北京市西城区(北区)2012—2013学年度高一第二学期期末试卷数学及参考答案
北京市西城区(北区)2012-2013学年高一下学期期末考试化学试题 Word版含答案.pdf
A. 淀粉 B. 蔗糖 C. 果糖 D. 葡萄糖
5. 下列物质中，能使酸性高锰酸钾溶液褪色的是
A. 甲烷 B. 乙烯 C. 苯 D. 乙酸
6. 下列电子式书写正确的是
7. 下列关于18O的说法中正确的是
A. 该原子核内有18个质子 B. 该原子核内有8个中子
C. 该原子核外有8个电子
19. X元素的阳离子和Y元素的阴离子具有与氖原子相同的电子层结构，下列说法正确的是
A. 原子序数XY
C. 原子的最外层电子数X>Y
D. 元素的最高正价XS>F
（4）①温度 ②FeCl3溶液 ③20
④
⑤在20℃（或相同条件下），MnO2可以加快H2O2分解的反应速率。
31. （9分）
A. 原子半径K< Na
B. 酸性H2CO3< H2SO4
C. 稳定性HF< HCI
D. 碱性NaOH< Mg（OH）2
18. 下列有关基本营养物质的说法中，正确的是
A. 淀粉遇碘化钾溶液变蓝
B. 蔗糖和麦芽糖互为同分异构体
C. 纤维素在人体内最终水解为葡萄糖
D. 糖类、油脂、蛋白质都是由C、H、O三种元素组成
（1）b（1分）
（2）过滤（1分）
（3）Cl2+2I－=2Cl－+I2（2分）
（4）bd（1分，错选为0分，少选为0.5分）
（5）取少量溶液于试管中，滴入几滴淀粉溶液，若溶液呈蓝色，证明溶液中还含有I2。
（2分，取样、试剂、现象、结论各0.5分，若试剂错为0分）
（6） （2分）
D. 该原子的质量数为26
8. 下列物质中，不属于通常所说的三大合成材料的是
A. 塑料 B. 蛋白质 C. 合成纤维 D. 合成橡胶
北京市西城区(北区)2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试
北京西城区(北区) 2012-2013学年度第一学期期末试题高二数学（理科）试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在直角坐标系xOy 中，在y 轴上截距为1-且倾斜角为34π的直线方程为( )A ．10x y ++=B ．10x y +-=C ．10x y -+=D ．10x y --=2．已知向量(1,2,1),(3,,)x y =-=a b ，且a b ，那么实数x y +等于( )A ．3B ．3-C ．9D ．9-3．已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为2，则球的表面积是( ) A ．24πB ．12πC ．8πD ．6π4．若椭圆221(0)4x y m m +=>的离心率为12，则实数m 等于( ) A ．3 B ．1或3 C ．3或163D ．1或1635．已知直线a 和两个平面,αβ，给出下列两个命题： 命题p ：若a α，a β⊥，则αβ⊥； 命题q ：若aα，aβ，则αβ；那么下列判断正确的是( ) A ．p 为假B ．q ⌝为假C ．p q ∧为真D ．p q ∨为真6．设R ,x y ∈，则“40x y +-<”是“0x <且0y <”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．即不充分也不必要条件D ．充分必要条件7．设点12,F F 为双曲线C ：2213x y -=的左、右焦点，P 为C 为一点，若△12PF F 的面积为6，则12PF PF ⋅的值是( ) A ．3±B ．3C ．9±D ．98．已知矩形ABCD ，1AB =，BC x =，将△ABD 沿矩形对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则( )A ．(0,2)x ∀∈，都存在某个位置，使得AB CD ⊥ B ．(0,2)x ∀∈，都不存在某个位置，使得AB CD ⊥C ．1x ∀>，都存在某个位置，使得AB CD ⊥ D ．1x ∀>，都不存在某个位置，使得AB CD ⊥二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．命题“2R,0x x ∀∈>”的否定是_____________________.10．设R ,a b ∈，若直线0ax y b +-=与直线310x y -+=垂直，则实数a =_______． 11．抛物线24x y =的焦点坐标是__________.12．下图是一个几何体的三视图，那么这个几何体的表面积是__________.第12题图 第13题图13．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，设11,2AD AA AB ===，则11CC BD -|||__________，11CC CA ⋅|_________.14．在直角坐标系xOy 中，设P 为两动圆222222(2)(2),(2)(1)y x y r x r r +++=+-=> 的一个交点，记动点P 的轨迹为C ．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于x 轴对称；③设点(,)P x y ，则有|||2|y x <．其中，所有正确的结论序号是__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出相应的文字说明，证明过程或者演算步骤．15．（本小题13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，设12AA =．M ，N 分别是11C D ，1CC 的中点． （1）求异面直线1A N 与MC 所成角的其余弦值； （2）设P 为线段AD 上任意一点，求证：MC PN ⊥．D 1 C 1B 1A 1N MP D CBAD 1C 1B1A 1DCBA正视图左视图俯视图16．（本小题13分）已知圆C 经过点A （1，3），B （5，1），且圆心C 在直线10x y -+=上． （1）求圆C 的方程；（2）设直线l 经过点（0，3），且l 与圆C 相切，求直线l 的方程．17．（本小题13分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AC BC CC ==，M 为AB 的中点．（1）求证：1BC 平面1MA C ；（2）求直线1BC 与平面11AA B B 所成角的大小．18．（本小题13分）已知椭圆1C ：2214x y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率．（1）求椭圆2C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过O 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，且l 与2C 相交于C ，D两点．若||2||CD AB =，求直线l 的方程．19．（本小题14分）如图，在三棱锥P ABC -中，底面△AB C 为等边三角形，90APC ∠=︒，24AC PA ==，且平面PAC ⊥平面AB C ．（1）求三棱锥P ABC -的体积； （2）求二面角B AP C --的余弦值；（3）判断在线段AC 上是否存在点Q ，使得△PQB 为直角三角形？若存在，找出所有符合要求的点Q ，并求AQQC的值；若不存在，说明理由．C 1B 1A 1MCBA20．（本小题14分）已知动圆P （圆心为点P ）过定点A （1，0），且与直线1x =-相切，记动点P 的轨迹为C ．（1）求轨迹C 的方程；（2）设过点P 的直线l 与曲线C 相切，且与直线1x =-相交于点Q ．试研究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．PCBA。
2024北京西城区高一(下)期末数学试题及答案
2024北京西城高一（下）期末数 学本试卷共9页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(−，则z 的共轭复数z =A.1+B.1 C .1−+D.1−2. 设向量(1,2)=a ，(,4)x =b ，若⊥a b ，则x =A.2−B.2C.8−D.83. 在ABC △中，2a =，3b =，4cos 5B =，则sin A =A.15 B .25 C .35D.454. 平面向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则⋅=a bA.2−B.0C.1D.25. 已知,αβ是不重合的平面，,m n 是不重合的直线，下列命题中不正确．．．的是 A.若//m α，//m β，则//αβ B.若//m n ，m α⊥，则n α⊥C.若m α⊥，m β⊥，则//αβD.若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知(cos ,sin )P θθ，π[0,]2θ∈，(1,1)A ，则OA OP ⋅的取值范围是A. B.[0,2] C.[ D.7. 如图，已知正六棱锥P ABCDEF −的侧棱长为6，底面边长为3，Q 是底面上一个动点，PQ ≤点Q 所形成区域的面积为A.4πB.5πC.6πD.7π8. 已知函数()sin 2f x x =和()cos 2g x x =，()f x 的图象以每秒π12个单位的速度向左平移，()g x 的图象以每秒π24个单位的速度向右平移，若平移后的两个函数图象重合，则需要的时间至少为 A.1秒 B.2秒 C.3秒D.4秒9. 已知函数π()sin()6f x x ω=+(0)ω>，“存在π,[0,]2m n ∈，函数()f x 的图象既关于直线x m =对称，又关于点(,0)n 对称”是“2ω≥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10. 方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、、逻辑控制、开关电源等领域. 理想方波的解析式为1sin(21)21n n xy a b n ∞=−=+−∑，而在实际应用中多采用近似方波发射信号. 如111()sin sin 3sin 5sin 7357f x x x x x =+++就是一种近似情况，则A.函数()f x 是最小正周期为π的奇函数B.函数()f x 的对称轴为π2π2x k =+()k ∈Z C.函数()f x 在区间π[0,]2上单调递增D.函数()f x 的最大值不大于2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市西城区(南区)2012-2013学年高一下学期期末质量检测数学试卷Word版含答案
北京市西城区（南区）2012-2013学年下学期高一期末质量检测数学试卷本试卷满分100分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。
1. 与角－70°终边相同的角是 A. 70°B. 110°C. 250°D. 290°2. sin43°cos17°＋cos43°sin17°的值为 A. 21-B.21 C.23D. 23-3. 已知向量a ＝)1,(x ，b ＝),4(x ，若向量a 和b 方向相同，则实数x 的值是 A. －2B. 2C. 0D.58 4. 函数)3sin(π-=x y 的单调递增区间是A. )](265,26[Z k k k ∈++-ππππB. )](2611,265[Z k k k ∈++ππππ C. )](234,23[Z k k k ∈++ππππD. )](23,232[Z k k k ∈++-ππππ 5. 若直线过点（1，1），（2，31+），则此直线的倾斜角的大小为 A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6. 在等差数列}{n a 中，1091=+a a ，则5a 的值为 A. 5B. 6C. 8D. 107. 如图所示， M 是△ABC 的边AB 的中点，若b CA a CM ==,，则CB ＝A. b a 2-B. b a -2C. b a 2+D. b a +28. 与直线012=+-y x 关于直线1=x 对称的直线的方程是 A. 012=-+y x B. 012=-+y x C. 032=-+y xD. 032=-+y x9. 设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，已知23,233243-=-=a S a S ，则公比q 等于A. 3B. 4C. 5D. 610. 已知直线过点A （1，2），且原点到这条直线的距离为1，则这条直线的方程是 A. 0543=+-y x 和1=x B. 0534=+-y x 和1=y C. 0543=+-y x 和1=yD. 0534=+-y x 和1=x11. 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≤+21y x y y x ，则y x z +=3的最大值为A. －8B. 3C. 5D. 712. 点),(y x P 是函数)25,21(sin 23)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=x x x f π图象上的点，已知点Q （2，0），O 为坐标原点，则QP OP ⋅的取值范围为A. ]0,1[-B. ]2,1[-C. ]3,0[D. ]13,1[--二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
(整理)北京西城北区高一数学上期末试题目含标准答案
北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷（北区）高一数学 2013.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 在0到2π范围内，与角3π-终边相同的角是（ ） A.3π B. 23π C. 43πD.53π2. α是一个任意角，则α的终边与3α+π的终边（ ）A. 关于坐标原点对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于直线y x =对称3. 已知向量(1,2)=-a ，(1,0)=b ，那么向量3-b a 的坐标是（ ）A. (4,2)-B. (4,2)--C. (4,2)D. (4,2)-4. 若向量(13)=，a 与向量(1,)λ=-b 共线，则λ的值为（ ）A. 3-B. 3C. 13-D.135. 函数()f x 的图象是中心对称图形，如果它的一个对称中心是π(0)2，，那么()f x 的解 析式可以是（ ） A. sin xB. cos xC. sin 1x +D. cos 1x +6. 已知向量(1,=a ，(2,=-b ，则a 与b 的夹角是（ ）A. 6π B.4π C.3π D.2π7. 为了得到函数cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos 2y x =的图象（ ）A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度8. 函数212cos y x =- 的最小正周期是（ ）A.4π B.2π C. πD. 2π9. 设角θ的终边经过点(3,4)-，则πcos()4θ+的值等于（ ）A.B.C.D. -10. 在矩形ABCD中，AB =1BC =，E 是CD 上一点，且1AE AB ⋅=，则AE AC ⋅的值为（ ） A ．3B ．2C．2 D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11. sin34π=______. 12. 若1cos , (0,)2αα=-∈π，则α=______.13. 已知向量(1,3)=-a ，(3,)x =-b ，且⊥a b ，则x =_____. 14.已知sin cos αα-=sin 2α=______.15. 函数2cos y x =在区间[,]33π2π-上的最大值为______,最小值为______. 16. 已知函数()sin f x x x =，对于ππ[]22-，上的任意12x x ，，有如下条件：①2212x x >；②12x x >；③12x x >，且1202x x +>． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是_______．（写出所有满足条件的序号）三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）C已知2απ<<π，4cos 5α=-. （Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求sin 2cos2αα+的值.18.（本小题满分12分）已知函数2()sin 12xf x x =+.（Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）作出()f x 在一个周期内的图象.19.（本小题满分12分）如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P '是点P 关于AB 的对称点，2(0)AB a a =>.（Ⅰ）当点P 是弧AB 上靠近B 的三等分点时，求AP AB ⋅的值； （Ⅱ）求AP OP '⋅的最大值和最小值.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1. 已知集合{11}P x x =-<<，{}M a =. 若M P ⊆，则a 的取值范围是________. 2. lg 2lg 5+-=________. 3. 满足不等式122x>的x 的取值范围是_______. 4. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 在(0,)+∞上是减函数，且2是函数()f x 的一个零点，则满足()0x f x >的x 的取值范围是________. 5. 已知集合{1,2,,}U n =，n *∈N ．设集合A 同时满足下列三个条件：①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉； ③若U x C A ∈，则2U x C A ∉．（1）当4n =时，一个满足条件的集合A 是________；（写出一个即可） （2）当7n =时，满足条件的集合A 的个数为________.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6. （本小题满分10分）已知函数21()1f x x =-. （Ⅰ）证明函数()f x 为偶函数；（Ⅱ）用函数的单调性定义证明()f x 在(0,)+∞上为增函数.7. （本小题满分10分）设函数(2)(4)2()(2)()2x x x f x x x a x -+≤⎧=⎨-->⎩. （Ⅰ）求函数()f x 在区间[2,2]-上的最大值和最小值；（Ⅱ）设函数()f x 在区间[4,6]-上的最大值为()g a ，试求()g a 的表达式.8. （本小题满分10分）已知函数()log a g x x =，其中1a >.（Ⅰ）当[0,1]x ∈时，(2)1xg a +>恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）设()m x 是定义在[,]s t 上的函数，在(,)s t 内任取1n -个数1221,,,,n n x x x x --，设12x x <<21n n x x --<<，令0,ns x t x ==，如果存在一个常数0M >，使得11()()nii i m xm x M -=-≤∑恒成立，则称函数()m x 在区间[,]s t 上的具有性质P .试判断函数()()f x g x =在区间21[,]a a上是否具有性质P ？若具有性质P ，请求出M 的最小值；若不具有性质P ，请说明理由.（注：1102111()()()()()()()()ni i n n i m x m x m x m x m x m x m x m x --=-=-+-++-∑）。
北京市西城区(北区)2012-2013学年高一下学期期末考试物理试卷
北京市西城区（北区）2012-2013学年下学期高一期末考试物理试卷试卷满分：120分考试时间：100分钟A卷【物理2】满分100分一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
）1. 下列物理量中，属于标量的是A. 向心加速度B. 动量C. 冲量D. 功2. 物体做曲线运动时，其加速度A. 可能等于零B. 一定不等于零C. 一定改变D. 一定不变3. 发现万有引力定律和首次比较精确地测出引力常量的科学家分别是A. 牛顿、卡文迪许B. 牛顿、伽利略C. 开普勒、卡文迪许D. 开普勒、伽利略4. 两个质点之间万有引力的大小为F，如果将这两个质点之间的距离变为原来的2倍，那么它们之间万有引力的大小变为A. F/4B. 4FC. 16FD. F/165. 如图所示，把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动。
小球的向心力由以下哪个力提供A. 重力B. 支持力C. 重力和支持力的合力D. 重力、支持力和摩擦力的合力6. 公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”。
如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时A. 车的加速度为零，受力平衡B. 车对桥的压力比汽车的重力大C. 车对桥的压力比汽车的重力小D. 车的速度越大，车对桥面的压力越小7. 下列说法正确的是A. 经典力学能够描述微观粒子的运动规律B. 经典力学适用于宏观物体的低速运动问题C. 相对论与量子力学的出现，表明经典力学已失去意义D. 对于宏观物体的高速运动问题，经典力学仍能适用8. 大小相等的力F按如图所示的四种方式作用在相同的物体上，使物体沿粗糙的水平面移动相同的距离，其中力F做功最多的是9. 质量为2kg的物体做自由落体运动，经过2s落地。
取g=10m/s2。
关于重力做功的功率，下列说法正确的是A. 下落过程中重力的平均功率是400WB. 下落过程中重力的平均功率是100WC. 落地前的瞬间重力的瞬时功率是400WD. 落地前的瞬间重力的瞬时功率是200W10. 质量为m的汽车在平直公路上行驶，阻力f保持不变。
北京市西城区(北区)2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题 文 北师大版
北京市西城区（北区）2012－2013学年下学期高二期末考试数学试卷（文科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集{}5,4,3,2,1=U ，集合{}3,1=A ，{}4,3=B ，那么集合()()B C A C U U ⋂等于A. {}2B. {}5,2C. {}3D. {}4,3,1 2. i 是虚数单位，若复数z 满足()i i z -=-72，则z 等于A. i 31+B. i 31-C. i -3D. i +33. 函数()xx f 1=的图象在点（2，()2f ）处的切线方程是 A. 04=-y x B. 024=--y xC. 012=--y xD. 044=-+y x4. 设R c b a ∈,,，则“22bc ac <”是“b a <”的A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件5. 设函数()223+++=cx bx ax x f 的导函数为()x f '，如果()x f '为偶函数，则一定有 A. 0≠a ，0=c B. 0,0≠=c aC. 0=bD. 0,0==c b6. 对于R x ∈，函数()x f 满足()()x f x f +=-11，()()x f x f =+2，若当]1,0(∈x 时，()1+=x x f ，则⎪⎭⎫⎝⎛215f 等于A.21 B.23 C.25 D.277. 如果数列{}()R a a n n ∈对任意*,N n m ∈满足n m n m a a a ⋅=+，且83=a ，那么10a 等于A. 1024B. 512C. 510D. 2568. 已知函数()xe x a xf ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1，若同时满足条件：①()∞+∈∃,00x ，0x 为()x f 的一个极大值点； ②∀∈x ()∞+,8，()0>x f 。
北京市西城区2012年7月高一数学期末试卷
北京市西城区（北区）2011 — 2012学年度第二学期学业测试高一数学 2012.7试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知等差数列5,7,9,11，，则下列哪个数是这个数列中的项 ( ) A. 3B. 6C. 10D. 15 2．在某一项篮球赛事中，甲、乙两名运动员都参加了5场比赛，他们各场比赛得分的情况如茎叶图所示，则甲得分的中位数．．．和乙得分的平均数．．．分别为( ) A. 18,14B. 18,12C. 16,14D. 16,123．已知0αβ<<<π，则αβ-的取值范围是 ( ) A. (,)-ππB. (,)-π0C. (,0)2π-D. (0,)π4．若非零实数,,a b c 满足a b c >>，则一定成立的不等式是( ) A. ac bc >B. ab ac >C. a c b c ->-D.111a b c<< 5．由直线10x y +-=，10x y -+=和10y +=所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为( )A. 10,10,1.x y x y y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥-⎩B. 10,10,1.x y x y y +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥-⎩C. 10,10,1.x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩D. 10,10,1.x y x y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤-⎩6．已知变量b a ,已被赋值，要交换b a ,的值，应采用下面哪种算法（ ） A. b a =，a b = B. c a =，a b =，b c = C.c a =，a b =，a c = D.a c =，b a =，c b =7．在ABC ∆中,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2cos b c A =，则ABC ∆一定是 ( ) A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形8．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少有一个黑球与都是黑球B. 至少有一个黑球与至少有一个红球C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D. 至少有一个黑球与都是红球9．若等比数列{}n a 满足116n n n a a +=，则{}n a 的公比为（ ） A. 4B. 6C. 8D. 1610. 已知函数2()f x x =，定义数列{}n a 如下：1()n n a f a +=，*n ∈N .若给定1a 的值，使得到的无穷数列{}n a 满足：对任意正整数n ，均有1n n a a +>，则1a 的取值范围是（ ）A. (,1)(1,)-∞-+∞B. (,0)(1,)-∞+∞C. (1,)+∞D. (1,0)-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.11. 某单位有职工800人，其中青年职工400人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本． 若样本中青年职工的人数为8，则样本容量为_______. 12. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若562a a +=，则10S =_______.13. 执行右图所示的程序框图，若1M =，则输出的S =______； 若输出的14S =，则整数=M _______. 14. 函数41y x x =+-(1)x >的最小值是________； 此时x =_________. 15. 已知正方形ABCD .（1）在,,,A B C D 四点中任取两点连线，则余下的两点在此直线异侧的概率是______； （2）向正方形ABCD 内任投一点P ，则PAB ∆的面积大于正方形ABCD 面积四分之一的概率是_______.16. 已知当实数,x y 满足12211x y x y x y +≤⎧⎪-⎨⎪-⎩≥-≤时，1ax by +≤恒成立. 给出以下命题：①点(,)P x y 所形成的平面区域的面积等于3； ②22x y +的最大值等于2；③以,a b 为坐标的点(,)Q a b 所形成的平面区域的面积等于4.5； ④a b +的最大值等于2，最小值等于1-. 其中，所有正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，已知C 为锐角，且2sin a c A =. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若1c =，且ABC ∆的面积为4，求,a b 的值.18.（本小题满分13分）在参加某次社会实践的学生中随机选取40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.在选取的40名学生中，（Ⅰ）求a 的值及成绩在区间[80,90)内的学生人数；（Ⅱ）从成绩小于60分的学生中随机选2名学生，求最多有1名学生成绩在区间[50,60)内的概率.19.（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知84a =，1314a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求n S 的最小值及相应的n 的值；（Ⅲ）在公比为q 的等比数列{}n b 中，28b a =，12313b b b a ++=，求4734n q q q q +++++.20.（本小题满分14分）已知函数2()(1)f x kx k x =++.（Ⅰ）当1k =时，解不等式()0f x <；（Ⅱ）当0k ≠时，二次函数()f x 的对称轴在直线1x =的左侧，求k 的取值范围；（Ⅲ）解关于x 的不等式()0f x <.21.（本小题满分13分）在ABC ∆中，4AB =，3AC =，60A =. （Ⅰ）求ABC ∆的面积；（Ⅱ）设点,D E 分别是AB 、AC 边上的点，记AD x =，DE y =. 若ADE ∆的面积总保持是ABC ∆面积的一半，求y 关于x 的函数解析式及y 的最小值.22.（本小题满分13分）已知数列{}n a 是各项均为正数有穷数列，数列{}n b 满足12k kkb a a a =+++（1,2,,k n =）.（Ⅰ）若数列{}n b 的通项公式n b n =，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）（ⅰ）若数列{}n a 为递增数列，试判断数列{}n b 是否为递增数列？如果是，请加以证明；如果不是，说明理由.（ⅱ）若数列{}n b 为递增数列，试判断数列{}n a 是否为递增数列？如果是，请加以证明；如果不是，说明理由.（Ⅲ）设数列{}n C 、{}n D 满足：2221122()()()n n n C a b a b a b =-+-++-， 22212()()()n n n n n D a b a b a b =-+-++-，求证：n n C D ≤.ABC D E北京市西城区（北区）2011 — 2012学年度第二学期学业测试高一数学参考答案及评分标准 2012.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. D2. A3. B4. C5. C6. D7. C8. C9. A 10. A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. 16 12. 10 13. 2，3 14. 5，3 15.13，1216. ②③④ 注：一题两空的试题，第一空2分，第二空3分；16题选出错误选项即得0分. 漏选正确选项得2分，全部选出正确选项得5分.三、解答题：本大题共3小题，共36分.17. 解：（Ⅰ）由2sin a c A =及正弦定理得，sin 2sin sin A C A =，………………3分因为sin 0A ≠，所以1sin 2C =， 因为C 为锐角，所以30C =o. …………………5分 （Ⅱ）因为1,30.c C ==o由面积公式得1sin 302ab =o …………………7分即ab =…………① …………………8分 由余弦定理得222cos301a b ab +-=o， …………………9分所以221a b +=， 即224a b +=，…………② …………………10分联立①、②得224,a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ …………………11分解得1,a b ==或1a b ==. …………………13分18. 解：（Ⅰ）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[60,70)的频率为1(0.00520.0100.0150.030)100.35-⨯+++⨯=， …………………3分所以0.035a =. …………………4分 由已知，成绩在区间[80,90)的频率为0.15，所以，40名学生中成绩在区间[80,90)的学生人数为400.156⨯=（人）.…………………6分（Ⅱ）设A 表示事件“在成绩小于60分的学生中随机选两名学生，最多有一名学生成绩在区间[50,60)内”，由已知，成绩在区间[50,60)内的学生有4人， 记这四个人分别为,,,a b c d ，成绩在区间[40,50]内的学生有2人， …………………8分 记这两个人分别为,e f ， 则选取学生的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d b e b f (,),(,),(,)c d c e c f ， (,),(,),(,)d e d f e f .基本事件数为15. …………………10分事件“最多一人成绩在区间[50,60)之间”的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),c e c f (,),(,),(,)d e d f e f .基本事件数为9， …………………12分 所以9()0.615P A ==. …………………13分 19. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知可得174a d +=，11214a d +=， …………………2分 解得2d =，110a =-. …………………4分 所以102(1)212n a n n =-+-=-. …………………5分 （Ⅱ）令0n a ≤，即2120n -≤，解得6n ≤， …………………7分所以，当1,2,3,4,5n =时，0n a <；60a =；7,8,n =时0n a >.所以，当5n =或6n =时，n S 最小， …………………8分561555()(102)3022S S a a ==+=⨯--=-. …………………9分 （Ⅲ）依题意，14b q =，211114b b q b q ++=，即14b q =，1410b q +=，消去1b ，得22520q q -+=， 解得2q =或12q =， …………………11分 当1q ≠时，3647343(1)1n n q q q q q qq ++-++++=-. …………………12分 当2q =时，4734362(21)7n n q q q q ++++++=-； …………………13分当12q =时，47343641(1)72n n q q q q ++++++=-. …………………14分 20. 解：（Ⅰ）当1k =时，不等式为220x x +<， …………………2分即(2)0x x +<，解得20x -<<，所以不等式的解集为{20}x x -<<. …………………4分 （Ⅱ）依题意，112k k+-<， …………………6分 整理的2(31)0k k +>， …………………7分解得13k <-或0k >.所以k 的取值范围是1(,)(0,)3-∞-+∞. …………………8分（Ⅲ）当0k =时，不等式的解集为{0}x x <； …………………9分当0k >时，1()0k x x k ++<，解得10k x k +-<<； …………………10分 当0k <时，1()0k x x k++>， 若10k k +=，即1k =-时，0x ≠； …………………11分 若10k k +->，即10k -<<时，0x <或1k x k +>-； …………………13分 若10k k +-<，即1k <-时，1k x k+<-或0x >. …………………14分 综上， 当0k >时，不等式的解集为1{0}k x x k+-<<； 当0k =时，不等式的解集为{0}x x <；当10k -<<时，不等式的解集为1{0,}k x x x k+<>-或； 当1k =-时，不等式的解集为{0}x x ≠； 当1k <-时，不等式的解集为1{,0}k x x x k+<->或.21.解：（Ⅰ）因为1sin 2ABC S bc A ∆=， 所以143sin 60332ABC S ∆=⨯⨯⨯=…………………3分 （Ⅱ）设AE m =，则1sin 602ADE S xm ∆=,所以133sin 602xm =，6xm =，……① ……6分AD Em xy在ABC ∆中，2222cos60y x m xm =+-，即222y x m xm =+-，……② …………………9分 由①②消去m ，得222366y x x =+-，所以y =， …………………10分 依题意[2,4]x ∈， …………………11分y =≥当且仅当2236x x=，即x ==”成立. …………………12分所以y …………………13分22. （Ⅰ）解：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由已知n n nb S =，即2n S n =，当1n =时，111a S ==； …………………1分当2n ≥时，221(121n n n a S S n n n =-=-=---）.综上，21n a n =-. …………………3分（Ⅱ）解：（ⅰ）由已知，1211211k kk k a a a a a a b b k k++++++++-=-+12112()(1)()(1)k k k a a a k a a a k k ++++-++++=+112()(1)k k ka a a a k k +-+++=+. …………………5分因为数列{}n a 为单调递增数列，所以121k k a a a a +>>>>，所以112()0k k ka a a a +-+++>，所以10k k b b +->，即1k k b b +>，1,2,3,,1k n =-.即数列{}n b 是单调递增数列. …………………6分 （ⅱ）当{}n b 为1,5,6时，{}n a 中的三项为1,9,8.所以，若数列{}n b 为单调递增数列，数列{}n a 不一定为单调递增数列.…………………8分（Ⅲ）证明:n n D C -221()()n n n a b a b =-++-2211()()n n a b a b -----2211()()n n n a b a b -=-++-221111()()n n a b a b -------. 由12k k kb a a a =+++，可知11(1)k k k a k b kb ++=+-，11a b =， ……………10分利用上式，将n n D C -表达式展开，将i a 用n b {}中的项替换，得n nD C -2222212311223135(23)(1)242(1)n n n n b b b n b n b bb b b n b b --=++++-+------22212231()2()(1)()0n n b b b b n b b -=-+-++--≥.所以n n C D . …………………13分。
2024届北京市西城区普通中学数学高一下期末考试试题含解析
2024届北京市西城区普通中学数学高一下期末考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．圆221:1O x y +=与圆222:30O x y +--+=的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切2．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510315S S ==，，则20S =（ ） A ．255B ．375C ．250D ．2003．若角α的终边过点(1,2)-，则sin2α=( ) A ．45B ．2-5C ．25D ．45-4．已知直线l 经过点(1,2)P -，且倾斜角为45，则直线l 的方程为（ ） A ．30x y --= B ．10x y --= C ．30x y -+=D ．30x y +-=5．已知正实数x y 、满足224x y +=，则的最大值为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．946．在某次测量中得到A 样本数据如下：43,50,45,55,60，若B 样本数据恰好是A 样本每个数都增加5得到，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．众数B ．中位数C ．方差D ．平均数7．执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝88，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．B ．C ．D ．8．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ． B ．C ．D ．9．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数.有下列结论： ①函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称；②函数()f x 的图象关于直线512x π=对称；③函数()f x 在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；④函数()f x 在7,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如右图所示，甲、乙的平均数分别为为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲，2s 乙，则（ ）A ．22x x s s >>甲乙甲乙，B ．22x x s s ><甲乙甲乙，C ．22x x s s 甲乙甲乙，D ．22x x s s <<甲乙甲乙，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市西城区2012-2013年高一期末数学
北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷（北区）高一数学 2013.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 在0到2π范围内，与角3π-终边相同的角是（ ）A. 3π B.23π C.43π D.53π 2.α是一个任意角，则α的终边与3α+π的终边（ ）A. 关于坐标原点对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于直线y x =对称3. 已知向量(1,2)=-a ，(1,0)=b ，那么向量3-b a 的坐标是（ ）A. (4,2)-B. (4,2)--C. (4,2)D. (4,2)-4. 若向量(13)=，a 与向量(1,)λ=-b 共线，则λ的值为（ ） A. 3-B. 3C. 13-D.135. 函数()f x 的图象是中心对称图形，如果它的一个对称中心是π(0)2，，那么()f x 的解 析式可以是（ ） A. sin xB. cos xC. sin 1x +D. cos 1x +6. 已知向量(1,=a ，(=-b ，则a 与b 的夹角是（ ）A. 6π B.4π C.3π D.2π7. 为了得到函数cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos 2y x =的图象（ ）A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度8. 函数212cos y x =- 的最小正周期是（ ）A.4π B.2π C. π D. 2π9. 设角θ的终边经过点(3,4)-，则πcos()4θ+的值等于（ ）A.10B. 10-C.10D. 10-10. 在矩形ABCD中，AB =1BC =，E 是CD 上一点，且1AE AB ⋅=，则AE AC ⋅ 的值为（ ） A ．3B ．2CD二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11. sin34π=______. 12. 若1cos , (0,)2αα=-∈π，则α=______.13. 已知向量(1,3)=-a ，(3,)x =-b ，且⊥a b ，则x =_____. 14.已知sin cos αα-=，则sin 2α=______.15. 函数2cos y x =在区间[,]33π2π-上的最大值为______,最小值为______. 16. 已知函数()sin f x x x =，对于ππ[]22-，上的任意12x x ，，有如下条件：①2212x x >；②12x x >；③12x x >，且1202x x +>． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是_______．（写出所有满足条件的序号）三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知2απ<<π，4cos 5α=-. （Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求sin 2cos 2αα+的值.18.（本小题满分12分）已知函数2()sin 12xf x x =+-. （Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）作出()f x 在一个周期内的图象.19.（本小题满分12分）如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P '是点P 关于AB 的对称点，2(0)AB a a =>.（Ⅰ）当点P 是弧 AB 上靠近B 的三等分点时，求AP AB ⋅的值；（Ⅱ）求AP OP '⋅的最大值和最小值.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1. 已知集合{11}P x x =-<<，{}M a =. 若M P ⊆，则a 的取值范围是________. 2. lg2lg5+-=________. 3. 满足不等式122x>的x 的取值范围是_______. 4. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 在(0,)+∞上是减函数，且2是函数()f x 的一个零点，则满足()0x f x >的x 的取值范围是________.5. 已知集合{1,2,,}U n = ，n *∈N ．设集合A 同时满足下列三个条件： ①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉； ③若U x C A ∈，则2U x C A ∉．（1）当4n =时，一个满足条件的集合A 是________；（写出一个即可） （2）当7n =时，满足条件的集合A 的个数为________.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6. （本小题满分10分）已知函数21()1f x x =-. （Ⅰ）证明函数()f x 为偶函数；（Ⅱ）用函数的单调性定义证明()f x 在(0,)+∞上为增函数.7. （本小题满分10分）设函数(2)(4)2()(2)()2x x x f x x x a x -+≤⎧=⎨-->⎩. （Ⅰ）求函数()f x 在区间[2,2]-上的最大值和最小值；（Ⅱ）设函数()f x 在区间[4,6]-上的最大值为()g a ，试求()g a 的表达式.8. （本小题满分10分）已知函数()log a g x x =，其中1a >.（Ⅰ）当[0,1]x ∈时，(2)1x g a +>恒成立，求a 的取值范围；（Ⅱ）设()m x 是定义在[,]s t 上的函数，在(,)s t 内任取1n -个数1221,,,,n n x x x x -- ，设12x x << 21n n x x --<<，令0,ns x t x ==，如果存在一个常数0M >，使得11()()nii i m xm x M -=-≤∑恒成立，则称函数()m x 在区间[,]s t 上的具有性质P . 试判断函数()()f x g x =在区间21[,]a a上是否具有性质P ？若具有性质P ，请求出M 的最小值；若不具有性质P ，请说明理由.（注：1102111()()()()()()()()nii n n i m x m xm x m x m x m x m x m x --=-=-+-++-∑ ）北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷（北区）高一数学参考答案及评分标准 2013.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D;2.A;3.D;4.A;5.B;6.C;7.B;8.C;9.C; 10.B. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. -12.32π; 13. 1-; 14. 1-; 15. 2,1-; 16. ①③.注：一题两空的试题每空2分；16题，选出一个正确的序号得2分，错选得0分. 三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.解：（Ⅰ）因为4cos 5α=-,2απ<<π,所以3sin 5α=, …………………3分 所以sin 3tan cos 4ααα==-. …………………5分 （Ⅱ）24sin 22sin cos 25ααα==-， …………………8分27cos 22cos 125αα=-=， …………………11分所以24717sin 2cos 2252525αα+=-+=-. …………………12分18.解：（Ⅰ）由已知2()sin 1363f πππ=+ …………………2分11==. …………………4分（Ⅱ）()cos )sin 1f x x x =-+ …………………6分sin 1x x =+2sin()13x π=-+. …………………7分函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()22k k k πππ-π+∈Z ， …………………8分 由 22232k x k ππππ-≤-≤π+，得2266k x k π5ππ-≤≤π+.所以()f x 的单调递增区间为[2,2]()66k k k π5ππ-π+∈Z . …………………9分（Ⅲ）()f x 在[,]33π7π上的图象如图所示. …………………12分19.解：（Ⅰ）以直径AB 所在直线为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系.因为P 是弧AB 靠近点B 的三等分点， 连接OP ，则3BOP π∠=， …………………1分 点P 坐标为1()2a . …………………2分又点A 坐标是(,0)a -，点B 坐标是(,0)a ，所以3()2AP a = ，(2,0)AB a =， …………………3分所以23AP AB a ⋅=. …………………4分 （Ⅱ）设POB θ∠=，[0,2)θπ∈，则(cos ,sin )P a a θθ，(cos ,sin )P a a θθ'-所以(cos ,sin )AP a a a θθ=+，(cos ,sin )OP a a θθ'=-. …………所以22222cos cos sin AP OP a a a θθθ'⋅=+- 22(2cos cos 1)a θθ=+- (222119)2(cos cos )2168a a θθ=++- 222192(cos )48a a θ=+-. …………当1cos 4θ=-时，AP OP '⋅ 有最小值298a -当cos 1θ=时，AP OP '⋅ 有最大值22a . …………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. {11}a a -<<;2.12; 3. {1}x x >-; 4. (2,0)(0,2)- ; 5. {2}，或{1,4}，或{2,3}，或{1,3,4}；16. 注：一题两空的试题每空2分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分.6. 证明：（Ⅰ）由已知，函数()f x 的定义域为{0}D x x =∈≠R . …………………1分设x D ∈，则x D -∈，2211()11()()f x f x x x-=-=-=-. …………………3分 所以函数()f x 为偶函数. …………………4分 （Ⅱ）设12x x ，是(0,)+∞上的两个任意实数，且12x x <，则210x x x ∆=->，21222111()()1(1)y f x f x x x ∆=-=--- …………………6分 22212121222222121212()()11=x x x x x x x x x x x x --+=-=. …………………8分 因为120x x <<， 所以210x x +>，210x x ->，所以0y ∆>， …………………9分 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数. …………………10分 7.解：（Ⅰ）在区间[2,2]-上，()(2)(4)f x x x =-+.所以()f x 在区间[2,1]--上单调递增，在区间[1,2]-上单调递减， ……………1分 所以()f x 在区间[2,2]-上的最大值为(1)9f -=， …………………3分 最小值为(2)0f =. …………………4分 （Ⅱ）当2a ≤时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,6]-上单调递减，所以()f x 的最大值为9. …………………5分 当28a <≤时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,2]-上单调递减，在2[2,]2a +单调递增，在2[,6]2a +上单调递减， 此时(1)9f -=，222()()922a a f +-=≤，所以()f x 的最大值为9. ……………7分当810a <≤时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,2]-上单调递减，在2[2,]2a +单调递增，在2[,6]2a +上单调递减. 此时222()()(1)22a a f f +-=>-，所以()f x 的最大值为2(2)4a -.………………8分 当10a >时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,2]-上单调递减，在[2,6]单调递增， 此时(6)4(6)(1)f a f =->-，所以()f x 的最大值为4(6)a -. …………………9分综上，298,(2)()810,44(6)10.a a g a a a a ≤⎧⎪-⎪=<≤⎨⎪->⎪⎩ …………………10分 8.解：（Ⅰ）当[0,1]x ∈时，(2)1x g a +>恒成立，即[0,1]x ∈时，log (2)1x a a +>恒成立， …………………1分 因为1a >，所以2xa a +>恒成立， …………………2分 即2xa a -<在区间[0,1]上恒成立，所以21a -<，即3a <， …………………4分 所以13a <<. 即a 的取值范围是(1,3). …………………5分 （Ⅱ）由已知()f x =log a x，可知()f x 在2[1,]a 上单调递增，在1[,1]a上单调递减，对于21(,)a a内的任意一个取数方法201211n n x x x x x a a-=<<<<<= ， 当存在某一个整数{1,2,3,,1}k n ∈- ，使得1k x =时，1011211()()[()()][()()][()()]ni i k k i f x f x f x f x f x f x f x f x --=-=-+-++-∑1211[()()][()()][()()]k k k k n n f x f x f x f x f x f x +++-+-+-++-21()(1)()(1)123f f f a f a=-+-=+=. …………………7分当对于任意的{0,1,2,3,,1}k n ∈-，1k x ≠时，则存在一个实数k 使得11k k x x +<<，此时1011211()()[()()][()()][()()]ni i k k i f x f x f x f x f x f x f x f x --=-=-+-++-∑1211()()[()()][()()]k k k k n n f x f x f x f x f x f x +++-+-+-++-011()()()()()()k k k n k f x f x f x f x f x f x ++=-+-+-……（*） 当1()()k k f x f x +>时，（*）式01()()2()3n k f x f x f x +=+-<， 当1()()k k f x f x +<时，（*）式0()()2()3n k f x f x f x =+-<，当1()()k k f x f x +=时，（*）式01()()()()3n k k f x f x f x f x +=+--<.……………9分 综上，对于21(,)a a内的任意一个取数方法201211n n x x x x x a a-=<<<<<= ， 均有11()()3ni i i f x f x -=-≤∑.所以存在常数3M ≥，使11()()nii i f x f xM -=-≤∑恒成立，所以函数()f x 在区间21[,]a a上具有性质P .此时M 的最小值为3. …………………10分。
北京市西城区2012高二期末考试
北京市西城区2012 — 2013学年度第二学期期末试卷说明：1．本试卷满分100分，考试时间100分钟。
2．请将全卷答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Si 28 S 32 Fe 56 Br 801. 已知一定条件下断裂或生成某些化学键的能量关系如下表：对于反应：H2(g)+ Cl2 (g) = 2HCl (g)，下列说法正确的是A. 该反应的反应热△H＞0B. 生成1mol HCl时反应放热431kJC.氢气分子中的化学键比氯气分子中的化学键更稳定D.相同条件下，氢气分子具有的能量高于氯气分子具有的能量2．将TiO2转化为TiCl4是工业冶炼金属钛的主要反应之一。
已知：TiO2(s) + 2Cl2(g) == TiCl4(l) + O2(g) △H = +140.5 kJ/molC(s,石墨) + 1/2O2(g) == CO(g) △H = -110.5 kJ/mol 则反应TiO2(s) + 2Cl2(g) + 2C(s,石墨) == TiCl4(l) + 2CO(g) 的△H是A．+80.5 kJ/mol B．+30.0 kJ/mol C．-30.0 kJ/mol D．-80.5 kJ/mol 3.下列说法不正确．．．的是A．应用盖斯定律，可计算某些难以直接测量的反应焓变B．化学键的断裂与形成是化学反应中能量变化的主要原因C．反应物能量高于生成物能量的反应是吸热反应相同D．同温同压下，H2(g)+Cl2(g)=2HCl(g)在光照和点燃条件的H4．下列应用与盐类的水解无关．．的是A．纯碱溶液可去除油污B．NaCl可用作防腐剂和调味剂C．TiCl4溶于大量水加热制备TiO2D．FeCl3饱和溶液滴入沸水中制Fe(OH)3胶体5．下列说法正确的是A．任何酸与碱发生中和反应生成1molH2O的过程中，能量变化均相同B．已知：C(s,石墨) = C(s,金刚石) △H = +1.5 kJ·mol-1，则金刚石比石墨更稳定C．若①2H2(g)+O2(g)=2H2O(g) △H =-akJ·mol-1，②2H2(g)+O2(g)=2H2O(l) △H=-bkJ·mol-1，则 b>aD．能自发进行的反应一定是放热反应，不能自发进行的反应一定是吸热反应6．将AgCl分别加入盛有下述物质的烧杯中：①5 mL水；② 6 mL 0.5 mol/L NaCl溶液；③50mL 0.1 mol/L 盐酸④10 mL 0.2 mol/L CaCl2溶液；若均有固体剩余，各溶液中c(Ag+)从大到小的顺序排列正确的是A．④③②① B．①③④② C．②③④① D．①③②④7．下列现象与电化学腐蚀无关．．的是A．生铁比纯铁易生锈B．纯银饰品久置表面变暗C．黄铜（铜锌合金）制品不易产生铜绿D．与铜管连接的铁管易生锈8．已知Ca(OH)2的溶解度随温度升高而降低。
北京市西城区(北区)2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案
北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷（北区）高一数学 2013.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 在0到2π范围内，与角3π-终边相同的角是（ ） A.3π B. 23π C. 43πD.53π2. α是一个任意角，则α的终边与3α+π的终边（ ）A. 关于坐标原点对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于直线y x =对称3. 已知向量(1,2)=-a ，(1,0)=b ，那么向量3-b a 的坐标是（ ）A. (4,2)-B. (4,2)--C. (4,2)D. (4,2)-4. 若向量(13)=，a 与向量(1,)λ=-b 共线，则λ的值为（ ）A. 3-B. 3C. 13-D.135. 函数()f x 的图象是中心对称图形，如果它的一个对称中心是π(0)2，，那么()f x 的解 析式可以是（ ） A. sin xB. cos xC. sin 1x +D. cos 1x +6. 已知向量(1,=a ，(2,=-b ，则a 与b 的夹角是（ ）A.6πB.4π C.3π D.2π7. 为了得到函数cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos 2y x =的图象（ ）A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度8. 函数212cos y x =- 的最小正周期是（ ）A.4π B.2π C. πD. 2π9. 设角θ的终边经过点(3,4)-，则πcos()4θ+的值等于（ ）A.10B. 10-C.10D. 10-10. 在矩形ABCD中，AB =1BC =，E 是CD 上一点，且1AE AB ⋅=，则AE AC ⋅的值为（ ） A ．3B ．2CD二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11. sin34π=______. 12. 若1cos , (0,)2αα=-∈π，则α=______.13. 已知向量(1,3)=-a ，(3,)x =-b ，且⊥a b ，则x =_____. 14.已知sin cos αα-=sin 2α=______.15. 函数2cos y x =在区间[,]33π2π-上的最大值为______,最小值为______. 16. 已知函数()sin f x x x =，对于ππ[]22-，上的任意12x x ，，有如下条件：①2212x x >；②12x x >；③12x x >，且1202x x +>． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是_______．（写出所有满足条件的序号）三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知2απ<<π，4cos 5α=-. （Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求sin 2cos2αα+的值.18.（本小题满分12分）已知函数2()sin 12xf x x =+. （Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）作出()f x 在一个周期内的图象.19.（本小题满分12分）如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P '是点P 关于AB 的对称点，2(0)AB a a =>.（Ⅰ）当点P 是弧AB 上靠近B 的三等分点时，求AP AB ⋅的值； （Ⅱ）求AP OP '⋅的最大值和最小值.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1. 已知集合{11}P x x =-<<，{}M a =. 若M P ⊆，则a 的取值范围是________. 2. lg 2lg 5lg +-=________. 3. 满足不等式122x>的x 的取值范围是_______. 4. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 在(0,)+∞上是减函数，且2是函数()f x 的一个零点，则满足()0x f x >的x 的取值范围是________. 5. 已知集合{1,2,,}U n =，n *∈N ．设集合A 同时满足下列三个条件：①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉； ③若U x C A ∈，则2U x C A ∉．（1）当4n =时，一个满足条件的集合A 是________；（写出一个即可） （2）当7n =时，满足条件的集合A 的个数为________.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.6. （本小题满分10分）已知函数21()1f x x =-. （Ⅰ）证明函数()f x 为偶函数；（Ⅱ）用函数的单调性定义证明()f x 在(0,)+∞上为增函数.7. （本小题满分10分）设函数(2)(4)2()(2)()2x x x f x x x a x -+≤⎧=⎨-->⎩. （Ⅰ）求函数()f x 在区间[2,2]-上的最大值和最小值；（Ⅱ）设函数()f x 在区间[4,6]-上的最大值为()g a ，试求()g a 的表达式.8. （本小题满分10分）已知函数()log a g x x =，其中1a >.（Ⅰ）当[0,1]x ∈时，(2)1xg a +>恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）设()m x 是定义在[,]s t 上的函数，在(,)s t 内任取1n -个数1221,,,,n n x x x x --，设12x x <<21n n x x --<<，令0,ns x t x ==，如果存在一个常数0M >，使得11()()nii i m xm x M -=-≤∑恒成立，则称函数()m x 在区间[,]s t 上的具有性质P .试判断函数()()f x g x =在区间21[,]a a上是否具有性质P ？若具有性质P ，请求出M 的最小值；若不具有性质P ，请说明理由.（注：1102111()()()()()()()()ni i n n i m x m x m x m x m x m x m x m x --=-=-+-++-∑）北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷（北区）高一数学参考答案及评分标准 2013.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D;2.A;3.D;4.A;5.B;6.C;7.B;8.C;9.C; 10.B. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. -12.32π; 13. 1-; 14. 1-; 15. 2,1-; 16. ①③. 注：一题两空的试题每空2分；16题，选出一个正确的序号得2分，错选得0分. 三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.解：（Ⅰ）因为4cos 5α=-,2απ<<π,所以3sin 5α=, …………………3分 所以sin 3tan cos 4ααα==-. …………………5分（Ⅱ）24sin 22sin cos 25ααα==-， …………………8分27cos 22cos 125αα=-=， …………………11分所以24717sin 2cos 2252525αα+=-+=-. …………………12分18.解：（Ⅰ）由已知2()sin 1363f πππ=+ …………………2分1122=+=. …………………4分（Ⅱ）()cos )sin 1f x x x =-+- …………………6分sin 1x x =+2sin()13x π=-+. …………………7分 函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()22k k k πππ-π+∈Z ， …………………8分由 22232k x k ππππ-≤-≤π+，得2266k x k π5ππ-≤≤π+. 所以()f x 的单调递增区间为[2,2]()66k k k π5ππ-π+∈Z . …………………9分（Ⅲ）()f x 在[,]33π7π上的图象如图所示. …………………12分19.解：（Ⅰ）以直径AB 所在直线为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系.因为P 是弧AB 靠近点B 的三等分点， 连接OP ，则3BOP π∠=， …………………1分 点P 坐标为1()2a . …………………2分又点A 坐标是(,0)a -，点B 坐标是(,0)a ，所以3()2AP a =，(2,0)AB a =， …………………3分所以23AP AB a ⋅=. …………………4分 （Ⅱ）设POB θ∠=，[0,2)θπ∈，则(cos ,sin )P a a θθ，(cos ,sin )P a a θθ'-所以(cos ,sin )AP a a a θθ=+，(cos ,sin )OP a a θθ'=-. …………所以22222cos cos sin AP OP a a a θθθ'⋅=+-22(2cos cos 1)a θθ=+- (222119)2(cos cos )2168a a θθ=++-222192(cos )48a a θ=+-. …………当1cos 4θ=-时，AP OP '⋅有最小值298a -当cos 1θ=时，AP OP '⋅有最大值22a . …………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. {11}a a -<<;2.12; 3. {1}x x >-; 4. (2,0)(0,2)-; 5. {2}，或{1,4}，或{2,3}，或{1,3,4}；16. 注：一题两空的试题每空2分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分.6. 证明：（Ⅰ）由已知，函数()f x 的定义域为{0}D x x =∈≠R . …………………1分设x D ∈，则x D -∈，2211()11()()f x f x x x-=-=-=-. …………………3分 所以函数()f x 为偶函数. …………………4分 （Ⅱ）设12x x ，是(0,)+∞上的两个任意实数，且12x x <，则210x x x ∆=->，21222111()()1(1)y f x f x x x ∆=-=--- …………………6分 22212121222222121212()()11=x x x x x x x x x x x x --+=-=. …………………8分 因为120x x <<， 所以210x x +>，210x x ->，所以0y ∆>， …………………9分 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数. …………………10分 7.解：（Ⅰ）在区间[2,2]-上，()(2)(4)f x x x =-+.所以()f x 在区间[2,1]--上单调递增，在区间[1,2]-上单调递减， ……………1分 所以()f x 在区间[2,2]-上的最大值为(1)9f -=， …………………3分 最小值为(2)0f =. …………………4分 （Ⅱ）当2a ≤时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,6]-上单调递减，所以()f x 的最大值为9. …………………5分 当28a <≤时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,2]-上单调递减，在2[2,]2a +单调递增，在2[,6]2a +上单调递减， 此时(1)9f -=，222()()922a a f +-=≤，所以()f x 的最大值为9. ……………7分当810a <≤时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,2]-上单调递减，在2[2,]2a +单调递增，在2[,6]2a +上单调递减.此时222()()(1)22a a f f +-=>-，所以()f x 的最大值为2(2)4a -.………………8分 当10a >时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,2]-上单调递减，在[2,6]单调递增， 此时(6)4(6)(1)f a f =->-，所以()f x 的最大值为4(6)a -. …………………9分综上，298,(2)()810,44(6)10.a a g a a a a ≤⎧⎪-⎪=<≤⎨⎪->⎪⎩ …………………10分 8.解：（Ⅰ）当[0,1]x ∈时，(2)1xg a +>恒成立，即[0,1]x ∈时，log (2)1xa a +>恒成立， …………………1分因为1a >，所以2xa a +>恒成立， …………………2分 即2xa a -<在区间[0,1]上恒成立，所以21a -<，即3a <， …………………4分 所以13a <<. 即a 的取值范围是(1,3). …………………5分 （Ⅱ）由已知()f x =log a x，可知()f x 在2[1,]a 上单调递增，在1[,1]a上单调递减，对于21(,)a a内的任意一个取数方法201211n n x x x x x a a-=<<<<<=， 当存在某一个整数{1,2,3,,1}k n ∈-，使得1k x =时，1011211()()[()()][()()][()()]ni i k k i f x f x f x f x f x f x f x f x --=-=-+-++-∑1211[()()][()()][()()]k k k k n n f x f x f x f x f x f x +++-+-+-++-21()(1)()(1)123f f f a f a=-+-=+=. …………………7分当对于任意的{0,1,2,3,,1}k n ∈-，1k x ≠时，则存在一个实数k 使得11k k x x +<<，此时1011211()()[()()][()()][()()]ni i k k i f x f x f x f x f x f x f x f x --=-=-+-++-∑1211()()[()()][()()]k k k k n n f x f x f x f x f x f x +++-+-+-++-011()()()()()()k k k n k f x f x f x f x f x f x ++=-+-+-……（*） 当1()()k k f x f x +>时，（*）式01()()2()3n k f x f x f x +=+-<， 当1()()k k f x f x +<时，（*）式0()()2()3n k f x f x f x =+-<，当1()()k k f x f x +=时，（*）式01()()()()3n k k f x f x f x f x +=+--<.……………9分 综上，对于21(,)a a内的任意一个取数方法201211n n x x x x x a a-=<<<<<=，均有11()()3ni i i f x f x -=-≤∑.所以存在常数3M ≥，使11()()ni i i f x f x M -=-≤∑恒成立，所以函数()f x 在区间21[,]a a上具有性质P .此时M 的最小值为3. …………………10分。
2023-2024学年北京市西城区高一下学期期末考试数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市西城区高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数()A. B. C. D.2.已知，若，则实数()A.8B.C.2D.3.在中，，则()A. B. C. D.4.平面向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则()A. B.0 C.1 D.25.已知是不重合的平面，是不重合的直线，下列命题中不正确．．．的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则6.在平面直角坐标系xOy中，已知，则的取值范围是()A. B. C. D.7.如图，已知正六棱锥的侧棱长为6，底面边长为是底面上一个动点，，则点Q所形成区域的面积为()A. B. C. D.8.已知函数和的图象以每秒个单位的速度向左平移，的图象以每秒个单位的速度向右平移，若平移后的两个函数图象重合，则需要的时间至少为()A.1秒B.2秒C.3秒D.4秒9.已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、多选题：本题共1小题，共5分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
10.方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、逻辑控制、开关电源等领域．理想方波的解析式为，而在实际应用中多采用近似方波发射信号．如就是一种近似情况，则()A.函数是最小正周期为的奇函数B.函数关于对称C.函数在区间上单调递增D.函数的最大值不大于2三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.复数，则__________.12.已知函数若非零实数，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是__________，__________只需写出一组13.有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为__________；表面积为__________.14.在中，，则__________，__________.15.如图，在棱长为2的正方体中，点M为AD的中点，点N是侧面上包括边界的动点，点P是线段上的动点，给出下列四个结论：①任意点P，都有；②存在点P，使得平面MPC；③存在无数组点N和点P，使得；④点P到直线的距离最小值是其中所有正确结论的序号是__________.四、解答题：本题共6小题，共72分。
北京四中2012-2013学年下学期高一年级期末检测数学试卷 后有答案
北京四中2012-2013学年下学期高一年级期末检测数学试卷试卷分为两卷，卷（Ⅰ）50分，卷（Ⅱ）100分，共计150分考试时间：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列关于算法的说法中错误．．的是 A. 求解某一类问题的算法是唯一的 B. 算法必须在有限步操作之后停止C. 算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊D. 算法执行后一定产生确定的结果2. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车种抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为A. 16，16，16B. 8，30，10C. 4，33，11D. 12，27，93. 给出下列四个命题：（1）“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；（2）“当x 为某一实数时，可使x 2<0”是不可能事件：（3）“明天北京要下雨”是必然事件；（4）“从100个灯泡中取出5个，5个都是正品”是随机事件。
其中正确命题的个数是 A. 0B. 1C. 2D. 34. 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，则出现奇数点或2点的概率为 A.21B.65 C.32 D.121 5. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为A. 4B. 6C. 8D. 106. 阅读下面的程序框图，若输出值为20，则判断框内容可以是A. 4≤kB. 5≤kC. 4>kD. 5≥k7. 如图，矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机地撤300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为A.523 B.521 C.519 D.516 8. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是A. 94 B.31 C.92 D.91二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）9. 数据5，7，7，8，10，11的平均值是________；标准差是______。
【历年高一数学期末试题】北京市西城区(北区)2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案
北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷（北区）高一数学 2013.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 在0到2π范围内，与角3π-终边相同的角是（ ）A. 3π B.23π C.43π D.53π 2.α是一个任意角，则α的终边与3α+π的终边（ ）A. 关于坐标原点对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于直线y x =对称3. 已知向量(1,2)=-a ，(1,0)=b ，那么向量3-b a 的坐标是（ ）A. (4,2)-B. (4,2)--C. (4,2)D. (4,2)-4. 若向量(13)=，a 与向量(1,)λ=-b 共线，则λ的值为（ ） A. 3-B. 3C. 13-D.135. 函数()f x 的图象是中心对称图形，如果它的一个对称中心是π(0)2，，那么()f x 的解 析式可以是（ ） A. sin xB. cos xC. sin 1x +D. cos 1x +6. 已知向量(1,=a ，(=-b ，则a 与b 的夹角是（ ）A. 6πB.4π C.3π D.2π7. 为了得到函数cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos 2y x =的图象（ ）A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度8. 函数212cos y x =- 的最小正周期是（ ）A.4π B.2π C. π D. 2π9. 设角θ的终边经过点(3,4)-，则πcos()4θ+的值等于（ ）A.10B. 10-C.10D. 10-10. 在矩形ABCD中，AB =1BC =，E 是CD 上一点，且1AE AB ⋅=，则AE AC ⋅的值为（ ） A ．3B ．2CD二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11. sin34π=______. 12. 若1cos , (0,)2αα=-∈π，则α=______.13. 已知向量(1,3)=-a ，(3,)x =-b ，且⊥a b ，则x =_____. 14.已知sin cos αα-=，则sin 2α=______.15. 函数2cos y x =在区间[,]33π2π-上的最大值为______,最小值为______. 16. 已知函数()sin f x x x =，对于ππ[]22-，上的任意12x x ，，有如下条件：①2212x x >；②12x x >；③12x x >，且1202x x +>．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是_______．（写出所有满足条件的序号）三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知2απ<<π，4cos 5α=-. （Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求sin 2cos 2αα+的值.18.（本小题满分12分）已知函数2()sin 12xf x x =+-. （Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）作出()f x 在一个周期内的图象.19.（本小题满分12分）如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P '是点P 关于AB 的对称点，2(0)AB a a =>.（Ⅰ）当点P 是弧AB 上靠近B 的三等分点时，求AP AB ⋅的值；（Ⅱ）求AP OP '⋅的最大值和最小值.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1. 已知集合{11}P x x =-<<，{}M a =. 若M P ⊆，则a 的取值范围是________. 2. lg2lg5+-=________. 3. 满足不等式122x>的x 的取值范围是_______. 4. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 在(0,)+∞上是减函数，且2是函数()f x 的一个零点，则满足()0x f x >的x 的取值范围是________. 5. 已知集合{1,2,,}U n =，n *∈N ．设集合A 同时满足下列三个条件：①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉； ③若U x C A ∈，则2U x C A ∉．（1）当4n =时，一个满足条件的集合A 是________；（写出一个即可） （2）当7n =时，满足条件的集合A 的个数为________.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6. （本小题满分10分）已知函数21()1f x x=-. （Ⅰ）证明函数()f x 为偶函数；（Ⅱ）用函数的单调性定义证明()f x 在(0,)+∞上为增函数.7. （本小题满分10分）设函数(2)(4)2()(2)()2x x x f x x x a x -+≤⎧=⎨-->⎩. （Ⅰ）求函数()f x 在区间[2,2]-上的最大值和最小值；（Ⅱ）设函数()f x 在区间[4,6]-上的最大值为()g a ，试求()g a 的表达式.8. （本小题满分10分）已知函数()log a g x x =，其中1a >.（Ⅰ）当[0,1]x ∈时，(2)1xg a +>恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）设()m x 是定义在[,]s t 上的函数，在(,)s t 内任取1n -个数1221,,,,n n x x x x --，设12x x <<21n n x x --<<，令0,ns x t x ==，如果存在一个常数0M >，使得11()()nii i m xm x M -=-≤∑恒成立，则称函数()m x 在区间[,]s t 上的具有性质P .试判断函数()()f x g x =在区间21[,]a a上是否具有性质P ？若具有性质P ，请求出M 的最小值；若不具有性质P ，请说明理由.（注：1102111()()()()()()()()nii n n i m x m xm x m x m x m x m x m x --=-=-+-++-∑）北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷（北区）高一数学参考答案及评分标准 2013.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D;2.A;3.D;4.A;5.B;6.C;7.B;8.C;9.C; 10.B. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. -12.32π; 13. 1-; 14. 1-; 15. 2,1-; 16. ①③.注：一题两空的试题每空2分；16题，选出一个正确的序号得2分，错选得0分. 三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.解：（Ⅰ）因为4cos 5α=-,2απ<<π,所以3sin 5α=, …………………3分 所以sin 3tan cos 4ααα==-. …………………5分 （Ⅱ）24sin 22sin cos 25ααα==-， …………………8分27cos 22cos 125αα=-=， …………………11分所以24717sin 2cos 2252525αα+=-+=-. …………………12分18.解：（Ⅰ）由已知2()sin 1363f πππ=+ …………………2分11==. …………………4分（Ⅱ）()cos )sin 1f x x x =-+ …………………6分sin 1x x =+2sin()13x π=-+. …………………7分函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()22k k k πππ-π+∈Z ， …………………8分 由 22232k x k ππππ-≤-≤π+，得2266k x k π5ππ-≤≤π+.所以()f x 的单调递增区间为[2,2]()66k k k π5ππ-π+∈Z . …………………9分（Ⅲ）()f x 在[,]33π7π上的图象如图所示. …………………12分19.解：（Ⅰ）以直径AB 所在直线为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系.因为P 是弧AB 靠近点B 的三等分点， 连接OP ，则3BOP π∠=， …………………1分 点P 坐标为1()2a . …………………2分又点A 坐标是(,0)a -，点B 坐标是(,0)a ，所以3()2AP a =，(2,0)AB a =， …………………3分所以23AP AB a ⋅=. …………………4分 （Ⅱ）设POB θ∠=，[0,2)θπ∈，则(cos ,sin )P a a θθ，(cos ,sin )P a a θθ'-所以(cos ,sin )AP a a a θθ=+，(cos ,sin )OP a a θθ'=-. …………所以22222cos cos sin AP OP a a a θθθ'⋅=+-22(2cos cos 1)a θθ=+- (222119)2(cos cos )2168a a θθ=++-222192(cos )48a a θ=+-. …………当1cos 4θ=-时，AP OP '⋅有最小值298a -当cos 1θ=时，AP OP '⋅有最大值22a . …………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. {11}a a -<<;2.12; 3. {1}x x >-; 4. (2,0)(0,2)-; 5. {2}，或{1,4}，或{2,3}，或{1,3,4}；16. 注：一题两空的试题每空2分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分.6. 证明：（Ⅰ）由已知，函数()f x 的定义域为{0}D x x =∈≠R . …………………1分设x D ∈，则x D -∈，2211()11()()f x f x x x-=-=-=-. …………………3分 所以函数()f x 为偶函数. …………………4分 （Ⅱ）设12x x ，是(0,)+∞上的两个任意实数，且12x x <，则210x x x ∆=->，21222111()()1(1)y f x f x x x ∆=-=--- …………………6分 22212121222222121212()()11=x x x x x x x x x x x x --+=-=. …………………8分 因为120x x <<， 所以210x x +>，210x x ->，所以0y ∆>， …………………9分 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数. …………………10分 7.解：（Ⅰ）在区间[2,2]-上，()(2)(4)f x x x =-+.所以()f x 在区间[2,1]--上单调递增，在区间[1,2]-上单调递减， ……………1分 所以()f x 在区间[2,2]-上的最大值为(1)9f -=， …………………3分 最小值为(2)0f =. …………………4分 （Ⅱ）当2a ≤时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,6]-上单调递减，所以()f x 的最大值为9. …………………5分 当28a <≤时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,2]-上单调递减，在2[2,]2a +单调递增，在2[,6]2a +上单调递减， 此时(1)9f -=，222()()922a a f +-=≤，所以()f x 的最大值为9. ……………7分当810a <≤时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,2]-上单调递减，在2[2,]2a +单调递增，在2[,6]2a +上单调递减. 此时222()()(1)22a a f f +-=>-，所以()f x 的最大值为2(2)4a -.………………8分 当10a >时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,2]-上单调递减，在[2,6]单调递增， 此时(6)4(6)(1)f a f =->-，所以()f x 的最大值为4(6)a -. …………………9分综上，298,(2)()810,44(6)10.a a g a a a a ≤⎧⎪-⎪=<≤⎨⎪->⎪⎩ …………………10分 8.解：（Ⅰ）当[0,1]x ∈时，(2)1x g a +>恒成立，即[0,1]x ∈时，log (2)1x a a +>恒成立， …………………1分 因为1a >，所以2xa a +>恒成立， …………………2分 即2xa a -<在区间[0,1]上恒成立，所以21a -<，即3a <， …………………4分 所以13a <<. 即a 的取值范围是(1,3). …………………5分 （Ⅱ）由已知()f x =log a x，可知()f x 在2[1,]a 上单调递增，在1[,1]a上单调递减，对于21(,)a a内的任意一个取数方法201211n n x x x x x a a-=<<<<<=， 当存在某一个整数{1,2,3,,1}k n ∈-，使得1k x =时，1011211()()[()()][()()][()()]ni i k k i f x f x f x f x f x f x f x f x --=-=-+-++-∑1211[()()][()()][()()]k k k k n n f x f x f x f x f x f x +++-+-+-++-21()(1)()(1)123f f f a f a=-+-=+=. …………………7分当对于任意的{0,1,2,3,,1}k n ∈-，1k x ≠时，则存在一个实数k 使得11k k x x +<<，此时1011211()()[()()][()()][()()]ni i k k i f x f x f x f x f x f x f x f x --=-=-+-++-∑1211()()[()()][()()]k k k k n n f x f x f x f x f x f x +++-+-+-++-011()()()()()()k k k n k f x f x f x f x f x f x ++=-+-+-……（*） 当1()()k k f x f x +>时，（*）式01()()2()3n k f x f x f x +=+-<， 当1()()k k f x f x +<时，（*）式0()()2()3n k f x f x f x =+-<，当1()()k k f x f x +=时，（*）式01()()()()3n k k f x f x f x f x +=+--<.……………9分 综上，对于21(,)a a内的任意一个取数方法201211n n x x x x x a a-=<<<<<=，均有11()()3ni i i f x f x -=-≤∑.所以存在常数3M ≥，使11()()nii i f x f xM -=-≤∑恒成立，所以函数()f x 在区间21[,]a a上具有性质P .此时M 的最小值为3. …………………10分。
北京市西城区(北区)2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题 理 北师大版
北京市西城区（北区）2012－2013学年下学期高二期末考试数学试卷（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 是虚数单位，若复数z 满足()i i z -=-72，则z 等于A. i 31+B. i 31-C. i -3D. i +32. 甲骑自行车从A 地到B 地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是31，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第3个路口才首次遇到红灯的概率是A.31 B. 94 C. 274 D.271 3. 函数()1-=x x f 的图象在点（2，()2f ）处的切线方程是 A. 04=-y x B. 024=--y xC. 012=--y xD. 044=-+y x4. 从0，1，2，3，4中随机选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数有A. 9个B. 10个C. 11个D. 12个5. 设函数()223+++=cx bx ax x f 的导函数为()x f '，若()x f '为奇函数，则有 A. 0≠a ，0=c B. 0=bC. 0,0≠=c aD. 022=+c a6. 已知一个二次函数的图象如图所示，那么它与x 轴所围成的封闭图形的面积等于A.45 B.2π C.34 D.23 7. 将4名男生和4名女生随机地排成一行，那么有且只有2名男生相邻的概率是A.73 B.143 C.281 D.561 8. 已知函数()xe x a xf ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1，若同时满足条件：①()∞+∈∃,00x ，0x 为()x f 的一个极大值点； ②∀∈x ()∞+,8，()0>x f 。
则实数a 的取值范围是A. ]8,4(B. ),8[∞+C. ()),8[0,∞+⋃∞-D. ()]8,4(0,⋃∞-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2012-2013学年北京市某校高一(下)期末数学试卷(附答案解析)
2012-2013学年北京市某校高一（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 直线l 经过原点和点(−√3, 1)，则它的斜率为（ ） A.−√3 B.−√33C.√33D.√32. 不等式2x 2−x −1>0的解集是（ ） A.(−12, 1)B.(1, +∞)C.(−∞, 1)∪(2, +∞)D.(−∞, −12)∪(1, +∞)3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，AD →=2DB →，CD →=13CA →+λCB →，则实数λ=( ) A.−23 B.−13C.13D.234. 若已知A(1, 1, 1)，B(−3, −3, −3)，则线段AB 的长为（ ） A.4√3 B.2√3 C.4√2 D.3√25.sin 47∘−sin 17∘cos 30∘cos 17∘=( )A.−√32B.−12 C.12 D.√326. 直线l:y =kx −3k 与圆C:x 2+y 2−4x =0的位置关系是（ ） A.l 与C 相交 B.l 与C 相切C.l 与C 相离D.以上三个选项均有可能7. 已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3⋅a 9＝2a 52，a 2＝1，则a 1＝（ ）A.12 B.√22C.√2D.28. 设sin (π4+θ)=13，则sin 2θ＝（ ）A.−79B.−19C.19D.799. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2=16，|AB →+AC →|=|AB →−AC →|，则|AM →|=( ) A.8 B.4C.2D.110. 设a ，b 为正实数，下列结论正确的是（ ） ①若a 2−b 2=1，则a −b <1； ②若1b −1a =1，则a −b <1； ③若|√a −√b|=1，则|a −b|<1； ④若|a 3−b 3|=1，则|a −b|<1．A.①②B.②④C.①③D.①④二、填空题共6小题，每小题3分，共18分．过点(−3, −1)，且与直线x −2y =0平行的直线方程为________．若x >0，则函数y =x 2+1x的最小值是________．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1=12，a 1+a 2+a 3=3，则S n =________．过点(−1, 6)与圆x 2+y 2+6x −4y +9=0相切的直线方程是________．等比数列{a n }中，a 1+a 3=5，a 2+a 4=4，则a 4+a 6=________．已知△ABC 的一个内角为120∘，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________． 三、解答题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．已知向量a →=(1, 2)，b →=(−2, m)，m ∈R ．（1）若a → // b →，求m 的值；（2）若a →⊥b →，求m 的值．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．公司如何合理安排生产计划，可使每天生产的甲、乙两种产品，共获得最大利润？在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足sin A cos C=ac．（1）求角C 的大小；（2）求√3sin A −cos (B +π4)的最大值，并求取得最大值时角A 的大小．已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M(−2, 0)的直线l 与圆x 2+y 2=1交于P 、Q 两点，且OP →⋅OQ →=−12． （1）求∠PDQ 的大小；（2）求直线l 的方程．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =−n 2+20n ，n ∈N ∗． （1）求通项a n ；（2）设{b n −a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n ．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y =x 2−6x +1与坐标轴的交点都在圆C 上． （1）求圆C 的方程；（2）试判断是否存在斜率为1的直线，使其与圆C 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2012-2013学年北京市某校高一（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.【答案】 B【考点】斜率的计算公式 【解析】把原点坐标(0, 0)和点A 的坐标(−√3, 1)一起代入两点表示的斜率公式，即可得到结果． 【解答】解：根据两点表示的斜率公式得：k =−√3−0=−√33故选：B ． 2.【答案】 D【考点】一元二次不等式的应用 【解析】将不等式的左边分解因式得到相应的方程的根；利用二次方程解集的形式写出解集． 【解答】原不等式同解于 (2x +1)(x −1)>0 ∴ x >1或x <−123.【答案】 D【考点】平面向量的基本定理及其意义 【解析】利用向量的三角形法则和向量共线定理即可得出． 【解答】解：如图所示，∵ AD →=2DB →，∴ CD →=CA →+AD →=CA →+23AB →=CA →+23(CB →−CA →)=13CA →+23CB →， 又CD →=13CA →+λCB →， ∴ λ=23．故选D ．4.【答案】 A【考点】空间两点间的距离公式 【解析】利用两点之间的距离求得AB 的长． 【解答】解：|AB|=√(1+3)2+(1+3)2+(1+3)2=4√3 故选A 5.【答案】 C【考点】两角和与差的三角函数 【解析】将原式分子第一项中的度数47∘=17∘+30∘，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值． 【解答】sin 47∘−sin 17∘cos 30∘cos 17∘=sin (17∘+30∘)−sin 17∘cos 30∘cos 17∘=sin 17∘cos 30∘+cos 17∘sin 30∘−sin 17∘cos 30∘cos 17∘=sin 30∘=12．6. 【答案】 A【考点】直线与圆的位置关系 【解析】把圆C 的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据直线过定点A ，而定点A 在圆的内部，从而可得直线和圆相交． 【解答】解：圆C:x 2+y 2−4x =0即(x −2)2+y 2=4，表示以C(2, 0)为圆心，半径等于2的圆．再由圆心到直线l:y =kx −3k =k(x −3)，经过定点A(3, 0)，而点A 显然在圆C 的内部， 故直线l:y =kx −3k 与圆C:x 2+y 2−4x =0的位置关系是相交， 故选A ． 7.【答案】 B【考点】等比数列的通项公式 【解析】设等比数列的公比为q ，根据等比数列的通项公式把a 3⋅a 9＝2a 52化简得到关于q 的方程，由此数列的公比为正数求出q 的值，然后根据等比数列的性质，由等比q 的值和a 2＝1即可求出a 1的值． 【解答】设公比为q ，由已知得a 1q 2⋅a 1q 8＝2(a 1q 4)2， 即q 2＝2，又因为等比数列{a n }的公比为正数， 所以q =√2，故a 1=a 2q=2=√22． 8.【答案】 A【考点】二倍角的三角函数 【解析】根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可sin 2θ的值． 【解答】由sin (π4+θ)＝sin π4cos θ+cos π4sin θ=√22(sin θ+cos θ)=13，两边平方得：1+2sin θcos θ=29，即2sin θcos θ=−79， 则sin 2θ＝2sin θcos θ=−79． 9. 【答案】 C【考点】 向量的模向量的三角形法则 【解析】先求出|BC →|＝4，又因为|AB →+AC →|=|AB →−AC →|=|BC →|＝2|AM →|=4，可得答案． 【解答】解：由|BC →|2=16，得|BC →|=4.∵ |AB →+AC →|=|AB →−AC →|=|BC →|=4， 而|AB →+AC →|=2|AM →|， ∴ |AM →|=2. 故选C .10.【答案】 D【考点】不等式的概念与应用 【解析】①将a 2−b 2=1，分解变形为(a +1)(a −1)=b 2，即可证明a −1<b ，即a −b <1；②③可通过举反例的方法证明其错误性；④若a >b ，去掉绝对值，将a 3−b 3=1分解变形为(a −1)(a 2+1+a)=b 3，即可证明a −b <1，同理当a <b 时也可证明b −a <1，从而命题④正确． 【解答】解：①若a 2−b 2=1，则a 2−1=b 2，即(a +1)(a −1)=b 2，∵ a +1>a −1，∴ a −1<b ，即a −b <1，①正确； ②若若1b −1a =1，可取a =7，b =78，则a −b >1，∴ ②错误；③若若|√a −√b|=1，则可取a =9，b =4，而|a −b|=5>1，∴ ③错误； ④由|a 3−b 3|=1，若a >b ，则a 3−b 3=1，即a 3−1=b 3，即(a −1)(a 2+1+a)=b 3， ∵ a 2+1+a >b 2，∴ a −1<b ，即a −b <1若a <b ，则b 3−a 3=1，即b 3−1=a 3，即(b −1)(b 2+1+b)=a 3， ∵ b 2+1+b >a 2，∴ b −1<a ，即b −a <1 ∴ |a −b|<1∴ ④正确； 所以正确的答案为①④． 故选D ．二、填空题共6小题，每小题3分，共18分．【答案】x −2y +1=0 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系 【解析】利用直线平行，求出直线的斜率，利用点斜式求出直线l 的方程． 【解答】解：直线l 经过点(−3, −1)，且与直线x −2y =0平行，直线的斜率为12 所以直线l 的方程为：y +1=12(x +3)即x −2y +1=0． 故答案为：x −2y +1=0． 【答案】 2【考点】基本不等式【解析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x>0，∴函数y=x 2+1x=x+1x≥2√x⋅1x=2，当且仅当x=1时取等号．∴函数y=x2+1x的最小值是2．故答案为2．【答案】1 4n2+14n【考点】等差数列的前n项和【解析】设等差数列的公差为d，由题意可得3×12+3×22d=3，解得d的值，再由S n=na1+n(n−1)2d，运算求得结果．【解答】解：设等差数列的公差为d，由题意可得3×12+3×22d=3，解得d=12，故S n=na1+n(n−1)2d=n2+n(n−1)2×12=14n2+14n，故答案为14n2+14n．【答案】3x−4y+27=0或x=−1【考点】圆的切线方程【解析】分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，即可得到结论．【解答】解：圆方程可化为(x+3)2+(y−2)2=4当直线的斜率存在时，设方程为y−6=k(x+1)，即kx−y+k+6=0圆心到直线的距离为d=√k2+1=2，∴k=34当直线的斜率不存在时，方程为x=−1也满足题意综上，所求方程为3x−4y+27=0或x=−1故答案为：3x−4y+27=0或x=−1【答案】6425【考点】等比数列的性质【解析】由已知式子可得公比的值，而a4+a6=(a2+a4)⋅q2，计算即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则a2+a4=(a1+a3)⋅q=4，解得q=45，故a4+a6=(a2+a4)⋅q2=4×(45)2=6425故答案为：6425【答案】15√3【考点】等差中项解三角形余弦定理【解析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x−4，根据余弦定理表示出cos120∘的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：设三角形的三边分别为x−4，x，x+4，则cos120∘=x2+(x−4)2−(x+4)22x(x−4)=−12，化简得：x−16=4−x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14，则△ABC的面积S=12×6×10×sin120∘=15√3．故答案为：15√3.三、解答题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．【答案】解（1）因为a→ // b→，所以1⋅m−2(−2)=0，m=−4．（2）因为a→⊥b→，所以a→⋅b→=0，所以1⋅(−2)+2m=0，m=1．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】（1）利用向量共线的坐标表示即可得出；（2）利用a→⊥b→⇔a→⋅b→=0，即可得出．【解答】解（1）因为a → // b →，所以1⋅m −2(−2)=0，m =−4． （2）因为a →⊥b →，所以a →⋅b →=0， 所以1⋅(−2)+2m =0，m =1．【答案】解：设生产x 桶甲产品，y 桶乙产品，总利润为Z ，则约束条件为{x +2y ≤122x +y ≤12x >0y >0，目标函数为Z =300x +400y ，可行域如图当目标函数直线经过点M 时z 有最大值，联立方程组{x +2y =122x +y =12得M(4, 4)，代入目标函数得z =2800．故公司每天生产的甲、乙两种产品各4桶，可获得最大利润2800元．【考点】求线性目标函数的最值 【解析】根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可． 【解答】解：设生产x 桶甲产品，y 桶乙产品，总利润为Z ，则约束条件为{x +2y ≤122x +y ≤12x >0y >0，目标函数为Z =300x +400y ，可行域如图当目标函数直线经过点M 时z 有最大值，联立方程组{x +2y =122x +y =12得M(4, 4)，代入目标函数得z =2800．故公司每天生产的甲、乙两种产品各4桶，可获得最大利润2800元．【答案】解：（1）由正弦定理得sin A cos C=sin A sin C．因为0<A <π，0<C <π． 所以sin A >0．从而sin C =cos C ． 又cos C ≠0，所以tan C =1，则C =π4．…（2）由（1）知B =3π4−A ．于是√3sin a −cos (B +π4)=√3sin a −cos (π−A)=√3sin A +cos A =2sin (A +π6)． 因为0<A <3π4，所以π6<A +π6<11π12，所以当A +π6=π2，即A =π3时，2sin (A +π6)取最大值2．综上所述，√3sin A −cos (B +π4)的最大值为2，此时A =π3．… 【考点】 正弦定理三角函数中的恒等变换应用【解析】（1）利用正弦定理，结合条件，可得tan C =1，从而可求角C 的大小； （2）将√3sin A −cos (B +π4)化简，结合角的范围，即可求最大值． 【解答】解：（1）由正弦定理得sin A cos C=sin A sin C．因为0<A <π，0<C <π． 所以sin A >0．从而sin C =cos C ． 又cos C ≠0，所以tan C =1，则C =π4．… （2）由（1）知B =3π4−A ．于是√3sin a −cos (B +π4)=√3sin a −cos (π−A)=√3sin A +cos A =2sin (A +π6)． 因为0<A <3π4，所以π6<A +π6<11π12，所以当A +π6=π2，即A =π3时，2sin (A +π6)取最大值2． 综上所述，√3sin A −cos (B +π4)的最大值为2，此时A =π3．…【答案】解：（1）因为P 、Q 两点在圆x 2+y 2=1上，所以|OP →|=|OQ →|=1， 因为OP →⋅OQ →=−12，所以OP →⋅OQ →=|OP →||OQ →|⋅cos ∠POQ =−12． 所以∠POQ =120∘．（2）依题意，直线l 的斜率存在，因为直线l 过点M(−2, 0)，可设直线l:y =k(x +2)． 由（1）可知O 到直线l 的距离等于12． 所以2=12，解得k =±√1515，所以直线l 的方程为x −√15y +2=0或x +√15y +2=0． 【考点】平面向量数量积的运算 直线与圆相交的性质 【解析】（1）由点P 、Q 在圆上可知|OP →|=|OQ →|=1，由OP →⋅OQ →=−12利用向量数量积运算可得cos ∠POQ ，由此可得答案；（2）易知直线存在斜率，设直线l:y =k(x +2)．由（1）知点O 到直线l 的距离为12，根据点到直线的距离公式可得关于k 的方程，解出k 代入直线方程即可； 【解答】解：（1）因为P 、Q 两点在圆x 2+y 2=1上，所以|OP →|=|OQ →|=1， 因为OP →⋅OQ →=−12，所以OP →⋅OQ →=|OP →||OQ →|⋅cos ∠POQ =−12．所以∠POQ =120∘．（2）依题意，直线l 的斜率存在，因为直线l 过点M(−2, 0)，可设直线l:y =k(x +2)． 由（1）可知O 到直线l 的距离等于12． 所以√k 2+1=12，解得k =±√1515， 所以直线l 的方程为x −√15y +2=0或x +√15y +2=0．【答案】解：（1）当n =1时，a 1=S 1=19；当n ≥2时，a n =S n −S n−1=−n 2+20n −[−(n −1)2+20(n −1)]=−2n +21，当n =1时也成立． 综上可知：a n =−2n +21，n ∈N ∗．（2）∵ {b n −a n }是首项为1，公比为3的等比数列， ∴ b n −a n =3n−1，∴ b n =3n−1−2n +21(n ∈N ∗)． ∴ T n =S n +1+3+32+⋯+3n−1 =−n 2+20n +1×(3n −1)3−1=−n 2+20n +12(3n −1)． 【考点】 数列的求和 等比关系的确定【解析】（1）当n =1时，a 1=S 1=19；当n ≥2时，a n =S n −S n−1即可得出； （2）利用等比数列的定义及其前n 项和公式即可得出．【解答】 解：（1）当n =1时，a 1=S 1=19；当n ≥2时，a n =S n −S n−1=−n 2+20n −[−(n −1)2+20(n −1)]=−2n +21，当n =1时也成立． 综上可知：a n =−2n +21，n ∈N ∗．（2）∵ {b n −a n }是首项为1，公比为3的等比数列， ∴ b n −a n =3n−1，∴ b n =3n−1−2n +21(n ∈N ∗)． ∴ T n =S n +1+3+32+⋯+3n−1=−n 2+20n +1×(3n −1)3−1=−n 2+20n +12(3n −1)．【答案】 解：（1）设圆C 方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0．在曲线y =x 2−6x +1中令x =0，得y =1，则点(0, 1)在圆C 上，可得1+E +F =0(∗) 再令y =0，可得方程x 2−6x +1=0与x 2+Dx +F =0是同一方程，得D =−6，F =1， 代入(∗)解出E =−2，∴ 圆C 方程为x 2+y 2−6x −2y +1=0，即(x −3)2+(y −1)2=9 （2）设斜率为1的直线方程为x −y +a =0 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，其坐标满足方程组由{x −y +a =0(x −3)2+(x −1)2=9消去y ，得方程2x 2+(2a −8)x +a 2−2a +1=0， ∴ △=56−16a −4a 2>0．利用根与系数的关系，得到x 1+x 2=4−a ，x 1x 2=12(a 2−2a +1)①， 若OA ⊥OB ，则可得x 1x 2+y 1y 2=0，结合y 1=x 1+a ，y 2=x 2+a ，代入可得2x 1x 2+a(x 1+x 2)+a 2=0② 由①②联解可得a =−1，此时△=56−16a −4a 268>0．∴a=−1，得存在斜率为1的直线x−y−1=0，使其与圆C交于A、B两点满足OA⊥OB．【考点】圆的标准方程直线与圆的位置关系【解析】（1）设出圆的一般式方程，利用曲线y=x2−6x+1与方程的对应关系，根据同一性求出参数，即可得到圆C的方程；（2）设斜率为1的直线方程为x−y+a=0，圆C与直线x−y+a=0的交点于A(x1, y1)、B(x2, y2)．将直线与圆C方程消去y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理结合OA⊥OB建立关于x1、x2、a的方程组，解出a=−1即可得到存在斜率为1的直线满足题中的条件．【解答】解：（1）设圆C方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．在曲线y=x2−6x+1中令x=0，得y=1，则点(0, 1)在圆C上，可得1+E+F=0(∗)再令y=0，可得方程x2−6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，得D=−6，F=1，代入(∗)解出E=−2，∴圆C方程为x2+y2−6x−2y+1=0，即(x−3)2+(y−1)2=9（2）设斜率为1的直线方程为x−y+a=0设A(x1, y1)，B(x2, y2)，其坐标满足方程组由{x−y+a=0(x−3)2+(x−1)2=9消去y，得方程2x2+(2a−8)x+a2−2a+1=0，∴△=56−16a−4a2>0．利用根与系数的关系，得到x1+x2=4−a，x1x2=12(a2−2a+1)①，若OA⊥OB，则可得x1x2+y1y2=0，结合y1=x1+a，y2=x2+a，代入可得2x1x2+a(x1+x2)+a2=0②由①②联解可得a=−1，此时△=56−16a−4a268>0．∴a=−1，得存在斜率为1的直线x−y−1=0，使其与圆C交于A、B两点满足OA⊥OB．。