角平分线的判定学案

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11.1.2三角形的高、中线、角平分线学案使用

11.1.2三角形的高，中线，角平分线导学案主备人：张伟班级：________ 使用人：________ 时间8月26日【学习目标】1.认识并会画出三角形的高线、三角形的角平分线、三角形的中线、并利用其解决相关问题；2、认识三角形的稳定性，并会用其解决一些实际问题【重点】1、认识三角形的高线、中线与角平分线。

并会画出图形。

2、三角形的稳定性【难点】1、画出三角形的高线、中线与角平分线．2、三角形的稳定性的理解一、【温故而知新】下列长度的三个线段能否组成三角形？（1）3，6，8 （2）1，2，3 （3）6，8，2二、【预习检测】知识点1：认识并会画三角形的高线，利用其解决相关问题自学课本4页三角形的高并完成下列各题：1、作出下列三角形三边上的高：2、上面第1图中，AD是△ABC的边BC上的高，则∠ADC=∠ = °3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条高线所在的直线相交于点；（2）锐角三角形的三条高相交于三角形的；（3）钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形的；（4）直角三角形的三条高相交三角形的；练习一：如图所示，画△ABC的一边上的高，下列画法正确的是（）．知识点二：认识并会画三角形的中线，利用其解决相关问题自学课本4页下方三角形的中线并完成下列各题：1、作出下列三角形三边上的中线2、AD是△ABC的边BC上的中线，则有BD = =21，3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条中线相交于点,这个交点叫做三角形的（2）锐角三角形的三条中线相交于三角形的；（3）钝角三角形的三条中线相交于三角形的；（4）直角三角形的三条中线相交于三角形的；练习二：如图，D、E是边AC的三等分点，图中有个三角形，BD是三角形中边上的中线，BE是三角形中________上的中线；知识点三：认识并会画三角形的角平分线，利用其解决相关问题自学课本5页三角形的角平分线并完成下列各题：1、作出下列三角形三角的角平分线：2、AD是△ABC中∠BAC的角平分线，则∠BAD=∠ =3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条角平分线相交于点；（2）锐角三角形的三条角平分线相交三角形的；（3）钝角三角形的三条角平分线相交三角形的；（4）直角三角形的三条角平分线相交三角形的 .练习三：如图，已知∠1=21∠BAC，∠2 =∠3，则∠BAC的平分线为，∠ABC的平分线为 .总结：三角形的高、中线、角平分线都是一条线段。

专题06 角的平分线的性质(解析版)八年级上册数学精品学案(人教版)

专题06 角的平分线的性质1、如图，把两根钢条AA′，BB′的中点连在一起，可以做成一个测量内槽宽的卡钳，卡钳的工作原理利用了三角形全等判定定理．【答案】SAS．2.王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90∘)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【答案】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90∘，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90∘，∴∠ACD+∠BCE=90∘，∠ACD+∠DAC=90∘，∴∠BCE=∠DAC，在ΔADC和ΔCEB中，{∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠BCEAC=BC，∴ΔADC≅ΔCEB(AAS)；由题意得：AD=EC=6cm，DC=BE=14cm，∴DE=DC+CE=20(cm)，答：两堵木墙之间的距离为20cm．知识梳理知识点一：角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.例题精讲例1、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2 B． C．2：3 D.【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵，则△ABD与△ACD的面积之比为例2、已知：如图，在ABC∆中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：AE＝AF．:3:2AB AC=3:22:3:3:2AB AC=3:2【答案】证明：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.∴DE ＝DF （角平分线上的点到角两边的距离相等）90AED AFD ∠=∠=︒（垂直定义）在Rt AED ∆和Rt AFD ∆中 DE DF AD AD =⎧⎨=⎩∴Rt AED ∆≌Rt AFD ∆（HL ）∴AE AF =巩固练习1、如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE ＝DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为：（）A.11B.5.5C.7D.3.5【答案】解：过D 点作DH ⊥AC 于H ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，DH ⊥AC∴DF ＝DH在Rt △EDF 和Rt △GDH 中DE ＝DG ，DF ＝DH∴Rt △EDF ≌Rt △GDH同理可证Rt △ADF 和Rt △ADH∴AED EDF ADG GDH S =S S S +-△△△△∴EDF ADG AED 2=S S S -△△△＝50－39＝11，∴△EDF 的面积为5.52、如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC. 求证：BE ＝CF.【答案】证明：∵DE ⊥AE ，DF ⊥AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠DFC ＝90°在Rt △BDE 与Rt △CDF 中，DB DCDE DF =⎧⎨=⎩，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ）∴BE ＝CF知识点二：角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE ＝PF ，则PD 平分∠ADB例题精讲例3、如图，AC=DB ，△PAC 与△PBD 的面积相等．求证：OP 平分∠AOB ．【答案】证明：作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N12PAC S AC PM =△∵，12PBD S BD PN =△，且PAC S =△PBD S △∴ 12AC PM 12BD PN =又∵AC ＝BD∴PM ＝PN又∵PM ⊥OA ，PN ⊥OB∴OP 平分∠AOB巩固练习1、已知：如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD 、BE 交于O ，∠1＝∠2．求证：OB ＝OC.【答案】证明：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∠1＝∠2．∴OD ＝OE在Rt △ADO 与Rt △AEO 中，OD OEAO AO =⎧⎨=⎩∴Rt △ADO ≌Rt △AEO （HL ）∴AD ＝AE在Rt △ADC 与Rt △AEB 中，DAC EABAD AEADC AEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴Rt △ADC ≌Rt △AEB （ASA ）∴CD ＝BE∴CD －OD ＝BE －OE ，即OC ＝OB.知识点三：角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.例题精讲1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC 于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B；【解析】由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C=90°，∴DE=CD，∴△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30．知识点四：三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.知识点五：角的平分线的性质综合应用例4、如图，四边形ABDC 中，∠D=∠ABD=90゜，点O 为BD 的中点，且OA 平分∠BAC ．（1）求证：OC 平分∠ACD ；（2）求证：OA ⊥OC ；（3）求证：AB+CD=AC ．【答案】证明：（1）过点O 作OE ⊥AC 于E ，∵∠ABD=90゜，OA 平分∠BAC ，∴OB=OE ，∵点O 为BD 的中点，∴OB=OD ，∴OE=OD，∴OC平分∠ACD；（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，∴OA⊥OC；（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB=AE，同理可得CD=CE，∵AC=AE+CE，∴AB+CD=AC．巩固练习已知：如图，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．【答案】证明：过点D 作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴DM ＝DN∵∠EDF ＋∠EAF ＝180°，即∠2＋∠3＋∠4＋∠EAF ＝180°又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠EAF ＝180°∴∠1＝∠4在Rt △DEM 与Rt △DFN 中14DM DNEMD FND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴Rt △DEM ≌Rt △DFN （ASA ）∴DE ＝DF1．如图，已知∠AOB =30∘，P 是∠AOB 平分线上一点，CP//OB ，交OA 于点C ，PD ⊥OB ，垂足为点D ，且PC =4，则PD 等于_______．【解答】解：作PE ⊥OA 于E ，∵CP//OB，∴∠OPC=∠POD，∵P是∠AOB平分线上一点，∴∠POA=∠POD=15∘，∴∠ACP=∠OPC+∠POA=30∘，∴PE=1PC=2，2∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PD=PE=2，2．如图，AD是ΔABC的角平分线，∠C=90∘，CD=3cm，点P在AB上，连接DP，则DP的最小值为________cm．【解答】解：作DP′⊥AB于P′，∵AD是ΔABC的角平分线，∠C=90∘，DP′⊥AB∴DP′=DC=3cm，则DP的最小值为3cm，3．如图，ΔABC中，∠C=90∘，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，若CD=√3，则DE的长为()A. 2B. 3C. √3D. 2√3【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90∘，∴CD=DE=√3，4．如图，ΔABC，用尺规作图作角平分线CD．（保留作图痕迹，不要求写作法）【解答】解：如图所示：DC即为所求．5．如图，已知DE∥BC，BE是∠ABC的平分线，∠C=70∘，∠ABC=50∘．求∠DEB和∠BEC的度数．【解答】解：∵BE是∠ABC的平分线，∠ABC=50∘，∴∠1=∠2=25°∵DE∥BC，∴∠DEB=∠2=25∘，在△BEC中，∠C=70∘，∴∠BEC=180∘−∠C−∠2=180∘−70∘−25∘=85∘．6．如图，OC 是∠AOB 的角平分线，点P 、F 在OC 上，PD ⊥AO 于点D ，PE ⊥BO 于点E ，连接DF 、EF ．求证：DF =EF ．【解答】证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，PD ⊥OA ，PE ⊥BO ，∴PD =PE ，在Rt△OPD 和Rt△OPE 中，{OP =OP PD =PE ，∴Rt△OPD ≌Rt△OPE （HL ），∴OD =OE ，∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠DOF =∠EOF ，在△ODF 和△OEF 中，{OD =OE∠DOF =∠EOF OF =OF，△ODF ≌△OEF （SAS ），∴DF =EF ．课后巩固1.请将本次课错题组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；2.学霸笔记复习，培养复习习惯。

八年级数学上册111与三角形有关的线段1112三角形的高中线与角平分线3学案新人教

11.1.2 三角形的高、中线与角平分线（3）一、新课导入请画出∠AOB 的角平分线。

二、学习目标 1、了解三角形的角平分线的概念；2、会用工具准确画出三角形的角平分线。

三、研读课本认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（一）划出你认为重点的语句。

（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

（1）定义：三角形一个内角的与它的相交,这个角与之间的线段，叫做三角形的角平分线。

（2）几何语言（右图）：AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠ =∠ 逆向： ∠ =∠ ∴AD 是△ABC 的角平分线（3）画出下列三角形的角平分线思考：三角形的角平分线与一个角的角平分线有何异同？AOB（1）（2）（3）图3AB CD 1 2（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？四、归纳小结（一）这节课我们学到了什么？（二）你认为应该注意什么问题？五、强化训练【A 】组1、三角形的角平分线是（）A ．直线B ．射线C ．线段D ．垂线2、如图。

在 △ABC 中， AD 是角平分线，AE 是中线，AF 是高，则（1）BE = = 21 . A（2）∠BAD = = 21（3）∠AFB = = 90° B E D F C（4）△ABC 的面积 = .3、如右图，在ΔABC 中，AD 平分∠BAC 且与BC相交于点D ，∠B=400，∠BAD=300，则∠C 的度数是；【B 】组4．以下说法错误的是（）A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C ．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D ．三角形的三条高可能相交于外部一点5．如图，在△ABC 中，AE 是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB 的度数．【C】组6．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为_______度.7、如图，在ΔABC中，AD是ΔABC的高，AE是ΔABC的角平分线，已知∠BAC=820，∠C=400，求∠DAE的大小。

250.角平分线和线段垂直平分线(二)

E D C A G NCF B D E A角平分线和线段垂直平分线【要点梳理】知识点1. 角的平分线的性质及判定定理： 1．如图∵OP 平分∠AOB ，点P 在射线OP上，PC ⊥OA 于C ，PD⊥OB 于D ∴ ( )2．∵PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，PC = PD ，∴ ( ) 知识点 2. 线段的垂直平分线的性质及判定定理：1．线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的．2．线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点的点，在这条线段的垂直平分线上． 3．线段的垂直平分线是到这条线段两端点距离相等的点的集合．知识点 3. 角的平分线和线段的垂直平分线的应用：1．三角形的三条交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

2．三角形的交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。

3.如图，321l l l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（） A 、一处 B 、二处 C 、三处 D 、四处4．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F .下列推理中正确的个数是 . ①AD 上任意一点到点C ，B 的距离相等； ②AD 上任意一点到AC ，AB 的距离相等； ③BD =CD ，AD ⊥BC ；④∠BDE =∠CDF【例题选析】例1 如图4，AB=AD ，BC=CD ，AC 、BD 相交于点E ．由这些条件可以得出若干结论，请你写出其中三个正确结论（不要添加字母和辅助线，不要求证明）．例2.如图，∠A =∠B =90°，M 是AB 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：CM 平分∠BCDMDBCA例3．如图，BE 和CD 是△ABC 的两条高，在BE 上截取BF =CA ，延长CD •至点H ，使HC =AB ．求证：①AF =AH ；②AF ⊥AH 。

八上数学三角形的中线与角平分线学案

B D
A
2 1
1 2
C
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线(bisector of angle)．三角形的角平分线的数学语言：要点诠释：（1）三角形的角平分线是；部；．
（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的（3）三角形三条角平分线交于三角形
A D C
2
吗?说出你是怎样做的．
E
8.如图所示，在△ABC 中，D、E 分别是 BC、AD 的中点，S△ABC=4cm ，求 S△ABE.
B
D
A
9.如图，在 ABC 中，点 D、E、F 分别是 BC、AD、CE 的中点，且 S △ ABC 4cm ，则 S △ BEF
2
的值是多少
A
E F B D C
的连线叫三角形的中线．
；部；部一点，这一点叫三角形的的两个三角形．的中线，AE 是△ A D 的中线。．
1 EC，则 AD 是△ 2
B
D
E
C 图1

C 图2
B
例 2.在直角三角形 ABC 中，∠ABC=90 ，AC=3cm，BC=4cm，CD 是 AB 边上的中线，则 AC 边上的高为 cm，△BCD 的面积= cm 。
1 ∠BAC，则 AD 是△ABC 的角平分线 2
（4）三角形的中线.高.角平分线都是线段 A.1 B.2 C.3 D.4 9.下列把四边形的不稳定性合理地应用到生产实际中的例子有（）（1）活动挂架（2）放缩尺（3）屋顶钢架（4）能够推拢和拉开的铁拉门（5）自行车的车架（6）大桥钢架 A.1 B.2 C.3 D.4 10.根据你画图的实践，用序号字母填写下表（有几种可能情况填写几个字母）： A.在三角形的内部 B.在三角形的边上 C.在三角形的外部锐角三角形角平分线中线高 11．如图，在△ABC 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高，则根据图形填空： ⑴BE= = 直角三角形钝角三角形

角平分线(复习)

EDCBAADBC《与角平分线有关的问题》复习学案学习目标：1、掌握角平分线的性质与判定定理2、知道与角平分线有关问题的常见辅助线的作用专题训练一：1、如图：AB=AC ，BD 平分∠ ABC ，CD 平分∠ ACB ，EF ∥ BC 交AB 、AC 于E ，F ，且经过点D ，问：线段EF 与线段BE ，CF 有何数量关系？2、如图，在△ABC 中，BI 、CI 分别平分∠ABC 、∠ACF ，DE 过点I ，且DE ∥ BC ．BD=8cm ，CE=5cm ，求DE 的长。

3、已知：如图，)(AC AB ABC ≠∆中，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF ∥AB,交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠专题训练二：1、如图所示，AB ∥CD ，∠B=90º，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ，求证：AE 平分∠DAB 。

2、如图在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC ，BD 平分∠ABC ．求证：︒=∠+∠180C A .3、已知：如图，在 ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠1=∠2，求证：BC=AB+AD．专题训练三：B C1、如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，求△EDF的面积。

2、如图，O是三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OD=3，△ABC的周长为15，求S△ABC 。

专题训练四：1、如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2=∠1+∠C．2、已知：如图，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE ，求证：BD=2CE．。

《三角形的高、中线、角平分线》优秀教案

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AB=2 ，BD=,AE=
1
.
2
5．如图 2， AD ， BE， CF 是 Δ ABC地三条角平分线，则∠ 1= ,
1
∠ 3=
,
2
∠ ACB=2.
A
F
E
A F 12 E
B
D
C
B
3 D
4
C
图1
图2
6．如图
3，
1
BD=
BC，则
BC边上地中线为
______，△ ABD地面积 =地面积．
2
图 3图 4 7．如图 4，△ ABC中，高 CD、 BE、AF 相交于点 O，则△ BOC?地三条高分别为线段 . 8．如图 5，在△ ABC中， D、 E 分别是 BC、AD地中点， S△ABC =4cm2，则 S△ABE = .
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角的平分线的性质教案

《12.3 角的平分线的性质》教案李爽2013-9-24一、内容和内容解析1、内容：角的平分线的性质2、内容解析：角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，也是证明两条线段相等的常用方法。

角的平分线的性质的研究过程为以后学习线段的垂直平分线的性质提供了思路和方法。

.本节内容是全等三角形知识的运用和延续，用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质。

角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式------利用角的平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素对应相等。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明角的平分线的性质。

二、目标和目标解析1、目标（1）会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；（2）探索并证明角的平分线的性质；（3）能用角的平分线的性质解决简单问题。

2、目标解析达成目标（1）的标志是：学生明确尺规作图的基本要求，知道用尺规作图作角的平分线的方法与原理，能在教师的引导下用尺规作出一个已知角的平分线。

达成目标（2）的标志是：学生能在教师的引导下通过观察、测量等方法，发现角的平分线的性质，能准确表达性质的内容，能正确地写出已知、求证，能运用三角形全等的“AAS”判定方法和全等三角形的性质证明角的平分线的性质。

达成目标（3）的标志是：学生能利用角的平分线的性质构造全等三角形，证明与线段相等有关的简单问题。

三、教学问题诊断分析本节课的学习中，学生在分清角的平分线的性质的条件和结论，并进行严格的逻辑证明的过程中常常感到困难。

例如，在用符号语言表述性质的条件和结论时，不知“距离”应为“条件”还是“结论”。

其重要原因是角的平分线的性质是以文字命题的形式给出的，其条件和结论具有一定的隐蔽性。

教学时，教师要引导学生分析性质中的条件和结论（必要时可让学生将性质改写成“如果······那么······”的形式），找出结论中的隐含条件（垂直），正确写出已知和求证，并归纳出证明命题的一般步骤。

--利用角平分线--构造全等三角形教学设计 -

结论：DE=DF方法1在BC上截取BG=BE,连接GD请小组派代表讲解不同思路截取构造全等因为BD是N B的平分线，N EBD二N GBD,在4DBE和4DBG中BG=BEZ EBD=Z GBD,PE=PD所以△DBE/Rt A DBG(SAS),所以DE=DG。

Z DEB=Z DGB,Z EBG=Z EDF=90°Z DEB+Z DFB=180°Z DGB+Z DGF=180°Z DGF=Z DFG,DG=DFDE=DF方法2在BA上截取BG，使BG=BF，连接GD方法3过D点作DG L AB于G,DH±BC于H截取构造全等此题用到四边形内角和以及，其中一组对角互补另一组对角也互补作垂线构造全等环节五如果有时间画思维导图，谈自己收你的收获获作业超市：A同学们根据自己兴趣挑环节六1.如图，已知直角三角形ABC中，选至少2个自己喜欢的试作业N C=90°,CA=CB,AD平分/ 题布置BAC,DE±AB于E点，求证：CD=BE2已知：如图，中，N=N,N=N,求证：=。

巩固所学知识提升学生能力D C学生活动的说明（200字内）学生活动的设计目的在于，鼓励学生积极思考勇于发言，处于青春期的学生，逻辑思维、创造性思维迅速发展，他们能够从不同的角度、多维的、立体的考虑问题，并且通过综合、分析、推理找出本质和规律鼓励创新，并利用已有知识解决问题。

明确已知角平分线求线段长度的基本解题思路，掌握多题一解方法，并训练学生学会读题，理解题意，综合运用所学知识解题能力。

教学设计的说明（200字内）―本节课的教学设计围绕教学目标，运用全等判定及性质相关知识，角平分线性质综合应用的重点，运用类比联想，激发学生的积极性主动探究知识解决问题。

学会添加辅助线。

同时渗透爱家、爱国的教育，同时渗透青春期教育，让同学们友好相处，让他们树立远大志向，共同度过快乐时光。

板书设计例1如图，四边形ABCD中，N A+N C=180°，变式训练：BD平分/ABC，求证：AD=CD已知Rt^ABC中，N B=90°,BD是N B的平分线，将三角板的直角顶点放在D点，三角板的两角边与AB交于E与直角边BC交于F，你能判断DE与DF的数量关系吗？你是如何证明？。

三角形的认识学案例题解析答案

三角形的认识教学目的1、认识三角形的角、边以及角平分线、中线和高线；2、会根据边的关系判断能否组成三角形，以及会画角平分线、中线和高线；3、利用三角形的性质解决问题。

教学内容一．【知识梳理】知识点一：认识三角形1.概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺序相接所组成的图形叫三角形。

“三角形”用符号“△”表示。

如图：顶点是A,B,C的三角形记做“△ABC”∠A, ∠B, ∠C是在三角形,由相邻两边组成的角，称为“三角形的内角”，简称“三角形的角”。

线段AB ,BC,CA是三角形的三条边。

2.知识回顾（1）、三角形三个内角和等于180°（2）、三角形按内角的大小进行分类三个内角都是锐角的三角形是“锐角三角形”（3）、三角形有一个内角是直角的三角形是“直角三角形”有一个内角是钝角的三角形是“钝角三角形”（4）、三角形任何两边的和大于第三边（5）、三角形任何两边之差小于第三边例题一：（一）填空题。

1、在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝∠C，则∠C＝．2、小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是3、三角形的一边为5 cm，一边为7 cm，则第三边的取值范围是4、△ABC中，若∠A＝35°,∠B＝65°,则∠C＝；若∠A＝120°,∠B＝2∠C，则∠C＝。

（二）选择题1.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )A.锐角三角形B.钝角三角形;C.直角三角形D.钝角或直角三角形2.若三角形中最大内角是60°，则这个三角形是（） A 、不等边三角形B 、等腰三角形C 、等边三角形D 、不能确定3.已知△ABC 中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A 的度数为( )A.100°B.120°C.140°D.160°4．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ，②∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，③∠A=90°－∠B ，④∠A=∠B=½ ∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（）A ．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个小结：1、判断能组成三角形的三条线段只需满足较小两边之和大于最大边，或最大边与任意较小边之差小于第三边即可；2、三角形的内角之和满足180°即可知识点二：三角形的高线定义：过一个三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。

2.4.3角的对平分线性质与判定教学案

《8》第2章轴对称图形——角的轴对称性（2）班级：姓名：【知识梳理】1.角（填“是”或“不是”）轴对称图形，对称轴是。

角平分线的性质：。

几何语言：2.如果点P 在∠AOB 的平分线上，那么点P 到OA 、OB 的距离相等；反过来，你能得到什么猜想？定理：________________________________________________几何语言：【精讲精练】例1、如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ．（1）若AC=9，CD=5，则点D 到BC 的距离为__________．（2）若CD ：DA=3：2，点D 到BC 的距离为6，则AC=__________．练习1：已知，如图，∠1=∠2，CD ⊥AB,BE ⊥AC,垂足分别为D 、E,BE 、CD 相交于点O ．求证：OB=OC ．O BPED AC练习2：如下图，AD 是∠BAC 的平分线，DE 垂直AB 于点E ，DF 垂直AC 于点F ，且BD=DC ．求证：BE=CF ．例2：如图,试在AC 边上找一点P ，使得点P 到BA 、BC 的距离相等．练习3：如图，在平面内找一点P ，使得点P 到∠BAC 的两边的距离相等，而且PM=PN ．例3、如图，△ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P 求证：点P 在∠C 的平分线上CABACMN练习4、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：AM平分∠BAD；【当堂反馈】1．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系为( )A．PC>PD B．PC＝PD C．PC<PD D．不能确定2．在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，下列说法不正确的是 ( )A．BD平分AC B．AD⊥BDC．AD垂直平分BC D．BD垂直平分AC3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD＝5，则点D到AB的距离为_______ 4．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ( )A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点第4题5．如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且E是DC的中点，AD、BC与AB之间有何关系？请说明理由．6.如图,试在ΔABC所在平面内找一点P,使得点P到BA、BC的距离相等，且PB=PC．7.如图，射线OC在∠AOB的内部，点D、E在射线OC上，DM⊥OA，DN⊥OB，EP⊥OA，EQ⊥OB，垂足分别为M、N、P、Q，且EP=EQ，证明：DM=DN。

角的平分线的性质教学设计

§12.3.2 角的平分线的性质（2）教材：义务教育教科书实八年级上册第十二章全等的三角形第11课时课程标准探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

教学目标知识与技能1．掌握角平分线的判定定理。

2.会证明角的平分线的判定定理能用角平分线的判定解决有关问题。

过程与方法使学生经历观察—实验—猜想—验证—推理—交流分享的过程探索出角平分线的判定，会运用HL证明三角形全等从而证明角平分线的判定。

情感态度与价值观通过探究角平分线的判定活动，逐步培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好学习品质以及发现问题的能力。

教学重点难点1．学习重点：角平分线的判定定理。

2．学习难点：应用角平分线的判定以及应用时和性质的区别。

教法学法教学方法：“互助导学——四步.六环”教学模式，辅助以自学辅导法，练习法、谈话法等。

学法指导：以导学案为载体，指导学生学会阅读教材和自主探究的方法。

运用师友互助和小组合作，体会合作学习的方法。

鼓励学生梳理知识，指导学生小结的方法。

教学准备1.教具：多媒体课件ppt，三角板等。

2.学具：画图工具、练习本、教材、学习指南等。

3.教学环境：交互式电子白板多媒体系统。

问题情境师生互动设计意图媒体运用活动一：情境导入、明晰目标（时间：2分钟）问题1：（1）结合图形叙述角平分线的性质定理。

（2）如图要在两条公路的夹角S区建一个离相交地100米且到两公路的距离相等的长途货运站，应建在什么位置?（比例尺1：5000）【教师活动】1.向学生发放“学习指南”，指导学生阅读学习目标。

2.教师提出问题，并用ppt出示问题1，引发学生思考。

3.在学生思考并回答的基础上引出并板书节课题。

【学生活动】1.阅读“学习指南”，明确学习目标，思考并回答问题1，同学互评、补充纠正。

2.回答老师提出的问题，参与对同伴表现情况的评价。

【设计意图】通过问题1，回顾角平分线的性质定理，对问题（2）进行思考。

【2017春季课程北师大版初二数学】第2讲：线段的垂直平分线与角平分线-学案

（1）教师引导学生分析，寻找证明方法。

我们要从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共点”，但这是我们没有遇到过的．不妨我们再来看一下演示过程，或许你能从中受到启示．通过演示和启发，引导学生认同：“两直线必交于一点，那么要想证明‘“三线共点’，只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可．”虽然我们已找到证明“三线共点”的突破口，询问学生如何知道这个交点在第三边的垂直平分线上呢? 师生共析，完成证明（2）讨论结束后，学生书写证明过程。

教师点评，注意几何符号语言的规范性。

已知：在△ABC 中，设AB 、BC 的垂直平分线交于点P ，连接AP ，BP ，CP ．求证：P 点在AC 的垂直平分线上．证明：∵点P 在线段AB 的垂直平分线上， ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．同理PB=PC ．∴PA=PC． ∴P 点在AC 的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．∴AB、BC 、AC 的垂直平分线相交于点P ．进一步设问：“从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论?” （交点P 到三角形三个顶点的距离相等．）（3）多媒体演示我们得出的结论：定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点第二讲：线段的垂直平分线与角平分线适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域北师大版课时时长（分钟） 120知识点 1、线段的垂直平分线2、角平分线学习目标 1、线段的垂直平分线的性质及应用2、角平分线的性质及应用学习重点 1、线段的垂直平分线的性质及应用2、角平分线的性质及应用学习难点1、线段的垂直平分线的性质及应用2、角平分线的性质及应用 C B A O钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等课堂练习：考点一：线段的垂直平分线【例题】1．（2014春•宜宾校级期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F，那么∠B与∠CAF相等吗？为什么？2（2014秋•定陶县期中）如图，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，交AC于点F，∠A=50°，AB+BC=6．求：（1）△BCF的周长；（2）∠E的度数．3．（2014秋•芜湖校级期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．4．（2014秋•江阴市校级期中）已知直线l及其两侧两点A、B，如图．（1）在直线l上求一点P，使PA=PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）【习题】1．（2014秋•江津区月考）如图，已知AD是∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线EF交AB于点E，交BC 延长线于F．求证：（1）∠B=∠FAC；（2）DE∥AC．2．（2013春•莘县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，P、Q、R分别在AB、AC上，且BP=CQ，BQ=CR．求证：点Q在PR的垂直平分线上．3．（2013春•锦江区校级期末）如图，已知：AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于点M，有AM=CM．（1）求证：AE∥CF；（2）若AM平分∠FAE，求证：FE垂直平分AC．4．（海南）如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H．（1）求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE．（2）试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？请说明理由．5．（2013秋•房山区期末）（1）已知：图1中，点M、N在直线l的同侧，在l上求作一点P，使得PM+PN 的值最小．（不写作法，保留作图痕迹）（2）图2中，联结M、N与直线l相交于点O，当两直线的夹角等于45°，且OM=6，MN=2时，PM+PN的最小值是．6．（2013秋•厦门期末）已知直线l的同侧有A，B两点（图1），要在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．小明同学的做法如图2：①作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′P+PB=A′B，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点．请问小明同学的做法是否正确？说明理由．7．（2013秋•临沭县校级期末）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？请你参考小华的做法解决下列问题．如图3，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．8．（2014秋•广丰县校级期中）如图：PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，并交于点P，PD⊥BM 于点D，PF⊥BN于点F．（1）求证：BP是∠MBN的平分线；（2）请你在BM、BN上分别找出点G、H，使得△PGH的周长最小．（温馨提示：不要求尺规作图，但必须保留作图痕迹，不用证明）9．（2014秋•姜堰市校级月考）作图：（1）如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．（2）如图：已知直线m是一条小河，有一牧马人准备从A处牵马去河边饮水，然后返回B处，马在何处饮水才能使所走路程最短，请在图中作出该点Q的位置．10．（2014秋•天长市校级月考）公路l同侧的A、B两村，共同出资在公路边修建一个客车停靠站C，并使停靠站到A、B两村的距离相等，你如何确定停靠站C的位置．利用尺规作图作出点C，写出作法，并保留作图痕迹．11．（2013春•霍邱县期中）解答题①已知：如图，在△ABC中，∠CAB=120°，AB=4，AC=2，AD⊥BC，D是垂足．求：AD的长．②如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？考点二：角平分线【例题】1．（2015秋•北京校级期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．2．（2014秋•新洲区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE=ED．【习题】1．（2011秋•横峰县期末）如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，BF平分∠ABC，CD⊥AB于D，CD 交BF于点G，GE∥CA，求证：CE与FG互相垂直平分．2．（2014秋•肥东县期末）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB 上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．3．（2004•青海）（1）如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D，求证：OC=OD；（2）已知，点A和B．求作：经过A、B两点且半径最小的圆．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹不写作法）4．（2012秋•云阳县校级期中）如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB、AC于E、F两点．求证：AD⊥EF．5．（2015•株洲）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．6．（2014秋•江阴市校级期中）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若AB=21，AD=9，AC=17，求CF的长．7．（2013秋•涉县校级月考）如图所示，已知∠EAF，FB⊥AE于点B，PC⊥AF于点C，M，N分别是射线AE，AF上的点，∠PNC=∠PMB，PM=PN．求证：AP平分∠EAF．8．如图，△ABC中，∠ABC的外角平分线BD与∠ACB外角平分线CE相交于点P，求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等．。

角平分线

八年级数学学案姓名2013 10 011．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的有（）①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=DB+CE；③AD+DE+AE=AB+AC；④BF=CF．A．1个B．2个C．3个D．4个1题2题3题5题2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D．过C点作CG⊥AB于G，交AD于E．过D点作DF⊥AB于F．下列结论：①∠CED=∠CDE；②S△AEC：S△AEG=AC：AG；③∠ADF=2∠FDB；④CE=DF．其中正确的结论是（）A．①②④B．②③④C．只有①③D．①②③④3．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB=10，BC=8，CA=6，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于（）A．2、2、2 B．3、3、3 C．4、4、4 D．2、3、5 4．（2007•中山）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点5．（2000•安徽）如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处C．3处D．4处6．（2013•椒江区一模）如图，AD是△ABC的角平分线，下列结论中错误的是（）A．B．C．D．6题8题9题10题7．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=12cm，A．12cm B．10cm C．14cm D．11cmA．11 B．5.5 C．7D．3.5A．2个B．3个C．4个D．1个A．3cm B．6cm C．9cm D．无法确定A．D E=DF B．B D=CD C．A E=AF D．∠ADE=∠ADF A．△BOD≌△BOF B．∠OAD=∠OBF C．∠COE=∠COF D．A D=AE12题13题14题13．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接EF，A．D E=DF B．△AED≌△AFD C．A D⊥EF D．E G=AG 14．（2010•西宁）（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案：（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？请说明理由．15．如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（）①②④B．①③④C．①②③D．①②③④A．15题17题16已知三角形两边的长分别为5和7.求第三边上的中线长ｘ的取值范围.17已知△ABC,分别以AB,AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，M为BC的中点，MA的延长线交EG于N.求证：MN垂直EG八年级数学作业姓名2013 10 011．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE A．35°B．45°C．55°D．65°1题2题3题4题2．如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：①DE=DF；②BD=CD；③AD上任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、A．仅①②B．仅③④C．仅①②③D．①②③④①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③4．如图，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接EF交AD于G，则下列结论：①AE=AF；②EG=GF；③AD⊥EF；④BE=DE．其中正确的是（）A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③5．如图所示：△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且CD=6cm，则DE的长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm5题6题7题9题6．如图，P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，连接MN A．1个B．2个C．3个D．4个分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=_________．8．在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，且BD：DC=5：3，则D到AB的距离为_________cm．9．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是_________．10．（2007•哈尔滨）如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC=6，那么PD等于_________．10题11题12题13题．11（2006•芜湖）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么D点到直线AB的距离是_________cm．12．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，求证：O也在∠A的平分线上．13．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．14．如图，∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC=PD．15．已知点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB=AC．（2）如图2，若点O在△ABC内部，求证：AB=AC．（3）猜想，若O点在△ABC的外部，AB=AC成立吗？14题15题16．如图，在三角形ABC中，BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线．求证：点P必在∠A的平分线上．17．如图△ABC,AD是BC边的中线，E是AC上的一点，AE=EF,求证AC=BF题16 17题。

浙教版八年级上册第1章角平分线与中垂线性质定理及应用辅导学案

姓名年级：八年级学科：数学第次课课时课题《角平分线与中垂线的性质定理及应用》主要内容1. 理解并掌握角平分线与中垂线的性质定理2. 熟练运用角平分线与中垂线解决相关问题重点难点角平分线与中垂线的综合运用教学过程【知识梳理1：角平分线的性质定理与判定】角平分线：（1）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.（2）角平分线的判定：到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上.【定理的证明】1. 如图：已知，OE为∠AOB的角平分线，E为OE上任意一点，作CE⊥OA与C，DE⊥OB与D. 求证：CE=DE.2. 如图所示，∠B=∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AD平分∠BAC.【例题讲解】【例1】如图，在ABC △中，90C ∠=，AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．例1图例2图【例2】如图，在直角三角形ABC 中，∠A=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是（）A. 10B. 15C. 20D. 30【例3】如图，OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA 于点D ，点Q 是射线OB 上一个动点，若PD=2，则PQ 的最小值为（）A ．PQ ＜2B ．PQ=2C ．PQ ＞2D ．以上情况都有可能例3图例4图【例4】如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：5【例5】如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是 ∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 交AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF.证明：（1）CF=EB ．（2）AB=AF+2EB ．【同步练习】1. 如图，△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于点E，且AC=7cm，则DE+BD等于（）A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm第1题第2题2. 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=9，DE=2，AB=5，则AC长是（）A．3 B．4 C．5 D．63. 如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ACD=3，DE=2，则AC长是（）A．3 B．4 C．5 D．6第3题第4题4. 如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的有（）A．AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确5. 如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A.线段CD的中点B.OA与O B的中垂线的交点C.OA与CD的中垂线的交点D.CD与∠AOB的平分线的交点第5题第6题6. 如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，它们的交点P给在线段CD 上，下面的结论：①AP⊥BP；②点P到直线AD、BC的距离相等；③PD=PC．其中正确的结论有（）A．①②③B．①②C．仅①D．仅②7. 如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．一处B．两处C．三处D．四处第7题第8题8. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于EF两点，∠BAC∠BFD的平分线交于点I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI.下列结论：①∠BAC=∠BFD；②∠ENI=∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI=∠FBI；其中正确结论的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F.求证：CE=CF．10. 如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．【知识梳理2：垂直平分线的性质定理与判定】垂直平分线（中垂线)（1）垂直平分线的定义：垂直且平分一条线段的直线叫做垂直平分线.（2）垂直平分线的性质定理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.（3）垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.【定理的证明】如图：已知，EF为线段AB的垂直平分线，C为EF上任意一点，连接AC，BC.求证：AC=BC【例题讲解】【例1】如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm例1图例2图【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ 。