a1,a2,a3是规范正交向量组,
-向量的内积与施密特正交化过程
2
，
， ……
r
r
(r , 1) (1, 1)
1
(r , 2 ) (2, 2)
2
( (r
r , r1) 1, r1)
r
1
(2). 单位化（规范化）：取
1
1 1
,2
2 2
,
,r
r r
,
1,2, ,r 是正交规范向量组，且
显然 1,2, ,r 仍与 1,2 , ,r
等价。上述过程称Schmidt（施密特）正交 化过程。（方法）
对于两非零向量
,
当
2
时，称两向量正交。这里显然等价于
(, ) 0 因此可利用内积定义两向量正交。
定义3 若 (, ) 0 称 , 正交，记 , 中只要有一个为零向量，必有 ( , ) 0
又零向量与任何向量看作是正交的，且
。
因此可利用内积定义两向量正交。
定义4 设向量组 1,2 , ,r
例3令
1
2
0
1 2
0
1
A
2
0
1 2
0
0
1
0
2
1
2
0
1
0
2
1 2
验证A为正交矩阵
解：因列向量组为两两正交
的单位向量，故为正交矩阵 。
定义6 设 X ,Y Rn则称线性变换
Y AX 是正交变换。
例4 证明线性变换
x cos x sin y
y
sin
x
cos
y
是正交变换。
解：线性变换的矩阵为
的内积定义为
( , ) T T a1b1 a2b2 anbn
并称定义了内积的向量空间为欧氏空间
第七章 向量空间的正交性
−
1 ⎟, e3 6⎟
⎜⎝
2 6
⎟⎠
=
1 | b3
| b3
=
⎜ ⎜ ⎜
2
−
3 2
3 1
3
⎟ ⎟ ⎟
，
⎜⎝ −
1 23
⎟⎠
那么 e1 , e2 , e3 为与 a1 , a 2 , a3 等价的标准正交向量组．
五、正交矩阵
定义 7.5 设 A 是 n 阶实矩阵，如果满足 AΤ A = AAΤ = I ，那么 A 称为正交矩阵．
定义 7.3
θ
=
arccos (a,b)
| a || b |
称为非零向量 a
与 b 间的夹角；如果θ
=
π
2
，那么 a 与 b
正交，规定零向量与任意向量正交．
例 1 设向量 a = (1,−1,2,1)Τ ,b = (− 3,0,−1,3)Τ ,c = (2,3,1,−1)Τ ，计算 (a,b), (a,c)及 a 与
从而有
( ) k j a j ,a j = 0 ．
186
但是
( ) a j ,a j =| a j |2 ≠ 0 ，
故
k j = 0 (j = 1,2,", m) ．
所以 a1 , a2 ,", am 线性无关．
证毕
在维数为 r 的向量空间V 中，如果 a1 , a2 ,", ar 是正交向量组，那么由定理 7.1 知，
⎜⎛ ⎜
0 0
⎟⎞ ⎟
为一个标准正交基．
⎜⎝ 0⎟⎠ ⎜⎝ 0⎟⎠ ⎜⎝1⎟⎠
四、施密特正交化过程
我们知道维数为 r 的向量空间V 中任意 r 个线性无关的向量 a1 ,a2 ,",ar 都可以作为 V 的一个基，这个基不一定是标准正交基．但是，可以找到的V 一个标准正交基 e1 ,e2 ,",er ， 使 向 量 组 e1 ,e2 ,",er 与 a1 ,a2 ,",ar 等 价 ． 这 个 过 程 称 为 把 基 a1 , a2 ,", ar 规范正交化．
向量组的线性相关性
线性无关.
从向量组中找尽量多的线性无关向量
22
例2
已知
1 0 2
a1 1,a2 2 ,a3 4 ,
1 5
7
试讨论向量组a1 , a2 , a3 及向量组a1 , a2 的线性 相关性 .
A
a21
a22
am1
am1
a1n
a2n
amn
按行分块
A
1 2
m
ｍ个ｎ维行向量.
按列分块
其第ｉ个行向量记作
A (1,2 ,...,n )
i ai1, ai2 , , ain
ｎ个ｍ维列向量.
a1 j
其第ｊ个列向量记作
j
a2 j
矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维
★ 一个向量a=0线性相关,而 0时线性无关
★ 两个向量线性相关
它们对应分量成比例
★ 如果向量组中有零向量,则向量组一定线性相关.
16
二、判别方法
1. 向量组1,2 ,...,s线性相(无)关 方程 x11 x22 ... xss 0(没)有非零解.
设i (ai1 , ai2 , ..., ain )T , 方程组
同时 R (a1 , a2 ) 2 , 故向量组 a1 , a2 线性无关 .
例3
已知向量组a1 , a2 , ...as (s 2)线性无关, 设b1 a1 a2 , b2 a2 a3 , ...,b s as a1 , 讨论b1 , b2 , ...,bs线性相关性.
规范正交向量组
规范正交向量组正交向量组是线性代数中的重要概念之一，它是指一个向量组中的任意两个向量的内积为0。
在实际应用中，正交向量组具有很多优势，比如可以简化计算、提高计算精度、优化算法等。
为了更好地理解和应用正交向量组，本文将介绍正交向量组的定义、性质，以及如何构造和判定正交向量组。
首先，我们来定义正交向量组。
设有n个非零向量v1, v2, ..., vn，如果这n个向量两两正交（即任意两个向量的内积为0），则称这n个向量为正交向量组。
同时，如果这n个向量都是非零向量，且彼此互不共线，则称这n个向量为规范正交向量组。
接下来，我们来看一些正交向量组的性质。
首先，如果一个向量组是正交向量组，则它的所有向量都是线性无关的。
这是因为如果存在一个向量可以由其他向量线性表示，则它和其他向量的内积也应该为0，这与正交向量组的定义相矛盾。
因此，正交向量组是线性无关的。
其次，一个向量组可以通过正交化处理来得到一个正交向量组。
正交化的方法有很多种，其中最常用的就是施密特正交化方法。
施密特正交化方法的基本思想是从第一个向量开始，每次将向量减去它在前面所有向量上的投影，得到一个新的向量，然后对新的向量进行归一化处理，使其成为单位向量。
按照这种方法可以得到一个规范正交向量组。
最后，我们来讨论如何判定一个向量组是否为正交向量组。
判定的方法非常简单，只需要计算向量组中任意两个向量的内积，如果所有内积都为0，则向量组是正交向量组。
需要注意的是，判定正交向量组时，要确保向量组中的向量都是非零向量，否则可能会出现内积为0的情况。
总结起来，正交向量组是指一个向量组中任意两个向量的内积为0的向量组。
规范正交向量组是指一个非零向量组中所有向量两两正交且彼此互不共线的向量组。
正交向量组具有很多优势，如简化计算、提高计算精度、优化算法等。
正交向量组的判定方法很简单，只需要计算向量组中任意两个向量的内积是否为0即可。
对于给定的向量组，可以通过正交化处理得到一个正交向量组。
标准正交向量组
标准正交向量组在线性代数中，向量是一个非常重要的概念，它在描述空间中的方向和大小上具有重要的作用。
而在向量的运算中，标准正交向量组更是一个非常重要的概念，它在解决线性方程组、矩阵运算、空间几何等问题中具有重要的应用价值。
本文将从标准正交向量组的定义、性质和应用等方面进行详细的介绍。
首先，我们来了解一下标准正交向量组的定义。
标准正交向量组是指一组向量中的任意两个向量的内积为0，并且每个向量的模长为1。
也就是说，对于一个标准正交向量组来说，任意两个向量之间都是垂直的，并且每个向量的长度都是1。
这样的向量组在描述空间中的方向时具有非常好的性质，可以方便地进行运算和分析。
接下来，我们来讨论一下标准正交向量组的性质。
首先，标准正交向量组是线性无关的。
这是因为如果存在一组系数使得标准正交向量组的线性组合为零向量，那么对这组系数取内积，就可以得到每个向量的模长的平方乘以系数的和等于0，由于每个向量的模长都是1，所以系数的和只能为0，即这组系数只能全为0，所以标准正交向量组是线性无关的。
其次，标准正交向量组可以方便地进行正交分解。
对于一个向量，我们可以利用标准正交向量组对其进行正交分解，这样可以方便地进行向量的运算和分析。
最后，标准正交向量组在解决线性方程组和矩阵运算中具有重要的应用价值。
在矩阵的特征值分解和奇异值分解中，我们经常需要用到标准正交向量组来进行分解和计算。
最后，我们来看一下标准正交向量组的应用。
在实际问题中，标准正交向量组可以方便地描述空间中的方向和大小，这对于解决空间几何问题非常有帮助。
在工程中，标准正交向量组也经常用于信号处理和图像处理中，可以方便地进行信号的分解和处理。
在数值计算中，标准正交向量组也具有重要的应用价值，可以方便地进行矩阵的分解和计算，提高计算效率和精度。
综上所述，标准正交向量组是线性代数中一个非常重要的概念，它具有很好的性质和重要的应用价值。
通过对标准正交向量组的深入理解和应用，可以方便地解决空间几何、线性方程组、矩阵运算等问题，提高计算效率和精度，具有非常重要的意义。
线性代数第五章习题答案
则 H 是正交阵. 综上得证 H 是对称的正交阵.
4 . 设 A 与 B 都是正交阵, 证明 AB 也是正交阵.
证明: 因为 A, B 是正交阵, 故 A−1 = AT , B −1 = B T .
(AB ) (AB ) = B T AT AB = B −1 A−1 AB = E .
T
故 AB 也是正交阵.
9 . 设 A 为正交阵, 且 |A| = −1, 证明 λ = −1 是 A 的特征值.
证明: 即需证明 λ = −1 满足特征方程 |A − λE | = 0, 即 |A + E | = 0. 因为
|A + E | = A + AT A = E + AT |A| = − AT + E = − (A + E )T = − |A + E | , (|A| = −1) (A 为正交阵)
(A2 − 3A + 2E )p = (λ2 − 3λ + 2)p.
又由 A2 − 3A + 2E = O , 代入上式得
(λ2 − 3λ + 2)p = 0.
而特征向量 p = 0, 所以
λ 2 − 3λ + 2 = 0 .
解得 λ = 1 或 2. 得证 A 的特征值只能取 1 或 2. 一个有缺陷的证明: 由 A2 − 3A + 2E = O , 得 (A − 2E )(A − E ) = O . 两边取行列式得
的全部特征值向量.
−1 0 1 1 0 0
0 1 −1
−1 1 0 0 0 2 0
0 , −1
得基础解系 p3 = 1 , 故 k3 p3 (k3 = 0) 是对应于 λ3 = 9 的全部特征值向量. 2 (3) 由 −λ |A − λE | = 0 1
线性代数-正交矩阵
的一个规范正交基. e1 , e2 ,, en是Rn的规范正交基
e
T i
e
j
0, 1,
i j; i j.
1 1 0 0
2
2
0
0
e1
1 2
,e2
1
2
, e3
1 2
,e4
Y Y TY X T AT AX X T X X
正交变换保持向量的长度不变.
本节小结 内积与正交变换 α,β αTβ
1. 正交向量组 [αi ,α j ] (αTi ,α j ) 0
线性无关(Th5.3)
2. 规范正交化 正交基
必可逆
3. 正交矩阵 三条性质
正交规范基 i eTi a [ei ,a] AT A E AT A1
(1,1,1)
(
1 2
, 1,
1) 2
则 β1,β2,β3为正交向量组. 然后再单位化得
e1
1
1
1 (
1 ,0, 2
1 ), e2 2
1 2
2 (
1, 3
1, 3
1
), 3
e3
1 3
3 (
1 , 6
2, 6
1 ). 6
那末，e1,e2,e3 就是所求的正交单位向量组.
附加定义设n维向量e1,e2, ,er是向量空间V(V Rn)的一个基，
内积的基本性质 [, ] a1b1 a2b2 anbn (1) [, ] [, ]
(2) [k, ] kk[a1,b1 ]k[a2,bk2] kanbn (3) [1 2, ] [1 , ] [ 2 , ]
线性代数 标准正交基1
T s s −1 T s −1 s −1
α sT β 2
例 求与 α1 = (1, 1, 0, 0), α2 = (1, 0, 1, 0), α 3 = ( −1, 0, 0, 1) α 4 = (1, − 1, − 1, 1)等价的 单位正交的向量组. 单位正交的向量组. 解 令 β 1 = α 1= ( 1, 1, 0,0 ) 1 β = (1, 0, 1, 0 ) − 1 (1, 1, 0, 0 ) = 1 , − 1 , 1, 0 β 2 = α 2− 1 2 2 2 2 1 −2 −1 1 1 β 3 = α 3 − β 1 − 3 β 2 = α 3 + β 1 + β 2 3 2 2
=0,则称 则称α α , β ∈ R n 如果 αTβ=0,则称α与β正交 定义2.20 定义2.20 设 α与β正交
α β =0
T
β =(b ,b2,b3) 1
θ
α =(a1,a2,a3)
在R3中，设 α =(a1,a2,a3)≠ o β = (b ,b2,b3)≠ o 1 的内积为 则α和β的内积为 α T β = a1b1 + a2b2 + a3b3= α β cosθ π α β αT β = 0 θ=
(2)
α j = 1,
j = 1, 2,..., n
则称 α1 ,α 2 ,...,α n 为Rn 的一个标准正交基. 的一个标准正交基. 如 ε 1 = ( 1, 0, ..., 0 ), ε 1 , ε 2 ,..., ε n 为Rn 的标准正交基. 的标准正交基. ε 2 = ( 0, 1, ..., 0 ),
2
o
定义2.21 如果R 中的非零 定义2.21 如果Rn中的非零向量组α1 ,α 2 ,...,α s ( s ≥ 2) 非零向量组 α iT α j = 0 ( i ≠ j; i , j = 1, 2,..., s ) 两两正交, 两两正交, 即 正交向量组. 则称向量组 α1 ,α 2 ,...,α s 为正交向量组. 注意： 正交向量组中， 每个向量 都不是零向量。 都不是零向量。 注意： 正交向量组中， 如果一个正交向量组中， 向量都是单位向量, 如果一个正交向量组中， 向量都是单位向量, 正交向量组中 每个向量都是单位向量 每个 正交单位向量组 单位向量组. 则该向量组称为 正交单位向量组.
求规范正交基的几种方法
求规范正交基的几种方法摘要：本文主要介绍四种求规范正交基的方法，除施密特正交化方法外，还总结了初等列变换法、初等变换法。
并提出了另外一种简便算法——线性相关法。
关键词：规范正交基矩阵初等变换线性相关规范正交基是n维欧式空间V中n个两两正交的非零单位向量组成的一个规范正交组。
V中的任意向量ξ都可以由V的一组规范正交基{a1,a2,…,an}唯一表示ξ=x11+x22+…+xnn,x1,x2,…,xn是ξ关于基{a1，a2，…，an}的坐标，由于{a1，a2，…，an}是规范正交基，在欧式空间中的许多性质都可以转化为坐标来表示。
可见规范正交基的引入大大简化了欧式空间中许多性质的探索，所以，规范正交基的求法是非常值得探索的。
下面，来讨论规范正交基的多种求法。
一、施密特正交化方法设{a1，a2，…，an}是欧式空间V的一组线性无关的向量，那么可以求出V的一个正交组{β1,β2，…,βm}，使得βk可以由a1，a2，…，ak线性表示，k=1,2,…,m。
先取β1=a1，那么β1是a1的线性组合且β1≠0，其次取β2=a2+aβ1，使得β2=a2+aβ1与β1正交。
由0=（a2+aβ1，β1）=（a2，β1）+a（β1，β2）及β1≠0得a=-，我们取β2=a2-β1，那么（β1，β2）=0，又因为a1，a2线性无关，所以对任意实数a，a2+aβ1=a2+aa1≠0，因而β2≠0于是我们便得到了β2的表示方法。
再取β3=a3+aβ2+bβ1，使得β3分别与β2，β1正交。
由0=（β3，β1）=（a3+aβ2+bβ1，β1)=(a3，β1)+a（β2，β1）+b（β1，β1），∵（β2，β1）=0，∴b=-，同理可得a=-，我们取β3=a3-β2－β1，即可满足（β1，β3）=（β2，β3）=0，又因为a3，β2，β1线性无关，所以可得β3≠0，于是我们便得出了β3的表示方法。
假设1<k≤m，而满足要求的β1，β2，…，βk-1都已作出，取βk=ak-β1-…-βk-1，由于假定了β1是a1，a2，…，ai的线性组合，i=1，2，…，k-1，所以把这些组合代入上式，就得到βk=a1a1+a2a2+…ak-1ak-1+ak，所以βk是a1，a2，…，ak的线性组合。
线性代数第五章
的特征值，
2 1
为对应于l
=
1
的特征向量.
一、基本概念
3、向量空间与基
向量空间的定义 :设V为n维向量的集合, 且V非空, 若集合V对 于向量的加法和数乘封闭： a, b V , k R,有
a b V , ka V , 则称集合V为向量空间. 向量空间中的一个最大无关组称为该向量空间的一个基. 如：
Rn : n 维实向量空间.
Rn中任意n个线性无关的向量组均可作为 Rn 的一组基.
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
可求得向量在标准正交基下的坐标. 因此，在给向量空间取 基时常常取标准正交基.
问题： 向量空间 V 中的一个基 a1, a2, …, ar
向量空间 V 中的一个标准正交基 e1, e2, …, er
4、求标准正交基的方法 基 正交基 标准正交基
第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程
, ,
ar b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
ar b2
] ]
b2
[br1 , ar ] [br1 , br1 ]
br
1
于是 b1, b2, …, br 两两正交，并且与a1, a2, …, ar 等价，即
线性代数 20年 西交大考试题库及答案
正确 正确 正确 错误 正确 正确 正确
错误 正确 正确 正确 错误 错误 正确
错误 正确 正确 正确 正确
（）
47、设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵
有一个特征值等于（）
48、设某三阶行列式|A|的第二行元素分别为-1,2,3，对应的余子式分别为-3，-2,1，则此行列式 |A|的值为（）
49、设是对称矩阵
，则与矩阵A相似的对角阵为（）。
50、设A为m*n矩阵，则齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是：（）
A、 B、-3 D、0 B、bde-bcf A、（x+3a）（x-a）² A、5 B、
A、 A、k≤3 C、 B、 D、 A、A与B相似 A、1
C、A1，A2都可逆 A、 B、a1.a2。a3.a4.a5一定线性相关 A、Ax=0有无穷多解 D、X1-X2，X2-X3，X3-X1 B、可逆矩阵 C、
51、下面结论正确的是（）
52、
（）
53、设A为三阶方阵且
()
54、设多项式
，则f（x）的常数项为（）
55、
（）
判断
56、已知矩阵A3*2 B2*3 C3*3,则A.B为3*3矩阵 57、已知A为3*3矩阵，且|A|=3，则|2A|=24 58、向量 59、如果向量组a1，a2....as线性相关，则每一个向量都能由其余向量线性表示。 60、若矩阵A可逆，则AB与BA相似。 61、向量组a1，a2....as线性无关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性无关。 62、阵A与其转置 具有相同的行列式和特征值。
63、设A为n阶方阵，k为常数，则
64、若n阶矩阵A、B、C满足ABC=E（其中E为n阶可逆阵），则BCA=E(）
规范正交向量组
规范正交向量组正交向量组是线性代数中的重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍正交向量组的概念、性质、判定方法以及一些相关的定理和应用。
正交向量组的概念：正交向量组是指向量组中的任意两个向量都是正交的（即内积为0），且每个向量都不为零向量。
如果一个向量组中的所有向量都两两正交，则称为正交向量组。
正交向量组的性质：1. 正交向量组中的向量线性无关。
2. 正交向量组中的向量的模长相等时，称为标准正交向量组。
3. 标准正交向量组是正交向量组的一种特殊情况。
判断正交向量组的方法：1. 检查向量组中任意两个向量的内积是否为0。
2. 检查向量组中的每个向量是否非零向量。
正交向量组的推论：1. 一个非零向量组是正交向量组的充分必要条件是它是线性无关的。
2. 若向量组V={v1,v2,…,vn}是标准正交向量组，则V是线性无关的。
正交向量组的定理和应用：1. 施密特正交化定理：对于任意一个线性无关的向量组，可以通过施密特正交化得到一个标准正交向量组。
2. 正交矩阵：如果一个方阵的行向量（或列向量）构成的向量组是正交向量组，则该方阵称为正交矩阵。
3. 最小二乘法：在线性回归分析中，最小二乘法是用来估计回归系数的方法，它的基本思想是求解一个正交向量组的线性组合，使得该线性组合与实际观测值之间的残差平方和最小。
正交向量组在许多领域中有着广泛的应用，例如：1. 物理学中，正交向量组用于描述力的方向和力的分解。
2. 信号处理中，正交向量组用于信号的分解和压缩。
3. 图像处理中，正交向量组用于图像的变换和编码。
4. 数学中，正交向量组用于向量空间的基和坐标。
总结起来，正交向量组是一种重要的向量组形式，具有许多有用的性质和应用。
理解和掌握正交向量组的概念、性质、判定方法以及相关的定理和应用对于学习线性代数和应用数学具有重要意义。
《高等代数》：学习笔记
《高等代数(上)》：学习笔记这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。
有些笔误也修正差不多了。
课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。
第一章 行列式§1.1 定义D =|2314|=2×4−3×1=5 A =[2314]≡(2314) 这是行列式（或写为|D|）这是矩阵，注意区别{a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3=b 1a 21x 1+a 22x 2+a 23x 3=b 2a 31x 1+a 32x 2+a 33x 3=b 3这是三元线性方程组=|a 11a 12a 13a 22a 23a 32a 33|=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32−a 11a 23a 32−a 12a 21a 33−a 13a 22a 31§1.2 逆序数τ§1.3 n 阶行列式的代数和D =|a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯a n1a n2⋯|=j 1,j 2,⋯,j n )1,j a 1j 1a 2j 2⋯a nj n§1.4 行列式性质1、行列式转置值不变： D T =D2、k 可以乘上某行(列)： kD row i3、加法：某行之和 展开为两行列式之和： D row(a+b)=D row(a)+D row(b)4、互换两行(列)：负号 D row i ↔row k =−D5、两行相同(成比例)：零值 D row i =k×row k =06、某行乘以k 加到另一行：值不变D k×row i +row k =D右下斜线为正 左下斜线为负代数和n 阶排列，有n!个逆序数 偶排列，正号 奇排列，负号阶排列§1.5 代数余子式=ij|D|=a k1A k1+a k2A k2+⋯+a kn A kn (k =1,2,⋯,n )即展开第k 行(列)§1.6 范德蒙行列式|D|=|111⋯1a 1a 2a 3⋯a n a 12a 22a 32⋯a n 2⋯⋯a 1n−1a 2n−1a 3n−1|=∏(a i −1≤j<i≤na j )第二章 线性方程组§2.1 克莱姆法则D 1=|b 1a 12a 13b 2a 22a 23b 3a 32a 33| D 2、D 3 类似左边 解集：x i =D i D(D ≠0) 当D ≠0时，方程组有唯一解：x 1=D 1D,x 2=D 2D,x 3=D 3D.(D ≠0)§2.2 消元法初等变换：反复对方程进行row 变换，最后剩下一个上三角矩阵。
线性代数第二章习题部分答案
线性代数第二章习题部分答案第二章向量组的线性相关性§2-1 §2-2 n维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题1. 设3 α1?α +2 α2+α =5 α3+α , 其中α1=(2,5,1,3)T,α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,?1,1)T, 则α= (1,2,3,4)T . 2. 设α1=(1,1,1)T, α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T,则线性组合α1?3α2+α3= (?5,0,2)T .3. 设矩阵A= 5 ，设βi为矩阵A的第i个列向量，则2β1+β2?β3= (?2,8,?2)T .二、试确定下列向量组的线性相关性1. α1=(2,1,0)T, α2=(1,2,1)T, α3=(1,1,1)T解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0?3k2?k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0，线性无关。
2. α1=(1,?1,2)T, α2=(0,0,0)T, α3=(1,4,3)T线性相关三、设有向量组α1=(1,1,0)T, α2=(1,3,?1)T, α3=(5,?3,t)T，问t 取何值时该向量组线性相关。
解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 110 +k2 13?1 +k3 5?3t =0即 k1+k2+5k3=0k1+3k2?3k3=0?k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k2?4k3=0?k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k1+3k2?3k3=0(t?4)k3=0所以，t=4, 线性相关; t≠4, 线性无关四、设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。
解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=?k1a1?k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k2≠0，于是，b=?k1k1+k2a1?k2k1+k2a2.五、已知向量组α1,α2,?,α2n，令β1=α1+α2,β2=α2+α3,?,β2n=α2n+α1，求证向量组β1,β2,?,β2n线性相关。
证明向量组a1a2a3线性相关的充要条件
证明向量组a1a2a3线性相关的充要条件向量组a1a2a3线性相关即指a1，a2，a3是张成直线的，其满足如下的充要条件：1. 线性组合。
a1，a2，a3可用常数α1, α2, α3表示，称α1a1+α2a2+α3a3为a1，a2，a3的线性组合。
2. 非零系数。
要使向量组a1，a2，a3张成直线，α1, α2, α3其中至少有一个不为0。
3. 等式成立。
α1a1+α2a2+α3a3=0。
4. a1, a2, a3均不能为零向量。
若现有向量a1，a2，a3，要判断它们是否线性相关，首先要检验以上4个条件中的前三条，满足则可以令α1a1+α2a2+α3a3=0：1. 首先，检测a1，a2，a3的线性组合。
当α1=1，α2=2，α3=3时，可以令α1a1+α2a2+α3a3=7a1+14a2+21a3=0。
所以，a1，a2，a3的线性组合是存在的。
2. 检验α1, α2, α3其中至少有一个不为0，α1，α2，α3均不为0，所以此条件也满足。
3. 检查等式成立。
α1a1+α2a2+α3a3=7a1+14a2+21a3=0，说明此条件也成立。
4. 最后，检测a1，a2，a3均不能为零向量，其中a1=(3,1),a2=(5,2),a3=(7,3)。
此三向量显然均不为零向量，所以最后一个条件也满足了。
综上所述，经过检测，现有的向量a1，a2，a3满足向量组a1a2a3线性相关的充要条件，他们张成了一条直线。
回顾一下我们判断a1，a2，a3线性相关的充要条件，有4个条件：线性组合，非零系数，等式成立，向量均不能为零向量，当考虑到这4个条件时，就可以验证向量组a1a2a3的线性相关性，并作出正确的判断。
综上所述，尽管向量a1，a2，a3线性相关的定义比较抽象，但只要我们能正确理解和掌握其中的4个充要条件，就可以很容易地验证向量组a1a2a3的线性相关性，从而为我们求解数学问题提供有效的依据。
向量组a1a2a3线性相关
向量组a1a2a3线性相关
线性相关是指两个或多个变量之间存在着一种线性正比的关系，即其中任何一个变量的变化引起其他变量的变化。
本文讨论的线性相关是指数学向量组a1a2a3之间的线性相关。
首先，在欧几里得空间中，a1a2a3为向量组，使得两个向量组成线性组合：
a1=α1a1+α2a2+α3a3，其中αi（i=1,2,3）为常数因子。
由线性可分性可知，a1a2a3线性相关当且仅当α1≠0且α2≠0且α3≠0时成立。
其次，当a1a2a3之间存在线性相关性时，则a1a2a3是线性相关的，即当a1改变时，
a2a3也会发生变化。
例如，假设有三个变量X1,X2和X3，通过一个线性方程表示如下：X1=α1X1+α2X2+α3X3，当α1不等于0时，X1X2X3之间将存在线性相关，即X1的变化引起X2和X3的变化。
最后，经验证明，当且仅当a1a2a3线性无关时，它们之间没有固定的关系，可以任意变化。
例如，法拉的理论：X1=c1（常数）。
此时X1X2X3之间存在线性无关性，即X1的变化不会引起X2和X3的变化。
总而言之，a1a2a3线性相关的充要条件是相关因子α1、α2和α3都不为0，但当它们存在线性无关性时，它们之间没有固定的关系，可以任意变化。
因此，我们可以深入研究
a1a2a3之间线性相关性，以进行更多有效的研究与应用。
2017年考研数学一真题及答案解析
因此 E ( X ) = 2 .
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演 ．．． 算步骤.
（15） （本题满分 10 分） 设函数 f (u, v) 具有 2 阶连续偏导数， y = f (e x ,cos x) ，求
dy dx
d2y 2 x = 0 ， dx
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由于找不正确的结论，故 B 符合题意。
二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 指定位置上. ．．．
(9) 已知函数 f ( x) = 【答案】 【解析】
1 ，则 f (3) (0) =__________ 2 1+ x
结论：
dy dx
= f1' (1,1)
x =0 '' = f11 (1,1) + f1' (1,1) - f 2' (1,1) x =0
d2y dx 2
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（16） （本题满分 10 分）求 lim
n ®¥
ån
k =1
x =0
= f1' (1,1) ×1 + f 2' (1,1) × 0 = f1' (1,1)
d y '' 2 x '' x '' x '' = f11 e + f12 e (- sin x) + f 21 e (- sin x) + f 22 sin 2 x + f1'e x - f 2' cos x 2 dx d2y '' Þ 2 = f11 (1,1) + f1' (1,1) - f 2' (1,1) dx x =0
线性代数与解析几何 课后答案 (代万基 廉庆荣)第7章习题答案
2k 2k 4 0, k 1. ，
经验证可知，当 k 1 时， a1 与 a 3 、 a 2 与 a 3 均正交。 由 A 的第一列的长度等于 1 可得
m2 (2m)2 ( 2m)2 1
x1 2 x3 0 x2 2 x3 0
求得一个解为 x1 2, x2 2, x3 1.
v 2a1 2a2 a3 1, 4, 8 ，
T
1 v 1 4 . 在这两个基下有相同坐标的单位向量为 v 9 8
化简后的方程组为
x1 x2 2 x4 0 x1 x2 2 x4 ，即 ， 2 x2 x3 3x4 0 x3 2 x2 3x4
1 2 1 0 令 x2 k1 , x4 k2 , 得 x k1 k2 ，这就是与向量 a1 , a 2 , a 3 都正交的所有向 2 3 0 1
n
, an 是 V 的基，由 V R n , an 线
n 因而 R 的每个向量都可由 a1 , a2 , , an 也是 R n 的基，
n
性表示， R V ，故 V R .
n
11.解：设 v 是在基 a1 , a2 , a3 和 b1 , b2 , b3 下有相同坐标的向量，并设坐标为 x1 , x2 , x3 ， 则 v x1a1 x2a2 x3a3 x1b1 x2b2 x3b3 ，即
T T
所以 V2 是向量空间。 (3) 是。
1 1 证： 1, , V3 ,V3 非空。 2 3
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篇一：第三讲向量组
第三讲向量组
--------------------------------------------------- 向量作为工具可以描述空间中的点、矩阵中的行或列、线性方程组中的方程等等。
研究向量的线性运算[加法与数乘]、向量组线性相关性、向量组的秩[矩阵秩]与最大无关组、等价向量组等概念可以解决线性方程组的理论。
向量组是线性代数的重难点之一，概念多，内容抽象，推理逻辑性强，描述要求准确，与矩阵、方程组相互交织，可以相互转换。
例如，向量组秩、最大无关组是线性方程组解的判定、结构定理的理论基础；向量组的秩和相应矩阵秩一致，是向量组与矩阵结合点，反映了向量组和矩阵的本质。
向量组主要分三大部分：
■线性表示与线性相关性：向量的线性组合和线性表示；
向量组的线性表示与等价向量组；向量组的线性相关性；
■向量组的秩：向量组的最大无关组与秩的概念、性质及求法，向量组秩与矩阵秩关系；秩与线性相关性的关系；
■向量空间：向量空间及其基、维数；向量在基下的坐标；两基间的过渡矩阵；基的规范正交化：
正交阵及其性质。
教材:第四,第五章第1节。
-----------------------------------------------------------------------------------------
一、主要内容
1、向量及其线性运算
----概念
------------------------------------------
（1）n个数组成的有序数组称为n维向量；写成一行的称为行向量，写成一列的称为列向量；若干个同维行（列）向量的集合称为向量组；
（2）设有向量a(a1,a2,,an),b(b1,b2,,bn),实数kR，则下列运算
ka(ka1,ka2,,kan)，ab(a1b1,a2b2,,anbn)，
称为向量的线性运算；
（3）设有向量组a1,a2,,an和向量b，若存在常数
k1,k2,,kn，使得有
bk1a1k2a2knan，
则称向量b是向量组a1,a2,,an的线性组合[向量b可以由向量组a1,a2,,an的线性表
示]；
（4）设有两个同维向量组a:a1,a2,,an，b:b1,b2,,bm，
①若a中每个向量均可由向量组b线性表示，则称为向量组a可由向量组b线性表示；
②若向量组a与向量组b可相互线性表示，则称向量组a与向量组b为等价向量组。
注意:等价矩阵[初等变换],等价向量组[线性表示],等价方程组[同解].
----转化---------------------------------
（1）向量组与矩阵：m×n矩阵a与其行（列）向量组一一对应：12。
a(a,a,,an)12m
（2）线性表示与线性方程组：
列向量b可由矩阵a的列向量组a1,a2,,an线性表示
x1bxaxaxa(a,a,,a)x2axnnn112212xn
axb有解r(a)r(a|b)。
注意：行向量一般转化为列向量来处理，即所谓的“列摆行变换”。
（3）矩阵amn(a1,a2,,an)的列向量组可由矩阵
bms(b1,b2,,bs)的列向量组线性表示存在数字矩阵xsn，使
有abx；
矩阵amn112的行向量组可由矩阵的行向量组线性表示存在数字矩b2snms
阵xms，使有axb。
[以书写二阶为例，规律记为“左行右列”。
]
-----------------------------------------------------------------------------------------
2、向量组的线性相关性、最大无关组、秩
----概念-------------------------------------- （1）设有向量组a1,a2,an，如果存在一组不全为零的数x1,x2,xn，使
x1a1x2a2xnan0，
则称a1,a2,an线性相关；否则，称之为线性无关；
（2）如果在向量组a中能选出r个向量a1,a2,,ar满足：
（ⅰ）a1,a2,,ar线性无关；
a1,a2,,ar线性表示]，则称a1,a2,,ar为向量组a的一个最大无关组；a的最大无（ⅱ）a中任意r1个向量（如果有的话）均线性相关[a中任意向量均可由
关组所含向量的个数称为向量组a的秩，记为r(a)。
----转化----------------------------------
（1）设amn(a1,a2,,an),x(x1,x2,,xn)t，则
列向量a1,a2,an线性相关[无关]ax0有非零解[只有零
解]r(a)n[r(a)n]；
注意：向量组线性相关性、线性齐次方程组、矩阵秩的转换。
由此可知：当向量个数大于向量维数时，向量组必线性相关。
当未知量个数大于方程个数时，线性齐次方程必有非零解。
---------------------------------------------------
4、线性无关向量组的正交化
----概念
------------------------------------------- （1）设有n维列向量xx1,x2,,xntt,yy1,y2,,yn，则称数
tnx为向量与y的内积。
内积具有下列性质：(x,y)xyxiyi i1
ⅰ
、对称性：(x,y)(y,x)；
ⅱ、线性性：(axby,z)a(x,z)b(y,z)；
ⅲ、非负性：(x,x)0,(x,x)0x0。
ttn2（2）对n维列向量xx1,x2,,xn，称非负数|x|xxxi
为向
量x的模。
模为1的向量称为单位向量；模为0的向量称为零向量。
i1
0对非零向量x，单位化得单位向量x
（3）①a与b正交(a,b)0；1。
x②两两正交的非零向量组称为正交向量组，即
m0,{ai}i1为正交向量组(ai,aj)0,
注意：正交向量组是线性无关向量组，反之不然。
③两两正交的单位向量组称为标准正交向量组，即
ij;ij.
m0,ij;{ai}i1为规范正交向量组(ai,aj)1,ij.
④以正交向量组作为空间的基称为正交基；以规范正交向量组作为空间的基称为标准正交基。
r注意：向量b由基a1,a2,ar线性表示为：bxaii；
i1
r(a,b)由正交基a1,a2,ar线性表示为：bi；
i1iir由标准正交基a1,a2,ar线性表示为：b(ai,b)ai。
i1
可见，向量在标准正交基下的坐标不需要解方程组，只需计算内积就可求得。
（4）方阵a为正交阵
naatataea1ata的行[列]向量组均为n维向量空间R的标准正交基aij
矩阵的线性变换称为正交变换。
正交阵具有下列性质：
ⅰ、a为正交阵aij(i,j1,2,,n)。
以正交阵为线性变换a1,at,a*均为正交阵ata*；
ⅱ、a为正交阵|a|=1；
ⅲ、正交阵的积为正交阵。
----方法------------------------------------施密特正交化设a1,a2,ar为线性无关向量组[基]，则可采用下列方法进行规范正交化：
ⅰ、正交化：取b1a1；(b,a)b2a2b1；
(b1,b1)(b,a)(b2,a3)13b3a3b1b2；(b1,b1)(b2,b2) ；(b,a(b,ar)(b,ar)r)brarb1b2br1，
(b1,b1)(b2,b2)(br1,br1)
rr则{bi}i1为两两正交向量组[正交基]，且{bi}i1与{ai}ir1等价；bⅱ、单位化：取ei(i1,2,,r)，则{ei}ir1为规范正交向量组[规范正交|bi|
rr基]，且{ei}i与1{ai}i1等价。
---------------------------------------------------
二、常考知识点
1、线性表示、线性非齐次方程组、矩阵秩的转换[大题常考知识点]
列向量b可由矩阵a的列向量组a1,a2,,an（唯一/不唯一）线性表示axb
有（唯一/无穷多）解r(a)r(a|b)(n/n)；
列向量b不可由矩阵a的列向量组a1,a2,,an线性表示axb无解r(a)r(a|b)。
由此,可得判定两矩阵列(行)向量组线性表示:
a的列向量组可由b的列向量组线性表示bxa有解
r(b)r(b|a)；
bxa无解a的列向量组不可由b的列向量组线性表示
r(b)r(b|；a)
a与b的列向量组等价bxa,axb均有解r(a)r(a|b)。
rb 注意：行向量一般转化为列向量来处理，即所谓的“列摆行变换”。
2、向量组线性相关性、线性齐次方程组、矩阵秩的转换
设amn
列向量(a1,a2,,an),x(x1,x2,,xn)t，则a1,a2,,an线性相关[无关]ax0有非零解[只有零解]r(a)n[r(a)n]a列满秩[非列满秩]。