新课标数学必修2教学案第17课时——空间两点间的距离配套练习

合集下载

新人教版必修二高中数学：两点间距离教案

高一数学导学案
课题：两点间的距离公式时间：
班级姓名
【学习目标】1、了解两点间距离公式的推导过程；熟练掌握两点间的距离公式、中点公式；2、灵活运用两点间的距离公式和中点公式解题；
【重点难点】两点间的距离公式中点公式
【学法指导】化归
学习过程
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
思考2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和P2(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？
思考3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为多少？
思考4:在平面直角坐标系中，已知点A(x，y) ，原点O和点A的距离d(O,A) 思考5:一般地，已知平面上两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，利用上述方法求点A和B的距离
1、公式：A（x1,y1）、B(x2,y2)两点间的距离，用d（A，B）表示为
A，B）
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0) 求证：三角形ABC是等腰三角形。

\
练习：已知：A（1，1）B（5，3）C（0，3）求证：三角形ABC是直角三角形
.
AB的中点，计
求:顶点D的坐标。

【学后反思】
【教后反思】。

数学必修Ⅱ人教A版3.3.2《两点间的距离》精品教案

课题:两点间距离课型：新授课教学目标：知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，会用坐标法证明简单的几何问题。

过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题教学重点：两点间距离公式的推导教学难点：应用两点间距离公式证明几何问题。

教学过程：一、情境设置，导入新课课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题平面直角坐标系中两点间距离公式：()()22122221PP x x y y =-+-。

分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，，直线12PN N 12与P 相交于点Q 。

在直角ABC 中，2221212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ，过点向y 轴作垂线，垂足为()220N y ，，于是有 2222221212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-，所以，2221212PP PQ QP =+=222121x x y y -+-。

由此得到两点间的距离公式()()22122221PP x x y y =-+-在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。

二、例题分析例1．以知点A （-1，2），B （27 ），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。

解：设所求点P （x ，0），于是有()()()()2222102207x x ++-=-+-由 PA PB =得 2225411x x x x ++=-+解得 x=1。

所以，所求点P （1，0）且 ()()22110222PA =++-=通过例题，使学生对两点间距离公式理解。

应用。

设问：本题能否有其它解法同步练习：书本106页第1，2 题例2 .证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

必修二示范教案空间两点间的距离公式

4.3.2 空间两点间的距离公式整体设计教学分析平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.三维目标1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 重点难点教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. 推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=2,y=203+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得 d(A,B)=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等,所以有下面等式： 222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0.点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( )A.0B.735C.75D.78 活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值. 解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为B.答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法. 知能训练课本本节练习1、2、3、4.拓展提升已知三棱锥P —ABC(如图4),PA ⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.图3解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE ⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0).在Rt △AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m,∴tan ∠BAE=mm AE EB 3|||| =33.∴∠BAE=30°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.课堂小结1.空间两点间的距离公式的推导与理解.2.空间两点间的距离公式的应用.3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.作业习题4.3 A 组3,B 组1、2、3.设计感想本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手,创设问题情景,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离.为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心.。

高中数学 (3.3.2 两点间的距离)示范教案新人教A版必修2

3.3.2 两点间的距离整体设计教学分析距离概念，在日常生活中经常遇到，学生在初中平面几何中已经学习了两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离的概念,到高一立体几何中又学习了异面直线距离、点到平面的距离、两个平面间的距离等.其基础是两点间的距离，许多距离的计算都转化为两点间的距离.在平面直角坐标系中任意两点间的距离是解析几何重要的基本概念和公式.到复平面内又出现两点间距离，它为以后学习圆锥曲线、动点到定点的距离、动点到定直线的距离打下基础，为探求圆锥曲线方程打下基础.解析几何是通过代数运算来研究几何图形的形状、大小和位置关系的，因此，在学习解析几何时应充分利用“数形”结合的数学思想和方法.在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性.课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动地发现问题、解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则.根据这样的原则及所要完成的教学目标，下的教学方法：主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法.三维目标1.使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性.2.能灵活运用此公式解决一些简单问题；使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题，培养学生勇于探索，善于发现，独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质.重点难点教学重点：①平面内两点间的距离公式.②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?思路2.(1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|. 推进新课新知探究提出问题①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?②求点B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).讨论结果：①|AB|=|x B-x A|,|CD|=|y C-y D|.②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B 到原点的距离是5.③图1在直角坐标系中，已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q.在Rt△P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|，所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-. ④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离.(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形.(c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A 点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.例2 已知点A(-1，2)，B(2，7)，在x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 解:设所求点P(x ，0)，于是有2222)70()2()20()1(-+-=-++x x .由|PA|=|PB|,得x 2+2x+5=x 2-4x+11,解得x=1.即所求点为P(1，0),且|PA|=22)20()11(-++=22.知能训练课本本节练习.拓展提升已知0＜x ＜1,0＜y ＜1,求使不等式222222)1()1(y x y x y x +-+-+++ 22)1()1(y x -+-+≥22中的等号成立的条件.答案：x=y=21. 课堂小结通过本节学习，要求大家:①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；②能灵活运用此公式解决一些简单问题；③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题.作业课本习题3.3 A 组6、7、8；B 组6.设计感想通过本节课的教学，教师应引导学生学会思考、尝试、猜想、证明、归纳.这样更有利于学生掌握知识.为了加深知识理解、掌握和运用所学知识去主动地发现问题、解决问题，从而更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构和知识网络，让学生真正地体会到在问题的解决中学习，在交流中学习.本节课处理过程力求达到解决如下问题：知识是如何产生的？又如何从实际问题抽象成为数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达式？如何反映生活中客观事物之间简单的和谐关系？特点：以知识为载体，思维为主线，能力为目标的设计原则，突出多媒体这一教学技术手段在本节课辅助知识产生、发展和突破重难点的优势.。

新人教A版必修2高中数学学案教案： §3.3.2 两点间的距离

§3.3.2 两点间的距离一、教材分析距离概念，在日常生活中经常遇到，学生在初中平面几何中已经学习了两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离的概念,到高一立体几何中又学习了异面直线距离、点到平面的距离、两个平面间的距离等.其基础是两点间的距离，许多距离的计算都转化为两点间的距离.在平面直角坐标系中任意两点间的距离是解析几何重要的基本概念和公式.到复平面内又出现两点间距离，它为以后学习圆锥曲线、动点到定点的距离、动点到定直线的距离打下基础，为探求圆锥曲线方程打下基础.解析几何是通过代数运算来研究几何图形的形状、大小和位置关系的，因此，在学习解析几何时应充分利用“数形”结合的数学思想和方法.在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性.课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动地发现问题、解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则.根据这样的原则及所要完成的教学目标，下的教学方法：主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法.二、教学目标1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。

2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

；3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。

三、教学重点与难点教学重点：①平面内两点间的距离公式.②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?思路2.(1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.（二）推进新课、新知探究、提出问题①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?②求点B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).讨论结果：①|AB|=|x B -x A |,|CD|=|y C -y D |. ②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B 到原点的距离是5. ③图1在直角坐标系中，已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q.在Rt△P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|，所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-.④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离. (b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形.(c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!（三）应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x =-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A 点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.例2 已知点A(-1，2)，B(2，7)，在x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.解:设所求点P(x ，0)，于是有2222)70()2()20()1(-+-=-++x x .由|PA|=|PB|,得x 2+2x+5=x 2-4x+11,解得x=1.即所求点为P(1，0),且|PA|=22)20()11(-++=22.（四）知能训练课本本节练习.（五）拓展提升已知0＜x ＜1,0＜y ＜1,求使不等式222222)1()1(y x y x y x +-+-+++ 22)1()1(y x -+-+≥22中的等号成立的条件.答案：x=y=21.（六）课堂小结通过本节学习，要求大家:①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；②能灵活运用此公式解决一些简单问题；③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题.（七）作业课本习题3.3 A 组6、7、8；B 组6.。

高中数学 2.17《空间两点间的距离》教案苏教版必修2

第二章平面解析几何初步第三节空间直角坐标系第17课时空间两点间的距离【学习导航】知识网络学习要求1．掌握空间两点间的距离公式及中点坐标公式；2．理解推导公式的方法【课堂互动】自学评价1．空间两点间距离公式2．空间中点坐标公式连接空间两点1111(,,)P x y z 、2222(,,)P x y z 的线段12PP 的中点M 的坐标为121212(,,)222x x y y z z +++．【精典X 例】例1：求空间两点)1,0,6(),5,2,3(21--P P 间的距离21P P ．【解】利用两点间距离公式，得21P P7==．例2：平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为122=+y x ．在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的方程．【解】与坐标原点的距离为1的点),,(z y x P 的轨迹是一个球面，满足1=OP ，即1222=++z y x ．因此1222=++z y x ，就是所求的球面方程．例3：已知三点(1,3,2)A 、(2,0,4)B -、(8,6,8)C --，证明：C B A ,,三点在同一直线上．分析：只要证明AC BC AB =+即可【解】利用两点间距离公式，得22=AB 、222=BC 、223=AC ，所以AC BC AB =+，所以C B A ,,三点在同一直线上．追踪训练一1.已知空间中两点1(,2,3)P x 和2(5,4,7)P 的距离为6，求x 的值．答案：1x =或9x =2．已知(2,5,6)A ，在y 轴上求一点P ，使7PA =．答案：(0,2,0)P 或(0,8,0)P3．已知空间三点(1,0,1),(2,4,3)A B -，(5,8,5)C ，求证：,,A B C 在同一直线上．答案：(1,0,1),(2,4,3)A B -，(5,8,5)CAB BC AC ∴===AB BC AC ∴+=，,,A B C ∴在同一直线上．【选修延伸】一、球面方程例4: 讨论方程222(2)(6)(1)x y z ++-+-16=的几何意义．分析：类比空间两点的距离公式，构造点),,(z y x P【解】因为16)1()6()2(222=-+-++z y x ，所以4)1()6()2(222=-+-++z y x即动点),,(z y x P 到定点)1,6,2(-M 的距离等于4，所以16)1()6()2(222=-+-++z y x ．表示动点P 的轨迹：一个半径为4，球心为)1,6,2(-M 的球面思维点拔：注意类比方法在解决一些空间问题中的应用．追踪训练二1.试解释方程222(12)(3)(5)x y z -+++-36=的几何意义．答案：方程表示点),,(z y x P 与点(12,3,5)C -的距离为6，即点P 在以点C 为球心，半径为6的球面上．第17课空间两点间的距离分层训练1．空间两点(2,5,4),(2,3,5)A B -之间的距离等于（）()A 21 ()B ()C ()D 2．空间两点(1,3,),(2,1,4)P z Q -，且PQ =z 等于（）()A 4 ()B 2 ()C 6 ()D 2或63．已知空间两点(2,3,1),(4,5,3)M N --，线段MN 的中点为P ，则坐标原点O 到P 点的距离为（）()A ()B 1 ()C 5 ()D 4．以1(4,3,1)M 、2(7,1,2)M 、3(5,2,3)M 三点为顶点的三角形是（）()A 等腰三角形 ()B 等边三角形()C 直角三角形 ()D 等腰直角三角形5．y 轴上到点(3,4,5)A6．与点(1,2,4)M -距离等于3的点(,,)x y z 的坐标满足的条件是．7．三角形的三个顶点(2,1,4)A -、(3,2,6)B -、(5,0,2)C -，则过A 点的中线长为．8．设P 是x 轴上的点，它到点1P 的距离为到点2(0,1,1)P -的距离的两倍，求点P 的坐标．拓展延伸9．如图，正三棱柱ABC A B C '''-中，底面边长为1，,P Q 分别是,A B BC ''边的中点，求线段PQ 的长．10．若点G 到ABC ∆三个顶点的距离的平方和最小，则点G 就是ABC ∆的重心．（1）已知ABC ∆的三个顶点分别为(3,3,1)A 、(1,0,5)B 、(1,3,3)C --，求ABC ∆的重心G 的坐标；（2）ABC ∆的顶点坐标分别为(31,1,2)A x z +，(1,2,3)B y z --，(,2,0)C x ，重心G 的坐标为(2,1,4)-，求,,x y z 的值． A A 'B B 'C ' C Q P。

人教课标版(B版)高中数学必修2导学案-空间两点的距离公式

2.4.2 空间两点的距离公式学习目标：1.通过具体到一般的过程，让学生推导出空间两点间的距离公式.2.通过类比的方式得到空间两点构成的线段的中点公式，并证明掌握.重点：1.通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.2.掌握空间两点间的距离公式及其应用.难点：空间两点间的距离公式的推导及其应用.问题1：平面直角坐标系中的许多公式能推广到空间直角坐标系中去吗？问题2：回忆平面直角坐标系中两点的距离公式如何表示？问题3：试猜想空间直角坐标系中两点的距离公式.新知探究：1.已知空间两点P 1（2,2,5），P 2（5,4，-1），求这两点间P 1 P 2的距离.2.通过上面两个点之间的距离的推导，猜测一下如果在空间中有任意两点），，），，，22221111z y (x P z y (x P ，则这两点间的距离为3.上面的距离等式还不能称为公式，这只是进行类比后推导出来的结果.只有经过证明后，这个等式才可以作为公式进行使用.这个公式该如何证明？4.回忆平面直角坐标系中两点），），，222111y (x P y (x P 的线段P 1 P 2的中点M 的坐标是5.已知空间中两点），，），，，22221111z y (x P z y (x P ，线段P 1 P 2的中点M 的坐标是例题：例1：求空间两点P 1（3,-2,5），P 2（6,0,-1）间的距离P 1P 2【变式训练】已知空间两点P 1（x,-2, 5），P 2（6,0，-1），且两点间的距离P 1P 2= 7，求x 的值.例2：平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为 1y x 22=+.在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的方程.【变式训练】1平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为 1y x 22=+，在空间中方程仍为1y x 22=+的轨迹是2．点P 在坐标平面xoy 内，A 点的坐标是（-1,2,4），问满足条件︳P A ︳=5的点P 的轨迹是例3：证明：以A （4,3,1）、B （7,1,2）、C （5,2,3）为顶点的 △ABC 是等腰三角形.【变式训练】已知三角形的三个顶点A（1,-2,-3）、B（-1,-1,-1）、C（0,0,-5），试证△ABC是直角三角形.例4：已知A（1-t,1-t,t）、B（2,t,t），当t为何值时，此时AB的值最小，最小值为多少？课堂小结：本节课主要学习并要求掌握以下两个公式.1．空间两点间的距离公式2．空间线段中点坐标公式。

高中数学必修二§3.3.2 两点间的距离教案课时训练练习教案课件

3..3..。

2直线与直线之间的位置关系-两点间距离三维目标知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。

过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。

难点，应用两点间距离公式证明几何问题。

教学方式：启发引导式。

教学用具：用多媒体辅助教学。

教学过程：一，情境设置，导入新课课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题平面直角坐标系中两点()(2122221PP x x y y =-+-x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，，直线12PN N 12与P 相交于点Q 。

在直角ABC 中，2221212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ，过点向y 轴作垂线，垂足为()220N y ，，于是有2222221212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-，所以，2221212PP PQ QP =+=222121x x y y -+-。

由此得到两点间的距离公式12PP =在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。

二，例题解答，细心演算，规范表达。

例1 ：以知点A （-1，2），B （2 ），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。

解：设所求点P （x ，0），于是有=由PA PB=得2225411x x x x++=-+解得x=1。

所以，所求点P（1，0）且PA==通过例题，使学生对两点间距离公式理解。

应用。

解法二：由已知得，线段AB的中点为12⎛⎝⎭Ｍ，直线AB的斜率为12⎛⎫⎪⎝⎭ｘ－ＰＡ＝＝２２３线段AB的垂直平分线的方程是y-12⎛⎫⎪⎝⎭３ｘ－２在上述式子中，令y=0，解得x=1。

人教A版高中数学必修2教案空间两点间的距离

空间两点间的距离
[适用章节]
数学②中的2.4.2空间两点之间的距离。

[使用目的]
使学生通过自己操作体会空间直角坐标怎样确定了空间中点的位置，并理解怎样由已知空间两点的坐标求出这两点间的距离。

[操作说明]
初始界面上的图形和主要按钮如图2206-1：其中A、B两点的坐标由界面下方可拖动标尺来控制，通过改变坐标、观察图形可以加深对空间坐标和点的对应关系的认识，使用“转动”按钮可以观察动态的图形。

“帮助1”按钮可以显示如图2206-2的辅助线，结合对图形的动态观察应该能够找出求A、B两点距离的思路。

如果还有困难可以使用“帮助2”按钮，它可以显示计算距离的表达式和两组闪动按钮，使用它们可以很清楚的看出计算中使用了那个直角三角形、哪些线段及它们和点的坐标间的关系。

“手控”和它后面的“隐藏”按钮可以显示和隐去几个可拖动点，拖动它们可以改变单位长或转动图形。

图2204-1
图2204-2
“计算”和它后面的“隐藏”按钮可以显示或隐去距离的计算结果，供学生和自己的计算结果进行对照。

人教B版必修二《空间两点的距离公式》教案及教学反思

人教B版必修二《空间两点的距离公式》教案及教学反思一、教学背景教材版本：人教B版必修二课时：2知识点：空间两点的距离公式教学目标：1. 了解空间两点的距离公式及其应用场景；2. 掌握计算空间两点的距离公式的方法；3. 培养学生的空间思维能力和解决实际问题的能力。

二、教学内容设计1. 教学重难点重点：1. 空间直角坐标系的建立；2. 空间两点的距离公式及其推导。

难点：1. 空间两点的距离公式的应用。

2. 教学过程安排1.导入环节（5分钟）老师提问：已知三维空间中两点A(x₁, y₁, z₁)、B(x₂, y₂, z₂)，请问这两点之间的距离用什么公式表示？有哪些应用场景？2.学习环节（30分钟）1.空间直角坐标系的建立（10分钟）（1）向学生介绍如何建立空间直角坐标系；（2）通过一个实例让学生掌握建立空间直角坐标系的方法。

2.空间两点的距离公式及其推导（20分钟）（1）让学生通过简单的公式推导，了解空间两点的距离公式的概念和意义；（2）通过例题让学生掌握计算空间两点的距离公式的方法。

3.拓展环节（15分钟）1.练习题讲解（10分钟）讲解几道相关的练习题，加深学生对空间两点的距离公式的理解和记忆。

2.应用拓展（5分钟）让学生思考一些有关空间两点的距离公式的应用场景，并提出自己的见解和思考。

4.总结环节（5分钟）老师对今天所学的知识点进行总结，并与学生共同反思。

3. 教学资源准备1.空间直角坐标系绘图工具；2.相关的例题和练习题。

三、教学反思与改进本节课面对的是空间两点的距离公式及其应用场景这一知识点，为培养学生的空间思维能力和解决实际问题的能力，需要让学生掌握空间直角坐标系的建立和空间两点的距离公式的计算方法。

因此，我采用了让学生亲自参与绘制空间直角坐标系和通过实例来推导和计算空间两点的距离公式的方法，能够切实提高学生的学习兴趣和课堂参与度。

在教学过程中，我发现学生对于空间直角坐标系的建立和空间点坐标的表示方法掌握不足，基础薄弱，导致后续的计算和应用难度加大，因此我在课后对学生进行了一下练习和巩固，反哺了他们的学习。

高中数学必修二空间两点的距离公式1公开课教案课件课时训练练习教案课件

空间两点的距离公式教学目标：探索并得出空间两点间的距离公式教学重点：探索并得出空间两点间的距离公式教学过程：给定空间两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，过21,M M 各作三个平面分别垂直于三个坐标轴。

这六个平面构成—个以线段21M M 为一条对角线的长方体，见图2由图可知： 221M M 2122S M S M += 22122NS N M S M ++= 过21,M M 分别作垂直x 轴的平面，交x 轴于点21,P P 。

则11x OP =，22x OP =，因此12211x x P P N M -==同理可得12y y NS -=，122z z S M -= 因此得 212212212221z z y y x x M M -+-+-=()()()212212212z z y y x x -+-+-=于是求得点),,(1111z y x M 与),,(2222z y x M 之间的距离公式为：()()()21221221221z z y y x x M M -+-+-=如果点2M 为坐标原点)0,0,0(O ，则得点),,(1111z y x M 与坐标原点O 之间的距离公式2121211z y x OM ++=如果点21,M M 均位于xy 平面，则得xy 平面上任意两点)0,,(111y x M 与)0,,(222y x M 间的距离公式()()21221221y y x x M M -+-=例：证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC 是一等腰三角形.解：由两点间距离公式得：由于，所以△ABC 是一等腰三角形课堂练习：第121页练习A,B小结：探索并得出空间两点间的距离公式课后作业：略活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。

高中数学 2.3.2 《空间两点间的距离》导学案苏教版必修2

2.3.2 空间两点间的距离学习目标通过有三条棱分别与坐标轴平行的长方体顶点的坐标的表示，感受并会用空间两点间的距离公式求空间两点间的距离.学习过程一学生活动问题1．平面直角坐标系中两点间距离公式如何表示？试猜想空间直角坐标系中两点的距离公式．问题2．平面直角坐标系中两点)(111y x P ，，)(222y x P ，的线段21P P 的中点坐标是什么？空间中两点)(1111z y x P ，，，)(2222z y x P ，，的线段21P P 的中点坐标又是什么？二建构知识1.空间直角坐标系中两点的距离公式2.空间直角坐标系中的中点坐标公式三知识运用例题例1 求空间两点)523(1 - ，，P ，)106(2- ，，P 间的距离21P P ．例2 平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为122=+y x ．在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的轨迹方程．例3 证明以)134( ，，A ，)217( ，，B ，)325( ，，C 为顶点的ABC ∆是等腰三角形．例4 已知)133( ，，A ，)501( ，，B ，求：线段AB 的中点和线段AB 长度；巩固练习1．已知空间中两点)32(1 ，，x P 和)745(2 ，，P 的距离为6，求x 的值．2．试解释方程36)5()3()12(222=-+++-z y x 的几何意义．3．已知点)652(- ，，A ，在y 轴上求一点P ，使7=PA ．四回顾小结空间两点间距离公式；空间两点的中点的坐标公式．五学习评价双基训练1在空间直角坐标系中A，B两点，再求他们之间的距离和线段AB中点的坐标：（1）A（1，1，0），B（-1，2，1）；（2）M（-3，1，5），N（0，-2，3）.2.在z轴上求一点M，使M到点A（1，0，2）与B（1，-3，1）的距离相等.是直角三角形.3.已知点A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6，-1，4）.求证:ABC4.求到下列两点A，B距离相等的点的坐标(x,y,z)满足的条件：（1）A（1，0，1），B（2，3，-1）；（2）A（-3，2，2），B（1，0，-2）.5.写出与点A(-1,0,4)的距离等于3的点的坐标(x,y,z)满足的条件，并指出这些点构成的图形.6.已知点A(x,5,2-z)关于点P(1,y,3)的对称点是B(-2,-3,2+2z)，求x,y,z 的值.7.在平行四边形ABCD 中，若其中三点坐标是，A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1，5），求顶点D 的坐标.8.已知ABC ∆的三边中点分别D （1，-2，-1），E （3，2，2），F （4，0，-4），试求A ，B ，C 三点的坐标.拓展延伸9.若点G 到ABC ∆三个顶点的距离的平方和最小，则点G 就是ABC ∆的重心.（1）已知ABC ∆的三个顶点分别为A （3，3，1），B （1，0，5），C （-1，3，-3），求ABC ∆的重心G 的坐标；（2）已知ABC ∆的顶点坐标分别为A （3x+1，1，2z ），B （1，2-y ，3-z ），C （x ，2，0），重心 G 的坐标为（2，-1，4），求x,y,z 的值.。

人教课标版高中数学必修二《空间两点间的距离公式》教案(1)-新版

4.3.2空间两点间的距离公式一、教学目标(一)核心素养通过这节课学习,理解空间两点间距离的概念、体会平面点的距离与空间点的距离之间的关系,会用距离公式表示空间中两点间的距离,在直观想象、数学抽象中感受距离的几何意义.(二)学习目标1.了解平面两点间的距离与空间两点间的距离之间的关系.2.理解空间两点间的距离公式的概念.3.掌握用距离公式计算空间两点间的距离的方法.(三)学习重点1.不同维度下距离公式的特点.2.两点间的距离公式的含义.3.空间中两点间的距离的计算方法.(四)学习难点1.平面距离与空间距离的差别.2.距离公式的几何意义.3.建立适当的空间直角坐标系计算空间两点间的距离.二、教学设计(一)课前设计1.预习任务(1)读一读:阅读教材第136页至第137页,填空:在空间中,点P (x ,y ,z )到坐标原点O 的距离|OP |在空间中,P 1(x 1,y 1,z 1)与P 2(x 2,y 2,z 2)的距离|P 1P 2|(2)写一写:线段中点的坐标是什么？在空间直角坐标系中,若已知点A (x 1,y 1,z 1)与点B (x 2,y 2,z 2),则线段AB 的中点坐标是121212(,,)222x x y y z z +++. 2.预习自测1.已知空间三点的坐标为A (1,5,2-),B (2,4,1),C (p ,3,q +2),若A 、B 、C 三点共线,则p 、q 的值分别为( )A.3,2B.2,3C.3-,2D.3,2-答案：A.2.正方体不在同一平面上的两顶点为A (1-,2,1-),B (3,2-,3),则正方体的体积是()A.16B.192C.64D.48答案：C.3.点P (1,2,3)关于点Q (4,5,6)的对称点的坐标为()A.(7,8,9)B.(9,8,7)C.(5,7,9)D.(9,7,5)答案：A.(二)课堂设计1.知识回顾（1）空间一点M 的坐标可以用三元有序实数组(x ,y ,z )来表示,有序实数组(x ,y ,z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标,记作M (x ,y ,z ).（2）点(x ,y ,z )关于坐标平面xOy 的对称点的坐标为(x ,y ,-z );关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为(-x ,y ,z );关于坐标平面zOx 的对称点的坐标为(x ,-y ,z ).（3）中点公式：1111(,,)P x y z 与2222(,,)P x y z 的中点的坐标为(122x x +,122y y +,122z z +). 2.问题探究探究一重温平面距离,认识空间距离●活动①数形结合,重温平面距离平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.【设计意图】回忆点与线段之间的关系,体会数形结合的思想.●活动②数形结合,重温平面距离设A (x ,y ,z )是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算?图1如图1,设A (x ,y ,z )是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B ,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D ,E .根据坐标的含义知,AB =z ,BD =x ,BE =OD =y ,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d 【设计意图】回忆点的投影关系,体会数形结合的思想.●活动③类比推广,认识空间距离给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性. 探究二探究两点间的距离的计算方法●活动①类比推广,认识空间在空间直角坐标系中,空间两点之间的距离应怎样计算？由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d =212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d =212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性 ●活动②类比推广,认识空间平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？图2平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性 ●活动③类比推广,认识空间试根据②③推导两点之间的距离公式.如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离.我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M ,N ,则M (x 1,y 1,0),N (x 2,y 2,0),于是可以求出|MN |=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N ,垂足为H ,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H |=|MN |=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.于是空间两点之间的距离公式是d =212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性探究三结合实例、探究空间两点间距离的表示方法●活动①归纳梳理、理解提升例1.已知A (3,3,1),B (1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A ,B 两点的距离相等的点P (x ,y ,z )的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M (x ,y ,z )是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得x =213+=2,y =203+=23,z =215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得d (A ,B )=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P (x ,y ,z )到A ,B 的距离相等, 所以有等式：222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x ＋6y －8z ＋7＝0,因此,到A ,B 两点的距离相等的点P (x ,y ,z )的坐标满足的条件是4x ＋6y －8z ＋7＝0.点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A ,B 两点的距离相等的点P (x ,y ,z )构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练：1.在z 轴上求一点M ,使点M 到点A (1,0,2),B (1,-3,1)的距离相等.解:设M (0,0,z ),由题意得|MA |=|MB |,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z =-3,所以M (0,0,-3).【设计意图】通过学生自主阅读与归纳,培养学生的数学抽象、归类整理意识.●活动②互动交流、初步实践例2.证明以A (4,3,1),B (7,1,2),C (5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动:学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB |,|BC |,|CA |的长,根据边长来确定.证明:由两点间距离公式得：|AB |=,72)12()31()47(222=-+-+-|BC |=6)23()12()75(222=-+-+-,|CA |=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC |=|CA |=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练2.三角形△ABC 的三个顶点坐标为A (1,-2,-3),B (-1,-1,-1),C (0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动:学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB |,|BC |,|CA |的长,利用勾股定理的逆定理来判定.证明:因为三个顶点坐标为A (1,-2,-3),B (-1,-1,-1),C (0,0,-5),所以|AB |=222)13()12()11(+-++-++=3,|BC |=23)15()10()10(222=+-++++,|CA |=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB |2+|CA |2=|BC |2,所以△ABC 是直角三角形.【设计意图】通过几何的直观性与代数的严谨性,培养数形结合的基本功.3.课堂总结知识梳理(1)空间两点间的距离公式的推导与理解.(2)空间两点间的距离公式的应用.(3)建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.重难点归纳(1)结合长方体的长宽高理解点的坐标(x ,y ,z ),培养立体思维,增强空间想象力.(2)学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则,切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系.(3)在导出空间两点间的距离公式中体会转化与化归思想的应用,突出化空间为平面的解题思想.(三)课后作业基础型自主突破1.若A (1,3,-2)、B (-2,3,2),则A 、B 两点间的距离为( ) A.61B.25C.5D.57答案：C.解析：【知识点】两点间距离的公式.【数学思想】数形结合.=.5点拨：根据距离公式进行计算.2.在长方体ABCD－A1B1C1D1中,若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3),则对角线AC1的长为( )A.9B.29C.5D.2 6答案：B.解析：【知识点】两点间距离的公式.【数学思想】数形结合.【解题过程】由已知求得C1(0,2,3),∴|AC1|＝29.点拨：根据距离公式进行计算.3.到点A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点C(x,y,z)的坐标满足( )A.x＋y＋z＝－1B.x＋y＋z＝0C.x＋y＋z＝1D.x＋y＋z＝4答案：B.解析：【知识点】两点间距离的公式.【数学思想】数形结合.【解题过程】|AC|＝|BC|⇒(x＋1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2.即x＋y＋z＝0. 点拨：根据距离公式进行计算.4.已知A(2,1,1),B(1,1,2),C(2,0,1),则下列说法中正确的是( )A.A、B、C三点可以构成直角三角形B.A、B、C三点可以构成锐角三角形C.A、B、C三点可以构成钝角三角形D.A、B、C三点不能构成任何三角形【知识点】两点间距离与勾股定理.【数学思想】数形结合.【解题过程】|AB|＝2,|BC|＝3,|AC|＝1,∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.故构成直角三角形. 点拨：根据距离公式进行计算.答案：A.5.已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x-2,2-x),当|AB|取最小值时,x的值为( )A.19B.-8 7C.8 7D.19 14答案：C.解析：【知识点】两点间距离与二次函数. 【数学思想】数形结合.【解题过程】|AB|＝14x2－32x＋19,∴当x＝－－322×14＝87时,|AB|最小.点拨：先转化为二次函数,再求函数最值.6.点P(x,y,z)2=,则点P在( )A.以点(1,1,-1)为球心,以2为半径的球面上B.以点(1,1,-1)为中心,以2为棱长的正方体内C.以点(1,1,-1)为球心,以2为半径的球面上D.无法确定答案：C.解析：【知识点】两点间距离与球面公式.【数学思想】数形结合.【解题过程】视为动点P (x ,y ,z )到定点(1,1,-1)的距离为2.点拨：根据几何意义进行判断.能力型师生共研7.在空间直角坐标系中,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A (3,-1,2),其中心M 的坐标为(0,1,2),则该正方体的棱长为________.【知识点】立方体的对称性.【数学思想】数形结合.=点拨：根据几何意义进行计算. 答案：2393.8.已知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3,其中A (3,5,-7),B (-2,4,3),则z ＝________. 答案：0或-4.解析：【知识点】点的对称性.【数学思想】数形结合.【解题过程】利用中点坐标公式,则AB 中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，92，－2,|PC |＝3,即3=,解得z ＝0或z ＝-4. 点拨：根据距离公式进行计算.探究型多维突破9.在空间直角坐标系中,已知点A (1,0,2),B (1,-3,1),点M 在y 轴上,且M 到A 与到B 的距离相等,则M 的坐标是________.答案：(0,-1,0).解析：【知识点】点的对称性.【数学思想】数形结合.【解题过程】设M 的坐标为(0,y,0),由|MA |＝|MB |得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2,整理得6y ＋6＝0,∴y ＝-1,即点M 的坐标为(0,-1,0).点拨：根据距离公式进行计算.10.在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ,使它到点N (6,5,1)的距离最小. 答案：(1,0,0).解析：【知识点】两点距离与二次函数最值.【数学思想】数形结合.【解题过程】∵点M 在直线x ＋y ＝1(xOy 平面内)上,∴可设M (x,1-x,0).∴|MN |=≥当且仅当x ＝1时取等号,∴当点M 坐标为(1,0,0)时,|MN |min ＝51.点拨：先转化为二次函数,再求最值.自助餐1.已知A (x ,5-x ,2x -1),B(1,x +2,2-x ),则|AB |的最小值为( ) A.0 B.735 C.75 D.78 答案：B.解析：【知识点】两点距离与二次函数最值. 【数学思想】数形结合.【解题过程】|AB |=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x =78时,|AB|的最小值为735.故正确选项为B. 点拨：先转化为二次函数,再求最值.2.已知点A (1-t,1-t ，t )，B (2，t ，t )，则|AB |的最小值为( )B.答案：A.解析：【知识点】两点距离与二次函数最值. 【数学思想】数形结合.【解题过程】|AB≥当t＝15时，|AB|取最小值，最小值为355.故正确选项为A.点拨：先转化为二次函数,再求最值.3.已知A(1,2,3)、B(6,5,4),到A、B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x、y、z满足的条件为_________.答案：10x＋6y＋2z-63＝0.解析：【知识点】两点间的距离公式.【数学思想】数形结合.【解题过程】因为点P(x,y,z)到A、B的距离相等,=,化简得10x＋6y＋2z-63＝0,即到A、B距离相等的点P的坐标(x,y,z)满足的条件是10x＋6y＋2z-63＝0.点拨：先根据几何意义写出恒等式,再化简得到轨迹方程.4.如图所示,BC＝4,原点O是BC的中点,点A的坐标为(32,12,0),点D在平面yOz上,且∠BDC＝90°,∠DCB＝30°,面积AD的长度为_______.6.解析：【知识点】解三角形.【数学思想】数形结合.【解题过程】由题意得B (0,-2,0),C (0,2,0),设D (0,y ,z ),则在Rt △BDC 中,∠DCB ＝30°,∴BD ＝2,CD ＝23,z ＝3,y ＝-1.∴D (0,-1,3).又∵A (32,12,0),∴|AD |＝=点拨：根据距离公式进行计算.5.已知正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,且平面ABCD ⊥平面ABEF ,点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动,若CM ＝BN ＝a (0＜a ＜2).(1)求MN 的长；(2)当a 为何值时,MN 的长最小.答案：(1)⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12;(2)当a ＝22时,|MN |最短. 解析：【知识点】立方几何与二次函数.【数学思想】数形结合.【解题过程】∵平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ,AB ⊥BE ,∴BE ⊥平面ABCD ,∴AB 、BC 、BE 两两垂直.过点M 作MG ⊥AB ,MH ⊥BC ,垂足分别为G 、H ,连接NG ,易证NG ⊥AB .∵CM ＝BN ＝a ,∴CH ＝MH ＝BG ＝GN ＝22a ,∴以B 为原点,以AB 、BE 、BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ,则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0. (1)|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12, (2)由(1)得,当a ＝22时,|MN |最短,最短为22,这时M 、N 恰好为AC 、BF 的中点.点拨：先转化为二次函数,再求函数最值.6.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,|AB |＝|AD |＝3,|AA 1|＝2,点M 在A 1C 1上,|MC 1|＝2|A 1M |,N 在D 1C 上且为D 1C 中点,求M 、N 两点间的距离.答案：212.解析：【知识点】立方体的对称性.【数学思想】数形结合.【解题过程】如图分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.由题意可知C (3,3,0),D (0,3,0),∵|DD 1|＝|CC 1|＝2,∴C 1(3,3,2),D 1(0,3,2),∵N 为CD 1的中点,∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点,∴M (1,1,2).由两点间距离公式,得|MN |＝212. 点拨：根据立方体的对称性进行计算.。

高中数学空间向量求距离教案人教新课标必修2

课题：空间的距离第一课时
教学目标：
知识与技能：能用向量方法进行有关距离的计算。
过程与方法：分组合作，示范交流，应用小结。
情感态度与价值观：掌握空间向量的应用。
教学环节
教师活动
学生活动
一、复习引入
二、新课导入
三、例题讲解
四、练习
五、小结
课后反思
1、空间中的距离包括：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，平行直线间的距离，异面直线直线间的距离，直线与平面的距离，两个平行平面间的距离。这些距离的定义各不相同，但都是转化为平面上两点间的距离来计算的。
A（1,0,0），B（0,1,0），C（0,0,0）A1（1,0,），B1（0,1,），C1（0,0,）
∴ =（－1,1,－）， =（－1,0,－） =（1,－1,0）
设平面A1BC的一个法向量为，则
即
所以，点B1到平面A1BC的距离
解2建系设点同上（略），设平面A1BC的方程为ax+by+cz+d=0
(a,b,c,d不全为零)，把点A1，B，C三点坐标分别代入平面方程得
平面A1BC的方程为x+z=0
又B1（0,1,）
设点B1到平面A1BC的距离为d，则
d==
2、例2（2006年福建卷）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
则解得
令得是平面AEC的一个法向量.
又平面BAC的一个法向量为，
∴二面角B—AC—E的大小为
（III）∵AD//z轴，AD=2，∴ ，
∴点D到平面ACE的距离
知识小结：
向量法求距离

空间两点间的距离公式教案

空间两点间的距离公式教案一、教学目标：1. 让学生理解空间两点间的距离公式的概念和意义。

2. 引导学生掌握空间两点间的距离公式的推导过程。

3. 培养学生运用空间两点间的距离公式解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 空间两点间的距离公式的定义和表达式。

2. 空间两点间的距离公式的推导过程。

3. 空间两点间的距离公式的应用实例。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：空间两点间的距离公式的定义和表达式，推导过程，应用实例。

2. 教学难点：空间两点间的距离公式的推导过程。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间两点间的距离公式的推导过程。

2. 利用几何模型和实物模型，帮助学生形象直观地理解空间两点间的距离公式。

3. 提供丰富的练习题，让学生在实践中巩固空间两点间的距离公式的应用。

五、教学过程：1. 导入：通过简单的例子，引入空间两点间的距离公式的概念。

2. 新课：讲解空间两点间的距离公式的定义和表达式，推导过程。

3. 应用：提供一些实际问题，让学生运用空间两点间的距离公式进行解决。

4. 练习：布置一些练习题，让学生巩固空间两点间的距离公式的应用。

5. 小结：总结本节课的主要内容和知识点。

6. 作业：布置一些作业题，让学生进一步巩固空间两点间的距离公式的应用。

六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对空间两点间距离公式的理解和掌握程度。

2. 练习题：布置一些针对性强的练习题，评估学生对空间两点间距离公式的应用能力。

3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，评估学生在团队合作中解决问题的能力。

七、教学资源：1. 几何模型：使用三维几何模型，帮助学生直观理解空间两点间的距离。

2. 教学软件：利用多媒体教学软件，展示空间两点间的距离公式的推导过程。

3. 练习题库：准备一定量的练习题，供学生课后巩固所学知识。

八、教学拓展：1. 空间几何其他知识点：引导学生探索空间几何其他知识点，如空间角度、立体几何等。

高中数学空间两点的距离公式教案新课标人教版必修2(B)

空间两点的距离公式
教学目标：探索并得出空间两点间的距离公式
教学重点：探索并得出空间两点间的距离公式
教学过程：
给定空间两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，过21,M M 各作三个平面分别垂直于三个坐标轴。

这六个平面构成—个以线段21M M 为一条对角线
的长方体，见图2
由图可知：
过21,M M 分别作垂直x 轴的平面，交x 轴于点21,P P 。

则
11x OP =，22x OP =，因此 12211x x P P N M -== 同理可得
12y y NS -=，122z z S M -= 因此得 212212212221z z y y x x M M -+-+-=
于是求得点),,(1111z y x M 与),,(2222z y x M 之间的距离公式为：
如果点2M 为坐标原点)0,0,0(O ，则得点),,(1111z y x M 与坐标原点O 之间的距离公式 2
121211z y x OM ++= 如果点21,M M 均位于xy 平面，则得xy 平面上任意两点)0,,(111y x M 与)0,,(222y x M 间的距离公式
例：证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC 是一等腰三角形. 解：由两点间距离公式得：
由于
，所以△ABC 是一等腰三角形课堂练习：第121页练习A,B
小结：探索并得出空间两点间的距离公式
课后作业：略。