高二数学两条直线的位置关系8
高二数学两条直线的位置关系及其判定人教版知识精讲
高二数学两条直线的位置关系及其判定人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：两条直线的位置关系及其判定二. 重点难点：1. 两条直线的位置关系（1）相交直线有且仅有一个公共点（2）平行直线在同一平面内，无公共点（3）异面直线不同在任何一个平面内，无公共点2. 平行公理3. 平行的判定（法一）平行公理（法二）中位线（法三）平行四边形4. 异面的判定反证法【典型例题】（一）平行直线[例1] 如图，正方体，E、F、G、H、M、N为各棱中点，求证：EFGHMN 为正六边形。
证：显然EF=FG=GH=HM=MN=NEE、F为中点，EF//BD∴EF//NG 确定平面同理，FG//EH确定平面与有三个不在同一条直线上三点E、F、G∴重合∴E、F、G、H、N五点共面同理E、F、G、H、M、N六点共面且EF//MH、FG//NM、EN//GH∴EFGHMN是正六边形[例2] 如图，E、F、G、H、M、N为四面体ABCD各棱中点，求证：EF、GH、MN三条线段交于一点且两两平分。
证明：∴EF、GH互相平分设同理EMFN∴EF、MN互相平分∴EF、GH、MN三条线交于一点且互相平分（二）异面直线证明[例1] 为异面直线，A、，C、。
求证：（1）AC、BD成异面直线；（2）AD、BC为异面直线。
证：（1）假设AC、BD非异面直线则存在平面过AC、BD即：AC、BD∴A、B、C、D∵A、B，C、D∴、与已知矛盾∴假设不成立∴AC、BD为异面直线（2）同理可证。
[例2] 不共面直线交于一点O，，求证：MN、PQ为异面直线。
证：假设MN、PQ为共面直线∴存在平面，过MN、PQ∴MN、PQ∴∴又∵，，；∴即共面∴与已知矛盾∴假设不成立∴原命题真（三）异面直线判断[例1] 如图正方体中，（1）与对角线成异面的直线的棱有多少条？（2）与AB成异面直线的棱有多少条？（3）与BD成异面直线的棱有多少条？（4）正方体12条棱中异面直线共有多少对？解：（1）6条：（2）4条：（3）6条：（4）24对：与AB异面的共4对，12条棱。
两条直线的位置关系与点到直线的距离(有答案精品绝对好)
两条直线的位置关系与点到直线的距离(20131126)讲义1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行．(2)两条直线垂直①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.②如果l 1、l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直．2．两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．3．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 4.两条直线的夹角.设直线l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，l 1到l 2的角为α，l 1与l 2的夹角为β，则tan 12121k k k k +-=α，tan 12121k k k k +-=β.一条规律与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0.两个防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．三种对称(1)点关于点的对称 点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)．(2)点关于直线的对称设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x 02＋b ，可求出x ′，y ′.特别说明:P (x 0，y 0)关于直线Ax +By +C =0的对称点是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+---22002222002222)(,22)(B A BC ABx y B A B A AC ABy x A B . (3)直线关于直线的对称①若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称的点P 2，那么经过交点及点P 2的直线就是l 2；②若已知直线l 1与对称轴l 平行，则与l 1对称的直线和l 1分别到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l 1的对称直线．例1 经过(2,0)A -，(5,3)B -两点的直线的斜率是____________，倾斜角是_______．考向一 两条直线平行与垂直的判定及应用【例2】►(1)已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则实数a ＝________.(2)“ab ＝4”是直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行的( )．A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件例3直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是（ ）A ．3210x y +-=B ．3270x y ++=C ．2350x y -+=D ．2380x y -+=例4 已知过点(2,)A m -和点(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．10【训练1】 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得：(1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合．考向二 两直线的交点【例5】►求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．【训练2】 直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程．考向三 距离公式的应用例6、求点)2,3(P -到下列直线的距离：（1）01y 4x 3=+-；（2）y=6；（3）y 轴。
两条直线的位置关系----夹角
解：设L1，L2，L3的斜率分别为k1 k2、k3，L1到L2的角是θ1，L2
L2
Y
L3
到L3的角是θ2 ，则
θ2
L1
k1
1 2 , k2
1
tan1
k2 k1 1 k1k2
1
1 2
1 1
1 2
3
O
X
θ1
tan 2
k3 k2 1 k3k2
2、两条直线的到角和夹角公式推导； 3、应用公式求两条直线的到角和夹角。
作业： 习题7 ·3 8，9
或θ=π-（α1－α2）=π+（α2－α1）
∴tanθ=tan（α2－α1）或tanθ=tan π+（α2－α1） =tan（α2－α1）
tan tan2 tan1 k2 k1 1 tan2 tan1 1 k1k2
直线L1到L2的角公式：
tan k2 k1
L1 L1
L2
是哪一条 呢？
A
练一练：
根据下列直线方程，在同一坐标系中作出直线L1， L2；并标出L1到L2和L2到L1的角；同时探求两角的 大小。 1、L1：y=x+1 L2:x=1
2、L1: y=x+1 L2: y= 3 x
L2
y
θ2 θ1
L1
y
θ1
θ2
L1
α1 1
α2
0
1
x
图一
α1 α2
0
练习：已知直线L1：A1x+B1y+C1=0和L2：A2x+B2y+C2=0 （B1≠0，B2≠0，A1A2+B1B2≠0）直线L1到直线L2
高二数学两条直线的位置关系试题答案及解析
高二数学两条直线的位置关系试题答案及解析1.已知点A（﹣2，4），B（4，2），直线l：ax﹣y+8﹣a=0，若直线l与直线AB平行，则a= _________．【答案】【解析】两直线平行斜率相等且截距不相等，计算得，答案为.【考点】直线平行的位置关系2.若直线与直线互相垂直，那么的值等于 ( )A．1B．C．D．【答案】D【解析】若直线垂直，则斜率之积为-1，即,故为D.【考点】直线垂直与直线方程.3.（1）推导点到直线的距离公式；（2）已知直线：和：互相平行，求实数的值.【答案】（1）详见解析；（2）或【解析】（1）设点，直线，过点做直线的垂线，垂足为，求出点的坐标，在直线上在取不同于点的一点，用两点间距离可求得，根据直角三角形中勾股定理可求得，即点到直线的距离。
（2）根据两直线平行斜率相等即可求出。
试题解析：（1）（略） 6分（2）∥，，解得1或-3.经检验均符合题意，故1或-3. 12分【考点】1点到线的距离公式；2两直线平行时斜率的关系。
4.若直线与直线平行，则实数( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因两直线平行，所以，解得。
故D正确。
【考点】两直线平行。
5.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】（1）（2）直线的方程为，切点坐标为【解析】（1）在点处的切线的斜率，切线的方程为；（2）设切点为，则直线的斜率为，直线的方程为：．又直线过点，，整理，得，，，的斜率，直线的方程为，切点坐标为【考点】直线与曲线相切问题及导数的几何意义点评：求曲线过某一点处的切线时，通常设出切点，利用切点坐标满足直线方程，曲线方程及曲线在切点处的导数值等于切线斜率找到关于切点的关系式即可求得切点6.已知直线的一个法向量为，且经过点，则直线的方程是．【答案】【解析】因为根据题意可知直线的一个法向量为,因此可知垂直于直线l 的直线斜率为，直线l的斜率为其负倒数，即为那么利用点斜式可知直线l的方程为=,变形可知为。
高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件
11.3 两条直线的夹角
我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程，方程确定直线及其位置， 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
例3
为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路遥 知马力，日久见人心！
身体健康，学习进步！ 漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。
合理安排时间，就等于节约时间。——培根 书都读得来的人，还怕有什么做不来的。 能说不能做，不是真智慧。 一分耕耘，一分收获。孩子们，你想明天收获幸福吗？那今天就努力学习吧。——刘玉春
小结
本节课学习了哪பைடு நூலகம்内容？
萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 小时候画在手上的表没有动，却带走了我们最好的时光。 你身边总有这样一种人：你成功了，他（她）当面恭喜你，暗地里妒嫉你；你失败了，他（她）当面安慰你，背地里笑话你。 通过云端的道路，只亲吻攀登者的足迹。 君子赠人以言，庶人赠人以财。——荀况 我的财富并不是因为我拥有很多，而是我要求的很少。 要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃 时间总会过去的，让时间流走你的烦恼吧！ 这个是世界上没有天才，所谓的天才只是比普通人多了百分之一的天赋。如果这个天赋运用不好，那么他就可能变成百分之十的累赘。 如果要给美好人生一个定义，那就是惬意。如果要给惬意一个定义，那就是三五知己、谈笑风生。 世上的事，不如己意者，那是当然的。 生命假如给予你的是一颗柠檬，不要抱怨，下工夫把它榨成一杯柠檬汁吧。 当你被压力压得透不过气来的时候，记住，碳正是因为压力而变成闪耀的钻石。 愚痴的人，一直想要别人了解他。有智慧的人，却努力的了解自己。
两条直线的位置关系(高二文科数学第一轮复习)
设直线l1 : x my 6 0和直线l2： (m 2) x 3 y 2m 0
1、充分考虑斜率是否存在，即B是否为0；分类讨论思想
2、 l1
l2 A1 A2 B1B2 0
7
课堂检测：
1、过A(-2,m)和B(m,4)的直线与2x-y+1=0平行,则m=（
1 平行； ２ 垂直;(3)相交
(1)注意斜率是否存在。
1 当a 0时，l1 : y x 2; l2 : x 1; 两直线相交 （1）解： 2 a 1 1 1 当a 0时，l1 : y x 2; l2 : y x ; 2 a a
a 1 1 1 即 ,2 当k1=k2，b1≠b2时， 2 a a
2015-2-6
10
(2)l1 : 3 x 4 y 5 0; l2 : 6 x 8 y 1 0
平行
(3)l1 : 3 x 4 y 5 0; l2 : 6 x 8 y 10 0 重合 (4)l1 : 2 x y 0; l2 : x 2 y 1 0 垂直
4
A.-8 B.0 C.2 D.10
B）
2、经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点，且垂直
2x+3y-2=0 于直线3x-2y+4=0的直线方程是_______________________
1或-3 3、直线ax+(1-a)y=3与直线(a-1)x+(2a+3)y=2垂直,a=_____
课前演练： 1、已知点P(1,1)和直线l：3x+4y－20＝0，
3 x 4 y 7 0 则过点P且与l平行的直线方程为_________________；
考点35 高中数学-直线的位置关系-考点总结和习题
考点35直线的位置关系【命题趋势】此知识点常出现在圆锥曲线试题中的某一步，必须熟练掌握，有时高考也会单独出题，值得注意.（1）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.（2）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.（3）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.【重要考向】一、两直线平行与垂直的判断及应用二、两直线的相交与定点问题三、距离问题四、对称问题两直线平行与垂直的判断及应用斜截式→111222::l y k x b l y k x b =+=+一般式→11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1l 与2l 相交12k k ≠12210A B A B -≠1l 与2l 垂直121k k =-12120A AB B +=1l 与2l 平行12k k =且12b b ≠1221122100A B A B B C B C -=⎧⎨-≠⎩或1221122100A B A B AC A C -=⎧⎨-≠⎩1l 与2l 重合12k k =且12b b =1221122112210A B A B A C A C B C B C -=-=-=【巧学妙记】1.1．（2021·全国高二课时练习）(多选)下列直线l 1与直线l 2平行的有（）A ．直线l 1经过点A (2，1)，B (-3，5)，直线l 2过点C (3，-3)，D (8，-7)B ．直线l 1经过点A (0，1)，B (-2，-1)，直线l 2过点C (3，4)，D (5，2)C．直线l 1经过点A (1，B (2，)，直线l 2的倾斜角为60°且过原点D ．直线l 1经过点A (0，2)，B (0，1)，直线l 2的斜率为0【答案】AC 【分析】直接利用两直线平行的条件进行判断.【详解】A 选项中，()375144====325385AB CD k k ---------，，且两直线不重合，故l 1//l 2；B 选项中，1142==1==12035AB CD k k -------，，∵AB CD k k ≠，∴两直线不平行；C选项中，233==tan 6021AB CD k k - ，且两直线不重合，故l 1//l 2；D 选项中，l 1斜率不存在，l 2的斜率为0，∴两直线不平行.故选：AC 【点睛】解析几何中判断直接利用两直线平行的方法:(1)若两直线斜率都不存在,两直线平行;(2)两直线的斜率都存在,且k 1=k 2,b 1≠b 2,则两直线平行;(3)若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A 1B 2=A 2B 1,B 1C 2≠B 2C 12.（2021·全国高三专题练习）已知2320a a -+=，则直线1l ：()30ax a y a +--=和直线2l ：()()623540a x a y a -+--+=的位置关系为（）A ．垂直或平行B ．垂直或相交C ．平行或相交D ．垂直或重合【答案】D 【分析】因为2320a a -+=，所以1a =或2a =；当1a =时，121k k ×=-则直线垂直，当2a =时，两直线重合.【详解】因为2320a a -+=，所以1a =或2a =.当1a =时，1l ：210x y +-=，2l ：4230--=x y ，112k =-，22k =所以121k k ×=-，则两直线垂直；当2a =时，1l ：220x y +-=，2l ：220x y +-=，则两直线重合.故选：D3.（2021·四川南充市·高二期末（理））“20a b +=”是“直线230ax y ++=和直线20x by ++=互相垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：若0b ≠时，由230ax y ++=，得322ay x =--，则12a k =-，由20x by ++=，得12y xb b =--，则21k b=-，若两直线垂直，则121k k =-，则112a b ⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得20a b +=，若0b =时，20x by ++=可化为2x =-，0a =时，230ax y ++=可化为32y =-，此时直线2x =-与32y =-垂直，满足20a b +=，所以由20a b +=可得直线230ax y ++=和直线20x by ++=互相垂直，由直线230ax y ++=和直线20x by ++=互相垂直，可得20a b +=，所以“20a b +=”是“直线230ax y ++=和直线20x by ++=互相垂直”的充要条件，故选：C两直线的相交与定点问题对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（1）方程组有唯一解⇔1l 与2l 相交，交点坐标就是方程组的解；（2）方程组无解⇔1l ∥2l ；（3）方程组有无数解⇔1l 与2l 重合．有两种方法：（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.【巧学妙记】4.（2021·全国高二课时练习）若直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第三象限，则实数m的取值范围是________．【答案】3 (,2 -∞-【分析】先联立两直线的方程，求得交点坐标，再根据交点在第三象限求解.【详解】由54210,230,x y mx y m+--=⎧⎨+-=⎩得23,72,7mxmy+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以两直线的交点坐标为232 (,)77m m+-.又此交点在第三象限，所以230,720,7mm+⎧<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩解得m＜3 2-，所以实数m的取值范围是3 (,)2 -∞-.故答案为：3 (,)2 -∞-5.不论m 为何值，直线()()3121120m x m y -++-=过定点（）A ．11,2⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()2,3C ．()2,3-D ．()2,0【答案】C 【分析】整理直线方程()()3121120m x m y -++-=得()()3232120m x y x y +--+=，故直线()()3121120m x m y -++-=过320x y +=与32120x y -+=的交点，联立方程求解即可得答案.【详解】解：整理直线方程()()3121120m x m y -++-=得：()()3232120m x y x y +--+=，故直线()()3121120m x m y -++-=过320x y +=与32120x y -+=的交点，联立方程32032120x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得2,3x y =-=，故直线()()3121120m x m y -++-=过定点()2,3-.故选：C.【点睛】本题考查直线系方程过定点问题，考查基本运算，是基础题.6.（2020·广东高三专题练习）已知直线(31)(1)20k x k y +-++=过定点M ，曲线:ln 3C y x x x =+，则过点M 的曲线C 的切线方程为__________．【答案】410x y --=【分析】首先求直线所过的定点，再根据导数的几何意义求曲线的切线方程.【详解】由(31)(1)20k x k y +-++=可得(3)20x y k x y -+-+=，令3020x y x y -=⎧⎨-+=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以点M 的坐标为(1,3)，显然点(1,3)M 在曲线:ln 3C y x x x =+上，因为ln 4y'x =+，所以过点M 的曲线C 的切线的斜率ln144k =+=，故所求切线的方程为34(1)-=-y x ，即410x y --=．故答案为:410x y --=．距离问题（1）平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|（2）点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d（3）两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d．【巧学妙记】7.（2021·全国）已知:(2)(12)430()l m x m y m m R ++-+-=∈过定点A ，则点A 到直线:1m x y +=的距离是（）A ．4B ．C ．2D【答案】B 【分析】先求出直线经过的定点，再求点到直线的距离.【详解】由题得22430,24(23)0x mx y my m x y x y ++-+-=∴+++--=，所以2+40230x y x y +=⎧⎨--=⎩，解之得1,2x y =-=-，所以(1,2)A --,所以点A 到直线:1m x y +==.故选：B 【点睛】方法点睛：定点问题：求直线或曲线经过的定点，常用分离参数法：一般可以根据需要选定参数R λ∈，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式2123(,)(,)(,)0f x y f x y f x y λλ++=，（一般地，(,)(1,2,3)i f x y i =为关于,x y 的二元一次关系式）由上述原理可得方程组123(,)0{(,)0(,)0f x y f x y f x y ===，从而求得该定点.8.（2020·南京师范大学附属扬子中学高一开学考试）已知直线:20l kx y k -+-=过定点M ，点(,)P x y 在直线210x y +-=上，则||MP 的最小值是（）A ．55B ．355C ．255D【答案】B 【分析】令直线l 的参数k 的系数等于零，求得定点M 的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性质，求得||MP 的最小值．【详解】直线:20l kx y k -+-=，即(1)20k x y --+=，令1020x y -=⎧⎨-+=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩故直线过定点(1,2)M ，点(,)P x y 在直线210x y +-=上，∴min ||MP 为点M 到直线的距离，min ||5MP ∴===，||MP 取得最小值为355，故选：B ．【点睛】本题主要考查直线经过定点问题，点到直线的距离公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．9.（2021·河南焦作市·高一期末）已知直线()1:2230l x a y a +-+=，2:460l ax y ++=，a ∈R .（1）若1l 恒过定点M ，求点M 的坐标；（2）当12l l //时，求直线1l 与2l 之间的距离.【答案】（1）()3,3--；（2）924【分析】（1）将直线方程化简()2230x y a y -++=，解方程组30220y x y +=⎧⎨-=⎩即可；（2）根据直线平行求出参数的值，再根据平行直线的距离公式求解.【详解】（1）直线1l 的方程可化为()2230x y a y -++=.为了不受参数a 的影响，则需使30220y x y +=⎧⎨-=⎩，解得33x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线1l 恒过定点()3,3--；（2）当12l l //时，有()()28012620a a a a --=⎧⎪⎨--≠⎪⎩解得4a =.所以1:22120l x y ++=，2:4460l x y ++=，即2230x y ++=，符合题意；所以直线1l 与2l之间的距离4d ==.【点睛】此题考查求直线的定点，根据两条直线平行求参数的值，求平行直线之间的距离，关键在于熟练掌握相关公式进行化简计算.对称问题（1）中心对称：点(,)B x y 为点11(,)A x y 与22(,)C x y 的中点，中点坐标公式为121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．（2）轴对称：若点P 关于直线l 的对称点为P'，则PP'l P P'l ⊥⎧⎨⎩直线与的中点在上．【巧学妙记】10.（2020·奉新县第一中学高二月考（理））设定点(3,1)A ，B 是x 轴上的动点，C 是直线y x =上的动点，则ABC 周长的最小值是（）A B ．C ．D【答案】B 【分析】作(3,1)A 关于y x =的对称点(1,3)A '，关于x 轴的对称点(3,1)A ''-，根据两点间线段最短，则A A '''的长即为所求.【详解】解：作出点(3,1)A 关于y x =的对称点(1,3)A '，关于x 轴的对称点(3,1)A ''-，连接A A '''，交直线y x =于点C ，交x 轴于点B ，如图，，则,AC A C AB A B '''==，ABC ∴周长的最小值为A A '''==.故选：B.【点睛】考查公理“两点间线段最短”的应用，基础题.11.（2021·全国高二课时练习）若直线1:(4)l y k x =-与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(2,4)-D ．(4,2)-【答案】B【分析】先求出l 1的定点，再利用点关于点的对称求出l 1的定点的对称点，该点即为所求点.【详解】直线1:(4)l y k x =-恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线1:(4)l y k x =-与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2恒过定点(0,2).【点睛】本题考查直线关于点对称的相关问题，利用对称性求解是解题的关键，属基础题.12.（2021·全国高二专题练习）直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为（）A ．4210x y --=B ．4210x y -+=C ．4210x y ++=D ．4210x y +-=【答案】A 【分析】利用点关于直线对称点的求法可求得直线2410x y --=上一点()00,P x y 关于直线0x y +=的对称点，代入直线2410x y --=中即可得到对称直线方程.【详解】设直线2410x y --=上一点()00,P x y 关于直线0x y +=对称点的坐标为(),P x y '，则0001022y y x x x x y y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，整理可得：00x y y x =-⎧⎨=-⎩，2410y x ∴-+-=，即直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为：4210x y --=.故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查直线关于对称轴的对称直线的求解，解决思路是将直线上一点坐标，利用其关于对称轴的对称点坐标表示出来，代入原直线即可，核心依然是求解点关于直线的对称点的求解.求解点(),M a b 关于直线y kx m =+的对称点(),M x y '的基本方法如下：①M 与M '连线与直线y kx m =+垂直，即1y bk x a -⋅=--；②MM '中点在直线y kx m =+上，即22y b x ak m ++=⋅+；③M 与M '到直线y kx m =+=；上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点M '坐标.一、单选题1．若两直线()1:1320l a x y ---=与()2:120l x a y -++=平行，则a 的值为（）A ．2±B ．2C ．2-D ．02．已知点()0,4A ，()10B ,，动点P 在直线1x =-上，则||PA PB +的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．63．设曲线2xy x =-在点()3,3处的切线与直线10ax y ++=平行，则a 等于（）A ．12B ．2C ．12-D ．2-4．若点P 是曲线2ln 1y x x =--上任意一点，则点P 到直线3y x =-的最小距离为（）A ．1B ．22CD ．25．对圆221x y +=上任意一点(),P x y ，若34349x y a x y -+---的值都与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是（）A ．5a ≤-B ．55a -≤≤C ．5a ≤-或5a ≥D ．5a ≥6．已知0a >，0b >，直线1:(4)10l x a y +-+=，2:220l bx y +-=，且12l l ⊥，则2112a a b+++的最小值为（）A ．2B ．4C ．45D ．957．已知集合(){},0A x y x ay a =+-=，()(){},2310B x y ax a y =++-=.若A B =∅ ，则实数a =（）A ．3B ．1-C ．3或1-D ．3-或1二、解答题8．已知直线1:(2)80l m x my ++-=与直线2:40,l mx y m R +-=∈．（1）若12l l //，求m 的值；（2）若点()1,P m 在直线2l 上，直线l 过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程．三、填空题9．点P 是f (x )＝x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －1的最短距离是________．10．若直线1l ：220x ay +-=与直线2l ：0x y a -+=平行，则直线1l 与2l 之间的距离为______．11．点()0,1-到直线()1y k x =+距离的最大值为___________.12．已知a R ∈，b R ∈______．13．已知函数()2ln f x x x =+，点P 为函数()f x 图象上一动点，则P 到直线34y x =-距离的最小值为___________.(注ln 20.69≈)四、双空题14．若直线1:20++=l x y a 与直线2:30--=l ax y 平行，则实数a =______，直线1l 与2l 之间的距离为______．一、单选题1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（）A．1B ．2C ．D ．42．（2021·全国高考真题（文））点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为（）A ．95B ．85C ．65D ．453．（2020·浙江高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =图像上的点，则|OP |=（）A．222B ．4105C D 4．（2020·全国高考真题（文））点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（）A ．1B C D ．25．（2018·全国高考真题（文））已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2C ．322D ．6．（2016·北京高考真题（文））圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为()A ．1B ．2C ．D ．7．（2016·北京高考真题（文））已知A （2,5），B （4,1）.若点P （x ,y ）在线段AB 上，则2x −y 的最大值为A ．−1B ．3C ．7D ．8二、双空题8．（2021·浙江高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c (0)c >，若过1F 的直线和圆22212x c y c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.9．（2020·北京高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．三、填空题10．（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．11．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.12．（2017·上海高考真题）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合{}1234,,,P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“”的点分布在P l 的两侧.用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧和另一侧的“”的点到P l 的距离之和.若过P 的直线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中所有这样的P 为________四、解答题13．（2018·全国高考真题（文））设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN ∠=∠．一、单选题1．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））“直线240ax y ++=与直线()120x a y +-+=平行”是“1a =-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2021·全国高三其他模拟（理））若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2221x y +-=相切，则双曲线的渐近线方程是（）A ．y =B ．33y x =±C ．13y x=±D ．3y x=±3．（2021·四川攀枝花市·高三三模（文））过直线1y x =+上的点P 作圆()()22:211C x y -++=的两条切线1l ，2l ，若直线1l ，2l 关于直线1y x =+对称，则PC =（）．A B ．C ．D ．4．（2021·全国高三其他模拟）已知点()0,1A ，点B 在抛物线2y x =上，则AB 的最小值为（）A ．2B ．1C ．32D ．125．（2021·北京高三二模）过原点且倾斜角为45︒的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（）A ．B ．3C ．D ．86．（2021·四川高三三模（理））圆2240x y y ++=的圆心到经过点()3,3M --的直线l 的l 的方程为（）A ．290x y +-=或230x y -+=B ．290x y ++=或230x y -+=C ．290x y ++=或230x y --=D ．290x y -+=或230x y -+=7．（2021·湖北省团风中学高三其他模拟）已知直线1l ：10x ay +-=，2l ：()2330a x y a ++-=，则“3a =-”是“12//l l ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2021·全国高三其他模拟）如图，在矩形ABCD 中，BC =，直线AC 的斜率为3，则直线BC 的斜率为（）A B ．32C ．233D ．9．（2021·全国高三其他模拟）已知函数()235f x x ax a =-+的图象在点()()1,1A f 处的切线与直线:320l x y -+=垂直，则()f x =（）A ．253x x +-B ．2513x x -+C ．253x x -+D ．2513x x +-二、多选题10．（2021·山东青岛市·高三三模）在平面直角坐标系中，()23,,8,8,7,0,2A t B m m C m O t ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为坐标原点，P 为x 轴上的动点，则下列说法正确的是（）A ．OA的最小值为2B ．若1,4t m ==，则ABC 的面积等于4C ．若1,4t m ==，则||||PA PB +的最小值为5D ．若()sin ,0,t θθπ=∈，且CA 与CB 的夹角0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则(),5m ∞∈-三、填空题11．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考（文））已知直线1l ：()210ax a y +++=，2l ：20x ay ++=，a R ∈，若12//l l ，则a =___________.12．（2021·全国高三其他模拟）已知抛物线2:4C y x =的焦点F 到直线:l y b =+的，且直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则AF BF +=___________.参考答案跟踪训练1．A 【分析】根据两直线平行的充要条件可得(1)(1)(3)10a a -+---⨯=，即可求a 的值.【详解】由题意知：(1)(1)(3)10a a -+---⨯=，整理得240a -=，∴2a =±，故选：A2．C 【分析】求得B 关于直线1x =-的对称点C ，利用两点间的距离公式求得||PA PB +的最小值.【详解】B 关于直线1x =-的对称点C 的坐标为()3,0-，则PB PC =，则||PA PB +的最小值是5AC ==.故选：C3．B 【分析】利用导数求出曲线2xy x =-在点()3,3处的切线的斜率，利用两直线平行可得出实数a 的值.【详解】对函数2x y x =-求导得()()222222x x y x x --'==---，由已知条件可得32x a y ='-==-，所以，2a =.故选：B.4．C 【分析】由已知可知曲线2ln 1y x x =--在点P 处的切线与直线3y x =-平行，利用导数求出点P 的坐标，利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】因为点P 是曲线2ln 1y x x =--任意一点，所以当点P 处的切线和直线3y x =-平行时，点P 到直线的3y x =-的距离最小，因为直线3y x =-的斜率等于1，曲线2ln 1y x x =--的导数12y x x'=-，令1y '=，可得1x =或12x =-（舍去），所以在曲线2ln 1y x x =--与直线3y x =-平行的切线经过的切点坐标为()1,0，所以点P 到直线3y x =-的最小距离为d ==.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查曲线上的点到直线距离的最小值的求解，解题的关键在于分析出曲线在点P 处的切线与直线平行，进而利用导数求解.5．A 【分析】将34349x y a x y -+---转化为34545359x y a x y -+---⎛⎫⎪⎝⎭，然后根据几何意义进行解题即可.【详解】3434934395545x y a x y x y a x y -+---+--⎛⎫= ⎪⎝-⎭-等价于圆221x y +=上任意一点(),P x y 到直线340x y a -+=和直线3490x y --=的距离的差的5倍，而距离之差与x ，y 无关，则直线340x y a -+=与圆相切或相离，且与直线3490x y --=位于圆的同侧，所以15a≥，即5a ≥或5a ≤-，由于直线340x y a -+=与直线3490x y --=位于圆221x y +=的同侧，所以5a ≤-故选：A.6．D 【分析】根据12l l ⊥得到240b a +-=，再将2112a a b+++化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.【详解】因为12l l ⊥，所以240b a +-=，即125a b ++=，因为0a >，0b >，所以10a +>，20b >，所以21111111211(12)1211212125512a b a a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++=+⨯+++=+++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭149211555⎛≥++=+= ⎝，当且仅当32a =，54b =时，等号成立．故选：D .【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7．A 【分析】将问题转化为“直线0x ay a +-=与直线()2310ax a y ++-=互相平行”，由此求解出a的取值.【详解】因为A B =∅ ，所以直线0x ay a +-=与直线()2310ax a y ++-=没有交点，所以直线0x ay a +-=与直线()2310ax a y ++-=互相平行，所以()1230a a a ⨯+-⨯=，解得1a =-或3a =，当1a =-时，两直线为：10x y -+=，10x y -+-=，此时两直线重合，不满足，当3a =时，两直线为：330x y +-=，3910x y +-=，此时两直线平行，满足，所以a 的值为3，故选：A.8．（1）1m =-，（2）10x y -+=或2y x =【分析】（1）由题意可知0m ≠，所以可得2814m m m +-=≠-，从而可求出m 的值；（2）将点()1,P m 的坐标代入直线2l 的方程中，求出m 的值，从而可得点P 的坐标，然后设出直线l 方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程【详解】解：（1）因为12l l //，所以0m ≠，且2814m m m +-=≠-，由21m mm +=，得220m m --=，解得1m =-或2m =（舍去）所以1m =-，（2）因为点()1,P m 在直线2l 上，所以40m m +-=，得2m =，所以点P 的坐标为(1,2)，所以设直线l 的方程为2(1)y k x -=-（0k ≠），令0x =，则2y k =-，令0y =，则21x k=-，因为直线l 在两坐标轴上的截距之和为0，所以2120k k-+-=，解得1k =或2k =，所以直线l 的方程为10x y -+=或2y x =9．328【分析】先求直线y ＝x －1平行的f (x )＝x 2的切线的切点，设切点为(x 0，y 0)，根据导数的几何意义，求导可得f ′(x 0)＝2x 0＝1，利用距离公式即可得解.【详解】与直线y ＝x －1平行的f (x )＝x 2的切线的切点到直线y ＝x －1的距离最小．设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2x 0＝1，∴x 0＝12，y 0＝14.即P 11(,)24到直线y ＝x －1的距离最短．∴d8.故答案为：328.10．2【分析】先根据直线1l 与2l 平行求出参数a ，再由两平行直线间的距离公式可得答案.【详解】∵直线1l 与2l 平行，∴2211a a-=≠-，解得2a =-，∴直线1l ：10x y --=，直线2l ：20x y --=，∴直线1l 与2l 之间的距离22d==．故答案为：211【分析】直线()1y k x =+恒过点()1,0A -，根据几何关系可得，点()0,1B -到直线()1y k x =+的距离为||AB .【详解】解：直线()1y k x =+恒过点()1,0A -，则点()0,1-到直线()1y k x =+的距离的最大值为点()1,0-到点A 的距离，∴点()0,1-到直线()1y k x =+距离的最大值为：d ==..12【分析】利用算术根的几何意义，把所求转化为两个图形上点的距离最小值即可作答.【详解】可看成点(),1a a -到点(),bb e的距离，而点(),1a a -的轨迹是直线1y x =-，点(),bb e的轨迹是曲线()xf x e=，则所求最小值可转化为曲线()xf x e =上的点到直线1y x =-距离的最小值，而曲线()x f x e =在直线1y x =-上方，平移直线1y x =-使其与曲线()xf x e =相切，则切点到直线1y x =-距离即为所求，设切点00(,)xx e ，()x f x e '=，由()001x f x e '==得00x =，切点为(0,1)则(0,1)到直线1y x =-距离d ==.【点睛】关键点睛：涉及多变量的算术根问题，利用算术根的几何意义转化为两个动点的距离是解题的关键.13．5【分析】求出导函数，利用导数的几何意义求出切线与已知直线平行时切点坐标，然后转化为求点到直线的距离即可求解．【详解】解：()12f x x x'=+，()0x >，与直线34y x =-平行的切线斜率132k x x==+，解得1x =或12x =，当1x =时，()11f =，即切点为()1,1，此时点P 到直线34y x =-的距离为105d ==；当12x =时，11ln 224f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即切点为11,ln 224⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时点P 到直线34y x =-的距离为(11ln 2114ln 2104405d --=，故答案为：5.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是结合图形分析，将原问题转化为函数()f x 图象上与已知直线平行的切线的切点到直线34y x =-的距离.14．2-【分析】根据直线平行的性质，斜率相等，求得参数a ，利用平行线间的距离公式求得距离.【详解】∵12l l ，∴2a =-，直线1:220l x y +-=，直线2:230l x y ++=，直线1l 与2l=故答案为：-2真题再现1．B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d ==解得：2p =(6p =-舍去).故选：B.2．A 【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：220169x y -=，即340±=x y ，结合对称性，不妨考虑点()3,0到直线340x y +=的距离：95d ==.故选：A.3．D【分析】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数y =即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得2332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．4．B 【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即可求得结果.【详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B.【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.5．D 【详解】分析：由离心率计算出ba，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．详解：e c a === 1ba∴=所以双曲线的渐近线方程为x y 0±=所以点（4，0）到渐近线的距离d==故选D点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．6．C 【详解】试题分析：圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知d ==，故选C.【考点】直线与圆的位置关系【名师点睛】点到直线（即）的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.7．C 【详解】由题意得，线段AB 的方程：511(4)2924y x y x --=-⇒=-+-，24x ≤≤，∴22(29)494497x y x x x -=--+=-≤⨯-=，当4x =时等号成立，即2x y -的最大值为7.故选：C.【点睛】求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④导数法；⑤不等式法；⑥图象法．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．8【分析】不妨假设2c =，根据图形可知，122sin 3PF F ∠=，再根据同角三角函数基本关系即可求出12tan k PF F =∠=；再根据椭圆的定义求出a ，即可求得离心率．【详解】如图所示：不妨假设2c =，设切点为B ，12112sin sin 3AB PF F BF A F A∠=∠==，12tan PF F ∠==所以255k =,由21212,24PF k F F c F F ===，所以2855PF =，21255PF =，于是122PF a PF +==，即a =，所以5c e a ===．故答案为：255；55．9．()3,0【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，a =，b =，则3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x ±=，所以，双曲线C=.故答案为：()3,0.【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.10【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.11．4.【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线0x y +=平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小.由2411y x '=-=-，得)x =，y =，即切点Q ，则切点Q 到直线0x y +=4=，故答案为4．【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.12．1P 、3P 、4P 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示；则记为“▲”的四个点是A （0，3），B （1，0），C （7，1），D （4，4），线段AB ，BC ，CD ，DA 的中点分别为E ，F ，G ，H ，易知EFGH 为平行四边形，如图所示；设四边形重心为M （x ，y ），则0MA MB MC MD +++=，由此求得M （3，2），即为平行四边形EFGH 的对角线交于点2P ，则符合条件的直线P L 一定经过点2P ，且过点2P 的直线有无数条；由过点1P 和2P 的直线有且仅有1条，过点3P 和2P 的直线有且仅有1条，过点4P 和2P 的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是1P 、3P 、4P ．故答案为：1P 、3P 、4P ．13．（1）112y x =+或112y x =--；（2）见解析.【分析】（1）首先根据l 与x 轴垂直，且过点()20A ，，求得直线l 的方程为2x =，代入抛物线方程求得点M 的坐标为()2,2或()2,2-，利用两点式求得直线BM 的方程；（2）设直线l 的方程为2x ty =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线BM 、BN 的斜率之和为零，从而得出所证结论成立.【详解】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2x =，可得M 的坐标为()2,2或()2,2-．所以直线BM 的方程为112y x =+或112y x =--；（2）设l 的方程为2x ty =+，()11,M x y 、()22,N x y ，由222x ty y x=+⎧⎨=⎩，得2240y ty --=，可知122y y t +=，124y y =-．直线BM 、BN 的斜率之和为()()()()()()()()21122112121212122244222222BM BNx y x y ty y ty y y y k k x x x x x x +++++++=+==++++++()()()()()()1212121224244202222ty y y y t tx x x x ++⨯-+⨯===++++，所以0BM BN k k +=，可知BM 、BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠.综上，ABM ABN ∠=∠.【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与抛物线相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.模拟检测1．C 【分析】根据两直线平行得到2a =或1a =-，再利用充分必要条件的定义判断即可.【详解】当直线240ax y ++=与直线()120x a y +-+=平行,()1210a a ∴⨯--=，解得2a =或1a =-，当2a =，直线2240x y ++=和直线10x y ++=重合，舍去，所以1a =-.根据充分条件、必要条件的定义可得，“直线240ax y ++=与直线()120x a y +-+=平行”是“1a =-”的充分必要条件故选：C 2．A 【分析】根据双曲线的方程求出渐近线方程，然后由圆心到渐近线的距离等于圆的半径即可求解.【详解】解：圆()2221x y +-=的圆心()0,2，半径为1，双曲线的渐近线方程为1y x a=±．∵双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2221x y +-=1相切，1=，解得213a =，∴双曲线的渐近线方程y =．故选：A ．3．B 【分析】由两条切线关于1y x =+对称可确定PC 与1y x =+垂直，可知所求即为圆心C 到直线1y x =+的距离，利用点到直线距离公式可求得结果.【详解】若直线12,l l 关于直线1y x =+对称，则两直线12,l l 与直线1y x =+的夹角相等，则PC 与1y x =+垂直，∴PC 等于圆心()2,1C -到直线1y x =+的距离，即PC ==．故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够根据两条切线关于1y x =+对称确定PC 与对称轴垂直，由此将所求距离转化为圆心到直线的距离.4．C 【分析】设点(),B x y ，利用两点间的距离公式以及二次函数配方求最值即可求解.【详解】设点(),B x y ，则AB ==2=≥，∴当12y =时，min 2AB =.故选：C.5．A 【分析】根据题意，求得直线的方程，根据圆的方程，可得圆心为（0,2），半径2r =，根据点到直线距离公式，可得圆心（0,2）到直线0x y -=的距离d ，代入公式，即可求得答案.【详解】由题意得：直线的斜率tan 451k =︒=，且直线过原点，所以直线的方程为0x y -=，圆的方程化为：22(2)4x y +-=，即圆心为（0,2），半径2r =，所以圆心（0,2）到直线0x y -=的距离==d ，所以直线被圆所截得弦长为==.故选：A 6．B 【分析】当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为()33y k x +=+，再根据距离公式解方程即可，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意.【详解】当直线l 的斜率存在时，设经过点()3,3M --的直线l 的方程为()33y k x +=+，即330kx y k -+-=，所以圆2240x y y ++=的圆心()0,2-到直线l的距离为d ==解得：12k =-或2k =，所以直线l 的方程为290x y ++=或230x y -+=当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =-，此时圆心()0,2-到直线的距离为3，不满足题意；综上，直线l 的方程为290x y ++=或230x y -+=.故选：B 【点睛】本题考查圆的一般方程求圆心，点到直线的距离求参数，考查运算求解能力，是基础题.本。
高二数学两条直线的位置关系8教学课件
文字，是一座座山川，父爱如山。绿油油的山川，一座连着一座 ，连绵不绝。雄伟的山川，好像父亲的臂膀，坚实宽厚。文字，让我感觉到父爱的威严中其实深藏着深深的父爱。父亲，总是不善 言说，他总是用巍峨的脊梁顶起整个家的重量。他的背影，宽厚而仁慈，因为文字，我渐渐读懂了父爱。
文字，是一盏灯。以前，母亲总为未归家的我留下一盏灯。而我却从未留意。直到很久以后，我爱上了文字，才发现，母亲已两鬓花白，眼睛已看不清楚东西，额头上已满是皱纹。那时，我用文字 记录下母亲对我的深情厚意，才清楚地回想起母亲为我留下的那盏灯。
文字，是秋风里的菊花，优雅高洁，如烟火般灿烂。菊花，姿色雍容，华贵大方。五彩缤纷的秋菊百花齐放。很喜欢，这种百花争艳的景象；很喜欢，许多不同颜色的菊花交头接耳；很喜欢，秋风 里一派欣欣向荣的景象。爱上文字，无论是大作之家，抑或是平凡百姓，不管他们是否有名气，不管他们头上是否有金灿灿的光环，喜欢上了就义无反顾，喜欢上了就爱不释手。北京pk微信群
新教材高二数学课外辅导材料08--两条直线的位置关系
两条直线的位置关系（一）1． 直线06=++my x 与直线023)2(=++-m y x m 平行，则m 的值等于（A ）3 （B ）－1或3 （C ）－1 （D ）不存在2． 原点在直线l 上的射影是P(－2，1)，则直线l 的方程是（A ）02=+y x （B ）042=-+y x （C ）052=+-y x （D ）032=++y x3． 两直线0322=--y a x 与012=--y ax 互相垂直，则（A ）a = 0 （B ）a = －1 （C ）a = 0或a = －1 （D ）a 不存在4． 过点P(1，2)引一直线l ，使A(2，3)和B(4，－5)到l 的距离相等，那么l 的方程为（A ）064=-+y x （B ）064=-+y x（C ）0723=-+y x 或064=-+y x （D ）0732=-+y x 或064=-+y x5． 直线093=-+y ax 与直线03=+-b y x 关于原点对称，则b a ,的值是（A ）a =1，b = 9 （B ）a =－1，b = 9 （C ）a =1，b =－9 （D ）a =－1，b =－96． 直线l 和直线032=+-y x 关于直线0=+y x 对称，则直线l 的方程是（A ）032=+-x y （B ）032=--x y （C ）032=-+x y （D ）032=++x y7． 点)2,2(++b a A 和点),(b a b B --关于直线01134=-+y x 对称，则b a ,的值是（A ）a =－4，b =2 （B ）a =4，b =－2 （C ）a =2，b =4 （D ）a =4，b =28． 经过点A （－3，2）和B （4，1）的直线与直线063=-+y x 相交于M ，M 分AB 所成的比是（A ）－1 （B ）21 （C ）1 （D ）3 9． 已知直线024=-+y mx 与052=+-n y x 互相垂直，垂足为 (1, p )，则pn m +-的值为（A ）24 （B ）20 （C ）0 （D ）410． 点(－1，2)关于直线0=+y x 对称的点在直线0=++c by ax ，则c b a ,,满足的关系是＿＿＿＿＿．11． 直线12+-=x y ：（1）关于原点的对称直线的方程是＿＿＿＿＿；（2）关于点(－1，2)的对称直线的方程是＿＿＿＿＿；（3）关于02=+-y x 的对称直线的方程是＿＿＿＿＿；（4）关于02=-y x 的对称直线的方程是＿＿＿＿＿．12． 连结A(4，1)，B(－8，5)两点的线段的垂直平分线方程是＿＿＿＿＿．13． （1）过点(－6，4)，且与直线032=++y x 平行的直线方程是＿＿＿＿＿．（2）过点(－6，4)，且与直线032=++y x 垂直的直线方程是＿＿＿＿＿．14． 光线沿直线l 1：01=+-y x 射入，遇到直线l 2：042=-+y x 立即反射，试求反射光线所在直线l 的方程。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解61---两条直线的位置关系
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第61讲 两条直线的位置关系考向预测核心素养一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，大部分都是客观题.直观想象、数学运算一、知识梳理1．两条直线的平行与垂直 (1)两条直线平行若l 1∥l 2，则l 1与l 2的倾斜角α1与α2相等，由α1＝α2，可得tan α1＝tan α2，即k 1＝k 2.因此，若l 1∥l 2，则k 1＝k 2．(2)两条直线垂直设两条直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，k 1)，b ＝(1，k 2)，于是l 1⊥l 2⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔1×1＋k 1k 2＝0，即k 1k 2＝－1.也就是说，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1．2．两条直线的交点坐标已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，则交点P 的坐标是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离点点距点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2点线距点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2线线距两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2常用结论1．两个充要条件(1)两条直线平行或重合的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.(2)两条直线垂直的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.2．三种直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B 1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.3．四种常用对称关系(1)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．(2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(4)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．二、教材衍化1．(人A选择性必修第一册P67习题2.2 T8(3)改编)已知直线l过点(0，3)，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )A ．x ＋y －2＝0 B.x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0D.x －y ＋3＝0解析：选D.依题意得直线l 的斜率为1，又直线l 过点(0，3)，所以直线l 的方程为y －3＝1×(x －0)，即x －y ＋3＝0.2．(人A 选择性必修第一册P 79习题2.3 T 9改编)若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．解析：由⎩⎨⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9. 答案：－93．(人A 选择性必修第一册P 79习题2.3 T 7改编)两条平行直线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：2x ＋3y －10＝0之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 2，所以由两条平行直线间的距离公式得d ＝|－8－（－10）|22＋32＝21313. 答案：21313一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)若两直线的解析式组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( ) (3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、易错纠偏1．(忽略两直线平行的充要条件致误)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2 B.－3 C ．2或－3D.－2或－3解析：选 C.直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或m ＝－3.故选C. 2．(距离公式使用不当致误)两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( )A.235B.2310C ．7D.72解析：选D.由题意知a ＝6，直线3x ＋4y －12＝0 可化为6x ＋8y －24＝0， 所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72.3．(忽略两直线垂直的充要条件致误)已知直线l 1：ax ＋y －4＝0和l 2：2x ＋ay ＋1＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________．解析：因为l 1⊥l 2，则2a ＋a ＝0，所以a ＝0. 答案：04．(位置关系考虑不周全致误)已知点A (3，2)和B (－1，4)到直线ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 的值为________．解析：由点到直线的距离公式可得|3a ＋2＋1|a 2＋1＝|－a ＋4＋1|a 2＋1，解得a ＝12或a ＝－4. 答案：12或－4考点一 两条直线的位置关系(自主练透)复习指导：能根据斜率判定两条直线的位置关系．1．(多选)(链接常用结论1)(2022·重庆调研)已知直线l 1：x ＋my －1＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋3＝0，则下列说法正确的是( )A ．若l 1∥l 2，则m ＝－1或m ＝3B ．若l 1∥l 2，则m ＝3C ．若l 1⊥l 2，则m ＝－12D ．若l 1⊥l 2，则m ＝12解析：选BD.若直线l 1∥l 2，则3－m (m －2)＝0，解得m ＝3或m ＝－1，但m ＝－1时，两直线方程分别为x －y －1＝0，－3x ＋3y ＋3＝0即x －y －1＝0，两直线重合，只有m ＝3时两直线平行，A 错误，B 正确；若l 1⊥l 2，则m －2＋3m ＝0，解得m ＝12，C 错误，D 正确．2．经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A ．6x －4y －3＝0 B.3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0 D.2x ＋3y －1＝0解析：选A.因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎪⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0.3．已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－43，23 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－43，23，43C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫43，－23D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－43，－23，23解析：选D.由题意得直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点．当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行时，m ＝23或m ＝－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.所以实数m 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－43，－23，23.4．(多选)(2022·葫芦岛协作校高二考试)已知A (1，2)，B (－3，4)，C (－2，0)，则( )A ．直线x －y ＝0与线段AB 有公共点 B ．直线AB 的倾斜角大于135°C ．△ABC 的边BC 上的中线所在直线的方程为y ＝2D ．△ABC 的边BC 上的高所在直线的方程为x －4y ＋7＝0 解析：选BCD.如图，因为k OA ＝2>1，k OB <0，所以直线x －y ＝0与线段AB 无公共点，A 错误；因为k AB ＝4－2－3－1＝－12>－1，所以直线AB 的倾斜角大于135°，B 正确；因为线段BC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，2，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＝2，C 正确；因为k BC ＝4－3＋2＝－4，所以BC 上的高所在直线的方程为y －2＝14(x －1)，即x －4y ＋7＝0，D 正确．(1)两条直线平行、垂直的判断方法 若已知两条直线的斜率存在．①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等． ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. [提醒] 判断两条直线位置关系应注意： 〈1〉注意斜率不存在的特殊情况．〈2〉注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)由两条直线平行与垂直求参数的值的解题策略在解这类问题时，一定要“前思后想”．“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解．考点二 两条直线的交点与距离问题(多维探究)复习指导：1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．角度1 两条直线的交点(1)对于任给的实数m ，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都通过一定点，则该定点的坐标为( )A ．(9，－4) B.(－9，－4) C ．(9，4)D.(－9，4)(2)经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线的方程为__________________．【解析】 (1)(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5即为m (x ＋2y －1)＋(－x －y ＋5)＝0，故此直线过直线x ＋2y －1＝0和－x －y ＋5＝0的交点．由⎩⎨⎧x ＋2y －1＝0，－x －y ＋5＝0得定点的坐标为(9，－4)．(2)由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79，即交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，79.因为所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， 所以所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋53，即4x －3y ＋9＝0.【答案】 (1)A (2)4x －3y ＋9＝0 角度2 距离问题已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程； (2)求点A (5，0)到直线l 的距离的最大值．【解】 (1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为 2x ＋y －5＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， 所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，解得λ＝12或λ＝2.所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到直线l 的距离， 则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． 所以d max ＝|PA |＝10.若将本例变为：直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点且到点A (1，0)和点B (3，4)的距离相等，求直线l 的方程．解：由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0解得交点坐标为(2，1)．当AB ∥l 时，又k AB ＝2，所以直线l 的方程为y －1＝2(x －2)即2x －y －3＝0， 当l 过AB 中点时，又AB 的中点为(2，2)． 所以直线l 的方程为x ＝2.利用距离公式应注意的点(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |. (2)两条平行线间的距离公式要先把两条直线方程中x ，y 的系数化为相等再利用距离公式求解．|跟踪训练|1．(多选)已知直线l 1：2x ＋3y －1＝0和l 2：4x ＋6y －9＝0，若直线l 到直线l 1的距离与到直线l 2的距离之比为1∶2，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋3y －8＝0 B.4x ＋6y ＋5＝0 C ．6x ＋9y －10＝0 D.12x ＋18y －13＝0解析：选BD.设直线l ：4x ＋6y ＋m ＝0，m ≠－2且m ≠－9，直线l 到直线l 1和l 2的距离分别为d 1，d 2，由题知：d 1＝|m ＋2|16＋36，d 2＝|m ＋9|16＋36，因为d 1d 2＝12，所以2|m ＋2|16＋36＝|m ＋9|16＋36，即2|m ＋2|＝|m ＋9|，解得m ＝5或m ＝－133，即直线l 为4x ＋6y ＋5＝0或12x＋18y －13＝0.2．(多选)(2022·北京昌平区一中上学期期中)点(0，1)到直线y ＝k (x ＋1)的距离可能为( )A ．0 B.1 C. 2D. 3解析：选ABC.直线y ＝k ()x ＋1过点()－1，0，所以()0，1到直线y ＝k ()x ＋1的距离的最大值为()－1－02＋()0－12＝ 2.3．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为________．解析：因为36＝48≠－125，所以两条直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.答案：2910考点三 对称问题(思维发散)复习指导：对称问题的核心是点关于直线的对称问题，要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，且直线l 与直线MN 垂直．(链接常用结论3)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 【解】 (1)设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，所以M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ， 则由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3，所以N (4，3)．又因为m ′经过点N (4，3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.在本例条件下，求直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．解：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解． (2)中心对称可以利用中点坐标公式，两点轴对称问题利用垂直和中点两个条件列方程解题．|跟踪训练|如图，已知A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．3 3 B.6 C.210D.2 5解析：选C.直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2，0)关于直线AB 的对称点为D (4，2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.[A 基础达标]1．(2022·哈师大附中模拟)已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0, l 2：x ＋ay ＋2＝0, 其中a ∈R, 则“a ＝－3”是“l 1⊥l 2”的()A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.直线l 1⊥l 2的充要条件是a ＋(a ＋2)a ＝0， 所以a (a ＋3)＝0，所以a ＝0或a ＝－3 .故选A.2．(2022·广州期末)若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是()A ．－6＜k ＜－2 B.－5＜k ＜－3 C ．k ＜－6D.k ＞－2解析：选A.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2，得⎩⎨⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2.因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，所以⎩⎨⎧k ＋6＞0，k ＋2＜0，解得－6＜k ＜－2.3．已知直线l ：ax ＋by ＋c ＝0与直线l ′关于直线x ＋y ＝0对称，则l ′的方程为()A ．bx ＋ay －c ＝0 B.ay －bx －c ＝0 C ．ay ＋bx ＋c ＝0 D.ay －bx ＋c ＝0解析：选A.在l 的方程中以－x 代替y ，以－y 代替x ，即得l ′的方程．直线ax ＋by ＋c ＝0关于直线x ＋y ＝0对称的直线l ′的方程是a (－y )＋b (－x )＋c ＝0，即bx ＋ay －c ＝0.4．(2022·亳州市质量检测)若动点M ()x 1，y 1，N ()x 2，y 2分别在直线x ＋y ＋7＝0与直线x ＋y ＋5＝0上移动，则MN 的中点P 到原点距离的最小值为()A ．2 3 B.3 3 C.3 2D.2 2解析：选C.由题意知，MN 的中点P 的轨迹为平行于两直线且到两直线距离相等的直线，故其方程为x ＋y ＋6＝0，所以P 到原点的距离的最小值为d ＝612＋12＝3 2. 5．(多选)(2022·宜昌市夷陵中学检测)已知直线l 的一个方向向量为u ＝(－36，12)，且l 经过点()1，－2，则下列结论中正确的是() A ．l 的倾斜角等于150° B ．l 在x 轴上的截距等于233C ．l 与直线3x －3y ＋2＝0垂直D ．l 与直线3x ＋y ＋2＝0平行解析：选CD.因为直线l 的一个方向向量为u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，12，所以直线l 的斜率为k ＝12－36＝－3，设直线的倾斜角为α(α∈[0°，180°))，则tan α＝－3，所以α＝120°，所以A错误；因为l经过点()1，－2，所以直线l的方程为y＋2＝－3(x－1)，令y＝0，则x＝－233＋1，所以l在x轴上的截距为－233＋1，所以B错误；因为直线3x－3y＋2＝0的斜率为33，直线l的斜率为－3，所以－3×33＝－1，所以l与直线3x－3y＋2＝0垂直，所以C正确；因为直线3x＋y＋2＝0的斜率为－3，直线l的斜率也为－3，且两直线截距不相等，故两直线平行，所以D正确．6．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为________．解析：过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－45，故所求直线方程为x－3y＋4－45(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.答案：3x＋19y＝07．已知点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上的任意一点，则（m－1）2＋（n＋2）2的最小值为________．解析：因为点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上的任意一点，所以（m－1）2＋（n＋2）2的最小值为点(1，－2)到直线2x＋y＋5＝0的距离，即最小值为d＝|2－2＋5|22＋12＝ 5.所以（m－1）2＋（n＋2）2的最小值为 5.答案： 58．已知直线l1：ax＋y＋3a－4＝0和l2：2x＋(a－1)y＋a＝0，则原点到l1的距离的最大值是________；若l1∥l2，则a＝________．解析：直线l1：ax＋y＋3a－4＝0等价于a(x＋3)＋y－4＝0，则直线过定点A(－3，4)，当原点到l1的距离最大时，满足OA⊥l1，此时原点到l1的距离的最大值为|OA|＝（－3）2＋42＝5.若a ＝0，则两直线方程为y －4＝0和2x －y ＝0，不满足直线平行； 若a ＝1，则两直线方程为x ＋y －1＝0和2x ＋1＝0，不满足直线平行；当a ≠0且a ≠1时，若两直线平行，则a 2＝1a －1≠3a －4a ，由a 2＝1a －1得a 2－a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－1. 当a ＝2时，a 2＝3a －4a，舍去， 当a ＝－1时，a 2≠3a －4a，成立，即a ＝－1. 答案：5 －19．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)－b ＝0. 又因为直线l 1过点(－3，－1)， 所以－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2. (2)因为直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2， 所以直线l 1的斜率存在． 所以a b＝1－a .①又因为坐标原点到这两条直线的距离相等， 所以l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .②联立①②可得a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.10．已知四边形ABCD 为平行四边形，A (0，3)，B (4，1)，D 为边AB 的垂直平分线与x 轴的交点．(1)求点C 的坐标；(2)一条光线从点D 射出，经直线AB 反射，反射光线经过CD 的中点E ，求反射光线所在直线的方程．解：(1)如图，设AB 中点为M ，则M (2，2)， 由AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ， 可知k MD ·k AB ＝－1， 因为k AB ＝1－34－0＝－12，所以k MD ＝2， 所以直线MD 的方程为y －2＝2(x －2)，即y ＝2x －2. 令y ＝0，则x ＝1，所以D 点的坐标为(1，0)． 又因为四边形ABCD 为平行四边形，设C (a ，b )，因为＝，即(a －1，b )＝(4，－2)，所以a ＝5，b ＝－2，即点C 的坐标为(5，－2)．(2)由(1)知，直线AB 的方程为x ＋2y －6＝0， 如图，设点D 关于直线AB 的对称点为D ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，m ＋12＋2·n2－6＝0，整理可得⎩⎨⎧2m －n －2＝0，m ＋2n －11＝0，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝4，所以D ′(3，4)， 又因为CD 的中点E 的坐标为E (3，－1)，因此，反射光线所在直线D ′E 的方程为x ＝3.[B 综合应用]11．(多选)(2022·重庆市永川景圣中学月考)下列说法正确的是() A ．过点P ()1，2且在x ，y 轴截距相等的直线方程为x ＋y －3＝0 B ．直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为－2 C ．直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角为60°D ．过点()－1，2且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为2x ＋y ＝0解析：选BD.过点P ()1，2且在x ，y 轴截距相等的直线方程为x ＋y －3＝0和y ＝2x ，A 错误；取x ＝0，y ＝－2，则直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为－2，B 正确； 直线3x ＋y ＋1＝0的斜率为k ＝－3，倾斜角为120°，C 错误；垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程斜率为k ＝－2，过点()－1，2的直线方程为y ＝－2()x ＋1＋2＝－2x ，即2x ＋y ＝0，D 正确．12．(2022·山东省精英对抗赛)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点N ，则直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为()A ．2x ＋3y －12＝0 B.2x ＋3y ＋12＝0 C ．2x －3y ＋12＝0 D.2x －3y －12＝0解析：选B.由ax ＋y ＋3a －1＝0可得a (x ＋3)＋y －1＝0， 令⎩⎨⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，所以N (－3，1)． 设直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)． 则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)．所以所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选B.13．(2022·宝鸡模拟)光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有()A ．a ＝13，b ＝6B.a ＝－3，b ＝16C ．a ＝3，b ＝－16 D.a ＝－13，b ＝－6解析：选D.由题意，直线y ＝－3x ＋b 与直线y ＝ax ＋2关于直线y ＝－x 对称， 所以直线y ＝ax ＋2上的点(0，2)关于直线y ＝－x 的对称点(－2，0)在直线y ＝－3x ＋b 上，所以(－3)×(－2)＋b ＝0，所以b ＝－6，所以直线y ＝－3x －6上的点(0，－6)关于直线y ＝－x 的对称点(6，0)在直线y ＝ax ＋2上，所以6a ＋2＝0， 所以a ＝－13.14．(2022·乳山市第一中学月考)从点A (2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在直线的方程为________．解析：点A ()2，3关于y 轴的对称点为()－2，3， 由于入射光线与a ＝(8，4)平行， 所以反射光线的斜率是－48＝－12，所以反射光线所在直线方程为y －3＝－12(x ＋2)，即x ＋2y －4＝0.答案：x ＋2y －4＝0[C 素养提升]15．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2，2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．因为方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，所以⎩⎨⎧2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)证明：过点P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0. 但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0， 所以M 与Q 不可能重合，|PM |＝42， 所以|PQ |<42，故所证成立． 16.如图所示，m ，n ，l 是三条公路，m 与n 是互相垂直的，它们在O 点相交，l 与m ，n 的交点分别是M ，N ，且|OM |＝4，|ON |＝8，工厂A 在公路n 上，|OA |＝2，工厂B 到m ，n 的距离分别为2，4.货车P 在公路l 上．(1)要把工厂A ，B 的物品装上货车P ，问：P 在什么位置时，搬运工走的路程最少？ (2)P 在什么位置时，工厂B 搬运工与工厂A 搬运工走的路程差距最多？(假设货物一次性搬运完)解：以m ，n 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则有A (2，0)，B (－2，－4)，M (0，4)，N (－8，0)，故公路l 所在的直线方程为x －2y ＋8＝0.(1)P 在什么位置时，搬运工走的路程最少，即求|PA |＋|PB |的值最小时P 的位置． 设点A 关于直线l 的对称点A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2×n ＋02＋8＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝8，所以A ′(－2，8)． 又P 为直线l 上的一点，则|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时等号成立，此时|PA |＋|PB |取得最小值|A ′B |，点P 就是直线A ′B 与直线l 的交点．联立⎩⎨⎧x ＝－2，x －2y ＋8＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3，所以P (－2，3)．(2)由题意可知，原问题等价于求点P 的位置，使||PB |－|PA ||的值最大．A ，B 两点在直线的同侧，P 是直线上的点，则||PB |－|PA ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时等号成立，此时||PB |－|PA ||取得最大值|AB |，点P 即为直线l 与直线AB 的交点．又直线AB 的方程为y ＝x －2，由⎩⎨⎧y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝10，所以P (12，10)．。
高二数学点,直线,平面之间的位置关系
点，直线，平面之间的位置关系一、知识网络二、高考考点1、空间直线，空间直线与平面，空间两个平面的平行与垂直的判定或性质.其中，线面垂直是历年高考试题涉及的容.2、上述平行与垂直的理论在以多面体为载体的几何问题中的应用；求角；求距离等.其中，三垂线定理及其逆定理的应用尤为重要.3、解答题循着先证明后计算的原则，融推理于计算之中，主要考察学生综合运用知识的能力，其中，突出考察模型法等数学方法，注重考察转化与化归思想；立体问题平面化；几何问题代数化.三、知识要点〔一〕空间直线1、空间两条直线的位置关系〔1〕相交直线——有且仅有一个公共点；〔2〕平行直线——在同一个平面，没有公共点；〔3〕异面直线——不同在任何一个平面，没有公共点.2、平行直线〔1〕公理4〔平行直线的传递性〕：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示：设a,b,c为直线，〔2〕空间等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向一样，则这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两条直线所成的锐角〔或直角〕相等.3、异面直线〔1〕定义：不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线.〔2〕有关概念：〔ⅰ〕设直线a,b为异面直线，经过空间任意一点O作直线ａ＇，ｂ＇，并使ａ＇//a，ｂ＇//b,则把ａ＇和ｂ＇所成的锐角〔或直角〕叫做异面直线a和b所成的角.特例：如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直.认知：设为异面直线a，b所成的角，则 .〔ⅱ〕和两条异面直线都垂直相交的直线〔存在且唯一〕，叫做两条异面直线的公垂线.〔ⅲ〕两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段〔公垂线段〕的长度，叫做两条异面直线的距离.〔二〕空间直线与平面直线与平面的位置关系：〔1〕直线在平面——直线与平面有无数个公共点；〔2〕直线和平面相交——直线与平面有且仅有一个公共点；〔3〕直线和平面平行——直线与平面没有公共点.其中，直线和平面相交或直线和平面平行统称为直线在平面外.1、直线与平面平行〔1〕定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则说这条直线和这个平面平行，此为证明直线与平面平行的原始依据.〔2〕判定判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行.认知：应用此定理证题的三个环节：指出 .〔3〕性质性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行.2、直线与平面垂直〔1〕定义：如果直线l和平面的任何一条直线都垂直，则说直线l和平面互相垂直，记作l⊥ .〔2〕判定：判定定理1：如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.判定定理2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. 符号表示：.〔3〕性质性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行. 符号表示：〔4〕概念〔ⅰ〕点到平面的距离：从平面外一点引这个平面的垂线，则这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.〔ⅱ〕直线和平面的距离：当一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.〔三〕空间两个平面1、两个平面的位置关系〔1〕定义：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面互相平行.〔2〕两个平面的位置关系〔ⅰ〕两个平面平行——没有公共点；〔ⅱ〕两个平面相交——有一条公共直线.2、两个平面平行〔1〕判定判定定理1：如果一个平面有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行.判定定理2：〔线面垂直性质定理〕：垂直于同一条直线的两个平面平行.〔2〕性质性质定理1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行.性质定理2〔定义的推论〕：如果两个平面平行，则其中一个平面的所有直线都平行于另一个平面.3、有关概念〔1〕和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的局部，叫做这两个平行平面的公垂线段.〔2〕两个平行平面的公垂线段都相等. 〔3〕公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.4、认知：两平面平行的判定定理的特征：线面平行面面平行，或线线平行面面平行；两平面平行的性质定理的特征：面面平行线面平行，或面面平行线线平行.它们恰是平行畴中同一事物的相互依存和相互贯穿的正反两个方面.四、高考真题〔一〕选择题1，设为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且，有如下的两个命题：①假设；②假设则〔〕A、①是真命题，②是假命题；B、①是假命题，②是真命题；C、①②都是真命题；D、①②都是假命题.分析：这里 . 对于①，假设，则l，m可能平行，也可能异面；对于②，假设则可能垂直，也可能不垂直. 故应选D.2、m,n是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，给出以下四个命题：①②③④假设m,n是异面直线，其中真命题是〔〕A、①和②B、①和③C、③和④D、①和④分析：由面面平行判定定理知①为真命题；注意到垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，②为假命题；③显然为假命题；④由于m,n为异面直线，故可在确立两条相交直线与平行，因而为真命题. 故应选D.3，设为平面，m,n,l为直线，则m⊥的一个充分条件是〔〕分析：对于选项A，由于这里的直线m不一定在，故不一定有m⊥；对于选项B，它与m⊥构成的命题是：假设两个平面都和第三个平面垂直，则其中一个平面与第三个平面的交线垂直于另一个平面，此命题为假；对于选项C，它与m⊥构成的命题是：假设两个平面都和第三个平面垂直，且直线m垂直于其中一个平面，则m也垂直于另一个平面，此命题亦为假命题；排除法可知应选D.选项D与m⊥构成的命题是：假设直线m与两个平行平面中的一个平面垂直，则它和另一个平面也垂直，这显然为真命题.4、对于不重合的两个平面，给定以下条件：①存在平面，使得都垂直于；②存在平面，使得都平行于；③有不共线三点到的距离相等；④存在异面直线l,m，使得；其中可以判定平行的条件有〔〕A、1个B、2个C、3个D、4个分析：对于①，垂直于同一平面的两个平面可能相交；对于②，由面面平行的传递性可以判定；对于③，当相交时，仍可存在不共线三点到的距离等；对于④，在m上取定点P，经过点P在l与点P确定的平面作l＇//l，则ｌ＇与m可确定平面 .由于于是可知，此题应选B.〔二〕填空题1、m,n是不同的直线，是不重合的平面，给出以下命题：①假设②假设③假设④m,n是两条异面直线，假设上面的命题中，真命题的序号是〔写出所有真命题的序号〕分析：①显然为假命题；对于②，的直线m,n不一定相交，故②亦为假命题；对于③，由题设知∴③为真命题；对于④，由前面选择题第4题知此为真命题.因此，答案为③、④.2、在正方体中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则①四边形一定是平行四边形；②四边形有可能是正方形；③四边形在底面ABCD的投影一定是正方形；④平面有可能垂直于平面以上结论正确的为〔写出所有正确结论的编号〕分析：注意到正方体的特性，由面面平行性质定理和，故四边形为平行四边形，①正确；在这里，当时，平行四边形即为矩形，且不可能为正方形，②不正确；③正确；而当平面与底面ABCD〔或〕重合时有平面，故④正确.于是可知答案为①，③，④.〔三〕解答题1、如图1，ABCD是上下底面边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折成直二面角，如图2.〔1〕证明：；〔2〕求二面角的大小.分析：循着解决平面图形折叠问题的根本思路：〔1〕认知平面图形中有关线段的长度与联系；〔2〕了解折叠前后有关线段的长度或联系的＂变＂与＂不变＂；〔3〕利用＂不变＂的量与＂不变＂的关系解题.在这里，由图1知， .至此〔1〕易证；对于〔2〕，由〔1〕知，，故，于是可利用三垂线定理构造所求二面角的平面角.解：〔1〕证明：由题设知∴∠AOB是所成的直二面角的平面角，即，∴∴OC是AC在平面上的射影①又由题设得从而②∴根据三垂线定理由①②得， .〔2〕解：由〔1〕知，，∴设，在平面AOC过点E作EF⊥AC于F，连结〔三垂线定理〕由题设知，∴∴又∴即所求二面角的大小为.点评：利用原来平面图形折叠后“不变的量〞与线段间不变的垂直或平行关系，推出立体图形中，是证明〔1〕以及解答〔2〕的根底与关键.由此可见，这类问题中认知平面图形的重要.2、在四面体P-ABC中，PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB＝ .F是线段PB上一点，，点E在线段AB上，且EF⊥PB.〔1〕证明：PB⊥平面CEF；〔2〕求：二面角B-CE－F的大小.分析：〔1〕要证PB⊥平面CEF，只要证PB垂直于CE或CF.这一设想的实现与否，要看对有关三角形的特性的认知与把握.在这里，，故易得BC⊥平面PAC，BC⊥AC等.注意到，，便得PB⊥CF，于是问题获证.〔2〕由〔1〕知CE⊥PB，从而CE⊥平面PAB，CE⊥AB，CE⊥EF，故∠BEF为所求二面角的平面角.至此，解题的难点得以突破.解：〔1〕证明：∵PA2+AC2=36+64=100=PC2∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证：△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形。
高二数学点到直线的距离、两条直线的位置关系(学生版)
学科教师辅导讲义年 级： 高二 辅导科目： 数学 课时数：课 题 点到直线的距离及两条直线的位置关系教学目的1、 会求点到直线的位置关系；2、 熟练掌握判断两直线平行、垂直放入的方法。
教学内容 【知识梳理】1、点到直线的距离公式点),(00y x P 到直线:0l ax by c ++=的距离为：0022ax by cd a b ++=+（220a b +≠） 0022ax by ca b δ++=+在直线同侧的所有点，δ的符号是相同的，在直线异侧的所有点，δ的符号是相反的，2、平面两直线的位置关系⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩平行斜交相交垂直 一般地，设两条直线的方程分别为 1l ：0111=++c y b x a （11,b a 不全为零）…… ①2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）……②（1）两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系：a.1l 与2l 相交⇔方程组(Ⅰ)有唯一解⇔0≠D 即1221b a b a ≠；b.1l 与2l 平行⇔方程组(Ⅰ)无解⇔0=D 且y x D D ,中至少有一个不为零；c.1l 与2l 重合⇔方程组(Ⅰ)有无穷多解⇔0===y x D D D 。
注：02211==b a b a D 时，1l 与2l 平行或重合，即02211==b a b a D 是1l 与2l 平行的必要非充分条件。
换言之，2112b a b a =1l ∥2l ;若两条直线不重合，则1221b a b a =⇔1l //2l（2）当直线平行于坐标轴时可结合图形进行考虑其位置关系。
（3）两直线的夹角公式为：121222221122cos a a b b a b a b θ+=+⋅+例5、求过点P（1，1）且被两平行直线3x－4y－13 = 0与3x－4y＋7 = 0截得线段的长为4 2 的直线方程。
变式练习：已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，直角边BC在直线2x+3y-6=0上，顶点A的坐标是(5，4)，求边AB和AC所在的直线方程.例6、设直线方程为（2m＋1）x＋（3m－2）y－18m＋5 = 0，求证：不论m为何值时，所给的直线经过一定点。
高二数学 7.3两条直线的位置关系(备课资料)大纲人教版必修
高二数学 7.3两条直线的位置关系(备课资料)大纲人教版必修一、参考例题［例1］(1998年全国)两条直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是( )A、A1A2＋B1B2＝0B、A1A2－B1B2＝0C、＝－1D、＝1解：当B1，B2都不为零时，k1＝－，k2＝－k1k2＝＝－1∴A1A2＋B1B2＝0、当B1＝0时，两直线垂直的充要条件是A2＝0，当B2＝0时，两直线垂直的充要条件是A1＝0，所以满足A1A2+B1B2＝0，故选A、评述：一定要注意A1，B1及A2，B2不能同时为零，也要注意斜率等于零与斜率不存在的两条直线互相垂直、［例2］(1997年全国)如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，那么系数a为( )A、－3B、－6C、－D、解：若两直线平行，则，解得a＝－6、故选B、评述：此题通过直线方程的系数比例关系来判断两直线的位置关系、二、参考练习题1、若原点在直线l上的射影是点P（－2，1），则直线l的方程是( )A、x＋2y＝0B、x＋2y－４＝0C、2x－y＋5＝0D、2x＋y＋3＝0解：由已知，得kOP＝－，再由l⊥OP，所以kOPkl＝－1、∴k1＝2、又直线l过点P（－2，1），所以l方程为：y－1＝2（x ＋2）即2x－y＋5＝0、故选C2、若A（－４，2），B(6，－４），C(12，6)，D(2，12)，则下面四个结论,正确的个数是( )①AB∥CD ②AB⊥CD ③｜AC｜＝｜BD｜④AC⊥BDA、1B、2C、3D、４解：∵kAB＝，kCD＝、∴AB方程为y－2＝－（x＋４）即3x＋5y＋2＝0∴C（12，6)不在AB上、∴AB∥CD又∵kAD＝、∴kABkAD＝－1∴AB⊥AD、∵｜AC｜＝｜BD｜＝∴｜AC｜＝｜BD｜∵kAC＝，∴kACkBD＝－1即AC⊥BD、∴四个结论都正确，故选D、评析：此题属于数学中多选题型，需要逐一分析，主要考查学生对基本知识点、基本公式、基本方法的掌握情况、3、求经过点（2，1），且与直线2x+y-10=0垂直的直线L的方程、解法一：设直线L的斜率为k∵直线L与直线2x+y-10=0垂直，∴k（-2）=-1、∴k=、又∵L经过点A（2，1），∴所求直线L的方程为y-1=(x-2),即x-2y=0、解法二：设与直2x+y-10=0垂直的直线方程为x-2y+m=0、∵直线L的经过点A(2,1),∴2-21+m=0、∴m=0、∴所求直线L的方程为x-2y=0、●备课资料参考例题［例1］等腰直角三角形，斜边中点是M（４，2），一条直角边所在的直线方程是y＝2x，求另外两边所在的直线方程、解：设斜边所在直线AB斜率为k，斜边与直角边所夹角为45、所以tan４5＝解得k＝－3或k=，当k=-3时，斜边方程为y－2＝－3（x－４）即3x＋y－1４＝0由∴斜边上一个顶点为A（），另一个顶点B()，另一条直角边所在方程：x＋2y－2＝0，当k＝时，同理可得另两边所在的直线方程：x－3y＋2＝0，x＋2y －1４＝0、［例2］光线从A（－3，４）点射出，到x轴上的B 点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点D(－1，6)点，求BC所在直线的方程、解：如图所示，依题意，B点在原点O左侧，设坐标为(a，0）、由入射角等于反射角，得∠1＝∠2，∠3＝∠４，∴kAB＝－kBC又 kAB＝∴kBC ＝，∴BC的方程y－0＝（x－a）即４x－（3＋a）y－４a＝0令x ＝0，解得C点坐标为(0，），则kDC＝∵∠3＝∠４、∴解得a＝－，代入BC方程得5x－2y＋7＝0、另解：由入射角等于反射角可知BC一定过点A关于x的对称点A＇（-3，-4）及D点关于y轴的对称D＇（1，6）、由两点式得A＇D＇方程即BC方程5x－2y＋7＝0、［例3］等腰三角形两腰所在的直线方程为7x－y－9＝0与x＋y－7＝0，它的底边所在直线通过点A(3，－８），求底边所在的直线方程、解法一：设l1：7x－y－9＝0l2：x＋y－7＝0直线l1、l2的斜率分别为k1，k2，则底边所在的直线l到l1的角与l2到l1的角为等腰三角形两底角，故相等、于是有即：（其中k为所求直线斜率)解得：k＝－3或k＝、∴所求直线方程为3x ＋y－1＝0，或x－3y－27＝0、解法二：设顶角平分线的斜率为k，由已知kl1＝7，kl2＝－1，于是有解得k＝或k＝－3由平面几何知识知道，顶角的平分线与底边垂直，所以底边的斜率为－3和、故所求直线方程为3x＋y－1＝0，或x－3y－27＝0、解法三：设底边所在直线的方程为y＋８＝k（x－3）、即kx－y－3k－８＝0由方程组解得等腰三角形顶点B的坐标为(2，5)、由方程组（k≠7)解得底边一端点C的坐标为（）、由方程组解得底边另一端点D的坐标为(）、由｜BC｜＝｜BD｜，得解得k＝－3或k＝故所求直线方程为：3x＋y－1＝0或x－3y－27＝0、●备课资料一、两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系与二元一次方程组的关系、(1)若二元一次方程组有惟一解，即有惟一解，则l1，l2相交、(2)若二元一次方程组无解，则l1∥l2、(3)若二元一次方程组有无数个解，则直线l1与l2重合、二、两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(其中A2，B2，C2全不为0)的位置关系与方程系数的关系：(1)l1∥l2，(2)l1，l2相交，(3)l1，l2重合、三、参考例题［例1］两条直线y＝kx＋2k＋1和x＋2y－４＝0的交点在第四象限，则k的取值范围是( )A、（－6，2）B、（－，0）C、（－，－）D、（，＋∞)解法一：解方程组得交点为(－）∵此点在第四象限∴∴－，故选C、解法二：如图，直线x＋2y－４＝0与x轴的交点是A （4，0），方程y＝kx＋2k＋1表示的是过定点P（－2，1）的一组直线，其中PB为过点P且与x＋2y－４＝0平行的直线、由于直线的交点在第四象限，因此满足条件的直线的位置应介于直线PB与PA之间，其余率 kPB＜k＜kPA而kPA＝－，kPB＝－，所以－＜k＜－故选C、评述：有关直线的交点问题，可以通过方程用代数的方法解决，也可结合图形用几何的方法解决，让学生予以体会、[例2] 若a+b+c=0,求证直线ax+by+c=0必经过一个定点、证明：由a+b+c=0,且a、b不同时为0，设b≠0，则a=-(b+c),代入直线方程ax+by+c=0,得（x-y）+(x-1)=0、此方程可视为直线x-y=0与x-1=0交点的直线系方程、解方程组得x=1，y=1，即两直线交点为（1，1）、故直线ax+by+c=0过定点（1，1）、●备课资料一、参考例题［例1］(1994年全国)点(0，5)到直线y＝2x的距离是( )A、B、C、D、解：直线方程化为2x－y＝0，由点到直线距离公式可得d ＝、选B、［例2］(1992年全国文)原点关于直线８x＋6y＝25的对称点坐标是( )A、（2，）B、（）C、（3，４）D、（４，3)解法一：取各点横纵坐标一半代入已知直线方程检验，D符合、解法二：设对称点坐标P（x0，y0），则PO中点坐标符合已知直线方程，且kPO（－）＝－1，即，解得P（４，3）、选D二、参考练习题1、已知一直线l被两平行线3x＋４y－7＝0和3x＋４y＋８＝0所截线段长为3，且l过点(2，3)，求l的方程、解：若l斜率不存在，则与题意不符；设直线的斜率为k，直线l的方程为：kx－y＋3－2k＝0由已知两条平行线间的距离为＝3，而l与此两条平行线所截线段长为3，设l与两平行线的夹角为α，则ｔaｎα＝1，两平行线斜率为－、概括两条直线的夹角公式：＝1解得k1＝，k2＝－7、所以直线l的方程是x－7y＋19＝0或7x＋y－17＝0、2、在直线x－3y－2＝0上求两点，使它与点(－2，2）构成等边三角形的三个顶点、解法一：点(－2，2）到直线x－3y－2的距离为d ＝，即等边三角形的高为、由此得等边三角形的边长为、若设此三角形在直线x－3y－2＝0上的顶点坐标为(x0，y0），则x0＝3y0＋2，所以其坐标为（3y0＋2，y0）于是有［3y0＋2－（－2）］2＋（y0－2）2＝（）2、整理得(y0＋1)2＝、∴y0＝－1，x0＝－1故两点为（-1+，-1+）和（－1－，－1－）、解法二：设过点（－2，2）的一条边所在直线的斜率为k、因为等边三角形的内角为60，所以三条边中每两条边的夹角都为60，于是tan60＝,即、解得k＝或k ＝、当k＝时，这条边所在直线方程为：y－2＝（x＋2），解方程组解得x＝－1－，y＝－1－、同理，当k＝时，可求得另一顶点为(－1＋，－1＋)、故两点为(－1＋，－1＋)和(－1－，－1－）备课资料一、直线系的概念一般地、具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含变量x、y以外，还有可以根据具体条件取不同值的变量，称为参变量、简称参数、由于参数取向不同，就得不同的直线系、二、几种常见的直线系 (1)过定点的直线系①直线y=kx+b(其中k为参数，b为常数)它表示过定点(O，b)的直线系,但不包括y轴(即x=0)、②经过定点M(x0，y0)的直线系 y-y0=k(x-x0)(k为参数)它表示经过定点(x0 、y0)的直线系，但不包括平行y轴的那一条(即x=x0)、 (2)已知斜率的直线系①y=kx+b(k为常数,b为参数)它表示斜率为k的平行直线系、②若已知直线L：Ax+By+C=0、与L平行的直线系为Ax+By+m=0,(m为参数且m≠c)、③若已知直线L：Ax+By+C=O,与L垂直的直线系为Bx-Ay+n=O(n为参数)、 (3)经过两条直线交点的直线系①经过两直线Ll：A1x+Bly+C1=O(Al2+Bl2≠O)与L2：A2x+B2y+C2=O(A22+B22≠O)交点的直线系为m(Alx+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其中m、n为参数，m2+n2≠O)、当m=1,n=O时，方程即为L1的方程；当m=O,n=1时,方程即为L2的方程、②上面的直线系可改写成(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=O(其中λ为参数)，但是，方程中不包括直线L2，这个参数方程形式在解题中较为常用、三、常见的点关于直线的对称点有①A(a,b)关于x轴的对称点为A＇ (a，-b)；②B(a,b)关于y轴的对称点为B＇(-a、b)；③C(a，b)关于直线y=x的对称点为C＇(b,a)；④D(a,b)关于直线y=-x的对称点为D＇（-b,-a）; ⑤P(a,b)关于直线x=m的对称点为P＇(2m-a,b)；⑥Q(a,b)关于直线、y=n的对称点为Q＇(a,2n-b); ⑦点E(a,b)关于直线L：Ax+By+C=O的对称点E＇的求法：令E＇(x0、y0),则有解此方程组、可得对称点E＇的坐标、四、常见的直线关于直线的对称直线有设直线L：Ax+By+C=O ①L关于x轴的对称的直线是Ax+B(-y)+C=O；②L关于y轴的对称的直线是A(-x)+By+C=0; ③L关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=O; ④L关于直线y=-x对称的直线A(-y)+B(-x)+C=O、五、针对高考试题特点、对于本节内容应注意的问题1、认真理解和掌握好有关平行、垂直、夹角、距离等基础知识、基本方法及基本问题、2、认真掌握有关对称的四种基本类型问题的解法、即：1点关于点的对称问题；2直线关于点的对称问题；3点关于直线的对称问题；4直线关于直线的对称问题、3、在由两直线的位置关系确定有关字母的值或讨论直线Ax+By+C=0中各系数间的关系和直线所在直角坐标系中的象限等问题时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学方法和思想、4、平面解析几何的核心是坐标法。
高二数学两条直线的位置关系8
高二数学两条直线的位置关系
两条直线的位置关系 两条直线的位置关系（1）一、知识小结1．行列式方法研究直线位置关系：设直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，则在二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=-⎧⎨+=-⎩中（其中1a 、1b 不全为零，2a 、2b 不全为零)；记1122a b D a b =为方程组的系数行列式；记x D =1122c b c b --，1122y a c D a c -=-，则根据我们之前学过的行列式知识：（1）若0D ≠，则方程组有唯一一组解，此时两条直线相交于一点，交点坐标为,y x D D D D ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）若0D =，且x D 、y D 中至少有一个不为零，则方程组无解，此时两条直线无交点，即两条直线平行；（3）若0x y D D D ===，则方程组有无穷多解，此时两条直线有无穷多个交点，即两条直线重合．2．两条直线的位置关系：设有直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，当它们的斜率存在时，把它们的斜率记为1k 、2k ，在y 轴上的截距记为1b 、2b ： （1）若12l l ，则12k k =且12b b ≠，或1k 与2k 均不存在，写成系数的关系即为111222A B C A B C =≠（假设2A 、2B 、2C 都不为0）或120B B ==．我们可以把两条直线的方程化为x 和y 的系数对应相同的形式，设为''11:0l Ax By C ++=， ''22:0l Ax By C ++=，那么这时1l 与2l之间距离为d =；（2）若1l 与2l 相交，则1122A B A B ≠（假设2A 、2B 不为0）（交点坐标由1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=组成的方程组的解确定）；两直线的夹角公式为cos θ=特别地，当12l l ⊥时，必有()12121210k k A A B B ⋅=-+=或10k =，2k 不存在，或20k =，1k 不存在．3．点到直线的距离（1）已知点()00,P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则P 到直线l 的距离d =．（2）记γ=，当点()00,P x y 在法向量(),n a b =指向的同侧时，γ为正；当点()00,P x y 在法向量(),n a b =指向的异侧时，γ为负；当点()00,P x y 在直线上时，0γ=．二、应用举例例1、若点(),M x y 在线段1x y +=，()0,1x ∈上移动（不包括端点），则22x y+的最小值是__________．例2、直线()()()21310k x k y k --+--=恒过定点_____________．两条直线的位置关系 两条直线的位置关系（2）1．填空题例4．过1:3210l x y +-=和2:5210l x y ++=的交点且和3:3560l x y -+=垂直的直线l 的方程是___________例5、已知π02θ≤≤，当点()1,cos θ到直线sin cos 10x y θθ+-=的距离是14时，这条直线的斜率为____________．例6、ABC △中，()1,5A ，高BE 、CF 所在的直线方程分别为20x y -=和5100x y ++=，则BC 所在直线的方程为_____________例6拓展、ABC △中，()1,5A ，角B 、角C 的角平分线分别为20x y -=和5100x y ++=，则BC 所在直线的方程为_____________例6拓展、ABC △中，()1,5A ，AB ，AC 边上的中线CF ，BE 分别为20x y -=和5100x y ++=，则BC 所在直线的方程为_____________、例7、平行四边形ABCD 的一条对角线固定在()3,1A -，()2,3C -两点，D 点在直线310x y -+=上移动，则B 点轨迹所在的方程为 ．例8、由方程112x y -+-=确定的曲线所围成的面积是__________________．两条直线的位置关系 两条直线的位置关系（3）一、应用举例：1、填空题例10、已知()0,0A ，(),B a b 两点，其中0ab ≠，1P 是AB 的中点，2P 是1BP 的中点，3P 是12P P 中点，……，2n P +是1n n P P +的中点，……，则点n P 的极限位置是什么？2．选择题例11、直线()1:1520l m x y m ++-=与()()22:1140l m x m y +++-=平行，则m 为( )． （A ）2-（B ）1-（C ）2-或1-（D ）不存在例12、设全集(){},R,I x y x y =∈∈R ，()3,12y M x y x ⎧-⎫==⎨⎬-⎩⎭，(){},1N x y y x =≠+，则集合M N 等于（ ）． （A ）∅（B ）(){}2,3两条直线的位置关系 两条直线的位置关系（4）一、应用举例：1．解答题例19、已知三条直线1:210l x y +-=，2:0l mx y +=，3:2320l x my --=，若这三条直线不能构成三角形，求m 的值．例20、设集合{L l =直线l 与直线2y x =相交，且以交点的横坐标为斜率} （1）点()2,2-到L 中哪条直线距离最小？（2）设a +∈R ，点()2,P a -到L 中的直线距离的最小值设为min d ，求min d 的解析式．例21、A 是直线:3l y x =上在第一象限内的点，()3,2B 为定点，直线AB 交x 轴正半轴于C ，求OAC △面积的最小值，并求此时A 点坐标．（C ）()2,3（D ）(){},1x y y x =+。
高二数学两条直线的位置关系 人教版
高二数学两条直线的位置关系 人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：两条直线的位置关系［教学目标］掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线的夹角和到角公式，点到直线的距离公式；理解两条直线的交点与对应的方程组的解的关系，会用对应的方程的解的情形判断两条直线相交、平行、重合的位置关系。
［能力训练］培养学生的数形转换能力和简化运算的能力，提高分析问题和解决问题的能力。
二. 重点、难点：1. 重点：两条直线相交（斜交和垂直相交）、平行、重合的条件，两条直线的夹角、到角、点到直线的距离。
2. 难点：记忆和含有参数的二元一次方程表示的两条直线的位置关系和讨论。
【典型例题】一. 两条直线位置关系的判定（一）两条直线平行1. 斜率都不存在时，，，有；l x C l x C l l C C 11221212:://==⇔≠2111222.斜率都存在时，：，：l y k x b l y k x b =+=+有：且l l k k b b 121212//⇔=≠（二）两条直线垂直1. 0l 1一条直线斜率不存在且另一条直线斜率为；⇒⊥l 2211212.斜率都存在时，有。
l l k k ⊥⇔⋅=-（三）用一般式表示两直线：l A x B y C k b 1111110：，斜率为，纵截距为；++=l A x B y C k b 2222220：，斜率为，纵截距为。
++=若、、、、、均不为，A A B B C C 1212120则：与相交A A B B k k l l 12121212≠⇔≠⇔ A A B B C C k k b b l l 121212121212=≠⇔=≠⇔且// A A B B C C k k b b l l 121212121212==⇔==⇔且与重合 若A 1、A 2、B 1、B 2、C 1、C 2中有为0的，此时结合图形讨论位置关系。
例1. ()直线：与：平行，求实数的值。
l x my l m x my m 12210130++=--+= 分析：要对m 是否等于0，分类讨论。
高二数学两条直线的位置关系试题答案及解析
高二数学两条直线的位置关系试题答案及解析1. “”是“直线与直线相互垂直”的 ( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为“直线与直线相互垂直”的充要条件是，即或；所以“” 是“或” 充分而不必要条件，因此“”是“直线与直线相互垂直”的充分而不必要条件.【考点】由直线方程一般式判断直线垂直2. 已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是，， 且它的对角线的交点是M （3，3），求这个平行四边形其它两边所在直线的方程. 【答案】其他两边所在直线的方程是3x-y-16=0，x+y-11=0．【解析】依题意，由方程组x+y−1=0,3x−y+4=0,可解得平行四边形ABCD 的顶点A 的坐标，再结合对角线的交点是M （3，3），可求得C 点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程． 试题解析：联立方程组x+y−1=0,3x−y+4=0, 解得x=−,y=，所以平行四边形ABCD 的顶点A （−,）,设C （x 0，y 0），由题意，点M （3，3）是线段AC 的中点， ∴x 0−=6,y 0+=6， 解得x 0=,y 0=，∴C （,）,由已知，直线AD 的斜率k AD =3． ∵直线BC ∥AD ，∴直线BC 的方程为3x-y-16=0, 由已知，直线AB 的斜率k AB =-1, ∵直线CD ∥AB ，∴直线CD 的方程为x+y-11="0,"因此，其他两边所在直线的方程是3x-y-16=0，x+y-11=0．【考点】1.直线的一般式方程与直线的平行关系；2.直线的一般式方程.3. 求经过直线的交点M,且满足下列条件的直线方程：(1)与直线2x+3y+5=0平行; (2)与直线2x+3y+5=0垂直. 【答案】（1）2x+3y －4＝0；（2）3x-2y+7=0.【解析】（1）与直线2x+3y+5=0平行的直线假设为2x+3y+c=0平行,代入交点坐标即可求出c 的值.（2）与直线2x+3y+5=0垂直的直线假设为3x-2y+b=0,代入交点解出b 的值即可. 试题解析：由题意知：两条直线的交点为（－1，2），（1）因为过（－1，2），所以与2x+3y+5=0平行的直线为2x+3y －4＝0.（2）设与2x+3y+5=0垂直的直线方程为3x-2y+b=0，又过点（－1，2），代入得b=7, 故，直线方程为3x-2y+7=0【考点】1.平行直线间的关系.2.垂直直线间的关系.4.给出下列四个命题，其中正确的是（）在空间若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c．A．①②③B．②④C．③④D．②③【答案】A【解析】①中两直线有可能异面；③中这两直线也有可能相异面，这是一道概念题，主要考查了两直线之间的位置关系和公理四，正确理解概念是解题的关键。
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