2014-2019年高考数学真题分类汇编专题4：三角函数与解三角形2(三角恒等变换)
2014年全国高考理科数学试题分类汇编(word解析版可编辑)(四)三角函数与解三角形(逐题详解)
2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word 解析版) 四、三角函数与解三角形（逐题详解）第I 部分1.【2014年江西卷（理04）】在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别是,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积是A.3B.239C.233 D.33【答案】C【解析】()2222222222cos 2611333cos 2222c a b b a b c ab ba b c ab C abab b abab S ab C b =-+∴+-=-+-==∴-=∴=∴===Q Q g g2.【2014年陕西卷（理02）】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ω3.【2014年浙江卷（理04）】为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图象，可以将函数2sin3y x =的图象A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位【答案】C【解析】函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x 的图象向右 平移个单位，得到y==的图象．故选：C ．4.【2014年全国新课标Ⅱ（理04）】钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( )A. 5B. 5C. 2D. 1【答案】B 【解析】..5,cos 2-43π∴ΔABC 4π.43π,4π∴,22sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。
为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======•••==5.【2014年全国新课标Ⅰ（理08）】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【答案】：Ｂ【解析】：∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B6.【2014年四川卷（理03）】为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的 点向左平行移动12个单位长度得到7.【2014年全国大纲卷（03）】设0sin 33a =，0cos55b =，0tan 35c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】C【解析】由诱导公式可得b=cos55°=cos （90°﹣35°）=sin35°，由正弦函数的单调性可知b ＞a ，而c=tan35°=＞sin35°=b ，∴c ＞b ＞a 故选：C8.【2014年辽宁卷（理09）】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增【答案】B【解析】把函数y=3sin （2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x ﹣）+]．即y=3sin （2x ﹣）．由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B9.【2014年湖南卷（理09）】 已知函数)sin()(ϕ-=x x f ，且⎰=3200)(πdx x f ，则函数)(x f 的图象的一条对称轴是 A. 65π=x B. 127π=x C. 3π=x D. 6π=x【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++，又由⎰=3200)(πdx x f 得ϕ的一个值为3πϕ=，则56x π=是其中一条对称轴，故选A 10.【2014年重庆卷（理10）】已知A B C ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积S满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ）A.8)(>+c b bcB.()162ac a b +>C.126≤≤abcD.1224abc ≤≤【答案】A【解析】已知变形为1sin 2sin[()]sin[()]2A CB AC B A +-+=--+展开整理得11sin 22cos()sin 2sin [cos cos()]22A C B A A A C B +-=⇒+-= 即112sin [cos()cos()]sin sin sin 28A CBC B A B C -++-=⇒=而22111sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 224S ab C R A R B C R A B C R ==⋅⋅⋅=⋅⋅= 故2122224R R ≤≤⇒≤≤，故338sin sin sin [8,162]abc R A B C R =⋅=∈， 排除,C D ，因为b c a +>，所以()8bc b c abc +>≥，选择A第II 部分11.【2014年天津卷（理12）】在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_____________. 【答案】14- 【解析】 因为2sin 3sin B C =，所以23b c =，解得32cb =，2ac =.所以2221cos 24b c a A bc +-==-.12.【2014年山东卷（理12）】在ABC V 中，已知tan AB AC A ⋅=uu u r uu u r ，当6A π=时，ABCV 的面积为 。
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题4：三角函数与解三角形2(三角恒等变换)带详细答案
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题4：三角函数与解三角形（三角恒等变换）（一）三角恒等变换选择填空（和差公式）选择题1．（2014•四川文）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．1)mB ．1)mC ．1)mD ．1)m【考点】解三角形【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15︒的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC 和DB 的长度，作差后可得答案． 【解答】解：如图，15DAB ∠=︒， tan 45tan30tan15tan(4530)21tan 45tan30︒-︒︒=︒-︒==+︒︒在Rt ADB ∆中，又60AD =，tan1560(2120DB AD ∴=︒=⨯-=-在Rt ADC ∆中，60DAC ∠=︒，60AD =，tan 60DC AD ∴=︒=．(1201)()BC DC DB m ∴=-=-=．∴河流的宽度BC 等于1)m ．故选：B ．【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B 、C 两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．2．（2015•新课标Ⅰ理）sin 20cos10cos160sin10(︒︒-︒︒= )A ．BC ．12-D ．12【考点】两角和与差的三角函数【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可． 【解答】解：sin20cos10cos160sin10︒︒-︒︒ sin20cos10cos20sin10=︒︒+︒︒ sin30=︒ 12=． 故选：D ．【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．3．（2015•上海文理）已知点A 的坐标为1)，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为( )A B C ．112D ．132【考点】任意角的三角函数的定义【分析】根据三角函数的定义，求出xOA ∠的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：点A 的坐标为1)，∴设xOA θ∠=，则1sin 7θ===，cos θ==， 将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则OB 的倾斜角为3πθ+，则||||7OB OA ==，则点B 的纵坐标为11113||sin()7(sin cos cos sin )7(63337222y OB πππθθθ=+=+=⨯+=+=，故选：D ．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．4．（2015•重庆文）若1tan 3α=，1tan()2αβ+=，则tan (β= )A ．17B ．16C ．57D ．56【考点】两角和与差的三角函数【分析】由条件利用查两角差的正切公式，求得tan tan[()]βαβα=+-的值．【解答】解：1tan 3α=，1tan()2αβ+=，则11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯， 故选：A ．【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．5．（2015•重庆理）若tan 2tan 5πα=，则3cos()10(sin()5παπα-=- ) A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的积化和差公式【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可．【解答】解：tan 2tan 5πα=，则33333cos()cos cos sin sin cos tan sin1010101010sin()sin cos cos sin tan cos sin 55555πππππααααπππππαααα-++==--- sin335cos 2sin3333331010cos 2tan sincos cos cos 2sin sin cos()sin sin cos sin sin 1051055105105105101052tan cos sin sin 2sin cos cos sin sin cos sin()5555555555552cos sin 55cos 5ππππππππππππππππππππππππππππππππ+++-++=====--+--31331cos [cos()cos()]cos cos 3cos 3cos 3cos 1010251051010210101010312122sin cos sin sin sin sin()cos 552525521010πππππππππππππππππππ-+--+======- 故选：C ．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力． 6．（2016•新课标Ⅲ理）在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则cos A 等于( ) AB C ． D ． 【考点】三角形中的几何计算【分析】作出图形，令DAC θ∠=，依题意，可求得cos a ADACθ===sin θ，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设ABC ∆中角A 、B 、C 、对应的边分别为a 、b 、c ，AD BC ⊥于D ，令DAC θ∠=，在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高1133AD h BC a ===， 13BD AD a ∴==，23CD a =，在Rt ADC ∆中，cos a ADACθ===，故sin θ=，cos cos()cos cos sin sin 444A πππθθθ∴=+=-== 故选：C ．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令DAC θ∠=，利用两角和的余弦求cos A 是关键，也是亮点，属于中档题．7．（2019•新课标Ⅰ文）tan 255(︒= ) A．2-B．2-+C．2D．2+【考点】运用诱导公式化简求值【分析】利用诱导公式变形，再由两角和的正切求解． 【解答】解：tan255tan(18075)tan75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒1tan 45tan 3021tan 45tan 30+︒+︒======+-︒︒故选：D ．【点评】本题考查三角函数的取值，考查诱导公式与两角和的正切，是基础题．填空题1．（2015•四川理）sin15sin75︒+︒的值是． 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的三角函数 【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．【解答】解：sin15sin75sin15cos15cos45cos15sin 45)︒+︒=︒+︒=︒︒+︒︒=︒=．【点评】本题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力． 2．（2015•江苏）已知tan 2α=-，1tan()7αβ+=，则tan β的值为 3 ． 【考点】两角和与差的三角函数【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可． 【解答】解：tan 2α=-，1tan()7αβ+=， 可知tan tan 1tan()1tan tan 7αβαβαβ++==-，即2tan 112tan 7ββ-+=+，解得tan 3β=． 故答案为：3．【点评】本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．3．（2016•新课标Ⅰ文）已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-= 43- ．【考点】两角和与差的三角函数 【分析】由θ得范围求得4πθ+的范围，结合已知求得cos()4πθ+，再由诱导公式求得sin()4πθ-及cos()4πθ-，进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan()4πθ-的值．【解答】解：θ是第四象限角，∴222k k ππθπ-+<<，则22,444k k k Z ππππθπ-+<+<+∈，又3sin()45πθ+=，4cos()45πθ∴+==． 3cos()sin()445ππθθ∴-=+=，4sin()cos()445ππθθ-=+=．则4sin()454tan()tan()3443cos()45πθππθθπθ--=--=-=-=--． 故答案为：43-．【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 4．（2016•上海文）若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a = 3± ． 【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的最值【分析】利用辅助角公式化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的最大值为5，求得a 的值．【解答】解：由于函数()4sin cos )f x x a x x θ=+=+，其中，cos θ=sin θ，故()f x 5，3a ∴=±， 故答案为：3±．【点评】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题．5．（2017•新课标Ⅰ文）已知(0,)2πα∈，tan 2α=，则cos()4πα-=． 【考点】同角三角函数间的基本关系；两角和与差的三角函数【分析】根据同角的三角函数的关系求出sin α=，cos α= 【解答】解：(0,)2πα∈，tan 2α=，sin 2cos αα∴=，22sin cos 1αα+=，解得sin α=，cos α=cos()cos cos sin sin 44422πππααα∴-=+=，【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及余弦公式，考查了学生的运算能力，属于基础题． 6．（2017•北京理12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=，则cos()αβ-= 79- ．【考点】两角和与差的三角函数【分析】方法一：根据教的对称得到1sin sin 3αβ==，cos cos αβ=-，以及两角差的余弦公式即可求出 方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出 【解答】解：方法一：角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， 1sin sin 3αβ∴==，cos cos αβ=-，22227cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 1199αβαβαβααα∴-=+=-+=-=-=- 方法二：1sin 3α=，当α在第一象限时，cos 3α=， α，β角的终边关于y 轴对称，β∴在第二象限时，1sin sin 3βα==，cos cos βα=-=117cos()cos cos sin sin 339αβαβαβ∴-=+=+⨯=- 1:sin 3α=，当α在第二象限时，cos 3α=-， α，β角的终边关于y 轴对称，β∴在第一象限时，1sin sin 3βα==，cos cos βα=-=，117cos()cos cos sin sin 339αβαβαβ∴-=+=+⨯=- 综上所述7cos()9αβ-=-，故答案为：79-【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题 7．（2018•新课标Ⅱ文15）已知51tan()45πα-=，则tan α= ． 【考点】两角和与差的三角函数【分析】根据三角函数的诱导公式以及两角和差的正切公式进行计算即可． 【解答】解：51tan()45πα-=， 1tan()45πα∴-=，则11tan()tan1563544tan tan()14451421tan()tan 11445ππαππααππα+-++=-+=====----⨯， 故答案为：32． 【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正切公式进行转化是解决本题的关键． 8．（2018•新课标Ⅱ理15）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+= 12- ．【考点】两角和与差的三角函数【分析】把已知等式两边平方化简可得22(sin cos cos sin )1αβαβ++=，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin()1αβ+=-，可得结果． 【解答】解：sin cos 1αβ+=，两边平方可得：22sin 2sin cos cos 1ααββ++=，①，cos sin 0αβ+=，两边平方可得：22cos 2cos sin sin 0ααββ++=，②，由①+②得：22(sin cos cos sin )1αβαβ++=，即22sin()1αβ++=， 2sin()1αβ∴+=-． 1sin()2αβ∴+=-． 故答案为：12-．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．（二）恒等变换选择填空（倍角公式）选择题1．（2014•新课标Ⅰ文）若tan 0α>，则( ) A ．sin 0α>B ．cos 0α>C ．sin20α>D ．cos20α>【考点】三角函数值的符号【分析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案． 【解答】解：tan 0α>，∴sin 0cos αα>， 则sin22sin cos 0ααα=>． 故选：C ．【点评】本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键． 2．（2015•陕西文理）“sin cos αα=”是“cos20α=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件；倍角公式 【分析】由22cos2cos sin ααα=-，即可判断出． 【解答】解：由22cos2cos sin ααα=-，∴ “sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件．故选：A ．【点评】本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．3．（2016•新课标Ⅱ理）若3cos()45πα-=，则sin 2(α= )A ．725B ．15C ．15-D ．725-【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】法1︒：利用诱导公式化sin 2cos(2)2παα=-，再利用二倍角的余弦可得答案．法︒：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sin cos αα+的值，再平方，即得sin 2α的值【解答】解：法31:cos()45πα︒-=，297sin 2cos(2)cos2()2cos ()1212442525πππαααα∴=-=-=--=⨯-=-，法32:cos()cos )45πααα︒-=+=，∴19(1sin 2)225α+=， 97sin 2212525α∴=⨯-=-， 故选：D ．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题．4．（2016•新课标Ⅲ文）若1tan 3θ=，则cos2(θ= )A ．45-B ．15-C ．15D ．45【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将tan θ的值代入计算即可求出值． 【解答】解：1tan 3θ=， 22224cos 22cos 11111519tan θθθ∴=-=-=-=++． 故选：D ．【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．5．（2016•新课标Ⅲ理）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2(αα+= ) A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】将所求的关系式的分母“1”化为22(cos sin )αα+，再将“弦”化“切”即可得到答案． 【解答】解：3tan 4α=，22222314cos 4sin cos 14tan 644cos 2sin 29sin cos tan 125116ααααααααα+⨯++∴+====+++． 故选：A ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题． 6．（2017•新课标Ⅲ文）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2(α= ) A ．79-B ．29-C ．29D ．79【考点】二倍角的三角函数【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出． 【解答】解：4sin cos 3αα-=， 216(sin cos )12sin cos 1sin 29ααααα∴-=-=-=， 7sin 29α∴=-，故选：A ．【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题． 7．（2017•山东文）已知3cos 4x =，则cos2(x = ) A ．14-B ．14C ．18-D ．18【考点】二倍角的三角函数【专题】转化思想；56：三角函数的求值 【分析】利用倍角公式即可得出．【解答】解：根据余弦函数的倍角公式2cos22cos 1x x =-，且3cos 4x =， 231cos22()148x ∴=⨯-=．故选：D ．【点评】本题考查了倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8．（2019新课标Ⅱ文11）已知(0,)2πα∈，2sin2cos21αα=+，则sin (α= )A ．15BCD【考点】二倍角的三角函数【分析】由二倍角的三角函数公式化简已知可得24sin cos 2cos ααα=，结合角的范围可求sin 0α>，cos 0α>，可得cos 2sin αα=，根据同角三角函数基本关系式即可解得sin α的值．【解答】解：2sin2cos21αα=+，∴可得：24sin cos 2cos ααα=，(0,)2πα∈，sin 0α>，cos 0α>，cos 2sin αα∴=，22222sin cos sin (2sin )5sin 1ααααα+=+==，∴解得：sin α=故选：B ．【点评】本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9．（2018•新课标Ⅲ文理4）若1sin 3α=，则cos2(α= )A ．89B ．79 C ．79-D ．89-【考点】二倍角的三角函数【分析】2cos212sin αα=-，由此能求出结果． 【解答】解：1sin 3α=， 217cos212sin 1299αα∴=-=-⨯=．故选：B ．【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．填空题1．（2016•四川理）22cos sin 88ππ-=． 【考点】二倍角的三角函数【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值． 【解答】解：22cos sin 88ππ-cos(2)cos 84ππ=⨯==．【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键． 2．（2016•上海文理）方程3sin 1cos2x x =+在区间[0，2]π上的解为 6π或56π ．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可． 【解答】解：方程3sin 1cos2x x =+，可得23sin 22sin x x =-， 即22sin 3sin 20x x +-=．可得sin 2x =-，（舍去）1sin 2x =，[0x ∈，2]π 解得6x π=或56π． 故答案为：6π或56π．【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力． 3．（2019•新课标Ⅰ文15）函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为 4- ． 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】线利用诱导公式，二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合二次函数的 单调性即可去求解最小值 【解答】解：3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-， 2cos23cos 2cos 3cos 1x x x x =--=--+，令cos t x =，则11t -剟，2()231f t t t =--+的开口向上，对称轴34t =-，在[1-，1]上先增后减，故当1t =即cos 1x =时，函数有最小值4-． 故答案为：4-【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦公式在三角好按时化简求值中的应用及利用余弦函数，二次函数的性质求解最值的应用，属于基础试题（三）恒等变换选择填空（和差公式与倍角公式综合）选择题1．（2014•新课标Ⅰ理）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则( )A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】化切为弦，整理后得到sin()cos αβα-=，由该等式左右两边角的关系可排除选项A ，B ，然后验证C 满足等式sin()cos αβα-=，则答案可求． 【解答】解：由1sin tan cos βαβ+=，得： sin 1sin cos cos αβαβ+=， 即sin cos cos sin cos αβαβα=+， sin()cos sin()2παβαα-==-，(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，∴当22παβ-=时，sin()sin()cos 2παβαα-=-=成立． 故选：C ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题． 2．（2016•新课标Ⅱ文）函数()cos26cos()2f x x x π=+-的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【考点】三角函数的最值【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得212sin 6sin y x x =-+，令sin (11)t x t =-剟，可得函数2261y t t =-++，配方，结合二次函数的最值的求法，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值． 【解答】解：函数()cos26cos()2f x x x π=+-212sin 6sin x x =-+，令sin (11)t x t =-剟， 可得函数2261y t t =-++ 23112()22t =--+，由3[12∉-，1]，可得函数在[1-，1]递增， 即有1t =即22x k ππ=+，k Z ∈时，函数取得最大值5．故选：B ．【点评】本题考查三角函数的最值的求法，注意运用二倍角公式和诱导公式，同时考查可化为二次函数的最值的求法，属于中档题．3．（2019北京文科8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为( )A ．44cos ββ+B ．44sin ββ+C ．22cos ββ+D ．22sin ββ+【考点】三角函数模型的应用【分析】由题意可得22AOB APB β∠=∠=，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO AB ⊥，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值． 【解答】解：由题意可得22AOB APB β∠=∠=， 要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO AB ⊥， 即有2QO =，Q 到线段AB 的距离为22cos β+， 22sin 4sin AB ββ==，扇形AOB 的面积为12442ββ=， ABQ ∆的面积为1(22cos )4sin 4sin 4sin cos 4sin 2sin 22βββββββ+=+=+，14sin 2sin 222sin 24sin 2AOQ BOQ S S ββββ∆∆+=+-=， 即有阴影区域的面积的最大值为44sin ββ+． 故选：B ．【点评】本题考查圆的扇形面积公式和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题．填空题1．（2017•浙江）已知ABC ∆，4AB AC ==，2BC =，点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连结CD ，则BDC ∆的面积是，cos BDC ∠= ．【考点】三角形中的几何计算【分析】如图，取BC 得中点E ，根据勾股定理求出AE ，再求出ABC S ∆，再根据12BDC ABC S S ∆∆=即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出 【解答】解：如图，取BC 得中点E ， 4AB AC ==，2BC =，112BE BC ∴==，AE BC ⊥，AE ∴ 11222ABC S BC AE ∆∴==⨯ 2BD =，12BDC ABC S S ∆∆∴==2BC BD ==， BDC BCD ∴∠=∠，2ABE BDC ∴∠=∠在Rt ABE ∆中， 1cos 4BE ABE AB ∠==， 21cos 2cos 14ABE BDC ∴∠=∠-=，cos BDC ∴∠【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题2．（2016•浙江文理）已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A b = ．【考点】两角和与差的三角函数【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案．【解答】解：22cos sin21cos2sin2x x x x+=++12)x x=)14xπ=++，A∴，1b=，1．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键．3．（2017•江苏）若1tan()46πα-=．则tanα=75．【考点】两角和与差的三角函数【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：tan tan tan114tan()4tan161tan tan4παπααπαα---===++6tan6tan1αα∴-=+，解得7tan5α=，故答案为：75．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题4．（2019江苏13）已知tan23tan()4απα=-+，则sin(2)4πα+的值是．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】由已知求得tanα，分类利用万能公式求得sin2α，cos2α的值，展开两角和的正弦求sin(2)4πα+的值．【解答】解：由tan23tan()4απα=-+，得tan23tan tan41tan tan4απαπα=-+-，∴tan(1tan)21tan3ααα-=-+，解得tan2α=或1tan3α=-．当tan2α=时，22tan4sin215tanααα==+，2213cos215tantanααα-==-+，43sin(2)sin2cos cos2sin44455πππααα∴+=+=-=；当1tan 3α=-时，22tan 3sin 215tan ααα==-+，2214cos215tan tan ααα-==+，34sin(2)sin 2cos cos2sin 44455πππααα∴+=+=-=．综上，sin(2)4πα+．10． 【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．（四）恒等变换解答题1．（2014•江苏）已知(2πα∈，)π，sin α=． （1）求sin()4πα+的值；（2）求5cos(2)6πα-的值． 【考点】两角和与差的三角函数【分析】（1）通过已知条件求出cos α，然后利用两角和的正弦函数求sin()4πα+的值；（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求5cos(2)6πα-的值．【解答】解：(2πα∈，)π，sin α=．cos α∴==（1）sin()sin cos cos sin (44422πππααα+=+=⨯+=；sin()4πα∴+的值为：．（2）(2πα∈，)π，sin α23cos212sin 5αα∴=-=，4sin 22sin cos 5ααα==-555314cos(2)cos cos2sin sin 2()666525πππααα∴-=+=+⨯-=5cos(2)6πα-的值为： 【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力． 2．（2015•广东文）已知tan 2α=． （1）求tan()4πα+的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos21ααααα+-- 的值．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的三角函数 【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可．（2）利用二倍角公式化简求解即可． 【解答】解：tan 2α=．（1）tan tan214tan()34121tan tan 4παπαπα+++===---； （2）2222sin 22sin cos 2tan 41sin sin cos cos21sin cos 121tan 24sin cos tan αααααααααααααα====+--++--+-．【点评】本题考查两角和的正切函数的应用，三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，考查计算能力． 3．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点3(5P -，4)5-．（Ⅰ）求sin()απ+的值； （Ⅱ）若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值． 【考点】任意角的三角函数的定义；两角和与差的三角函数 【分析】（Ⅰ）由已知条件即可求r ，则sin()απ+的值可得； （Ⅱ）由已知条件即可求sin α，cos α，cos()αβ+，再由c o s c o s [()]c o s βαβααβααβα=+-=+++代值计算得答案． 【解答】解：（Ⅰ）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点3(5P -，4)5-．35x ∴=-，45y =-，||1r OP ==，4sin()sin 5y r απα∴+=-=-=；（Ⅱ）由35x =-，45y =-，||1r OP ==，得4sin 5α=-，3cos 5α=-，又由5sin()13αβ+=，得12cos()13αβ+=±，则1235456cos cos[()]cos()cos sin()sin ()()13513565βαβααβααβα=+-=+++=⨯-+⨯-=-， 或1235416cos cos[()]cos()cos sin()sin ()()13513565βαβααβααβα=+-=+++=-⨯-+⨯-=． cos β∴的值为5665-或1665． 【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，是中档题． 4．（2018•江苏16）已知α，β为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】（1）由已知结合平方关系求得sin α，cos α的值，再由倍角公式得cos2α的值； （2）由（1）求得tan2α，再由cos()αβ+=tan()αβ+，利用tan()tan[2()]αβααβ-=-+，展开两角差的正切求解．【解答】解：（1）由22431sin cos sin cos ααααα⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为锐角，解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，227cos225cos sin ααα∴=-=-； （2）由（1）得，24sin 22sin cos 25ααα==，则sin 224tan 2cos27ααα==-． α，(0,)2πβ∈，(0,)αβπ∴+∈，sin()αβ∴+= 则sin()tan()2cos()αβαβαβ++==-+．tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+∴-=-+==-++．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．。
高考数学专题04三角函数与解三角形-高考数学试题分项版解析(解析版)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作专题4 三角函数与解三角形1. 【2014高考安徽卷文第7题】若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）A.8π B.4π C.83π D.43π2. 【2014高考北京卷文第12题】在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = .3. 【2014高考大纲卷文第2题】已知角α的终边经过点（-4,3），则cos α=（ ） A.45 B. 35 C. －35 D. －45【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知x =-4，y =3，r =5，所以4cos 5x r α==-.故选D. 考点：三角函数的概念.4. 【2014高考大纲卷文第14题】函数cos 22sin y x x =+的最大值为.5. 【2014高考福建卷文第7题】将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是 （ ）()()()()...32.-02A y f x B y f x C y f x x D y f x πππ====⎛⎫= ⎪⎝⎭是奇函数的周期是的图象关于直线对称的图象关于点，对称6. 【2014高考福建卷文第14题】在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于__________. 【答案】1 【解析】试题分析：由余弦定理得，22203=+1-21cos60AB AB ⨯⨯（），解得1AB =.考点：余弦定理的应用.7. 【2014高考广东卷文第7题】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的变分别为a 、b 、c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的（ ）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件8. 【2014高考湖北卷文第13题】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知6π=A ，1=a ，3=b ，则=B ________.9. 【2014高考江苏卷第5题】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 .10. 【2014高考江苏卷第14题】若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 . 【答案】624-11. 【2014高考江西卷文第5题】在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则2222sin sin sin B AA -的值为（ ）1.9A -1.3B .1C 7.2D12. 【2014高考辽宁卷文第11题】 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 【答案】B 【解析】试题分析：将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，得到23sin[2()]3sin(2)233y x x πππ=-+=-，令22k 22k 232x πππππ-≤-≤+，解得12k ππ+712x k ππ≤≤+，故递增区间为7[,]1212k k ππππ++（k z ∈），当0k =时，得递增区间为7[,]1212ππ，选B ．【考点定位】1、三角函数图象变换；2、三角函数的单调性．13. 【2014高考全国1卷文第7题】在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为（ ）A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③15. 【2014高考全国1卷文第16题】如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .16. 【2014高考全国2卷文第14题】 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________．17. 【2014高考山东卷文第12题】函数23sin 2cos 2y x x =+的最小正周期为 .18. 【2014高考陕西卷文第2题】函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π 【答案】B 【解析】试题分析：由周期公式2T w π=，又2w = 所以函数()cos(2)6f x x π=-的周期22T ππ== 故选B考点：三角函数的最小正周期.19. 【2014高考陕西卷文第13题】 设20πθ<<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ-==b a ，若0=⋅b a ，则=θtan ______.20. 【2014高考四川卷文第3题】为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ）A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度21. 【2014高考四川卷文第8题】如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（ ）A ．240(31)m -B ．180(21)m -C ．120(31)m -D ．30(31)m +22. 【2014高考天津卷卷文第8题】已知函数()3sin cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（ ） A.2πB.23πC.πD.2π【答案】C 【解析】试题分析：因为()2sin()6f x x πω=+，所以由()2sin()16f x x πω=+=得：266x k ππωπ+=+或52,(,)66x m m k Z ππωπ+=+∈,所以由相邻交点距离的最小值为3π得：52,2,.366T ππππωωπω⋅=-===选C.考点：三角函数性质23. 【2014高考浙江卷文第4题】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数x y 3cos 2=的图象（ ）A.向右平移12π个单位长 B.向右平移4π个单位长C.向左平移12π个单位长D.向左平移4π个单位长【答案】A 【解析】试题分析：因为)43sin(23cos 3sin π+=+=x x x y ，所以将函数x y 3cos 2=的图象向右平移12π个单位长得函数)43sin(2)432sin(2)43cos(2)12(3cos 2πππππ+=-+=+-=-=x x x x y ，即得函数x x y 3cos 3sin +=的图象，选A.考点：三角函数的图象的平移变换，公式)4sin(2cos sin π+=+x x x 的运用，容易题.24. 【2014高考浙江卷文第10题】如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角），若m AB 15=，m AC 25=， 30=∠BCM ，则θtan 的最大值是（ ）所以θ2tan 的最大值为2725，即θtan 的最大值是935考点：三角函数的定义，函数的最值，难度中等.12. 25. 【2014高考重庆卷文第13题】将函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭⎫⎝⎛6πf ______.26. 【2014高考上海卷文第1题】 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .28. 【2014高考安徽卷文第16题】 设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1b c ==，ABC ∆的面积为2，求cos A 与a 的值.29. 【2014高考北京卷文第16题】函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值； （2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.30.【2014高考大纲卷文第18题】△ABC的内角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知3acosC=2ccosA,tanA=1 3 ,求B.【答案】135︒.【解析】试题分析：首先利用正弦定理把边用角的函数表示出来，然后利用同角三角函数的基本关系式求出tanA，tanC的值，最后再利用诱导公式和两角和的正切公式求解即可.试题解析：由题设和正弦定理得，3sinAcosC=2sinCcosA,所以3tanAcosC=2sinC.因为tanA=13，所以cosC=2sinC.tanC=12.所以tanB=tan[180︒-(A+C)]=-tan(a+c)=tan tan1tan tanA CA C+--=-1,即B=135︒.考点：1. 正弦定理；2. 诱导公式和两角和与差的正切公式；3. 同角三角函数的基本关系式.31. 【2014高考福建卷文第18题】已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+.（1）求5()4f π的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.（2）因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos 21x x =++2sin(2)14x π=++.32. 【2014高考广东卷文第16题】已知函数()sin 3f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x R ∈，且532122f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）求A 的值； （2）若()()3ff θθ--=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【答案】（1）3；（2）6.【解析】（1）()sin 3f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且532122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 553232sin sin 12123422f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫∴=+==⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3A ∴=； （2）()3sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且()()3f f θθ--=，33. 【2014高考湖北卷文第18题】某实验室一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系；)24,0[,12sin12cos310)(∈--=t t t t f ππ.（1）求实验室这一天上午8时的温度； （2）求实验室这一天的最大温差.又024t ≤<，所以πππ7π31233t ≤+<，ππ1sin()1123t -≤+≤.34. 【2014高考江苏第15题】已知5sin 25παπα⎛⎫∈=⎪⎝⎭，，. （1）求sin()4πα+的值；（2）求5cos(2)6πα-的值.（2）由（1）得4sin 22sin cos 5ααα==-，23cos 22cos 15αα=-=， 所以5553314334cos(2)cos cos 2sin sin 2()666252510πππααα+-=+=-⨯+⨯-=-． 【考点】三角函数的基本关系式，二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式．35. 【2014高考江西文第16题】已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，其中()πθ，，0∈∈R a .（1）求θ，a 的值；（2）若⎪⎭⎫⎝⎛∈-=⎪⎭⎫⎝⎛ππαα，，2524f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值.36. 【2014高考辽宁文第18题】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求：（Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）cos()B C -的值.37. 【2014高考辽宁文第17题】已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，其中()πθ，，0∈∈R a .（1）求θ，a 的值；（2）若⎪⎭⎫⎝⎛∈-=⎪⎭⎫⎝⎛ππαα，，2524f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值.38. 【2014高考全国2文第17题】 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB .（Ⅰ）求C 和BD ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.39. 【2014高考山东文第17题】△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知a =3，A cos =36,2π+=A B , （1）求b 得值；（2）求△ABC 的面积.【答案】(1）32b =.（2）ABC ∆的面积322. 【解析】试题分析：（1）应用三角函数同角公式得，3sin 3A =， 再据2B A π=+，求得6sin 3B =，进一步应用正弦定理可得解.因此，ABC ∆的面积11132sin 3322232S ab C ==⨯⨯⨯=. 考点：正弦定理，三角函数诱导公式、同角公式，两角和差的三角函数，三角形的面积.40. 【2014高考陕西文第16题】ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.（1）若c b a ,,成等差数列，证明：)sin(2sin sin C A C A +=+；（2）若c b a ,,成等比数列，且a c 2=，求B cos 的值.由余弦定理得22222221cos 2222a cb ac ac a c B ac ac ac +-+-+===- 2c a =22243cos 44a a B a +∴== 3cos 4B ∴= 考点：正弦定理；余弦定理.41.【2014高考上海文第21题】如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，， 45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？42. 【2014高考四川文第17题】已知函数()sin(3)4f x x π=+.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，4()cos()cos 2354f απαα=+，求cos sin αα-的值.43. 【2014高考天津文第16题】在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知b c a 66=-，C B sin 6sin =（1）求A cos 的值；（2）求)62cos(π-A 的值. 【答案】(1) 6cos .4A =(2) 153cos(2).68A π--= 【解析】【2014高考浙江文第18题】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，已知24sin 4sin sin 222A B A B -+=+ （1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值.【答案】（1）3π；（2）10. 【解析】试题分析：（1）由二倍角的余弦公式把24sin 4sin sin 222A B A B -+=+降次，再用两个角的和的余弦公式求)cos(B A +，由三角形三内角和定理可求得C cos ，从而求得角C ；（2）根据三角形的面积公式求出边a ，再由余弦定理求c 边.试题解析：（1）由已知得22sin sin 4)]cos(1[2+=+--B A B A ，【2014高考重庆文第18题】 在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且8=++c b a（Ⅰ）若25,2==b a ，求C cos 的值; （Ⅱ）若C A B B A sin 22cos sin 2cos sin 22=+，且ABC ∆的面积C S sin 29=，求a 和b 的值.由正弦定理可知：3a b c +=，又因8=++c b a ，故6a b += 由于19sin sin 22S ab C C ==，所以9ab =，从而2690a a -+=，解得3, 3.a b == 考点：1、两角和与差的三角函数公式及二倍角公式；2、正弦定理与余弦定理.。
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数 学C 单元 三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数 2．[2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－452．D [解析] 根据题意，cos α＝－4（－4）2＋32＝－45.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0 2．C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C.17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13.因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.C3 三角函数的图象与性质 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.7．[2014·福建卷] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称7．D [解析] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的图像，即f (x )＝cos x ．由余弦函数的图像与性质知，f (x )是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，关于点⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0(k ∈Z )对称，故选D.图1-25．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质8．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C ．πD ．2π8．C [解析] ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx 1＋π6＝π6＋2k 1π(k 1∈Z )或 ωx 2＋π6＝5π6＋2k 2π(k 2∈Z )，则ω(x 2－x 1)＝2π3＋2(k 2－k 1)π.又∵相邻交点距离的最小值为π3，∴ω＝2，∴T ＝π.7．[2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π47．C [解析] 方法一：将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin ＝3π8.13．[2014·重庆卷] 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．13.22[解析] 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，得到y＝sin(2ωx ＋φ)的图像，再向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin2ωx －π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －ωπ3＋φ的图像．由题意知sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －ωπ3＋φ＝sin x ，所以2ω＝1，－ωπ3＋φ＝2k π(k ∈Z )，又－π2≤φ≤π2，所以ω＝12，φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.16．[2014·北京卷] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图像如图1-4所示．图1-4(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．16．解：(1)f (x )的最小正周期为π. x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0.于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可． 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.11．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增11．B [解析] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图像 ，函数单调递增，则－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，可知函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增．14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 14．1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .2．[2014·陕西卷] 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 2．B [解析] T ＝2π2＝π.4．[2014·浙江卷] 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位4．A [解析] y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝2cos3x 的图像向右平移π12个单位可以得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，故选A.3．[2014·四川卷] 为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度3．A [解析] 由函数y ＝sin x 的图像变换得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，应该将函数y ＝sin x 图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，故选A.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可． 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ.18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217. (2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ， 所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 14．1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.8．、[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )图1-3A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m8．C [解析] 由题意可知，AC ＝60sin 30°＝120.∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC ＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24.在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC∠BAC，于是BC ＝120×222＋64＝240 22＋6＝120(3－1)(m)．故选C.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.18．、[2014·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．18．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222×2×52＝－15. (2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C 可得sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，所以a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，所以b ＝3.C6 二倍角公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .14．、[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．14.32 [解析] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin x 2＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以当sinx ＝12时函数y ＝cos 2x ＋2sin x 取得最大值，最大值为32. 16．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．16.43 [解析] 如图所示，根据题意知，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2∠OP A ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( ) A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin 2α＞0 D ．cos 2α＞0 2．C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .(2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C7 三角函数的求值、化简与证明16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ.18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 5．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.15．[2014·江苏卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 15．解： (1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55.故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－2 55＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55× ⎝⎛⎭⎫－2 55＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝ ⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3 310.16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327.21．、[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝π(x －cos x )－2sin x －2，g (x )＝(x －π)1－sin x1＋sin x＋2xπ－1.证明： (1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1＞π.21．证明：(1)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝π＋πsin x －2cos x ＞0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数．又f (0)＝－π－2＜0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π22－4＞0，所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，化简得g (x )＝(π－x )·cos x 1＋sin x ＋2xπ－1.令t ＝π－x 则t ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.记u (t )＝g (π－t )＝－t cos t 1＋sin t －2πt ＋1，则u ′(t )＝f （t ）π（1＋sin t ）.由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )＜0；当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2时，u ′(t )＞0.所以在⎝⎛⎭⎫x 0，π2上u (t )为增函数，由u ⎝⎛⎭⎫π2＝0知，当t ∈⎣⎡⎭⎫x 0，π2时，u (t )＜0，所以u (t )在⎣⎡⎭⎫x 0，π2上无零点．在(0，x 0)上u (t )为减函数，由u (0)＝1及u (x 0)＜0知存在唯一t 0∈(0，x 0)，使u (t 0)＝0.于是存在唯一t 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使u (t 0)＝0.设x 1＝π－t 0∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则g (x 1)＝g (π－t 0)＝u (t 0)＝0.因此存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0.由于x 1＝π－t 0，t 0＜x 0，所以x 0＋x 1＞π.12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.16．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．16．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64.(2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.C8 解三角形18．[2014·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝2＋ 2.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值． 18．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2， 化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2， 故cos(A ＋B )＝－22， 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.12．[2014·北京卷] 在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________．12．2158 [解析] 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×2×1×14＝4，即c ＝2；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋4－12×2×2＝78，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158.14．[2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．14．1 [解析] 由BC sin A ＝ACsin B ，得sin B ＝2sin 60°3＝1，即B ＝90°，所以△ABC 为以AB ，BC 为直角边的直角三角形， 则AB ＝AC 2－BC 2＝22－（3）2＝1，即AB 等于1.7．、[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 7．A [解析] 设R 是三角形外切圆的半径，R ＞0，由正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ．故选A.∵sin ≤A sin B ，∴2R sin A ≤2R sin B ，∴a ≤b .同理也可以由a ≤b 推出sin A ≤sin B .13．[2014·湖北卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a＝1，b ＝3，则B ＝________．13.π3或2π3 [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sin π6＝3sin B，解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π3.19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.14．、[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．14.6－24[解析] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c .故cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝34a 2＋12b 22ab －24≥234a 2·12b 22ab －24＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝23时等号成立．18．、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长．(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？图1-618．解： 方法一：(1)如图所示， 以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170，0)，直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点 B 的坐标为(a ，b )，则k BC ＝b －0a －170＝－43， k AB ＝b －60a －0＝34，解得a ＝80, b ＝120，所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知， 直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切， 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d － 680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680 － 3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大， 即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 方法二：(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO ＝43，所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60，OC ＝170，所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503， 从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003， 从而BC ＝CF －BF ＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝35， 所以r ＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680－3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大，即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 5．[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19 B.13 C ．1 D.725．D [解析] 由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2＝2⎝⎛⎭⎫b a 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫322－1＝72. 17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327. 18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ， 所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 17．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． 17．解：(1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 16．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.图1-316．150 [解析] 在Rt △ABC 中，BC ＝100，∠CAB ＝45°，所以AC ＝100 2.在△MAC中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，所以∠AMC ＝45°，由正弦定理有AM sin ∠MCA ＝ACsin ∠AMC ，即AM ＝sin 60°sin 45°×100 2＝1003，于是在Rt △AMN 中，有MN ＝sin 60°×1003＝150 .17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中，。
2014年高考数学三角函数、解三角形汇编
2014年高考数学三角函数、解三角形1．已知函数2()2sin ()234f x x x π=--，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， (1)求()f x 的最大值和最小值;(2)若方程()f x m =仅有一解,求实数m 的取值范围.2．已知函数()4cos sin()1(0)6f x x x πωωω=-+>的最小正周期是π． (1)求()f x 的单调递增区间；(2)求()f x 在[8π，38π]上的最大值和最小值．3．已知函数2()2cos sin(2)1f x x x π=-+-.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最小值和最大值.4．已知函数2()cos(2)2sin 13f x x x =--+π．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.5．已知向量()1cos ,1,(1,)a x b a x ωω=+= （ω为常数且0ω>），函数x f ⋅=)(在R 上的最大值为2．（1）求实数a 的值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位，可得函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，求ω取最大值时的单调增区间．6．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且cos 3cos C a c B b-=. (1)求sin B ;(2)若b a c ==，求ABC ∆的面积.7．设函数()f x a b =⋅，其中向量(sin 21,sin 2,6a x b x x R π⎛⎫⎛⎫==--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 。
（1）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的集合。
（2）将函数()f x 图像沿x 轴向右平移，则至少平移多少个单位长度，才能使得到的函数()g x 的图像关于y 轴对称。
8．已知函数22())2sin ()312f x x x ππ-+-，钝角ABC ∆（角,,A B C 对边为,,a b c ）的角B 满足()1f B =.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若3,b c ==,B a .9．设函数f (x )＝sin 3x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋sin 3x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭ωx (其中ω＞0)，且函数f (x )的图象的两条相邻的对称轴间的距离为2π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．10．已知函数f (x )＝tan 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求f 9π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； (2)设α∈3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若f 34απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2，求cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．11．已知函数()sin f x m x x =+,(0)m >的最大值为2．（Ⅰ）求函数()f x 在[]0,π上的值域；（Ⅱ）已知ABC ∆外接圆半径3=R ，()()sin 44f A f B A B ππ-+-=，角,A B 所对的边分别是,a b ，求b a 11+的值．12．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，ABC ∆的面积S 满足c o s 2S b c A =. （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =B 的大小为x,用x 表示c 并求的取值范围.13．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知cos -2cos 2-cos A C c a B b = . （1）求sin sin C A 的值； （2） 若1cos ,24B b ==，求ABC ∆的面积.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c o s c o s c o s a C b C c B c A -=-，且C ＝120°．（1）求角A ；（2）若a ＝2，求c ．15．已知函数2()1cos 22sin (),6f x x x x R π=+--∈.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和对称中心；（Ⅱ）若将()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位后所得到的图像关于y 轴对称，求实数m 的最小值.16．（本小题满分12分）设()sin (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ）求()f x 最大值及相应x 值；（Ⅱ）锐角ABC △中，满足()1f A =．求()sin 2B C +取值范围．17．在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++(1)求角A 值；(2)求C B cos sin 3-的最大值.18．已知：ABC c b a ∆分别是锐角,,三个内角A ，B ，C 所对的边，向量)sin ,cos 2(),sin 32,(sin A A b A A a ==，设b a A f ⋅=)(（1）若32)(=A f ，求角A ；（2）在（1）的条件下，若2,tan 2tan tan ==+a Aa C c Bb ，求三角形ABC 的面积．19．在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos (3)cos b C a c B =- （1）求B cos ；（2）若4BC BA ⋅= ，b =a ，c 的值.20．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c 且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列．（1）求B 的值；（2）求22sin cos()A A C +-的范围．21．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，且)c o s c o s c B b C-=. （1）求角B 的大小；（2）设向量8(cos 21,cos ),(1,)5A A +-m =n =，且⊥m n ，求tan()4A π+的值参考答案1．(1) m ()2ax f x =，min ()4f x =-(2)({}2,34⎤-⋃-⎦【解析】试题分析：(1)先用余弦的二倍角公式将其降幂，再用诱导公式及化一公式将其化简为()()sin f x A x k ωϕ=++或()()cos f x A x k ωϕ=++的形式，再根据正弦或余弦的最值情况求其最值。
2019高考数学真题(理)分类汇编三角函数及解三角形含答案解析
三角函数及解三角形专题1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+故选D. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式2sin cos ++x xx x计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，故选A ． 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A【解析】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，解得2ω=．故选A ． 【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15BCD 【答案】B 【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.7．【2019年高考北京卷文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，即()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，cos sin cos sin x b x x b x +=-，得sin 0b x =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -恒成立进行判断.8．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则22AOB APB ∠=∠=β，所以22242OABS ⨯==扇形ββ，因为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形，且AOB OAB S S △扇形，都已确定， 所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.9．【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2B ．C D ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； ∵()f x 的最小正周期为π，2ππ,T ∴==ω∴2ω=，∴1()sin sin ,2g x A x A x ==ω又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f = 故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，结合函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+ 23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．12．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.13．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 15．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-． 解得5c =．所以7b =． （2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin 14a A Bb ==． 在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin B C A +==【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值； （2）求sin 26πB ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）14-；（2）716+-. 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．17．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）c =（2.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.18．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+.【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ， 所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==， 从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置. 由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，1CQ =此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αAB ．13C ．13- D．3-【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以cos3==-α， 因此21cos 22cos 13=-=αα.故选B. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点(1)P ，求出cos α，再由二倍角公式，即可得出结果.。
(浙江版)高考数学分项汇编专题4三角函数与三角形(含解析)理
第四章 三角函数与三角形一．基础题组1. 【2014年.浙江卷.理4】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位【答案】：Ｄ2. 【2013年.浙江卷.理4】已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“π2ϕ=”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】：B3. 【2013年.浙江卷.理6】已知α∈R ，sin α＋2cos α＝10，则tan 2α＝( )． A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 【答案】：C∴tan α＝3或tan α＝13-，∴tan 2α＝34-.4. 【2012年.浙江卷.理4】把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )【答案】A5. 【2011年.浙江卷.理6】若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=cos()2βα+=（A ）3 （B ）3- （C ）9 （D ）9-02<<-βπ，∴36)24sin(=-βπ，∴)]24()4cos[()2cos(βπαπβα--+=+＝)24sin()4sin()24cos()4cos(βπαπβπαπ-++-+＝363323331⨯+⨯＝935. 6. 【2010年.浙江卷.理9】设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是 （A ）[]4,2-- （B ）[]2,0- （C ）[]0,2 （D ）[]2,4 【答案】A【解析】：根据函数零点的概念知，()x f 在某个区间上无零点，即方程转()4sin(21)f x x x =+-=0在这个7. 【2010年.浙江卷.理11】函数2()sin(2)4f x x x π=--的最小正周期是__________________. 【答案】π8. 【2009年.浙江卷.理8】已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是 ( )【答案】：D9. 【2008年.浙江卷.理5】在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x xy 的图象和直线21=y 的交点个数是 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 【答案】C10. 【2008年.浙江卷.理13】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b c o s c o s3=-，则=A cos【答案】311. 【2007年.浙江卷.理2】若函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，（其中0,||2πωϕ><）的最小正周期是π，且(0)f =（A ）1,26πωϕ== （B ）1,23πωϕ== （C ）2,6πωϕ== （D ）2,3πωϕ== 【答案】D12. 【2007年.浙江卷.理12】已知1sin cos 5θθ+=，且324ππθ≤≤，则cos2θ的值是_____________. 【答案】725-13. 【2006年.浙江卷.理6】函数y =21sin2x +4sin 2x ,x R ∈的值域是 (A)［-21,23］ (B)［-23,21］(C)［2122,2122++-］ (D)［2122,2122---］ 【答案】C14. 【2015高考浙江，理16】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为7，求b 的值. 【答案】（1）2；（2）3b =.15.二．能力题组1. 【2014年.浙江卷.理17】如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值答案：5392. 【2013年.浙江卷.理16】在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝__________.【答案】63. 【2012年.浙江卷.理18】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2cos 3A =，sin BC ．(1)求tan C 的值；(2)若a =ABC 的面积．【答案】（1）tan C =；（2）1csin 22S a B == 【解析】解：(1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23，4. 【2011年.浙江卷.理18】（本题满分14分）在ABC 中，角..A B C 所对的边分别为a,b,c. 已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =. （Ⅰ）当5,14p b ==时，求,a c 的值； (Ⅱ)若角B 为锐角，求p 的取值范围；【答案】（Ⅰ）114a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 或141a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ；(Ⅱ) 2p <<5. 【2009年.浙江卷.理18】（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且满足cos2A =， 3AB AC ⋅=． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．【答案】（I ）2；（II ）6.【2006年.浙江卷.理15】如图，函数y=2sin(πx φ),x ∈R,(其中0≤φ≤2π)的图象与y 轴交于点（0，1）.(Ⅰ)求φ的值；(Ⅱ)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求.与PM【答案】(Ⅰ) 6πϕ=; (Ⅱ) 15arccos17.cos ,||||PM PNPM PN PM PN ⋅<>=⋅1517=，故,PM PN <>=15arccos17. 7. 【2005年.浙江卷.理8】已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( )(A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1 【答案】A三．拔高题组1. 【2014年.浙江卷.理18】（本题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,a b c ≠=22cos -cos cos cos .A B A A B B =（I ）求角C 的大小； （II ）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）3C π=；（Ⅱ）S =．2. 【2010年.浙江卷.理18】(本题满分l4分)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知1cos 24C =- (I)求sinC 的值；(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC 时，求b 及c 的长．【答案】(I) 4 (Ⅱ) 44b bc c ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩b 2b-12=0，解得或，所以 44b bc c ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩3. 【2007年.浙江卷.理18】（本题14分）已知ABC ∆1，且sin sin A B C +=（Ⅰ）求边AB 的长； （Ⅱ）若ABC ∆的面积为1sin 6C ，求角C 的度数.【答案】（Ⅰ）1AB =；（Ⅱ）60C =4. 【2005年.浙江卷.理15】已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ．(Ⅰ) 求f (256π)的值；(Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (2α)＝41sin α的值．【答案】(Ⅰ)0； (Ⅱ.∵α∈(0,π),∴sin α>0,故sin α 5. 【2015高考浙江，理11】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．【答案】π，]87,83[ππππk k ++，Z k ∈.6.。
2019年高考数学文真题分项解析：专题04 三角函数与解三角形
第四章 三角函数与三角形1.【2019高考新课标Ⅰ，文7】tan255°= A. －2－3 B. －2+3C. 2－3D. 2+3【答案】D 【解析】 【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】详解：000000tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)=+==+=00031tan 45tan 3032 3.1tan 45tan 30313++==+--【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．2.【2019高考新课标Ⅰ，文11】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c =A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．3.【2019高考新课标Ⅱ，文8】若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A. 2B.32C. 1D.12【答案】A 【解析】 【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得ω. 【详解】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，得2ω=．故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．4.【2019高考新课标Ⅱ，文11】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A. 15B.55 C.33D.255【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭Q ． sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ． 【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．5.【2019高考新课标Ⅲ，文5】函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.【详解】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2x π∈Q ，02x ππ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．6.【2019高考北京卷，文6】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【详解】0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数； ()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.7.【2019高考北京卷，文8】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A. 4β+4cos βB. 4β+4sin βC. 2β+2cos βD. 2β+2sin β【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定面积最大时点P 的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值. 【详解】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为2222βππ⨯⨯+S △POB + S △POA =4β+1||sin()2OP OB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖ 42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅.故选：B .【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.8.【2019高考天津卷，文7】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2- B. 2-C.2 D. 2【答案】C 【解析】 【分析】只需根据函数性质逐步得出,,A ωϕ值即可。
2019年高考数学真题分类汇编：专题(04)三角函数与三角形(理科)及答案
专题四 三角函数与三角形1.【2018高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A ） （B （C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D. 【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.2.【2018高考山东，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为sin 4sin 4312y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x = 的图象向右平移12π个单位.故选B.【考点定位】三角函数的图象变换.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.3.【2018高考新课标1，理8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C)13(,),44k k k Z -+∈ (D)13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】本题考查函数cos()y A x ωϕ=+的图像与性质，先利用五点作图法列出关于ωϕ，方程，求出ωϕ，，或利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求ωϕ，使解题的关键.4.【2018高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）()cos(2)2A y x π=+ ()sin(2)2B y x π=+ ()sin 2cos 2C y x x =+ ()sin cos D y x x =+【答案】A【解析】对于选项A ，因为2sin 2,2y x T ππ=-==，且图象关于原点对称，故选A. 【考点定位】三角函数的性质.【名师点睛】本题不是直接据条件求结果，而是从4个选项中找出符合条件的一项，故一般是逐项检验，但这类题常常可采用排除法.很明显，C 、D 选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而B 选项中的函数是偶函数，故均可排除，所以选A.5.【2018高考重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C 【解析】由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin 55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos103cos 10ππ==，选C. 【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．6.【2018高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 【考点定位】三角函数的图象与性质．【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知sin 16x πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，y 取得最小值，进而求出k 的值，当sin 16x πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，y 取得最大值． 7.【2018高考安徽，理10】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<- 【答案】A【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出ω，通过最值判断出ϕ，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可.【2018高考湖南，理9】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（ ）A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】D. 【解析】试题分析：向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min 3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-，故选D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以)sin()(ϕω+=x A x f 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.【2018高考上海，理13】已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值 为 ． 【答案】8【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的m 最小，须取123456783579110,,,,,,,6,222222x x x x x x x x πππππππ========即8.m = 【考点定位】三角函数性质【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解决非常规题的一个行之有效的方法.8.【2018高考天津，理13】在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .【答案】8【解析】因为0A π<<，所以sin A ==又1sin 242ABC S bc A bc ∆===∴=，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得 2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.【考点定位】同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.【名师点睛】本题主要考查同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.解三角形是实际应用问题之一，先根据同角三角关系求角A 的正弦值，再由三角形面积公式求出24bc =，解方程组求出,b c 的值，用余弦定理可求边a 有值.体现了综合运用三角知识、正余弦定理的能力与运算能力，是数学重要思想方法的体现. 【2018高考上海，理14】在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E ⋅= ． 【答案】1615-【考点定位】向量数量积，解三角形【名师点睛】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos<a ，b>．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b＝x 1x 2＋y 1y 2.向量夹角与三角形内角的关系，可利用三角形解决；向量的模与三角形的边的关系，可利用面积解决.9.【2018高考广东，理11】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a = 1sin 2B =，6C =π，则b = . 【答案】1． 【解析】因为1sin 2B =且()0,B π∈，所以6B π=或56B π=，又6C π=，所以6B π=，23A B C ππ=--=，又a =sin sin a b A B =sin 36bπ=解得1b =，故应填入1． 【考点定位】三角形的内角和定理，正弦定理应用．【名师点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、运用正弦定理解三角形，属于容易题，解答此题要注意由1sin 2B =得出6B π=或56B π=时，结合三角形内角和定理舍去56B π=． 10.【2018高考北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1【解析】222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc+-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ 考点定位：本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式，灵活使用正弦定理、余弦定理进行边化角、角化边.【名师点睛】本题考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理，本题属于基础题，题目所求分式的分子为二倍角正弦，应用二倍角的正弦公式进行恒等变形，变形后为角的正弦、余弦式，灵活运用正弦定理和余弦定理进行角化边，再把边长代入求值.11.【2018高考湖北，理12】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ．【答案】2【解析】因为2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+ |)1ln(|sin 2sin )cos 1(2+--+=x x x x |)1ln(|2sin +-=x x所以函数)(x f 的零点个数为函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象的交点的个数， 函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象如图，由图知，两函数图象有2个交点， 所以函数)(x f 有2个零点.【考点定位】二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点.【名师点睛】数形结合思想方法是高考考查的重点. 已知函数的零点个数，一般利用数形结合转化为两个图象的交点个数，这时图形一定要准确。
2014年普通高等学校招生全国统一考试分类汇编4—三角函数及解三角形(文科)
证明：（Ⅰ）存在唯一 ，使 ；
（Ⅱ）存在唯一 ，使 ，且对（1）中的x0，有 .
21.（Ⅰ）当 时， ，所以 在 上为增函数．又 ． ．所以存在唯一 ，使 ．
（Ⅱ）当 时，化简得 ．令 ．记
． ．则 ．由（Ⅰ）得，当 时， ；当 时， ．从而在 上 为增函数，由 知，当 时， ，所以 在 上无零点．在 上 为减函数，由 及 知存在唯一 ，使得 ．于是存在唯一 ，使得 ．设 ．
2.已知角 的终边经过点 ，则 （）
A． B． C． D．
2．D[解析]根据题意，cosα＝ ＝－ .
14.函数 的最大值为.
14． [解析]因为y＝cos2x＋2sinx＝1－2sinx2＋2sinx＝－2 ＋ ，所以当sinx＝ 时函数y＝cos2x＋2sinx取得最大值，最大值为 .
13. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 ，求B.
故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.
19.（本小题满分13分）如图4，在平面四边形 中， ,
（1）求 的值；
（2）求 的长
解：[19]：如图设
(I)在 中,由余弦定理可得 ,于是又题设可知 ,即 ,解得 ( 舍去),
在 中,由正弦定理可得 ,
即 .
(I)由题设可得 ,于是由（I）知 ,而 ,所以 ,在 中, ,
14．在 中， ,则 等于_________
[解析]14． [解析]由 ＝ ，得sinB＝ ＝1，
即B＝90°，所以△ABC为以AB，BC为直角边的直角三角形，
则AB＝ ＝ ＝1，即AB等于1
18．（本小题满分12分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求 的值；
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题4：三角函数与解三角形4(三角函数的图像和性质解答题)带详细答案
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题4：三角函数与解三角形（三角函数的图像和性质解答题）1．（2014•北京文）函数()3sin(2)6f x x π=+的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出()f x 的最小正周期及图中0x ，0y 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间[2π-，]12π-上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性；正弦函数的定义域和值域【分析】（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由[2x π∈-，]12π-可得52[66x ππ+∈-，0]，由三角函数的性质可得最值． 【解答】解：（Ⅰ）()3sin(2)6f x x π=+，()f x ∴的最小正周期22T ππ==， 可知0y 为函数的最大值3，076x π=； （Ⅱ）[2x π∈-，]12π-，52[66x ππ∴+∈-，0]， ∴当206x π+=，即12x π=-时，()f x 取最大值0， 当262x ππ+=-，即3x π=-时，()f x 取最小值3-【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属基础题． 2．（2014•福建文）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+． （Ⅰ）求5()4f π的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间． 【考点】二倍角的三角函数；三角函数的周期性【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为())14f x x π=++，从而求得5()4f π的值．（Ⅱ）根据函数())14f x x π++，求得它的最小正周期．令222242k x k πππππ-++剟，k Z ∈，求得x 的范围，可得函数的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）函数()2cos (sin cos )sin 21cos2)14f x x x x x x x π=+=++++，553()sin()11124244f ππππ∴=++=+=+=．（Ⅱ）函数())14f x x π=++，故它的最小正周期为22ππ=．令222242k x k πππππ-++剟，k Z ∈，求得388k x k ππππ-+剟， 故函数的单调递增区间为3[8k ππ-，]8k ππ+，k Z ∈． 【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和单调性，属于中档题． 3．（2014•福建理）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-．（1）若02πα<<，且sin α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间． 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（1）根据题意，利用sin α求出cos α的值，再计算()f α的值； （2）化简函数()f x ，求出()f x 的最小正周期与单调增区间即可．【解答】解：（1）02πα<<，且sin α=cos α∴=1()cos (sin cos )2f αααα∴=+-1(2222=+- 12=； （2）函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+- 21sin cos cos 2x x x =+-11cos21sin 2222x x +=+- 1(sin 2cos2)2x x =+)4x π=+，()f x ∴的最小正周期为22T ππ==； 令222242k x k πππππ-++剟，k Z ∈，解得388k x k ππππ-+剟，k Z ∈； ()f x ∴的单调增区间为3[8k ππ-，]8k ππ+，k Z ∈． 【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是基础题目．4．（2014•广东文）已知函数()sin()3f x A x π=+，x R ∈，且5()12f π=．（1）求A 的值；（2）若()()f f θθ--=(0,)2πθ∈，求()6f πθ-．【考点】两角和与差的三角函数【分析】（1）通过函数()sin()3f x A x π=+，x R ∈，且5()12f π，直接求A 的值；（2）利用函数的解析式，通过()()f f θθ--=，(0,)2πθ∈，求出cos θ，利用两角差的正弦函数求()6f πθ-．【解答】解：（1）函数()sin()3f x A x π=+，x R ∈，且5()122f π=，553()sin()sin 121234f A A ππππ∴=+==，∴23A =．（2）由（1）可知：函数()3sin()3f x x π=+，()()3sin()3sin()33f f ππθθθθ∴--=+--+3[(sin coscos sin )(cos sin sin cos )]3333ππππθθθθ=+--32sin cos3sin 3πθθ===sin θ∴，(0,)2πθ∈cos θ∴==()3sin()3sin()3cos 6632f ππππθθθθ∴-=-+=-==【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查． 5．（2014•广东理）已知函数()sin()4f x A x π=+，x R ∈，且53()122f π=．（1）求A 的值； （2）若3()()2f f θθ+-=，(0,)2πθ∈，求3()4f πθ-． 【考点】两角和与差的三角函数；由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式 【分析】（1）由函数()f x 的解析式以及53()122f π=，求得A 的值．（2）由（1）可得())4f x x π+，根据3()()2f f θθ+-=，求得cos θ 的值，再由(0,)2πθ∈，求得sin θ的值，从而求得3()4f πθ- 的值． 【解答】解：（1）函数()sin()4f x A x π=+，x R ∈，且53()122f π=．5233sin()sin 12432A A A πππ∴+===，A ∴（2）由（1）可得())4f x x π=+，3()()))cos 4442f f πππθθθθθθ∴+-=+-+===，cos θ∴=(0,)2πθ∈，可得sin θ=33()))444f πππθθπθθ∴--+=-==【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题．6．（2014•湖北文）某实验室一天的温度（单位：C)︒随时间t （单位：)h 的变化近似满足函数关系：()10sin1212f t t t ππ=-，[0t ∈，24)．（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差． 【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】（Ⅰ）直接根据()f t 的解析式求得f （8）的值．（Ⅱ）根据()102sin()312f t t ππ=-+，[0t ∈，24)，求得函数()f t 取得最大值和最小值，从而得到这一天的最大温差．【解答】解：（Ⅰ）()10sin1212f t t t ππ=-，[0t ∈，24)．f ∴（8）22110sin 10()10332ππ=--=-=， 故实验室这一天上午8时的温度为10C ︒．（Ⅱ）()10sin102sin()1212312f t t t t ππππ=-=-+，[0t ∈，24)． ∴733123t ππππ<+<，故当33122t πππ+=，即14t =时，函数()f t 取得最大值为10212+=， 当3122t πππ+=，即2t =时，函数()f t 取得最小值为1028-=，故实验室这一天的最大温差为1284C ︒-=．【点评】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象特征，正弦函数的值域，属于中档题．7．（2014•湖北理）某实验室一天的温度（单位：C)︒随时间t （单位：)h 的变化近似满足函数关系：()10sin1212f t t t ππ=-，[0t ∈，24)（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？ 【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为()102sin()123f t t ππ-+，[0t ∈，24)，利用正弦函数的定义域和值域求得()f x 的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．（Ⅱ）由题意可得，当()11f t >时，需要降温，由()11f t >，求得1sin()1232t ππ+<-，即71161236t ππππ<+<，解得t 的范围，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）1()10sin10sin )121212212f t t t t t ππππ=-=-+ 102sin()123t ππ=-+，[0t ∈，24)，∴731233t ππππ+<…，故当31232t πππ+=时，即14t =时，函数取得最大值为10212+=， 当1232t πππ+=时，即2t =时，函数取得最小值为1028-=，故实验室这一天的最大温差为1284C ︒-=．（Ⅱ）由题意可得，当()11f t >时，需要降温，由（Ⅰ）可得()102sin()123f t t ππ=-+，由102sin()11123t ππ-+>，求得1sin()1232t ππ+<-，结合正弦函数的图象可得261236t ππππππ+<+<-，即71161236t ππππ<+<， 解得1018t <<，即在10时到18时，需要降温．【点评】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．8．（2014•江西文）已知函数2()(2cos )cos(2)f x a x x θ=++为奇函数，且()04f π=，其中a R ∈，(0,)θπ∈．（1）求a ，θ的值；（2）若2()45f α=-，(2πα∈，)π，求sin()3πα+的值．【考点】函数奇偶性的性质与判断；三角函数中的恒等变换应用 【分析】（1）把4x π=代入函数解析式可求得a 的值，进而根据函数为奇函数推断出(0)0f =，进而求得cos θ，则θ的值可得．（2）利用2()45f α=-和函数的解析式可求得sin 2α，进而求得cos 2α，进而利用二倍角公式分别求得sin α，cos α，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．【解答】解：（1）()(1)sin 04f a πθ=-+=，(0,)θπ∈．sin 0θ∴≠， 10a ∴+=，即1a =-()f x 为奇函数， (0)(2)cos 0f a θ∴=+=， cos 0θ∴=，2πθ=．（2）由（1）知21()(12cos )cos(2)cos2(sin 2)sin 422f x x x x x x π=-++=-=-，12()sin 425f αα∴=-=-，4sin 5α∴=， (2πα∈，)π，3cos 5α∴=-，sin()sin cos cos sin 333πππααα∴+=+=． 【点评】本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．9．（2014•江西理）已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中a R ∈，(2πθ∈-，)2π（1）当a =4πθ=时，求()f x 在区间[0，]π上的最大值与最小值；（2）若()02f π=，()1f π=，求a ，θ的值．【考点】两角和与差的三角函数；正弦函数的定义域和值域【分析】（1）由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为()sin()4f x x π=--，再根据[0x ∈，]π，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．（2）由条件可得(2πθ∈-，)2π，cos sin20a θθ-=①，sin cos21a θθ--=②，由这两个式子求出a 和θ的值．【解答】解：（1）当a 4πθ=时，()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++sin())42x x x x x x x ππ=++++=+sin()sin()44x x ππ=-=--． [0x ∈，]π，[44x ππ∴-∈-，3]4π，sin()[4x π∴-∈1]，sin()[14x π∴--∈-，故()f x 在区间[0，]π上的最小值为1-． （2）()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，a R ∈，(2πθ∈-，)2π， ()02f π=，()1f π=，cos sin20a θθ∴-=①，sin cos21a θθ--=②，由①求得1sin 2a θ=，由②可得21sin 11cos22a a aθθ+==---． 再根据2cos212sin θθ=-，可得221111224a a a --=-⨯，求得1a =-，1sin 2θ∴=-，6πθ=-．综上可得，所求的1a =-，6πθ=-．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题． 10．（2014•四川文理）已知函数()sin(3)4f x x π=+．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，4()cos()cos2354f απαα=+，求cos sin αα-的值．【考点】两角和与差的三角函数；正弦函数的单调性 【分析】（1）令232242k x k πππππ-++剟，k z ∈，求得x 的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得()s i n ()34f απα=+，又4()c o s ()c o s 2354f απαα=+，可得4s i n ()c o s ()c o s 2454ππααα+=+，化简可得25(cos sin )4αα-=．再由α是第二象限角，cos sin 0αα-<，从而求得cos sin αα- 的值．【解答】解：（1）函数()sin(3)4f x x π=+，令232242k x k πππππ-++剟，k Z ∈，求得2234312k k x ππππ-+剟，故函数的增区间为2[34k ππ-，2]312k ππ+，k Z ∈． （2）由函数的解析式可得()sin()34f απα=+，又4()cos()cos2354f απαα=+，4sin()cos()cos2454ππααα∴+=+，即224sin()cos()(cos sin )454ππαααα+=+-，4sin coscos sin(cos cos sin sin )(cos sin )(cos sin )44544ππππαααααααα∴+=--+ 即24(sin cos )(cos sin )(cos sin )5αααααα+=-+， 又α是第二象限角，cos sin 0αα∴-<，当sin cos 0αα+=时，tan 1α=-，sin α=，cos α=，此时cos sin αα-=当sin cos 0αα+≠时，此时cos sin αα-=．综上所述：cos sin αα-=． 【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．11．（2014•天津理）已知函数2()cos sin()3f x x x x π=+-+，x R ∈．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间[4π-，]4π上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式2||T πω=求出此函数的最小正周期； （Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x 的范围，求出23x π-的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，21()cos (sin )2f x x x x x =213sin cos 2x x x =-+1sin 2cos2)4x x =++1sin 24x x = 1sin(2)23x π=- 所以，()f x 的最小正周期22T ππ==． （Ⅱ）由（Ⅰ）得1()sin(2)23f x x π=-，由[4x π∈-，]4π得，2[2x π∈-，]2π，则52[36x ππ-∈-，]6π， ∴当232x ππ-=-时，即sin(2)13x π-=-时，函数()f x 取到最小值是：12-， 当236x ππ-=时，即1sin(2)32x π-=时，()f x 取到最大值是：14， 所以，所求的最大值为14，最小值为12-． 【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式2||T πω=应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．12．（2014•重庆理）已知函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππϕ-<…的图象关于直线3x π=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． （Ⅰ）求ω和ϕ的值；（Ⅱ）若2()()263f αππα=<<，求3cos()2πα+的值．【考点】由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式【分析】（Ⅰ）由题意可得函数()f x 的最小正周期为π 求得2ω=．再根据图象关于直线3x π=对称，结合22ππϕ-<…可得ϕ 的值． （Ⅱ）由条件求得1sin()64πα-=．再根据6πα-的范围求得c o s ()6πα-的值，再根据3cos()sin sin[()]266πππααα+==-+，利用两角和的正弦公式计算求得结果． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数()f x 的最小正周期为π，∴2ππω=，2ω∴=．再根据图象关于直线3x π=对称，可得232k ππϕπ⨯+=+，k z ∈．结合22ππϕ-<…可得6πϕ=-．（Ⅱ）2()()263f αππα<<，∴)6πα-，1sin()64πα∴-=． 再根据062ππα<-<，cos()6πα∴-==3cos()sin sin[()]sin()cos cos()sin 2666666πππππππααααα∴+==-+=-+-1142=． 【点评】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题．13．（2015•北京文）已知函数2()sin 2x f x x =-． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间[0，2]3π上的最小值． 【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的周期性；三角函数的最值【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得()2sin()3f x x π=+求法即可得解； （2）由[0x ∈，2]3π，可求范围[33x ππ+∈，]π，即可求得()f x 的取值范围，即可得解．【解答】解：（1）2()sin 2xf x x =- 1cossin 2xx -=-sin x x =2sin()3x π=+()f x ∴的最小正周期221T ππ==； （2）[0x ∈，2]3π， [33x ππ∴+∈，]π，sin()[03x π∴+∈，1]，即有：()2sin()[3f x x π=+2，∴可解得()f x 在区间[0，2]3π上的最小值为： 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．14．（2015•北京理）已知函数2()cos 222x x xf x ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[π-，0]上的最小值．【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的周期性；三角函数的最值【分析】（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简()f x ，再由正弦函数的周期，即可得到所求； （Ⅱ）由x 的范围，可得4x π+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值．【解答】解：（Ⅰ）2()cos 222x x xf xcos )x x =--sin coscos sin44x x ππ=+sin()42x π=+-， 则()f x 的最小正周期为2π； （Ⅱ）由0x π-剟，可得 3444x πππ-+剟，即有1sin()4x π-+剟，则当34x π=-时，sin()4x π+取得最小值1-，则有()f x 在区间[π-，0]上的最小值为1-． 【点评】本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运算能力，属于中档题．15．（2015•福建文）已知函数2()cos 10cos 222x x xf x =+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移(0)a a >个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的 最大值为2． ()i 求函数()g x 的解析式；()ii 证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得0()0g x >．【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换；三角函数的最值 【分析】（Ⅰ）先化简函数的解析式，进而求出最小正周期；（Ⅱ）()i 先求出每一步函数变换的函数解析式，再根据()g x 的最大值为2，容易求出a 的值，然后进而写出()g x 的解析式；()ii 就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >，由45<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=由正弦函数的性质当0(2x k πα∈+，02)()k k Z ππα+-∈时，均有4sin 5x >，即可证明．【解答】解：（Ⅰ）2()cos 10cos 5cos 510sin()52226x x x f x x x x π=+=++=++，∴所求函数()f x 的最小正周期2T π=；（Ⅱ）()i 将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象， 再向下平移(0)a a >个单位长度后得到函数()10sin 5g x x a =+-的图象， 函数()g x 的最大值为2，1052a ∴+-=，解得13a =，∴函数()10sin 8g x x =-．()ii 要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得0()0g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >，由45知，存在003πα<<，使得04sin 5α=， 由正弦函数的性质可知，当0(x α∈，0)πα-时，均有4sin 5x >， 因为sin y x =的周期为2π，所以当0(2x k πα∈+，02)k ππα+-， ()k Z ∈时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，000(2)(2)213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数0(2k x k πα∈+，02)k ππα+-，使得4sin 5k x >， 即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得0()0g x >．【点评】本题考查了三角函数的辅助角公式、最小正周期、函数图象的平移变换、最值问题等，属于中档题．16．（2015•福建理）已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移2π个单位长度． （1）求函数()f x 的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程()()f x g x m +=在[0，2)π内有两个不同的解α，β()i 求实数m 的取值范围；()ii 证明：22cos()15m αβ-=-． 【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】（1）由函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律可得：()2sin f x x =，从而可求对称轴方程．（2）()i 由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得()())f x g x x ϕ+=+（其中sinϕ=，cosϕ，从而可求1<，即可得解．()ii 由题意可得sin()αϕ+=，sin()βϕ+=．当1m <…可求2()αβπβϕ-=-+，当1m <<时，可求32()αβπβϕ-=-+，由2cos()2sin ()1αββϕ-=+-，从而得证．【解答】解：（1）将()c o s g x x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到2cos y x=的图象，再将2cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到2cos()2y x π=-的图象，故()2sin f x x =， 从而函数()2sin f x x =图象的对称轴方程为()2x k k Z ππ=+∈．（2）()()()2sin cos ))i f x g x x x x x x ϕ+=++（其中sin ϕ=，cos ϕ依题意，sin()x ϕ+=在区间[0，2)π内有两个不同的解α，β，当且仅当||1<，故m 的取值范围是(．()ii 因为α，β)x m ϕ+=在区间[0，2)π内的两个不同的解，所以sin()αϕ+=，sin()βϕ+=．当1m <…2()2παβϕ+=-，即2()αβπβϕ-=-+；当1m <<时，32()2παβϕ+=-，即32()αβπβϕ-=-+； 所以2222cos()cos 2()2sin ()1115m αββϕβϕ-=-+=+-=-=-．【点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想． 17．（2015•湖北文）某同学将“五点法”画函数()sin()(0f x A wx w ϕ=+>，||)2πϕ<在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式； （2）将()y f x =图象上所有点向左平移6π个单位长度，得到()y g x =图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心．【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换；由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式 【分析】（1）由五点作图法即可将数据补充完整，写出函数的解析式；（2）由函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换可得()g x ，解得其对称中心即可得解． 【解答】解：（1）数据补充完整如下表：函数()f x 的解析式为：()5sin(2)6f x x =-．（2）将()y f x =图象上所有点向左平移6π个单位长度，得到()5sin[2()]5sin(2)666y g x x x πππ==+-=+． 由26x k ππ+=，k Z ∈，可解得：212k x ππ=-，k Z ∈，当0k =时，可得：12x π=-．从而可得离原点O 最近的对称中心为：(12π-，0)．【点评】本题主要考查了由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换，属于基本知识的考查．18．（2015•湖北理）某同学用“五点法”画函数()sin()(0f x A x ωϕω=+>，||)2πϕ<在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5(12π，0)，求θ的最小值． 【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换；由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式 【分析】（1）根据表中已知数据，解得5A =，2ω=，6πϕ=-．从而可补全数据，解得函数表达式为()5sin(2)6f x x π=-．（2）由（Ⅰ）及函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律得()5sin(22)6g x x πθ=+-．令226x k πθπ+-=，解得212k x ππθ=+-，k Z ∈．令521212k πππθ+-=，解得23k ππθ=-，k Z ∈．由0θ>可得解．【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得5A =，2ω=，πϕ=-．数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-．（2）由（Ⅰ）知()5sin(2)6f x x π=-，得()5sin(22)6g x x πθ=+-．因为sin y x =的对称中心为(,0)k π，k Z ∈． 令226x k πθπ+-=，解得212k x ππθ=+-，k Z ∈． 由于函数()y g x =的图象关于点5(12π，0)成中心对称，令521212k πππθ+-=， 解得23k ππθ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1K =时，θ取得最小值6π． 【点评】本题主要考查了由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．19．（2015•天津理）已知函数22()sin sin ()6f x x x π=--，x R ∈．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[3π-，]4π内的最大值和最小值． 【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的周期性；三角函数的最值【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得1()sin(2)26f x x π=--，由周期公式可得；（Ⅱ）由[3x π∈-，]4π结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）化简可得22()sin sin ()6f x x x π=--11(1cos2)[1cos(2)]223x x π=----11(1cos21cos22)22x x x =--++11(cos22)22x x =-+ 1sin(2)26x π=- ()f x ∴的最小正周期22T ππ==； （Ⅱ）[3x π∈-，]4π，52[66x ππ∴-∈-，]3π，sin(2)[16x π∴-∈-，∴11sin(2)[262x π-∈-，()f x ∴在区间[3π-，]4π，12-【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题．20．（2015•重庆文）已知函数21()sin 22f x x x =．（Ⅰ）求()f x 的最小周期和最小值；（Ⅱ）将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．当[,]2x ππ∈时，求()g x 的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得()sin(2)3f x x π=--，从而可求最小周期和最小值；（Ⅱ）由函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换可得()sin()3g x x π=-，由[2x π∈，]π时，可得3x π-的范围，即可求得()g x 的值域．【解答】解：（Ⅰ）211()sin 2sin 2cos2)sin(2)223f x x x x x x π==+=-，()f x ∴的最小周期22T ππ==，最小值为：1-=．（Ⅱ）由条件可知：()sin()3g x x π=--当[2x π∈，]π时，有[36x ππ-∈，2]3π，从而sin()3x π-的值域为1[2，1]，那么sin()3x π-的值域为：，，故()g x 在区间[2π，]π上的值域是．【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换，属于基本知识的考查．21．（2015•重庆理）已知函数2()sin()sin 2f x x x x π=-． ()I 求()f x 的最小正周期和最大值； ()II 讨论()f x 在[6π，2]3π上的单调性．【考点】二倍角的三角函数；三角函数的周期性；复合三角函数的单调性【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值． （Ⅱ）根据2[03x π-∈，]π，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得()f x 在2[,]63ππ上的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数2()sin()sin cos sin cos2)2f x x x x x x x π=-=+1sin 2sin(2)23x x x π=-=--，故函数的周期为22ππ=，最大值为1． （Ⅱ）当2[,]63x ππ∈ 时，2[03x π-∈，]π，故当0232x ππ-剟时，即[6x π∈，5]12π时，()f x 为增函数； 当223x πππ-剟时，即5[12x π∈，2]3π时，()f x 为减函数．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题． 22．（2015•安徽文）已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++． （Ⅰ）求()f x 最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[0，]2π上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性；三角函数的最值【分析】（Ⅰ）化函数()f x 为正弦型函数，即可求出()f x 的最小正周期； （Ⅱ）由02xπ剟求出24x π+的取值范围，再根据正弦函数的图象与性质即可求出()f x 的最值．【解答】解：（Ⅰ）22()(sin cos )2cos f x x x x =++ 222sin 2sin cos cos 2cos x x x x x =+++ 1sin21cos2x x =+++)24x π=++，⋯（4分）所以()f x 的最小正周期为T π=；⋯（6分） （Ⅱ）由02xπ剟得，02x π剟，所以24π (544)x ππ+…；⋯（8分）根据正弦函数sin y x =的图象可知当8x π=时，()f x 有最大值为2⋯（11分） 当2x π=时，()f x 有最小值为1．⋯（13分）【点评】本题考查了三角函数的化简以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．23．（2016•天津理）已知函数()4tan sin()cos()23f x x x x ππ=--（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）讨论()f x 在区间[4π-，]4π上的单调性．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可．（2）利用三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（1）()4tan sin()cos()23f x x x x ππ=--．2x k ππ∴≠+，即函数的定义域为{|2x x k ππ≠+，}k Z ∈，则1()4tan cos (cos )2f x x x x x =-14sin (cos )2x x x =22sin cos x x x =+sin 2cos 2)x x =+--sin 2x x =2sin(2)3x π=-， 则函数的周期22T ππ==； （2）由222232k x k πππππ-<-<+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-<<+，k Z ∈，即函数的增区间为(12k ππ-，5)12k ππ+，k Z ∈， 当0k =时，增区间为(12π-，5)12π，k Z ∈， [4x π∈-，]4π，∴此时(12x π∈-，]4π， 由3222232k x k πππππ+<-<+，k Z ∈， 得5111212k x k ππππ+<<+，k Z ∈，即函数的减区间为5(12k ππ+，11)12k ππ+，k Z ∈，当1k =-时，减区间为7(12π-，)12π-，k Z ∈， [4x π∈-，]4π，∴此时[4x π∈-，)12π-，即在区间[4π-，]4π上，函数的减区间为[4π∈-，)12π-，增区间为(12π-，]4π．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式，两角和差的余弦公式以及辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．24．（2016•山东文）设2())sin (sin cos )f x x x x x π=---． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()6g π的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间． （Ⅱ）利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，从而求得()6g π的值．【解答】解：（Ⅰ）221cos2()23sin()sin (sin cos )23sin 1sin2231sin22xf x x x x x x x x π-=---=-+=-+sin 212sin(2)13x x x π==-，令222232k x k πππππ--+剟，求得51212k x k ππππ-+剟，可得函数的增区间为[12k ππ-，5]12k ππ+，k Z ∈．（Ⅱ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得2sin()13y x π=-的图象；再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()2sin 1y g x x ==+的图象，()2sin 166g ππ∴==【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求函数的值，属于基础题．25．（2016•北京文）已知函数()2sin cos cos2(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π． （1）求ω的值；（2）求()f x 的单调递增区间．【考点】三角函数的周期性；正弦函数的单调性；三角函数的最值【分析】（1）直接利用函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用周期公式求出ω的值．（2）直接利用整体思想求出函数的单调递增区间． 【解答】解：()2sin cos cos2f x x x x ωωω=+， sin2cos2x x ωω=+，)4x πω=+，由于函数的最小正周期为π， 则：22T ππω==， 解得：1ω=．（2）由（1）得：函数())4f x x π=+，令222()242k x k k Z πππππ-+++∈剟，解得：3()88k x k k Z ππππ-++∈剟， 所以函数的单调递增区间为：3[,]()88k k k Z ππππ-++∈． 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调性的应用和周期性的应用．26．（2017•浙江）已知函数22()sin cos f x x x x =--cos ()x x R ∈． （Ⅰ）求2()3f π的值．（Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式， （Ⅰ）代入可得：2()3f π的值． （Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得()f x 的最小正周期及单调递增区间【解答】解：函数22()sin cos f x x x x =--7cos 2cos22sin(2)6x x x x π=-=+（Ⅰ）2275()2sin(2)2sin 23362f ππππ=⨯+==， （Ⅱ）2ω=，故T π=，即()f x 的最小正周期为π， 由72[262x k πππ+∈-+，2]2k ππ+，k Z ∈得： 5[6x k ππ∈-+，]3k ππ-+，k Z ∈， 故()f x 的单调递增区间为5[6k ππ-+，]3k ππ-+或写成[6k ππ+，2]3k ππ+，k Z ∈． 【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．27．（2017•山东理）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=． （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[4π-，3]4π上的最小值． 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数()f x 为正弦型函数，根据()06f π=求出ω的值； （Ⅱ）写出()f x 解析式，利用平移法则写出()g x 的解析式，求出[4x π∈-，3]4π时()g x 的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+- sin cos cos sin sin()662x x x πππωωω=---3cos 2x x ωω=-)3x πω=-， 又()3sin()0663f πππω=-=，∴63k ππωπ-=，k Z ∈，解得62k ω=+，又03ω<<，2ω∴=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，())3f x x π-，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数)3y x π-的图象；再将得到的图象向左平移4π个单位，得到)43y x ππ+-的图象，∴函数())12y g x x π=-； 当[4x π∈-，3]4π时，[123x ππ-∈-，2]3π，sin()[12x π∴-∈，1]，∴当4x π=-时，()g x 取得最小值是32=-． 【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．28．（2017•北京文16）已知函数())2sin cos 3f x x x x π--． ()I 求()f x 的最小正周期；()II 求证：当[4x π∈-，]4π时，1()2f x -…． 【考点】三角函数线；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性【分析】（Ⅰ）根据两角差的余弦公式和两角和正弦公式即可求出()sin(2)3f x x π+，根据周期的定义即可求出，（Ⅱ）根据正弦函数的图象和性质即可证明．【解答】解：（Ⅰ）())2sin cos 3f x x x x π=--，13(22)sin 22co x x x =+-，1sin 22x x =+， sin(2)3x π=+， 22T ππ∴==，()f x ∴的最小正周期为π， （Ⅱ）[4x π∈-，]4π， 2[36x ππ∴+∈-，5]6π， 1sin(2)123x π∴-+剟， 1()2f x ∴-… 【点评】本题考查了三角函数的化简以及周期的定义和正弦函数的图象和性质，属于基础题29．（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()sin 22cos f x a x x =+．（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若()14f π=，求方程()1f x =-[π-，]π上的解． 【考点】两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）2()sin 22cos f x a x x =+，2()sin 22cos f x a x x ∴-=-+，()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-=，22sin 22cos sin 22cos a x x a x x ∴-+=+，2sin20a x ∴=，0a ∴=；（2）()14f π=，2sin 2cos ()1124a a ππ∴+=+，a ∴2()22cos 2cos212sin(2)16f x x x x x x π∴+++=++，()1f x =2sin(2)116x π∴++=sin(2)6x π∴+=2264x k πππ∴+=-+，或52264x k πππ+=+，k Z ∈， 524x k πππ∴=-+，或1324x k ππ=+，k Z ∈， [x π∈-，]π，1324x π∴=或1924x π=或524x π=-或1124x π=- 【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．30．（2018•北京文16）已知函数2()sin cos f x x x x =+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间[3π-，]m 上的最大值为32，求m 的最小值． 【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的周期性；三角函数的最值【分析】()I 运用二倍角公式的降幂公式和两角差的正弦公式和周期公式，即可得到所求值； （Ⅱ）求得26x π-的范围，结合正弦函数的图象可得262m ππ-…，即可得到所求最小值．【解答】解：()I 函数21cos2()sin cos 22x f x x x x x -=+=+ 1sin(2)62x π=-+， ()f x 的最小正周期为22T ππ==； （Ⅱ）若()f x 在区间[3π-，]m 上的最大值为32， 可得52[66x ππ-∈-，2]6m π-， 即有262m ππ-…，解得3m π…， 则m 的最小值为3π． 【点评】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和三角函数的周期公式、最值，考查运算能力，属于中档题．31．（14分）设常数a R ∈，函数2()sin 22cos f x a x x =+．（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若()14f π=，求方程()1f x =-[π-，]π上的解． 【考点】GP ：两角和与差的三角函数；GS ：二倍角的三角函数【专题】11：计算题；38：对应思想；4R ：转化法；58：解三角形【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）2()sin 22cos f x a x x =+，2()sin 22cos f x a x x ∴-=-+，()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-=，22sin 22cos sin 22cos a x x a x x ∴-+=+，2sin20a x ∴=，0a ∴=；（2）()14f π=，2sin 2cos ()1124a a ππ∴+=+，a ∴2()22cos 2cos212sin(2)16f x x x x x x π∴+++=++，()1f x =2sin(2)116x π∴++=sin(2)6x π∴+= 2264x k πππ∴+=-+，或52264x k πππ+=+，k Z ∈， 524x k πππ∴=-+，或1324x k ππ=+，k Z ∈， [x π∈-，]π，1324x π∴=或1924x π=或524x π=-或1124x π=- 【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．32．（2019•浙江）设函数()sin f x x =，x R ∈．（1）已知[0θ∈，2)π，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【考点】正弦函数的奇偶性和对称性【分析】（1）函数()f x θ+是偶函数，则()2k k Z πθπ=+∈，根据θ的范围可得结果；（2）化简函数得)16y x π-+，然后根据x 的范围求值域即可．【解答】解：（1）由()sin f x x =，得()sin()f x x θθ+=+，()f x θ+为偶函数，∴()2k k Z πθπ=+∈，[0θ∈，2)π，∴2πθ=或32πθ=， （2）22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 22sin ()sin ()124x x ππ=+++ 1cos(2)1cos(2)6222x x ππ-+-+=+11(cos2cos sin 2sin sin 2)266x x x ππ=---3sin 214x x =+)16x π=-+， x R ∈，∴sin(2)[1,1]6x π-∈-，∴)1[16y x π=-+∈， ∴函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域为：[1+． 【点评】本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三角恒等变换，属基础题．。
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题4：三角函数与解三角形3(三角函数的图像和性质选择填空)带详细答案
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题4：三角函数与解三角形（三角函数的图像和性质选择填空题）（一）三角函数的图像和性质（单调性和最值）选择题1．（2014•大纲版理）设sin33a =︒，cos55b =︒，tan35c =︒，则( ) A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>【考点】正切函数的单调性和周期性【分析】可得sin35b =︒，易得b a >，sin35tan35sin35cos35c ︒=︒=>︒︒，综合可得．【解答】解：由诱导公式可得cos55cos(9035)sin35b =︒=︒-︒=︒， 由正弦函数的单调性可知b a >， 而sin35tan35sin35cos35c b ︒=︒=>︒=︒，c b a ∴>>故选：C ．【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题． 2．（2017•新课标Ⅲ文）函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为( )A ．65B ．1C ．35D ．15【考点】三角函数的最值【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可． 【解答】解：函数111()sin()cos()sin()cos()sin()sin()536536533f x x x x x x x ππππππ=++-=++-+=+++66sin()535x π=+…． 故选：A ．【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力． 3．（2018•新课标Ⅱ文）若()cos sin f x x x =-在[0，]a 是减函数，则a 的最大值是( ) A ．4πB ．2π C ．34π D ．π【考点】两角和与差的三角函数；正弦函数的单调性【分析】利用两角和差的正弦公式化简()f x ，由22242k x k πππππ-+-+剟，k Z ∈，得32244k xk ππππ-++剟，k Z ∈，取0k =，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π，结合已知条件即可求出a 的最大值．【解答】解：()cos sin (sin cos ))4f x x x x x x π=-=--=-，由22242k x k πππππ-+-+剟，k Z ∈，得32244k xk ππππ-++剟，k Z ∈， 取0k =，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π， 由()f x 在[0，]a 是减函数，得34a π…．则a 的最大值是34π． 故选：C ．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．4．（2018•新课标Ⅱ理）若()cos sin f x x x =-在[a -，]a 是减函数，则a 的最大值是( ) A ．4πB ．2π C ．34π D ．π【考点】两角和与差的三角函数；正弦函数的单调性【分析】利用两角和差的正弦公式化简()f x ，由22242k x k πππππ-+-+剟，k Z ∈，得32244k xk ππππ-++剟，k Z ∈，取0k =，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π，结合已知条件即可求出a 的最大值．【解答】解：()cos sin (sin cos ))4f x x x x x x π=-=--=-，由22242k x k πππππ-+-+剟，k Z ∈，得32244k xk ππππ-++剟，k Z ∈， 取0k =，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π， 由()f x 在[a -，]a 是减函数，得434a a ππ⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩……，∴4a π…．则a 的最大值是4π．故选：A ．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．填空题1．（2014•新课标Ⅱ文）函数()sin()2sin cos f x x x ϕϕ=+-的最大值为 1 ． 【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的最值【分析】直接利用两角和与差三角函数化简，然后求解函数的最大值． 【解答】解：函数()sin()2sin cos f x x x ϕϕ=+-sin cos sin cos 2sin cos x x x ϕϕϕ=+-sin cos sin cos x x ϕϕ=-sin()1x ϕ=-…．所以函数的最大值为1． 故答案为：1．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数最值的求解，考查计算能力． 2．（2014•新课标Ⅱ理）函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为 1 ． 【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的最值【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为()sin f x x =，从而求得函数的最大值．【解答】解：函数()sin(2)2sin cos()sin[()]2sin cos()f x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕ=+-+=++-+ sin()cos cos()sin 2sin cos()sin()cos cos()sin x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=+++-+=+-+ sin[()]sin x x ϕϕ=+-=，故函数()f x 的最大值为1， 故答案为：1．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题． 3．（2014•大纲版理）若函数()cos2sin f x x a x =+在区间(6π，)2π是减函数，则a 的取值范围 (-∞，2] ． 【考点】复合三角函数的单调性【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令sin t x =换元，根据给出的x 的范围求出t 的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a 的范围． 【解答】解：由()cos2sin f x x a x =+22sin sin 1x a x =-++， 令sin t x =，则原函数化为221y t at =-++． (6x π∈，)2π时()f x 为减函数，则221y t at =-++在1(2t ∈，1)上为减函数，221y t at =-++的图象开口向下，且对称轴方程为4at =．∴142a …，解得：2a …．a ∴的取值范围是(-∞，2]．故答案为：(-∞，2]．【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．4．（2014•大纲版文）函数cos22sin y x x =+的最大值是 32． 【考点】三角函数的最值【分析】利用二倍角公式对函数化简可得2213cos22sin 12sin 2sin 2(sin )22y x x x x x =+=-+=--+，结合1sin 1x -剟及二次函数的性质可求函数有最大值【解答】解：2213cos22sin 12sin 2sin 2(sin )22y x x x x x =+=-+=--+又1sin 1x -剟当1sin 2x =时，函数有最大值32故答案为：32【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中要注意1sin 1x -剟的条件．5．（2015•浙江文）函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 π ，最小值是 ． 【考点】二倍角的三角函数；三角函数的最值【分析】由三角函数恒等变换化简解析式可得3())242f x x π=-+，由正弦函数的图象和性质即可求得最小正周期，最小值．【解答】解：2()sin sin cos 1f x x x x =++1cos21sin 2122x x -=++3)242x π=-+．∴最小正周期22T ππ==，最小值为：32故答案为：π 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查． 6．（2015•山东理）若“[0x ∀∈，]4π，tan x m …”是真命题，则实数m 的最小值为 1 ．【考点】命题的真假判断与应用【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m 的范围． 【解答】解：“[0x ∀∈，]4π，tan x m …”是真命题，可得tan 1x …，所以，1m …， 实数m 的最小值为：1． 故答案为：1．【点评】本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力．7．（2017•新课标Ⅱ文）函数()2cos sin f x x x =+【考点】三角函数的最值【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．【解答】解：函数()2cos sin ))f x x x x x x θ=+=+=+，其中tan 2θ=，．．【点评】本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的有界性的应用，考查计算能力．8．（2017•新课标Ⅱ理）函数23()sin ([0,])42f x x x x π=+-∈的最大值是 1 ．【考点】三角函数的最值【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出．【解答】解：2233()sin 1cos 44f x x x x x =-=--，令cos x t =且[0t ∈，1]，则221(14y t t =-+=-+，当t 时，()1max f t =，即()f x 的最大值为1， 故答案为：1【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题9．（2018•北京理11）设函数()cos()(0)6f x x πωω=->，若()()4f x f π…对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为23． 【考点】三角函数的最值【分析】利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可．【解答】解：函数()cos()(0)6f x x πωω=->，若()()4f x f π…对任意的实数x 都成立，可得：246k ππωπ-=，k Z ∈，解得283k ω=+，k Z ∈，0ω> 则ω的最小值为：23． 故答案为：23． 【点评】本题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能力．（二）三角函数的图像和性质（周期）选择题1．（2014•新课标Ⅰ文）在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③cos(2)6y x π=+，④tan(2)4y x π=-中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③【考点】三角函数的周期性【分析】根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论． 【解答】解：函数①cos |2|cos2y x x ==，它的最小正周期为22ππ=， ②|cos |y x =的最小正周期为1221ππ=， ③cos(2)6y x π=+的最小正周期为22ππ=，④tan(2)4y x π=-的最小正周期为2π，故选：A ．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题． 2．（2014•陕西文）函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是( )A ．2π B ．π C ．2π D ．4π【考点】三角函数的周期性【分析】由题意得2ω=，再代入复合三角函数的周期公式2||T πω=求解． 【解答】解：根据复合三角函数的周期公式2||T πω=得， 函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是π，故选：B ．【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式2||T πω=应用，属于基础题． 3．（2014•陕西理）函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是( )A ．2π B ．π C ．2π D ．4π【考点】三角函数的周期性【分析】由题意得2ω=，再代入复合三角函数的周期公式2||T πω=求解． 【解答】解：根据复合三角函数的周期公式2||T πω=得， 函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是π，故选：B ．【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式2||T πω=应用，属于基础题． 4．（2016•浙江理）设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【考点】三角函数的周期性【分析】根据三角函数的图象和性质即可判断． 【解答】解：设函数2()sin sin f x x b x c =++，()f x ∴图象的纵坐标增加了c ，横坐标不变，故周期与c 无关，当0b =时，211()sin sin cos222f x x b x c x c =++=-++的最小正周期为22T ππ==，当0b ≠时，11()cos2sin 22f x x b x c =-+++，cos2y x =的最小正周期为π，sin y b x =的最小正周期为2π， ()f x ∴的最小正周期为2π，故()f x 的最小正周期与b 有关， 故选：B ．【点评】本题考查了三角函数的最小正周期，关键掌握三角函数的图象和性质，属于中档题．5．（2016•山东理）函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期是( ) A ．2πB ．πC ．32π D ．2π【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性【分析】利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期．【解答】解：函数()cos sin )2sin()2cos()2sin(2)663f x x x x x x x x πππ=+-=++=+，T π∴=，故选：B ．【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．6．（2017•新课标Ⅱ文）函数()sin(2)3f x x π=+的最小正周期为( )A ．4πB ．2πC ．πD ．2π 【考点】三角函数的周期性【分析】利用三角函数周期公式，直接求解即可．【解答】解：函数()sin(2)3f x x π=+的最小正周期为：22ππ=．故选：C ．【点评】本题考查三角函数的周期的求法，是基础题．7．（2017•山东文）函数2cos 2y x x =+的最小正周期为( ) A ．2πB ．23π C ．π D ．2π【考点】1H ：三角函数的周期性【专题】11：计算题；4O ：定义法；57：三角函数的图象与性质【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，进而根据ω值，可得函数的周期．【解答】解：函数2cos22sin(2)6y x x x π+=+，2ω=，T π∴=，故选：C ．【点评】本题考查的知识点是三角函数的周期性及其求法，难度不大，属于基础题．填空题1．（2014•山东文）函数22cos y x x =+的最小正周期为 π ． 【考点】两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数；三角函数的周期性【分析】利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为()sin(2)6f x x π=+，从而求得函数的最小正周期【解答】解：函数21cos212cos 2sin(2)262x y x x x x π+=++=++， 故函数的最小正周期的最小正周期为22ππ=，故答案为：π．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．2．（2014•上海文理）函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 2π． 【考点】二倍角的三角函数；三角函数的周期性 【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期． 【解答】解：212cos (2)y x =-2[2cos (2)1]x =-- cos4x =-，∴函数的最小正周期为242T ππ== 故答案为：2π【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题． 3．（2015•上海文）函数2()13sin f x x =-的最小正周期为 π ． 【考点】三角函数的周期性【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期． 【解答】解：函数21cos213()13sin 13cos2222x f x x x -=-=-=-+， ∴函数的最小正周期为22ππ=， 故答案为：π．【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题． 4．（2019北京理科9）函数2()sin 2f x x =的最小正周期是 ． 【考点】三角函数的周期性【分析】用二倍角公式可得11()cos(4)22f x x =-+，然后用周期公式求出周期即可．【解答】解：2()sin (2)f x x =，11()cos(4)22f x x ∴=-+，()f x ∴的周期2T π=，故答案为：2π． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是合理使用二倍角公式，属基础题．（三）三角函数的图像和性质（平移）选择题1．（2014•四川文）为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案． 【解答】解：由sin y x =到sin(1)y x =+，只是横坐标由x 变为1x +，∴要得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度．故选：A ．【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题． 2．（2014•四川理）为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把sin 2y x =的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】根据1sin(21)sin 2()2y x x =+=+，利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【解答】解：1sin(21)sin 2()2y x x =+=+，∴把sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度，即可得到函数sin(21)y x =+的图象， 故选：A ．【点评】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．3．（2014•浙江文理）为了得到函数sin3cos3y x x =+的图象，可以将函数y x =的图象( )A ．向右平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向左平移12π个单位【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．【解答】解：函数sin3cos3)4y x x x π=+-，故只需将函数y x =的图象向右平移12π个单位，得到)]cos(3)124y x x ππ=-=-的图象．故选：C ．【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查．4．（2015•山东文理）要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象( )个单位．A ．向左平移12πB ．向右平移12πC ．向左平移3π D ．向右平移3π 【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可． 【解答】解：因为函数sin(4)sin[4()]312y x x ππ=-=-，要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图象向右平移12π单位．故选：B ．【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x 的系数是易错点．5．（2016•新课标Ⅰ文）将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A ．2sin(2)4y x π=+B ．2sin(2)3y x π=+ C ．2sin(2)4y x π=-D ．2sin(2)3y x π=-【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】求得函数y 的最小正周期，即有所对的函数式为2sin[2()]46y x ππ=-+，化简整理即可得到所求函数式．【解答】解：函数2sin(2)6y x π=+的周期为22T ππ==，由题意即为函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移4π个单位，可得图象对应的函数为2sin[2()]46y x ππ=-+，即有2sin(2)3y x π=-．故选：D ．【点评】本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量x 而言，考查运算能力，属于基础题和易错题．6．（2016•四川文）为了得到函数sin()3y x π=+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点( )A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度 C ．向上平行移动3π个单位长度D ．向下平行移动3π个单位长度【考点】函数的图象与图象的变换；函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】根据函数图象平移“左加右减“的原则，结合平移前后函数的解析式，可得答案． 【解答】解：由已知中平移前函数解析式为sin y x =， 平移后函数解析式为：sin()3y x π=+，可得平移量为向左平行移动3π个单位长度， 故选：A ．【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则，熟练掌握图象平移“左加右减“的原则，是解答的关键．7．（2016•四川理）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度 C ．向左平行移动6π个单位长度D ．向右平行移动6π个单位长度【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】由条件根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，可得结论． 【解答】解：把函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度，可得函数sin 2()sin(2)63y x x ππ=-=-的图象， 故选：D ．【点评】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题． 8．（2017•新课标Ⅰ理）已知曲线1:cos C y x =，22:sin(2)3C y x π=+，则下面结论正确的是( ) A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2C【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可． 【解答】解：把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数cos2y x =图象，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到函数2cos2()cos(2)sin(2)1263y x x x πππ=+=+=+的图象，即曲线2C ，故选：D ．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．填空题1．（2014•重庆文）将函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)22ππϕ-<…图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到sin y x =的图象，则()6f π=． 【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】由条件根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，可得sin(2)sin 3x x πωϕω+-=，可得21ω=，且23k πϕωπ-=，k z ∈，由此求得ω、ϕ的值，可得()f x 的解析式，从而求得()6f π的值．【解答】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)22ππϕ-<…图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数sin(2)y x ωϕ=+的图象． 再把所得图象再向右平移6π个单位长度得到函数sin[2())]6y x πωϕ=-+ sin(2)sin 3x x πωϕω=+-=的图象，21ω∴=，且23k πϕωπ-=，k Z ∈，12ω∴=，26k πϕπ=+，1()sin()26f x x π∴=+，()sin()sin 61264f ππππ∴=+==．． 【点评】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于中档题．2．（2016•新课标Ⅲ文）函数sin y x x =的图象可由函数2sin y x =的图象至少向右平移 3π个单位长度得到．【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】令()2sin f x x =，则()2()f x i n x ϕϕ-=-，依题意可得2sin()2sin()3x x πϕ-=-，由2()3k k Z πϕπ-=-∈，可得答案．【解答】解：sin 2sin()3y x x x π==-，令()2sin f x x =，则()2()(0)f x in x ϕϕϕ-=->， 依题意可得2sin()2sin()3x x πϕ-=-，故2()3k k Z πϕπ-=-∈， 即2()3k k Z πϕπ=-+∈，当0k =时，正数3min πϕ=，故答案为：3π． 【点评】本题考查函数sin y x =的图象变换得到s i n ()(0y A x A ωϕ=+>，0)ω>的图象，得到2()3k k Z πϕπ-=-∈是关键，属于中档题．3．（2016•新课标Ⅲ理）函数sin y x x =-的图象可由函数sin y x x =+的图象至少向右平移23π个单位长度得到． 【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】令()sin 2sin()3f x x x x π==+，则()2s i n ()3f x x πϕϕ-=+-，依题意可得2sin()2sin()33x x ππϕ+-=-，由2()33k k Z ππϕπ-=-∈，可得答案．【解答】解：()sin 2sin()3y f x x x x π===+，sin 2sin()3y x x x π==-，()2sin()(0)3f x x πϕϕϕ∴-=+->，令2sin()2sin()33x x ππϕ+-=-，则2()33k k Z ππϕπ-=-∈，即22()3k k Z πϕπ=-∈， 当0k =时，正数23min πϕ=， 故答案为：23π． 【点评】本题考查函数sin y x =的图象变换得到s i n ()(0y A x A ωϕ=+>，0)ω>的图象，得到2()33k k Z ππϕπ-=-∈是关键，也是难点，属于中档题．（四）三角函数的图像和性质（对称性）选择题1．（2014•安徽文）若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是( ) A ．8πB ．4π C ．38π D ．34π 【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y 轴对称，根据对称轴方程求出ϕ的最小值．【解答】解：函数()sin 2cos2)4f x x x x π=++的图象向右平移ϕ的单位，所得图象是函数2)4y x πϕ=+-，图象关于y 轴对称，可得242k ππϕπ-=+，即28k ππϕ=--， 当1k =-时，ϕ的最小正值是38π． 故选：C ．【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题． 2．（2015•四川文理）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．cos(2)2y x π=+B ．sin(2)2y x π=+C ．sin 2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的周期性 【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可． 【解答】解：cos(2)sin 22y x x π=+=-，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确sin(2)cos22y x x π=+=，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；sin 2cos2)4y x x x π=+=+，函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；sin cos )4y x x x π=+=+，函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；故选：A ．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．3．（2019新课标Ⅱ文8）若14x π=，234x π=是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则(ω= ) A ．2B ．32C ．1D ．12【考点】三角函数的周期性 【分析】14x π=，234x π=是()f x 两个相邻的极值点，则周期32()44T πππ=-=，然后根据周期公式即可求出ω． 【解答】解：14x π=，234x π=是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点， 322()44T ππππω∴=-==2ω∴=，故选：A ．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是根据条件得出周期，属基础题．填空题1．（2014•安徽理）若将函数()sin(2)4f x x π=+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是38π． 【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为sin(22)4y x πϕ=+-，再根据所得图象关于y 轴对称可得242k ππϕπ-=+，k z ∈，由此求得ϕ的最小正值．【解答】解：将函数()sin(2)4f x x π=+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象对应的函数解析式为sin[2()]sin(22)44y x x ππϕϕ=-+=+-关于y 轴对称，则242k ππϕπ-=+，k z ∈，即28k ππϕ=--，故ϕ的最小正值为38π， 故答案为：38π． 【点评】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题． 2．（2018•江苏7）已知函数sin(2)()22y x ππϕϕ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值为 ．【考点】正弦函数的奇偶性和对称性【分析】根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可． 【解答】解：sin(2)()22y x ππϕϕ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，232k ππϕπ∴⨯+=+，k Z ∈，即6k πϕπ=-， 22ππϕ-<<，∴当0k =时，6πϕ=-，故答案为：6π-．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键． （五）三角函数的图像和性质（综合型）选择题1．（2014•新课标Ⅱ理）设函数()xf x mπ=，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是( ) A ．(-∞，6)(6-⋃，)+∞ B ．(-∞，4)(4-⋃，)+∞C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞【考点】正弦函数的定义域和值域【分析】由题意可得，0()f x =，且02x k mπππ=+，k Z ∈，再由题意可得当2m 最小时，0||x 最小，而0||x 最小为1||2m ，可得22134m m >+，由此求得m 的取值范围．【解答】解：由题意可得，0()f x =02x k mπππ=+，k z ∈，即0212k x m +=． 再由22200[()]x f x m +<，即2203x m +<，可得当2m 最小时，0||x 最小，而0||x 最小为1||2m ， 22134m m ∴>+，24m ∴>．求得2m >，或2m <-，故选：C ．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题． 2．（2014•新课标Ⅰ理）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[0，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【考点】抽象函数及其应用【分析】在直角三角形OMP 中，求出OM ，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到()f x 的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择． 【解答】解：在直角三角形OMP 中，1OP =，POM x ∠=，则|cos |OM x =，∴点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()|sin |f x OM x =1|cos ||sin ||sin 2|2x x x ==， 其周期为2T π=，最大值为12，最小值为0， 故选：C ．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．3．（2014•福建文）将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是( ) A ．()y f x =是奇函数 B ．()y f x =的周期为π C ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称D ．()y f x =的图象关于点(2π-，0)对称【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】利用函数图象的平移法则得到函数()y f x =的图象对应的解析式为()cos f x x =，则可排除选项A ，B ，再由coscos()022ππ=-=即可得到正确选项．【解答】解：将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得sin()cos 2y x x π=+=． 即()cos f x x =．()f x ∴是周期为2π的偶函数，选项A ，B 错误； coscos()022ππ=-=，()y f x ∴=的图象关于点(2π-，0)、(2π，0)成中心对称．故选：D ．【点评】本题考查函数图象的平移，考查了余弦函数的性质，属基础题．4．（2014•辽宁文理）将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间[12π，7]12π上单调递增B ．在区间[12π，7]12π上单调递减C ．在区间[6π-，]3π上单调递减D ．在区间[6π-，]3π上单调递增【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取0k =即可得到函数在区间[12π，7]12π上单调递增，则答案可求．【解答】解：把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：3sin[2()]23y x ππ=-+．即23sin(2)3y x π=-． 当函数递增时，由2222232k x k πππππ-+-+剟，得7,1212k xk k Z ππππ++∈剟． 取0k =，得71212xππ剟． ∴所得图象对应的函数在区间[12π，7]12π上单调递增． 故选：A ．【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．5．（2014•天津文）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，x R ∈，在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为( ) A ．2π B ．23π C ．πD ．2π【考点】三角函数的周期性；正弦函数的图象【分析】根据()2sin()6f x x πω=+，再根据曲线()y f x =与直线1y =的交点中，相邻交点距离的最小值为3π，正好等于()f x 的周期的13倍，求得函数()f x 的周期T 的值．【解答】解：已知函数()cos 2sin()(0)6f x x x x πωωωω=+=+>，x R ∈，在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，正好等于()f x 的周期的13倍，设函数()f x 的最小正周期为T ，则133T π=，T π∴=， 故选：C ．【点评】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象特征，得到3π正好等于()f x 的周期的13倍，是解题的关键，属于中档题．6．（2015•新课标Ⅰ文理）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )A ．1(4k π-，3)4k π+，k z ∈B ．1(24k π-，32)4k π+，k z ∈ C ．1(4k -，3)4k +，k z ∈ D ．1(24k -，32)4k +，k z ∈ 【考点】余弦函数的单调性【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ，可得()f x 的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得()f x 的减区间．【解答】解：由函数()cos()f x x ωφ=+的部分图象，可得函数的周期为2512()244πω=-=，ωπ∴=，()cos()f x x πφ=+．再根据函数的图象以及五点法作图，可得42ππφ+=，k z ∈，即4πφ=，()cos()4f x x ππ=+．由224k x k πππππ++剟，求得132244k x k -+剟，故()f x 的单调递减区间为1(24k -，32)4k +，k z ∈，故选：D ．【点评】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．7．（2015•湖南理）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图象．若对满足12|()()|2f x g x -=的1x 、2x ，有12||3min x x π-=，则(ϕ= )A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】利用三角函数的最值，求出自变量1x ，2x 的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数()sin 2f x x =的周期为π，函数的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图象．若对满足12|()()|2f x g x -=的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有12||3min x x π-=，不妨14x π=，2712x π=，即()g x 在2712x π=，取得最小值，7sin(22)112πϕ⨯-=-，此时6πϕ=-，不合题意， 134x π=，2512x π=，即()g x 在2512x π=，取得最大值，5sin(22)112πϕ⨯-=，此时6πϕ=，满足题意． 另解：()sin 2f x x =，()sin(22)g x x ϕ=-，设1222x k ππ=+，k Z ∈，22222x m πϕπ-=-+，m Z ∈，12()2x x k m πϕπ-=-+-，由12||3min x x π-=，可得23ππϕ-=，解得6πϕ=，故选：D ．【点评】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．8．（2015•陕西理）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++．据此函数可知，这段时间水深（单位：)m 的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10【考点】由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式 【分析】由题意和最小值易得k 的值，进而可得最大值． 【解答】解：由题意可得当sin()6x πϕ+取最小值1-时，函数取最小值32min y k =-+=，解得5k =， 3sin()56y x πϕ∴=++，∴当当sin()6x πϕ+取最大值1时，函数取最大值358max y =+=， 故选：C ．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．9．（2015•安徽理）已知函数()sin()(f x A x A ωϕ=+，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=。
2019年高考数学真题分类汇编 专题04 三角函数与三角形 理科及答案
专题四 三角函数与三角形1.【2015高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A ）（B （C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D. 【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式. 2.【2015高考山东，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为sin 4sin 4312y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的图象，只需将函数sin 4y x = 的图象向右平移12π个单位.故选B.【考点定位】三角函数的图象变换.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.3.【2015高考新课标1，理8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈(C)13(,),44k k k Z -+∈ (D)13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】本题考查函数cos()y A x ωϕ=+的图像与性质，先利用五点作图法列出关于ωϕ，方程，求出ωϕ，，或利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求ωϕ，使解题的关键. 4.【2015高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）()cos(2)2A y x π=+ ()sin(2)2B y x π=+ ()sin 2cos 2C y x x =+()sin cos D y x x =+【答案】A【解析】对于选项A ，因为2sin 2,2y x T ππ=-==，且图象关于原点对称，故选A. 【考点定位】三角函数的性质.【名师点睛】本题不是直接据条件求结果，而是从4个选项中找出符合条件的一项，故一般是逐项检验，但这类题常常可采用排除法.很明显，C 、D 选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而B 选项中的函数是偶函数，故均可排除，所以选A.5.【2015高考重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4【答案】C 【解析】 由已知，3c o s ()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cossin55ππαππα+=-33cos 2tan sin105102tan cossin555ππππππ+=- 33cos cos2sin sin 510510sincos55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos 10ππ==，选C .【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用． 6.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 【考点定位】三角函数的图象与性质．【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知sin 16x πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，y 取得最小值，进而求出k 的值，当sin 16x πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，y 取得最大值． 7.【2015高考安徽，理10】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<- 【答案】A【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出ω，通过最值判断出ϕ，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可. 【2015高考湖南，理9】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（ ）A.512π B.3π C.4π D.6π【答案】D. 【解析】试题分析：向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min 3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-，故选D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以)sin()(ϕω+=x A x f 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等. 【2015高考上海，理13】已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值 为 ． 【答案】8【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的m 最小，须取123456783579110,,,,,,,6,222222x x x x x x x x πππππππ========即8.m = 【考点定位】三角函数性质【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解决非常规题的一个行之有效的方法.8.【2015高考天津，理13】在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 . 【答案】8【解析】因为0A π<<，所以sin A ==又1sin 242ABC S bc A bc ∆===∴=，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.【考点定位】同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.【名师点睛】本题主要考查同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.解三角形是实际应用问题之一，先根据同角三角关系求角A 的正弦值，再由三角形面积公式求出24bc =，解方程组求出,b c 的值，用余弦定理可求边a 有值.体现了综合运用三角知识、正余弦定理的能力与运算能力，是数学重要思想方法的体现.【2015高考上海，理14】在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DFE ⋅= ．【答案】1615-【考点定位】向量数量积，解三角形【名师点睛】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos<a ，b>．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.向量夹角与三角形内角的关系，可利用三角形解决；向量的模与三角形的边的关系，可利用面积解决.9.【2015高考广东，理11】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =1sin 2B =，6C =π，则b = . 【答案】1． 【解析】因为1sin 2B =且()0,B π∈，所以6B π=或56B π=，又6C π=，所以6B π=，23A B C ππ=--=，又a =由正弦定理得sin sin a b A B =sin 36b π=解得1b =，故应填入1．【考点定位】三角形的内角和定理，正弦定理应用．【名师点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、运用正弦定理解三角形，属于容易题，解答此题要注意由1sin 2B =得出6B π=或56B π=时，结合三角形内角和定理舍去56B π=． 10.【2015高考北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1【解析】222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc+-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ 考点定位：本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式，灵活使用正弦定理、余弦定理进行边化角、角化边.【名师点睛】本题考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理，本题属于基础题，题目所求分式的分子为二倍角正弦，应用二倍角的正弦公式进行恒等变形，变形后为角的正弦、余弦式，灵活运用正弦定理和余弦定理进行角化边，再把边长代入求值. 11.【2015高考湖北，理12】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2【解析】因为2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+|)1ln(|sin 2sin )cos 1(2+--+=x x x x |)1ln(|2sin +-=x x所以函数)(x f 的零点个数为函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象的交点的个数， 函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象如图，由图知，两函数图象有2个交点， 所以函数)(x f 有2个零点.【考点定位】二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点.【名师点睛】数形结合思想方法是高考考查的重点. 已知函数的零点个数，一般利用数形结合转化为两个图象的交点个数，这时图形一定要准确。
2014年高考数学(理)试题分项版解析：专题04 三角函数与解三角形(分类汇编)Word版含解析
1. 【2014高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( ) A.56x π=B.712x π=C.3x π=D.6x π=2. 【2014高考江苏卷第5题】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 .3. 【2014高考江苏卷第14题】 若ABC ∆的内角满足sin 2sin A B C =，则co s C 的最小值是 .【答案】4【解析】由已知sin 2sin A B C =及正弦定理可得2a c =，4. 【2014辽宁高考理第9题】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增5. 【2014全国1高考理第16题】已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为____________．又22b c 4bc bc +-=≥，故1S bcsinA 2BAC ∆=≤ 【考点定位】1、正弦定理和余弦定理；2、（）三角形的面积公式．6. 【2014全国2高考理第4题】钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A. 5B.C. 2D. 17. 【2014全国2高考理第14题】 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.8. 【2014山东高考理第12题】在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC∆的面积为________.9. 【2014四川高考理第3题】为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度10. 【2014高考广东卷理第12题】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba.11. 【2014全国1高考理第6题】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）【考点定位】１．解直角三角形；2、三角函数的图象． 12.【2014全国1高考理第8题】设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） （A ） 32παβ-=（B ）32παβ+=（C ）22παβ-=（D ）22παβ+=13. 【2014高考北京版理第14题】设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 .14. 【2014高考安徽卷理第11题】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________.15. 【2014高考福建卷第12题】在ABC ∆中，60,4,A AC BC =︒==,则ABC ∆的面积等于_________.16. 【2014江西高考理第4题】在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积（ ）A.3B.239 C.233 D.3317. ．【2014四川高考理第13题】如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 670.92≈，cos670.39≈，sin 370.60≈，cos370.80≈ 1.73≈）18. 【2014浙江高考理第4题】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位19. 【2014浙江高考理第17题】如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值 .20．【2014重庆高考理第10题】已知ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积S 满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A.8)(>+c b bcB.()ac a b +>C.126≤≤abcD.1224abc ≤≤【答案】A 【解析】试题分析：由题设得：()()1sin 2+sin 2sin 22A B C ππ-=-+1sin 2+sin2B+sin 22A C ⇒=21. 【2014陕西高考理第2题】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π .B π .2C π .4D π22. 【2014天津高考理第12题】在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______．23. 【2014大纲高考理第3题】设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>24. 【2014大纲高考理第16题】若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 .。
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题4：三角函数与解三角形5(解三角形选择填空题)带详细答案
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题4：三角函数与解三角形（解三角形选择填空题）（一）解三角形（正弦定理）选择题1．（2014•广东文）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a b …”是“sin sin A B …”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件【考点】正弦定理【分析】直接利用正弦定理以及已知条件判断即可． 【解答】解：由正弦定理可知sin sin a b A B =⇒sin sin a Ab B=， ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠均小于180︒，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ， a ∴，b ，sin A ，sin B 都是正数，∴ “a b …” ⇔ “sin sin A B …”．∴ “a b …”是“sin sin A B …”的充分必要条件．故选：A ．【点评】本题考查三角形中，角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用，基本知识的考查．2．（2014•江西文）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若32a b =，则2222sin B sin Asin A-的值为( ) A ．19-B ．13C ．1D ．72【考点】正弦定理【分析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论． 【解答】解：32a b =，32b a ∴=，根据正弦定理可得2222222229222974122a a sin B sin Ab a sin A a a ⨯---===-=，故选：D ．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．3．（2017•新课标Ⅰ文）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，2a =，c =(C = )A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【考点】正弦定理【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 【解答】解：sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+， sin sin (sin cos )0B A C C +-=，sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ∴++-=， cos sin sin sin 0A C A C ∴+=， sin 0C ≠， cos sin A A ∴=-， tan 1A ∴=-，2A ππ<<，34A π∴=， 由正弦定理可得sin sin c aC A=， sin sin c AC a∴=， 2a =，c =sin 12sin 22c AC a∴===， a c >，6C π∴=，故选：B ．【点评】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题4．（2017•山东理）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是( )A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =【考点】正弦定理【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．【解答】解：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin (12cos )2sin cos cos sin sin cos sin()sin cos sin B C A C A C A C A C A C B +=+=++=+，可得：2sin cos sin cos B C A C =，因为ABC ∆为锐角三角形，所以2sin sin B A =，由正弦定理可得：2b a =． 故选：A ．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力．填空题1．（2014•广东理）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2b C c B b +=，则ab= 2 ． 【考点】正弦定理【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．【解答】解：将cos cos 2b C c B b +=，利用正弦定理化简得：sin cos sin cos 2sin B C C B B +=， 即sin()2sin B C B +=， sin()sin B C A +=， sin 2sin A B ∴=，利用正弦定理化简得：2a b =， 则2ab=． 故答案为：2【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．2．（2014•福建理）在ABC ∆中，60A =︒，4AC =，BC =，则ABC ∆的面积等于 【考点】正弦定理【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B ，再利用三角形的面积公式求出ABC ∆的面积．【解答】解：ABC ∆中，60A =︒，4AC =，BC = 由正弦定理得：sin sin BC ACA B=，∴4sin B=， 解得sin 1B =， 90B ∴=︒，30C =︒，ABC ∴∆的面积14sin302=⨯⨯︒=故答案为：【点评】本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积．正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题．3．（2014•湖北文）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知6A π=，1a =，b 则B =3π或23π． 【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理列出关系式，将a ，sin A ，b 的值代入求出sin B 的值，即可确定出B 的度数． 【解答】解：在ABC ∆中，6A π=，1a =，b =∴由正弦定理sin sin a bA B=得：1sin 2sin 1b A B a === a b <，A B ∴<，3B π∴=或23π． 故答案为：3π或23π． 【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 4．（2015•北京文）在ABC ∆中，3a =，b =，23A π∠=，则B ∠= 4π ． 【考点】正弦定理【分析】由正弦定理可得sin B ，再由三角形的边角关系，即可得到角B ． 【解答】解：由正弦定理可得， sin sin a bA B=，即有sin 2sin 3b AB a===由b a <，则B A <， 可得4B π=．故答案为：4π． 【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的边角关系，属于基础题． 5．（2015•福建文）在ABC ∆中，AC =，45A ∠=︒，75C ∠=︒，则BC【考点】正弦定理【分析】根据A ∠和C ∠求得B ∠，进而根据正弦定理求得sin sin AC BCB A=求得BC ．【解答】解：180457560B ∠=︒-︒-︒=︒ 由正弦定理可知sin sin AC B BC A =sin sin ACBC A B∴==【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．6．（2015•广东理）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．若a =1sin 2B =，6C π=，则b = 1 ．【考点】两角和与差的三角函数；正弦定理 【分析】由1sin 2B =，可得6B π=或56B π=，结合a =6C π=及正弦定理可求b 【解答】解：1sin 2B =， 6B π∴=或56B π=当6B π=时，a 6C π=，23A π=，1sin32b= 则1b = 当56B π=时，6C π=，与三角形的内角和为π矛盾 故答案为：1【点评】本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键7．（2015•湖北文理）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30︒的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75︒的方向上，仰角为30︒，则此山的高度CD =．【考点】解三角形【分析】设此山高()h m ，在B C D ∆中，利用仰角的正切表示出BC ，进而在ABC ∆中利用正弦定理求得h ． 【解答】解：设此山高()h m，则BC =，在ABC ∆中，30BAC ∠=︒，105CBA ∠=︒，45BCA ∠=︒，600AB =．600sin 45=︒，解得)h m =故答案为：．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解． 8．（2015•安徽文）在ABC ∆中，AB =75A ∠=︒，45B ∠=︒，则AC = 2 ． 【考点】正弦定理【分析】由三角形的内角和定理可得角C ，再由正弦定理，计算即可得到AC ． 【解答】解：75A ∠=︒，45B ∠=︒， 则180754560C ∠=︒-︒-︒=︒， 由正弦定理可得， sin 60sin 45AB AC=︒︒，即有2AC ==．故答案为：2．【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的内角和定理，考查运算能力，属于基础题． 9．（2016•北京文）在ABC ∆中，23A π∠=，a =，则bc= 1 ． 【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理求出C 的大小，然后求出B ，然后判断三角形的形状，求解比值即可． 【解答】解：在ABC ∆中，23A π∠=，a ， 由正弦定理可得：sin sin a cA C=，sin sin 3c C =，1sin 2C =，6C π=，则2366B ππππ=--=．三角形是等腰三角形，B C =，则b c =，则1bc=． 故答案为：1．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力．10．（2017•新课标Ⅱ文）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可 【解答】解：2cos cos cos b B a C c A =+，由正弦定理可得， 2cos sin sin cos sin cos sin()sin B B A C C A A C B =+=+=， sin 0B ≠，1cos 2B ∴=， 0B π<<，3B π∴=，故答案为：3π 【点评】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，属于基础题（二）解三角形（余弦定理）选择题1．（2015•广东文）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =cos A =且b c <，则(b = )A B ．2 C ．D ．3【考点】余弦定理【分析】运用余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，解关于b 的方程，结合b c <，即可得到2b =．【解答】解：2a =，c =cos A =b c <， 由余弦定理可得， 2222cos a b c bc A =+-，即有2412b =+-， 解得2b =或4， 由b c <，可得2b =．故选：B ．【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题．2．（2016•新课标Ⅰ文）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a ，2c =，2cos 3A =，则(b = )A B C ．2D ．3【考点】余弦定理【分析】由余弦定理可得222cos 2b c a A bc+-=，利用已知整理可得23830b b --=，从而解得b 的值．【解答】解：5a =，2c =，2cos 3A =，∴由余弦定理可得：2222245cos 3222b c a b A bc b +-+-===⨯⨯，整理可得：23830b b --=， ∴解得：3b =或13-（舍去）．故选：D ．【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．3．（2016•天津理）在ABC ∆中，若AB 3BC =，120C ∠=︒，则(AC = ) A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】余弦定理【分析】直接利用余弦定理求解即可．【解答】解：在ABC ∆中，若AB =3BC =，120C ∠=︒， 2222cos AB BC AC AC BC C =+-，可得：21393AC AC =++， 解得1AC =或4AC =-（舍去）． 故选：A ．【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．4．（2018•新课标Ⅱ文理7）在ABC ∆中，cos 2C =，1BC =，5AC =，则(AB = )A ．BCD ．【考点】余弦定理【分析】利用二倍角公式求出C 的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：在ABC ∆中，cos2C =23cos 215C =⨯-=-，1BC =，5AC =，则AB ====． 故选：A ．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．填空题1．（2014•福建文）在ABC ∆中，60A =︒，2AC =，BC =AB 等于 1 ． 【考点】余弦定理【分析】利用余弦定理列出关系式，将AC ，BC ，以及cos A 的值代入即可求出AB 的长．【解答】解：在ABC ∆中，60A =︒，2AC b ==，BC a =∴由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即2342c c =+-，解得：1c =， 则1AB c ==， 故答案为：1【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．2．（2015•福建理）若锐角ABC ∆的面积为，且5AB =，8AC =，则BC 等于 7 ． 【考点】余弦定理【分析】利用三角形的面积公式求出A ，再利用余弦定理求出BC ．【解答】解：因为锐角ABC ∆的面积为，且5AB =，8AC =，所以158sin 2A ⨯⨯⨯=所以sin A ， 所以60A =︒， 所以1cos 2A =，所以7BC ==． 故答案为：7．【点评】本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，比较基础．3．（2015•重庆文）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a =，1cos 4C =-，3sin 2sin A B =，则c = 4 ． 【考点】余弦定理【分析】由3sin 2sin A B =即正弦定理可得32a b =，由2a =，即可求得b ，利用余弦定理结合已知即可得解．【解答】解：3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32a b =，2a =，∴可解得3b =，又1cos 4C =-，∴由余弦定理可得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=， ∴解得：4c =．故答案为：4．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．4．（2015•重庆理）在ABC ∆中，120B =︒，AB =A 的角平分线AD =AC【考点】正弦定理【分析】利用已知条件求出A ，C ，然后利用正弦定理求出AC 即可．【解答】解：由题意以及正弦定理可知：sin sin AB ADADB B=∠=，45ADB ∠=︒，1180120452A =︒-︒-︒，可得30A =︒，则30C =︒，三角形ABC 是等腰三角形，60AC =︒=【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．5．（2019新课标Ⅱ理15）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若6b =，2a c =，3B π=，则ABC ∆的面积为 ． 【考点】三角形中的几何计算【分析】利用余弦定理得到2c ，然后根据面积公式21sin sin 2ABC S ac B c B ∆==求出结果即可．【解答】解：由余弦定理有2222cos b a c ac B =+-， 6b =，2a c =，3B π=，22236(2)4cos 3c c c π∴=+-，212c ∴=，21sin sin 2ABC S ac B c B ∆∴===，故答案为：．【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题．（三）解三角形（正余弦综合）选择题1．（2014•新课标Ⅱ理）钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =，则(AC = )A ．5B C ．2 D ．1【考点】余弦定理【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB ，BC 的值代入求出sin B 的值，分两种情况考虑：当B 为钝角时；当B 为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cos B 的值，利用余弦定理求出AC 的值即可．【解答】解：钝角三角形ABC 的面积是12，1AB c ==，BC a ==11sin 22S ac B ∴==，即sin B ，当B 为钝角时，cos B ==，利用余弦定理得：2222cos 1225AC AB BC AB BC B =+-=++=，即AC =，当B 为锐角时，cos B ， 利用余弦定理得：2222cos 1221AC AB BC AB BC B =+-=+-=，即1AC =，此时222AB AC BC +=，即ABC ∆为直角三角形，不合题意，舍去，则AC故选：B ．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．2．（2014•江西理）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积为( )A ．3B C D ．【考点】余弦定理 【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：22()6c a b =-+，22226c a ab b ∴=-++，即22226a b c ab +-=-， 3C π=，222261cos 3222a b c ab ab ab π+--∴===， 解得6ab =，则三角形的面积11sin 622S ab C ==⨯=， 故选：C ．【点评】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出6ab =是解决本题的关键．3．（2014•浙江文）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角）．若15AB m =，25AC m =，30BCM ∠=︒，则tan θ的最大值是( )A B C D 【考点】正弦定理；解三角形【分析】在直角三角形ABC 中，由AB 与AC 的长，利用勾股定理求出BC 的长，过P 作PP BC '⊥，交BC 于点P '，连接AP '，利用锐角三角函数定义表示出tan PP AP θ'='，设BP m '=，则20CP m '=-，利用锐角三角函数定义表示出PP '，利用勾股定理表示出AP '，表示出tan θ，即可确定出tan θ的值．【解答】解：15AB cm =，25AC cm =，90ABC ∠=︒，20BC cm ∴=，过P 作PP BC '⊥，交BC 于P '，连接AP '，则tan PP AP θ'='， 设BP x '=，则20CP x '=-，由30BCM ∠=︒，得tan30)PP CP x '='︒-，在直角ABP ∆'中，AP '=2tan 225xθ∴=+ 令y ，则函数在[0x ∈，20]单调递减，0x ∴==，若P '在CB 的延长线上，tan30)PP CP x '='︒=+，在直角ABP ∆'中，AP '=2tan 225x θ∴=+令22(20)225x y x +=+，则0y '=可得454x =，则tan θ． 故选：D ．【点评】此题考查了正弦定理，锐角三角函数定义，以及解三角形的实际应用，弄清题意是解本题的关键．4．（2014•重庆理）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 满足1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+，面积S 满足12S 剟，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，在下列不等式一定成立的是( )A ．()8bc b c +>B ．()ab a b +>C ．612abc 剟D ．1224abc 剟【考点】二倍角的三角函数；正弦定理【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质 进行证明即可得到结论．【解答】解：ABC ∆的内角A ，B ，C 满足1sin 2sin()sin()2A A B C C A B +-+=--+， 1sin 2sin 2sin 22A B C ∴+=-+， 1sin 2sin 2sin 22A B C ∴++=， 12sin cos 2sin()cos()2A A B C B C ∴++-=， 12sin (cos()cos())2A B C B C --+=， 化为12sin [2sin sin()]2A B C --=， 1sin sin sin 8A B C ∴=． 设外接圆的半径为R ， 由正弦定理可得：2sin sin sin a b c R A B C===， 由1sin 2S ab C =，及正弦定理得21sin sin sin 28S A B C R ==， 即24R S =，面积S 满足12S 剟，248R ∴剟，即2R 剟由1sin sin sin 8A B C =可得8abc 剟C ，D 不一定正确， A ．()8bc b c abc +>…，即()8bc b c +>，正确，B ．()8ab a b abc +>…，即()8ab a b +>，但()ab a b +> 故选：A ．【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等5．（2016•新课标Ⅲ文）在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin (A = )A ．310BCD 【考点】三角形中的几何计算；HU ：解三角形【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB ，AC ，再由三角形面积公式，可得sin A ．【解答】解：在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，AB ∴=，由余弦定理得：AC ===，故111125sin sin 2322BC BC AB AC A BC BC A ==，sin A ∴= 故选：D ．【点评】本题考查的知识点是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键．6．（2016•山东文）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b c =，222(1sin )a b A =-，则(A = )A ．34πB ．3πC ．4πD ．6π 【考点】正弦定理；余弦定理 【分析】利用余弦定理，建立方程关系得到1cos 1sin A A -=-，即sin cos A A =，进行求解即可．【解答】解：b c =，2222222cos 22cos 2(1cos )a b c bc A b b A b A ∴=+-=-=-，222(1sin )a b A =-，1cos 1sin A A ∴-=-，则sin cos A A =，即tan 1A =，即4A π=，故选：C ．【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理建立方程关系是解决本题的关键． 7．（2018•新课标Ⅲ文理）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则(C = )A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π 【考点】余弦定理 【分析】推导出2221sin 24ABC a b c S ab C ∆+-==，从而222sin cos 2a b c C C ab+-==，由此能求出结果． 【解答】解：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．ABC ∆的面积为2224a b c +-， 2221sin 24ABC a b c S ab C ∆+-∴==， 222sin cos 2a b c C C ab+-∴==，0C π<<，4C π∴=．故选：C ．【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（2019•新课标Ⅰ文11）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则(b c= ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【考点】正弦定理；余弦定理。
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析2019(含答案)
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析（2015年-2019年共14套） 三角函数（共20小题）一、三角恒等变换（6题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ）（A ）32-（B ）32（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D.2.（2018年3卷4）若，则A. B. C. D.【解析】,故答案为B.3.（2016年3卷7）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．4.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）（A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．5.（2018年2卷15）已知，，则__________．【解析】：因为，，所以，因此6.（2019年2卷10）已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ） A.15B.5C.33D.255【解析】2sin 2cos 21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，55B ． 【点评】这类题主要考查三角函数中二倍角公式（几乎必考）、两角和与差公式、诱导公式、同角三角函数基本关系式等三角函数公式，难度以容易、中等为主。
2014年高考数学三角函数、解三角形汇编
2014年高考数学三角函数、解三角形1．已知函数2()2sin ()234f x x x π=--，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， (1)求()f x 的最大值和最小值;(2)若方程()f x m =仅有一解,求实数m 的取值范围.2．已知函数()4cos sin()1(0)6f x x x πωωω=-+>的最小正周期是π． (1)求()f x 的单调递增区间；(2)求()f x 在[8π，38π]上的最大值和最小值． 3．已知函数2()2cos sin(2)1f x x x π=-+-.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最小值和最大值.4．已知函数2()cos(2)2sin 13f x x x =--+π． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.5．已知向量()1cos ,1,(1,)a x b a x ωω=+= （ω为常数且0ω>），函数x f ⋅=)(在R 上的最大值为2．（1）求实数a 的值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位，可得函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，求ω取最大值时的单调增区间．6．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且cos 3cos C a c B b-=. (1)求sin B ;(2)若b a c ==，求ABC ∆的面积. 7．设函数()f x a b =⋅，其中向量(sin 21,sin 2,6a x b x x R π⎛⎫⎛⎫==--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 。
（1）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的集合。
（2）将函数()f x 图像沿x 轴向右平移，则至少平移多少个单位长度，才能使得到的函数()g x 的图像关于y 轴对称。
8．已知函数22())2sin ()312f x x x ππ-+-，钝角ABC ∆（角,,A B C 对边为,,a b c ）的角B 满足()1f B =. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若3,b c ==,B a .9．设函数f (x )＝sin 3x πω⎛⎫+⎪⎝⎭＋sin 3x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭ωx (其中ω＞0)，且函数f (x )的图象的两条相邻的对称轴间的距离为2π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 10．已知函数f (x )＝tan 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求f 9π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； (2)设α∈3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若f 34απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2，求cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．11．已知函数()sin f x m x x =+,(0)m >的最大值为2．（Ⅰ）求函数()f x 在[]0,π上的值域；（Ⅱ）已知ABC ∆外接圆半径3=R ，()()sin 44f A f B A B ππ-+-=，角,A B 所对的边分别是,a b ，求ba 11+的值．12．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，ABC ∆的面积S 满足cos S A =. （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =B 的大小为x,用x 表示c 并求的取值范围.13．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知cos -2cos 2-cos A C c a B b = . （1）求sin sin C A 的值； （2） 若1cos ,24B b ==，求ABC ∆的面积.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos cos cos a C b C c B c A -=-，且C ＝120°．（1）求角A ；（2）若a ＝2，求c ．15．已知函数2()1cos 22sin (),6f x x x x R π=+--∈.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和对称中心；（Ⅱ）若将()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位后所得到的图像关于y 轴对称，求实数m 的最小值.16．（本小题满分12分）设()sin (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ）求()f x 最大值及相应x 值；（Ⅱ）锐角ABC △中，满足()1f A =．求()sin 2B C +取值范围．17．在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++(1)求角A 值；(2)求C B cos sin 3-的最大值.18．已知：ABC c b a ∆分别是锐角,,三个内角A ，B ，C 所对的边，向量)sin ,cos 2(),sin 32,(sin A A b A A a ==，设b a A f ⋅=)(（1）若32)(=A f ，求角A ；（2）在（1）的条件下，若2,tan 2tan tan ==+a Aa C c Bb ，求三角形ABC 的面积．19．在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos (3)cos b C a c B =-（1）求B cos ；（2）若4BC BA ⋅= ，b =a ，c 的值.20．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c 且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列．（1）求B 的值；（2）求22sin cos()A A C +-的范围．21．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，且)cos cos c B b C -=.（1）求角B 的大小；（2）设向量8(cos 21,cos ),(1,)5A A +-m =n =，且⊥m n ，求tan()4A π+的值.22．在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、sin c C =， （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若6=a ，求b c +的取值范围.参考答案1．(1) m ()2ax f x =，min ()4f x =-(2)({}2,34⎤-⋃-⎦【解析】试题分析：(1)先用余弦的二倍角公式将其降幂，再用诱导公式及化一公式将其化简为()()sin f x A x k ωϕ=++或()()cos f x A x k ωϕ=++的形式，再根据正弦或余弦的最值情况求其最值。
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2014-2019年高考数学真题分类汇编
专题4：三角函数与解三角形（三角恒等变换）
（一）三角恒等变换选择填空（和差公式）
选择题
1．（2014•四川文）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于( B )
A
．1)m
B
．1)m
C
．1)m
D
．1)m
2．（2015•新课标Ⅰ理）sin 20cos10cos160sin10(︒︒-︒︒= D ) A
．B
C ．12
-
D ．
12
3．（2015•上海文理）已知点A
的坐标为1)，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3
π
至OB ，则点B 的纵坐标为( D )
A
B
C ．112
D ．13
2 4．（2015•重庆文）若1tan 3α=，1
tan()2
αβ+=，则tan (β= A )
A ．
17
B ．
16
C ．
57
D ．
56
5．（2015•重庆理）若tan 2tan 5πα=，则
3cos()
10(sin()5
παπα-
=- C ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．（2016•新课标Ⅲ理）在ABC ∆中，4B π
=，BC 边上的高等于1
3
BC ，则cos A 等于( C ) A
B
C
． D
． 7．（2019•新课标Ⅰ文）tan 255(︒= D ) A
．2-B
．2-+C
．2D
．2+
填空题
1．（2015•四川理）sin15sin75︒+︒的值是
． 2．（2015•江苏）已知tan 2α=-，1
tan()7
αβ+=，则tan β的值为 3 ．
3．（2016•新课标Ⅰ文）已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-= 43
- ．
4．（2016•上海文）若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a = 3± ．
5．（2017•新课标Ⅰ文）已知(0,)2πα∈，tan 2α=，则cos()4
π
α-=
． 6．（2017•北京理12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=，则cos()αβ-= 7
9
- ．
7．（2018•新课标Ⅱ文15）已知51tan()45πα-
=，则tan α=
3
2
． 8．（2018•新课标Ⅱ理15）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+= 1
2
- ．
（二）恒等变换选择填空（倍角公式）
选择题
1．（2014•新课标Ⅰ文）若tan 0α>，则( C ) A ．sin 0α>
B ．cos 0α>
C ．sin20α>
D ．cos20α>
2．（2015•陕西文理）“sin cos αα=”是“cos20α=”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．（2016•新课标Ⅱ理）若3cos()45
πα-=，则sin 2(α= D )
A ．
7
25
B ．15
C ．15
-
D ．725
-
4．（2016•新课标Ⅲ文）若1
tan 3θ=，则cos2(θ= D )
A ．45
-
B ．15
-
C ．15
D ．
45
5．（2016•新课标Ⅲ理）若3
tan 4
α=，则2cos 2sin 2(αα+= A ) A ．
64
25
B ．
4825
C ．1
D ．
1625
6．（2017•新课标Ⅲ文）已知4
sin cos 3
αα-=，则sin 2(α= A ) A ．79
-
B ．29
-
C ．
29
D ．
79
7．（2017•山东文）已知3
cos 4
x =
，则cos2(x = D )
A ．14
-
B ．
14 C ．18-
D ．18
8．（2019新课标Ⅱ文11）已知(0,)2π
α∈，2sin2cos21αα=+，则sin (α= B )
A ．15
B C D 9．（2018•新课标Ⅲ文理4）若1
sin 3α=，则cos2(α= B )
A ．89
B ．
79 C ．79-
D ．89
-
填空题
1．（2016•四川理）2
2
cos sin 8
8
π
π
-=
． 2．（2016•上海文理）方程3sin 1cos2x x =+在区间[0，2]π上的解为 6
π或56π ．
3．（2019•新课标Ⅰ文15）函数3()sin(2)3cos 2
f x x x π
=+
-的最小值为 4- ．
（三）恒等变换选择填空（和差公式与倍角公式综合）
选择题
1．（2014•新课标Ⅰ理）设(0,)2πα∈，(0,)2
π
β∈，且1sin tan cos βαβ+=，则( C )
A ．32
π
αβ-=
B ．32
π
αβ+=
C ．22
π
αβ-=
D ．22
π
αβ+=
2．（2016•新课标Ⅱ文）函数()cos26cos()2f x x x π
=+-的最大值为( B )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
3．（2019北京文科8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为( B )
A ．44cos ββ+
B ．44sin ββ+
C ．22cos ββ+
D ．22sin ββ+
填空题
1．（2017•浙江）已知ABC ∆，4AB AC ==，2BC =，点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连结CD ，则
BDC ∆的面积是
，cos BDC ∠=
． 2．（2016•浙江文理）已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A
b = 1 ．
3．（2017•江苏）若1tan()46πα-=．则tan α= 75
．
4．（2019江苏13）已知
tan 23tan()4α
πα=-+，则sin(2)4
π
α+的值是 ．
（四）恒等变换解答题 1．（2014•江苏）已知(2
π
α∈，)π，sin α=
． （1）求sin(
)4
π
α+的值；
（2）求5cos(2)6
π
α-的值．
2．（2015•广东文）已知tan 2α=． （1）求tan()4π
α+的值；
（2）求2sin 2sin sin cos cos21
α
αααα+-- 的值．
3．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点3(5P -，4
)5
-．
（Ⅰ）求sin()απ+的值； （Ⅱ）若角β满足5
sin()13
αβ+=，求cos β的值．
4．（2018•江苏16）已知α，β为锐角，4
tan 3
α=，cos()αβ+=．
（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．。