金中培优(学生用)专题训练__恒成立存在性问题 verygood print

金中2013级高三数学培优材料1—恒成立与存在性问题
知识点梳理
1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立
2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立
3、恰成立问题的转化：
若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若
,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .
4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥
5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤。

6、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()12=f x g x ，则()f x 在[]b a x ,1∈上的值域M 是()x g 在[]d c x ,2∈上的值域N 的子集。

即：M ⊆N 。

7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥
8、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；
10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 题型一、常见方法
1、已知函数12)(2
+-=ax x x f ，x
a
x g =
)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；
2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；
2、设函数b x x a x h ++=
)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4
1
[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．
分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实
3、已知两函数2
)(x x f =，m x g x
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为
4. 已知()2ln b f x ax x x =-+在1x =与1
2x =处都取得极值. 函数2()=2+g x x mx m -，若对任意的11[,2]2x ∈，总存在21
[,2]2
x ∈，使得、122()()ln g x f x x ≥-，求实数m 的取
值范围。

题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)
1、对于满足2p ≤的所有实数p,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。

2、已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间
[]1,1-上的减函数，(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若[]2()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立，求t 的取值范围；
题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来） 1、当()1,2x ∈时，不等式2
40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .
题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）） 1、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________
2、已知函数()2
22f x x kx =-+，在1x ≥-恒有()f x k ≥，求实数k 的取值范围。

|
x ax
=x
小结：若二次函数()2
0y ax bx c a =++≠大于0恒成立，则有0
a >⎧⎨
∆<⎩，同理，若二次函数
()20y ax bx c a =++≠小于0恒成立，则有0
a <⎧⎨∆<⎩。

若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，
还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。

题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法
若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.
1、存在实数x ，使得不等式2
313x x a a ++-≤-有解，则实数a 的取值范围为______。

2、已知函数()()2
1ln 202
f x x ax x a =-
-≠存在单调递减区间，求a 的取值范围
小结：
恒成立与有解的区别：
恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。

①不等式()f x M <对x I ∈时恒成立max ()f x M •⇔<，x I ∈。

即()f x 的上界小于或等于M ； ②不等式()f x M <对x I ∈时有解min ()f x M •⇔<，x I ∈。

或()f x 的下界小于或等于M ； ③不等式()f x M >对x I ∈时恒成立min ()f x M •⇔>，x I ∈。

即()f x 的下界大于或等于M ； ④不等式()f x M >对x I ∈时有解max ()f x M ⇔>，x I ∈.。

或()f x 的上界大于或等于M ； 题型六、等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法 1． 已知函数()ln ,(1,),f x ax x x e =+∈且()f x 有极值 （I ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若l<m<n<e ，证明n m m n <；
（Ⅲ）函数3
()2,g x x x =--证明：10(1,),(1,),x e x e ∀∈∃∈使得01()()g x f x =成立．
课后作业：
1、设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为（ ）
（A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3}
2、若任意满足05030x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩
的实数,x y ，不等式222
()()a x y x y +≤+恒成立，则实数a 的
最大值是___。

3、不等式2sin 4sin 10x x a -+-<有解，则a 的取值范围是
4、不等式ax ≤
在[]0,3x ∈内恒成立，求实数a 的取值范围。

5、已知两函数()2728f x x x c =--，()32
2440g x x x x =+-。

（1）对任意[]3,3x ∈-，都有()()f x g x ≤成立，求实数c 的取值范围； （2）存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，求实数c 的取值范围； （3）对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，求实数c 的取值范围；
（4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，求实数c 的取值范围；
点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。