10-11-3工科数学分析习题课_6)

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数学分析十讲习题册、课后习题答案

数学分析十讲习题册、课后习题答案习题1-11．计算下列极限（1）lim xax aa xx a→--, 0;a > 解：原式lim[]x a a ax a a a x a x a x a→--=---=()|()|xa x ax aa x ==''-=1ln aa a a a a --⋅=(ln 1)aa a - （2）sin sin lim sin()x ax ax a →--；解：原式sin sin lim x ax a x a→-=-(sin )'cos x ax a===（3）2lim 2), 0;n n a →∞->解：原式2n =20[()']x x a ==2ln a = （4）1lim [(1)1]p n n n→∞+-，0;p >解：原式111(1)1lim ()|p p p x n n nx =→∞+-'===11p x px p -==（5）10100(1tan )(1sin )lim ;sin x x x x→+--解：原式101000(1tan )1(1sin )1lim lim tan sin x x x x x x→→+---=--=99010(1)|10(1)|20t t t t ==+++=（6）1x →，,m n 为正整数；解：原式11n x x →=-1111()'()'mx nx x x ===n m=2．设()f x 在x 处二阶可导，计算0002()2()()limh f x h f x f x h h →+-+-.解：原式000()()lim 2h f x h f x h h →''+--=00000()()()()lim 2h f x h f x f x f x h h→''''+-+--=000000()()()()limlim 22h h f x h f x f x h f x h h →→''''+---=+-00011()()()22f x f x f x ''''''=+=3．设0a >，()0f a >，()f a '存在，计算1ln ln ()lim[]()x a x a f x f a -→.解：1ln ln ()lim[]()x a x a f x f a -→ln ()ln ()ln ln lim f x f a x ax a e --→= ln ()ln ()limln ln x a f x f a x a e→--=ln ()ln ()lim ln ln x a f x f a x ax ax ae→----='()()f a a f a e=习题1-21.求下列极限（1）lim x →+∞;解：原式lim [(1)(1)]02x x x ξ→+∞=+--= ，其中ξ在1x -与1x +之间（2）4cos(sin )cos lim sin x x xx→-; 解：原式=4sin (sin )lim x x x x ξ→--=3sin sin lim()()()x x xx xξξξ→--⋅=16，其中ξ在x 与sin x 之间（3） lim x →+∞解：原式116611lim [(1)(1)]x x x x →+∞=+--56111lim (1)[(1)(1)]6x x x x ξ-→+∞=⋅+⋅+--5611lim (1)33x ξ-→+∞=+= ，其中ξ在11x -与11x +之间（4）211lim (arctan arctan );1n n n n →+∞-+解：原式22111lim ()11n nn n ξ→+∞=-++1=，其中其中ξ在11n +与1n之间2．设()f x 在a 处可导，()0f a >，计算11()lim ()nn n n f a f a →∞⎡⎤+⎢⎥-⎣⎦. 解：原式1111(ln ()ln ())lim (ln ()ln ())lim n n f a f a n f a f a n nn nn e e→∞+--+--→∞==11ln ()ln ()ln ()ln ()[lim lim ]11n n f a f a f a f a n n n ne→∞→∞+---+-=()()2()()()()f a f a f a f a f a f a ee'''+==习题1-31．求下列极限（1）0(1)1lim(1)1x x x λμ→+-+-,0;μ≠解：原式0lim x x x λλμμ→== （2）0x →解：02ln cos cos 2cos lim12x x x nxI x →-⋅⋅⋅=20ln cos ln cos 2ln cos 2limx x x nx x →++⋅⋅⋅+=-20cos 1cos 21cos 12limx x x nx x →-+-+⋅⋅⋅+-=-22220(2)()lim x x x nx x →++⋅⋅⋅+=21ni i ==∑（3）011lim )1xx x e →--（;解：原式01lim(1)x x x e xx e →--=-201lim x x e x x →--=01lim 2x x e x →-=01lim 22x x x →==（4）112lim [(1)]xxx x x x →+∞+-;解：原式11ln(1)ln 2lim ()x x xxx x ee+→+∞=-21lim (ln(1)ln )x x x x x →+∞=+-1lim ln(1)x x x→+∞=+1lim 1x xx→+∞==2. 求下列极限（1）2221cos ln cos lim sin x x x x x e e x -→----;解：原式222201122lim 12x x xx x→+==-（2）0ln()2sin limsin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e xx x x→++--; 解：原式0ln(11)2sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e x x x x →++-+=--012sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e xx x x→+-+=--02lim442x x x xx x x→++==--习题1-41．求下列极限（1）21lim (1sin )n n n n→∞-；解：原式2331111lim [1(())]3!n n n o n n n →∞=--+11lim((1))3!6n o →∞=+= （2）求33601lim sin x x e x x→--；解：原式3636336600()112lim lim 2x x x xx o x x e x x x →→++---===（3）21lim[ln(1)]x x xx→∞-+；解：原式222111lim[(())]2x x x o x xx →∞=--+12=（4）21lim (1)x xx e x-→+∞+；解：原式211[ln(1)]2lim x x xx ee+--→∞==此题已换3．设()f x 在0x =处可导，(0)0f ≠，(0)0f '≠.若()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值. 解：因为 ()(0)(0)()f h f f h o h '=++，(2)(0)2(0)()f h f f h o h '=++所以00()(2)2(0)(1)(0)(2)(0)()0limlimh h af h bf h f a b f a b f o h h h→→'+-+-+++==从而10a b +-=20a b += 解得：2,1a b ==-3．设()f x 在0x 处二阶可导，用泰勒公式求0002()2()()limh f x h f x f x h h→+-+- 解：原式222200001000220''()''()()'()()2()()'()()2!2!limh f x f x f x f x h h o h f x f x f x h h o h h→+++-+-++=22201220''()()()lim h f x h o h o h h →++=0''()f x =4. 设()f x 在0x =处可导，且2sin ()lim() 2.x x f x x x →+=求(0),(0)f f '和01()lim x f x x →+.解因为220sin ()sin ()2lim()limx x x f x x xf x x x x →→+=+=[]22()(0)(0)()limx x o x x f f x o x x →'++++=2220(1(0))(0)()lim x f x f x o x x →'+++=所以 1(0)0,(0)2f f '+==,即(0)1,(0)2f f '=-= 所以01()limx f x x →+01(0)(0)()lim x f f x o x x →'+++=02()lim 2x x o x x→+==习题1-51. 计算下列极限 (1)n n++; ;解：原式n =2n ==(2)2212lim (1)n n n a a na a na +→∞+++⋅⋅⋅+>解：原式21lim (1)nn n n na na n a ++→∞=--2lim (1)n n na n a →∞=--21a a=-2．设lim n n a a →∞=，求 (1) 1222lim nn a a na n →∞+++；解：原式22lim (1)n n na n n →∞=--lim 212n n na a n →∞==-(2) 12lim 111n nna a a →∞+++，0,1,2,,.i a i n ≠=解：由于1211111lim lim n n n na a a n a a →∞→∞+++==，所以12lim 111n nnaa a a →∞=+++3．设2lim()0n n n x x -→∞-=，求lim nn x n →∞和1lim nn n xx n-→∞-. 解：因为2lim()0nn n xx -→∞-=，所以222lim()0nn n xx -→∞-=且2121lim()0n n n xx +-→∞-=从而有stolz 定理2222lim lim 022nnn n n x x x n -→∞→∞-==，且212121lim lim 0212n n n n n x xx n ++-→∞→∞-==+所以lim 0nn x n→∞=，111lim lim lim 01n n n n n n n x x x x n n n n n --→∞→∞→∞--=-=-4．设110x q <<，其中01q <≤，并且1(1)n n n x x qx +=-，证明：1lim nn nxq→∞=.证明：因110x q<<，所以 211211(1)111(1)()24qx qx x x qx q q q+-=-≤=<，所以210x q<<，用数学归纳法易证，10nxq<<。

数学分析十讲习题册、课后习题答案

数学分析十讲习题册、课后习题答案习题1-11．计算下列极限（1）lim xax aa xx a→--, 0;a > 解：原式lim[]x a a ax a a a x a x a x a→--=---=()|()|xa x ax aa x ==''-=1ln aa a a a a --⋅=(ln 1)aa a - （2）sin sin lim sin()x ax ax a →--；解：原式sin sin lim x ax a x a→-=-(sin )'cos x ax a===（3）2lim 2), 0;n n a →∞>解：原式2n =20[()']x x a ==2ln a = （4）1lim [(1)1]p n n n→∞+-，0;p >解：原式111(1)1lim ()|p p p x n n nx =→∞+-'===11p x px p -==（5）10100(1tan )(1sin )lim ;sin x x x x→+--解：原式101000(1tan )1(1sin )1lim lim tan sin x x x x x x→→+---=--=99010(1)|10(1)|20t t t t ==+++=（6）1x →，,m n 为正整数；解：原式1111n x x x →-=-1111()'()'mx nx x x ===n m=2．设()f x 在x 处二阶可导，计算0002()2()()limh f x h f x f x h h →+-+-.解：原式000()()lim2h f x h f x h h →''+--=00000()()()()lim 2h f x h f x f x f x h h→''''+-+--=000000()()()()limlim 22h h f x h f x f x h f x h h →→''''+---=+-00011()()()22f x f x f x ''''''=+=3．设0a >，()0f a >，()f a '存在，计算1ln ln ()lim[]()x a x a f x f a -→.解：1ln ln ()lim[]()x a x a f x f a -→ln ()ln ()ln ln lim f x f a x ax a e --→= ln ()ln ()limln ln x a f x f a x a e→--=ln ()ln ()lim ln ln x a f x f a x ax ax ae→----='()()f a a f ae=习题1-21.求下列极限（1）lim x →+∞;解：原式1lim [(1)(1)]02x x x ξξ→+∞=+--= ，其中ξ在1x -与1x +之间（2）4cos(sin )cos lim sin x x xx→-; 解：原式=4sin (sin )lim x x x x ξ→--=3sin sin lim()()()x x x x x ξξξ→--⋅=16，其中ξ在x 与sin x 之间（3） lim x →+∞解：原式116611lim [(1)(1)]x x x x →+∞=+--56111lim (1)[(1)(1)]6x x x x ξ-→+∞=⋅+⋅+--5611lim (1)33x ξ-→+∞=+= ，其中ξ在11x -与11x+之间（4）211lim (arctan arctan );1n n n n →+∞-+解：原式22111lim ()11n nn n ξ→+∞=-++1=，其中其中ξ在11n +与1n之间2．设()f x 在a 处可导，()0f a >，计算11()lim ()nn n n f a f a →∞⎡⎤+⎢⎥-⎣⎦. 解：原式1111(ln ()ln ())lim (ln ()ln ())lim n n f a f a n f a f a n nn nn e e→∞+--+--→∞==11ln ()ln ()ln ()ln ()[lim lim ]11n n f a f a f a f a n n n ne→∞→∞+---+-=()()2()()()()f a f a f a f a f a f a ee'''+==习题1-31．求下列极限（1）0(1)1lim (1)1x x x λμ→+-+-,0;μ≠解：原式0lim x x x λλμμ→== （2）0x →;解：02ln cos cos 2cos lim12x x x nxI x→-⋅⋅⋅=20ln cos ln cos 2ln cos 2lim x x x nx x →++⋅⋅⋅+=-20cos 1cos 21cos 12limx x x nx x →-+-+⋅⋅⋅+-=-22220(2)()lim x x x nx x →++⋅⋅⋅+=21ni i ==∑（3）011lim )1xx x e →--（;解：原式01lim (1)x x x e x x e →--=-201lim x x e x x →--=01lim 2x x e x →-=01lim 22x x x →==（4）112lim [(1)]xxx x x x →+∞+-;解：原式11ln(1)ln 2lim ()x x xxx x ee+→+∞=-21lim (ln(1)ln )x x x x x →+∞=+-1lim ln(1)x x x→+∞=+1lim 1x xx→+∞==2. 求下列极限（1）2221cos ln cos lim sin x x x x x e e x -→----;解：原式222201122lim 12x x xx x→+==-（2）0ln()2sin limsin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e xx x x→++--; 解：原式0ln(11)2sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e x x x x →++-+=--012sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e xx x x→+-+=--02lim442x x x xx x x→++==--习题1-41．求下列极限（1）21lim (1sin )n n n n→∞-；解：原式2331111lim [1(())]3!n n n o n n n →∞=--+11lim((1))3!6n o →∞=+= （2）求33601lim sin x x e x x→--；解：原式3636336600()112lim lim 2x x x x x o x x e x x x →→++---===（3）21lim[ln(1)]x x xx→∞-+；解：原式222111lim[(())]2x x x o x xx →∞=--+12=（4）21lim (1)x xx e x-→+∞+；解：原式211[ln(1)]2lim x x xx ee+--→∞==此题已换3．设()f x 在0x =处可导，(0)0f ≠，(0)0f '≠.若()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值. 解：因为 ()(0)(0)()f h f f h o h '=++，(2)(0)2(0)()f h f f h o h '=++所以00()(2)2(0)(1)(0)(2)(0)()0lim limh h af h bf h f a b f a b f o h h h→→'+-+-+++==从而10a b +-=20a b += 解得：2,1a b ==-3．设()f x 在0x 处二阶可导，用泰勒公式求02()2()()limh f x h f x f x h h→+-+- 解：原式22220000100022''()''()()'()()2()()'()()2!2!limh f x f x f x f x h h o h f x f x f x h h o h h →+++-+-++=22201220''()()()limh f x h o h o h h →++=0''()f x =4. 设()f x 在0x =处可导，且2sin ()lim() 2.x x f x x x →+=求(0),(0)f f '和01()lim x f x x →+.解因为220sin ()sin ()2lim()limx x x f x x xf x x x x →→+=+=[]22()(0)(0)()limx x o x x f f x o x x →'++++=2220(1(0))(0)()lim x f x f x o x x →'+++=所以 1(0)0,(0)2f f '+==,即(0)1,(0)2f f '=-= 所以01()limx f x x →+01(0)(0)()lim x f f x o x x →'+++=02()lim 2x x o x x→+==习题1-51. 计算下列极限 (1)1n n++; ;解：原式n =2n ==(2)2212lim (1)n n n a a na a na +→∞+++⋅⋅⋅+>解：原式21lim (1)n n n n na na n a ++→∞=--2lim (1)n n na n a →∞=--21a a=-2．设lim n n a a→∞=，求 (1) 1222lim n n a a na n →∞+++；解：原式22lim (1)n n na n n →∞=--lim 212n n na an →∞==-(2) 12lim111n nna a a →∞+++，0,1,2,,.i a i n ≠=解：由于1211111lim lim n n n na a a n a a →∞→∞+++==，所以12lim 111n nnaa a a →∞=+++3．设2lim()0n n n xx -→∞-=，求lim nn x n →∞和1lim nn n xx n-→∞-. 解：因为2lim()0nn n xx -→∞-=，所以222lim()0nn n xx -→∞-=且2121lim()0n n n xx +-→∞-=从而有stolz 定理2222lim lim022nnn n n x xx n -→∞→∞-==，且212121lim lim 0212n n n n n x xx n ++-→∞→∞-==+所以lim 0nn x n→∞=，111lim lim lim 01n n n n n n n x x x x n n n n n --→∞→∞→∞--=-=-4．设110x q <<，其中01q <≤，并且1(1)n n n x x qx +=-，证明：1lim nn nxq→∞=.证明：因110x q<<，所以 211211(1)111(1)()24qx qx x x qx q q q+-=-≤=<，所以210x q<<，用数学归纳法易证，10nxq<<。

北京理工大学2010-2011学年第一学期工科数学分析期末试题(A卷)答案

代入方程得解得
6 A 1 ， 2 A 3 B 1
………………..(9 分) ………………..(10 分)
A
1 4 ， B 6 9 x2 4 x )e x 6 9 x2 4 x )e x 6 9
y* (
通解为
y C1e x C 2 e 2 x (
……………..(11 分)
四.
1
………………….(3 分) …………………..(4 分)
dy 1 dx 1 sin y
dy d y dx dx 2 (1 sin y ) 2
2
cos y
……………(6 分)
cos y
1 cos y 1 sin y 2 (1 sin y ) (1 sin y ) 3
0 x
……(6 分)
…………………….(7 分)
令 t u ，得
F ( x) ( x 2t ) f (t )dt
0
x
…………………….(8 分)
( x 2t ) f (t )dt
0
x
( x 2u ) f (u )du F ( x)
v x 0 2 vdv sin xdx
1 2 v cos x C 2
由初值得
C 1
信息与电子学部学生会学习部整理
v 2 2(cos x 1)
…………………….(8 分)
十．
设
f ( x) ln x f ( x) 1 1 x e
x 1 x2 e dx e 0
…………………….(1 分) …………………….(2 分)
令
f ( x) 0 ，得

工科数学分析基础题集

工科数学分析题集一、选择题1. 下列关于函数极限的定义，正确的是（）A. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 0 < |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| < ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LB. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| < ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LC. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 0 < |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| ≤ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LD. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| ≤ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 L 答案：A解析：函数极限的精确定义为：对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 0 < |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| < ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 L。

2. 关于无穷小量的描述，正确的是（）A. 以零为极限的变量称为无穷小量B. 绝对值无限趋近于零的变量称为无穷小量C. 函数值无限趋近于零的变量称为无穷小量D. 当自变量趋于某个值时，函数值无限趋近于零的变量称为无穷小量答案：A解析：以零为极限的变量称为无穷小量。

3. 下列关于无穷大量的说法，错误的是（）A. 绝对值无限增大的变量称为无穷大量B. 当自变量趋于某个值时，函数值的绝对值无限增大的变量称为无穷大量C. 无穷大量一定是无界变量D. 无界变量一定是无穷大量答案：D解析：无界变量不一定是无穷大量，但无穷大量一定是无界变量。

4. 对于函数极限的性质，下列说法不正确的是（）A. 函数极限具有唯一性B. 函数极限具有局部有界性C. 函数极限具有局部保号性D. 函数极限具有可加性，即若 lim(x→x₀) f(x) 和 lim(x→x₀) g(x) 存在，则 lim(x→x₀) (f(x) + g(x)) = lim(x→x₀) f(x) + lim(x →x₀) g(x) 一定成立答案：D解析：函数极限具有唯一性、局部有界性、局部保号性。

工科数学分析习题答案(下)

习题6.11．（1）（a ）23()()()d ()d ,x y x y σσσσ+>+⎰⎰⎰⎰ （b ）23()()()d ()d ,x y x y σσσσ+<+⎰⎰⎰⎰（2）(a)2()()e d e d xyxy σσσσ<⎰⎰⎰⎰，（d ）2()()e d e d xy xy σσσσ>⎰⎰⎰⎰2．（1）02I ≤≤；（2）0I ≤≤ （3）e I ππ≤≤ （4）3075I ππ≤≤习题6.21．（1）221；（2）3221；（3）4(3115-；（4）62e 9e 4--；（5）54ln 22-；（6）425-；（7）21)15；（8）3cos1sin1sin 42+-2．（1）2 44 04d (,)d d (,)d yy xI x f x y y y f x y x ==⎰⎰⎰⎰；（2） sin 1 arcsin 0 0 0 arcsin d (,)d d (,)d ;xyyI x f x y y y f x y x ππ-==⎰⎰⎰⎰（3）()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==21212121211d ,d d ,d d ,d yyxxx y x f y x y x f y y y x f x I（4）21 01 01 21d (,)d d (,)d I x f x y y y f x y x ---==⎰⎰⎰⎰.3．（1）2 10 d (,)d xx x f x y y ⎰⎰；（2） 1 0d (,)d y f x y x ⎰⎰；（3） 1eed (,)d y y f x y x ⎰⎰；（4）1220 0 1d (,)d d (,)d xxx f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰；（5） 132 0d (,)d yy f x y x -⎰；（6）22 2 2 00 22d (,)d d (,)d d (,)d aa aa aay y a aaay f x y x y f x y x x f x y x +++⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（7）214d (,)d yy f x y x -⎰⎰；（8） 12 01d (,)d yy f x y x -⎰⎰。

工科数学分析(下)考试题(带答案)培训资料

工科数学分析（下）期末考试模拟试题姓名：___________得分: _________一、填空题（每小题3分，满分18分）1、设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为_________.2.,,,-__________.222L L xdy ydx L x y=⎰+Ñ设为一条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线积分1,()cc x y x y ds +=+=⎰Ñ3.设曲线为则曲线积分 ___________4、微分方程2(3xy y)dx 0x dy +-=的通解为___________5、2sin(xy)(y)______________.y yF dx x=⎰的导数为 6、{,01,0x (x),2x e x f x ππππ--≤<≤≤==则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_____________.二、计算下列各题（每小题6分，满分18分） 1. (1) 求极限lim0→→y x ()xy yx y x sin 11232+-(2) 220)(lim 22y x x y x y +→→2.设f ，g 为连续可微函数，()xy x f u ,=，()xy x g v +=，求xvx u ∂∂⋅∂∂（中间为乘号）.3..222V z x y z V +=设是由所围成的立体,求的体积.三、判断积数收敛性（每小题4分，共8分）1. ∑∞=1!.2n n n nn2.∑∞=-1!2)1(2n n nn四、（本小题8分）求向量场2(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k u r r r u r 穿过球面∑： 222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量；五、（本小题7分）2(1sin )cos ,(0,1)(0,1)y y lx e x dy e xdx l x A B +--=-⎰计算其中为半圆到的一段弧。

东南大学工科数学分析习题课

证明： lim Fn ( x) = 0, ∀x ∈ [a, b] 。
Байду номын сангаасn→∞
6．设当 x
≥ 1 时， f ( x) 满足 f ′( x) =
1 ，且 f (1) = 1 ，令 x + f 2 ( x)
2
an ≤ an = f (n)(n = 1, 2,L) ，证明：数列 {an } 收敛，且 lim n →∞
可导，且
f ′ > 0 ，则
[
]
（A） F (0) 是 F ( x) 的极小值（C） F (0) 不是极值，但点 (0, F (0)) 是曲线
（B） F (0) 是 F ( x) 的极大值
y = F ( x) 的拐点 y = F ( x) 的拐点
；
π
（D） F (0) 不是极值，点 (0, F (0)) 也不是曲线（6） F ( x) =
∫
x −1
sgn tdt =
（7）设
f ∈ C[0, π ] ，且满足 f ( x) = cos 2 x + ∫ 0 f (t )dt ，则 f ( x) =
；
（8）设 A =
∫
1 0
ln(1 + x)dx, B = ∫
arctan x dx ，则 A, B 的大小关系为 0 1+ x
1
。
2．求下列极限：（1） lim ⎜ 2 n →∞
∫
0 x2
(
t ∫ cos u 2du dt ，则 F ′( x) =
0 x 2 x2
t
)
， F ′′( x) =
；
（2）将 x → 0 时的无穷小量 α
= ∫ cos u du, β = ∫ tan t dt , γ = ∫

工科数学分析上册答案

工科数学分析上册答案【篇一：大连理工大学10,11,12上学期工科数学分析基础试题答案】ass=txt>一、填空题 (每题6分，共30分)abx21．函数f(x)ebx?1??xx?0??，limf(x)? ，若函数f(x)在x?0点连续，?x?0?x?0??则a,b满足。

（答案 b,a?b）x12nx?lim2．lim?，。

??22n??n2?n?1x??x?1 n?n?2n?n?n（答案1,e1） 2xetsin2t3．曲线?在?0,1?处的切线斜率为，切线方程为。

ty?ecost?（答案,x?2y?2?0）4．ex?y?xy?1，dy? ，y??(0)? 。

12y?ex?ydx,?2）（答案x?ye?xx2?ax?b?2，则a? ，b? 。

5．若lim2x?1x?x?2（答案 4,?5）二、单项选择题 (每题4分,共20分)1．当x?0时，?ax2?1与1?cosx是等价无穷小，则（）a．a?23，b．a?3，c． a?32，d．a?22．下列结论中不正确的是（）a．可导奇函数的导数一定是偶函数；b．可导偶函数的导数一定是奇函数；c．可导周期函数的导数一定是周期函数；d．可导单调增加函数的导数一定是单调增加函数；3．设f(x)?x3?xsin?x，则其（）a．有无穷多个第一类间断点；b．只有一个跳跃间断点；c．只有两个可去间断点；d．有三个可去间断点；4．设f(x)?x?x3x，则使f(n)(0)存在的最高阶数n为（a．1b．2c． 3d．45．若limsinx?xf(x)x?0x3?0 ，则lim1?f(x)x?0x2为（）。

a．0；b．16； c． 1；d．?）。

三．（10分）求limx?0?x??x?2 tanx?arctanxg(x)sinx,x0四．（10分）设f(x)??，其中g(x)具有二阶连续导数，g(0)?0，x?x?0?a,g?(0)?1，（1）求a的值使f(x)连续；（2）求f?(x)；（3）讨论f?(x)连续性。

高等数学本科生教材推荐

高等数学本科生教材推荐高等数学是大多数理工科本科生的必修课程，它是理解和应用数学的基础。

选择一本合适的教材对学习者的学习效果至关重要。

本篇文章将为您推荐几本适合本科生使用的高等数学教材，以帮助您更好地掌握这门学科。

1.《高等数学》（第七版）华东师范大学数学系编著该教材是经过多年教学实践不断完善而来的经典之作。

它注重理论与实践的结合，内容全面且系统，讲解详细清晰。

该教材的特点是以定理为主线，注重概念的引申和理解，适合希望深入了解高等数学基本理论和思想的学生。

此外，该教材还提供了大量例题和习题，帮助学生巩固知识点，理解并掌握解题思路。

2.《高等数学》（第九版）吴同和等编著这本教材适合希望系统学习高等数学基础知识的学生。

它以概念的引入和定义为基础，注重理论与计算方法的结合，旨在帮助学生掌握数学基本概念和基本方法。

教材内容通俗易懂，适合初学者学习。

此外，该教材的习题设置丰富且贴近实际应用，帮助学生将所学的知识应用到实际问题中。

3.《工科数学分析教程》（第八版）北京大学数学系主编这本教材适用于工科专业的本科生。

它对传统高等数学的内容进行了扩展和深化，涵盖了更多的实际问题和实际应用。

教材以工科专业的需求为导向，加强了数学与实际工程问题的联系。

此外，该教材的题目设置灵活多样，有助于学生培养数学建模和问题解决的能力。

4.《大学数学（数学一）》华东师范大学数学系编著该教材是面向文科类专业学生的高等数学教材。

它注重数学基本概念的引入和讲解，重点介绍了微积分的基本理论和方法。

此外，教材内容简明易懂，习题贴近实际，有助于学生快速掌握数学的核心内容。

总结起来，高等数学本科生教材的选择要根据自身专业需求和个人学习能力来决定。

无论选择哪本教材，都需要注重理论与实践的结合，辅之以大量的例题和习题，通过不断的练习和巩固来提高数学水平。

希望以上推荐的高等数学教材能对您的学习有所帮助，使您能够更好地掌握这门学科。

大连理工大学10,11,12,13上学期工科数学分析基础试题答案

-03cos 2lnlim 0=+=®xx （10分）四、解：(1)0)cos )((lim 00sin )(lim 00=-¢=÷øöçèæ-=®®x x g x x x g a x x （4分）(2)200sin )(lim )0()(lim )0(x xx g x f x f f x x-=-=¢®® =12)0(2sin )(lim 2cos )(lim 00=¢¢=+¢¢=-¢®®g x x g x x x g x x∴ ïîïíì=¹---¢=¢时时010,)sin )(()cos )(()(2x x x x x g x x g x x f （8分）（3）200)sin )(()cos )((lim )(lim x x x g x x g x x f x x ---¢=¢®® =xx x g x x g x x x g x 2)cos )(()sin )((cos )(lim 0-¢-+¢¢+-¢® =)0(12)0(f g ¢==¢¢，因此)(x f ¢在(-∞，+∞+∞))连续。

连续。

（10分）五、解五、解:: 设x x x f ln)(=，由2ln 1)('xxx f -=，可知,当e x >时)(x f 单调减少单调减少（5分）若e a b >>，则有b b a a ln ln >，推出a b b a ln ln >，即有a b b a > 2011201220122011> （10分）分）所以六、解：2)()()(x x f x f x x x f -¢=¢÷øöçèæ（4分）分）令)()()(x f x f x x g -¢=，)()(x f x x g ¢¢=¢，令0)(=¢x g ，得0=x （唯一驻点），当0<x 时，0)(<¢x g ，当0>x 时，0)(>¢x g ，故)0(g 为最小值，故0)0()0()(>-=³f g x g ，∴0)(>¢÷øöçèæx x f ，即x x f )(单调增加。

华南理工学院电信学院2010级2010~2011(2)课表

学院：电子与信息学院专业：电子信息科学年级：2010级（1、2）人数：100 ①54 ②53执行时间：2011年2月21日
2.C语言大作业曾衍辉老师指导
学院：电子与信息学院专业：电子信息科学年级：2010级（3）人数：55 ③55 执行时间：2011年2月21日
说明：1.第15周公益劳动，公益劳动期间英语课、数学课、物理实验课、军事理论课照常上课，3、4班怡人园林
2.C语言大作业侯识华老师指导
学院：电子与信息学院专业：电子信息科学年级：2010级（4）人数：52 ④52执行时间：2011年2月21日
说明：1.第15周公益劳动，公益劳动期间英语课、数学课、物理实验课、军事理论课照常上课，3、4班怡人园林
2.C语言大作业侯识华老师指导
华南理工大学2010~2011 学年度第二学期课程表
学院：电子与信息学院专业：电子信息科学年级：2010级（5）人数：58 执行时间：2011年2月21日
说明：1.第15周公益劳动，公益劳动期间英语课、数学课、物理实验课、军事理论课照常上课
华南理工大学2010~2011 学年度第二学期课程表
学院：电子与信息学院专业：电子信息科学年级：2010级（6）人数：57 执行时间：2011年2月21日
2.C语言大作业余华老师指导
3.计算机应用综合设计曾衍辉老师指导制表时间：2010年11月
华南理工大学2010~2011 学年度第二学期课程表
学院：电子与信息学院专业：电子信息科学（电联班）年级：2010级人数：45执行时间：2011年2月21日
2.C语言大作业林伟健老师指导。

工科数学分析习题答案(下)

工科数学分析练习题

一、填空题 1. u f ( x , y , z ) xy 2 yz 3 在点 M (2, 1,1) 处的梯度为______________.
2. 设 A ( x 2 yz ) i ( y 2 xz ) j ( z 2 xy ) k ，则 div A
是球面 x 2 y 2 z 2 R 2 的外侧. 11.计算二次积分 dy
1 4 2 y
ln x dx . x2 1
12．求 ( x 2 y 2 )dV ，其中是由曲面 4 z 2 25( x 2 y 2 ) 及平面 z 5 所围成的闭区域.
. .
x 2 y 2 介于 z 0, z 1 之间的部分，则曲面积分 I ( x 2 y 2 )dS

x 2 y 2 z 2 3x 0 在点 (1,1,1) 处的切线方程是 13. 曲线 2 x 3 y 5 z 4 0
.
14. 球面 z a 2 x 2 y 2 在柱面 x 2 y 2 a x 内部的部分的表面积 A= 15. 函数 u ln( xy z ) 2 yz 2 在点 (1,3,1) 处沿方向 l (1,1,1) 方向的方向导数
a
n 0

n
( x 1) n ， 2 x 0 ，则 a n
7. 已知
( x a y )dx y dy 是某函数的全微分，则常数 a ( x y )2
2
8.设函数 f ( x ) x ,0 x 1 , 而 S ( x )
b
n1

n
sin n x , x . 其中

)

工科数学分析习题课

（接着证单调性）
当 n 1 时， n 1 xn x xn ( 3 xn ) xn

( xn ( 3 xn ) xn )( xn ( 3 xn ) xn ) xn ( 3 xn ) xn

xn ( 3 2 xn ) . 0， { xn }单调（增） xn ( 3 xn ) xn
n 取 N max ( 2 N 1 1, 2 N 2 ) ，则当 N 时，
有 x n a ，故 lim x n a 。
n
综上可知， lim xn a lim x2n1 lim x2n a 。
n n n
8．证明： lim
n
n a n
0 (a 1) 。
n 1
| x2 x1 |
| xn p xn p1 | | xn p1 xn p 2 | | xn1 xn |
k n p 2 | x2 x1 | k n p 3 | x2 x1 | k n1 | x2 x1 |
{ xn }的极限存在 .
（接着求极限）
记 lim xn a , 由xn 1
n
xn ( 3 xn ) ,
2 2 有xn 1 xn ( 3 xn ), 令 n , 得 a a ( 3 a ),
3 解得a ，a 0 （舍去） n 1 时， xn 且单调增） . （ 0 . 2 3 lim xn . n 2

则存在唯一一点满足 I n
n 1
即
lim an lim bn
n n
[ [ [ ... [ ... ] ... ] ] ]
a1 a2 a3 an bn b3 b2 b1