a1,a2,a3是规范正交向量组,

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篇一：第三讲向量组

第三讲向量组

--------------------------------------------------- 向量作为工具可以描述空间中的点、矩阵中的行或列、线性方程组中的方程等等。研究向量的线性运算[加法与数乘]、向量组线性相关性、向量组的秩[矩阵秩]与最大无关组、等价向量组等概念可以解决线性方程组的理论。

向量组是线性代数的重难点之一，概念多，内容抽象，推理逻辑性强，描述要求准确，与矩阵、方程组相互交织，可以相互转换。例如，向量组秩、最大无关组是线性方程组解的判定、结构定理的理论基础；向量组的秩和相应矩阵秩一致，是向量组与矩阵结合点，反映了向量组和矩阵的本质。

向量组主要分三大部分：

■线性表示与线性相关性：向量的线性组合和线性表示；

向量组的线性表示与等价向量组；向量组的线性相关性；

■向量组的秩：向量组的最大无关组与秩的概念、性质及求法，向量组秩与矩阵秩关系；秩与线性相关性的关系；

■向量空间：向量空间及其基、维数；向量在基下的坐标；两基间的过渡矩阵；基的规范正交化：

正交阵及其性质。

教材:第四,第五章第1节。

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一、主要内容

1、向量及其线性运算

----概念

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（1）n个数组成的有序数组称为n维向量；写成一行的称为行向量，写成一列的称为列向量；若干个同维行（列）向量的集合称为向量组；

（2）设有向量a(a1,a2,,an),b(b1,b2,,bn),实数kR，则下列运算

ka(ka1,ka2,,kan)，ab(a1b1,a2b2,,anbn)，

称为向量的线性运算；

（3）设有向量组a1,a2,,an和向量b，若存在常数

k1,k2,,kn，使得有

bk1a1k2a2knan，

则称向量b是向量组a1,a2,,an的线性组合[向量b可以由向量组a1,a2,,an的线性表

示]；

（4）设有两个同维向量组a:a1,a2,,an，b:b1,b2,,bm，

①若a中每个向量均可由向量组b线性表示，则称为向量组a可由向量组b线性表示；

②若向量组a与向量组b可相互线性表示，则称向量组a与向量组b为等价向量组。注意:等价矩阵[初等变换],等价向量组[线性表示],等价方程组[同解].

----转化---------------------------------

（1）向量组与矩阵：m×n矩阵a与其行（列）向量组一一对应：12。a(a,a,,an)12m

（2）线性表示与线性方程组：

列向量b可由矩阵a的列向量组a1,a2,,an线性表示

x1bxaxaxa(a,a,,a)x2axnnn112212xn

axb有解r(a)r(a|b)。

注意：行向量一般转化为列向量来处理，即所谓的“列摆行变换”。

（3）矩阵amn(a1,a2,,an)的列向量组可由矩阵

bms(b1,b2,,bs)的列向量组线性表示存在数字矩阵xsn，使

有abx；

矩阵amn112的行向量组可由矩阵的行向量组线性表示存在数字矩b2snms

阵xms，使有axb。[以书写二阶为例，规律记为“左行右列”。]

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2、向量组的线性相关性、最大无关组、秩

----概念-------------------------------------- （1）设有向量组a1,a2,an，如果存在一组不全为零的数x1,x2,xn，使

x1a1x2a2xnan0，

则称a1,a2,an线性相关；否则，称之为线性无关；

（2）如果在向量组a中能选出r个向量a1,a2,,ar满足：

（ⅰ）a1,a2,,ar线性无关；

a1,a2,,ar线性表示]，则称a1,a2,,ar为向量组a的一个最大无关组；a的最大无（ⅱ）a中任意r1个向量（如果有的话）均线性相关[a中任意向量均可由

关组所含向量的个数称为向量组a的秩，记为r(a)。

----转化----------------------------------

（1）设amn(a1,a2,,an),x(x1,x2,,xn)t，则

列向量a1,a2,an线性相关[无关]ax0有非零解[只有零

解]r(a)n[r(a)n]；

注意：向量组线性相关性、线性齐次方程组、矩阵秩的转换。

由此可知：当向量个数大于向量维数时，向量组必线性相关。当未知量个数大于方程个数时，线性齐次方程必有非零解。

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4、线性无关向量组的正交化

----概念

------------------------------------------- （1）设有n维列向量xx1,x2,,xntt,yy1,y2,,yn，则称数

tnx为向量与y的内积。内积具有下列性质：(x,y)xyxiyi i1

ⅰ

、对称性：(x,y)(y,x)；

ⅱ、线性性：(axby,z)a(x,z)b(y,z)；

ⅲ、非负性：(x,x)0,(x,x)0x0。

ttn2（2）对n维列向量xx1,x2,,xn，称非负数|x|xxxi