第四章数字滤波器设计优秀课件
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数字信号处理第四章 模拟滤波器频率变换、冲激响应不变法、双线性变换法
4.4 冲激响应不变法
一、基本原理
＝
x(t)
y(t)
取样
取样
x(n) = x(nT)
?
y(n) = y(nT)
?
＝
响应不变
4.4 冲激响应不变法
一、基本原理
其中
取样
其中
另，根据数字系统响应
冲激响应不变原则！
4.4 冲激响应不变法
一、基本原理
模拟滤波器：
（M<N）
部分分式分解
冲激响应不变准则：
数字滤波器：
因此，双线性变换不改变系统稳定性
4.4 双线性变换法
4、频率预畸变
0
高频进行压缩
无混叠，有畸变
频率越高，畸变越大
预畸变
预畸变公式：
根据数字滤波器设计指标，求对应模拟滤波器设计指标时，需预先进行畸变
4.4 双线性变换法
5、双线性变换法设计滤波器步骤
（1）确定数字滤波器技术指标
（Hz表示）
（弧度表示）或
1）带通：计算几何中心
0
若
，则
代替
若
，则
代替
若
，则令
4.2.4 模拟滤波器的频率变换
带通带阻滤波器衰减参数选择
几何对称：
若实际给出的指标不满足几何对称，如何应对？
2）带阻：计算几何中心
0
若
，则
代替
若
，则
代替
若
，则令
固定靠近
的两个值
以让过渡带更窄为选择标准（靠近中心，指标更严）
模拟转数字滤波器
已知一个模拟滤波器H(s)，如何得到数字滤波器H(z)？
3）设计归一化低通滤波器，得到传输函数
滤波器4xxx
bi z i
i0
N
ai z i
bi z i
i0 N
1 ak z k
i0
k 1
M
N
y(n) bi x(n i) ak y(n k )
i0
k 1
二、FIR滤波器具有如下特点： 1）单位脉冲响应为有限长序列； 2）一般情况下结构中没有反馈环路，为非递归 型结构； 3）系统函数（或差分方程）中所有系数ak均为零。
M
N
bi z i
H (z)
i0 N
1 ai z i
A
(1 ci z 1)
i 1 N
A0
(1 di z 1)
N
Ai
i1 (1 di z 1 )
i 1
i 1
4.2.1 直接Ⅰ型
一个N阶IIR滤波器的 系统函数可以表示为：
M
bi z i
求其单位脉冲响应，并画出结构图。 解：所给差分方程对应的系统函数为
H(z) b0 b1z 1 b2 z 2
收敛域
z 0
单位脉冲响应：h(n) b0 (n) b1 (n 1) b2 (n 2)
结 x(n) 构 图
z-1
z-1
b0 b1 b2 + y(n)
信 x(n) b0 y(n)
x(n)
y(n)
a1 z-1
总结： 一、IIR滤波器具有如下特点：
1）单位脉冲响应为无限长序列； 2）结构中含有反馈环路，为递归型结构； 3）系统函数（或差分方程）中至少有一个系数ak不
为零
M
M
H (z)
Y (z)
5 2z 1
第四章IIR 数字滤波器设计和实现3
北京邮电大学信息与通信工程学院
1
IIR DF 实现结构：直接型
IIR DF 的差分方程为:
M
N
y(n) aix(n i) biy(n i)
i0
i 1
对其两边进行Z变换,得
M
N
Y (Z ) ai zi X (z) bi ziY (z)
i0
i 1
其系统函数为：
解：对 H(z) 进行因式分解，得：
1 2z1 z2
1 z1
H(z) 0.1432
1 0.1309z1 0.3355z2 1 0.0492z1
它包含一个 2 阶子网络和一个 1 阶子网络，其级联型实现结构如图：
x(n) 0.1309 z1 2 0.3355 z1 1
最优化问题---零极点搭配，级联的顺序。
级联实现很灵活，分子中的任何一个因子都可以和分母中的任何 一个因子相配合组成一个Hi(z)，而这些 Hi(z) 的级联次序又有 K! 种排列方法。
无限精度运算: 具有相同的转移函数H(z)----理论上。
有限字长运算: 不同的搭配，排列产生不同的误差，最小误 差对应的排列----优化问题，而且每级网络产生的误差有传 递积累现象。
yi (n)
1i
z 1 a1i
2i
z 1 a2i
北京邮电大学信息与通信工程学院
19
IIR DF 实现结构：级联型
级联型结构的特点
优点---零极点的独立性
子网络的零极点是整个系统的零极点，调整任意零极点不影响其 他任意的零极点，因此，它有一定的独立性，便于准确实现 H(z) 特性，便于调整。
3
IIR DF 实现结构：直接 I 型
第4章5-7 数字滤波器的原理和设计方法
为了减小波纹幅度，一方面可以加大窗的长度N，但效果并不 显著；另一方面可采用不同的窗函数来改善不均匀收敛性。图 4.50所示的是几种常用的窗函数：
它们的定义式和频谱函数分述如下： 1、矩形窗
2、Bartlett窗（三角形窗）
3、汉宁(Hanning)窗(升余弦窗)
或
ห้องสมุดไป่ตู้
利用傅里叶变换的调制特性，即利用 和
图4.53所示的是用这5种窗函数设计的低通FIR数字滤波器的频 率响应特性。窗函数的长度N＝51，理想低通滤波器的截止频 ωc=π/2。 从图中可看出，用矩形窗设计的滤波器的过渡带最窄，但阻带 衰减指标最差，仅有-21dB左右。而用布莱克曼窗设计的阻带衰 减指标最好，可达-74dB，但过渡带最宽，约为矩形窗的3倍。
对比等式两边，有
如果把变量代换的有理函数F(z-1)看成是一个系统函数，那么该系 统的幅频特性曲线在任何ω处恒为1，这样的函数就是全通函数。 任何全通函数都可表示为
其中αk是F(z-1)的极点。为了满足稳定性的要求，必须有|αk|<1。这 样，通过选择适当的N值和αk值，可以得出各种各样的映射。
1)低通→低通的z平面变换
这里用v-1是因为系统函数的标准形 式,一般写成z-1的形式，换到v平面 即是v-1。
频率变换中的变量代换公式必须满足下列条件： (1)F(z-1)必须是z-1的有理函数； (2)v平面的单位圆内部映射到z平面的单位圆内部。
从这些条件出发，我们可推导出频率变换的实用公式。 设v平面单位圆是v=ejθ，z平面单位圆是z=ejω，则
其中 矩形窗ωR(n)的频谱的图形如下 图所示。
ω从-2π/N到-2π/N之间的WR(ω)称 为窗函数的主瓣，主瓣两侧呈衰 减振荡的部分称为旁瓣。
数字信号处理第四章-数字滤波器的结构
3).H (z)
Y (z) X (z)
(1 bz1) (1 az1)
y(n) ay(n 1) x(n) bx(n 1)
9
10
11
w w
12
转置流图：
w(n) y(n)
原流图：
w(n) ay(n 1) x(n) bx(n 1) 两边作Z变换：
w(n) x(n) aw(n 1) y(n) w(n) bw(n 1) 两边作Z变换：
乘法系数为复数，运算量增加； 系统的稳定性依赖于零、极点相互抵消，对实
现的精度要求很高。在存在有限字长效应的情 况下，有可能造成系统不稳定。
54
确保所有零点、极点在单位圆内。 55
（h(n)为实数）
第k对 极点， 即第k 个与第 N-k个 谐振器 合并
56
谐振频 率不变
还有两点需要注意：（存在实根） 57
1
前言
线性时不变系统用单位冲击响应来表示 系统函数实际上单位冲击响应的Z变换 系统函数反映线性时不变系统的特性 大多数的信号处理可看成是对信号的滤波操作 数字滤波器实际上就是线性时不变系统
因此数字滤波器可以表示为：
2
前言
M
bk zk
H(z) Y(z) / X (z)
k 0 N
1 ak zk
从信号流图中：
可以清楚地看到系统中的运算步骤和运 算结构。FFT时用到了该特点。
运算结构可以直观反映所需的存储单元 和运算次数。由于是数字实现，必然存 在系统误差，运算结构同时也可以反映 系统误差的累积问题。 下面讨论的IIR和FIR滤波器结构将涉及 上述问题。
14
1
15
无限冲击响应滤波器的特点
82
第四部分数字滤波器结构DFDigitalFilter教学课件
差分方程直接实现。） 方程看出：y(n)由两部分组成：
x(n) b0 Z-1 b1
y(n)
N
第一部分 ai y(n i)
a1
Z-1
是一个对输入xi(n0)的M节延时链 结构。即每个延时抽头后加权相
Z-1 b2 Z-1 b M+1
a2
Z-1
加，即是一个横向网络。
M
a N-1
第二部分 bi x(n i)是一
它主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称 时间序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。一 旦信号被估计出，那么估计出的信号将比原信号会有 高的信噪比。
现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用 它们的统计特征（如自相关函数、功率谱等）导出一 套最佳估值算法，然后用硬件或软件予以实现。
现代滤波器理论源于维纳在40年代及其以后的工 作，这一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，还 有卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器。
四、数字滤波器的分类
• 滤波器的种类很多，分类方法也不同。 • 1.从功能上分；低、带、高、带阻。 • 2.从实现方法上分:FIR、IIR • 3.从设计方法上来分：Chebyshev(切比雪
夫）,Butterworth（巴特沃斯） • 4.从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器 • 等等。
1、经典滤波器
b0 y(n)
a1
Z-1 Z-1 b1
a2 a N-1 aN
Z-1 Z-1 b2
Z-1 Z-1 b M+1
Z-1 Z-1
bM
(3)直接II型的结构流图过程2--合并
由于对调后前后两路都有一条内容完全相同的延时
链，可以合并为一条即可。
x(n)
b0 y(n)
第四章数字滤波器的原理和设计方法)
� 4.2.3 级联型 采用级联形式H(z)方框图
使用直接Ⅱ型的级联结构
� 基本结构：二阶基本节，“田字型”结构。 � 特点： � 1、二阶基本节搭配灵活，可调换次序； � 2、可直接控制零极点； � 3、误差较大，较耗时。
� 4.2.4 并联型 H(z)= H1(z)+ H2(z)+ …+ HK(z)
数字滤波器的描述方法
� 4.1.2 滤波器的实现方法 � 模拟滤波器（Analog Filter-AF）： � 只能硬件实现－R、L、C、Op、开关电容。
� 数字滤波器（Digital Filter-DF）： � 硬件实现－延迟器、乘法器和加法器； � 软件实现－线性卷积的程序。
� 4.1.3 滤波器的分类 � (1)一般分为经典滤波器和现代滤波器： � 经典滤波器：假定输入信号中的有用成分和希望 去除的成分各自占有不同的频带。如果信号和噪声
FIR滤波器直接型结构
� 4.3.2 级联型
� 将H(z)写成几个实系数二阶因式的乘积可得 到另一种形式：
N −1
� 系统函数： H (z) = ∑ h(n)z−k
k =0
M
∏ = (β0k + β1k z−1 + β2k z−2 )
k =1
� 特点： � 1、每一个基本节控制一对零点； � 2、乘法器较多
数字低通滤波器的技术要求
� 2. 设计步骤 � ①根据实际需要给定滤波器的技术指标；
� ②由技术指标计算滤波器的系统函数H(Z)或单位 � 取样响应h(n)，即用一个稳定的因果系统逼近这些
指标； � ③用有限精度的运算实现H(Z)或h(n) ，包括选择运
算结构、进行误差分析和选择存储单元的字长。
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H
(e
j
)
e
j
N 1 2
(N
1)
/
2
a(n)
cos(n)
n0
a(n)
2h(
h( N 1), n 0 2
N 1 n), n 1, 2,..., 2
N 1 2
✓ H () 关于 0, , 2 偶对称
✓群延迟时间 N 1是采样周期的整数倍
2
✓适合设计LP、HP、BP、BS等各类经典数字滤波器
第四章数字滤波器设计
FIR数字滤波器单位脉冲响应的特性
h(n) h(N 1 n), n 0,1,...N 1 单位脉冲响应奇对称或偶对称
N 1
H (e j ) h(n)e jn H ()e j () n0
()
4．1线性相位FIR数字滤波器的频率
第I类：h(n) 偶对称，N 为奇数
✓理想数字滤波器的频域是紧支集，其单位脉冲 响应最终是一个偶对称或奇对称的无限长序列
理想数字滤波器的单位脉冲响应
✓理想低通数字滤波器
d (n) 1 D( j)e jnd
2
1 c e jnd
2 c
e e jcn
jcn
j2 n
d
,n
0
n
✓理想高通数字滤波器
✓群延迟时间 N 1是采样周期的整数倍
2
✓相位特性产生恒定90度相移适合设计微分器或Hilbert变换器
第VI类：h(n)偶对称，N 偶数
H
(e
j
)
e
j
2
N 1 2
N
/
2
d
(n)
sin(n 1/ 2)
d (n) 2h( N n), n 1, 2,..., N
2
2
n0
✓ H () 在 0, 2 处恒等于零，不适合设计理想低通数字滤波器
2
第III类：h(n) 偶对称，N 偶数
H
(e
j
)
e
j
2
N 1 2
( N 1) / 2
c(n)
sin(n)
c(n) 2h( N 1 n), n 1, 2,..., N 1
2
2
n1
✓ H () 在 0, 处恒等于零不适设计理想低通或高通数字滤波器
✓ H () 关于 0, , 2 奇对称
第II类：h(n) 偶对称，N 偶数
H (e j )
j N 1
e2
N / 21
b(n) cos(n
1/
2)
b(n)
2h( N 2
n), n
1, 2,...,
N 2
n1
✓ H () 在 处恒等于零，不适合设计理想高通或理想带阻数字滤波器
✓ H () 关于 奇对称
✓群延迟时间 N 1不是采样周期的整数倍
✓因果性处理
h(n) d (n M ) [h0, h1,...., hN1], 0 n N 1, N 2M 1
N 1
H ( j) h(n)e jn n0
✓矩形窗截断对理想频谱的影响
▪理想单位脉冲响应的截断过程
inpulse response
0.3
(a)
0.2
0.1
0
-0.1
-60
-40
Magnitude(dB)
Magnitude(dB)
triang 0
-50
-100
-150
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
hamming
0
-50
-100
-150
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequency(Normalized /pi)
✓凯泽窗（Kaiser）
I0
w(n)
1
(
n )2 N 1
没有一个窗函数能让窗函数的四个指标同时达到最优
✓理想低通滤波器的加窗频谱特性
✓不同窗函数加窗频谱特性比较
▪据阻带最小衰减选择窗函数类型 ▪据过渡带宽度选择长度N
✓Kaiser窗参数选择
▪设阻带最小衰减为 s dB，过渡带宽度 弧度
-20
0
20
40
60
1
(b)
0.5
rect window
0
-60
-40
-20
0
20
40
60
0.3
(c)
0.2
after window
0.1
0
-0.1
-60
-40
-20
0
20
40
60
▪截断过程的频域卷积过程
H (e j) 1
2
H
d
()e
j0
WR
(
)e
j
N 1( 2
)
d
j N 1
e 2
1
2
d
(n)
1 c
sin(c
,n n) , n
0
0
n
✓理想带通数字滤波器
d
(n)
c2 c1 , n 0
sin(c2n) sin(c1n) ,
n
n
0
✓理想带通阻数字滤波器
d
(n)
1 c2 c1 , n 0
sin(c2n) sin(c1n) , n
0
n
✓理想数字微分器
✓ H () 关于 0, 2 奇对称， 处偶对称
✓群延迟时间 N 1不是采样周期的整数倍
2
✓相位特性产生恒定90度相移适合设计微分器或Hilbert变换器
4．2FIR数字滤波器的窗函数设计法
✓以理想数字滤波器的设计为基础
✓窗函数法可以设计经典低通、高通、带通、带 阻、微分器和Hilbert变换器
,
0
n
N
1
I0( )
Magnitude
1
beta=5
0.9
beta=8
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
n
Beta=0凯泽窗相当 于矩形窗； Beta=5.44凯泽窗相 当于海明窗； Beta=8.5凯泽窗相 当于布拉克曼窗
✓典型窗函数性能比较
Hd () WR ( )d
窗函数 ✓窗函数指标
FIR数字滤波器与窗函数的频谱相关
✓典型窗函数时域特性
boxcar
1
triang
hanning
hamming
blackman
0.8
Magnitude
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100
n
✓典型窗函数频域特性
Magnitude(dB)
Magnitude(dB)
boxcar 0
-50
-100
-150
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
hanning
0
-50
-100
-150
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
blackman
0
-50
-100
-150
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequency(Normalized /pi)
Magnitude(dB)
0, n 0
d (n)
(1)n n
,
n
0
✓理想Hilbert变换器
H
(e
j
)
j,
j, for for
0 0
0, n 0
d
(n)
1 (1)n
n
,
n
0
FIR数字滤波器的矩形窗设计法 ✓计算理想数字滤波器的单位脉冲响应 ✓矩形窗截断
dN (n) w(n)d (n) [dM , d(M 1) ,...., dM 1, dM ], M n M , N 2M 1