相似三角形的应用导学案

相似三角形应用举例

学习目标：能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题． 学习重点：相似三角形的实际运用

学习难点：测量无法到达物体的宽度和高度 导学过程：

一、预习检测： 测量旗杆的高度

操作：在旗杆影子的顶部立一根标杆，借助太阳光线构造相似三角形，旗杆AB 的影长

BD a =米，标杆高FD m =米，其影长DE b =米，求AB ：

分析：∵太阳光线是平行的

∴∠____________＝∠____________ 又∵∠____________＝∠____________＝90°

%

∴△____________∽△____________

∴__________________，即AB=__________

二．合作探究：

探究一：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．如图，如果木杆EF 长2 m ，它的影长FD 为3 m ，测得OA 为201 m ，求金字塔的高度BO ．

*

探究二：.如图，我们想要测量河两岸相对应两点A 、B 之间的距离(即河宽) ，你有什么方法

方案一：先从B 点出发与AB 成90°角方向走50m 到O 处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m 到C 处，在C 处转90°，沿CD 方向再走17m 到达D 处，使得A 、O 、D 在同一条直线上．那么A 、B 之间的距离是多少

：

探究三：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB ＝6cm 和CD ＝12m ，两树的根部的距离BD ＝5m ．一个身高的人沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C

分析：如图，说观察者眼睛的位置为点F ，画出观察者的水平视线FG ，它交AB 、CD 于点H 、K ．视线FA 、FG 的夹角∠CFK 是观察点C 时的仰角．由于树的遮挡，区域I 和II 都在观察者看不到的区域（盲区）之内．

…

三．达标测评：

1．如图，某测量工作人员与标杆顶端F 、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面米，标杆为米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED 。

：

2．图，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在D 点处的影长DE=3米，沿BD 方向行走到达G 点，DG=5米，这时小明的影长GH ＝5米.如果小明的身高为米，求路灯杆AB 的高度(精确到米)．

*

》

B E

D

F

I

I

I

I

3如图，为了测量水塘边A 、B 两点之间的距离，在可以看到的A 、B 的点E 处，取AE 、BE 延长线上的C 、D 两点,使得CD ∥AB ，若测得CD ＝5m ，AD ＝15m ，ED=3m,则A 、B 两点间的距离为多少

相似三角形的周长与面积

学习目标：理解并初步掌握相似三角形周长的

比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．利用相似三角形及相似多边形的性质解决

相关的问题．

学习重点：相似三角形和多边形周长面积性质的理解和运用 ）

学习难点：探索证明相似多边形面积的性质 导学过程：

一、预习检测：

如图，已知Rt ABC ∆ ∽ '''

Rt A B C ∆，

'90C C ∠=∠=︒,3AC =,4BC =,''

6AC

=,''8B C =. （1）计算出两个三角形的周长以及周长之比。 （2）计算出两个三角形的面积以及面积之比。

（3）两个相似三角形的周长之比、面积之比、相似比之间有怎样的关系 二．合作探究： ?

探究1：如图，ABC ∆∽ '''A B C ∆，相似比为1k ，它们对应边上的高之比为多少面积之

比为多少

探究2：如图，四边形ABCD 与四边形''''

A BC D 相似，相似比为2k ，它们的面积之比为多少

^

归纳 ：相似三角形对应的高的比等于 相似三角形面积的比等于 相似多边形面积的比等于 例1 如图，在ABC ∆和DEF ∆中，AB=2DE,AC=2DF,A D ∠=∠,ABC ∆的周长为24，面积是125，求DEF ∆的面积与周长

例2 如果两个三角形相似，它们的对应边上的中线之间有什么关系写出推导过程。

》

三、达标测评： 1.若

21

===f e d c b a ,则

f

d b

e c a ++++=_____________. 2.个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23,它们周长的差是40,则这两个三角形的周长分别为( ),115 ,100 ,125 ,85

3.一个五边形改成与它相似的五边形,如果面积扩大为原来的9倍,那么周长扩大为原来的( )倍 倍 倍 倍

…

4.两个相似三角形对应边的比为1∶2 ，那么它们的相似比为________，周长的比为

A

B [

C E

_____，面积的比为_____．

6.如图，点D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，BD ＝2AD ，那么

:ADE ABC C C ∆∆= ．:ADE ABC S S ∆∆= .

7.如图,在△ABC 和△DEF 中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D, △ABC 的周长是24,面积是 18,求△DEF 的周长和面积.

8.图,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,P 为AB 上一点,Q 为BC 上一点,且PQ ⊥AB,若△BPQ 的面积等于四边形APQC 面积的4

1

,AB=5cm,PB=2cm,求△ABC 的面积.

?

位似-1

学习目标：了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位 似图形的性质．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形 放大或缩小．

学习重点：位似图形的定义及与相似的关系

学习难点：位似图形的准确作图，动手能力的落实 《

一、预习检测：

图中多边形相似吗观察下面的四个图，你发现每个图中的两个多边形各对应点的连线有什么特征

（1）位似图形：如果两个多边形不仅 ，而且对应顶点的连线 ，对

应边 或 ，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 ，这时的相似比又称为 ． （2）掌握位似图形概念，需注意：

①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是 图形，而相似图形不一定是 图形； ②两个位似图形的位似中心只有一个；

③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；

【

④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．

（3）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于 ．

（4）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行． 二．合作探究：

探究1：如图，点O 是△ABC 外的一点，分别在射线OA 、OB 、OC 上取一点D 、E 、F ，使得

3===OC

OF

OB OE OA OD ,连接DE 、EF 、FD ，所得△DEF 与△ABC 是否相似证明你的结论。

探究2：把图中的四边形ABCD 缩小到原来的2

1

．

；

四、课堂检测（当堂训练）

A

B

C

D —

E

F

B

C

A

~

D