第3章-采样与数据保持

2、一阶保持器(亦称“一阶外推插值”)
fk ( t) f( k) T f( k)t T (k)T
3.5 零阶保持器
零阶保持器是一种最常用的保持器，它是 把前一个采样时刻kT的采样值恒定不变地保持 到下一个采样时刻(k+1)T，当下一个采样时 刻(k+1)T来到时，又换成新的采样值继续保 持，一个采样值只能保持一个采样周期。
拉氏变换，得：
Gh(s)T(1T)s1TesTs2
一阶保持器的频率特性，
G h(j)T(12T2) s i T n T /2 /(2) 2
G h (j ) T ar T ctg
一阶保持器 零阶保持器
3.7 采样频率的选择
根据闭环频带b选取s 按系统的开环传递函数G(s)选取s 由阶跃响应上升时间tr选取T 生产过程的经验选择
f*(t) f(kT)(tkT)
k0
理想采样信号的 数学表达式
特点：(1) 每隔T秒出现一次； 脉冲序列 (2) f*(kT)f(kT) k0,1,
注：采样周期T——采样系统的重要参数，且T=常数。
3.3 采样定理
采样定理： 若连续信号中所含频率分量的最高频率为max ， 如采样频率s>2max，则可从采样信号中不失真地恢复原连续 信号
即F(j)在| F(j)|=F(0)时被截断， 为信息损 失所允许的给的百分数，则当| F(j)|=F(0)时对于 的角频率，定义为最高有效频率max。
例3.1 设连续函数信号 x(t)ete2t，取 ＝0.05，
按采样定理选择其采样频率，使采样后的信号
能以x *足(t )够的精度恢复原信号。
解：
f (t)
f *(t)
fh (t)
T
ZOH
fh(t) f(k)T 1 ([t k)T 1 (t k T T )] k 0
fh(t) f(k)T 1 ([t k)T 1 (t k T T )] k 0
Fh(s) f(kT )ek
k0
Ts1seTs
F*(s) f(kT)ekTs k0
零阶保持器的传递函数为
1
2
max b
1.5
1 N
若s＝2max，
s(2N)2/3b
若N＝10，
s 7.4b
s(5~1) 0b
根据系统的开环传递函数G(s)选取s
系统的开环传递函数G(s)的一般形式可表示
为：
G(s)
N(s)
n1
i1
sT1i ln21
s1l 2l2
它对应的权函数g(t)的分量为 ， et/Ti et/l。si以n此lt
(2) 量化
将十进制数
二进制数的最小位的整数倍,f(kT)=L*q
设A/D、计算机、D/A的位数为 n
n位
舍去
1 0 0 ... 1 1 ... 0
可表示的二进制最小位为
n3，q
1 23
1 8
1 2n
q
（不考虑符号位） ——量化单位
例：
f
0.73A/D、n3
6/ 8 0.75 5/ 8 0.625
根据闭环频带b选取s 假定我们要将一个连续被控对象组成一个计
算机控制系统，而希望的闭环频带b是给定的。 由b的定义，设系统闭环频率特性为( j)，
并设(0)＝1，有
( jb)
1 2
在b附近闭环幅频特性可近似表示为
( j)
1
2
b
n
取n=1.5。
假定 ( j下)降为1/N时的频率为max，则有
从频域上：消除采样引起的高次谐波，
保留基本频谱
理想恢复过程的条件：
• 被采样信号的频谱（基本频谱）是有限带宽
• 满足采样定理，即 s 2c
• 具有理想的低通滤波器
F( j)
F*( j)
c 0 c
T H( j)
s c 0 c s
s /2 s /2
理想低通滤波器
理想滤波器的频率特性：
H(j) 0 1
一阶保持器的外推输出为：
f( k T T ) f( k) T f( k) T f( k 1 ) T T
T
一阶保持器的脉冲响应为：
g h ( t ) ( 1 T t) 1 ( t ) 2 ( 1 t T T ) 1 ( t T ) ( 1 t T 2 T ) 1 ( t 2 T )
Gh(s)
1eT s
s
零阶保持器的频率特性为
Gh(j)1ejjT
G h(j
) Tsin T/2 ()ej T/2 T/2
Gh(j)Tsin TT/(2/2)
0.127
3.6 一阶保持器
零阶保持器是以一个采样时刻的值实行外 推的，而一阶保持器是以两个采样时刻的值实 行外推的，一阶保持器的外推输出为：
连续信号采样后
f(t)
f*(t)
f*(t)
T
理想化
o
t
o T 2T t
o T 2T
t
τ
理想脉冲序列
实际上T >> τ，为简化研究，设 0
理想脉冲特点：采样瞬时完成，无中间过程。
今后只研究理想采样
1、理想采样开关的数学描述
理想采样开关只让采样时刻的输入信号通过，所以可用 δ函数来描述理想采样开关。采样开关以T为周期闭合并瞬时 断开，由此形成一个单位脉冲序列，用δT(t)表示
t
脉冲幅度调制器
o
t
T 3T 5T
f*(t)= f(t)δT(t)
连续信号f(t)的采样，得到理想脉冲序列，可看作在f(t)上调制一组脉
冲序列T (t) 的幅值调制脉冲信号，相当于f(t)与T (t) 相乘。
采样后的信号为：
f * ( t ) f ( t ) T ( t ) f ( 0 ) ( t ) f ( T ) ( t T ) f ( 2 T ) ( t 2 T )
F * (s)为采样开关输出的离散函数 f * (t )的拉氏变 换。
F*(j)T 1k F jks
F(j)为原函数 f (t) 的频谱，是连续频谱；
F*(j)为采样函数 f * (t )的频谱，是离散频谱。
取F(0)=1
对于实际的非周期连续函数的信号，其频谱中 最高频率是无限的，如图3.10(a)所示。这时，采 样频率即使很高，采样后信号的离散频谱的波形也 总是互相搭接的，如图3.10(b)所示。但是，当频 率相当高时，F(j)的模值并不大，因此，可把高 频段模值不大的部分切掉，认定为实际信号的有效 频谱的最高频率。
香农采样定理： s 2 max
s 2 称为折叠频率，又称乃奎斯特（Ngquest）频率
频谱混叠现象
理想采样开关的数学表达式
T(t)(tkT) k
展开为复数形式的傅氏级数，即
T(t) Ckejkst ; s 2/T
k
根据函数的采样性质，可以求出C k
1 T
T(t)T1kejkst
f*(t)1 f(t)ejkst
3.1 概述（控制系统中信号的种类） 连续系统：
A 模拟控制器 B 被控对象 C
A、B、C点信号都是连续模拟信号
计算机控制系统：
数字控制器
A
？
A/D
？ D/A B 被控对象 C
多路传输器
传感器
计算机控制系统中信号形式多种多样
1、A/D变换器
连续模拟信号
f(t)
A/D
离散数字信号 f(kT)
f(t) A 采样/保持
X (s) L [x (t) ]s1 1 s 1 2 s2 3 1 s 2
1
1
X (jm)a x(2 m 2)2 a x 9m 2 a0 x .0X 5 (0 ) 0 .0 2 5
max6.13 s2max 1.26
3.4 数据保持原理
一、理想恢复过程 二、非理想恢复过程
一、理想恢复过程
T ( t ) ( t ) ( t T ) ( t 2 T ) (t kT)
k 0
T (t) (t kT)
k 0
T(t) 为周期函数，T=常数
o T 3T 5T
t
理想采样开关特性
2、理想采样信号的时域描述
f(t)
T
f*(t)
f(t)
T (t)
f*(t)
o
f(t)
o T 3T 5T t
采样周期T的下限TDL,由A/D转换时间、计 算机执行控制程序的时间及D/A转换时间等决定， 主要是前两个时间。
选好T之后，必须核对它是否在上下限之间， 如果调整之后仍不符合条件，那只好换高速A/D、 减少计算机控制程序时间（或者使控制要求降低， 或者换高速机种），如果这些都不想做，那么唯 一可能的出路就是冲破上限。注意，下限是不可 逾越的。
例：设系统开环传递函数如下，试确定闭环系统 的采样周期。
G(s)(0.1s1)s(2K 1s615)00
解：由系统开环传递函数可算得
T1 0.1 10.125 10.166
Tm0.1s T0.0s5
若TDL=0.06s,那么T取0.05s是不够的。
实际中只研究：
计算机 T
保持
传感器
被控对象
假设：计算机、A/D、D/A——无限字长
采样和保持——信号在时间上的离散化和连续化
3.2 采样过程的数学表示
f(t)
T τ
t
采采 采采 样样 样样 开结 开结 始束 始束
连续信号
离散信号
f(t)
T,
f*(t)
τ ：采样一次所需的时间
T：相邻两次采样之间的时间间隔 为采样周期
s/2 s/2
连续信号经过采样开关和理想滤波器后
输出为
C (j)F *(j)H (j)1F (j)
T
理想低通滤波器是物理不可实现的。
理想低通滤波器的3个条件都满足不了：
1.自然界中，信号常常是无限频谱的
2.因此不能满足采样定理
3.理想低通滤波器不可实现
二、非理想恢复过程
用采样得到的脉冲序列f*(t)=f(kT),k=0,1,2,3,… 重构f(t)
量化存在误差
量化——信号在幅值上的离散化
(3) 编码
将经过量化的十进制数
f(kT)
二进制数
f(kT)
111 111
110
101 101
100
100
011
011
010
001
o T 2T 3T 4T 5T
t
量化前信号
o T 2T 3T 4T 5T
t
量化后信号
编码只是信号表示形式的改变，无误差的等效变换
Baidu NhomakorabeaE点(机内)
111 110 101 100 011
0 T 2T 3T 4T 5T t
0 T 2T 3T 4T 5T t
离散数字 连续数字
时间连续 时间连续 时间离散 时间离散 幅值模拟量 幅值模拟 幅值模拟 幅值模拟
时间离散 时间连续 幅值数字量 幅值数字量
阶梯
4、计算机控制系统简化结构图
• 编码和解码只是信号形式的改变，不产生数值误差,可以忽略 • 量化产生误差，大小由q决定，由误差理论进行分析
AB
C
DE F
G
H
—T—
量化 A/D
编码 计算机 解码 保持
——
—— D/A ——
I
传感器
被控对象
A、I点 H点
B点 C、G点
2q
q
0
t
0 T 2T 3T 4T 5T t
0 T 2T 3T 4T 5T t 0 T 2T 3T 4T 5T t
连续模拟 连续模拟 离散模拟 离散模拟
D、F点
111 110 101 100 011
Tk
f*(t)1 f(t)ejkst
Tk
对上式进行拉氏变换，得
F*(s)T 1k Lf(t)ejkst
由拉氏变换位移定理，得
F*(s)T 1k F (sjks)
对上面的级数展开，重新排列得到
F*(s)T 1k F (sjks)
F*(s)T 1k F (sjks)
式中，F (s)为采样开关输入连续函数 f (t) 的拉氏变换。
2、D/A变换器
数字量
模拟量
D/A
A
A点信号 f(kT)
111 101 110
100 011
B
解码
保持
f(kT) B点信号
C f(t)
f(t) C点信号
o T 2T 4T
t
o T 2T 4T
t
o T 2T 4T
t
(1) 解码：将二进制数变成幅值调制脉冲信号
(2) 保持：把该信号保持一个采样周期
3、信号的形式
可作为选择s的根据。
记g(t)的最小周期为Tm，那么 T m m T 1 , T 2 , , i T n ,1 n , l 2 , ,( n 2 ,1 ,2 , ,n 2 )
而采样周期T一般取
T Tm 2~4
对于正弦函数来说，应满足采样定理，即T的最 终选取应有个上限TUL
TUL1 2min1,(2, ,n2)
数学上连续信号两点间的点可用幂级数展开式表示: fk(t) f(k) T f(k)T t (k) T 2 1 !f(k)T t (k)2 T
其中： fk ( t) f( k T ) k T t ( k 1 ) T
常用于重构信号的形式:
1、零阶保持器ZOH( Zero Order Hold) fk(t)f(kT ) 亦称：“零阶外推插值”
时间离散 f(t)
o A点信号
量化
幅值离散
编码 C f(kT)
f(kT) 1000 0111 0110 0101 0100
0010
t
o
2T 4T 6T
t
C点信号
(1) 采样/保持
A
B
C
保持
T
f(t)
f*(t)
f*(t)
o
t
A点信号
o T 2T 4T
t
B点信号 （理想采样）
o T 2T 4T t C点信号