复变函数的极限
关于复变函数求极限的方法浅谈
关于复变函数求极限的方法浅谈复变函数是指在复平面上定义的函数。
复变函数具有许多特殊的性质和求极限的方法，下面就复变函数求极限的方法进行浅谈。
对于复变函数f(z)而言，极限的概念与实变函数有所不同。
在复平面上，点z趋于复数a时，函数f(z)的极限L存在的充要条件是，对于给定的ε>0，存在某个δ>0，使得当0<|z-a|<δ时，有|f(z)-L|<ε。
也就是说，当z趋于a时，函数值f(z)逼近于极限L。
对于复变函数f(z)而言，求极限时可以利用以下几种方法：1. 直接代入法：对于一些简单的复变函数，可以直接代入极限点计算得到极限值。
当z→0时，f(z)=sin(z)/z，可以直接代入得到f(0)=1。
2. 利用实部和虚部的性质：复变函数可以表示为实部和虚部的和或积，因此可以利用实部和虚部的性质来求解极限。
当z→0时，f(z)=Re(z)+Im(z)，可以分别计算出Re(z)和Im(z)的极限再求和得到f(0)的极限。
3. 利用极坐标表示法：复数可以用极坐标表示：z=ρ eiθ，其中ρ为模，θ为幅角。
当z→a时，可以将z和a都表示为极坐标形式，即z=ρ eiθ和a=ρ' e iθ'，然后进行化简。
当z→0时，f(z)=|z|·e iarg(z)，可以将z表示为z=ρ eiθ，然后进行化简计算。
4. 利用洛必达法则：洛必达法则可以用来处理一些特殊的复变函数极限。
如果f(z)和g(z)在某个点a的邻域内除了可能在a处，都有定义且连续，且g(z)≠0，当z→a时均趋于0，且f(a)=g(a)=0，那么可以利用洛必达法则求解f(z)/g(z)的极限。
5. 利用级数展开：复变函数可以用级数展开的形式来表示。
当z→a时，可以利用级数展开来计算函数的极限值。
当z→1时，f(z)=1/(1-z)，可以利用泰勒展开将f(z)展开成无穷级数形式，然后进行计算。
复变函数求极限的方法有很多种。
复变函数极限 -回复
复变函数极限 -回复复变函数极限是数学中的重要概念之一，它涉及到复数域中函数的趋近性和趋势变化。
复变函数是指以复数为自变量和函数值的函数，其极限是指当自变量趋近于某一点时，函数的取值趋近于某一特定值的性质。
复数是由实部和虚部组成的数字，可以写成a+bi的形式，其中a 和b分别代表实部和虚部，i为虚数单位。
复变函数既可以是常数函数，也可以是多项式函数、三角函数、指数函数等形式。
对于复变函数而言，它的极限可以被定义为在某一点或者在无穷远处的趋于稳定的取值。
在复分析中，我们可以使用类似于实数函数的极限定义来定义复变函数的极限。
具体而言，对于一个给定的复值函数f(x)而言，如果存在一个复数c，对于任意给定的正实数ε，存在一个正实数δ，当|x-z|<δ时，|f(z)-c|<ε成立，则我们说函数f在x处的极限为c，记作lim(f(z), z→x) = c。
这意味着当自变量z趋近于x时，函数的取值趋近于c。
值得注意的是，复变函数的极限与实变函数的极限有些微妙的差异。
在实数域中，我们可以使用左极限和右极限的概念来定义函数在某一点的极限，但是在复数域中，这种思想并不适用。
复数域中的函数极限更依赖于函数性质的整体趋势，而非局部的趋势。
复变函数极限的性质与实变函数极限的性质相似。
例如，对于两个复变函数f(x)和g(x)而言，如果它们在x处分别存在极限c和d，则有lim(f(z)±g(z), z→x) = c±d，lim(f(z)g(z), z→x) = cd，lim(f(z)/g(z), z→x) = c/d（其中d≠0）成立。
这些性质与实数域中函数极限的性质类似，但需要额外考虑复数的实部和虚部。
在复变函数极限中，我们还可以遇到一些特殊情况和特殊函数。
例如，当复变函数在某一点出现间断时，它的极限是否存在就成为一个关键的问题。
另外，柯西-黎曼方程是判定复变函数在某一点处可导性的重要条件，它要求函数满足一定的实部和虚部的偏导数关系。
复变函数的极限和连续
场在空间某方向上是均匀的，则只需要在垂直于该方
向的平面上研究它，这样的场便称为平面场。本节对
解析函数在平面场研究中的应用作一简单介绍。
解析函数，实、虚部是共轭调和函数，曲线族u=常数
与v＝常数是正交曲线族。 1. 平面静电场
在无电荷区，静电场电势满足拉普拉斯方程，电场所
在区域上的某一解析函数的实部（或虚部）就可以用
来表示该区域上的静电场的电势。这个解析函数称为
平面静电场的复势。其实部或虚部就是电势。
为叙述方便，这里说u是电势。u=常数，是等势线族。
曲线族v(x,y)=常量，垂直于等势线族，因而v=常量，
是电场线族。
数学物理方法 第一章
30
例1. 已知平面电场的电势为u=x2－y2，求电场线方程
分析：等势面与电力线相互正交，对应的函数组成一个解析函数 的实部与虚部，满足C-R条件
例22.已知解析函数的虚部 v(x,y) x x2y2，求实部
和这个解析函数
方法三d提u 示 ：u d u d
u
u
d
(
)
2 cos ( )
2
u sin ( )
22
( ) 0, ( ) C
数学物理方法 第一章
29
1.5 平面标量场
场在物理上和工程技术上得到广泛应用。当所研究的
满足C-R条件。
x y x y
证明（板书）：
数学物理方法 第一章
13
作业：试推导极坐标系中的C-R条 件
数学物理方法 第一章
14
数学物理方法 第一章
15
1.点解析
解析z 0 ；
2.区域解析 若函数在区域B内处处可导，则称f(z)在 区域B内解析；
关于复变函数求极限的方法浅谈
关于复变函数求极限的方法浅谈复变函数求极限是复变函数分析中的一个重要内容，它涉及到复变函数的收敛性、极限性质以及复变函数在无穷远处的行为等问题。
针对复变函数求极限的问题，我们可以采用一些特定的方法来进行求解和分析。
在本文中，我们将就复变函数求极限的一些常用方法进行浅谈，希望能够帮助读者更好地理解和应用复变函数极限的相关知识。
一、复变函数的极限概念在复变函数中，我们通常也会关注函数的收敛性和极限性质。
对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，当z趋于复数z_0=x_0+iy_0时，如果存在一个复数w_0=u_0+iv_0，使得对于任意给定的\varepsilon>0，都存在一个\delta>0，使得当|z-z_0|<\delta时，都有|f(z)-w_0|<\varepsilon成立，那么我们就称w_0为复变函数f(z)在z=z_0处的极限，记作\lim_{z\to z_0}f(z)=w_0。
在求复变函数的极限时，我们需要特别关注复平面上的收敛路径和极限点的位置，因为复数的极限性质可能会受到路径的选择和极限点的不同而产生变化。
在实际求解中，我们通常需要结合具体的例子来进行分析和讨论。
1、直接法在实际应用中，我们也可以通过直接法来求解其他复变函数的极限，具体的操作步骤和思路与实数函数的极限求解类似，读者在学习和掌握了复变函数的极限定义后，可以通过这种方法来进行练习和巩固。
2、间接法对于复变函数的极限求解，有时候直接采用定义来求解可能会比较困难。
这时，我们可以采用一些间接的方法来进行求解。
我们可以通过等价变形、夹逼定理、洛必达法则等方法来简化问题，从而使得求解变得更加方便和简洁。
对于函数f(z)=\frac{z^2-1}{z-1}，当z\to 1时，我们可以将分子进行因式分解得到f(z)=z+1，从而将原函数转化为更加简单的形式。
这样一来，我们就可以直接求出极限\lim_{z\to 1}f(z)=2。
大学复变函数题
大学复变函数题复变函数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的研究中起着重要的作用。
下面我将介绍几个关于大学复变函数的题目，以便更好地理解和应用这一概念。
1. 题目一：计算复变函数的极限给定复变函数$f(z)=\frac{z^2-1}{z-i}$，求当$z\to i$时，$f(z)$的极限值。
解析：我们可以使用极限的定义来求解这个问题。
首先假设$z=x+iy$，其中$x$和$y$分别表示实部和虚部。
将$z$代入$f(z)$中，得到：$$f(z)=\frac{(x+iy)^2-1}{x+iy-i}$$化简后得到：$$f(z)=\frac{x^2-y^2-1+2xyi}{x+(y-1)i}$$当$z\to i$时，即$x\to 0$且$y\to 1$，代入上式可以得到极限值： $$f(i)=\lim_{z\to i} f(z) = \frac{-1-2i}{-i} = 1-2i$$因此，当$z\to i$时，$f(z)$的极限值为$1-2i$。
2. 题目二：计算复变函数的导数给定复变函数$f(z)=e^z+z^2$，求$f(z)$的导数。
解析：要计算复变函数的导数，我们可以直接对其进行求导。
给定$f(z)=e^z+z^2$，对$z$求导得到：$$f'(z) = \frac{d}{dz}(e^z+z^2) = e^z+2z$$因此，$f(z)$的导数为$f'(z) = e^z+2z$。
3. 题目三：计算复变函数的积分给定复变函数$f(z)=\frac{1}{z^2+4z+3}$，求$\int_C f(z) dz$，其中$C$为单位圆周。
解析：要计算复变函数的积分，我们可以使用留数定理。
首先找到函数$f(z)$在复平面上的奇点，即令分母等于零得到： $$z^2+4z+3 = 0$$解这个方程可以得到$z=-3$和$z=-1$。
根据留数定理，我们只需要计算这两个奇点对应的留数，并将其相加即可得到积分的结果。
复变函数的极限
6在
时极限不存在.
z 0 0 e +∞ 证 当 沿实轴从 的右方趋向于 时, 1z 趋向了
.当
z 0 0 e 0 z 沿实轴从 的左方趋向于 时, 1z 趋向了 .也就是说 以不同
f (z) 的方式趋于原点时,
趋于了不同的点.由函数极限定义即得
2
结论.
2 复变函数极限定理
定理 2.1 设
f (z)=u(x, y)+iv(x, y), z0 = x0 +i y0,
A= a+ib那么 zl→imz f (z)= A
0
(2.1)
的充要条件是
lim u(x, y)=a 且 lim v(x, y)=b .
( x, y)→( x0 , y0 )
( x, y)→( x0 , y0 )
(2.2)
证明 必要性
因为 zl→imz f (z) = A ε ,所以对 ∀ > 0, ∃ δ (ε ) 0 , 0
定 理 2.6 设 函 数 f (z) 在 z0 可 导 , g(h) 在 h0 = f (z ) g[ 0 处可导,则复合函数 f (z)]在 z0处可导,且
g'[ f (z0)]= g'(h0) f '(z0).
定理 2.7 设 w= f (z), z =ϕ(w)是两个互为反函数
ϕ 的单值函数,且 '(w) ≠ 0,那么
导数.类似地，二阶导数为一阶导数的导数，三阶导数为二阶导数的导
17
(n−1) f (z) n 数，…，一般地，
阶导数的导数称为
的 阶导数，
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.
18
2.4 解析函数
1 解析函数的概念 2 初等函数的解析性 3 函数解析的充要条件
关于复变函数求极限的方法浅谈
关于复变函数求极限的方法浅谈复变函数是指定义在复数域上的函数。
在复数域上，函数的极限存在的判定方法与实数域上的函数有所不同。
本文将从极限的定义、极限存在的条件以及极限计算方法等方面进行讨论。
1. 极限的定义对于复数列{zn}，当复数z无论多么接近于z0时，对应的函数值f(z)都无论多么接近于某个复数A时，称A为函数f(z)在复数点z0处的极限，记作lim_(z→z0)(f(z))=A。
2. 极限存在的条件与实数域上的函数类似，极限存在的充要条件是满足柯西收敛准则。
即对于任意正数ε，存在正数δ，使得当|z - z0| < δ时，有|f(z) - A| < ε。
3. 极限计算方法3.1 用直接代入法计算极限当函数在z0附近连续时，可以直接将z0代入函数中计算极限。
计算极限lim_(z→1)((z+1)/(z-1))时，直接代入z=1可得lim_(z→1)((z+1)/(z-1))=2。
3.2 用极坐标法计算极限对于复数z=r(cosθ+isinθ)，可以将其表示为极坐标形式，即z=|z|e^(iθ)。
利用极坐标形式计算复变函数的极限可以简化计算过程。
计算极限lim_(z→0)(z^2/(z^4+1))，可以将z=r(cosθ+isinθ)代入，得到lim_(z→0)(z^2/(z^4+1))=lim_(z→0)((r^2(cosθ+isinθ)^2)/((r^4(cosθ+isinθ)^4+1)))。
再利用欧拉公式化简即可。
3.3 用洛必达法则计算极限当计算存在一个不定型的复变函数极限时，可以使用洛必达法则。
洛必达法则适用于计算函数之间的极限，不论是实数函数还是复变函数。
计算极限lim_(z→0)((cosz-1)/z)，可以利用洛必达法则转化为计算lim_(z→0)(-sinz)，最终得到极限为0。
3.4 用级数展开法计算极限级数展开法是一种常用的计算复变函数极限的方法，特别适用于计算指数函数和三角函数类型的复变函数。
1-6复变函数的极限
复 变 函 数 与 积 分 变 换
例4 讨论函数 arg z的连续性.
复变函数的极限四则运算法则：
哈 尔 滨 工 程 大 学
设 lim f ( z ), lim g( z )都存在，则
z z0 z z0
1. lim[ f ( z ) g( z )] lim f ( z ) lim g( z )
z z0 z z0 z z0
复 变 函 数 与 积 分 变 换
z z0
复 变 函 数 与 积 分 变 换
注意：这里，z趋于z0的方式是任意的，即若
极限存在是指z沿着任意方向，以任意 方式趋于z0时，f ( z )都要趋于同一值A。
定理1 设f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )，在z0的某空心
哈 尔 滨 工 程 大 学
邻域内有定义，其中z0 x0 iy0，则 lim f ( z ) A u0 iv0
第一章 复数与复变函数
哈 尔 滨 工 程 大 学
§1.6 复变函数的极限与连续性
学习要点 掌握复变函数的极限与连续性
复 变 函 数 与 积 分 变 换
一、 复变函数的极限
哈 尔 滨 工 程 大 学
设函数f ( z )在z0的某去心邻域内有定义， 若对 0， 0, 当0 z z0 时有 f (z) A 称A为函数f ( z )当z趋于z0时的极限，记作 lim f ( z ) A 或 f ( z ) A ( z z 0 )
2. lim f ( z ) g( z ) lim f ( z ) lim g( z )
z z0 z z0 z z0
f ( z ) z z0 3. lim (lim g ( z ) 0) z z0 g ( z ) lim g ( z ) z z0
复变函数及连续性
第三节复变函数的极限与连续一、复变函数的概念二、复变函数的极限三、复变函数的连续性一、复变函数的概念1. 复变函数的定义定义1.1 设E 是复平面上的点集, 若对任何z ∈E , 都存在惟一确定的复数w 和z 对应, 称在E 上确定了一个单值复变函数，用w =f (z )表示.E 称为该函数的定义域.在上述对应中, 当z ∈E 所对应的w 不止一个时, 称在E 上确定了一个多值复变函数.(){()|}() A f E f z z E w f z ==∈=称为复函的值域数.2. 复变函数与自变量之间的关系:() :w z w f z =复变函数与自变量之间的关系相当于两个实函数),,(),,(y x v v y x u u ==例3 , 2z w =函数,, iv u w iy x z +=+=令2)( iy x iv u +=+则,222xyi y x +−= : 2数对应于两个二元实变函于是函数z w =,22y x u −=.2xy v =,,z x iy w u iv =+=+因为，若记则()Re ()Im ()(,)(,).w f z f z i f z u x y iv x y ==+=+例4解,, iv u w iy x z +=+=令2)( iy x iv u +=+则,222xyi y x +−=,22y x u −=.2xy v =所以222424 4.w z z x y xy w u v =−====于是将平面上的双曲线与分别映为平面上直线和222,42w z z x y xy w =−== 设复函数试问它将平面上的双曲线 与 分别映为平面上的何种曲线？7函数w =z 2对应于两个二元实变函数: u =x 2−y 2, v =2xy 把z 平面上的两族双曲线x 2−y 2 = c 1 , 2xy = c 2 分别映射成w 平面上的两族平行直线u =c 1 , v =c 2 .101−1−1−10−8−6−4−2x 2468v =101y −10−8−6−4−2u =02468uv 1010−10−10⎯⎯→⎯=2z w θr ϕρ二、复变函数的极限1.复变函数极限的定义定义1.200000,()0,0,,0|||()|,()lim(),lim ().z z z E z z w f z E C z E C z E z z f z z z f z f z f z αεδδαεααα→∈→=⊂∈∀>∃>∈<−<−<== 设复函数在点集上有定义，为的一个聚点， 。
复变函数的极限与连续
一、 复变函数 二、 复变函数的极限 三、 复变函数的连续性
1
一、 复变函数
x 实变量, y f ( x) 为实变函数, x 的值一旦确定,
y 只有一个数和它对应. 高等数学中的实变函数,
都是单值函数. 可用平面上的一条曲线表示一个实变函数.
z 复变量, w f (z) 为复变函数, z 的值一旦确定,
x
u
9
例2(3) 函数 w 1
z
把z平面上的直线 y kx
映射成 怎样的曲线？
解
w
1
x i kx
1 ik
x (1 k 2 )
u 1 , x (1 k 2 )
v k , x (1 k 2 )
ku v 0
y
w1 z
把
y kx 映射成 ku v 0
v
把 y x 映射成 u v 0
0x
yc y 1
v2 4c2(c2 u) v2 4(1 u)
y 2 y
v2 16(4 u) v
x
u
证 zz xc iyc w (cxiiyc))22cx2 2yc2222ccyxi i
uu xc2 cy22 v 2cxy
xy v 2c
u
v2 c42c2
vc22 4c2
v22 4c22(c22 u) u c2 u c72
z z 2 t (2ti 0) w (2 2i)2 8i
2
0 arg(w)
5
例1.14续 考察 w z2 的映射性质 z x iy
w ( x iy)2 x2 y2 i2xy
3) w z2 将z平面上的
w平面上的
双曲线 xy a 映射成 v 2a 直线
复变函数的极限和连续性
如果函数$f(z)$在点$z_0$处连续，则对于任意实数$a$，有$f(z+a)=f(z)+a$，且对于 任意复数$b$，有$f(z+b)=f(z)+b$。
连续性的判定方法
要点一
极限判定法
如果对于复数域内的任意点$z_0$，都有$lim_{z to z_0} f(z)=f(z_0)$，则函数$f(z)$在点$z_0$处连续。
VS
极限法
如果函数在某点的极限存在，且极限值等 于函数值，则该函数在该点可微。
可微性的性质和定理
局部性质
如果复变函数在某点可微，则该函数在该点的导数存在。
链式法则
如果两个复变函数通过乘法或除法组合，且各自在某点可微，则组 合后的函数在该点也可微，且其导数等于各自导数的乘积或商。
参数方程表示
如果复变函数由参数方程表示，且参数方程在某点可微，则该复变函 数在该点也可微。
05
复变函数的应用
在物理中的应用
量子力学
01
复变函数在量子力学中用于描述波函数，通过复数形式表达波
函数的实部和虚部。
电磁学
02
在电磁学中，复数形式的复变函数被用于描述电场和磁场，以
及相关的波动现象。
光学
03
光学中的波动理论使用复变函数来描述光波的传播和性质，如
折射、反射和干涉等现象。
在工程中的应用
04
复变函数的可微性
可微性的定义和性质
定义
如果对于复变函数f(z)，其导数f'(z)在某点z0 存在，则称f(z)在z0可微。
性质
复变函数在某点的可微性意味着该函数在该 点有切线，且切线的斜率等于函数的导数值
。
复变函数课件：2_1极限与连续
映射 如果用 z 平面上的点表示自变量 z 的值, 而用另一个平面 w 平面上的点表示函数 w 的 值, 那末函数 w f (z) 在几何上就可以看作 是把 z 平面上的一个点集 E (定义集合) 变到 w 平面上的一个点集 A (函数值集合)的映射 (或变换).
如果 E 中的点 z 被映射 w f (z) 映射成 A 中的点 w, 那末 w 称为 z 的象 (映象), 而 z 称为 w 的原象.
由二元实函数极限的定义，
lim u(x, y) a, lim v(x, y) b.
xx0 y y0
xx0 y y0
充分性() 若 lim u(x, y) a, lim v(x, y) b，
xx0
xx0
y y0
y y0
0, 0,使得当0 x x0 2 y y0 2 时
| u(x, y) a | ， | v(x, y) b | ,
例3 函数 w z2, 令 z x iy, w u iv, 则 u iv ( x iy)2 x2 y2 2xyi, 于是函数 w z2 对应于两个二元实变函数 : u x2 y2, v 2xy.
3. 映射的概念
对于复变函数,由于它反映了两对变量u, v 和 x, y 之间的对应关系,因而无法用同一平面内 的几何图形表示出来, 必须看成是两个复平面上 的点集之间的对应关系.
2. 复变函数极限与实函数极限的关系
定理2.1.1 设 f (z) u(x, y) iv(x, y)在点集E 上
有定义，z0 x0 iy0为E的一个聚点, a ib,
则 lim f (z) a ib z z0
lim u(x, y) a, lim v(x, y) b.
若有一法则 f ，使对E中的每一个点 z x iy, 存在多个 w u iv 和它对应, 则称 f 为在 E 上定义了一个复变数(多值)函数 .
复变函数极限 -回复
复变函数极限 -回复复变函数极限是指在复平面上，当自变量趋于某一点时，函数值趋于某个确定的数值。
这个数值可以是实数或复数。
对于实函数，我们学过单个变量的极限如何计算。
而对于复变函数，它是由一个自变量所构成的复平面上的向量，因此极限的计算方式也有所不同。
考虑一个复变数函数f(z)，当z趋近于某个常数z0时，f(z)的极限可以等于实数，也可以等于复数。
这种情况下，我们可以用复平面上的序列来定义极限。
若存在一个复数L，使得该函数对任意一个接近z0的复数序列z1,z2,...,zn...,其映射后的序列f(z1),f(z2),...,f(zn),...都无限趋近于L，则称函数f(z)在z0处具有极限L，记作：lim f(z)=L，其中z趋近于z0。
需要注意的是，与实变数中极限的定义不同，复变函数的极限通常不等于函数在该点的值。
即使在该点的函数值已经定义，其极限也可以不等于函数值。
因此，极限的存在和唯一性是复变函数理论中研究的重点。
对于复变函数，如果把极限的存在性和唯一性分开讨论，计算它们的方法也不同。
首先，我们来看含有单一自变量的复变函数。
如果函数只依赖于一个自变量，那么从该点出发的任意曲线上的极限都应该是相同的。
这意味着，从z0出发，极限只需要沿着坐标轴以及平行于坐标轴的直线路径来计算即可。
当自变量沿任何路径趋近于z0时，只要其极限都存在，则称函数在z0处全纯。
而对于含有多个自变量的复变函数，确定它们的极限则需要使用更丰富的工具和结论。
在这种情况下，需要先确定自变量沿着那一条路径趋近于z0。
当然，这个路径是任意选取的。
然后才能计算函数的极限。
在计算复变函数的极限时，还需要考虑函数的复杂性。
如果函数在z0处不光滑，那么极限一般是不存在的。
例如，如果函数在z0处有一个极点，那么当自变量趋近于该点时，函数值会无限趋近于无穷大或无穷小。
此时，我们通常将其认为是没有极限的。
如果函数在z0处具有其他的复杂性质，如奇点、震荡等，也可能会导致函数在该处无极限。
复变函数的极限和连续性
一、 复变函数的极限
1、 定义
形式 与一元实函数的极限一致,记 lim f (z) A
z z0
理解 与二元(多元)实函数的极限一致(几何描述),
对任何z z0的方式路径,f (z)趋近于同一个
确定的复数A
掌握 判别 lim f (z)不存在的方法
确定原象在映射下的象(或象曲线方程)。
思考题： 1、如何理解两个复数z1与z2乘积与商的辐角形式？ 2、函数、映射和变换是否为同一个概念？
注：分析中，习惯把变量之间的对应关系称为函数； 几何中，习惯把变量之间的对应关系称为映射； 代数中，习惯把变量之间的对应关系称为变换。
在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统 一看作是z平面上集合G与w平面上集合G*之间的一种对应。
而当z沿平行于y轴负向趋于z0时,
lim
z z0
arg(
z
)
lim arg(z)不存在,函数arg(z)在负实轴上不连续。 zz0
本章难点与重点
难点
复杂函数的几何描述——映射； 复杂函数的极限概念——理解。
复数的辐角主值范围(- arg(z) )及其确定；
重点 复数代数形式、三角式及指数式的互化；
v0
y y0
y y0
3、四则运算法则 类似一元实函数的极限
二、 复变函数的连续性
1、定义— (1)
f
( z0 )存在 ；(2)
lim
z z0
f ( z)存在 ；
(3)两值相等 ，即 lim z z0
f (z)
f (z0 )
2、存在判别法-- 转化为实函数的连续性
f ( z)在z0点连续 实、虚部函数 u( x, y) 、v( x, y) 均在点( x0 , y0 )处连续。
复变函数的极限与连续性例题和知识点总结
复变函数的极限与连续性例题和知识点总结在复变函数的学习中，极限与连续性是非常重要的概念。
理解和掌握它们对于解决各种复变函数的问题至关重要。
下面我们将通过一些具体的例题来深入探讨复变函数的极限与连续性，并对相关知识点进行总结。
一、复变函数极限的定义设函数＼（w ＝ f(z)＼）定义在＼（z_0\）的某个去心邻域内，如果对于任意给定的正数＼（＼epsilon\），总存在正数＼（＼delta\），使得当＼（ 0 ＜｜z z_0| ＜＼delta\）时，都有＼（｜f(z) A| ＜＼epsilon\），则称＼（ A\）为＼（ f(z)＼）当＼（ z\）趋于＼（ z_0\）时的极限，记作＼（＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ A\）。
二、复变函数连续性的定义如果函数＼（ f(z)＼）在＼（ z_0\）处满足＼（＼lim_{z ＼toz_0} f(z) ＝ f(z_0)＼），则称＼（ f(z)＼）在＼（ z_0\）处连续。
如果＼（ f(z)＼）在区域＼（ D\）内处处连续，则称＼（ f(z)＼）在＼（ D\）内连续。
三、例题解析例 1：求＼（＼lim_{z ＼to 1 ＋ i} （z^2 2z ＋ 2)＼）解：将＼（ z ＝ 1 ＋ i\）代入＼（ z^2 2z ＋ 2\）得：＼begin{align}＆（1 ＋ i)＾2 2(1 ＋ i) ＋ 2\＼＝＆1 ＋ 2i ＋ i^2 2 2i ＋ 2\＼＝＆1 ＋ 2i 1 2 2i ＋ 2\＼＝＆0＼end{align}＼所以＼（＼lim_{z ＼to 1 ＋ i} （z^2 2z ＋ 2) ＝ 0\）例 2：判断函数＼（ f(z) ＝＼frac{z^2 1}｛z 1}＼）在＼（ z ＝1\）处的连续性。
解：先对函数进行化简：＼＼begin{align}f(z)＆＝＼frac{z^2 1}｛z 1}＼＼＆＝＼frac{（z 1)（z ＋ 1)｝｛z 1}＼＼＆＝ z ＋ 1＼end{align}当＼（ z ＼to 1\）时，＼（＼lim_{z ＼to 1} f(z) ＝ 2\），而＼（ f(1)＼）不存在，所以函数＼（ f(z)＼）在＼（ z ＝ 1\）处不连续。
复变函数的极限与连续
存在，对于任意给定的 0 ，都有 0 存在，当 0 | z z0 | ，
z E 时，有
| f (z) A || u iv A |
实变函数的极限。因此，求复变函数的极限问题可转化为求
该函数的实部和虚部的极限问题。
复变函数的极限与实变复值函数的极限有类似的四则运
算法则。
定理 4:
如果 lim zz0
f
(z)
A, lim zz0
g(z)
B,
那么
1) lim [ f (z) g(z)] A B ， zz0
lim z(t) A
t t0lBiblioteka mt t0x(t)
x0
，
lim
t t0
y(t)
y0
。
注 1：这个定理告诉我们求实变复值函数
z z(t) x(t) iy(t) 的极限问题转化为求两个一元实变函数 x(t) 和 y(t) 的极限问题。
定理 2：实变复值函数极限的四则运算与实变函数极限 的四则运算法则完全一致。 2、复变函数的极限
复平面内连续。
注
2：有理分式函数
w
P(z) Q(z)
在复平面内使分母不为零的
点处是连续的。
1.6复变函数的极限与连续
二、函数的极限
1、实变复值函数的极限 定义：设实变复值函数 z z(t) x(t) iy(t) 的定义域为实
数集合T ，t0 是T 的聚点，如果 A数，对于 0 ，都有 0
1-2复变函数的极限
哈 尔 滨 工 程 大 学
w ( z 3 ) (1 i ) { 2[cos
2
4
i sin 2 4
4
]}
2
( 2 ) [cos(
2
2 4
) i sin(
)] 2 i
复 变 函 数 与 积 分 变 换
由 乘 法 的 辐 角 公 式 ： Argw Arg z Arg z , 通 过 映 射 w z , z的 辐 角 增 大 一 倍 ,
外点
z 0 内点
P
复 变 函 数 与 积 分 变 换
边界与边界点: 设有点P，若点P的任何邻域 中既有属于都包含E中的点又有不属于 E的点，则称P是E的边界点；点集E的 所有边界点的集合称为E的边界
闭 包 ： 区 域 D与 它 的 边 界 一 起 称 为 D 的 闭 包 ,
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*
w f (z)
定义域
函数值集合
复 变 函 数 与 积 分 变 换
w 称 为 z的 象 , z 称 为 w的 原 象 . (z) y v w=f(z)
(w)
G*
z
o
G x
w=f(z) w o u
复变函数的几何意义是一个映射（变换）
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函数，映射，变换都是一种对应关系的
反映，是同一概念。 分析中，两个变量之间的对应关系称为函数； 几何中，两个变量之间的对应关系称为映射；
点集 E 的聚点 P 可能属于E 也可能不属于E
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区域 设 D是一个开集，且D连通，即D中任 任意两点均可用完全属于D的连线连起 来，称 D是一个区域。
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当 z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim u( x, y) lim x lim
x
x0
x0 x2 y2 x0 x2 (kx)2
ykx
ykx
9
lim
x
1 ,
x0 x2(1 k 2 )
1 k2
随 k 值的变化而变化,
所以 lim u( x, y) 不存在, lim v( x, y) 0,
第2章 导数
Derivatives
1
2.1 复变函数的极限
2.1 复变函数的极限
1. 极限的定义（the definition of limit ）: 设函数 w f (z) 定义在 z0 的某去心邻域
0 z z0 内, 如果有一确定的数A 存在, 对于任意给定的 0, 相应地必有一正数 ( ) 使得当0 z z0 (0 )时,有 f (z) A
说明
[证毕]
该定理将求复变函数 f (z) u( x, y) iv( x, y)
的极限问题, 转化为求两个二元实变函数 u( x, y)
和 v( x, y)的极限问题.
7
定理二
设 lim f (z) A, lim g(z) B, 那末
zz0
zz0
(1) lim[ f (z) g(z)] A B; zz0
w P(z) a0 a1z a2z2 anzn , 对复平面内的所有点z 都是连续的; (2) 有理分式函数 w P(z) , 其中 P(z) 和 Q(z) 都是多项式,
Q(z) 在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
20
2. 关于连续的例题:
21
例3 证明:如果 f (z) 在 z0 连续, 那末 f (z) 在 z0 也连续. 证 设 f (z) u( x, y) iv( x, y),
5
或当 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 时,
(u u0 ) i(v v0 ) , u u0 , v v0 ,
故
lim
x x0
u(
x,
y)
u0
,
lim
x x0
v(
x
,
y
)
v0
.
y y0
y y0
(2) 充分性.
若
lim
x x0
u(
x,
y)
u0
,
lim
x x0
18
定理四 (1) 在 z0 连续的两个函数 f (z) 和 g(z)的和、差、 积、商(分母在 z0 不为零) 在 z0处仍连续. (2) 如果函数 h g(z)在 z0 连续,函数 w f (h)在 h0 g(z0 ) 连续, 那末复合函数w f [g(z)]在 z0 处 连续.
19
特殊的: (1) 有理整函数(多项式)
32
思考题
设复变函数 f (z)当 z z0 时的极限存在, 此极限值与z 趋于 z0 所采取的方式(选取的路 径)有无关系?
33
思考题答案
没有关系. z以任何方式趋于z0, 极限值都是相同的.
34
• 2.1.2 • 2.1.3 • 2.1.7 • 2.2.1 • 2.2.2
作业
35
,
当 z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim
x0
v(
x,
y
)
lim
x0
x
2 xy 2 y
2
1
2k k
2
,
ykx
ykx
12
随 k 值的变化而变化, 所以 lim v( x, y) 不存在,
x x0 y y0
根据定理一可知, lim f (z) 不存在. z0
13
2.2 函数的连续性 （Continuity）
ex cos y iex sin y
30
在除去负实轴及原点的 复 平 面 内, w Ln z 的 主值支和其它各分支 处处连续。
例如 ln z ln z i arg z.
31
正弦函数和余弦函数 在复平面内都是处处连续的.
余弦函数为cos z eiz eiz , 2
正弦函数为sinz eiz eiz . 2i
(2) lim[ f (z)g(z)] AB; zz0
(3) lim f (z) A (B 0). zz0 g(z) B
与实变函数的极限运算法则类似.
8
例1 证明函数 f (z) Re(z) 当 z 0时的极限 z
不存在.
证 (一) 令 z x iy, 则 f (z) x , x2 y2
通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连 续性的运算法则与性质.
注意:复变函数极限的定义与一元实变函数 极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很 大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多.
23
指数函数exp z ez 在 复平面内处处连续。
因为若 z x iy, 则 ez e（x cos y i sin y）
v
(
x
,
y
)
v0
,
y y0
y y0
那么当 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 时,
有
u u0
,2vv0,26
f (z) A (u u0 ) i(v v0 )
u u0 v v0
故当 0 z z0 时, f (z) A ,
所以 lim f (z) A. zz0
16
定理三 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在z0 x0 iy0
连续的充要条件是: u( x, y) 和 v( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 处连续.
（由定理一即知）
17
例如, f (z) ln( x2 y2 ) i( x2 y2 ), u( x, y) ln( x2 y2 ) 在复平面内除原点外处 处连续, v( x, y) x2 y2 在复平面内处处连续, 故 f ( x, y) 在复平面内除原点外处处连续.
那末称 A 为 f (z) 当 z 趋向于 z0 时的极限. 记作 lim f (z) A. (或 f (z) zz0 A)
zz0
注意: 定义中 z z0 的方式是任意的.
3
复变函数的极限 的几何解释
4
2. 极限计算的定理（Theorems on Limits ）
定理一
设 f (z) u( x, y) iv( x, y), A u0 iv0,
14
1. 连续的定义:
如果 lim zz0
f (z)
f (z0 ), 那末我们就说
f (z)
在 z0 处连续. 如果 f (z) 在区域 D内处处连续,
我们说 f (z) 在 D内连续.
函数 f (z) 在曲线C 上 z0 处连续的意义是
lim
zz0
f (z)
f (z0 ),
zC.
15
2. 关于连续的定理:
z0
x0
iy0
,
那
末
lim
zz0
f
(z)
A的充要条件是
lim
x x0
u(
x,
y
)
u0
,
lim
x x0
v(
x,
y)
v0
.
y y0
y y0
证 (1) 必要性. 如果 lim f (z) A, zz0
根据极限的定义 当0 ( x iy) ( x0 iy0 ) 时,
(u iv) (u0 iv0 ) ,
x x0 y y0
x x0 y y0
根据定理一可知, lim f (z) 不存在. z0
证 (二) 令 z r(cos i sin ),
则 f (z) r cos cos ,
r
10
当 z 沿不同的射线 arg z 趋于零时,
f (z)趋于不同的值. 例如 z 沿正实轴 arg z 0 趋于零时, f (z) 1,
沿 arg z π 趋于零时, f (z) 0, 2
故 lim f (z) 不存在. z0
11
例2 证明函数 f (z) z (z 0) 当 z 0时的极 z
限不存在.
证
令 z x iy, f (z) u iv,
则
u( x, y)
x2 x2
y y
2 2
,
v( x,
y)
2 xy x2 y2
则 f (z) u( x, y) iv( x, y), 由 f (z) 在 z0 连续, 知 u( x, y) 和 v( x, y) 在 ( x0 , y0 )处都连续, 于是 u( x, y) 和 v( x, y) 也在 ( x0 , y0 )处连续, 故 f (z) 在 z0 连续.
22
思考