人教A版高中数学《平面向量的线性运算》教学设计
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.2 平面向量的线性运算教案
数学学科必修4模块第二单元教学设计方案
第五学时～第六学时
2．2平面向量的线性运算
（一）学习目标
11.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;
12.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.
13.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题.
14.了解平面向量的基本定理及其意义.
22.通过探究学生体会正交分解定理的形成过程，培养学生观察,类比联想
等发现规律的一般方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力.
23.使学生逐步养成独立思考与互助学习的素养，激发学生的学习兴趣和钻
研精神.
（二）重点难点
1.重点是让学生掌握平面向量正交分解下的坐标表示及其应用
2.难点是平面向量的基本定理及其意义.。
人教A版高中数学必修第二册第六章教学课件平面向量的线性运算 单元教学设计(第1课时)
3．一汽船从正西方向航行5 km，又向正南方向航行12 km，求汽船两次位移 的合位移的大小和方向（精确到1°）．
再见
第1课时：向量的加法
一、创设问题情境，明确研究对象
我们知道，实数有了运算，威力无穷．向量是否 能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数 的运算中得到启发，引进了向量的运算．本节我们就 来研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量 运算的作用．
下面先学习向量的加法．
一、创设问题情境，明确研究对象
（1）
（2）
七、从定义出发，研究向量加法的运算律
a b AB BC AC b a AD DC AC
满足交换律
a b c AB BC +CD AC CD AD a b c AB BC+CD AB BD AD
满足结合律
八、向量加法的简单应用
例2 如图，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进 行运输，一艘船从长江南岸A地出发，航行的速度的大小为15 km/h，方向为垂直于对岸的方向，同时江水的速度为向东6 km/h． （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（保留小数点后一位）与方向 （用与江水速度间的夹角表示，精确到1º）．
问题1 位移、力是向量，它们可以合成．我们看看能否
从位移的合成、力的合成中得到启发引进向量的运算．
我们先来看一个与位移有关的问题．
C
如图，某质点M从点A经过点B到点C， A
质点M的位移如何表示？
AB BC AC
平面向量的线性运算教学设计
平面向量的线性运算教学设计设计思路：本文基于平面向量的线性运算教学设计，主要内容包括向量的加法、减法、数乘以及线性组合等方面。
通过理论知识的介绍、示例的演示和互动练习等方式，让学生能够深入理解线性运算的概念与性质，提高解决实际问题的能力。
【引言】平面向量的线性运算是数学中重要的内容之一，它在几何、物理、工程等学科中都有广泛的应用。
正确理解和掌握平面向量的线性运算，对于学生培养逻辑思维、解决实际问题具有重要意义。
本文将通过教学设计，帮助学生深入理解平面向量的线性运算，并能够灵活运用于实际问题中。
【教学设计】一、理论知识的引入1. 引入向量的概念与性质：向量的定义、向量的模、向量的方向等。
2. 平面向量的表示方法：坐标表示法、位置矢量表示法等。
二、向量的加法与减法1. 向量的加法：向量相加的几何意义，向量相加的运算法则。
2. 向量的减法：向量相减的几何意义，向量相减的运算法则。
三、向量的数乘与线性组合1. 向量的数乘：向量与实数相乘的几何意义，向量数乘的运算法则。
2. 向量的线性组合：向量线性组合的概念与性质。
四、实例演示与解析1. 实例1：平面向量的相加减计算。
通过具体的示例，引导学生学会进行向量的相加、相减运算。
2. 实例2：向量的数乘与线性组合应用。
结合实际问题，让学生理解向量的数乘与线性组合在几何、力学等方面的应用，如力的合成与分解等。
五、互动练习与巩固1. 设计小组练习题目：编写一些向量加减或数乘题目，供学生进行小组讨论与解答。
2. 出示练习题目进行课堂检测：出示一些题目，要求学生即时回答，并解析答案，加深学生对知识点的理解与掌握。
【教学反思】通过本教学设计，学生在学习过程中通过理论知识的介绍、实例演示以及互动练习等方式，有助于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力，使学生对平面向量的线性运算有更深入的理解和应用。
同时，教学过程中注重互动，培养学生的合作意识和团队精神，增加学习的趣味性。
高中数学必修四《平面向量的线性运算》教学设计
向量加法运算及其几何意义内容和内容解析本节课内容选自普通高中课程标准实验教科书必修4(A版)P89——94，是在学习平面向量基本概念之后的一节比较重要的课，因为引入一个新的量后，考察它的运算及运算律是数学研究中的基本问题，类比数的运算，向量是否能够进行运算呢？向量的工具作用如何发挥呢？这是学生认知冲突的地方，这一冲突正是数学建模思想应运而生，也是激发学生进一步探究数学新知的契机。
这一节内容更是后续学习的铺垫，因为向量加法运算是平面向量的线性运算（向量加法、向量减法、向量数乘运算以及它们之间的混合运算）最基本、最重要的运算，减法运算、数乘向量运算都可以归结为加法运算，这一节学习好坏关系后续内容能否进一步领会和掌握。
因此教学重点放在对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的理解上，也即向量是如何相加的，而数学建模思想是帮助学生理解的神经中枢。
目标和目标解析1.通过对物理中的位移合成认识、动手操作力的合成实验，了解向量加法不同于一般意义上数量相加，有其遵循的新规则，在此基础上理解向量加法的意义，体验数学知识发生、发展的过程。
2.在学生探究向量加法感性认识的基础上，引导学生理解向量加法遵循的“规则”，即三角形法则和平行四边形法则，并能正确作出两向量和的图形，能对学生不同理解作出正确评价，为探究运算律奠定基础，切实掌握两个向量加法运算律，因为在今后向量运算中，缺少箭头表示方向，很多学生会产生陌生感，影响向量工具性能，务必使学生能灵活应用它们进行向量运算。
3.从位移合成、力的合成实践中得到向量加法运算法则，之后用来解决例2实际问题，让学生体验数学来源于现实生活,又服务于现实生活的道理，渗透数学建模思想。
教学问题诊断分析向量加法不同于小学里“2个苹果加上3个苹果共有几个苹果？”，也不同于初一时的求“两线段的和”不考虑方向。
向量是既有大小又有方向的量，如何处理大小相加和方向相加，这是本节课学生最难弄懂的地方。
学生要么无法计算，要么按照线段相加乱套，即是在以后的学习中，很多学生对求同一点出发的两向量和，不会用平行四边形法则来解决。
高中数学_平面向量的线性运算教学设计学情分析教材分析课后反思
平面向量的线性运算课型：习题课教学目标：1、知识目标：（1）理解并掌握平面向量的加法、减法运算法则及其几何意义（2）使学生掌握平面向量共线定理并能熟练应用。
2、能力目标：（1）了解平面向量的加法、减法运算法则等方面的应用。
（2）进行化归思想、整体思想的渗透，培养学生的发散思维和逆向思维能力。
3、德育目标：通过采取小组合作学习，引导学生共同讨论，共同协作，使学生体会到合作精神的重要性，同时学会尊重他人。
教学重点：掌握平面向量线性运算并能熟练应用。
教学难点：掌握平面向量共线定理并能熟练应用教学方法：讲练结合教具：多媒体教学过程：一、组织教学二、温故知新（1）向量的有关概念（2）向量的线性运算（3）共线向量定理向量()0a a ≠r r r与b r 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得_______.三、小试牛刀1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) （1）零向量与任意向量平行.（ ）( 2 )若//,//a b b c r r r r,则//a c r r ( )( 3 )向量AB u u u r与向量CD uuu r 是共线向量，则,,,A B C D 四点在一条直线上.( )( 4 )当两个非零向量 ,a b r r 共线时,一定有b a λ=r r,反之成立( )( 5 )在ABC ∆中,D 是BC 中点,则()12AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r.( )2.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若,a b r r都是单位向量,则a b =r r ;③向量BA u u u r 与AB u u u r相等.则所有正确命题的序号是( )A. ①B. ③C. ①③D.①②3.设向量,a b r r不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r 平行，则实数λ＝____________.4.已知平行四边形ABCD 的对角线AC u u u r 和BD u u u r相交于O ，且,OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，则= ;= ;(用,a b r r表示四、典例解析考点一 平面向量的线性运算 ［例1］（1）在ABC ∆中，Q P ，分别是BC AB ，的三等分点，且BC BQ AB AP 3131==，，若=a r ，=b r，则=( )A.1133a b +r rB.1133a b -+r rC.1133a b -r rD. 1133a b --r r（2）在ABC ∆中，点M ，N 满足2,AM MC BN NC ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r ， 若MN x AB y AC =+u u u u r u u u r u u u r则x = ；y = .规律方法 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果. 跟踪训练： 【训练1】(1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点, 点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点,那么等于（ ）A. 1123AB AD -u u u r u u u rB. 1142AB AD +u u ur u u u rOA BD CC.1132AB DA +u u u r u u u rD. 1223AB AD -u u ur u u u r (2) 在ABC ∆中，2,3AB BC == ,60ABC ∠=o,AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r则λμ+ 等于 ( )A. 1B.12 C. 13 D.23考点二 共线向量定理及其应用［例2］设两个非零向量a r 和b r不共线（1） 若(),28,3AB a b BC a b CD a b =+=+=-u u u r r r u u u r r r u u u r r r,求证：,,A B D 三点共线；（2） 试确定实数k ，使ka b +r r 与a kb +r r共线.规律方法(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量,a b r r 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使 120a b λλ+=r r r成立.【训练2】（1）已知向量3,53,33AB a b BC a b CD a b =+=+=-+u u u r r r u u u r r r u u u r r r，则 （ ）A. 三点共线B. 三点共线C. 三点共线D. 三点共线 （2）已知,,A B C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线 l 上，则使等式20x OA xOB BC ++=u u u r u u u r u u u r r成立的实数x 的取值集合为（ ）A. {}0B. φC. {}1-D.{}0,1-考点三 向量线性运算的综合应用 ［例3］（1）O 是平面上一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[),0,AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆ 的（ ）C B A ,,D B A ,,D C A ,,D C B,,A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心（2）设O 为ABC ∆内部的一点，且30OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r则AOC ∆的面积与BOD ∆ 的面积之比为规律方法（1）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等；（2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三条边的中垂线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。
平面向量的线性运算教学设计
平面向量的线性运算【教学目标】1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两向量共线的含义．【教学重点】1．了解向量的实际背景；2．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；3．理解向量的几何表示．【教学难点】1．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；2．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两向量共线的含义．3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．【高考动向】1．本节课是高考考查的重点和热点；2．考查的题型多为选择题、填空题；向量与三角函数、解析几何交汇命题时，则出现在解答题中，难度一般不大，属中低档题．【教学过程】一、近三年平面向量真题展示（5.3复习资料P82，略）二、知识讲解1. 平面向量的两种表示：①向量的几何表示：常用表示；②向量的字母表示：（1）印刷体；（2）手写体．2. 平面向量的概念：⃗⃗⃗⃗⃗ 的也就是向量的长度（或模）．①向量的长度（模）：向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ |或|a⃗|．记作：|AB②两个特殊向量：（1）零向量：长度（模）为的向量，记作：0⃗；（2）单位向量：长度（模）为个单位的向量；（3）平行向量（又叫共线向量）：方向或的非零向量，记作：a⃗//b⃗ //c⃗；（4）相等向量：长度且方向的向量，记作：a⃗=b⃗ =c⃗．规定：0⃗与任一向量平行．3. 【露他一小手儿】 例1. 下列说法中：① 相等向量一定是平行向量； ② 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是单位向量，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 也是单位向量； ③ 向量的模是一个非负实数； ④ 共线向量一定在同一直线上． 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 变1. 下列结论中，正确的是（ ） A ． 若a ⃗ =b ⃗ ，则a ⃗ ，b ⃗ 的长度相等，且方向相同或相反B ． 若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >CD ⃗⃗⃗⃗⃗C ． 若a ⃗ =b ⃗ ，则a ⃗ //b ⃗D ． 由于零向量的方向不定，故零向量不能与任一向量平行 变2. 下列说法正确的是（ ）A ．若a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a ⃗ //c ⃗B ．向量a⃗ 与b ⃗ 平行，则a ⃗ 与b ⃗ 的方向相同或相反 C ．向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度与向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等 D ．若四边形ABCD 是平行四边形，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 变3. 下列说法正确的是（ ） A ．平行向量不一定是共线向量B ．两个有共同终点的向量，一定是共线向量C ．共线向量都相等D ．模为0的向量与任意一个向量平行 4.向量的两个法则 ①向量加法三角形法则口诀：尾首相连，由起点指向终点.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =②向量加法平行四边形法则 口诀：起点相同，对角为和.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ③向量减法三角形法则口诀：共起点，连终点，方向指向被减向量.OA⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A5.重要结论在∆ABC 中，若D 为BC 边的终点，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 6. 【露他一小手儿】例2.（2018全国卷Ⅰ）在∆ABC 中，AD 为中线，E 为AD 的中点，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A ．34AB ⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗ B ．34AB ⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗ C ．14AB ⃗⃗⃗⃗ −34AC ⃗⃗⃗⃗ D ．14AB ⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗ 变1. 在∆ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，若点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A ．23b ⃗ +13c B ．53b ⃗ −23c C ．23b ⃗ −13c D ．13b ⃗ +23c 7.向量共线定理向量a ⃗ （a ⃗ ≠0⃗ ）与b ⃗ 共线，当且仅当有唯一实数λ，使 ．即a ⃗ 与b ⃗ 共线⇔ （a ⃗ ≠0⃗ ）．8. 【露他一小手儿】例3.设a ⃗ 与b ⃗ 是两个不共线，且a ⃗ +λb ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 共线，则λ= ． 变1. 设e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 是两个不共线向量，且3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 与m e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ 共线，则m = ． 9. 平面向量基本定理如果e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内任一向量a⃗ ，有且只有一对实数λ1，λ2使 ．其中，不共线的两个向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 叫做一组 ．10. 【露他一小手儿】例4.已知向量e 1⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，e 2⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，λ∈R ，a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ ，若a ⃗ 与b ⃗ 共线，则下列关系一定成立的是( )A ．e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗B ．e 2⃗⃗⃗ =0⃗C ．λ=0D ．e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗ 或λ=0变1.已知向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 不共线，实数x ，y 满足（2x −3 y ）e 1⃗⃗⃗ +(3x −4y )e 2⃗⃗⃗ =6e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ ，则x = ，y= ．ＡＢＣＤＡＢＣＤ。
人教A版高中数学必修四 第2章(第3课时)《平面向量的线性运算》(2)教案
课 题： 2.2.2向量的减法及其几何意义教学目的：⑴了解相反向量的概念； ⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图.教学难点：对向量减法定义的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）2．向量加法的交换律：a +b =b +a3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )二、讲解新课：向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法： 1︒“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量记作 -a 2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a ) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量 + (-a ) =0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 03︒向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2．用加法的逆运算定义向量的减法：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a +0 = a减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ，作OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1︒AB 表示a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )显然，此法作图较繁，但最后作图可统一三、讲解范例：例1已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d解：在平面上取一点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD =d ,作BA , DC , 则BA = a -b , DC = c -d例2平行四边形ABCD 中，AB a = ，AD b = ，用a ，b 表示向量AC 、 解：由平行四边形法则得：AC = a + b , DB = AB AD - = a -b变式一：当a , b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |）变式二：当a , b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a , b 互相垂直）变式三：a +b 与a -b 可能是相当向量吗？（不可能，∵对角线方向不同）,3,,,ABCD AB a DA b OC c b c a OA===+-= 如图平行四边形证明：例 b c DA OC OC CB OB b c a OB AB OB BA OA+=+=+=∴+-=-=+= 证明：四、课堂练习：五、小结 向量减法的定义、作图法六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。
高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案
高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案一、教学目标1.理解向量的加、减、数乘运算及其物理意义。
2.掌握平面向量的线性运算方法。
3.能够应用向量的线性运算解决实际问题。
二、教学重点平面向量的线性运算。
三、教学难点向量线性运算一个实际问题的解决。
四、教学方法讲授法，示范法，练习法，问题解决法。
五、教学工具黑板、多媒体投影仪等。
六、教学过程1.引入教师引导学生回忆已学过的向量概念以及向量的模、方向和共面等概念。
2.新课讲解（1）向量加法。
如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {BC}$ 表示两个向量，那么它们的和为 $\vec {AB} + \vec {BC} = \vec {AC}$，如图所示：向量和的性质：①结合律：$(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$②交换律：$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$③零向量的性质：$\vec a+\vec 0=\vec a$（2）向量减法。
如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {AC}$ 表示两个向量，那么它们的差为 $\vec {AB}-\vec {AC} = \vec {CB}$，如图所示：向量差的性质：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$（3）向量数乘。
如果 $\vec a$ 表示一个向量，$\lambda$ 表示一个标量，那么$\vec a$ 与 $\lambda$ 的积为 $\lambda \vec a$，如图所示：向量数乘的性质：①交换律：$\lambda \vec a=\vec a \lambda$②系数倍数的分配律：$(k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a$③数乘的分配律：$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$（4）向量共线和平行。
向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 共线的充要条件是 $\vec a = \lambda \vec b (\lambda \in R)$；向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 平行的充要条件是 $\vec a \times \vec b =\vec 0$（叉乘得到的是一个向量，如果结果为 $\vec 0$ 说明它们是平行的），或者 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|$。
人教A版高中数学 《平面向量的线性运算》教案
课题： 2.2.1向量加法及其几何意义教学目的：⑴掌握向量加法的定义⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.教学难点：向量的加法和减法的定义的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（1）向量a与b相等，记作a＝b；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起．．．．．．．点无关．．．.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.7.对向量概念的理解AB的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 二、讲解新课：1． 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作AB a =，BC b =，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即 a b AB BC AC +=+=(1)BB特殊情况：abba +ba +AABC C)2()3(对于零向量与任一向量a ，有 00a a a +=+= 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |;（3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时，若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |;若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同，且|a +b |=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加.2．向量加法的交换律：a +b =b +a3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使AB a =, BC b =, CD c = 则(a +b ) +c =AC CD AD +=a + (b +c ) =AB BD AD +=∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行三、讲解范例：例 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图，一艘船从长江南岸A 点出发，以5km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h 。
《平面向量的线性运算》教案17新人教A版
《平面向量的线性运算》教案17（新人教
A版必修4）
2.2.3 向量的数乘运算及几何意义（1）
一、教学目标：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；
二、教学重、难点：1．实数与向量的积的定义及其运算律。
三、教学过程：
（一）复习：
已知非零向量，求作和．
如图：，．
（二）新课讲解：
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方
向规定如下：（1）；（2）当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反；
当时，．
2．实数与向量的积的运算律：
（1）（结合律）；
（2）（第一分配律）；
（3）（第二分配律）．
3．例1 计算：（1）；（2）；（3）．
解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=．
例2．已知向量和向量，求作向量4．练习计算：（1）（2）（3）教材P90面5题5．思考例3．
例4．教材例7。
三、课堂练习：教材P90面1、2、3、4题
四、小结：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；3．向量共线的条件
五、作业：《习案》作业二十。
高三数学《平面向量的概念及线性运算》教案
课题第1讲平面向量的概念及线性运算（一）教学目标知识与技能1.了解向量的实际背景．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2. 理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．过程与方法情感态度价值观教学重点与难点教学过程集体备课个性设计（手写补充）一、考纲要求：1．了解向量的实际背景．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2．理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．二、知识梳理：1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 与a 的方向相同； 当λ<0时，λa 与 a 的方向相反；当λ＝0时，λ a ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μ_a ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ． 三、双基练习：1.教材习题改编 下列结论正确的是( )A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若a ，b 是两个单位向量，则a ＝bC ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．若AB ＝AC ，则AB →＝AC →2.如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →＋12AB →C ．BC →－12BA →D ．.BC →＋12BA →3．(2017·东北三省四市联考)在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形4．已知平面内四点A ，B ，C ，D ，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．5. 已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)． 四、[典例]考点一 平面向量的有关概念 例1给出下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c . 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 变式训练1给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④若λa ＝μb (λ，μ为实数)，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 考点二 平面向量的线性运算例1．(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →。
人教A版高中数学必修四人教平面向量的线性运算教案
平面向量的基本概念与线性运算（一）【教学目标】1.了解平面向量的实际背景。
2.理解平面向量的概念及向量相等的含义。
3.理解向量的几何表示。
4.掌握向量加法，加法的运算，并理解其几何意义。
【教学重难点】1．理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量。
2．掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系。
3. 掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
4. 掌握向量减法的三角形法则。
【课前预习】 基本知识点：(1)既有 又有 的量叫做向量，向量可以用 来表示．(2)向量的大小，也就是向量的 (或称 )(3)长度 向量叫做零向量，记作；长度为_ 的向量叫做单位向量． (4)方向 或 的两个向量叫做平行向量，也叫做 ．规定：与 平行．(5)长度 且方向 的向量叫做相等向量；与a长度 且方向 的向量叫做相反向量．规定：0的相反向量是 ．(6)向量的加法和减法： 如图所示，已知在中设,,b a==则=+b a ，=-b a(7)向量的分解 ：已知向量AB ，O 为平面内任意一点，则OB AO AB +=；OA OB AB -=。
基本练习：1.（必修4课本57页）下列结论中正确的是________ （1）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；（2）模相等的两个平行向量是相等的向量；（3）若a 和b 都是单位向量，则a =b ；（4）两个相等向量的模相等。
2.（必修4课本57页）设O 是正三角形ABC 的中心，则向量是_________向量（相等，共线，模相等，共起点）3.（必修4课本57页）判断题： 1）长度相等的向量是相等向量。
（ ） 2）相等向量是共线向量。
( ) 3) 平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量。
（ ）4. 在ABCD 中，BC CD BA -+=5.在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =________【典型例题】例1． 如图，设O 是正六边形的中心，分别写出图中与DA 的模相等的向量以及方向相同的向量。
人教版高中必修42.2平面向量的线性运算教学设计
人教版高中必修42.2平面向量的线性运算教学设计
一、教学目标
1.知识目标
•熟悉平面向量的概念和性质
•掌握平面向量的线性运算方法，了解向量的数量积和向量积的概念和性质
2.能力目标
•能够应用平面向量的线性运算方法解决几何问题
•能够通过向量的数量积和数量积的计算对平面上的向量进行分类
3.情感态度目标
•培养学生的独立思考和解决问题的能力
•激发学生对数学的兴趣和热爱，培养优秀的数学思维和学习方法
二、教学重点和难点
1.教学重点
•平面向量的线性运算方法和相关概念的掌握
•根据向量的线性运算方法解决几何问题
2.教学难点
•向量的数量积和向量积的概念和性质的理解
•向量的数量积和向量积的应用
1。
《平面向量的线性运算》说课稿新人教A版
《平面向量的线性运算》说课稿（新人教A版必修4）《向量的加法》说课稿一、教材分析：《向量的加法》是《必修》4第二章第二单元中"平面向量的线性运算"的第一节课。
本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用，向量加法的运算律及应用，大约需要1课时。
向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法及其几何意义为后继学习向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。
所以本课在"平面向量"及"空间向量"中有很重要的地位。
二、学情分析：学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础。
学生对数的运算了如指掌，并且在物理中学过力的合成、位移的合成等矢量的加法，所以向量的加法可通过类比数的加法、以所学的物理模型为背景引入，这样做有利于学生更好地理解向量加法的意义，准确把握两个加法法则的特点。
三、教学目的：1、通过对向量加法的探究，使学生掌握向量加法的概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。
能正确领会向量加法的平行四边形法则和三角形法则的几何意义，并能运用法则作出两个已知向量的和向量。
2、在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律以及表述两个运算律的几何意义。
掌握有特殊位置关系的两个向量之和，比如共线向量，共起点向量、共终点向量等。
3、通过本节的学习，培养学生类比、迁移、分类、归纳等数学方面的能力。
四、教学重、难点重点：向量的加法法则。
探究向量的加法法则并正确应用是本课的重点。
两个加法法则各有特点，联系紧密，你中有我，我中有你，实质相同，但是三角形法则适用范围更加广泛，且简便易行，所以是详讲内容，平行四边形法则在本课中所占份量略少于三角形法则。
难点：对三角形法则的理解；方向相反的两个向量的加法。
必修四-2.2--平面向量的线性运算(教案)
必修四 -2.2-- 平面向量的线性运算( 教课设计)人教版新课标一般高中◎数学④必修2. 2平面向量的线性运算教课设计 A第 1课时教课目的一、知识与技术1．掌握向量的加减法运算，并理解其几何意义 .2．会用三角形法例和平行四边形法例作两个向量的和向量和差向量，培育数形联合解决问题的能力 .3．经过将向量运算与熟习的数的运算进行类比，使学生掌握向量加减法运算的互换律和联合律，并会用它们进行向量计算，浸透类比的数学方法；二、过程与方法1．位移、速度和力这些物理量都是向量，能够合成，并且知道这些矢量的合成都依照平行四边形法例，由此引入本课题．2．运用向量的定义和向量相等的定义得1人教版新课标一般高中◎数学④必修出向量加减法的三角形法例、平行四边形法则，并对向量加法的互换律、联合律进行证明，同时运用他们进行有关计算，这可让同学们进一步增强对向量几何意义的理解．三、感情、态度与价值观1．经过本节内容的学习，让学生认识事物之间的相互转变，培育学生的数学应意图识．2．领会数学在生活中的作用．培育学生类比、迁徙、分类、概括等能力．教课重点、难点教课重点：会用向量加法的三角形法例和平行四边形法例作两个向量的和向量和差向量．教课难点：理解向量加减法的定义．教课重点：向量加法的三角形法例和平行四边形法例的研究指引 .教课打破方法：由物理中力的合成与分解拓展延长，指引学生商讨获取结论．教法与学法导航2人教版新课标一般高中◎数学④必修教课方法；启迪引诱，讲练联合．学习方法：数能进行运算，向量能否也能进行运算呢？数的加法启迪我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法．借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生理所应当接受向量的加法定义．联合图形掌握向量加法的三角形法例和平行四边形法例．联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的互换律和联合律．教课准备教师准备：多媒体或实物投影仪、尺规．学生准备：练习本、尺规.教课过程一、创建情境，导入新课上一节，我们一同学习了向量的有关观点，明确了向量的表示方法，认识了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等观点，并接触了这些观点的辨析判断．数能进行运算，向量能否也能进行运算呢？这一节，我们将借3人教版新课标一般高中◎数学④必修助于物理中位移的合成、力的合成来学习向量的加法和减法．二、主题研究，合作沟通提出问题：1.类比数的加法，猜想向量的加法，应如何定义向量的加法？2.向量加法的法例是什么？3.与数的运算法例有什么不一样？师生互动：向量是既有大小、又有方向的量，教师指引学生回首物理中位移的观点，位移能够合成，如图．某对象从 A 点经 B 点到 C 点，两次位移 AB 、BC的结果，与A点直接到C点的位移AC 结果相同．力也能够合成，老师指引，让学生共同研究以下的问题 .图（ 1）表示橡皮条在两个力的作用下，沿着 GC 的方向伸长了 EO；图（2）表示撤去4人教版新课标一般高中◎数学④必修F1和 F2，用一个力 F 作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度．改变力 F1与 F2的大小和方向，重复以上的实验，你能发现 F 与 F1、F2之间的关系吗？力 F 对橡皮条产生的成效与力F1与 F2共同作用产生的成效相同，物理学中把力 F 叫做F1与 F2的协力．协力 F 与力 F1、F2有如何的关系呢？由图（3）发现，力 F 在以 F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长．数的加法启迪我们，从运算的角度看， F 能够以为是 F1与 F2的和，即位移、力的合成看作向量的加法．议论结果： 1.向量加法的定义：以以下图，5人教版新课标一般高中◎数学④必修已知非零向量 a、b，在平面内任取一点A，作AB =a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即 a+b= AB + BC = AC．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．2.向量加法的法例：（1）向量加法的三角形法例在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法例．运用这一法例时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量．位移的合成能够看作向量加法三角形法例的物理模型．（2）向量加法的平行四边形法例如图，以同一点 O 为起点的两个已知向量6人教版新课标一般高中◎数学④必修a、b 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的对角线 OC 就是a与b的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法例．力的合成能够看作向量加法平行四边形法例的物理模型．对于零向量与任一向量 a ，我们规定a+0=0+a=a．提出问题1.两共线向量乞降时，用三角形法例较为适合．当在数轴上表示两个向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？2.思虑|a+b|，|a|，|b|存在着如何的关系？3.数的运算和运算律密切联系，运算律能够有效地简化运算．近似地，向量的加法能否也有运算律呢？师生互动：察看实质例子，教师启迪学生思虑，并合时点拨，引诱，研究向量的加法在特别状况下的运算，共线向量加法与数的加法7人教版新课标一般高中◎数学④必修之间的关系．数的加法知足互换律与联合律，即对随意 a，b∈R，有 a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）．随意愿量a，b的加法能否也知足互换律和联合律？指引学生绘图进行研究．议论结果： 1.两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点 ;在数轴上的两个向量相加，它们的和还是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段．2.当 a，b 不共线时， |a+b|<|a|+|b|（即三角形两边之和大于第三边） ;当 a，b 共线且方向相同时， |a+b|=|a|+|b|;当 a，b 共线且方向相反时， |a+b|=|a|- |b|（或 |b|- |a|）．此中当向量 a 的长度大于向量 b 的长度时，|a+b|=|a|-|b|;当向量a 的长度小于向量 b 的长度时， |a+b|=|b|- |a|．一般地，我们有 |a+b| ≤|a|+|b|．3.以下左图，作AB =a，AD =b，以 AB、AD 为邻边作 ABCD，则BC =b，DC =a．因为 AC =AB+AD=a+b， AC =AD+ DC =b+a，所8人教版新课标一般高中◎数学④必修以 a+b=b+a．如上右图，因为 AD=AC+CD=（ AB+BC）+CD=（a+b）+c，AD = AB + BD = AB +（BC+CD）=a+（b+c），所以（ a+b）+c=a+（b+c）．综上所述，向量的加法知足互换律和联合律．提出问题①如何理解向量的减法？②向量的加法运算有平行四边形法例和三角形法例，那么，向量的减法能否也有近似的法例？师生互动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，所以向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的观点，这个观点又该如何定义？指引学生思虑，相反向量有哪些性质？9人教版新课标一般高中◎数学④必修因为方向反转两次仍回到本来的方向，因此 a 和- a 互为相反向量．于是-（- a）=a．我们规定，零向量的相反向量还是零向量．任一直量与其相反向量的和是零向量，即a+（- a）=（- a）+a=0．所以，假如a、b 是互为相反的向量，那么a=- b，b=- a，a+b=0．A.平行四边形法例如上图，设向量AB =b，AC=a，则AD =-b，由向量减法的定义，知AE =a+（-b）=a-b．又b+ BC =a，所以BC =a- b．由此，我们获取a- b 的作图方法．B.三角形法例10人教版新课标一般高中◎数学④必修如上图，已知 a、b，在平面内任取一点O，作 OA =a，OB =b，则BA=a-b，即a-b能够表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．议论结果：①向量减法的定义．我们定义a- b=a+（- b），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．规定：零向量的相反向量是零向量．②向量的减法运算也有平行四边形法例和三角形法例，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形联合思想的重要表现．三、拓展创新，应用提升例 1 以下左图，已知向量 a、b，求作向量a+b．活动：教师指引学生，让学生研究分别用向量加法的三角形法例和平行四边形法例作11人教版新课标一般高中◎数学④必修两个向量的和向量．在向量加法的作图中，学生领会作法中在平面内任取一点 O 的依照——它表现了向量起点的随意性．在向量作图时，一般都需要进行向量的平移，用平行四边形法例作图时应重申向量的起点放在一同，而用三角形法例作图则要求首尾相连．解：作法一：在平面内任取一点 O（上中图），作 OA =a，AB=b，则 OB =a+b．作法二：在平面内任取一点O（上右图），作OA =a， OB =b．以OA、OB为邻边作OACB，连结 OC，则OC =a+b．例 2 长江两岸之间没有大桥的地方，经常经过轮渡进行运输．以以下图所示，一艘船从长江南岸 A 点出发，以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．（1）试用向量表示江水速度、船速以及12人教版新课标一般高中◎数学④必修船实质航行的速度（保存两个有效数字）;（2）求船实质航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精准到度）．活动：本例联合一个实质问题说明向量加法在实质生活中的应用．这样的问题在物理中已有波及，这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算，领会此中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向（与某一方向所成角的大小）．指引点拨学生正确理解题意，将实质问题反应在向量作图上，进而与初中学过的解直角三角形成立联系．解：如上右图所示，AD 表示船速，AB 表示水速，以 AD、AB 为邻边作 ABCD，则AC表示船实质航行的速度．（2）在 Rt△ABC 中， |AB |=2， |BC |=5，所以| |=≈5 ．AC|AB |2|BC|2 2 25229. 413人教版新课标一般高中◎数学④必修因为tan ∠ CAB=29，由计算器得∠2CAB=68°．答：船实质航行速度的大小约为 5．4 km/h，方向与水的流速间的夹角为 68°．评论：用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回扣物理问题，解决问题．例 3 如图（ 1）已知向量 a、b、c、d，求作向量 a- b，c- d．活动：教师让学生亲身着手操作，指引学生注意规范操作，为此后解题打下优秀基础;点拨学生依据向量减法的三角形法例，需要选点平移作出两个同起点的向量．作法：如图（ 2），在平面内任取一点 O，作OA =a，OB =b，OC =c，OD =d．则BA=a-b，DC =c-d．例 4 如图， ABCD 中，AB =a，AD =b，你能用 a、b 表示向量AC、DB吗？14人教版新课标一般高中◎数学④必修活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其余向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．解：由向量加法的平行四边形法例，我们知道 AC =a+b，相同，由向量的减法，知DB = AB - AD =a-b．四、小结1．先由学生回首本节学习的数学知识：向量的加法定义，向量加法的三角形法例和平行四边形法例，向量加法知足互换律和联合律，几何作图，向量加法的实质应用．2．教师与学生一同总结本节学习的数学方法：特别与一般，概括与类比，数形联合，分类议论，特别是经过知识迁徙类比获取新知识的过程与方法．15人教版新课标一般高中◎数学④必修讲堂作业1．以下等式中，正确的个数是（）① a+b=b+a② a-b=b③ 0-a=-a ④-（- a）=a⑤a+（ - a）=0A．5B．4 C．3D．22．如图，D、E、F 分别是△ABC 的边AB、BC、CA的中点，则 AF - DB等于（）A．FD B．FC C．FE D．BE3．以下式子中不可以化简为AD的是（）A．（AB+CD）+BC B．（AD + MB）+（BC +CM）C．MB AD BM D．OC- OA+CD4．已知 A、B、C 三点不共线， O 是△ABC内一点，若 OA + OB + OC =0，则O是△ABC的（）A．重心B．垂心C．内16人教版新课标一般高中◎数学④必修心D．外心参照答案：1．C 2．D 3．C 4．A.第 2课时教课目的一、知识与技术1．经过经历研究数乘运算法例及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律．2．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判断两向量能否平行．二、过程与方法充足抓住本节教课中的学生研究、猜想、推证等活动，指引学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生研究向量数乘的结果还是向量（特别地 0·a=0），它的几何意义是把向17人教版新课标一般高中◎数学④必修量 a 沿 a 的方向或 a 的反方向放大或减小，当λ>0 时，λa与 a 方向相同，当λ<0 时，λa 与 a 方向相反；向量共线定理用来判断两个向量能否共线．而后对所研究的结果进行运用拓展．三、感情、态度与价值观经过研究，领会类比迁徙的思想方法，浸透研究新问题的思想和方法，培育创新能力和积极进步精神．经过解决详细问题，领会数学在生活中的重要作用．教课重点、难点教课重点：实数与向量积的意义、两个向量共线的等价条件及其运用．教课难点：对向量共线的等价条件的理解运用．教课重点：两个向量共线的等价条件的研究过程的指引 .教课打破方法：从向量共线的定义出发，指引学生疏组议论，得出结果．教法与学法导航18人教版新课标一般高中◎数学④必修教课方法：问题式教课，启迪引诱．学习方法：合作商讨，在向量加减法的基础长进行推行．教课准备教师准备：多媒体、尺规.学生准备：练习本、尺规.教课过程一、创建情境，导入新课前一节课，我们一同学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简易计算及推行．在代数运算中，a+a+a=3a，故实数乘法能够当作是相同实数加法的简易计算方法，那么相同向量的乞降运算能否也有近似的简易计算．二、主题研究，合作沟通提出问题：①研究：已知非零向量 a，试一试作出 a+a+a和（ - a）+（- a）+（- a）．② 你能说明它们的几何意义吗？19人教版新课标一般高中◎数学④必修③ 引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的地点关系吗？如何理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？师生互动：指引学生回首有关知识并猜想结果，对于运算律的考证，点拨学生经过作图来进行．经过学生的着手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要指引学生特别注意 0·a=0，而不是 0·a=0．这个零向量是一个特别的向量，它仿佛很不起眼，但又到处存在，略不注意就会犯错，所以要指引学生正确理解和办理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量能够求积，可是不可以进行加、减运算，比方λ+a，λ-a 都没法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相像，不过数乘运算的分派律有两种不一样的形式：（λ+μ）a=λa+μa 和λ（a+b）=λa+λb，数乘运算的重点是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量能否平行（共线），实质上就是看可否找出一个实数，使得这个实数乘以20人教版新课标一般高中◎数学④必修此中一个向量等于另一个向量．必定要确实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．对问题①，学生经过作图可发现，OC = OA +AB+ BC =a+a+a．近似数的乘法，可把a+a+a 记作3a，即OC =3a．明显 3a 的方向与 a 的方向相同，3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，即|3a|=3|a|．相同，由以下图可知，PN =PQ QM MN =（-a）+（-a）+（-a），即（ - a）+（- a）+（- a）=3（- a）．明显3（- a）的方向与 a 的方向相反， 3（- a）的长度是 a 的长度的 3 倍，这样， 3（- a） =- 3a．对问题②，上述过程推行后即为实数与向量的积．我们规定实数λ与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度21人教版新课标一般高中◎数学④必修与方向规定以下：（1） |λa|=|λ||a|；（2）当λ>0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向相反．由（1）可知，λ=0 时，λa=0．依据实数与向量的积的定义，我们能够考证下边的运算律．实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么（1）λ（μa）=（λμ）a；（2）（λ+μ）a=λa+μa；（3）λ（a+b）=λa+λb．特别地，我们有（ - λ）a=- （λa）=λ（- a），λ（a- b）=λa-λb．对问题③，向量共线的等价条件是：假如a（a≠0）与 b 共线，那么有且只有一个实数λ，使 b=λa．推证过程教师可指引学生自己达成，推证过程以下：对于向量 a（a≠0）、b，假如有一个实数λ，使 b=λa，那么由向量数乘的定22人教版新课标一般高中◎数学④必修义，知a 与b 共线．反过来，已知向量a 与b 共线，a≠0，且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍，即 |b|=μ|a|，那么当 a 与 b 同方向时，有 b=μa；当 a 与 b 反方向时，有 b=-μa．对于向量共线的条件，教师重点拨学生做进一步深层研究，让学生思虑，若去掉 a≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是经过 0 与随意愿量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量能否共线时，只需看这两个向量的方向能否相同或相反即可，与这两个向量的长度没关．在没有指明非零向量的状况下，共线向量可能有以下几种状况：（1）有一个为零向量；（2）两个都为零向量；（3）同向且模相等；（4）同向且模不等；（ 5）反向且模相等；（6）反向且模不等．议论结果：①数与向量的积还是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确立，大小由 |λ|·|a|确立．②它的几何意义是把向量 a 沿 a 的方向或23人教版新课标一般高中◎数学④必修a的反方向放大或减小．③向量的平行与直线的平行是不一样的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包括没有交点的状况，又包括两个向量在同一条直线上的情况．三、拓展创新，应用提升例1 计算：（1）（- 3）×4a；（2）3（a+b）- 2（a- b）- a；（3）（2a+3b- c）-（3a- 2b+c）．活动：本例是数乘运算的简单应用，可让学生自己达成，要修业生娴熟运用向量数乘运算的运算律．教课中，点拨学生不可以将此题看作字母的代数运算，能够让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特色．同时向学生点出，向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于随意愿量a、b，以及随意实数λ、μ1、μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）=λμ1a±λμ2b．24人教版新课标一般高中◎数学④必修解：（1）原式 =（- 3×4）a=- 12a；（2）原式 =3a+3b- 2a+2b- a=5b；（3）原式 =2a+3b- c- 3a+2b- c=- a+5b- 2c．评论：运用向量运算的运算律，解决向量的数乘．其运算过程能够模仿多项式运算中的“归并同类项”．例 2 如图，已知随意两个非零向量 a、b，试作 OA =a+b，OB =a+2b，OC =a+3b．你能判断A、B、C 三点之间的地点关系吗？为何？活动：本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线常用的方法．教课中能够先指引学生作图，经过察看图形获取 A、B、C 三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转变为用向量共线证明三点共线．此题只需指引学生理清思路，详细过程可由学生自己完成．此外，此题是一个很好的与信息技术整合的题材，教课中能够经过计算机作图，进行动向演示，揭露向量 a、b 变化过程中， A、B、25人教版新课标一般高中◎数学④必修C三点一直在同一条直线上的规律．解：分别作向量 OA 、 OB 、 OC 过点A、C作直线AC（如上图）．察看发现，无论向量a、 b 如何变化，点 B 一直在直线AC上，猜想 A、B、C 三点共线．事实上，因为 AB =OB-OA=a+2b-（a+b）=b，而 AC =OC - OA =a+3b-（a+b）=2b，于是 AC=2AB．所以 A、B、C 三点共线．评论：对于三点共线问题，学生接触许多，这里是用向量证明三点共线，方法是一定先证明两个向量共线，并且有公共点．教师指引学生解完后进行反省，领会向量证法的新奇独特．例 3如图，ABCD 的两条对角线订交26人教版新课标一般高中◎数学④必修于点 M，且AB =a，AD =b，你能用 a、b表示MA、MB、MC 和MD吗？活动：本例的解答要用到平行四边形的性质．此外，用向量表示几何元素（点、线段等）是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教课中能够给学生明确指出这一点．解：在ABCD 中，∵AC =AB+AD=a+b，DB=AB-AD=a-b，又∵平行四边形的两条对角线相互均分，111a-1∴MA = 2AC = 2（a+b）=22 b，MB =21 DB =12（a-b）=21a-21b，MC=1AC =1a+1b，222MD =MB=-1DB =-1a+1b．222评论：联合向量加法和减法的平行四边形法例和三角形法例，将两个向量的和或差表示27人教版新课标一般高中◎数学④必修出来，这是解决这种几何题的重点．四、小结1．让学生回首本节学习的数学知识：向量的数乘运算法例，向量的数乘运算律，向量共线的条件．2．领会本节学习顶用到的思想方法：特别到一般、概括、猜想、类比、分类议论、等价转变．讲堂作业．11（2a+8b）-（4a- 2b）]等于（）1 3 [2A． 2a- b B．2b- a C．b- a D．a- b．设两非零向量1、e2不共线，且 ke1 22e+e 与 e12共线，则 k 的值为（）+keA． 1B．- 1 C．±1D．03．若向量方 2x- 3（x- 2 a）=0，则向量x等于（）28人教版新课标一般高中◎数学④必修A．6a B．- 6a5C．6a D．6a54．在△ABC 中，AE = 1AB， EF ∥BC，EF5交 AC 于 F，设AB =a，AC =b，则BF用 a、b 表示的形式是 BF =_________．5．在△ABC 中，M 、N、P 分别是AB、BC、CA 边上的凑近 A、B、C 的三均分点， O 是△ABC 平面上的随意一点，若11=________．+=1-2，则OA OB OC OM ON OP6．已知△ABC 的重心为 G，O 为坐标原点， OA =a， OB =b， OC =c，求证： OG =1（a+b+c）．3参照答案：1. B2. C3. C4 ．- a+ 1 b5 5．1 e1-1 e2．3229人教版新课标一般高中◎数学④必修6．连结 AG 并延长，设 AG 交BC于 M ．∵AB =b-a，AC=c-a，BC=c-b，∴AM=AB+1BC =（b-a）+1（ c- b） =1222（c+b- 2a）．∴AG =2AM=13（c+b-2a）．3∴OG = OA+ AG =a+1（c+b-2a）=1（a+b+c）．33教课设计 B第 1课时教课目的一、知识与技术1．理解向量加减法的含义，并掌握加减法的三角形法例和平行四边形法例；2．会用向量加法的互换律与联合律进行向量运算．二、过程与方法30人教版新课标一般高中◎数学④必修经历向量加减法观点、法例的建构过程；经过察看、实验、类比、概括等方法培育学生发现问题、剖析问题、解决问题的能力．三、感情、态度与价值观经历运用数学来描绘和刻画现实世界的过程；在着手研究、合作沟通中培育学生勇于研究、敢于创新的个性质量．教课重点、难点重点：运用向量加减法的三角形法例和平行四边形法例，作两个向量的和向量和差向量．难点 :理解向量的加减法法例及其几何意义．教课假想一、创建情境：类比是人类思想中最具创新的一部分，数能进行加减乘除的运算，向量也拥有数的特征，那么向量也应当是能够进行运算的，那么向量的运算又如何呢？31人教版新课标一般高中◎数学④必修二、研究新知：（一）教师指引学生认真阅读课本，分组议论，概括以下：1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法．注意：两个向量的和依旧是向量（简称和向量）2．三角形法例：a a ab bb a+a a+a+●b A B重申：（1）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点．32人教版新课标一般高中◎数学④ 必修（2）能够推行到 n 个向量连加．（ 3） a 0 0 a a ．（ 4）不共线向量都能够采纳这种法例——三角形法例．3．已知向量 a 、 b ，求作向量 a +b .作法：在平面内取一点Oa AO ，作 OA bbba ABb ，a a B则 OB a b .4．加法的互换律和平行D四边形法例a +b b+c c上题中 b + a 的结果与Aa +bCa +b 能否相同，考证结果相a b同．进而获取：B（ 1）向量加法的平行四边形法例；（ 2）向量加法的互换律： a +b = b + a .5． 向量加法的联合律：（ a + b ） + c = a + （ b + c ）证：作图：使 ABa， BCb， CDc，则（ a + b ）+ c = AC CDAD，a + （ b + c ） = ABBDAD，∴（ a + b ）33人教版新课标一般高中◎数学④必修+c = a +（ b + c ）．进而，多个向量的加法运算能够依照随意的序次、随意的组合来进行．（二）教师指引学生认真阅读课本，类比向量加法的定义和运算法例，分组议论，概括以下：1．用“相反向量”定义向量的减法（1）“相反向量”的定义：与 a 长度相同、方向相反的向量．记作a.（2）规定：零向量的相反向量还是零向量．（ a）= a．任一直量与它的相反向量的和是零向量． a +（ a）= 0．假如 a、b 互为相反向量，则 a = b， b =a，a + b = 0．（3）向量减法的定义：．向量 a 加上的 b 相反向量，叫做 a 与 b 的差．即： a b = a +（ b）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．34。
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2．2《平面向量的线性运算》教学设计【教学目标】1．掌握向量的加、减法运算，并理解其几何意义；2．会用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；4．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；5．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；6．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.【导入新课】 设置情景：1、 复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置2、 情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+（4）船速为AB ，水速为，则两速度和：AC =+ 新授课阶段 一、向量的加法A B CACABCOAaaa bb b１．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２．三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a.探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加.例1 已知向量a 、b ，求作向量a +b .作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）；A B Ca +ba +ba ab b aｂｂ ａa２）向量加法的交换律：a +b =b +a .５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ). 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =，则(a +b ) +c =AD CD AC=+，a + (b +c ) =AD BD AB =+. ∴(a +b ) +c =a + (b +c ).从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 二、向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 a .（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a ) = 0.如果a 、b 互为相反向量，则a =b ， b =a ， a +b = 0（3） 向量减法的定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a b = a + (b )，求两个向量差的运算叫做向量的减法.2．用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a b . 3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量a b . ∵(ab ) + b = a + (b ) + b = a + 0 = a ，作法：在平面内取一点O ， 作OA = a ， AB = b . 则BA = a b .即a b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1AB 表示a b .强调：差向量“箭头”指向被减数，2用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + (b ).显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.OAaB’ b bBa + (b )abOabBabab4探究：１） 如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b a.２）若a ∥b ， 如何作出a b ？例2 已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a b 、c d .解：在平面上取一点O ，作OA = a ， OB = b ， OC = c ， OD = d ， 作BA ， DC ，则BA = a b ， DC = c d .例3 平行四边形ABCD 中，=a ，=b ， 用a 、b 表示向量、.A BD CABCbad cDOab AABBB’Oa b a a b bO AOBab a bBAOb解：由平行四边形法则得：AC = a + b ， DB = AD AB = a b .变式一：当a ， b 满足什么条件时，a +b 与ab 垂直？（|a | = |b |）变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a +b | = |a b |？（a ， b 互相垂直）变式三：a +b 与a b 可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）三、向量数乘运算 1．定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考） 可根据小学算术中3333335的解释，类比规定：实数λ与向量a 的积就是λa ，它还是一个向量，但要对实数λ与向量a 相乘的含义作一番解释才行.实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa . 它的长度和方向规定如下： （1）||||||λa λa . （2）0λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0λ时，λa 的方向与a 的方向相反；特别地，当0λ或0a时，0λa.2．运算律：问：求作向量2(3)a 和6a （a 为非零向量）并进行比较，向量2()a b 与向量22a b相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）生：2(3)6a a ，222()a b a b .师：设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有： （1）()λμa λa μa ； （2）()()λμa λμa ； （3）()λa b λa λb .通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律. 3．向量平行的充要条件： 请同学们观察a m n ，22b m n ，回答a 、b 有何关系？生：因为2ba ，所以a 、b 是平行向量.引导：若a 、b 是平行向量，能否得出bλa ？为什么？可得出aλb 吗？为什么？生：可以！因为a 、b 平行，它们的方向相同或相反.师：由此可得向量平行的充要条件：向量b 与非零向量a 平行的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得bλa .对此定理的证明，分两层来说明： 其一，若存在实数λ，使b λa ，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知λb 与a 平行，即b 与a 平行.其二，若b 与a 平行，且不妨令0a，设||||b μa （这是实数概念）．接下来看a 、b 方向如何：①a 、b 同向，则b μa ，②若a 、b 反向，则记b μa ，总而言之，存在实数λ（λμ或λμ）使b λa .例4 如图：已知3AD AB ，3DE BC ，试判断AC 与AE 是否平行． 解：∵333()3AEAD DEABBCABBC AC ，∴AE 与AC 平行. 4）单位向量：单位向量：模为1的向量. 向量a （0a）的单位向量：与a 同方向的单位向量，记作0a .思考：0a 如何用a 来表示？ （0||a a a 01||a a a ） 例5 已知,,,,OA a OBb OCc ODd OEe =====，设t R ∈，如果3,2,a c b d ==()e t a b =+，那么t 为何值时，,,C D E 三点在一条直线上？解：由题设知，23,(3)CD d c b a CE e c t a tb =-=-=-=-+，,,C D E 三点在一条 直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE kCD =，即(3)32t a tb ka kb -+=-+， 整理得(33)(2)t k a k t b -+=-. ①若,a b 共线，则t 可为任意实数；②若,a b 不共线，则有330,20,t k t k -+=⎧⎨-=⎩解之，得65t =.综上，,a b 共线时，则t 可为任意实数；,a b 不共线时，65t =. 例6 在平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为BF 与DE 的交点，若AB a =， AD b =，试以a ，b 表示DE 、BF 、CG ．解：1122DE AE AD AB BE AD a b b a b =-=+-=+-=-， 1122BF AF AB AD DF AB b a a b a =-=+-=+-=-，G 是△CBD 的重心，111()333CG CA AC a b ==-=-+.课堂小结（1）λ与a 的积还是向量，λa 与a 是共线的；（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路.该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项. 作业P88-89习题3 A 组 2、3、4、5. P89习题3 B 组 2、3. 拓展提升1.设00,a b 都是单位向量，则下列结论中正确的是 A ．00a b = B ．001a b ⋅= C ．00||||2a b += D ．00||2a b +=2.已知正方形的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++= A. 0 B. 3 C. 22 D. 23. 已知向量,a b ，且2(43)3(54)03a c cb -+-=，则c = .(用,a b 表示)4..已知,OA a OB b ==，C 为线段AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段CB 上距C 较近的一个三等分点，则用b a,表示OD 的表达式为A. )54(91b a+ B . )79(161b a + C. )2(31b a + D. )3(41b a +5. 已知向量,a b 不共线，,m n 为实数，则当0ma nb +=时，有m = ， n = .6. 若菱形ABCD 的边长为2，则AB CB CD -+= .7.已知||8,||5AB AC ==,则||BC 的取值范围是 . 参考答案1．提示：因为是单位向量，00||1,||1a b == 2．提示：AB BC AC +=， ∴|||2|a b c c ++=. 3．8123913a b -+ 4．提示：AB b a =-，22,,33DB CB CB AB == ∴55()99AD AB b a ==-，OD OA AD =+.5．提示：若,m n 不全为0，比方0m ≠，则有na b m=-，从而,a b 共线. 6．2 提示： 2AB CB CD AB BC CD AC CD AD -+=++=+== 7．[3,13]提示:||||||||||AB AC BC AB AC -≤≤+.。