导数复习总结答案
导数专题(含答案
说明:导数的几何意义
可以简记为"k= ",
强化这一句话"斜率导数,导数斜率"
导数的物理意义：s=s<t>是物体运动的位移函数,物体在t= 时刻的瞬时速度是 .可以简记为 =
例1、已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ,则 .
2、若函数 的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 在区间[a,b]上的图像可能是〔〕
〔2〕设函数 则 〔〕
A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数
3〕设 分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当 时,
的解集为▲.
3>已知函数的单调性求参数范围
方法:常利用导数与函数单调性关系：即
"若函数单调递增,则 ；若函数单调递减,则 "来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解．从而转化为不等式恒成立问题或利用数形结合来求参数〔 是二次型〕
[例]1函数y = f < x > = x3＋ax2＋bx＋a2,在x = 1时,有极值10,则a = ,b =.
15.已知函数f<x>=－x3＋3x2＋9x＋a.
〔I〕求f<x>的单调递减区间；
〔II〕若f<x>在区间[－2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．
解：〔I〕f’<x>＝－3x2＋6x＋9．令f‘<x><0,解得x<－1或x>3,
综上,
4某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x〔x 10〕层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x〔单位：元〕.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层？
导数知识点各种题型归纳方法总结
导数知识点各种题型归纳方法总结导数知识点和题型总结一、导数的定义：1.函数y=f(x)在x=x处的导数为f'(x)=y'|x=x=lim(Δy/Δx)，其中Δy=f(x+Δx)-f(x)。
2.求导数的步骤：①求函数的增量：Δy=f(x+Δx)-f(x)；②求平均变化率：Δy/Δx；③取极限得导数：f'(x)=lim(Δy/Δx)，其中Δx→0.二、导数的运算：1.基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：① C'=0（C为常数）；② (xn)'=nxn-1；③ (1/x)'=-1/x^2；④ (ex)'=ex；⑤ (sinx)'=cosx；⑥ (cosx)'=-sinx；⑦ (ax)'=axlna（a>0，且a≠1）；⑧ (lnx)'=1/x；⑨ (loga x)'=1/(xlna)（a>0，且a≠1）。
2.导数的运算法则：法则1：[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)（和与差的导数等于导数的和与差）；法则2：[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（前导后不导相乘+后导前不导相乘）；法则3：[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^2（分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号）。
3.复合函数y=f(g(x))的导数求法：①换元，令u=g(x)，则y=f(u)；②分别求导再相乘，y'=g'(x)·f'(u)；③回代u=g(x)。
题型：1.已知f(x)=1/x，则lim(Δy/Δx)，其中Δx→0，且x=2+Δx，f(2)=1/2.答案：C。
2.设f'(3)=4，则lim(f(3-h)-f(3))/h，其中h→0.答案：A。
导数复习题(含答案)
因为 ，所以 ，即 ，
所以 化为 ，
当 时，不等式 等价于 ，即 ，解得 ；
当 时，不等式 等价于 ，即 ，解得 ；
综上，不等式 的解集为 .
点睛：本题考查了与函数有关的不等式的求解问题，其中解答中涉及到利用条件构造新函数和利用导数研究函数的单调性，以及根据单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，解答中一定要注意函数值为零是自变量的取值，这是题目的一个易错点，试题综合性强，属于中档试题.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得 ，令
，选A.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
故答案为B。
11．已知函数 有两个零点，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ，因为 ，当 时， ，则函数 在 上单调递增，不满足条件；当 时，令 ，得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 为极小值点，要使 有两个零点，即要 ，即 ，则 的取值范围是 ，故选D.
6．函数 的图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数 ，则 ，所以函数 为奇函数，
图象关于原点对称，
又 时， ，
所以当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
综上，函数的图象大致为选项A，故选A.
7．已知函数 是函数 的导函数， ，对任意实数都有 ，设 则不等式 的解集为（）
导数专题训练(含答案)
导数专题训练及答案专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．解题方法:(1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．[例1]已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．专题二导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个．解题步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数f(x)的单调性，则将原问题转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题，再进行求解．[例2]设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[变式训练]设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．专题三 导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容．解题方法：(1)运用导数求可导函数y ＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f(x)的导数f ′(x)；②求方程f ′(x)＝0的根；③检查f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．[例3] 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2，1)内，当x ＝－1时取极小值，当x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f (x )在x ＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．专题四 导数在证明不等式中的应用在用导数方法证明不等式时，常构造函数，利用单调性和最值方法证明不等式．解题方法：一般地，如果证明f(x)＞g(x)，x ∈(a ，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)＞0，若F ′(x)＞0，则函数F(x)在(a ，b)上是增函数，若F(a)≥0，则由增函数的定义知，F(x)＞F(a)≥0，从而f(x)＞g(x)成立，同理可证f(x)＜g(x)，f(x)＞g(x)．[例4] 已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1.[变式训练] 已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.专题五 定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功．高考中要求较低，一般只考一个小题．解题方法：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．(2) 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．[例5] 已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．[变式训练] (1)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则∫20f (x )d x ＝ ____；(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝a (a ＞0)与抛物线y ＝x 2所围成的封闭图形的面积为823，则a ＝____．专题六 化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答．解题方法：与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见，如，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等．[例6] 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．[变式训练] 如果函数f(x)＝2x2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案例1 解：(1)因为P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y －13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝x 21＝4，得x 0＝±2.所以切点为(2，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43， 所以切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.变式训练 解：(1)因为f (2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝3×22＋1＝13，所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，所以x 0＝－2，y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k ＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．例2 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．变式训练 解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx (k ≠0)， 令f ′(x )＝0得x ＝－1k (k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 若k <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． (2)由(1)知，若k >0时，则当且仅当－1k ≤－1，即k ≤1，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．若k <0时，则当且仅当－1k ≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．综上可知，函数f (x )在(－1，1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．例3 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .又x ＝－1，x ＝23分别对应函数取得极小值、极大值的情况，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x . x ＝－2时，f (x )＝2，即(－2，2)在曲线上． 又切线斜率为k ＝f ′(x )＝－3x 2－x ＋2， f ′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)， 即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 在变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表： ↘↗↘则f (x )在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－32.变式训练 解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.例4 (1)解：f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.变式训练 (1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x .由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1. 设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x . 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.例5 解：作出y ＝x 2－2x 的图象如图所示．(1)当a ＜0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，所以(a ＋1)(a －2)2＝0， 因为a ＜0，所以a ＝－1. (2)当a ＞0时， ①若0＜a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43， 所以a 3－3a 2＋4＝0， 即(a ＋1)(a －2)2＝0. 因为a ＞0，所以a ＝2. ②当a ＞2时，不合题意． 综上a ＝－1或a ＝2.变式训练 解析：(1)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′ 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(x )， 所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝－3，所以∫20f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫14x 4＋13x 3f ′（1）|20＝－4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝a 可得A (－a ，a )，B (a ，a )，S ＝ (a －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －13x 3|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －13a a ＝4a 323＝823， 解得a ＝2. 答案：(1)－4 (2)2例6 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知： ↗↘↗所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0， 知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立， 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.变式训练 解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x .由y ′＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞； 由y ′＜0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32。
导数与极值题型总结(含答案)
导数与极值一．知识梳理知识点一函数的极值点和极值思考观察函数y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值．梳理(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．知识点二函数极值的求法与步骤(1)求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数f(x)的极值的步骤①确定函数的定义区间，求导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③列表；④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．知识点三1．极小值点与极小值(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，并且f′(a)＝0.(2)符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.(3)结论：点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值． 2．极大值点与极大值(1)特征：函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，并且f ′(b )＝0.(2)符号：在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0.(3)结论：点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值． 3．用导数求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )；(3)求出方程f ′(x )＝0在定义域内的所有实根，并将定义域分成若干个子区间；(4)以表格形式检查f ′(x )＝0的所有实根两侧的f ′(x )是否异号，若异号则是极值点，否则不是极值点.二．题型探究类型一 求函数的极值点和极值 命题角度1 不含参数的函数求极值 例1 求下列函数的极值． (1)f (x )＝2x x 2＋1－2；(2)f (x )＝ln xx .考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 解 (1)函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1. (2)函数f (x )＝ln xx 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗因此，x ＝e 是函数的极大值点，极大值为f (e)＝1e ，没有极小值．跟踪训练1 求下列函数的极值点和极值． (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝x 2e －x .考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 解 (1)f ′(x )＝x 2－2x －3. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极大值，且极大值f (－1)＝143，当x ＝3时，函数有极小值，且极小值f (3)＝－6. (2)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x . 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝2时，函数有极大值，且极大值为f (2)＝4e －2. 命题角度2 含参数的函数求极值例2 已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，当实数a ≠23时，求函数f (x )的单调区间与极值．考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 含参数求极值问题解 f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2， 由a ≠23知－2a ≠a －2.分以下两种情况讨论： ①若a >23，则－2a <a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，－2a )，(a －2，＋∞)上是增函数，在(－2a ，a －2)上是减函数，函数f (x )在x ＝－2a 处取得极大值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a，函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值f (a－2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2. ②若a <23，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，a －2)，(－2a ，＋∞)上是增函数，在(a －2，－2a )上是减函数，函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2，函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e－2a.跟踪训练2 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 含参数求极值问题解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1.所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0，知①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0， 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值． 类型二 利用函数的极值求参数例3 (1)已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)D ．(－1,0)(2)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a ＝________，b ＝________. 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值点求参数 答案 (1)D (2)2 9解析 (1)若a <－1，因为f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，－1)上单调递增， 所以f (x )在x ＝a 处取得极小值，与题意不符；若－1<a <0，则f (x )在(－1，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上单调递减，从而在x ＝a 处取得极大值．若a >0，则f (x )在(－1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D. (2)因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数， 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数，所以f (x )在x ＝－1处取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.跟踪训练3 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值点求参数 解 (1)∵f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ， ∴f ′(x )＝ax＋2bx ＋1，∴f ′(1)＝f ′(2)＝0，∴a ＋2b ＋1＝0且a2＋4b ＋1＝0，解得a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)可知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x ，且定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1＝－(x －1)(x －2)3x.当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0.故x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点. 类型三 由极值的存在性求参数的范围例1 (1)若函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，则实数a 的取值范围为________．(2)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0,1)D ．(0，＋∞)考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题答案 (1)(－∞，1) (2)B解析 (1)f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意，得方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a >0，解得a <1. (2)∵f (x )＝x (ln x －ax )，∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，且f (x )有两个极值点， ∴f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点， 令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x ，设g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln xx2，∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 又∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0， 而g (x )max ＝g (1)＝1， ∴只需0<2a <1，即0<a <12.跟踪训练1 已知函数f (x )＝1＋ln x x，若函数在区间⎝⎛⎭⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值，求实数a 的取值范围．考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 解 ∵f (x )＝1＋ln xx ，x >0，则f ′(x )＝－ln xx2.当0<x <1时，f ′(x )>0，当x >1时，f ′(x )<0. ∴f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴函数f (x )在x ＝1处取得极大值．∵函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a ＋12>1，解得12<a <1.即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.类型四 利用函数极值解决函数零点问题例2 (1)函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象与直线y ＝a 恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是________．考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 答案 ⎝⎛⎭⎫－43，283 解析 ∵f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝－2时，函数取得极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，函数取得极小值f (2)＝－43.且f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示， 结合图象知－43<a <283.(2)已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13 f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围． 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 解 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3， 可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，13 f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m .则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m的图象与x 轴有三个不同的交点． ∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)， 令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：则函数g (x )的极大值为g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m .由y ＝f (x )的图象与y ＝13 f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同交点， 得⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m >0，g (4)＝－16－m <0，解得－16<m <6827.即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－16，6827. 反思与感悟 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．跟踪训练2 若2ln(x ＋2)－x 2－x ＋b ＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 解 令g (x )＝2ln(x ＋2)－x 2－x ＋b ，则g ′(x )＝2x ＋2－2x －1＝－2x ⎝⎛⎭⎫x ＋52x ＋2(x >－2)．当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：由上表可知，函数在x ＝0处取得极大值，极大值为g (0)＝2ln 2＋b .结合图象(图略)可知，要使g (x )＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，只需⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≤0，g (0)>0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤0，2ln 2＋b >0，2ln 3－2＋b ≤0，所以－2ln 2<b ≤2－2ln 3.故实数b 的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3]．达标测试1．下列四个函数中，能在x ＝0处取得极值的函数是( ) ①y ＝x 3； ②y ＝x 2＋1； ③y ＝|x |； ④y ＝2x . A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①③考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 B解析 ①④为单调函数，无极值．2．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3D ．－1，－3考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值求参数 答案 A解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ， 由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3. 3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．(－1,2)B ．(－3,6)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 D解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6.因为函数f (x )既有极大值又有极小值，所以Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)>0，解得a >6或a <－3.4．已知曲线f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23是y ＝f (x )的极值点，则a ＋b ＝________.考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值(点)求参数答案 －2解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3，f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝3，43＋43a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，则a ＋b ＝－2. 5．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋4，讨论方程f (x )＝m 的解的个数． 考点 函数极值的综合应用题点 函数零点与方程的根解 由题意知，f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )极小值＝f (2)＝－12，f (x )极大值＝f (－2)＝20.又因为f (x )的定义域是R ，画出函数图象(图略)，所以当m >20或m <－12时，方程f (x )＝m 有一个解；当m ＝20或m ＝－12时，方程f (x )＝m 有两个解；当－12<m <20时，方程f (x )＝m 有三个解．。
导数的概念及运算--附答案
3.1导数的概念及运算(学案） 姓名【一.导数的意义】1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 称为函数()y f x =在0x x =处的导数.其几何意义为：【二.导数的运算公式】①()c '= ；②()nx '= ；③(sin )x '= ；④(cos )x '= ；⑤()xa '= ；⑥()x e '= ;⑦(log )a x '= ；⑧(ln )x '= ；⑨1()x'=；⑩'= ； 【三.导数的运算法则】①.和差的导数：[()()]f x g x '±= ；②.[()]C f x '⋅= ；其中C 为常数。
③.积的导数：[()()]f x g x '= ；④.商的导数：()()f x g x '⎛⎫ ⎪⎝⎭=(()0)g x ≠。
【四.复合函数的导数】设函数()u g x =在点x 处有导数x u '，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数u y '，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x y '＝__ ______， 【五.求导】1.求导：①)5'⋅xa x （=5x 4·a x ＋x 5·a x ln a；② sin(2)3x π'⎛⎫+ ⎪⎝⎭=③2ln 1x x '⎛⎫ ⎪+⎝⎭=2．已知 f (x )＝x 2＋3x (2)f '，则(2)f '＝__-2___.3.求函数y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －100) (x >100)的导数.解析：两边取对数得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －100)．两边对x 求导：y ′y ＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －100.∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －100·(x －1)(x －2)·…·(x －100)．【六.导数的几何意义】4.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．解 (1)∵y ＝13x 3＋43，∴y ′＝x 2，∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4 由y －4＝4(x －2)，得4x －y －4＝0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为 4x －y －4＝0(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝05.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是___max 11()2t e e=+_____． 解析：设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e=+。
导数知识点总结及答案
导数知识点总结及答案一、导数的定义在数学中，函数f(x)在某一点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim (h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中，f'(a)表示函数f(x)在x=a处的导数，lim表示极限运算，h表示自变量x的增量。
导数的定义可以理解为当自变量x在x=a处发生一个很小的变化h时，函数f(x)在此点的增量f(a+h) - f(a)与自变量的增量h的比值。
当h趋向于0时，这个比值就是函数f(x)在x=a处的导数。
二、导数的性质1. 可加性：如果函数f(x)和g(x)在某一点x=a处有导数，那么它们的和、差、积、商函数在此点处也有导数，并且导数的值可以进行相应的运算。
2. 连续性：如果函数f(x)在某一点x=a处有导数，那么函数f(x)在该点处是连续的。
3. 导数与函数的关系：如果函数f(x)在某一点x=a处有导数，那么函数f(x)在该点处是可微的，反之亦然。
4. 导数与函数的图像关系：函数f'(x)在某一点x=a处的导数值，可以描述函数f(x)在该点处的切线的斜率。
5. 高阶导数：如果函数f(x)在某一点x=a处有导数，那么它的导数f'(x)也可以求导，进而得到f''(x)，称为函数f(x)的二阶导数，依此类推，可以求得函数f(x)的任意阶导数。
三、常见函数的导数1. 幂函数：f(x) = x^n，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
2. 指数函数：f(x) = a^x，其中a为常数且a>0，a≠1，其导数为f'(x) = a^x*ln(a)。
3. 对数函数：f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。
4. 三角函数：f(x) = sin(x)，其导数为f'(x) = cos(x)；f(x) = cos(x)，其导数为f'(x) = -sin(x)。
5. 反三角函数：f(x) = arcsin(x)，其导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)；f(x) = arccos(x)，其导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
(完整版)高三复习导数专题
导 数一、导数的基本知识 1、导数的定义：)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000。
2、导数的公式： 0'=C （C 为常数) 1')(-=n n nx x （R n ∈) xx e e =')(a a a x x ln )('= xx 1)(ln '= exx a a log 1)(log '=x x cos )(sin '= x x sin )(cos '-=3、导数的运算法则： [()()]f x g x '+ =()()f x g x ''+ [()()]()()f x g x f x g x '''-=-[()]()af x af x ''= [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 4、掌握两个特殊函数 （1）对勾函数()bf x ax x=+( 0a > ,0b >) 其图像关于原点对称（2）三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠导 数导数的概念 导数的运算导数的应用导数的定义、几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值函数的最值 常见函数的导数导数的运算法则 比较两个的代数式大小导数与不等式讨论零点的个数求切线的方程导数的基本题型和方法1、、导数的意义：（1）导数的几何意义：0()k f x '= （2）导数的物理意义:()v s t '=2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间;()0()b]f x f x '≥⇔在[a,上递增 ()0()b]f x f x '≤⇔在[a,上递减（2）判断或证明函数的单调性; ()f x c ≠ （3)已知函数的单调性，求参数的取值范围。
2023届全国高考数学复习：专题(导数的运算)重点讲解与练习(附答案)
2023届全国高考数学复习：专题（导数的运算）重点讲解与练习1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[cf (x )]′＝cf ′(x )；[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)； 3．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )与u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ꞏu ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导； 具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导． 【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．[例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a ．若f ′(1)＝e4，则a ＝________．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝ ．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x (4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( ) A ．f (x )＝sin x ＋cos x B ．f (x )＝ln x －2x C ．f (x )＝x 3＋2x －1 D ．f (x )＝x e x(5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝ ．5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x 6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ ．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝ ．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．94 10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ． 12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－213．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2．参考答案【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．解析 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x ．(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x ． (3)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12sin4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ꞏ4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x ． (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ．则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5ꞏ2＝22x －5，即y ′＝22x －5． [例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e xx ＋a．若f ′(1)＝e 4，则a ＝________． 答案 1 解析 f ′(x )＝e x (x ＋a )－e x (x ＋a )2＝e x (x ＋a －1)(x ＋a )2，则f ′(1)＝a e (a ＋1)2＝e 4，整理可得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝ ．答案 －74 解析 ∵f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，∴f ′(x )＝4x －3f ′(1)＋1x x ＝1代入，得f ′(1)＝4－3f ′(1)＋1，得f ′(1)＝54．∴f (x )＝2x 2－154x ＋ln x ，∴f (1)＝2－154＝－74．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x 答案 C 解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 022＝4×505＋2，∴f 2 022(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x ．故选C ．(4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝x 3＋2x －1D ．f (x )＝x e x答案 AB 解析 对于A ：f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴f ″(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故A 正确．对于B ：f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2＜0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故B 正确；对于C ：f ′(x )＝3x 2＋2，f ″(x )＝6x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故C 错误；对于D ：f ′(x )＝(x ＋1)e x ，f ″(x )＝(x ＋2)e x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故D 错误．故选AB ． (5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 答案 C 解析 由选项知f (x )的定义域为(0，＋∞)，由题意得xf ′(x )－f (x )x 2＝1＋1x ，即⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝1＋1x ，故f (x )x ＝x ＋ln x ＋c (c 为待定常数)，即f (x )＝x 2＋(ln x ＋c )x ．又f (1)≥1，则c ≥0，故选C ．【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 1．答案 B 解析 (log 2x )′＝1x ln 2，故B 正确． 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 2．答案 B 解析 y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ． 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x3．答案 BCD 解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误．由导数公式及运算法则知B ，C ，D 正确，故选BCD ．4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝ ．4．答案 1cos 2x －2x 3 解析 f ′(x )＝(sin x )′ꞏcos x －sin x ꞏ(cos x )′cos 2x＋(x －2)′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋(－2)x －3＝1cos 2x －2x 3． 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x5．答案 D 解析 由题意，f (x )＝x sin x ，f 1(x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x ＋cos x －x sin x ＝2cos x －x sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－3sin x －x cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝－4cos x ＋x sin x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝5sin x ＋x cos x ，…，据此可知f 2 019(x )＝－2 019sin x －x cos x ，f 2 021(x )＝2 021sin x ＋x cos x ，所以f 2019(x )＋f 2 021(x )＝2sin x ，故选D ．6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e6．答案 B 解析 f ′(x )＝2 021＋ln x ＋x ×1x ＝2 022＋ln x ，又f ′(x 0)＝2 022，得2 022＋ln x 0＝2 022，则ln x 0 ＝0，解得x 0＝1．7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ ．7．答案 2 解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2e x cos x －e x sin x ＝－a (ax －1)2＋e x cos x －e xsin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1， 则a ＝2．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝ ．8．答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3ꞏ(2x －3)′＋a e －x ＋ax ꞏ(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．949．答案 C 解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x 所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94．10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．10．答案 －4 解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝2×(－2)＝－4． 11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ．11．答案 1＋e 解析 因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e ．12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－212．答案 C 解析 因为f ′(x )＝f ′(1)ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)ꞏ2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2． 13．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x13．答案 BC 解析 对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x 2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意． 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．414．答案 C 解析 f ′(x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，f ′(－x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，所以f ′(x )为偶函数，f ′(2019)－f ′(－2019) ＝0，因为f (x )＋f (－x )＝31＋e x＋x 3＋31＋e －x －x 3＝31＋e x ＋3e x 1＋e x ＝3，所以f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)＝3．故选C ．15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______．15．答案 8 解析 因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7，所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7．所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14．又f ′(2 020)＝6，所以f ′(－2 020)＝14－6＝8． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2． 16．解析 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ꞏ1x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x e x ． (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3． (3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x ．(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，∴y ′＝12ꞏ11＋2x ꞏ(1＋2x )′＝11＋2x．(5)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2．所以f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3．。
导数知识点总结经典例题及解析近年高考题带答案
导数及其应用【考纲说明】1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。
2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
【知识梳理】函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f（x 0），比值x y∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，x y ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果x y∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x yx ∆∆→∆0lim。
二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
导数复习题及答案
导数复习题及答案一、选择题1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 1 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 32. 若 \( f(x) = 3x^3 - 2x + 5 \)，求 \( f'(x) \)：A. \( 9x^2 - 2 \)B. \( 3x^2 + 2 \)C. \( 9x^3 - 2 \)D. \( 3x^3 + 2 \)3. 已知 \( g(x) = \ln(x) \)，求 \( g'(x) \)：A. \( \frac{1}{x} \)B. \( x \)C. \( \ln(x) \)D. \( \frac{1}{\ln(x)} \)二、填空题4. 函数 \( h(x) = sin(x) \) 的导数是 _______。
5. 若 \( F(x) = e^x \)，求 \( F'(x) \) 的值是 _______。
6. 给定 \( G(x) = \frac{1}{x} \)，其导数 \( G'(x) \) 是_______。
三、解答题7. 求函数 \( y = x^3 - 4x^2 + 7x - 6 \) 的导数。
8. 已知 \( f(x) = x^4 + 2x^3 - 5x + 3 \)，求 \( f'(x) \) 并找出 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数值。
9. 假设 \( H(x) = \sqrt{x} \)，求 \( H'(x) \) 并解释其几何意义。
四、应用题10. 某物体的位移函数为 \( s(t) = 3t^3 - 5t^2 + 2t \)，求该物体在 \( t = 2 \) 秒时的瞬时速度。
11. 一个物体从静止开始，其加速度 \( a(t) = 2t \)，求物体在\( t = 3 \) 秒时的速度。
12. 某工厂生产函数为 \( P(x) = 100x - x^2 \)，其中 \( x \) 表示投入的工时，求工厂在投入 \( x = 20 \) 小时的生产率。
导数及其应用复习完整版
《导数及其应用》复习导学案一、知识梳理二、典例剖析题型一、导数的概念及运算1．在求平均变化率时，自变量的增量为（ ）A ．0x ∆>B ．0x ∆<C ．0x ∆=D ． 0x ∆≠ 【答案】D2．函数f (x )＝2x 2－1在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率ΔyΔx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x 变式．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是__________.3． 下列求导正确的是 ( ) 【答案】BA.（x+x 1）′=1+21x B. (log2x)′=ln21x C. (3x)′=3xlog3xD. (x2cosx)′=－2xsinx4．下列说法正确的是（ ）A ．若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处就没有切线；B ．若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 有切线，则)(0x f '必存在；C ．若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在；D ．若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在，则曲线在该点处没有切线。
【答案】C5．设,M m 分别是()f x 在区间[],a b 上的最大值和最小值，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，由上述估值定理，估计定积分2212x dx --⎰的取值范围是 ．【解析】：因为当12x -≤≤ 时，204x ≤≤ ，所以，212116x -≤≤所以由估值定理得：()()221121212116x dx --⨯--≤≤⨯--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰， 即22132316x dx --≤≤⎰，所以答案应填：3,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 6．211dx x +=⎰⎰．【答案】ln 24π+ 题型二、导数的几何意义7．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则曲线在点A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2 8．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．变式1．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.变式2．已知函数f (x )＝－13x 3＋2x 2＋2x ，若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[5,6] 变式 3.已知曲线2()xf x x e m =+-在0x =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为16，则实数m 的值为 ．9．已知抛物线y ＝x 2，直线l ：x －y －2＝0，则抛物线上的点到直线l 的最短距离是 ． 变式.点P 是曲线2ln y x x =-，则点P 到直线40x y --=的距离的最小值是 ．题型三、导数的综合应用 类型1：导数的运算性质10.设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，且(3)0f -=，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A ．(3,0)(3,)-+∞ B ．(3,0)(0,3)- C ．(,3)(3,)-∞-+∞ D ．(,3)(0,3)-∞-变式1．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0.设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是______ ．变式2．设函数F (x )＝f (x )e x 是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)变式3．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为____________． 变式4．定义在R 上的偶函数f x 的导函数为()f x '，若对任意的实数x ，都有()()22f x xf x '+<恒成立，则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的集合为（ ）A ．{}1x x ≠±B ．()(),11,-∞-+∞C ．()1,1-D ．()()1,00,1-【解析】：当0x >时，由()()220f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得： ()()2220xf x x f x x -'-< 设：()()22g x x f x x =-，则()()()2220g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：∴()g x 在(0)+∞，单调递减，由()()2211x f x f x -<-∴()()2211x f x x f -<-，即()()1g x g <，即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-；综上可知：实数x 的取值范围为()()11-∞-⋃+∞，，，故选：B变式5．函数()f x 的定义域是R ，(0)3f =，对任意,()()1x R f x f x ∈+>/，则不等式()2x xe f x e ⋅>+的解集为（ ）A ．{|0}x x <B ．{|0}x x >C ．{|1,}x x x <->或1D ．{|1,1}x x x <-<<或0 【解析】∵()()1f x f x +>/，∴()()0xxxe f x e f x e +>>/，∴[()1]()0xxe f x e f x -+>/，即{[()1]}0x e f x '->，∴函数()[()1]x F x e f x =-在R 上单调递增，且0(0)[(0)1]2F e f =-=∴ ()2[()1]2x x x e f x e e f x ⋅>+⇔->，∴x>0，故选B类型2：单调性问题11．函数()()3x f x x e =-的单调递增区间是（ ）DA ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 变式1．已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上不单调，实数a 的取值范围是（ ） A ．()()2,00,2- B ．()()4,00,4- C ．()0,2 D ．()0,4【答案】D变式2．已知函数()f x 的导函数图象如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则下列结论一定成立的是（ ）A ．()()sin cos f A fB > B ．()()sin cos f A f B <C ．()()sin sin f A f B >D ．()()cos cos f A f B < 12．(全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)变式1．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是_____________．变式2．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .设f (x )在区间[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．变式3．函数32y x ax bx =++在(,1)-∞-上单调递增，在()1,2-上单调递减，在()2,+∞上递增，则,a b 的值为( ) AA 、3,62a b =-=-B 、36,2a b =-=- C 、3,2a b == D 、3,6a b =-=-变式4．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－33， 33，则a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)13．已知f(x)=e x -ax-1.（1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【答案】解 ： f ′(x)= e x -a.(1)若a ≤0，f ′(x)= e x -a ≥0恒成立，即f(x)在R 上递增. 若a ＞0, e x -a ≥0,∴e x ≥a,x ≥lna. ∴f(x)的递增区间为（lna ，+∞）.（2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴f ′(x)≥0在R 上恒成立. ∴e x -a ≥0，即a ≤e x 在R 上恒成立.∴a ≤（e x ）min ，又∵e x ＞0,∴a ≤0.[来源:Z §xx §] （3）由题意知e x -a ≤0在（-∞，0］上恒成立. ∴a ≥e x 在（-∞，0］上恒成立. ∵e x 在（-∞，0］上为增函数. ∴x=0时，e x 最大为1.∴a ≥1.同理可知e x -a ≥0在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤e x 在［0，+∞）上恒成立. ∴a≤1，∴a=1.14．设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 单调区间. 【答案】解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+.（Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.[所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分 （2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，此时0∆>.由()0f x '>得211a x a --<,或211a x a +->；由()0f x '<得221111a a x a a--+-<<. 所以函数()f x 单调递增区间是211(,)a a ---∞和211(,)a a +-+∞, 单调递减区间221111(,)a a a a--+-. ……………9分 ②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时，此时0∆>.由()0f x '>得221111a a x a a +---<<； 由()0f x '<得211a x a +-<,或211a x a-->.所以当10a -<<时,函数()f x 单调递减区间是211(,)a a +--∞和211(,)a a --+∞, 单调递增区间221111(,)a a a a+---. ……………12分 ④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞.类型3：图像问题15．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）A ．B ．C ． D.【解析】：由三视图可知该几何体是圆锥，顶点朝下，底面圆的上面，随之时间的推移，注水量的增加高度在增加，所以函数是增函数，刚开始时截面面积较小，高度变化较快，随着注水量的增加，高度变化量减慢，综上可知B 正确16．函数()f x 的导函数()'f x 在区间(,)a b 内的图象如图所示， 则 ()f x 在(,)a b 内的极大值点有（ ）BA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个变式1.如果函数()y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能（ ）O thh t O h t O O t h变式2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )类型4：极值（最值）问题17．已知函数()313f x x ax b =-+在y 轴上的截距为1，且曲线上一点02, 2p y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭处的切线斜率为13. （1）曲线在P 点处的切线方程； （2）求函数()f x 的极大值和极小值【答案】解：（1）因为函数()313f x x ax b=-+在y 轴上的截距为1，所以1b = 又'2y x a =-，所以2211 236a a ⎛⎫-=∴= ⎪ ⎪⎝⎭()311 136f x x x ∴=-+ 所以0212y f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故点2,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以切线方程为12132y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 即26620x y -+-=（2）由题意可得，令()'2106f x x =-=得66x =±列表如下：x6,6⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭66- 66,66⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭666,6⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+- 0 + ()f x增区间极大 减区间极小增区间所以函数的极大值为661f ⎛=+ ⎝⎭， 极小值为661f =⎝⎭18．已知函数c bx x ax x f -+=44ln )()0(>x 在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数．（1）求b a ,的值； （2）求函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式02)(2≥+c x f 恒成立，求c 的取值范围．解：（1）)4ln 4()(3/b a x a x x f ++=，0)1(='f ，∴04=+b a ，又c f --=3)1(，∴3,12-==b a ； 经检验合题意；………4分（2）x x x f ln 48)(3/=（)0>x ∴由0)(/=x f 得1=x ，当0)(/<x f 时，10<<x ，)(x f 单调递减；当0)(/>x f 时，1>x ，)(x f 单调递增；∴)(x f 单调递减区间为)1,0(，单调递增区间为),1(+∞ ……8分 （3）由（2）可知，1=x 时，)(x f 取极小值也是最小值c f --=3)1(，列表略 依题意，只需0232≥+--c c ，解得23≥c 或1-≤c ………………12分 19.已知函数()()xf x x k e =-. （1）求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在区间]2,1[上的最小值；（3）设)(')()(x f x f x g +=，当2523≤≤k 时，对任意]1,0[∈x ，都有λ≥)(x g 成立，求实数λ的范围。
导数概念 公式知识点总结+习题含详细讲解
．《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。
2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。
函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x+∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。
由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。
当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。
特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。
5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。
导数复习一
导数复习一一、导数概念1．设函数()f x 可导，则0lim x ∆→(13)(1)3f x f x+∆-∆等于（ ）A ． (1)f 'B ． 3(1)f 'C ．1(1)3f ' D ． (3)f '2．若f ′(x 0)＝2，则00Δ0()()lim2x f x f x x x∆∆→-+＝________．3．已知函数()y f x =图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是25y x =-，则(1)(1)f f '+=______.二、求切线斜率1．曲线()31xy x e =-+在点()0,1处切线的斜率为__________.2．曲线ln y x x =的一条切线过点(0,3)-，则该切线的斜率为_______． 3．曲线3123y x =-在点51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的倾斜角为（ ）A ．1B ．4π C ．54π D ．4π-4．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ） A ．(0,)2πB ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3(,24]ππ三、求在一点处的切线1．曲线321y x x =-+在点(1,0)处的切线方程为（ ） A ．1y x =- B ．1y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =-+2．曲线f (x )=2xx +在点(-1，-1)处的切线方程为（ ） A ．y =2x +1 B ．y =2x -1 C ．y =-2x -3 D ．y =-2x -2 3．曲线y ＝x sin x 在点(,)22ππ-处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为A ．22π B ．π2 C ．2π2D ．12(2＋π)2 4．曲线1ln y x x=-在1x =处的切线在y 轴上的截距为___________.四、求过一点处的切线1．过点(3，5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程为________________． 2．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝3x 的切线，则k 的值为________．五、已知切线斜率求参数1．设f (x )＝ae x +b ln x ，且f ′（1）＝e ，f ′（﹣1）＝1e，则a +b ＝__． 2．若曲线y =2x 2-4x +p 与直线y =1相切，则p =________．3．曲线()ln f x ax x x =-在点()()1,1f 处的切线与直线0x y +=垂直，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2六、两直线平行垂直公切线问题1．已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点()0,1-，并且与曲线()y f x =相切，则直线l 的方程为______________．2．已知函数()ln f x a x =在点(1,0)处的切线与曲线3()g x x bx =+相切，且该切线经过点(0,16)-，则a =________，b =________．3．若存在过点O (0，0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切则a 的值为________．七、已知某点处导数求参数或自变量1．函数()xf x e =在点()()00,x f x 处的切线与直线yx =-垂直，则0x =（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．e2．已知曲线ln y x x =，若()02f x '=，则0x =（ ） A ．2eB ．eC ．ln 22D ．ln 23．设()xf x xe =，若()0=0f x '，则0x 等于（ ）A ．2eB ．1-C ．ln 22D ．ln 24．已知点(),P a b 是曲线C ：y ＝321132x x -+1上的点，曲线C 在点P 处的切线平行于直线6x ﹣3y ﹣7＝0，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1 B ．2 C ．﹣1或2 D ．1或﹣2八、最值问题1．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线21y x x=+(0)x >上的一个动点，则点P 到直线y x =的距离的最小值是____________.2．点P 是f (x )＝x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －1的最短距离是________． 3．已知函数()2ln f x x x =+，点P 为函数()f x 图象上一动点，则P 到直线34y x =-距离的最小值为___________.(注ln 20.69≈) 4．平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线3(1)y x x x=+上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是（ ）A ．B ．4C D ．九、导数数计算1．函数()f x = ）A ．B C D 2．求下列函数的导数．（1）y ＝41x； （2）y ＝ （3）y ＝2sin 2x cos 2x.3．求下列函数的导数． （1）sincos22x xy x =-⋅； （2）cos y x =．解析导数复习一一、导数概念1．设函数()f x 可导，则0lim x ∆→(13)(1)3f x f x+∆-∆等于（ ）A ． (1)f 'B ． 3(1)f 'C ．1(1)3f ' D ． (3)f '【答案】A 【详解】(13)(1)=(1)l 3imx f x f f x∆→+∆-'∆．故选:A.2．若f ′(x 0)＝2，则00Δ0()()lim 2x f x f x x x∆∆→-+＝________．【答案】－1 【详解】00000Δ0Δ0()()()()11limlim ()1222x x f x f x x f x x f x f x x x ∆∆∆∆→→-++-'=-=-=-.故答案为：-13．已知函数()y f x =图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是25y x =-，则(1)(1)f f '+=______.【答案】1- 【详解】由切线方程是25y x =-，则(1)2k f '==又切点(1,(1))M f 在切线25y x =-上可得：(1)253f =-=-， 所以(1)(1)231f f '+=-=-. 故答案为：1- 二、求切线斜率1．曲线()31xy x e =-+在点()0,1处切线的斜率为__________.【答案】2-()()33132x x x y e x e x e '=-+-+=--，所以0'2x k y ===- 故答案为：2-2．曲线ln y x x =的一条切线过点(0,3)-，则该切线的斜率为_______． 【答案】1ln 3+ 【详解】由1ln y x '=+，设切线斜率为k ，切点横坐标为t ，则1ln ln 3t kt t kt +=⎧⎨=-⎩，得ln (1ln )3t t t t =+-，所以3,1ln 3t k ==+故答案为：1ln 3+ 3．曲线3123y x =-在点51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的倾斜角为（ ）A ．1B ．4π C ．54π D ．4π-【答案】B 【详解】 设()3123f x x =-，则()()()()()32111111111333f x f x x x x ⎡⎤+∆-=+∆-=⋅∆⋅+∆++∆+⎣⎦()21333x x x ⎡⎤=∆⋅∆+∆+⎣⎦，所以，()()()()201111limlim 3313x x f x f f x x x∆→∆→+∆-⎡⎤'==∆+∆+=⎣⎦∆，因此，所求切线的倾斜角为4π. 故选：B.4．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ） A ．(0,)2πB ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3(,24]ππ【答案】B【详解】∵y ′＝3x 2－1≥－1， ∴tan α≥－1． ∵α∈[0，π)， ∴α∈3[0,)[,)24πππ⋃． 故选：B.三、求在一点处的切线1．曲线321y x x =-+在点(1,0)处的切线方程为（ ） A ．1y x =- B ．1y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =-+【答案】A 【详解】()321f x x x =-+，()232f x x '∴=-，则()11f '=，因此，所求切线方程为1y x =-， 故选：A. 2．曲线f (x )=2xx +在点(-1，-1)处的切线方程为（ ） A ．y =2x +1 B ．y =2x -1 C ．y =-2x -3 D ．y =-2x -2 【答案】A 【详解】221(2)12()(2)(2)x x f x x x ⋅+-⋅'==++，曲线f (x )=2xx +在点(-1，-1)处的切线斜率(1)2k f '=-=，曲线f (x )=2xx +在点(-1，-1)处的切线方程为y +1=2(x +1)，即y =2x +1. 故选：A3．曲线y ＝x sin x 在点(,)22ππ-处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 （ ）A ．22πB ．π2C ．2π2D ．12(2＋π)2 【答案】A 【详解】sin cos y x x x '=+，所以21x y π=-'=-，所以曲线y ＝x sin x 在点,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的顶点为O (0，0)，A (π，0)，C(π，－π)，所以三角形面积为22π. 故选：A 4．曲线1ln y x x=-在1x =处的切线在y 轴上的截距为___________. 【答案】3- 【详解】211y x x'=+，当1x =时，2y '=，即切线斜率为2， 又当1x =时，1y =-，所以切线方程为()()121y x --=-，即23y x =-， 令0x =得3y =-，即切线在y 轴上的截距为3-. 四、求过一点处的切线1．过点(3，5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程为________________． 【答案】2x －y －1＝0和10x －y －25＝0 【详解】解析：y ′＝()2200lim lim 2x x x x x y x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆．设所求切线的切点为A (x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2上，∴y 0＝20x ． 又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率k ＝2x 0．∵所求的切线过点(3，5)和A (x 0，y 0)两点，∴其斜率又为200005533y x x x --=--， ∴2x 0＝20053x x --，解得x 0＝1或x 0＝5．从而切点A 的坐标为(1，1)或(5，25)． 当切点为(1，1)时，切线的斜率k 1＝2x 0＝2； 当切点为(5，25)时，切线的斜率k 2＝2x 0＝10．∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)， 即2x －y －1＝0和10x －y －25＝0． 故答案为：2x －y －1＝0和10x －y －25＝02．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝3x 的切线，则k 的值为________． 【答案】e ln 3 【详解】设切点为(m ，3)m ，3x y =的导数为ln 33x y '=，由题意可得n 33l m k =， 且3m km =，解得3log m e =，ln 3k e =． 故答案为：e ln 3． 五、已知切线斜率求参数1．设f (x )＝ae x +b ln x ，且f ′（1）＝e ，f ′（﹣1）＝1e，则a +b ＝__． 【答案】1 【详解】解：∵()xb f x ae x'=+， ∴()1f '＝ae +b ＝e ①，()11a f b e e'-=-=②， 联合①②解得10a b =⎧⎨=⎩，∴a +b ＝1． 故答案为：1．2．若曲线y =2x 2-4x +p 与直线y =1相切，则p =________． 【答案】3 【分析】设曲线y =2x 2-4x +p 与直线y =1相切的切点坐标，再求导，利用导数的几何意义即可得解. 【详解】设曲线y =2x 2-4x +p 与直线y =1相切的切点A (x 0，1)，由y =2x 2-4x +p 求导得44y x '=-，再由导数的几何意义知0440x -=，即x 0=1， 切点A (1，1)在曲线y =2x 2-4x +p 上，则p =3. 故答案为：33．曲线()ln f x ax x x =-在点()()1,1f 处的切线与直线0x y +=垂直，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】D 【详解】解：()f x ax xlnx =-的导数为()1f x a lnx '=--， 可得在点()()1,1f 处的切线的斜率为()11k f a '==-， 由切线与直线0x y +=垂直，可得11a -=， 解得2a =， 故选：D ．六、两直线平行垂直公切线问题1．已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点()0,1-，并且与曲线()y f x =相切，则直线l 的方程为______________． 【答案】10x y --= 【详解】∵点()0,1-不在曲线()ln f x x x =上，设切点坐标为00(,)x y ． 又∵()1ln f x x '=+，所以()001ln f x x '=+∴()ln f x x x =在00(,)x y 处的切线方程为()()0000ln ln 1y x x x x x -=+-， ∵切线l 过点()0,1-，∴()()00001ln ln 1x x x x --=+-，解得01x =， ∴直线l 的方程为：1y x =-，即直线方程为10x y --=. 故答案为：10x y --=．2．已知函数()ln f x a x =在点(1,0)处的切线与曲线3()g x x bx =+相切，且该切线经过点(0,16)-，则a =________，b =________． 【答案】16 4 【详解】解：因为()ln f x a x =，所以()af x x'=，所以()1f a '=，所以函数()ln f x a x =在点(1,0)处的切线为()1y a x =-，由因为切线过点(0,16)-，所以()1601a -=-，解得16a =，所以切线方程为()161y x =-，因为3()g x x bx =+，所以2()3g x x b =+'，设切点为()00,x y ，则()2003000()316161g x x b x x bx ⎧=+=-='⎪⎨+⎪⎩，解得024x b =⎧⎨=⎩ 故答案为：16；43．若存在过点O (0，0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切则a 的值为________． 【答案】1或164【详解】易知点O (0，0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上．（1）当O (0，0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2， 即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x ． 由22,y x y x a=⎧⎨=+⎩得x 2－2x ＋a ＝0，依题意，Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1． （2）当O (0，0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则32000032y x x x =-+，0200362x x k y x x ='==-+，①又20000=32y k x x x =-+，②；联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以14k =-，故直线l 的方程为14y x =-．由214y x y x a ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得2104x x a ++=，依题意，14016a ∆=-=，得a ＝164．综上，a ＝1或a ＝164． 故答案为：1或164七、已知某点处导数求参数或自变量1．函数()xf x e =在点()()00,x f x 处的切线与直线yx =-垂直，则0x =（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．e【答案】A 【详解】()x f x e '=，则在点0x 处切线斜率00()x k f x e '==，因为与yx =-垂直的斜率1k =，所以()001xf x e '==，解得00x =.故选：A2．已知曲线ln y x x =，若()02f x '=，则0x =（ ） A ．2e B ．eC ．ln 22D ．ln 2【答案】B 【详解】由ln y x x =可得ln 1yx ，则()00ln 12f x x =+'=，解得0x e =. 故选：B.3．设()xf x xe =，若()0=0f x '，则0x 等于（ ）A ．2eB ．1-C ．ln 22D ．ln 2【答案】B 【详解】解析：∵()()1xxxf x e xe x e '=+=+，∴()()00010xf x x e '=+=，∴010x +=，∴01x =-， 故选：B.4．已知点(),P a b 是曲线C ：y ＝321132x x -+1上的点，曲线C 在点P 处的切线平行于直线6x ﹣3y ﹣7＝0，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1 B ．2C ．﹣1或2D ．1或﹣2【答案】A 【详解】 ∵y ＝321132x x -+1， ∴2y x x '=-，∵曲线C 在点P 处的切线平行于直线6x ﹣3y ﹣7＝0， 结合题意得：2|2x a y a a ='=-=， 解得：a ＝2或1a =-， 当2a =时，32115223213b +⨯-==⨯， 切点坐标为2,3⎛⎫⎪⎝⎭5，代入5623703⨯-⨯-=，所以不合题意，舍去，当1a =-时，()()32111113216b =⨯-+-=⨯-， 切点坐标为11,6⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入()1613706⨯--⨯-≠， 故选：A 八、最值问题1．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线21y x x=+(0)x >上的一个动点，则点P 到直线y x =的距离的最小值是____________.【答案】2【详解】设21()(0)f x x x x =+>，则322121()2x f x x x x-'=-=，令()0f x '=，即3210x -=，解得x =，当0x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 如图，画出函数大致图象以及直线y x =，当直线y x =的平行直线与曲线21(0)y x x x=+>相切时，切点P 到直线y x =的距离最小.设切点00(,)P x y ，切线斜率为k ，由300221()1x k f x x -'===，解得01x =，即点(1,2)P . 则点(1,2)P 到直线y x =的距离2d ==故答案为：2.2．点P 是f (x )＝x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －1的最短距离是________．【答案】8【详解】与直线y ＝x －1平行的f (x )＝x 2的切线的切点到直线y ＝x －1的距离最小． 设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2x 0＝1， ∴x 0＝12 ，y 0＝14.即P 11(,)24到直线y ＝x －1的距离最短． ∴d＝8.故答案为：8.3．已知函数()2ln f x x x =+，点P 为函数()f x 图象上一动点，则P 到直线34y x =-距离的最小值为___________.(注ln 20.69≈)【详解】 解：()12f x x x'=+，()0x >， 与直线34y x =-平行的切线斜率132k x x==+，解得1x =或12x =，当1x =时，()11f =，即切点为()1,1， 此时点P 到直线34y x =-的距离为d ==； 当12x =时，11ln 224f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即切点为11,ln 224⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时点P 到直线34y x =-的距离为(11ln 2114ln 2405d --===>故答案为：5. 4．平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线3(1)y x x x=+上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是（ ）A．B ．4CD．【答案】D 【详解】由3(1)y x x x=+，得231y x '=-，设斜率为1-的直线与曲线3(1)y x x x=+切于点0(P x ，003)x x +， 由20311x -=-，解得001)x x =； ∴曲线3(1)y x x x=+上，点P到直线0x y +=的距离最小，最小值为|d ==故选：D ． 九、导数数计算1．函数()f x = ）A ．B CD 【答案】C 【详解】解析：因为()78f x x ======，所以()711887788f x x x --'===，故选：C.2．求下列函数的导数． （1）y ＝41x ；（2）y ＝ （3）y ＝2sin2x cos 2x .【答案】（1）y ′＝－54x ；（2）y '=（3）y ′＝cos x .【详解】 解：(1)∵y ＝41x ＝x －4，∴y ′＝－4x －5＝－54x .(2)31223,2y x x x y x '==∴==(3)∵y ＝2sin 2x cos 2x＝sin x ， ∴y ′＝cos x .3．求下列函数的导数．（1）sin cos 22x x y x =-⋅； （2）cos y x =． 【答案】（1）11cos 2y x '=-；（2）y '=．【详解】解：（1）∵1sin cos sin 222x x y x x x =-⋅=-， ∴11cos 2y x '=-． （2）∵()cos cos x x y x'''⋅'===∴y '=.。
导数大题专题及答案
导数大题专题题型一．求含参数的单调性问题一．讨论是否存在极值点问题1.求f(x)= -ax+1 的单调区间2. 已知函数f(x) x a(其中 a R). x11(Ⅰ)若函数 f (x) 在点(1,f (1))处的切线为y 1 x b，求实数a,b的值；Ⅱ)求函数 f (x) 的单调区间.3. 设函数f(x) x3 3ax b(a 0) .(Ⅰ)若曲线y f (x)在点(2, f (x))处与直线y 8相切，求a,b的值；(Ⅱ)求函数f(x) 的单调区间与极值点.1．设a 0且a ≠1，函数f(x) 1x2 (a 1)x aln x.21)当a 2时，求曲线y f(x)在(3， f (3) )处切线的斜率；2)求函数f(x) 的极值点2.已知函数 f (x) (x2 ax 2a2 3a)e x(x R), 其中 a R(1) 当 a 0时，求曲线y f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率；2(2) 当 a 2时，求函数 f (x)的单调区间与极值。
33.(本小题13分)设函数f(x) =[ ax2(4a 1)x 4a 3 ] e xⅠ)若曲线y= f (x)在点( 1， f (1) )处的切线与x轴平行，求a；Ⅱ)若 f (x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围．x4.已知函数 f (x) (x k)2e k。
求 f (x)的单调区间；三． 讨论极值点和定义域问题11．已知函数 f (x) aln x ,a R .x (I )若曲线 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线与直线 x 2y 0垂直，求 a 的值； (II )求函数 f(x) 的单调区间(Ⅰ)当k =2时，求曲线 y= f ( x )在点(1，f (1)) 处的切线方程； (Ⅱ)求 f ( x )的单调区间 2. 已知函数 f ( x )=In(1+ x )- x2x +2 x ( k3.(本小题满分13 分) 已知函数f(x) ln(x 1) ax 1 a( a1).x 1 2(Ⅰ)当曲线y f (x) 在(1, f (1))处的切线与直线l : y 2x 1平行时，求a的值；(Ⅱ)求函数f(x) 的单调区间.四．讨论极值点和区间的关系问题1.(本小题满分13 分)已知函数 f (x) x2 2a 1,其中 a 0.x(I )若曲线y f(x) 在(1, f (1))处的切线与直线y 1平行，求a的值；II )求函数f(x) 在区间[1,2] 上的最小值.2.已知函数f(x) ln x a。
高三第一轮复习 导数(导数的概念)
导 数导数的概念【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）主干知识归纳1. 导数的定义(1) 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(2) 函数f (x )的导函数（导数）函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′.2. 基本初等函数的导数公式：（1）若()f x c =(c 为常数),则()_____f x '=0； （2）若)()(Q x x f ∈=αα，则1)(-='ααx x f ；（3）若()sin f x x =，则()_____f x '=x cos ；（4）若()cos f x x =，则()_____f x '=x sin -； （5）若()x f x e =，则()_____f x '=x e ； （6）若()()01x f x a a a =>≠且，则()_____f x '=a a xln ⋅； （7）若()ln f x x =，则()_____f x '=x1； （8）若()()log 01a f x x a a =>≠且，则()_____f x '=ax ln 1⋅.方法规律总结1.应认真区分两个“导数”的定义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数与函数f (x )的导函数（导数）.2.应注意公式的幂函数结构，不要与指数函数x a y =结构混淆.3.本节公式是下面几节课的基础，公式必须牢记.记准公式是学好本章内容的关键.4.对公式的记忆，要注意观察公式之间的联系.（1）上述基本初等函数的求导公式可分为四类，以便于记忆.① 幂函数类（注：指数α可推广到全体实数）；② 三角函数类；③ 指数函数类；④ 对数函数类.（2）对于()cos f x x =的求导公式，容易遗漏“-”. （3）对于()()01x f x a a a =>≠且和()()log 01a f x x a a =>≠且的导函数，容易弄错a ln 的位置.可用换底公式xa a x x a 1ln 1)ln ln ()(log ⋅='='加强记忆，找出差异并区分a a a x x ln )(⋅='.【指点迷津】【类型一】定义法求函数的导数【例1】：用定义法求下列函数的导数：(1) xy 2=； (2) 12+=x y . 【解析】：(1) x x x y 22-∆+=∆=x x x x )(2∆+∆-，∴=∆∆x y xx x )(2∆+-， ∴202limxx y y x -=∆∆='→∆.(2) 121)(2+-+∆+=∆x x x y ，∴x x x x x y ∆+-+∆+=∆∆121)(2121)(22+++∆+=x x x ，∴121lim0+=∆∆='→∆x xy y x .答案：(1) 22xy -='，(2) 121+='x y .【例2】：设)(x f 在0x x =处可导，且1)()3(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ,则)(0x f '＝ ( )A ．1B ．0C ．3D ．31【解析】：)(0x f '==∆-∆+→∆x x f x x f x 3)()3(lim 00031131)()3(lim 31000=⨯=∆-∆+→∆x x f x x f x .答案： D【例3】：已知函数x x x f 8ln 2)(+=，则xf x f x ∆-∆+→∆)1()21(lim的值为（ ）A ．﹣20B ．﹣10C ．10D ．20【解析】：由82)(+='xx f ，有10)1(='f , 所以=∆-∆+→∆x f x f x )1()21(lim 0=∆-∆+→∆xf x f x 2)1()21(lim 20=)1(2f '=20102=⨯.答案： D【类型二】基本初等函数的求导【例1】：求下列函数的导数：(1) 3π=y ，（π为圆周率）； (2) 21xy =； (3) 53x y =.【解析】：(1) 0='y .(2) 由221-==x x y ，有33222)(x x x y -=-='='--.(3) 由5353x x y ==，有52525315353)(x x x y =='='-. 答案：(1) 0='y . (2) 32x y -='. (3) 52153x y ='.【例2】：求下列函数的导数：(1) x x y =； (2) x y 5=； (3) x y 5log =. (4) 3sin π=y ；【解析】：(1) )(23'='x y 2123x =. (2) 5ln 5⋅='x y . (3) 5ln 1⋅='x y . (4) 0='y . 答案：(1) y '2123x =. (2) 5ln 5⋅='x y .(3) 5ln 1⋅='x y . (4) 0='y . 【类型三】导数的简单应用【例1】：在高台跳水运动中，t s 时运动员相对水面的高度（单位：m ）是105.69.4)(2++-=t t t h ，高台跳水运动员在t =1 s 时的瞬时速度为_______________.【解析】：5.68.9)(+-='t t h ,有3.35.68.9)1(-=+-='h m/s. 答案：3.3- m/s.【例2】：为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预测，这五种方案均能在规定时间T 完成预期的运输任务0Q ，各种方案的运煤总量Q 与时间t 的函数关系如图所示．在这五种方案中，运煤效率(单位时间的运煤量)逐步提高的是________．(填写所有正确的图象的编号)【解析】：②中切线的斜率逐渐增大，故②正确． 答案：②【例3】：设x x f sin )(0=，=)(1x f )(0x f '， =)(2x f )(1x f '，……，=+)(1x f n )(x f n '，N n ∈，则=)(2016x f ________．【解析】：由x x f sin )(0=有=)(1x f x cos ， =)(2x f x sin -， =)(3x f x cos -，=)(4x f x sin ，……，有=)(x f n )(4x f n +，则=)(2016x f x x f sin )(0=.答案：x sin .【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题 1．若'0()3f x =-，则=--+→hh x f h x f h )()(lim000（ ）A ．3-B ．6-C ．9-D ．12- 【解析】：6)(22)()(lim 2)()(lim0000000-='=--+⨯=--+→→x f hh x f h x f h h x f h x f h h ,故选B.答案：B.2．已知函数f (x )＝f ′(2π)sin x ＋cos x ，则f (4π)＝ ( ) A ．0 B ．22 C ．22- D ．2 【解析】：由已知：f ′(x )＝f ′(2π)cos x －sin x . 则f ′(2π)＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ，f (4π)＝0.答案：A .3．如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A.)21,41(B ．(1,2) C. )1,21(D ．(2,3)【解析】：由图象可得01=++b a ，210<<b ，所以2110<--<a ，有231<-<a ，即123-<<-a ， 由g (x )＝ln x ＋2x ＋a ，有g (21)＝ln 21＋1＋a 0<，g (1)＝2＋a 0>，所以函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点在)1,21(内．答案：C ．4．曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴及直线=x 1所围成的三角形的面积为 ( )A ．121B ．61C ．31 D ．21【解析】：求导得23x y =',所以3=切k ,所以曲线在点)1,1(处的切线方程为)131-=-x y （. 结合图象易知所围成的三角形是直角三角形,三个交点的坐标分别为)0,32(,)0,1(,)1,1(, 于是三角形的面积为=⨯-⨯132121）（61 答案：B ．5．已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)＝ ( )A ．12B ．1C ．32D ．2【解析】：因为点(1，f (1))在直线x －2y ＋1＝0上，所以1－2f (1)＋1＝0，得f (1)＝1.又f ′(1)＝12，所以f (1)＋2f ′(1)＝1＋2×12＝2.答案：D ． 二、填空题6．设函数)(x f 在(0，＋∞)内可导，且x x e x e f +=)(，则f′(1)＝________． 【解析】：x x e x e f +=)(，利用换元法可得)(x f ＝x x +ln ，=')(x f x1＋1，所以=')1(f 2. 答案：2.7．若曲线x kx y ln +=在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________． 【解析】：∵y′＝k ＋x1，∴y ′|1=x ＝k ＋1＝0，故k ＝－1. 答案：－1. 8．曲线xy 1=上点P 处的切线平行于直线074=-+x y ,则点P 的坐标为________. 【解析】：设曲线上的点为（001,x x ），则201|0x y x x -='=，由切k 4120-=-=x ，有210±=x ， 故所求点P 为：（2,21）或（2,21--）. 答案：（2,21）或（2,21--）.三、解答题9．求下列函数的导数：(1) y ＝sin2x cos 2x ； (2) y ＝(x ＋1)(1x －1)； (3) y ＝x (1＋|x |)．【解析】：(1) ∵ y ＝sin2x cos 2x ＝12sin x ， ∴ y ′＝12cos x .(2) ∵ y ＝1－x x ＝1x－x ＝21-x －21x ， ∴ y ′＝－1223-x －1221-x .(3) ∵ y ＝x ＋x |x |＝⎩⎨⎧ x ＋x 2，x ≥0，x －x 2，x ＜0. ∴ y ′＝⎩⎨⎧1＋2x ，x ≥0，1－2x ，x ＜0.答案：(1) y ′＝12cos x . (2) y ′＝－1223-x －1221-x . (3) y ′＝⎩⎨⎧1＋2x ，x ≥0，1－2x ，x ＜0.10. 已知曲线1)(+=n x x f （*N n ∈）与直线1=x 交于点P ，设曲线)(x f y =在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，求201421201520152015log log log x x x +⋅⋅⋅++的值.【解析】：n x n x f )1()(+='，=k 1)1(+='n f ，点P(1，1)处的切线方程为)1)(1(1-+=-x n y ，令0=y ，得1111+=+-=n n n x ，即1+=n n x n ，所以20151201421=⋅⋅⋅⋅⋅⋅x x x ， 所以201421201520152015log log log x x x +⋅⋅⋅++=)(log 2014212015x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=1-.答案：1-.【二级目标】能力提升题组一、选择题1．已知函数x a x f ππsin )(-=，且2)1()1(lim 0=-+→h f h f h ，则a 的值为（ ）A.2-B.2C.π2D.π2-【解析】：x a x f πcos )(⋅-=',有a f =')1(, 所以='=)1(f a 2)1()1(lim 0=-+→hf h f h ,故选B.答案：B.2．如图所示，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为 ( )A ．y ＝1125x 3－35xB ．y ＝2125x 3－45xC ．y ＝3125x 3－xD ．y ＝－3125x 3＋15x【解析】：设该三次函数的解析式为y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d .因为函数的图象经过点(0，0)，所以d ＝0，所以y ＝ax 3＋bx 2又图象过点(－5，2)，(5，－2)，故b ＝0，所以y ＝ax 3＋cx ， 将点(－5，2)代入得－125a －5c ＝2.又由该函数的图象在点(－5，2)处的切线平行于x 轴，y ′＝3ax 2＋c ， 得当x ＝－5时，y ′＝75a ＋c ＝0.联立⎩⎨⎧=+=--07525125c a c a ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-==531251c a , 故该三次函数的解析式为y ＝1125x 3－35x .答案：A ．二、填空题 3．已知函数x x f =)(，x a x g ln )(=，R a ∈.若曲线=y )(x f 与=y )(x g 相交，且在交点处有共同的切线，则切线方程为________________．【解析】：x x f 21)(='，x a x g =')(（0>x ）,由已知得⎪⎩⎪⎨⎧==x a x xa x 21ln ，解得2e a =，2e x =. ∴ 两条曲线交点的坐标为),(2e e ，切线的斜率为ee f k 21)(2='=， ∴ 切线方程为)(212e x e e y -=-，即221ex e y +=.答案：221e x e y +=. 三、解答题4. 设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，求PQ 最小值.【解析】：函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称， 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =，设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=， 由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d =-.min 2ln 2)d -【高考链接】1.（2015年全国I 卷文科第12题）设函数)(x f '是奇函数)(x f )(R x ∈的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时，-')(x f x 0)(<x f ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是 （ ）A.)1,0()1,( --∞B. ),1()0,1(+∞-C. )0,1()1,(---∞D. ),1()1,0(+∞ 【解析】：构造函数x x f x g )()(=，则由已知可得当0>x 时，0)()()(2<-'='x x f x f x x g ，所以)(x g 在),0(+∞上单调递减，又)(x f 是奇函数，有)(x g 是偶函数，所以)(x g 在)0(，-∞上单调递增，且0)1()1(==-g g ，所以当∈x )1,0()1,( --∞时，0)(>x f .故选A.A.5太贝克B.2ln 75太贝克C.2ln 150太贝克D.150太贝克 3.（2013年全国新课标卷Ⅰ理科第11题）已知函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-0),1ln(0,22x x x x x ，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]【解析】：方法一：若x ≤0，|f (x )|＝|x x 22+-|＝x x 22-，x ＝0时，不等式恒成立，x <0时，不等式可变为a ≥x －2，而x －2<－2，可得a ≥－2；若x >0，|f (x )|＝|ln(x ＋1)|＝ln(x ＋1)，由ln(x ＋1)≥a x ，可得a ≤xx )1ln(+恒成立， 令h (x )＝x x )1ln(+，则h ′(x )＝2)1ln(1x x x x+-+，再令g(x )＝1+x x －ln(x ＋1)，则 g ′(x )＝2)1(+-x x<0，故g(x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x )<g(0)＝0，可得h′(x )＝2)1ln(1x x x x+-+<0，故h (x )在(0，＋∞)上单调递减，x →＋∞时，h (x )→0，所以h (x )>0，a ≤0.综上可知，－2≤a ≤0，故选D.方法二：数形结合：画出函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-0),1ln(0,22x x x x x 与直线y ＝ax 的图象，如下图，要使|f (x )|≥ax 恒成立，只要使直线y ＝ax 的斜率最小时与函数y ＝x x 22-，x ≤0在原点处的切线斜率相等即可，最大时与x 轴的斜率相等即可，因为y ′＝2x －2，所以y ′|0=x ＝－2，所以－2≤a ≤0.答案：D.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
导数复习总结答案一 导数运算(1)y ′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x －e x sin x . (2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝1－12cos x .(3)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln (2x ＋1)x ′＝[ln (2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2＝(2x ＋1)′2x ＋1·x －ln (2x ＋1)x 2＝2x2x ＋1－ln (2x ＋1)x 2＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 2.二 导数的几何意义1函数y ＝kx ＋ln x 的导函数y ′＝k ＋1x ， 由导数y ′|x ＝1＝0，得k ＋1＝0，则k ＝－1. 2.因为f (x )＝x ln x ＋1， 所以f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1. 因为f ′(x 0)＝2，所以ln x 0＋1＝2， 解得x 0＝e ，所以y 0＝e ＋1.由点斜式得，f (x )在点(e ，e ＋1)处的切线方程为y －(e ＋1)＝2(x －e)，即2x －y －e ＋1＝0. 3. (1)f ′(x )＝a e x－1a e x ＝(a e x－1)(a e x＋1)a e x .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 1a >0. 当0≤x <ln 1a 时，f ′(x )<0； 当x >ln 1a ，f ′(x )>0.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ln 1a 上递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 1a ，＋∞上递增． 从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1a ＝2＋b .(2)∵y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线为y ＝32x ， ∴f (2)＝3，且f ′(2)＝32， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a e 2＋1a e 2＋b ＝3a e 2－1a e 2＝32①②解之得b ＝12且a ＝2e 2.三 利用导数研究函数的单调性1. 解 (1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x－x 2，∴f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x (e x －2)． 令f ′(x )>0，即x (e x －2)>0， ∴x >ln 2或x <0.令f ′(x )<0，即x (e x －2)<0，∴0<x <ln 2. 因此函数f (x )的递减区间是(0，ln 2)； 递增区间是(－∞，0)和(ln 2，＋∞)． (2)易知f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x (e x －2k )． ∵f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，∴当x ≥0时，f ′(x )＝x (e x －2k )≥0恒成立． ∴e x －2k ≥0，即2k ≤e x 恒成立． 由于e x ≥1，∴2k ≤1，则k ≤12.又当k ＝12时，f ′(x )＝x (e x －1)≥0当且仅当x ＝0时取等号． 因此，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.2. 解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2－2ax －3.由f ′(x )≥0，得a ≤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x .记t (x )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ，则t ′(x )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2， 所以当x ≥1时，t (x )是增函数，∴t (x )min ＝32(1－1)＝0.∴a ≤0. 故实数a 的取值范围是(－∞，0]．(2)由题意，得f ′(3)＝0，即27－6a －3＝0，∴a ＝4. ∴f (x )＝x 3－4x 2－3x ，f ′(x )＝3x 2－8x －3. 令f ′(x )＝0，得x ＝－13或3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： ↗↘↗∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎦⎥⎤－∞，－13，[3，＋∞)；f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎦⎥－13，3.四 利用导数研究函数的极值 1. 解 (1)由f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1， ∴f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴， ∴该切线斜率为0，即f ′(1)＝0. 从而a －12＋32＝0，∴a ＝－1.(2)由(1)知，f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)， ∴f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝1或－13(舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3，f (x )无极大值．2. (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .又1和－1是函数f (x )的两个极值点，∴⎩⎨⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0. 解得，a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)知，f (x )＝x 3－3x ，g ′(x )＝x 3－3x ＋2. 由g ′(x )＝0，得(x －1)2(x ＋2)＝0， ∴g ′(x )＝0的根为x ＝－2或1.当x <－2时，g ′(x )<0；当－2<x <1时，g ′(x )>0. ∴x ＝－2是函数g (x )的极小值点．当－2<x <1或x >1时，g ′(x )>0，故1不是g (x )的极值点． 所以g (x )的极小值点为－2，无极大值点. 五 利用导数求函数的最值1.(1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ， 由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16， 故有⎩⎨⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎨⎧12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16.化简得⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：由题设条件知，16＋c ＝28，解得c ＝12，此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝c －16＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.2. (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx(x >0)，又f (x )过点P (1,0)，且在点P 处的切线斜率为2，∴⎩⎨⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝2，即⎩⎨⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得a ＝－1，b ＝3. (2)由(1)知，f (x )＝x －x 2＋3ln x ，其定义域为(0，＋∞)， ∴g (x )＝2－x －x 2＋3ln x ，x >0， 则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x .当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减． ∴g (x )的最大值为g (1)＝0，g (x )没有最小值．六 不等式问题1. (1)由已知，得f ′(x )＝2ax ＋1x ＝2ax 2＋1x (x >0)．①当a ≥0时，恒有f ′(x )>0， 则f (x )在(0，＋∞)上是增函数． ②当a <0时，若0<x <－12a ，则f ′(x )>0，故f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，－12a 上是增函数；若x >－12a ，则f ′(x )<0，故f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12a ，＋∞上是减函数．综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数； 当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，－12a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12a ，＋∞上是减函数．(2)由题意，知对任意a ∈(－4，－2)及x ∈[1,3]， 恒有ma －f (x )>a 2成立，等价于ma －a 2>f (x )max . 因为a ∈(－4，－2)，所以24<－12a <12<1.由(1)，知当a ∈(－4，－2)时，f (x )在[1,3]上是减函数， 所以f (x )max ＝f (1)＝2a ，所以ma－a2>2a，即m<a＋2.因为a∈(－4，－2)，所以－2<a＋2<0，即m≤－2. 所以实数m的取值范围是(－∞，－2]．2.(1)由f(x)＝ln x＋ke x，得f′(x)＝1－kx－x ln xx e x，x∈(0，＋∞)．由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝1x－ln x－1e x，x∈(0，＋∞)．设h(x)＝1x－ln x－1，则h′(x)＝－1x2－1x<0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数，由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>0，从而f′(x)>0，当x>1时，h(x)<0，从而f′(x)<0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．(3)由(2)可知，当x≥1时，g(x)＝xf′(x)≤0<1＋e－2，故只需证明g(x)<1＋e－2在0<x<1时成立．当0<x<1时，e x>1，且g(x)>0，∴g(x)＝1－x ln x－xe x<1－x ln x－x.设F(x)＝1－x ln x－x，x∈(0,1)，则F′(x)＝－(ln x＋2)，当x∈(0，e－2)时，F′(x)>0，当x∈(e－2,1)时，F′(x)<0，所以当x＝e－2时，F(x)取得最大值F(e－2)＝1＋e－2.所以g(x)<F(x)≤1＋e－2.综上，对任意x>0，g(x)<1＋e－2.七导数在方程(函数零点)中的应用1.由f(x)＝x2＋x sin x＋cos x，得f′(x)＝2x＋sin x＋x(sin x)′－sin x＝x(2＋cos x)．(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)设g(x)＝f(x)－b＝x2＋x sin x＋cos x－b.令g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cos x)＝0，得x＝0.当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：所以函数g(x)在区间(g(x)的最小值为g(0)＝1－b.①当1－b≥0时，即b≤1时，g(x)＝0至多有一个实根，曲线y＝f(x)与y＝b最多有一个交点，不合题意．②当1－b<0时，即b>1时，有g(0)＝1－b<0，g(2b)＝4b2＋2b sin 2b＋cos 2b－b>4b－2b－1－b>0.∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点，又y＝g(x)在R上是偶函数，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点．故当b>1时，y＝g(x)在R上有两个零点，则曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点．综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．2. (1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．由f′(x)＝0，得x＝－1或a(a>0)．当x变化时f′(x)与f(x)的变化情况如下表：↗↘↗故函数f(x(2)由(1)知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增；在区间(－1,0)内单调递减．从而函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，当且仅当⎩⎨⎧f (－2)＜0，f (－1)＞0，f (0)＜0，解得0＜a ＜13.所以，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.八 用定积分求曲边梯形的面积1.设f (x )＝a (x ＋1)(x －1)(a <0)．因为f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2. 所以S ＝＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43.2.由⎩⎨⎧ y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k0＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2.。