离散复习(2012)

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【优化方案】2012高考数学总复习第10章§10.8离散型精品课件理北师大版

4．正态分布曲线具有以下性质． (1)函数图像关于直线 x＝µ 对称；函数图像关于直线_______对称对称；函数图像关于直线＝ (2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的胖”“瘦”；σ越大，的大小决定函数图像的“胖瘦；越大越大，的大小决定函数图像的正态曲线越扁平；越小正态曲线越尖陡；越小，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡； (3)在正态曲线下方和轴上方范围内的区域面积为在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为在正态曲线下方和 1；； (4)若X～N(µ，σ2)，则P(µ－σ<X<µ＋σ)＝68.3%；若～，，－＋＝； P(µ－2σ<X<µ＋2σ)＝______；－＋＝ 95.4% ； P(µ－3σ<X<µ＋3σ)＝99.7%. －＋＝
思考感悟 2．正态分布中，µ，σ2的实际意义是什么？．正态分布中，，的实际意义是什么？【思考·提示】提示】思考提示 µ是均值，σ2是方差．是均值，是方差．是均值
课前热身 1．若X的分布列为 X ．的分布列为 P 则EX＝( ＝ A．1－m ．－ C．m＋n ．＋答案：答案：A ) B．mn ． D．m ． 0 1 ，其中 ∈(0,1)，其中m∈ ， m n
3．下列函数是正态分布密度函数的是( ．下列函数是正态分布密度函数的是 ) － )2 1 (x－µ) A．f(x)＝ e ．＝，都是实数 2 ，µ，σ(σ>0)都是实数 2πσ 2σ 2π x2 B．f(x)＝ e－．＝－ 2 2π 2 (x－1) － ) 1 C．f(x)＝ e－．＝－ 4 2 2π 1 x2 e D．f(x)＝．＝ 2π 2
思考感悟 1．随机变量的均值、方差与样本均值、方差的．随机变量的均值、方差与样本均值、关系是怎样的？关系是怎样的？提示】【思考·提示】思考提示随机变量的均值、随机变量的均值、方差是一个

2012年经济师考试中级经济基础笔记：离散程度

离散程度的测度离散程度是指数据之间的差异程度或频数分布的分散程度。

集中趋势的测度值对⼀组数据的代表程度，取决于该组数据的离散⽔平。

数据的离散程度越⼤，集中趋势的测度值对该组数据的代表性就越差;离散程度越⼩，其代表性就越好。

离散程度的测度，主要包括极差、⽅差和标准差、离散系数等。

(⼀)极差极差是最简单的变异指标，是总体或分布中的标志值与最⼩的标志值之差，⼜称全距，⽤R表⽰。

极差反映的是变量分布的变异范围或离散幅度，在总体中任何两个单位的标志值之差都不可能超过极差。

极差仅仅取决于两个极端值的⽔平，不能反映其间的变量分布情况，同时易受极端值的影响。

【例题1·单选题】(2010年)根据下表所列我国1998年⾄2003年⼈⼝数及构成情况，l998年⾄2003年我国男性⼈⼝占年底总⼈⼝⽐重的极差是( )。

年份199819992000200l20022003年底总⼈⼝（万⼈）其中：男性（万⼈）男性所占⽐重（%）1247616394051.251257866469251.431267436543751.631276276567251.461284536611551.471292276655651.50A.0.38%B.0.25%C.51.25%『正确答案』A『答案解析』男性所占⽐重的值为51.63%，最⼩值为51.25%，极差=51.63%-51.25%=0.38%。

(⼆)标准差和⽅差标准差：总体所有单位标志值与其平均数离差之平⽅的平均数的平⽅根，⽤表⽰。

标准差与⽅差是应⽤最⼴泛的统计离散程度的测度⽅法。

(三)离散系数极差、标准差和⽅差等都是反映数据分散程度的绝对值。

为消除变量值⽔平⾼低和计量单位不同对离散程度测定值的影响，需要计算离散系数。

离散系数：也称标准差系数，它是⼀组数据的标准差与其相应的算术平均数之⽐，是测度数据离散程度的相对指标，⽤表⽰，其计算公式要掌握。

离散系数主要是⽤于⽐较不同组别数据的离散程度。

大学离散数学复习试题

离散数学练习题目一、选择题1．设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列各式中____D______是错的。

A、AΦ； B、{6，7，8}∈A；⊆C、{{4，5}}⊂A；D、{1，2，3}⊂A 。

2.已知集合A={a,b,c},B={b,c,e},则 A⊕B=___C___________A.{a,b} B={c} C={a,e} D=φ3.下列语句中，不是命题的是____A_________A.我说的这句话是真话；B. 理发师说“我说的这句话是真话”；C. 如果明天下雨，我就不去旅游；D. 有些煤是白的，所以这些煤不会燃烧；4.下面___D______命题公式是重言式。

A.R(R(Q)P∨∨；C.)∨；↔QP(→； B.)∧Q)P∨R(QP→D、))→P→Q→→。

R→→)))((P((QP(R5.公式(p∧q)∨(p∧～q)的主析取范式是____B_______∨∨∨m2 D. m1∨m36．设L(x)：x是演员，J(x)：x是老师，A(x , y)：x钦佩y，命题“所有演员都钦佩某些老师”符号化为___D______。

A、))yAJ()(yx∀；→(∃x∧xLyx(yx(((,A)L)(,x→∀； B、)))C、))x(y((A)()∃∧,∀。

x→yJxLyL)(∀； D、))(),(x(yA∧∃yx∧yJx7.关于谓词公式（x）(y)(P(x,y)∧Q(y,z))∧(x)p(x,y),下面的描述中错误的是__B_____A．（x）的辖域是（y）（P（x,y）∧Q(y,z)）B．z是该谓词公式的约束变元C ．（x ）的辖域是P （x,y ）D ．x 是该谓词公式的约束变元8．设B A S ⨯⊆，下列各式中____B___________是正确的。

A 、domS ⊆B ； B 、domS ⊆A ；C 、ranS ⊆A ；D 、domS ⋃ ranS = S 。

9．设集合Φ≠X ，则空关系X Φ不具备的性质是____A________。

2012复习-极差、方差和标准差考点分析

2012复习－极差、方差和标准差考点分析所谓“三差”是指极差、方差和标准差，它们都是描述数据离散程度的统计量，在中考里，这是一个重要考点. 其常见的考查方式如下.一、考查极差例1 徐州巿六个医保定点医院2008年第一季度的人均住院费用（单位：元）约为：12320，11880，10370，8570，10640，10240. 则这组数据的极差是____元.分析：本题主要考查了极差概念的应用. 要求这组数据的的极差，首先应找到这组数据的最大值和最小值.解：因为12320－8570 = 3750（元）. 故填3750.点评：极差表示一组数据变化范围的大小，极差的计算公式为：极差=最大值—最小值.二、考查方差例2 刘明在九年级第二学期进行的5次数学测验中，成绩分别为：91，89，88，90，92，则这5次数学测验成绩分数的平均数和方差依次为（）.A ．90，10B ．90，1C ．89，5D ．90，2分析：由于方差是各数据与平均数之差的平方的平均数，故方差公式可记为：“先平均——再求差——后平方——最后再平均”.解：因为91898890929010x ++++==. 所以()()()()()22222219190898088909090929025S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦. 故选D. 点评：方差是反映一组数据的整体波动大小的特征量，故其值越大，数据的波动越大.三、考查标准差例3 若一组数据2，4，x ，6，8的平均数是6，则这组数据的标准差是（）.A ．B ．8C ．D ．40分析：根据这组数据的平均数是6，可先求出x 的值，再求这组数据的方差，最后求标准差. 解：因为()1246865x ++++=，所以10x =. 又()()()()()22222212646106668685S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦.所以这组数据的标准差是S ==. 故选A.点评：由于标准差是方差的算术平方根，故计算标准差的关键是正确求得方差.四、考查实际应用例4 在2008北京奥林匹克运动会的射击项目选拔赛中，甲、乙两名运动员的射击成绩如下（单位：环）：甲 10 10.1 9.6 9.8 10.2 8.8 10.4 9.8 10.1 9.2 乙 9.7 10.1 10 9.9 8.9 9.6 9.6 10.3 10.2 9.7（１）两名运动员射击成绩的平均数分别是多少?（２）哪位运动员的发挥比较稳定？（参考数据： 0.2222222226.03.06.014.02.03.0+++++++=2.14 ，22222222221.04.05.02.02.09.01.02.03.01.0+++++++++=1.46）分析：根据题目中提供的数据，利用平均数的计算公式即可求值；要说明哪位运动员的发挥比较稳定，要首先求出方差，然后再做比较，方差小的较稳定.解：（1）甲x =102.91.108.94.108.82.108.96.91.1010+++++++++=9.8．乙x =107.92.103.106.96.99.89.9101.107.9+++++++++=9.8 ．（2）∵2甲s =101[（10－9.8）2+（10.1－9.8）2+（9.6－9.8）2+…+（9.2－9.8）2]=0.214．2乙s =101[（9.7－9.8）2+（10.1－9.8）2+（10－9.8）2+…+（9.7－9.8）2]=0.146． ∴2甲s >2乙s ，∴乙运动员的发挥比较稳定．点评：当两组数据的平均数相同或接近时，通常要通过比较两组数据的方差来判断其稳定性，方差越大越不稳定，方差越小越稳定.。

《离散数学(本)》试卷分析

《离散数学（本）》试卷分析一、定量分析（一）试卷结构1、客观题单选题共 5 题，总分值 15 ，占全卷比例 15%填空题共 5 题，总分值 15 ，占全卷比例 15%2、主观题逻辑与公式翻译共 2 题，总分值 12 ，占全卷比例 12%判断说明题共 2 题，总分值 14 ，占全卷比例 14%计算题共 3 题，总分值 36 ，占全卷比例 36%证明题共 1 题，总分值 8 ，占全卷比例 8%（二）题型及章节分布（三）章节、题型分值分布（四）卷面及格率统计二、定性分析（一）教学与考试的相关度在同一考纲的指引下、统一使用中央电大教材、练习题。

平时教学辅导与考试范围吻合。

试卷内容都在考试大纲和期末复习指导及练习题范围的覆盖下，教学大纲、复习指导、练习与考试内容三者目标基本一致。

（二）试题特点本次试卷的题型分为6种：填空题15；单项选择题15分；逻辑与翻译题12分；判断说明题14分，计算题36分，证明题8分。

绝大部分试题难易程度适当，与教学要求一致；注重学员能力的提高，符合成人教育提高学员分析问题的能力的基本要求；区分度合理；试题类型、基本知识、基本理论、基本方法的比例符合本学科特点。

能够达到科学考察课上学习效果、平时知识积累的目的。

题量适当，考生能在规定时间完成答卷。

（三）学生复习及考试情况多数学生在学习期间都比较认真，积极参加集中辅导和网上辅导，能够独立完成作业，及时地进行自学，达到了预期的部分效果。

考生整体的答题情况较为合理，多数考生都能够把握住大多数考点。

（四）阅卷情况整个阅卷过程程序规范，教师资格符合要求，评分标准统一，保证了阅卷的公正性，每位阅卷老师严格按照试题要求仔细批阅，阅卷质量能够得到保证。

三、问题及对策1、问题（1）有些学生的初等数学基础较差，学习这门课程比较吃力。

（2）学生供学矛盾突出，到课率不高，数学知识的逻辑性比较强，不坚持连续听辅导课，知识不能很好衔接，出现断条，为后学知识学习和知识的系统掌握带来困难。

数理逻辑复习题

离散数学期末复习题2012-6-161.“太阳系以外的星球上有生命。

”是命题。

（ T ）2．ρ（A⋃B）=ρ（A）⋃ρ（B）（ F ）ρ（A∩B）=ρ（A）∩ρ（B）（ T ）3．一个命题的合取范式不是唯一的。

（ T ）4．等价式⌝（∃x）A（x）⇔（∀x）⌝A（x）成立。

( T )5．（∀x）（P（x）∨Q（x））∧ R（x）是命题。

（ F ）8．对于一个谓词公式，指定不同的个体域，则其真值不一定相同.T9. 若命题公式A的主析取范式包含全部的极小项，则A为永真式T10．命题“他在教室看书或在宿舍看书。

”可以符号化为P∨ S。

F11．当个体域S=｛a,b,c｝消去公式(∀x) P(x)∨(∃x)Q(x)中量词为(P(a)∨Q(a)) ∧ (P(b)) ∨Q(b)) ∧ (P(c)∨Q(c)) F12. 设P、Q是两个命题，当且仅当P、Q的真值均相同时，P↔Q的值为T. T13. 命题公式(P∧(P→ Q)) → Q是永真式. T14．命题联结词集｛∨、∧｝是极小功能完备的联结词集. F15．(A ≠Φ) ∧ (B ≠Φ) ⇒ (A ⋂ B ≠Φ ) F16. （P ↔ Q）→┐（ P ∨Q）是矛盾式。

F17. ∃xA(x) ∨∃x B(x) ⇒∃x ( A(x) ∨ B(x)) T19. 若关系R不具有对称性则R一定具有反对称性 F22. 设A、B、C是任意集合，且C-B = C-A，则A=B 。

F23. 设A、B和C为任意集合，且A∪B=A∪C，则B=C. F24．若R和S是X上具有对称性的关系，则R º S也具有对称性。

F25．若R和S是X上的具有对称性的关系，则R ∩S具有对称性。

T26．∃xA(x)∨∃x B(x)⇒∃x ( A(x) ∨ B(x)) （F ）27．（P ↔ Q）→┐（ P ∨Q）是可满足式。

（ F）28．｛｝=｛φ｝（ F ）二、填空题1．已知B={ {a，b}，c}，则B的幂集ρ（B）= { B ,Φ,{{a，b}}，{c} }2．已知A={1，2，3，4，5，6，7}，B={2，4，6，8，10}，则A-B= {1,3,5,7,} ,A + B= {1,3,5,7, 8,10} 。

离散数学课件总复习之习题讲解

4 c8
25 c2
10 c5
11 c6
36 c7
7 3 c3 11 4 c8 17 6 c4 10 c5 7 3 c3
11
5 c1
6 c4
25 c2
11 c6
36 c7
5 c1
22 11
4 c8
25 c2
36 c7 5 c1
17
11 c6 10 c5 7 3 c3 4 c8
6 c4
25 c2
36 c7 11 5 c1 61
6 c4
11 10 c6 c5
3 c3
c7 01
4 c8
c8 1111
c5 110
c6 101
电文总码数：4×5＋ 2×25＋ 4×3＋ 4×6＋ 3×10＋ 3×11＋ 2×36＋ 4×4＝257
P295 6.9
设散列表为 HT[13] ，散列函数 H(key)=key%13 ，用闭散列法解决冲突，对下列关键码序列12,23,45,57,20,03,78,31,15,36造表。（1）采用线性探查法寻找下一个空位，画出相应的散列表，并计算等概率下搜索成功的平均搜索长度和搜索不成功的平均搜索长度。（ 2 ）采用双散列法寻找下一个空位，再散列函数 RH(key)=(7*key)%10+1 ，寻找下一个空位的公式为 Hi＝（ Hi-1＋RH(key)）% 13，H1=H(key) 。画出相应的散列表，并计算等概率下搜索成功的平均搜索长度。温习：
20122012年秋季年秋季各内容重点题型讲解各内容重点题型讲解容容比比示例例题示例例题线性表线性表1515p86222p86222栈和队列栈和队列1515p133322p133322数组矩阵和串数组矩阵和串1010p185413p185413二叉树堆二叉树堆huffmanhuffman2020p248518p2485185205201010p29569p295691100p393810p393810p395824p395824搜索结构搜索结构2020p343715p343715排序排序p44092p44092p86222p86222设在一个带附加头结点的单链表中所有元素结点的数据值按递增顺序排列试编写一个函数删除表中所有大于min小于max的元素若存firstppqq温习

离散数学复习题集

离散数学复习题集一、单项选择题 (1)二、填空题 (10)三、计算题 (13)四、其他 (15)一、单项选择题1．下列语句中不．是命题的只有（） A ．鸡毛也能飞上天？B ．或重于泰山，或轻于鸿毛。

C ．不经一事，不长一智。

D ．牙好，胃口就好。

2．下列语句中为命题的是（）A ．这朵花是谁的？B ．这朵花真美丽啊！C ．这朵花是你的吗？D ．这朵花是他的。

3．下列句子不是．．命题的是（） A ．中华人民共和国的首都是北京B ．张三是学生C ．雪是黑色的D ．太好了！ 4下列句子为命题的是（）A.全体起立!B.x =0C.我在说谎D.张三生于1886年的春天 5.下列句子为命题的是（）A.走，看电影去B.x+y>0C.空集是任意集合的真子集D.你明天能来吗? 6．下列语句中是真命题的是（）A ．我正在说谎B ．严禁吸烟C ．如果1+2=3，那么雪是黑的D ．如果1+2=5，那么雪是黑的 7.下列命题为假．命题的是（） A.如果2是偶数，那么一个公式的析取范式惟一B.如果2是偶数，那么一个公式的析取范式不惟一C.如果2是奇数，那么一个公式的析取范式惟一D.如果2是奇数，那么一个公式的析取范式不惟一读书是掌握知识的捷径，勤奋是开启知识大门的钥匙，思考是理解知识的利器，练习是巩固知识的方法，讨论是理解知识的妙招，探求是创新知识的途径。

8.设p ：天下大雨,q ：他在室内运动,命题“除非天下大雨，否则他不．在室内运动”可符合化为（）A.⎤p ∧qB.⎤p →qC.⎤p →⎤qD.p →⎤q9．设p ：我们划船，Q ：我们跑步。

命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（）A ．⎤ p ∧⎤ qB ．⎤ p ∨⎤ qC ．⎤（p ↔q ）D ．⎤（⎤ p ∨⎤ q ）10．令p ：今天下雪了，q ：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不．滑”可符号化为（） A ．p →q B ．p ∨q C ．p ∧q D ．p ∧q11．设p ：他聪明，q ：他用功，命题“他虽聪明但不用功”的符号化正确的是（）A ．⎤ p ∧qB ．p ∧⎤ qC ．p →⎤ qD ．p ∨⎤ q12．令p ：今天下雪了，q ：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（）A ．p →┐qB ．p ∨┐qC ．p ∧qD ．p ∧┐q13.在命题演算中，语句为真为假的一种性质称为( )A.真值B.陈述句C.命题D.谓词14.设p ：明天天晴；q ：我去爬山；那么“除非明天天晴，否则我不去爬山。

2012年高考试题分类考点50 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差

考点50 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差一、填空题1.（2012·湖南高考文科·Ｔ13）如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________.08910352图(注：方差2222121()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)【解析】1(89101315)115x =++++=，2222221(811)(911)(1011)(1311)(1511)5s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦ 6.8=.【答案】6.8 二、解答题2.（2012·浙江高考理科·Ｔ19）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和. （1）求X 的分布列.（2）求X 的数学期望E （X ）. 【解析】（1）X=3，4，5，6，35395(3)42C P X C ===，21543910(4)21C C P X C ===， 1254395(5)14C C P X C ===， 34391(6)21C P X C ===，所以X 的分布列为：(2)X 的数学期望E （X ）=15+80+75+129113=42213=. 3.（2012·陕西高考理科·Ｔ20）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：从第一个顾客开始办理业务时计时.（Ⅰ）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率.（Ⅱ）X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望.【解析】设Y 表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y 的分布列如下：（Ⅰ）A 表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A 对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以()(1)(3)(3)(1)(2)(2)P A P Y P Y P Y P Y P Y P Y ===+==+==0.10.30.30.10.40.40.22=⨯+⨯+⨯=.（Ⅱ）方法一:X 所有可能的取值为0，1，2.0X =对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以(0)(2)0.5P X P Y ==>=；1X =对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以(1)(1)(1)(2)P X P Y P Y P Y ===>+=0.10.90.40.49=⨯+=；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以(2)(1)(1)0.10.10.01P X P Y P Y =====⨯=, 所以X 的分布列为∴00.510.4920.010.51EX =⨯+⨯+⨯=. 方法二：X 所有可能的取值为0，1，2.0X =对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以(0)(2)0.5P X P Y ==>=；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以(2)(1)(1)0.10.10.01P X P Y P Y =====⨯=；所以(1)1(0)(2)0.49P X P X P X ==-=-==；所以X 的分布列为∴00.510.4920.010.51EX =⨯+⨯+⨯=.4. （2012·辽宁高考理科·T19）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X .附：22112212211212(),n n n n n n n n n χ++++-=【解题指南】(Ⅰ)据频率分布直方图可计算“体育迷”， “非体育迷”人数，按照提供的公式，计算相关数值，与所给数据比较，获得结论；（Ⅱ）将所有的基本事件罗列，很容易解决问题.【解析】(Ⅰ)由所给的频率分布直方图知， “体育迷”人数为100(100.020100.005)25⨯⨯+⨯=， “非体育迷”人数为75，则据题意完成22⨯列联表：将22⨯列联表的数据代入公式计算：2100(30104515)2112212217525455511221221()100 3.03033n n n n n n n n n χ⨯-⨯⨯⨯⨯-===≈⨯⨯⨯ 22100(30104515)122122175254555221221)100 3.03033n n n n n n ⨯-⨯⨯⨯⨯-==≈⨯⨯⨯. 因为3.030 3.841<，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.（Ⅱ）由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意，1~(3,)4X B ，从而X 的分布列为X 的数学期望为13()344E X np ==⨯=，X 的方差为139()(1)34416D X np p =-=⨯⨯=. 5.（2012·安徽高考理科·Ｔ17）某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类型试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束.试题库中现共有n m +道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题，以X 表示两次调题工作完成后，试题库中A 类型试题的数量. （Ⅰ）求2X n =+的概率.（Ⅱ）设m n =，求X 的分布列和均值（数学期望）.【解题指南】（I ）根据2X n =+得到两次调题均为A 类型试题，进而求出概率；（Ⅱ）先求出随机变量X 的可能取值，再求出取每个值的概率，列出分布列，求出均值.【解析】（I ）2X n =+表示两次调题均为A 类型试题，概率为12n n m n m n +⨯+++.（Ⅱ）m n =时，每次调用的是A 类型试题的概率为12p =，随机变量X 可取,1,2n n n ++，其中X=n,X=n+1,X=n+2,分别意味着两次调题都是B 类型试题、一次A 类型试题和一次B 类型试题（先A 后B 与先B 后A ）、两次调题均为A 类型试题，对应概率为21()(1)4P X n p ==-=，1(1)2(1)2P X n p p =+=-=，21(2)4P X n p =+==分布列是均值111(1)(2)1424EX n n n n =⨯++⨯++⨯=+.答：（Ⅰ）2X n =+的概率为12n n m n m n +⨯+++；（Ⅱ）分布列（见上表），X 的均值为1n +.6. （2012·新课标全国高考理科·T18）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n N ∈）的函数解析式.（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数学期望及方差；（ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.【解题指南】(1) 根据题意建立利润与需求量的分段函数；(2)利用公式求期望与方差，注意随机变量X 代表利润；（3）比较购买17枝与16支的期望，期望越大越好.【解析】（1）当16n ≥时，16(105)80y =⨯-=. 当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-，得：1080(15)()80(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩.（2）（i ）X 可取60，70，80，(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ======. X 的分布列为600.1700.2800.776EX =⨯+⨯+⨯=.222160.160.240.744DX =⨯+⨯+⨯=.（ii ）购进17枝时，当天的利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=，76.476> 得：应购进17枝.7.（2012·江西高考理科·Ｔ18）如图，从A 1（1,0,0），A 2（2,0,0），B 1（0，1，0），B 2（0,2,0），C 1（0,0,1），C 2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V （如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）.(1)求V=0的概率.(2)求V的分布列及数学期望.【解题指南】（1）列出V＝0时的三个点的坐标的可能情况，然后除以总的基本事件数即得概率，列举时若情况较多，可用排列组合的知识解决；（2）求出V 取各个值时对应的概率，列分布列，求出数学期望.【解析】（1）从6个点中随机选取3个点总共有3620C=种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有133412C C=种，因此0V=的概率为()1230.205 P V===（2）V的所有可能取值为11240,,,,6333，因此V的分布列为由V的分布列可得31113234190.562032032032040EV=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=8.（2012·山东高考理科·Ｔ19）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23,每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率.（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.【解题指南】（Ⅰ）利用间接法来求解，分两类，命中甲一次，命中乙一次.（Ⅱ）本题考查的是随机变量的分布列及数学期望，先列出得分的所有值，并求出每个得分所对应的概率，列出分布列，然后根据公式求出数学期望.【解析】(Ⅰ) 由于射手每次射击的结果相互独立，所以P（命中一次）==⨯⨯⨯+⨯⨯2323141313143367.(Ⅱ) 由题意知得分X的可能取值为0,1,2,3,4,5，因此随机变量X的分布列为所以9.（2012·天津高考理科·Ｔ16）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率.（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率. （Ⅲ）用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=||X Y ξ-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.【解析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为31，去参加乙游戏的概率为32，设“4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件)4,3,2,1,0(=i A i ，则ii i i C A P -44)32()31()(=，（Ⅰ）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率278)32()31()(22242==C A P . （Ⅱ）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则34B A A =⋃,由于3A 与4A 互斥，故所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为91.（III ）ξ的所有可能取值为0,2,4.由于1A 与3A 互斥，0A 与4A 互斥，故所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望ξE =024********⨯+⨯+⨯=.10. （2012·湖南高考理科·Ｔ17）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示.已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.（Ⅰ）确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率. （注：将频率视为概率）【解析】（Ⅰ）由已知,得所以15,20.x y ==该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得X 的分布列为X 的数学期望为33111()1 1.52 2.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅱ）记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，(1,2)i X i =为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且，由于各顾客的结算相互独立，且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同，所以 121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X P X P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=(333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980.11.（2012·北京高考文科·Ｔ17）与（2012·北京高考理科·Ｔ17）相同近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率.（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率.（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c其中a＞0，a+b+c=600.当数据a,b,c的方差s2最大时，写出a,b,c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值.（注：2222121[()()()]ns x x x x x xn=-+-++-，其中x为数据x1,x2，…，x n的平均数）【解题指南】第（Ⅰ）问厨余垃圾投放正确即厨余垃圾投入到“厨余垃圾”箱内；第（Ⅱ）问，可以先求对立事件“生活垃圾投放正确”的概率；第（Ⅲ）问，先求出平均数，再写出方差表达式.方差最大也就是数据相对于平均数的波动最大.【解析】（Ⅰ）4002400+100+1003==P.（Ⅱ）4002406031100010P++=-=.（Ⅲ）数据a,b,c的平均数为1()2003x a b c=++=，方差2222 1[(200)(200)(200)]3s a b c=-+-+-，可以令a=600,b=0,c=0，此时方差s2最大，最大值为80000.12.（2012·湖北高考理科·Ｔ20）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I ）工期延误天数Y 的均值与方差.（Ⅱ）在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率. 【解析】(I)由已知条件和概率的加法公式有: P(X<300)=0.3,P(300≤X<700) =P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4, P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700) =0.9-0.7=0.2,所以P(X ≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以Y 的分布列为:于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3;D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8. 故工期延误天数Y 的均值为3,方差为9.8.(Ⅱ)由概率的加法公式,P(X ≥300)=1-P(x<300)=0.7, 又P(300≤x<900)=P(X<900)-P(X<300) =0.9-0.3=0.6.由条件概率,得P(Y ≤6|X ≥300)=P(X<900|X ≥300)=P(300X 900)0.66P(X 300)0.77≤<==≥故在降水量X 至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率是67. 13.（2012·广东高考理科·Ｔ17）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100.（1）求图中x 的值.（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望.【解题指南】(1)本小题根据每个区间上的矩形的面积和为1，可建立关于x 的方程，解出x 的值.(2)解本小题的关键是先求出成绩不低于80分的学生数和成绩在90分（含90分）以上的学生数.然后分别求出0,1,2ξ=对应的概率值，再根据期望公式求解即可.【解析】(1)由频率分布直方图知(0.00630.010.054)101,0.018x x ⨯+++⨯=∴=. (2)50(0.0180.006)1012⨯+⨯= ,500.006103⨯⨯=,∴不低于80分的学生共12人，90分(含90分)以上的学生共3人.ξ的取值为0,1,2.21129933222121212691(0),(1),(2)112222C C C C P P P C C C ξξξ=========，69110121122222E ξ∴=⨯+⨯+⨯=.14.（2012·福建高考理科·Ｔ16）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：(Ⅰ) 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率．(Ⅱ) 若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ，生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ，分别求1X ，2X 的分布列．(Ⅲ) 该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由．【解析】（I ）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则231()5010P A +==.（II ）依题意得随机变量1X 的分布列为随机变量2X 的分布列为（III ）甲品牌．由（II ）得1139()123 2.86255010E X =⨯+⨯+⨯= (万元)，219() 1.8 2.9 2.791010E X =⨯+⨯= (万元).因为12()()E X E X > ，所以应生产甲品牌轿车. 15.（2012·江苏高考理科·Ｔ22）（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=．（1）求概率(0)P ξ=．（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．【解析】（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱， ∴共有238C 对相交棱，∴232128834(0)=6611C P C ξ⨯===. （2）若两条棱平行，则它们的距离为1的共有6对，∴212661(6611P C ξ===121(6611P ξ===，∴416(1)=1(0)(=111111P P P ξξξ=-=-=--.∴随机变量ξ的分布列是：∴61()=11111E ξ⨯.。

《离散数学》总复习上课讲义

不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题. 公式类型. 换名规则与代替规则
第3章集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元最小联结词组对偶式与对偶原理简单析取式、简单合取式析取范式与合取范式附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律第一组命题逻辑推理定律代换实例第二组由基本等值式生成（置换规则）第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))

同等学力-离散数学-真题库-章节分类

同等学力申硕-计算机专业-离散数学-题库一，命题逻辑1.1，命题符号化1，个体域为{a, b, c}，将下列公式写成命题逻辑公式(∀x)P(x)→(∃y)Q(y) (2019/2021年真题)∀: 表示所有的，一切的，全称量词；∃: 表示存在1个，至少有1个，存在量词解：个体域{a,b,c}对于逻辑命题量词∀x所有的，即是个体域做合取计算；个体域{a,b,c}对于逻辑命题量词∃y至少有1个，即是个体域做析取计算；因此得：(P(a)∧P(b)∧P(c))→(Q(a)∨Q(b)∨Q(c))。

2，定义P↑Q=¬(P⋀Q),试仅用与非联结词↑分别表示出。

(2013/2020年真题) (1) ¬P; (2) P⋀Q; (3) P⟶Q; 均要求结果简洁。

解：命题联结词(1) ¬P =¬(P⋀P)=P↑P。

(2) P⋀Q =¬(P↑Q)=(P↑Q)↑(P↑Q)。

(3) P⟶Q=¬P⋁Q =¬(P⋀¬Q)=P↑¬Q =P↑(Q↑Q)。

3，定义P↓Q=∅(P⋁Q),试仅用联结词↓分别表示出。

(2023年真题)(1) ∅P; (2) P⋀Q; (3) P⋁Q; 均要求结果简洁。

解：命题联结词(1) ∅P = ∅(P⋁P)=P↓P。

(2) P⋀Q = ∅(∅P⋁∅Q) =∅P↓∅Q =(P↓P)↓(Q↓Q)。

(3) P⋁Q=∅(P↓Q)=(P↓Q)↓(P↓Q)。

1.2，主析取/主合取范式2、计算下式的主析取范式和主合取范式(¬P∨Q)→(Q∧¬R)写出求解步骤，结果用极小项和极大项数字表示简洁形式。

(2019/2021年真题)解：(¬P∨Q)→(Q∧¬R)⟺m2∨m4∨m5∨m6则主合取范式为：取真值表中结果为0-假的极大项及下标，用合取∧符号组成。

(¬P∨Q)→(Q∧¬R)⟺M0∧M1∧M3∧M7方法二：公式推导求解：(¬P∨Q)→(Q∧¬R)⟺¬(¬P∨Q)∨(Q∧¬R)蕴涵式⟺(P∧¬Q)∨(Q∧¬R)德摩根律⟺((P∧¬Q)∧(R∨¬R))∨((P∨¬P)∧(Q∧¬R))补齐3个命题变元，同一律，排中律⟺((P∧¬Q∧R)∨(P∧¬Q∧¬R))∨((P∧Q∧¬R)∨(¬P∧Q∧¬R))分配律⟺(P∧¬Q∧R)∨(P∧¬Q∧¬R)∨(P∧Q∧¬R)∨(¬P∧Q∧¬R)结合律则主析取范式为：给极小项编码下标，按照3个命题变元真值编码，用析取∨符号组成。

2离散数学

三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．将语句“尽管他接受了这个任务，但他没有完成好．”翻译成命题公式．12．将语句“今天没有下雨．”翻译成命题公式．四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．下面的推理是否正确，试予以说明．(1) （∀x）F（x）→G（x）前提引入(2) F（y）→G（y）US（1）．14．若偏序集<A，R>的哈斯图如图二所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在．图二五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．求（P∨Q）→（R∨Q）的合取范式．16．设A={0，1，2，3，4}，R={<x，y>|x∈A，y∈A且x+y<0}，S={<x，y>|x∈A，y∈A 且x+y≤3}，试求R，S，R∙S，R-1，S-1，r(R)．17．画一棵带权为1, 2, 2, 3, 4的最优二叉树,计算它们的权．六、证明题（本题共8分）18．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于2的奇数．证明G与G中的奇数度顶点个数相等(G是G的补图)．三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分）11．设P：他接受了这个任务，Q：他完成好了这个任务，（2分）P∧⌝Q．（6分）12．设P：今天下雨，（2分）⌝P．（6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）13．错误．（3分）（2）应为F（y）→G（x），换名时，约束变元与自由变元不能混淆．（7分）14．错误．（3分）集合A的最大元不存在，a是极大元．（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．（P∨Q）→（R∨Q）⇔⌝（P∨Q）∨（R∨Q）（4分）⇔(⌝P ∧⌝Q )∨（R ∨Q ）⇔(⌝P ∨R ∨Q )∧(⌝Q ∨R ∨Q )⇔(⌝P ∨R ∨Q ) ∧R 合取范式（12分）16．R =∅, （2分） S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>} （4分） R ∙S =∅，（6分）R -1=∅，（8分） S -1= S ，（10分） r (R )=I A ．（12分） 17．（10分）权为1⨯3+2⨯3+2⨯2+3⨯2+4⨯2=27 （12分）六、证明题（本题共8分）18．证明：因为n 是奇数，所以n 阶完全图每个顶点度数为偶数，（3分）因此，若G 中顶点v 的度数为奇数，则在G 中v 的度数一定也是奇数，（6分）所以G 与G 中的奇数度顶点个数相等．（8分）三、逻辑公式翻译（每小题6分，本题共12分） 11．将语句“今天考试，明天放假．”翻译成命题公式． 12．将语句“我去旅游，仅当我有时间．”翻译成命题公式．四、判断说明题（每小题7分，本题共14分）判断下列各题正误，并说明理由．13．如果图G 是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G 是欧拉图．14．若偏序集<A ，R >的哈斯图如图二所示，则集合A 的最大元为a ，最小元是f ．图二五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．设谓词公式)),,()(),()((z x y B z y x A x ∀→∃，试ο οο ο ο ο ο ο ο1 2 23 34 75 12（1）写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元． 16．设集合A ={{1},1,2}，B ={1,{1,2}}，试计算（1）（A -B ）；（2）（A ∩B ）；（3）A ×B ．17．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4 }，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4) }，试（1）给出G 的图形表示；（2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形．六、证明题（本题共8分）18．设A ，B 是任意集合，试证明：若A ⨯A=B ⨯B ，则A=B ．三、逻辑公式翻译（每小题4分，本题共12分） 11．设P ：今天考试，Q ：明天放假．（2分）则命题公式为：P ∧Q ．（6分）12．设P ：我去旅游，Q ：我有时间，（2分）则命题公式为：P →Q ．（6分）四、判断说明题（每小题7分，本题共14分） 13．错误．（3分）当图G 不连通时图G 不为欧拉图．（7分） 14．错误．（3分）集合A 的最大元与最小元不存在， a 是极大元，f 是极小元，．（7分）五．计算题（每小题12分，本题共36分）15．（1）∃x 量词的辖域为)),,()(),((z x y B z y x A ∀→，（3分）∀z 量词的辖域为),,(z x y B , （6分）（2）自由变元为)),,()(),((z x y B z y x A ∀→中的y ，（9分）约束变元为x 与z ．（12分） 16．（1）A -B ={{1},2} （4分）（2）A ∩B ={1} （8分）（3）A ×B={<{1},1>，<{1},{1,2}>，<1,1>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2, {1,2}>} （12分）17．（1）G 的图形表示为(如图三)：（3分）图三（2）邻接矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0110101111000100（6分）（3）v 1，v 2，v 3，v 4结点的度数依次为1，2，3，2 （9分）（4）补图如图四所示：（12分）图四六、证明题（本题共8分）18．证明：设x ∈A ，则<x ，x >∈A ⨯A ，（1分）因为A ⨯A=B ⨯B ，故<x ，x >∈B ⨯B ，则有x ∈B ，（3分）所以A ⊆B ．（5分）设x ∈B ，则<x ，x >∈B ⨯B ，（6分）因为A ⨯A=B ⨯B ，故<x ，x >∈A ⨯A ，则有x ∈A ，所以B ⊆A ．（7分）故得A=B ．（8分）试卷代号：1009国家开放大学（中央广播电视大学）2014年春季学期“开放本科”期末考试离散数学（本）试题（半开卷）一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）一、单选题：在下列各题的备选答案中选择一个正确的。

离散数学课程模拟题附标准答案

《离散数学》期末考试考点及模拟题答案一、考试题型及分值各种题型所占的比例：填空题10%,判断题10%,选择题20%,其它题型60%新出试卷按照如下各种题型所占的比例：填空题20%，判断题15%，选择题30%，其它题型35%二、考点1.命题逻辑熟练掌握命题及其表示；掌握常用联结词（「、八、V、f、）的使用；熟练掌握命题公式的符号化；熟练掌握使用真值表判别命题等价的方法；掌握使用等价公式判别命题等价的方法；掌握重言式与蕴含式的概念及其判别方法;了解其他联结词的使用；了解对偶的概念；掌握求命题范式的方法；熟练掌握命题演算推理的基本理论.2.谓词逻辑熟练掌握谓词的概念及其表示；熟练掌握量词的使用；掌握使用谓词公式翻译命题的方法；掌握变元的约束；掌握谓词演算中等价式与蕴含式的判别;了解前束范式的求法；熟练掌握谓词演算推理的基本理论.3.集合与关系熟练掌握集合的概念和表示法；掌握集合的基本运算；掌握序偶与笛卡尔积的概念；熟练掌握关系及其表示；掌握关系的基本性质；了解复合关系和逆关系的概念；掌握关系的闭包运算；了解集合的划分和覆盖；掌握等价关系与等价类的概念;了解相容关系的概念；掌握各种序关系的概念.4.函数熟练掌握函数的概念；掌握逆函数和复合函数的概念；了解基数的概念；了解可数集与不可数集；了解基数的比较.5.代数结构掌握代数系统的概念；掌握n元运算及其性质；掌握半群、群与子群的概念;了解阿贝尔群和循环群的概念；了解陪集与拉格朗日定理;了解同构与同态的概念；了解环与域的概念.6.图论掌握图的基本概念；掌握路与回路的概念；熟练掌握图的矩阵表示；掌握欧拉图和哈密顿图的概念；掌握平面图的概念；了解对偶图与着色；熟练掌握树与生成树的概念;了解根树及其应用.（一）参考教材与网上资料复习（二）随堂练习或作业题在在新出试卷里有较大比例提高三、模拟试卷附后（请参考学习资料，找到或者做出解答）一、考试对象计算机学科中计算机科学与技术、软件工程等专业本科生二、考试的性质、目的离散数学是随着计算机科学的发展而逐渐形成的一门学科，是近代数学的一个分支在计算机科学中，它主要应用于数据结构、操作系统、编译原理、数据库理论、形式语言与自动机、程序理论、编码理论、人工智能、数字系统逻辑设计等方面它是计算机科学各专业重要的专业基础课.本课程教学的目标是:①使学生掌握离散数学的基本理论和基本知识，为学习有关课程以及今后工作打好基础.②培养和提高学生的抽象思维与逻辑推理能力.四、考试方式及时间：考试方式：闭卷考试时间：120分钟五、课程综合评定办法1期末闭卷考试：占总成绩60%.2、平时成绩（作业、考勤情况等）：占总成绩40%3、试题难易程度：基础试题：中等难度试题：较难试题：难度较大的试题 =4： 3： 2： 1六、考试教材《离散数学》左孝凌、李为^、刘永才编著，上海科学技术文献出版社附：模拟试卷华南理工大学网络教育学院2012 - 2013学年度第一学期期末考试《离散数学》试卷(模拟卷)教学中心：专业层次：学号：姓名：座号：注意事项：1.本试卷共五大题，满分100分，考试时间120分钟，闭卷;2.考前请将以上各项信息填写清楚；3.所有答案直接做在试卷上,做在草稿纸上无效；4.考试结束，试卷、草稿纸一并交回.一.判断题(每题2分，共10分)1、设A, B都是合式公式，则A A B F「B也是合式公式.(J)2. P f Q o「P v Q ,(v)3、对谓词公式(V x) (P (y) V Q (x,y)) △R (x,y)中的自由变元进行代入后得到公lllllll !lllll式(V x) (P (z) V Q (x,z)) △R (x,y) . (x)4.对任意集合 A、B、C,有(A—B) —C = (A—C) - (B—C). (j)5. 一个结点到另一个结点可达或相互可达. (X )二.单项选择题(每题2分，共20分)1.设：。

2012～2013学年第一学期离散数学A卷_(2)

上海第二工业大学（试卷编号：）2012～2013学年第一学期离散数学A 卷姓名：学号：班级：成绩：一、判断题（每小题2分，本题共10分） 1、若A B A C =，则B C =。

( 错 ) 2、设1ρ和2ρ是集合A 上的等价关系，则12ρρ是A 上的等价关系( 对 )3、若函数:f A B →，:g B C →，则若f 与g 的复合gf 是双射，则函数f 是双射。

( 错 )4、在有界格中，必有最大元和最小元。

( 对 )5、存在13个结点，并且每个结点的度均为3的图。

( 错 )二、填空题(每空2分，本题30分) 1、设集合{,{}}A a b =，{,}B a b =，则22AB =_______{空，{a}}________________，B A ⨯=_________{(a,a),(b,a),(a,{b}),(b,{b}}________________。

2、若{1,2,3,4}A =，则A 上共有___11_______个不同的自反关系。

3、假设{0,1,2,3}A =，1{(,)|2}i j j i ρ==+和2{(,)|2}i j i j ρ==+是A 上的关系，则12ρρ=_____{(0,0),(1,1)}__；21ρρ=___{(2,2),(3,3)}；关系1ρ的自反闭包是：__{(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(0,2),(1,3)}__；关系2ρ的对称闭包是：_{(1,3),(3,1),(2,0),(0,2)}_。

4、命题P ：“小李喜欢跳舞”，命题Q ：“小李不喜欢唱歌”，则复合命题P Q ⌝∧表示：____小李不喜欢跳舞且不喜欢唱歌_____________________。

5、设集合{1,2,3,4}A =，{,,,}B a b c d =，则A B ⨯有___16__个序偶，A 到B 有___256____个关系，其中有____24____个是双射函数。

2012离散试题A

一、单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分）1．【B】设`A={x，y，z}，B={1，2，3}，下列从A到B的关系中能构成函数的是A. {<x,1>，<x,1>，<y,1>，<z,3>}B. {<x,1>，<y,1>，<z,1>}C. {<x,1>，<y,3>}D. {<x,1>，<y,2>，<z,3>，<y,3>} 2．【B】下列语句中为命题的是A．煤是白色的。

B. 今天的天气太好了！C．全体起立。

D. 我正在说谎。

3．【B】在公式(∀x)(P(x，y)→Q(x，z))∨(∃z)R(x，z)中变元x是A．自由变元B．既是自由变元，又是约束变元C．约束变元D．既不是自由变元，又不是约束变元4．【D?】设<G，*>是群，|G|=4，则对于G中的元素不可能有A．一阶元素B．二阶元素C．三阶元素D．四阶元素5．【A】设A={1，2，3}上的关系R={<2，2>，<2，1>，<1，3>，<2，3>}，则R 具有A．反对称性和传递性 B. 对称性和传递性C．反对称性和反自反性D．对称性和自反性6．【B】下列说法正确的是A．整环一定是域B．链一定是分配格C．相容关系一定是等价关系D．群中一定有零元7．【C】设X={a，b，c}，Y={0，1}，从X到Y的关系共有多少个A．26个B．63个C．23个D．32个8．【A】下表中哪个能使<{a，b}，*〉成为独异点* a b * a b * a b * a b a a a a b a a a a a a b babbaabbbbbaA. B. C. D. 9. 【C 】若f ，g 是满射，则复合函数f g 必是A ．映射B ．单射C ．满射D ．双射10. 【A 】下列图为强连通图的是二、填空题 (本题共9小题，每空2分，共20分) 1. 设A ＝｛1,2,3,4｝，A 上的划分S={{1,2},{3},{4}}, S 所对应的等价关系为S={{1,2},{2,1},{1,1},{2,2},{3},{4}} 。

双语离散数学期末考试_2012年春季_试卷A

电子科技大学2011 -2012学年第 2学期期末考试 A 卷课程名称：离散数学考试形式：闭卷考试日期： 2012 年 6 月日考试时长：120分钟课程成绩构成：平时 10 %，期中 20 %，实验 0 %，期末 70 % 本试卷试题由____ _部分构成，共_____页。

I.Multiple Choice (15%)1. (⌝p ∧q)→(p ∨q) is logically equivalent toa) T b) p ∨q c) F d) ⌝ p ∧q （） 2. If P(A) is the power set of A, and A = , what is |P(P(P(A)))|?a) 4 b) 24 c) 28 d) 216（） 3. Which of these statements is NOT a proposition?a) Tomorrow will be Friday. b) 2+3=4.c) There is a dog. d) Go and play with me.（）4. The notation K n denotes the complete graph on n vertices. K n is the simple graph thatcontains exactly one edge between each pair of distinct vertices. How many edges comprise a K 20?a) 190 b) 40 c) 95 d) 380（）5. Suppose | A | = 5 and | B | = 9. The number of 1-1 functions f : A → B isa) 45 b) P (9,5). c) 59 d) 95（）6. Let R be a relation on the positive integers where xRy if x divides y . Whichof the following lists of properties best describes the relation R ?a) reflexive, symmetric, transitive b) reflexive, antisymmetric, transitive c) reflexive, symmetric, antisymmetric d) symmetric, transitive （）7. Which of the following are partitions of }8,7,6,5,4,3,2,1{=U ?a) }8,7,6,5,4,3{},3,2,1{},1{ b) }8,7,6,5,4,3{},3,2{},1{c) }8,6,5{},3,2{},7,4,1{ d) }8,7,6,5,4{},3,2{},2,1{（） 8. The function f(x)=3x 2log(x 3+21) is big-O of which of the following functions? a) x 3 b) x 2(logx)3 c) x 2logx d) xlogx （） 9.In the graph that follows, give an explanation for why there is no path from a back to a that passes through each edge exactly once.a) There are vertices of odd degree, namely {B,D}. b) There are vertices of even degree, namely {A,C}. c) There are vertices of even degree, namely {B,D}. d) There are vertices of odd degree, namely {A,C}.（） 10. Which of the followings is a function from Z to R ?a) )1()(-±=n n f . ` b) 1)(2+=x x f . c) x x f =)( d) 11)(2-=n n fII. True or False (10%)（） 1. If 3 < 2, then 7 = 6. （） 2. p ∧ (q ∨ r)≡ (p ∧ q) ∨ r（） 3. If A , B , and C are sets, then (A -C )-(B -C )=A -B . （） 4. Suppose A = {a ,b ,c }, then {{a }} ⊆ P (A ).（） 5. ()100h x x =+is defined as a function with domain R and codomain R.（） 6. Suppose g : A → B and f : B → C , where f g is 1-1 and f is 1-1. g must be 1-1? （） 7. If p and q are primes (> 2), then p + q is composite .（） 8.If the relation R is defined on the set Z where aRb means that ab > 0, then R is an equivalence relation on Z .（） 9. Every Hamilton circuit for W n has length n .（） 10. There exists a simple graph with 8 vertices, whose degrees are 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.III. Fill in the Blanks (20%)1. Let p and q be the propositions “I am a criminal” and “I rob banks”. Express in simple English the propositi on “if p then q”: .2. P (x ,y ) means “x + 2y = xy ”, where x and y are integers. The truth value of ∃x ∀yP (x ,y ) is .3. T he negation of the statement “No tests are easy.” is .4. If 11{|}i A x x R x i i =∈∧-≤≤ then 1i i A +∞=is .5. Suppose A = {x , y }. Then ()P A is .6. Suppose g : A →A and f :A →A where A ={1,2,3,4},g = {(1, 4), (2,1), (3,1), (4,2)} andf ={(1,3),(2,2),(3,4),(4,2)}.Then fg = . 7.The sum of 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... + 210 is .8. The expression of gcd(45, 12) as a linear combination of 12 and 45 is .9.There are permutations of the seven letters A,B ,C ,D ,E ,F have A immediately to the left of E .10. If G is a planar connected graph with 18 vertices, each of degree 3, then G has _ __regions. IV. Answer the Questions (32%)：1. Determine whether the following argument is valid: p → r q → r q ∨ ⌝r ________∴ ⌝p2. S uppose you wish to prove a theorem of the form “if p then q ”. (a) If you give a direct proof, what do you assume and what do you prove? (b) If you give an indirect proof, what do you assume and what do you prove? (c) If you give a proof by contradiction, what do you assume and what do you prove?3. Prove that A B A B ⋂=⋃ by giving a proof using logical equivalence.4.Suppose f:R→R where f(x) =⎣x/2⎦.(a) If S={x| 1 ≤x≤ 6}, find f(S).(b) If T={3,4,5}, find f-1(T).e the definition of big-oh to prove that5264473n nn+--is O(n3).6.Solve the linear congruence 5x≡ 3 (mod 11).e the Principle of Mathematical Induction to prove that131 1392732nn+-++++...+=for alln≥ 0.8.Draw the directed graph for the relation defined by the matrix1111 0111 0011 0001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.V. (6%) Without using the truth table, show that the following are tautologiesa) [⌝p ∧(p ∨q)]→q b) [p ∧(p →q)]→qVI. (6%) Devise an algorithm which will find the minimum of n integers. What is the worst casetime complexity of this algorithm?VII. (5%) Give the definition of a transitive relation, and Prove or disprove that the union oftwo transitive relations is transitive.VIII.(6%) The pseudo-code of Prim’s algorithm is given as following:Procedure Prim(G: connected weighted undirected graph with n vertices)T := a minimum-weight edgefor i := 1 to n 2begine := an edge of minimum weight incident to a vertex in T and notforming a simple circuit in T if added to TT := T with e addedPrint eend {T is a minimum spanning tree of G}(a)Find a minimum spanning tree using Prim’s algorithm given above. For every iterative in for-loop, list theresult for “Print e” statement.(b)Compute the total weight of the spanning tree.。

淮海工学院2011-2012-2离散数学期末复习题答案 (2)

③取a=2，b=1，c=2，(a∗b)∗c=4，a∗(b∗c) =2，(a∗b)∗c≠a∗(b∗c)，其
在Z上不可结合． 9、设Z为整数集合，“∗”定义为：a∗b=2ab，问其在Z上封闭吗？可交换吗？可结合吗？答：①整数乘法运算在Z上封闭，
②a,bZ，a∗b=2ab=2ba=b∗a，其在Z上可交换； ③a,b,cZ，(a∗b)∗c=2(2ab)∗c=4abc=2a×2bc=2a(b∗c)=a∗(b∗c) ，其在Z 上可结合． 10、设无向图有条边，已知有个度顶点，其余顶点的度数均小于，问中至少有多少个顶点？答：设中度数小于的顶点有个，则由欧拉定理知，度数小于3 的顶点度数之和为6，故当其余的顶点度数都为2时，G的顶点最少，即G中至少有9个顶点. 11、n取怎样的值，无向完全图Kn有一条欧拉回路? 答： n为奇数，v∈V，deg(v)=n-1为偶数，所以，当n是大于或等于3的奇数时，Kn有欧拉回路.
C、a*b=a+ab D、a*b=max(a,b)
31、任意具有多个等幂元的半群，它（A ）
A、不能构成群B、不一定能构成群 C、能构成群 D、能构成阿贝尔
群
32、下列命题正确的是（ B ） A、简单回路必为基本回路 B、基本回路必为简单回路 C、简单回路必不是基本回路 D、基本回路必不是简单回路 33、欧拉回路是（ B ） A、路径 B、简单回路 C、既是基本回路也是简单回路 D、既非基本回路也非简单回路 34、哈密尔顿回路是（ C ） A、路径 B、简单回路 C、既是基本回路也是简单回路 D、既非基本回路也非简单回路 35、在任何有向图中，下列命题正确的是（ C ） A、任意顶点的入度与出度都相等 B、任意顶点的入度与出度都不相等 C、所有顶点的入度之和与出度之和都相等 D、所有顶点的入度之和与

离散数学作业与答案

2011-2012学年第一学期离散数学作业及参考答案---信息安全10级5-11.利用素因子分解法求2545与360的最大公约数。

解：掌握两点：(1) 如何进行素因子分解从最小素数2的素数去除n。

(2) 求最大公约数的方法gcd(a,b) = p1min(a1,b1)p2min(a2,b2)pn min(an,bn)360=23325150902545=2030515091gcd(2545,360) =2030515090=52.求487与468的最小公倍数。

解：掌握两点：(1) 如何进行素因子分解从最小素数2的素数去除n。

(2) 求最小公倍数的方法lcm(a,b) = p1max(a1,b1)p2max(a2,b2)pn max(an,bn)ab=gcd(a, b)﹡lcm (a, b)487是质数，因此gcd(487,468)=1lcm(487,468)= (487*468)/1=487*468=2279163.设n是正整数，证明：6|n(n+1)(2n+1)证明：用数学归纳法：归纳基础：当n=1时，n(n+1)(2n+1)=1*2*3=6，6|6归纳假设：假设当n=m时，6|m(m+1)(2m+1)归纳推导：当n=m+1时，n(n+1)(2n+1)=(m+1)(m+1+1)[2(m+1)+1]=(m+1)(m+2)(2m+3)= m(m+1)(2m+3)+2(m+1)(2m+3)= m(m+1)(2m+1+2)+2(m+1)(2m+3)= m(m+1)(2m+1)+2 m(m+1)+ 2(m+1)(2m+3)= m(m+1)(2m+1)+ 2(m+1)(m+2m+3)= m(m+1)(2m+1)+ 2(m+1)(3m+3)= m(m+1)(2m+1)+ 6(m+1)2因为由假设6|m(m+1)(2m+1)成立。

而6|6(m+1)2所以6|m(m+1)(2m+1)+ 6(m+1)2故当n=m+1时，命题亦成立。

东北大学离散数学考试试卷( B 卷)

东北大学考试试卷（B卷）2011—2012 学年第 1 学期课程名称：离散数学总分一二三四五六七八一．将下面命题符号化(8分)1．如果天气好，我将去游乐场，否则我将呆在家中。

(P→Q)∧(¬P→R)2．只有计算机专业的学生和非大一学生才可以访问校园网。

R→(P∨Q)3．并非所有学习好的大学生都想成为科学家。

¬∀x((A(x) ∧B(x)) →C(x))4．尽管有人聪明，但未必一切人都聪明。

∃x(A(x) ∧B(x)) ∧¬∀x((A(x) →B(x))二．(10分) 填空(每空1分)1.（3分）A与B是全集E的子集,给定集合X={P,Q,R,S,T,U,V,W,Y,Z},其中的元素都表示命题，如下所示：P: A－B=A Q:A∩B=B R:A⊆B S: A⊆∼B T: B⊆AU: ∼B⊆∼A V:A∩B=Φ W:A∪B=B Y: ∼A⊆∼B Z: B⊆∼A又令R是X上的命题等价关系,则商集X/R=({{P,S,V,Z},{R,U,W},{Q,T,Y}} )2.(每空1分)令R和S都是人类上的关系，且R={<x,y>|x是y的父亲} S={<x,y>|x是y的母亲} 则S o R表示( 祖母和孙子 )关系； R o S C表示( 夫妻 )关系。

3.(每空1分) 设f是从A到B的函数，g是从B到A的函数，如果f go是双射的，则f是__满___射的，g是__入___射的。

4.(每空1分)A,B是有限集合, P(A)表示A的幂集,已知|A|=3,|P(B)|=64,|P(A∪B)|=256, 则|B|=( 6 ), |A-B|=( 2 ), |A⊕B|=( 7 )。

三．(8分)写出命题公式P→((R→Q)∧(¬R→¬Q)) 的主析取范式。

解：P→((R→Q)∧(¬R→¬Q))⇔¬P∨((¬R∨Q)∧(R∨¬Q))⇔(¬P∨¬R∨Q) ∧(¬P∨ R∨¬Q)即命题公式的主合取范式中的大项为M6和M2所以其主析取范式中的小项有m0,m3,m4,m5,m6,m7即主析取范式为：(P∧R∧Q)∨( P∧¬R∧¬Q) ∨(¬P∧R∧Q) ∨(¬P∧R∧¬Q) ∨(¬P∧¬R∧Q) ∨(¬P∧¬R∧¬Q) 四．(15分)已知R1、R2是集合Ａ上的等价关系，问R1∪R2、R1∩R2、R1-R2、r((A×A)-R1)中哪些是A上的等价关系？如果不是说明理由，或举反例。

《离散数学》复习题及答案

《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式?x((A(x)?B(y，x))??z C(y，z))?D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。

答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。

若是，给出命题的真值。

( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。

(2) 陕西师大是一座工厂。

(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。

(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。

答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。

(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1） P Q →⌝ （2） Q P ⌝→ （3） Q P ⌝↔ （4）Q P →⌝8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。

(1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0)答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=09、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( )(3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 ?x(P(x)?Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。