【最后冲刺】2013届高考数学知识点扫描复习9排列、组合、二项式、概率
2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：10.2排列、组合应用题(第1课时)
• 4. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 ⑤ _________，叫做从n个不同元素中取 并成一组 出m个元素的一个组合. • 5.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ⑥ ______________，叫做从n个不同元 所有组合的个数 素中取出m个元素的组合数，记作⑦ m Cn ____ . m n n 1 n 2 n m 1 A=⑧ ____________________. n • 6. m n n 1 n 2 n m 1 C =⑨ ____________________. • 7. n m m 1 m 2 2 1
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题型2
• • • • • • • • •
(2)方程要有实根，需Δ=b2-4ac≥0. 当c=0时，a、b可在1、3、5、7 2 中任取2个，有 A 4 个； 当c≠0时，b只能取5、7. 2 b取5时，a、c只能取1、3，有 A 2 个； b取7时，a、c可取1、3或1、5， 2 有2 A 2 个. 故有实数根的一元二次方程共有 2 2 2 A4 A2 2 A2 18 个.
A5 A4
5 4
6
• 2.若2n个学生排成一排的排法数为x，这 2n个学生排成前后两排，每排各n个学生 的排法数为y，则x、y的关系为( ) C • A. x>y B. x<y • C. x=y D. x=2y • 解：第一种排法数为 ，第二种排法数 2n A2 n 为 n n = 2 n ，从而x=y.
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• 2.元素相邻用“捆绑法”，即将必须相邻的元 素“捆”在一起当作一个元素进行排列. • 3.元素相离用“插空法”，即把可相邻元素每 两个元素留出一个空位，将不能相邻即相离的 元素插入空位中进行排列. • 4.定序元素用“除法”，即n个元素的全排列 中若有m个元素必须按一定顺序排列，这m个 元素相邻或不相邻都可以，
2013届高考数学排列组合.doc
排列组合二项式定理概率统计（附高考预测）一、本章知识结构：二、重点知识回顾 1.排列与组合⑪ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.⑫ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.⑬ 排列与组合的主要公式 ①排列数公式：)1()1()!(!+-⋅⋅⋅-=-=m n n n m n n A m n (m ≤n) A n n =n! =n(n ―1)(n ―2) ·…·2·1. ②组合数公式：12)1()1()1()!(!!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯+-⋅⋅⋅-=-=m m m n n n m n m n C m n (m ≤n).③组合数性质：①m n n m n C C -=(m ≤n). ②n n n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++③1314202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n n n n n n C C C C C2.二项式定理 ⑪ 二项式定理(a +b)n =C 0n a n +C 1n a n －1b+…+C r n a n －r b r +…＋C n n b n ，其中各项系数就是组合数C r n ，展开式共有n+1项，第r+1项是T r+1 =C r n a n －r b r .⑫ 二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1项T r+1=C r n a n －r b r (r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。
⑬ 二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C r n = C rn n - (r=0,1,2,…,n).②若n 是偶数，则中间项(第12+n 项)的二项公式系数最大，其值为C 2n n；若n 是奇数，则中间两项(第21+n 项和第23+n 项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C21-n n= C21+n n.③所有二项式系数和等于2n ，即C 0n +C 1n ＋C 2n +…+C nn =2n .④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即C 0n +C 2n +…=C 1n +C 3n+…=2n ―1. 3.概率（1）事件与基本事件：:S S S ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩随机事件在条件下,可能发生也可能不发生的事件事件不可能事件:在条件下,一定不会发生的事件确定事件必然事件:在条件下,一定会发生的事件基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．（2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化． （3）互斥事件与对立事件：（4）古典概型与几何概型：古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型． 几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例．两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．（5）古典概型与几何概型的概率计算公式： 古典概型的概率计算公式：()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数．几何概型的概率计算公式：()A P A =构成事件的区域长度(面积或体积)试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)．两种概型概率的求法都是“求比例”，但具体公式中的分子、分母不同．（6）概率基本性质与公式①事件A 的概率()P A 的范围为：0()1P A ≤≤．②互斥事件A 与B 的概率加法公式：()()()P A B P A P B =+ ． ③对立事件A 与B 的概率加法公式：()()1P A P B +=．（7） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是p n (k) = C k np k (1―p)n ―k . 实际上，它就是二项式[(1―p)+p]n 的展开式的第k+1项. （8）独立重复试验与二项分布①．一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立；②．二项分布的概念：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1)(012)k kn k n P X k C p p k n -==-= ，，，，，．此时称随机变量X服从二项分布，记作~()X B n p ，，并称p 为成功概率．4、统计（1）三种抽样方法 ①简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回．我们在抽样调查中用的是不放回抽取．简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限．从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作．它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性．每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性．实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解．随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，…，9这十个数字的数表．随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性． ②系统抽样系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况．系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样． 系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔k ，当N n（Ｎ为总体中的个体数，n 为样本容量）是整数时，N k n=；当N n不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数Ｎ能被n 整除，这时N k n'=；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号l ，再按事先确定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个编号()l k +，将()l k +加上k ，得到第3个编号(2)l k +，这样继续下去，直到获取整个样本． ③分层抽样当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样． 分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本． （2）用样本估计总体样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确．①用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定一组数据进行列表、作图处理．作频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤．画样本频率分布直方图的步骤：求全距→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图．②茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信息都可以从图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便．③平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程度，其计算公式为s=．有时也用标准差的平方———方差来代替标准差，两者实质上是一样的．（3）两个变量之间的关系变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系．在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解．分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估计求出回归直线方程．通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，形成散点图．然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系：如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，其对应的方程叫做回归直线方程．在本节要经常与数据打交道，计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器．（4）求回归直线方程的步骤：第一步：先把数据制成表，从表中计算出211nni i i i i x y x y x ==∑∑，，，；第二步：计算回归系数的a ，b ，公式为1112211()()()n n ni i i i i i i n ni i i i n x y x y b n x x a y bx =====⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑，；第三步：写出回归直线方程 y bx a =+．（4）独立性检验①22⨯列联表：列出的两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为12{,}x x 和12{,}y y 的样本频数表称为22⨯列联表1构造随机变量22()()()())n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）得到2K 的观察值k 常与以下几个临界值加以比较：如果 2.706k >，就有0090的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系；如果 3.841k>就有0095的把握因为两分类变量X和Y是有关系；如果 6.635k>就有0099的把握因为两分类变量X和Y是有关系；如果低于 2.706k≤，就认为没有充分的证据说明变量X和Y是有关系．②三维柱形图：如果列联表1的三维柱形图如下图由各小柱形表示的频数可见，对角线上的频数的积的差的绝对值-较大，说明两分类变量X和Y是有关的，否则的话是无关的．||ad bc图重点：一方面考察对角线频数之差，更重要的一方面是提供了构造随机变量进行独立性检验的思路方法。
2013年江苏高考数学复习“应试笔记”(排列组合、二项式定理、概率统计、矩阵与变换)
⑤先选后排法．
⑥至多至少问题间接法，分类法．
⑦相同元素分组可采用隔板法．如：方程x＋y＋z＝100的正整数解的个数．
⑧涂色问题先分步考虑至某一步时再分类．
（3）定义域的几种类型．①分母；②对数；③偶次方根；④正切；⑤实际问题．本质上是解不等式或不等式组．
（4）函数单调性的定义．注意区间内的任意性．
（5）函数奇偶性的定义及其图象特征．
（6）函数周期性的定义及其图象特征．
（7）基本初等函数的图象及其分布、定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性．
（8）指数、对数的意义及其运算法则．
⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组，别忘除以n！．
⑩最原始的方法：逐个列举，往往是最好的方法．
（3）解决二项式问题的基本方法是从通项入手．Tk＋1＝Can－kbk．
（4）有关系数和的问题用赋值法，对组合恒等式的证明常用到：
①求导后赋值；②赋值；③kC＝nC
A6．概率、统计
【必修部分】
江苏高考数学复习“应试笔记”
江苏高考·数学解题·高分策略
——难点突破与培优提高
第I卷160分部分
一、填空题
答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!
A1．集合
1．知识点
（1）集合的表示方法．3种．列举法．
（2）元素与集合的关系．2种．，．
（3）集合与集合的关系．重点：AB，AB，A＝B．
（2）解排列组合问题的方法有：
①特殊元素、特殊位置优先法
高三数学选修知识点
高三数学选修知识点一、概率与统计1. 排列与组合- 排列：对给定的元素进行有序的选取，可以考虑顺序。
- 组合：对给定的元素进行无序的选取，不考虑顺序。
2. 随机事件与概率- 随机事件：不确定性事件的结果。
- 概率：事件发生的可能性大小，用数字表示。
3. 事件的独立性与互斥性- 独立事件：前一事件发生与否，对后一事件发生的概率没有影响。
- 互斥事件：两事件不能同时发生，互为对立事件。
4. 事件的全概率公式与贝叶斯公式- 全概率公式：利用样本空间元素的划分，给出事件的概率计算方式。
- 贝叶斯公式：通过已知信息，计算条件概率。
5. 随机变量与概率分布- 随机变量：将随机试验的结果与实数对应的变量。
- 概率分布：随机变量在各个取值上的概率。
6. 离散型随机变量的概率分布- 二项分布：固定次数的独立重复实验中成功次数的概率分布。
- 泊松分布：在单位时间或单位面积内随机事件发生次数的概率分布。
7. 连续型随机变量的概率分布- 均匀分布：取值范围内的概率密度函数为常数的分布。
- 正态分布：钟形曲线状的分布，符合中心极限定理。
8. 统计量与抽样分布- 统计量：利用样本数据计算的一些特征指标，如均值、方差等。
- 抽样分布：样本统计量的概率分布。
9. 参数估计与假设检验- 参数估计：利用样本数据对总体参数进行估计。
- 假设检验：判断总体参数是否满足某种假设。
二、解析几何1. 点、向量和坐标- 点：在二维坐标系或三维坐标系上表示一个位置。
- 向量：有大小和方向的量，可以表示从一个点到另一个点的位移。
- 坐标：表示点的位置的有序数组。
2. 直线和平面方程- 直线方程：一般式、斜截式、点斜式等不同表示方式。
- 平面方程：点法式、一般式等不同表示方式。
3. 空间中的位置关系- 点与直线的位置关系：在线上、在线上延长线上或在线的两侧。
- 点与平面的位置关系：在平面上、在平面上延长线上或在平面的两侧。
4. 直线和平面的交点问题- 直线与直线的交点：联立直线方程求解。
2013年高考数学 易错点点睛与高考突破 专题12 排列、组合、二项式定理
2013年高考数学 易错点点睛与高考突破 专题12 排列、组合、二项式定理难点 1利用空间向量解立几中的探索性问题1．如图11-23，PD ⊥面ABCD ，ABCD 为正方形，AB=2，E 是PB 的中点，且异面直线DP与AE 所成的角的余弦为33。
1，m ），)2,0,0(),,1,1(m DP m AE =-=∴∴cos<DP AE ,>=,33211222=•++m m m 得m=1.∴P(0,0,2),E(1,1,1)2．如图11-25，直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，面ABCD 是一个直角梯形，AB 、CD 为梯形的两腰，且AB=AD=AA 1=a 。
（Ⅰ）如果截面ACD1的面种为S ，求点D 到平面ACD1的距离；（Ⅱ）当BC AB为何值时，平面AB 1C ⊥平面AB 1D 1。
证明你的结论。
难点 2利用空间向量求角和距离1．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BC=a，AA1=1。
（1）棱BC上是否存在点P，使A1P⊥PD，说明理由；（2）若BC上有且仅有一点P，使A1P⊥PD，试求此时的二面角P-A1D-A的大小。
易错点 1求异面直线所成的角1．如图11-1，四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点。
（1）证明：面PAD ⊥面PCD ；（2）求AC 与PB 所成的角；（3）求面AMC 与面BMC 所成二面角A-CM-B 的大小。
2．如图11-2，在直四棱术ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=23，AA1=3，AD⊥DC，AC⊥BD，垂足为E。
（1）求证BD⊥A1C；（2）求二面角A1-BD-C1的大小；（3）求异面直线AD与BC1所成角的大小。
0，0）、D（3-，0，0）、A（0，-1，0），其中A1、D、A的坐标容易求错。
高中数学排列组合与二项式定理知识
高中数学排列组合与二项式定理知识
排列组合与二项式定理是高中数学的一个重要学习内容。
知识点你都掌握了吗?下面是店铺为你整理的高中数学排列组合与二项式定理知识，一起来看看吧。
高中数学排列组合知识
高中数学二项式定理知识
高中数学排列组合与二项式定理解题技巧
1. 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
2. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。
3. 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。
4. 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。
5. 了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。
6. 了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。
7. 了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。
8. 会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.。
2013届高考数学知识点扫描复习10.doc
九、排列、组合、二项式、概率：一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。
分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。
区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。
二、排列与组合：（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题； 区别：前者有顺序，后者无顺序。
（2）排列数、组合数： 排列数的公式：)()!(!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n ≤-=+---= 注意：①全排列：!n A n n =； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；排列数的性质：①1-=m m nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成：第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上；第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）②m m m A mA A 1-+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成：第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成：第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。
第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）即有11--m n mA 种不同的方法。
第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个位置上，有m n A 1-种方法。
高三总复习排列组合二项式定理和概率
高三总复习排列组合二项式定理和概率一、本讲进度«排列、组合、二项式定理和概率» 二、本讲要紧内容1、排列数、组合数的运算、化简、证明等；会解排列、组合应用题，把握常见应用题的处理思路。
2、把握二项式定理，会用展开式通项求有关展开式的咨询题。
3、明白得随机事件的概率，会求等可能事件的概率，能用加法公式和乘法公式求互斥事件和相互独立事件同时发生的概率。
三、复习指导1、分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直截了当解题。
它们的共同点差不多上把一个事件分成假设干个分事件来进行运算。
只只是利用分类运算原理时，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续假设干步才能完成的那么是分步。
利用分类计数原理，重在分〝类〞，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性。
比较复杂的咨询题，常先分类再分步。
2、排列数与组合数差不多上运算完成事件方法个数的公式，排列数是研究排列〔既取又排〕个数的公式，组合数是研究组合〔只取不排〕个数的公式，是否有序是它们之间的本质区不。
排列数公式：)!m n (!n )]1m (n [)2n )(1n (n A m n -=----= ，当m=n 时，!n 12)1n (n A m n =⋅-= ，其中m ，n ∈N +，m ≤n ，规定0!=1组合数公式：)!m n (!m !n !m )]1m (n [)2n )(1n (n A A C m mm n m n-=----==组合数性质：m 1n 1m n m n m n n m n C C C ,C C +--=+=，规定1C 0n =，其中m ，n ∈N +，m ≤n3、处理排列组合应用题的规律 （1）两种思路：直截了当法，间接法 （2）两种途径：元素分析法，位置分析法〔3〕对排列组合的混合题，一样先选再排，即先组合再排列。
弄清要完成什么样的事件是前提 〔4〕基此题型及方法：捆绑法，插空法，错位法，分组分配法，平均分组法，逆向摸索法等4、二项式定理nn n r r n r n 1n 1n n 0n n b C b a C b a C a C )b a (+++++=+-- 通项公式r1n r n 1r b aC T -+=，r=0，1，2，…，n 二项式系数的性质：〔1〕对称性，在展开式中，与首末两端〝等距离〞的两个二项式系数相等，即nn 0n C C =， r n n r n 2n n 2n 1n n 1n C C ,,C C ,C C ---=== ；〔2〕增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，当n 是偶数时，中间一项2n n C 最大；当n是奇数时，中间两项21n n C -，21n n C +相等，且为最大值；〔3〕 +++=+++=++++5n 3n 1n 4n 2n 0n n n n 2n 1n 0n C C C C C C ,2C C C C5、概率（1）概率是频率的近似值，两者是不同概念 （2）等可能事件中概率nm)A (P =，P(A)∈[0，1] （3）互斥事件A ，B 中有一个发生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B) 特例：A B =时，1)A (P )A (P =+，即对立事件的概率和为1 〔4〕相互独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)=P(A)P(B)〔5〕事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C n k P k(1-P)n-k，其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项四、典型例题例1、用n 种不同颜色为以下两块广告牌着色〔如图〕，要求在①，②，③，④个区域中相邻〔有公共边界〕的区域不用同一种颜色。
2013高考数学压轴题突破训练——排列、组合、二项式定理与概率统计(含详解)要点
高考数学压轴题突破训练排列、组合、二项式定理与概率统计（含详解）1. 袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码, 设号码为n 的球的重量为344342nn (克). 这些球以等可能性(不受重量, 号码的影响)从袋里取出.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅰ）如果任意取出1球, 求其号码是3的倍数的概率. （Ⅱ）如果任意取出1球, 求重量不大于号其码的概率; （Ⅲ）如果同时任意取出2球, 试求它们重量相同的概率.2. 从10个元件中（其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加某种性能测试. 每个甲品牌元件能通过测试的概率均为54，每个乙品牌元件能通过测试的概率均为53.试求：（I ）选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率；（II ）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率.3. 设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不在放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数。
（1）求的分布列，期望及方差；（2）求的分布列，期望及方差；4. 某大型商场一个结算窗口，每天排队结算的人数及相应概率如下：排队人数0—5 6—10 11—15 16—20 21—2525以上概率0.1 a 0.25 0.25 0.2 0.05（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有三天以上（含三天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问，该商场是否需要增加结算窗口？5. 某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货．如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.9,0.8，0.7．假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：（1）只有丙柜面需要售货员照顾的概率；（2）三个柜面最多有一个需要售货员照顾的概率；（3）三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率．6. 某同学上楼梯的习惯每步走1阶或2阶，现有一个11阶的楼梯，该同学从第1阶到第11阶用7步走完。
高中数学排列组合二项式概率统计知识点归纳及常考题型
“排列、组合、二项式、概率、统计”复习资料一、基础知识和方法梳理 （一）排列组合 1．计数两原理：分类计数原理：完成一件事情，有n 类方法，在第1类方法中又有m 1种不同的方式可以完成这件事情，在第2类方法中，又有m 2种方式，……第n 类方法中有m n 种方式可以完成，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N +++= 21分步计数原理：完成一件事情，需要分成n 步完成，在第1步中，有m 1种不同的方式可以完成这一步，在第2步中，有m 2种方式，……第n 步中，有m n 种方式可以完成这一步，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N ⨯⨯⨯= 21 2．排列：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
排列数)!(!)1()1(m n n m n n n A mn -=+--=3．组合：从n 个不同的元素中不重复选取m 个元素组成一组，与顺序无关； 组合公式：)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C mn -=+--=；组合数性质：m n n m n C C -=，mn m n m n C C C 11+-=+4．排列组合常用方法：分类讨论法：将0,1,2,3,4五个数字可以组成多少个无重复数字的五位偶数？间接法：100件产品含有5件次品，从中任取5件，则至少含有一件次品的取法有多少种？ 捆绑、插空法：将3本语文书，3本数学书，2本英语书排成一排，数学书必须排在一起，英语书不能相邻，则有多少中排列方式？特殊元素特殊位置优先考虑法：例如，将0,1,2,3可以组成多少个无重复数字的四位数 分组法：将5个苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少一个苹果，有多少种分配方案？ 隔板法：例如，将10个相同的小球装入3个编号为1,2,3的盒子(每次要把10个球装完),要求每个盒子里球的个数不少盒子的编号数,这样的装法总数有多少种？ 等可能性法：六个字母a 、r 、r 、r 、b 、c 排成一排，有多少种排列方式？（二）二项式定理1．二项式定理：nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(，其中rn C 为第1+r 项的二项式系数，=-nb a )(2．通项公式：rr n r n r b a C T -+=1,),1,0(n r =3．二项式定理的性质： （1）对称性，二项式系数是关于2n对称 （2）增减性与最大值，当n 为偶数时，二项式系数最大项为第12+n项，最大值为2nn C当n 为奇数时，二项式系数最大项为第121+-n 项和第121++n 项，最大值为2121+-=n n n n C C （3）二项式系数之和nn n n n C C C 210=+++奇数项与偶数项的二项式系数之和相等131202-=++=++n n n n n C C C C（三）概率1．概率的定义：在大量重复进行同一试验时事件A 发生的频率nm总是接近于某个常数p ，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记做)(A P ．2．事件的和A+B ：表示事件A 和B 至少有一个发生； 事件的积A ×B ：表示事件A 和B 同时发生B A B A B A B A ⋅=++=⋅,3．常见的几种类型的概率计算：（1）等可能事件：可预知的有限个结果，且每个结果出现的可能性相同 计算方法：nm A P =)( （2）互斥事件：在一次试验中，事件A 发生了，则事件B 一定不会发生，事件B 发生了，事件A 不可能发生互斥事件有一个发生的概率计算方法：)()()(B P A P B A P +=+， 特殊的，对立事件：1)()(=+A P A P（3）相互独立事件：在一次试验中，事件A 发生与否对事件B 发生的概率没有影响，同理，事件B 发生与否对事件A 发生的概率没有影响，若A 与B 是独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 都是独立事件 独立事件同时发生的概率的计算方法：)()()(B P A P B A P ⋅=⋅（4）n 次独立重复事件恰有k 次发生的概率：kn k k n n p p C k P --=)1()(4．关于两个事件常见的概率计算：（若21)(,)(p B P p A P ==）5．注意事项（1）等可能事件的概率中，基本事件数目的计算可以分化得细致一点或粗略一点，这样虽然形式上有所差别，结果往往是一样的，通常有这样一些不同考虑：“整体考虑或局部考虑” 、“元素可辨或不可辨” 、“元素放回或不放回” 、“元素有序或无序”.（2）重视几种概率类型的混合，注意概率加法、乘法的混合运算，适当注意概率类型的突破. （3）准确理解文字（生活）语言，如“至少”、“至多”、“都”、“不都”、“都不”、“恰有几个”、“有几个”，“只有第几次”、“第几次”，“直到第几次”等等，然后等价转化为数学（概率）语言，并注意表述规范.（四）统计1．离散型随机变量的定义：若随机试验的结果可以用一个变量表示，这个变量叫做随机变量。
2013年高考数学易错点点睛与高考突破专业题材12排列,组合,二项式定理
【难点突破】难点 1 在等可能性事件的概率中考查排列、组合1 、A 、B 、C 、D 、E 五人站成一圈传球，每人只能把球传给他的邻人，A 传出（算第一次）后经10次传球又回到A 的概率为 （ ）25663.512127.10243.2561.D C B A2、 某校高三年级举行一次演讲比赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位，若采用抽签方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起，而二班的2位同学没有被排在一起的概率为 （ ）1201.401.201.101.D C B A【解析】 基本事件总数为A 1010，而事件A 包括的可能实际上就是排列中的相邻与不相3 、9支足球队参加一地区性足球预选赛，将这9支球队任意地均分为3组，则A 、B 两个“冤家队”恰好分在同一组的概率为 （ ）92.61.41.31.D C B A∴选求概率为.4182 ∴选B 。
难点 2 利用二项式定理解决三项以上的展开式问题 1．（1-3x+2y ）n 的展开式中不含y 的项的系数和为 （ ） A ．2n B ．-2n C ．(-2)n D ．12．（1+2x-3x 2）6展开式中的x 5项的系数为 （ ）A ．86B ．168C ．-168D ．-8748难点 3 利用二项式定理证明不等式1 过点P （1，0）作曲线C ：y=xk,[x ∈(0,+∞)，k ∈N*,k>1]的切线，切点为Q 1，设Q 1在x 轴上的投影是点P 1;又过点P 1作曲线C 的切线，切点为Q 2，设Q 2在x 轴上投影为点P 2，…如此继续下去得到一系列点Q 1，Q 2，…，Q n ，…，设点Q n 的横坐标为a n .（1）求证：;)1(nn k k a -= （2）求证：;11-+≥k n a n（3）求证：∑=-<ni k k ai12.2．8人进行乒乓球单打比赛，水平高的总能胜水平低的，欲选出水平最高的两人，至少需要比赛的场数为__________（用数字作答）人决出第一名，需2场比赛。
高三数学基础知识梳理 第9章 排列、组合、二项式定理及概率 试题
第九章 排列、组合、二项式定理及概率根底知识梳理一、两个根本原理：⒈⒉二、排列数的概念及公式：从n 个不同元素中取出m 〔m ≤n 〕个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示. m n A =n(n −1)(n −2)……(n −m+1)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式： n n A =n ！三、组合数的概念及公式：从n 个不同元素中取出m 〔m ≤n 〕个元素的所有组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号m n C 表示. m n C =!m A m n =!)1()2)(1(m m n n n n +--- 记住：)!(!m n n A m n -=； 0！=1〔这是规定〕； 0n C =1〔这是规定〕； !)(!!m n m n C m n -=. 四、组合数的两个性质：⑴m n n m n C C -=；⑵11-++=m nm n m n C C C . 五、排列、组合应用题的两种根本解法：⒈直接法〔又称提纯法〕：从限制条件出发，把符合限制条件的排列数或者组合数计算出来；⒉间接法〔又称去杂法〕：先不考虑限制条件求出排列数或者组合数，再减去不符合限制条件的排列数或者组合数.六、排列、组合题的常见题型：⑴相邻问题：用“捆绑法〞；⑵不相邻问题：用“插空法〞； ⑶定序问题：有n 个不同元素排成一排，其中m 个元素的顺序一定，那么不同的排列种数是 ；⑷分组问题〔特别是均匀分组〕：例：把a 1、a 2、a 3、a 4、a 5、a 6六个元素分成三组，每组2个，有多少种不同的分法？ 答：⑸几何问题：⑹排列、组合混合问题：一般先组合后排列.七、二项式定理：⒈二项展开式(a+b) n =⒉二项展开式的通项：T r+1=r r n r n b ac -. T r+1表示第r+1项 ⒊二项式系数为0n C ，1n C ，2n C ，…，r n C ，…，n n C .其性质有：⑴m n n m n C C -=；⑵r n r n C r r n C 11+-=+；⑶0n C +1n C +2n C +……+n n C =2 n ； ⑷假如n 是偶数，那么12+nT 的二项式系数2nn C 最大；假如n 是奇数，那么那么21+n T 与23+n T 的二项式系数21-n n C 与21+n n C 最大且相等；⑸ +++=+++531420n n n n n n C C C C C C =2n −1〔奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和〕.⒋在运用二项式定理解题时，要注意以下问题：⑴展开式的通项是第r+1项，不是第r 项；⑵要区分展开式中某一项．与项的系数．．，区分某一项的系数．．．．．．与二项式系数．．．．．；⑶注意(a −b) n 展开式中各项的符号； ⑷二项式定理对任何实数a 、b 都成立，应注意赋值法的应用.⒌二项式定理的应用主要有：⑴指定项问题；⑵项〔或者系数〕的最大、最小问题；⑶余数问题；⑷近似计算问题；⑸整除或者余数问题.八、概率：⒈几个概念：⑴必然事件；⑵不可能事件；⑶随机事件；⑷互斥事件；⑸对立事件；⑹互相HY 事件.⒉等可能性事件的概率：假如一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那 么每一个根本领件的概率都是n1，假如某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率P 〔A 〕=n m . ⒊互斥事件有一个发生的概率：假如事件A ，B 互斥，用A+B 表示A ，B 中有一个发生，那么有 P(A+B)=P(A)+P(B). 一般地，假如事件A 1，A 2，…A n 彼此互斥，那么有P(A 1+A 2+…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ). 事件A 的对立事件通常记作A ,根据对立事件的意义，A+A 是一个必然事件,所以有P(A)+P(A )=P(A+A )=1， 即P(A )=1− P(A)⒋两个互相HY 事件同时发生的概率和HY 重复试验：⑴两个互相HY 事件A ，B 同时发生记作A ·B ，那么有P(A ·B)=P(A)·P(B). 一般地，假如事件A 1，A 2，…，A n 互相HY ，那么有P(A 1·A 2·…·A n )=P(A 1)·P(A 2)·…·P(A n ).⑵假如在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次HY 重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率P n (k)=k n k k n P P C --)1(.对此,我们也可以作这样的理解：①每一次试验的结果只有A 或者A 之一发生，因此，n 次HY 重复试验中，“A 发生k 次〞就是在n 个结果中有k 个A 与(n −k)个A ,而这n 个HY 的结果一一共有k n C 种排列次序.②对每一种排列次序,可看做一个由HY 事件的积组成的事件,其概率可以用乘法定理求出：P k ·(1−P)n −k.于是事件A 发生k 次的概率P n (k)=k n k k n p p C --)1( .。
2013届高三数学二轮复习必考问题专项突破18排列、组合、二项式定理与概率理
问题18 排列、组合、二项式定理与概率1．(2012·浙江)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )．A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种答案： D [对于4个数之和为偶数，可分三类，即4个数均为偶数，2个数为偶数2个数为奇数，4个数均为奇数，因此共有C 44＋C 24C 25＋C 45＝66种．]2．(2012·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能全是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )．A ．232B ．252C ．472D ．484答案：C [若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C 14×C 14×C 14＝64种，若2张同色，则有C 23×C 12×C 24×C 14＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C 14×C 23×C 14×C 14＝192种，剩余2张同色，则有C 14×C 13×C 24＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．故选C.]3．(2012·辽宁)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )．A.16B.13C.23D.45答案：C [设出AC 的长度，先利用矩形面积小于32 c m 2求出AC 长度的范围，再利用几何概型的概率公式求解．设AC ＝x c m ，CB ＝(12－x )c m ，0＜x ＜12，所以矩形面积小于32 c m 2即为x (12－x )＜32⇒0＜x ＜4或8＜x ＜12，故所求概率为812＝23.]4．(2012·广东)⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 6的展开式中x 3的系数为________(用数字作答)．解析 由⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以展开式中x 3的系数为C 36＝6×5×41×2×3＝20.答案 20排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，难度中等或稍易．考查古典概型时，常以排列组合为工具，考查概率的计算．由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，因此备考时：①要读懂题意，明确解题的突破口，选择合理简洁的标准处理事件；②要牢记排列数、组合数、二项展开式公式；③排列组合是进行概率计算的工具，在复习概率时要抓住概率计算的核心和这个工具.必备知识排列、组合(1)排列数公式A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，A mn ＝n ！n －m ！，A nn ＝n ！，0！＝1(n ∈N *，m ∈N *，m ≤n )．(2)组合数公式及性质 C m n＝A mn A m m＝n n －n －n －m ＋m ！，C mn ＝n ！m ！n －m ！，C 0m ＝1，C m n ＝C n －m n ，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .二项式定理(1)定理：(a ＋b )n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n －1n abn －1＋C n n b n (n ∈N *)． 通项(展开式的第r ＋1项)：T r ＋1＝C r n a n －r b r，其中C r n (r ＝0,1，…，n )叫做二项式系数．(2)二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，C 2n ＝C n －2n ，…，C r n ＝C n －rn . ②二项式系数的和等于2n，即 C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1.(3)赋值法解二项式定理有关问题，如3n＝(1＋2)n＝C 0n ＋C 1n ·21＋C 2n ·22＋…＋C n n ·2n等． 古典概型 (1)P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数(2)求古典概型概率的方法和步骤①反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意． ②判断试验是否为等可能性事件，并用字母表示所求事件．③利用列举法或排列组合知识计算基本事件的个数n 及事件A 中包含的基本事件的个数m .④计算事件中A 的概率P (A )＝m n.必备方法1．解排列、组合问题应遵循的原则：先特殊后一般，先选后排，先分类后分步． 2．解排列、组合问题的常用策略：a ．相邻问题捆绑法；b.不相邻问题插空法；c.多排问题单排法；d.定序问题倍缩法；e.多元问题分类法；f.有序分配问题分步法；g.交叉问题集合法；h.至少或至多问题间接法；i.选排问题先取后排法；j.局部与整体问题排除法；k.复杂问题转化法．3．二项式中项的系数和差可以通过对二项式展开式两端字母的赋值进行解决，如(1＋x )n展开式中各项系数的绝对值的和就是展开式中各项系数的和，只要令x ＝1即得，而(1－x )n的展开式中各项系数的绝对值的和，直接令x ＝－1，这样就不难类比得到(1＋ax )n展开式中各项系数绝对值的和为(1＋|a |)n.排列与组合的应用以实际生产、生活为背景的排列、组合问题是近几年的常考内容，解题时要先将问题转化为排列组合问题后再求解．题目多为中低档题，为后面学习概率做基础．【例1】► 某城市举行奥运火炬接力传递活动，传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒只能从甲、乙两 人中产生，则不同的传递方案共有________种．(用数字作答)[审题视点] [听课记录][审题视点] 按照第一棒是否为甲、乙分两类求解． 解析 按照第一棒是否为甲，乙，可分为两类：①第一棒是丙，则第六棒的安排有C 12种，中间4棒剩余4人全排列，故不同的安排方法有C 11·C 12·A 44＝48种；②第一棒是甲，乙中一人，则第一棒的安排有C 12种，最后一棒则只能安排甲，乙中不跑第一棒的一人，中间4棒剩余4人全排列，矿不同的安排方法有C 12·C 11·A 44＝48种．根据分类计数原理，可得不同的方案共有48＋48＝96种． 答案 96对于排列、组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列，即一般策略为先组合后排列．分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．【突破训练1】 由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )．A ．72B ．96C ．108D ．144答案： C [从2,4,6三个偶数中选一个数放在个位，有C 13种方法，将其余两个偶数全排列，有A 22种排法，当1,3不相邻且不与5相邻时有A 33种方法，当1,3相邻且不与5相邻时有A 22·A 23种方法，故满足题意的偶数个数有C 13·A 22(A 33＋A 22·A 23)＝108.]二项式定理的应用求二项式定理展开式的通项、特定项、二项式或项的系数，常以选择、填空题形式考查，二项式定理的应用有时也在数列压轴题中出现，主要是利用二项式定理及不等式放缩法证明不等式．【例2】► (2011·安徽)设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________. [审题视点] [听课记录][审题视点] 由T r ＋1＝C r 21x 21－r(－1)r求解．解析 T r ＋1＝C r 21x21－r(－1)r，∴a 10＝C 1121(－1)11，a 11＝C 1021(－1)10，∴a 10＋a 11＝－C 1121＋C 1021＝－C 1021＋C 1021＝0. 答案 01.利用二项展开式的通项分析求解时，注意二项式系数与项的系数的区别．2．二项式定理的应用不仅要注重它的“正用”，而且重视它的“逆用”；还要注意特殊值法的使用．【突破训练2】 若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )．A ．360B ．180C ．90D ．45 答案： B [依题意知：n ＝10， ∴T r ＋1＝C r10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝C r 102r ·x 5－52r ，令5－52r ＝0得：r ＝2，∴常数项为：C 21022＝180.]古典概型对于古典概型的考查常将等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇在一起进行考查，是高考考查的重点．【例3】► (2012·天津六校三模)盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率． [审题视点] [听课记录][审题视点] (1)间接法求概率；(2)用组合知识求概率． 解 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．对于较复杂的题目，要注意正确分类，分类时应不重不漏．【突破训练3】 有编号为A 1，A 2，…，A 10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从一等品零件中随机抽取2个．(ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果； (ⅱ)求这2个零件直径相等的概率．解 (1)由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A ，则P (A )＝610＝35.(2)(ⅰ)一等品零件的编号为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共有15种．(ⅱ)“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B )的所有可能结果有：{A 1，A 4}，{A 1，A 6}，{A 4，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 5}，{A 3，A 5}，共有6种．所以P (B )＝615＝25.防范二项式展开式中的两个易错点易错点1：二项式(a ＋b )n展开式的通项中，因a 与b 的顺序颠倒而容易出错【示例1】► (2012·江苏苏北四市调研)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －23x 2n 展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，则x 的一次项系数为________．解析 据题意有：C 2n 22－()－C 1n 2＝162，即2n (n －1)＋2n ＝162.∴n ＝9.则T r ＋1＝C r9(x )9－r⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23x 2r ＝C r 9(－2)r x 9－r 2－2r 3.由9－r 2－2r3＝1，∴r ＝3. ∴T 4＝(－1)3·23·C 39x ＝－672x . 答案 －672 老师叮咛：若x 与23x的顺序颠倒，项随之发生变化，导致出错．一般地，二项式(a ＋b )n与(b ＋a )n的通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分．【试一试1】 已知(1＋3x )n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于120，则展开式中二项式系数最大的项为________．解析 由已知得C n －2n ＋C n －1n ＋C n n ＝121，则12n (n －1)＋n ＋1＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15，所以，展开式中二项式系数最大的项是T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8.答案 T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8易错点2：二项式展开中项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易混淆，导致出错【示例2】► (2012·山东青岛一模)如果⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中1x3的系数是( )．A ．7B ．－7C ．21D ．－21解析 当x ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3×1－1312n ＝2n ＝128，∴n ＝7， 即⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 27，根据二项式通项公式得 T r ＋1＝C r 7(3x )7－r (－1)r ⎝⎛⎭⎪⎫x －23r ＝C r 737－r (－1)rx 7－53r . ∴7－53r ＝－3，r ＝6时对应1x3，即T 6＋1＝C 6737－6(－1)61x 3＝7×3×1x 3＝21x 3.故1x3项系数为21. 答案 C老师叮咛：展开式中\f(1,x 3)项的二项式系数是C 67＝7，1x3项的系数为21，因此在解此类问题时，须注意二项式系数与项的系数的区别和联系.【试一试2】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )．A ．－40B ．－20C ．20D ．40答案： D [因为展开式各项系数和为2，所以取x ＝1得： (1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.二项式即为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5，它的展开式的常数项为：x C 35(2x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＋1x C 25(2x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝4C 25＝40.]。
2013高考数学 高频考点、提分密码 第九部分 排列组合与二项式定理 新人教版
第九部分 排列组合与二项式定理[知识点]一.排列与组合1.基本原理：分类计数原理 N=m 1+m 2+…+m n 分步计数原理 N=m 1m 2…m n二.二项式定理1.定理：(a+b)n =0a n +1a n －1b+…+r a n －r b r +…+n b n ，n ∈N *2.二项式系数：r，r=0,1,2,,…n.3.通项T r+1=r a n －r b r(r=0,1,2…n) 4.二项式系数性质⑴对称性：与首末两端“等距离〞的两个二项式系数相等。
即0=n ，1=n －1,2=n －2,… ⑵增减性：f(r)=r，当r<21+n 时，r 递增，当r ≥21+n 时，r递减 ⑶最大值：另：⑴二项式系数表〔杨辉三角〕略。
⑵1121++++++=++++m n m m n m m m m m m m C C C C C⑶(a －b)n =0a n －1a n －1b+2a n －2b 2－…+(－1)nn b n⑷(1+x)n =0+1x+2x 2+…+n x n[易错点提示]1.应用两个基本原理解题时，应正确区分是分类还是分步.2.解排列组合应用题时，应注意方法及分类标准的选择，并做到层次清晰，不重不漏。
3.在二项式定理中，注意系数与二项式系数、奇数项与偶数项、奇次项与偶次项的区别.r a n －r b r是第r+1项.4.多项式展开通常化为二项式展开处理，求展开式中某些项的系数(值)关系时，常用赋值法.5.用二项式定理计算余数问题时，余数不能为负数.如：∵233=811=(9－1)11=9k －1∴233被9除余数为8.6.证明形如：2n>2n (n ≥3且n ∈N)，比较2n 与n 2 (n ∈N *)大小，此类问题常用二项式定理.。
2013高考数学 高频考点、提分密码 第九部分 排列组合与二项式定理 新人教版
第九部分 排列组合与二项式定理[知识点]一.排列与组合1.基本原理：分类计数原理 N=m 1+m 2+…+m n 分步计数原理 N=m 1m 2…m n二.二项式定理1.定理：(a+b)n =C n0a n +C n 1a n －1b+…+C n r a n －r b r +…+C n n b n ，n ∈N *2.二项式系数：C n r，r=0,1,2,,…n.3.通项T r+1=C n r a n －r b r(r=0,1,2…n) 4.二项式系数性质⑴对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。
即C n 0=C n n ，C n 1=C n n －1,C n 2=C n n －2,… ⑵增减性：f(r)=C n r，当r<21+n 时，C n r 递增，当r ≥21+n 时，C n r递减 ⑶最大值：n n n n n n n n n n 另：⑴二项式系数表（杨辉三角）略。
⑵1121++++++=++++m n m m n m m m m m m m C C C C C⑶(a －b)n =C n 0a n －C n 1a n －1b+C n 2a n －2b 2－…+(－1)n C n n b n⑷(1+x)n =C n 0+C n 1x+C n 2x 2+…+C n n x n[易错点提示]1.应用两个基本原理解题时，应正确区分是分类还是分步.2.解排列组合应用题时，应注意方法及分类标准的选择，并做到层次清晰，不重不漏。
3.在二项式定理中，注意系数与二项式系数、奇数项与偶数项、奇次项与偶次项的区别. C n r a n －r b r是第r+1项.4.多项式展开通常化为二项式展开处理，求展开式中某些项的系数(值)关系时，常用赋值法.5.用二项式定理计算余数问题时，余数不能为负数.如：∵233=811=(9－1)11=9k －1∴233被9除余数为8.6.证明形如：2n>2n (n ≥3且n ∈N)，比较2n 与n 2 (n ∈N *)大小，此类问题常用二项式定理.。
2013 高考数学 排列组合与概率知识点 排列组合典型题 基本方法 技巧
排列组合与概率经典教案两个基本原理：1.加法原理（分类计数原理）:做一件事,完成它有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法, 在第二类办法中有2m 种不同的方法, ……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有：n m m m m N +⋅⋅⋅+++=321种不同的方法.2.乘法原理（分步计数原理）: 做一件事,完成它有n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法, 做第二步有有2m 种不同的方法, ……, 做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有： n m m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=321种不同的方法.特别注意：分类是独立的、一次性的；分步是连续的、多次的。
三组基本概念：1．排列1）排列：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
2）排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。
通常用mn A 表示。
特别地，当n m =时，称为全排列，当n m π时，称为选排列。
2． 组合1）组合：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
2）组合数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,记作mn C 。
3． 事件与概率1）事件的分类：（1）必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件；（2）不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件；（3）随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件。
2）一些特殊事件：（1）等可能事件：对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；另外，所有不同的试验结果，它们出现的可能性是相等的。
（2）互斥事件：不可能同时发生的两个事件，我们把它称为互斥事件。
如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥。
高考数学复习“应试笔记”(排列组合二项式定理概率统计矩阵与变换)
江苏高考数学复习“应试笔记”江苏高考·数学解题·高分策略——难点突破与培优提高第I卷160分部分一、填空题答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!A1．集合1．知识点（1）集合的表示方法．3种．列举法．（2）元素与集合的关系．2种．∈，/∈．（3）集合与集合的关系．重点：A⊆B，A≠⊂B，A＝B．（4）集合的交、并、补运算．（5）常用数集的符号．①任何一个集合是它本身的子集，记为A⊆A；2．方法（1）利用数轴进行集合运算．（2）分清集合中的元素是什么，选择适当的方法进行运算．3．主要结论及其得出方法．若A＝{a1，a2，…，a n}，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．4．注意点（1）空集是任何集合的子集，记为∅⊆A；空集是任何非空集合的真子集．（2）A⊆B需分两种情况：①A＝∅，②A≠∅．（3）集合运算的结果需用集合表示，定义域、值域都要用集合表示．A2．基本初等函数1．知识点（1）函数的概念．非空数集间的一种特殊的对应关系．（2）函数值的求法，需要在定义域内，注意分段函数值．（3）定义域的几种类型．①分母；②对数；③偶次方根；④正切；⑤实际问题．本质上是解不等式或不等式组．（4）函数单调性的定义．注意区间内的任意性．（5）函数奇偶性的定义及其图象特征．（6）函数周期性的定义及其图象特征．（7）基本初等函数的图象及其分布、定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性．（8）指数、对数的意义及其运算法则．（9）方程的近似解的判断．计算端点处的函数值．（10）导数①导数的概念及其几何意义．②常见函数的导数． ③导数的运算法则．④导数与函数单调性的关系． 2．方法（1）画函数图象的方法①已知基本初等函数，直接画出． ②利用区间的两个端点，简易画出． ③利用导数，求出拐点，精确画出． ④分段函数分开画出，并合并． ⑤含参数的函数分类讨论． （2）函数单调性的求法①基本初等函数，直接写出．②复合函数的单调性，特别要注意定义域．如：y ＝log 2(x 2－2x －3)． ③迭加函数．如y ＝x ＋ln x (x ＞0)． ④复杂函数．利用导数． （3）函数最值的求法①研究函数的单调性，从而得出函数的图象．②换元或变形转化为基本初等函数．但要注意换元或变形后的字母的取值．如：y ＝x ＋1－x ． ③利用基本不等式．一个最明显的形式是：分式有倒数．或有两个变量．（4）方程问题、不等式问题、存在性问题、恒成立问题常用分离参数转化为函数问题．如： ①若关于x 的方程x 2－2x ＋a ＝0在区间[－1，4]上有解，求实数a 的取值范围． 此问题可以转化为a ＝－x 2＋2x 在区间[－1，4]上有解，即： 函数y ＝a 与函数y ＝－x 2＋2x (x ∈[－1，4])的图象有交点．②若关于x 的不等式2－x 2＞|x －a |至少有一个负数解，求实数a 的取值范围．此问题可以转化为在轴的左边函数f (x )＝2－x 2的图象有在函数g (x )＝|x －a |的图象的上方部分． ③已知f (x )＝ax 3－3x ＋1，当x ∈[－1，1]时，f (x )≥0恒成立，求实数a 的值． 此问题可以转化为：1)x ∈(0，1]，a ≥(3x －1x3)max ，且2)x ＝0，a ∈R ，且3)x ∈[－1，0)，a ≤(3x －1x3)min ．（5）求函数的解析式 ①待定系数法． ②比较法．（6）分类讨论，研究函数图象的局部形状． 4．常用结论（1）函数f (x )在x ＝0时有意义，则f (x )为奇函数的必要条件是f (0)＝0． （2）增函数＋增函数是增函数；增函数－减函数是增函数；减函数＋减函数是减函数；减函数－增函数是减函数． （3）偶函数±偶函数是偶函数；奇函数±奇函数是奇函数；偶函数×(÷)偶函数是偶函数；偶函数×(÷)奇函数是奇函数； 奇函数×(÷)奇函数是偶函数． （4）函数图像的对称性①对于函数y ＝f (x )，若存在常数a ，b ，使得函数定义域内的任意x ，都有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a ＋b2对称． 当a ＝b 时，f (x )的图像关于直线x ＝a 对称. f (x )＝f (2a －x )．.对于函数y ＝f (x )，若存在常数a ，b ，使得函数定义域内的任意x ，都有f (a ＋x )＝－f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图像关于点(a ＋b2，0)对称． 当a ＝b 时，f (x )的图像关于点(a ，0)对称．f (x )＝－f (2a－x )．②函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图像关于直线y ＝0对称； 函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图像关于直线x ＝0对称； 函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图像关于原点(0，0)对称．（5）奇函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)上是递增的，那么函数y ＝f (x )在区间(－∞，0)上也是递增的；偶函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)上是递增的，那么函数y ＝f (x )在区间(－∞，0)上是递减的． A4．逻辑1．命题的否定与否命题命题p ⇒q 的否定与它的否命题的区别：命题p ⇒q 的否定是p ⇒﹁q ，否命题是﹁p ⇒﹁q .命题“p 或q ”的否定是“﹁p 且﹁q ”，“p 且q ”的否定是“﹁p 或﹁q ”． 2．全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )；全称命题p 的否定﹁p ：∃x ∈M ，﹁p (x )． 存在性命题p ：∃x ∈M ，p (x )；特称命题p 的否定﹁p ：∀x ∈M ，﹁p (x )． 3．充要条件的判断．4．互为逆否的两个命题是等价的． 5．“p 或q ”、“p 且q ”的真假性及解题规范．A5.排列、组合和二项式定理（附加题部分） 1．知识点（1）两个计数原理①加法原理：完成一件事是分类的．总方法数用加法． ②乘法原理：完成一件事是分步的．总方法数用乘法． （2）两个计数模型①排列模型：从n 个不同元素中选出m 个不同元素排成一列．与顺序有关． ②组合模型：从n 个不同元素中选出m 个不同元素放在一起．与顺序无关． 主要计算公式： A m n ＝n ·(n －1)·(n －2)·…·(n －m ＋1)．(n ，m ∈N *，并且m ≤n )． A nn ＝n ·(n －1)·(n －1)·(n －2)·…·2·1＝n ！．A m n ＝n !(n －m )!．0！＝1． C mn ＋1＝C m n－1＋C mn ．C mn ＝A m n A m m ＝n !m !(n －m )!(n ，m ∈N *，且m ≤n )．C m n ＝C n n－m． （3）二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n其中，n ∈N *． 二项式系数、系数，通项公式．C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n． C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1． 2．方法（1）解决有限制条件的(有序排列，无序组合)问题方法是：①直接法：用加法原理（分类）用乘法原理（发步）⎩⎨⎧位置分析法，元素分析法，插入法（不相邻问题），捆绑法（相邻问题）．②间接法：即排除不符合要求的情形 ③一般先从特殊元素和特殊位置入手. （2）解排列组合问题的方法有： ①特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）．②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）．③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）．④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）．⑤先选后排法．⑥至多至少问题间接法，分类法．⑦相同元素分组可采用隔板法．如：方程x ＋y ＋z ＝100的正整数解的个数． ⑧涂色问题先分步考虑至某一步时再分类．⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n 组，别忘除以n ！． ⑩最原始的方法：逐个列举，往往是最好的方法．（3）解决二项式问题的基本方法是从通项入手．T k ＋1＝C k n a n －k b k． （4）有关系数和的问题用赋值法，对组合恒等式的证明常用到：①求导后赋值；②赋值；③k C k n ＝n C k －1n －1A6．概率、统计 【必修部分】 1．知识点（1）概率的计算公式①古典概型：P (A )＝A 包含的基本事件数基本事件的总数＝mn ．②几何概型：P (A )＝d 的测度D 的测度．【注意】测度可以是长度、面积、体积等．③互斥事件A ，B 至少有一个发生的概率计算公式：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． ④对立事件的概率计算公式是：P (－A )＝1－P (A )．（2）统计中的抽样方法①简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取．②分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率都相等（nN）．③系统抽样．即分组，只需要用简单随机抽样抽取第一组的一个，然后在其它组的同样位置抽取样本．（3）统计中的样本特征数①一组数据x 1，x 2，…，x n 的样本平均数：－x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )＝1n i =1∑nx i②一组数据x 1，x 2，…，x n 的样本方差s 2＝1n [(x 1－－x )2＋(x 2－－x )2＋…＋(x n －－x )2]＝1n i =1∑n (x i －－x )2＝1n (i =1∑n x i 2)－(1n i =1∑nx i )2；标准差＝s 2．【注意】两组数据x 1，x 2，…，x n 与y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝ax i ＋b 的平均数、方差、标准差的关系．（4）统计中的表、图①频率分布表(分组、频数、频率、累积频率)②频率分布直方图（横坐标：样本分组；纵坐标：频率组距）a ．频率＝频数样本容量；b ．小长方形面积＝组距×频率组距＝频率；c ．所有小长方形面积的和＝1．③茎叶图当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图． 2．方法（1）概率计算中，计数常用方法：列举法、树状图等，一般情况下不需要用到排列、组合知识，有初中的知识就足够了． （2）平均数、方差的计算． 【附加题部分】 1．知识点（1）概率分布（概率分布列、概率分布表） （2）随机变量X ．（3）数学期望：若离散型随机变量X 的概率分布为则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为X 的均值或数学期望，简称为期望． （4）几个分布①两点分布：随机变量X 只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为X ～0－1，“读成X 服从两点分布”．②超几何分布：随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝C M r C N －Mn －rC Nn， 其中r ＝0，1，2，3，…，l ，l ＝min(n ，M )，则称X 服从超几何分布．记为X ～H (n ，M ，N )，并将P (X ＝r )＝C M r C N －Mn －r C Nn记为H (r ；n ，M ，N )． 超几何分布的数学期望：E (X )＝nMN．③二项分布：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的概率均为p ，那么在这n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是P n (k )＝C k n p k q n －k，k ＝0，1，2，3，…，n ．即P n (k )＝C k n p k q n －k是二项式(q ＋p )n 展开式中的通项，故称X 服从参数n ，p 的二项分布，记为X ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，n 表示重复的次数，p 指在一次试验中事件A 发生的概率． 二项分布的数学期望E (X )＝np ．（5）独立事件同时发生的概率计算公式是：P (A •B )＝P (A )•P (B )；独立事件重复试验的概率计算公式是：P n (k )＝C kn p k (1－p )n －k ．条件概率：称P (B |A )＝P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．A7．矩阵与变换（附加题部分） 1．知识点（1）二阶矩阵与列向量的乘法⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 12a 21a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x ＋a 12×y a 21×x ＋a 22×y ．（2）常见的6个变换恒等变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，也叫单位矩阵；伸压变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k (k ＞0)；投影变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 0；反射变换⎣⎡⎦⎤0 11 0；旋转变换⎣⎡⎦⎤cos θ－sin θsin θ cos θ(逆时针方向)；切变变换⎣⎡⎦⎤1 k 0 1，⎣⎡⎦⎤1 0k 1．（3）二阶矩阵的乘法⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 12a 21a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 12b 21b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21a 21b 12＋a 22b 22． （4）复合变换：AB (先B 后A ，不得交换)（5）矩阵的逆矩阵：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，A 也是B 的逆矩阵．二阶矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤ab cd (ad －bc ≠0)的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc (可直接使用，但须写上公式)． （6）特征向量、特征值、特征多项式二阶矩阵A ，对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．几何解释：特征向量的方向经过矩阵A 对应的变换作用后，保持在同一直线上．当λ＞0时，方向不变；当λ＜0时，方向相反；当λ＝0时，特征向量就被变换成向量0．对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征多项式．（7）行列式：⎪⎪⎪⎪abcd ＝ad －bc ．2．方法（1）二阶矩阵将点变换成点．（2）一般情况下，二阶矩阵将直线变换成直线．（3）求曲线C 在二阶矩阵对应的变换作用得到的曲线C 1的方程．如： 求出曲线y ＝ln x 在矩阵⎣⎡⎦⎤0 11 0作用下变换得到的曲线．第一步：在曲线y ＝ln x 上任取一个点P'(x'，y')，在矩阵⎣⎡⎦⎤0 11 0对应的变换作用下变为点P (x ，y )．第二步： 由⎣⎡⎦⎤0 11 0⎣⎡⎦⎤x'y'＝⎣⎡⎦⎤x y ，所以有y'＝x ，x'＝y ． 第三步： 因为y'＝ln x'，所以x ＝ln y ，即y ＝e x ．所以，曲线y ＝ln x 在⎣⎡⎦⎤0 11 0作用下变为曲线y ＝e x ．附：写给忙于20XX 年江苏高考备考师生的信。
数列排列组合二项式定理概率统计知识点总结
数列及排列组合二项式定理知识点总结 1. 等比数列的定义与性质 定义：（为常数，），a a q q q a a q n nn n +-=≠=1110 等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ⇒==±2()前项和：（要注意）n S na q a q q q n n ==--≠⎧⎨⎪⎩⎪111111()()!{}性质：是等比数列a n （）若，则··1m n p q a a a a m n p q +=+=（），，……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n --（3）（时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--12111 2. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？例如：（1）求差（商）法{}如：满足……a a a a n n n n 121212251122+++=+<>解：n a a ==⨯+=1122151411时，，∴n a a a n n n ≥+++=-+<>--2121212215212211时，……<>-<>=12122得：n n a∴a n n =+21∴a n n n n ==≥⎧⎨⎩+141221()()［练习］{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +==++111534 （注意到代入得：a S S S S n n n n n+++=-=1114 {}又，∴是等比数列，S S S n n n144==n a S S n n n n ≥=-==--23411时，……·（2）叠乘法{}例如：数列中，，，求a a a a nn a n n n n 1131==++ 解：a a a a a a n n a a nn n n 213211122311·……·……，∴-=-= 又，∴a a nn 133==（3）等差型递推公式由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪-22321321时，…………两边相加，得：()()()a a f f f n n -=+++123()()()…… ∴……a a f f f n n =++++023()()() ［练习］{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 111132==+≥--()（）a n n=-1231 （4）等比型递推公式()a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，， ()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1 ()⇒=+--a ca c x n n 11 令，∴()c x d x d c -==-11∴是首项为，为公比的等比数列a d c a dc c n +-⎧⎨⎩⎫⎬⎭+-111∴·a d c a d c c n n +-=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1111∴a a d c c dc n n =+-⎛⎝⎫⎭⎪---1111［练习］{}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+（）a n n =-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-84311（5）倒数法例如：，，求a a a a a n nn n 11122==++由已知得：1221211a a a a n n n n+=+=+ ∴11121a a n n +-= ∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭=111121a a n 为等差数列，，公差为 ()()∴=+-=+11112121a n n n · ∴a n n =+213. 你熟悉求数列前n 项和的常用方法吗？例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
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九、排列、组合、二项式、概率：一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。
分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。
区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。
二、排列与组合：（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题；区别：前者有顺序，后者无顺序。
（2）排列数、组合数：排列数的公式：)()!(!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A mn ≤-=+---=注意：①全排列：!n A nn =；②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 排列数的性质：①11--=m n m n nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成：第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上；第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）②mm m A mA A 1-+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成：第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成：第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。
第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上） 即有11--m n mA 种不同的方法。
第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个位置上，有mn A 1-种方法。
组合数的公式：)()!(!!!)1()2)(1(n m m n m n m m n n n n A A C mm nmn ≤-=+---==组合数的性质： ①mn mC C -=（从n 个不同的元素中取出m 个元素后，剩下m n -个元素，也就是说，从n 个不同的元素中取出m 个元素的每一个组合，都对应于从n 个不同的元素中取出m n -个元素的唯一的一个组合。
）②1-+=m m m C C C （分两类完成：第一类：含a ，有11--m n C 种方法；第二类：不含a ，有mn C 1-种方法；）③11--=m n mn C n C （第一步：先选出1个元素，第二步：再从余下1-n 个元素中选出1-m 个，但有重复，如先选出1a ，再选出m a a a ,,,32 组成一个组合，与先选出2a ，再选出m a a a ,,,31 组成一个组合是相同的，且重复了m 次）④)(1111n m C C C C C m m m m m≤++++=---- （分1+-m n 类：第一类：含1a ，为11--m n C ；第二类：不含1a ，含2a ，为12--m n C ；第三类：不含1a ，不含2a ，含3a ，为13--m n C ；……）⑤mr n m r n r r n m rr n mr mn C C C C C C C C ------++++=1111（将n 元素分成分成两个部分，第一部分含)(m r r ≥个元素，第二部分含)(m r n r n ≥--个元素： 在第一部分中取m 个元素，在第二部分不取元素，有0r n mr C C -； 在第一部分中取1-m 个元素，在第二部分取1个元素，有11r n m rC C --；……）（3）排列、组合的应用：解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞清需要分类，还是需要分步切记：排组分清(有序排列、无序组合)，分类分步明确排列组合应用问题主要有三类：不带限制条件的排列或组合题；带限制条件的排列或组合题；排列组合综合题；解排列组合的应用题，通常有以下途径：①以元素为主，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素——特殊元素法 ②以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置——特殊位置法③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减不合要求的排列数或组合数——间接法（4）对解组合问题，应注意以下三点：①对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法。
②是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”。
③命题设计“分组方案”是解组合题的关键所在。
（3）解排列、组合题的基本策略与方法：①去杂法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
②分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。
这是解排列组合问题的基本策略之。
注意的是：分类不重复不遗漏。
即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。
③分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。
在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。
其原则是先分类，后分步。
④插入法（插空法）：某些元素不能相邻采用插入法。
即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。
⑤“捆绑”法：要求某些元素相邻，把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列，即是“捆绑法”。
⑥穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一排列出来。
⑦消序处理：对均匀分组问题在解决时，一定要区分开是“有序分组”还是“无序分组”，若是“无序分组”，一定要清除同均匀分组无形中产生的有序因素。
三、二项式定理：)()(*110N n b C b aC b aC aC b a n n r rn r n nn∈+++++=+--（1）通项：)0(1n r b aC T rrn rn r ≤≤=-+（2）二项式系数的性质：①二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即：mn m C C -=②二项展开式中，中间的一项或两项的二项式系数相等并且最大， 即当n 为偶数时，第12+n 项的二项式系数最大，为2nn C ；当n 为奇数时，第21+n 项及121++n 项的二项式系数最大，为2121+-=n n n n C C ；n2，即nn C C C 210=+++ ； ④二项展开式中，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，即1531422-=+++=+++n C C C C C C ；⑤1321232-⋅=++++n n nn n n n nCC C C（3）、nc b a )(++展开式中rqpc b a 的系数求法（0,,≥r q p 的整数且n r q p =++）rq qr n q r n r n rrn r n nnc b aC C cb a Cc b a c b a ----=+=++=++)(])[()(如：10)(c b a ++展开式中含523c b a 的系数为!5!2!3!105527310⨯⨯=C C C（4）二项式定理的应用：①求展开式中的指定的项或特定项：如：①若nx x )12(32-)(N n ∈，展开式中含有常数项，则n 的最小值是 ；②求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项。
注意：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。
②求展开式中的某一项的系数：如：在10)3(-x 的展开式中，6x 的系数是 ；③求展开式中的系数和：如：nn n x a x a x a a x x x ++++=++++++ 22102)1()1()1(的所有各项的系数和是221-+n （赋值法：令1=x ）；=+++ 420a a a 2)1()1(-+f f ；=+++ 531a a a 2)1()1(--f f ；（令nn x a x a x a a x f ++++= 2210)(）④求二项式展开式的系数最大项的问题：求nbx a )(+展开式中系数最大的项，通常设展开式各项系数分别为121,,,+n A A A ；设第1+r 项系数最大，则⎩⎨⎧≥≥+++211r r r r A A A A ；然后求出不等式组的整数解。
如：求10)2(x +展开式中系数最大的项。
⑤利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：如：求证：98322--+n n 能被64整除（*N n ∈）⑥证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。
①nx x n+>+1)1(；②22)1(1)1(x n n nx x n-++>+；（0>x ）如：求证：n n )11(2+<⑦进行近似计算：求数的n 次幂的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数(或减一个小数)的形式。
当||x 充分小时，我们常用下列公式估计近似值： ①nx x n +≈+1)1(；②22)1(1)1(x n n nx x n-++≈+；如：求605.1的近似值，使结果精确到0.01；四、概率：（1）随机事件的概率：①必然事件：在一定条件下必然要发生的事件； ②不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；③随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；④事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率nm 总是接近于某个常数，在它的附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率；记作)(A P ；⑤范围：1)(0≤≤A P ；特例：必然事件1)(=A P ，不可能事件0)(=A P ； （2）等可能事件的概率：①基本条件：一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
②等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是n1，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率m A P =)(；③从集合角度看概率：在一次试验中，等可能出现的n 个结果组成一个集合U ，这n 个结果就是集合U 的n 个元素；各基本事件均对应于集合U 的含有1个元素的子集，包含m 个结果的事件A 对应于U 的含有m 个元素的子集A ；因此，从集合的角度看，事件A 的概率是子集A 的元素个数（记作)(A card 与集合U 的元素个数的比值，即nm U card A card A P ==)()()(；（3）互斥事件有一个发生的概率：①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。