2013届高三数学一轮复习课件第七章平面集合直线方程与两直线的位置关系

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高考数学一轮复习第二节两直线的位置关系课件理新人教A版

＋y＝1 平行”的充要条件，故选 C .
3．经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0 的交点 P，
且与直线 l3：3x－4y＋5＝0 垂直的直线 l 的方程为________．
解析：法一
由பைடு நூலகம்
方
程
组
x－2y＋4＝0， x＋y－2＝0，
得
x＝0， y＝2，
即
P(0,2)．
∵l⊥l3，∴直线 l 的斜率 k1＝－43，
第二节
两直线的位置关系
1．两直线的位置关系
斜截式
一般式
方程 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0) A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0当A2B2≠0时，记为AA21≠BB12
垂直 k1＝－k12或k1k2＝－1
2．已知 p：直线 l1：x－y－1＝0 与直线 l2：x＋ay－2＝0 平行，
q：a＝－1，则 p 是 q 的
()
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由于直线 l1：x－y－1＝0 与直线 l2：x＋ay－2＝0 平行的充要条件是 1×a－(－1)×1＝0，即 a＝－1.
k1＝k2 平行
且 b1≠b2
A1A2＋B1B2 ＝
0A当1BB2－1BA2≠20B时1＝，0，记为ABA11·1BAB222＝－－A21B 1 ＝0，
B2C1－B1C2≠0
或
A1C2－A2C1≠0
当A2B2C2≠0时，记为AA12＝BB12≠CC12
2．两直线的交点

2013届高考数学一轮复习讲义：9.2两条直线的位置关系

|C2－C1| A2＋B2
.
[难点正本
疑点清源]
1．两条直线平行、垂直的充要条件是有大前提的，就是两条直线都有斜率．当直线无斜率时，要单独考虑． 2．在判断两直线的位置关系时，也可利用直线方程的一般式，由系数间的关系直接做出结论：设 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. A1B2＝A2B1， (1)l1∥l2⇔ A1C2≠A2C1. (2)l1 与 l2 相交⇔A1B2≠A2B1. A1B2＝A2B1， (3)l1 与 l2 重合⇔ A1C2＝A2C1. (4)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
4x0＋y0＋3＝0，即 3x0－5y0＋31＝0， x0＝－2，解得 y0＝5，
y－2 x－(－1) 因此直线 l 的方程为＝， 5－2 －2－(－1) 即 3x＋y＋1＝0.
方法二设直线 l 的方程为 y－2＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＋2＝0. kx－y＋k＋2＝0，－k－5 由得 x＝ . k ＋ 4 4x＋y＋3＝0，
要点梳理
3．三种距离公式
忆一忆知识要点
(1)点 A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离：
2 2 ( x － x ) ＋ ( y － y ) 2 1 2 1 l：Ax＋By＋C＝0 的距离： |Ax0＋By0＋C| 2 2 A ＋ B d＝ . (3)两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2＝0 (C1≠C2)间的距离为 d＝
将其整理，得 (3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0. 3＋5λ 5 1 其斜率－＝－，解得 λ＝， 3 5 2＋2λ 代入直线系方程即得 l 的方程为 5x＋3y－1＝0.

2013届高考数学考点回归总复习《第三十八讲两直线的位置关系》课件

2.三种距离 (1)两点间的距离平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式
| PP2 | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 ) 2 . 1
特别地,原点(0,0)不任一点P(x,y)的距离
| OP | x 2 y 2 .
(2)点到直线的距离点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离 (3)两条平行线的距离
【典例3】求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点, 且垂直亍直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程. [分析]本题可先求出交点坐标,然后由直线间的位置关系求得;也可由直线系方程,根据直线间位置关系求得.
3 x 2 y 1 0 [解]解法一 : 先解方程组 ,得 5 x 2 y 1 0 l1、l2的交点 1, 2 , 3 5 再由l3的斜率求出l的斜率为 , 5 3 于是由直线的点斜式方程求出l : 5 y 2 ( x 1), 即5 x 3 y 1 0. 3
解法二:∵l⊥l3,故l是直线系5x+3y+C=0中的一条,而l过l1、 l2的交点(-1,2), 故5×(-1)+3×2+C=0.由此求出C=-1, 故l的方程为5x+3y-1=0.
解法三:∵l过l1、l2的交点,故l是直线系3x+2y-1+λ (5x+2y+1)=0中的一条, 将其整理,得 (3+5λ )x+(2+2λ )y+(-1+λ )=0. 3 5 5 1 其斜率代入直线系方程即得l的 ,解得λ = , 2 2 3 5 方程为5x+3y-1=0.

2013届高三数学一轮复习课件第七章平面集合直线方程与两直线的位置关系

【解析】由

y x

2 y
x,
3,
得
x 1,

y

2,
由题意知m+2n+5=0,∴点(m,n)可能是(1,-3).
【答案】A
3.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于 ( ) (A) 2 . (B)2- 2 . (C) 2 -1. (D) 2 +1.

2, 2
或
a

2 3
,
b 2.
【点评】研究直线的平行与垂直问题,通常需要讨论直线的斜率是否存在.
变式训练3 已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.试确定m、n的值,使: (1)l1与l2相交于点P(m,-1); (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.
3.倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,常用k表示.
y2 y1
4.斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式:k= x2 x1 (x2 ≠x1).
二、直线方程的几种形式
点斜式斜截式两点式
变式训练2 △ABC的三个顶点为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3).求: (1)BC边所在直线的方程; (2)BC边上中线AD所在直线的方程; (3)BC边上的垂直平分线DE的方程.
【解析】(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点,由两点式得BC的
方程为 y 1 = x 2 ,即x+2y-4=0.

高三数学一轮复习课件：直线与平面

点 B 不在直线 a 上（或直线 a 不经过点 A），记作：B a 。
（2）点与平面：
点 A 在平面上（或平面经过点 A），记作： A ；
点 B 不在平面上（或平面不经过点 A），记作： B 。
（3）直线与平面：
若直线 l 上的所有点都在平面上，称直线 l 在平面上（或平面经过
且B
l
,
B
ห้องสมุดไป่ตู้
，则
l
；
B.若 Am ，且 m 不在上，则 A ；
C.若
m,l
，且
m,l
，则与
重合；
D.若 A、B、C ， A、B、C ，且 A、B、C 不共线，则与重合
(2) 对于任意直线 l 与平面，在平面内必有直线 m ，使得 m与l
（c ）
A.平行
3、直线和平面所成的角：
（1）平面的斜线：
当直线 l 与平面相交且不垂直时，叫直线 l 与平面斜交，直线 l 叫做平
面的斜线。
（2）直线在平面上的射影：
设直线 l 与平面斜交于点 M ，过 l 上任意点 A ，作平面的垂线，垂足
为 O ，把点 O 叫做点 A 在平面上的射影，直线 OM 叫做直线 l 在平面上
推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面。
作用判断线在面内
判断和证明面面相交；证明点在线上；证明三点共线；证明三线共点。确定平面的依据；证明平面重合。
确定平面的依据；证明平面重合。
确定平面的依据；证明平面重合。确定平面的依据；证明平面重合。
二、空间直线与直线的位置关系：
1、空间两直线位置关系：

高等数学第七章第5节平面与直线方程

（点向式）直线的一组方向数
- 12 -
s
L
第五节
平面与直线方程
方向向量的余弦称为直线的方向余弦.
第七章
空间解析例6 求过两点 A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ) 的直线方程。几何解所求直线的方向向量为与向 s AB { x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 } 量代所求直线方程为数 x x1 y y1 z z1 直线两点式方程
空间解析几何与向量对称式方程代数
x y z 1 0 . 2 x y 3z 4 0 解在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 ) y0 z 0 2 0 , 解得 y0 0, z0 2 取 x0 1 y0 3 z 0 6 0 点坐标 (1,0,2), 因所求直线与两平面的法向量都垂直取 s n1 n2 {4,1,3},
z
空 s {m , n, p}, 间方向向量为
M 解 M ( x, y, z ) 为直线上任意一点析 M0 几 M 0 M // s 何 y o 与 M 0 M { x x0 , y y0 , z z0 } 向 x 量（标准式） x x 0 y y0 z z 0 代直线的对称式方程 m n p 数
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0, cC D 0, D D D A , B , C . a b c
解
设平面为 Ax By Cz D 0,
a
x 轴上截距 y 轴上截距
y z 1 平面的截距式方程 b c z 轴上截距

2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：两条直线的位置关系

√A.4
B.－4
C.1
D.－1
因为直线 2x＋my＋1＝0 与直线 3x＋6y－1＝0 平行，所以23＝m6 ≠－11，解得 m＝4.
教材改编题
3.直线x－2y－3＝0关于x轴对称的直线方程为_x_＋__2_y_－__3_＝__0_.
直线 x－2y－3＝0 的斜率为 k＝12且与 x 轴交于点(3,0)，故所求直线的斜率为－12，且过点(3,0)，其方程为 y＝－12(x－3)，即x＋2y－3＝0.
跟踪训练1 (1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对
边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是
A.相交但不垂直 C.平行
√B.垂直
D.重合
由题意可知，直线 xsin A＋ay＋c＝0 与 bx－ysin B＋sin C＝0 的斜率分别为－sina A，sinb B，又在△ABC 中，sina A＝sinb B，所以－sina A·sinb B＝－1，所以两条直线垂直.
(2)(2022·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，
若l1⊥l2，则实数a的值是
√A.0或－1
B.－1或1
C.－1
D.1
由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意.
思维升华
判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况. (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
命题点1 点关于点的对称问题
例 3 直线 3x－2y＝0 关于点13，0对称的直线方程为
A.2x－3y＝0 C.x－y＝0

9.1直线方程与两直线的位置关系讲解

第九章直线与圆的方程§9.1 直线方程与两直线的位置关系【知识梳理】一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴① 与直线l ② 之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的取值范围：③ . （3）tan [0,)(,)22k ππααπ=∈的函数图象： 2．直线的斜率(1)定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的④ 叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝⑤ ，倾斜角是90°的直线，其斜率不存在．(2)经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为⑥ . (3) 应用：证明A,B,C 三点共线⑦ . 二．直线方程的五种形式注：(1)等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点. 4.过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1. (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1. (3)若x 1≠x 2，且y 1≠y 2时，方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1.5. 设直线方程的常用技巧求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解.因此根据题设条件选择相应的直线方程是解题的关键，常用的设法技巧如下：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+（需保证斜率存在）；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；（5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=. 5．重要的坐标公式(1)若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⑪ 此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．(2)若△ABC 的三个顶点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 3，y 3)，则△ABC 的重心为123123(,)33x x x y y y ++++. 三、两条直线平行与垂直的判定 1.两条直线平行对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔⑫ ，特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行． 2.两条直线垂直①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔⑬ .②如果l 1、l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直． 3.直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系的判断（1）平行⇔⑭ （斜率）且（在y 轴上截距）；（2）相交⇔⑮ ；（3）重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=；（4）垂直⇔⑯ . 注：111222A B C A B C =≠、1122A B A B ≠、111222A B CA B C ==仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！ 4．两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．四．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝⑰ . 特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2) 点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离⑱d = . 注：求点到直线的距离，需先把直线方程化成一般式.(3) 两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为⑲ d = . 注：求两条平行线间的距离，需保证两条直线的x y 、前面的系数对应相等.答案：①正方向；②向上方向；③[0，π)；④正切值；⑤tan α；⑥k=y 2－y 1x 2－x 1=y 1－y 2x 1－x 2；⑦AB BC k k =；⑧y －y 1＝k (x －x 1)；⑨y ＝kx ＋b ；⑩x a ＋y b＝1(ab ≠0)；⑪⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22，；⑫k 1＝k 2；⑬k 1k 2＝－1；⑭12210A B A B -=且12210B C B C -≠；⑮12210A B A B -≠；⑯12120A A B B +=；⑰(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2；⑱d=⑲ d=.【课前自测】1．【教材习题改编】直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为 ( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120° 答案：B提示：∵k ＝3＝tan α而0°≤α＜180°，∴α＝60°.2. 【天津市新华中学2014届第三次月考】倾斜角为135︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（）A. 01=+-y xB. 01=--y xC. 01=-+y xD. 01=++y x答案:D提示:直线的斜率为tan1351k ==-，所以满足条件的直线方程为1y x =--，即10x y ++=，选D.3. 【山东省济南市2014届第一次模拟】已知两条直线012)1(:1=++-y x a l ，03:2=++ay x l 平行，则=a （）A ．-1B ．2C ．0或-2D ．-1或2 答案:D提示:若0a =，两直线方程为210x y -++=和3x =-，此时两直线相交，不平行.所以0a ≠.当0a ≠时，两直线若平行，则有12113a a -=≠，解得1a =-或2a =. 4. 已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．答案：[0,10]提示：由题意得，点到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解之得，0≤a ≤10，所以a ∈[0,10]．5.平行线l 1：3x －2y －5＝0与l 2：6x －4y ＋3＝0之间的距离为________．答案:132提示: 直线l 2变为：3x －2y ＋32＝0，由平行线间的距离公式得：d ＝⎪⎪⎪⎪－5－3232＋22＝132. 【课标示例题】【例1】直线的倾斜角与斜率（1）若ab <0，则过点P (0，－1b )与Q (1a ，0)的直线PQ 的倾斜角的取值范围是 .（2）已知曲线32y x ax =-在R 上的切线的倾斜角的取值范围为3(,]24ππ，则实数a 的范围为 . 解析：（1）k PQ ＝－1b －00－1a ＝a b <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为(π2，π)．（2）322,32,tan ,y x ax y k x a k α'=-∴==-=【举一反三】1.直线l 经过(2,1)A 、2(1,)()B m m R ∈两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（） A ．[0,)π B ．3[0,][,)44πππ C ．[0,]4πD ．[0,](,)42πππ 答案与提示：设直线的倾斜角为θ，则221tan 1112m m θ-==-≤-，又 ∵[)0,θπ∈， ∴[0,](,)42ππθπ∈． 2.直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )． A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1答案与提示：设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k＜3，解不等式为k ＞12或k ＜－1．【例2】求直线的方程已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16;（3）直线的截距相等.解析：(1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)(4k ＋3)＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1. ∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.(3) 因直线的截距相等，故设直线方程为1(0)x y a a a +=≠，则有213,6,2a a a a =∴=∴=∴直线l 的方程为0.x y +=【举一反三】3.已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 为原点．(1)当△AOB面积最小时，直线l 的方程是__________；(2)当|MA |·|MB |取得最小值时，直线l 的方程是________．答案与提示：(1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)，A (2－1k，0)，B (0，1－2k )，△AOB 的面积S ＝12(1－2k )(2－1k )＝12[4＋(－4k )＋(－1k )]≥12(4＋4)＝4.当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0. (2)∵|MA |＝1k 2＋1，|MB |＝4＋4k 2，∴|MA |·|MB |＝1k2＋1·4＋4k 2＝2 k 2＋1k2＋2≥2×2＝4，当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝－1时取等号，故直线方程为x ＋y －3＝0.【例3】两条直线平行与垂直的判定及应用【举一反三】4.已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得： (1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合．答案与提示：(1)由已知1×3≠m (m －2)，即m 2－2m －3≠0，解得m ≠－1且m ≠3.故当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交． (2)当1·(m －2)＋m ·3＝0，即m ＝12时，l 1⊥l 2.(3)当1×3＝m (m －2)且1×2m ≠6×(m －2)或m ×2m ≠3×6，即m ＝－1时，l 1∥l 2. (4)当1×3＝m (m －2)且1×2m ＝6×(m －2)，即m ＝3时，l 1与l 2重合．【例4】距离公式的应用（1）已知点()P x,y 在直线10x y --=上运动，则()()2222x y -+-的最小值为 . （2）在△OAB 中，O 为坐标原点，A （1，cos θ），B(sin θ，1)，则△OAB 的面积的取值范围是 . （3）已知直线l1:mx+8y+n=0与l 2:2x+my-1=0互相平行，且l 1,l 2求直线l 1的方程.解析：（1）将()()22222x y -+-=()()2222x y -+-(),P x y 到点()2,2之间的距离，而点(),P x y 在直线10x y --=，点(),P x y 到点()2,2的最短距离就是点()2,2到直线20x y --=的距离，即点()2,2到直线10x y --=的距离2d ==()()2222xy -+-的最小值为22122d ⎛== ⎝⎭.(2)【举一反三】5.已知点A （2，-1），（1）求过点A 且与原点距离为2的直线l 的方程.（2）求过点A 且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？（3）是否存在过点A 且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.答案与提示：(1)由过点A 的直线l 与原点距离为2，而点A 的坐标为(2，－1)，可知当斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，此时，原点到直线l 的距离为2，符合题意；当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34，此时直线l 的方程为3x －4y －10＝0，综上可知：直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)过点A 与原点O 距离最大的直线是过点A 与AO 垂直的直线，由l ⊥AO ，得k l k OA ＝－1，所以k l ＝－1k OA＝2.由直线的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0，即直线2x －y －5＝0是过点A 且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点A 不存在到原点距离超过5的直线，因此不存在过点A 且与原点距离为6的直线．【课标创新题】【2013年江苏高考】在平面直角坐标系xoy 中，设定点(,)A a a ，P 是函数1(0)y xx=>图象上一动点. 若点P ，A 之间的最短距离为a 的所有值为 .解析：依题意，定点(,)A a a 在直线y x =上，直线y x =与曲线1y x=的交点(1,1)--，(1,1)，由两点间的距离公式得这两点间的距离为，∴1a =-满足条件.设00(,)P x y 0(0)x >，则||PA ==设001t x x =+，∵00x >，∴2t ≥，||PA ==≥=a =，而0a >，∴a =.故满足条件的实数a 的所有值为1-【举一反三】6.【2013届上海市嘉定一模】若实数a 、b 、c 成等差数列，点P (–1, 0)在动直线l ：ax+by+c =0 上的射影为M ，点N (0, 3)，则线段MN 长度的最小值是．答案与提示： a 、b 、c 成等差数列⇒a -2b +c =0⇒ a ⋅1+b ⋅(-2)+c =0，∴直线l ：ax+by+c =0过定点 Q (1,-2)，又P (–1, 0)在动直线l ：ax+by+c =0上的射影为M ，∴∠PMQ =90︒，∴M 在以PQ 为直径的圆上,圆心为C (0, -1)，半径r =222||222121=+=PQ ，线段MN 长度的最小值即是N (0, 3)与圆上动点M 距离的最小值=|NC |-r =4-2. 【课标自测题】一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．直线2130x my m -+-=，当m 变动时，所有直线都通过定点（）A ．1(,3)2-B ．1(,3)2 C ．1(,3)2- D ．1(,3)2--答案:D提示：∵2130x my m -+-=，∴21(3)0x m y +-+=，当21030x y +=⎧⎨+=⎩，即123x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线恒过点(2,1)-． 2. 【2013年四川高考】抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（） A.121答案:B提示：抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，双曲线2213y x -=0y ±=，于是点F 到渐近线的距离2d ==，选B. 3. 已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，当x >0时，f (x )<1，则方程y ＝ax ＋1a表示的直线是( )答案：C提示:由已知可得a ∈(0，1)，从而斜率k ∈(0，1)，且在x 轴上的截距的绝对值大于在y 轴上的截距的绝对值，故选C.4. 【2013届湖北省黄冈市黄冈中学二模】 “2a =”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A提示: 若直线214a y ax y x =-+=-与垂直，则=14aa -⨯-，即2a =±，故由“2a =”能够推出两条直线垂直，但反之不成立，故选A.5.若直线1l ：280ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行，则a 的值为（）A. 1B. 1或2C. -2D. 1或-2答案：A提示:直线1l 的方程为42ay x =-+，若1a =-，则两直线不平行，所以1a ≠-，要使两直线平行，则有282114a a -=≠=-+，由211a a =+，解得1a =或2a =-。

高考数学一轮总复习 9.63 两条直线的位置关系与对称问题课件理

②关于 y 轴对称(以___-x____代___x____)； ③关于 y＝x 对称(__x_，__y__互换)；
④关于 x＋y＝0 对称(以___-_x___代__y___，以__-_y__代___x___)；
⑤关于 x＝a 对称(以_2_a_-_x__代___x___)；
⑥关于 y＝b 对称(以__2_b_-y____代____y____)．
(2)由2xx－＋2yy－＝50＝，0，解得交点 P(2，1)，如图，过 P 作任一直线，设 d 为点 A 到该直线的距离，则 d≤|PA|(当 l⊥PA 时等号成立)．∴dmax＝|PA|＝ 10.
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四、直线位置关系的综合应用例4(1)光线过点 A(－2，4)，经过 2x－y－7＝0 反射，若反射线通过点 B(5，8)，求入射光线与反射光线所在直线的方程； (2)已知点 A(4，－1)和点 B(8，2)均在直线 l：x－y －1＝0 的同侧，动点 P(x，y)在直线 l 上，求|PA|＋|PB| 的最小值．
【基础检测】
1．“λ＝3”是“直线 λx＋2y＋3λ＝0 与直线 3x＋
(λ－1)y＝λ－7 平行”的( C )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】当 λ＝3 时，两直线平行．若直线 λx＋2y ＋3λ＝0 与直线 3x＋(λ－1)y＝λ－7 平行，则 λ(λ－1)＝6，且－λ(λ－7)≠3×3λ，解得 λ＝3.因此选 C.
①____P_P__垂_直__直__线__l____；②___P_P__的__中__点__在__直__线__l_上____，
则点 P，P′关于直线 l 对称．
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【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 8-1直线的方程与两条直线的位置关系新人教A版

8-1直线的方程与两条直线的位置关系基础巩固强化1.(文)(2012²乌鲁木齐地区质检)在圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是( )A.π6 B.π4 C.π3D.3π4[答案] B[解析] 圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)所在直线斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，倾斜角是π4.(理)(2012²内蒙包头模拟)曲线y ＝x 2＋bx ＋c 在点P (x 0，f (x 0))处切线的倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 到该曲线对称轴距离的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0，12]C ．[0，|b |2]D ．[0，|b －1|2][答案] B[解析] y ′|x ＝x 0＝2x 0＋b ，设切线的倾斜角为α，则0≤tan α≤1，即0≤2x 0＋b ≤1，∴点P (x 0，f (x 0))到对称轴x ＝－b 2的距离d ＝|x 0＋b 2|＝12|2x 0＋b |∈[0，12]，故选B.2．(文)(2011²辽宁沈阳二中检测)“a ＝2”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线ax ＋2y －2＝0平行”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 两直线平行的充要条件是2a ＝a 2≠－1－2，即两直线平行的充要条件是a ＝±2.故a＝2是直线2x ＋ay －1＝0与直线ax ＋2y －2＝0平行的充分不必要条件．[点评] 如果适合p 的集合是A ，适合q 的集合是B ，若A 是B 的真子集，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p ，q 互为充要条件，若B 是A 的真子集，则p 是q 的必要不充分条件．(理)(2011²东营模拟)已知两条直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0，则an ＝bm 是直线l 1∥l 2的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] l 1∥l 2时，an －bm ＝0；an －bm ＝0时⇒/ l 1∥l 2. 故an ＝bm 是直线l 1∥l 2的必要不充分条件．3．(2011²烟台模拟)点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,5) C ．(2，－5) D ．(4，－3)[答案] B[解析] x ＝2－4＝－2，y ＝2－(－3)＝5，故选B.4．(文)(2011²梅州模拟)已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为( )A ．5B ．4C ．2D ．1 [答案] C[解析] 由题意知，a 2b －(a 2＋1)＝0且a ≠0，∴a 2b ＝a 2＋1，∴ab ＝a 2＋1a ＝a ＋1a，∴|ab |＝|a ＋1a |＝|a |＋1|a |≥2.(当且仅当a ＝±1时取“＝”)．(理)已知a 、b 为正数，且直线(a ＋1)x ＋2y －1＝0与直线3x ＋(b －2)y ＋2＝0互相垂直，则3a ＋2b的最小值为( )A ．12 B.136C ．1D ．25[答案] D[解析] ∵两直线互相垂直，∴3(a ＋1)＋2(b －2)＝0， ∴3a ＋2b ＝1， ∵a 、b >0，∴3a ＋2b ＝(3a ＋2b )(3a ＋2b )＝13＋6b a＋6ab≥13＋26b a ²6a b＝25.等号成立时，⎩⎪⎨⎪⎧6b a ＝6a b3a ＋2b ＝1，∴a ＝b ＝15，故3a ＋2b的最小值为25.5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )[答案] A[解析] 直线l 1在x 轴上的截距与直线l 2在y 轴上的截距互为相反数，直线l 1在y 轴上的截距与l 2在x 轴上的截距互为相反数，故选A.[点评] 可用斜率关系判断，也可取特值检验．6．(文)(2011²安徽省示范高中皖北协作区高三联考)若过点P (2,1)的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则这样的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[答案] C[解析] 设过点P (2,1)的直线方程为x a ＋y b＝1，则2a ＋1b＝1，即2b ＋a ＝ab ，又S ＝12|a ||b |＝4，即|ab |＝8，由⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋a ＝ab ，|ab |＝8，解得a 、b 有三组解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，⎩⎨⎧a ＝－4－42，b ＝－2＋22，或⎩⎨⎧a ＝42－4，b ＝－2－2 2.所以所求直线共有3条，故选C.(理)(2012²山东模拟)若直线(m 2－1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则实数m 的取值范围是( )A.12<m <1 B ．－1<m ≤12C ．－12≤m <1D.12≤m ≤1 [答案] D[解析] 若直线(m 2－1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则直线过二、三、四象限，则斜率和截距均小于等于0.直线变形为y ＝(m 2－1)x －2m ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1≤0，－2m ＋1≤0，⇒12≤m ≤1，故选D.[点评] (1)令x ＝0得y ＝－2m ＋1，令y ＝0得，x ＝2m －1m 2－1，则⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＋1<0，2m －1m 2－1<0，或⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＋1＝0，m 2－1≤0，也可获解．(2)取特值m ＝0,1，检验亦可获解．7．(2011²宁夏银川一中月考)直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是________．[答案] －2或1[解析] 令x ＝0得y ＝2＋a ，令y ＝0得x ＝a ＋2a，由条件知2＋a ＝a ＋2a，∴a ＝－2或1. 8．(文)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号为________．(写出所有正确答案的序号) [答案] ①⑤[解析] 求得两平行线间的距离为2，则m 与两平行线的夹角都是30°，而两平行线的倾斜角为45°，则m 的倾斜角为75°或15°，故填①⑤.(理)(2012²佛山市高三检测)已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．[答案] 12[解析] 直线方程可化为x2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，由ab＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2(b －12)2＋12，由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.9．(2011²大连模拟)已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是________．[答案] 3[解析] 由已知条件可知线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入直线方程解得m ＝3.[点评] 还可利用AB ⊥l 求解，或AB →为l 的法向量，则AB →∥a ，a ＝(1,2)，或先求AB 中点纵坐标y 0，利用AB 的中点在直线上求出其横坐标x 0再求m .10．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m 、n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，m ＝1，∴当m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (1，－1)．(2)l 1∥l 2⇔m 2＝8m ≠n－1，得：m ＝4，n ≠－2，或m ＝－4，n ≠2. (3)l 1⊥l 2⇔m ³2＋8³m ＝0， ∴m ＝0，则l 1：8y ＋n ＝0.又l 1在y 轴上的截距为－1，则n ＝8. 综上知m ＝0，n ＝8.[点评] 讨论l 1∥l 2时要排除两直线重合的情况．处理l 1⊥l 2时，利用l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0可避免对斜率存在是否的讨论.能力拓展提升11.(文)(2012²辽宁文)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0[答案] C[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0化为标准方程(x －1)2＋(y －2)2＝4， ∵直线平分圆，∴直线过圆心．因此，可代入验证．经验证得C 正确．[点评] 关键是明确圆是轴对称图形，对称轴过圆心．(理)(2011²西安八校联考)已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且直线l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2[答案] B[解析] 依题意知，直线l 的斜率为k ＝tan 3π4＝－1，则直线l 1的斜率为1，于是有2＋13－a ＝1，∴a ＝0，又直线l 2与l 1平行，∴1＝－2b，∴b ＝－2，∴a ＋b ＝－2，选B.12．(文)若三直线l ：2x ＋3y ＋8＝0，l 2：x －y －1＝0，l 3：x ＋ky ＋k ＋12＝0能围成三角形，则k 不等于( )A.32 B ．－2 C.32和－1 D.32、－1和－12[答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x ＋3y ＋8＝0，得交点P (－1，－2)，若P 在直线x ＋ky ＋k ＋12＝0上，则k ＝－12.此时三条直线交于一点；k ＝32时，直线l 1与l 3平行． k ＝－1时，直线l 2与l 3平行，综上知，要使三条直线能围成三角形，应有k ≠－12，32和－1.(理)(2011²北京文，8)已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] A[解析] 因为|AB |＝22，要使三角形面积是2，则C 点到直线AB 的距离为 2.直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，设C 点所在的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，所以d ＝|m ＋2|2＝2，解得m ＝0或m ＝－4，所以C 点的轨迹为x ＋y ＝0，或x ＋y －4＝0.又因为点C 在函数y ＝x 2的图象上，x ＋y ＝0，和x ＋y －4＝0与y ＝x 2分别有两个交点．故这样的点共有4个．[点评] 可利用点到直线距离公式，转化为方程解的个数的判定．13．已知指数函数y ＝2x的图象与y 轴交于点A ，对数函数y ＝lg x 的图象与x 轴交于点B ，点P 在直线AB 上移动，点M (0，－2)，则|MP |的最小值为________．[答案]322[解析] A (0,1)，B (1,0)，∴直线AB ：x ＋y －1＝0，又M (0，－2)，当|MP |取最小值时，MP ⊥AB ，∴|MP |的最小值为M 到直线AB 的距离d ＝|0－2－1|2＝322.14．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则l 1与l 2的距离为________．[答案] 3或5[解析] 由(k －3)³(－2)－2(k －3)³(4－k )＝0，且－2³1－(4－k )³3≠0，∴k ＝3或5.当k ＝3时，l 1：y ＋1＝0，l 2：－2y ＋3＝0，此时l 1与l 2距离为：52；当k ＝5时，l 1：2x －y ＋1＝0，l 2：4x －2y ＋3＝0，此时l 1与l 2的距离为|3－2|42＋－22＝510. 15．(文)已知两条直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8.当m 分别为何值时，l 1与l 2：(1)相交？ (2)平行？ (3)垂直？[解析] (1)当m ＝－5时，显然l 1与l 2相交；当m ≠－5时，两直线l 1和l 2的斜率分别为k 1＝－3＋m 4，k 2＝－25＋m，它们在y 轴上的截距分别为 b 1＝5－3m 4，b 2＝85＋m .由k 1≠k 2，得－3＋m 4≠－25＋m ，即m ≠－7，且m ≠－1.∴当m ≠－7，且m ≠－1时，l 1与l 2相交．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝k 2，b 1≠b 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋m 4＝－25＋m ，5－3m 4≠85＋m ，得m ＝－7.∴当m ＝－7时，l 1与l 2平行．(3)由k 1k 2＝－1，得－3＋m 4²(－25＋m)＝－1，m ＝－133.∴当m ＝－133时，l 1与l 2垂直．(理)(2011²青岛模拟)已知三点A (5，－1)、B (1,1)、C (2，m )，分别求满足下列条件的m 值．(1)三点构成直角三角形ABC ； (2)A 、B 、C 三点共线．[解析] (1)若角A 为直角，则AC ⊥AB ， ∴k AC ²k AB ＝－1，即m ＋12－5²1＋11－5＝－1，得m ＝－7；若角B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ²k BC ＝－1，即－12²m －12－1＝－1，得m ＝3；若角C 为直角，则AC ⊥BC ， ∴k AC ²k BC ＝－1，即m ＋1－3²m －12－1＝－1，得m ＝±2，综上可知，m ＝－7，或m ＝3，或m ＝±2. (2)方法一：∵A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )， ∴k AB ＝－1－15－1＝－12，k AC ＝－1－m 5－2＝－1＋m 3，由k AB ＝k AC ，得－12＝－1＋m 3，即m ＝12.∴当m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．方法二：∵A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )， ∴AB →＝(－4,2)，AC →＝(－3，m ＋1)，由AB →＝λAC →，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＝－3λ2＝λm ＋1，得λ＝43，m ＝12，∴当m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．方法三：∵A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )， ∴|AB |＝25，|BC |＝m 2－2m ＋2， |AC |＝m 2＋2m ＋10.由三点横坐标可知，|BC |＋|AC |＝|AB |，即m 2－2m ＋2＋m 2＋2m ＋10＝25，m 2＋2m ＋10＝－m 2－2m ＋2＋25，两边平方，得5²m 2－2m ＋2＝3－m ，两边平方，得4m 2－4m ＋1＝0，∴m ＝12，经验证m ＝12符合题意，故m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．方法四：点A (5，－1)与B (1,1)确定的直线方程为x ＋2y －3＝0，将C (2，m )的坐标代入得m ＝12，故m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．16．(文)(2011²西安模拟)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程． (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． [解析] (1)令x ＝0，得y ＝a －2. 令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1(a ≠－1)．由a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2，或a ＝0. ∴所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0，或x ＋y ＋2＝0. (2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2.∵l 不过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1≥0，a －2≤0.∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1]．(理)过点A (3，－1)作直线l 交x 轴于点B ，交直线l 1：y ＝2x 于点C ，若|BC |＝2|AB |，求直线l 的方程．[解析] 当k 不存在时B (3,0)，C (3,6)．此时|BC |＝6，|AB |＝1，|BC |≠2|AB |，∴直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为：y ＋1＝k (x －3)，令y ＝0得B (3＋1k，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x y ＋1＝k x －3得C 点横坐标x c ＝1＋3kk －2.若|BC |＝2|AB |则|x B －x C |＝2|x A －x B |， ∴|1＋3k k －2－1k －3|＝2|1k |，∴1＋3k k －2－1k －3＝2k 或1＋3k k －2－1k －3＝－2k，解得k ＝－32或k ＝14.∴所求直线l 的方程为：3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0.1．函数y ＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°[答案] D[分析] 由函数的对称轴方程可以得到a 、b 的关系式，进而可求得直线ax －by ＋c ＝0的斜率k ，再由k ＝tan α可求倾斜角α.[解析] 令f (x )＝a sin x －b cos x ， ∵f (x )的一条对称轴为x ＝π4， ∴f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，∴a b ＝－1. ∴直线ax －by ＋c ＝0的斜率为－1，倾斜角为135°.2．若三直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，x ＋ky ＋k ＋12＝0相交于一点，则k 的值为( )A ．－2B ．－12C ．2D.12[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝02x ＋3y ＋8＝0得交点P (－1，－2)，P 在直线x ＋ky ＋k ＋12＝0上，∴k ＝－12.3．(2011²江西)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－33，33) B ．(－33，0)∪(0，33) C ．[－33，33] D ．(－∞，－33)∪(33，＋∞) [答案] B [解析]曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1，图形为圆心为(1,0)，半径为1的圆；曲线C 2：y ＝0或者y －mx －m ＝0，直线y －mx －m ＝0恒过定点(－1,0)，即曲线C 2图象为x 轴与恒过定点(－1,0)的两条直线．作图分析：k 1＝tan30°＝33，k 2＝－tan30°＝－33，又直线l 1(或直线l 2)、x 轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知m ＝k ∈(－33，0)∪(0，33)． 4．设a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直[解析] 由已知得a ≠0，sin B ≠0，所以两直线的斜率分别为k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B ，由正弦定理得：k 1²k 2＝－sin A a ²bsin B＝－1，所以两条直线垂直，故选C.5．(2011²安徽省高三联考)点P 到点A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为22，这样的点P 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C[解析] ∵点P 到点A 和定直线x ＝－1距离相等，易知P 点轨迹为抛物线，方程为y 2＝4x .设P (t 2,2t )，则22＝|2t －t 2|2，解之得t 1＝1，t 2＝1＋2，t 3＝1－2，∴P 点有三个，故选C.6．(2011²深圳二月模拟)设l 1的倾斜角为α，α∈(0，π2)，l 1绕其上一点P 沿逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕P 沿逆时针方向旋转π2－α角得直线l 3：x ＋2y －1＝0，则l 1的方程为________．[答案] 2x －y ＋8＝0[解析] 由条件知l 1⊥l 3，∴k l 1＝2，∴tan α＝2，又l 2的倾斜角为2α，tan2α＝－43，∴l 2：y ＝－43x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x －2，x ＋2y －1＝0，得P (－3,2)，又P 在l 1上，∴l 1：2x －y ＋8＝0. 7．曲线y ＝xx ＋2在(－1，－1)处的切线为l ，直线kx ＋2y ＋10＝0与2x －3y ＋5＝0与x 轴、y 轴围成的四边形有外接圆，则外接圆的圆心到l 的距离为________．[答案]19530[解析] 由y ＝xx ＋2得，y ′|x ＝－1＝2x ＋22|x ＝－1＝2，∴切线l ：y ＋1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋1＝0，又由条件知，直线kx ＋2y ＋10＝0与2x －3y ＋5＝0垂直，∴2k －6＝0，∴k ＝3. 在3x ＋2y ＋10＝0中含y ＝0得x ＝－103，∴A (－103，0)，在2x －3y ＋5＝0中令x ＝0得y ＝53，∴B (0，53)，AB 的中点C (－53，56)为圆心，故所求距离为19530. 8．(2011²苏北四市二调)已知直线l 1：ax －y ＋2a ＋1＝0和l 2：2x －(a －1)y ＋2＝0(a ∈R )，则l 1⊥l 2的充要条件是a ＝____________.[答案] 13[解析] 两条直线垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0，对于本题而言就是2a ＋(a －1)＝0，解得a ＝13.。

高三数学第一轮总复习7.2两直线的位置关系课件2.ppt

k2 - k1 1 k1k2
-1- 1
1
2 (-1)
1
-3.
2
4
因为l1,l2,l3所围成的三角形是等腰三角形，
Hale Waihona Puke 所以θ1=θ2，tanθ1=tanθ2=-3，
即
k3 1
- k2 k3k2
-3，即 k 3 1
1- k3
-3，解得k3=2.
又因为直线l3经过点(-2，0)，
所以直线l3的方程为y=2(x+2)，即2x-y+4=0.
即|x1-x2|=3，所以(x1+x2)2-4x1x2=9.
11
于是(1-m)2-m2=9，解得m=-4.
此时，Δ=16(m-1)2-16m2＞0.
所以直线l的方程是y=2x-4，即2x-y-4=0.
设点C到直线l的距离为d，则d= | 2 a - 4 | .
5
因为S△ABC≥9,所以
1| AB|d 9即,
A、B两点，且|AB|=3 5 , 点C(a，0)为x轴上一动
点，若△ABC的面积不小于9，求a的取值范围.
解：设直线l的方程为y=2x+m,代入y2=4x,
得(2x+m)2=4x，即4x2+4(m-1)x+m2=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
x1x2
1-m,x1x2
m2. 4
因为|AB|= 3 5 , 所以 |x1-x2| 12235,
7.2 两直线的位置关系
第二课时
题型4
求直线的方程
1. 已知等腰直角三角形ABC中，C=90°，
直角边BC在直线2x+3y-6=0上，顶点A的坐标是

高考数学一轮复习全套课时作业8-2两直线的位置关系

作业8.2两直线的位置关系一、单项选择题1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为()A．－12B．－2C．0D．103．若l1：x＋(1＋m)y＋(m－2)＝0，l2：mx＋2y＋6＝0平行，则实数m的值是()A．m＝1或m＝－2B．m＝1C．m＝－2D．m的值不存在4．已知直线l1：x＋2y－1＝0，l2：2x＋ny＋5＝0，l3：mx＋3y＋1＝0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m＋n的值为A．－10B．10C．－2D．25．(2021·吉林高一期中)点A(cosθ，sinθ)到直线3x＋4y－4＝0的距离的最大值为()A.1 5B.45C．1 D.956．已知直线3x＋y－1＝0与直线23x＋my＋3＝0平行，则它们之间的距离是() A．1 B.54C．3D．47．已知点P(m，n)在直线2x＋y＋1＝0上运动，则m2＋n2的最小值为()A.5 5B.5C.15D．5二、多项选择题8．已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是()A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0)C．不论a为何值时，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称D．如果l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是2(O为坐标原点)9．已知集合A＝{(x，y)y－3x－2＝a＋1}，B＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，若A∩B＝∅，则a的值可能为A．－4或52B．1C．－1D．0三、填空题与解答题10．已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．11．若函数y＝ax＋8与y＝－12x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝________．12．如图所示，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________．13．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则a2＋b2的最小值为________．14．光线从A(－4，－2)点射出，射到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1，6)，求BC所在的直线方程．15．在△ABC中，BC边上的高所在直线l1的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线l2的方程为y ＝0，若点B的坐标为(1，2)，求点A，C的坐标．16．(2021·江西赣州模拟)若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0，l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为()A．32B．23C．33D．4217．(2021·试题调研)已知点A(3，0)，B(0，3)，M(1，0)，O为坐标原点，P，Q分别在线段AB，BO上运动，则△MPQ的周长的最小值为()A．4B．5C．25 D.3418．在平面直角坐标系中，定义两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的直角距离为：d(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|.现有以下命题：①若P，Q是x轴上的两点，则d(P，Q)＝|x1－x2|；②已知P(2，3)，Q(sin2α，cos2α)，则d(P，Q)为定值；③原点O与直线x－y＋1＝0上任意一点P之间的直角距离d(O，P)的最小值为2 2；④若|PQ|表示P，Q两点间的距离，那么|PQ|≥22d(P，Q)．其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．作业8.2两直线的位置关系参考答案1．答案A 解析若两直线平行，则a(a ＋1)＝2，即a 2＋a －2＝0，∴a ＝1或－2，故a ＝1是两直线平行的充分不必要条件．2．答案A解析由2m －20＝0，得m ＝10.由垂足(1，p)在直线mx ＋4y －2＝0上，得10＋4p －2＝0.∴p ＝－2.又垂足(1，－2)在直线2x －5y ＋n ＝0上，则解得n ＝－12.3．答案A解析方法一：据已知若m ＝0，易知两直线不平行，若m ≠0，则有1m ＝1＋m 2≠m －26⇒m ＝1或m ＝－2.方法二：由1×2＝(1＋m)m ，得m ＝－2或m ＝1.当m ＝－2时，l 1：x －y －4＝0，l 2：－2x ＋2y ＋6＝0，l 1与l 2平行．当m ＝1时，l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y ＋6＝0，l 1与l 2平行．4．答案C解析因为l 1∥l 2且l 1⊥l 3，所以n －4＝0，且m ＋6＝0，解得n ＝4，m ＝－6，所以m ＋n ＝－6＋4＝－2.故选C.5．答案D 解析点A(cos θ，sin θ)到直线3x ＋4y －4＝0的距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－4|32＋42，化简得d ＝|5sin （θ＋φ）－4|5，其中φ满足tan φ＝34，当sin(θ＋φ)＝－1时d 取得最大值，即d ＝95.故选D.6．答案B解析由题意直线3x ＋y －1＝0与直线23x ＋my ＋3＝0平行，则323＝1m⇒m ＝2，即23x ＋2y ＋3＝0，则直线3x ＋y －1＝0可化为23x ＋2y －2＝0，所以两直线之间的距离为d ＝|3＋2|（23）2＋22＝54，故选B.7．答案C解析∵点P(m ，n)是直线2x ＋y ＋1＝0上的任意一点，又m 2＋n 2的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，∴m 2＋n 2的最小值为原点到直线距离的平方，∴所求最小值为(122＋122＝15，故选C.8．答案ABD解析对于A ，a ×1＋(－1)×a ＝0恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故正确．对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立，所以l 1恒过定点A(0，1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B(－1，0)，故正确．对于C ，在l 1上任取点(x ，ax ＋1)，关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为(－ax －1，－x)，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则左边不恒等于0，故不正确．对于D ，联立ax －y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，解得x ＝－a －1a 2＋1，y ＝－a ＋1a 2＋1，即M(－a －1a 2＋1，－a ＋1a 2＋1)，所以|MO|＝（－a －1a 2＋1）2＋（－a ＋1a 2＋1）2＝2a 2＋1≤2，所以|MO|的最大值是2，故正确．故选ABD.9．答案ABC解析由题意当a ＝1时，B ＝∅，满足题意，当a ≠1时，集合B 表示一条直线，集合A 也表示一条直线y －3＝(a ＋1)(x －2)，即(a ＋1)x －y －2a ＋1＝0(去掉点(2，3))，若直线(a 2－1)x ＋(a －1)y ＝15过点(2，3)，则2(a 2－1)＋3(a －1)＝15，解得a ＝－4或a ＝52，若两直线平行，则(a 2－1)＋(a －1)(a ＋1)＝0(a ≠1)，解得a ＝－1，∴a 的可能值为－4，52，－1，1.故选ABC.10．答案2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析由题设可知直线l 斜率存在．设所求直线方程为y －4＝k(x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k|1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k|1＋k 2.∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.11．答案2解析直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x ＋b 为同一直线，故得a ＝－2，b ＝4.所以a ＋b ＝2.12．答案210解析由题意，求出P 关于直线x ＋y ＝4及y 轴的对称点分别为P 1(4，2)，P 2(－2，0)，由物理知识知，光线所经路程即为|P 1P 2|＝210.13．答案3解析∵M(a ，b)在直线3x ＋4y ＝15上，∴3a ＋4b ＝15.而a 2＋b 2的几何意义是原点到M 点的距离|OM|，∴(a 2＋b 2)min ＝|－15|32＋42＝3.14．答案10x －3y ＋8＝0解析作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1，6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C.故BC 所在的直线方程为y ＋46＋4＝x ＋21＋2.即10x －3y ＋8＝0.15．答案A(－1，0)，C(5，－6)解析如图，设C(x 0，y 0)，由题意知l 1∩l 2＝A，则－2y ＋1＝0，＝0＝－1，＝0.即A(－1，0)．又∵l 1⊥BC ，∴k BC ·kl 1＝－1.∴k BC ＝－1kl 1＝－112＝－2.∴由点斜式可得BC 的直线方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0.又∵l 2：y ＝0(x 轴)是∠A 的平分线，∴B 关于l 2的对称点B ′在直线AC 上，易得点B ′的坐标为(1，－2)，由两点式可得直线AC 的方程为x ＋y ＋1＝0.由C(x 0，y 0)在直线AC 和BC 上，0＋y 0＋1＝0，0＋y 0－4＝00＝5，0＝－6.即C(5，－6)．16．答案A解析由题意知，点M 所在直线与l 1，l 2平行且与两直线距离相等．设该直线的方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋7|2＝|c ＋5|2，解得c ＝－6.点M 在直线x ＋y －6＝0上．点M 到原点距离的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即d ＝|－6|2＝3 2.故选A.17．答案C解析过A(3，0)，B(0，3)两点的直线方程为x ＋y －3＝0，设M(1，0)关于直线x ＋y －3＝0对称的点为N(x ，y)，1，＋12y －3＝0，＝3，＝2，即N(3，2)，同理可求M(1，0)关于直线OB 的对称点为E(－1，0)，当N ，P ，Q ，E 四点共线时，△MPQ 的周长MQ ＋PQ ＋PM ＝EQ ＋PQ ＋NP ，取得最小值为NE ＝（3＋1）2＋4＝25，故选C.18．答案①②④解析①因为P ，Q 是x 轴上的两点，故|y 1－y 2|＝0，则d(P ，Q)＝|x 1－x 2|，正确；②根据定义d(P ，Q)＝|2－sin 2α|＋|3－cos 2α|，因为sin 2α∈[0，1]，cos 2α∈[0，1]，故d(P ，Q)＝2－sin 2α＋3－cos 2α＝4，正确；③根据定义d(O ，P)＝|x|＋|y|＝|x|＋|x ＋1|≥|x －(x ＋1)|＝1，当且仅当x(x ＋1)≤0时，取得最小值，错误；④因为|PQ|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2，d(P ，Q)＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|,由不等式2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)2，即可得|PQ|≥22d(P ，Q)，正确．。

高三数学一轮复习第七章第3课时空间点、直线、平面之间的位置关系课件

如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点．问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由．
(2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由．
解析： (1)不是异面直线．理由：连接 MN、A1C1、AC， ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点， ∴MN∥A1C1.
求证：P、A、C 三点共线．
证明： (1)∵E、F 分别为 AB、AD 的中点， ∴EF∥BD. 在△BCD 中，BGGC＝DHHC＝12， ∴GH∥BD.∴EF∥GH.
∴E、F、G、H 四点共面．
(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面 ABC， ∴P∈平面 ABC. 同理 P∈平面 ADC. ∴P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点．又平面 ABC∩平面 ADC＝AC， ∴P∈AC，
⊥平面 A1B1M.12 分
【阅后报告】该题难度较小，第(1)问的关键在于“找到角”，而第(2)问关键在于证明 BM⊥平面 A1B1M，这些方法是解决立体问题常用思路．
(本小题满分 12 分)(2010·湖南卷) 如图所示，在长方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，AB＝AD＝1，AA1 ＝2，M 是棱 CC1 的中点． (1)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值；
(2)证明：平面 ABM⊥平面 A1B1M.
【规范解答】 (1)因为 C1D1∥B1A1，所以∠ MA1B1 为异面直线 A1M 与 C1D1 所成的角.2 分因为 A1B1⊥平面 BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°. 而 A1B1＝1，B1M＝ B1C21＋MC21＝ 2，4 分故 tan∠MA1B1＝AB11BM1＝ 2，即异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值为

高考数学一轮复习 7.2 两直线的位置关系教案

7.2 两直线的位置关系●知识梳理 1.平行与垂直若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y =k 1x +b 1，l 2：y =k 2x +b 2，则（1）直线l 1∥l 2的充要条件是k 1=k 2且b 1≠b 2. （2）直线l 1⊥l 2的充要条件是k 1·k 2=－1. 若l 1和l 2都没有斜率，则l 1与l 2平行或重合.若l 1和l 2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l 1⊥l 2. 2.相交（1）两条直线l 1：y =k 1x +b 1和l 2：y =k 2x +b 2相交得到两类角：“到角”和“夹角”.①到角：直线l 1到l 2的角是指l 1按逆时针方向旋转到与l 2重合时所转的角.设l 1到l 2的角为θ1，l 2到l 1的角为θ2，则有θ1∈（0，π），θ2∈（0，π），且θ1+θ2=π.当k 1k 2≠－1时，有公式tan θ1=21121k k k k +-.当k 1k 2=－1时，l 1⊥l 2，θ1=θ2=2π.②夹角：l 1到l 2的角θ1和l 2到l 1的角θ2中不大于90°的角叫l 1和l 2的夹角.设为α，则有α∈（0，2π］，当α≠2π时，有公式tan α=|21121k k k k +-|.如果直线l 1和l 2中有一条斜率不存在，“到角”和“夹角”都可借助于图形，通过直线的倾斜角求出.（2）交点：直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0和l 2：A 2x +B 2y +C 2=0的公共点的坐标与方程组A 1x +B 1y +C 1=0A 2x +B 2y +C 2=0相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解. 重合⇔方程组有无数解.3.点P （x 0，y 0）到直线l ：Ax +By +C =0的距离d =2200||BA C By Ax +++.两平行线l 1：Ax +By +C 1=0和l 2：Ax +By +C 2=0之间的距离d =2212||BA C C +-.●点击双基1.点（0，5）到直线y =2x 的距离为 A.25 B.5C.23D.25 解析：a =22)1(2|50|-+-=5.答案：B2.三直线ax +2y +8=0，4x +3y =10，2x －y =10相交于一点，则a 的值是A.－2B.－1C.0D.14x +3y =10，的解一一对应.解析：解方程组2x －y =10，得交点坐标为（4，－2），代入ax +2y +8=0，得a =－1. 答案：B3.直线x +y －1=0到直线x sin α+y cos α－1=0（4π＜α＜2π)的角是A.α－4πB. 4π－αC.α－4π3 D. 4π5－α解析：由tan θ=)1()tan (11tan -⋅-++-αα=ααtan 1tan 1+-=tan （4π－α）=tan （4π5－α），∵4π＜α＜2π，－4π＜4π－α＜0，4π3＜4π5－α＜π，∴θ=4π5－α.答案：D4.已知点P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转角α（0°<α<90°），所得直线方程是x －y －2=0，若将它继续旋转90°－α角，所得直线方程是2x +y －1=0，则直线l 的方程是____________.解析：∵直线l 经过直线x －y －2=0和2x +y －1=0的交点（1，－1），且又与直线2x + y －1=0垂直，∴l 的方程为y +1=21（x －1），即x －2y －3=0.答案：x －2y －3=05.若直线l 1：ax +2y +6=0与直线l 2：x +（a －1）y +（a 2－1）=0平行且不重合，则a 的值是____________.解析：利用两直线平行的条件. 答案：－1 ●典例剖析【例1】等腰三角形一腰所在直线l 1的方程是x －2y －2=0，底边所在直线l 2的方程是x +y －1=0，点（－2，0）在另一腰上，求该腰所在直线l 3的方程.剖析：依到角公式求出l 3的斜率，再用点斜式可求l 3的方程. 解：设l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 3的角是θ2，则k 1=21，k 2=－1，tan θ1=21121k k k k +-=21)1(1211⨯-+--=－3.∵l 1、l 2、l 3所围成的三角形是等腰三角形，∴θ1=θ2，tanθ1=tan θ2=－3，即23231k k k k +-=－3，3311k k -+=－3，解得k 3=2.又∵直线l 3经过点（－2，0），∴直线l 3的方程为y =2（x +2），即2x －y +4=0.评述：本题根据条件作出合理的假设θ1=θ2，而后利用直线到直线所成角的公式，最后利用点斜式，求出l 3的方程.思考讨论用夹角公式会产生什么问题，怎样去掉增解?【例2】已知两直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：（m －2）x ＋3my＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2（1）相交；（2）平行；（3）重合?剖析：依据两直线位置关系判断方法便可解决. 解：当m =0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2.当m =2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0，∴l 1与l 2相交. 当m ≠0且m ≠2时，由21-m ＝mm 32得m =－1或m =3，由21-m ＝m26得m ＝3.故（1）当m ≠－1，m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交；（2）当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2；（3）当m ＝3时，l 1与l 2重合.评述：对这类问题要从有斜率、没斜率两方面进行考虑.深化拓展不讨论有斜率、没斜率能直接求解吗? 【例3】已知点P （2，－1），求：（1）过P 点与原点距离为2的直线l 的方程；（2）过P 点与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少?（3）是否存在过P 点与原点距离为6的直线?若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.剖析：已知直线过定点求方程，首先想到的是求斜率或设方程的斜截式，但不要忘记考察斜率不存在的直线是否满足题意.若满足，可先把它求出，然后再考虑斜率存在的一般情况.图形中量的最值问题往往可由几何原理作依据求得解决.解：（1）过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为（2，1），可见，过P （2，1）垂直于x 轴的直线满足条件.此时l 的斜率不存在，其方程为x =2.若斜率存在，设l 的方程为y +1=k （x －2），即kx －y －2k －1=0.由已知，得1|12|2+--k k =2，解之得k =43.此时l 的方程为3x －4y －10=0.综上，可得直线l 的方程为x =2或3x －4y －10=0.（2）作图可证过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，由l ⊥OP ，得k l ·k OP =－1，所以k l =－OPk 1=2.由直线方程的点斜式得y +1=2（x －2），即2x －y －5=0，即直线2x －y －5=0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为5|5|-=5.（3）由（2）可知，过P 点不存在到原点距离超过5的直线，因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线.评述：第（3）问是判断存在性问题，通常的解决方法是先假设判断对象存在，令其满足应符合的条件，若有解，则存在，并求得；若无解，则不存在，判断无解的过程就是结论的理由.如（3）解法二：由于斜率不存在且过P 点的直线到原点距离不是6，因此，设过P 点到原点距离为6的直线的斜率存在且方程为y +1=k （x －2），即kx －y －2k －1=0.原点O 到它的距离d =1|12|2+--k k =6，即32k 2－4k +35=0.因Δ=16－4×32×35<0，故方程无解.所以不存在这样的直线.●闯关训练夯实基础1.（2004年全国卷Ⅳ，3）过点（－1，3）且垂直于直线x －2y +3=0的直线方程为A.2x +y －1=0B.2x +y －5=0C.x +2y －5=0D.x －2y +7=0 解析：由已知直线的斜率为21，知所求直线的斜率为－2.由点斜式得所求直线方程为2x +y －1=0. 答案：A2.若直线y =|x |与y =kx +1有两个交点，则k 的取值范围是____________.解析：y =|x |是第一、二象限角的平分线，直线y =kx +1是过定点（0，1）的直线系方程.由图象易知－1<k <1. 答案：－1<k <13.△ABC 中，a 、b 、c 是内角A 、B 、C 的对边，且lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，则下列两条直线l 1：（sin 2A ）x +（sin A ）y －a =0，l 2：（sin 2B ）x +（sin C ）y －c =0的位置关系是____________.解析：由已知2lgsin B =lgsin A +lgsin C ，得lg （sin B ）2=lg（sin A ·sin C ）.∴sin 2B =sin A ·sinC .设l 1：a 1x +b 1y +c 1=0，l 2：a 2x +b 2y +c 2=0．∵21a a =B A 22sin sin =CA A sin sin sin 2=CA sin sin ，21b b=CA sin sin ，21c c =ca --=CR A R sin 2sin 2--=CA sin sin ，∴21a a =21b b =21c c ，l 1与l 2重合．答案：重合4.求过点P （5，－2），且与直线x －y +5=0相交成45°角的直线l 的方程.解：（1）若直线l 的斜率存在，设为k ，由题意，tan45°=|kk +-11|，得k =0，所求l 的直线方程为y =－2.（2）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =5，且与直线x －y +5=0相交成45°角.综合（1）（2），直线l 的方程为x =5或y =－2.5.已知△ABC 的两条高线所在直线的方程为2x －3y +1=0和x +y =0，顶点A （1，2），求：（1）BC 边所在直线的方程；（2）△ABC 的面积.解：（1）A 点不在两条高线上，从而AB 、AC 边所在直线方程为3x +2y －7=0，x －y +1=0.∴C （－2，－1）、B （7，－7）. ∴边BC 所在直线方程是2x +3y +7=0.（2）∵｜BC ｜＝117，点A 到边BC 的高为h ＝1315，从而△ABC的面积是21×313×1315＝245．培养能力6.光线从A （－3，4）点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点D （－1，6），求BC 所在直线的方程.解法一：如下图所示，依题意，B 点在原点O 左侧，设坐标为（a ，0），由入射角等于反射角得∠1=∠2，∠3=∠4，∴k AB =－k BC .又k AB =a ---304=－a +34（a ≠－3），∴k BC =a+34.∴BC 的方程为y －0=a+34（x －a ），即4x －（3+a ）y －4a =0.令x =0，解得C 点坐标为（0，a a +-34），则k DC =01346--+--a a =－a a ++31018.∵∠3=∠4，∴010⋅+-BC BC k k =DCDCk k ⋅+-010.∴a +34=aa ++31018.解得a =－57，代入BC 方程得5x －2y +7=0.解法二：点A 关于x 轴的对称点为A ′（－3，－4），点D 关于y 轴的对称点为D ′（1，6），由入射角等于反射角及对顶角相等可知A ′、D ′都在直线BC 上，∴BC 的方程为5x －2y +7=0.7.在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴（原点除外）上给定两点A （0，a ）、B （0，b ）（a ＞b ＞0）.试在x 轴的正半轴（原点除外）上求点C ，使∠ACB 取得最大值，并求出这个最大值.解：由题意作下图，设C （x ，0），其中x ＞0．又A （0，a ），B （0，b ）（a ＞b ＞0），则k AC ＝xa --00＝－xa ，k BC ＝xb --00＝－xb .∴tan ∠ACB ＝ACBC ACBC k k k k ⋅+-1 ＝21xab xb x a +-=][xab ab x ab b a +-≤abb a 2-．此时x ＝ab 时取等号.故所求点C （ab ，0），最大值为arctanabb a 2-．8.（理）已知过点A （1，1）且斜率为－m （m ＞0）的直线l 与x 轴、y 轴分别交于P 、Q ，过P 、Q 作直线2x +y =0的垂线，垂足为R 、S ，求四边形PRSQ 面积的最小值.解：设l 的方程为y －1=－m （x －1），则P （1+m1，0），Q （0，1+m ）.从而可得直线PR 和QS 的方程分别为x －2y －mm 1+=0和x －2y +2（m +1）=0.又PR ∥QS ，∴｜RS ｜=5|1122|m m +++=5123mm ++.又｜PR ｜=522m +，｜QS ｜=51+m ，四边形PRSQ 为梯形，S 四边形PRSQ =21［522m ++51+m ］·5123m m ++=51（m +m 1+49）2－801≥51（2+49）2－801=3.6. ∴四边形PRSQ 的面积的最小值为3.6.（文）在△ABC 中，已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y +1=0，∠A 的平分线所在直线的方程为y =0.若点B 的坐标为（1，2），求点C 的坐标.解：点A 为y =0与x －2y +1=0两直线的交点，∴点A 的坐标为（－1，0）.∴k AB =)1(102---=1.又∵∠A 的平分线所在直线的方程是y =0，∴k AC =－1.∴直线AC 的方程是y =－x －1.而BC 与x －2y +1=0垂直，∴k BC =－2.∴直线BC 的方程是y －2=－2（x －1）.y =－x －1，y =－2x +4，解得C （5，－6）. 探究创新9.已知三条直线l 1：2x －y +a =0（a ＞0），直线l 2：－4x +2y +1=0和直线l 3：x +y －1=0，且l 1与l 2的距离是1075.（1）求a 的值；（2）求l 3到l 1的角θ；（3）能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的21；③P点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5？若能，求P 点坐标；若不能，请说明理由.解：（1）l 2即2x －y －21=0，∴l 1与l 2的距离d =22)1(2|)21(|-+--a =1057.由∴5|21|+a =1057.∴|a +21|=27.∵a ＞0，∴a =3.（2）由（1），l 1即2x －y +3=0，∴k 1=2.而l 3的斜率k 3=－1， ∴tan θ=31311k k k k ⋅+-=)1(21)1(2-+--=－3.∵0≤θ＜π，∴θ=π－arctan3.（3）设点P （x 0，y 0），若P 点满足条件②，则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x －y +C =0上，且5|3|-C =215|21|+C ，即C =213或C =611，∴2x 0－y 0+213=0或2x 0－y 0+611=0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，有53200+-y x =522|1|00-+y x ，即|2x 0－y 0+3|=|x 0+y 0－1|， ∴x 0－2y 0+4=0或3x 0+2=0.由P 在第一象限，∴3x 0+2=0不可能.联立方程2x 0－y 0+213=0和x 0－2y 0+4=0，x 0=－3， y 0=21，2x 0－y 0+611=0，x 0－2y 0+4=0， x 0=91，y 0=1837.解得应舍去.由解得∴P （91，1837）即为同时满足三个条件的点.●思悟小结1.要认清直线平行、垂直的充要条件，应特别注意对x 、y 的系数中一个为零的情况的讨论.2.在运用一条直线到另一条直线的角的公式时要注意无斜率的情况及两条直线垂直的情况.3.点到直线的距离公式是一个基本公式，它涉及绝对值、直线垂直、最小值等内容.●教师下载中心教学点睛1.两条直线的位置关系的有关内容是本章学习的重点，在整个解析几何的学习中占有重要地位.这部分内容是用代数方法研究几何图形的具体应用.2.在判断两直线的位置关系时，也可利用直线方程的一般式，由系数间的关系直接作出结论，设l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0.（1）l 1∥l 2⇐21A A =21B B ≠21C C A 1B 2=A 2B 1，A 1C 2≠A 2C 1.（2）l 1与l 2相交⇐21A A ≠21B B ⇔A 1B 2≠A 2B 1. （3）l 1与l 2重合⇐21A A =21B B =21C C⇔A 1B 2=A 2B 1， A 1C 2=A 2C 1.（4）l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0. 拓展题例【例1】当0<a <2时，直线l 1：ax －2y =2a －4，直线l 2：2x +a 2y =2a 2+4与坐标轴围成一个四边形，求使该四边形面积最小时a 的值.解：直线l 1交y 轴于A （0，2－a ），直线l 2交x 轴于C （a 2+2，0），l 1与l 2交于点B （2，2）.则四边形AOCB 的面积为S =S △AOB +S △OCB =21·（2－a ）·2+21（a 2+2）·2=a 2－a +4=（a －21）2+415，当a =21时，S 最小.因此使四边形面积最小时a 的值为21.【例2】已知n 条直线l 1：x －y +C 1=0，C 1=2，l 2：x －y +C 2=0，l 3：x －y +C 3=0，…，l n ：x －y +C n =0（其中C 1＜C 2＜C 3＜…＜C n ），这n 条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n .（1）求C n ；（2）求x －y +C n =0与x 轴、y 轴围成的图形的面积；（3）求x －y +C n －1=0与x －y +C n =0及x 轴、y 轴围成图形的面积.⇔解：（1）原点O 到l 1的距离为1，原点O 到l 2的距离为1+2，……原点O 到l n 的距离d n 为1+2+…+n =2)1(+n n .∵C n =2d n ，∴C n =2)1(2+n n . （2）设直线l n ：x －y +C n =0交x 轴于M ，交y 轴于N ，则△OMN 面积S △O MN =21|OM |·|ON |=21C n 2=4)1(22+n n .（3）所围成的图形是等腰梯形，由（2）知S n =4)1(22+n n ，则有S n －1=4)1(22n n ⋅-.∴S n －S n －1=4)1(22+n n －4)1(22n n ⋅-=n 3.∴所求面积为n 3.。

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