第一章 《计数原理》章末检测

章末检测
一、选择题
1．若A3m＝6C4m，则m等于() A．9 B．8 C．7 D．6
答案 C
解析由m(m－1)(m－2)
＝6·m（m－1）（m－2）（m－3）
4×3×2×1
，解得m＝7.
2．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有() A．2人或3人B．3人或4人
C．3人D．4人
答案 A
解析设女生有x人，则C28
－x ·C1x＝30，即
（8－x）（7－x）
2·x＝30，解得x
＝2或3.
3．若100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是()
A．C16C294B．C16C299
C．C3100－C394D．C3100－C294
答案 C
解析不考虑限制条件，从100件产品中任取3件，有C3100种取法，然后减去3件全是正品的取法C394，故有C3100－C394种取法．
4．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、第二象限不同点的个数是()
A．18 B．16 C．14 D．10
答案 C
解析 第一象限不同点有N 1＝2×2＋2×2＝8(个)， 第二象限不同点有N 2＝1×2＋2×2＝6(个)， 故N ＝N 1＋N 2＝14(个)．
5．三名教师教六个班的数学，则每人教两个班，分配方案共有 ( )
A ．18种
B ．24种
C ．45种
D ．90种
答案 D
解析 C 26·C 24·C 2
2＝90.
6．在(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n 中，若2a 2＋a n －5＝0，则自然数n 的值是
( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
答案 B
解析 a 2＝C 2n ，a n －5＝(－1)n －5C n －5n ＝(－1)
n －5C 5n ， ∴2C 2n ＋(－1)
n －5C 5n ＝0. 120
（－1）
n －5
（n －2）（n －3）（n －4）
＝－1，
∴(n －2)(n －3)(n －4)＝120且n －5为奇数，∴n ＝8.
7．某人有3个不同的电子邮箱，他要发5个电子邮件，发送的方法的种数为( ) A ．8
B ．15
C ．243
D ．125
答案 C
解析 由分步乘法计数原理得发送方法数为35＝243.
8．(2013·陕西理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
（x －1x ）6，x ＜0，
－x ，x ≥0.则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为
( )
A ．－20
B ．20
C ．－15
D ．15
答案 A
解析 当x ＞0时，f [f (x )]＝(－x ＋1x )6＝(1
x
－x )6的展开式中，常数项为C 36(
1x
)3
(－x )3＝－20. 9．将A ，B ，C ，D 四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A ，B 不能放入同一个盒子中，则不同的放法有
( )
A．15种B．18种C．30种D．36种
答案 C
解析先把A，B放入不同盒中，有3×2＝6(种)放法，再放C，D，
若C，D在同一盒中，只能是第3个盒，1种放法；
若C，D在不同盒中，则必有一球在第3个盒中，另一球在A球或B球所在的盒中，有2×2＝4(种)放法．
故共有6×(1＋4)＝30(种)放法．
10．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人，后排6人)，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()
A．C28A23B．C28A66C．C28A26D．C28A25
答案 C
解析先从后排中抽出2人有C28种方法，再插空，由题意知，先从4人中的5个空中插入1人，有5种方法，余下1人则要插入前排5人的空中，有6种方法，∴为A26.共有C28A26种调整方法．
二、填空题
11．(2013·安徽理)若(x＋
a
3
x
)8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________.
答案1 2
解析通项T r
＋1＝C r8x8－r(
a
3
x
)r＝C r8a r x8－r－
r
3
⇒8－
4
3r＝4⇒r＝3，C
3
8
a3＝7⇒a＝
1
2.
12．8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有________种．答案30
解析将2次连续命中当作一个整体，和另一次命中插入另外5次不命中留下的6个空档里进行排列有A26＝30(种)．
13．(2013·大纲卷)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种(用数字作答)．
答案480
解析6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两
人外的4人，有A 4
4种方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有A 25种方法，所以共有A 44·A 25＝480(种)．
14．(x 2＋2)(1
x 2－1)5的展开式的常数项是________． 答案 3
解析 第一个因式取x 2，第二个因式取含1x 2的项得：1×C 4
5(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取常数项得：2×(－1)5＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3. 三、解答题
15．已知(41x ＋3
x 2)n 展开式中的倒数第3项的系数为45，求： (1)含x 3的项； (2)系数最大的项．
解 (1)由题意可知C n －2n ＝45，即C 2
n ＝45，∴n ＝10，
T r ＋1＝C r 10(x －14)10－r (x 23)r ＝C r 10x 11r －3012， 令11r －3012
＝3，得r ＝6，
所以含x 3的项为T 7＝C 610x 3＝C 410x 3
＝210x 3.
(2)系数最大的项为中间项即
T 6＝C 510x 55－3012
＝252x 2512
.
16．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．
(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
解 (1)将取出4个球分成三类情况： ①取4个红球，没有白球，有C 44种；
②取3个红球1个白球，有C 34C 16种； ③取2个红球2个白球，有C 24C 26种， 故有C 44＋C 34C 16＋C 24C 26＝115种．
(2)设取x 个红球，y 个白球，
则⎩⎨⎧x ＋y ＝5，
2x ＋y ≥7，0≤x ≤4，0≤y ≤6，
故⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝1. 因此，符合题意的取法种数有
C 24C 36＋C 34C 26＋C 44C 16＝186(种)．
17．已知(1－2x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n ∈N *)，且a 2＝60. (1)求n 的值；
(2)求－a 12＋a 222－a 323＋…＋(－1)n a n
2n 的值．
解 (1)因为T 3＝C 2
n (－2x )2＝a 2x 2， 所以a 2＝C 2n (－2)2＝60，
化简可得n (n －1)＝30，且n ∈N *，解得n ＝6.
(2)T r ＋1＝C r 6(－2x )r ＝a r x r ，所以a r ＝C r 6(－2)r ，
所以(－1)r a r
2r ＝C r 6， －a 12＋a 222－a 323＋…＋(－1)n a n 2n
＝C 16＋C 26＋…＋C 66＝26
－1＝63.
18．用0，1，2，3，4，5这六个数字，完成下面三个小题． (1)若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数；
(2)若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；
(3)若直线方程ax ＋by ＝0中的a ，b 可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？ 解 (1)分三步：
①先选万位数字，由于0不能作万位数字，因此有5种选法； ②个位数字只能从0，2，4这3个数字选，因此有3种选法； ③十位、百位、千位，由于允许重复，有6×6×6种选法； 由分步乘法计数原理知所求数共有5×6×6×6×3＝3 240(个)．
(2)当首位数字是5，而末位数字是0时，有A13A23＝18(个)；当首位数字是3，而末位数字是0或5时，有A12A34＝48(个)；当首位数字是1或2或4，而末位数字是0或5时，有
A13A12A13A23＝108(个)；
故共有18＋48＋108＝174(个)．
(3)a，b中有一个取0时，有2条；
a，b都不取0时，有A25＝20(条)；
a＝1，b＝2与a＝2，b＝4重复，
a＝2，b＝1，与a＝4，b＝2重复．
故共有2＋20－2＝20(条)．。