基本初等函数复习课

基本初等函数一、知识点回顾1．设]1,(,2),1(,log 81{)(-∞∈+∞∈-=x x x x x f ，则满足41)(=x f 的x 的值为2．下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为减函数的是 （ ）x y A )21(.= 2x y .B -= 3x y .C -= x log y .D 32=3．不论a 为何正实数,函数12x y a+=-的图象一定通过一定点,则该定点的坐标是_________4．如果,10<<a 那么下列不等式中准确的是（ ）2131)1()1.(a a A ->- 0)1(log .1>+-a B a 23)1()1.(a a C +>- 1)1.(1>-+a a D5．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()xg x a b =+的图象是( )三、典型例题：例1．已知函数）1a ,0a (,1])21[(log )x (f x 3≠>-= （1）求函数的定义域；（2）求使0)x (f >的x 的取值范围。

例2．已知函数).1(log )1(log )x (f x x a a +--=（1）求)x (f 的定义域; （2）求使0)(>x f 的x 的取值范围。

(3) 并判断其奇偶性；例3．已知m x f x +-=132)(是奇函数， (1)求函数的定义域 (2)求常数m 的值；例4．已知定义在R 上的奇函数f(x)，且当x ∈),0(+∞时，1)(2log )x (f x2-=. （1）求f （x)在R 上的解析式；（2）判断f(x)在),0(+∞的单调性并用定义证明.四、当堂检测：1.幂函数53m x )x (f -=( N m ∈)在)(0,+∞是减函数,且x)(f )x (f =-,则m=2．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围 （ ） A ．)1,1(- B ． ),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或3．已知2)(x x e e x f --=，则下列准确的是（ ）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数 4．函数210)2()5(--+-=x x y 的定义域（ ）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或 5．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x，则下列等式中不准确的是（ ）A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈= D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f nnn6．下列关系式中，成立的是（ ）A ．10log 514log 3103>⎪⎭⎫⎝⎛>B ． 4log 5110log 3031>⎪⎭⎫⎝⎛>C ． 03135110log 4log ⎪⎭⎫⎝⎛>>D ．0331514log 10log ⎪⎭⎫⎝⎛>>7．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax=的图象只可能是 （ ）8.函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称基本初等函数复习卷一、选择题 1. ·等于( )A.-B.-C.D.2.函数y=(m 2+2m-2)是幂函数,则m=( ) A.1B.-3C.-3或1D.23.设y 1=40.9,y 2=lo4.3,y 3=()1.5,则( ) A.y 3>y 1>y 2B.y 2>y 1>y 3C.y 1>y 2>y 3D.y 1>y 3>y 24.已知log 2m=2.013,log 2n=1.013,则等于( ) A.2B.C.10D.5.函数f(x)=+lg(2x +1)的定义域为( ) A.(-5,+∞)B.[-5,+∞)C.(-5,0)D.(-2,0)6.已知f(x)是函数y=log 2x 的反函数,则y=f(1-x)的图象是( )7.下列函数中,图象关于y 轴对称的是( ) A.y=log 2xB.y=C.y=x|x|D.y=8.下列各函数中,值域为(0,+∞)的是( ) A.y=B.y=C.y=x 2+x+1D.y=9. x=+的值属于区间( ) A.(-3,-2)B.(-2,-1)C.(-1,0)D.(2,3)10.设函数f(x)=已知f(a)>1,则实数a 的取值范围是( )A.(-2,1)B.(-∞,-2)∪(1,+∞)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,+∞) 二、填空题11.已知=(a>0),则lo a= .12.若函数f(x)=(3-a)x 与g(x)=log a x 的增减性相同,则实数a 的取值范围是 . 13．函数f (x )＝a x －2＋1的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是________．14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >03x ，x ≤0则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________．三、解答题15.计算下列各题：(1)0.008+()2+(-16-0.75.(2)(lg5)2+lg2·lg50+.16.已知函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2,1),B(5,2),(1)求函数f(x)的解析式及定义域.(2)求f(14)÷f()的值.17．已知函数f(x)＝log a(x2＋1)(a>1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的值域．18. 函数f(x)＝log a(1－x)＋log a(x＋3)，(0<a<1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．答案预习自测 3 C (－1,-- 1) A A 例1解：（1）由题意得(12)x －1>0(12)x >1=(12)0 解得x<0，即f(x)的定义域为(－∞，0) （2）由题意得log 3((12)x －1)> log 3 1所以1()1021()112x x ⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩,即0111()()2211()()22xx -⎧>⎪⎪⎨⎪>⎪⎩ 解得x<－1，所以x 的取值范围是(－∞,－1)例2 解：(1)由题意得1010x x ->⎧⎨+>⎩解得－1<x<1，所以f(x)的定义域为(－1,1)(2) f(x)>0即log a (1－x)>log a (1+x)当a>1时，101011x x x x ->⎧⎪+>⎨⎪->+⎩，解得x ∈(－1,0)当0<a<1时，101011x x x x ->⎧⎪+>⎨⎪-<+⎩，解得x ∈(0,1)综上所述，当a>1时，x 的取值范围是(－1,0)；当0<a<1时，x 的取值范围是(0,1) (3)∵f(x)的定义域 (－1,1)关于原点对称，以及f(－x)= log a (1+x)－log a (1－x)= －(log a (1－x) －log a (1+x)) = －f(x) 所以f(x)是奇函数。

例3解：（1）由题意得3x －1≠0，即x≠0 所以f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,+∞) （2）∵f(x)是奇函数∴f(－1)=－f(1) 即23－1-1+m=－（231-1+m ）解得m=1例4 解：(1)因为奇函数f(x)的定义域为R ，所以x=0时，f(x)=0当x<0时，f(x)=―f(―x)= ―log 2(2－x －1)所以22log (21),0()0,0log (21),0x x x f x x x -⎧->⎪==⎨⎪--<⎩(2)判断： f(x)是(0,+∞)的增函数。

证明：当x ∈(0,+∞)时，f(x)=log 2(2x －1) 设x 1,x 2∈(0,+∞)，当x 1<x 2时,2x1<2x2，（指数函数y=2x 为增函数） 所以2x1－1<2x2－1因x 1>0，所以2x1－1>20－1=0,即0<2x1－1<2x2－1所以log 2(2x1－1)< log 2(2x2－1) (用对数函数y=log 2x 为增函数) 即f(x 1)<f(x 2)所以f(x)是(0,+∞)的增函数。

当堂检测：1.解：由题意得35035m m N m -<⎧⎪⎨⎪-⎩∈为奇数，解得m= 12.解：由题意得2110xx ⎧->⎨≤⎩－或121x x ⎧⎪>⎨⎪>⎩解得x<－1或x>1 。

选 D3.A4D5D6A7A8C9.解：(1) 由a x +1≠0，求得定义域为R ，定义域关于原点对称。

又11()111()1x xx x x x a a f x a a a f x a -----==++-=-=-+所以f(x)是奇函数。

（2）12()1211x x xa f x a a +-=+=-+设x 1,x 2∈(－∞，+∞)，当x 1<x 2时121221122212221222()()(1)(1)11222211112(1)2(1)(1)(1)2()(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x f x f x a a a a a a a a a a a a a a -=---++=-+=-+++++-+=++-=++ 因为x 1<x 2，a>1，所以a x1<a x2，所以a x1－a x2<0又a x1+1>0, a x2+1>0，所以f(x 1)－f(x 2)>0即f(x 1)>f(x 2) 所以f(x)在(－∞,+∞)上是增函数。

答案解析1. 【解析】选A.由题意得-a ≥0,所以a ≤0. ·=-(-a ·(-a =-(-a =-.2.【解析】选B.因为函数y=(m2+2m-2)是幂函数,所以m2+2m-2=1且m≠1,解得m=-3.3.【解析】选D.因为y1=40.9>40=1,y2=lo 4.3<lo1=0,0<y3=()1.5<()0=1,所以y1>y3>y2.4.【解析】选B.∵log2m=2.013,log2n=1.013,∴m=22.013,n=21.013,∴==.5.【解析】选A.因为所以x>-5,函数f(x)的定义域是(-5,+∞).6.【解析】选C.因为f(x)是函数y=log2x的反函数,所以f(x)=2x,y=f(1-x)=21-x=()x-1,其函数图象可由函数y=()x的图象向右平移1个单位得到,故选C.7. 【解析】选D.因为y==是偶函数,所以其图象关于y轴对称.8. 【解析】选A.A,y==()x的值域为(0,+∞).B,因为1-2x≥0,所以2x≤1,x≤0,y=的定义域是(-∞,0],所以0<2x≤1,所以0≤1-2x<1,所以y=的值域是[0,1).C,y=x2+x+1=(x+)2+的值域是[,+∞),D,因为∈(-∞,0)∪(0,+∞),所以y=的值域是(0,1)∪(1,+∞).9.【解析】选B.x=+=+=+=log32-log311=log3.又∵<<,∴log3<log3<log3,即-2<log3<-1,所以x∈(-2,-1).10.【解析】选B.(1)当a≤0时,f(a)>1可化为()a-3>1,()a>()-2,所以a<-2.(2)当a>0时,f(a)>1可化为>1所以a>1, 综上知a 的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞). 11.【解析】∵=(a>0), ∴()2=[()2]2,即a=()4, ∴lo a=lo ()4=4. 答案：412.【解析】由题意得或所以1<a<2.所以实数a 的取值范围是(1,2). 答案：(1,2)13解析： ∵y ＝a x 恒过定点(0,1)， ∴函数f (x )＝a x －2＋1恒过定点(2,2)． 答案： (2,2)14解析： 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＝19.答案： 1915.【解析】(1)原式=(0.34++-24×(-0.75)=0.3+2-3+2-2-2-3=0.55.(2)原式=(lg5)2+lg2·lg(2×52)+2·=(lg5)2+lg2·(lg2+2lg5)+2=(lg5+lg2)2+2=1+2.16.【解析】(1)∵函数f(x)=log 3(ax+b)的图象经过点A(2,1),B(5,2), ∴即∴解得∴f(x)=log 3(2x-1),定义域为(,+∞).[来源：学*科*网Z*X*X*K] (2)f(14)÷f()=log 327÷log 3=3÷=6.[来源：学|科|网]17[解析] (1)已知函数f (x )＝log a (x 2＋1)(a >1)，且x 2＋1>0恒成立，所以f (x )的定义域为R ，关于坐标原点对称，又f (－x )＝log a [(－x )2＋1]＝log a (x 2＋1)＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(2)∵x 2≥0，∴x 2＋1≥1，又∵a >1，∴log a (x 2＋1)≥log a 1＝0，故f (x )＝log a (x 2＋1)(a >1)的值域为[0，＋∞)．18.解析： (1)要使函数有意义， 则有⎩⎨⎧1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，所以定义域为(－3,1)． (2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]． ∵－3<x <1，∴0<－(x ＋1)2＋4≤4.∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4. 由log a 4＝－2，得a －2＝4，∴a ＝4－12＝12.19解析： (1)依题意，对一切x ∈R ，有f (x )＝f (－x )，即e x a ＋a e x ＝1a ex ＋a e x，所以⎝⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立，由此可得a －1a＝0，即a 2＝1.又因为a >0，所以a ＝1.(2)证明：在(0，＋∞)上任取x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝e x 1＋1e x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫e x 2＋1e x 2＝(e x 1－e x 2)＋1e x 1－1e x 2＝(e x 2－e x 1)⎝⎛⎭⎪⎫1e x 1＋x 2－1 ＝(e x 2－e x 1)1－e x 1＋x 2e x 1＋x 2.由x 2>x 1>0，得x 1＋x 2>0，e x 2－e x 1>0， 1－e x 1＋x 2<0.所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．。