【学案导学设计】高中数学 第三章 不等式章末检测(B)新人教A版必修5
高中数学第三章不等式3.4基本不等式学案(含解析)新人教A版必修5(2021学年)
２０17-2０１8学年高中数学第三章不等式 3.4 基本不等式学案(含解析)新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(２０1７-2018学年高中数学第三章不等式3．4 基本不等式学案(含解析)新人教Ａ版必修５）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017－２018学年高中数学第三章不等式 3.4 基本不等式学案（含解析)新人教A版必修5的全部内容。
3。
4 基本不等式:错误!≤错误!基本不等式[提出问题］问题1:若ａ，ｂ∈Ｒ，则代数式a2+b2与2aｂ有何大小关系？提示:∵(a2+b2)－２ab＝（a-b）2≥0,∴a２+ｂ2≥2aｂ．问题2：上述结论中，等号何时成立？提示：当且仅当a=b时成立．问题３:若以＼r(ａ）,错误!分别代替问题1中的ａ,ｂ，可得出什么结论?提示：a＋b≥2＼ｒ（ab）．问题4:问题3的结论中,等何时成立?提示:当且仅当a＝b时成立．[导入新知］１.重要不等式当ａ，b是任意实数时,有a２+b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立．2.基本不等式（1）有关概念：当a，b均为正数时，把＼f(a＋ｂ,２)叫做正数a，ｂ的算术平均数,把＼r（aｂ)叫做正数ａ，b的几何平均数．（2)不等式：当a，b是任意正实数时，ａ，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即＼r(ab)≤＼ｆ(ａ＋b，2），当且仅当a＝b时,等号成立.（3）变形：ab≤错误!2,a＋b≥2错误!（其中ａ＞０,b＞0,当且仅当a=b时等号成立).[化解疑难]1.基本不等式成立的条件：ａ＞0且ｂ＞0；其中等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号,即若a≠b时，则错误!≠错误!,即只能有错误!＜错误!。
2020高二数学人教A必修5练习：第三章 不等式 章末检测(B) Word版含解析
第三章 章末检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若a <0，－1<b <0，则有( )A ．a >ab >ab 2B ．ab 2>ab >aC ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a2．已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e3．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N4．不等式x 2－ax －12a 2<0(其中a <0)的解集为( ) A ．(－3a,4a ) B ．(4a ，－3a ) C ．(－3,4) D ．(2a,6a )5．已知a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式中恒成立的是( )A ．a 2>b 2B ．(12)a <(12)bC ．lg(a －b )>0 D.ab>16．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3]7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2， x ≤0－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]8．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2 D.1a 2＋b 2≤189．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ＋2≥0，则目标函数z ＝|x ＋3y |的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．1010．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定11．设M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1，且a ＋b ＋c ＝1 (其中a ，b ，c 为正实数)，则M 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，18B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，1 C ．[1,8) D ．[8，＋∞)12．函数f (x )＝x 2－2x ＋1x 2－2x ＋1，x ∈(0,3)，则( )A ．f (x )有最大值74 B ．f (x )有最小值－1C ．f (x )有最大值1D ．f (x )有最小值113．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________________________________________________________________________． 14．对任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．若不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知a >0，b >0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a与a ＋b 的大小．18．(12分)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)．求证：(a a ＋b )·(b b ＋c )·(c c ＋a )≤18.19．(12分)若a <1，解关于x 的不等式axx －2>1.20．(12分)求函数y＝x＋22x＋5的最大值．21．(12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B 点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？(2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．22．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：第三章不等式章末检测答案(B) 1．D [∵a<0，－1<b<0，∴ab>0，ab2<0.∴ab>a，ab>ab2.∵a－ab2＝a(1－b2)＝a(1＋b)(1－b)<0，∴a<ab2.∴a<ab2<ab.]2．C3．A [∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0.∴M>N.]4．B [∵x2－ax－12a2<0(a<0)⇔(x－4a)(x＋3a)<0⇔4a<x<－3a.]5．B [取a＝0，b＝－1，否定A、C、D选项．故选B.]6．D [∵x >1，∴x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1≥2x －11x －1＋1＝3.∴a ≤3.] 7．A [f (x )≥x 2⇔⎩⎨⎧ x ≤0x ＋2≥x 2或⎩⎨⎧x >0－x ＋2≥x 2⇔⎩⎨⎧x ≤0x 2－x －2≤0或⎩⎨⎧x >0x 2＋x －2≤0⇔⎩⎨⎧x ≤0－1≤x ≤2或⎩⎨⎧x >0－2≤x ≤1⇔－1≤x ≤0或0<x ≤1 ⇔－1≤x ≤1.]8．D [取a ＝1，b ＝3，可验证A 、B 、C 均不正确， 故选D.]9．C [可行域如阴影，当直线u ＝x ＋3y 过A (－2，－2)时，u 有最小值(－2)＋(－2)×3＝－8；过B (23，23)时u 有最大值23＋3×23＝83.∴u ＝x ＋3y ∈[－8，83]．∴z ＝|u |＝|x ＋3y |∈[0,8]．故选C.]10．B [设甲用时间T ，乙用时间2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T ＝s 2a ＋s2b ＝s 2a ＋s 2b ＝s ×a ＋b 2ab ，ta ＋tb ＝s ⇒2t ＝2s a ＋b， ∴T －2t ＝s a ＋b 2ab －2s a ＋b ＝s ×a ＋b 2－4ab 2ab a ＋b ＝s a －b 22ab a ＋b>0，故选B.]11．D [M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c c －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋b c ≥2b a ·c a ·2a b ·c b ·2a c ·b c＝8.∴M ≥8，当a ＝b ＝c ＝13时取“＝”．]12．D [∵x ∈(0,3)，∴x －1∈(－1,2)， ∴(x －1)2∈[0,4)，∴f (x )＝(x －1)2＋1x －12－1≥2x －12·1x －12－1＝2－1＝1.当且仅当(x －1)2＝1x －12，且x ∈(0,3)，即x ＝2时取等号，∴当x ＝2时，函数f (x )有最小值1.] 13．－2解析 ∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2.14．－2<a ≤2解析 当a ＝2时，－4<0恒成立，∴a ＝2符合． 当a －2≠0时，则a 应满足：⎩⎨⎧a －2<0Δ＝4a －22＋16a －2<0解得－2<a <2.综上所述，－2<a ≤2. 15．5≤a <7解析 先画出x －y ＋5≥0和0≤x ≤2表示的区域，再确定y ≥a 表示的区域．由图知：5≤a <7. 16．20解析 该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为(400x·4＋4x )万元，400x ·4＋4x ≥160，当1 600x＝4x 即x ＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．17．解 ∵(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a－a＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)(1b －1a)＝(a 2－b 2)a －b ab ＝a －b 2a ＋bab又∵a >0，b >0，a ≠b ，∴(a －b )2>0，a －b >0，ab >0，∴(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )>0，∴a 2b ＋b 2a>a ＋b . 18．证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ac >0，∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc >0.∴abc a ＋b b ＋c c ＋a ≤18即(a a ＋b )·(b b ＋c )·(c c ＋a )≤18. 当且仅当a ＝b ＝c 时，取到“＝”．19．解 不等式ax x －2>1可化为a －1x ＋2x －2>0.∵a <1，∴a －1<0，故原不等式可化为x －21－ax －2<0.故当0<a <1时，原不等式的解集为{x |2<x <21－a }，当a <0时，原不等式的解集为{x |21－a <x <2}． 当a ＝0时，原不等式的解集为∅.20．解 设t ＝x ＋2，从而x ＝t 2－2(t ≥0)， 则y ＝t2t 2＋1.当t ＝0时，y ＝0； 当t >0时，y ＝12t ＋1t≤122t ·1t＝24. 当且仅当2t ＝1t ，即t ＝22时等号成立．即当x ＝－32时，y max ＝24.21．解 (1)设DN 的长为x (x >0)米，则AN ＝(x ＋2)米． ∵DN AN ＝DC AM ，∴AM ＝3x ＋2x，∴S AMPN ＝AN ·AM ＝3x ＋22x，由S AMPN >32，得3x ＋22x>32.又x >0，得3x 2－20x ＋12>0，解得：0<x <23或x >6，即DN 长的取值范围是(0，23)∪(6，＋∞)．(2)矩形花坛AMPN 的面积为 y ＝3x ＋22x ＝3x 2＋12x ＋12x＝3x ＋12x＋12≥23x ·12x＋12＝24，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24.故DN 的长为2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．。
高中数学 第三章 不等式章末测试 新人教A版必修5(2021年最新整理)
高中数学第三章不等式章末测试新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章不等式章末测试新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章不等式章末测试新人教A版必修5的全部内容。
不等式（时间：120分钟,满分：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a〈0，－1〈b〈0，则有（）A．a〉ab〉ab2 B．ab2>ab>a C．ab>a〉ab2 D．ab>ab2>a2．设集合S＝｛x||x|〈5}，T＝｛x|x2＋4x－21〈0｝，则S∩T等于（）A．｛x|－7〈x〈－5} B．｛x|3<x〈5}C．｛x｜－5〈x<3} D．{x|－7〈x〈5｝3．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( ) A．（－1，1) B．(－2，2）C．(－∞，－2)∪(2，＋∞） D．（－∞，－1)∪（1，＋∞）4．已知变量x，y满足约束条件错误!则z＝2x＋y的最大值为（)A．1 B．2 C．3 D．45．若关于x的不等式mx2＋8mx＋28＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，则实数m的值是（）A．1 B．2 C．3 D．46．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R,a＊b为唯一确定的实数,且具有以下性质：(1)对任意a∈R，a＊0＝a；（2）对任意a，b∈R，a＊b＝ab＋（a＊0)＋（b*0）．则函数f（x）＝（e x)*错误!的最小值为（）A．2 B．3 C．6 D．87．已知错误!＋错误!＝1（x＞0，y＞0）,则x＋y的最小值为（)A．12 B．14 C．16 D．188．不等式（a－3)x2＋2（a－3)x－4＜0对于一切x∈R恒成立,那么a的取值范围是( ) A．(－∞,－3） B．(－1,3］ C．(－∞，－3] D．（－3，3)9．已知点A(2，1)和点B(－2，3），若直线3x－2y＋a＝0与线段AB有交点，则实数a的取值范围是( ）A．(－∞，－4）∪(12，＋∞) B．(－∞,－4]∪[12，＋∞）C．(－4，12）D．［－4，12]10．已知a，b为正实数，若函数f(x)＝ax3＋bx＋ab－1是奇函数，则f(2）的最小值是( ) A．2 B．4 C．8 D．1611．在△ABC中,a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为（)A.错误!B.错误! C。
高中数学 第三章 《不等式(复习)》导学案 新人教A版必修5
第三章 《不等式（复习）》导学案 【学习目标】 1．会用不等式（组）表示不等关系； 2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小； 3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值.【知识链接】复习1：【学习过程】※ 典型例题例1咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g 、4g 、3g ；乙种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为4g 、5g 、5g.已知买天使用原料为奶粉3600g ，咖啡2000g ，糖3000g. 写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式..例2 比较大小.（1）2(32)______626++； （2）22(32)______(61)--；（3）152- 165-； （4）当0a b >>时，1122log _______log a b ； （5）(3)(5)______(2)(4)a a a a +-+-；（6）22(1)x + 421x x ++；例3 利用不等式的性质求取值范围：（1）如果3042x <<，1624y <<，则x y +的取值范围是 ， 2x y -的取值范围是 ，xy 的取值范围是 ， x y的取值范围是 （2）已知函数2()f x ax c =-，满足4(1)1f -≤≤-，1(2)5f -≤≤，那么(3)f 的取值范围是 .例4 已知关于x 的方程(k -1)x 2+(k +1)x +k +1=0有两个相异实根，求实数k 的取值范围.例5 已知x 、y 满足不等式22210,0x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩，求3z x y =+的最小值.例6 若0x >，0y > ，且281x y+=，求xy 的范围.※ 动手试试练1. 已知15a b -≤+≤，13a b -≤-≤，求32a b -的取值范围.练2. 某轮船在航行使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，经测试，当船速为10公里/小时，燃料费用是每小时20元，其余费用（不论速度如何）都是每小时320元，试问该船以每小时多少公里的速度航行时，航行每公里耗去的总费用最少，大约是多少？【学习反思】※ 学习小结1．用不等式表示不等关系；2．比较大小；3．利用不等式的性质求取值范围和证明不等式；4．会解一元二次不等式；5．会画二元一次方程（组）与平面区域求线性目标函数在线性约束条件下的最优解；6．利用基本不等式求最大（小）值.※知识拓展设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>对应的二次函数为2()(0)f x ax bx c a =++>1．方程()0f x =在区间(,)k -∞内有两个不等的实根⇔0,2b k a∆>-<且()0f k >； 2．方程()0f x =在区间(,)k +∞内有两个不等的实根⇔0,2b k a∆>->且()0f k >； 3． 方程()0f x =有一根大于k ，另一根k ⇔()0f k <；4．方程()0f x =在区间12(,)k k 内有且只有一根（不包括重根）⇔12()()0f k f k <g （12,k k 为常数）；5．方程()0f x =在区间12(,)k k 内有两不等实根⇔ ⇔120,2b k k a∆>-<且12()0,()0f k f k >>； 6．方程()0f x =在区间12(,)k k 外有两不等实根⇔ ()0,()0f k f k <<【基础达标】）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设0a b <<，下列不等式一定成立的是（ ）.A ．22a ab b <<B ．22b ab a <<C ．22a b ab <<D ．22ab b a << 2. ,a b R ∈，且22a b +=，则24a b +的取小值是（ ）.A ．4B ．2C ．16D ．83. 二次不等式的解集是全体实数的条件是（ ）.A ．00a >⎧⎨∆>⎩B ．00a >⎧⎨∆<⎩C ．00a <⎧⎨∆>⎩D ．00a <⎧⎨∆<⎩ 4. 不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域内的整点坐标是 .5. 变量,x y 满足条件430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，设y z x =，则z 的最小值为 . 【拓展提升】（1）22427180440x x x x ⎧-+>⎪⎨++>⎪⎩ （2）2232041590x x x x ⎧+-≥⎪⎨-+>⎪⎩2. 某运输公司有7辆可载6t 的A 型卡车与4辆可载10t 的B 型卡车，有9名驾驶员，建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t 沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A 型车8次，B 型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A 型车160元，B 型车252元，每天派出A 型车和B 型车各多少辆，公司所花的成本费最低？。
高中数学 第三章不等式复习教案 新人教A版必修5
课题: 《不等式》复习小结授课类型：复习课【教学目标】1．会用不等式（组）表示不等关系；2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。
【教学重点】不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。
【教学难点】利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。
【教学过程】1.本章知识结构2.知识梳理（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔>(2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差法3、应用不等式性质证明（二）一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)有两相异实根有两相等实根（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解2a b + 1、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 22a b +≤几何意义是“半径不小于半弦” 3.典型例题1、用不等式表示不等关系例1、某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式。
高中数学 第三章 不等式复习课导学案新人教A版必修5(1)
【步步高】2014-2015学年高中数学第三章不等式复习课新人教A版必修5【课时目标】1．熟练掌握一元二次不等式的解法，并能解有关的实际应用问题．2．掌握简单的线性规划问题的解法．3．能用基本不等式进行证明或求函数最值．不等式—⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪—不等关系—⎪⎪⎪⎪—不等式的性质—实数比较大小—一元二次不等式—⎪⎪⎪—一元二次不等式的解法—一元二次不等式的应用—简单线性规划—⎪⎪⎪⎪—二元一次不等式组与平面区域—简单线性规划—简单线性规划的应用—基本不等式—⎪⎪⎪⎪—算术平均数与几何平均数—基本不等式的应用一、选择题1．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )A．a－b<0 B．0<ab<1C.ab<a＋b2D．ab>a＋b答案 C2．已知不等式ax2－bx－1≥0的解是[－12，－13]，则不等式x2－bx－a<0的解是( ) A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．(13，12)D ．(－∞，13)∪(12，＋∞)答案 A解析 由题意知，a <0，b a ＝－56，－1a ＝16，∴a ＝－6，b ＝5. ∴x 2－5x ＋6<0的解是(2,3)． 3．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40，x ＋2y ≤50，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．90B ．80C ．70D ．40答案 C解析 作出可行域如图所示.由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2、－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10,20)时，z 有最大值，z 的最大值为70.4．不等式x －1x≥2的解为( )A ．[－1,0)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1]∪(0，＋∞) 答案 A解析 x －1x ≥2⇔x －1x －2≥0⇔－x －1x≥0⇔x ＋1x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋x ≠0⇔－1≤x <0.5．设a >1，b >1且ab －(a ＋b )＝1，那么( ) A ．a ＋b 有最小值2(2＋1)B ．a ＋b 有最大值(2＋1)2C ．ab 有最大值2＋1D ．ab 有最小值2(2＋1) 答案 A解析 ∵ab －(a ＋b )＝1，ab ≤(a ＋b 2)2，∴(a ＋b 2)2－(a ＋b )≥1，它是关于a ＋b 的一元二次不等式，解得a ＋b ≥2(2＋1)或a ＋b ≤2(1－2)(舍去)． ∴a ＋b 有最小值2(2＋1)．又∵ab －(a ＋b )＝1，a ＋b ≥2ab ，∴ab －2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式， 解得ab ≥2＋1，或ab ≤1－2(舍去)， ∴ab ≥3＋22，即ab 有最小值3＋2 2. 6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )A.256 B.83 C.113 D ．4 答案 A 解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(b a ＋a b )≥136＋2＝256(a＝b ＝65时取等号)．二、填空题7．已知x ∈R ，且|x |≠1，则x 6＋1与x 4＋x 2的大小关系是________．答案 x 6＋1>x 4＋x 2解析 x 6＋1－(x 4＋x 2) ＝x 6－x 4－x 2＋1 ＝x 4(x 2－1)－(x 2－1)＝(x 2－1)(x 4－1)＝(x 2－1)2(x 2＋1)∵|x |≠1，∴x 2－1>0，∴x 6＋1>x 4＋x 2.8．若函数f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 答案 [－1,0]解析 由f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R .可知2x 2－2ax －a ≥1恒成立，即x 2－2ax －a ≥0恒成立，则Δ＝4a 2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.9．若x ，y ，z 为正实数，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为____．答案 3解析 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，将其代入y 2xz，得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”，∴y 2xz的最小值为3.10．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表： a b /万吨 c /百万元A 50% 1 3B 70% 0.5 6某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．答案 15解析 设购买A 、B 两种铁矿石分别为x 万吨、y 万吨，购买铁矿石的费用为z 百万元，则z ＝3x ＋6y .由题意可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋710y ≥1.9，x ＋12y ≤2，x ≥0，y ≥0.作出可行域如图所示，由图可知，目标函数z ＝3x ＋6y 在点A (1,2)处取得最小值，z min＝3×1＋6×2＝15.三、解答题11．已知关于x 的不等式ax －5x 2－a<0的解集为M . (1)若3∈M ，且5∉M ，求实数a 的取值范围． (2)当a ＝4时，求集合M .解 (1)∵3∈M ，∴3a －59－a <0，解得a <53或a >9；若5∈M ，则5a －525－a<0，解得a <1或a >25.则由5∉M ，知1≤a ≤25，因此所求a 的范围是1≤a <53或9<a ≤25.(2)当a ＝4时，4x －5x 2－4<0.4x －5x 2－4<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4x －5>0x 2－4<0或⎩⎪⎨⎪⎧4x －5<0x 2－4>0.⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >54－2<x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x <54x <－2或x >2⇔54<x <2或x <－2. ∴M ＝{x |x <－2或54<x <2}．12．当x >3时，求函数y ＝2x2x －3的值域．解 ∵x >3，∴x －3>0.∴y ＝2x 2x －3＝x －2＋x －＋18x －3＝2(x －3)＋18x －3＋12≥2x －18x －3＋12 ＝24.当且仅当2(x －3)＝18x －3， 即x ＝6时，上式等号成立，∴函数y ＝2x2x －3的值域为[24，＋∞)．【能力提升】13．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a a －b的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 a 2＋1ab ＋1a a －b ＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a a －b ＝a (a －b )＋1a a －b ＋ab ＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22时取等号． 14．若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中的整数恰有3个，则实数a 的取值范围是________．答案 (259，4916]解析 由(2x －1)2<ax 2成立可知a >0，整理不等式可得(4－a )x 2－4x ＋1<0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有4－a >0，即a <4，故0<a <4，解得不等式有2－a 4－a <x <2＋a4－a，即2－a＋a －a <x <2＋a＋a －a ，亦即14<12＋a <x <12－a ，要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么3<12－a ≤4，解得259<a ≤4916.1．不等式是高中数学的重要内容，其中蕴含着许多重要的思想方法，是高考考查的重点．2．本章内容主要有以下四个方面：①不等式的性质，②一元二次不等式的解法，③简单的线性规划问题，④基本不等式及应用．。
2021年高中数学 第三章 不等式章末检测 新人教A版必修5
2021年高中数学 第三章 不等式章末检测 新人教A 版必修5一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．原点和点(1,1)在直线x ＋y ＝a 两侧，则a 的取值范围是( ) A ．a <0或a >2B ．0<a <2C ．a ＝0或a ＝2D ．0≤a ≤22．如果a ∈R ，且a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( ) A ．a 2>a >－a 2>－a B ．－a >a 2>－a 2>a C ．－a >a 2>a >－a 2D ．a 2>－a >a >－a 23．不等式1x <12的解集是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(0,2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)4．设0<a <1<b ，则一定有( ) A ．log a b ＋log b a ≥2 B ．log a b ＋log b a ≥－2 C ．log a b ＋log b a ≤－2 D ．log a b ＋log b a >25．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <126．如果a >b ，则下列不等式成立的个数为( ) ①1a <1b ；②a 3>b 3；③a 2>b 2；④2a >2b ；⑤a b >1；⑥⎝ ⎛⎭⎪⎫12ac 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫12bc 2；⑦lg(a 2＋1)>lg(b 2＋1)；⑧若a >b 且c >d ，则lg(a －d )>lg(b －c )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，2x ＋y －4≤0，x ≥0，y ≥1，目标函数z ＝2x －y ，则( )A ．z max ＝52B ．z max ＝－1C ．z max ＝2D ．z min ＝0 8．下列不等式：①a 2＋1>2a ；②|x ＋1x |≥2；③a ＋b ab ≤2 (a ，b 为正实数)；④x 2＋1x 2＋1≥1.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 9．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2B.32 C ．1 D.1210．若正数a ，b 满足ab －(a ＋b )＝1，则a ＋b 的最小值为( ) A ．2＋2 2 B ．22－2 C.5＋2 D.5－211．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>02x 2＋5＋2k x ＋5k <0的整数解只有－2，则k 的取值范围是( )A ．－3≤k <2B ．－3<k <2C ．k <－2D ．k ≥－312．若a 是1＋2b 与1－2b 的等比中项，则2ab|a |＋2|b |的最大值为( )A.2515 B.24 C.55 D.22题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．不等式x －16－x<0的解集是________．14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≤0则yx的范围为________．15．函数f (x )＝(2－a 2)x ＋a 在区间[0,1]上恒为正，则实数a 的取值范围是________． 16．一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知全集U ＝R ，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－34x 2＋x ＋1>0，B ＝{x |3x 2－4x ＋1>0}，求∁U (A ∩B )．18．(12分)解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.19．(12分)已知不等式kx2－2x＋6k<0 (k≠0)．(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；(2)若不等式的解集为∅，求k的取值范围．20．(12分)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是多少？21．(12分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比A1B1B1C1＝x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？22．(12分)某营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪.1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg脂肪，花费28元．而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少千克？第三章 章末检测1．B 2.B 3.D 4.C 5.C 6.C 7.C 8.C9．C [因为a >1，b >1，a x ＝b y＝3，a ＋b ＝23， 所以x ＝log a 3，y ＝log b 3. 1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab≤log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝1， 当且仅当a ＝b 时，等号成立．]10．A [∵a ＋b ＝ab －1≤a ＋b 24－1，∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0， 又∵a 、b 均为正数， ∴a ＋b ≥2＋2 2.]11．A [x 2－x －2>0⇔x <－1或x >2. 2x 2＋(5＋2k )x ＋5k <0 ⇔(2x ＋5)(x ＋k )<0.在数轴上考察它们的交集可得－3≤k <2.]12．B [由题意知a 2＝(1＋2b )(1－2b )， ∴a 2＋4b 2＝1≥24a 2b 2＝4|ab |，∴|ab |≤14，∴2ab |a |＋|2b |≤2|ab ||a |＋2|b |≤2|ab |22|ab | ＝22|ab |≤24. 当且仅当|a |＝2|b |时取等号．] 13．(－∞，1)∪(6，＋∞) 14．[0,1] 15．(0,2) 16．8 解析 这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v＝400v ＋16v 400≥2400v ×16v400＝8(小时)，当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时等号成立，此时t ＝8小时．17．解 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－34x 2＋x ＋1>0＝{x |3x 2－4x －4<0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23<x <2，B ＝{x |3x 2－4x ＋1>0} ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或x >1，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23<x <13或1<x <2，∴∁U (A ∩B )＝ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或13≤x ≤1或x ≥2.18．解 将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为(x －a )(x －a 2)>0. ∵a 2－a ＝a (a －1)．∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}．当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }． 当a ＝0或1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．综上知，当a <0或a >1时，不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }；当a ＝0或1时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠a }． 19．解 (1)∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}．∴k <0且x 1＝－3，x 2＝－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根．∴x 1x 2＝6，x 1＋x 2＝2k＝－5，∴k ＝－25.(2)由于k ≠0，要使不等式解集为∅，只需⎩⎪⎨⎪⎧k >0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧k >04－24k 2≤0，解得k ≥66. 20．解设该企业生产甲产品为x 吨，乙产品为y 吨，则该企业可获得利润为z ＝5x ＋3y ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝13，2x ＋3y ＝18，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.由图可知，最优解为P (3,4)．∴z 的最大值为z ＝5×3＋3×4＝27(万元)． 即该企业可获得的最大利润为27万元．21．解 (1)设休闲区的宽B 1C 1为a 米，则其长A 1B 1为ax 米，∴a 2x ＝4 000⇒a ＝2010x，∴S ＝(a ＋8)(ax ＋20) ＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1)．(2)S ≥1 600＋4 160＝5 760(当且仅当2x ＝5x⇒x ＝2.5)，即当x ＝2.5时，公园所占面积最小．此时a ＝40，ax ＝100，即休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米，宽为40米． 22．解设每天食用x kg 那么⎩⎪⎨⎪⎧0.105x ＋0.105y ≥0.075，0.07x ＋0.14y ≥0.06，0.14x ＋0.07y ≥0.06，x ≥0，y ≥0，①目标函数为z ＝28x ＋21y 二元一次不等式组①等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ≥5，7x ＋14y ≥6，14x ＋7y ≥6，x ≥0，y ≥0.②作出二元一次不等式组②表示的平面区域，如图即可行域．由z ＝28x ＋21y ，它可以变为y ＝－43x ＋z21由图中可行域可以看出，当直线28x ＋21y＝z 经过点B 时，截距z21最小，此时z 亦最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ＝514x ＋7y ＝6得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝17，y ＝47，∴B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫17，47.∴z min ＝28×17＋21×47＝16.由此可以知，每天食用食物A 约17 kg ，食用食物B 约47kg ，可使花费最少为16元．#21807552F 唯l$Yh22700 58AC 墬21723 54DB 哛32523 7F0B 缋32077 7D4D 絍~33694 839E 莞30206 75FE 痾36373 8E15 踕。
高中数学 第三章 不等式章末检测(B)新人教A版必修5
【步步高】2014-2015学年高中数学 第三章 不等式章末检测（B ）新人教A 版必修5(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若a <0，－1<b <0，则有( )A ．a >ab >ab 2B ．ab 2>ab >aC ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a2．已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e 3．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N4．不等式x 2－ax －12a 2<0(其中a <0)的解集为( ) A ．(－3a,4a ) B ．(4a ，－3a ) C ．(－3,4) D ．(2a,6a )5．已知a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式中恒成立的是( )A ．a 2>b 2B ．(12)a <(12)bC ．lg(a －b )>0 D.ab>16．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3] 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]8．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a ＋1b≤1 C.ab ≥2 D.1a 2＋b 2≤189．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ＋2≥0，则目标函数z ＝|x ＋3y |的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定11．设M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1，且a ＋b ＋c ＝1 (其中a ，b ，c 为正实数)，则M 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，18B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，1 C ．[1,8) D ．[8，＋∞)12．函数f (x )＝x 2－2x ＋1x 2－2x ＋1，x ∈(0,3)，则( )A ．f (x )有最大值74B ．f (x )有最小值－113．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________________________________________________________________________．14．对任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知a >0，b >0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a与a ＋b 的大小．18．(12分)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)．求证：(a a ＋b )·(b b ＋c )·(c c ＋a )≤18.19．(12分)若a <1，解关于x 的不等式axx －2>1.20．(12分)求函数y ＝x ＋22x ＋5的最大值．21．(12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B 点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？(2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．22．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：产品消耗量资源 甲产品(每吨) 乙产品 (每吨) 资源限额 (每天) 煤(t) 9 4 360 电力(kw· h) 4 5 200 劳动力(个) 3 10 300 利润(万元) 6 12问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？第三章 不等式 章末检测答案(B)1．D [∵a <0，－1<b <0，∴ab >0，ab 2<0.∴ab >a ，ab >ab 2.∵a －ab 2＝a (1－b 2)＝a (1＋b )(1－b )<0，∴a <ab 2.∴a <ab 2<ab .] 2．C3．A [∵M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝(2a 2－4a )－(a 2－2a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0.∴M >N .]4．B [∵x 2－ax －12a 2<0(a <0) ⇔(x －4a )(x ＋3a )<0 ⇔4a <x <－3a .]5．B [取a ＝0，b ＝－1，否定A 、C 、D 选项． 故选B.]6．D [∵x >1，∴x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1≥2x －1·1x －1＋1＝3.∴a ≤3.] 7．A [f (x )≥x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0－x ＋2≥x2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2－x －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0x 2＋x －2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0－1≤x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0－2≤x ≤1⇔－1≤x ≤0或0<x ≤1⇔－1≤x ≤1.]8．D [取a ＝1，b ＝3，可验证A 、B 、C 均不正确， 故选D.]9．C [可行域如阴影，当直线u ＝x ＋3y 过A (－2，－2)时，u 有最小值(－2)＋(－2)×3＝－8；过B (23，23)时u 有最大值23＋3×23＝83.∴u ＝x ＋3y ∈[－8，83]．∴z ＝|u |＝|x ＋3y |∈[0,8]．故选C.]10．B [设甲用时间T ，乙用时间2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T＝s 2a ＋s2b ＝s 2a ＋s 2b ＝s ×a ＋b 2ab ，ta ＋tb ＝s ⇒2t ＝2s a ＋b， ∴T －2t ＝s a ＋b 2ab －2s a ＋b ＝s ×a ＋b 2－4ab 2ab a ＋b ＝s a －b 22ab a ＋b>0，故选B.]11．D [M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c c －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋b c ≥2b a ·c a ·2a b ·c b ·2a c ·bc＝8. ∴M ≥8，当a ＝b ＝c ＝13时取“＝”．]12．D [∵x ∈(0,3)，∴x －1∈(－1,2)，∴(x －1)2∈[0,4)，∴f (x )＝(x －1)2＋1x －12－1≥2x －12·1x －12－1＝2－1＝1.当且仅当(x －1)2＝1x －12，且x ∈(0,3)，即x ＝2时取等号，∴当x ＝2时，函数f (x )有最小值1.] 13．－2解析 ∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2. 14．－2<a ≤2解析 当a ＝2时，－4<0恒成立，∴a ＝2符合． 当a －2≠0时，则a 应满足：⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0Δ＝4a －22＋16a －2<0解得－2<a <2.综上所述，－2<a ≤2. 15．5≤a <7解析 先画出x －y ＋5≥0和0≤x ≤2表示的区域，再确定y ≥a 表示的区域．由图知：5≤a <7. 16．20解析 该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为(400x·4＋4x )万元，400x ·4＋4x ≥160，当1 600x＝4x 即x ＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．17．解 ∵(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a－a＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)(1b －1a)＝(a 2－b 2)a －b ab ＝a －b 2a ＋b ab又∵a >0，b >0，a ≠b ，∴(a －b )2>0，a －b >0，ab >0， ∴(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )>0，∴a 2b ＋b 2a>a ＋b .18．证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0， c ＋a ≥2ac >0，∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc >0.∴abc a ＋b b ＋c c ＋a ≤18即(a a ＋b )·(b b ＋c )·(cc ＋a )≤18.当且仅当a ＝b ＝c 时，取到“＝”．19．解 不等式ax x －2>1可化为a －1x ＋2x －2>0.∵a <1，∴a －1<0，故原不等式可化为x －21－ax －2<0.故当0<a <1时，原不等式的解集为{x |2<x <21－a}，当a <0时，原不等式的解集为{x |21－a<x <2}． 当a ＝0时，原不等式的解集为∅.20．解 设t ＝x ＋2，从而x ＝t 2－2(t ≥0)， 则y ＝t2t 2＋1. 当t ＝0时，y ＝0；当t >0时，y ＝12t ＋1t≤122t ·1t＝24. 当且仅当2t ＝1t ，即t ＝22时等号成立．即当x ＝－32时，y max ＝24.21．解 (1)设DN 的长为x (x >0)米， 则AN ＝(x ＋2)米． ∵DN AN ＝DC AM ，∴AM ＝3x ＋2x，∴S AMPN ＝AN ·AM ＝3x ＋22x，由S AMPN >32，得3x ＋22x >32. 又x >0，得3x 2－20x ＋12>0，解得：0<x <23或x >6，即DN 长的取值范围是(0，23)∪(6，＋∞)．(2)矩形花坛AMPN 的面积为y ＝3x ＋22x ＝3x 2＋12x ＋12x＝3x ＋12x＋12≥23x ·12x＋12＝24，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24.故DN 的长为2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．22．解 设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨，获得利润z 万元．依题意可得约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤3604x ＋5y ≤2003x ＋10y ≤300x ≥0y ≥0作出可行域如图.利润目标函数z ＝6x ＋12y ，由几何意义知，当直线l ：z ＝6x ＋12y 经过可行域上的点M 时，z ＝6x ＋12y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ＝3004x ＋5y ＝200，得x ＝20，y ＝24，即M (20,24)．答 生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润．。
高中数学必修五第三章《不等式》导学案及章节检测
2014-2015学年高中数学必修五第三章《不等式》导学案及章节检测目录3.1不等关系与不等式 (2)3.2一元二次不等式及其解法(一) (7)3.2一元二次不等式及其解法(二) (12)3．3.1二元一次不等式(组)与平面区域 (16)3．3.2简单的线性规划问题(一) (22)3．3.2简单的线性规划问题(二) (28)3.4≤a＋b2(二) (39)第三章不等式复习课 (43)第三章不等式章末检测（A） (49)第三章不等式章末检测（B） (56)3.1 不等关系与不等式课时目标1．初步学会作差法比较两实数的大小．2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．1．比较实数a ，b 的大小 (1)文字叙述如果a －b 是正数，那么a >b ； 如果a －b 等于0，那么a ＝b ；如果a －b 是负数，那么a <b ，反之也成立． (2)符号表示 a －b >0⇔a >b ； a －b ＝0⇔a ＝b ； a －b <0⇔a <b .2．常用的不等式的基本性质 (1)a >b ⇔b <a (对称性)；(2)a >b ，b >c ⇒a >c (传递性)； (3)a >b ⇒a ＋c >b ＋c (可加性)；(4)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ； (5)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (6)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(7)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒a n >b n；(8)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．a 2>b 2C.a c 2＋1>bc 2＋1D ．a |c |>b |c | 答案 C解析 对A ，若a >0>b ，则1a>0，1b <0，此时1a >1b，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ，∴a c 2＋1>b c 2＋1恒成立，∴C 正确；对D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b>aC.a b >a >a b 2D.a b >a b2>a 答案 D解析 取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >a b2>a .3．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b答案 C解析 对于A ，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立；对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立；对于C ，∵a <b ，1a 2b2>0，∴1ab 2<1a 2b ；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝ab＝－1.4．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a答案 C解析 ∵1e<x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0.∴a －b ＝t －2t ＝－t >0，∴a >b .c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)， 又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1， ∴c －a >0，∴c >a .∴c >a >b .5．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0 D ．b ＋a >0 答案 D解析 由a >|b |得－a <b <a ，∴a ＋b >0，且a －b >0.∴b －a <0，A 错，D 对． 可取特值，如a ＝2，b ＝－1， a 3＋b 3＝7>0，故B 错．而a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )>0，∴C 错．6．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2答案 A解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0， 又∵a >0，b >c ，∴ab >ac .故选A. 二、填空题7．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________． 答案 [－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5， ∴－1≤a －b ≤6.8．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________．答案 f (x )>g (x )解析 ∵f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0， ∴f (x )>g (x )．9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．答案 x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 2＋x 2＝－x －2＋x 2≤0， ∴x 1＋x 2≤12. 10．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________． 答案 A >B解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n .∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数，∴A >B .三、解答题11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b的大小．解 方法一 作差法 a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b ＝a ＋b a 2－b2－a －b a 2＋b2a 2＋b 2a ＋b＝a －b a ＋b 2－a 2＋b 2a 2＋b 2a ＋b ＝2ab a －b a ＋b a 2＋b 2∵a >b >0，∴a ＋b >0，a －b >0,2ab >0.∴2ab a －b a ＋b a 2＋b 2>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b .方法二 作商法∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －ba ＋b>0. ∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝a ＋b 2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a ＋b >a －b a ＋b . 12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x4，①当⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，3x4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x4＜0，∴f (x )＜g (x )；②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x4＝0，即f (x )＝g (x )；③当⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，0＜3x4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x4＞0，即f (x )＞g (x )．综上所述，当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当0＜x ＜1，或x ＞43时，f (x )＞g (x )．能力提升13．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12答案 A解析 方法一 特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38，∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2. 方法二 作差法．∵a 1＋a 2＝1＝b 1＋b 2且0<a 1<a 2,0<b 1<b 2， ∴a 2＝1－a 1>a 1，b 2＝1－b 1>b 1，∴0<a 1<12，0<b 1<12.又a 1b 1＋a 2b 2＝a 1b 1＋(1－a 1)(1－b 1)＝2a 1b 1＋1－a 1－b 1，a 1a 2＋b 1b 2＝a 1(1－a 1)＋b 1(1－b 1)＝a 1＋b 1－a 21－b 21， a 1b 2＋a 2b 1＝a 1(1－b 1)＋b 1(1－a 1)＝a 1＋b 1－2a 1b 1，∴(a 1b 2＋a 2b 1)－(a 1a 2＋b 1b 2)＝a 21＋b 21－2a 1b 1＝(a 1－b 1)2≥0，∴a 1b 2＋a 2b 1≥a 1a 2＋b 1b 2.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝4a 1b 1＋1－2a 1－2b 1 ＝1－2a 1＋2b 1(2a 1－1)＝(2a 1－1)(2b 1－1)＝4⎝⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－12＝2a 1b 1＋12－a 1－b 1＝b 1(2a 1－1)－12(2a 1－1)＝(2a 1－1)⎝⎛⎭⎪⎫b 1－12 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>12.综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.14．设x ，y ，z ∈R ，试比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取到等号．1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．3.2 一元二次不等式及其解法(一)课时目标1．会解简单的一元二次不等式．2．了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系．1．一元一次不等式一元一次不等式经过变形，可以化成ax >b (a ≠0)的形式．(1)若a >0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a ；(2)若a <0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a .2．一元二次不等式一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：(1)ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)；(2)ax 2＋bx ＋c <0 (a >0).3.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示：一、选择题1．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32答案 B解析 ∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2} 答案 D解析 由题意知，－ba ＝1，c a＝－2，∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a <0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2.3．函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( ) A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞) B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞) 答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x 2＋6x ≥0，∴x ≤－6或x >2.4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2) 答案 B解析 ∵x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0， ∴x 2＋x －2<0.∴－2<x <1.5．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－2,2] C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D ．(－∞，2) 答案 B解析 ∵mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x ，∴(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0. 当m ＝2时，4>0，x ∈R ；当m <2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0， 解得－2<m <2.此时，x ∈R . 综上所述，－2<m ≤2.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解是(－3,1)∪(3，＋∞)． 二、填空题7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分对应点如下表： X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是______________． 答案 {x |x <－2或x >3}8．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是________． 答案 {x |－3≤x <－2或0<x ≤1}解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0，∴－3≤x <－2或0<x ≤1.9．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________． 答案 k ≤2或k ≥4解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0， 解得k ≥4或k ≤2.10．不等式(x 2－x ＋1)(x 2－x －1)>0的解集是________________．答案 {x |x <1－52或x >1＋52}解析 ∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴(x 2－x －1)(x 2－x ＋1)>0可转化为解不等式x 2－x －1>0，由求根公式知，x 1＝1－52，x 2＝1＋52.∴x 2－x －1>0的解集是 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <1－52或x >1＋52. ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <1－52或x >1＋52. 三、解答题11．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2， 知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－13＋2＝－b a－13×2＝ca，∴b ＝－53a ，c ＝－23a .所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－53a x ＋a <0， 即2ax 2－5ax －3a >0.又因为a <0，所以2x 2－5x －3<0，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3.12．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.解 将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为(x －a )(x －a 2)>0. ∵a 2－a ＝a (a －1)．∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}．当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }． 当a ＝0或1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．综上知，当a <0或a >1时，不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }；当a ＝0或1时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．【能力提升】13．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1 (i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3答案 B解析 由(1－a i x )2<1，得1－2a i x ＋(a i x )2<1， 即a i ·x (a i x －2)<0. 又a 1>a 2>a 3>0.∴0<x <2a i，即x <2a 1，x <2a 2且x <2a 3.∵2a 3>2a 2>2a 1>0∴0<x <2a 1.14．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0， 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0. 当a ＝0时，x ≤－1；当a >0时，x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，x ＝－1；当a <－2时，－1≤x ≤2a. 综上所述，当a >0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a或x ≤－1；当a ＝0时，解集为{}x |x ≤－1；当－2<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，解集为{}x |x ＝－1；当a <－2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a .1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．2．一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根．3．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．3.2 一元二次不等式及其解法(二)【课时目标】1．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式． 2．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．1．一元二次不等式的解集：(1)f xg x>0⇔f (x )·g (x )>0；(2)f xg x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x g x；(3)f xg x ≥a ⇔f x －ag xg x≥0.3．处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的情况：ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ<0；ax2＋bx ＋c ≤0 (a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0.(2)一般地，若函数y ＝f (x )，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： a >f (x )，x ∈D 恒成立⇔a >f (x )max ； a <f (x )，x ∈D 恒成立⇔a <f (x )min .一、选择题1．不等式x －2x ＋3>0的解集是( )A ．(－3,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 答案 C解析 解不等式x －2x ＋3>0得，x >2或x <－3.2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≤－2或x ＝1} 答案 C解析 当x ＝－2时，0≥0成立．当x >－2时，原不等式变为x －1≥0，即x ≥1. ∴不等式的解集为{x |x ≥1或x ＝－2}．3．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2} 答案 A解析 原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．4．不等式x ＋5x －2≥2的解是( )A ．[－3，12]B ．[－12，3]C ．[12，1)∪(1,3]D ．[－12，1)∪(1,3]答案 D解析 x ＋5x －2≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x －2x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，∴x ∈[－12，1)∪(1,3]．5．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 C解析 解不等式(x －1)2<3x ＋7，然后求交集．由(x －1)2<3x ＋7，得－1<x <6，∴集合A 为{x |－1<x <6}，∴A ∩Z 的元素有0,1,2,3,4,5，共6个元素．6．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >2 答案 B解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧g＝x 2－3x ＋2>0g －＝x 2－5x ＋6>0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2x <2或x >3⇔x <1或x >3.二、填空题 7．若关于x 的不等式x －ax ＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________. 答案 4解析 x －a x ＋1>0⇔(x ＋1)(x －a )>0⇔(x ＋1)(x －4)>0 ∴a ＝4.8．若不等式－x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≥1解析 ∵Δ＝4－4a ≤0，∴a ≥1.9．若全集I ＝R ，f (x )、g (x )均为x 的二次函数，P ＝{x |f (x )<0}，Q ＝{x |g (x )≥0}，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f x，gx的解集可用P 、Q 表示为________．答案 P ∩∁I Q解析 ∵g (x )≥0的解集为Q ， 所以g (x )<0的解集为∁I Q ，因此⎩⎪⎨⎪⎧f x ，g x 的解集为P ∩∁I Q .10．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围为________． 答案 0≤a ≤4解析 a ＝0时，A ＝∅；当a ≠0时，A ＝∅⇔ax 2－ax ＋1≥0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0⇔0<a ≤4，综上所述，实数a 的取值范围为0≤a ≤4. 三、解答题11．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t %应在什么范围内变动？解 由题意可列不等式如下：⎝⎛⎭⎪⎫20－52t ·24 000·t %≥9 000⇔3≤t ≤5. 所以t %应控制在3%到5%范围内．12．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋k ＋x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．解 由x 2－x －2>0，可得x <－1或x >2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋k ＋x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}， 方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0的两根为－k 与－52，①若－k <－52，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；②若－52<－k ，则应有－2<－k ≤3，∴－3≤k <2.综上，所求的k 的取值范围为－3≤k <2. 【能力提升】13．已知x 1、x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0(k ∈R )的两个实数根，则x 21＋x 22的最大值为( )A ．18B ．19 C.509D ．不存在答案 A解析 由已知方程有两实数根得，Δ≥0，即(k －2)2－4(k 2＋3k ＋5)≥0.解得－4≤k ≤－43，又x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝－(k ＋5)2＋19，∴当k ＝－4时，x 21＋x 22有最大值，最大值为18.14．已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．解 (1)不等式化为(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又∵|p |≤2，∴－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f －，f即⎩⎪⎨⎪⎧x －－＋x 2－2x ＋1>0，x －＋x 2－2x ＋1>0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0.∴x >3或x <－1.故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立， ∴p >(1－x )max .而2≤x ≤4， ∴(1－x )max ＝－1，于是p >－1. 故p 的取值范围是p >－1.1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域课时目标1．了解二元一次不等式表示的平面区域．2．会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．1．二元一次不等式(组)的概念含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式． 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组． 2．二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线． 3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定 (1)直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C 所得的符号都相同． (2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的一侧取某个特殊点(x 0，y 0)，由Ax 0＋By 0＋C 的符号可以断定Ax ＋By ＋C >0表示的是直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域．一、选择题1．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－23x －2y ＋6>0x <0 B.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－23x －2y ＋6≥0x ≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧y >－23x －2y ＋6>0x ≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧y >－23x －2y ＋6<0x <0答案 C解析 可结合图形，根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行．由图知所给区域的三个边界中，有两个是虚的，所以C 正确．2．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,6) B ．(－6,1)C ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D ．(－∞，－6)∪(1，＋∞) 答案 A解析 由题意知，(－3＋2－a )(9－3－a )<0， 即(a ＋1)(a －6)<0，∴－1<a <6.3．如图所示，表示满足不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0的点(x ，y )所在的区域为( )答案 B解析 不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0等价于不等式组(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，x ＋2y －2>0或不等式组(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧x －y <0，x ＋2y －2<0.分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ≤12，x －y >－1，y ≥0表示的平面区域内整点的个数是( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个答案 C解析 画出可行域后，可按x ＝0，x ＝1，x ＝2，x ＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．5．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a(a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为( )A ．32＋2B ．－32＋2C ．－5D ．1 答案 D解析 区域如图，易求得A (－2,2)，B (a ，a ＋4)， C (a ，－a )．S △ABC ＝12|BC |·|a ＋2|＝(a ＋2)2＝9，由题意得a ＝1.6．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34 答案 A解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝73.二、填空题7．△ABC 的三个顶点坐标为A (3，－1)，B (－1,1)，C (1,3)，则△ABC 的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0x －y ＋2≥02x ＋y －5≤0解析如图直线AB 的方程为x ＋2y －1＝0(可用两点式或点斜式写出)． 直线AC 的方程为2x ＋y －5＝0， 直线BC 的方程为x －y ＋2＝0， 把(0,0)代入2x ＋y －5＝－5<0， ∴AC 左下方的区域为2x ＋y －5<0.∴同理可得△ABC 区域(含边界)为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0x －y ＋2≥02x ＋y －5≤0.8．已知x ，y 为非负整数，则满足x ＋y ≤2的点(x ，y )共有________个．答案 6解析 由题意点(x ，y )的坐标应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ∈N y ∈Nx ＋y ≤2，由图可知，整数点有(0,0)，(1,0)，(2,0)(0,1)(0,2)(1,1)6个．9．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x －y ＋a >0表示的平面区域内，则a 的取值范围为________．答案 －1<a ≤0解析 根据题意，分以下两种情况：①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．则⎩⎪⎨⎪⎧a >0a ＋1≤0.无解．②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0a ＋1>0，∴－1<a ≤0. 综上所述，－1<a ≤0.10．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．答案 74解析如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当a 从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域．又D (0,1)，B (0,2)， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (－2,0)． S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝2－14＝74.三、解答题11．利用平面区域求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3y ≥26x ＋7y ≤50的整数解．解 先画出平面区域，再用代入法逐个验证．把x ＝3代入6x ＋7y ≤50，得y ≤327，又∵y ≥2，∴整点有：(3,2)(3,3)(3,4)； 把x ＝4代入6x ＋7y ≤50，得y ≤267，∴整点有：(4,2)(4,3)．把x ＝5代入6x ＋7y ≤50，得y ≤207，∴整点有：(5,2)；把x ＝6代入6x ＋7y ≤50，得y ≤2，整点有(6,2)；把x ＝7代入6x ＋7y ≤50，得y ≤87，与y ≥2不符．∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．12．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于P 、Q 两点，且P 、Q 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0kx －my ≤0y ≥0表示的平面区域的面积是多少？解 P 、Q 关于直线x ＋y ＝0对称，故PQ 与直线x ＋y ＝0垂直，直线PQ 即是直线y ＝kx ＋1，故k ＝1；又线段PQ 为圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ 的垂直平分线上，即为直线x ＋y ＝0，又圆心为(－k2，－m2)，∴m ＝－k ＝－1，∴不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≤0y ≥0，它表示的区域如图所示，直线x －y ＋1＝0与x ＋y ＝0的交点为(－12，12)，∴S △＝12×1×12＝14.故面积为14. 能力提升13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞) 答案 A解析 作出不等式组表示的平面区域D ，如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0，得交点A (2,9)．对y ＝a x的图象，当0<a <1时，没有点在区域D 上．当a >1，y ＝a x 恰好经过A 点时，由a 2＝9，得a ＝3. 要满足题意，需满足a 2≤9，解得1<a ≤3.14．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是______________．答案 0<a ≤1或a ≥43解析不等式表示的平面区域如图所示，当x ＋y ＝a 过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23时表示的区域是△AOB ，此时a ＝43； 当a >43时，表示区域是△AOB ；当x ＋y ＝a 过B (1,0)时表示的区域是△DOB ，此时a ＝1； 当0<a <1时可表示三角形；当a <0时不表示任何区域，当1<a <43时，区域是四边形．故当0<a ≤1或a ≥43时表示的平面区域为三角形．1．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分．2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路不可马虎大意，常先确定x 的范围，再逐一代入不等式组，求出y 的范围最后确定整数解的个数．3．3.2 简单的线性规划问题(一)课时目标1．了解线性规划的意义．2．会求一些简单的线性规划问题．线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1 D.715答案 A解析 画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9. 2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10 B ．8 C ．16 D ．10答案 D解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示： 易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10.3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2－x，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为( )A ．－t 2＋t ＋12B ．－2t 2＋2tC ．1－12t 2 D.12(t －2)2答案 A 解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤xy ≤2－x所表示的平面区域．由t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1，得f (t )＝S △OEF －S △AOD －S △BFC＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3 答案 A解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.5设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则|AB |的最小值为( )A.285 B ．4 C.125 D ．2 答案 B解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求|AB |min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求．经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴|AB |min＝4.二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．答案 7解析 作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)答案 (3,8)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <4，2<x －y <3得平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.∴2×3－3×1<z ＝2x －3y <2×1－3×(－2)，即3<z <8，故z ＝2x －3y 的取值范围是(3,8)．8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则y x的最大值为________．答案 2解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0对应的平面区域Ω，y x ＝y －0x －0表示平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率．A (1,2)，B (3,0)，∴0≤yx≤2.三、解答题9．线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．解 如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.∴z max ＝17，z min ＝－7.10．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．解 作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0，得A (1,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝03x －y －5＝0，得B (3,4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝02x ＋y －5＝0，得C (2,1)，设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB |2＝25，z min ＝|OC |2＝5. 能力提升11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋x ＋y －1≤x ≤4，求x 2＋y 2－2的取值范围．解 作出可行域如图，由x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x ＋y －6＝0的距离的平方，即|OP |2，最大值为|OA |2，其中A (4,10)，|OP |＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32， |OA |＝42＋102＝116，∴(x 2＋y 2－2)min ＝(32)2－2＝18－2＝16， (x 2＋y 2－2)max ＝(116)2－2＝116－2＝114，∴16≤x 2＋y 2－2≤114.即x 2＋y 2－2的取值范围为16≤x 2＋y 2－2≤114. 12．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值． 解 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －－x －－， 所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即 z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2； z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.∴z 的最大值为3，最小值为12.1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．3．3.2 简单的线性规划问题(二)课时目标1．准确利用线性规划知识求解目标函数的最值． 2．掌握线性规划实际问题中的两种常见类型．1．用图解法解线性规划问题的步骤： (1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域；(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．一、选择题1．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元．月初一次性购进本月用的原料A 、B 各c 1、c 2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z ＝d 1x ＋d 2y 最大的数学模型中，约束条件为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋a 2y ≥c 1，b 1x ＋b 2y ≥c 2，x ≥0，y ≥0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋b 1y ≤c 1，a 2x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ≤c 1，b 1x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ＝c 1，b 1x ＋b 2y ＝c 2，x ≥0，y ≥0答案 C解析 比较选项可知C 正确．2. 如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为()A.14B.35 C ．4 D.53 答案 B解析 由y ＝－ax ＋z 知当－a ＝k AC 时，最优解有无穷多个．∵k AC ＝－35，∴a ＝35.3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元 答案 B解析 设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，可获得利润为z 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5，z ＝0.4x ＋0.6y .由图象知，目标函数z ＝0.4x ＋0.6y 在A 点取得最大值． ∴y max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 答案B解析 设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，x ≥0，y ≥0.甲、乙两车间每天总获利为z ＝280x ＋200y . 画出可行域如图所示．点M (15,55)为直线x ＋y ＝70和直线10x ＋6y ＝480的交点，由图象知在点M (15,55)处z 取得最大值．5．如图所示，目标函数z ＝kx －y 的可行域为四边形OABC ，点B (3,2)是目标函数的最优解，则k 的取值范围为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23 D.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－43 答案 C解析 y ＝kx －z .若k >0，则目标函数的最优解是点A (4,0)或点C (0，4)，不符合题意． ∴k <0，∵点(3,2)是目标函数的最优解．∴k AB ≤k ≤k BC ，即－2≤k ≤－23.二、填空题6．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．答案 2 300解析 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N *，y ∈N *.目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300元． 7．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，则z ＝10x ＋10y 的最大值是________．答案 90解析该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于x ，y ∈N *，计算区域内与点⎝⎛⎭⎪⎫112，92最近的整点为(5,4)，当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.8．某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．答案 20 24 解析设每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，总利润为S 万元， 依题意约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤300，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥15，y ≥15，目标函数为S ＝7x ＋12y .从图中可以看出，当直线S ＝7x ＋12y 经过点A 时，直线的纵截距最大，所以S 也取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y －200＝0，3x ＋10y －300＝0，得A (20,24)，故当x ＝20，y ＝24时， S max ＝7×20＋12×24＝428(万元)． 三、解答题9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？解设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z ，那么⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A (145，3)，∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲种原料145×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．10．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？ 解(1)则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤902x ≤600z ＝80x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900x ≤300⇒x ≤300.所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y 个，可获利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤901·y ≤600z ＝120y⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450y ≤600⇒y ≤450.所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，。
高中数学 第三章 不等式本章整合学案 新人教B版必修5
第三章 不等式本章整合知识网络专题探究专题一 用函数的图象解不等式函数是中学数学中的重点内容之一，它贯穿于中学数学教学的始终，而利用函数的图象能直观、准确、迅速地分析研究函数的性质或解决与函数有关的问题，因此，函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．函数图象形象显示了函数的性质，为研究数量关系提供了形的直观性，它是探求解题路径、获得问题结果的重要工具，在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，有时需要画出图象，利用数形结合能起到十分快捷的效果．【应用1】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥32，lg(3－x )，x <32，若方程f (x )＝k 无实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，lg 32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32，＋∞提示：所给的函数f (x )是分段函数，而方程f (x )＝k 无实数根，可利用数形结合法转化为函数图象无交点．解析：在同一坐标系内作出y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图，当x ＝32时，f (x )＝lg 32．所以若两函数图象无交点，则k <lg 32．答案：C【应用2】已知a，b，c依次是方程2x＋x＝0，log2x＝2－x和12log x＝x的实数根，则a，b，c的大小关系是________．提示：构造常见的初等函数利用函数的图象可解决问题．解析：由2x＋x＝0，得2x＝－x，设函数y1＝2x，y2＝－x，分别作出它们的图象，如图1，两图象交点的横坐标即为a，可得a<0，同理，对于方程log2x＝2－x，可得图2，得1<b<2；对于方程12log x＝x，可得图3，得0<c<1，所以a<c<b．答案：a<c<b专题二不等式的解法常见的不等式有一元一次不等式，一元二次不等式，简单的高次不等式，分式不等式，含有指数、对数的不等式，其解法为：(1)解一元二次不等式，画出其对应的二次函数图象，来确定解集．(2)解高次不等式常用穿根法．(3)分式不等式利用不等式的性质将其转化为整式不等式(组)求解．(4)解含有指数、对数的不等式利用指数与对数函数的单调性，将指数、对数不等式转化成与之等价的不等式(组)求解．【应用1】求解下列不等式：(1)－x2＋2x＋3<0；(2)x3＋2x2－3x>0；(3)x2x－2≥－1；(4)log 12(2x 2＋3x )≥－1．提示：(1)注意解一元二次不等式的几个步骤． (2)穿根法求解．(3)转化为整式不等式，注意分母不为0． (4)对数不等式，真数大于0．解：(1)∵－x 2＋2x ＋3<0，∴x 2－2x －3>0． 又∵方程x 2－2x －3＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝3， ∴不等式的解集为{x |x >3或x <－1}．(2)由x 3＋2x 2－3x ＝x (x 2＋2x －3)＝x (x ＋3)(x －1)，可令f (x )＝x (x －1)(x ＋3)， ∵f (x )＝0的根为－3，0，1，∴由穿根法(如图)，得不等式x 3＋2x 2－3x >0的解集为{x |x >1或－3<x <0}．(3)由x 2x －2≥－1可得x 2x －2＋1＝x 2＋x －2x －2≥0，即(x 2＋x －2)(x －2)≥0，且x －2≠0， 即(x －1)(x ＋2)(x －2)≥0且x ≠2，如图，由穿根法得原不等式的解集为{x |－2≤x ≤1或x >2}． (4)∵12log (2x 2＋3x )≥－1＝12log 2，又∵0<12<1，∴原不等式同解于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋3x >0，2x 2＋3x ≤2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x >0或x <－32，－2≤x ≤12.∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2≤x <－32或0<x ≤12．【应用2】 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)>0．提示：二次项系数为a ，需对a 的正负进行讨论；还要对根的大小进行讨论，两者要同时进行．解：(1)当a ＝0时，原不等式化为(x －2)·(－2)>0即x －2<0，∴x <2．(2)当a <0时，原不等式可化为(x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －2a <0，此时两根大小关系为2>2a，解得2a<x <2．(3)当a >0时，原不等式可化为(x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －2a >0，此时两根分别为2，2a．①当a ＝1时，2a＝2，解得x ≠2．②当a >1时，2>2a ，解得x >2或x <2a．③当0<a <1时，2<2a ，解得x >2a或x <2．综上所述，不等式的解集为 ①当a ＝0时，{x |x <2}； ②当a ＝1时，{x |x ≠2}；③当a <0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a<x <2；④当a >1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >2，或x <2a ；⑤当0<a <1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >2a ，或x <2． 专题三 利用均值不等式求最值的常用方法均值不等式是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题．对于有些题目，可以直接利用均值不等式求解．但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解．常见的变形手段为配凑法、整体代换法等．下面介绍一些常用的变形方法．1．凑系数【应用1】 已知0<x <5，求y ＝x (10－2x )的最大值．提示：由0<x <5，知10－2x >0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x ＋(10－2x )＝10为定值，故只需将y ＝x (10－2x )凑上一个系数即可．解：y ＝x (10－2x )＝12[2x ·(10－2x )]≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋10－2x 22＝252，当且仅当2x ＝10－2x ，即x ＝52时，等号成立．所以当x ＝52时，y ＝x (10－2x )的最大值为252．2．凑项法【应用2】 已知x <54，求函数f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值．提示：由题意知4x －5<0，首先要调整符号，又(4x －2)·14x －5不是定值，故需对4x －2进行凑项才能得到定值．解：∵x <54，∴5－4x >0．∴f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2(5－4x )·15－4x ＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时等号成立，此时f (x )的最大值为1． 3．分离法【应用3】 求f (x )＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x ≠－1)的值域．提示：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x ＋1)的项，再将其分离．解：f (x )＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5，当x ＋1>0，即x >－1时，f (x )≥2(x ＋1)·4x ＋1＋5＝9(当且仅当x ＝1时等号成立)； 当x ＋1<0，即x <－1时，f (x )≤－2(x ＋1)·4x ＋1＋5＝1(当且仅当x ＝－3时等号成立)． ∴f (x )＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x ≠－1)的值域为(－∞，1]∪[9，＋∞)．4．整体代换法【应用4】 若x ，y 都是正数，且满足4x ＋16y＝1，求x ＋y 的最小值．提示：由于x ＋y ＝1·(x ＋y )，故可以将4x ＋16y＝1整体代入，展开之后，再用基本不等式求最小值．解：∵x ＋y ＝1·(x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x＋16y (x ＋y )＝20＋⎝⎛⎭⎪⎫4y x ＋16x y ≥20＋24y x ·16xy＝36，当且仅当x ＝12，y ＝24时，等号成立， ∴x ＋y 的最小值为36． 专题四 不等式恒成立问题恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，是很综合的一个题型，也是历年高考的一个热点．变量分离法和数形结合的方法比较常用，数形结合的方法较简单．当然还有其他的解决方法，如赋值法、根据对称性等．1．一次函数型【应用1】 对于满足|p |≤2的所有实数p ，求使不等式x 2＋px ＋1>p ＋2x 恒成立的x 的取值范围．提示：在不等式中出现了两个字母：x 和p ，关键在于该把哪个字母看成是变量．本题可将p 视作变量，则上述问题即可转化为在[－2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题．解：原不等式即(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0，设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )在[－2，2]上恒大于0，故有：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >3或x <1，x >1或x <－1，∴x <－1或x >3． 2．二次函数型【应用2】 设f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，都有f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．提示：题目中要证明f (x )≥a 恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[－1，＋∞)上恒大于0的问题，就可以利用函数的图象解决了．解：设F (x )＝f (x )－a ＝x 2－2ax ＋2－a ．(1)当Δ＝4a 2－4(2－a )＝4(a －1)(a ＋2)<0，即－2<a <1时，对一切x ∈[－1，＋∞)，F (x )≥0恒成立；(2)当Δ＝4(a －1)(a ＋2)≥0时，由图可得以下充要条件：⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，F (－1)≥0，－－2a 2≤－1，即⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)(a ＋2)≥0，a ＋3≥0，a ≤－1，得－3≤a ≤－2．综上可得a 的取值范围为[－3，1)． 3．变量分离型【应用3】 对一切实数x ，不等式x 4＋ax 2＋1≥0恒成立，求字母a 的取值范围． 提示：从所给不等式中解出a ，再利用基本不等式求解． 解：不等式x 4＋ax 2＋1≥0可以化为a ≥－1－x4x 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫1x2＋x 2(x ≠0)．函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋x 2≤－2，则a ≥－2．若x ＝0，则a ∈R ． 故a 的取值范围是[－2，＋∞)． 专题五 不等式与函数、方程的综合问题1．利用不等式的性质、不等式的证明方法、解不等式等知识可以解决函数中的有关问题，主要体现在：利用不等式求函数的定义域、值域、最值、证明单调性等．2．利用函数、方程、不等式之间的关系，可解决一元二次方程根的分布及相关的不等式问题．【应用1】 已知函数f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋nx 2＋1的定义域为R ，值域为[0，2]，求m ，n 的值．提示：将定义域问题转化为不等式恒成立问题，即转化为mx 2＋8x ＋n >0的解集为R ．解：令y ＝mx 2＋8x ＋nx 2＋1，∵函数f (x )的定义域为R ，∴对任意实数x ∈R ，y >0恒成立，即mx 2＋8x ＋n >0恒成立． 当m ＝0时，不等式化为8x >－n ，不可能恒成立；当m ≠0时，必须有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝64－4mn <0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，mn >16.由y ＝mx 2＋8x ＋n x 2＋1，得(m －y )x 2＋8x ＋(n －y )＝0． ∵x ∈R ，∴Δ＝82－4(m －y )(n －y )≥0， 即y 2－(m ＋n )y ＋mn －16≤0．① 由题意知f (x )∈[0，2]，则y ∈[1，9]． 即关于y 的不等式①的解集为[1，9]．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝10，mn －16＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝5.此时满足⎩⎪⎨⎪⎧m >0，mn >16.故所求m ＝5，n ＝5．【应用2】 已知在△ABC 中，三边分别为a ，b ，c ，m 为正数． 求证：aa ＋m ＋b b ＋m >cc ＋m．提示：可利用通分作差的方法解决，也可以构造函数利用函数的单调性解决． 证明：构造函数f (x )＝xx ＋m(x >0，m 为正数)．由于xx ＋m＝1－mx ＋m，易证f (x )是正实数集上的增函数．因为在△ABC 中，a ＋b >c ，所以f (a ＋b )>f (c )， 即a ＋b a ＋b ＋m >cc ＋m．又因为a a ＋m ＋bb ＋m >a a ＋b ＋m ＋b a ＋b ＋m ＝a ＋ba ＋b ＋m，所以原不等式成立．。
高中数学 第三章 不等式章末复习课学案 新人教A版必修5
第三章 不等式学习目标 1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式求解函数最值．知识点一 “三个二次”之间的关系所谓三个二次，指的是①二次函数图象及与x 轴的交点；②相应的一元二次方程的实根；③一元二次不等式的解集端点．解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化． 知识点二 规划问题 1．规划问题的求解步骤． (1)把问题要求转化为约束条件； (2)根据约束条件作出可行域； (3)对目标函数变形并解释其几何意义； (4)移动目标函数寻找最优解； (5)解相关方程组求出最优解． 2．关注非线性：(1)确定非线性约束条件表示的平面区域．可类比线性约束条件，以曲线定界，以特殊点定域． (2)常见的非线性目标函数有①y －bx －a，其几何意义为可行域上任一点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率；②x －a2＋y －b 2，其几何意义为可行域上任一点(x ，y )与定点(a ，b )的距离．知识点三 基本不等式利用基本不等式证明不等式和求最值的区别．利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件．利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等．类型一 “三个二次”之间的关系例1 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M ⊆[1,4]，求实数a 的取值范围． 解 M ⊆[1,4]有两种情况：其一是M ＝∅，此时Δ<0；其二是M ≠∅，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a 的取值范围．设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2， 对方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，有Δ＝(－2a )2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)，①当Δ<0时，－1<a <2，M ＝∅⊆[1,4]，满足题意； ②当Δ＝0时，a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，M ＝{－1}[1,4]，不满足题意； 当a ＝2时，M ＝{2}⊆[1,4]，满足题意． ③当Δ>0时，a <－1或a >2.设方程f (x )＝0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2， 那么M ＝[x 1，x 2]，M ⊆[1,4]⇔1≤x 1<x 2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f 且f ，1＜a ＜4且Δ>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，a ≤187，1＜a ＜4，a ＜－1或a >2，解得2<a ≤187，综上可知，当M ⊆[1,4]时，a 的取值范围是(－1，187]．反思与感悟 (1)三个二次之间要选择一个运算简单的方向进行转化，如1≤x 1<x 2≤4，要是用求根公式来解就相当麻烦，用⎩⎪⎨⎪⎧f 且f ，1＜a ＜4且Δ>0则可化归为简单的一元一次不等式组．(2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想．跟踪训练1 若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________. 答案 2解析 因为ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )， 所以1，m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的根，且m >1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >1，1＋m ＝6a，1·m ＝a⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，a ＝2.类型二 规划问题例2 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z ＝2x ＋y 的最大值和最小值．解 如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域．设l 0：2x ＋y ＝0，l ：2x ＋y ＝z ，则z 的几何意义是直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，显然，当直线越往上移动，对应在y 轴上的截距越大，即z 越大；当直线越往下移动，对应在y 轴上的截距越小，即z 越小．上下平移直线l 0，可得当l 0过点A (5,2)时，z max ＝2×5＋2＝12；当l 0过点B (1,1)时，z min ＝2×1＋1＝3.反思与感悟 (1)因为寻找最优解与可行域的外界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确；(2)线性目标函数的最值与截距不一定是增函数关系，所以要关注截距越大，z 越大还是越小． 跟踪训练2 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小．解 设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则可做文字标牌(x ＋2y )个，绘画标牌(2x ＋y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥5，x ＋2y ≥4，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .所用原料的总面积为z ＝3x ＋2y ， 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．在一组平行直线3x ＋2y ＝z 中， 经过可行域内的点A 时，z 取得最小值，直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点为A (2,1)， 即最优解为(2,1)．所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小． 类型三 利用基本不等式求最值 命题角度1 无附加条件型 例3 设f (x )＝50xx 2＋1. (1)求f (x )在[0，＋∞)上的最大值； (2)求f (x )在[2，＋∞)上的最大值． 解 (1)当x >0时，有x ＋1x≥2，∴f (x )＝50x x 2＋1＝50x ＋1x≤25. 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立，∴f (x )在[0，＋∞)上的最大值是25.(2)∵函数y ＝x ＋1x在[2，＋∞)上是增函数且恒为正，∴f (x )＝50x ＋1x在[2，＋∞)上是减函数，且f (2)＝20.∴f (x )在[2，＋∞)上的最大值为20.反思与感悟 利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解． 跟踪训练3 求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值． 解 ∵y ＝1x －3＋x ＝1x －3＋(x －3)＋3，x ＞3， ∴x －3＞0，1x －3＞0， ∴y ≥21x －3x －＋3＝5.当且仅当1x －3＝x －3， 即x ＝4时，y 有最小值5.命题角度2 有附加条件的最值问题 例4 函数y ＝a1－x(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n的最小值为________．答案 4解析 方法一 y ＝a1－x(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线mx ＋ny －1＝0上， ∴m ＋n ＝1， ∴1m ＋1n ＝m ＋n mn ＝1mn≥1m ＋n 22＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取等号．方法二 1m ＋1n ＝(m ＋n )(1m ＋1n)＝2＋n m ＋m n ≥2＋2n m ·mn＝4， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，n m ＝mn，即m ＝n ＝12时取等号．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n min ＝4. 反思与感悟 当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值． 跟踪训练4 设x ，y 都是正数，且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值．解 ∵1x ＋2y＝3，∴13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝1. ∴2x ＋y ＝(2x ＋y )×1＝(2x ＋y )×13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋y x ＋4x y ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋2y x ·4x y ＝43＋43＝83. 当且仅当y x＝4xy，即y ＝2x 时，取等号．又∵1x ＋2y ＝3，∴x ＝23，y ＝43.∴2x ＋y 的最小值为83.1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2 答案 B解析 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，目标函数z ＝4x ＋2y 可转化为y ＝－2x ＋z2，作出直线y ＝－2x 并平移，显然当其过点A 时，纵截距z2最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，y ＝1，得A (2,1)，所以z max ＝4×2＋2×1＝10.2．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为{x |－2<x <－14}，则a ＋b 等于( )A ．－18B ．8C ．－13D ．1 答案 C解析 ∵－2和－14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋－14＝－ba，－－14＝－2a，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－9，∴a ＋b ＝－13.3．设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1aa －b的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D解析a2＋1ab＋1a a －b＝a2－ab＋ab＋1ab＋1a a－b＝a(a－b)＋1a a －b ＋ab＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，即a＝2，b＝22时取等号．1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根．按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集．3．二元一次不等式表示的平面区域的判定对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点．4．求目标函数最优解的方法通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．5．运用基本不等式求最值时把握三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．40分钟课时作业一、选择题1．若a<0，－1<b<0，则有( )A．a>ab>ab2B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2D．ab>ab2>a答案 D解析∵a<0，－1<b<0，∴ab>0，ab2<0.∴ab >a ，ab >ab 2. ∵0<1＋b <1,1－b >1>0，∴a －ab 2＝a (1－b 2)＝a (1＋b )(1－b )<0， ∴a <ab 2， ∴a <ab 2<ab .2．原点和点(1,1)在直线x ＋y ＝a 两侧，则a 的取值范围是( ) A ．a <0或a >2 B ．0<a <2 C ．a ＝0或a ＝2 D ．0≤a ≤2答案 B解析 原点和点(1,1)在直线x ＋y ＝a 两侧，将原点(0,0)和点(1,1)代入x ＋y －a 中，结果异号，即－a (1＋1－a )<0，故0<a <2. 3．不等式x －2x ＋3≤2的解集是( ) A ．{x |x <－8或x >－3} B ．{x |x ≤－8或x >－3} C ．{x |－3≤x ≤2} D ．{x |－3<x ≤2}答案 B解析 原不等式可化为x －2x ＋3－2≤0，即－x －8x ＋3≤0，即(x ＋3)(x ＋8)≥0且x ≠－3，解得x ≤－8或x >－3.4．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx －1的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．[1，＋∞)答案 B解析 可行域如图阴影部分，yx －1的几何意义是区域内的点与点(1,0)连线的斜率，易求得y x －1>1或yx －1<－1.5．如果a ∈R ，且a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( ) A ．a 2>a >－a 2>－a B ．－a >a 2>－a 2>a C ．－a >a 2>a >－a 2D ．a 2>－a >a >－a 2答案 B解析 ∵a 2＋a <0， ∴a (a ＋1)<0，∴－1<a <0. 取a ＝－12，可知－a >a 2>－a 2>a .6．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．8 答案 C 解析 y ＝x －4＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1－5， 因为x >－1，所以x ＋1>0， 所以y ≥2x ＋9x ＋1－5＝2×3－5＝1， 当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立， 此时a ＝2，b ＝1， 所以a ＋b ＝3. 二、填空题7．已知x ，y ∈(0，＋∞)，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．答案 3解析 因为x >0，y >0，x 3＋y4＝1，所以x 3＋y 4≥2x 3·y4＝ xy3(当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时取等号)， 即xy3≤1，解得xy ≤3，所以xy 的最大值为3.8．若关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，则m 的取值范围是________． 答案 [25，＋∞)解析 令f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7.∵方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，∴由二次函数图象得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m －2－m －，m －116＞1，f ＞0解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m ＞17，m ∈R ，∴m 的取值范围是{m |m ≥25}． 9．函数y ＝x ＋22x ＋5的最大值是________． 答案24解析 设t ＝x ＋2，从而x ＝t 2－2(t ≥0)， 则y ＝t2t 2＋1. 当t ＝0时，y ＝0； 当t >0时，y ＝12t ＋1t≤122t ·1t＝24， 当且仅当2t ＝1t ，即t ＝22时等号成立．即当x ＝－32时，y max ＝24.10．已知a >0，b >0且a ≠b ，则a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小关系是________________．答案 a 2b ＋b 2a>a ＋b解析 ∵(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)(1b －1a )＝(a 2－b 2)a －b ab ＝a －b 2a ＋b ab，又∵a >0，b >0，a ≠b ， ∴(a －b )2>0，a ＋b >0，ab >0，∴(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )>0，∴a 2b ＋b 2a>a ＋b .三、解答题11．已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . 证明 ∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .12．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？解 设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨，获得利润z 万元．依题意可得约束条件⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图．利润目标函数z ＝6x ＋12y ，由几何意义知，当直线l ：z ＝6x ＋12y 经过可行域上的点M 时，z ＝6x ＋12y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ＝300，4x ＋5y ＝200，得x ＝20，y ＝24，即M (20,24)．所以生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润． 13．已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，b ≥a ＋c ，求b a的最大值．解 题设条件可转化为⎩⎪⎨⎪⎧3a c ＋bc ≥5，a c ＋bc ≤4，b c －a c ≥1，记x ＝a c ，y ＝bc，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≥5，x ＋y ≤4，y －x ≥1，且目标函数为z ＝y x，它表示区域内的点与坐标原点连线的斜率．上述区域表示第一象限内三直线围成的如图所示的三角形及其内部．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝5，x ＋y ＝4，得交点坐标为C (12，72)，此时z max ＝7，即b a的最大值为7.。
2019-2020学年高中数学 第三章《不等式》复习课导学案新人教版必修5
2019-2020学年高中数学 第三章《不等式》复习课导学案新人教版必修5【知识要点】1.不等关系:参考教材73页的8个性质;2. 一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程2之间的关系：3.一元二次不等式恒成立情况小结： 20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔__________⎧⎨⎩；20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔__________⎧⎨⎩． 4. 一般地，直线y kx b =+把平面分成两个区域：y kx b >+表示直线上方的平面区域；y kx b <+表示直线下方的平面区域．说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域；y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域．（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．5. （1）重要不等式：如果__________，那么ab b a 222≥+（当且仅当________时取“=”）；（2）基本不等式：如果______________≤2a b +（当且仅当________时取“=”）． 【课中导学】例１． 解下列不等式：（1）22740x x +->； （2）2430x x -+->； （3）2(1)10()ax a x a R -++<∈.例2. 已知,x y 满足条件675232x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩.（1）求目标函数3z x y =+的最大值；（2）求目标函数3z x y =-的最大值；（3）若,x y 均为整数，求目标函数3z x y =+的最大值。
例3. （1）求函数222(1)1x x y x x -+=<-的最大值；（2）求函数1(13)(0)3y x x x =-<<的最大值； （3）求函数4sin sin y x x=+，(0,)x π∈的最小值【总结】【反馈检测】1.如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ）（A ）11a b< （B< （C ）22a b < （D ）||||a b > 2.已知34x <<,12y <<,写出下列式子的取值范围：(1)x y +∈ ；(2)x y -∈ ；（3）xy ∈ ；（4）x y∈ . 3.若一元二次不等式23208kx kx x +-<对一切实数都成立，的解集是φ，则实数k 的取值范围是____________.4.设,x y 为正数，则()14x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为（ ）. （ A ） 6 ( B ) 9 （ C ） 12 （ D ） 155. 设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的值是最大值为12，则（1）最优解是____________；*（2）23a b +的最小值为__________.6.设函数)32lg()(-=x x f 的定义域为集合M ，函数34)(2+-=x x x g 的定义域为集合N ．求：（1）集合M ，N ；（2）集合N M ，N M ．7. 围建一个面积为3602m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ,新墙的造价为180元/m ,设利用的旧墙的长度为x (单位：元). （Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.8、某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C 。
高中数学 第三章 不等式复习教案 新人教A版必修5
第三讲 不等式一、 核心要点 1、 不等式的性质（1）不等式的基本性质：（同向不等式可加不可减，可乘不可除）（尽量减少加和乘的次数）A 、对称性：a b b a <⇔>；B 、传递性：c a c b b a >⇔>>,；C 、可加性：c b c a b a +>+⇔>；D 、可乘性：bc ac c b a bc ac c b a <⇔<>>⇔>>0,;0,；E 、加法法则：d b c a d c b a +>+⇔>>,;F 、乘法法则：bd ac d c b a >⇔>>>>0,0;G 、乘方法则：)2,(0≥∈>⇔>>n N n b a b a nn ; H 、开方法则：)2,(0≥∈>⇔>>n N n b a b a n n.（2）比较两数或两式的大小方法：（作差法步骤：作差—变形——定号）A 、作差法：对于任意b a ,，①b a b a >⇔>-0；② b a b a =⇔=-0；③ b a b a <⇔<-0；B 、作商法：设0,0>>b a ，则①b a b a >⇔>1；② b a b a =⇔=1；③ b a ba<⇔<1. 备注1：不等式作差时常用到因式分解、配方法、通分、有理化等变形技巧;备注2：对于比较大小时，要考虑各种可能情况，对不确定的因素进行分类讨论；备注3：平方差公式：))((2233b ab a b a b a ++-=-；平方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+. 2、 不等式的解法；（1）一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 及)0(02><++a c bx ax 的解法：（0<a 转化为0>a ） A 、若方程02=++c bx ax 的0>∆且两实根分别为)(,2121x x x x <，则不等式02>++c bx ax 的解集为}|{21x x x x x ><或，不等式02<++c bx ax 的解集为}|{21x x x x <<；B 、若方程02=++c bx ax 的0=∆且两相等实根分别为21x x =，则不等式02>++c bx ax 的解集为}|{1x x x ≠，不等式02<++c bx ax 的解集为Φ；C 、若方程02=++c bx ax 的0<∆，则不等式02>++c bx ax 的解集为R ，不等式02<++c bx ax 的解集为Φ.（2）分式不等式的解法：化分式不等式为整式不等式进行求解（具体见模块）； （3）高次不等式的解法：序轴标根法（过程见模块）；（4）无理不等式的解法：平方法化无理不等式为有理不等式（具体见模块）； （5）绝对值不等式的解法：分类讨论或平方法（具体见模块）. 3、 基本不等式：如果+∈R b a ,，则ab ba ≥+2（当且仅当b a =时取“=”）（一正二定三相等）.（1）特例：0>a ，21≥+a a ；2≥+abb a （b a ,同号）. （2）变形：①2)(222b a b a +≥+；②222b a ab +≤；③2)(2b a ab +≤；（3）扩展：),(2211222+∈+≤+≤≤+R b a b a b a ab ba .（备注：调和≤几何≤算术≤平方）. 4、 均值定理：已知+∈R y x ,.（1）如果S y x =+（定值），则4)2(22S y x xy =+≤（当且仅当y x =时取“=”）“和定积最大”. （2）如果P xy =（定值），则P xy y x 22=≥+（当且仅当y x =时取“=”）“积定和最小”. 5、 判断二元一次不等式（组）表示平面区域的方法—“选点法”：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.6、 线性规划中常见代数式的几何意义：（1）22y x +表示点),(y x 与原点)0,0(之间的距离；（2）22)()(b y a x -+-表示点),(y x 与点),(b a 之间的距离；（3）x y表示点),(y x 与原点)0,0(连线的斜率； （4）ax b y --表示点),(y x 与点),(b a 连线的斜率.二、考点突破考点一：不等式的基本性质： 题型一：不等式的性质：例1、如果c b a ,,满足a b c <<且0<ac ，那么下列选项中不一定成立的是（ ） A 、ac ab > B 、0)(>-a b cC 、22ab cb <D 、0)(<-c a ac练1：设10<<<a b ，则下列不等式成立的是（ ）A 、12<<b abB 、0log log 2121<<a bC 、222<<abD 、12<<ab a练2：已知+∈R m b a ,,，并且b a <，那么一定成立的是（ ） A 、bam b m a <++ba> C 、bam b m a >-- D 、abm b m a >-- 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式：例2、若0,>b a 且b a ≠，试比较33b a +与22ab b a +的大小.解：由于222222233))(()2)(()())(()()(b a b a b ab a b a b a ab b ab a b a ab b a b a -+=+-+=+-+-+=+-+ 又0,>b a 且b a ≠，所以0))((2>-+b a b a ，所以2233ab b a b a +>+.练3：若0<<y x ，试比较))((22y x y x -+与))((22y x y x +-的大小.答案：)(2))(())(())(())((2222222y x xy y x y x y x y x y x y x y x y x --=+---+=+---+由于0<<y x ，所以0<-y x 且02<-xy ，故0)(2>--y x xy ，所以))(())((2222y x y x y x y x +->-+.练习4：设0,0>>b a 且b a ≠，试比较b a b a 与a b b a 的大小.综上所述，a b b a b a b a >.题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围：例3、（10辽宁理）已知41<+<-y x 且32<-<y x ，则y x z 32-=的取值范围是 . )8,3(所以8323<-<y x ，故y x z 32-=的取值范围是)8,3(.练习2：设bx ax x f +=2)(，且4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f ，求)2(-f 的取值范围.解：设)1()1()2(nf mf f +-=-，则)()(24b a n b a m b a ++-=-，即b n m a n m b a )()(24--+=-，于是得⎩⎨⎧=-=+24n m n m ，得1,3==n m .所以)1()1(3)2(f f f +-=-.因为4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f ，所以10)1()1(35≤+-≤f f ，故10)2(5≤-≤f .练习3：（10江苏）设y x ,为实数，满足94,8322≤≤≤≤y x xy ，则43yx 的最大值是 . 27考点二、一元二次不等式及其解法： 题型一：一元二次不等式的定义：例1、下列不等式中，一元二次不等式的个数为（ ） ①013)1(2<+-+x x m ；② 22>-x x；③0652≥++-x x ；④ 0)1)((<+++a x a x .A 、1B 、2C 、3D 、4题型二：简单一元二次不等式的求解： 例2、求下列一元二次不等式的解集：（1）652>-x x ；（2）01442≤+-x x ；（3）672>+-x x ；（4）0962>-+-x x .解：（1）由652>-x x ，得0652>--x x . 又方程0652=--x x 的两根是1-=x 或6=x ，所以原不等式的解集为}61|{>-<x x x 或.（3）由672>+-x x ，得0672<+-x x ，而0672=+-x x 的两个根是1=x 或6=x . 所以不等式0672<+-x x 的解集为}61|{<<x x .（4）原不等式可化为0962<+-x x ，即0)3(2<-x ，所以不等式的解集为Φ. [题后感悟] 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)根据图象写出不等式的解集. 练1：求下列不等式的解集： （1）02322<++-x x ； （2）0622<-+-x x ； （3）01442>++x x ；（4）x x 10252≤+.练2：设集合}73)1(|{2+<-=x x x A ，则Z A I 中有 个元素. 6 练3：解下列不等式：（1）01522>-+x x ；（2）122->x x ；（3）222-<x x . 答案：（1）}35|{>-<x x x 或；（2）}1,|{≠∈x R x x 且；（3）Φ. 题型三：解含参数的一元二次不等式：例3、解关于x 的不等式0222<-+a ax x .（因式分解—比较两根大小—分类讨论求解）解：原不等式可化为0))(2(<-+a x a x ，对应的一元二次方程的根为a x a x 2,21-==， （1）当0>a 时，21x x >，不等式的解集为}2|{a x a x <<-.（2）当0=a 时，原不等式化为02<x ，无解.（3）当0<a 时，21x x <，不等式的解集为}2|{a x a x -<<.综上所述，原不等式的解集为：0>a 时，}2|{a x a x <<-；0=a 时，Φ；0<a 时，}2|{a x a x -<<. [题后感悟] 含参数的不等式的解题步骤为：(1)将二次项系数转化为正数；(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)； (3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小)．另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式． 练4：解关于的不等式：（1）0)(322>++-a x a a x ； （2）04)1(22>++-x a ax .答案：（1）原不等式0)(322>++-a x a a x 可化为0))((2>--a x a x .①当0<a 时，2a a <，所以原不等式的解集为}|{2a x a x x ><或； ②当0=a 时，2a a =，所以原不等式的解集为}0,|{≠∈x R x x 且； ③当10<<a 时，2a a >，所以原不等式的解集为}|{2a x a x x ><或； ④当1=a 时，12==a a ，所以原不等式的解集为}1,|{≠∈x R x x 且； ⑤当1>a 时，，所以原不等式的解集为}|{2a x a x x ><或.（2） Ⅰ）当0=a 时，原不等式可化为042>+-x ，解得2<x ，所以原不等式的解集为}2|{<x x ；练5：解不等式02)2(2>---x m mx .答案：0)1)(2(02)2(2>-+⇒>---x mx x m mx（1）当0=m 时，原不等式转化为0)1(2>-x ，即01>-x ，得不等式的解集为}1|{>x x .考点三、一元二次不等式的应用：题型一：不等式的恒成立问题：例1、已知不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于所有的实数x 都成立，求实数a 的取值范围. 解：若0=a ，则原不等式可化为01<--x ，即1->x ，不合题意，故0≠a .令1)1()(2-+-+=a x a ax x f ，因为原不等式对任意R x ∈都成立，所以二次函数)(x f 的图像在x 轴的下方.[题后感悟] 不等式恒成立问题方法总结：(1) )0(02≠>++a c bx ax 恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ；(2) )0(02≠<++a c bx ax 恒成立⎩⎨⎧<∆<⇔00a ；练1：若关于x 的不等式0222>++x ax 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.答案：当0=a 时，原不等式可化为022>+x ，其解集不为R ，故0=a 不满足题意，舍去；练2：若关于x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.答案：（1）当012=-a ，即1±=a 时，（2）当012≠-a ，即1±≠a 时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎨⎧<-+-=∆<-0)1(4)1(01222a a a ，练3：若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 答案：因为2=a 时，原不等式为04<-，所以2=a 时成立.当2≠a 时，由题意得⎩⎨⎧<∆<- 002a ，即⎩⎨⎧<----< 0)4)(2(4)2(4 22a a a a ，解得22<<-a . 综上两种情况可知22≤<-a .题型二：二次方程、二次函数、二次不等式的关系：例2、若不等式02≥++c bx ax 的解集为}21|{≤≤-x x ，求不等式02<++a bx cx 的解集.(1) 给出一元二次不等式的解集，则可知二次项的符号和一元二次方程的根，由根与系数的关系可知c b a ,,之间的关系；练4：已知不等式022>++bx ax 的解集为}11|{<<-x x ，求022<++a bx x 的解集 所以320)2)(3(060122202222<<-⇔<+-⇔<--⇔<--⇔<++x x x x x x x a bx x .则不等式022<++a bx x 的解集为}32|{<<-x x .题型三：一元二次不等式的实际应用：例3、汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速h km /40的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过m 12，乙车的刹车距离略超过m 10，又知甲、乙两种车型的刹车距离)(m s 与车速)/(h km x 之间分别有如下关系：22005.005.001.01.0x x s x x s +=+=乙甲，.试判断甲、乙两车有无超速现象，并根据所学数学知识给出判断的依据．解：由题意，对于甲车，有1201.01.02>+x x ， 即01200102>-+x x .解得30>x 或40-<x (舍去).这表明甲车的车速超过h km /30，但根据题意刹车距离略超过m 12，由此估计甲车不会超过限速h km /40. 对于乙车，有10005.005.02>+x x ，即02000102>-+x x .解得40>x 或50-<x (舍去).这表明乙车的车速超过h km /40，超过规定限速. [题后感悟] (1)解不等式应用题，一般可按如下四步进行： ①阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系； ②引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)； ③解不等式(或求函数最值)； ④回扣实际问题．考点四、分式不等式、高次不等式及无理不等式的解法： 题型一：分式不等式的解法：化分式不等式为整式不等式 （1）0)()(0)()(>⋅⇔>x g x f x g x f ； （2）0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ； （3）⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥ 0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f ； （4）⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f 例1、（12重庆理）不等式0121≤+-x x 的解集为（ ） A 、]1,21(-B 、]1,21[-C 、),1[)21,(+∞--∞YD 、),1[]21,(+∞--∞Y练2：不等式31≤+x x 的解集是 . }210|{≥<x x x 或 解析：21000)12(01202103131≥<⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒≥-⇒≤-⇒≤-+⇒≤+x x x x x x x x x x x x x 或.题型二：高次不等式的解法：（序轴标根法）序轴标根法要点：从右向左，从上到下，奇穿偶不穿（前提：保证因式分解后x 的系数为正）. 例2、解不等式：0)2)(1)(1)(2(≤--++x x x x解：设)2)(1)(1)(2(--++=x x x x y ，则0=y 的根分别是2,1,1,2--，将其分别标在数轴上，并画出如右图所示的示意图：所以原不等式的解集是}21,12|{≤≤-≤≤-x x x 或.练3：（10全国Ⅱ）不等式0162>---x x x 的解集为（ ） A 、}32|{>-<x x x 或B 、}312|{<<-<x x x 或C 、}312|{><<-x x x 或D 、}3112|{<<<<-x x x 或练4：不等式02322>++-x x x 的解集是 . ),2()1,2(+∞--Y 题型三：无理不等式的解法：（化无理不等式为有理不等式）（1）⎩⎨⎧>≥⇔>)()(0)()()(x g x f x g x g x f ；（2）⎩⎨⎧<≥⇔>0)(0)()()(x g x f x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)( 0)(0)(x g x f x g x f . 例3、解不等式125->-x x .解：原不等式等价于Ⅰ：⎩⎨⎧<-≥- 01025x x 或Ⅱ：⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)1(2501025x x x x ， 解Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧<≤125x x ，解Ⅱ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥≤22 1 25x x x ，即1<x 或21<≤x ，所以2<x ，则原不等式的解集为}2|{<x x . 练5：解不等式0231≤---x x 的解集.解：移项231-≤-x x ，则⎩⎨⎧-≥-≥-x x x 123 01⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≤4331x x ⇒143≤≤x ，练6：解不等式（1）x x x 211322+>+-；（2）x x x 211322+<+-.解：（1）原不等式等价于Ⅰ：⎩⎨⎧<+≥+- 02101322x x x 或Ⅱ：⎪⎩⎪⎨⎧+>+-≥+≥+-222)21(132 0210132x x x x x x则原不等式的解集为}0|{<x x .考点五：绝对值不等式的解法：（选修4—5） （1）a x a a x a a x <<-⇔<⇔><22)0(||； （2）a x a x a x a a x -<>⇔>⇔>>或22)0(||；（3）a m x a m a m x a a a m x +<<-⇔<-<-⇔><-)0(||；（4）a m x a m x a m x a m x a a m x -<+>⇔-<->-⇔>>-或或)0(||. 例1、（08四川文科）不等式2||2<-x x 的解集为（ ） A 、)2,1(-B 、)1,1(-C 、)1,2(-D 、)2,2(-解析：)2,1(210202222||2222-∈⇔<<-∈⇔<-->+-⇔<-<-⇔<-x x R x x x x x x x x x 且且.练1：（04全国）不等式3|1|1<+<x 的解集为（ ） A 、)2,0(B 、)4,2()0,2(Y -C 、)0,4(-D 、)2,0()2,4(Y --解析： 24201133113|1|1-<<-<<⇔-<+<-<+<⇔<+<x x x x x 或或.练2：（07广东）设函数3|12|)(++-=x x x f ，若5)(≤x f ，则x 的取值范围是 . ]1,1[- 解析：21222|12|53|12|5)(+-≤-≤-⇔+-≤-⇔≤++-⇔≤x x x x x x x x f⎩⎨⎧≤≤-⇔≤-≥⇔⎩⎨⎧+-≤--≤-⇔1111212 122x x x x x x x 练3：（09山东）不等式0|2||12|<---x x 的解集为 . )1,1(-解析：0)2()12(|2||12||2||12|0|2||12|2222<---⇔-<-⇔-<-⇔<---x x x x x x x x110)]2()12)][(2()12[(<<-⇔<----+-⇔x x x x x .练4：若不等式a x x >-+-|3||4|对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.解：不等式a x x >-+-|3||4|对一切实数x 恒成立，由绝对值的几何意义可知，|3||4|-+-x x 表示数轴上点x 到3和4的距离之和，那么对任意R x ∈恒成立，显然1|)3||4(|min =-+-x x ，又a x x >-+-min |)3||4(|，故1<a ，所以实数a 的取值范围是)1,(-∞.考点六：基本不等式和均值定理：（一正二定三相等） 题型一：通过加减项配凑成基本不等式： 例1、已知1>x ，求11-+x x 的最小值以及取得最小值时x 的值.练1：已知5<x ，求函数124+-=x y 的最大值.得132=+-≤y ，所以函数的最大值为1.练2：求函数)01(112>->+++=a x x x ax y 且的最小值.练3：求41622++=x x y 的最大值.题型二：“1”的变换： 例2、已知0,0>>y x ，且191=+yx ，求y x +的最小值.练4：已知2,0,0=+>>b a b a ，则b a y 41+=的最小值是 .题型三：转化与方程消元求二次函数最值：例3、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则：（1）ab 的取值范围是 ；),9[+∞（2）b a +的取值范围是 . ),6[+∞ 0)3(2=+-+t a t a ,04)3(2≥--=∆t t ，得9≥t 或1≤t （舍）.（2）判别式法，令)0(>=+t t b a ，则a t b -=，代入原式得3)(+=-t a t a ，整理得032=++-t at a ，0)3(42≥+-=∆t t ，解得6≥t 或者2-≤t （舍）.备注：以上（1）（2）也可利用基本不等式及其变形解决，或者消元代入求最值解决. 练5：若0,>y x 满足xy y x =++62，则xy 的最小值是 . 18 练6：若0,>y x 满足2=++xy y x ，则y x +的最小值是 .练7：（10重庆）已知0,>y x 满足822=++xy y x ，则y x 2+的最小值是（ ） A 、3B 、4C 、29D 、211 考点七：简单线性规划问题：题型一：已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题：例1、设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤- 1122y x y x y x ，求y x z 32+=的最大值.题型二：已知线性约束条件，探求分式目标关系最值问题： 例2、设变量y x ,满足例1中的约束条件，求112++=y x z 的取值范围.题型三：已知线性约束条件，探求平方和目标关系最值问题：例3、设变量y x ,满足例1中的约束条件，求22)2(-+=y x z 的最值，以及此时对应点的坐标.题型四：已知线性约束条件，探求区域面积与周长问题：例4、设变量y x ,满足例1中的约束条件，试求所围区域的面积与周长.题型五：已知最优解，探求目标函数参数问题：例5、设变量y x ,满足例1中的约束条件，且目标函数y ax z +=（其中0<a ）仅在)4,3(处取得最大值，求a 的取值范围.题型六：已知最优解，探求约束条件参数问题：例6、设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≤- 1 22y x m y x y x ，且目标函数y x z 32+=在)6,4(处取得最大值，求m ，例7、已知y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+>--01553 0632 032y x y x y x ，求使y x +取得最大值的整数y x ,.解：不等式组的解集为三直线01553:,0632:,032:321=--=-+=--y x l y x l y x l 所围成的三角形内部（不含边界），设1l 与2l ，1l 与3l ，2l 与3l 的交点分别为C B A ,,， 则的坐标分别为)1912,1975(),3,0(),43,815(--C B A ， 作一组平行线t y x l =+:平行于0:0=+y x l ，当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大， 所以当l 过C 点时最大为1963，但不是整数解，又由19750<<x 知x 可取3,2,1， 当1=x 时，代入原不等式组得2-=y ，所以1-=+y x ；当2=x 时，得0=y 或1-，所以2=+y x 或1；当3=x 时，1-=y ，所以2=+y x ，故y x +的最大整数解为⎩⎨⎧==02y x 或⎩⎨⎧-==13y x .ABCxyO1l 3l2l练习：线性规划问题综合练习练1：若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤2 2 2y x y x ，则y x z 2+=的取值范围是（ ）A 、]6,2[B 、]5,2[C 、]6,3[D 、]5,3(练2：满足2||||≤+y x 的点),(y x 中整数（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个B 、10个C 、13个D 、14个练3：已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+033042022y x y x y x ，则22y x z +=的最大值和最小值分别是（ ）A 、1 , 13B 、2 , 13C 、54, 13D 、552, 13 练4：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+≥-+ 2 03062y y x y x 表示的平面区域的面积为（ ）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大练5：已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≥+ 3055x y x y x ，使)0(>+=a ay x z 取得最小值的最优解有无数个，则的值为（ ）A 、3-B 、3C 、1-D 、1练6：已知3|2|<+-m y x 表示的平面区域包含点)0,0(和)1,1(-，则m 的取值范围是（ ） A 、)6,3(-B 、)6,0(C 、)3,0(D 、)3,3(-练7：满足线性约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0 03232y x y x y x 的目标函数y x z +=的最大值是（ ）A 、1B 、23 C 、2D 、3练8：若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+01032033my x y x y x ，且y x +的最大值为9，则实数=m （ ）A 、2-B 、1-C 、1D 、2练9：已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≥-+013042022y x y x y x ，试求11++=x y z 的最大值和最小值.结合图像可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即3max ==MB k z ，此时2,0==y x ；练10：设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥ 222 x y x x y ，则y x z 3-=的最小值为 . 8-练11：若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥- 022 0a y x y y x y x 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 .练12：已知平面区域D 由以)1,3()2,5()3,1(C B A 、、，为顶点的三角形内部和边界组成，若在区域D 上有无穷多个点),(y x 可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m . 1。
高中数学 第三章 不等式学案 新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学案
第三章不等式3.1不等关系与不等式一、【学习目标】知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
二、【教学重点、难点】教学重点：用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
教学难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。
三、【教学过程】1.课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
自习课本p72-p742.讲授新课1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：v40引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。
高二数学人教A必修5章末检测：第三章 不等式 pdf版含解析
( ) ( ) ( ) ( ) 1
2
1
2
0，
0，
0，
0，
A. a1 B. a1 C. a3 D. a3
答案 B
解析 由(1－aix)2<1，得 1－2aix＋(aix)2<1，
即 aix(aix－2)<0.又 a1>a2>a3>0，
2
22
2
∴0<x<ai，即 x<a1，x<a2且 x<a3.
222 ∵a3>a2>a1>0，
章末检测
一、选择题
1．设 a，b，c，d∈R，且 a＞b，c＞d，则下列结论中正确的是( )
A．ac>bd
C．a＋c>b＋d 答案 C
B．a－c>b－d ab
D.d>c
解析 ∵a>b，c>d，∴a＋c>b＋d.
2．设 M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )
A．M >N B．M ≥N C．M<N D．M≤N
解析 由题意知 y＝ 2 ，所以xz＝ 4xz ＝ 4xz ＋2≥ 4xz ＋2＝2＋2＝3.当
y2 且仅当 x2＝9z2 时等号成立，所以xz的最小值为 3.
5．方程 x2＋(m－2)x＋5－m＝0 的两根都大于 2，则 m 的取值范围是( )
A．(－5，－4]
B．(－∞，－4]
C．(－∞，－2)
答案 B 解析 方程 x2－ax－12a2＝0 的两根为 4a，－3a，
且 4a<－3a，∴4a<x<－3a. y2
4．已知 x，y，z∈(0，＋∞)，且满足 x－2y＋3z＝0，则xz的最小值为( ) A．3 B．6 C．9 D．12
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 不等式章末检测（B ）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若a <0，－1<b <0，则有( )A ．a >ab >ab 2B ．ab 2>ab >aC ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a2．已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e 3．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N4．不等式x 2－ax －12a 2<0(其中a <0)的解集为( ) A ．(－3a,4a ) B ．(4a ，－3a ) C ．(－3,4) D ．(2a,6a )5．已知a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式中恒成立的是( )A ．a 2>b 2B ．(12)a <(12)bC ．lg(a －b )>0 D.ab>16．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3] 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]8．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a ＋1b≤1 C.ab ≥2 D.1a 2＋b 2≤189．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ＋2≥0，则目标函数z ＝|x ＋3y |的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定11．设M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1，且a ＋b ＋c ＝1 (其中a ，b ，c 为正实数)，则M 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，18B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，1 C ．[1,8) D ．[8，＋∞)12．函数f (x )＝x 2－2x ＋1x 2－2x ＋1，x ∈(0,3)，则( )A ．f (x )有最大值74B ．f (x )有最小值－113．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________________________________________________________________________．14．对任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知a >0，b >0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a与a ＋b 的大小．18．(12分)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)．求证：(a a ＋b )·(b b ＋c )·(c c ＋a )≤18.19．(12分)若a <1，解关于x 的不等式axx －2>1.20．(12分)求函数y ＝x ＋22x ＋5的最大值．21．(12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B 点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？(2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．22．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、第三章 不等式 章末检测答案(B)1．D [∵a <0，－1<b <0，∴ab >0，ab 2<0.∴ab >a ，ab >ab 2.∵a －ab 2＝a (1－b 2)＝a (1＋b )(1－b )<0，∴a <ab 2.∴a <ab 2<ab .] 2．C3．A [∵M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝(2a 2－4a )－(a 2－2a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0.∴M >N .]4．B [∵x 2－ax －12a 2<0(a <0) ⇔(x －4a )(x ＋3a )<0 ⇔4a <x <－3a .]5．B [取a ＝0，b ＝－1，否定A 、C 、D 选项． 故选B.]6．D [∵x >1，∴x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －＋1≥2x －1x －1＋1＝3.∴a ≤3.] 7．A [f (x )≥x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0－x ＋2≥x2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2－x －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0x 2＋x －2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0－1≤x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0－2≤x ≤1⇔－1≤x ≤0或0<x ≤1⇔－1≤x ≤1.]8．D [取a ＝1，b ＝3，可验证A 、B 、C 均不正确， 故选D.]9．C [可行域如阴影，当直线u ＝x ＋3y 过A (－2，－2)时，u 有最小值(－2)＋(－2)×3＝－8；过B (23，23)时u 有最大值23＋3×23＝83.∴u ＝x ＋3y ∈[－8，83]．∴z ＝|u |＝|x ＋3y |∈[0,8]．故选C.]10．B [设甲用时间T ，乙用时间2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T＝s 2a ＋s2b ＝s 2a ＋s 2b ＝s ×a ＋b 2ab ，ta ＋tb ＝s ⇒2t ＝2s a ＋b， ∴T －2t ＝s a ＋b 2ab －2s a ＋b ＝s ×a ＋b 2－4ab 2ab a ＋b ＝s a －b 22ab a ＋b>0，故选B.]11．D [M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c c －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋b c ≥2b a ·c a ·2a b ·c b ·2a c ·bc＝8. ∴M ≥8，当a ＝b ＝c ＝13时取“＝”．]12．D [∵x ∈(0,3)，∴x －1∈(－1,2)，∴(x －1)2∈[0,4)，∴f (x )＝(x －1)2＋1x －2－1≥2x －2·1x －2－1＝2－1＝1.当且仅当(x －1)2＝1x －2，且x ∈(0,3)，即x ＝2时取等号，∴当x ＝2时，函数f (x )有最小值1.] 13．－2解析 ∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2. 14．－2<a ≤2解析 当a ＝2时，－4<0恒成立，∴a ＝2符合． 当a －2≠0时，则a 应满足： ⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0Δ＝a －2＋a －解得－2<a <2. 综上所述，－2<a ≤2. 15．5≤a <7解析 先画出x －y ＋5≥0和0≤x ≤2表示的区域，再确定y ≥a 表示的区域．由图知：5≤a <7. 16．20解析 该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为(400x·4＋4x )万元，400x ·4＋4x ≥160，当1 600x＝4x 即x ＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．17．解 ∵(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a－a＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)(1b －1a)＝(a 2－b 2)a －b ab ＝a －b 2a ＋bab又∵a >0，b >0，a ≠b ，∴(a －b )2>0，a －b >0，ab >0， ∴(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )>0，∴a 2b ＋b 2a>a ＋b .18．证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0， c ＋a ≥2ac >0，∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc >0.∴abc a ＋b b ＋c c ＋a ≤18即(a a ＋b )·(b b ＋c )·(c c ＋a )≤18. 当且仅当a ＝b ＝c 时，取到“＝”．19．解 不等式ax x －2>1可化为a －x ＋2x －2>0.∵a <1，∴a －1<0，故原不等式可化为x －21－ax －2<0.故当0<a <1时，原不等式的解集为{x |2<x <21－a}，当a <0时，原不等式的解集为{x |21－a<x <2}． 当a ＝0时，原不等式的解集为∅.20．解 设t ＝x ＋2，从而x ＝t 2－2(t ≥0)，则y ＝t2t 2＋1. 当t ＝0时，y ＝0；当t >0时，y ＝12t ＋1t≤122t ·1t＝24. 当且仅当2t ＝1t ，即t ＝22时等号成立．即当x ＝－32时，y max ＝24.21．解 (1)设DN 的长为x (x >0)米， 则AN ＝(x ＋2)米． ∵DN AN ＝DC AM ，∴AM ＝x ＋x，∴S AMPN ＝AN ·AM ＝x ＋2x，由S AMPN >32，得x ＋2x >32.又x >0，得3x 2－20x ＋12>0，解得：0<x <23或x >6，即DN 长的取值范围是(0，23)∪(6，＋∞)．(2)矩形花坛AMPN 的面积为y ＝x ＋2x ＝3x 2＋12x ＋12x＝3x ＋12x＋12≥23x ·12x＋12＝24，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24.故DN 的长为2米时，矩形AMPN 的面积最小， 最小值为24平方米．22．解 设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨，获得利润z 万元．依题意可得约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤3604x ＋5y ≤2003x ＋10y ≤300x≥0y ≥0作出可行域如图.利润目标函数z ＝6x ＋12y ，由几何意义知，当直线l ：z ＝6x ＋12y 经过可行域上的点M 时，z ＝6x ＋12y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ＝3004x ＋5y ＝200，得x ＝20，y ＝24，即M (20,24)．答 生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润．。