高数复习索引
高考数学一轮复习目录
高考数学一轮复习书目一、集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1.3简洁的逻辑联结词、全称量词与存在量词二．函数1.1函数及其表示2.2函数的单调性与最值2.3函数的奇偶性与周期性2.4一次函数、二次函数2.5指数与指数函数2.6对数与对数函数2.7幂函数2.8函数的图象及其变换2.9函数与方程2.10函数模型及其应用三、导数及其应用3.1导数、导数的计算3.2导数在函数单调性、极值中的应用3.3导数在函数最值及生活实际中的应用3.4 微积分基本定理四、三角函数、解三角形4.1随意角和弧度制及随意角的三角函数4.2同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式4.3三角函数的图象与性质4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质4.5简洁的三角恒等变换4.6正、余弦定理及其应用举例五、平面对量5.1平面对量的概念及其线性运算5.2平面对量的基本定理及坐标运算5.3平面对量的数量积及其应用六、数列6.1数列的概念与简洁表示法6.2等差数列及其前n项和6.3等比数列及其前n项和6.4数列的通项与求和6.5数列的综合应用七、不等式7.1不等式的概念与性质7.2一元二次不等式及其解法7.3二元一次不等式组与简洁的线性规划问题7.4基本不等式及其应用八．立体几何8.1空间几何体的结构及其三视图与直观图8.2空间几何体的表面积与体积8.3空间点、直线、平面之间的位置关系8.4直线、平面平行的判定及其性质8.5直线、平面垂直的判定及其性质8.6空间向量及其运算8.7空间向量的应用九、解析几何9.1直线及其方程9.2点与直线、直线与直线的位置关系9.3圆的方程9.4直线与圆、圆与圆的位置关系9.5椭圆9.6双曲线9.7抛物线9.8直线与圆锥曲线的位置关系9.9曲线与方程十．计数原理10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理10.2排列与组合10.3二项式定理十一、概率与统计11.1事务与概率11.2古典概型与几何概型11.3离散型随机变量及其分布列11.4二项分布及其应用11.5离散型随机变量的均值与方差、正态分布11.6随机抽样与用样本估计总体11.7变量间的相关关系十二、选修部分选修4-4坐标系与参数方程选修4-5不等式选讲十三、算法初步、推理与证明、复数12.1算法与程序框图12.2基本算法语句12.3合情推理与演绎推理12.4干脆证明与间接证明12.5数学归纳法12.6数系的扩充与复数的引入。
《高等数学》(上)期末复习知识要点
1、 四则运算法则与复合运算法则（换元法）；2、 初等函数的连续性（代入法）： 00lim ()()x x f x f x →=；3、 两个重要极限：1）0sin lim1x x x→=，【特征：0sin lim 1→=】2）1lim(1)x x e x →∞+=（或1lim(1)n n e n→∞+=，10lim(1)x x x e →+=）；【特征：1lim(1)e →∞+= 】4、 存在准则：1）夹逼准则，2）单调有界准则；5、 洛必达法则：未定式00或∞∞（其它类型未定式：000,,,1,0∞⋅∞∞−∞∞必须转化）； 6、 等价无穷小量替换：只适用于乘除，加减不适用.（当0x →时，21cos 2x x −∼, sin (tan ,arctan ,arcsin ,1,ln(1)),x x x x x e x x −+∼(1)1a x x α+−∼(α为常数)等等)7、 无穷小的性质：有界量与无穷小的乘积、有限个无穷小的和与乘积均为无穷小等 8、 泰勒公式(麦克劳林公式)； 9、 微分中值定理；10、 定积分或导数定义*: 1）*【定积分定义】、设()f x 在[,]a b 上可积，则1lim ()()nb a n i b a b af a i f x dx n n→∞=−−+⋅=∑∫； 2）【导数定义】设()f x 在点a 处可导，则0()()()()lim()lim ()x ah f x f a f a h f a f a f a x a h→→−+−′′==−或.1、 函数()f x 在点0x 处连续000lim ()()lim ()lim ()()x x x x x x f x f x f x f x f x +−→→→⇔=⇔==；2、 间断点：1）第一类间断点：可去，跳跃；2）第二类间断点：无穷，振荡等.3、 连续函数的运算性质：连续函数的加减乘除仍为连续函数；连续函数的复合函数仍为连续函数 4、 初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内处处连续 5、 闭区间上连续函数的性质：1）有界性；2）最大值最小值定理；3）零点定理【闭上连续两端异号零点在开内】；4）介值定理及其推论一、 极限及其求法：二、 函数的连续性《高等数学》(上)期末复习要点1、 定义： 1）0000000()()()()()limlimx x x f x f x f x x f x f x x x x →∆→−+∆−′==−∆； 2）0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→−+∆−′==−∆3）0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x−−−→∆→−+∆−′==−∆4）000()()()f x f x A f x A +−′′′==⇔= 2、 求导法则：【必须牢记18个基本导数公式】 1） 显函数()y f x =：I、四则运算法则： ()[()()],[()()],[],[()]()u x u x v x u x v x ku x v x ′′′′±⋅； II、复合函数的求导法则：设(),()y f u u g x ==都可导，则[()]y f g x =的导数为(){[()]}()()[()]()u g x d f g x f u g x f g x g x dx =′′′′=⋅=⋅，或dy dy du dx du dx=⋅ III、反函数的求导法则：1dy dx dxdy= IV、对数求导法则（特别适用于幂指函数）：()y f x =，ln ||ln |()|y f x == （化简），y y′⇒= 2） 参数方程：()()x x t y y t =⎧⎨=⎩，()dy dydxg t dtdt dx == ，22()()d y dg t dg t dxdt dtdx dx=== ， 其它阶同理可求.3） 隐函数：(,)0F x y =（方程两边对x 求导，注意y 为x 的函数）10x y dyF F dx′′⇒⋅+⋅= 3、 高阶导数：234(4)()234(),(),(),,()n n n d y d y d y d y f x f x f x f x dx dx dx dx′′′′′==== 等4、 微分()dy f x dx ′=5、 关系：可微与可导等价；可导必连续，反之未必.三、 导数与微分1、 曲线的切线与法线方程：00()y y k x x −=−，0()k f x ′=切，01/()k f x ′=−法；2、 微分中值定理：首先必须验证定理的条件是否满足，然后根据定理下结论！1）Rolle 定理：()0()f a b ξξ′=<<；2）Lagrange 中值定理：()()()()()f b f a f b a a b ξξ′−=−<<；估计函数值之差3）Cauchy 中值定理：()()()()()()()f b f a f a bg b g a g ξξξ′−=<<′−；4）Taylor 中值定理：()(1)100000()()()()()()!(1)!k n nkn k f x f f x x x x x x x k n ξξ++==−+−+∑在与之间 3、 洛必达法则：00()()limlim ()()f x f x org x g x ∞∞′′，其它型未定式必须转化 4、 泰勒公式：熟悉5个常见带Peano 型余项的Maclaurin 公式5、 函数的单调性【一阶导符号判定】、极值、最值及其函数图形的凹凸性【二阶导符号判定】、拐点和渐近线 6、 不等式的证明：1）单调性；2）中值定理；3）凹凸性；4）最值 7、 方程根的存在性及唯一性：1）零点定理；2）Rolle 定理；3）单调性；4）极值最值等等 8、 恒等式的证明：若在区间I 上()0f x ′≡，则在区间I 上()f x C ≡2π1、 基本性质：线性，对积分区间的可加性，保号性（特别课后Ex.7：用连续性与不恒等于去等号），定积分中值定理【()()()()baf x dx f b a a b ξξ=−<<∫】，定积分的奇偶对称性、周期性.2、()()f x dx F x C =+∫与Newton-Leibniz 公式：()()bba af x dx F x =∫，（()()F x f x ′=）3、 换元法：1）第一类（凑微分法）；2）第二类：三角代换，倒代换等4、 分部积分法:1）三指动，幂不动；2）幂动，反对不动；3）凑同类所求便再现.5、 积分上限函数的导数：()()x a d f t dt f x dx =∫， ()()[()]()g x a d f t dt f g x g x dx′=⋅∫， 其中()f x 连续，()g x 可导，a 为常数，积分中的表达式()f t 必须与x 无关6、 有理函数的积分【假分式用除法化为多项式加真分式，真分式因式分解化为部分分式】以及可化为有理函数的积分【①三角函数有理式的积分：万能代换tan()2xt = ()x ππ−<<；②简单根式：线性函数或分式函数的根式讨厌要换之，开方不同最小公倍数】7、 反常积分：无穷限的反常积分或瑕积分，广义Newton－Leibniz 公式，特别注意瑕点在积分区间内部的瑕积分四、 导数的应用sin n xdx 】五、积分：不定积分，定积分，反常积分【必须牢记24个基本积分公式以及I n =∫1、 平面图形的面积：1） 直角坐标,x y ：a、 曲边梯形1{(,)|,0()}D x y a x b y f x =≤≤≤≤：()baA f x dx =∫；b、 上、下型{(,)|,()()}D x y a x b g x y f x =≤≤≤≤：[()()]baA f x g x dx =−∫；c、 左、右型{(,)|,()()}D x y c y d g y x f y =≤≤≤≤：[()()]dcA f y g y dy =−∫；d、 设曲边梯形1D 的曲边由参数方程：(),()x x t y y t ==给出，则()()()b aA f x dx y t x t dt βα′==⋅∫∫【先代公式后换元】2） 极坐标,ρθ（极坐标变换cos ,sin x y ρθρθ==）： 设曲边扇形{(,)|,0()}D ρθαθβρρθ=≤≤≤≤，则21()2A d βαρθθ=∫ 2、 体积：CaseA、旋转体的体积：1） X－型或上下型{(,)|,0()}D x y a x b y f x =≤≤≤≤：I、绕x 轴 2()bx aV f x dx π=∫；II、绕y 轴 2()(0)by aV xf x dx a π=≥∫2） Y－型或左右型{(,)|,0()}D x y c y d x g y =≤≤≤≤： I、绕y 轴 2()dy cV g y dy π=∫；II、绕x 轴 2()(0)dx cV yg y dy c π=≥∫CaseB、平行截面面积为已知的立体{(,,)|,(,)}x x y z a x b y z D Ω=≤≤∈，若()x AreaD A x =，则()baV A x dx =∫3、 弧长：由不同方程，代不同公式 1)():()()x x t C t y y t αβ=⎧≤≤⎨=⎩，()s βααβ=<∫；2）:(),C y f x a x b =≤≤，()as a b =<∫；3）:(),C ρρθαθβ=≤≤，()s βαθαβ=<∫六、 定积分的应用【有公式代就代公式，否则用元素法】 （一） 一阶微分方程：(,,)0F x y y ′=，(,)y f x y ′=或(.)(,)0M x y dx N x y dy +=1、 可分离变量：()()f x dx g y dy =，积分之可得通解2、 齐次：()dy ydx xϕ=，令y u x =，可将原方程化为关于,x u 的可分离变量3、 线性：()()dyP x y Q x dx+=，通解为()()[()]P x dx P x dx y e Q x e dx C −∫∫=+∫；或利用常数变易法或利用积分因之法：()()P x dxx e µ∫=4、 伯努利：()()(0,1)n dyP x y Q x y n dx+=≠，令1n z y −=，可将原方程化为关于,x z 的线性． （二） 可降阶的高阶微分方程： I 、()()n yf x =【右端只含x 】：连续积分之；II 、(,)y f x y ′′′=【不显含y 】：令,y p ′=则dpy dx′′=，可将原方程化为关于,x p 的一阶． III 、(,)y f y y ′′′=【不显含x 】：令y p ′=，则dpy p dy′′=，可将原方程化为关于,y p 的一阶 （三） 概念与理论1、 概念：阶，解（特解，通解），初始条件，初值问题，积分曲线2、 线性微分方程的解的结构：1）齐次：()()0y P x y Q x y ′′′++=，通解：1122()()y C y x C y x =+，其中12(),()y x y x 为该方程线性无关的两个解． 2）非齐次：()()()y P x y Q x y f x ′′′++= 通解：()*()y Y x y x =+，其中()Y x 为对应的齐次方程的通解，*()y x 为原方程的一个特解． 3）设12*(),*()y x y x 分别为1()()()y P x y Q x y f x ′′′++= 与2()()()y P x y Q x y f x ′′′++=的特解，则12**()*()y y x y x =+为12()()()()y P x y Q x y f x f x ′′′++=＋的特解．七、 微分方程附录I——基本求导公式：1221(1)()0(2)();(3)();(4)(ln ||);1(5)()ln ;(6)(log );(01)ln (7)(sin )cos ;(8)(cos )sin ;(9)(tan )sec ;(10)(cot )csc ;(11)(sec )sec tan ;(12)x x x x a C C x x e e x xa a a x a a x ax x x x x x x x x x x αααα−′′′′====′′==>≠′′′′==−==−′=，为常数；，为常数常数且(csc )csc cot ;(13)(arcsin )(14)(arccos )(17)(sh )ch ;(18)(ch )sh .x x x x x x x x x ′′=−=′=′′==附录II——基本积分公式：122(1)1(2)1;(3)ln ||;1(4);(5)01;ln (6)sin cos ;(7)cos sin ;(8)sec tan ;(9)csc cot ;(10)sec tan sec x x x xkdx kx C k x x dx C dx x C x a e dx e C a dx C a a a xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C αααα+=+=+≠−=++=+=+>≠=−+=+=+=−+=+∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫，为常数；，常数，常数且;(11)csccot csc;(12)tan ln |cos |;(13)cot ln |sin |;(14)sec ln |sec tan |;(15)csc ln |csc cot |;(16);(18)x xdx x C xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C C =−+=−+=+=++=−+∫∫∫∫∫2200;(20)(21)ln(;(22)ln ||;(23)sh ch ;(24)ch sh .1331,2422sin cos n n n C x C x C xdx x C xdx x C n n n nI xdx xdx πππ=+=++=+=+−−⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎞−===⎜⎟⎝⎠∫∫∫∫∫ 1342,253n n n n n n ⎧⎪⎪⎨−−⎪⋅⋅⋅⋅⎪−⎩ 为正偶数；为大于1的正奇数.。
高数知识点复习资料
x 1
tan x s)
2 x 1 2 x 1 2 x1 2 2 lim 1 2 x 1 2 x 1
x3 x 3 x 2 9 【求解示例】解：因为 x 3 ，从而可得 x 3 ，所以原 x 3 x 3 1 1 式 lim 2 lim lim x 3 x 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 6
【题型示例】求值 lim （其中 x 3 为函数 f x
1 第二个重要极限： lim1 e x x
（一般地， lim f x lim f x 0 ）
g x
x
1．由 xn a 化简得 n g ， 2．即对 0 ， N g ，当 n N 时，始终 有不等式 xn a 成立， ∴ limxn a
e 2 x1 2 x 1 e1 e
第五节 函数的连续性 ○函数连续的定义
x x0 x x0
2 x2 lim
lim f x lim f x f x0
○间断点的分类
跳越间断点（不等） 第一类间断点（左右极 限存在） 可去间断点（相等） 第二类间断点 ） 无穷间断点（极限为 （特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）
x2 a2 1
（或：过 y f x 图像上点 a, f a 处的切线与法线 方程） 【求解示例】 1． y f x ， y |x a f a 2．切线方程： y f a f a x a 法线方程： y f a
考研高等数学全面复习资料(电子版)
高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130 分大关！目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念··············································22、常量与变量..............................................3 2、函数..................................................4 3、函数的简单性态............................................4 4、反函数...................................................5 5、复合函数..................................................6 6、初等函数..................................................6 7、双曲函数及反双曲函数......................................7 8、数列的极限..............................................8 9、函数的极限..............................................9 10、函数极限的运算规则. (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
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高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130分大关！目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
高等数学上册定义定理公式索引二
高等数学上册定义定理公式索引二1.4（函数）无穷小与无穷大（x趋于有限值或无限，在x的同一变化过程中）1.4.1 无穷小 p341.4.2 \lim f\left( x\right) =A\Leftrightarrowf\left( x\right) =A+\alpha \text{，其中} \lim \alpha =0 （1.3.1，1.4.1）p351.4.3 无穷大 p351.4.4 \lim f\left( x\right) =\infty \Rightarrow \lim \frac{1}{f\left( x\right) } =0\text{；} \lim\frac{1}{f\left( x\right) } =0\text{，}f\left( x\right) \neq 0\Rightarrow \limf\left( x\right) =\infty （1.4.1，1.4.3）p361.5 极限运算法则（x趋于有限值或无限，在x的同一变化过程中）1.5.1 两个无穷小的和是无穷小（1.4.1.取ε/2，绝对值不等式）及其推论：有限个无穷小的和是无穷小（数学归纳法）p381.5.2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小（1.4.1.取ε/Μ）p391.5.3 函数极限的四则运算（并有：1.4.2.加减法：1.5.1;乘法：1.5.2；除法：1.5.2，1.3.6）p401.5.4 数列极限的四则运算（未证，似1.5.3）p411.5.5 若φ(x)≥ψ(x),且它们的极限分别是A，B，则A≥B （相减，1.5.3）p411.5.6 有理整函数或有理分式函数（分母不等于零）连续（借用后边的词）（1.3.1下例，1.5.3）p421.5.7 以x，u均趋于有限值的情况，给出复合函数的极限运算法则.注意需存在x0的某个去心邻域，在此邻域中g(x)≠u0（1.3.1）p441.5.8 将1.5.7中x，u各趋于有限或无限的情况进行组合，可得类似的定理（未证）p441.6 极限存在准则，两个重要极限1.6.1数列/函数的夹逼定理（1.2.1/1.3.1，1.3.2）p46例：\lim_{x\rightarrow 0} \cos x=1 （半角公式1.6.1，1.5.6）； \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x} =1 （1.6.1）；\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\tan x}{x} =1（1.5.3）；\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\cosx}{x^{2}} =\frac{1}{2} （平方差，1.5.3）；1.6.2单调有界数列/在某点左领域单调有界函数必有极限/左极限（未证）p48/p51例：\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n} =e（1.6.2）；\lim_{x\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x} =e （设n≤x<n+1，1.6.1，负代换）；p501.6.3* 柯西极限存在准则。
大一高数期末复习课提纲(很有用)
求微分 dy = f ʹ′( x0 )dx 可导与微分的关系
可导 ⇔ 可微
13
⎧ ⎪ ⎪ 按定义求导 ⎪ ⎪ 复合函数求导 求导数方法⎪ ⎪ ⎪ 隐函数, 参数方程求导 ⎨ ⎪ ⎪ 对数法求导 ⎪ ⎪ ⎪ 分段函数在分段点求导 ⎪ 1 x !) ⎪ 高阶导数 (sin x, cos x,e , ⎩ 1− x
x x n x ln(1 + x ) = x − + − ! + ( −1) + o( x n+1 ) 2 3 n+1
2
3
n+1
19
1 2 n n = 1 + x + x + ! + x + o( x ) 1− x m( m − 1) 2 (1 + x ) = 1 + mx + x +! 2! m( m − 1)!( m − n + 1) n n + x + o( x ) n!
9
( 2) 在x = 1处，
1 1 lim y = lim[ 1 + sin( x − 1) sin ]= x →1 x →1 x −1 3 x 2 +1 2 −1
1 x
即在x = 1处函数的左右极限都存在且相等， 所以x = 1是函数的第一类间断点, 且是可去间断点.
10
例 设函数
f ( x) =
7
(1 + x ) sin x 的间断点, 例求 f ( x) = 并判别其类型. x ( x + 1)( x − 1)
解 x = −1, x = 1, x = 0是间断点,
1 (1 + x ) sin x = sin 1 , x = −1, xlim → −1 x ( x + 1)( x − 1) 2
《高数》(上)期中考试复习提纲
《高等数学》期中考试前复习2011.11.1一、函数与极限（一）函数1、函数的定义（1）映射的定义若,X Y 是两个非空的集合，如果存在一个法则f ，使得对X 中的每一个元素x ，按法则f ，在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 为从X 到Y 的映射，记作:(),,()f f f X Y y f x x X D y R f X Y→↔=∈≡∈≡⊂ ()()()f f y f x x D D y f D f D =∈≡∈≡ 简表之 (){()}f R f X f x x X ==∈其中D —映射f 的定义域，)(D f —映射f 的值域，f —映射的对应法则；x —元素y（在映射f 下）的一个原像，y —元素x （在映射f 下）的像，两者关系：()y f x =值得提醒的是，10 ,fx X x y ∀∈−−→是唯一的；而,f y R y x ∀∈−−→未必唯一； 20 ?,f f R Y R Y ⊂= （2）函数的定义设数集,D R ⊂，则称映射:f D R →为定义在D 上的函数，通常简记为(),,(){(),}f y f xx D R f D y yf x xD=∈↔===∈ 式中x —自变量，y —因变量，D —定义域可见，从实数集（或其子集）X 到实数集Y 的映射通常称为定义在X 上的函数2、函数的表示 （1）公式法；（2）图像法；（3）表格法3、函数的形式（1）显式函数 )(x f y =；（2）隐式函数 0),(=y x F ；（3）参数式函数 )(),(t y y t x x ==4、函数的特性（1）有界性若M x f ≤)(，或M x f m ≤≤)(，则函数具有界性 （2）单调性若↑↑)(,x f x ，则函数)(x f 为单调增函数； 若↓↑)(,x f x ，则函数)(x f 为单调减函数。
注：单调性与区域有关（3）奇偶性若)()(x f x f =-—偶函数； 若)()(x f x f -=-—奇函数 （4）周期性若 )()(x f T x f =+，则函数)(x f 具周期性，周期T 为一最小的正数 注：a) 若)(x f 为周期函数，则()(),f x nT f x n Z +=∈；b) 若,sin x y ω= 则周期ωπ2=T ；c) 奇函数对坐标原点O 对称，其曲线通过坐标原点；偶函数对y 轴对称； d ）奇函数或偶函数，当且仅当函数()y f x =在(,)l l -+或[,]l l -+内（或上） 有定义时才有意义。
高数复习重点梳理
高数复习重点梳理
第一章：导数与微分
在高数复习中，导数与微分是非常重要的概念，它们是微积分的基础。
导数表
示函数在某一点上的变化率，微分则表示函数在该点附近的近似线性变化。
在学习导数与微分时，需要掌握的重点包括：
1.导数的定义与性质
2.基本导数的求法
3.高阶导数
4.微分的定义与性质
5.隐函数与参数方程的导数与微分
6.微分中值定理
第二章：不定积分与定积分
不定积分与定积分是微积分的另一个重要内容，它们是对函数积分的不同形式。
在学习不定积分与定积分时，需要注意以下内容：
1.不定积分的基本性质
2.基本的不定积分表
3.定积分的定义与性质
4.定积分的应用：计算面积、求解定积分方程等
5.变限积分与定积分的运算法则
6.定积分的几何应用
第三章：微分方程
微分方程是数学中一个重要的研究对象，它描述了函数的导数与自身之间的关系。
在学习微分方程时，需要了解以下内容：
1.微分方程的分类与基本概念
2.一阶微分方程的求解方法
3.高阶微分方程的求解方法
4.微分方程的初值问题
5.线性微分方程
6.微分方程的物理应用
第四章：级数
级数是数学分析中的一个重要概念，它描述了无穷序列之和的性质。
在学习级数时，需要牢记以下要点：
1.级数收敛与发散的判别法
2.正项级数收敛的性质
3.常用级数的收敛性质
4.级数的运算：加法、乘法、除法
5.幂级数及其收敛半径
6.泰勒级数与麦克劳林级数的应用
以上是高等数学复习中的重点内容梳理，希望对你的复习有所帮助。
祝你取得优异的成绩！。
高数知识点总结
一、数列与数学归纳法1、等差数列等差数列是指数列中任意两项之差相等的数列，通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(2a1+(n-1)d)。
2、等比数列等比数列是指数列中任意两项之比相等的数列，通项公式为An=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
等比数列的前n项和公式为Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)。
3、数学归纳法数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，其基本思想是：证明当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，由此可得当n为任意正整数时命题均成立。
4、常用数列斐波那契数列、调和数列等。
二、函数与极限1、函数的概念与性质函数是一种映射关系，通常用f(x)表示。
函数的奇偶性、周期性、单调性等都是函数的性质。
2、初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
3、极限概念当自变量趋于某个值时，函数的取值趋于某个值，这个趋于的过程即为极限。
常见的极限包括左极限、右极限、无穷极限等。
4、极限性质极限的四则运算、极限存在准则等。
5、极限计算利用极限性质，可以计算各种复杂函数的极限。
1、导数的概念导数是函数在某一点处的变化率，通常用f'(x)表示。
其计算公式为f'(x)=lim(h->0)(f(x+h)-f(x))/h。
2、导数的运算法则导数的四则运算、乘积法则、商法则、复合函数求导法则等。
3、高阶导数如果函数f(x)的导函数也可导，那么导函数f'(x)的导函数叫做函数f(x)的二阶导函数，用记作f''(x)或者(d^2y)/(dx^2)。
4、微分微分是导数的几何意义，也是微分学的基本方法。
函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数f(x)在点x0处可微，即在充分接近x0处，可适当选取数Δx（Δx是无穷小量）而有近似等式f(x0+Δx)-f(x0) ≈ f'(x0)Δx5、微分近似计算利用微分的几何意义，可以估算函数在某一点处的微小变化量。
《高等数学》复习要点资料整理总结及练习题
《高等数学》复习要点资料整理总结及练习题二、主要知识点第一章函数、极限、连续考试内容：函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数的概念。
数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和两边夹定理），两个重要极限。
函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
考试要求：1.理解函数的概念，掌握函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
2.掌握数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念。
3.掌握极限存在的两边夹定理，极限的四则运算法则，利用两个重要极限求极限的方法。
4.理解无穷小量的概念和基本性质，无穷小量的比较方法，无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
5.掌握函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
6.理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、零点定理，介值定理)，并会应用这些性质。
第二章导数与微分考试内容：导数和微分的概念，导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线与法线，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、隐函数和参数方程确定的函数的导数，高阶导数，一阶微分形式的不变性。
考试要求：1．掌握导数的概念，理解可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义会求平面曲线的切线方程和法线方程。
2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求参数方程确定的函数与隐函数的导数。
3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
4．了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
第三章微分中值定理与导数应用考试内容：微分中值定理，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点，渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值。
高 三 数 学 复 习 提 纲
高 三 数 学 复 习 提 纲排列、组合、二项式定理一．基础知识:1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.2.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.3.排列数公式mn A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)． 注:规定1!0=.4.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1mmn n n A A n m-=-; （3）11m m n n A nA --=; （4）11n n n n n n nA A A ++=-;（5）11m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.5.组合数公式m n C=m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 6.组合数的两个性质(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =mn C 1+.注:规定10=n C .7.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=;（2）1m mn n n C C n m-=-; （3）11m m n n n C C m --=; （4）∑=nr rn C 0=n 2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . (6)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ .(7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C .(8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 .(10)n nn n n nn C C C C C 22222120)()()()(=++++ . 8.排列数与组合数的关系m mnn A m C=⋅！ .9．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n mn A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有k h h h A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.9．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有 mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n nnn p n p n n n m p m C C C N mm=⋅⋅=-. （4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...!!! (2)11c b a m C C C N m mn n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.（7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n =1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...!! (212)11m n n n n p n p n n n p C C C N m m =⋅=-.10.二项式定理 nn n r r n r n n n n n nn nb C b a C b a C b aC a C b a ++++++=+--- 22211)( ;二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，=. .二项式系数具有下列性质：(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等； (2) 若n 为偶数，中间一项（第2n ＋1项）的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项（第21+n 和21+n ＋1项）的二项式系数最大；（3）;2;2131221-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++n n n n n nnn n n n C C C C C C C C11.F(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为)]1()1([21--f f ；偶数项的系数和为)]1()1([21-+f f ；概率一．基础知识:1.等可能性事件的概率()mP A n=.2.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和 P(A ＋B)=P(A)＋P(B)．164.n 个互斥事件分别发生的概率的和P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )． 3.独立事件A ，B 同时发生的概率 P(A ·B)= P(A)·P(B).4.n 个独立事件同时发生的概率P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )． 5.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k kn k n n P k C P P -=-6. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是互斥事件；7.如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是1－P （AB ）＝1－P(A)P(B)； 8.如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个发生的概率是1－P （A ∙B ）＝1－P(A )P(B )；概率与统计一．基础知识:1.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）0(1,2,)i P i ≥=; （2）121P P ++=.2.数学期望1122n n E x P x P x P ξ=++++170.数学期望的性质（1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=.(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E pξ=.4.方差()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+5.标准差σξ=ξD .6.方差的性质(1)()2D a b a D ξξ+=；(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-.(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p qp ξ-===，则2qD pξ=.7.方差与期望的关系()22D E E ξξξ=-.8.正态分布密度函数()()()2226,,x f x x μ--=∈-∞+∞，式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.9.标准正态分布密度函数()()22,,x f x x -=∈-∞+∞. 10.对于2(,)N μσ，取值小于x 的概率()x F x μσ-⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭.()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<< ()()21F x F x =-21x x μμσσ--⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.二．基本方法和数学思想1.理解随机变量，离散型随机变量的定义，能够写出离散型随机变量的分布列,由概率的性质可知，任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1）p i ≥0,i=1,2,...; (2) p 1+p 2+ (1)2.二项分布：记作ξ～B （n,p ）,其中n,p 为参数，,)(k n k k n q p C k P -==ξ并记),;(p n k b q p C k n k k n =-；1 12 2 n n （2）方差D ξ＝⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-n n p E x p E x p E x 2222121)()()(ξξξ ;（3）标准差ξξξξξδξD a b a D b aE b a E D 2)(;)(;=++=+=；（4）若ξ～B （n,p ）,则E ξ＝np, D ξ＝npq,这里q=1-p;4.掌握抽样的三种方法：（1）简单随机抽样（包括抽签法和随机数表法）；（2）系统抽样，也叫等距离抽样；（3）分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；5.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图；6.正态总体的概率密度函数：,,21)(222)(R x ex f x ∈=-σμσπ式中σμ,是参数，分别表示总体的平均数与标准差；7.正态曲线的性质：（1）曲线在x ＝μ 时处于最高点，由这一点向左、向右两边延伸时，曲线逐渐降低；（2）曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越矮胖；反过来曲线越高瘦；（3）曲线在x 轴上方，并且关于直线x=μ 对称；8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布),(2σμN 的概率 P （x 1<ξ<x 2）,可由变换t x =-σμ而得)()(σμφ-=x x F ，于是有P （x 1<ξ<x 2）＝)()(12σμφσμφ---x x ；9.假设检验的基本思想：（1）提出统计假设，确定随机变量服从正态分布),(2σμN ；（2）确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-；（3）作出推断：如果a ∈)3,3(σμσμ+-，接受统计假设；如果a ∉)3,3(σμσμ+-,由于这是小概率事件，就拒绝假设；导数一．基础知识:1.)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）000000()()()lim lim x x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆.2.瞬时速度00()()()limlim t t s s t t s t s t t tυ∆→∆→∆+∆-'===∆∆.3.瞬时加速度00()()()limlim t t v v t t v t a v t t t∆→∆→∆+∆-'===∆∆.4.)(x f 在),(b a 的导数()dy df f x y dx dx ''===00()()lim lim x x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-==∆∆.5. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.6.几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nxn Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='.(5) x x 1)(ln ='；e a xx a log 1)(log ='.(6) x x e e =')(; a a a xx ln )(='.7.导数的运算法则 （1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 8.复合函数的求导法则设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.10.判别)(0x f 是极大（小）值的方法当函数)(x f 在点0x 处连续时， （1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值.二．基本方法和数学思想1.导数的定义：f(x)在点x 0处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000；2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：（1）求函数的增量（2）);()(x f x x f y -∆+=∆(2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(; （3）取极限,得导数xy x f x ∆∆='→∆0lim )(;3.可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x 0处可导，那么函数y=f(x)在点x 0处连续；但是y=f(x)在点x 0处连续却不一定可导；4.导数的几何意义：曲线y ＝f （x ）在点P （x 0,f(x 0)）处的切线的斜率是).(0x f '相应地，切线方程是);)((000x x x f y y -'=-5.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f （x ）在某个区间内可导，如果,0)(>'x f 那么f(x)为增函数；如果,0)(<'x f 那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有,0)(='x f 那么f(x)为常数；（2）求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根；③检验)(x f '在方程0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f （a ）、f （b ）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值 6导数与函数的单调性的关系㈠0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
高数复习提纲
高数复习提纲一．集合1集合的定义：研究对象的集合2集合的运算：子集，交集，并集，补集， 3邻域的概念二，函数一函数1映射→函数：一一映射 2特殊函数1绝对值函数()x x f = 2符号函数()x x f sgn = 3取整函数()[]x x f =4狄利赫雷函数()=x D5分段函数3函数的基本性质：定义域，值域，单调性，周期性，对称性，奇偶性，等 4函数的四则运算：和差积商 二，极限 1， 数列极限：定义：a a N n N xx nx n =⇔-∃∀∞→lim ,,0εε 时，当性质 ：ⅰ唯一性ⅱ有界性：若{}a n 收敛，则{}a n 有界 ⅲ数列与子列的关系：极限唯一 ⅳ四运算则：前提极限都存在 判别法：⑴夹逼定理a a xbab xa nn nn nn nnn ===≤≤∞→∞→∞→limlim lim ,,则⑵单调有界原理 2函数极限定义1类似于数列极限 定义2()()εδδε A x f x A x f x xx --∃∀⇔=→,0,,00lim 0定理1， 海涅定理()(){}(){}()Af f A x f x x x x xxx Ux nx nnnx =→∈∀⇔=∞→→lim lim,,,000收敛，且数列的任意数列并且δ定理2变量代换定理3夹逼定理类似于数列极限 性质：1唯一性 2有界性3局部保号性4不等式性质：B A x g x f B x g A x f x x ≤≤==∞→∞→则若),()(,)(,)(lim lim重要极限11sin limlim )11(lim lim====∞→∞→∞→→+nx nx nx x a n exx n1：无穷小与无穷大无穷小的定义：要义：极限为0 常用无穷小的代换xx nx x xx x x x x exn~)1ln(~1~11~arctan ~arcsin ~tan ~sin 0+--+→性质：有限个无穷小的和为无穷小;有界函数与无穷小的积为无穷小)(~x οαββα+=⇔∞=⇔=→→)(10)(limlimx f x x f x x x一． 连续1定义：()()x fx f x x 0lim 0=→即：极限值等于函数值2间断第一类（极限不存在）： 震荡间断点，无穷间断点 第二类（极限存在） ： 跳跃间断点，可去间断点 二． 重要定理 1最值定理：[]()()()[]b a x M f x f fm R b a f x x ,,,,:21∈∀=≤≤=→是连续函数，则2零点定理3介值定理[]()()()()[]()Cf b a b f a f b f a f b a f =≠ξξ使存在，则在之间的常数与任意介于连续函数，,C ,,:三，导数一．1定义:一点到区间，均有此式 ()()()x xx f x x f xy f x x 'limlim =∆-∆+=∆∆→∆→∆2可导比连续，连续不一定可导)()()('''x x x fff-+==3常见函数的导数（基本初等函数）[][]()()()()0,,,0,,:=∙→ξξf b a b f a f b a f R b a f 使内至少存在一点则在上连续，在满足，()()()()()()()()()()()()()xx arc xx x x xx x x x x x x x a a x x C x x x x x x x x ax a ax R x x++++-==-==-==-======∈==-1cot 1arctan 1arccos 1arcsin csc sec csc cot sec tan cos sin log )(2'2'2'2'''2'2'''''1''1111cot csc tan sec sin cos ln1ln ),0(0μμμμ4四则运算[][]vuvuv u uvu uv v u v u v v 2'''''''''-=+=±=⎥⎦⎤⎢⎣⎡±5复合函数的求导→链式法则二。
高数专升本知识点目录总结
高数专升本知识点目录总结第一章：集合与函数1.1 集合的基本概念1.2 集合的运算1.3 函数的概念1.4 函数的性质1.5 反函数和复合函数第二章：极限与连续2.1 数列的极限2.2 函数的极限2.3 极限的运算法则2.4 无穷大与无穷小2.5 连续的概念2.6 连续函数的运算法则第三章：导数与微分3.1 导数的定义3.2 导数的计算3.3 隐函数和参数方程的导数3.4 高阶导数和导数的应用3.5 微分的概念3.6 微分的近似计算第四章：不定积分4.1 不定积分的性质4.2 不定积分的基本公式4.3 特殊函数的不定积分4.4 不定积分的计算方法4.5 定积分的性质第五章：定积分5.1 定积分的定义5.2 定积分的计算5.3 特殊函数的定积分5.4 定积分的应用第六章：微分方程6.1 微分方程的基本概念6.2 微分方程的解的存在唯一性6.3 一阶微分方程的解法6.4 高阶微分方程的解法6.5 微分方程的应用第七章：多元函数微分学7.1 多元函数的极限7.2 偏导数7.3 全微分7.4 多元函数的极值7.5 条件极值第八章：重积分8.1 二重积分的概念8.2 二重积分的计算8.3 三重积分的概念8.4 三重积分的计算8.5 重积分的应用第九章：曲线曲面积分9.1 曲线积分的概念9.2 第一型曲线积分9.3 第二型曲线积分9.4 曲面积分的概念9.5 曲面积分的计算第十章：无穷级数10.1 级数的概念10.2 收敛级数的性质10.3 收敛级数的判别法10.4 幂级数的收敛半径10.5 函数展开为幂级数第十一章：向量代数11.1 向量的基本概念11.2 向量的线性运算11.3 空间直角坐标系中的向量11.4 点、线、面的向量方程11.5 向量的数量积和向量积第十二章：空间解析几何12.1 空间直角坐标系中的点、直线、平面12.2 空间中的曲线和曲面12.3 空间中的曲线积分12.4 空间中的曲面积分12.5 空间中的曲率和法线方程以上的知识点目录总结包括了高数专升本课程的所有重要知识点，涵盖了集合与函数、极限与连续、导数与微分、不定积分、定积分、微分方程、多元函数微分学、重积分、曲线曲面积分、无穷级数、向量代数以及空间解析几何等内容。
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第一章复习题一、求下列函数的定义域： 1、y=12x+ 2、y =、ln(3)y x =+4、2e ,50()1,02x x f x x x ⎧--≤<⎪=⎨-≤<⎪⎩ 5、y = 6、1lg(1)2y x x =+--7、22,12()1,210x x f x x x --≤<⎧=⎨-≤<⎩-1=<x<10二、在给定过程0x →中下列（ ）是无穷小量，下列变量中（ ）是无穷大量．（1）1x （2）sin x x （3（4）1()2x （5） 001.0x （6） x x 21+ （7） x-2 （8） x e （9） ln(1)x + （10）xx 1cos（11） ||ln x （12） xx 1)1(+三、求下列函数的极限值：1、232lim x x x→-= 2 2、3312lim 421x x x x →∞-+- = 3、33112lim 421x x x x →-+-4、201lim (1)2x xx e x x →⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦5、23121lim x x x x x →-+-6、xx x 339lim 0-+→7、2212lim 32x x x x x →+--+ 8、bxax x tan sin lim 0→ 9、0sin 3lim tan 4x xx →10、0sin lim tan 4x xx→ 11、 22123lim 621x x x x →-+-四．函数连续 1、已知f(x)= ⎩⎨⎧>+≤+03022x ax x x 在x=0处连续，则a 的取值为2、已知函数 221()31x x f x ax x -≤⎧=⎨->⎩在1x =处连续，则a 的取值为3、已知函数f(x)= ⎩⎨⎧>-≤+14112x ax x x ,在x=1处连续，则a 的取值为多少？4、设⎪⎩⎪⎨⎧<+>+=001)(2x bx x e x f x ，问b 取何值时，)(lim 0x f x →存在。
5、当a 的取何值时？函数f(x)= ⎩⎨⎧>-≤2222x ax x x 在x=2处连续。
6、已知函数2,0()2,0x x a x f x e x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，且 0lim ()x f x →存在则a 等于多少？五、函数间断 1、函数 2132y x x =++的间断点为？ 2、函数 2132y x x =-+的间断点为？3、函数 213y x x=-的间断点为？ 4、函数 224()32x f x x x -=++的间断点为/5、函数 2(3)y x x =+的间断点为：第二章 复习题一、导数的概念： 1、已知,4)(0='x f 求000(2)()limh f x h f x h→+- 2、已知0()3,f x '=求000(2)()limh f x h f x h →-- 3、已知0()3,f x '=求000()()lim 3h f x h f x h→--二、求下列函数的导数：1、sin(35)y x =+2、2sin x y = 3、2ln(1)y x =+ 4、2sin(31)y x =+5、2sin y x x =6、cos xy e x = 7、 ln y x x = 8、 c o s y x x =9、2cos y x = 10、 2(311)y x =- 11、212x y -= 12、ln(31)y x =+13、cos(35)y x =+ 14、2sin 30xy x ++=三、求下列函数的导数与微分（微分公式识记） 1、ln y x = 2、 xy e = 3、 2xy =，4、)sin(xe y = 5、2ln(34)y x =+ 6、2sin ln x y =1、曲线y x=-12在x =2处； 2、曲线23y x x =+在x =2处；3、曲线x y =在1=x 处；4、曲线2352y x x =++在0x =处五、求下列函数的二阶导数：1、已知364y x x =++，则y '''=（ ）；44d ydx =（ ）．2、已知sin y x =，则y ''=（ ）；33d ydx =（ ）．3、已知cos y x =，则y ''=（ ）；33d ydx=（ ）．4、已知2xy e =，则y ''=（ ）；y '''=（ ）；44d y dx=（ ）．1、已知()sin 2f x x =，则='])2([f ．[(2)]f '=2、已知2()2tan 3f x x x =+，则='])2([f ．[(2)]f '=3、已知()tan 3f x arc x =，则[()]3f π'= ．[(2)]f '=第三章复习题一、求下列函数的极限（详见第一章） 1、20sin lim x x x x →- ； 2、201cos lim x x x →- ； 3、0sin lim 2x x xx→-；4、1ln lim 1x xx →- ； 2、201lim x x e x x →-- ；二、判断1、点0x 为函数()f x 的极值点,则该点一定是驻点. ( )2、函数()f x 在点0x 处可导是其在点0x 处连续的充分条件.( )3、0lim ()x x f x →存在是函数()f x 在点0x 处连续的必要条件. ( )三、求下列函数的驻点（理解驻点和极值点的概念） 1、267y x x =-- 2、2()24f x x x =-四、求下列函数的单调区间和极值。
1、31()63f x x x =-+2、32()29245f x x x x =--+3、3()3f x x x =-4、593)(23+--=x x x x f5、 32()231213 f x x x x =--+6、32()26187 f x x x x =--+五、函数的最值1、函数 31()1[12]3f x x x =-+-在，上的最值； 2、函数 2()26[2]f x x x =-+-在，4上的最值；六、极值与最值应用1、要建造周长为1200m 的矩形运动场，问长宽为多少时，才能使面积最大，最大面积为多少平方米？2、一块边长为24cm 的正方形纸板，四角各截去一个大小相同的正方形，然后将四边折起做一个无盖的方盒。
问截掉的小正方形边长为多大时，能得到一个容积最大的方盒？最大容积是多少？3、用长12l m =的木料加工一个日字形的窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能使整个窗户的面积最大？x 24第四章复习题一、判断(将判断过程写在下面)1.)()(x f dx x f d =⎰( ) 2.[()]()df x dx f x c dx =+⎰( )3.⎰=)()(x f x df ( )4. ⎰+=c x f x df )()( ( )二、原函数概念已知函数()f x 的原函数为（1）26x +；（2）sin x . 求(),(),[()]f x dx f x f x dx '⎰⎰三、求下列不定积分： 1、211dx x +⎰ 2、 3、21dx x ⎰4、 ⎰dx x2 5、1dx x ⎰ 6、 dx ⎰7、 sin x x e e dx ⎰ 8、2sin cos x xdx ⎰ 9、2x xe dx ⎰10、sin cos x xdx ⎰ 11、cos(21)x dx +⎰ 12、11(31)x dx +⎰13、⎰ 14、13dx x +⎰15、143dx x +⎰第五章复习题 一、判断 1. 当a ＝b 时，⎰badx x f )(＝⎰aadx x f )(＝0；2. 当a ＞b 时，⎰badx x f )(＝⎰-abdx x f )(3. （逐项积分性质）函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)， 即 ⎰⎰⎰±=±babab adx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.4. 被积函数的常数因子可以提到积分号外面， 即⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()(.5.如果将积分区间[]b a ，分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(6. 如果在区间[]b a ，上)(x f ≡1 则a b dx dx baba-==⎰⎰1.7.1120xdx x dx >⎰⎰二、求下列定积分： 1.32202x x xdx x-+⎰2.dx x x ⎰+212)2(。
3.221(32)x x dx +⎰4. xdx ⎰15.10dx ⎰. 6.11xdx -⎰ 7. 20sin xdx π⎰8.sin xdx ππ-⎰ 9.⎰213dx x 10. x x x d )e 1(e 22ln 0+⎰11.⎰33xdx 12.⎰-12)2(dx e xx13 .⎰-π)cos (sin dx x x 14.dx x ⎰-21)23(三、应用定积分求平面图形的面积1.求曲线2x y =与直线x y 4=所围成平面图形的面积．2.计算抛物线22x y x y ==，所围成的图形的面积。
3.计算抛物线y 2=3x 与直线y =x -2所围成的图形的面积4.求由曲线32-=x y 和直线x y 2=所围成的平面图形面积。
.求由曲线y=21x 2 与 y=3x 所围成图形的面积。
6.求由曲线y=x 与y=x 所围成图形的面积。