3.3圆心角与圆周角的关系(2)实用

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圆心角与圆周角的关系2实用

由以上我们可得到：直径所对的圆周角是直角； 90° 的圆周角所对的弦是直径。
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放开手脚做一做
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小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？
放开手脚做一做
如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB。 BD与CD的大小有什么关系？为什么？
http://
假设船在⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外。因此，船只能位于⊙O内。
1
2
3
4
5
大胆尝试，练一练
1.为什么有些电影院的坐位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性。
答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等。
A
B
C
O知识回顾ht来自p://探究圆周角定理的推论
观察图①，∠ABC， ∠ADC和∠AEC 各是什么角？它们有什么共同的特征？它们的大小有什么关系？为什么？
B
A
E
C
D
O
由此你得到什么结论？
图①
A
B
C
D
E
图②
同弧或等弧所对的圆周角相等。
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用心想一想，马到功成
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如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小相等吗？为什么？
（2）找出图中相等的圆周角。（3）找出图中的相似三角形。
（1）如图，哪个角与∠BAC相等？
A
B
C
D
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第3章 3.4 圆周角和圆心角的关系(2)

∴△OBD 是等边三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O 的直径为 10，则 OB＝5，∴BD＝5.
如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠BCD＝120°，CA
平分∠BCD．
(1)求证：△ABD 是等边三角形；
证明：∵CA 平分∠BCD， ∠BCD＝120°， ∴∠ACD＝∠ACB＝60°. ∵∠ACD＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°， ∴△ABD 是等边三角形．
★【思维拓展训练】
►答案见：D16
如图，点 A 在⊙O 上，BC 为⊙O 的直径，AB＝4，AC＝3，
︵
D 是AB的中点，CD 与 AB 相交于点 P，则 CP 的长为( D )
A.
5 2
B．32
C．27
D．3 2 5
︵已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点 C、D 为圆上两点，且CB
︵＝CD，CF⊥AB 于点 F，CE⊥AD 的延长线于点 E.
第三章圆
3.4 圆周角和圆心角的关系(2)
★【知识导引】
►答案见：D16
h 直径(或半圆)所对的圆周角是直直角角． 90°的圆周角所对的弦是直直径．圆内接四边形的对角互互补补．
★【基础知识训练】一、选择题
下列命题中，正确的命题个数是( ) ①顶点在圆周上的角是圆周角； ②圆周角度数等于圆心角度数的一半； ③90°的圆周角所对的弦是直径； ④圆周角相等，则它们所对的弧也相等．
∴C︵D＝B︵D，∴CD＝BD．
在直角△BDC 中，BC＝10，CD2＋BD2＝BC2， ∴BD＝CD＝5 2；
(2)如图②，若∠CAB＝60°，求 BD 的长．
解：如图②，连接 OB，OD．

3.3圆心角与圆周角的关系(2)

课题名称3.3 圆周角和圆心角的关系（2）教学目标:(一)知识目标1、掌握圆周角定理几个推论的内容．2、会熟练运用推论解决问题．(二)能力目标1、培养学生观察、分析及理解问题的能力．2、在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(三)情感与价值观培养学生的探索精神和解决问题的能力.教学重点:圆周角定理几个推论的应用.教学难点:理解几个推论的”题设”和”结论”．教学方法:指导探索法.教学过程:一、回顾交流，拓展延伸：1、圆周角定理：_____________________________________。

2、观察下图，∠ABC，∠ADC，和∠AEC有什么共同特征？它们的大小有什么关系？为什么？结论：_____________________________________3、如下图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角?你是如何判断的?结论：_____________________________________4、如下图，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心O吗？为什么？结论：_____________________________________二、例题讲解，知识应用：例1、如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?解：（例2题图）例2、船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么?(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么?三、随堂练习：1、为什么有些电影院的座位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性。

九年级数学圆周角与圆心角的关系

解决几何作图题
在数学竞赛中，利用圆周角定理可以解决一些几何作图题。
05
练习与思考
基础练习题
1、题目
已知⊙O的半径为5cm，圆心角 ∠AOB = 100°，则弦AB的长为
_______．
2、题目
已知$angle AOB = 60^{circ}$，点$P$是$OB$上一点，$OP =
5$，则以点$P$为圆心，与 $OA$相切的圆中最小的半径为
学习目标
理解圆周角和圆心角的定义及性质。
能够运用圆周角与圆心角的关系解决实际问题。
掌握圆周角与圆心角之间的定理及其证明。
02
圆周角与圆心角的基本概念
圆周角的定义
顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角等于它所夹弧所对的圆心角的一半。
圆心角的定义
顶点在圆心上，两边都和圆相交的角叫做圆心角。圆心角等于的半径
利用圆周角定理，可以确定一个点在圆上的位置。
通过圆周角定理，可以计算出圆的半径。
绘制圆的切线
利用圆周角定理，可以绘制出圆的切线。
在数学竞赛中的应用
解决几何证明题
在数学竞赛中，利用圆周角定理可以证明一些几何命题。
解决几何计算题
通过圆周角定理，可以解决一些几何计算题，例如计算角度或长度。
证明过程还可以通过其他方法，如利用相似三角形来证明。
定理的应用示例
应用示例1
证明两个圆周角相等。如果两个圆周角所对的弧相等，那么这两个圆周角相等，这是圆周角定理
的一个直接应用。
应用示例2
计算圆心角的大小。已知一个圆周角的大小，可以利用圆周角定理计算出它所对的圆心角的大小。
应用示例3

3.4圆心角与圆周角的关系(教案)

此外，我在课堂上也鼓励学生提问，但感觉学生们的提问积极性并不高。我需要思考如何创造一个更加开放和安全的课堂氛围，让学生们感到他们的疑问是被重视和欢迎的。
-对于圆心角与圆周角的定义混淆，可以通过具体的图形和例子进行对比讲解，强调两者的区别和联系；
-在解决实际问题时，教师应引导学生如何将问题转化为数学模型，如何选择合适的圆周角定理来解决问题，并通过多次练习，帮助学生熟练掌握这一技能。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“3.4圆心角与圆周角的关系”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算圆内角度的情况？”比如，在分割圆形披萨时，如何公平地分配每一份的角度。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索圆心角与圆周角的奥秘。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解圆心角与圆周角的概念及其度数关系，特别是同弧所对的圆心角是圆周角的两倍关系；
-学会运用圆周角定理解决具体问题，如计算圆周角或圆心角的度数；
-掌握等圆或同圆中相等的圆心角与圆周角的关系，并能应用于证明和计算；
-通过实际例题，让学生体会圆周角定理在几何图形中的应用。
举例：重点讲解同弧所对的圆心角与圆周角的度数关系，通过画图、测量、计算等活动，让学生直观感受并理解这一关系。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆心角与圆周角的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这两个概念的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

3.3_圆周角和圆心角的关系(2)

∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B.

C
老师期望: 你可要理解并掌握这个模型.
●
O
B
即
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系

演示
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
条件：圆周角与圆心角对同一条弧。结论：圆周角是圆心角的一半。

老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
思考与巩固
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
1 解: ∠A= ∠BOC=25°. 2
A B C
●
O
练习、在下列各图中， ∠α １＝ 150° ，∠α ２＝ 60°，
C 返回
D
B
总结：圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90度的圆周角所对的弦是直径。
推论3：圆内接四边形对角互补。对角互补的四边形内接于圆。
探究：直径或半圆所对的圆周角的度数 1、探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ 2、90°的圆周角所对的弦是否是直径？线段AB是⊙O的直径，点C是 ⊙O上任意一点（除点A、B），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？
3.3 圆周角和圆心角的关系

3.3圆周角和圆心角的关系(2)课件ppt

O
∠ABC 1∠AOC，
B
E
2
∠ADC

1
你能得出什么结论？
∠AOC,
D
2
∠AEC 1∠AOC. 2
同弧或等弧所对的圆周角相等
∴∠ABC=∠ADC=∠AEC
C
如图①，作一条直径,过直径的两个端点作一个圆周角.如图，判断∠ACB A 是锐角、直角，还是钝角？
如图②，作一个90 °的圆周角,连接两个端点，弦BC经过圆心吗？为什么？
（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，
船位于哪个区域？
（1）暗礁区域内（2）暗礁区域外
课本P115页
在如图所示的8个角中，哪些是相 A 1 等的角？你能从图中找出几对相似三 2
D
8 E
7 6
5C
角形吗？
34
∠1=∠4，∠2=∠7，△AEB∽△DEC B
∠3=∠6，∠5=∠8，△AED∽△BEC
定理的运用
1、常用于证明角相等或弧、弦相等； 2、常利用直径所对的圆周角是直角来 A 解决有关问题！
作业：课本P116页习题3.5 2 完成《作业本》相关内容
O E
D
C
B
第三章圆
§3.3 圆周角与圆心角的关系（2）
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
1
A
A
A
∠BAC= ∠BOC
2
B
•O
O•
•O
B
B
C
CC
如图，∠ABC，∠ADC和∠AEC有什么
共同特征？它们的大小有什么关系？ A
C
为什么？它们都是 ⌒ AC 所对的圆周角，它们

初中数学知识点精讲精析-圆周角和圆心角的关系

3·3圆周角和圆心角的关系要点精讲1.圆周角定义：圆周角(angle in a circular segment)：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．3．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．4.反证法：注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5.圆内角与圆外角：我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2)．定理：圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．典型例题1.已知：⊙O中，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．求证：∠ABC＝12 AOC．【解析】证明：∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∴∠AOC＝2∠ABO．即∠ABC＝12∠AOC．如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD，∴∠ABD＋∠CBD＝12(∠AOD＋∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD．∴∠ABD－∠CBD＝12(∠AOD－∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．2.如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．【解析】BD=CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．即AD⊥BC．又∵AC＝AB,∴BD＝CD．3．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．4．如下图，哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC＝∠BAC．5. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．【解析】∵AB为⊙O的直径．∴ACB=90°．又∵∠ABC=30°， ∴AC=21AB=21×10=5(cm)． 6．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．7.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A 、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角，船P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙O 外，P 有可能在⊙O 内，当∠α＞∠C 时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证．【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时，船位于暗礁区域内(即⊙O 内)，理由是：连结BE ，假设船在(⊙O 上，则有∠α=∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB ，即∠α＜∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 外．因此．船只能位于⊙O 内．(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O 外)．理由是：假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．8.如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB，∴AD=DB．在 Rt∠ADB中，9.已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G．求证：CF=FG．分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FCG=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．【解析】证明：连结AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠CAE．又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B，∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．10.如图，AB 是⊙O 的直径. ABCDO(1)若OD ∥AC ，与的大小有什么关系？为什么？(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC ∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立，延长DO 交⊙O 于点E ，连结AD . ∵=，=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图，⊙O 上三点A 、B 、C ，AB =AC ，∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ，BE 和CF 相交于点D ，四边形AFDE 是菱形吗？验证你的结论. AB CDEFO【解析】四边形AFDE 是菱形.证明：∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ，∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ，同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ，AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB 的长，再量中点到AB 的距离CD 的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，求出半径，与同伴交流.BDCDEO1 23CABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ，CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r －2)2+42. 得r=5(m).13.如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合)，求证：∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时，∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.BA CDOP【解析】(1)证明：连结OD, ∵AB 是直径，AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是：∠CP ′D+∠COB=180°.证明：∵∠CPD+∠CP ′D=180°，∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证：AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.AB CD OEGF【解析】(1)证明：连接CB ，∵AB 是直径，CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC. ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时，F 与G 重合, 有AG =AF ，∵CD ⊥AB ，∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时，证明类似①.。

第二讲圆周角和圆心角的关系

§3.3 圆周角和圆心角的关系§3.4 确定圆的条件【知识要点】（一）圆周角1. 定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角，叫圆周角。

如图，∠BAC注意圆周角与圆心角的区别。

2. 圆周角的性质：定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论：（1）在同一圆（或相等的圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧相等。

（2）直径（或半圆）所对的圆周角是直角；反之，90°的圆周角所对的弦是直径。

说明：（1）圆周角的性质定理和推论是圆中证明两角相等、两条线段相等、两条弦相等的重要依据，还能确定直径，在计算和作图中应用较广。

（2）若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论不成立，如果一条弦所对的圆周角有两种情况：相等或互补。

如图中，∠ACB＝∠ADB∠ACB＋∠AEB＝180°∠ADB＋∠AEB＝180°（二）圆的确定1. 过一点的圆有无数个。

2. 过两点的圆有无数个。

3. 过不在同一直线上的三点确定一个圆。

4. 三角形的外接圆和圆的内接三角形。

5. 三角形的外心是三边垂直平分线的交点。

它到三角形三个顶点的距离相等。

锐角三角形的外心在三角形内部。

直角三角形的外心是斜边中点。

钝角三角形的外心在三角形的外部。

【典型例题】例1.例2. 如图，已知在⊙O中，弦AB⊥CD，连结AD、BC，OE⊥BC于点E。

例3.且DG⊥AB于点G。

例4.例5. 变式题：如图（1），AB是半圆O的直径，过A、B两点作半圆O的弦，证明当两弦交点恰好在半圆O上C点时，则有AC·AC＋BC·BC＝AB2（AC2＋BC2＝AB2）一变：如图（2），若两弦交点在半圆O内，则AP·AC＋BP·BD＝AB2是否成立？请说明理由。

二变：如图（3），若两弦AC、BD的延长线交于点P，则AB2＝___________，参照一变填写相应结论，并证明。

圆心角和圆周角之间的关系(二)

圆心角和圆周角之间的关系（二）【知识要点】1．圆心角关系定理使用时需要注意些什么？2．同弦所对的圆周角存在怎样的数量关系？3．在处理圆中乘积式证明时一般思路是怎样的？4. 圆上点在不同弧上运动时，数量变化和位置变化是如何处理的？5. 在构造圆中角相等过程时，你有哪些技巧？【典型例题】# 例1 一条弦把圆周角分成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，求这条弦所对的圆周角的度数。

# 例2 已知：在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB。

垂足为D，过C点作一弦CF交⊙O于F 点，交AB于E点，求证：BC2=CF·CE# 例3 如图A、B、C三点都在⊙O上，AD是△ABC的高，⊙O的半径R=4cm，AD=6cm，试说明AB•AC的值是一个常数。

OB ACED# 例4 已知：如图所示，ABC∆是⊙O 的内接三角形，⊙O 的直径BD 交AC 于E ，AF ⊥BD于F ，延长AF 交BC 于G ．求证：BC BG AB ⋅=2例5 如图，△ABC 是等边三角形，⊙O 过点B ，C ，且与BA 、CA 的延长线分别交于点D 、E.弦DF ∥AC ，EF 的延长线交BC 的延长线于点G. （1）求证：△BEF 是等边三角形；（2）BA=4，CG=2，求BF 的长.* 例6 如图，⊙O 是锐角ABC∆的外接圆，H 是两条高的交点，BC OG ⊥于G ，求证：AH OG 21=.（补充证明：三角形的外心，重心，垂心在一条直线上---欧拉线）· A OBE DC GFA · OBD CG F 1E.O H ABCG* 例7 ．如图，已知⊙O 是ABC∆的外接圆，D 为劣弧BC 的中点，H 为劣弧AB 的中点，连结CH 交AB 于E ，连接AD 交CH 于G ，延长CH 到点M ，使MH=HG ，延长DA 到点K ，使AK=AG ，CA 的延长线MK 于点F ，求证：（1）MKG MGK ∠=∠；（2）ME=MF* 例8 如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的⊙O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB=BD ，且PC=0.6，求四边形ABCD 的周长．例9.已知：如图，E 是ABC ∆的内心，A ∠的平分线交BC 于点F ，且与ABC ∆的外接圆相交于点D 。

教育部参赛_3.3圆周角和圆心角的关系_佟庆新

电子白板辅助教学引导学生观察、思考、猜测和尝试，使学生深入理解数学知识。
2．观察图②，BC 是⊙O 的直径，它所对和圆周角是锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？观察图③，圆周角∠BAC=90°，弦 BC 经过圆心吗？为什么？ A B C B O 图③ A C
O 图②
由以上我们可得到：直径所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径。教师总结：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角-----直角；如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题。（一）例题讲解对本节知识 1．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。进行巩固练根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？习。为了进一步熟悉推论，安排三个例子。例子 1 只第三要通过观察环节：图形，学生就巩固可以得到答 A 应用 2．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 案。完成这个的弦，延长 BD 到 C，例子还可以使 AC=AB。BD 与 CD 的大小有什么关帮助正确理 O 系？为什么？解这个定理。分析：由于 AB 是⊙O 的直径，故例子 2 是 C B D 连接 AD。由直径一题推理论所对的圆周角是直角，可得 AD⊥BC，又因为△ABC 证题。通过论中，AC=AB，所以由等腰三角形的三线合一，证培养学生可证得 BD=CD。的探索精神和解决问题 3．船在航行过程中，船的能力长常常通过测定角度例子 3 这是来确定是否会遇到暗一个有实际礁。如图，A，B 表示背景的问题。灯塔，暗礁分布在经解决这一问过 A，B 两点的一个题不仅要用
教学环境
本节课的教学对象是初三学生,他们的参与意识较强,思维活跃,对研究有关圆的问题已掌握了一定的方法。媒体使用及分析（或交互式电子白板使用功能）

圆周角和圆心角的关系(第2课时)同步课件

核心知识点二：圆内接四边形及其性质
（1）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，
请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
A
解：∠BAD与∠BCD互补.
D
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，∠ADC=90°.
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，
B
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
O
C
探究新知
自主合作，探究新知
（2）若C点的位置产生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系
还成立吗？为什么？
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立.
D
A
如图8，连接OB，OD.
∵ ∠2=2∠BAD，∠1=2∠BCD，
C
1
O 2
（圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半），
∵∠1+∠2=360°，
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
E
∴∠ADC+∠CBA=180°（圆内接四边形的对角互补）.
∵∠EDC+∠ADC=180°，
D
∠EBF+∠ABE=180°，
∴∠EDC+∠EBF=180°.
C
O
∵∠EDC=∠F+∠A，∠EBF=∠E+∠A，
∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°.
∴∠A=40°.
A
B
F
圆内接四边形的对角互补.
D
D
A
A
C
O
O
B
C
B
几何语言：
∵四边形ABCD为圆内接四边形，

人教版数学九年级圆心角和圆周角关系定理的理解和解题运用

人教版数学九年级圆心角与圆周角关系定理的理解与解题运用一、知识解读1、圆周角与圆心角的关系：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。

在理解关系定理的内涵时，要理清如下几点：①定理的使用范围：必须在同圆中，这是一种情况；第二是必须在等圆中。

否则，不能乱用定理。

②理解好两种等量关系一是同弧所对的圆周角相等，二是等弧所对的圆周角相等。

这是寻找角相等的基本方向。

③确定准圆周角的度数大小一是同弧所对的圆周角相等，且等于这条弧所对圆心角的一半。

二是等弧所对的圆周角相等，且等于这条弧所对圆心角的一半。

④理解好“一半”的意义在这里，有两层意义：一是当同弧或等弧所对的圆周角与圆心角度数不知道时，满足如下等量关系：设所对的圆周角是∠1，所对的圆心角是∠2，则∠1=21∠2，或∠2=2∠1，二是当同弧或等弧所对的圆周角与圆心角度数知道时，满足如下等量关系：设所对的圆周角是∠1=x °，所对的圆心角是∠2=y °，则x=21 y °，或y=2 x °， 2、推论在同圆或等圆中，半圆所对的圆周角是直角；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

二、考点剖析考点1、直接用定理例1、如图1所示，⊙O 中，弦AB DC ，的延长线相交于点P ，如果120AOD ∠=o ，25BDC ∠=o ，那么P ∠= ．方法解读：∠AOD 、∠ABD 是同一条弧，AD 弧上的圆心角和圆周角，根据定理就能求∠ABD 的度数； ∠ABD 是三角形PBD 的一个外角，所以，∠ABD=∠BDC+∠P ；这样，就把所求与已知联系起来了。

解：因为，∠AOD 、∠ABD 是同一条弧，AD 弧上的圆心角和圆周角，所以，∠ABD=21∠AOD=21×120°=60°，因为，∠ABD 是三角形PBD 的一个外角，所以，∠ABD=∠BDC+∠P ，因为，∠BDC=25°，所以，∠P=60°-25°=35°。

3.4 圆周角和圆心角的关系(第2课时)

第三章圆
3.4 圆周角和圆心角的关系（第2课时）
课前复习
1.求图中角X的度数
C
D
120°
O
70°
.
.
x BC
O
X
A
X=
A
B
X=
35°
120°
定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半
2.求图中角X的度数
x 60°
∠ABF=20°，∠FDE=30°
B
C
x
D
30°
20°
A
X=
E
F
X=
60°
D
B ∴∠BCD+∠DCA=90°，∠ACD=15° ∴∠BCD=90°-15=75° ∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相等）
（直径所对的圆周角为直角）
知识技能
2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求 ∠BAD的度数。方法二： C
A D
解：连接OD ∵∠ACD=15° ∴∠AOD=2∠ACD =30°
解： ∵四边形ABCD是圆内接四边形 ∴∠A+∠C=180°（圆内角四边形的对角互补） ∵∠A:∠C=4:5 ∴ C 5 180
9
即∠C的度数为100°。
知识技能
1.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和 ∠C的度数。 D 解：∵∠BOD =80° ∴ DAB 1 BOD 40 A 2 C O
直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。 A A
B O C
B
O
C
几何语句： ∵BC为直径 ∴∠BAC=90°
几何语句： ∵∠BAC=90° ∴BC为直径
随堂练习

圆心角和圆周角的关系

重点难点易错点讲解圆周角的概念、圆周角定理及其推论在推理论证和计算中应用比较广泛，是本章的重点内容之一。

认识圆周角定理需分三种情况逐一证明的必要性是本节的难点。

圆周角有两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交，二者缺一不可。

这里所说的角的两边都与圆相交可理解为，除角的顶点外，角的各边与圆还另有一个公共点即交点。

圆周角定理的证明分三种情况进行讨论，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线。

这种由特殊到一般的思想方法，应当注意掌握。

其证明思路是：（1）将已知图形中各种可能位置进行分类（圆心在圆周角内部，外部，其中一边上）；（2）先证明特殊情况（即圆心在圆周角其中一边上）；（3）利用特殊位置的结论证明其它情况，即将其他情形转化为已证的特殊情形来证；（4）归纳总结出一般性结论。

这种方法叫归纳法，可以应用于解题之中。

本节常见的错误有：（1）一条弦所对的弧有两条，所对的圆周角有两个，做题时常常忽略一个；（2）对于需要我们自己完成的图形，某些特殊图形往往只画出一种情况，而忽略或根本不考虑其他情况。

【例1】已知⊙O 中的弦AB 长等于半径，求弦AB 所对的圆周角和圆心角的度数。

错解：如图3-3-4，∵AB=OA ，∴△OAB 为等边三角形。

∴∠AOB=60°．∴∠C=30°。

∴AB 所对的圆心角为60°，圆周角为30°。

正确解法：如图3-3-5，∵AB=OA=OB ，∴△AOB 为等边三角形。

∴∠AOB=60°。

∴∠C=30°；∴∠D=150°。

∴弦AB 所对的圆心角为60°，所对的圆周角为30°或150°。

错解分析：错解中忽略了弦与弧的差别，同弧所对的圆周角相等，同弦所对的圆周角相等或互补，本题漏掉一个。