高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一2基本不等式同步配套教学案新人教A版选修4_5
2019_2020高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2.2绝对值不等式的解法导学案新人教A版选修4_5
1.2.2 绝对值不等式的解法学习目标1．理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b|≤c ；|ax ＋b|≥c ；|x －a|＋|x －b|≥c ；|x －a|＋|x －b|≤c. 3．能利用绝对值不等式解决实际问题． 一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。
二、合作探究探究1．|x |以及|x －a |±|x －b |表示的几何意义是什么？探究2．如何解|x －a |＜|x －b |、|x －a |＞|x －b |(a ≠b )型的不等式的解集？探究3 怎样解|x －a |＋|x －b |≤c 和|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式？【例1】 解下列不等式： (1)|x －1|≤2； (2)|2x －1|<2－3x ； (3)3≤|x －2|<4； (4)|x ＋2|>|x －1|；(5)⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－12>2x .【变式训练1】解下列不等式：(1)|3－2x|－4≥0；(2)2<|3x－1|<3；(3)|x2－1|>3；(4)(1＋x)(1－|x|)>0；(5)|2x－1|<x.【例2】解不等式|x＋3|＋|x－3|>8.【变式训练2】解不等式|3x－2|＋|x－1|>3.【例3】设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．【变式训练3】解不等式|2x＋3|<a＋1(a∈R)．参考答案探究1【提示】 |x |的几何意义是数轴上表示数x 的点到原点O 的距离；|x －a |±|x －b |的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数a ，b 的点的距离之和(差)． 探究2【提示】 可通过两边平方去绝对值符号的方法求解． 探究3【提示】 求解这类绝对值不等式，主要的方法有如下三种：(1)(几何法)利用绝对值的几何意义求解．只要找到使|x －a |＋|x －b |＝c 成立的x 值，依据“大于取两边，小于取中间”的法则写出不等式的解集即可．(2)(分段讨论法)分段讨论去掉绝对值符号，以a ，b 为分界点，将实数集分为三个区间，在每个区间上x －a ，x －b 的符号都是确定的，从而去掉绝对值符号．(3)(图象法)联系函数图象，通过分析函数值的取值范围得到不等式的解集． 【例1】【解】 (1)∵|x －1|≤2⇔－2≤x －1≤2⇔－1≤x ≤3， ∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)原不等式可转化为⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<2－3x ，2x －1>3x －2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <35，x <1⇒x <35.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <35.(3)3≤|x －2|<4⇔3≤x －2<4或－4<x －2≤－3. 即5≤x <6或－2<x ≤－1.∴原不等式的解集为{x |－2<x ≤－1或5≤x <6}．(4)|x ＋2|>|x －1|⇔(x ＋2)2>(x －1)2⇔x 2＋4x ＋4>x 2－2x ＋1⇔6x >－3，即x >－12.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－12.(5)方法1：分类讨论求解． (ⅰ)当2x <0时，即x <0.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－12≥0对任意x ∈R 恒成立，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－12>2x 恒成立． ∴x <0是原不等式的解． (ⅱ)当2x ＝0时，即x ＝0.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－12＝12>0，∴x ＝0是原不等式的解． (ⅲ)当2x >0时，即x >0.⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－12>2x ⇔x 2－12>2x 或x 2－12<－2x . 由x 2－12>2x ，得x <2－62或x >2＋62.由x 2－12<－2x ，得－2－62<x <－2＋62.综合x >0知，x >2＋62或0<x <－2＋62是原不等式的解．综上所述，原不等式的解集是{x |x <0}∪{x |x ＝0}∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x >2＋62∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |0<x <－2＋62， 即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <－1＋62或x >1＋62.方法2：直接去绝对值求解．⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－12>2x ⇔x 2－12>2x 或x 2－12<－2x ，即2x 2－4x －1>0或2x 2＋4x －1<0. 由2x 2－4x －1>0，得x <1－62或x >1＋62. 由2x 2＋4x －1<0，得－1－62<x <－1＋62. 所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <－1＋62或x >1＋62.【变式训练1】解 (1)|3－2x |－4≥0⇔|2x －3|≥4⇔2x －3≥4或2x －3≤－4⇔2x ≥7或2x ≤－1⇔x ≥72或x ≤－12.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥72.(2)2<|3x －1|<3⇔2<3x －1<3或－3<3x －1<－2⇔3<3x <4或－2<3x <－1 ⇔1<x <43或－23<x <－13.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23<x <－13或1<x <43.(3)|x 2－1|>3⇔x 2－1>3或x 2－1<－3 ⇔x 2>4或x 2<－2(无解)⇔|x |>2⇔x >2或x <－2.所以原不等式的解集为{x |x <－2或x >2}． (4)(1＋x )(1－|x |)>0⇔0(1)(1)0x x x ≥⎧⎨+->⎩或0(1)(1)0x x x <⎧⎨++>⎩⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，－1<x <1或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ≠－1⇔0≤x <1，或x <0，且x ≠－1⇔x <1，且x ≠－1.所以原不等式的解集为{x |x <1，且x ≠－1}．(5)|2x －1|<x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<x ，2x －1>－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x >13⇔13<x <1. 所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <1. 【例2】 解不等式|x ＋3|＋|x －3|>8. 【解】 解法一：当x ≤－3时， 原不等式可化为－(x ＋3)－x ＋3>8， 即x <－4，此时，不等式的解为x <－4. 当－3<x <3时，原不等式可化为x ＋3－x ＋3>8，此时不等式无解．当x ≥3时，原不等式可化为x ＋3＋x －3>8，即x >4.此时不等式的解为x >4.综上所述，原不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．解法二：如下图，设数轴上与－3,3对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点之间的距离为6，因此区间[－3,3]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧存在一点A 1，使得A 1到A ，B 的距离之和为8，即|A 1A |＋|A 1B |＝8，设点A 1对应的数为x ，则有－3－x ＋3－x ＝8，∴x＝－4.同理，设点B 的右侧存在一点B 1，使|B 1B |＋|B 1A |＝8，设点B 1对应的数为x ，则有x －(－3)＋x －3＝8，∴x ＝4.从数轴上可以看到，A 1与B 1之间的点到A 、B 的距离之和都小于8，而点A 1的左侧或点B 1的右侧的任何点到A ，B 的距离之和都大于8.所以不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．解法三：原不等式可转化为|x ＋3|＋|x －3|－8>0， 构造函数y ＝|x ＋3|＋|x －3|－8， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －8 x ≤－3，－2 －3<x <3，2x －8 x ≥3.作出函数的图象(如图)．函数的零点是－4,4.由图象可知，当x <－4或x >4时，y >0，即|x ＋3|＋|x －3|－8>0. 所以原不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)． 【变式训练2】 解不等式|3x －2|＋|x －1|>3.解 (1)当x ≤23时，原不等式化为2－3x ＋1－x >3，即3－4x >3，∴x <0.∴不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤23，|3x －2|＋|x －1|>3的解集为{x |x <0}．(2)当23<x <1时，原不等式化为3x －2＋1－x >3，即2x >4，∴x >2.又∵23<x <1，∴x ∈∅.(3)当x ≥1时，原不等式化为3x －2＋x －1>3，即4x >6，∴x >32.∴不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，|3x －2|＋|x －1|>3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32.由(1)、(2)、(3)知，原不等式解集为{x |x <0或x >32}．【例3】 设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 【解】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}．(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0， 将此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.【变式训练3】 解不等式|2x ＋3|<a ＋1(a ∈R)． 解 因为a ∈R，故分以下两种情况讨论：(1)当a ＋1≤0，即a ≤－1时，原不等式无解，即不等式的解集为∅. (2)当a ＋1>0，即a >－1时，原不等式可变为－a －1<2x ＋3<a ＋1.所以－a ＋42<x <a －22.综上可知，当a >－1时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋42，a －22；当a ≤－1时，原不等式的解集为∅.。
推荐高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二1绝对值三角不等式同步配套教学案新人教A版选修4_5
1．绝对值三角不等式对应学生用书P11绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．几何解释：用向量a ，b 分别替换a ，b .①当a 与b 不共线时，有|a ＋b|<|a |＋|b |，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边． ②若a ，b 共线，当a 与b 同向时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当a 与b 反向时，|a ＋b |<|a |＋|b |. 由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．③定理1的推广：如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．几何解释：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，当点B 在点A ，C 之间时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |.当点B 不在点A ，C 之间时：①点B 在A 或C 上时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |；②点B 不在A ，C 上时，|a －c |<|a －b |＋|b －c |.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．对应学生用书P11[例1] 已知|A －a |<3，|B －b |<3，|C －c |<3. 求证：|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .[思路点拨] 原式――→变形 重新分组――→定理 转化为|A －a |＋|B －b |＋|C －c |―→得出结论 [证明] |(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|＝|(A －a )＋(B －b )＋(C －c )|≤|(A －a )＋(B －b )|＋|C －c |≤|A －a |＋|B －b |＋|C －c |.因为|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s 3， 所以|A －a |＋|B －b |＋|C －c |<s 3＋s 3＋s3＝s .含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a |－|b |||a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．1．已知|x |＜a ，|y |＜b ，则下列不等式中一定成立的是( )A ．|x ＋y |＜a ＋bB ．|x －y |＜a －bC ．|x |＋|y |≤a ＋bD ．|x |－|y |≤a －b解析：|x ＋y |≤|x |＋|y |＜a ＋b .答案：A2．设ε>0，|x －a |<ε4，|y －a |<ε6.求证：|2x ＋3y －2a －3b |<ε.证明：|2x ＋3y －2a －3b |＝|2(x －a )＋3(y －b )|≤|2(x －a )|＋|3(y －b )|＝2|x －a |＋3|y －b |<2×ε4＋3×ε6＝ε.[例2] (1)求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值．(2)如果关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|＜a 的解集为空集，求参数a 的取值范围．[思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．[解] (1)法一：||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.法二：把函数看作分段函数．y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3.∴－4≤y ≤4.。
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 1 不等式的基本性质同步配套教学案 新人教A版选修45
1．不等式的基本性质对应学生用书P11．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒a n>b n(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒na>nb(n＝2k＋1，k∈N＋)．(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“⇒”与“⇔”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”．这要求必须熟记与区别不同性质的条件．如a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b，而反之不成立．对应学生用书P1[例1] 已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y ，试比较m 和n 的大小．[思路点拨] 两式作差――→变形 转化为因式乘积形式――→与0比较判断正负，得出大小 [解] m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y ＝x ＋y 2－4xy xy x ＋y ＝x －y 2xy x ＋y ，∵x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0. ∴m －n ≥0，即m ≥n .(当x ＝y 时，等号成立)．比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a ，b ∈R ，比较a 4＋b 4与a 3b ＋ab 3的大小． 解：因为(a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a ) ＝(a －b )(a 3－b 3) ＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2≥0 (当且仅当a ＝b 时，取“＝”号) 所以a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a29＋a 4，B 点对应的实数为1，试判别A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？解：因为6a 29＋a 4－1＝－a 2－29＋a 4≤0，所以6a29＋a4≤1.当且仅当a ＝±3时取“＝”，所以当a ≠±3时，A 点在B 点左边，当a ＝±3时，A 点与B 点重合．[例2] 已知a >b >0，c <d <0，e <0. 求证：ea －c >eb －d.[思路点拨] 可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明． [证明] 法一：ea －c －eb －d＝e b －d －a ＋ca －cb －d＝e b －a ＋c －da －cb －d，∵a >b >0，c <d <0， ∴b －a <0，c －d <0. ∴b －a ＋c －d <0. 又∵a >0，c <0，∴a －c >0. 同理b －d >0， ∴(a －c )(b －d )>0. ∵e <0，∴e b －a ＋c －d a －c b －d >0.即e a －c >eb －d.法二：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c <d <0⇒－c >－d >0a >b >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫a －c >b －d >0⇒1a －c <1b －d e <0⇒e a －c ＞e b －d.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．判断下列命题的真假，并简述理由． (1)若a >b ，c >d ，则ac >bd ； (2)若a >b >0，c >d >0，则a c >b d； (3)若a >b ，c <d ，则a －c >b －d ；(4)若a >b ，则a n＞b n，n a >nb (n ∈N 且n ≥2)．解：(1)取a ＝3，b ＝2，c ＝－2，d ＝－3，即3>2，－2>－3.此时ac ＝bd ＝－6.因此(1)为假命题．(2)因同向不等式不能相除，取a ＝6，b ＝4，c ＝3，d ＝2，此时a c ＝b d＝2.因此(2)为假命题．(3)∵c <d ，∴－c >－d ，因此(3)为真命题．(4)当a >b >0时，才能成立，取a ＝－2，b ＝－3，当n 为偶数时不成立，因此(4)为假命题．4．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b，x >y ，求证：xx ＋a >yy ＋b.证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数， 且1a >1b .x >y ，所以x a >y b，所以a x <b y. 故a x ＋1<b y＋1， 即x ＋a x <y ＋b y .所以x x ＋a >yy ＋b.[例3] (1)已知：－π2≤α<β≤π2，求α－β的范围．(2)已知：－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的范围． [思路点拨] 求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质． [解] (1)∵－π2≤α<β≤π2，∴－π2≤α＜π2，－π2≤－β＜π2.且α＜β.∴－π≤α－β＜π且α－β＜0.∴－π≤α－β<0.即α－β的范围为[－π，0)． (2)设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b ) ＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b . 解得λ1＝53，λ2＝－23.∴－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23.∴－113≤a ＋3b ≤1.即a ＋3b 的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，1.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．5．若8＜x ＜10,2＜y ＜4，则x y的取值范围是________． 解析：∵2＜y ＜4， ∴14＜1y ＜12.又8＜x ＜10， ∴2＜x y＜5.答案：(2,5)6．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围． 解：设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32.又1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12≤12α＋β，－3≤32α－β－32， ⇒－52≤2α－β≤12.∴2α－β的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12对应学生用书P31．已知数轴上两点A ，B 对应的实数分别为x ，y ，若x <y <0，则|x |与|y |对应的点P ，Q 的位置关系是( )A ．P 在Q 的左边B ．P 在Q 的右边C ．P ，Q 两点重合D ．不能确定解析：∵x <y <0，∴|x |>|y |>0.故P 在Q 的右边． 答案：B2．下列命题中不．正确的是( ) A ．若3a >3b ，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a －d >b －c C ．若a >b >0，c >d >0，则a d >b cD ．若a >b >0，ac >bd ，则c >d解析：当c >0，d >0时，才有a >b >0，ac >bd ⇒c >d .答案：D3．已知a >b >c ，则下列不等式正确的是( ) A ．ac >bcB ．ac 2>bc 2C ．b (a －b )>c (a －b )D ．|ac |>|bc |解析：a >b >c ⇒a －b >0⇒(a －b )b >(a －b )c . 答案：C4．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若ca ＋b ＜ab ＋c ＜bc ＋a，则( )A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a解析：由c a ＋b ＜ab ＋c ＜bc ＋a，可得ca ＋b＋1＜ab ＋c＋1＜bc ＋a＋1，即a ＋b ＋c a ＋b ＜a ＋b ＋cb ＋c＜a ＋b ＋cc ＋a，又a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a ＋b ＞b ＋c ＞c ＋a .由a ＋b ＞b ＋c 可得a ＞c ；由b ＋c ＞c ＋a 可得b ＞a ，于是有c ＜a ＜b .答案：A5．已知0＜a ＜1，则a ，1a，a 2的大小关系是________．解析：∵a －1a＝a ＋a －a＜0，∴a ＜1a.又a －a 2＝a (1－a )＞0， ∴a ＞a 2.∴a 2＜a ＜1a.答案：a 2＜a ＜1a6．给出四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0. 能得出1a ＜1b成立的有________．解析：由1a <1b ，得1a －1b <0，b －a ab <0，故①②④可推得1a <1b成立．答案：①②④7．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a ，b 应满足的条件为________． 解析：∵x >y ，∴x －y ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2>0. ∴ab －1≠0或a ＋2≠0. 即ab ≠1或a ≠－2. 答案：ab ≠1或a ≠－28．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝a －b2a ＋bab，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0. ∴a －b2a ＋bab≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .9．若f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． 解：∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b ＝Af (－1)＋Bf (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4，B －A ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． ∵2≤f (1)≤4,1≤f (－1)≤2， ∴3≤3f (－1)≤6， ∴5≤f (1)＋3f (－1)≤10， ∴5≤f (－2)≤10. 10．已知a >0，a ≠1. (1)比较下列各组大小．①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ； ③a 5＋1与a 3＋a 2.(2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，am ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)∵a>0，a≠1，∴①a2＋1－(a＋a)＝a2＋1－2a ＝(a－1)2>0.∴a2＋1>a＋a.②a3＋1－(a2＋a)＝a2(a－1)－(a－1)＝(a＋1)(a－1)2＞0，∴a3＋1>a2＋a，③a5＋1－(a3＋a2)＝a3(a2－1)－(a2－1)＝(a2－1)(a3－1)．当a>1时，a3>1，a2>1，∴(a2－1)(a3－1)>0.当0<a<1时，0<a3<1,0<a2<1，∴(a2－1)(a3－1)>0.即a5＋1>a3＋a2.(2)根据(1)可探讨，得a m＋n＋1＞a m＋a n.(证明如下) a m＋n＋1－(a m＋a n)＝a m(a n－1)＋(1－a n)＝(a m－1)(a n－1)．当a>1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0.当0<a<1时，0<a m<1,0<a n<1，∴(a m－1)(a n－1)>0.综上(a m－1)(a n－1)>0，即a m＋n＋1>a m＋a n.。
推荐K122018_2019版高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一第2课时基本不等式学案新人教A版选修4_5
第2课时 基本不等式学习目标 1.理解并掌握重要不等式(定理1)和基本不等式(定理2).2.能运用这两个不等式解决函数的最值或值域问题，能运用这两个不等式证明一些简单的不等式.3.能运用基本不等式(定理2)解决某些实际问题．知识点 基本不等式思考 回顾a 2＋b 2≥2ab 的证明过程，并说明等号成立的条件． 答案 a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ， 当且仅当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab . 梳理 (1)重要不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)基本不等式①定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立 .②定理2的应用：对两个正实数x ，y ，(ⅰ)如果它们的和S 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的积P 取得最大值； (ⅱ)如果它们的积P 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的和S 取得最小值.类型一 不等式的证明例1 已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明 方法一 ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋ab ＋⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋ac ＋⎝⎛⎭⎪⎫c b ＋bc≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．∴1a ＋1b ＋1c≥9.方法二 ∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c＝1＋b a ＋c a ＋a b ＋1＋c b ＋a c ＋b c＋1＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． ∴1a ＋1b ＋1c≥9.引申探究1．若本例条件不变，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ，∴a 2b≥2a －b . 同理，b 2c ≥2b －c ，c 2a ≥2c －a .∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥(2a －b )＋(2b －c )＋(2c －a )＝a ＋b ＋c ＝1，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 2．若本例条件不变，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥ 2. 证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2. 又a ，b ，c ∈R ＋， ∴a 2＋b 2≥22|a ＋b |＝22(a ＋b )． 同理，b 2＋c 2≥22(b ＋c )，c 2＋a 2≥22(a ＋c )． 三式相加，得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )＝2，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．反思与感悟 用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．跟踪训练1 (1)已知a ，b ，c ，d ∈R ＋，求证：(ab ＋cd )·(ac ＋bd )≥4abcd ；(2)已知a ＞0，b ＞0且a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.证明 (1)∵a ，b ，c ，d ，∈R ＋， ∴ab ＋cd ≥2abcd ，ac ＋bd ≥2acbd ， ∴(ab ＋cd )(ac ＋bd )≥4abcd . 当且仅当a ＝d 且b ＝c 时取等号．(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b＝4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋1≥5＋2×2＝9，当且仅当a ＝b ＝12时取等号． ∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 类型二 利用基本不等式求最值例2 (1)设x ＞0，y ＞0且2x ＋y ＝1，求1x ＋2y的最小值；(2)若x ＜0，求f (x )＝12x＋3x 的最大值．解 (1)1x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y (2x ＋y )＝4＋4x y ＋y x≥4＋24x y ·yx＝4＋4＝8，当且仅当4x y ＝y x ，即x ＝14，y ＝12时，等号成立， ∴1x ＋2y的最小值是8.(2)∵x ＜0，∴－x ＞0, 故f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－x ＋3(－x )≤－236＝－12，当且仅当－12x ＝－3x ，即x ＝－2时，等号成立，∴f (x )的最大值是－12. 反思与感悟 在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值． (2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取－1变为同正．(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数的单调性或导数解决．跟踪训练2 若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B ．2C ．22D ．4 答案 C解析 因为1a ＋2b＝ab ，所以a ＞0，b ＞0，因为ab ＝1a ＋2b≥21a ×2b ＝22ab，所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)，所以ab 的最小值为2 2. 类型三 利用基本不等式解决实际应用问题例3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2019年大型展销会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x (万件)与年促销费用t (万元)之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2019年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2019年的利润y (万元)表示为促销费用t (万元)的函数； (2)该企业2019年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ 解 (1)由题意可设3－x ＝kt ＋1(k ≠0)，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用， ∴年生产成本为32x ＋3＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3. 当销售x (万件)时， 年销售收入为150%⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销售完， 由年利润＝年销售收入—年生产成本—促销费用， 得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)(t ≥0)．(2)y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1≤50－2 t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1， 即当t ＝7时，等号成立，y max ＝42， ∴当促销费用定在7万元时，年利润最大．反思与感悟 利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y 的函数表达式y ＝f (x )(x 一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x 的范围制约．跟踪训练3 围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：m)，总费用为y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 解 (1)如题图所示，设矩形的另一边长为a m. 则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360. 由已知xa ＝360，得a ＝360x，∴y ＝225x ＋3602x－360(x ＞2)．(2)∵x ＞2， ∴225x ＋3602x≥2225x ×3602x＝2225×3602＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x－360≥10 440，当且仅当225x ＝3602x，即当x ＝24时等号成立，此时修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．1．下列不等式中，正确的个数是( )①若a ，b ∈R ，则a ＋b2≥ab ； ②若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2＞2； ③若x ∈R ，则x 2＋1＋1x 2＋1≥2； ④若a ，b ∈R ＋，则a ＋b2≥ab .A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 显然①不正确；③正确； 对②，虽然x 2＋2＝1x 2＋2无解，但x 2＋2＋1x 2＋2＞2成立，故②正确；④不正确，如a ＝1，b ＝4.2．已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 ∵a ＋b ＝2×12＝1，a ＞0，b ＞0，∴α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ＝1＋1ab≥1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝5，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”号．3．下列不等式的证明过程正确的是( ) A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·a b＝2 B ．若x ＞0，则cos x ＋1cos x ≥2cos x ·1cos x ＝2C ．若x ＜0，则x ＋4x≤2x ·4x ＝4 D ．若a ，b ∈R ，且ab ＜0，则b a ＋a b＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ＝－2 答案 D解析 对于A ，a ，b 必须同号；对于B ，cos x 不一定大于0；对于C ，由x ＜0，得x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋4(－x ) ≤－2(－x )·4(－x )＝－4.对于D ，由ab ＜0，得b a ＜0，a b＜0， 所以b a ＋a b＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ＝－2. 4．当x ＞1时，函数y ＝x ＋1x －1的最小值是________． 答案 3解析 因为x ＞1，所以y ＝x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1≥2(x －1)·1x －1＋1＝3， 当且仅当x －1＝1x －1， 且x ＞1，即x ＝2时等号成立．故函数的最小值为3. 5．已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1.求证：a 2＋b 2≥12.证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1， ∴a 2＋b 2≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．1．对于基本不等式的应用，如果能熟练掌握一些常见结论，可使应用更加灵活快捷．(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22.(2)ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ＋)．(3)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．(4)(a ＋b )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1b≥4(a ，b ∈R ＋)． (5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .2．利用基本不等式求最值，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用基本不等式．注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值的重要依据．一、选择题1．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D.14答案 B解析 ∵3是3a与3b的等比中项， ∴3a·3b＝3a ＋b＝3，∴a ＋b ＝1.∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥4.当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．2．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3答案 D解析 由题意得⎩⎨⎧ab ＞0，ab ≥0，3a ＋4b ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＞0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ， 所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋3a b＋4b a≥7＋23a b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba时取等号．故选D.3．已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值为( )A ．2B ．22C ．4D ．5 答案 C解析 ∵a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22ab·2ab ＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．4．对于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，不等式1sin 2x ＋p cos 2x ≥16恒成立，则p 的取值范围为( ) A ．(－∞，－9) B ．(－9,9] C ．(－∞，9] D ．[9，＋∞)答案 D 解析 要使1sin 2x ＋pcos 2x≥16恒成立，必有p ＞0. 又∵1sin 2x ＋p cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2x ＋p cos 2x ·(sin 2x ＋cos 2x ) ＝1＋p ＋cos 2x sin 2x ＋p sin 2x cos 2x≥1＋p ＋2p ＝(p ＋1)2，当且仅当p sin 2x ＝cos 2x 时，等号成立． ∴(p ＋1)2≥16，即p ＋1≥4， ∴p ≥3，∴p ≥9.5．下列说法中，正确的个数是( ) ①函数y ＝x ＋1x的最小值是2；②函数y ＝cos x ＋9cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值为6；③若正数a ，b 满足2a ＋b ＝2，则ab 的最大值为12.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，当x ＜0时，－y＝(－x )＋1－x ≥2，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时，等号成立，所以y ≤－2，所以①错误；由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得cos x ∈(0,1)，所以y ＝cos x ＋9cos x ＞10，所以②错误；由2＝2a＋b ≥22ab ，得ab ≤12，当且仅当a ＝12，b ＝1时，等号成立，所以③正确．6．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A ．5千米处 B ．4千米处 C ．3千米处D ．2千米处答案 A解析 由已知y 1＝20x，y 2＝0.8x (x 为仓库到车站的距离)．费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x＝8.当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时等号成立．二、填空题7．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b2－1的最小值是________．答案 9解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1＝1－a 2a 2·1－b2b 2＝(1－a )(1＋a )a 2·(1－b )(1＋b )b2＝(1＋a )(1＋b )ab＝1＋a ＋b ＋ab ab ＝1＋2ab.由a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，得ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，所以1ab≥4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1≥9，当a ＝b ＝12时取等号．8．已知x ＞0，y ＞0且满足x ＋y ＝6，则使不等式1x ＋9y≥m 恒成立的实数m 的取值范围为________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，83解析 因为x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝x ＋y 6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋y x ＋9x y ≥16×(10＋6)＝83.当且仅当y x ＝9xy时等号成立，又x ＋y ＝6，x ＞0，y ＞0， 得x ＝32，y ＝92.所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，83. 9．已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，则1x ＋4y 的最小值为________．答案 3 解析 ∵2x －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，∴x －3＝－y ，即x ＋y ＝3. 故1x ＋4y ＝13(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝53＋y 3x ＋4x 3y ≥53＋2y 3x ·4x 3y ＝53＋43＝3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当y 3x ＝4x 3y ，即x ＝1，y ＝2时，等号成立. 10．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 答案 [9，＋∞)解析 令ab ＝t (t ＞0)，由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，得t 2≥2t ＋3，所以t ≥3或t ≤－1(舍去)，所以ab ≥3，ab ≥9，当a ＝b ＝3时取等号．11．函数y ＝x 2＋5x ＋15x ＋2(x ≥0)的最小值为________．答案 7解析 y ＝x 2＋5x ＋15x ＋2＝(x ＋2)2＋(x ＋2)＋9x ＋2＝(x ＋2)＋9x ＋2＋1≥2 (x ＋2)·9x ＋2＋1＝7. 当且仅当x ＋2＝9x ＋2，即x ＝1时取等号． ∴当x ＝1时，y min ＝7. 三、解答题12．(1)已知正数a ，b 满足a ＋4b ＝4，求1a ＋1b的最小值；(2)求函数y ＝x 2＋2x 2＋6的最大值．解 (1)因为a ＞0，b ＞0，且a ＋4b ＝4，所以1a ＋1b ＝14(a ＋4b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋a b ＋4b a ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2 a b ·4b a ＝94， 当且仅当a ＝43，b ＝23时取等号，所以1a ＋1b 的最小值为94.(2)令t ＝2＋x 2(t ≥2)， 则f (t )＝t t 2＋4＝1t ＋4t ≤12t ·4t＝14， 当且仅当t ＝2，即x ＝±2时，取等号．故y ＝x 2＋2x 2＋6的最大值为14.13．如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB ＝3m ，AD ＝2m.(1)要使矩形AMPN 的面积大于32m 2，则AN 的长应在什么范围内？ (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求最小面积；(3)若AN 的长度不小于6m ，则当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积．解 (1)设AN ＝x m(x ＞2)，则ND ＝(x －2)m. ∵ND DC ＝AN AM，∴x －23＝x AM ，∴AM ＝3x x －2， ∴3x x －2·x ＞32，∴3x 2－32x ＋64＞0， ∴(3x －8)(x －8)＞0，∴2＜x ＜83或x ＞8.∴AN 的长的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83∪(8，＋∞)． (2)由(1)知，S 矩形AMPN ＝3x 2x －2＝3(x －2)2＋12(x －2)＋12x －2＝3(x －2)＋12x －2＋12≥236＋12＝24. 当且仅当x ＝4时取等号．∴当AN 的长度为4m 时，矩形AMPN 的面积最小，矩形AMPN 的最小面积为24m 2. (3)由(2)得S 矩形AMPN ＝3(x －2)＋12x －2＋12(x ≥6)， 令x －2＝t (t ≥4)，则S 矩形AMPN ＝3t ＋12t＋12(t ≥4)．设f (t )＝3t ＋12t＋12(t ≥4)，则f ′(t )＝3－12t2，当t ≥4时，f ′(t )＞0，∴函数f (t )在[4，＋∞)上单调递增， ∴f (t )min ＝f (4)＝27，此时x ＝6.∴若AN 的长度不小于6m ，则当AN 的长度是6m 时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为27m 2. 四、探究与拓展14．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1)a ＋b ＋c ≤3； (2)3a ＋2＋3b ＋2＋3c ＋2＜6. 证明 (1)∵a ＋b2≥ab ，∴2ab ≤a ＋b .同理2ac ≤a ＋c,2bc ≤b ＋c ，且当a ＝b ＝c 时，等号同时成立． ∴(a ＋b ＋c )2＝a ＋b ＋c ＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤a ＋b ＋c ＋(a ＋b )＋(a ＋c )＋(b ＋c )＝3(a ＋b ＋c )＝3， ∴a ＋b ＋c ≤3，当a ＝b ＝c 时等号成立． (2)∵3a ＋2＝(3a ＋2)·1≤3a ＋32，且由于3a ＋2≠1， ∴等号不成立，∴3a ＋2＜3a ＋32. 同理3b ＋2＜3b ＋32，3c ＋2＜3c ＋32， ∴3a ＋2＋3b ＋2＋3c ＋2＜12[3(a ＋b ＋c )＋9]＝6.15．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .解 因为x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y＝a ＋b ＋bx y ＋ayx ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当bx y ＝ay x时取等号． 又(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18， 即a ＋b ＋2ab ＝18.①K12教育资料（小初高学习）又a ＋b ＝10， ②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝2.。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式讲义含解析新人教A版选修
1．绝对值三角不等式绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 几何解释：用向量a ，b 分别替换a ，b .①当a 与b 不共线时，有|a ＋b|<|a |＋|b |，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边．②若a ，b 共线，当a 与b 同向时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当a 与b 反向时，|a ＋b |<|a |＋|b |.由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式． ③定理1的推广：如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．几何解释：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，当点B 在点A ，C 之间时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |.当点B 不在点A ，C 之间时：①点B 在A 或C 上时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |；②点B 不在A ，C 上时，|a －c |<|a －b |＋|b －c |.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．[例1] 已知|A －a |<3，|B －b |<3，|C －c |<3. 求证：|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .[思路点拨] 原式――→变形 重新分组――→定理 转化为|A －a |＋|B －b |＋|C －c |―→得出结论 [证明] |(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|＝|(A －a )＋(B －b )＋(C －c )|≤|(A －a )＋(B －b )|＋|C －c |≤|A －a |＋|B －b |＋|C －c |.因为|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s3，所以|A －a |＋|B －b |＋|C －c |<s 3＋s 3＋s 3＝s .含绝对值不等式的证明题两种类型及解法(1)比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明；(2)综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．1．以下四个命题：①若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；②若|a －b |<1，则|a |<|b |＋1；③若|x |<2，|y |>3，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y <23；④若AB ≠0，则lg |A |＋|B |2≥12(lg|A |＋lg|B |)．其中正确的命题有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：选A ∵|a ＋b |＝|(b －a )＋2a |≤|b －a |＋2|a |＝|a －b |＋2|a |，∴|a ＋b |－2|a |≤|a －b |，①正确；∵1>|a －b |≥|a |－|b |，∴|a |<|b |＋1，②正确；∵|y |>3，∴1|y |<13.又∵|x |<2，∴|x ||y |<23，③正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫|A |＋|B |22＝14(|A |2＋|B |2＋2|A ||B |)≥14(2|A ||B |＋2|A ||B |)＝|A ||B |，∴2lg |A |＋|B |2≥lg|A ||B |.∴lg |A |＋|B |2≥12(lg|A |＋lg|B |)，④正确．2．已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a 2－b 2|2|a |≥|a |2－|b |2. 证明：①若|a |>|b |，左边＝|a ＋b ||a －b |2|a |＝|a ＋b ||a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b ||a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |， ∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |. ∴左边≥|a |－|b |2＝右边． ②若|a |<|b |，左边>0，右边<0，∴原不等式显然成立．③若|a |＝|b |，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立.[例2] (1)(2)如果关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|＜a 的解集为空集，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．[解] (1)法一：||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.法二：把函数看作分段函数．y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3.∴－4≤y ≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.(2)只要a 不大于|x －3|＋|x －4|的最小值，则|x －3|＋|x －4|＜a 的解集为空集，而|x －3|＋|x －4|＝|x －3|＋|4－x |≥|x －3＋4－x |＝1，当且仅当(x －3)(4－x )≥0，即3≤x ≤4时等号成立．∴当3≤x ≤4时，|x －3|＋|x －4|取得最小值1.∴a的取值范围为(－∞，1]．(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．解析：∵|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5.答案：5 14．已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－5|的最小值为a，求a的值．解：因为|x＋1|＋|x－5|≥|(x＋1)－(x－5)|＝6，当且仅当－1≤x≤5时，等号成立，所以f(x)的最小值等于6，即a＝6.5．若对任意实数，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的取值范围．解：∵a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立，∴a<(|x＋1|－|x－2|)min.∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.∴(|x＋1|－|x－2|)min＝－3.∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．1．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是( )A．当a，b异号时，左边等号成立B．当a，b同号时，右边等号成立C．当a＋b＝0时，两边等号均成立D．当a＋b>0时，右边等号成立；当a＋b<0时，左边等号成立解析：选B 当a，b异号且|a|>|b|时左边等号才成立，故A不正确；显然B正确；当a＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确；D显然不正确．2．若|a－c|<b，则下列不等式不成立的是( )A．|a|<|b|＋|c| B．|c|<|a|＋|b|C．b>|c|－|a| D．b<||a|－|c||解析：选D ∵|a－c|<b，令a＝1，c＝2，b＝3.则|a|＝1，|b|＋|c|＝5，∴|a|<|b|＋|c|成立．|c|＝2，|a|＋|b|＝4，∴|c|<|a|＋|b|成立．||c|－|a||＝||2|－|1||＝1，∴b>||c|－|a||成立．故b<||a|－|c||不成立．3．不等式|a＋b||a|＋|b|<1成立的充要条件是( )A．a，b都不为零B．ab<0C．ab为非负数D．a，b中至少有一个不为零解析：选 B|a＋b||a|＋|b|<1⇔|a＋b|<|a|＋|b|⇔a2＋b2＋2ab<a2＋b2＋2|ab|⇔ab<|ab|⇔ab<0.4．“|x－a|<m且|y－a|<m”是“|x－y|<2m”(x，y，a，m∈R)的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A ∵|x－a|<m，|y－a|<m，∴|x－a|＋|y－a|<2m.又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，∴|x－y|<2m，但反过来不一定成立，如取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|<2×2.5，但|3－(－2)|>2.5，|1－(－2)|>2.5，∴|x－y|<2m不一定有|x－a|<m且|y－a|<m，故“|x－a|<m且|y－a|<m”是“|x－y|<2m”(x，y，a，m∈R)的充分不必要条件．5．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析：|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.答案：[－2,4]6．若ab>0，则下面四个不等式：①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|中，正确的有________．解析：∵ab>0，∴a，b同号．∴|a＋b|＝|a|＋|b|.∴①④正确．答案：①④7．下列四个不等式：①log x10＋lg x≥2(x>1)；②|a－b|<|a|＋|b|；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的是________．(填序号)解析：log x 10＋lg x ＝1lg x ＋lg x ≥2，①正确； ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；∵ab ≠0时，b a 与a b同号， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确，综上可知①③④正确．答案：①③④8．设a ，b ∈R ，ε>0，|a |<ε4，|b |<23ε. 求证：|4a ＋3b |<3ε.证明：∵|a |<ε4，|b |<23ε，∴|4a ＋3b |≤|4a |＋|3b |＝4|a |＋3|b |<4·ε4＋3·2ε3＝3ε.9．已知函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)，且|a |≤1，求证：|f (x )|≤54. 证明：∵－1≤x ≤1，∴|x |≤1，又∵|a |≤1，∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x |2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－122＋54≤54. 10．设函数y ＝|x －4|＋|x －3|.求(1)y 的最小值；(2)使y <a 有解的a 的取值范围；(3)使y ≥a 恒成立的a 的最大值．解：(1)∵y ＝|x －4|＋|x －3|≥|x －4＋3－x |＝1，当且仅当3≤x≤4时取等号，∴y min＝1.(2)由(1)知y≥1.要使y<a有解，∴a>1.即a的取值范围为(1，＋∞)．(3)要使y≥a恒成立，只要y的最小值1≥a即可．∴a max＝1.。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2绝对值不等式1.2.2绝对值不等式的解法课堂导学案新人教A版
1.2.2 绝对值不等式的解法课堂导学三点剖析一、绝对值不等式的典型类型和方法(一)【例1】解下列不等式:(1)1<|x+2|<5;(2)|3-x|+|x+4|>8.解析：(1)法一:原不等式||x2|1x21或x1xx 2|55x257x3.3,故原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<-3}.法二:原不等式0,x21x 2x20,或,51x 2 5x2, 1xx2,或-1<x<3或-7<x<-3.37x 3∴原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<3}.(2)法一:原不等式x4,3x x4x3,4或83x x48,x 或x 3,3x48x4,12x或8748x 3,3,x或2x 7.79∴x>或x<.229∴原不等式的解集为{x|x<或x>272}.法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-8>0, 构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,即y=2x94, 1,4x3,2x 7,x 3.作出函数的图象如图.从图象可知当x> 温馨提示729或x<时,y>0,故原不等式的解集为{x|x>272或x<9}.21在本例中主要利用了绝对值的概念,|x|<a(或|x|>a)的解集以及数形结合的方法,这些方 法都是解绝对值不等式的典型方法. 各个击破 类题演练 1 解下列不等式:(1)| 3x x 24|≤1;(2)|x+3|-|2x-1|> x 2+1.解析:(1)原不等式2x 4 0 9x(x22229x (x4) 2x2x17x4216x2x 2 x 1或216-1≤x≤1 或 x≤-4 或 x≥4. 故原不等式的解集为{x|-1≤x≤1 或 x≤-4 或 x≥4}. (2)由 x+3=0,得 x 1=-3, 1由 2x-1=0,得 x 2= .2x①当 x<-3时,不等式化为 x-4> +1,解得 x>10,而 x<-3,故此时无解;21 x2 2②当-3≤x< 时,不等式化为 3x+2> +1,解得 x>,这时不等式的解为 <x< 2 25 51x1③当 x≥ 时,不等式化为-x+4> +1,即 x<2,这时不等式的解为 ≤x<2.22 22 综合上述,原不等式的解集为{x|<x<2}. 5变式提升 1(1)解不等式|x 2-5x+5|<1.解析:不等式可化为-1<x 2-5x+5<1,1 2;2x 即5x 5x5 51,1.2x解之,得1<x<2或3<x<4.所以原不等式的解集为{x|1<x<2或3<x<4}.(2)求使不等式|x-4|+|x-3|<a有解的a的取值范围. 解法一:将数轴分为(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三个区间.当x<3时,得(4-x)+(3-x)<a,x> 7a2有解条件为7a2<3,即a>1;当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)<a,即a>1;当x>4时,得(x-4)+(x-3)<a,则x< a272有解条件为a27>4.∴a>1.以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x、3、4在数轴上对应的点分别为P、A、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|<a成立.因为|AB|=1,故数轴上任一点到A、B距离之和大于(等于)1,即|x-4|+|x-3|≥1,故当a>1时,|x-4|+|x-3|<a有解.另外,本题还可利用绝对值不等式性质求函数的最值方法处理:∵|x-4|+|x-3|=|x-4|+|3-x|≥|x-4+3-x|=1,∴a的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】解不等式|x2-9|≤x+3.解析：方法一:原不等式22xx990,x 32x9或x290,x3由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式x3x(x3)x9x23xx333x或2≤x≤4.4∴原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}.温馨提示对于|f(x)|≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,f f (x)(x)0,(f x)或g(x)f(x)0,g(x).)g(x0,另一种则是转化为f(x)来求.g(x)g(x)当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考). 类题演练2解不等式|2x-1|>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x2,即5x2+4x-1<0,解之,得-1<x< 1 5 ,∴0≤x<1 5 .由①②知原不等式的解集为{x|x< 变式提升215 }.(1)解不等式|x2-3x+2|>x2-3|x|+2.3解析:在同一坐标系内分别画出函数y=|x2-3x+2|和y=x2-3|x|+2=|x|2-3|x|+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x|x<0或1<x<2}.(2)解不等式|x+1|(x-1)≥0.解析:1°x+1=0,适合不等式;2°x+1≠0,则|x+1|>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0.∴原不等式的解集为{x|x≥1或x=-1}.三、绝对值不等式的证明【例3】设f(x)=ax2+bx+c,当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7.证明:由于f(x)是二次函数,|f(x)|在［-2,2］上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或b b|f()|,故只要证明|f(2)|≤7,|f(-2)|≤7;当||≤2时,有|f( 2a2a由题意有|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1.b)|≤7. 2a由fffa(0c,)(1)abb c,得(1)a b c,c1212[f(1)[f(1)f(0).f (1)2f (1)],f(0)],∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7, |f(-2)|=|4a-2b+c|=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|≤|f(1)|+3|f(-1)|+3|f(0)|≤1+3+3=7.∵|b|=12|f(1)-f(-1)|≤12(|f(1)|+|f(-1)|)≤12(1+1)=1,∴当|b|≤2时,|f(2a b)|=|2a4acb24a|=|cb2|=|c4ab·2ab2|≤|c|+|b2a|·|b|21+2×12=2<7.因此当|x|≤2时,|f(x)|≤7.类题演练3已知f(x)=x2+ax+b(x、a、b∈R,a、b是常数),求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不1小于.211证明:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全都小于,即有|f(1)|< ,|f(2)|<22111于是|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<+ +2×=2.22212,|f(3)|<12.4又f(1)+f(3)-2f(2)=2,二者产生矛盾,故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于变式提升312. 已知函数f(x)=ax+b,满足|x|≤1,a2+b2=1,求证:|f(x)|≤2.证法一:|f(x)|≤22≤f(x)≤2f(x)min≥2且f(x)max≤2.若a>0,则f(x)max=f(1)=a+b≤2(a2b2)2,f(x)min=f(-1)=-a+b≥2[(a2)b2]2.若a=0,则f(x)=b且b2=1,∴|f(x)|≤2.若a<0,则f(x)max=f(-1)=-a+b≤2(a2b2)2,f(x)min=f(1)=a+b≥2(a2b2)2.综上,知不等式成立.证法二:|f(x)|2-( 2)2=(ax+b)2-2(a2+b2)=a2x2+b2+2abx-2(a2+b2)≤a2+b2+2abx-2(a2+b2)=2abx-a2-b2≤2abx-a2x2-b2=-(ax-b)2≤0,∴|f(x)|≤2.5。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二2绝对值不等式的解法同步配套教学案新人教A版选修4_5
2．绝对值不等式的解法对应学生用书P131．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法只需将ax ＋b 看成一个整体，即化成|x |≤a ，|x |≥a (a >0)型不等式求解．|ax ＋b |≤c (c >0)型不等式的解法：先化为－c ≤ax ＋b ≤c ，再由不等式的性质求出原不等式的解集．不等式|ax ＋b |≥c (c >0)的解法：先化为ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．2．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．②以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．对应学生用书P13[例1] 解下列不等式：(1)|5x －2|≥8；(2)2≤|x －2|≤4.[思路点拨] 利用|x |>a 及|x |<a (a >0)型不等式的解法求解． [解] (1)|5x －2|≥8⇔5x －2≥8或5x －2≤－8⇔x ≥2或x ≤－65，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2或x ≤－65.(2)原不等式价于⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥2，|x －2|≤4.由①得x －2≤－2，或x －2≥2， ∴x ≤0，或x ≥4. 由②得－4≤x －2≤4， ∴－2≤x ≤6.∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤0，或4≤x ≤6}．|ax ＋b |≥c 和|ax ＋b |≤c 型不等式的解法： ①当c >0时，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ， |ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c .②当c ＝0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |<c 的解集为∅. ③当c <0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |≤c 的解集为∅.1．解下列不等式：(1)|3－2x |<9；(2)4＜|3x －2|＜8； (3)|x 2－3x －4|>x ＋1.解：(1)∵|3－2x |<9，∴|2x －3|<9. ∴－9<2x －3<9. 即－6<2x <12. ∴－3<x <6.∴原不等式的解集为{x |－3<x <6}．(2)由4＜|3x －2|＜8，得⎩⎪⎨⎪⎧|3x －2|＞4，|3x －2|＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧3x －2＜－4或3x －2＞4，－8＜3x －2＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－23或x ＞2，－2＜x ＜103.∴－2＜x ＜－23或2＜x ＜103.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜－23或2＜x ＜103. (3)不等式可转化为x 2－3x －4>x ＋1或x 2－3x －4<－x －1， ∴x 2－4x －5>0或x 2－2x －3<0. 解得x >5或x <－1或－1<x <3，∴不等式的解集是(5，＋∞)∪(－∞，－1)∪(－1,3)．[例2] 解不等式|x ＋7|－|x －2|≤3.[思路点拨] 解该不等式，可采用三种方法：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用各绝对值的零点分段讨论；(3)构造函数，利用函数图像分析求解．解：法一：|x ＋7|－|x －2|可以看成数轴上的动点(坐标为x )到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x ＝－1.由图易知不等式|x ＋7|－|x －2|≤3的解为x ≤－1，即x ∈(－∞，－1]．法二：令x ＋7＝0，x －2＝0得x ＝－7，x ＝2. ①当x ＜－7时，不等式变为－x －7＋x －2≤3， ∴－9≤3成立，∴x ＜－7.②当－7≤x ≤2时，不等式变为x ＋7＋x －2≤3， 即2x ≤－2，∴x ≤－1，∴－7≤x ≤－1. ③当x ＞2时，不等式变为x ＋7－x ＋2≤3， 即9≤3不成立，∴x ∈∅.∴原不等式的解集为(－∞，－1]．法三：将原不等式转化为|x ＋7|－|x －2|－3≤0， 构造函数y ＝|x ＋7|－|x －2|－3，即 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12， x ＜－7，2x ＋2， －7≤x ≤2，6， x ＞2.作出函数的图像，从图可知，当x ≤－1时，有y ≤0，即|x ＋7|－|x －2|－3≤0， 所以，原不等式的解集为(－∞，－1]．|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图像法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况．2．解不等式|2x －1|＋|3x ＋2|≥8. 解：(1)x ≤－23时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x －(3x ＋2)≥8. ⇔－5x ≥9⇔x ≤－95，∴x ≤－95；(2)－23<x <12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x ＋3x ＋2≥8⇔x ＋3≥8⇔x ≥5，∴x ∈∅；(3)x ≥12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔5x ＋1≥8⇔5x ≥7⇔x ≥75，∴x ≥75.∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－95∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫75＋∞. 3．解不等式|x －1|＋|2－x |＞3＋x . 解：把原不等式变为|x －1|＋|x －2|＞3＋x ， (1)当x ≤1时，∴原不等式变为－(x －1)－(x －2)＞3＋x ，解得x ＜0； (2)当1＜x ≤2时，∴原不等式变为x －1－(x －2)＞3＋x ，解得x ∈∅； (3)当x ＞2时，∴原不等式变为x －1＋x －2＞3＋x ，解得x ＞6. 综上，原不等式解集为(－∞，0)∪(6，＋∞).[例3] 已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅，分别求出m的范围．[思路点拨] 解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x ＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的范围．[解] 法一：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.由图像知(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的范围为(－∞，1)．(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的范围为(－∞，－1)．(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的范围为[1，＋∞)．法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)．(3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a，f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.4．把本例中的“>”改成“<”，即|x ＋2|－|x ＋3|<m 时，分别求出m 的范围． 解：由例题知－1≤|x ＋2|－|x ＋3|≤1，所以(1)若不等式有解，m 只要比|x ＋2|－|x ＋3|的最小值大即可，即m ∈(－1，＋∞)． (2)若不等式的解集为R ，即不等式恒成立，m 只要比|x ＋2|－|x ＋3|的最大值大即可，即m ∈(1，＋∞)．(3)若不等式的解集为∅，m 只要不大于|x ＋2|－|x ＋3|的最小值即可，即m ∈(－∞，－1]．5．把本例中的“－”改成“＋”，即|x ＋2|＋|x ＋3|>m 时，分别求出m 的范围． 解：|x ＋2|＋|x ＋3|≥|(x ＋2)－(x ＋3)|＝1， 即|x ＋2|＋|x ＋3|≥1.(1)若不等式有解，m 为任何实数均可， 即m ∈R .(2)若不等式解集为R ，即m ∈(－∞，1)． (3)若不等式解集为∅，这样的m 不存在，即m ∈∅.对应学生用书P151．不等式|x ＋1|>3的解集是( ) A ．{x |x <－4或x >2} B ．{x |－4<x <2} C ．{x |x <－4或x ≥2}D ．{x |－4≤x <2}解析：|x ＋1|>3，则x ＋1>3或x ＋1<－3，因此x <－4或x >2. 答案：A2．不等式|2x －1|－2|x ＋3|＞0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜32C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－12且x ≠－3D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜32 解析：原不等式⇒⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|＞2x ＋3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＜－2或2x －1＞2x ≠－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12或x ＞32，x ≠－3.答案：C3．不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<5的所有实数解的集合是( ) A ．(－3,2) B ．(－1,3)C ．(－4,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，72解析：|x ＋1|＋|x ＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x ＋1|＋|x ＋2|<5解集是(－4,1)．答案：C4．不等式1≤|2x －1|<2的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12＜x ＜0或1≤x ≤32 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12＜x ≤0或1≤x ≤32 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x ≤0且1≤x ≤32 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x ≤0或1≤x <32 解析：1≤|2x －1|<2则1≤2x －1<2或－2<2x －1≤－1，因此－12<x ≤0或1≤x <32.答案：D5．不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．解析：因不等式两边是非负实数，所以不等式两边可以平方，两边平方得(x ＋2)2≥x 2，∴x 2＋4x ＋4≥x 2.即x ≥－1.∴原不等式的解集为{x |x ≥－1}． 答案：{x |x ≥－1}6．不等式|2x －1|－x <1的解集是__________． 解析：原不等式等价于|2x －1|<x ＋1⇔－x －1<2x －1<x ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，x <2⇔0<x <2.答案：{x |0<x <2}7．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|＜a 的解集为∅，则a 的取值范围为________． 解析：法一：由|x ＋2|＋|x －1|＝|x ＋2|＋|1－x |≥|x ＋2＋1－x |＝3，知a ≤3时，原不等式无解．法二：数轴上任一点到－2与1的距离之和最小值为3.所以当a ≤3时，原不等式的解集为∅. 答案：(－∞，3]8．解不等式|3x －2|＋|x －1|＞3.解：(1)当x ≤23时，|3x －2|＋|x －1|＝1－x ＋2－3x ＝3－4x ，由3－4x ＞3得x ＜0.(2)当23＜x ＜1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋1－x ＝2x －1，由2x －1＞3得x ＞2，∴x∈∅.(3)当x ≥1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋x －1＝4x －3，由4x －3＞3得x ＞32，∴x ＞32. 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜0或x ＞32. 9．已知f (x )＝|ax －2|＋|ax －a |(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f (x )≥x 的解集；(2)若不存在实数x ，使f (x )＜3成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|x －1|≥x ，当x ≥2时，原不等式可转化为x －2＋x －1≥x ，解得x ≥3；当1＜x＜2时，原不等式可转化为2－x＋x－1≥x，解得x≤1，∴x∈∅；当x≤1时，原不等式可转化为2－x＋1－x≥x，解得x≤1.综上可得，解集为{x|x≤1或x≥3}．(2)依题意，对∀x∈R，都有f(x)≥3，则f(x)＝|ax－2|＋|ax－a|≥|(ax－2)－(ax－a)|＝|a－2|≥3，∴a－2≥3或a－2≤－3，∴a≥5或a≤－1(舍)，∴a的取值范围是[5，＋∞)．。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1不等式的基本性质讲义(含解析)新人教A版选修4_5
1．不等式的基本性质1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0，那么na＞nb(n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒a n>b n(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒na>nb(n＝2k＋1，k∈N＋)．(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“⇒”与“⇔”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”．这要求必须熟记与区别不同性质的条件．如a＞b，ab＞0⇒1a＜1b，而反之不成立．数、式大小的比较[例1] 已知p q p q px qy 2px 2qy 2[思路点拨] 利用作差法比较两数的大小，并注意等号成立的条件． [解] (px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝p 2x 2＋2pqxy ＋q 2y 2－px 2－qy 2＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy .因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p . 所以(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. 因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0. 所以(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2.当且仅当x ＝y 时，不等式中等号成立．比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a ，b ∈R ，比较a 4＋b 4与a 3b ＋ab 3的大小． 解：因为(a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a ) ＝(a －b )(a 3－b 3) ＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2≥0， (当且仅当a ＝b 时，取“＝”号) 所以a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.2．已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y ，试比较m 与n 的大小．解：m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y＝(x ＋y )2－4xy xy (x ＋y )＝(x －y )2xy (x ＋y )，∵x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0， ∴m －n ≥0，即m ≥n ，当且仅当x ＝y 时取等号．不等式的证明[例2] 已知a >b c d e 求证：ea －c >eb －d.[思路点拨] 可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明． [证明] 法一：e a －c －eb －d ＝e (b －d －a ＋c )(a －c )(b －d )＝e (b －a ＋c －d )(a －c )(b －d )，∵a >b >0，c <d <0， ∴b －a <0，c －d <0. ∴b －a ＋c －d <0. 又∵a >0，c <0，∴a －c >0. 同理b －d >0， ∴(a －c )(b －d )>0. ∵e <0，∴e (b －a ＋c －d )(a －c )(b －d )>0.即ea －c >eb －d.法二：⎭⎪⎬⎪⎫c <d <0⇒－c >－d >0a >b >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫a －c >b －d >0⇒1a －c <1b －d e <0⇒e a －c ＞e b －d.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．设a >b >0，求证：a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b .证明：法一：∵a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b )＝2ab (a －b )(a 2＋b 2)(a ＋b )>0， ∴原不等式成立．法二：∵a >b >0，故a 2>b 2>0. 故左边>0，右边>0.∴左边右边＝(a ＋b )2a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴原不等式成立．4．已知a >b >0，d >c >0，求证：a c >b d. 证明：因为d >c >0，所以1c >1d>0.又因为a >b >0， 所以a ·1c >b ·1d ，即a c >bd.利用不等式的性质求范围[例3] 已知30<x <42,16<y <24，求x ＋y ，x －2y ，xy的取值范围． [思路点拨] 根据题目提供的条件，结合不等式的性质进行求解． [解] ∵30<x <42,16<y <24， ∴46<x ＋y <66. ∵16<y <24， ∴－48<－2y <－32， ∴－18<x －2y <10. ∵16<y <24， ∴124<1y <116. ∴54<x y <218.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．5．已知－π2≤α＜β≤π2，求α－β的取值范围．解：∵－π2≤α＜β≤π2，∴－π2≤α＜π2，－π2≤－β＜π2，且α＜β.∴－π≤α－β＜π，且α－β＜0.∴－π≤α－β＜0.即α－β的取值范围为[－π，0)．6．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围． 解：设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32.又1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12≤12(α＋β)≤2，－3≤32(α－β)≤－32，∴－52≤2α－β≤12.∴2α－β的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12.1．已知数轴上两点A ，B 对应的实数分别为x ，y ，若x <y <0，则|x |与|y |对应的点P ，Q 的位置关系是( )A ．P 在Q 的左边B ．P 在Q 的右边C ．P ，Q 两点重合D ．不能确定解析：选B ∵x <y <0，∴|x |>|y |>0. 故P 在Q 的右边．2．已知a ，b ，c ∈R ，且ab >0，则下面推理中正确的是( ) A ．a >b ⇒am 2>bm 2B.a c >b c⇒a >bC ．a 3>b 3⇒1a <1bD ．a 2>b 2⇒a >b解析：选C 对于A ，若m ＝0，则不成立；对于B ，若c <0，则不成立；对于C ，a 3－b 3>0⇒(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)>0，∵a 2＋ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2>0恒成立，∴a －b >0，∴a >b .又∵ab >0，∴1a <1b.∴C 成立；对于D ，a 2>b 2⇒(a －b )(a ＋b )>0，不能说a >b .3．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若ca ＋b ＜ab ＋c ＜bc ＋a，则( )A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a解析：选 A 由ca ＋b ＜ab ＋c ＜bc ＋a，可得c a ＋b＋1＜a b ＋c＋1＜b c ＋a＋1，即a ＋b ＋ca ＋b＜a ＋b ＋c b ＋c ＜a ＋b ＋cc ＋a ，又a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a ＋b ＞b ＋c ＞c ＋a .由a ＋b ＞b ＋c 可得a ＞c ；由b ＋c ＞c ＋a 可得b ＞a ，于是有c ＜a ＜b .4．若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 对于0<ab <1，如果a >0，则b >0，a <1b 成立，如果a <0，则b <0，b >1a成立，因此“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件；反之，若a ＝－1，b ＝2，结论“a <1b 或b >1a”成立，但条件0<ab <1不成立，因此“0<ab <1”不是“a <1b 或b >1a”的必要条件，即“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分不必要条件．5．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是f (x )________g (x )．解析：∵f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1>0，∴f (x )>g (x )．答案：> 6．下列命题： ①c －a <c －b ⇔a >b ；②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b；③c a <c b ，且c >0⇒a >b ；④ na <nb (n ∈N ，n >1)⇒a <b . 其中真命题是________．(填序号) 解析：①c －a <c －b ⇒－a <－b ⇒a >b . ②a ＜0＜b ⇒1a ＜0，1b ＞0⇒1a ＜1b.③c a －c b ＝c (b －a )ab<0，∵c >0，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ b －a >0，ab <0或⎩⎪⎨⎪⎧b －a <0，ab >0即⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，ab <0或⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，ab >0.∴③不正确，④中无论n 为奇数或偶数， 均可由n a <nb (n ∈N ，n >1)⇒a <b . ∴①②④正确． 答案：①②④7．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a ，b 应满足的条件为________． 解析：∵x >y ，∴x －y ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2>0. ∴ab －1≠0或a ＋2≠0. 即ab ≠1或a ≠－2. 答案：ab ≠1或a ≠－28．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝(a －b )2(a ＋b )ab，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .9．若f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． 解：∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， 令f (－2)＝4a －2b ＝Af (－1)＋Bf (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4，B －A ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴3≤3f (－1)≤6， ∴5≤f (1)＋3f (－1)≤10， ∴5≤f (－2)≤10.故f (－2)的取值范围为[5,10]． 10．已知a >0，a ≠1. (1)比较下列各组大小．①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ； ③a 5＋1与a 3＋a 2.(2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，a m ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)∵a >0，a ≠1， ∴①a 2＋1－(a ＋a )＝a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0. ∴a 2＋1>a ＋a . ②a 3＋1－(a 2＋a ) ＝a 2(a －1)－(a －1) ＝(a ＋1)(a －1)2＞0， ∴a 3＋1>a 2＋a ， ③a 5＋1－(a 3＋a 2) ＝a 3(a 2－1)－(a 2－1) ＝(a 2－1)(a 3－1)． 当a >1时，a 3>1，a 2>1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 当0<a <1时，0<a 3<1,0<a 2<1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 即a 5＋1>a 3＋a 2.(2)根据(1)可探讨，得a m＋n＋1＞a m＋a n.证明如下：a m＋n＋1－(a m＋a n)＝a m(a n－1)＋(1－a n)＝(a m－1)(a n－1)．当a>1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0.当0<a<1时，0<a m<1,0<a n<1，∴(a m－1)(a n－1)>0.综上(a m－1)(a n－1)>0，即a m＋n＋1>a m＋a n.。
2018_2019高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式导学案新人教A版选修4_5
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309教育资源库 1.1.2 基本不等式
学习目标
1.了解两个正数的算术平均与几何平均．
2．理解定理1和定理2.
3．掌握利用基本不等式求一些函数的最值及解决实际的应用问题.
一、自学释疑
根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。
二、合作探究
探究1 函数f (x )＝x ＋1x
的最小值是2吗？
探究2 在基本不等式
a ＋
b 2≥ab 中，为什么要求a >0，b >0?
探究3 利用
a ＋
b 2≥ab 求最值的条件是怎样的？
探究4 你能给出基本不等式的几何解释吗？
名师点拨
1.常用基本不等式
(1)(a －b )2≥0⇔a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)．
(2)均值不等式a ＋b 2≥ab (a ，b ∈R ＋)．
这两个不等式都是在a ＝b 时，等号成立．而(1)只要求a ，b ∈R，而公式(2)条件加强了，要求a >0，b >0.注意区别．
(3)利用基本不等式还可以得到以下不等式：
a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)．。
高中数学第一讲二2绝对值不等式的解法同步配套教学案新人教A版选修89.doc
2．绝对值不等式的解法对应学生用书P131．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤a，|x|≥a(a>0)型不等式求解．|ax＋b|≤c(c>0)型不等式的解法：先化为－c≤ax＋b≤c，再由不等式的性质求出原不等式的解集．不等式|ax＋b|≥c(c>0)的解法：先化为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．2．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．②以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．对应学生用书P13[例1] 解下列不等式：(1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4.[思路点拨] 利用|x|>a及|x|<a(a>0)型不等式的解法求解．[解] (1)|5x －2|≥8⇔5x －2≥8或5x －2≤－8⇔x ≥2或x ≤－65，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2或x ≤－65.(2)原不等式价于⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥2，|x －2|≤4.由①得x －2≤－2，或x －2≥2， ∴x ≤0，或x ≥4. 由②得－4≤x －2≤4， ∴－2≤x ≤6.∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤0，或4≤x ≤6}．|ax ＋b |≥c 和|ax ＋b |≤c 型不等式的解法： ①当c >0时，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ， |ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c .②当c ＝0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |<c 的解集为∅. ③当c <0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |≤c 的解集为∅.1．解下列不等式：(1)|3－2x |<9；(2)4＜|3x －2|＜8； (3)|x 2－3x －4|>x ＋1.解：(1)∵|3－2x |<9，∴|2x －3|<9. ∴－9<2x －3<9. 即－6<2x <12. ∴－3<x <6.∴原不等式的解集为{x |－3<x <6}．(2)由4＜|3x －2|＜8，得⎩⎪⎨⎪⎧|3x －2|＞4，|3x －2|＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧3x －2＜－4或3x －2＞4，－8＜3x －2＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－23或x ＞2，－2＜x ＜103.∴－2＜x ＜－23或2＜x ＜103.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜－23或2＜x ＜103. (3)不等式可转化为x 2－3x －4>x ＋1或x 2－3x －4<－x －1， ∴x 2－4x －5>0或x 2－2x －3<0. 解得x >5或x <－1或－1<x <3，∴不等式的解集是(5，＋∞)∪(－∞，－1)∪(－1,3)．[例2] 解不等式|x ＋7|－|x －2|≤3.[思路点拨] 解该不等式，可采用三种方法：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用各绝对值的零点分段讨论；(3)构造函数，利用函数图像分析求解．解：法一：|x ＋7|－|x －2|可以看成数轴上的动点(坐标为x )到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x ＝－1.由图易知不等式|x ＋7|－|x －2|≤3的解为x ≤－1，即x ∈(－∞，－1]．法二：令x ＋7＝0，x －2＝0得x ＝－7，x ＝2. ①当x ＜－7时，不等式变为－x －7＋x －2≤3， ∴－9≤3成立，∴x ＜－7.②当－7≤x ≤2时，不等式变为x ＋7＋x －2≤3， 即2x ≤－2，∴x ≤－1，∴－7≤x ≤－1. ③当x ＞2时，不等式变为x ＋7－x ＋2≤3， 即9≤3不成立，∴x ∈∅.∴原不等式的解集为(－∞，－1]．法三：将原不等式转化为|x ＋7|－|x －2|－3≤0， 构造函数y ＝|x ＋7|－|x －2|－3，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12， x ＜－7，2x ＋2， －7≤x ≤2，6， x ＞2.作出函数的图像，从图可知，当x ≤－1时，有y ≤0，即|x ＋7|－|x －2|－3≤0， 所以，原不等式的解集为(－∞，－1]．|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图像法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况．2．解不等式|2x －1|＋|3x ＋2|≥8. 解：(1)x ≤－23时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x －(3x ＋2)≥8. ⇔－5x ≥9⇔x ≤－95，∴x ≤－95；(2)－23<x <12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x ＋3x ＋2≥8⇔x ＋3≥8⇔x ≥5，∴x ∈∅；(3)x ≥12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔5x ＋1≥8⇔5x ≥7⇔x ≥75，∴x ≥75.∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－95∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫75＋∞. 3．解不等式|x －1|＋|2－x |＞3＋x . 解：把原不等式变为|x －1|＋|x －2|＞3＋x ， (1)当x ≤1时，∴原不等式变为－(x －1)－(x －2)＞3＋x ，解得x ＜0；(2)当1＜x≤2时，∴原不等式变为x－1－(x－2)＞3＋x，解得x∈∅；(3)当x＞2时，∴原不等式变为x－1＋x－2＞3＋x，解得x＞6.综上，原不等式解集为(－∞，0)∪(6，＋∞).[例3] 已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅，分别求出m的范围．[思路点拨] 解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x ＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的范围．[解] 法一：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.由图像知(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的范围为(－∞，1)．(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的范围为(－∞，－1)．(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的范围为[1，＋∞)．法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)．(3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a，f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.4．把本例中的“>”改成“<”，即|x＋2|－|x＋3|<m时，分别求出m的范围．解：由例题知－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1，所以(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值大即可，即m∈(－1，＋∞)．(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值大即可，即m∈(1，＋∞)．(3)若不等式的解集为∅，m只要不大于|x＋2|－|x＋3|的最小值即可，即m∈(－∞，－1]．5．把本例中的“－”改成“＋”，即|x＋2|＋|x＋3|>m时，分别求出m的范围．解：|x＋2|＋|x＋3|≥|(x＋2)－(x＋3)|＝1，即|x＋2|＋|x＋3|≥1.(1)若不等式有解，m为任何实数均可，即m∈R.(2)若不等式解集为R，即m∈(－∞，1)．(3)若不等式解集为∅，这样的m不存在，即m∈∅.对应学生用书P151．不等式|x＋1|>3的解集是( )A．{x|x<－4或x>2} B．{x|－4<x<2}C．{x|x<－4或x≥2} D．{x|－4≤x<2}解析：|x＋1|>3，则x＋1>3或x＋1<－3，因此x<－4或x>2.答案：A2．不等式|2x －1|－2|x ＋3|＞0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜32 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－12且x ≠－3D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜32 解析：原不等式⇒⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|＞2x ＋3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＜－2或2x －1＞2x ≠－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12或x ＞32，x ≠－3.答案：C3．不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<5的所有实数解的集合是( ) A ．(－3,2) B ．(－1,3)C ．(－4,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，72解析：|x ＋1|＋|x ＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x ＋1|＋|x ＋2|<5解集是(－4,1)．答案：C4．不等式1≤|2x －1|<2的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12＜x ＜0或1≤x ≤32 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12＜x ≤0或1≤x ≤32 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x ≤0且1≤x ≤32 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x ≤0或1≤x <32解析：1≤|2x －1|<2则1≤2x －1<2或－2<2x －1≤－1，因此－12<x ≤0或1≤x <32.答案：D5．不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．解析：因不等式两边是非负实数，所以不等式两边可以平方，两边平方得(x ＋2)2≥x 2，∴x 2＋4x ＋4≥x 2.即x ≥－1.∴原不等式的解集为{x |x ≥－1}． 答案：{x |x ≥－1}6．不等式|2x －1|－x <1的解集是__________． 解析：原不等式等价于|2x －1|<x ＋1⇔－x －1<2x －1<x ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，x <2⇔0<x <2.答案：{x |0<x <2}7．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|＜a 的解集为∅，则a 的取值范围为________． 解析：法一：由|x ＋2|＋|x －1|＝|x ＋2|＋|1－x |≥|x ＋2＋1－x |＝3，知a ≤3时，原不等式无解．法二：数轴上任一点到－2与1的距离之和最小值为3.所以当a ≤3时，原不等式的解集为∅. 答案：(－∞，3]8．解不等式|3x －2|＋|x －1|＞3.解：(1)当x ≤23时，|3x －2|＋|x －1|＝1－x ＋2－3x ＝3－4x ，由3－4x ＞3得x ＜0.(2)当23＜x ＜1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋1－x ＝2x －1，由2x －1＞3得x ＞2，∴x∈∅.(3)当x ≥1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋x －1＝4x －3，由4x －3＞3得x ＞32，∴x ＞32. 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜0或x ＞32. 9．已知f (x )＝|ax －2|＋|ax －a |(a ＞0)．(1)当a＝1时，求f(x)≥x的解集；(2)若不存在实数x，使f(x)＜3成立，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－2|＋|x－1|≥x，当x≥2时，原不等式可转化为x－2＋x－1≥x，解得x≥3；当1＜x＜2时，原不等式可转化为2－x＋x－1≥x，解得x≤1，∴x∈∅；当x≤1时，原不等式可转化为2－x＋1－x≥x，解得x≤1.综上可得，解集为{x|x≤1或x≥3}．(2)依题意，对∀x∈R，都有f(x)≥3，则f(x)＝|ax－2|＋|ax－a|≥|(ax－2)－(ax－a)|＝|a－2|≥3，∴a－2≥3或a－2≤－3，∴a≥5或a≤－1(舍)，∴a的取值范围是[5，＋∞)．。
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2．基本不等式对应学生用书P4 1．基本不等式的理解重要不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式a ＋b2≥ab ，成立的条件是不同的．前者成立的条件是 a 与b 都为实数，并且a 与b 都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a ＝0，b ≥0仍然能使a ＋b2≥ab 成立．两个不等式中等号成立的充要条件都是a ＝b . 2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 (1)a 2＋b 2≥a ＋b22；(2)ab ≤a 2＋b 22；(3)ab ≤(a ＋b2)2；(4)(a ＋b2)2≤a 2＋b 22；(5)(a ＋b )2≥4ab .对应学生用书P5[例1] 已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.[思路点拨] 解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明． [证明] 法一：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋ab ＋⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋ac ＋⎝⎛⎭⎪⎫c b ＋bc≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 即1a ＋1b ＋1c≥9.法二：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c)＝1＋b a ＋c a ＋a b ＋1＋c b ＋a c ＋b c＋1＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．∴1a ＋1b ＋1c≥9.用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．1．已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证：(ab ＋cd )(ac ＋bd )≥4abcd . 证明：因为a ，b ，c ，d 都是正数， 所以ab ＋cd2≥ab ·cd ＞0，ac ＋bd2≥ac ·bd ＞0，所以ab ＋cdac ＋bd4≥abcd ，即(ab ＋cd )(ac ＋bd )≥4abcd .当且仅当ab ＝cd ，ac ＝bd ，即a ＝d ，b ＝c 时，等号成立．2．已知a ，b ，c >0，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .证明：∵a ，b ，c ，a 2b ，b 2c ，c 2a均大于0，又a 2b ＋b ≥2 a 2b ·b ＝2a ， b 2c ＋c ≥2 b 2c·c ＝2b . c 2a＋a ≥2 c 2a·a ＝2c . ∴(a 2b ＋b )＋(b 2c ＋c )＋(c 2a＋a )≥2(a ＋b ＋c )．即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 当且仅当a 2b ＝b ，b 2c ＝c ，c 2a＝a ，即a ＝b ＝c 时取等号.[例2] (1)求当x >0时，f (x )＝2xx 2＋1的值域； (2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．[思路点拨] 根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值． [解] (1)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x. ∵x ＋1x ≥2，∴0<1x ＋1x≤12.∴0<f (x )≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 即f (x )值域为(0,1]． (2)∵0<x <32，∴3－2x >0.∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋－2x 22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∴y ＝4x (3－2x )的最大值为92.(3)∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16.当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时， 有(x ＋y )min ＝16.在应用基本不等式求最值时， 分以下三步进行：(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值； (2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．3．已知x ＞0，则2x ＋8x的最小值和取得最小值时的x 值分别是( )A ．8,2B ．8,4C ．16,2D ．16,4解析：2x ＋8x≥22x ·8x ＝8，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时，取“＝”号，故选A.答案：A4．设x ，y ∈R ＋，且满足x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )A ．40B ．10C ．4D ．2解析：∵x ，y ∈R ＋，∴4xy ≤x ＋4y2.∴xy ≤x ＋4y4＝10.∴xy ≤100.∴lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 100＝2. 答案：D5．(浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B ．285C ．5D ．6解析：∵x ＋3y ＝5xy ，∴1y ＋3x＝5，∵x >0，y >0，∴(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝3x y＋12yx＋9＋4≥23xy·12yx＋13＝25，∴5(3x ＋4y )≥25，∴3x ＋4y ≥5，当且仅当x ＝2y 时取等号． ∴3x ＋4y 的最小值是5. 答案：C[例3] 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2014年巴西世界杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2014年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2014年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数． (2)该企业2014年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？[思路点拨] (1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式．[解] (1)由题意可设 3－x ＝kt ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2. ∴x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用， ∴年生产成本为32x ＋3＝32⎝⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3. 当销售x 万件时， 年销售收入为150%⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完， 由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费， 得年利润y ＝－t 2＋98t ＋35t ＋(t ≥0)．(2)y ＝－t 2＋98t ＋35t ＋＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1 ≤50－2 t ＋12×32t ＋1＝50－2 16＝42， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立，y max ＝42， ∴当促销费定在7万元时，年利润最大．利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y 的函数表达式y ＝f (x )(x 一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x 的范围制约．6．一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货(设每次进货x 件)，每进一次货运费50元，且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均x2件货储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x 应是多少？解：设一年的运费和库存费共y 元，由题意知：y ＝50 000x ×50＋x 2×20＝25×105x ＋10x ≥2 25×106＝104，当且仅当25×105x＝10x 即x ＝500时，y min ＝10 000，即每次进货500件时，一年的运费和库存费最省．7.围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 解：(1)如题图所示，设矩形的另一边长为a m. 则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360. 由已知xa ＝360，得a ＝360x，所以y ＝225x ＋3602x－360(x ＞0)．(2)∵x >0，∴225x ＋3602x≥2225×3602＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x－360≥10 440，当且仅当225 x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．对应学生用书P71．下列不等式中，正确的个数是( )①若a ，b ∈R ，则a ＋b2≥ab ②若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2≥2 ③若x ∈R ，则x 2＋1＋1x 2＋1≥2 ④若a ，b 为正实数，则a ＋b2≥abA ．0B ．1C ．2D ．3解析：显然①不正确；③正确；对②虽然x 2＋2＝1x 2＋2无解，但x 2＋2＋1x 2＋2>2成立，故②正确；④不正确，如a ＝1，b ＝4. 答案：C2．已知a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：∵a ＋b ＝2×12＝1，a >0，b >0，∴α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b＝1＋1ab≥1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝5，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”号．答案：C3. “a ＝1”是“对任意正数x,2x ＋a x≥1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：当a ＝1时，2x ＋a x ＝2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时取等号)，所以a ＝1⇒2x ＋a x ≥1(x ＞0)，反过来，对任意正数x ，如当a ＝2时，2x ＋a x ≥1恒成立，所以2x ＋ax ≥1⇒/ a ＝1.答案：A4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：由已知：y 1＝20x，y 2＝0.8x (x 为仓库到车站的距离)．费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x＝8.当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时等号成立． 答案：A5．若x ≠0，则f (x )＝2－3x 2－12x2的最大值是________，取得最值时x 的值是________．解析：f (x )＝2－3(x 2＋4x2)≤2－3×4＝－10，当且仅当x 2＝4x2即x ＝±2时取等号．答案：－10 ± 26．当x ＞12时，函数y ＝x ＋82x －1的最小值为________．解析：因为x ＞12，所以x －12＞0，所以y ＝x ＋82x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋4x －12＋12≥4＋12＝92， 当且仅当x －12＝4x －12，即x ＝52时，取“＝”．答案：927．y ＝3＋x ＋x 2x ＋1(x >0)的最小值是________．解析：∵x >0，∴y ＝3＋x ＋x 2x ＋1＝3x ＋1＋x ＋1－1≥23－1.当且仅当x ＋1＝3时取等号． 答案：23－18．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 证明：(1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b a ＋a ＋b b＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋4≥4b a ×a b ＋4＝8(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)， ∴1a ＋1b ＋1ab≥8.(2)∵⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab≥8.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 9．设x >0，y >0且x ＋y ＝4，要使不等式1x ＋4y≥m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：由x >0，y >0且x ＋y ＝4.得x ＋y 4＝1，∴1x ＋4y ＝x ＋y 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y x ＋4x y ＋4 ＝14⎝⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ·4x y ＝94. 当且仅当y x ＝4x y 时等号成立． 即y ＝2x (∵x >0，y >0，∴y ＝－2x 舍去)．此时，结合x ＋y ＝4，解得x ＝43，y ＝83. ∴1x ＋4y 的最小值为94. ∴m ≤94. ∴m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94. 10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x ，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式； (2)要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽应如何设计？解：(1)设休闲区的宽为a 米，则其长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝20 10x. 则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·20 10x ＋160 ＝8010(2 x ＋5x )＋4 160(x >1)．(2)S ≥8010×22x ·5x ＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.当且仅当2 x ＝5x 即x ＝2.5时取等号，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．。