高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数导学案
高中数学必修四导学案
.§1.1.1 任意角正负和零角的概念）学习目标1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系讨论任意角.2.能在0o到360o范围内，找出一个与已知角终边相问题4：能以同一条射线为始边作出下列角吗？同的角，并判定其为第几象限角.210o -150o -660o3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合.学习过程一、课前准备（预习教材P2~ P5，找出疑惑之处）体操跳水比赛中有“转体720o，”“翻腾转体两周半”这样的问题5：上述三个角分别是第几象限角，其中哪些角的动作名称,720o在这里表示什么？终边相同.二、新课导学※探索新知问题1：在初中我们是如何定义一个角的？角的范围是问题6：具有相同终边的角彼此之间有什么关系？什么？你能写出与60o角的终边相同的角的集合吗？问题2：（1）手表慢了5 分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？※典型例题（2）手表快了10 分钟，如何校准，校准后，分针转了例1：在0o到360o的范围内，找出与下列各角终边相同几度？的角，并分别判断它们是第几象限角：（1）650o （2）-150o （3）-990o151 问题3：任意角的定义（通过类比数的正负，定义角的.2017 年上学期◆高一月日班级：姓名：变式训练：若是第三象限角，则- ，，2 分别是2第几象限角.变式训练：（1）终边落在x轴正半轴上的角的集合如何表示？终边落在x 轴上呢？例3：如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）.y y（2）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？12045O x xO210例2:若α与240o角的终边相同（1）写出终边与的终边关于直线y=x 对称的角的集合.变式训练：（1）第一象限角的范围____________.（2）第二、四象限角的范围是______________.※动手试试（2）判断是第几象限角.21.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C 关系是（）2.A．B=A∩C B．B∪C=CC．A C D．A=B=C2.下列结论正确的是（）A.三角形的内角必是一、二象限内的角学习评价B．第一象限的角必是锐角※当堂检测（时量：5 分钟满分：10 分）计分：C．不相等的角终边一定不同1、下列说法中，正确的是（）D．| k 360 90 ,k Z =A．第一象限的角是锐角| k 180 90 ,k ZB．锐角是第一象限的角3.若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合C．小于90°的角是锐角为_____________________．_D．0°到90°的角是第一象限的角2、（1）终边相同的角一定相等；（2）相等的角的4.在0°到360°范围内，终边与角－60°的终边在同终边一定相同；（3）终边相同的角有无限多个；（4）一条直线上的角为．终边相同的角有有限多个.上面4 个命题，其中真命题的个数是（）三、小结反思A、0 个B、1 个C、2 个D、3 个本节内容延伸的流程图为：3、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（）0o—360o的角A．｛α9∣0°<α<180°｝任意角：正角，负角和零角B．｛α9∣0°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝象限角C．｛α∣2－70°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝D．｛α∣2－70°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝终边相同的角的表示4、与1991°终边相同的最小正角是_________绝,对值最小的角是______________．_.2017 年上学期◆高一月日班级：姓名：7、角, 的终边关于x y 0 对称,且=-60°，求角.5、若角的终边为第一、三象限的角平分线，则角集合是.§1.1.2 弧度制学习目标1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制课后作业6、将下列落在图示部分的角（阴影部分），用集合表的换算，熟记特殊角的弧度数.示出来（包括边界）. 2.了解角的集合与实数集R 之间可以建立起一一对135 y30y135 60应关系.3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧xOxO度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问题.学习过程一、课前准备（预习教材P6~ P9，找出疑惑之处）在初中，我们常用量角器量取角的大小，那么角的大小的度量单位为什么？4.二、新课导学限、第四象限角的集合.※探索新知问题1：什么叫角度制？问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？问题7：回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导过程。
必修四：1.2.1任意角的三角函数(第1课时)导学案
必修四：§1.2.1 任意角的三角函数（第1课时）【学习目标】1、理解任意角的正弦、余弦、正切的意义2.借助单位圆理解三角函数在各个象限内的符号【学习重点】：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号。
【学习难点】：任意角三角函数的定义。
一、复习1.分别用角度制和弧度制写出终边在下列位置的角的集合。
（1）x轴：；（2）y轴：。
（3）坐标轴上：（4）直线y=x上2.把下列各角化成弧度：（1）36o。
（2）150-o：。
3.把下列弧度化成度：（1）76π-：；（2）103π：。
4.复习特殊角的弧度制5、如图1，根据初中学过的三角函数的定义得到sinａ= =cosａ= =tanａ= =b c6、如图2 ，由相似三角形的知识（1）对于确定角ａ，以上三个比值与无关，与有关。
（2）取|op|=r=1,得到直角坐标系内点的坐标表示的锐角三角形sinａ= =cosａ= =tanａ= =二、思阅读教材12页1、引进弧度制时，在半径为单位长的圆上，角ａ的弧度数的绝对值等于，符号由角ａ的a的终边P(x,y)Oxy12在直角坐标系中，称 为单位圆 2、利用单位圆定义任意角的三角函数 三、议1、角的集合与实数集之间的对应关系四、展例1、 求34π的正弦，余弦，正切值例2、 已知角ａ的终边也经过p （-3，-4），求角ａ的正弦，余弦和正切值 例3、五、评1.三角函数值的符号，总结口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”2.确定下列各三角函数值的符号 （1）sin182°（2）cos(-43°)（3）tan47π六、检 1. 判断（1） 已知ａ是三角形的内角，则必有sin ａ>0,cosa ≥0 （） （2） 对于任意角ａ，sina,cosa,tana 都有意义 （） （3） 同一三角函数值都能找到无数个角与之对立 （） 2.3. 已知角ａ的终边也过点p （2,5），求角ａ的三角函数值4. 设ａ是三角形的一个内角，在san ａ,cos ａ,tana,tan 2a中，哪些可能是负值？5. 判断下列各式的符号（1）tan(-817π) (2)tan120°·sin169°（3）cos4·tan(-π423) 6.若-2π<a<0,则点（tana,cosa ）位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限。
人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数一导学案
1.2.1.任意角的三角函数(一)学习目标.1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.知识点一.任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r .思考1.角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案.sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.思考2.对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？答案.不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.思考3.在思考1中，当取|OP |＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 答案. sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x. 梳理.(1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ；②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0).对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数. 知识点二.正弦、余弦、正切函数的定义域思考.对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？答案.由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终边在y 轴上时，任取一点P ，其横坐标x 都为0，此时y x无意义，故tan α无意义. 梳理.三角函数的定义域知识点三.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考.根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ 答案.由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.当α为第一象限角时，y >0， x >0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示.梳理.记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”. 知识点四.诱导公式一思考.当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案.它们的终边重合.由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等. 梳理.诱导公式一类型一.三角函数定义的应用命题角度1.已知角α终边上一点坐标求三角函数值 例1.已知θ终边上一点P (x ，3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 解.由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r＝xx 2＋9. 又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1，3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3. 当x ＝－1时，P (－1，3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.反思与感悟.(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.②在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝yr，cos α＝xr.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1.已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值. 解.r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |.①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.综上所述，2sin α＋cos α＝±1.命题角度2.已知角α终边所在直线求三角函数值 例2.已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值. 解.由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝ k 2＋(－3k )2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r＝－3k10k＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k ＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角，sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.反思与感悟.在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝b a 2＋b2，cos α＝a a 2＋b2，tan α＝ba. 跟踪训练2.已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值. 解.因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点， 则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0). 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32， cos α＝a 2a ＝12，tan α＝3aa＝ 3.若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3aa＝ 3.类型二.三角函数值符号的判断例3.(1)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在(..) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案.D解析.∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P 在第四象限，故选D. (2)确定下列各三角函数值的符号. ①sin 182°；②cos(－43°)；③tan 7π4.解.①∵182°是第三象限角， ∴sin 182°是负的，符号是“－”. ②∵－43°是第四象限角，∴cos(－43°)是正的，符号是“＋”. ③∵7π4是第四象限角，∴tan 7π4是负的，符号是“－”.反思与感悟.角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.跟踪训练3.(1)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第 象限角. 答案.二解析.由题意知tan α<0，cos α<0， ∴α是第二象限角. (2)判断下列各式的符号.①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5. 解.①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0.∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0. ②∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0. 类型三.诱导公式一的应用 例4.求下列各式的值.(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. 解.(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.反思与感悟.利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”. 跟踪训练4.求下列各式的值. (1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°. 解.(1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.1.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α等于(..) A.45 B.35 C.－35D.－45答案.D解析.由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.故选D.2.cos(－11π6)等于(..)A.12B.－12C.32D.－32答案.C解析.cos(－11π6)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝32.3.若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于(..)A.－34B.34C.43D.－43答案.D 解析.∵cos α＝332＋y 2＝35， ∴32＋y 2＝5，∴y 2＝16， ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4.当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是(..)A.1B.0C.2D.－2答案.C解析.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2.5.已知角α的终边上有一点P (24k ，7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值. 解.当k >0时，令x ＝24k ，y ＝7k ， 则有r ＝(24k )2＋(7k )2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.当k <0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ，∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝x r ＝－2425，tan α＝y x ＝724.1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.2.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.3.终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.课时作业一、选择题1.sin(－1 380°)的值为(..) A.－12B.12C.－32D.32答案.D解析.sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°) ＝sin 60°＝32. 2.已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为(..) A. 3 B.± 3 C.－ 2D.－ 3答案.D解析.∵cos α＝x r＝x x 2＋5＝24x ， ∴x ＝0或2(x 2＋5)＝16，∴x ＝0或x 2＝3，∴x ＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x ＝3(舍去)或x ＝－ 3.故选D. 3.已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为(..) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角答案.D4.已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为(..) A.5π6 B.2π3 C.4π3D.11π6答案.D解析.∵sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12.∴角α的终边在第四象限， 且tan α＝cos2π3sin2π3＝－33，∴角α的最小正值为2π－π6＝11π6. 5.已知角α的终边经过点P (3，4t )，且sin(2k π＋α)＝－35(k ∈Z )，则t 等于(..)A.－916B.916C.34D.－34答案.A解析.sin(2k π＋α)＝sin α＝－35＜0，则α的终边在第三或第四象限.又点P 的横坐标为正数，所以α是第四象限角，所以t ＜0.又sin α＝4t9＋16t2，则4t9＋16t2＝－35，所以t ＝－916.6.某点从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为(..) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 答案.A解析.由三角函数定义可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32.7.如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在(..) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案.C解析.由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，cos θ＜0，∴θ为第三象限角.8.若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于(..) A.±15B.±55C.±255D.±12答案.C 二、填空题9.tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝ . 答案.32解析.tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 10.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角. 答案.一或二解析.要使原式有意义，需cos αtan α>0， 即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角.11.若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .答案.2解析.∵y ＝3x 且sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∴|OP |＝m 2＋n 2＝10|m | ＝－10m ＝10，∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.12.函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域是 . 答案.{－4，0，2}解析.由sin x ≠0，cos x ≠0知，x 的终边不能落在坐标轴上，当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0，sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，sin x cos x <0，y ＝2.故函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域为{－4，0，2}. 三、解答题13.化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4； (2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2ab tan 1 125°.解.(1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1 ＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2ab tan(3×360°＋45°)＝a 2＋b 2＋2ab tan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.四、探究与拓展14.已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，则sin θ＋cos θ＝ .答案.0或－ 2解析.∵θ的终边过点P (x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x. 又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，即x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.15.已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义. (1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，求m 的值及sin α的值. 解.(1)∵1|sin α|＝－1sin α， ∴sin α＜0.①∵lg(cos α)有意义，∴cos α＞0.② 由①②得角α在第四象限.(2)∵点M (35，m )在单位圆上， ∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，∴m ＜0，∴m ＝－45. 由三角函数定义知，sin α＝－45.。
2017人教a版高中数学必修四 1.2.1任意角的三角函数2导
浙江省临海市白云高级中学高中人教版数学必修四导学案：任意角的三角函数2学习目标：通过对任意角的三角函数概念的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等。
学习重点：终边相同的角的同一三角函数值相等。
学习难点：终边相同的角的同一三角函数值相等。
（一）温习1、三角函数（正弦，余弦，正切函数）的概念。
（两个概念）2、三角函数（正弦，余弦，正切函数）的概念域。
3、三角函数（正弦，余弦，正切函数）值在各象限的符号。
4、<小结>常见常常利用角的三角函数值角α30º45º60°120°135°150°角α的弧度数sinαcosαtanα角α0°90°180°270°360°角α的弧度数sinα cosα tanα（二）新知探讨一、问题 ：若是两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？2、求下列三角函数值 (1)sin420°; (2) sin60°3、结论 由三角函数的概念,能够明白:终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此取得一组公式(公式一):例一、求下列三角函数值 （1）9cos 4π⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）11tan 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭当堂检测：1.求下列三角函数值 (1)sin390°; (2)cos 613π; (3)t an(-690°).(4)sin420°; (5)cos625π; (6)tan(-330°).2.计算：（1）()6s i n 903s i n 08s i n 27012c o s 180︒︒︒︒-+-+（2）10c o s 2704s i n 09t a n 015c o s 360︒︒︒︒+++。
人教A版高中数学必修四 1.2.1《任意角的三角函数》导学案(1)
1.2.1 任意角的三角函数（1）导学案【学习目标】1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）. 【导入新课】【复习导入一】：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt ABC ∆中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为sin ,cos ,tan a b a A A A c c b=== ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义. 【情境导入二】提问：锐角O 的正弦、余弦、正切怎样表示？ 借助直角三角形，复习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数.你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .则sin MP bOP r α==；cos OM a OP r α==;tan MP bOM aα==. 思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？ 显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==;cos OM a OP α==;tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数. 新授课阶段1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么：（1）比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；（2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=； （3）比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义. ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、yx分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切 是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数.2．三角函数的定义域、值域义{|,}2k k Z ααπ≠+∈例1 已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的三个函数制值. 解： 变式训练：已知角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.解：例2 求下列各角的正弦值、余弦值、正切值：（1）0；（2）π；（3）32π．解：例3 已知角α的终边过点(,2)(0)a a a≠，求α的正弦值、余弦值、正切值. 解：变式训练：求函数xxxxytantancoscos+=的值域.解析：答案：4．三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值yr对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）；②余弦值xr对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）；③正切值yx对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）． 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值. 5．诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同.即有：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=， tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈．课堂小结1．任意角的三角函数的定义； 2．三角函数的定义域、值域；3．三角函数的符号及诱导公式.作业 见 同步练习 拓展提升1.α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点，且x42cos =α，则αsin 的值为（ ）A. 410B. 46C. 42D.410-2.α是第二象限角，且2cos2cosαα-=，则2α是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3．如果,42ππ<θ<那么下列各式中正确的是（ ） A. cos tan sin θ<θ<θ B. sin cos tan θ<θ<θ C. tan sin cos θ<θ<θ D. cos sin tan θ<θ<θ 二、填空题4.已知α的终边过（-a 39，2+a ）且0cos ≤α，0sin >α，则α的取值范围是 .5.函数x x y tan sin +=的定义域为 .6.4tan 3cos 2sin ⋅⋅的值为 （正数，负数，0，不存在）. 三、解答题7.已知角α的终边上一点P的坐标为（y ）（y 0≠），且sin y 4α=，求cos tan αα和1.2.1 任意角的三角函数（1）导学案参考答案例1解：因为2,3x y ==-，所以r ==sin13y r α===-；cos 13x r α===； 3tan 2y x α==-. 变式训练 解：4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 例2解：（1）因为当0α=时，x r =，0y =，所以sin 00=， cos 01=， tan 00=；（2）因为当απ=时，x r =-，0y =，所以sin 0π=， cos 1π=-， tan 0π=；（3）因为当32πα=时，0x =，y r =-，所以 3sin12π=-， 3cos 02π=， 3tan 2π不存在. 例3解：因为过点(,2)(0)a a a ≠，所以|r a =，,2x a y a ==.当0siny a r α>====时，cosx r α===；2tan =α；当0siny a r α<===时，cosx r α===；2tan =α． 变式训练：解析：分四个象限讨论.答案：{2，-2，0}拓展提升一、选择题：1. A 2 . C 3． D二、填空题4.]3,2(- 5. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z∈+≠kkxx,2|ππ6. 负数三、解答题7. 解：由题意，得：sin y4α==解得：y=cos tan43α=-α=±。
高中数学必修四导学案
高中数学必修四导学案目录第一章 三角函数1.1.1 任意角 ..........................................................................................1 1.1.2 弧度角 ..........................................................................................5 1.2.1 任意角的三角函数(1) ........................................................................8 1.2.1 任意角的三角函数(2) ........................................................................12 1.2.2 同角三角函数的关系(1) .....................................................................15 1.2.2 同角三角函数的关系(2) .....................................................................17 1.2.3 三角函数的诱导公式(1) .....................................................................19 1.2.3 三角函数的诱导公式(2) .....................................................................22 1.2.3 三角函数的诱导公式(3) .....................................................................25 1.3.1 三角函数的周期性 ...........................................................................27 1.3.2 三角函数的图象和性质(1) ..................................................................30 1.3.2 三角函数的图象和性质(2) ..................................................................33 1.3.2 三角函数的图象和性质(3) ..................................................................36 1.3.3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象(1) ......................................................38 1.3.3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象(2) ......................................................41 1.3.4 三角函数的应用.................................................................................44 三角函数复习与小结 (46)第二章 平面的向量2.1 向量的概念及表示..............................................................................49 2.2.1 向量的加法.......................................................................................52 2.2.2 向量的减法.......................................................................................55 2.2.3 向量的数乘(1) .................................................................................58 2.2.3 向量的数乘(2) .................................................................................62 2.3.1 平面向量的基本定理 ........................................................................65 2.3.2 向量的坐标表示(1) ........................................................................68 2.3.2 向量的坐标表示(2) ........................................................................70 2.4.1 向量的数量积(1) ...........................................................................72 2.4.1 向量的数量积(2) (75)第三章 三角恒等变换3.1.1 两角和与差的余弦公式 .....................................................................77 3.1.2 两角和与差的正弦公式 .....................................................................81 3.1.3 两角和与差的正切公式 .....................................................................85 3.2.1 二倍角的三角函数(1) .....................................................................88 3.2.1 二倍角的三角函数(2) (92)第一章 三角函数 1.1.1 任意角【学习目标】1． 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念2． 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？______________________________________________________ 所学的角的范围是什么？______________________________________________________ 问题2：在体操、跳水中，有“转体0720”这样的动作名词，这里的“0720”，怎么刻画？______________________________________________________二、建构数学 1．角的概念角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。
1.2.1任意角的三角函数(2015年人教A版数学必修四导学案)
一：学习目标
1. 2. 进一步掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，会用角α 的正弦线、 余弦线、正切线分别表示任意角α 的正弦、余弦、正切函数值； 进一步掌握正弦、余弦、正切的函数的定义域和这三种函数的值在各 象限的符号。
备
注
二：课前预习 （1）已知角 的终边经过 点 (1, 2) ，则 cos 的值为_______________。
2 、 若 三角 形的 两 内角 、 满 足 sin cos 0 ， 则 此三 角 形形 状 是 ( ) B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定
A、锐角三角形 3、求下列函数 y
2 cos x 1 定义域
4、已知角 的终边经过点 P( 3, y) ，且 sin （1）求 y （2）求 的终边所在的象限
3 y( y 0) 。 4
（3）求 tan
【课后检测】 1、利用单位圆写出符合下列条件的角
（1）sin
y
1 2
（2）cos
y
1 2
（3） tan 1
y
O
x
O
x
O
x
2 、 当 、 满 足 什 么条 件时 ，有 sin sin ？ 又 什 么条 件时 ， 有
例 2、 已知点 M (4, x) 在角 的终边上， 且满足 x < 0 ，cos = 的值。
4 ， 求 tan 5
例 3、求函数 y = sin x cos x 的定义域。
四：学后反思
课堂检测 任意角的三角函数（2）
班级：
姓名：
1、若角 ( 0 2 )的正弦线与余弦线的数量互为相反数，那么 的值 为
2017人教a版高中数学必修四1.2.1-1任意角的三角函数教
1.2.1任意角的三角函数(一)一、教学目标：一、知识与技术（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的概念（包括这三种三角函数的概念域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的概念方式；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值别离用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.二、进程与方式初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把那个概念推行到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终取得任意角三角函数的概念.按照角终边所在位置不同,别离探讨各三角函数的概念域和这三种函数的值在各象限的符号.最后主如果借助有向线段进一步熟悉三角函数.讲解例题，总结方式，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数能够有不同的概念方式，而且各类概念都有自己的特点.过去适应于用角的终边上点的坐标的“比值”来概念，这种概念方式能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推行，有利于引导学生从自己已有认知基础动身学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有必然的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能取得，这与函数值是一个肯定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标概念任意角的正弦函数、余弦函数.那个概念清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系. 二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的概念（包括这三种三角函数的概念域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的概念（包括这三种三角函数的概念域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数能够有不同的概念方式，本节利用单位圆上点的坐标概念任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.另外，如此的概念使得三角函数所反映的数与形的关系加倍直接，数形结合加倍紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数加倍好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学假想第一课时任意角的三角函数（一）提问：锐角O的正弦、余弦、正切如何表示？借助右图直角三角形，温习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
2014人教A版高中数学必修四 1.2.1《任意角的三角函数》(1)导学案
高中数学人教版必修4：：1.2.1《任意角的三角函数（1）》导学案【学习目标】1﹑能说出任意角三角函数的定义.2﹑知道三角函数是以实数为自变量的函数. 【重点难点】▲重点：1﹑任意角三角函数的定义.2﹑正弦﹑余弦﹑正切函数的定义域. ▲难点：正弦﹑余弦﹑正切函数的定义域 【知识链接】1﹑初中我们已经学习过锐角三角函数，它们都是以锐角为自变量的，请填好下表：图形AcbC a B定义=A sin =A cos =A tan 定义域 ∈A三角函数 值的正负0sin >A ,0cos >A ,A tan 0正弦﹑余 弦﹑正切 的关系2﹑下列题目你会做吗？①地球的赤道半径为6370千米，那么赤道上︒1的圆心角所对的弧长为 ，1弧度的圆心角所对的弧长为 .②若角α与角β的终边关于x 轴对称，则α与β的关系为 .【学习过程】阅读课本第11页的内容，尝试回答以下问题：问题4﹑尝试重新定义三角函数，设角α终边上任意一点的坐标为),(y x ，它与原点的距离为r ，则：αsin = αcos = αtan =问题5﹑已知角α的终边经过点)4,3(0--P ,求角α的正弦﹑余弦和正切值.问题6﹑三角函数可以看成以 为自变量，以单位圆上的 为函数值的函数，由角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，因此三角函数可以看成是自变量 的函数.知识点2:三角函数的定义域﹑值域问题1﹑结合三角函数的定义，可得三角函数的定义域与值域.三角 函数定义域值 域αsinαcosαtan问题2﹑特殊角的三角函数值.角α的度数 ︒0 ︒30︒45︒60︒90︒120 ︒150 ︒180 ︒270 ︒360角α的 弧度数αsinαcosαtan知识点3:三角函数值在各象限里的正负问题1﹑结合三角函数的定义，尝试判断三角函数值在各个象限的符号.问题2﹑确定下列三角函数值的符号.①︒156sin ②π56cos ③)450cos(︒- ④)817tan(π- ⑤)34sin(π- ⑥︒556tan知识点2:诱导公式（一）问题1﹑由三角函数的定义可知终边相同的三角函数值有何关系呢？问题2﹑诱导公式（一）的内容是什么？（ ） （ ） （ ） （ ） αcos 0x y （ ） （ ） （ ） （ ） αsin 0x y （ ） （ ） （ ） （ ） αtan 0xy。
高中数学 必修四 4-1.2.1任意角的三角函数(一)教案 新人教A版必修4
4-1.2.1任意角的三角函数（一）教学过程：一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b a sinA cosA tanA c c b=== ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲解新课：1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么 （1）比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值x y叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0， 所以tan y x α=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，yx =αcot 无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x y 分别是一个确定的实数，正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
2．三角函数的定义域、值域注意：(1)在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合(2) α是任意角，射线OP 是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox 转了几圈，按什么方向旋转到OP 的位置无关.(3)sin α是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样.(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x 轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆3．例题分析例1．求下列各角的四个三角函数值： （通过本例总结特殊角的三角函数值）（1）0； （2）π； （3）32π． 解：（1）因为当0α=时，x r =，0y =，所以sin 00=， 01cos =， tan 00=， cot 0不存在。
1.2.1 任意角的三角函数导学案
鸡西市第十九中学学案
问题2 如图，锐角任取一点P (a ，b OP r ==；= = ；OM
== .
问题3 如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．锐角α的终边与单位圆交于tan α＝ .
【单位圆定义任意角三角】么： 叫做α的正弦，记作α，即cos α＝ ；y
x
叫做
【终边定义定义任意角的三角函数】
试一试：
角34π与单位圆的交点坐标为角2π与单位圆的交点坐标为小结：根据三角函数的定义可知，三角函数是一个和点P (x ，y )离原点的距离无关
三角函数值的符号在以后学习中经常用到，必须熟记，可根据定义记，也可按以下口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)．
判断下列各式的符号：
cos α(其中α是第二象限角)；(2)sin 285°cos(－105°)；(3)sin 3·cos 4·tan
若sin αcos α<0，则α是第________象限角．
代数式：sin 2·cos 3·tan 4的符号是_________．。
高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数导学案
1.2.1任意角的三角函数（A层学案）学习目标：1.能借助单位圆记住任意角的正弦、余弦、正切函数的定义；2.记住诱导公式一并会应用。
学习重点：任意角三角函数的定义及诱导公式一的应用。
学习难点：任意角的三角函数的定义。
一、课前预习案1．任意角三角函数(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：①y叫做α的________，记作______，即sinα＝y；②x叫做α的________，记作______，即cosα＝x；③yx叫做α的________，记作______，即tanα＝yx(x≠0)．(2)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)，它到原点的距离r(r>0),r= ,那么任意角α的三角函数的定义为：sinα＝cosα＝tanα＝2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号记忆口诀：。
3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值________，即：sin(α＋k·2π)＝________，cos(α＋k·2π)＝________，tan(α＋k·2π)＝________，其中k∈Z.二、课内探究案知识点一利用定义求角的三角函数值例1：已知角α的终边经过点P(－4,3)，求sin α、cos α、tan α的值．变式训练1：（1）已知角α的终边过点0(3,4)P--，求角α的正弦、余弦和正切值.（2）已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值．知识点二：三角函数值的符号问题例2.（1）α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是( )αααα或tan α（2）若sin θ·tan θ＞0，cos θ·tan θ＜0，则sin θ·cos θ______0 (填“＞”“＜”或“=”).(3)函数的值域是_______.变式训练2：判断下列各式的符号.(1)sin 370°+cos 370°.知识点三诱导公式一的应用例3求下列各式的值． (1) cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4 ; (2) sin 420° (3)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；变式训练3：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π3＋tan 17π4； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°课堂小结：当堂检测 1. α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点，且x 42cos =α，则αsin 的值为（ ）A.410 B. 46 C. 42 D. 410-2. α是第二象限角，且2cos2cosαα-=，则2α是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角 3. 已知α的终边过（-a 39，2+a ）且0cos ≤α，0sin >α，则a 的取值范围是 。
1.2.1任意角的三角函数 导学案-人教版高中数学必修四
(情景1)我们在初中通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数．请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？
图2
图3
图4
(1)y叫做α的
图6
分5个板块
（1）复习高一的任意角和角的研究方法。
α――L
R
角与实数一一对应。
（2）任意角的三角函数的定义。
（四个象限数形结合）
（3）取R＝1定义单位圆。
（4）例题、练习题。
（思路、方法）（5）总结归纳，作业布置。
要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：
1．你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？或者说任意角三角函数具体是怎样定义的？(建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合……在终边上任意取定一点P……)．2．你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？(根据定义……)
3．你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？(根据定义，想象坐标位置……)
设计意图
遗忘的规律是先快后慢，回顾再现是记忆的重要途径，在课堂内及时总结识记主要内容是上策．此处以问题的形式让学生自己归纳识记本节课的主体内容，抓住要害，人人参与，及时建构知识网络，优化知识结构，培养认知能力．。
高中数学 1.2 任意角的三角函数导学案 新人教A版必修4 学案
某某省某某市三水区实验中学高中数学 1.2 任意角的三角函数导学案新人教A版必修4【学习目标】1.掌握任意角的三角函数的定义。
2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。
【重点难点】1. 熟练求值。
2. 理解任意角的三角函数的定义。
【预习指导】1．阅读教材第11～13页。
2．回顾初中学过的锐角三角函数的定义？（如图）在Rt△ABC中，sinA= ,cosA= , tanA= .3．思考：你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？点的位置对这三个比值有影响吗？4．在平面直角坐标系中，我们称以______为圆心，以__________为半径的圆为单位圆。
【合作探究】1. 例题研讨：例1：求下列各角的正弦、余弦、正切值：π、4π、3π、53π(讨论求法→试求（学生板演）→订正)ABC→小结：画角的终边与单位圆，求交点，求值.例2：已知角α的终边经过点P(-4,-3)，求角α的正弦、余弦和正切值.（学生试求→订正→小结解法）2. 任意角的三角函数的定义：①思考：已知角α终边上任意一点P (x, y)，如何求它的三角函数值呢?②定义：一般地，设角α终边上任意一点的坐标为P (x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝；cosα＝；tanα＝.③讨论：这三个比值与点P的位置是否有关？当α的终边落在x轴、y轴上时，哪些三角函数值无意义？任何实数是不是都有三角函数值？为什么？【达标测评】(参考《全优》P7)1.若角α终边上有一点P(0,3)，则下列函数值无意义的是() A．tan α B．sin αC．cos α D．无法确定2.已知角α的终边经过点P(m,-3)，且cosα=-45,则m等于( )A．－114 B.114C．-4 D．43.若点P(4，y)是角α终边上一点，且sin α＝－35，则y的值是________．【归纳小结】单位圆定义任意角的三角函数；2.由终边上任一点求任意角的三角函数；【巩固练习】（各班可按实际情况安排）1．练习：教材P15：1，3；2．作业：教材P15：2.第二课时：任意角的三角函数（二）【学习目标】1. 掌握各象限的三角函数值的符号。
高中数学1.2.1任意角的三角函数导学案新人教版必修4
1.21任意角的三角函数课前预习学案一、预习目标：1.了解三角函数的两种定义方法；2.知道三角函数线的基本做法.二、预习内容：根据课本本节内容，完成预习目标，完成以下各个概念的填空.课内探究学案一、学习目标（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.二、重点、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.三、学习过程（一）复习：1、初中锐角的三角函数______________________________________________________2、在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为_______________________________________________（二）新课：1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,) x y，它与原点的距离为(0)r r==>，那么（1）比值_______叫做α的正弦，记作_______，即________（2）比值_______叫做α的余弦，记作_______，即_________（3）比值_______叫做α的正切，记作_______，即_________；2．三角函数的定义域、值域3．三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值yr对于第一、二象限为_____（0,0y r >>），对于第三、四象限为____（0,0y r <>）；②余弦值xr对于第一、四象限为_____（0,0x r >>），对于第二、三象限为____（0,0x r <>）；③正切值yx对于第一、三象限为_______（,x y 同号），对于第二、四象限为______（,x y 异号）．4．诱导公式由三角函数的定义，就可知道：__________________________即有：_________________________ _________________________ _________________________5．当角的终边上一点(,)P x y 的坐标满足_______________时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
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1.2.1任意角的三角函数（A层学案）
学习目标：1.能借助单位圆记住任意角的正弦、余弦、正切函数的定义；
2.记住诱导公式一并会应用。
学习重点：任意角三角函数的定义及诱导公式一的应用。
学习难点：任意角的三角函数的定义。
一、课前预习案
1．任意角三角函数
(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
①y叫做α的________，记作______，即sinα＝y；
②x叫做α的________，记作______，即cosα＝x；
③y
x
叫做α的________，记作______，即tanα＝
y
x
(x≠0)．
(2)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)，它到原点的距离r(r>0),r=,那么任意角α的三角函数的定义为：
sinα＝
cosα＝
tanα＝
2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
记忆口诀：。
3．诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值________，即：
sin(α＋k·2π)＝________，cos(α＋k·2π)＝________，
tan(α＋k·2π)＝________，其中k∈Z.
角α0π
6
π
4
π
3
π
2
2
3
π
3
4
π
5
6
ππ
3
2
π2π
sin αcos αtan α
二、课内探究案
知识点一利用定义求角的三角函数值
例1：已知角α的终边经过点P(－4,3)，求sin α、cos α、tan α的值．变式训练1：
（1）已知角α的终边过点
0(3,4)
P--，求角α的正弦、余弦和正切值.
（2）已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值．
知识点二：三角函数值的符号问题
例2.
（1）α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是( )
A.sin α
B.cos α
C.tan α
D.cos α或tan α
（2）若sin θ·tan θ＞0，cos θ·tan θ＜0，则sin θ·cos θ______0 (填“＞”“＜”或“=”).
(3)函数的值域是_______.
变式训练2：判断下列各式的符号.
(1)sin 370°+cos 370°.
知识点三 诱导公式一的应用
例3 求下列各式的值．
(1) cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4 ; (2)sin 420°(3)cos 25π3＋tan ⎝
⎛⎭⎪⎫－15π4；
变式训练3：
(1)cos ⎝
⎛⎭⎪⎫－23π3＋tan 17π4；(2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°
课堂小结：
当堂检测
1. α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点，且
x 42cos =α， 则αsin 的值为（ ） A. 410 B. 46 C. 42 D.
410- 2. α是第二象限角，且2cos 2cos αα
-=，则2α是（ ）
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
3. 已知α的终边过（-a 39，2+a ）且0cos ≤α，0sin >α，则a 的取值范围是。
4. 函数x x y tan sin +=的定义域为。
5.已知角α的终边上一点P 的坐标为（y ）（y 0≠），且
sin y 4α=，
求cos tan αα和。