新课程2021高考数学一轮复习第二章第10讲导数的概念及运算课件

数 系用语言表达就是“y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导 导 数与 u 对 x 的导数的乘积” 数
1．概念辨析 (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( × ) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (3)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线与过点 P(x0，y0)的切线相同．( × ) (4)函数 f(x)＝sinπ 的导数 f′(x)＝cosπ.( × )
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测 2021 年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定 义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行 考查，试题难度属中低档.
1
PART ONE
基础知识过关
1．变化率与导数 (1)平均变化率
2．求下列函数的导数： (1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；
解 (1)因为 y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1， 所以 y′＝18x2＋4x－3.
(2)y＝x－sin2xcos2x；
解 (2)因为 y＝x－sin2xcos2x，所以 y＝x－12sin4x， 所以 y′＝1－12cos4x×4＝1－2cos4x.
题型二 导数的几何意义
角度 1 求切线方程
1.过点(1，－2)且与 y＝x3－3x 相切的直线方程为( )
A.y＝－2 或 9x＋4y－1＝0
B.y＝－2
C.9x＋4y＋1＝0
D.y＝0 或 9x＋4y＋1＝0
答案 A
解析 y′＝3x2－3，设切点坐标为(x0，x03－3x0)，此时在切点处的斜率 为 y′|x＝x0＝3x02－3，所以切线方程为 y－(x03－3x0)＝(3x20－3)(x－x0)，将点(1， －2)代入切线方程，整理得 2x30－3x02＋1＝0，即(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得 x0 ＝1 或 x0＝－12，分别代入切线方程可得 y＝－2 或 9x＋4y－1＝0.
处的切线方程为 x＋y＝0，则点 P 的坐标为( )
A.(0,0)
B．(1，－1)
C.(－1,1) D．(1，－1)或(－1,1)
答案 D
解析 f′(x)＝(x3＋ax2)′＝3x2＋2ax，由题意得 f′(x0)＝－1，x0＋f(x0) ＝0，
所以3x0x＋20＋x302＋axa0x＝20＝－01，，
—
法则
四
[f(x)·g(x)]′＝
乘法
[cf(x)]′＝cf ′(x)
则
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
运
算 法
除法
gfxx′＝ f ′xgx－g′xfx
g1x′＝－gg′2xx
g2x 则
复
合 复合函数 y＝f[g(x)]的导数与函数 y＝f(u)，u＝g(x)
□ 函 的导数之间具有关系 y′x＝ 09 yu·u′x ，这个关
求切线方程问题的两种类型及方法 (1)求“在”曲线 y＝f(x)上一点 P(x0，y0)处的切线方程：点 P(x0，y0)为 切点，切线斜率为 k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为 y－y0 ＝f′(x0)(x－x0)．如举例说明 2. (2)求“过”曲线 y＝f(x)上一点 P(x0，y0)的切线方程：切线经过点 P， 点 P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．如举例说明 1， 解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：
□ 概念 对于函数 y＝f(x)，
01
fx2－fx1 x2－x1
＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率
＝ΔΔyx叫做函数 y
几何 函数 y＝f(x)图象上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的
意义 □02 斜率
物理 若函数 y＝f(x)表示变速运动的质点的运动方程，则ΔΔyx就是
＝ lim
Δx→0
ΔΔyx＝Δlxi→m0
fx0＋Δx－fx0 Δx
函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是函数图象在
□ 几何 该点处切线的 07 斜率 ．曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))
□ 意义 处的切线方程是
08 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
物理 函数 y＝f(x)表示变速运动的质点的运动方程，则函数在
(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．如 举例说明 2(2). 3.求复合函数的导数的一般步骤 (1)确定复合关系．注意内层函数通常为一次函数. (2)由外向内逐层求导．如举例说明 2(4)中对 ln (2x＋1)的求导.
1．(2019·华中师范大学第一附中模拟)设函数 f(x)的导数为 f′(x)，且 f(x) ＝x3＋f′23x2－x，则 f′(1)＝____0____.
解析 因为 f(x)＝x3＋f′23x2－x， 所以 f′(x)＝3x2＋2f′23x－1. 所以 f′23＝3×232＋2f′23×23－1. 解得 f′23＝－1. 所以 f′(x)＝3x2－2x－1，所以 f′(1)＝0.
□ 意义 该质点在[x1，x2]上的 03 平均 速度
(2)导数
一般地，函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率 lim Δx→0
ΔΔyx＝
□ 定义
lim
Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0，称它为函数 y＝f(x)在
04 x＝x0
□ □ 处的导数，记为 05 f′(x0) 或 y′|x＝x0，即06 f′(x0)
＝
x2
2x2＋x 1－ln 2x＋1
＝
x2
2x－2x＋1ln 2x＋1
＝
2x＋1x2
.
1.谨记一个原则 先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商， 再求导. 2.熟记求导函数的五种形式及解法 (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导，如举例说明 2(1)； (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分 式函数，再求导；
求下列函数的导数： (1)y＝ln x＋1x；
解
(1)y′＝ln
x＋1x′＝(ln
x)′＋1x′＝1x－x12.
(2)y＝sixnx； 解 (2)y′＝sixnx′＝sinx′xx－2 sinx·x′＝xcosxx－2 sinx.
(3)y＝(x2＋2x－1)e2－x.
解 (3)y′＝(x2＋2x－1)′e2－x＋(x2＋2x－1)(e2－x)′＝(2x＋2)e2－x＋(x2 ＋2x－1)(－e2－x)＝(3－x2)e2－x.
又∵切线方程为 y＝2x＋b，∴abe＝＋－1＝1，2， 即 a＝e－1，b＝－1.故选 D.
5.若曲线 y＝f(x)＝ln x＋ax2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数
a 的取值范围是( )
A.－12，＋∞ C.(0，＋∞)
B.－12，＋∞ D．[0，＋∞)
答案 D
解析 f′(x)＝1x＋2ax＝2axx2＋1(x>0)，根据题意有 f′(x)≥0(x>0)恒成 立，所以 2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即 2a≥－x12(x>0)恒成立，所以 a≥0，故 实数 a 的取值范围为[0，＋∞).
□ 意义 x＝x0 处的导数就是质点在 x＝x0 时的 09 瞬时 速度
2．导数的运算
常用 导数 公式
原函数 导函数
特例或推广
常数 C′＝0(C —
函数 为常数)
幂函数
□ (xα)′＝αxα
－1(α∈Q*)
1x′＝
01 －x12
常用 导数 公式
偶(奇)函数的导
三角 (sinx)′＝ □02 cosx ，数是奇(偶)函数， 函数 (cosx)′＝ □03 －sinx 周期函数的导数
(2)有一机器人的运动方程为 s＝t2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人 在时刻 t＝2 时的瞬时速度为( )
19 17 15 13 A. 4 B. 4 C. 4 D. 4
答案 D 解析 s′＝t2＋3t ′＝2t－t32，当 t＝2 时，s′＝2×2－232＝143，所以该 机器人在 t＝2 时的瞬时速度为143.
(4)已知直线 y＝－x＋1 是函数 f(x)＝－1a·ex 图象的切线，则实数 a＝ ____e_2___.
解析 设切点为(x0，y0)，则 f′(x0)＝－1a·e x0＝－1，∴e x0＝a， 又－1a·e x0＝－x0＋1，∴x0＝2，a＝e2.
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PART TWO
经典题型冲关
Hale Waihona Puke 题型一 导数的运算2．小题热身 (1)下列函数求导运算正确的个数为( ) ①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝x·l1n 2； ③(e1－x)′＝e1－x；④ln1x′＝x. A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 ①中，(3x)′＝3xln 3，错误；②中，(log2x)′＝x·l1n 2，正确；③ 中，(e1－x)′＝－e1－x，错误；④中，ln1x′＝0·llnnxx－2 1x＝－xln1 x2，错误， 因此求导运算正确的个数为 1.
角度 3 求参数的值(范围) 4.(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线 y＝aex＋xln x 在点(1，ae)处的切线方程为 y ＝2x＋b，则( ) A.a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1 C.a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
答案 D
解析 y′＝aex＋ln x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1，∴切线方程为 y－ae＝(ae ＋1)(x－1)，即 y＝(ae＋1)x－1.
2.(2019·全国卷Ⅰ)曲线 y＝3(x2＋x)ex 在点(0,0)处的切线方程为 __y_＝__3_x __.