，且存在正整数，使得c M ∉；（Ⅲ）求集合M ．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S a a =+，*n N ∈，0a ≠．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和n T 满足3n n n T a =+． ①若1a =，求证：123111134n T T T T +++⋯+<； ②若数列{}n b 为递增数列，求a 的范围．15．若数列{}n a 的每一项都不等于零，且对于任意的*n N ∈，都有2(n na q q a +=为常数），则称数列{}n a 为“类等比数列”．已知数列{}n b 满足：1(,0)b b b R b =∈≠，对于任意的*n N ∈，都有112n n n b b ++⋅=．（1）求证：数列{}n b 是“类等比数列”；（2）求{}n b 通项公式；（3）若{}n b 是单调递增数列，求实数b 的取值范围．16．已知数列{}n a 的前n 项和为22n a S n =．（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）试讨论数列{}n a 的单调性（递增数列或递减数列或常数列）．17．已知函数22()1x f x x =+，()n a f n =．（1）求证：对任意*n N ∈，1n a <；（2）试判断数列{}n a 是否是递增数列，或是递减数列？18．已知数列{}n a 满足：11a =，1||n n n a a p +-=，*n N ∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和．（1）若{}n a 是递增数列，且1a ，22a ，33a 成等差数列，求p 的值；（2）若12p =，且21{}n a -是递增数列，2{}n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式；（3）在（2）的条件下，令1()n n n c n a a +=-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．第11讲数列的奇偶性问题1．已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+，则2018(a = ) A ．20182019⨯B ．20172018⨯C ．20162017⨯D ．20182018⨯2．已知数列{}n a 满足1a l =，221(1)n n n a a -=+-，2123n n n a a +=+ *()n N ∈，则数列{}n a 的前2017项的和为()A ．100332005-B ．201632017-C ．100832017-D ．100932018-3．数列{}n a 满足1(1)(21)n n n a a n ++=--，则{}n a 的前60项和为( ) A ．1710-B ．1740-C ．1770-D ．1800-4．数列{}n a 满足*1(2|sin |1)2,2n n n a a n n N π+=-+∈，则数列{}n a 的前60项和为( ) A ．1860B ．5100C ．3720D ．9305．已知数列{}n a 满足11a =，*12()n n n a a n N +=∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则2016(S = ) A ．201621-B ．1008323⨯-C ．1008321⨯-D ．2016322⨯-6．已知数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，若11a =，则3a = ，前60项的和为． 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，(1)21(1)n n n n a a n +++=-，20171008S =，则2a 的值为．8．已知数列{}n a 满足2(4)cos n a n n n π=+，则{}n a 的前50项的和为．9．已知函数2()cos()f n n n π=，数列{}n a 满足()(1)()n a f n f n n N +=++∈，则122n a a a ++⋯+= ． 10．已知数列{}n a 满足：10a =，221n n a a =+，2121n n a a n +=++，*n N ∈．（1）求4a 、5a 、6a 、7a 的值；（2）设212n n na b -=，212333n n n S b b b =++⋯+，试求2020S ；（3）比较2017a 、2018a 、2019a 、2020a 的大小关系．11．已知数列{}n a 的通项公式为1,1,n n a n n ⎧=⎨-⎩为正奇数为正偶数．（1）写出这个数列的前6项，并画出图象；（2）判断7是该数列的第几项？12．已知数列{}n a 满足：1221,2222n n nn a n a n a n +⎧+⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为正奇数为正偶数．（Ⅰ）问数列{}n a 是否为等差数列或等比数列？说明理由；（Ⅱ）求证：数列22n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}2n a 的通项公式；（Ⅲ）设21n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．13．已知数列{}n a 满足：11a =，10.5,2,n n n a n n a a n n ++⎧=⎨-⎩为正奇数为正偶数，22n n b a =-；（1）求2a 、3a 、4a ；（2）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项公式；（3）求和242n n T a a a =++⋯+； 14．（1）设函数1()()2x g x x R -=∈，且数列{}n c 满足11c =，1()(n n c g c n N -=∈，1)n >；求数列{}n c 的通项公式．（2）设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且37462825a a b b b b +=++，127n n S An T n +=+，26S =；求常数A 的值及{}n a 的通项公式．（3）若()()n n na n d c n ⎧⎪=⎨⎪⎩为正奇数为正偶数，其中n a 、n c 即为（1）、（2）中的数列{}n a 、{}n c 的第n 项，试求12n d d d ++⋯+．第12讲数列周期性问题1．已知数列{}n a 满足13a =，28a =，2n a +等于1n n a a +的个位数，则2020(a = ) A ．2B ．4C ．6D ．82．已知数列{}n a 满足：*11(2,)n n n a a a n n N +-=-∈，11a =，22a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2019(S = )A ．3B ．4C ．1D ．03．数列{}n a 满足12a =，1111n n n a a a ++-=+，其前n 项的积为n T ，则2020(T = )A ．1B ．6-C ．2D ．34．已知数列{}n a 满足11(2)n n n a a a n +-=-，1a m =，2a n =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2017S 的值为()A ．2017n m -B ．2017n m -C ．mD ．n5．已知数列{}n a 满足11(n n n a a a n N +-+=-∈且2)n ，若11a =，23a =，12n n S a a a =++⋯+，则下列结论中正确的是( ) A ．20151a =，20152S = B ．20153a =-，20152S =C ．20151a =-，20152S =D ．20153a =，20152S =6．已知数列{}n a 满足11a =，23a =，11n n n a a a +-=，(2)n ，则2013a 的值等于( ) A ．3B ．1C ．13D ．201337．已知数列{}n a 满足11(2)n n n a a a n +-=-，11a =，23a =，记12n n S a a a =++⋯+，则下列结论正确的是()A ．1001a =-，1005S =B ．1003a =-，1005S =C ．1003a =-，1002S =D ．1001a =-，1002S =8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11(2)n n n a a a n +-=-，11a =，22a =，则2018S = ． 9．已知数列{}n a 满足条件：112a =，111n n a a +=-，则对任意正整数n ，132n n a a ++=的概率为．10．若数列{}n a 满足12a =，111n n a a -=-，(2n =，3，4，)⋯，且有一个形如1)2n a n ωϕ++的通项。