2003年全国初中数学竞赛天津赛区

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2003年全国初中数学竞赛第二试概要

2003年全国初中数学竞赛第二试
A卷
一、（本题满分20分）
试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位
数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这
个四位数．
二、（本题满分25分）
在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于P．设线段PA，PB的中点分别为M，N．
求证：⑴△DEM≌△DFN；⑵∠PAE=∠PBF．
三、（本题满分25分）
已知实数a，b，c，d互不相等，且 a + 1/b = b
+ 1/c = c +1/d = d + 1/a = x，试求x 的值．
B卷
一、同A卷第一题
二、（本题满分25分）
在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于P．求证：∠PAE=∠PBF．
三、（本题满分25分）
已知四边形ABCD的面积为32，AB，CD，AC的长都是整数，且它们的和为16．
⑴这样的四边形有几个？
⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值．
C卷
一、同A卷第三题，分值为20分。

二、同B卷第二题。

三、同B卷第三题。

2003年全国初中数学联赛试题及解答

D
B
F MN
P
因为 DE＝DF，则△DEM≌△FDN
故∠EMD＝∠FND，从而，∠AME＝∠BNF
而△AME、△BNF 均为等腰三角形，故∠PAE＝∠PBF
三、(1)如图，记 AB＝a，CD＝b，AC＝ l ，并设△ABC
A
的边 AB 上的高为 h1 ，△ADC 的边 DC 上的高为 h2 。
则 S四边形ABCD
2. 设 m 是整数，且方程 3x2 + mx − 2 = 0 的两根都大于 − 9 而小于 3 ，则
5
7
B'
m=____________．
C EA
3.如图， AA' ， BB' 分别是∠EAB，∠DBC 的平分线．
BD
若 AA' = BB' = AB ，则∠BAC 的度数为_____________．
=1−
x 。 SΔADE
= 1− x 3
=
1,x 4
=
1 4
。故
CE EA
=
1 3
B
C
6、(D)；如图，连结 AC、CE。
D C
由 AE∥BC，知四边形 ABCE 是等腰梯形。故 AC＝BE＝5。 E
又因为 DC∥AB，DC 与圆相切，所以，∠BAC＝∠ACD＝
∠ABC。则 AC＝BC＝AD＝5，DC＝AB＝4
E
且与 CD 相切．若 AB=4，BE=5，则 DE 的长为（）
A.3 B.4 C. 15
4
D. 16
5
A
B
二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）
1.抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C．若△ABC 是直角

2003年全国初中数学竞赛天津赛区初赛

5 EC 1 2 18 1 2 18第 4 期25 2003年全国初中数学竞赛天津赛区初赛一、选择题(每小题5 分,共30 分)(2003 - 03 - 23)AD 将△ABC 分成2 个等腰三角形. 则满足上述条件1. 化简2 4 + 2 3 - 21 - 12 3 为( ) .(A) 5 - 4 3 (B) 4 3 - 1 (C) 5 (D) 12.在凸八边形的所有内角中, 钝角至少有( ) 个.(A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 83.如图1 ,用3 个边长为1 的正方形组成一个对称图形,则能将其完全覆盖的圆的的不同形状(相似的认为是同一形状) 的△ABC 最多有个.三、解答题(每小题20 分,共60 分)12.有18 支足球队进行单循环赛,每个参赛队同其他各队都进行一场比赛. 假设比赛的结果没有平局,如果用a i和b i分别表示第i ( i = 1 ,2 ,3 , , 18) 支球队在整个赛程中胜与负的局数,求证:最小半径为( ) . a2+ a2+ + a2= b2+ b2+ + b2.(A) 2 (B) 5213.如图2 , PA 、PB 与⊙O 切于A 、B(C) 54 (D)5 17 图116两点, PC 是任意一条割线,且交⊙O于4.已知A 、B 为平面上的 2 个定点,且AB =5. 若点A 、B 到直线l 的距离分别等于2 、3 ,则满足条件的直线l 共有( ) 条.(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 无数5.已知x 、y 、z 为3 个非负实数,且满足3 x + 2 y + z = 5 , x + y - z = 2. 若s = 2 x + y - z , 则s 的最大值与最小值的和为( ) .(A) 5 (B) 23 (C) 27 (D) 354 4 46. 使得2 n ( n + 1) ( n + 2) ( n + 3) + 12 可表示为2 个正整数平方和的自然数n ( ) .(A)不存在(B) 有1 个(C) 有2 个(D) 有无数个二、填空题(每小题6 分,共30 分)7.某编辑用0～9 这10 个数字给一本书的各页标上页码. 若共写了636 个数字, 则该书有点E、C , 交AB 于点AC2AD 图2D. 求证:BC2=BD.14. 已知函数y = ( a + 2) x2- 2 ( a2- 1) x + 1 ,其中自变量x 为正整数, a 也是正整数. 求x 为何值时,函数值最小.参考答案一、1. (C) .2. (B) .因为一个凸多边形的外角至多有 3 个钝角,故其内角中最多有 3 个锐角,所以凸八边形的内角中至少有 5 个钝角.3. (D) .如图 3 得a2+ 1 = r2,页.8.设△ABC 的面积是1 , D 是边BC 上一点,且(2 - a) 2 +122= r2.BD= 1. 若在边AC 上取一点E ,使四边形ABDE 的解得a =13, r =5 17. 图3DC 2 16 16面积为4,则A E的值为.9.已知二次函数y = ax2+ bx + c ,一次函数y =k24. (B) .以点A 、B 为圆心,半径分别为2 、3 的两圆的公切线的条数,即为所求.5. (A) .k ( x - 1) - 4 . 若它们的图像对于任意的实数k 都只有一个公共点,则二次函数的解析式为. x = s - 2 ≥0 ,10.已知α、β是方程x2α4 + 3β的值为. - x - 1 = 0 的两个根. 则3 x + 2 y + z = 5 ,由x + y - z = 2 ,2 x + y - z = s得y = 5 -4s31≥0 ,11.△ABC 中,有一内角为36°,过顶点A 的直线z = 1 - 3 s ≥0.26 中等数学。

2003年全国初中数学联合竞赛试题及解答

2
为使方程有正整数根要求 4 y 50 4 y 2 y 4 2500 99 y 是完全平方数．
2
经试验得到 y 25 时是完全平方数，解出 x 20 或 30，即 2025 或者 3025 满足题意. 方法二：设这两个两位数分别为 x ， y ，则 x y 100 x y
2
由于 △ABC 是直角三角形，所以抛物线与 x 轴的交点必然在 y 轴两边，所以
c 再由射影定理得到 c 2 ，所以 ac 1 . a
c 0. a
9 3 2．设 m 是整数，且方程 3x2＋mx－2＝0 的两根都大于而小于，则 m＝_________. 5 7
【答】 4. 考虑二次函数 f ( x) 3x2 mx 2 与二次函数的两个交点，由于 3 大于 0，图像开口向上．
所以故：
S△ ADE AD AE 1 AE 3 1 ， S△ ABC AB AC 3 AC 4
AE 3 CE 1 ，所以 AC 4 EA 3
B
C
6．如图，在平行□ABCD 中，过 A，B，C 三点的圆交 AD 于 E，且与 CD 相切．若 AB＝4， BE＝5，则 DE 的长为（ A．3. 【答】D. 连接 CE，由于 ABCE 四点共圆，所以：∠DEC＝∠CBA，在平行四边形 ABCD 中，∠D＝∠ABC，所以有∠DEC＝∠D＝∠ABC，同时，CD 平行于 AB，且 DC 与圆相切，可知：C 为弧 AB 中点，所以∠CEB＝∠CBA，且∠DCE＝∠CBE，故由∠DEC＝∠D 可知△DEC 为等腰三角形，CD＝CE＝AB＝4，由∠DEC＝∠CBE 和∠D＝∠ABC＝∠CEB 可知△CDE∽△BCE，所以：

《圆的基本性质》奥数复习题

《圆的基本性质》复习题姓名学号一、填空题1.如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对的圆周角的度数为 .2.在Rt ΔABC 中，AB ＝6，BC ＝8，则这个三角形的外接圆直径是3.在等边三角形ABC 外有一点D ，满足AD=AC ，则∠BDC= 。

4.在四边形ABCD 中，AB=BC=AC=AD ，AH ⊥CD 于H ，CP ⊥BC 交AH 于P ，若AP=l ，则BD=5.如图，点A 、B 、Q 、D 、C 在圆上，BQ 与QD 分别是42°和38°，则∠P+∠Q= . 6．（1998年全国初中数学竞赛试题）已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为 cm 。

7.如图，扇形MON 中,∠MON=90°,过线段MN 的中点A 作AB ∥ON ，交MN 于B ，∠BON= 8.（2008年蚌埠二中自主招生考试数学素质测试题）已知⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3，则BAC ∠的度数是。

9.（2006年“TRULY 信利杯”全国初中数学竞赛初赛试题）半径为2的⊙O 中，弦AB 与弦CD 垂直相交于点P ，连结OP ，若OP ＝1，则AB ²＋CD ²的值为。

10.如图，在△ABC 中，∠A= 70°，⊙O 截△ABC 的三边所截得的弦长都相等，则∠BOC= .11.如图，△ABC 内接于直径为d 的圆．设BC=a ，AC=b ，那么△ABC 的高 CD= .12.（北京市竞赛题）如图所示，正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989 cm ²，P 为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA ：PB=5：14，则PB 的长为。

13.如图，在直径为20cm 的半圆0上P 、Q 两点，PC ⊥ AB 于C,QD ⊥AB 于D,QE ⊥ PO 于 E,AC=4cm ，则DE= cm.14.已知P 是正方形ABCD 内的一点，O 为正方形的中心，AP⊥BP ，OP=，PA=6，则正方形ABCD 的边长为。

【数学竞赛】2003年全国初中数学联赛试卷及答案

【数学竞赛】2003年全国初中数学联赛试卷第一试（4月13日上午8:30—9:30）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.A .5-B .1C .5D .1[答]（）2.在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是A .0B .1C .3D .5[答]（）3.若函数()0y kx k =>与函数1y x=的图象相交于A ，C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则△ABC 的面积为 A .1 B .2 C .k D .2k[答]（）4.满足等式2003的正整数对()x y ，的个数是A .1B .2C .3D .4[答]（）5.设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且13AD AB =．若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为34，则CE EA的值为 A .12 B .13 C .14 D .15[答]（）6.如图，在□ABCD 中，过A ，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若AB =4，BE =5，则DE 的长为A .3B .4C .154D .165[答]（） D CA B E二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若△ABC 是直角三角形，则ac =__________．2.设m 是整数，且方程2320x mx +-=的两根都大于95-而小于37，则m =____________． 3.如图，'AA ，'BB 分别是∠EAB ，∠DBC 的平分线．若''AA BB AB ==，则∠BAC 的度数为_____________．4.已知正整数a ，b 之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a ，b 中较大的数是_________．2003年全国初中数学联合竞赛试卷第二试（A ）（4月13日上午10:00—11:30）考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．一、（本题满分20分）试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．二、（本题满分25分）。

2003年全国初中数学竞赛天津赛区解析

李辰
第一中学
吴晋
外院附校
张晗
新华中学
郭晓煦
新华中学
包辰兰
外院附校
刘思洋
耀华中学
娄天关
新华中学
王蕾
南开中学
杜洁
新华中学
王祎
新华中学
肖潇
天津五中
高腾
耀华中学
孙鹏
双建中学(河北)
丁淼
协同中学(红桥)
单增礼
静海二中
李迪
南开中学
田玉璐
华辰中学(北辰)
崔琛
新华中学
孙丁捷
新华中学
崔晓龙
二十中学
王龙
五十五中
穆旭冉
南开中学
高玉翔
耀华中学
李玮瑜
实验中学
陈雪
育英中学(宝坻)
吴云昊
实验中学
董见地
石化一中
马剑峰
新华中学
胡珀
耀华中学
杨光
新华中学
赵学义
上骀中学(武清)
杨晓浩
实验中学
李鑫
新华中学
刘龙隆
新华中学
田力
耀华中学
周鑫南
南开中学
胡阳
南开中学
张宏
第七中学
肖月
第一中学
杨帅
外院附校
于淼
实验中学
余盛强
实验中学
陈伯雄
新华中学
王潇
一0二中(河东)
扈晓莉
南开中学
崔云溪
南开中学
张勇
耀华中学
郑小平
育华中学(塘沽)
门金龙
方舟中学(红桥)
李辰
天慈中学(河北)
刘砚辉
第七中学
李彬
油田十中

2003年信利杯全国初中数学联赛天津赛区复赛试卷及答案-

G F EDCB AOD CBA2003年“TRULY ®信利杯”全国初中数学联赛天津赛区复赛试卷1．若4x －3y －6z = 0，x +2y －7z = 0 (xyz≠0)，则代数式222222103225z y x z y x ---+的值等于 ( )． (A)12-(B)192-(C)15- (D)13-2．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g 而不超过40g 时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g 需增加邮费0.80元（信的质量在100g 以内）．如果某人所寄一封信的质量为72.5g ，那么他应付邮费 ( )．(A)2.4元 (B)2.8元(C) 3元 (D) 3.2元 3．如右图所示，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G的值等于（）．(A) 360° (B) 450° (C) 540° (D) 720° 4．四条线段的长分别为9，5，x ，1（其中x 为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB 与CD 是其中的两条线段（如右图），则x可取值的个数为（）．(A) 2个 (B) 3个 (C) 4个 (D) 6个5．某校九年级两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空当处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )．(A) 1种 (B) 2种(C) 4种 (D) 0种6．已知31+=x ，那么2111242x x x +-+--的值等于． 7．若实数x ，y ，z 满足41=+yx ，11=+z y ，371=+x z ，则xyz 的值为．8．观察下列图形：① ② ③ ④根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为． 9．如右图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成45º，∠A = 60º，CD = 4m ，BC =()2264-m ，则电线杆AB 的长为_______m ． 10．已知二次函数c bx ax y ++=2（其中a 是正整数）的图象经过点A （－1，4）与点B （2，1），并且与x 轴有两个不同的交点，则 b + c 的最大值为．三、解答题（本大题共4题，每小题15分，满分60分）如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P ．问EP 与PD 是否相等？证明你的结论．某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示．若汽车行驶的平均速度为 80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元．试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？10111859712131761514FGO HBE DC APE DCB A OABCD已知：△ABC 中，∠ACB =90°．(1) 如图所示，当点D 在斜边AB 上（不含端点）时，求证：ABBDAD BC BD CD -=-222；(2)当点D 与点A 重合时，第(1)小题中的等式是否成立？请说明理由； (3)当点D 在BA 的延长线上时，第(1)小题中的等式是否成立？请说明理由．已知实数a ，b ，c 满足：a +b +c =2，abc =4. (1)求a ，b ，c 中的最大者的最小值； (2)求a b c ++的最小值.答案：1.答案：D ．由⎩⎨⎧=-+=--,072,0634z y x z y x 解得⎩⎨⎧==.2,3z y z x 代入，得原式=1310121818451043924295222222-=---+=-⨯-⨯-⨯+⨯z z z z z z ． 2. 答案：D ．因为20×3<72．5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3．2（元）． 3. 答案：C ．如图所示，∠B +∠BMN +∠E +∠G =360°， ∠FNM +∠F +∠A +∠C =360°，而∠BMN +∠FNM =∠D ＋180°，所以∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =540°． 4. 答案：D ．显然AB 是四条线段中最长的，故AB =9或AB =x ．（1）若AB =9，当CD =x 时，222)51(9++=x ，53=x ；当CD =5时，222)1(59++=x ，1142-=x ；当CD =1时，222)5(19++=x ，554-=x ．（2）若AB =x ，当CD =9时，222)51(9++=x ，133=x ；当CD =5时，222)91(5++=x ，55=x ；当CD =1时，222)95(1++=x ，197=x ．5. 答案：B ．设最后一排有k 个人，共有n 排，那么从后往前各排的人数分别为k ，k +1，k +2，…，k +（n －1），由题意可知1002)1(=-+n n kn ，即()[]20012=-+n k n ．因为k ，n 都是正整数，且n ≥3，所以n <2k +（n －1），且n 与2k +（n －1）的奇偶性不同．将200分解质因数，可知n =5或n =8．当n =5时，k =18；当n =8时，k =9．共有两种不同方案．6. 答案：23-． 4341442141212222--=-+--=---++x x x x x x将31+=x代入，可得其值为23-． 7. 答案：1．因为34371137137111114--+=---+=-+=-+=+=x x x xx x z z x z x y x ，所以37)34()34(4-+-=-x x x x ，091242=+-x x ，0)32(2=-x ，故23=x ．从而 353237137=-=-=x z ， 5253111=-=-=z y ．于是1355223=⨯⨯=xyz ．8. 答案：161．根据图中①、②、③的规律，可知图④中三角形的个数为1+4+3×4+432⨯+433⨯=1+4+12+36+108=161（个）．9. 答案：26．如图，延长AD 交地面于E ，过D 作DF ⊥CE 于F ．因为∠DCF =45°，∠A =60°，CD =4（m ），所以CF =DF =22（m ），EF =DF tan60°=62（m ）．因为3330tan == BE AB ，所以2633)22642262(33=⨯-++=⨯=BE AB （m ）． 10. 答案：－4．G FE D CB ANM由于二次函数的图象过点A （－1，4），点B （2，1），所以⎩⎨⎧=++=+-,124,4c b a c b a解得⎩⎨⎧-=--=.23,1a c a b 因为二次函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以42>-=∆ac b ，0)23(4)1(2>----a a a ，即0)1)(19(>--a a ，由于a 是正整数，故1>a ，所以a ≥2．又因为b +c =－3a +2≤－4，且当a =2，b =－3，c =－1时，满足题意，故b +c 的最大值为－4．11. 解：DP =PE ．证明如下：因为AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，所以AB ⊥BC ．由Rt △AEP ∽Rt △ABC ，得ABAEBC EP = ． ① ……（6分）又AD ∥OC ，所以∠DAE=∠COB ，于是 Rt △AED ∽Rt △OBC ．故ABAEAB AE OB AE BC ED 221===． ② ……（12分）由①，②得 ED =2EP ．所以 DP =PE ． ……（15分） 12. 解：从A 城出发到达B 城的路线分成如下两类：（1）从A 城出发到达B 城，经过O 城．因为从A 城到O 城所需最短时间为26小时，从O 城到B 城所需最短时间为22小时．所以，此类路线所需最短时间为26+22=48（小时）． ……（5分）（2）从A 城出发到达B 城，不经过O 城．这时从A 城到达B 城，必定经过C ，D ，E 城或F ，G ，H 城，所需时间至少为49小时． ……（10分）综上，从A 城到达B 城所需的最短时间为48 小时，所走的路线为A →F →O →E →B ． ……（12分）所需的费用最少为80×48×1.2=4608（元）． ……（14分）答：此人从A 城到B 城最短路线是A →F →O →E →B ，所需的费用最少为4608元． ……（15分）13. 解：（1）作DE ⊥BC ，垂足为E ．由勾股定理, 得.)()()(22222222BC BE CE BE CE DE BE DE CE BD CD -=-=+-+=-所以，BC BEBC CE BC BE CE BCBD CD -=-=-222．因为DE ∥AC ，所以ABBD BC BE AB AD BC CE ==,．故AB BDAD AB BD AB AD BCBD CD -=-=-222． ……（10分）（2）当点D 与点A 重合时，第（1）小题中的等式仍然成立．此时有AD，BD=AB．所以122222222-=-=-=-BCBCBCABACBCBDCD，1-=-=ABAB．从而第（1）小题中的等式成立．……（13分）（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式不成立．作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，则222222CD BD CE BEBC BC--=21,CE BE CEBC BC+=-=--而1-=-=-ABABABBDAD,所以ABBDADBCBDCD-≠-222．……（15分）〖说明〗第（3）小题只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清者不扣分）．14. 解：（1）不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，且2b c a+=-，abc4=.于是b，c是一元二次方程04)2(2=+--axax的两实根，aa44)2(2⨯--=∆≥0，164423-+-aaa≥0，)4)(4(2-+aa≥0．所以a≥4．……（8分）又当a=4，b=c=-1时，满足题意. 故a，b，c中最大者的最小值为4.（2）因为abc>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负.①若a，b，c均大于0，则由（1）知，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾.②若a，b，c为一正二负，设a>0，b<0，c<0，则22)2(-=--=--=++aaacbacba，由（1）知a≥4，故2a -2≥6，当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立.故cba++的最小值为AB DD。

2003第二十届全国初中数学联赛(含答案)

读万卷书行万里路12003第二十届全国初中数学联赛第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．232217122-- ）A ．542-B ．421C ．5D ．12．在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）A ．0B ．1C ．3D ．53．若函数(0)y kx k =>与函数1y x=的图象相交于A ，C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则ABC △的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．满足等式2003200320032003x y x y x y xy -=的正整数对()x y ，的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4yxCB AEDCBA读万卷书行万里路25．设ABC △的面积为1，D 是边AB 上一点，且13AD AB =．若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为34，则CE EA的值为（） A ．12B ．13C ．14D ．156．在平行四边形ABCD 中，过A ，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若4AB =，5BE =，则DE 的长为（）A ．3B ．4C ．154D ．165二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若ABC △是直角三角形，则ac =_________．2．设m 是整数，且方程2320x mx +-=的两根都大于95-而小于37，则m =_________． 3．如图，AA '，BB '分别是EAB ∠，DBC ∠的平分线．若AA BB AB ''==，则ABC ∠的度数为________．4．已知正整数a ，b 之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a ，b 中较大的数是________．第二试（A ）B'A'EDCBA读万卷书行万里路3考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．一、（本题满分20分）试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数．二、（本题满分25分）在ABC △中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB 到点E ，F ，使DE DF =；过E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于P ．设线段PA ，PB 的中点分别为M ，N ．求证：⑴DEM DFN △≌△；⑵PAE PBF ∠=∠．三、（本题满分25分）已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且1111a b c d x b c d a+=+=+=+=，试求x 的值．第二试（B ）考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．一、（本题满分20分）试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数．FEDC B A读万卷书行万里路4二、（本题满分25分）在ABC △中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB 到点E ，F ，使DE DF =；过E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于P ．求证：PAE PBF ∠=∠．三、（本题满分25分）已知四边形ABCD 的面积为32，AB ，CD ，AC 的长都是整数，且它们的和为16．⑴这样的四边形有几个？⑵求这样的四边形边长的平方和最小值．第二试（C ）考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．一、（本题满分20分）已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且1111a b c d x b c d a+=+=+=+=，试求x 的值．二、（本题满分25分）NMA B C D EF读万卷书行万里路5在ABC △中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB 到点E ，F ，使DE DF =；过E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于P ．求证：PAE PBF ∠=∠．三、（本题满分25分）已知四边形ABCD 的面积为32，AB ，CD ，AC 的长都是整数，且它们的和为16．⑴这样的四边形有几个？⑵求这样的四边形边长的平方和最小值．2003第二十届全国初中数学联赛BA读万卷书行万里路6试题第一试一、选择题1．D【解析】本题应该利用配方法：原式()()2221322222321=--=+-．故选择D ．【点评】这是一道比较简单的二次根式的配方，注意去掉根号时要注意符号．2．C【解析】凸10边形的外角和是360o ，所以最多有3个钝角，也就是内角最多3个锐角．故选择C ．【点评】这道题要从外角来考虑，因为对于任何凸多边形外角和都是360o ，这是一个隐含的条件，在很多的四边形的题中都要从这一点出发来考虑．读万卷书行万里路73．A【解析】如图，求ABC △的面积，可以将AB 当作三角形的底边，而AC 的水平距离就是ABC △的高．y kx =，1y x=，所以有：1kx x =，21x k =，x k=，故ABC △的高为x k =，而当x k=时，y k =，也就是AB k 112ABC S k k=△．所以选A ．【点评】对于函数图像与几何结合的题型，尤其是一元二次方程，二次函数图像以及几何面积等结合的时候，要掌握的重点是两交点之间的水平距离为21x x -，可以通过韦达定理即根与系数的关系求出，而不必要去解带字母系数的一元二次方程．4．B【解析】将2003移到等号左边并变形得到：)200320030xy x y =，20030xy ，即2003xy =，又2003是质数，所以共有2003x =，1y =；1x =，2003y =两组解．AB Cxy读万卷书行万里路8故选择B ．【点评】这道题的考点是恒等变形，需要将原来很复杂的根式变成比较简单的形式，然后再求解．在变换过程中也要注意要解的方程里含两个未知数，一般情况下是无法解的，但是有整数这个条件下的约束，我们可以通过将方程表示成两个多项式的乘积等于零的形式再求解．5．B【解析】显然由正弦定理可知：sin sin ADE ABC S AD AE BACS AB AC BAC⨯⨯∠=⨯⨯∠△△，所以13134ADE ABC S AD AE AE S AB AC AC ⨯==⋅=-⨯△△，故：34AE AC =，所以13CE EA =，应该选B ．【点评】应该了解算三角形面积的三种不同的算法，正弦定理、底乘高的公式以及利用三角形内切圆半径和周长算三角形面积的方法．其中对于利用正弦定理来算三角形面积的方法可以直接转化成两对边比例的乘积，在作填空选择的时候可以直接利用．ABCDE读万卷书行万里路96．D【解析】连接CE ，由于ABCE 四点共圆，所以：DEC CBA ∠=∠，在平行四边形ABCD 中，D ABC ∠=∠，所以有DEC D ABC ∠=∠=∠，同时，CD 平行于AB ，且DC 与圆相切，可知：C 为弧AB 中点，所以CEB CBA ∠=∠，且DCE CBE ∠=∠，故由DEC D ∠=∠可知DEC △为等腰三角形，4CD CE AB ===，由DCE CBE ∠=∠和D ABC CEB ∠=∠=∠可知CDE △相似于BCE △，所以：CE BEDE CE=，故：2165CE DE BE ==，选D ．【点评】注意弦切角的应用，以及圆周角与弧之间的联系．二、填空题E D CBA读万卷书行万里路101．1-【解析】由于ABC △是直角三角形，所以抛物线与x 轴的交点必然在y 轴两边，所以0ca<，再由射影定理得到2c c a =．得到1ac =，有0ca<，所以1ac =-．【点评】这是一道几何与代数的综合题，需要利用给出的几何条件得到二次函数的性质，要掌握的重点是两交点之间的水平距离为21x x -，可以通过韦达定理即根与系数的关系求出，而要去解方程．2．4【解析】解法一：考虑二次函数232y x mx =+-与二次函数的两个交点，由于3大于0，图像开口向上．由于两个交点都在95-和37之间，所以从图像可以看出，905y ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，307y ⎛⎫> ⎪⎝⎭．得到813342125m <<，所以m 的值为4．【点评】直接从已知条件不好下手，而利用二次函数与一元二次方程的关系，从二次函数的图像考虑就比较容易得到结果，利用二次函数的图像是一种很重要的方法．3．12︒11【解析】本题考察的是角度计算的知识，令B α'∠=，由于AB BB '=，所以有：B AB B α''∠=∠=，对于三角形B BA '的一个外角和等于不相邻的的两内角之和，故：2B BD B AB B α'''∠=∠+∠=，又BB'为CBD ∠的角平分线，所以： 24CBD B BD α'∠=∠=，又由对顶角相等可知：4ABA CBD α'∠=∠=，由AA AB '=可知：4AA B ABA α''∠=∠=，故：1801808BAA AA B ABA α'''∠=-∠-∠=-o o ，同时AA '为BAE ∠的角平分线，故：236016BAE BBA α'∠=∠=-o ，则：36016180BAE CAB αα∠+∠=-+=o o ，解得：12α=o ，12BAC α∠==o ．【点评】对于很多的角的计算时一般设一个最小的角便于计算，同时还应该注意三角形中外角、对顶角等的性质．B'A'EDCBA读万卷书行万里路4．225【解析】设两个数的最大公约数为d ，大数为md ，小数为nd ，其中m ，n 互质，则最小公倍数为mnd ．由已知得105mn =，()120m n d -=．由于m n >，所以m 只可能是105，35，21，15．对应的n 分别为1，3，5，7．只有在15m =，7n =时d 为整数，15d =．所以大数为225md =．【点评】这道题的考点是最大公约数与最小公倍数的性质，利用其性质列出整数方程就很容易求解了．第二试（A ）一、【解析】设这两个两位数分别为x ，y ，则()2100x y x y +=+，即()()222500x y x y y +-+-=，旗开得胜13为使方程有正整数根要求()()()2245044250099y y y y ∆=---=-是正整数．经试验得到25y =时∆是完全平方数，解出20x =或30，即2025或者3025满足题意．【点评】本题的关键是根据自然数的性质列出方程，再结合一元二次方程求出结果，这种题目在二试中经常出现．二、【解析】连接DE ，EM ，MD ，DN ，NF ，FD ，在直角AEP △和CFP △中，M 、N 分别是它们斜边上的中点，所以：EM MA MP ==，CN NF NP ==，在APC △中，D 、M 、N 分别为各边的中点，故DM ，DN 均为APC △的中位线，所以有EM MA MP DN ===，CN NF NP DM ===，同时，由于D 为AC 边中点，所以AD DC =，因此DME FND △≌△，命题得证：由DME FND △≌△可知：EMD DNF ∠=∠，PF EDCBAMN又由于DM，DN均为三角形APC的中位线，所以AMD DNC∠=∠，则有：EMD AMD DNF DNC∠-∠=∠-∠，即：AEM FNC∠=∠，同时，AME△为等腰三角形，△和FNC所以，PAE PBF∠=∠，【点评】对于线段相等通常是围绕线段构造全等的三角形，对于要证明角相等，除了构造三角形全等以外，还可以构造相似．三、【解析】由已知有：1a x+=；①b1b x+=；②c1c x+=；③d1d x+=．④a读万卷书行万里路15由式①解出：1b x a=-， ⑤将⑤代入②式可得：21x ac x ax -=--，⑥将⑥代入③式可得：211x a x x ax d-+=--，即：()()321210dx ad x d a x ad -+--++=，⑦由④式得：1ad ax +=，代入⑦式得：()()320d a x x --=，由已知0d a -≠，所以：320x x -=，若0x =，则由式⑥可得a c =，矛盾，故有22x =，即2x =±【点评】本道题只能是通过代数式的变换来解题，在代数式的变换中注意到共有四个等式，有a ，b ，c ，d 四个字母，也就是可以通过消元最后得到x 和其中一个字母的关系，但是这样我们得到的是一个三次式，不利于解题．实际上不管最后得出的式子含有多少个未知数，只要可以表示成几个多相式的乘积为零，就能得到结果，实际解题中应该从这方面着手．第二试（B ）一、读万卷书行万里路【解析】设这两个两位数分别为x ，y ，则()2100x y x y +=+，即()()222500x y y y +-+-=，为使方程有正整数根要求()()()2245044250099y y y y ∆=---=-是正整数，经试验得到25y =时∆完全平方数，解出20x =或30，即2025或者3025满足题意．【点评】本题的是根据自然数的性质列出方程，再结合一元二次方程求出结果，这种题目在二试中经常出现．二、【解析】连接DE 、EM 、MD 、DN 、NF 、FD ，在直角三角形AEP 和CFP 中，M 、N 分别是它们斜边上的中点，所以：EM MA MP ==，CN NF NP ==在APC △中，D 、M 、N 分别为各边的中点，故DM ，DN 均为APC △的中位线，所以有EM MA MP DN ===，CN NF NP DM ===，同时，由于D 为AC 边中点，所以AD DC =，因此DME FND △≌△，命题得证：PF EDCBA MN17由DME FND △≌△可知：EMD DNF ∠=∠，又由于DM ，DN 均为三角形APC 的中位线，所以AMD DNC ∠=∠，则有：EMD AMD DNF DNC ∠-∠=∠-∠，即：AEM FNC ∠=∠，同时，AME △和FNC △为等腰三角形，所以，PAE PBF ∠=∠，【点评】对于线段相等通常是围绕线段构造全等的三角形，对于要证明角相等，除了构造三角形全等以外，还可以构造相似．三、【解析】如图，设AB a =，CD b =，AC l =并设的边AB 上的高为2h ，边DC 上的高为1h ，则：()()121122ABC ADCABCD S S S h a h b t a b =+=++△△≤平行四边形，仅当121h h ==，等号成立，即在四边形ABCD 中，当AC 垂直于AB ，AC 垂直于CD 时等号成立．由已知可得：()64l a b +≤，又由题设16a b l +=-，可得：()()26464864l a b l +--≤≤≤，h 2h 1AB读万卷书行万里路于是：8l =，8a b +=，且这时AC 垂直于AB ，AC 垂直于AD ．因此，这样的四边形有如下4个：1a =，7b =，8l =；2a =，6b =，8l =；3a =，5b =，8l =；4a =，4b =，8l =；它们都是以AC 为高的梯形或平行四边形．又由AB a =，8CD a =-，则2228BC a =+，()22288AD a =--，因此，这样的四边形的边长的平方和为：()()22222812844192a a a +-+=-+．故当4a b ==时，平方和最小，且为192．【点评】本题是一道综合性很强的题目，其中运用到了面积法，不等式，四边形知识，需要同学们对这些知识掌握得很好，并能够融会贯通．第二试（C ）一、【解析】由已知有：191a x b+=； ①1b xc +=； ②1c x d+=； ③1d x a+=． ④由式①解出：1b x a=-， ⑤将⑤代入②式可得：21x ac x ax -=--，⑥将⑥代入③式可得：211x a x x ax d-+=--，即：()()321210dx ad x d a x ad -+--++=，⑦由④式得：1ad ax +=，代入⑦式得：()()320d a x x --=，由已知0d a -≠，所以：320x x -=，若0x =，则由式⑥可得a c =，矛盾，故有22x =，即2x =±【点评】本道题只能是通过代数式的变换来解题，在代数式的变换中注意到共有四个等式，有a ，b ，c ，d 四个字母，也就是可以通过消元最后得到x 和其中一个字母的关系，但是这样我们得到的是一个三次式，不利于解题．实际上不管最后得出的式子含有多少个未知数，只要可以表示成几个多相式的乘积为零，就能得到结果，实际解题中应该从这方面着手．二、【解析】连接DE、EM、MD、DN、NF、FD，在直角三角形AEP和CFP中，M、N分别是它们斜边上的中点，所以：EM MA MP==，CN NF NP==在APC△中，D、M、N分别为各边的中点，故DM，DN均为APC△的中位线，所以有EM MA MP DN===，CN NF NP DM===，同时，由于D为AC边中点，所以AD DC=，因此DME FND△≌△，命题得证：由DME FND△≌△可知：EMD DNF∠=∠，又由于DM，DN均为三角形APC的中位线，所以AMD DNC∠=∠，则有：EMD AMD DNF DNC∠-∠=∠-∠，即：AEM FNC∠=∠，PF EDCBAM N读万卷书行万里路读万卷书行万里路21同时，AME △和FNC △为等腰三角形，所以，PAE PBF ∠=∠，【点评】对于线段相等通常是围绕线段构造全等的三角形，对于要证明角相等，除了构造三角形全等以外，还可以构造相似．三、【解析】如图，设AB a =，CD b =，AC l =并设的边AB 上的高为2h ，边DC 上的高为1h ，则：()()121122ABC ADC ABCD S S S h a h b t a b =+=++△△≤平行四边形，仅当121h h ==，等号成立，即在四边形ABCD 中，当AC 垂直于AB ，AC 垂直于CD 时等号成立．由已知可得：()64l a b +≤，又由题设16a b l +=-，可得：()()26464864l a b l +--≤≤≤，于是：8l =，8a b +=，且这时AC 垂直于AB ，AC 垂直于AD ．因此，这样的四边形有如下4个：1a =，7b =，8l =；2a =，6b =，8l =；h 2h 1A BCD读万卷书行万里路22 3a =，5b =，8l =；4a =，4b =，8l =；它们都是以AC 为高的梯形或平行四边形．又由AB a =，8CD a =-，则2228BC a =+，()22288AD a =--，因此，这样的四边形的边长的平方和为：()()22222812844192a a a +-+=-+．故当4a b ==时，平方和最小，且为192．【点评】本题是一道综合性很强的题目，其中运用到了面积法，不等式，四边形知识，需要同学们对这些知识掌握得很好，并能够融会贯通．。

2003年全国初中数学竞赛获奖名单(天津赛区)

二等奖：孙翔辰（实验二1）李晓舟（实验二2）王瑶（实验二2）
三等奖：刘明辉（实验二1）任庆春（实验二1）杜鑫（实验二1）
辅导教师：于延男
2002—2003学年度天津市中学生八年级学科竞赛（语文）
一等奖：陈灼（实验二2）姜乃静（实验二1）
二等奖：汪兆烨（实验二2）马洁芳（实验二2）
三等奖：李昂（实验二2）孙永智（实验二1）杜鑫（实验二1）
王凯（9班）郝卉（9班）郭海月（12班）
辅导教师：孙倩黄璐玲贾维陈雪春
高二年级
一等奖：黄杰西（8班）
二等奖：张晓曦（8班）曹晏（8班）薛腾（8班）
方飞（3班）母一诺（6班）
三等奖：谭静（1班）曹欣阳（2班）赵允西（5班）
辅导教师：赵美文梁延羊郑庭菊
高三年级
一等奖：李颖（8班）
二等奖：齐旻（2班）万钟（7班）
吴倩竹（实验二1）
辅导教师：赵向丽
2002年全国中学生英语能力竞赛（2003年公布成绩）
高一年级
一等奖：朱伯军（9班）付丽（11班）
二等奖：李汇川（1班）阎岩（2班）王凡（4班）
徐姝果（3班）李之（5班）孙思玉（11班）
吴小凡（11班）刘剑非（10班）解立（12班）
三等奖：王麒（8班）李雪蕾（8班）孙雅婧（5班）
辅导教师：赵津
2003年全国初中学生化学素质和实验能力竞赛（天津赛区）
二等奖：任庆春（实验二1）孙翔辰（实验二1）苏士钊（实验二2）
三等奖：刘赵昆（实验二2）谭腾（实验二2）
辅导教师：耿军华王健伟
2002—2003学年度八年级学科竞赛（英语）
一等奖：高然（实验二1）张斯宇（实验二2）傅欣（实验二2）
余雪（2班）
二等奖：赵询（2班）

2003年全国初中数学竞赛天津赛区

马祖光
第七中学
陈晨
第七中学
孙翔辰
耀华中学
李康
新华中学
孙婧巍
石化一中
刘拓
第七中学
三等奖(176名)
齐乐
南开中学
戴小川
第七中学
邵帅
第一中学
岳亮
进取中学(河东)
刘昊
杨村二中
周国强
第七中学
苏立炎
实验中学
孟喆
大港四中
张博
信号厂中学(东丽)
宋佳
雍阳中学(武清)
李健
李庄中学(东丽)
王鑫磊
渔阳中学(蓟县)
沙巍
双建中学
张玥
天慈中学(河北)
王思宇
耀华中学
李敬一
礼明庄中学(蓟县)
闫续
子牙镇中学(静海)
曹晟
天慈中学(河北)
陈静
南开中学
王维
育才中学(塘沽)
余冰雁
六四六学校(静海)
高一鸣
光华中学(东丽)
屈智
第四中学
王秋晶
丰台中学(宁河)
运朝青
潘庄中学(宁河)
裴明明
城关二中(蓟县)
曹雅璇
杨村五中
罗健
五十四中
雷浩
颐和中学(红桥)
高玉翔
耀华中学
李玮瑜
实验中学
陈雪
育英中学(宝坻)
吴云昊
实验中学
董见地
石化一中
马剑峰
新华中学
胡珀
耀华中学
杨光
新华中学
赵学义
上骀中学(武清)
杨晓浩
实验中学
李鑫
新华中学
刘龙隆
新华中学
田力
耀华中学

2003年全国高中数学联赛天津赛区初赛

x - 1 DA3 22003 年全国高中数学联赛天津赛区初赛一、选择题(每小题5 分,共30 分)1. 已知函数f ( x) =则f ( x) 可化简为( ) .(A) cos 2 x (B) sin 2 x b cos B , A≠B ,则△ABC 的内切圆半径等于.9. 已知f ( x)=2 x + 3. 若y = g ( x) 的图像与y = f -1( x + 1) 的图像关于直线y = x 对称,则g (3) 的值等于.10. 若集合 A = { x| - 2 ≤x ≤5} , B = { x| m + 1 ≤(C) cos x - sin x (D) cos x2 - sinx2 x ≤2 m - 1} ,且 A ∩B = B ,则实数m 的取值范围是2.已知正数a1, a2, , a7构成等比数列. 若前5 项的和为7 2 + 6 ,后5 项的和为14 2 + 12 ,则a6等于( )(A) 4 (B) 4 2 (C) 8 (D) 8 23.已知正三棱柱ABC - A1B1C1中, E 是BC 的中点, D 是AA1上的一个动点,且AD = m . 若A E ∥1平面DB 1C ,则m 的值等于( ) ..11.已知点A ( m , n) 在直线x + 3 y = 41 上,其中0 < n < m . 若点A 关于直线y = x 的对称点为B ,点B 关于y 轴的对称点为C ,点C 关于x 轴的对称点为D ,点D 关于y 轴的对称点为E ,且五边形ABCDE 的面积为451 ,则点A 的坐标为.12.设{ a n}是各项均为正整数的等差数列,项数为奇数,公差不为零,且各项之和等于2 004. 则该数(A) 13 (B) 12(C) 23(D)1列的第2 项a2的值等于.三、解答题(每小题20 分,共60 分)4. 有20 张卡片分别写着数字1 ,2 , ,19 ,20. 将它们放入一个盒中,有4 个人从中各抽取一张卡片, 取到两个较小数字的二人在同一组,取得两个较大数字的二人在同一组. 若其中二人分别抽到 5 和14 , 则此二人在同一组的概率等于( ) .解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.13.关于x 的不等式a2+ 2 a - sin2 x - 2 a cos x > 2 的解集是全体实数. 求实数 a 的取值范围.x2 y214.已知A ( x1, y1) 、B ( x2, y2) 是椭圆a2+b2=(A) 12 (B) 251(C) 551(D) 7511 ( a > b > 0) 上的两个动点, O 为坐标原点,且OA ⊥OB . 求线段AB 长的最小值.5.设二次函数f ( x) = ax2+ bx + c (其中 a 、b 、c 为整数) ,有 4 个学生计算函数值, 甲得到: f ( 7) = - 1 ;乙得到: f (1)= 3 ; 丙得到: f (4)= - 4 ; 丁得到: f (2) = 4. 其中有且仅有1 个学生计算错误,则计算错误的学生是( ) .(A) 甲(B) 乙(C) 丙(D) 丁6.在4 到18 之间选择两个不同的质数,然后用它们的乘积减去它们的和,得到的数可以是( ) .(A) 21 (B) 60 (C) 119 (D) 231二、填空题(每小题5 分,共30 分)7.函数f ( x) = log1 ( x2- 5 x + 6) 的单调递增区间为.8.在△ABC 中, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c. 若 a 、b 、c 成等差数列,且 c = 10 , a cos A =15. 已知函数 f ( x) = x2+ x - 2.(1)试求函数g ( x) = | f( x) | - f ( x)的解析式;(2)若a > 0 时,直线y = ax + b 与曲线y = g ( x) 交于三个不同的点,试确定 a 与b 的关系式,并画图表示以 a 、b 为坐标的点( a , b) 所在的区域.参考答案一、1. A.因为sin4 x + 4cos2 x = ( sin2 x - 2) 2 ,所以,sin4 x + 4cos2 x = 2 - sin2 x .同理, cos4 x + 4sin2 x = 2 - cos2 x .故 f ( x) = cos2 x - sin2 x = cos 2 x .2.C.sin4 x + 4cos2 x - cos4 x + 4sin2 x .3 x - 222 2x - 1 22004 年第 2 期 37因为 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5= a 1 (1 + q + q 2 + q 3 + q 4 ) = 7 a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7+ 6 ,T + 1 = 232 = 2 ×116 = 4 ×58不合题意 ,所以 ,T + 1 = 120 = (11 - 1) ×(13 - 1) , T = 119.= a 1 q 2 (1 + q + q 2 + q 3 + q 4 ) = 14 2+ 12 ,二、7. ( - ∞,2) .因为函数 f ( x ) = log 1 ( x 2 - 5 x + 6) 的定义域为二式相除 ,得 q = 2. 3x 2- 5 x + 6 > 0 , 即 x < 2 或 x > 3. 又 x 2 - 5 x + 6 =又 a 1 , a 2 ,, a 7 是正数 ,则 q = 2 . 代入上式 ,可得 a 1 = 2 . 所以 , a 6 = a 1 q 5 = 8.3. D.5 21 5x - 2 - 4 , 其递减区间为 - ∞, 2, 所以 ,f x = log 1 ( x 2 - 5 x + 6) 的单调递增区间为过 AA 1 、A E 作平面 A 1 A EF 与平面 BCC 1 B 1 交于EF . 设 EF 与 B 1 C 交于点 O ,连结 DO . 因为 AA 1 ∥平面 BCC 1 B 1 , A E ∥平面 DB 1 C ,所以 ,AA 1 ∥EF , A E ∥DO .故四边形 A EOD 是平行四边形 ,即 AD = EO . 又因为 E 是 BC 的中点 , 所以 , O 为 B 1 C 的中点 ,也是 EF 的中点 ,即 AD = EO = 1 EF = 1AA 1 ., AD = m = 1. DA 14. D.由于有二人分别抽到 5 和 14 两张卡片另外二人需从剩下的 18 张卡片中抽取 ,共有 18 ×17 种情况. 若抽取 5 和 14 的二人在一组 ,则有两种情况.(1) 5 和 14 为较小数 ,另二人需从 15～20 的 6张卡片当中抽取 ,有 5 ×6 种 ;(2) 5 和 14 为较大数 ,另二人需从 1～4 的 4 张卡片当中抽取 ,有 3 ×4 种 ;于是 ,抽到 5 和 14 两张卡片的二人在同一组的 5 ×6 + 3 ×4 = 7 .18 ×17 515. B.因为 f ( m ) - f ( n ) = ( m - n ) ( am + an + b ) , 则( m - n ) | ( f ( m ) - f ( n ) ) .验证 : (7 - 1) 8 ( - 1 - 3) , (7 - 4) | ( - 1 + 4) ,(7 - 2) | ( - 1 - 4) , (1 - 4) 8 (3 + 4) , (1 - 2) | (3 - 4) , (4 - 2) | ( - 4 - 4) .于是 ,乙计算错误.6. C.设选择的两个质数为 x 、y ,所得到的数为 T ,则T = xy - ( x + y ) . 于是 ,T + 1 = xy - x - y + 1 = ( x - 1) ( y - 1) .因为 x 、y 均为大于 4 的质数 , 则 x 、y 均为奇数 , ( x - 1) 、( y - 1) 均为偶数. 所以 ,4| ( T + 1) . 然而 ,4822 ,4861 ,4| 120 ,4| 232 ,又 ( - ∞,2) .8. 2.设 △ABC 的内切圆半径为 r . 因为 a cos A =b cos B ,根据正弦定理 ,得 b sin A = a sin B . 所以 ,sin 2 A = sin 2 B .因为 A ≠B ,则 A + B = 90°. 所以 , △ABC 是直角三角形 , ∠C = 90°, a 2 + b 2 = c 2 .又因为 c = 10 ,且 a 、b 、c 成等差数列 ,所以 ,a = 6 ,b = 8 , (8 - r ) + (6 - r ) = 10.解得 r = 2.9. 7 .2由已知得 y = f ( x ) 的反函数为 f - 1 ( x ) = x + 3. 所以 ,f - 1 ( x + 1) =x + 4.x - 1又 g ( x ) 为 f - 1 ( x + 1) 的反函数 ,求 g (3) 的值 , 即解方程 3 =x + 4 ,于是 , g (3) = 7. 10. m ≤3.由 A ∩B = B ,可知 B 是 A 的子集. 当 B = Ø时 , m + 1 > 2 m - 1 ,得 m < 2 ; 当 B ≠Ø时 ,有- 2 ≤m + 1 , 2 m - 1 ≤5 , m + 1 ≤2 m - 1.解得 2 ≤m ≤3. 所以 m ≤3.11. (11 ,10) .由对称性可得 B ( n , m ) 、C ( - n , m ) 、D ( - n ,- m ) 、 E ( n , - m ) .五边形 ABCDE 的面积为S 五边形ABCDE = 2 m ×2 n +1×2 m ×( m - n ) = m ( m + 3 n ) = 41 m ,故 41 m = 451. 所以 , m = 11 , n = 10.2 2 因此概率等于π221 12 2 2 2 2θ 2 2 1 θ 因此 ,点 A 的坐标为(11 ,10) .12. 668.设等差数列的首项和公差分别为 a 和 d ,项数为 n , 则 na + 1 n ( n - 1) d = 2 004 , 即a 2b 2 ( a 2 + b 2)= ( a 4 + b 4 ) sin 2θ·cos 2θ+ a 2 b 2 ( s in 4θ+ cos 4θ) a 2 b 2 ( a 2 + b 2 )= ( a 4 + b 4) sin 2θ·cos 2θ+ a 2 b 2 (1 - 2sin 2θ·cos 2θ) a 2 b 2 ( a 2 + b 2 )[ 2 a + ( n - 1) d ] n = 2 004 ×2 = 23×3 ×167.≠= ( a 2 - b 2 ) 2 sin 2θ·cos 2θ+ a 2 b 24 a 2 b 2 ( a 2 + b 2 )由于 n 为奇数 , d 0 ,= ( a 2- b 2 ) 2 sin 2 2θ+ 4 a 2 b 2当 n = 501 时 , a + 250 d = 4 ,不合题意 ; 当 n = 167 时 , a + 83 d = 12 ,不合题意 ; 当 n = 3 时 , a + d = 4 ×167 = 668. 4 a 2 b 2 ( a 2 + b 2 ) ( a 2 + b 2 ) 2.当且仅当θ= kππ( k ∈Z ) 时等号成立. 所以 , a 2 = 668.三、13. 设 t = cos x ,则原不等式化为 t 2 - 2 at + a 2 + 2 a - 3 > 0 , t ∈[ - 1 ,1 ] .±4因此 ,线段 AB 长的最小值为2 aba 2 +b 2a 2 +b 2.于是 ,所求问题转化为函数 f ( t ) = t 2 - 2 at + a 2 +2 a -3 在 t ∈[ - 1 ,1 ]上的最小值是正数.15. (1) g ( x ) =0 ,x ≤- 2 或 x ≥1 ,- x 2 - x + 2 , - 2 < x < 1.因为函数 f ( t ) = ( t - a ) 2+ 2 a - 3 ,所以 ,只须对该函数的图像(抛物线) 的对称轴 t = a 相对于区间[ - 1 ,1 ]的 3 种位置分别讨论.(1) 当 a ≤- 1 时 ,函数 f ( t ) 在 t ∈[ - 1 ,1 ]上是增函数 ,此时最小值为 f ( - 1) . 所以 ,a ≤- 1 ,f ( - 1) = a 2 + 4 a - 2 > 0.解得 a < - 2 - 6 .(2) 当 - 1 < a < 1 时 ,函数 f ( t ) 在 t ∈[ - 1 ,1 ]上的最小值为 f ( a ) . 所以 ,- 1 < a < 1 , f ( a ) = 2 a - 3 > 0.此时 , a 的值不存在.(3) 当 a ≥1 时 ,函数 f ( t ) 在 t ∈[ - 1 ,1 ]上是减函数 ,此时最小值为 f (1) . 所以 ,a ≥1 ,f (1) = a 2 - 2 > 0.解得 a > 2 .因此 ,满足条件的 a 的取值范围为 a < - 2 - 或 a > 2 .14. 根据题意不妨设 A ( r 1 cos θ, r 1 sin θ) , π(2) 由题设条件 , a > 0 时 ,直线 y = ax + b 与曲线 y = g ( x ) 交于三个不同的点 ,只须直线与曲线在- 2 < x < 1 的范围内有两个交点. 由方程组y = ax + b ,y = - x 2 - x + 2 ( - 2 < x < 1) ,消去 y ,得x 2 + ( a + 1) x + b - 2 = 0.于是 ,只须二次函数 φ( x ) = x 2 + ( a + 1) x + b- 2 的图像在 - 2 < x < 1 的范围内与 x 轴有两个交点. 此时 , a 、b 应同时满足以下条件 :Δ = ( a + 1) 2 - 4 ( b - 2) > 0 ,- 2 < - a + 1 < 1 , 2φ( - 2) > 0 , φ(1) > 0 ,b <1( a + 1) 2 + 2 , 4即 - 3 < a < 3 , b > 2 a , b > - a .又已知 a > 0 , 所以 , 2 a < b <1 ( a + 1)2 + 2 ,且 0B r 2 cos θ+2 , r 2 sin θ+,则4B ( - r sin θ, r cos θ) , A B 2 = r 2 + r 2 , < a < 3 即为所求. 2 r 2 cos 2θ a2 + r 2 sin 2θ a 2 + 2r 2 sin 2θ b 2 r 2 cos 2θ b 2= 1 , r 2 == 1 , r 2= 1 2a 2b 2b 2 cos 2θ+ a 2 sin 2θ, a 2 b 2 b sin + a cos . 以 a 、b 为坐标的点 ( a , b ) 所在的区域为图 1 中阴影图 1部分(不含边界) .2 2a 2b 2 ( a 2 + b 2) (李果民提供)6 ≥故r1 + r2 =( b2cos2θ+ a2sin2θ) ( b2s in2θ+ a2cos2θ)。

圆——竞赛题

第7题图圆中的竞赛例题与习题1．已知:如图,△ABC 的外接圆直径AE 交BC 于D.求证：.DEAD tgC tgB =⋅2．G 是ΔABC 的重心，过A 和G 作圆与BG 相切于G ，延长CG 交圆于D ，求证：DG CG AG ∙=23．在锐角ΔABC 的BC 边上取D 、E 两点，使∠BAD=∠CAE ，EM ⊥AB 于M ，EN ⊥AC 于N ，AD 的延长线交ΔABC 的外接圆于P ，求证：BAC AC AB MN AP ∠∙∙=∙sin 。

4．⊙O 半径为2，半径OA ⊥OB ，C 是半径OB 上异于O 、B 的任一点，AC 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线交OB 的延长线于E ，设OC=x ，DE=y ，点C 是否存在这样的位置，使ΔBCD ∽ΔDCE ？若存在，求出此时2tan E ∠的值；若不存在，请说明理由。

5．（2004年全国初中数学联赛成都初赛）如图，不等边ΔABC 内接于⊙O ，I 是其内心并且AI ⊥OI 。

求证：AB+AC=2BC 6．（1999年全国初中数学联赛）如图，设△ABC 是直角三角形，点D 在斜边BC 上，BD ＝4DC 。

已知圆过点C 且与AC 相交于F ，与AN 相切于AB 的中点G 。

求证：AD ⊥BF 。

7．（1995年全国初中数学联赛）已知∠ACE ＝∠CDE ＝90°，点B在CE 上，CA ＝CB ＝CD ，经A 、C 、D 三点的圆交AB 于F （如图）求证F 为△CDE 的内心。

8．（2003年全国初中数学联赛天津复赛）如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P ．问EP 与PD 是否相等？证明你的结论．第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图第6题图第8题图PE DCBA O9．（2004年全国初中数学竞赛）D 是△ABC 边AB 上的一点，使得AB ＝3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点（P 在弧AC 上），使得∠ADP ＝∠ACB ，求PB/PD 的值。

2003年全国初中数学联合竞赛决赛

2003年全国初中数学联合竞赛决赛一、选择题（每小题7分，共42分） 1. 221217223－＋－＝_________.A 5－42 B42－1 C5 D12. 在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是_________个。

A0 B1 C3 D53.若函数y ＝kx(k ＞0)与函数y ＝x －1的图象相交于A 、C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则△ABC 的面积为_________.A1 B2 Ck Dk 24.满足等式x 2003xy 2003y 2003x y x y ＋－－＋＝2003的正整数对的个数是 ___A1 B2 C3 D45、设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且AD ∶AB ＝1∶3。

若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为43，则EAEC的值为＿＿。

A 21B 31C 41 D 516.如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切，若AB ＝4，BE ＝5，则ED 的长为＿＿。

A3 B4 C 415 D 516BCD AE二、填空题（每小题7分，共28分）1.抛物线y ＝ax ＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C 。

若△ABC 是直角三角形，则ac ＝_________.2.设m 是整数，且方程3x 2＋mx －2=0的两根都大于－59而小于73，则m=_______。

3.如图，AA 1、BB 1分别是∠EAB 、∠DBC 的平分线，若AA 1＝BB 1＝AB ，则∠BAC 的度数为_________.4.已知正整数a 、b 之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a 、b 中较大的数是_________.三.（本题满分20分）在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE ＝DF ；过E ，F 分别作CA 、CB 的垂线，相交于P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N 。

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