2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质课件苏教版选修

合集下载

2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.1 抛物线及其标准方

『导师点睛』抛物线的实际应用问题，关键系，将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐得抛物线方程，再把待求问题转化为抛物线的几
〔跟踪练习4〕河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m 为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面高0.75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距小船开始不能通航？ [思路分析] 建立平面直角坐标系得出抛物线抛物线方程分析求解． [解析] 如图所示，以拱桥的拱顶为原点，
根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，
则点M的横坐标为3．
(2)如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1 程x＝－1．
由题设，直线AB的方程为：y＝x－1．
代入抛物线方程y2＝4x，整理得：x2－6x＋1＝
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知， |AF|等于点A到准线x＝－1的距离|AA′|，即|AF|＝|AA′|＝x1＋1，同理|BF|＝x2＋1， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8．
『规律总结』求抛物线标准方程的方法：
①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数
②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或方程为y2＝mx或x2＝my．
已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形四种抛物线的图象及开口方向确定．
以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平
设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)，由题意可知点 B(4，－5)在＝85，得 x2＝－156y．
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为 AA′，则 A(2，yA)，由 22＝－156yA，得 yA＝－54．又知船面露出水面上的部分高为 0.75 m，所以 h＝|yA|＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距 2 m 时，小船开始不

2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线的标准方程课件苏教版选修1_1

引申探究若将本例(4)中条件改为y＝ax2(a≠0)，结果又如何？解答
1 y＝ax 可变形为 x ＝ay，
2 2
1 1 所以焦点坐标为(0，4a)，准线方程为 y＝－4a.
反思与感悟
如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判
断抛物线的对称轴和开口方向．一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)
图形
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
焦点坐标
p ， 0 2 ______
p －，0 2 ________
p 0， 2 _________
答案
p 是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线方程中一次项决定
开口方向．
思考 2
已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口
方向？答案一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上．若系数为正，
则焦点在正半轴上；若系数为负，则焦点在负半轴上．焦点
确定，开口方向也随之确定．
梳理
抛物线的标准方程有四种类型
p 3 2p＝6，p＝3，2＝2， 3 3 所以焦点坐标为(－2，0)，准线方程为 x＝2.
(2)3x2＋5y＝0；解答
5 将 3x ＋5y＝0 变形为 x ＝－3y，
2 2
5 5 p 5 知抛物线开口向下，2p＝3，p＝6，2＝12，
5 5 所以焦点坐标为(0，－12)，准线方程为 y＝12.
是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．
跟踪训练2
若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝____ 2 ，准线方

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.2第2课时抛物线方程及性质的应用a21

A．(1，2) 答案：C
B．(0，0)
C.12，1
D．(1，4)
2021/12/9
第七页，共三十二页。
4．抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________．
解析：因为过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p 的2倍，所以所求抛物线方程为x2＝±16y.
第二章圆锥曲线与方程 (yuán zhuī qǔ xiàn)
2021/12/9
第一页，共三十二页。
第2课时抛物线方程及性质的应用 [学习目标] 1.明确直线与抛物线的位置关系，掌握直线与抛物线的位置关系的判定方法(重点)． 2.会用方程、数形结合的思想解决直线与抛物线的位置关系、弦长及弦中点等问题(难点)．
2021/12/9
第二十四页，共三十二页。
则|MN2|2－|MN1|2＝2a－a2＋42－2a＋a2＝8，即|MN2|2－|MN1|2为定值，定值为8.
2021/12/9
第二十五页，共三十二页。
归纳升华应用抛物线性质解题的常用技巧
1．在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．
2021/12/9
第十一页，共三十二页。
(1)若k≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无交点． (2)若k＝0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
2021/12/9
第二十三页，共三十二页。

2018年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质课件2 新人教B版选修2-1

4 交抛物线于A, B两点，点A在x轴的上方，AF 的值为_______
BF
法一
解：设直线方程：y x p 2
y2 2 px
由
p 消去y得x 2
y x 2
3 px
p2 4
0
设A( x1 ,
y1 ) ,
B(x2 ,
y2 )则x1
3p
2 2
2p
3p 2
, x2
2
2p
AF
x1
p 2
2
yB
)
1 1 3 2
23 2 2
解： AF P 2 3cos 1 ,
法二
1 cos 1 cos
3
又 [0, ),sin
2
2 3
,
S AOB
p2
2 sin
3 2 2
当堂检测：
1.已知抛物线 y 2 8x 的焦点F，直线 y k(x 2)
与此抛物线相交于P,Q两点，则
11 FP FQ
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线与这条抛物线相交于A，B两点，其中A在x轴
上方，设直线AB的倾斜角为，则有：
（用直线 AB的倾斜角及p表示）
2p
|AB|= sin2
SAOB
p2
2 sin
过焦点的所有弦中，何时最短？ AOB的面积何时最小？
思考
• 若焦点在y轴，AB的弦长和三角形AOB的面积如何变化？
y
B
F
O
x
A
探究1.抛物线的焦半径的表示方法
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线与这条抛物线相交于A，B两点，其中A在x轴上方，设直

(浙江专版)2018-2019高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3.2 第1课时抛物线及其标准

第1课时双曲线的几何性质学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．知识点一双曲线的性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标 A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 a ，b ，c 间的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)知识点二等轴双曲线思考求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点． (1)x 2－y 2＝1；(2)4x 2－4y 2＝1. 答案 (1)的实半轴长1，虚半轴长1 (2)的实半轴长12，虚半轴长12.它们的实半轴长与虚半轴长相等．梳理实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x ，离心率为 2.(1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的形状相同．(√)(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相同．(×)(3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关．(×) (4)离心率是2的双曲线为等轴双曲线．(√)类型一双曲线的性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线解双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±23x .引申探究求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程为x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)，由此可知，实半轴长a ＝m ，虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝c a＝m ＋nm＝1＋n m，顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)，所以渐近线方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .反思与感悟由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值．(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 的值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线解把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程为y 242－x 232＝1.由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3；c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .类型二由双曲线的性质求标准方程例 2 (1)已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.x 28－y 24＝1 D.y 28－x 24＝1 考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线答案 B解析由已知，得双曲线的焦点在y 轴上，从而可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵一个顶点为(0,2)，∴a ＝2.又实轴长与虚轴长之和等于焦距的2倍， ∴2a ＋2b ＝22c . 又a 2＋b 2＝c 2，∴b 2＝4，∴所求双曲线的方程为y 24－x 24＝1.(2)求与双曲线x 216－y 29＝1有共同的渐近线，并且经过点A (23，－3)的双曲线的方程．考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线解双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为y ＝±34x .当所求双曲线的焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为b a ＝34，所以b ＝34a .①因为点A (23，－3)在所求双曲线上，所以12a 2－9b2＝1.②联立①②得方程组无解．当所求双曲线的焦点在y 轴上时，设所求双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为a b ＝34，所以a ＝34b .③因为点A (23，－3)在所求双曲线上，所以9a 2－12b2＝1.④由③④，得a 2＝94，b 2＝4，所以所求双曲线的方程为y 294－x 24＝1.反思与感悟 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．②焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．跟踪训练2 (1)求与双曲线y 24－x 23＝1有共同的渐近线，且经过点M (3，－2)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32，求此双曲线的标准方程．考点由双曲线的简单几何性质求方程题点已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程解 (1)设所求双曲线的方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．∵点M (3，－2)在双曲线上， ∴44－93＝λ，即λ＝－2. ∴双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)∵e ＝233，∴c a ＝233，∴a 2＋b 2a 2＝43，∴a 2＝3b 2.①又∵直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0， ∴d ＝|ab |a 2＋b2＝32，即4a 2b 2＝3(a 2＋b 2)．② 解①②组成的方程组，得a 2＝3，b 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x 23－y 2＝1.类型三求双曲线的离心率例3 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．考点双曲线的离心率与渐近线题点求双曲线的离心率解设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a.由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|，所以b 2a＝2c ，所以b 2＝2ac ，所以c 2－2ac －a 2＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2×c a－1＝0，即e 2－2e －1＝0，所以e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)，所以双曲线的离心率为1＋ 2.反思与感悟求双曲线离心率的三种方法： (1)若可求得a ，c ，则直接利用e ＝c a求解． (2)若已知a ，b ，可直接利用e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2求解．(3)若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋q ·ac ＋r ·a 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋q ·e ＋r ＝0求解．跟踪训练3 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b ＞a ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点A (a,0)，B (0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________．考点双曲线的离心率与渐近线题点求双曲线的离心率答案 2解析如图所示，在△OAB 中， |OA |＝a ，|OB |＝b ，|OE |＝34c ， |AB |＝a 2＋b 2＝c .因为|AB |·|OE |＝|OA |·|OB |，所以c ·34c ＝ab ，即34(a 2＋b 2)＝ab ，两边同除以a 2，得34⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－b a ＋34＝0，解得ba ＝3或b a ＝33(舍去)，所以e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2.1．已知双曲线方程为x 2－8y 2＝32，则( )A ．实轴长为42，虚轴长为2B ．实轴长为82，虚轴长为4C ．实轴长为2，虚轴长为4 2D ．实轴长为4，虚轴长为8 2 考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程求a ，b ，c 答案 B解析双曲线方程x 2－8y 2＝32化为标准方程为x 232－y 24＝1，可得a ＝42，b ＝2，所以双曲线的实轴长为82，虚轴长为4.2．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±12x 的是( )A ．x 2－y 24＝1B ．x 24－y 2＝1C ．y 24－x 2＝1D ．y 2－x 24＝1考点由双曲线的简单几何性质求方程题点已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程答案 D解析从选项知，焦点在y 轴上的双曲线有y 24－x 2＝1与y 2－x 24＝1，而y 24－x 2＝1的渐近线方程是y ＝±2x ，y 2－x 24＝1的渐近线方程是y ＝±12x ，故选D.3．(2017·浙江余姚中学期中)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线C 的右支上的点，射线PT 平分∠F 1PF 2，过原点O 作PT 的平行线交PF 1于点M ，若|MP |＝13|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率为( )A.32B ．3C.2D. 3 答案 A4．与双曲线x 24－y 29＝1共渐近线且经过点M (26，6)的双曲线的标准方程为__________．答案x 28－y 218＝1 解析设双曲线的标准方程为x 24－y 29＝t (t ≠0)，又经过点M (26，6)， ∴244－369＝t ，即t ＝2，故所求双曲线的标准方程为x 28－y 218＝1.5．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程研究其他问题答案 12 6解析设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A ，P ，F 1在一条直线上时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1，与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2,26)，此时S ＝－＝12 6.1．随着x 和y 趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点；由渐近线方程可确定a 与b 或b 与a 的比值，但无法确定焦点位置．2．求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx ＋ny ＝0，求双曲线的方程，常将双曲线的方程设为x 2n 2－y 2m2＝λ(λ≠0)求解．3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线系的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0，a ＞0，b ＞0).一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2B ．22C ．4D ．4 2 考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线答案 C解析将双曲线化成标准形式为x 24－y 28＝1，得2a ＝4.2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x 考点双曲线的离心率与渐近线题点渐近线与离心率的关系答案 B 解析由e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2.故渐近线方程为y ＝±2x ，故选B.3．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为( ) A. 2B.32C. 3D.62考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案 C解析不妨设|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，则∠PF 1F 2是△PF 1F 2的最小内角，为30°， ∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 2F 1|2－2|PF 1||F 2F 1|cos 30°， ∴(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×4a ×2c ×32，化为e 2－23e ＋3＝0，解得e ＝ 3.4．设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．－4B ．－3C ．2D ．1 考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线答案 A解析 ∵方程表示双曲线，∴a <0，标准方程为y 29－x 2－a＝1， ∴渐近线方程为y ＝±3－a x ， ∴3－a ＝32，解得a ＝－4. 5．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( )A.x 29－y 29＝1B.y 29－x 29＝1C.y 218－x 218＝1D.x 218－y 218＝1 考点由双曲线的简单几何性质求方程题点已知双曲线的焦距求方程答案 D解析 ∵等轴双曲线的一个焦点为F 1(－6,0)，∴c ＝6，∴2a 2＝36，a 2＝18，∴双曲线的标准方程为x 218－y 218＝1. 6．(2017·浙江名校联盟联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与双曲线右支交于A ，B 两点(B 在第四象限)，若△ABF 1是B 为直角顶点的等腰直角三角形，设该双曲线的离心率为e ，则e 2为( ) A ．5－2 2 B ．5＋2 2 C ．4＋2 2 D ．4－2 2 答案 A 7．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB →＝－3AF →，则双曲线C 的离心率e 等于( )A.103B.52C.5D.343 考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案 D解析设F (c,0)，则过双曲线：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为－1的直线l 的方程为y ＝－(x －c )，而渐近线方程是y ＝±b ax ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝c －x ，y ＝－b a x ，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac a －b ，－bc a －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝c －x ，y ＝b ax ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac a ＋b ，bc a ＋b ， AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2， AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ，由AB →＝－3AF →，得⎝⎛⎭⎪⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ，则2abc a 2－b 2＝－3·bc a ＋b，即b ＝53a ，则c ＝a 2＋b 2＝343a ，则e ＝ca ＝343，故选D. 二、填空题8．(2017·嘉兴一中期末)双曲线C ：x 2－4y 2＝1的焦距是________，双曲线C 的渐近线方程是__________．答案 5 y ＝±12x 9．已知双曲线y 2－x 2m＝1(m ＞0)的离心率e ∈(1,2)，则m 的取值范围是________．考点双曲线的离心率与渐近线题点双曲线离心率的取值范围答案 (0,3)解析由双曲线y 2－x 2m ＝1(m ＞0)知，a ＝1，b ＝m ，所以e ＝c a ＝1＋m ，又e ∈(1,2)，所以1＜1＋m ＜2，解得0＜m ＜3. 10．(2017·金华一中月考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为______________．答案 y ＝±2x11．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (－c,0)(c ＞0)作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为________．考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线离心率答案 102解析如图，设双曲线的右焦点为M ，连接PM .∵OE ⊥PF ，∴在Rt △OEF 中，|EF |＝c 2－a 24. 又OE →＝12(OF →＋OP →)， ∴E 是PF 的中点，∴|PF |＝2|EF |＝2c 2－a 24， |PM |＝2|OE |＝a .由双曲线的定义知，|PF |－|PM |＝2a ，∴2 c 2－a 24－a ＝2a ， ∴e ＝c a ＝102. 三、解答题12．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．考点由双曲线的简单几何性质求方程题点已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程解椭圆方程为x 264＋y 216＝1，可知椭圆的焦距为8 3.①当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝48，b a ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝36，b 2＝12.∴双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1；②当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝48，a b ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝36.∴双曲线的标准方程为y 212－x 236＝1.由①②可知，双曲线的标准方程为 x 236－y 212＝1或y 212－x 236＝1.13．已知点A (0,1)，点P 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上． (1)当|PA |最小时，求点P 的坐标；(2)过点A 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若△OMN 的面积为23，求直线l 的方程．考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程研究其他问题解 (1)设P (x ，y )，则|PA |＝x 2＋(y －1)2 ＝2＋2y 2＋(y －1)2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －132＋83，当y ＝13时，|PA |最小，故所求点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±253，13. (2)由题知直线l 的斜率存在，故可设l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，与双曲线方程联立得(1－2k 2)x 2－4kx －4＝0，则Δ＝16(1－k 2)＞0且－41－2k 2＜0，即k 2＜12. 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k 1－2k 2，x 1x 2＝－41－2k2， ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16(1－k )21－2k 2， S △OMN ＝12×1×|x 1－x 2|＝12·16(1－k 2)1－2k2＝23，解得k 2＝14或k 2＝23(舍去)，即k ＝±12， ∴l 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.四、探究与拓展 14．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( ) A. 2B.32C. 3D ．2考点双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率答案 A解析因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a. 又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝c a ＝ 2. 15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)，直线l ：x ＋y ＝1，双曲线C 与直线l 有两个不同交点A ，B ，直线l 与y 轴交点为P .(1)求离心率e 的取值范围；(2)若PA →＝512PB →，求a 的值．考点双曲线的简单几何性质题点由双曲线方程研究其他问题解 (1)由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的解，消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)＞0，解得－2＜a ＜2且a ≠±1. 又∵a ＞0，∴0＜a ＜2且a ≠1.∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0＜a ＜2且a ≠1，∴e ＞62且e ≠2，∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫62， 2∪(2，＋∞)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易得P (0,1)． ∵PA →＝512PB →， ∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，由此可得x 1＝512x 2. ∵x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0， ∴x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a21－a 2.x 1x 2＝512x 22＝－2a21－a 2，消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，即a 2＝289169.又∵a ＞0，∴a ＝1713.。

2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程课件新人教A版选修2

B．在圆C上，但不在直线l上
C．既在圆C上，也在直线l上
D．既不在圆C上，也不在直线l上
C
2．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0表示的图形是
()
3．已知直线：y＝kx－k＋1与曲线C：x2＋2y2＝m有公共
点，则m的取值范围是
A
()
A．m≥3
B．m≤3
C．m>3
D．m<3
4．8x已2＋知2x＋点8Oy2－(04,y0－)，5＝A0(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．曲线(2的)以方程这个方程的解为坐方标程的的曲点线都是曲线上的点，那么，这个方程叫做______________，这条曲线叫做 ______________．
1．已知圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4及直线l：x＋2y－2＝0，
C上，但在直线l上
(5)通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想．
本章重点
曲线与方程的概念；椭圆的定义、标准方程、几何性质；双曲线的定义、标准方程、几何性质；抛物线的定义、标准方程、几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系．
本章难点
曲线方程的求法；三种曲线的定义、标准方程、几何性质的综合应用；直线与圆锥曲线的位置关系．
〔跟踪练习 2〕已知方程 x2＋(y－1)2＝10． (1)判断点 P(1，－2)、Q( 2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点 M(m2 ，－m)在此方程表示的曲线上，求 m 的值．
[思路分析] (1)只需判断点 P，Q 的坐标是否满足方程即可；(2)M 在曲线 C 上，则 M 点的坐标满足 C 的方程，代入建立 m 的方程解之即可．
[解析] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，( 2)2＋(3－1)2＝6≠10， ∴点 P(1，－2)在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上，点 Q( 2，3)不在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上． (2)∵点 M(m2 ，－m)在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上，∴x＝m2 ，y＝－m 适合上述方程，即(m2 )2＋(－m－1)2＝10．解之得 m＝2 或 m＝－158， ∴m 的值为 2 或－158．

高中数学《抛物线的简单几何性质》(导学案)

第二章圆锥曲线与方程 2.3.2抛物线的简单几何性质一、学习目标1．掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用． 2．掌握直线与抛物线位置关系的判断．【重点难点】1．会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合问题．(重点)2．直线与抛物线的位置关系的应用．(难点) 二、学习过程【问题导思】类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？【提示】范围、对称性、顶点、离心率．【导入新课】标准方程y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)图形性质焦点 (p2，0) (－p2，0) (0，p2)(0，－p2)准线x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R________________对称轴 ____________顶点 ______ 离心率 ______ 开口方向向右向左向上向下特征：1.2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1. 【典型例题】例1. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆x 29＋y 216＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的标准方程．例2 斜率为1的直线l 经过抛物线24y x 的焦点F ,且与抛物线相交于A,B 两点,求线段AB 的长.例3 求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．【变式拓展】1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4，求该抛物线的方程并指出焦点坐标与准线方程．2.直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点．3.求顶点在原点，焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为15的抛物线方程．三、总结反思（1）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义. （2）了解了研究抛物线的焦半径，焦点弦和通径这对我们解决抛物线中的相关问题有很大的帮助.（3）在对曲线的问题的处理过程中，我们更多的是从方程的角度来挖掘题目中的条件，认识并熟练掌握数与形的联系.在本节课中，我们运用了数形结合，待定系数法来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想.求抛物线弦长问题的方法：(1)一般弦长公式|AB|＝|x1－x2|·1＋k2＝|y1－y2|·1＋1k2.(2)焦点弦长设AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的一条过焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长：|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.即求抛物线的焦点弦长，通常是利用焦半径，把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决，这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点．四、随堂检测1.抛物线x2=-8y的通径为线段AB,O为抛物线的顶点,则AB长是( )A.2B.4C.8D.12.(2015·兰州高二检测)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|= ( )A.6B.8C.9D.103.(2015·阜新高二检测)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,点P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( )A.18B.24C.36D.484.已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则该弦所在直线的倾斜角是( )A.错误!未找到引用源。

2018_2019学年高中数学二圆锥曲线与方程课件新人教A版

椭圆 x2 y2 y2 2＋ 2 ＝ 1 或 2 a b a
双曲线 x2 y2 y2 －＝1 或 2 a2 b2 a
抛物线 y2＝2px 或 y2＝－2px 或 x2＝2py 或 x2＝－ 2py(p>0)
标准方程
2 x － 2＝1(a>0， x2 b ＋ 2＝1(a>b>0) b b>0)
法二：设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标是(x0，y0)， → → 由PD＝2MD，得 x0＝x，y0＝2y，
2 因为点 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝4 上，所以 x2 ＋ y 0 0＝4，(*)
把 x0＝x，y0＝2y 代入(*)式，得 x2＋4y2＝4， x2 2 所以曲线 C 的方程为＋y ＝1. 4
答案：x2＝4y
2．在圆 x2＋y2＝4 上任取一点 P，设点 P 在 x 轴上的正投影 → → 为点 D.当点 P 在圆上运动时，动点 M 满足PD＝2MD，动点 M 形成的轨迹为曲线 C.求曲线 C 的方程．
→ → 解：法一：由PD＝2MD，知点 M 为线段 PD 的中点，设点 M 的坐标为(x，y)，则点 P 的坐标为(x，2y)．因为点 P 在圆 x2＋y2＝4 上，所以 x2＋(2y)2＝4， x2 2 所以曲线 C 的方程为＋y ＝1. 4
2 c 则 a2＝b2＝＝8.选项 B 符合． 2 【答案】 (1)C (2)B
求解离心率的方法 (1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在 x 轴上还是 y 轴上都有关系式 a2－b2＝c2(a2＋b2 c ＝c )以及 e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参 a
α (1)焦点三角形的面积 S＝b tan . 2

(新)高中数学第二章圆锥曲线与方程2_4_2抛物线的几何性质学案新人教B版选修2-1

2.4.2 抛物线的几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一抛物线的范围思考观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？梳理抛物线y2＝2px(p>0)中，x∈__________，y∈__________.抛物线y2＝－2px(p>0)中，x∈__________，y∈__________.抛物线x2＝2py(p>0)中，x∈__________，y∈__________.抛物线x2＝－2py(p>0)中，x∈__________，y∈__________.知识点二四种形式的抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴x轴x轴y轴y轴焦点F(p2，0)F(－p2，0)F(0，p2)F(0，－p2)准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2顶点坐标 O (0，0) 离心率 e ＝1通径长 2p知识点三直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点．类型一依据抛物线的几何性质求标准方程例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．引申探究将本例改为“若抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4”，求此抛物线的标准方程．反思与感悟用待定系数法求抛物线方程的步骤跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，|AB |＝23，求抛物线方程．类型二抛物线的焦半径和焦点弦问题例2 (1)过抛物线y 2＝8x 的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________． (2) 直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为________________．(3)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________________．反思与感悟 (1)抛物线上任一点P (x 0，y 0)与焦点F 的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为： ①抛物线y 2＝2px (p >0)，|PF |＝|x 0＋p 2|＝p2＋x 0；②抛物线y 2＝－2px (p >0)，|PF |＝|x 0－p 2|＝p2－x 0；③抛物线x 2＝2py (p >0)，|PF |＝|y 0＋p 2|＝p2＋y 0；④抛物线x 2＝－2py (p >0)，|PF |＝|y 0－p2|＝p2－y 0.(2)已知AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：①y 1·y 2＝－p 2，x 1·x 2＝p 24；②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为直线AB 的倾斜角)； ③S △ABO ＝p 22sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)；④1|AF |＋1|BF |＝2p ； ⑤以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p .跟踪训练2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．类型三抛物线综合问题命题角度1 与抛物线有关的最值问题例3 抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1，0)，求|PF ||PA |的最小值．反思与感悟 (1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点．(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决．跟踪训练3 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.115 D.3716命题角度2 定值或定点问题例4 抛物线y 2＝2px (p >0)上有两动点A ，B 及一个定点M ，F 为抛物线的焦点，若|AF |，|MF |，|BF |成等差数列．(1)求证：线段AB 的垂直平分线过定点Q ；(2)若|MF |＝4，|OQ |＝6(O 为坐标原点)，求抛物线的方程．反思与感悟在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数关系的利用、焦半径的转化等．跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点，OA →·OB →＝－4，求证：直线l 必过一定点．1．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－122．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B ．3 C. 5 D.923．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则|AB |＝________.4．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.5．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________.1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．3．在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．提醒：完成作业第二章 2.4.2答案精析问题导学知识点一思考 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．(2)由抛物线y 2＝2px (p >0)有⎩⎪⎨⎪⎧2px ＝y 2≥0，p >0，所以x ≥0.所以抛物线x 的范围为x ≥0.抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，︱y ︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．梳理 [0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0] (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) [0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0] 知识点三两一没有平行或重合一题型探究例1 解椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6. ∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ，其准线方程分别为x ＝－3或x ＝3. 引申探究解由题意，设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点F (m 2，0)，直线l ：x ＝m2，所以A ，B 两点坐标为(m 2，m )，(m2，－m )，所以|AB |＝2|m |. 因为△OAB 的面积为4，所以12·|m2|·2|m |＝4，所以m ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x .跟踪训练1 解由已知，抛物线的焦点可能在x 轴正半轴上，也可能在负半轴上．故可设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．设抛物线与圆x 2＋y 2＝4的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)与圆x 2＋y 2＝4都关于x 轴对称， ∴点A 与B 关于x 轴对称， ∴|y 1|＝|y 2|且|y 1|＋|y 2|＝23， ∴|y 1|＝|y 2|＝3，代入圆x 2＋y 2＝4，得x 2＋3＝4，∴x ＝±1，∴A (±1，3)或A (±1，－3)，代入抛物线方程，得(3)2＝±a ，∴a ＝±3. ∴所求抛物线方程是y 2＝3x 或y 2＝－3x .例2 (1)16 (2)x ＋y －1＝0或x －y －1＝0 (3)72跟踪训练2 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6.于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.例3 解抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，如图，过点P 作PN 垂直x ＝－1于点N ，由抛物线的定义可知|PF |＝|PN |，连接PA ，在Rt△PAN 中，sin∠PAN ＝|PN ||PA |，当|PN ||PA |＝|PF ||PA |最小时，sin∠PAN 最小，即∠PAN 最小，即∠PAF 最大，此时，PA 为抛物线的切线，设PA 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，解得k ＝±1，所以∠PAF ＝∠NPA ＝45°， |PF ||PA |＝|PN ||PA |＝cos∠NPA ＝22. 跟踪训练3 A例4 (1)证明设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，|MF |＝x 0＋p2，x 0为已知值．由题意得x 0＝x 1＋x 22，∴线段AB 的中点坐标可设为(x 0，t )，其中t ＝y 1＋y 22≠0(否则|AF |＝|MF |＝|BF |⇒p ＝0)．而k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 212py 21－y 22＝2p y 1＋y 2＝pt ，故线段AB 的垂直平分线的方程为y －t ＝－t p(x －x 0)，即t (x －x 0－p )＋yp ＝0，可知线段AB 的垂直平分线过定点Q (x 0＋p ，0)．(2)解由|MF |＝4，|OQ |＝6，得x 0＋p2＝4，x 0＋p ＝6，联立解得p ＝4，x 0＝2.∴抛物线方程为y 2＝8x .跟踪训练4 证明设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b . 又∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ，又∵OA →·OB →＝－4，∴b 2－4b ＝－4，解得b ＝2，故直线过定点(2，0)．当堂训练1．C 2.A 3.8 4.2 5.8。

高中数学新人教A版选修2-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质

②有一个交点,
> 0.
即 A=0(直线与抛物线的对称轴平行,即相交);
≠ 0,
(2)直线与抛物线相切⇔有一个公共点,即
= 0.
≠ 0,
(3)直线与抛物线相离⇔没有公共点,即
< 0.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l
③当Δ<0时,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.
综上所述,(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;
(2)当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点;
(3)当k>1时,直线l与C没有公共点.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟方程思想解决直线与抛物线的位置关系
题,通过我们学过的数学知识进行求解.利用抛物线模型解决问题
时,关键是建立坐标系得到抛物线的标准方程,一般都是将抛物线
的顶点作为坐标原点,将对称轴作为x轴或y轴建立坐标系,其次要注
意抛物线上关键点的坐标,并善于运用抛物线的对称性进行求解.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3如图是抛物线形拱桥,当水面到直线l时,拱顶离水面2
图形
对称轴
x轴
焦点
F
顶点
原点(0,0)
准线
x=-2
离心率
e=1
p
2
x轴
,0
p
开口方向向右
p
F - ,0
2
p
y轴
F 0,
p
y轴

2018_2019学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.42.4.2抛物线的几何性质课件苏教版

p y＝2x－2或 p y＝－2x－2.
[再练一题] 3．斜率为 1 的直线经过抛物线 y2＝4x 的焦点，与抛物线相交于 A， B 两点，求线段 AB 的长．
[解] 由题意知抛物线焦点为 F(1,0)，kAB＝1，所以 AB 的方程为 y＝x－1，代入 y2＝4x 得(x－1)2＝4x，即 x2－6x＋1＝0，Δ＝32＞0，∴设 A(x1，y1)，B(x2， y2)，则 x1＋x2＝6，AB＝AF＋FB＝x1＋x2＋2＝8，∴线段 AB 的长为 8.
[自主解答]
x2 y2 c (1)∵双曲线 C1：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，∴a＝
a2＋b2 a ＝2，∴b＝ 3a， ∴双曲线的渐近线方程为 3x± y＝0，∴抛物线 C2：x2＝2py(p＞0)的焦点
p 0，到双曲线的渐近线的距离为 2
p 3×0± 2 ＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程 2
5 AB 过焦点 F，AB＝x1＋x2＋p＝2p 求解．
p [自主解答] 由题意可知，抛物线 y ＝2px(p>0)的准线为 x＝－2.
2
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B 到抛物线准线的距离分别为 dA，dB. p p 由抛物线的定义，知 AF＝dA＝x1＋2，BF＝dB＝x2＋2， 5 3 于是 AB＝x1＋x2＋p＝2p，∴x1＋x2＝2p.
2．如何认识抛物线的焦点弦？
[提示] 如图，AB 是抛物线 y2＝2px(p>0)过焦点 F 的一条弦，设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，AB 的中点 M(x0，y0)，相应的准线为 l.
(1)以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切；
p (2)AB＝2x0＋2(焦点弦长与中点关系)；

2.4.2 抛物线的简单几何性质

第二章圆锥曲线与方程
2.4.2 抛物线的简单几何性质
类比探索
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索其几何性质: (1)范围 x≥0,y∈R
(2)对称性关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴. (3)顶点抛物线和它的轴的交点.
(4)离心率
始终为常数1 |PF|=x0+p/2
y
方程
图形范围
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y l
x
x2 = 2py （p＞0） y
F x
x2 = -2py （p＞0） y
x l
（p＞0） y
l O F
l x
F
y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称
o
y1 x1 x1
tan 30 y
2 1
o

3 3
.
，
2p
y1 2 3 p . | AB | 2 y 1 4 3 p .
1、已知抛物线的顶点在原点，对称
轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那
么抛物线通径长是
16
.
2、一个正三角形的三个顶点，都在抛
物线 y
2
4 x 上，其中一个顶点为坐标
原点，则这个三角形的面积为 4 8 3 。
例2、已知直线l：x=2p与抛物线 y 2 =2px(p>0)交于A、B两点， y 求证：OA⊥OB. y2=2px A 证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p) 所以
K OA
=1，K OB =-1
O
C(2p,0) B

2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末整合提升优质课件新人教A版选修2-1

典例 3 (1)若椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 23，则双曲
渐近线方程为
A．y＝±12x
B．y＝±2x
C．y＝±4x
D．y＝±14x
(2)(2017·天津理，5)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左焦点为若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲
则x1＋x2＝－1＋4km2k2， x1x2＝21m＋2－2k22 ， m2<2k2＋1，
即x1＋x2＝－1＋4km2k2， x1·x2＝21m＋2－2k22 ，
所以 kMA·kNA＝x1－y1 2·x2－y2 2＝kx1x－1＋m2·xk2x－2＋m2＝－12．所以(2k2＋1)x1x2＋(2km－ 2)(x1＋x2)＋2m2＋2＝0，即 m2＋ 2km＝0⇒m＝0 或 m＝－ 2k(舍去)．所以 MN：y＝kx 过定点(0,0)．当 MN 斜率不存在时 M，N 为短轴两端点，显然也符合题意恒过定点(0,0)．
∴|OQ|＝12|AF1|＝a． ∴Q 点的轨迹是以原点 O 为圆心，半径为 a 的圆．
(2)设 F1、F2 分别为双曲线ax22－by22＝1 的左、右焦点，A1、A 线的左、右顶点，P 为双曲线右支上的任一点，求证：以 A1A2 为 PF2 为直径的圆外切，又与以 PF1 为直径的圆内切.
[思路分析] 设 N、M 分别是 PF1、PF2 的中点，只要证明|O 并且|ON|＝12|PF1|－a.因为点 P 在双曲线的右支上，F1、F2 是双曲具备了运用定义解题的条件，故应从双曲线的定义入手去探索证
(1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右顶点 A 的两条斜率乘积为－12的直线分别交椭圆于问：直线 MN 是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，

2018年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质课件1 新人教B版选修2-1

6、焦半径
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物
线的焦半径。
y
焦半径公式：
P
|PF|=x0+p/2
O
F
x
二、新课讲解：
y2 2 p（x p 0）的几何性质
y
1.范围： x 0; y R
l
O Fx
2.对称轴：关于x轴对称
3.顶点：（0,0）
4.离心率：e 1 注：所有抛物线的离心率都为1
图形准线
焦点
ly
O
F
x
x
p 2
F
(
p 2
,0)
yl
x F O
x
p 2
F
(
p 2
,0)
o
y
F
O
x
y
p 2
F
(0,
p 2
)
l
y
O
l
x
y
p 2
F
(0,
p 2
)
F
对称轴
x轴 x轴 y轴 y轴
抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水下降1米后，水面宽多少？
yOxຫໍສະໝຸດ 23B(2,-2)B′(x,-3)
4 ？
解：水抛以面物抛下线物降形线1拱拱米桥桥后所的B′在点最的坐高抛标点物为为线(坐x,标-标3)准原方点程，为x2=-2py 代根过入据原方已点程知垂中条直，件于得可水x知2平=水-2面(平-的3面)=直6的线B为点y坐轴标, 为(2,-2),
x代建入立方直6程角得坐：标26系2=不.-2合p(题-2)意，，p=舍1 去
5.通径： AB 2 p
6.焦半径公式：
（1）开口向右：MF