08年中考数学第一轮复习圆中成比例的线段
圆中的比例线段
第2讲圆幂定理理，圆中⽐比例例线段圆幂定理理是初中平⾯面⼏几何中重要定理理之⼀一，在有关计算和证明中应⽤用⾮非常多，尤其是在证明圆中线段⽐比例例式（或等积式）时，能有效地考查学⽣生综合运⽤用相似形和圆的有关知识分析、解决问题的能⼒力力，因⽽而成为全国各省市中考及数学竞赛命题的⼀一个热点，切实加强这⽅方⾯面知识的复习与训练，全⾯面掌握这类问题的证明思路路和⽅方法，对每⼀一个同学都⾮非常重要.此外，证明圆中线段⽐比例例式（或等积式）的基本思路路有(1)利利⽤用平⾏行行线分线段成⽐比例例定理理；(2)利利⽤用相似三⻆角形给出证明；(3)利利⽤用圆幂定理理给出证明；(4)利利⽤用⾯面积或三⻆角函数给出证明.⼀一、基础知识1、相交弦定理理如果圆内两条弦AB和CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD（如下图1）；2、割线定理理如果从圆外⼀一点P向圆引割线P AB和PCD，那么PA·PB＝PC·PD（如下图2）；3、切割线定理理如果从圆外⼀一点P向圆引割线P AB和切线PC，那么PA·PB＝PC2（如下图3）；上述三个定理理统称为圆幂定理理.实际上，可以把切割线定理理看作是割线定理理的极限情形，于是上述三个结论可以合并为：如果交点为P的两条直线与圆O相交于A、B与C、D，那么就有PA·PB＝PC·PD，这⾥里里P、A、B共线及P、C、D共线；⼆二、例例题例例1．已知，如图AB是⊙O的弦，P是AB上⼀一点，AB＝10cm，P A＝4cm，OP＝5cm，求：⊙O的半径.例例2．如图，已知⊙O1和⊙O2相交于CD两点，其外公切线AB分别切⊙O1、⊙O2于点AB，求证：直线CD 平分线段AB.例例3．如图，E是圆内弦AC、BD的交点，直线EF∥CB，交AD的延⻓长线于F，FG切圆于G，连结EG，求证：∠FEG＝∠FGE.例例4．如图，P A切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，M是P A的中点，MC交⊙O于N，PN的延⻓长线交⊙O于D，连结BD，求证：P A∥BD;例例5．如图，已知B是线段AC上任⼀一点，在AC同侧分别以AB、AC为直径作两个半圆、，若CD切半圆于点D，EB⊥AC，B为垂⾜足，且交半圆于E，M是DE的中点，求证：CM⊥DE.例例6．如图，在⊿ABC中，AB>AC，如果⊿ABC的内切圆把BC边上的中线AD三等分，求证：BC＝2AC；例例7．图中，AB是⊙O的直径，直线MN切⊙O于点C，AD⊥MN于D，AD交⊙O于E，AB的延⻓长线交MN于点P，求证：AC2＝AE·AP；例例8．如图，⊿ABC中，∠A的平分线AD交BC于D，⊙O过点A，且和BC切于点D，和AB、AC分别相交于E、F，AD与EF相交于G，求证：BD·EG＝BE·EA；例例9．如图，已知BC是圆中⼀一条弦，EF切圆于A，AD⊥BC于D，BE⊥EF于E，CF⊥EF于F，求证：AD2＝BE·CF；例例10（2002年年东城区中考）如图，P是⊙O的直径AB延⻓长线上⼀一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于H，CF交AB于点E，求证：P A·PB＝PO·PE；例例11．如图，已知P A、PB是⊙O的切线，切点为A、B，PCD是割线，求证：AC·BD＝AD·BC例例12．如图，BC是圆的直径，O是圆⼼心，P是BC延⻓长线上⼀一点，P A切半圆于点A，AD⊥BC于点D，求证：PD·PO＝PC·PB例例13．如图，过⊿ABC的顶点A作外接圆的切线交BC的延⻓长线于D，求证：例例14（托勒勒密定理理）求证：在圆的内接四边形ABCD中，AB·CD＋BC·AD＝AC·BD三、练习题1．如图，P A为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，P A＝10cm，PB＝5cm，求⊙O的半径.2．过⊙O外⼀一点P作⊙O的两条切线P A、PB，连结OP与AB交于D，与⊙O交于C，过C作AP的垂线，垂⾜足为E，若P A＝10cm，PC＝5cm，则CE＝_____；3．如图A、B、C、D四点在同⼀一个圆周上，且BC＝CD＝4，AE＝6，线段BE和DE的⻓长都是正整数，则BD的⻓长等于________；4．在平⾏行行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于点E，且与CD相切，若AB＝4，BE＝5，则DE＝_________；5．已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平⾏行行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC与DE交于点P，求证：EP＝PD；。
圆中比例线段 课件 通用
C P
A
D B
例1；如图1，△ABC 内接于直径为 d的圆，设 BC=a ，AC=b ，那么△ABC 的高CD=
连CO，并延长 CO交圆于E，连BE；
证△ ACD ∽△ EBC
CD b ?
ad
CD ? ab d
b
A
C
D
a
d
O
B
E
例1，如图 2，PT切圆于点 T，PA 交圆于 A ， B 两点， 且与直径 CT交于点D，CD=2，AD=3 ，BD=6
提示：根据对称性，考虑用相交弦定理。
设ED=x, x(1+x)=1 ×1 x=
5?1
2
A F
G
圆心
B
C
D
E
14;如图；已知 AB 为圆的直径， C为圆上一点，延 长BC至D，使CD=BC ，CE⊥AD于E，BE交圆于F， AF 交CE于 P，证 PE=PC
连OC则CO∥AD ，∴CE⊥CO，则CE为切线；
由（ 1）（ 2）知
DE2 ? EF ?EP
D
CG
GE2 ? EF ?EP(3)
E
F 圆心
c1
A
B
P
例5如图，BC是半圆O的直径， D是
的中点，
四边形ABCD 的对角线AC，BD交于点E，
（1）求AC. BC=2BD.CD;
(2)AE=3,CD=2 , 求弦AB 和直径BC的长 （1）∵BC=2OB ∴AC.OB=BD.CD AC ? BD
CD BO 证△ BDO ∽△ACD
（2）延长CD，BA 交于G，证△CDE∽△CAG
CE ? CD ? CE ? 25 ? CE ? 5 CG AC 45 3 ? CE
圆中成比例线段
第一讲 圆中成比例线段一、温故而知新1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，AB DE //交AC 于E ，如果32=EC AE ，那么=ACAB。
2．如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC 的边长为 。
3、如图，在平行四边形ABCD 中．E 为CD 上一点，DE ：CE=2：3，连结AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ：S △EBF ：S △ABF = 。
4、如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点D 在AC 上，连结BD 并延长与CE 交于点E ． （1）求证：△ABD ∽△CED ．（2）若AB ＝6，AD ＝2CD ，求BE 的长．5.已知:如图,ABCD 是平行四边形.求证:DG 是GE 和GF 的比例中项.6．如图,Rt ΔABC 中,∠ACB=900,CD ⊥AB ，DM ⊥AC 。
求证：（1） = 。
（2） = 。
A B CE（第1题）（第3题）（第2题）（第4题）C二、培优讲解（一）几个重要定理的学习1、（托勒密定理）已知,四边形ABCD 内接于圆,连对角线AC 、BD.求证:AC ·BD=AB ·CD+AD ·BC.2、（1）（相交弦定理）,如图.当点P 在圆内时,这两条直线分别交圆于A 、B 和C 、D,求证：PA ·PB=PC ·PD,•（2）当点P 在圆外时,分两种情况:① （割线定理）这两条直线与圆都有两个交点,分别为A 、B 与C 、D,求证：PA ·PB=PC ·PD ； ②（切割线定理）当这两条直线中一条与圆有两个交点,另一条只有一个交点(切点)M 时,求证：PM 2=PA ·PB.（二）例题学习例1 已知,如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,A 为切点,割线CDF 交AB 于E,并且CD:DE:EF=1:2:1,AC=4.求⊙O 的直径AB .例2 如图,P 是平行四边形ABCD 的边AB 的延长线上一点,DP 与AC 、BC 分别交于点E 、F,EG 是过B 、F 、P 三点的圆的切线,G 为切点.求证:EG=DE.例3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x (其中m 为实数)的两根． (1)求证：BE=BD ；(2)若GE ·EF=36，求∠A 的度数．（例3）例4．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是AB 与PC 的交点，若PE=2，CD=1，求DE 的长．例5.如图，A 、B 、C 、D 在同一圆上，BC=CD ，AC 、BD 交于E 。
初三数学圆中比例线段知识精讲
初三数学圆中比例线段【本讲主要内容】圆中比例线段包括圆中相似三角形，得出成比例线段。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
2. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角。
3. 过切点的半径垂直于切线。
4. 相似三角形的判定： （1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
【解题方法指导】例1. 已知：如图，AB 是圆O 直径，C 是圆O 上一点，CD ⊥AB 于D 。
求证：（1）AB AD AC 2⋅=； （2）BD BC 2=（3）AD CD 2=分析：由AB 图形”欲证AD AC 2=CD AB BD BC 2⋅=，证明：（1）∵AB 是圆O 直径， ∴∠ACB ＝90°又CD ⊥AB∴∠ADC ＝90° ∴∠ACB ＝∠ADC ∵∠CAD ＝∠CAB ∴△ABC ∽△ACDADACAC AB =∴AB AD AC AC ⋅=⋅∴即AB AD AC 2⋅= （2）∵AB 是圆O 直径， ∴∠ACB ＝90° 又CD ⊥AB ， ∴∠CDB ＝90° ∴∠ACB ＝∠CDB 又∠CBD ＝∠CBA ∴△ABC ∽△CBDAB BD BC BC BDBCBC AB ⋅=⋅∴=∴即AB BD BC 2⋅= （3）∵AB 是圆O 直径 ∴∠ACB ＝90° ∵CD ⊥AB∴∠ADC ＝∠CDB ＝90° ∠ACD ＝∠CBD ∴△ACD ∽△CBDCDADBD CD =∴DB AD CD CD ⋅=⋅∴ 即DB AD CD 2⋅=评析：当题目中给出等积式时，通常的办法先改写成比例式，再找出它们所在的两个三角形，通过证它们相似加以解决。
圆中的比例线段
圆中的比例线段知识点1 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
PT 2=PA ·PB知识点2 割线定理: 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到两条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
PA ·PB=PC ·PD知识点3 相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。
AP ·BP=CP ·DP典型例题例1、如图，Rt △BDE 中，∠BDE=90°，BC 平分∠DBE 交DE 于点C ，AC ⊥CB 交BE 于点A ，△ABC 的外接圆的半径为r ．（1）若∠E=30°，求证：BC •BD=r •ED ； （2）若BD=3，DE=4，求AE 的长．例2、如图，A ，B ，C ，D 四点在⊙O 上，AD ，BC 的延长线相交于点E ，直径AD=10，OE=13，且∠EDC=∠ABC ． （1）求证：BE DE AE CE .（2）计算CE ·BE 的值.（3）探究：BE 的取值范围例3、如图：线段AB和⊙O交于C、D，AC=BD，AE、BF分别切⊙O于E、F，求证：AE=BF例4、如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，D是PA的中点，DC交⊙O于E.已知：BE2=DE•EA．求证：（1）PA=PD．（2）2BP2=AD•DE．随堂练习1、已知：如图，AB为⊙O直径，PA切⊙O于A， PCB为⊙O的割线，OM⊥BC，AM交BC于N。
求证：PN2 = PC·PB2、已知：弦AB 、CD相交于E，过点E作BC的平行线PE交AD延长线于点P，PG与圆O相交于点G。
求证：PG=PE3、已知：圆O1、圆O2 相交于A、B，P是BA延长线上的一点，PCD是圆O1的割线，PEF是圆O2的割线，求证：PC •PD=PE• PF4、已知：如图，AD 切⊙O 于点D ，ACB 为⊙O 的割线，AP ＝AD ，BP 、CP 分别交⊙O 于点M 、N ， 求证：（1）△PCA ∽△ABP （2）MN ∥AP.5、如图：已知△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于F 、E ，AD ⊥BC ，垂足为D ，AD 交⊙O 于点G ，交BE 于H 。
和圆有关的比例线段(二)
和圆有关的比例线段(二)引言在前一篇文档中，我们介绍了圆和比例线段的基本概念，并给出了一些例题来帮助读者更好地理解这些概念。
本文将继续探讨和圆有关的比例线段，介绍一些相关的性质和定理，并提供一些例题帮助读者加深理解。
一、增量法在前一篇文档中，我们提到了圆内的比例线段的特性，即相交于同一弦上的两个比例线段相等。
接下来，我们将介绍一个很有用的方法，即增量法，用于计算比例线段的长度。
当我们已知两个比例线段中的一个，以及一个边上的长度，如何求另一个比例线段的长度呢？这就是增量法的应用。
我们假设已知比例线段AB和AC，即AB:AC，以及边AB的长度a，边AC的长度b。
下面介绍求比例线段BC的长度的步骤：1.根据相似三角形的性质，我们可以得到a:AB = b:AC。
2.根据等式a:AB = b:AC，我们可以得到a * AC = b * AB。
3.我们将上式进行展开，得到a * (AB + BC) = b * AB。
4.将上述等式变形，得到BC = (b * AB - a * AC) / a。
通过上述步骤，我们可以通过已知的比例线段和边长来求得另一个比例线段的长度。
二、圆与切线圆与切线是圆的一个重要性质，也与比例线段有关。
在圆上任意取一点P，并且作P点的切线，切线与半径的交点分别为A和B。
则有以下性质成立：1.在圆上任取一点P，连接P与圆心O，并做切线PA、PB。
2.连接AO、OB。
3.则有AO ⊥ PA、OB ⊥ PB。
4.根据直角三角形的性质，我们可以得到AO:PA = OB:PB，即AO:AO + PA = OB:OB + PB。
由上述性质可知，AO:PA = OB:PB，即AO与PA的比例等于OB与PB的比例。
三、圆的外切线除了切线以外，圆还有另外一种线与圆相关，它被称为圆的外切线。
圆的外切线有以下几个重要性质：1.圆的外切线与切线相比，多了一个交点，即切点。
2.外切线上的两个切点分别在圆的两条半径上。
中考数学专题第五讲《与圆有关的比例线段》导学案教案教学设计
第五讲：与圆有关的比例线段+圆内接四边形[知识点]注意：（1）相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幂定理，圆幂定理是圆和相似三角形结合的产物。
这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于切线可看作是两条交点重合的割线）。
使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点；（2）见圆中有两条相交想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形【例题分析】例1：如图所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接BD、DC．（1）求证：BD=DC=DI；（2）若圆O的半径为10cm，∠BAC=120°，求△BDC的面积．例2：如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交AABC的外接圆于点F，连接FB、FC．（1）求证：FB=FC；（2）求证：FB2=FA•FD；（3）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长．例3：如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC=6，tan∠F=1\2，求cos∠ACB的值和线段PE的长．ABCDEFHP例6：在Rt △ABC 中，BC=9， CA=12，∠ABC 的平分线BD 交AC 与点D ， DE⊥DB 交AB 于点E ，OD 为⊙O 的半径.⑴设⊙O 是△BDE 的外接圆，求证: AC OD ⑵ 求⊙O 的半径OD 的长.⑶设⊙O 交BC 于点F ，连结EF ，求EFAC 的值．例7：（•泸州24题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．例8：如图，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C且，弦CD交AB于E，BF⊥l，垂足为F，BF交⊙O于G．（1）求证：CE2=FG•FB；（2）若tan∠CBF=，AE=3，求⊙O的直径．例9：如图，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C已知：在ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC 的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．（1）求证：AF=DF；（2）求∠AED的余弦值；（3）如果BD=10，求△ABC的面积．1.如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心．若∠B =25°，则∠C 的大小等于（ ）2.如图，P 为⊙O 的直径BA 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切，切点为C ，点D 是⊙上一点，连接P D ．已知PC =PD =B C ．下列结论：（1）PD 与⊙O 相切；（2）四边形PCBD 是菱形；（3）PO =AB ；（4）∠PDB =120°．其中正确的个数为（ ）3.如图，以AB 为直径的⊙O 与弦CD 相交于点E ，且AC =2，AE =，CE =1．则弧BD 的长是（ ）4.如图，PA ，PB 切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交PA ，PB 于C ，D ．若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长等于3r ，则tan ∠APB 的值是（ ）【课后作业】已知：在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上的一动点．（1）如图甲，P 为线段BC 上一点，连接PO 并延长交AD 于点Q ，当O 是BD 的中点时，求证：OP OQ =；（2）如图乙，连结AO 并延长，与DC 交于点R ，与BC 的延长线交于点S ．若460,10AD DCB BS ===，∠，求AS 和OR 的长．B 卷（共50分）一、填空题：（每小题4分，共20分）21．设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为__________________．22．如图，在ABC ∆中，90B ∠=，12mm AB =，24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过_____________秒，四边形APQC 的面积最小23．有背面完全相同，正面上分别标有两个连续自然数,1k k +（其中0,1,2,,19k =）的卡片20张．小李将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，则该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为91010++=）不小于14的概率为_________________.24．已知n 是正整数，111222(,),(,),,(,),n n n P x y P x y P x y 是反比例函数ky x=图象上的一列点，其中121,2,,,n x x x n ===．记112A x y =，223A x y =，1n n n A x y +=，，若1A a =（a 是非零常数），则12n A A A 的值是________________________（用含a 和n 的代数式表示）．25．如图，ABC ∆内接于O ，90,B AB BC ∠==，D 是O 上与点B 关于圆心O成中心对称的点，P 是BC 边上一点，连结AD DC AP 、、． 已知8AB =，2CP =，Q 是线段AP 上一动点，连结BQ 并延长交四边形ABCD 的一边于点R ，且满足AP BR =， 则BQQR的值为_______________． 二、（共8分）26．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到底，全市的汽车拥有量已达216万辆．（1）求底至底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．三、（共10分）27．已知：如图，ABC ∆内接于O ，AB 为直径，弦CE AB ⊥于F ，C 是AD 的中点，连结BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ． （1）求证：P 是ACQ ∆的外心； （2）若3tan ,84ABC CF ∠==,求CQ 的长； （3）求证：2()FP PQ FP FG +=．四、（共12分）28．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(30)-，，若将经过A C 、两点的直线y kx b =+沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线2x =-．（1）求直线AC 及抛物线的函数表达式；（2）如果P 是线段AC 上一点，设ABP ∆、BPC ∆的面积分别为ABP S ∆、BPC S ∆，且:2:3ABP BPC S S ∆∆=，求点P 的坐标；（3）设Q 的半径为l ，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为r ，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，⊙Q 与两坐轴同时相切？。
九年级数学和圆有关的比例线段例题讲解
九年级数学和圆有关的比例线段例题讲解知识点、重点、难点在圆中，有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理统称圆幕定理。
1•相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。
推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半是它分直径所成的两部分的比例中项。
2•切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等。
3•与圆有关的比例线段问题的一般思考方法： (1)直接应用圆幕定理；(2)找相似三角形，当证明有关线段的比例式、等积式不能直接运用基本定理时，通常是由“三点定形法”证三角 形相似，其一般思路为等积式T 比例式T 中间比T 相似三角形。
圆幕定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系， 它们之间有着密切的联系， 我们应当熟悉以下基本图形。
例题精讲例1:如图，已知O O 与。
02相交于A 、B 两点，过点A 作O 的切线，交O 02于点C ,过点B 作两圆的割线 分别交O 0-\、O 02于点D 、E , DE 与AC 相交于点P.当AD 与O 02相切，且PA = 6 , PC=2, PD =12时，求AD 的长。
解 连结AB •因为CA 切O 01 ;于点A ,所以/ 1 =/D .又/仁/ E ,所以/ D= / E.又/ 2= / 3,所以△ APD即 PA • PE = PC • PD .因为 PA=6, PC=2, PD =12 ,得 6X PE=2X 12 ,得 PE =4.由相交弦定理得 PE • PB=PA • PC ,DE =DP + PE =12 + 4=16.因为 DA BO 02于点 A ，所以 DA 2 =2DB • DE ，即 AD =9X 16,得 AD = 12.证明 连结EF ，过B 、C 、E 三点作圆交 EF 于H ，连结CH .因为B 、C 、H 、E 共圆，所以/ 仁/ 2.因为A 、B 、2 2C 、D 共圆，所以/ 仁/3，于是/ 2 = / 3，故D 、C 、H 、F 共圆.由切割线定理得 EM =EC • ED =EH • EF , FN = FC • FB=FH • FE ,所以 EM 2 + FN 2 =(EH + FH) • EF =EF 2 .又因为 EM=EK , FN=FK ,所以 EK 2 + FK 2=EF 2 .故 △ EKF 为直角三角CPE ，所以PA PD PC PE所以 4PB=6X 2，得 PB=3.所以 BD = PD — PB=9, 例2:如图，已知圆内接四边形ABCD ，延长 AB 、 DC 交于E ,延长AD 、BC 交于F , EM 、FN 为圆的切线，分别以E 和F 为圆心、EM 和FN 为半径作弧，两弧交于形，且/ EKF =90。
与圆有关的比例线段 课件
3．切线长定理 (1)文字叙述： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的 切线长相等 ， 圆心和这一点的连线平分 两条切线 的夹角． (2)图形表示： 如图，⊙O的切线PA，PB， 则PA＝ PB，∠OPA＝ ∠OPB .
切割线定理 [例 2] 如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为 B，ADE， CFD，CGE 都是⊙O 的割线，已知 AC＝AB.
证明：(1)AD·AE＝AC2； (2)FG∥AC. [思路点拨] (1)利用切割线定理； (2)证△ADC∽△ACE.
[证明] (1)∵AB 是⊙O 的一条切线，ADE 是⊙O 的割线， ∴由切割线定理得 AD·AE＝AB2. 又 AC＝AB，∴AD·AE＝AC2. (2)由(1)得AADC＝AACE， 又∠EAC＝∠DAC，∴△ADC∽△ACE. ∴∠ADC＝∠ACE. 又∠ADC＝∠EGF，∴∠EGF＝∠ACE.∴FG∥AC.
切线长定理 [例 3] 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点 C 的 切线与过 A，B 两点的切线分别交于点 E，F，AF 与 BE 交于点 P. 求证：∠EPC＝∠EBF.
[思路点拨] 切线长定理 → EA＝EC，FC＝FB → EFCC＝EPBP → CP∥FB → 结论
[证明] ∵EA，EF，FB 是⊙O 的切线， ∴EA＝EC，FC＝FB. ∵EA，FB 切⊙O 于 A，B，AB 是直径， ∴EA⊥AB，FB⊥AB. ∴EA∥FB.∴EBAF＝EBPP.∴EFCC＝EPBP. ∴CP∥FB.∴∠EPC＝∠EBF.
专题6 巧解与圆有关的比例线段（含答案）
专题6 巧解与圆有关的比例线段知识解读圆中的比例线段问题，一般是指圆幂定理以及与圆有关的相似形推证比例线段问题.下面先介绍一下圆幂定理：（1）相交弦定理：圆内两条相交弦被交点分成的两条线段的乘积相等。
如图1－6－1①，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，则P A ·PB ＝PC ·PD . 连接AC ，BD ，证明△P AC ∽△PDB ，即可获证.特别的，如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
如图1－6－1②，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，CP ⊥AB ，垂足为P ，则PC 2＝P A ·PB .（）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，这点到圆的切线长是这点到割线与圆两交点的两条线段的比例中项。
如图1－6－1③，PC 切⊙O 于点C ，割线交OO 于点A ，B ，则PC 2＝P A ·PB .（）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
如图1－6－1④，P AB ，PCD 是⊙O 的两条割线，则P A ·PB ＝PC ·PD .（读者可自行证明）①B DAPO②BCAPOOABCP③④PCDBA O上述结论统称圆幂定理.同时，由相似三角形得对应边成比例，也是研究比例线段的最重要的方法.而角在圆中转变灵活，为寻找构造相似三角形，得到比例线段提供了可能.培优学案典例示范例1 如图1－6－2，圆内两条弦AB ，CD 的延长线相交于圆外一点E ，过点E 作AD 的平行线与直线BC 交于F ，作切线FG ，G 为切点.求证：FE ＝FG .【提示】将问题转化为证明FE 2＝FG 2，这由切割线定理和相似三角形的性质可获证. 【解答】图1-6-2O GAF EDCB【跟踪训练】图1－6－11.如图1－6－3，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，与∠BAC 相邻的外角平分线所在的直线交BC 的延长线于点D ，交△ABC 的外接圆O 于点E ，DF 切⊙O 于F . 求证：AB ·AC ＝DF 2－DA2.【提示】注意到DF 2＝DA ·DE ，从而DF 2－DA 2可化为DA ·AE ，然后把四条线段放在两个三角形中，通过△ABE 与△ACD 相似可证得. 【解答】图1-6-3FO EACB2.如图1－6－4，AB 是⊙O 的直径，过A ，B 引两条弦AD 和BE ，相交于点C . 求证：AC ·AD +BC ·BE ＝AB 2. 【解答】图1-6-4E O D C A例2 如图1－6－5，在⊙O 的内接△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E .设P 是弧AC 上异于A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G . （1）求证：PFPCPD PA =（2）若AB ＝5， 弧AP 与弧BP 相等，求PD 的长； （3）在点P 运动过程中，设x BGAG=，tan ∠AFD ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式. （不要求写出x 的取值范围） 【提示】（1）证明△P AC ∽△PDF ；（2）先根据勾股定理以及90°圆周角所对的弦是直径，求出AC 和BC 的长，然后再用面积法求出CE 的长，进而再利用勾股定理求出AE 的长，再根据两条弧相等以及勾股定理求出AP 的长，最后根据△P AC ∽△PDF 求出PD 的长；（3）作出GH //BP 的辅助线，从而得到相等的角和成比例的线段，然后再根据等角的正切值相等得到y 与x 之间的函数关系. 【解答】【跟踪训练】如图1－6－6，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 直径，AC 和BD 相交于点E ，且DC 2＝CE ·CA .lAFG EDCB P图1-6-5O（1）求证：BC ＝CD ；（2）分别延长AB ，DC 交于点P ，过A 点作AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F .若PB ＝OB ，CD ＝22，求DF 的长. 【提示】（1）证明△DCE ∽△ACD 可得∠CDE ＝∠CAD ，问题得证；（2）连接OC ，作OG ⊥CD 于点G ，可证得OG ∥AF ，OC ∥AD ，根据平行线分线段成比例定理来解决问题。
和圆有关的比例线段(一)数学教案
和圆有关的比例线段(一)数学教案
标题：与圆相关的比例线段
一、教学目标
1. 理解并掌握圆中的一些基本概念，如半径、直径、弦、弧、圆心角等。
2. 掌握和圆有关的比例线段的基本性质。
3. 能够运用所学知识解决一些实际问题。
二、教学内容
1. 圆的基本概念复习
- 半径、直径、弦、弧、圆心角的概念和性质
2. 和圆有关的比例线段
- 弦切定理：过圆外一点作圆的两条切线，则它们与连结这一点和圆心的直线之间的夹角相等。
- 直径定理：圆内接四边形的对角互补。
- 定比分点公式：设P是圆O上的一点，A、B是圆上的两点，PA、PB分别交圆于C、D，如果AC/BC=t，则PD/PC=1/(1-t)。
三、教学方法
1. 讲授法：讲解和圆有关的比例线段的基本性质和定理。
2. 实例分析：通过实例帮助学生理解并应用这些定理。
3. 小组讨论：让学生分组讨论并解决问题，提高他们的团队协作能力和问题解决能力。
四、教学过程
1. 导入新课：通过回顾圆的基本概念引入今天的主题。
2. 新课讲解：详细讲解和圆有关的比例线段的性质和定理，并举例说明。
3. 学生实践：设计一些习题，让学生自己动手解决，教师在一旁指导。
4. 课堂小结：总结本节课的主要内容和学习要点。
5. 布置作业：布置一些相关练习题，供学生回家巩固所学知识。
五、教学评估
1. 课堂观察：观察学生在课堂上的表现，了解他们对新知识的理解程度。
2. 作业检查：通过检查学生的作业，了解他们对知识的掌握情况。
3. 测试：定期进行小测验或考试，以全面评估学生的学习效果。
中考数学与圆有关的比例线段复习
中考数学与圆有关的比例线段复习
中考数学与圆有关的比例线段复习
〖知识点〗
相交弦定理、切割线定理及其推论
〖大纲要求〗
1．正误相交弦定理、切割线定理及其推论；
2．了解圆幂定理的内在联系；
3．熟练地应用定理解决有关问题；
4．注意（1）相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幂定理，圆幂定理是圆和相似
三角形结合的产物。
这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于切线可看作是两条交点重合的割线）。
使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点；
（2）见圆中有两条相交想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形。
〖考查重点与常见题型〗
证明等积式、等比式及混合等式等。
此种结论的证明重点考查了相似三角形，切割线定
理及其推论，相交弦定理及圆的一些知识。
常见题型以中档解答题为主，也有一些出现在选择题或填空题中。
〖预习练习〗。
(整理)圆中成比例的线段.
23.圆中成比例的线段知识考点：1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关圆中比例线段问题的有力工具。
2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。
精典例题：【例1】已知如图，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BMN 交AD 的延长线于C ，且BM ＝MN ＝NC ，若AB ＝2。
求：（1）BC 的长；（2）⊙O 的半径r 。
分析：由题设图形不难可以看出在本题中可综合运用勾股定理、切割线定理、割线定理来解题。
解：（1）设BM ＝MN ＝NC ＝x ，由切割线定理可得：BM BN AB ⋅=2即)(22x x x +=解得：2=x ，∴BC ＝233=x ；（2）在Rt △ABC 中，AC ＝1422=-AB BC由割线定理可得：CM CN AC CD ⋅=⋅ ∴7142=⋅=AC CM CN CD∴14145)714214(21)(21=-=-=CD AC r 【例2】如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E ，求AE AD ⋅的值。
分析：由切割线定理有PC PB PA ⋅=2，可得直径BC 的长，要求AE AD ⋅，由△ACE ∽△ADB 得BA CA AE AD ⋅=⋅，也就是求CA 、BA 的长。
解：连结CE∵PA 是⊙O 的切线，PBC 是⊙O 的割线∴PC PB PA ⋅=2又PA ＝10，PB ＝5，∴PC ＝20，BC ＝15 ∵PA 切⊙O 于A ，∴∠PAB ＝∠ACP 又∠P 为公共角，△PAB ∽△PCA ∴212010===PC PA AC AB ∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝900 ∴225222==+BC AB AC∙例1图ONMDCBA∙PO DCB A∴AC ＝56，AB ＝53 又∠ABC ＝∠E ，∠CAE ＝∠EAB ∴△ACE ∽△ADB ，∴ACADAE AB =∴905356=⨯=⋅=⋅AC AB AE AD【例3】如图，AB 切⊙O 于A ，D 为⊙O 内一点，且OD ＝2，连结BD 交⊙O 于C ，BC ＝CD ＝3，AB ＝6，求⊙O 的半径。
中考复习之圆中的比例线段
2007年中考复习之圆中的比例线段1、已知，AB为⊙O 的直径，点E 为弧AB 任意一点，如图，AC平分∠BAE,交⊙O于C ,过点C作CD⊥AE于D,与AB的延长线交于P⑴求证：PC是⊙O的切线。
⑵若∠BAE=60°，求线段PB与AB的数量关系。
2、已知，如图10(甲)，正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点, P不运动到M和C,以AB为直径做⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F,切点为E.（1）求四边形CDFP的周长；（2）试探索P在线段MC上运动时，求AF·BP的值；（3）延长DC、FP相交于点G,连结OE并延长交直线DC于H(如图乙),是否存在点P, 使△EFO∽△EHG?如果存在,试求此时的BP的长;如果不存在,请说明理由。
解（1）1. （2005北京）已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B 三点，CB的延长线交⊙O于点E（如图1）。
在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变（如图2），在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系。
（1）观察上述图形，连结图2中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段CE相等；（2）在图2中，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F。
①若CF＝CD，求sin∠CAB的值；②若CFCDn n=>()0，试用含n的代数式表示sin∠CAB（直接写出结果）。
（1）连结__________________ （2）求证：_________＝CE证明：（2）解：①DA图11②sin ∠CAB =_____________（n >0）2. （2005年沈阳市） 某工厂中由若干个形状完全相同的直角三角形铁板（如右图）已知∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC=4.现准备对两块铁板余料进行裁剪，方案如下： 方案一：如图6，裁出一个扇形，圆心为点C ，并且与AB 相切于点D ；方案二：如图7，裁出一个半圆，圆心O 在BC 上，并且与AB 、AC 分别相切于点D 、C ；⑴分别计算以上两种方案裁剪下来的图形的面积，并把计算结果直接填在横线上 .按照方案一裁出的图形面积是 .按照方案二裁出的图形面积是 . ⑵写出按照方案二裁出的半圆面积的计算过程. （沈阳05）3. （2005年沈阳市非课改）如图10,△ABC 内接于⊙O ，AD 平分∠BAC ，交直线BC 于点E ，交⊙O 于点D .⑴过点D 作MN ∥BC ，求证：MN 是⊙O 切线；⑵求证：AB AC AD AE = ⑶如图11，AE 平分∠BAC 的外角∠FAC ，交BC 的延长线于点E ，EA 的延长线交⊙O 于点D.结论AB AC AD AE = 是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由. （沈阳05）4. （2005年沈阳市非课改）如图12，直线334y x =-+与 x 轴相交于点A ，与 y 轴相交于点B ，点C (m ，n )是第二象限内任意一点，以点C 为圆心的圆与 x 轴相切于点E ，与直线AB 相切于点F .⑴当四边形OBCE 是矩形时，求点C 的坐标；⑵如图13，若⊙C 与 y 轴相切于点D ，求⊙C 的半径r ； ⑶求m 与n 之间的函数关系式；图7OCM 图10⑷在⊙C 的移动过程中，能否使△OEF 是等边三角形（只回答“能”或“不能” ）？5.（2005资阳） 如图6，已知AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H .(1) 求证：AH AB =AC 2；(2) 若过A 的直线与弦CD (不含端点)相交于点E ，与⊙O 相交于点F ，求证：AE AF =AC 2；(3) 若过A 的直线与直线CD 相交于点P ，与⊙O 相交于点Q ，判断AP AQ =AC 2是否成立(不必证明).6.（2005杭州）已知AC 切⊙O 于A ，CB 顺次交于⊙O 于D ，B 点，AC=6，BD=5，连接AD ，AB 。
(整理)圆中成比例的线段
23.圆中成比例的线段知识考点：1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关圆中比例线段问题的有力工具。
2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。
精典例题：【例1】已知如图，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BMN 交AD 的延长线于C ，且BM ＝MN ＝NC ，若AB ＝2。
求：（1）BC 的长；（2）⊙O 的半径r 。
分析：由题设图形不难可以看出在本题中可综合运用勾股定理、切割线定理、割线定理来解题。
解：（1）设BM ＝MN ＝NC ＝x ，由切割线定理可得：BM BN AB ⋅=2即)(22x x x +=解得：2=x ，∴BC ＝233=x ；（2）在Rt △ABC 中，AC ＝1422=-AB BC由割线定理可得：CM CN AC CD ⋅=⋅ ∴7142=⋅=AC CM CN CD∴14145)714214(21)(21=-=-=CD AC r 【例2】如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E ，求AE AD ⋅的值。
分析：由切割线定理有PC PB PA ⋅=2，可得直径BC 的长，要求AE AD ⋅，由△ACE ∽△ADB 得BA CA AE AD ⋅=⋅，也就是求CA 、BA 的长。
解：连结CE∵PA 是⊙O 的切线，PBC 是⊙O 的割线∴PC PB PA ⋅=2又PA ＝10，PB ＝5，∴PC ＝20，BC ＝15 ∵PA 切⊙O 于A ，∴∠PAB ＝∠ACP 又∠P 为公共角，△PAB ∽△PCA ∴212010===PC PA AC AB ∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝900 ∴225222==+BC AB AC∙例1图ONMDCBA∙PO DCB A∴AC ＝56，AB ＝53 又∠ABC ＝∠E ，∠CAE ＝∠EAB ∴△ACE ∽△ADB ，∴ACADAE AB =∴905356=⨯=⋅=⋅AC AB AE AD【例3】如图，AB 切⊙O 于A ，D 为⊙O 内一点，且OD ＝2，连结BD 交⊙O 于C ，BC ＝CD ＝3，AB ＝6，求⊙O 的半径。
与圆有关的比例线段 课件
换.
(3)利用“中间积”代换得到,在证明“等积式”形如a2=bc时,如果其
中有三条线段共线,可以把平方项的线段利用中间积进行代换.
(4)利用“中间比”代换得到,在证明比例线段(不论共线与否),如果
不能直接运用有关定理,可以寻找“中间比”进行代换.
常用到切割线定理.
题型四
切线长定理的应用
【例4】 如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,过点C的切线与过
A,B两点的切线分别交于点E,F,AF与BE交于点P.
求证:∠EPC=∠EBF.
分析:由切线长定理→EA=EC,FC=FB→ = →CP∥FB→结论
证明:∵EA,EF,FB是☉O的切线,
反思如果已知条件中出现过圆外同一点的圆的割线,那么常用到
割线定理.本题中,利用割线定理列出关于半径r的方程,进而可求出
r的值.
题型三
切割线定理的应用
【例 3】 如图,AB 切☉O 于点 B,ACD 为割线,E为 的中点
, 交于点. 求证: 2 = ·AD.
证明:如图,连接BC,BD.
分析:由于PO既不是☉O的切线,也不是割线,故需将PO延长交
☉O于点D,构成圆的一条割线,而OD又恰好是☉O的半径,于是运用
割线定理解题即可.
解:如图,将PO延长交☉O于D.
根据割线定理,可得PA·PB=PC·PD.
设☉O的半径为r cm,
则6×(6+8)=(10.9-r)(10.9+r),
解得r=5.9,即☉O的半径为5.9 cm.
∵E为 的中点,
∴∠DBE=∠CBE.
又AB是☉O的切线,
初中数学竞赛：圆中的比例线段
初中数学竞赛：圆中的比例线段圆中的比例线段问题，一般是指圆幂定理以及与圆有关的相似形推证比例线段问题．下面先介绍一下圆幂定理，然后举几个例题，供同学们思考．例1 (交弦定理)圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．如图3－65，⊙O中两弦AB，CD相交于P点．求证：PA·PB=PC·PD．PC=∠DPB，∠C=∠B．最后的条件，只要连结AC，BD即可满足，因此命题得证．证法2证法1是通常的想法，实际上，本题若换个想法：证明PA·PB为一定值，则可用勾股定理证明．为此作OE⊥AB于E，连OA，且过P作直径GH(图3－66)，则AP·PB=(AE-PE)(AE+PE)=AE2-PE2=(OA2-OE2)-(OP2-OE2)=OA2-OE2-OP2+OE2=OA2-OP2=(OA+OP)(OA-OP)=PH·PG(定值)．同理，CP·DP=PH·PG(定值)．所以PA·PB=PC·PD．推论弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两线段的比例中项．如图3－67，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P．求证：PC2=PA·PB．证明留给读者．例2(切割线定理)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是点到割线与圆的两个交点的两条线段的比例中项．如图3－68，PC切⊙O于C，割线交⊙O于A，B．求证：PC2=PA·PB．△PCA∽△PBC，①为此，只须连结AC，BC，则有∠ACP=∠CBP，∠P=∠P，故①成立．证法1请读者写出．证法2仿例1之证法2的方法，利用勾股定理证明本题．作OH⊥AB于H，连OA，OP，OC(图3－69)．因为PC切圆O于C，所以△PCO 中，∠C=90°，所以PC2=PO2-OC2=(PH2+OH2)-OA2=PH2+OA2-AH2-OA2=PH2-AH2=(PH+AH)·(PH-AH)=PB·PA．推论从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．图3－70中，PAB，PCD是⊙O的两条割线．求证：PA·PB=PC·PD．证明由例2可直接推出．说明例1、例2及其推论统称圆幂定理．为什么叫圆幂定理呢？因为在例1中PA·PB是定值，它等于定点P分过此定点的直径的两线段的积；在例2中，PA·PB也是定值，它等于由圆外定点P所引圆的切线长的平方．例1、例2的定值称作定点到圆的幂，因此，例1、例2统称圆幂定理．例3 如图3－71，⊙O内两弦AB，CD的延长线相交于圆外一点E，由E引AD的平行线与直线BC交于F，作切线FG，G为切点，求证：EF=FG．分析由于FG切圆O于G，则有FG2=FB·FC，因此，只要证明FE2=FB·FC成立即可．证因为在△BFE与△EFC中有∠BEF=∠A=∠C，又∠BFE=∠EFC，所以FE2=FB·FC．又FG2=FB·FC，所以FE2=FG2，所以 FE=FG．例4 在图3－72中，已知CA，CB是⊙O的两条切线，A，B是切点，OC交直线AB于D，OF垂直直线CF于F，交直线AB于E．求证：OD·OC=OE·OF=OA2．证因为AC，BC是⊙O的两条切线，A，B为切点，所以OC⊥AB于D．又因为OF⊥CF于F，所以∠CDE=∠EFC=90°，所以D，C，F，E四点共圆，所以OD·OC=OE·OF．又在△COA中，∠CAO=90°，所以OA2=OD·OC，所以 OD·OC=OE·OF=OA2．例5 如图3－73，△ABC内接于圆O，∠BAC的平分线交⊙O于D点，交⊙O 的切线BE于F，连结BD，CD．求证：(1)BD平分∠CBE；(2)AB·BF=AF·DC．分析 (1)可根据同弧所对的圆周角及弦切角的关系推出．(2)由条件及(1)的结论，可知BD=CD，因此欲求AB·BF=AF·DC，证 (1)因为∠CAD=∠BAD=∠FBD，∠CAD=∠CBD，所以∠CBD=∠FBD，所以BD平分∠CBE．(2)在△DBF与△BAF中，因为∠FBD=∠FAB，∠F=∠F，AB·BF=BD·AF．又因为BD=CD，所以AB·BF=CD·AF．例6 如图3－74，四边形ABCD内接于圆，延长AB和CD相交于E，延长AD 和BC相交于F，EP和FQ分别切圆O于P，Q．求证：EP2+FQ2=EF2．分析本例有两条切线，因此，可由切割线定理着手思考．证过B，C，E作圆O1，设⊙O1交EF于G，连结CG．因为∠FDC=∠ABC=∠CGE，所以F，D，C，G四点共圆，所以EG·EF=EC·ED，①FG·EF=FC·BF．②①+②得EF2=EC·ED+FC·BF．又因为EP，FQ为⊙O的切线，所以EC·ED=EB·EA=EP2，FC·FB=FD·FA=FQ2，所以 EF2=EP2+FQ2．练习十六1．已知⊙O外一点P，PA是⊙O的切线，切点为A，引割线PBD交⊙O于B，D，过D引直线DE∥PA交⊙O于E，直线BC交⊙O于M点，求证：AM=PM．2．如图3－75．AD是⊙O的切线，D是切点，ABC是割线，DE⊥AO于E．(1)求证：AD2=AE·AO；(2)求证：∠AEB=∠C．3．如图3－76．在⊙O中，弦AB⊥QO于D，AQ交圆O于C，连结BC交QO 于P，求证：OA2=OP·OQ．4．如图3－77．四边形ABNM内接于圆O，BA和NM的延长线相交于P点，求证：AM·BM·PN=AN·BN·PM．5．如图3－78．AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圆直径，求证：AB·AC=AE·AD．6．如图3－79．设AB为半圆直径，弦AC和BD交于E，求证：AB2=AE·AC+BE·BD．(提示：作EF⊥AB于F．)。
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23.圆中成比例的线段知识考点：1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关圆中比例线段问题的有力工具。
2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。
精典例题：【例1】已知如图，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BMN 交AD 的延长线于C ，且BM ＝MN ＝NC ，若AB ＝2。
求：（1）BC 的长；（2）⊙O 的半径r 。
分析：由题设图形不难可以看出在本题中可综合运用勾股定理、切割线定理、割线定理来解题。
解：（1）设BM ＝MN ＝NC ＝x ，由切割线定理可得：BM BN AB ⋅=2即)(22x x x +=解得：2=x ，∴BC ＝233=x ； （2）在Rt △ABC 中，AC ＝1422=-AB BC由割线定理可得：CM CN AC CD ⋅=⋅ ∴7142=⋅=AC CM CN CD ∴14145)714214(21)(21=-=-=CD AC r 【例2】如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E ，求AE AD ⋅的值。
分析：由切割线定理有PC PB PA ⋅=2，可得直径BC 的长，要求AE AD ⋅，由△ACE ∽△ADB 得BA CA AE AD ⋅=⋅，也就是求CA 、BA 的长。
解：连结CE ∵PA 是⊙O 的切线，PBC 是⊙O 的割线∴PC PB PA ⋅=2又PA ＝10，PB ＝5，∴PC ＝20，BC ＝15 ∵PA 切⊙O 于A ，∴∠PAB ＝∠ACP 又∠P 为公共角，△PAB ∽△PCA∴212010===PC PA AC AB ∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝900∴225222==+BC AB AC ∴AC ＝56，AB ＝53 又∠ABC ＝∠E ，∠CAE ＝∠EAB ∴△ACE ∽△ADB ，∴ACADAE AB = ∙例1图ONMDCBA∙例2图PO EDCB A∴905356=⨯=⋅=⋅AC AB AE AD【例3】如图，AB 切⊙O 于A ，D 为⊙O 内一点，且OD ＝2，连结BD 交⊙O 于C ，BC ＝CD ＝3，AB ＝6，求⊙O 的半径。
分析：把“图形”补成切割线定理、相交弦定理图形，问题就解决了。
解：延长BD 交⊙O 于E ，两方延长OD 交⊙O 于F 、G ，设⊙O 的半径为r∵BA 切⊙O 于A ，∴BE BC AB ⋅=2∵AB ＝6，BC ＝3，∴BE ＝12，ED ＝6又DC EG DG FD ⋅=⋅，FD ＝r －OD ，DG ＝r ＋OD ∴36))((⨯=-+OD r OD r ，OD ＝2 ∴18222=-r ，22=r探索与创新：【问题一】如图，已知AB 切⊙O 于点B ，AB 的垂直平分线CF 交AB 于C ，交⊙O 于D 、E ，设点M 是射线CF 上的任一点，CM ＝a ，连结AM ，若CB ＝3，DE ＝8。
探索：（1）当M 在线段DE （不含端点E ）上时，延长AM 交⊙O 于点N ，连结NE ，若△ACM ∽△NEM ，请问：EN 与AB 的大小关系。
分析：如图1，由△ACM ∽△NEM 可得∠NEM ＝900，连结BO 并延长交EN 于G ，可证BO 垂直平分EN ，即可证明EN ＝AB ，结论就探索出来了。
解：∵AB 的垂直平分线CF 交AB 于C ，CB ＝3∴AB ＝6，∠ACM ＝900又∵△ACM ∽△NEM ，∴∠NEM ＝900 连结BO 并延长交EN 于点G ∵CB 切⊙O 于B ，∴∠GBC ＝900∴∠GBC ＝∠BCE ＝∠GEC ＝900 ∴四边BCEG 是矩形∴∠EGB ＝900，G 为NE 的中点 ∴EN ＝2EG ＝＝2CB ＝6＝AB（2）如图，当M 在射线EF 上时，若a 为小于17的正数，问是否存在这样的a ，使得AM 与⊙O 相切？若存在，求出a 的值；若不存在，试说明理由。
分析：先满足AM 与⊙O 相切，求出相应的a 值，看它是否是小于17的正数即可。
解：当AM 与⊙O 相切于点P 时，有MP ＝AM －AP ＝AM －AB ＝AM －6∵MC ＝a ，AC ＝3，∠ACM ＝900∴AM ＝92+a ，又MD ＝MC －CD ＝1-aME ＝MC －CE ＝9-a ，ME MD MP ⋅=2∴)9)(1()69(22--=-+a a a即0180112=-a a ，解得11180=a （0=a 已舍去） ∵17111800<<∴存在这样的正数a ，使得AM 与⊙O 相切。
∙例3图GF OEDCBA∙问题图2MFOED CBA跟踪训练：一、选择题：1、PT 切⊙O 于T ，割线PAB 经过O 点交⊙O 于A 、B ，若PT ＝4，PA ＝2，则cos ∠BPT ＝（ ） A 、54 B 、21 C 、83 D 、43 2、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∶BC ＝1∶2，AB ＝35，PD ＝40，则过点P 的⊙O 的切线长是（ ）A 、60B 、240C 、235D 、50∙第2题图 PODCBA∙第3题图 QPCBA∙第4题图 T DO PC BA3、如图，直线PQ 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的弦，∠PAB 的平分线AC 交⊙O 于点C ，连结CB 并延长与PQ 相交于Q 点，若AQ ＝6，AC ＝5，则弦AB 的长是（ ）A 、3B 、5C 、310 D 、524 4、如图，PT 切⊙O 于T ，PBA 是割线，与⊙O 的交点是A 、B ，与直线CT 的交点是D ，已知CD ＝2，AD ＝3，BD ＝4，那么PB ＝（ ）A 、10B 、20C 、5D 、58二、填空题：1、如图，PA 切⊙O 于A ，PB ＝4，PO ＝5，则PA ＝ 。
2、如图，两圆相交于C 、D ，AB 为公切线A 、B 为切点，CD 的延长线交AB 于点M ，若AB ＝12，CD ＝9，则MD ＝ 。
∙第1题图OP B A∙∙第2题图CD MBA∙第3题图OCDMB A3、如图，⊙O 内两条相交弦AB 、CD 交于M ，已知AC ＝CM ＝MD ，MB ＝21AM ＝1，则⊙O 的半径为 。
4、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝720，⊙O 过A 、B 两点且与BC 相切于点B ，与AC 交于点D ，连结BD ，若BC ＝15-，则AC ＝ 。
∙第4题图 O DA∙第6题图 OCBA5、已知⊙O 和⊙O 内一点P ，过P 的直线交⊙O 于A 、B 两点，若24=⋅PB PA ，OP ＝5，则⊙O 的半径长为 。
6、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝13，BC ＝a ，AC ＝b ，半径为1.2的⊙O 与AC 、BC 相切，且圆心O 在斜边AB 上，则ba ＝ 。
三、计算或证明题：1、如图，已知Rt △ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC ＝900，AH ⊥BC ，垂足为D ，过点B 作弦BF 交AD 于点E ，交⊙O 于点F ，且AE ＝BE 。
（1）求证：⋂⋂=AF AB ；（2）若32=⋅EF BE ，AD ＝6，求BD 的长。
2、如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于A ，CB 交⊙O 于D ，DE 切⊙O 于D ，BE ⊥DE 于E ，BD ＝10，DE 、BE 是方程032)2(222=+-++-m m x m x 的两个根)(BE DE <，求AC 的长。
∙第1题图DHFE OCBA∙第2题图DEOCBA∙第3题图POH FE DCB A3、如图，P 是⊙O 直径AB 延长线上一点，割线PCD 交⊙O 于C 、D 两点，弦DF ⊥AB 于点H ，CF 交AB 于点E 。
（1）求证：PE PO PB PA ⋅=⋅；（2）若DE ⊥CF ，∠P ＝150，⊙O 的半径为2，求弦CF 的长。
4、如图，⊙O 与⊙P 相交于A 、B 两点，点P 在⊙O 上，⊙O 的弦AC 切⊙P 于点A ，CP 及其延长线交⊙P 于D 、E ，过点E 作EF ⊥CE 交CB 的延长线于F 。
（1）求证：BC 是⊙P 的切线；（2）若CD ＝2，CB ＝22，求EF 的长；（3）若设k ＝PE ∶CE ，是否存在实数k ，使△PBD 是等边三角形？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
∙∙第4题图OPF EDCBA跟踪训练参考答案一、选择题：１．A ２．A ３．C ４．B 二、填空题：1、62；2、3；3、210； 4、2； 5、7； 6、8或9 三、计算或证明题：1、（1）证明：∵∠BAC ＝900 ， ∴BC 是直径， ∵AH ⊥BC ∴AB=HB∴∠H=∠BAH ∵AE ＝BE∴∠ABF=∠BAH ∴∠ABF=∠H∴⋂⋂=AF AB（2）32； （3）875； 2、解：由已知可得)2(2+=+m BE DE ，322+-=⋅m m BE DE 又∵22210=+BE DE∴[]100)32(2)2(222=+--+m m m解得：5=m ，故BE ＝8，DE ＝6由△ADB ∽△DEB 可得：AD ＝215 由△ADC ∽△BED 可得：AC ＝8753、（1）证明：连结OD ，∵P 是⊙O 直径AB 延长线上一点， DF ⊥AB ∴∠DCF=∠DOA ∴∠PCE=∠POD ∵∠P=∠P∴△PCE ∽△POD∴PDPEPO PC = ∴PB PA PD PC PE PO ⋅=⋅=⋅；（2）证∠ODE ＝150得∠HDO ＝∠EDC ＝300，∵OD ＝2，则DH ＝3，DE ＝6，CE ＝2。
∴CF ＝CE ＋EF ＝26+ 4、（1）证明：连结PA 、PB ，∵PC 是⊙O 的直径 ∴∠PBC ＝900∴BC 是⊙P 的切线 （2）EF ＝2 （3）存在31=k ，使△PBD 为等边三角形。