2016-2017学年高中数学 第一章 三角函数 8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像课时作业 北师大版必修4
高中 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质 知识点+例题 全面
辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图 五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式 是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值 为________℃.夯实基础训练。
高中 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质 知识点+例题 全面
辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图 五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式 是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值 为________℃.夯实基础训练。
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件苏教
中的第三点和第五点)，有
π3ω＋φ＝π，
ω＝2.
56πω＋φ＝2π，解得φ＝π3.
∴y＝3sin(2x＋π3)．
法三：(图象变换法)
由 T＝π，点(－π6，0)，A＝3 可知图象由 y＝3sin 2x 向左
平移π6个单位长度而得，所以有 y＝3sin 2(x＋π6)，
即 y＝3sin(2x＋π3)，且 ω＝2，φ＝π3.
2
第八页，共42页。
2．(2014·高考江苏卷)已知函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋ φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则 φ 的
π 值是____6____． 解析：利用函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的交点横 坐标，列方程求解．
由题意，得 sin2×π3＋φ＝cos π3,因为 0≤φ<π，所以 φ＝π6.
2.已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω>0，且|φ|<π2的图象的一段 如图所示，求此函数的解析式．
第二十七页，共42页。
解：由图易知 A＝ 2，T2＝|10－2|＝8，所以 T＝16. 又因为 T＝|2ωπ|，ω>0，所以 ω＝π8. 因为点(2， 2)在图象上，所以 y＝ 2sin(π8×2＋φ)＝ 2， 所以 sin(π4＋φ)＝1，所以π4＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)， 又|φ|<π2，所以 φ＝π4，所以 y＝ 2sin(π8x＋π4)．
第十五页，共42页。
法二：①把 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来 的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin12x 的图象； ②把 y＝sin12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到 y＝sin12(x－π2)＝sin(12x－π4)的图象； ③把 y＝sin(12x－π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变)，就得到 y＝3sin(12x－π4)的图象．
高中数学 第1章 三角函数 8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(2)练习 北师大版必修4-
8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质(2)课时跟踪检测一、选择题1．函数y ＝sin(2x ＋π)是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数解析：y ＝sin(2x ＋π)＝－sin2x ，周期为2π2＝π.∵f (－x )＝－sin2(－x )＝sin2x ＝－f (x )， ∴y ＝sin(2x ＋π)为奇函数． 答案：A2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，若存在α∈(0，π)，使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α的值是( )A ．π6B ．π3C ．π4D ．π2解析：函数f (x )的周期T ＝2π2＝π. ∵f (x ＋α)＝f (x ＋3α)，∴T ＝2α＝π，即α＝π2.答案：D3．已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x ，则其图像的下列结论中，正确的是( )A ．向左平移π8后得到奇函数B ．向左平移π8后得到偶函数C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，1中心对称 D ．关于直线x ＝π8轴对称答案：A4．若将函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 解析：由题意，将函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π12个单位得y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则平移后函数的对称轴为2x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π6＋k π2，k ∈Z ，故选B ．答案：B5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图像关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则ω的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由题意得π3ω＋φ＝k 1π＋π2(k 1∈Z )，π12ω＋φ＝k 2π(k 2∈Z )，∴π4ω＝(k 1－k 2)π＋π2(k 1，k 2∈Z )．∴ω＝4(k 1－k 2)＋2(k 1，k 2∈Z )．∵ω＞0，∴ω的最小值为2.答案：A6．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A ．13B ．3C ．6D ．9解析：依题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3ω＝cos ωx ，∴－π3ω＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝－6k .又ω＞0，∴当k ＝－1时，ω有最小值6. 答案：C 二、填空题7．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π2的单调递增区间为________．解析：由－π2＋2k π≤12x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z 得函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－5π3，π3＋4k π，k ∈Z .又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π2，∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3 8．(2018·某某卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________．解析：由题意可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝±1，所以23π＋φ＝π2＋k π，φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，因为－π2<φ<π2，所以当k ＝0时，φ＝－π6.答案：－π69．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且图像关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称； ②图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称； ③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数； ④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数． 那么所有正确结论的编号为________． 解析：∵2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)， 又∵f (x )关于x ＝π12对称，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·π12＋φ＝±1， ∴π6＋φ＝k π＋π2， ∴φ＝k π＋π3，k ∈Z ，又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴令k ＝0得φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 令f (x )＝0得2x ＋π3＝k π，∴x ＝k π2－π6，k ∈Z ， 令k ＝1得一个对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0， 令－π2≤2x ＋π3≤π2，－512π≤x ≤π12， ∴f (x )的一个增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12，又∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12，∴②④正确． 答案：②④ 三、解答题10．已知函数f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54.(1)求f (x )的最大值、最小值，及相应x 的值； (2)求f (x )的最小正周期、对称轴和对称中心；(3)函数f (x )的图像至少向左平移多少个单位长度时才为偶函数？解：(1)当2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )有最大值74，即当x ＝π6＋k π(k ∈Z )时，f (x )max ＝74，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )有最小值34，即当x ＝k π－π3(k ∈Z )时，f (x )min ＝34.(2)由T ＝2π|ω|知函数f (x )的最小正周期为T ＝π.令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∴对称轴为直线x ＝k π2＋π6(k ∈Z )， 令2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π2－π12(k ∈Z )，∴对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，54(k ∈Z )．(3)由函数性质知若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 为偶函数，φ＞0，则φ至少为π2，即y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋54＝12cos2x ＋54为偶函数．∴应将函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像平移至函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋54的图像处．由函数图像平移方法知：y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像――→向左平移π6个单位长度y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋54的图像，∴函数f (x )的图像至少向左平移π6个单位长度才为偶函数．11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图像上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的值域．解：(1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得T 2＝π2，即T ＝π，ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图像上知，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1. 故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )． 又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)－b (ω＞0,0＜φ＜π)的图像两相邻对称轴之间的距离是π2，若将f (x )的图像先向右平移π6个单位，再向上平移3个单位，所得函数g (x )为奇函数．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的对称轴及单调区间．解：(1)∵2πω＝2×π2，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)－b .又∵g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ－b ＋3为奇函数，且0＜φ＜π，则φ＝π3，b ＝3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－ 3. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3，其对称轴由2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )．∴函数f (x )的对称轴为x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )， 减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )．13．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)与对数函数y ＝g (x )在同一坐标系中的图像如图所示．(1)分别写出两个函数的解析式； (2)方程f (x )＝g (x )共有多少个解？ 解：(1)由图像知A ＝2，φ＝0，T ＝2， 故ω＝π，f (x )＝2sinπx .设g (x )＝log a x ，由图像知log a 4＝－1， 故a ＝14，g (x )＝log 14x .(2)因g (x )为减函数，f (x )最小值为－2.故当g (x )≥－2时，可能有交点，由log 14x ≥－2，得0＜x ≤16.当2≤x ≤16时，f (x )与g (x )在f (x )的每一个周期上的图像均有两个交点，共14个交点；当0＜x ＜2时，由图像知有3个交点；当x＞16时，图像无交点．综上可知f(x)＝g(x)共有17个解．。
函数y=Asin(ωx+φ)的性质-三角函数
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高效课时作业
自主通道
填一填
函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
定义域
R
值域
1 __[_－___A__，___A__]_____
周期
T＝2ωπ
第3 页
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高效课时作业
第4 页
奇偶性 φ＝ 2 kπ，k∈Z 时，y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数；φ＝ 3 kπ＋π2，k∈Z
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ห้องสมุดไป่ตู้
探究通道
巩固通道
高效课时作业
第 12 页
类型 二 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用(自主探究) 1．若函数 y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是 R 上的偶函数，则 φ＝( C )
A．0
π B.4
π C.2
D．π
解析 因为函数 y＝sin(ωx＋φ)在 φ＝kπ±2π(k∈Z)时为偶函数，且 0≤φ≤π，所以
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高效课时作业
第 20 页
类型 三 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 【例】 函数 h(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．若把函 数 h(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 f(x)的图 象． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若函数 y＝f(x＋φ′)0<φ′<2π是奇函数，求函数 g(x)＝cos(2x－φ′)在[0,2π]上的单调递减区间．
高中数学第1章三角函数8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质第1课时函数y=Asin(ωx+φ)的图像课件北师大版
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)A 的大小决定了函数的振幅．( ) (2)ω 的大小与函数的周期有关．( ) (3)φ 的大小决定了函数与 y＝sin x 的相对位置．( ) (4)b 的大小决定了函数图像偏离平衡位置的幅度．( ) 【解析】 由 A，ω，φ，b 的几何意义知全对． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑的曲线把它们连接起来．
三角函数的图像变换
写出由 y＝sin x 的图像变化到 y＝3sin12x－π4的图像的不同方法步骤. 【导学号：66470026】
【精彩点拨】 变换过程可以先伸缩后平移，也可以先平移后伸缩．
由 y＝sin x 的图像，通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，可以先相位变换， 后周期变换，也可以先周期变换，后相位变换．两种变换的顺序不同，变换的量 也有所不同，前者平移|φ|个单位，而后者则平移|ωφ|个单位．不论哪一种变换，都是 对字母 x 而言的，即看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．
0
π 2
π
3π 2
2π
y 0 2 0 －2 0
描点作图，如图．
1．利用“五点法”作图像时，确定 x 的值是本题的关键．
2．用“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一般步骤：
第一步：列表． ωx＋φ 0
π 2
π
3π 2
2π
x －ωφ 2πω－ωφ ωπ－ωφ 23ωπ －ωφ 2ωπ－ωφ
人教版(新教材)高中数学第一册 匀速圆周运动的数学模型 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
解析 ω＝4>1，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标 不变.
答案 B
2.把函数y＝2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 3倍，得到________的图象. 答案 y＝6sin32x
3.将函数 y＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的解析式为 ________.
5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ) 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 5.6.2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
课标要求
素养要求
1.会用“五点法”画出y＝Asin(ωx＋φ)的
图象.
通过整体代换和图象的变换提
2.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋ 升学生的直观想象、逻辑推理
【训练 1】 请用“五点法”画出函数 y＝12sin(2x－π6)的图象. 解 函数 y＝12sin2x－π6的周期 T＝22π＝π，先用“五点法”作它在长度为一个周
期上的图象，令 X＝2x－π6，则 x 变化时，y 的值如下表：
X
0
π 2
π
3π 2
2π
x
π 12
π 3
7π 12
5π 6
13π 12
解析 答案
由题意得所得图象对应的解析式为 y＝cos 2(x－π3)＝cos(2x－23π). y＝cos(2x－23π)
[微思考] 1.由y＝sin ωx(ω>0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象是如何平移的呢？
提示 ∵y＝sin(ωx＋φ)＝sin ωx＋ωφ， ∴由 y＝sin ωx 的图象向左(右)平移ωφ个单位.
y
2017-2018版高中数学 第一章 三角函数 8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(二) 北师大版必修4
φ的值.
(1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A|. (的2)交因点为从T＝而2ω确π，定所T，以即往相往邻通的过最求高得点周与期最T来低确点定之ω间，的可距通离过为已T2知；曲相线邻与的x轴两 个最高点(或最低点)之间的距离为T.
答案
梳理
用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ) 的图像的步骤：
第一步：列表：
ωx＋φ 0
π 2
πห้องสมุดไป่ตู้
3π 2
2π
x
－ωφ 2πω－ωφ ωπ －ωφ 23ωπ－ωφ 2ωπ－ωφ
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点. 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图像.
知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质
4.已知函数f(x)＝sinωx＋π3 (ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像
√A.关于点π3，0对称
B.关于直线 x＝π4对称
C.关于点π4，0对称
D.关于直线 x＝π3对称
解析 ω＝2ππ＝2，所以 f(x)＝sin(2x＋π3). 将 x＝π3代入 f(x)＝sin2x＋π3，
解答
(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值.
解答
当堂训练
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，0<φ<π)的图像的一段如图所示，它的解析式 可以是
√A.y＝23sin(2x＋23π)
B.y＝23sin(2x＋π3) C.y＝23sin(2x－π3) D.y＝23sin(2x＋π4)
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高中数学 第一章 三角函数 1.8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像学案 北师大版必修4
1.8 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像1．“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像利用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0)的简图，先分别令ωx ＋φ＝____________，列表求出长度为一个周期的闭区间上的五个关键点的坐标，再描点，并用平滑的曲线连接作出一个周期上的图像，最后向左、右分别扩展，即可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的简图．2．A 、ω、φ的意义函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0)，在这里常数A 叫____，T ＝2πω叫____，f ＝1T ＝ω2π叫____，ωx ＋φ叫____，φ叫____． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (其中ω＞0，A ＞0)的最大值为____，最小值为____，周期为__．预习交流1函数y ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3，x ∈R 的值域是________，周期是________，振幅是________，初相是________．3.A ，ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)图像的影响(2)ω对函数y ＝sin(ωx ＋φ)图像的影响(ω＞0且ω≠1)(3)A 对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像的影响(A ＞0)准确认识理解“图像变换法”由y ＝sin x 到y ＝sin(x ＋φ)的图像变换称为相位变换；由y ＝sin x 到y ＝sin ωx 的图像变换称为周期变换；由y ＝sin x 到y ＝A sin x 的图像变换称为振幅变换．预习交流2将函数y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位，再向上平移2个单位，所得图像的函数解析式是( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋2B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－2D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2 4．函数＝sin(ω＋φ)(＞0)的性质预习交流3函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心和对称轴各有什么特点？答案：1．0，π2，π，3π2，2π2．振幅 周期 频率 相位 初相 A ＋b －A ＋b 2πω预习交流1：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，152π3 15－π3预习交流2：D4．R [－A ，A ]2π|ω| k π＋π2，k ∈Z k π＋π2－φωk π，k ∈Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－φω，0 2k π－π2 2k π＋π2 2k π＋π2 2k π＋3π2预习交流3：提示：对称中心为图像与x 轴的交点坐标，在对称轴处图像位于最高点或最低点，也可以说函数在对称轴处取得最大值或最小值．1．用“五点法”作正弦函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率、初相和单调区间．用“五点法”作出函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图像，并指出它的振幅、周期、频率、初相、相位．“五点法”作图，要抓住要害，即要抓住五个关键点，使函数式中的ωx＋φ分别取0，π2，π，3π2，2π，然后求出相应的x ，y 值，作出图像．2．图像变换用两种方法将函数y ＝sin x 的图像变换为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像．思路分析：变换过程可以先平移后伸缩，也可以先伸缩后平移．将函数y ＝f (x )的图像上每一点的纵坐标变为原来的12，再将横坐标变为原来的12，最后将整个图像向左平移π3个单位，可得y ＝sin x 的图像，求函数f (x )的解析式．思路分析：逆向思考解答此问题．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像可以看作把函数y ＝12sin 2x 的图像向__________平移__________个单位得到．由y ＝sin x 的图像，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图像，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．3．根据图像确定函数解析式如图，它是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图像，由图中条件写出该函数的解析式．1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(0＜φ＜2π，A ＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是__________．2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R )的部分图像如图所示，求函数表达式．由图像确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，主要从以下三个方面来考虑：(1)A 的确定：根据图像的“最高点，最低点”确定A ；(2)ω的确定：结合图像先求周期T ，然后由T ＝2πω(ω＞0)确定ω；(3)φ的确定：常用的方法有： ①代入法：把图像上的一个已知点或图像与x 轴的交点代入(此时，A ，ω已知)求解．(此时要注意交点在上升区间还是在下降区间上)②五点法：确定φ的值时，往往以寻找“五点”中的第一个“零点”⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口．“五点”中的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图像的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.4．y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的性质及综合应用已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6＋1(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图像的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移π6个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )的单调递减区间．思路分析：(1)首先求出ω，φ的值，再求出f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值；(2)求出y ＝g (x )的解析式，再确定单调递减区间．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数f (x )的单调递增区间．(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)为偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；为奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )．同理，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)为偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；为奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )．(2)求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，首先把x 的系数化为正的，再利用整体代换，即把ωx ＋φ代入相应不等式中，求解相应的变量x 的范围．答案：活动与探究1：解：(1)列表：列表时2x ＋π3取值分别为0，π2，π，3π2，2π，再求出相应的x 值和y 值.(2)描点：在直角坐标系中描出点⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0.(3)连线：用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如下图所示．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R 的简图(图略)． 这个函数的振幅是2，周期是T ＝2π2＝π，频率是f ＝1T ＝1π，初相是π3.函数的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )． 同理，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．(2)描点：在直角坐标系中描出点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2，－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2，0， (3)连线：将所得五点用光滑的曲线连起来，如图所示．这样就得到了函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4在一个周期内的图像，再将这部分图像向左或向右扩展就得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R 的图像．这个函数的振幅为3，周期是T ＝2π12＝4π，频率f ＝1T ＝14π，初相为－π4，相位是12x －π4.活动与探究2：解：方法一：(先平移后伸缩)y ＝sin x 的图像y＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像――――――――――→横坐标不变纵坐标伸长为原来的2倍y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像． 方法二：(先伸缩后平移)y ＝sin x 的图像y ＝sin 3x 的图像y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像―――――――――→纵坐标伸长为原来的2倍横坐标不变y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像．活动与探究3：解：将y ＝sin x 的图像向右平移π3个单位得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图像，把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图像，再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图像上所有点的纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图像．∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3.迁移与应用：右 π8解析：y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8， ∴由y ＝12sin 2x 的图像向右平移π8个单位便得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像．活动与探究4：解：由图像知，A ＝3. ∵T 2＝5π6－π3＝π2，∴T ＝π. ∴ω＝2πT＝2.∴y ＝3sin(2x ＋φ)．下面求φ.方法一：(单调性法)∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0在递减的区间上，∴2π3＋φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z . 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，得2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z .又∵|φ|＜π，∴φ＝π3.方法二：(最值点法)将最高点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3代入y ＝3sin(2x ＋φ)，得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝3.∴φ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z .∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z .又∵|φ|＜π，∴φ＝π3.方法三：(起始点法)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x 正是由ωx ＋φ＝0解得的，故只要找出起始点的横坐标x ，就可以迅速求得初相φ.由图像求得x 0＝－π6.故φ＝－ωx 0＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π3.方法四：(平移法)由图像知，将y ＝3sin 2x 的图像沿x 轴向左平移π6个单位，就得到本题图像，故φ＝2×π6＝π3.综上，所求函数的解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 迁移与应用：1.62 解析：由题图知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4， ∴T ＝π，ω＝2ππ＝2.∴2×π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z .∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z .∵0＜φ＜2π，令k ＝0，得φ＝π3.∴函数解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∴f (0)＝2sin π3＝62.2．解：由图像知A ＝4，T2＝6－(－2)＝8，∴T ＝16.从而2πω＝16，∴ω＝π8.由π8×6＋φ＝k π，k ∈Z 得φ＝k π－3π4，k ∈Z . ∵|φ|＜π2，令k ＝1，得φ＝π4.∴函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4.活动与探究5：解：(1)∵f (x )为偶函数，∴φ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋2π3，k ∈Z .又∵0＜φ＜π，∴φ＝2π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＋1＝2cos ωx ＋1. 又函数y ＝f (x )的图像的两相邻对称轴间的距离为π2，∴2πω＝2×π2，∴ω＝2. 故f (x )＝2cos 2x ＋1，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋1＝2＋1.(2)将f (x )的图像向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的图像． 所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＋1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3＋1. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减．因此g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z )． 迁移与应用：解：(1)由2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，得φ＝k π＋π4，k ∈Z ，∵－π＜φ＜0，令k ＝－1得φ＝－3π4.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4. (2)由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z .∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π5的周期、振幅各是( )．A ．4π，－2B ．4π，2C ．π，2D ．π，－22．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图像，只需将y ＝sin 2x 的图像( )． A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π6个单位C ．向右平移π3个单位D ．向左平移π3个单位3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图像( )．A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称4．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在[0，π]上的单调减区间是__________．5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)上的最高点为(2，2)，该最高点到相邻的最低点间曲线与x 轴交于一点(6,0)，求函数解析式，并求函数在x ∈[－6,0]上的值域．答案：1．B 2.D3．D 解析：由题意知ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 当x ＝π3时，f (x )＝0，所以f (x )关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称． 当x ＝π4时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝cos π3＝12， 所以f (x )不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，也不关于直线x ＝π4对称． 4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12 解析：由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ， ∵x ∈[0，π]，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在[0，π]上的递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12. 5．解：由题意知A ＝2，T4＝6－2＝4，∴T ＝16. 又2πω＝16，∴ω＝π8. 又π8×6＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z .∵|φ|＜π2，令k ＝0，得φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4.∵x ∈[－6,0]，∴π8x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π4.∴f (x )∈[－2，1]．∴函数在x ∈[－6,0]上的值域是[－2，1]．。
高中数学第一章三角函数18函数y=Asin(ωx+φ)的图象课堂北师大版4!
1.8 函数y=Asin （ωx+φ）的图象课堂导学三点剖析1.求y=Asin(ωx+φ)的振幅,周期,频率,相位及初相 【例1】 用五点法作出函数y=2sin(x-3π)+3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间.思路分析：本题考查y=Asin(ωx+φ)的基本概念,注意辨别初相与相位. 解：列表如下：x3π 65π 34π 611π37π x-3π 02π π 123π 2π y 3 5313描点作图，如下图：周期T=2π，频率f=T 1=π21，相位x-3π，初相-3π，最大值5，最小值1，单调减区间［2k π+65π,2k π+611π］(k∈Z ),单调增区间［2k π-6π,2k π+65π］(k∈Z ).友情提示y=Asin(ωx+φ)+k 沿y 轴方向平移，所以函数最值发生变化.（1）用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)+k 的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x 轴的交点.（2）用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)+k 的图象的步骤是： 第一步：列表x ωϕ-ωϕωπ-2 ωϕωπ- ωϕωπ-23 ωϕωπ-2 ωx+φ 0 2ππ 23π 2π ykA+kkk-Ak注意：由ωx+φ=0、2π、π、23π、2π先求出x ，再由ωx+φ的值求出y 的值.第二步：在同一坐标系中描出各点.第三步：用光滑的曲线连接这些点，而成图象.各个击破 类题演练 1 已知函数y=3sin(2x+3π). (1)求出它的周期;(2)用“五点法”作出一个周期的简图； （3）指出函数的单调区间. 解析:(1)周期为:T=22π=π. (2)列表. 2x+3π 02π π23π 2πx6π-12π 3π 127π 65π y 0 3-3描点连线（如下图）（3）可见在一个周期内,函数在［12π,127π］上递减,又因函数的最小正周期为π,所以函数的递减区间为［k π+12π,k π+127π］(k∈Z ).同理,增区间为［k π-125π,k π+12π］(k∈Z ).变式提升 1如右图，已知y 1=Asin(ωx+φ)的一个周期的图象. （1）写出y 1的解析式；（2）若y 2与y 1的图象关于直线x=2对称，写出y 2的解析式； （3）指出y 2的周期、频率、振幅和初相. 解析:（1）由题图易知：A=2,T=7-(-1)=8,ω=82ππ=2T =4π. ∴y 1=2sin(4πx+φ)，将点（-1，0）代入得 2sin(-4π+φ)=0.∴φ=4π.∴y 1=2sin(4πx+4π).（2）作出与y 1的图象关于直线x=2对称的图象，可以看出y 2的图象相当于将y 1的图象向右平移2个单位得到的.∴y 2=2sin ［4π(x-2)+4π］=2sin(4πx-4π). （3）由（2）知，y 2的周期T=42ππ=8，频率f=811=T ，振幅A=2,初相φ=-4π.2.由y=sinx 到y=Asin(ωx+φ)以及由y=cosx 到y=Acos(ωx+φ)的图象变换【例2】 要得到函数y=sin(2x-3π)的图象，只要将y=sin 21x 的图象（ ）A.先把每个x 的值扩大4倍，y 值不变，再向右平移3π个单位B.先把每个x 的值缩小4倍，y 值不变，再向左平移3π个单位C.先把每个x 的值扩大4倍，y 值不变，再向左平移6π个单位D.先把每个x 的值缩小4倍，y 值不变，再向右平移6π个单位解析:21x→2x，先缩小4倍，又∵-3π＜0，∴右移23π=6π.答案:D 友情提示 y=sin21x 变换成y=sin2x 是把每个x 值缩小4倍，有的同学错认为是扩大4倍，这样就错选A 或C ；再把y=sin2x 变换成y=sin(2x-3π)，即变为y=sin2(x-6π)，则应当向右平移6π，有的同学认为是平移3π，这样导致错选A 或B ；也有的同学左右平移方向搞错，导致出错. 类题演练 2 作出函数y=3cos(2x-4π)的图象,并说明这个图象可以由y=cosx 的图象经过怎样的变化得到?解析:①列出五个关键点如下: 2x-4π 02π π23π 2πx8π 83π 85π 87π 89π y 3 0-3②描点作图.③以π为周期把所得图象向左,右扩展,得 y=3cos(2x-4π)的图象. 这个图象可以由y=cosx 的图象先向右平移4π个单位,再将图象上每一点的横坐标压缩到原来的21,每一点的纵坐标伸长到原来的3倍而得到. 变式提升 2使函数y=f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标缩小到原来的21倍,然后再将其图象沿x 轴向左平移6π个单位得到的曲线与y=sin2x 的图象相同,则f(x)的表达式为（ ） A.y=sin(4x-3π) B.y=sin(x-6π)C.y=sin(4x+3π)D.y=sin(x-3π)解析:据题意,y=sin2x −−−−−→−个单位向右平移6πy=sin2(x-6π)=sin(2x-3π)y=sin(x-3π). 答案:D3.根据图象写出函数的解析式 【例3】 如下图所示,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为(125π,3)和(1211π,-3). 求该函数的解析式.思路分析：根据相邻的最高点与最低点确定2T从而确定ω;由点的坐标满足图象解析式,代入得出φ.解:依题意知A=3,设最小正周期为T,则12512112ππ-=T =2π,∴T=π,又T=ωπ2, ∴ω=2.∴函数解析式为y=3sin(2x+φ).∵点(125π,3)在图象上, ∴3=3sin(2×125π+φ)⇒sin(65π+φ)=1.⇒65π+φ=2k π+2π⇒φ=2k π-3π,k∈Z . ∴y=3sin(2x+2k π-3π).故y=3sin(2x-3π)为所求. 友情提示这类问题的求解难点是φ的确定,除以上方法外,常用移轴方法:做平移,使移轴公式为x=x′+6π,y=y′,则易知函数在新坐标系中的方程是y′=3sin2x′,而x′=x -6π. ∴所求函数y=3sin ［2(x-6π)］,而平移时,方向与符号易出错.类题演练 3如下图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足y=Asin(ωx+φ)+b ，(1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. 解析:(1)20°. (2)A=10,b=20. ∵2T=14-6=8, ∴T=16. ∴16=ωπ2, ∴ω=8π. ∴y=10sin(8πx+φ)+20. 由五点法知,10sin(8π×6+φ)+20=10.即8π×6+φ=23π,∴φ=43π.∴y=10sin(8πx+43π)+20,x∈［6,14］.变式提升 3如右图,它是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),|φ|<π的图象,根据图中数据,写出该函数解析式.解析:由图象知,A=5,T=3π,于是ω=32,所以y=5sin(32x+φ). 将最高点坐标(4π,5)代入y=5sin(32x+φ),得5sin(6π+φ)=5.∴6π+φ=2k π+2π,∴φ=2k π+3π,(k∈Z ),取φ=3π. ∴该函数的解析式为y=5sin(32x+3π).。
高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asin(ωx+φ)的图像例题与探究(含解析)北师大版必修4
1.8 函数y=Asin （ωx+φ）的图像典题精讲1.由函数y ＝sinx 的图像经过怎样的变换得到函数y ＝sin(ωx＋φ)（ω＞0）的图像？ 剖析：由y ＝sinx 的图像变换出y ＝sin(ωx＋φ)的图像一般有两个途径. 途径一：先相位变换，再周期变换先将y ＝sinx 的图像向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移｜φ｜个单位；再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的ω1倍（纵坐标不变），得y ＝sin(ωx＋φ)的图像. 途径二：先周期变换，再相位变换先将y ＝sinx 的图像上各点的横坐标变为原来的ω1倍（纵坐标不变）；再将得到的图像沿x 轴向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx＋φ)的图像.疑点是这两种途径在平移变换中，为什么沿x 轴平移的单位长度不同？其突破口是化归到由函数y=f(x)的图像经过怎样的变换得到函数y=f(ωx+φ)的图像.只有区别开这两个途径，才能灵活进行图像变换.若按途径一有：先将y=f(x)的图像向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移｜φ｜个单位，得函数y=f(x+φ)的图像；再将函数y=f(ωx)的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍，得y=f(ωx+φ）的图像. 若按途径二有：先将y=f(x)的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍，得函数y=f(ωx)的图像；再将函数y=f(ωx)的图像上各点沿x 轴向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移ωϕ||个单位，得y=f(ωx+φ）的图像.若将y=f(x)的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，得函数y=f(ωx)的图像；再将函数y=f(ωx)的图像上各点沿x 轴向左(φ＞0)或向右（φ＜0）平移|φ|个单位，得到y=f ［ω(x+φ)］的图像，即函数y=f(ωx+ωφ)的图像，而不是函数y=f(ωx+φ)的图像.例如：由函数y ＝sinx 的图像经过怎样的变换得到函数y ＝sin(2x ＋3π)的图像？ 方法1：（先相位变换，再周期变换）先将y ＝sinx 的图像向左平移3π个单位得函数y ＝sin(x ＋3π)；再将函数y ＝sin(x ＋3π)图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的21倍，得y＝sin(2x ＋3π)的图像.方法2：（先周期变换，再相位变换）先将f(x)=sinx 的图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的21倍，得函数f(x)=sin2x 的图像；再将函数f(2x)=sin2x 的图像上各点沿x 轴向左平移6π个单位，得f ［2(x+6π)］=sin2(x+6π)的图像，即函数y=sin(2x+3π)的图像.在方法2中，得到函数f(2x)=sin2x 的图像后，如果把f(2x)=sin2x 图像沿x 轴向左平移3π个单位，得f ［2（x+3π)］=sin2(x+3π)的图像，即函数y=sin(2x+32π)的图像，而不是函数y ＝sin(2x ＋3π)的图像. 由以上可见，利用变换法作y ＝Asin(ωx＋φ)的图像时，通常先进行相位变换，后进行周期变换，这样可避免出错.由于容易出错，因此是高考题和模拟题的热点之一. 例如：(2006江苏高考卷，4)为了得到函数y=2sin(3x +6π),x∈R 的图像，只需把函数y=2sinx,x∈R 的图像上所有的点（ ）A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）思路解析：先将y=2sinx,x∈R 的图像向左平移6π个单位长度，得到函数y=2sin(x+6π),x∈R的图像，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数y=2sin(3x +6π),x∈R 的图像. 答案：C2.如何求型如y=Asin(ωx+φ)+b(ω＜0)函数的单调递增区间?以y=2sin(3π-2x)+1为例说明.剖析：复合函数的单调性的复合规律为：若函数y=f(u)与u=g(x)的增减性相同(相反)，则y=f\[g(x)\]是增(减)函数，可概括为“同增异减”.函数y=2sin(3π-2x)+1的定义域是R. 函数y=2sin(3π-2x)+1是复合函数，y=f(u)＝2u+1，u=sin(3π-2x).则要求函数y=2sin(3π-2x)+1的单调递增区间，需求u=sin(3π-2x)的单调递增区间.函数u=sin(3π-2x)又是复合函数，u=sint ，t=3π-2x.则要求函数u=sin(3π-2x)的单调递增区间，需求函数u=sint 的单调递减区间.则正确的解法是：令2kπ+2π≤3π-2x≤2kπ+23π(k∈Z )，∴2kπ+2π-3π≤-2x≤2kπ+23π-3π (k∈Z ).∴2672262-+≥≥-+ππππk x k .∴2672-+ππk ≤x≤2672-+ππk , 即-kπ-127π≤x≤-kπ-12π.∴函数的单调递增区间是［-kπ-127π,-k π-12π］（k∈Z ）. 由此可见原解法求出的区间是函数的单调递减区间.原解法的错误是求复合函数的单调区间时，错误地判断了构成复合函数的内层函数的单调性.综上所得,在求函数y=Asin(ωx+φ)+b 的单调区间时，一定注意其中的参数A 和ω的符号，特别是当A 和ω是负数时，容易出错，其突破口是化归到如何求复合函数的单调区间，这样才不会出错，进而避免：看起来题会，做起来不对，出考场后悔. 典题精讲例1已知函数y=3sin （21x-4π）， （1）用“五点法”画函数的图像；（2）说出此图像是由y=sinx 的图像经过怎样的变换得到的； （3）求此函数的周期、振幅、初相；（4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间. 思路分析：五点法画函数y=3sin （21x-4π）的图像时，应先找出五个关键点，这五个点应该是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点，找出它们的方法是利用整体思想，由ωx+φ＝0，2π，π，23π，2π来确定对应x 的值.求函数的对称轴、对称中心、单调递增区间也是应用整体策略来解决.解：（1）列表21x-4π2π π23π 2πx 2π 23π 25π 27π 29π y3-3描点：在直角坐标系中描出下列各点（2π，0），（23π，3），（25π，0），（27π，-1），（29π，0）；连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到的所求函数的图像如图1-7-1所示.图1-7-1这样就得到了函数y=3sin （21x-4π）在一个周期内的图像，再将这部分向左或向右平移4kπ（k∈Z ），得到函数y=3sin （21x-4π）的图像.（2）方法一：（相位变换在周期变换的前面） ①把y=sinx 的图像上所有的点向右平移4π个单位，得到y=sin （x-21）的图像；②把y=sin （x-4π）的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin （2x -4π）的图像； ③将y=sin （21x-4π）的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin （21x-4π）的图像.方法二：（周期变换在平移变换的前面）①把y=sinx 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin （21x ）的图像； ②把y=sin （21x ）的图像上所有的点向右平移2π个单位，得到y=sin 21（x-2π）=sin （2x -4π）的图像；③将y=sin （21x-4π）的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin （21x-4π）的图像.（3）周期T=ωπ2=212π=4π，振幅A=3，初相是-4π.（4）令21x-4π=2π+kπ，解得x=23π+2kπ，k∈Z ，即函数的对称轴是直线x=23π+2kπ(k∈Z ).令21x-4π=kπ，解得x=2kπ+2π，k∈Z ， 即对称中心为（2π+2kπ，0）(k∈Z ).令-2π+2kπ≤21x-4π≤2π+2kπ，解得-2π+4kπ≤x≤23π+4kπ，k∈Z .即函数的单调递增区间为［-2π+4kπ，23π+4kπ］（k∈Z ）.绿色通道：（1）对于函数y=Asin （ωx+φ），应明确A 、ω决定“形变”，φ决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A 、ω、φ影响单调性.当选用“伸缩在前，平移在后”的变换顺序时，一定注意针对x 的变化，向左或向右平移||ωϕ个单位； (2)画y=Asin （ωx+φ）的图像常用五点法和变换法；(3)求三角函数周期的一般方法是：先将函数转化为y=Asin(ωx+φ)的形式，再利用公式T=ωπ2进行求周期，有时还利用图像法求周期；④对于函数y=Asin （ωx+φ）+B 的单调性、对称性的研究，运用整体策略处理，把ωx+φ看作一个整体，化归为正弦函数y=sinx 来讨论，问题自然就迎刃而解. 变式训练1(2006福建高考卷，理9)已知函数f(x)=2sinωx(ω＞0)在区间［-3π,4π］上的最小值是-2，则ω的最小值等于（ ）A.32B.23C.2D.3 思路解析：方法一：根据函数f(x)=2sinωx(ω＞0)图像的大致位置,得4T ≤3π,又T=ωπ2，所以有2ω≥3，即ω≥23.方法二：（代入验证法）当ω＝32时，f(x)=2sin(32x)，画图像得在区间［-3π, 4π］上的最小值是f(-3π)=2sin(94π-)＞-2，故排除A ；当ω＝23时，f(x)=2sin(23x)，画图像得在区间［-3π, 4π］上的最小值是f(-3π)=-2，故排除C 、D.答案：B变式训练2(2005天津高考卷，文8)要得到函数y=2cosx 的图像，只需将函数y=2sin(2x+4π)的图像上所有的点的（ ） A.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度B.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度思路解析：由于y=2cosx=2(x+2π)，则将函数y=2sin(2x+4π)的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=2sin （x+4π)的图像；再将函数y=2sin （x+4π)的图像向左平行移动4π个单位长度得到函数y=2sin(x+2π),即函数y=2cosx 的图像.答案：C变式训练3(2005全国高考卷Ⅰ，理17)设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π＜φ＜0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=8π. （1）求φ；（2）求函数y=f(x)的单调增区间；（3）画出函数y=f(x)在区间［0,π］上的图像.思路分析：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像与其对称轴交点的纵坐标是函数的最值. 解：（1）∵x=8π是函数y=f(x)的图像的对称轴， ∴sin(2×8π+φ)=±1. ∴4π+φ=kπ+2π,k∈Z . ∴φ=kπ+4π,k∈Z .∵-π＜φ＜0，∴-π＜kπ+4π＜0. ∴45-＜k ＜41-.∴k=-1. ∴φ=-43π. （2）由（1）知y=sin(2x-43π). 令2kπ-2π≤2x -43π≤2kπ+2π,k∈Z , ∴kπ+8π≤x≤kπ+85π,k∈Z ,即函数y=sin(2x-43π)的单调递增区间是［kπ+8π,kπ+85π］(k∈Z ). （3）由y=sin(2x-43π)知： x 08π83π 85π 87π πy22--1 0 1 022-故函数y=f(x)在区间［0,π］上的图像如图1-7-2所示.图1-7-2例2(2005福建高考卷，理6)函数y=sin(ωx+φ)(x∈R ,ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图像如图1-7-3，则（ ）图1-7-3A.ω=2π,φ=4π B.ω=3π,φ=6π C.ω=4π,φ=4π D.ω=4π,φ=45π思路解析：由图像得T=4(3-1)，∴T=8.∴ω=T π2=4π.点(1,1)在函数图像上，则有1=sin(4π+φ)，0≤φ＜2π.∴4π+φ＝2π.∴φ=4π. 答案：C绿色通道：已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的一段图像,求其表达式，其步骤： (1)求A ：图像最上方的点的纵坐标为A 的值，或图像最下方的点的纵坐标的相反数为A 的值.(2)求ω：一般由图像可知周期T,如相邻两个对称中心（或对称轴）的距离为半个周期.再由T=ωπ2求出ω.(3)求φ：确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图像上升(或下降)的零点的横坐标x 0,则令ωx+φ=0(或ωx+φ=π)即可求出φ.有时还可利用已知点(例如最高点或最低点)确定ω与φ.若对A 、ω的符号或对的范围有所要求,则可利用诱导公式通过变换使其符合要求. 变式训练已知函数y=Asin(ωx+φ）（A ＞0,ω＞0,|φ|＜2π)的图像的一个最高点为(2,22)，由这个最高点到相邻最低点的图像与x 轴的交点为(6,0)，试求这个函数的解析式.思路分析：抓住函数y=Asin(ωx+φ）的图像的特征是解本题的关键.解：已知图像最高点为（2，22），∴A=22.又根据题意知从最高点到相邻最低点的图像与x 轴的交点为(6,0)，∴4T =6-2=4，即T=16.∴ω=T π2=8π.将y=22sin(8πx+φ)代入最高点坐标，得22=22sin(8π×2+φ).∴sin(4π+φ)=1.∵|φ|＜2π,∴φ=4π.∴函数的解析式为y=22sin(8πx+4π). 问题探究问题试探讨如何求三角函数的周期？导思：思路1：从定义上分析；思路2：从周期函数的图像上分析；思路3：利用常见的结论.探究：确定三角函数的周期有如下方法：（1）定义法：根据周期函数的定义求周期.关键是找到一个实数T ，使得对任意实数x ，总有f(x+T)=f(x)成立. 例如：求函数y=2sin(2x -6π）的周期. 解：f(x+4π)=2sin［21(x+4π)-6π］=2sin(2x +2π-6π)=2sin(2x -6π)=f(x),∴y=2sin(2x -6π)的周期是4π.定义法是求周期的通性通法，带有一定的普遍性.（2）图像法：画出三角函数的图像，如果图像每隔“一段”就重复出现，则这一段就是一个周期.这种求函数周期的方法称为图像法. 例如：求函数y=|sin2x|的周期.解：画函数y=|sin2x|的图像，如图1-7-4所示.图1-7-4函数y=|sin2x|的图像每隔2π就重复出现，则函数y=|sin2x|的周期是2π. 利用图像法可得如下结论：(A ＞0,ω＞0)①函数y=|Asin(ωx+φ）|的周期是ωπ； ②函数y=|Acos(ωx+φ）|的周期是ωπ；③函数y=|Atan(ωx+φ）|的周期是ωπ.（3）公式法：利用常见的公式（结论），求得三角函数的周期.这种求三角函数周期的方法称为公式法.常见的结论：①一般地，函数y=Asin(ωx+φ)（其中A 、ω、φ为常数，A≠0，ω＞0）的周期T=ωπ.如y=2sin(2x+65π)的周期T=2π=π. ②一般地，函数y=Acos(ωx+φ)（其中A 、ω、φ为常数，A≠0，ω＞0）的周期T=ωπ2.如y=-2cos(3x+6π)周期T=3π.③一般地，函数y=Atan(ωx+φ)（其中A 、ω、φ为常数，A≠0，ω＞0）的周期T=ωπ2.如y=-2tan(4x+6π)周期T=4π. 这三种求周期的方法在高考试题中都经常出现，应引起我们的重视.。
高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质(2)课件1北师大版必修4
故
故函数的值域为[- ,2].
上的值域.
第十五页，共51页。
【方法技巧】函数y=Asin(ωx+φ)+b的值域(最值)的求解策略 (1)x∈R时:把“ωx+φ”视为一个整体(zhěngtǐ),结合函数y=Asinx+b中sinx的有界 性求其值域. (2)x∈[a,b]时:把“ωx+φ”视为一个整体(zhěngtǐ),先依据x∈[a,b],求出“ωx+φ”的 范围,在此基础上类比函数y=Asinx+b值域的求法,结合函数单调性或函数图像 求解.
3因为x08由2知函数fx在02上是增加的在28上是减少的所以当x2时fx有最大值为当x8时fx有最小值为1故fx的值域为1类型二函数yasinx性质的综合应用典例已知函数fxasinxa00的图像在y轴上的截距为1它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为解题探究1怎样确定周期和a的值
1.8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像(tú xiànɡ)与性
误的是 ( )
A.图像C关于直线x=- 对称 B.图像C关于点 对称12
C.函数f(x)在区间
内是增加的
D.由y=3cos2x得图像向右平移(pínɡ yí) 个单位长度可以得到图像C
第二十七页，共51页。
【解析】选C.A,B经验证可知正确(zhèngquè),C中当 不是正弦函数的单调区间,错误; D中y=3cos2x得图像向右平移 5个单位长度可以得到y=3cos
12 因为 正确(zhèngquè).
第二十八页，共51页。
【补偿(bǔcháng)训练】已知函数f(x)=2sin
(ω>0)的最小正周期为
π.
(1)求函数f(x)的递增区间.
高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象课
关系?
提示y=Asin(ωx+φ)的图象可以由函数y=sin(ωx+φ)的图象经过上
下伸缩变换得到.
一
二
三
四
思维辨析
2.填空:如图,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ) 的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原 来的A倍(横坐标不变)而得到的.
1.作出函数y=Asin(ωx+φ)的图象可有哪些方法?如果用图象变换 法,那么是先平移后伸缩还是先伸缩后平移呢?
提示作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以用“五点法”,也可根据图象 间的关系通过变换法得到;如果用图象变换法,那么既可以先平移 后伸缩,也可以先伸缩后平移.
2.填空:(1)五点法:①列表 ωx+φ 通常取 0,π2,π,32π,2π 这五个值 ;②描点;③连线.
数( )的图象.
A.y=sin
������
+
π 5
C.y=sin
π 5
-������
B.y=sin
������-
π 5
D.y=sin
5������-
π 5
解析将函数 y=sin x 的图象向右平移π5个单位,可以得到函数
y=sin
������-
π 5
的图象.
答案B
一
二
三
四
思维辨析
二、ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)的图象的影响
伸缩变换得到.
一
二
三
四
思维辨析
2.填空:如图,函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ)
高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asin(ωx φ)的图象(1)课件3新人教A版必修4
个单位长度得
3
y2=sin[(2x+ )- ]=sin(2x+ )=cos 2x的图象.
36
2
【补偿训练】将y=sin x的图象怎样变换可得到函数y=2sin(2x+ )
3
23
6
12
只需将函数y=cos 2x的图象向左平移 个单位长度，可得到此函数
12
的图象.
答案：左
12
【延伸探究】若把本例2中的“ -2x”改为“ +2x”，其他条件不
3
3
变，应如何变换？
【解析】因为 y cos 2x sin( 2x) sin[2(x ) ]
A.向左平行移动 1 个单位长度
2
B.向右平行移动 1 个单位长度
2
C.向左平行移动1个单位长度
D.向右平行移动1个单位长度
2.(2015·苏州高一检测)要得到函数y=sin( -2x)，只需将函数 y=cos 2x的图象向______平移_______个单位3长度.
【解题探究】1.典例1中，为确定平移方向和平移量，需对
26
f(x)=sin( 1)x，所 以
f ( ) sin(1 ) sin 2 .
26
6
26 6
42
答案： 2
2
【方法技巧】三角函数图象伸缩变换的方法
【变式训练】(2015·温州高一检测)将函数y=sin(x-
6
)的图象上所有
点的横坐标缩短为原来的 1(纵坐标不变)，再将所得函数的图象向左
-x)=cos(x- )=cos[(x-
2
)-
6
]，
3
所以将函数y=cos(x- )的图象向右平移 个 单位长度可得到函数
高中数学 第一章 三角函数 1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)学案 苏教版必修4-
1．3.3 函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)[学习目标] 1.理解y ＝A sin(ωx ＋φ)中ω、φ、A 对图象的影响.2.掌握y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．[知识链接] 1．“五点法”作图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1，(2π，0)．2．交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系？ 答 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似，从解析式来看，函数y ＝sin x 就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在A ＝1，ω＝1，φ＝0时的情况． [预习导引]1．函数s ＝A sin(ωx ＋φ)的振幅、周期、频率等在s ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，其中A 为物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间T ＝2πω，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f ＝1T ＝ω2π，称为振动的频率；ωx ＋φ称为相位，x ＝0时的相位φ称为初相．2．φ、ω、A 对y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的影响(1)函数y ＝sin(x ＋φ)(其中φ≠0)的图象，可以看做是将函数y ＝sin x 上所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位而得到的．(2)函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看做是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上的所有点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到的．(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看做是把y ＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍(横坐标不变)而得到的．3．函数y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0)的图象可以看做是由下面的方法得到：先画出函数y ＝sin x 的图象；再把正弦曲线向左(当φ>0时)或右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度，得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.要点一 三角函数图象的平移变换例1 要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象________． ①向左平移π3个单位；②向右平移π3个单位；③向左平移π6个单位；④向右平移π6个单位．答案 ③解析 因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 所以把y ＝sin 2x 的图象上所有点向左平移π6个单位，就得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．规律方法 已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：①将两个函数解析式化简成y ＝A sin ωx 与y ＝A sin(ωx ＋φ)，即A 、ω及名称相同的结构． ②找到ωx →ωx ＋φ，变量x “加”或“减”的量，即平移的单位为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω. ③明确平移的方向．跟踪演练1 要得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象________．①向左平移π8个单位；②向右平移π8个单位；③向左平移π4个单位；④向右平移π4个单位．答案 ①解析 y ＝sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8－π4若设f (x )＝sin 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8－π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以向左平移π8个单位．要点二 三角函数图象的伸缩变换例2 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数解析式是__________________． 答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R 解析 把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． 规律方法 三角函数图象变换容易出错，尤其是既涉及平移变换又涉及伸缩变换．平移时，若x 的系数不是1，需把x 的系数先提出，提出后括号中的x 加或减的那个数才是平移的量，即x 的净增量．方向的规律是“左加右减”．伸缩时，只改变x 的系数ω，其余的量不变化，伸长时系数|ω|减小，缩短时|ω|增大．跟踪演练2 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数解析式是__________________．答案 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3，x ∈R 解析 将y ＝sin x 图象上的所有的点向左平移π3个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3.要点三 三角函数图象的综合变换例3 把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式．解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3――――――――――→横坐标缩短到原来的32倍y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3――――――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3――――――――→向左平移π6个单位y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝3cos x .∴f (x )＝3cos x .规律方法 (1)本例已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法．(2)已知函数f (x )图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可．跟踪演练3 将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，然后再将整个图象沿x轴向右平移π2个单位，得到的曲线与y ＝12sin x 图象相同，则y ＝f (x )的函数解析式为________．答案 y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2⎝ ⎛⎭⎪⎫或y ＝12cos x 21．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点________________________． 答案 向左平行移动12个单位长度解析 y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2(x ＋12)的图象，即函数y ＝sin(2x ＋1)的图象．2．由y ＝3sin x 的图象变换到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位． 答案π3 23π 3．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为________． 答案 ±124．将函数y ＝sin(－2x )的图象向左平移π4个单位，所得函数图象的解析式为__________________． 答案 y ＝－cos 2x解析 y ＝sin(－2x )――――――――→左移π4个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－cos 2x .1.由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同： (1)先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位． (2)先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位．2．类似地，y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到．一、基础达标1．函数y ＝sin 2x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为f (x )＝________. 答案 sin x2．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象________．①向左平移π3个单位长度；②向右平移π3个单位长度；③向左平移π6个单位长度；④向右平移π6个单位长度．答案 ②3．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是__________________． 答案 y ＝1＋cos 2x解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin 2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x＋π2)＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x . 4．将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数________．①在区间[π12，7π12]上单调递减；②在区间[π12，7π12]上单调递增；③在区间[－π6，π3]上单调递减；④在区间[－π6，π3]上单调递增．答案 ②解析 y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x －23π)．令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin(2x －23π)的增区间为[k π＋π12，k π＋712π]，k ∈Z .令k ＝0得其中一个增区间为[π12，712π]，故②正确．画出y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上的简图，如图，可知y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上不具有单调性，故③④错误．5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是________． ①y ＝f (x )是奇函数； ②y ＝f (x )的周期为π；③y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称；④y ＝f (x )的图象关于点(－π2，0)对称． 答案 ④解析 由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，①错；它的周期为2π，②错；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，③错；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，④对．6．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象________．①向右平移π6个单位长度；②向右平移π3个单位长度；③向左平移π6个单位长度；④向左平移π3个单位长度．答案 ②解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.7．怎样由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，试叙述这一过程．解 方法一 y ＝sin x ――→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 方法二 y ＝sin x ――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin 2x ――→向右平移π6个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 二、能力提升8．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4图象上的所有点的________．①横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度；②横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度；③横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度；④横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度．答案 ③解析 ∵y ＝2cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4――→纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4―――――――――――→向左平移π4个单位长度 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2. 9．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象； ④函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的． 其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)． 答案 ①③10．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f (π6)＝________.答案22解析 将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin(x ＋π6)的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin(12x ＋π6)的图象，故f (x )＝sin(12x ＋π6)，所以f (π6)＝sin(12×π6＋π6)＝sin π4＝22.11．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x (x ∈R )．经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)．解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12.∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称， ∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位即可．12．使函数y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，求f (x )的表达式．解 方法一 正向变换y ＝f (x )――→横坐标缩小到原来的12y ＝f (2x )――→沿x 轴向左平移π6个单位y ＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x . 令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3，∴f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.方法二 逆向变换据题意，y ＝sin 2x ――→沿x 轴向右平移π6个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.三、探究与创新13．已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω＞0；(1)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解 (1)因为ω＞0，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≥－π2，2π3ω≤π2，解得0＜ω≤34. (2)f (x )＝2sin 2x ， g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1 g (x )＝0⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3， 故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。
第1部分 第一章 §8 第一课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图像
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观察下列表格.
y
0
y＝sin12x 中的 x 0
y＝sin x 中的 x 0
y＝sin 2x 中的 x 0
1 0 －1 0
π 2π 3π 4π
π 2
π
3 2π
2π
π 4
π 2
3 4π
π
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问题 1：当 y＝1 时对应 x 值相同吗？有何关系？ 提示：不相同，sin12x 中的 x 取值是 sin x 中 x 的取值 的 2 倍，sin 2x 中的 x 取值是 sin x 中 x 的取值的12. 问题 2：当 y＝－1 时，也有相同的关系吗？ 提示：有．
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(2)通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系 数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五 个点中的哪一点，并能正确代入列式．
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4．下列表示最大值是12，周期是 6π，初相是π6的三角函
数的表达式的是
()
A．y＝12sinx3＋π6
B．y＝12sin3x＋π6
Asin(ωx＋φ)的图像，其变化途径有两条：
(1)y＝sin x―相―位―变―换→y＝sin(x＋φ)―周―期―变―换→y＝sin(ωx＋
φ)―振―幅―变―换→y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y ＝ sin
x
周期变换 ―――→
y
＝
sin
ωx
相位变换 ――――→
y
＝
sin(ωx
＋
φ)―振―幅―变―换→y＝Asin(ωx＋φ)．
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问题 3：试想 y＝sin x 和 y＝sin 2x 之间有何关系？ 提示：只要将函数 y＝sin x 图像上的每个点的横坐标都缩 短为原来的12，纵坐标不变，就得到 y＝sin 2x 的图像． 问题 4：从上表分析它们的周期分别是什么？ 提示：4π，2π，π. 问题 5：试想 y＝sin ωx(ω>0)的周期是什么？ 提示：2ωπ.
高中数学 第一章 三角函数 8 第2课时 函数y=Asin(ωx+
第2课时函数y＝A sin(ωx＋φ)的性质[核心必知]函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质定义域(－∞，＋∞)值域[－A，A]周期T＝2πω奇偶性由角φ的值决定单调性增区间：由2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)求得；减区间：由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋32π(k∈Z)求得对称轴由方程ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)解得对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得中心横坐标[问题思考]1．函数y＝sin(－2x)的周期是多少？提示：π，因为sin(－2x)＝－sin 2x，所以y＝sin(－2x)与y＝sin 2x的周期相同．2．函数y＝A sin(ωx＋φ)的对称中心和对称轴各有什么特点？提示：对称中心为图像与x轴的交点；对称轴为过其图像最高点或最低点与x轴垂直的直线．3．y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫ωx＋π2是偶函数吗？提示：因为sin⎝⎛⎭⎪⎫ωx＋π2＝cos ωx，所以y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫ωx＋π2是偶函数．讲一讲1．求下列函数的周期 (1)y＝12sin π3x ；(2)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.[尝试解答] 法一：(1)y ＝12sin π3x＝12sin(π3x ＋2π) ＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3（x ＋6）， ∴此函数的周期为6. (2)y ＝3sin(2x ＋π6)＝3sin(2x ＋π6＋2π)＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋π）＋π6， ∴此函数的周期为π 法二：(1)T ＝2ππ3＝6.(2)T ＝2π2＝π.求三角函数周期的方法．方法一：公式法，利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或函数y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 的周期公式T ＝2π|ω|来求；方法二：定义法：满足等式f (x ＋T )＝f (x )的非零常数T 为y ＝f (x )的周期．讲一讲2．求函数y ＝3sin(π3－x2)的单调增区间．[尝试解答] y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2 ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝⎛⎭⎪⎫π3－x 3＝3sin(x 2＋2π3)，由－π2＋2k π≤x 2＋2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－7π3＋4k π≤x ≤－π3＋4k π，k ∈Z .∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－7π3，4k π－π3(k ∈Z )．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0)的单调区间最基本的方法是“整体代换”．(1)ω>0时，解2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )得单调递增区间，解2k π＋π2≤ωx＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )得单调递减区间．讲一讲3．求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最值时的x 的取值集合． (1)y ＝3sin(2x －2π3)；(2)y ＝3－2sin(3x ＋π6)．[尝试解答] (1)当2x －2π3＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋7π12(k ∈Z )时，y max ＝3，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋7π12，k ∈Z . 当2x －2π3＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π12(k ∈Z )时，y min ＝－3，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π12，k ∈Z .(2)当3x ＋π3＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝2k π3－5π18(k ∈Z )时，y max ＝5，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π3－5π18，k ∈Z . 当3x ＋π3＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝2k π3＋π18，k ∈Z 时，y min ＝1，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π3＋π18，k ∈Z .函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的值域为[－A ，A ]，分别在ωx ＋φ＝－π2＋2k π和ωx ＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z 处取得最小值－A 和最大值A ，其实质是将ωx ＋φ看作一个整体z ，将问题转化为函数y ＝A sin z 的最小值和最大值问题．练一练3．已知函数f (x )＝2cos(π3－x2)，若x ∈[－π，π]，求f (x )的最大值、最小值．解：f (x )＝2cos(π3－x 2)＝2cos(x 2－π3)．由－π≤x ≤π，得－5π6≤x 2－π3≤π6.当x 2－π3＝0，即x ＝2π3时，[f (x )]max ＝2. 当x 2－π3＝－5π6，即x ＝－π时，[f (x )]min ＝－ 3.讲一讲4．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0，φ取何值时，f (x )是奇函数． [尝试解答] 因为x ∈R ，要使f (x )为奇函数，需f (0)＝0， 所以sin φ＝0， 所以φ＝k π，k ∈Z . 而当φ＝k π时，f (x )＝A sin(ωx ＋k π)＝而f (x )＝A sin ωx 与f (x )＝－A sin ωx 都是奇函数． 所以当φ＝k π，k ∈Z 时，f (x )为奇函数．f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性：(1)φ＝k π(k ∈Z )时，f (x )为奇函数； (2)φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )为偶函数；(3)φ为象限角时，f (x )为非奇非偶函数． 练一练4．设函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)，A >0，ω>0，φ为何值时，f (x )为偶函数？ 解：由f (x )＝f (－x )得A cos(ωx ＋φ)＝A cos(－ωx ＋φ)．根据余弦函数的特点，ωx ＋φ＝ωx －φ＋2k π，φ＝k π，k ∈Z .故φ＝k π，k ∈Z 时，f (x )为偶函数．已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b 的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域是[－5，1]，求a ，b 的值．[巧思] 题目中函数的定义域和值域已知，可以先在定义域⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2下求出sin(2x ＋π6)的范围，因为a 的符号不确定，所以可以分a >0，a <0的两种情况进行讨论．[妙解] ∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6.∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.1．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1的最小值和最小正周期是( ) A ．－3－1，π B ．－3＋1，π C ．－3，π D ．－3－1，2π 解析：选A ∵3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小值是－ 3. ∴f (x )的最小值是－3－1.f (x )的周期T ＝2π2＝π. 2．函数y ＝8sin ⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋π3取最大值时，自变量x 的取值集合是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝－5π6＋k π3，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝π36＋k π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π3，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝π9＋k π3，k ∈Z解析：选B 当6x ＋π3＝2k π＋π2，k ∈Z 时y 最大．即x ＝π36＋k π3，k ∈Z .3．(福建高考)函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：选C f (x )＝sin(x －π4)的图像的对称轴为x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋3π4，当k ＝－1时，则其中一条对称轴为x ＝－π4.4．(江苏高考)函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 解析：T ＝2π2＝π.答案：π5．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图像的两条相邻对称轴之间的距离是________． 解析：∵T ＝2π3，两条相邻对称轴之间的距离是周期的一半，即为π3.答案： π36．求函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间． 解：y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.令－π＋2k π≤x －π4≤2k π(k ∈Z )，则－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π(k ∈Z )．所以y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )．一、选择题1．(福建高考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：选C f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图像的对称轴为x －π4＝k π＋π2，(k ∈Z )，得x ＝k π＋3π4(k ∈Z )，当k ＝－1时，则其中一条对称轴为x ＝－π4.2．函数y ＝2sin(2x ＋52π)的奇偶性为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：选B y ＝2sin(2x ＋52π)＝2cos 2x ，∴是偶函数．3．(新课标全国卷)已知ω>0，0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则 φ＝( )A.π4B.π3 C.π2 D.3π4解析：选A 由于直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的两条相邻的对称轴，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π，所以ω＝1，所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，又0<φ<π，所以φ＝π4.4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增加的B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增加的C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减少的D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减少的 解析：选A ∵f (x )的最小正周期为6π， ∴ω＝13，∵当x ＝π2时，f (x )有最大值，∴π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3＋2k π， ∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π3在区间[－2π，0]上是增加的． 二、填空题5．函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－ωx 的周期为4π(ω∈R )，则ω＝________． 解析：因为y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期T ＝2π|ω|，所以T ＝2π|ω|＝4π，即|ω|＝12，所以ω＝±12.答案：±126．函数y ＝2sin(x －π6)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上的值域是________．解析：∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤x －π6≤π6.∴－1≤sin(x －π6)≤12，故y ∈[－2，1]． 答案：[－2，1]7．已知方程2sin(x ＋π4)＝k 在x ∈[0，π]上有两个解，则实数k 的范围是________．解：令y 1＝2sin(x ＋π4)，y 2＝k ，在同一坐标系内作出它们的图像，(0≤x ≤π)，由图像可知，当1≤k <2时，直线y 2＝k 与曲线y 1＝2sin(x ＋π4)在0≤x ≤π上有两个公共点，即当1≤k <2时，原方程有两个解．答案：[1，2)8．若ω>0，函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增加的，则ω的取值范围是________． 解析：由－π2≤ωx ≤π2，得f (x )的一个递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω.由题设得⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω. ，∴0<ω≤32.答案：(0，32]三、解答题9．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间．解：(1)∵直线x ＝π8是函数y ＝f (x )的图像的一条对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1，∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∵－π<φ<0， ∴φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4.- 11 - 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z . 解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z . ∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递增区间是[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )． 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图像关于点M (3π4，0)对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．解：∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0≤φ≤π，∴φ＝π2.由图像关于M (34π，0)对称可知，sin(34πω＋π2)＝0，即3π4ω＋π2＝k π，k ∈Z ，解得ω＝43k －23，k ∈Z .又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2，又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23，当k ＝2时，ω＝2.。
高中数学第一章三角函数8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(二)学案北师大版必修4(2021
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§8函数y＝A sin（ωx＋φ)的图像与性质(二)学习目标 1.会用“五点法”画函数y＝A sin（ωx＋φ)的图像。
2。
能根据y＝A sin(ωx＋φ)的部分图像，确定其解析式。
3.了解y＝A sin（ωx＋φ）的图像的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.知识点一“五点法”作函数y＝A sin（ωx＋φ)（A>0，ω>0）的图像思考1 用“五点法”作y＝sin x，x∈［0，2π]时,五个关键点的横坐标依次取哪几个值？答案依次为0，错误!，π，错误!，2π.思考2 用“五点法”作y＝A sin（ωx＋φ)时,五个关键的横坐标取哪几个值？答案用“五点法"作函数y＝A sin（ωx＋φ）（x∈R)的简图，先令t＝ωx＋φ,再由t取0，错误!,π，错误!，2π即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－错误!,－错误!＋错误!，－错误!＋错误!，－错误!＋错误!，－错误!＋错误!。
梳理用“五点法”作y＝A sin(ωx＋φ) 的图像的步骤：第一步：列表：ωx＋φ0错误!π错误!2πx－错误!错误!－错误!错误!－错误!错误!－错误!错误!－错误!y0 A 0 －A 0第二步：在同一坐标系中描出各点。
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解析：由3x－ ＝ ，x＝ 知，应填( ，－2)．
8．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图像如下，此函数的解析式为__________________________．
答案：y＝2sin(2x＋ )
解析：A＝2，T＝2( －(－ ))＝π，∴ω＝2.由最高点的坐标可知，2×(－ )＋φ＝ ＋2kπ(k∈Z)，所以y＝2sin(2x＋ π)．
11．已知函数y＝ sin(2x＋ )，借助“五点作图法”画出函数f(x)在[0， ]上的简图，并且依图写出函数f(x)在[0， ]上的递增区间．
解：可先画出区间[－ ， ]的图像，再截取所需．
列表
μ＝2x＋
0
π
2π
x
－
y
0
0
－
0
图像略，注意f(0)＝1，由图像可知函数在区间[0， ]上的单调递增区间是[0， ]，[ ， ]．
(2)由－1<f(x)－m<1⇔－1＋f(x)<m<1＋f(x)对x∈[ ， ]恒成立．
即－1<f(x)－m<1⇔－1＋f(x)max<m<1＋f(x)min(x∈[ ， ])．
当x∈[ ， ]时， ≤2x－ ≤ .
故当2x－ ＝ 时，即x＝ 时，f(x)取得最大值0；
当2x－ ＝ 时，即x＝ 时，f(x)取得最小值－ .
解析：振幅为3，周期为 ＝4π，初相为－ .
2．把函数y＝sinx的图像上所有点向左平移 个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，得到的图像所对应的函数是()
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
答案：C
解析：把函数y＝sinx的图像上所有点向左平行移动 个单位长度后得到函数y＝sin 的图像，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的 ，得到函数y＝sin 的图像．
12．已知函数f(x)＝sin(2x－ )－1.
(1)写出函数f(x)的单调递增区间；
(2)若不等式－1<f(x)－m<1在x∈[ ， ]恒成立，求实数m的取值范围.
解：(1)因为f(x)＝sin(2x－ )－1
由－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ(k∈Z)得：－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间是[－ ＋kπ， ＋kπ](k∈Z)．
3．函数y＝2sin(x＋ )的一条对称轴为()
A．x＝－ B．x＝0
C. D．－
答案：C
解析：因为y＝2sin(x＋ )，其对称轴可由x＋ ＝kπ＋ ，(k∈Z)求得，解得x＝kπ＋ ，k∈Z，选项中只有C符合．
4．函数y＝1－2cos x(x∈[0， ])的最小值、最大值分别是()
A．－1,3 B．－1,2
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．把函数y＝f(x)的图像上各点向右平移 个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的 倍，所得到图像的解析式是y＝2sin( x＋ )，求f(x)的解析式．
解：y＝2sin( x＋ )的图像纵坐标伸长到原来的 倍，得y＝3sin( x＋ )的图像，横坐标缩短到原来的 倍得到y＝3sin(x＋ )的图像，再向左平移 个单位得到y＝3sin[(x＋ )＋ ]＝3cosx的图像．故f(x)＝3cosx.
9．将函数y＝2sinx的图像向左平移 个单位，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，得到函数y＝f(x)的图像，若x∈[0， ]，则函数y＝f(x)的值域为________．
答案：[－1,2]
解析：由y＝sinx→y＝2sin(x－ )→y＝2sin(2x－ )知，f(x)＝2sin(2x－ )．由x∈[0， ]得2x－ ∈[－ ， ]，所以函数y＝f(x)的值域为[－1,2]．
故m的取值范围为(－1， )．
8函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
时间：45分钟 满分：80分
班级________姓名________分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．函数y＝3sin( x－ )的振幅、周期、初相分别为()
A．－3,4π， B．3,4π，－
C．3，π，－ D．－3，π，
答案：B
C．0,3 D．0,2
答案：B
解析：因为0≤ x≤ ，所以－ ≤cos x≤1，所以得函数y＝1－2cos x的最小值、最大值分别是－间是()
A．(－ ， ) B．(－ ， )
C．[－ ，0) D．(－ ， )
答案：B
解析：由2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ (k∈Z)，解得kπ－ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)，选项中只有B符合．
6．如果函数y＝sin(2x＋φ)的图像关于点( ，0)中心对称，那么φ的值可以是()
A．－ B．－
C. D.
答案：D
解析：由题意得sin(2× ＋φ)＝0，φ的值可以是 .
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．用五点法画函数y＝2sin(3x－ )的图像，这五个点可以分别是( ，0)( ，2)，( ，0)，__________，( ，0)．