平行四边形单元 易错题难题测试基础卷

②由①知： ，∴ .
∵ ，∴ .
∵ ，∴ .
∵ ， ，∴ .
∵ ，∴ .
∴ 是等边三角形.
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（3）如图 ，当点 在线段 的延长线上时，直接写出线段 、 、 与 长度之间的等量关系为．
9．直线 是同一平面内的一组平行线．
(1)如图1．正方形 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点 ，点 分别在直线 和 上，求正方形的面积；
(2)如图2，正方形 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为 ．
（2）如图2，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，O为BP的中点，连接EO．若∠PBC＝30°，求∠POE的度数；
（3）在（2）的条件下，若OE＝ ，求CE的长．
8．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：
如图 ， ，点 为边 上一定点，点 为边 上一动点，以 为一边在∠MON的内部作正方形 ，过点 作 ，垂足为点 （在点 、 之间），交 与点 ，试探究 的周长与 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：
则 ，
在 与 中
；
（2） ，
， ，
，
又 ，
，
四边形 为平行四边形；
（3）当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形.
∵AC=2AB，AC=2AO，
∴AB=AO，
∵点E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠GEF=90°，
∴四边形 是矩形.
故答案为：AC=2AB.
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，矩形的判定定理，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握各知识点并运用解题是关键.
①求证： ；
②设正方形 的面积为 ，求证 ．
10．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，AE是∠BAD的平分线，则线段AB，AD，DC之间的等量关系为；
（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，AE是∠BAF的平分线，试探究线段AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论；
（2）利用 得到∠EAO=∠FCO，AE=CF，由此推出AE∥CF，EG=CF即可证得四边形 是平行四边形；
（3）AC=2AB，根据平行四边形的性质推出AB=AO，利用点E是OB的中点，得到AG⊥OB，即可得到四边形 是矩形.
【详解】
（1） 四边形 为平行四边形，
， ，
点 、 分别为 、 的中点，
， ，
2．（1） ；（2）①证明见解析；②证明见解析
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得到∠DAE＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠DAH＝∠EAH，求出∠HAB＝45°，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案；
（2）①根据线段垂直平分线的性质得到CB＝CE，根据平行四边形的性质得到AD＝BC，得到DE＝CE，利用SAS定理证明结论；
平行四边形单元 易错题难题测试基础卷
一、解答题
1．如图，在 中，对角线 、 相交于点 ，点 、 分别为 、 的中点，延长 至 ，使 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）四边形 是平行四边形吗？请说明理由；
（3）若四边形 是矩形，则线段 、 的数量关系是______．
2．在 中，以 为边在 内作等边 ，连接 ．
（1）如图1，若点 在对角线 上，过点 作 于点 ，且 ， ，求 的长度；
（2）如图2，若点 是 的中点，且 ，过点 作 ，分别交 ， 于点 ，在 上取 ，连接 ， ．求证：
① ；
② 是等边三角形．
3．如图，平行四边形 中， ， ， ， 是 的中点， 是边 上的动点， 的延长线与 的延长线交于点 ，连接CE， ．
（动手操作，归纳发现）
（1）通过测量图 、 、 中线段 、 、 和 的长，他们猜想 的周长是 长的_____倍．请你完善这个猜想
（推理探索，尝试证明）
为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：
（2）如图 ，过点 作 ，垂足为点
则
又 四边形 正方形，
，
则
在 与 中，
（类比探究，拓展延伸）
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）①当 的长为多少时，四边形 是矩形；
②当 时，四边形 是菱形，（直接写出答案，不需要说明理由）．
4．如图，在 中， 平分 交 于点 ， 垂直平分 ，分别交 ， ， 于点 ， ， ，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ， ，求 的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形 的面积．
5．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．
（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；
（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；
（3）若AB＝1，BC＝ ，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．
6．如图，在边长为1的正方形 中， 是边 的中点，点 是边 上一点（与点 不重合），射线 与 的延长线交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，点 是 的中点，连结 ，
①求证：四边形 是平行四边形；
②求 的长．
7．如图1，已知四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上的一点，连接AE，CE．
（1）求证：AE＝CE；
②根据全等三角形的性质得到EN＝EG，根据等边三角形的判定定理证明即可．
【详解】
（l）∵ 是等边三角形，∴ .
∵ ，∴ .
∵ ，∴ .
∴ .
（2）①∵点 是 的中点，且 ，
∴线段 是线段 的垂直平分线.
∴ ， .
∵ 是等边三角形，∴ .
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ Βιβλιοθήκη Baidu∴ .
在 和 中， ，
∴ .
（3）联想拓展：如图③，AB∥CF，E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，试探究线段AB，DF，CF之间的数量关系，并证明你的结论．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）见解析；（2）四边形 为平行四边形，理由见解析；（3）AC=2AB．
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到OE=OF即可证得结论；