2017届苏教版立体几何阶段验收专练卷

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2017届苏教版解析几何阶段验收专练卷

提升考能、阶段验收专练卷(五)解析几何(时间：80分钟满分：120分)Ⅰ.小题提速练(限时35分钟)填空题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2016·苏州检测)双曲线 x 216－y 29＝1的渐近线方程为________．解析：由x 216－y 29＝1知渐近线方程为y ＝±34x . 答案：y ＝±34x 2．(2016·常州联考)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________.解析：因为直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0垂直，所以a ·1＋2·(a－1)＝0，解得a ＝23. 答案：233．直线ax ＋by －1＝0的倾斜角是直线3x －y －33＝0的倾斜角的2倍，且它在y 轴上的截距为1，则a ，b 的值分别为________．解析：由题设可知ax ＋by －1＝0的倾斜角为120°，在y 轴上的截距为1，∴－a b ＝－3，1b＝1，∴a ＝3，b ＝1. 答案：3，14．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点________．解析：直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2恒过定点(0,2)．答案：(0,2)5．已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m 等于________．解析：显然m >0且m ≠4.当0<m <4时，椭圆长轴在x 轴上，则 1m －141m＝22，解得m ＝2；当m >4时，椭圆长轴在y 轴上，则14－1m 14＝22，解得m ＝8. 综上所述，实数m 等于2或8.答案：2或86．(2016·苏北四市调研)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，M ，N 是坐标平面内的两点，且M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.解析：设MN 的中点为D ，椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，如图，连结DF 1，DF 2，因为F 1是MA 的中点，D 是MN 的中点，所以F 1D 是△MAN 的中位线，|DF 1|＝12|AN |，同理|DF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)，因为D 在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|DF 1|＋|DF 2|＝4，所以|AN |＋|BN |＝8.答案：87．在平面直角坐标系内，若圆C ：x 2＋y 2－2ax ＋4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．解析：圆C 可化为(x －a )2＋(y ＋2a )2＝4，要使得圆C 上所有的点均在第四象限，则圆心C (a ，－2a )在第四象限，圆心C 到坐标轴的距离大于半径．所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－2a <0，|a |>2，|－2a |>2，解得a >2. 即实数a 的取值范围为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)8．入射光线沿直线x －2y ＋3＝0射向直线l ：y ＝x ，被直线l 反射后的光线所在直线的方程是________________________________________________________________________．解析：由入射光线与反射光线所在直线关于直线l ：y ＝x 对称，把直线x －2y ＋3＝0中的x ，y 互换，得到2x －y －3＝0.∴反射光线的方程为2x －y －3＝0.答案：2x －y －3＝09．过椭圆x 225＋y 216＝1的中心任作一直线，交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 面积的最大值是________．解析：设P 点的纵坐标为y P ，由于椭圆x 225＋y 216＝1的中心是原点O ，则Q 点的纵坐标为－y P ，且|y P |≤4，c ＝a 2－b 2＝25－16＝3，则△PQF 的面积是12|OF |(|y P |＋|y Q |)＝12c ×2|y P |＝3|y P |≤3×4＝12. 答案：1210．已知0<k <4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则这个四边形面积的最小值为________．解析：由题意知，直线l 1，l 2恒过定点P (2,4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k ＋4)＋12×4×(2k 2＋2－2)＝4k 2－k ＋8＝4⎝⎛⎭⎫k －182＋12716，故当k ＝18时，面积最小，且最小值为12716. 答案：1271611．双曲线x 2－y 2＝8上一点P (x 0，y 0)在双曲线的一条渐近线上的射影为Q ，已知O 为坐标原点，则△POQ 的面积为________．解析：双曲线x 2－y 2＝8的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0，不妨设点Q 是P (x 0，y 0)在渐近线y ＝x 上的射影，易得|PQ |＝|x 0－y 0|2，由于|OP |＝x 20＋y 20，|OQ |＝|OP |2－|PQ |2＝|x 0＋y 0|2，所以S △POQ ＝12|PQ |·|OQ |＝|x 20－y 20|4＝2. 答案：212．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点A ，B 1，B 2，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为________．解析：如图，A (－a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )，F (c,0)，设点M ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y M . 由kAB 2＝k AM ，得b a ＝y M a2c ＋a，所以y M ＝b ⎝⎛⎭⎫a c ＋1.由kFB 1＝k FM ，得b c ＝y M a2c －c，所以y M ＝b c ⎝⎛⎭⎫a 2c －c .从而b ⎝⎛⎭⎫a c ＋1＝b c ⎝⎛⎭⎫a 2c －c ，整理得2e 2＋e －1＝0.解得e ＝12或e ＝－1(舍去)．答案：12Ⅱ.大题规范练(限时45分钟)解答题(本大题共4小题，共60分)13．(本小题满分14分)求下列椭圆的标准方程：(1)已知椭圆的焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过M (3,2)．(2)与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同焦点，且过点(3，－2)．解：(1)当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，又M (3,2)在椭圆上，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ，32a 2＋22b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝45，b 2＝5. 所以椭圆的标准方程为x 245＋y 25＝1；当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．又M (3,2)在椭圆上，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ，22a 2＋32b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝85，b 2＝859. 所以椭圆的标准方程为x 2859＋y 285＝1；综上，椭圆的标准方程为x 245＋y 25＝1或x 2859＋y 285＝1. (2)椭圆4x 2＋9y 2＝36的焦点为(－5，0)，(5，0)，所以c ＝5，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎨⎧ a 2＝5＋b 2，32a 2＋(－2)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝10. 所以椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1. 14．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧ x ＝433，y ＝－33，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝ 3. 因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533＜n ＜3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3. 因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2. 由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝869 9－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 所以四边形ACBD 面积的最大值为863.15.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且经过点⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆的方程及离心率；(2)设点B ，C ，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称．设直线CD ，CB ，OB ，OC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，且k 1k 2＝k 3k 4.①求k 1k 2的值；②求OB 2＋OC 2的值．解：依题意，c ＝3，a 2＝b 2＋3，由3b 2＋3＋14b 2＝1，解得b 2＝1，从而a 2＝4. 故所求椭圆方程为：x 24＋y 2＝1.离心率e ＝32. (2)①设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则D (－x 1，－y 1)，于是k 1k 2＝y 2＋y 1x 2＋x 1·y 2－y 1x 2－x 1＝y 22－y 21x 22－x 21＝⎝⎛⎭⎫1－ x 224－⎝⎛⎭⎫1－x 214 x 22－x 21 ＝－14. ②由①知，k 3k 4＝k 1k 2＝－14，故x 1x 2＝－4y 1y 2. 所以(x 1x 2)2＝(－4y 1y 2)2，即(x 1x 2)2＝16⎝⎛⎭⎫1－ x 214 ⎝⎛⎭⎫1－ x 224 ＝16－4(x 21＋x 22)＋x 21x 22，所以x 21＋x 22＝4. 又2＝⎝⎛⎭⎫ x 214＋y 21 ＋⎝⎛⎭⎫ x 224＋y 22 ＝x 21＋x 224＋y 21＋y 22，故y 21＋y 22＝1.所以OB 2＋OC 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝5. 16．(本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点到它的两个焦点(－c,0)，(c,0)的距离之和为22，且它的焦距为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点不在圆x 2＋y 2＝59内，求m 的取值范围．解：(1)依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝22，2c ＝2.又b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 则椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，x －y ＋m ＝0，消去y 整理得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0.则Δ＝16m 2－12(2m 2－2)＝8(－m 2＋3)＞0，解得－3＜m ＜ 3.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m 3， y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝－4m 3＋2m ＝2m 3，即AB 的中点为⎝⎛⎭⎫－2m 3，m 3. 又∵AB 的中点不在圆x 2＋y 2＝59内， ∴4m 29＋m 29＝5m 29≥59，解得m ≤－1或m ≥1.② 由①②得，－3＜m ≤－1或1≤m ＜ 3. 故m 的取值范围为(－3，－1]∪[1，3)．。

江苏省2017届高三数学一轮复习专题突破训练：立体几何含答案

江苏省2017年高考一轮复习专题突破训练立体几何一、填空题1、（常州市2016届高三上期末）已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA ⊥底面ABCD,PA ＝3，若点M 是BC 的中点,则三棱锥M －PAD 的体积为2、（2015年江苏高考）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个，若将它们制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为____________________。

3、（2014年江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为21S ,S ，体积分别为21V ,V ，若它们的侧面积相等，49S S21=，则=21V V▲ ．4、（南京市2016届高三三模）已知α,β是两个不同的平面,l ，m 是两条不同直线，l ⊥α，m ⊂β．给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③m ∥α⇒l ⊥β； ④l ⊥β⇒m ∥α．其中正确的命题是错误!．（填．写．所有正确命题的．．．．．．．序号．．）．5、（南通、扬州、泰州三市2016ABCD 中，AB ⊥平面ABCD ，1AB =，2BC =,3BD =，则CD 长度的所有值为▲ ．点E 是棱B B 1的中点,则三棱锥ADE B -1的体积为7、（苏锡常镇四市2016届高三一模)如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 是棱BB 1的中点，则四棱锥P - AA 1C 1C 的体积为．8、（苏锡常镇四市市2016届高三二模）设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ,2S ，若123=VV，则12SS 的值为 ▲ ．9、（镇江市2016届高三一模）设b ,c 表示两条直线,α，β表示两个平面，现给出下列命题: ①若b ⊂α,c ∥α，则b ∥c ； ②若b ⊂a ,b ∥c ，则c ∥a ； ③若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β； ④若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β.其中正确的命题是________．（写山所有正确命题的序号）10、（南通市海安县2016届高三上期末)正四棱锥的底面边长为 2 cm ，侧面与底面所成二面角的大小为 60°，则该四棱锥的侧面积为cm 211、（苏州市2016届高三上期末)将半径为5的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为123,,r r r ，则123r rr ++＝ ▲12、（泰州市2016届高三第一次模拟)如图，长方体1111ABCD A BC D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ,四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12V V 的值为 ▲ ．二、解答题1、(2016年江苏高考）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D ,E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上,且11B D A F ⊥ ，1111ACA B ⊥。

专题1.8 立体几何测试卷测试卷-2017年高考数学二轮复

专题八立体几何测试卷一、填空题（14*5=70分）1. 【广西柳州2017届高三上学期10月模拟，7】已知长方体同一个顶点的三条棱长分别为2，3,4，则该长方体的外接球的表面积等于_____ 【答案】29π2．【中原名校豫南九校2017届上学期第四次质量考评，4】已知 m n ，是两条不同直线，α是平面，则下列命题是真命题的是_____A ．若m α∥，m n ∥，则n α∥B ．若m α⊥，n α⊥，则m n ∥ C.若m α∥，m n ⊥，则n α∥ D ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥【答案】B【解析】若m α∥，m n ∥，则有可能n α⊂；若m α∥，m n ⊥，则有可能n α⊂；若m α⊥，m n ⊥，则有可能n α⊂ B.3. 【2015高考北京，理4】设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的______条件．【答案】必要而不充分【解析】因为α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．若“m β∥”，则平面、αβ可能相交也可能平行，不能推出//αβ，反过来若//αβ，m α⊂，则有m β∥，则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件.4. 【河北衡水中学2017届高三上学期五调，9】《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著.其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堡就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少?若π取3，估算该圆堡的体积为（1丈=10尺）_____ 【答案】1998立方尺【解析】由底面半径为r ，则248r π=，又3π=，所以8r =，所以该圆堡的体积为883111998V =⨯⨯⨯=立方尺.5. 【河北唐山2017届高三上期期末，11】现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为_____【解析】当正方体的下底面在半球的大圆面上，上底面的四个顶点在球的表面上时，所得工件体积与原材料体积之比选项取得最大值，此时设正方体的棱长为a，则球的半径为R ==3=． 6. 【广东汕头2017届高三上学期期末，11】已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为32，2=AB ，1=AC ， 60=∠BAC ，则此球的表面积等于_____ 【答案】π207. 【2015高考福建，理7】若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“l m ⊥ ”是“//l α 的______条件．【答案】必要而不充分【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥ ”是“//l α 的必要不充分条件8. 【2015高考上海，理6】若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．【答案】3π【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π9. 【2015高考上海，理4】若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为则a = ．【答案】4【解析】23644a a a ==⇒= 10. 【山东枣庄2017届高三上学期期末，10】《九章九术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，若12A A AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的体积为_____【答案】211. 【湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考，11】圆锥的母线长为L ，过顶点的最大截面的面积为212L ，则圆锥底面半径与母线长的比rL的取值范围是_____ 【答案】12r L≤<【解析】由题意得轴截面的顶角θ不小于2π，因为sin sin 24r L θπ=≥=，所以12rL≤<. 12. 【淮安市淮海中学2015届高三冲刺四统测模拟测试】正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且22=EF ，则三棱锥B —AEF 的体积为是___▲____．【答案】11213. 【安徽“皖南八校”2017届高三第二次联考，12】如图，四棱锥P ABCD -中，PAB ∆为正三角形，四边形ABCD 为正方形且边长为2，PAB ABCD ⊥平面平面，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是_____【答案】283π273R ==,所以球的表面积是22843R ππ=. 14. 【中原名校豫南九校2017届上学期第四次质量考评，9】在直三棱柱111ABC A B C -中，M N ，分别为棱1111 A B AC ，的中点，则平面BMNC 将三棱柱分成的两部分的体积比为_____ 【答案】7:5【解析】设直三棱柱111ABC A B C -高为h ，底面积为4S ，则11111111111111115343222233B C BMNC C B MNC M B BC A B BC A B BC B ABC V V V h S V hS V hS V hS h S Sh------=+=⨯⨯+=+=+=+⨯⋅=所以两部分的体积比为55(4):7:533Sh Sh Sh -=.1D二、解答题（6*15=90分）15. 【河北唐山2017届高三上期期末，19】（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,24,,60,ABCD AD BC BC AD AB CD ABC N ===∠= 为线段PC 上一点，3,CN NP M =为AD 的中点．（1）证明：MN 平面PAB ；（2）求点N 到平面PAB 的距离．【答案】（1）见解析；（2）2．（2）连接AC ，在梯形ABCD 中，由BC ＝2AD ＝4，AB ＝CD ，∠ABC ＝60°，得AB ＝2，∴AC ＝23，AC ⊥AB ． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AC ．又∵PA ∩AB ＝A ，∴AC ⊥平面PAB ．又∵CN ＝3NP ，∴N 点到平面PAB 的距离d ＝ 1 4AC ＝32．…12分16. 【河北衡水中学2017届高三上学期五调，19】（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形， 60BAD ∠=°，2PA PD AD ===，点M 在线段PC上，且2PM MC =，N 为AD 的中点.（1）求证：AD ⊥平面PNB ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P NBM -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）23.（2）∵2PN PD AD ===，∴PN NB ==7分）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PN AD ⊥， ∴PN ⊥平面ABCD ，……（8分） ∴PN NB ⊥，∴1322PNB S ∆==.……（9分） ∵AD ⊥平面,//PNB AD BC ，∴BC ⊥平面PNB .（10分） ∵2PM MC =，∴22132233323P NRM M PNB C PNB V V V ---===⨯⨯⨯=.（12分） 17. 【四川凉山州2017届高三上学期一诊，19】如图，已知四边形ABCD 和BCGE 均为直角梯形，//AD BC ，//CE BG 且2BCD BCE π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCGE ，222BC CD CE AD BG =====．（1）求证：//AG 平面BDE ；（2）求三棱锥G BDE -的体积．【答案】(1)见解析；（2）23.（2）13G DBE D BEG BEG V V S h --∆==⨯⋅， ∵CD BC ⊥，面ABCD ⊥面BVEG ，而面ABCD 面BCEG BC =， ∴CD ⊥平面BCEG ， ∴2h CD ==， ∴112122323G BDE V -=⨯⨯⨯⨯=．18. 【湖南郴州市2017届高三第二次教学质量监测，20】（本小题满分12分）如图甲，在直角梯形ABCD 中，AD BC P ，π2BAD ∠=，1AB BC ==，2AD =，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到1A BE ∆的位置，如图乙．（Ⅰ）证明：CD ⊥平面1AOC ∆；（Ⅱ）若平面1A BE ⊥平面BCDE ，求点B 到平面1ACD 的距离．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12.（Ⅱ）解：由已知，CD BE ==1A BE ⊥平面BCDE ，1BE OA ⊥，1OA ∴⊥平面BCDE ，1OA OC ∴⊥，……………………………………………………………（7分）11AC ∴=，又由（Ⅰ）知，BE ⊥平面1AOC ，1AC ⊂平面1AOC ， 1BE AC ∴⊥．CD BE P ，1CD AC ∴⊥．………………………………………………………………………（9分）设B 到平面1ACD 的距离为d ，且11AC =，CD =12AO =，由11B A CD A BCD V V --=得：11113π1132324⨯⨯=⨯⨯，…………………………（11分）12d ∴=，故B 到平面1ACD 的距离为12．………………………………………………………（12分）19. 【河南豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛，19】（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 是AB 的中点. （1）证明：1//BC 平面1ACD ；（2）若AC CB =，求证：1A D CD ⊥.【答案】(1)(2)均见解析. 【解析】证明：（1）如图，连接1AC ，交1AC 于点O ，连结OD . 据直三棱柱性质知四边形11ACC A 为平行四边形，所以O 为1AC 的中点. 又因为D 是AB 的中点，所以1//BC OD .………………2分又因为1BC ⊄平面1ACD ，OD ⊂平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD .………………4分20. 【广东湛江市2017届高三上学期期中，18】（本小题满分12分）四棱锥A BCDE -的侧面ABC 是等边三角形，1EB ABC DC ABC BE ⊥⊥=平面，平面，，2BC CD ==，F 是棱AD 的中点.（Ⅰ）证明：//EF ABC 平面；（Ⅱ）求四棱锥A BCDE -的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；【解析】（Ⅰ）取AC 中点M ，连结FM BM 、， F 是AD 中点，∴//FM DC ，且112FM DC ==. ,EB ABC DC ABC ⊥⊥ 平面平面， ∴//EB DC ，∴//FM EB .又1EB = ，∴FM EB =.∴四边形FMBE 是平行四边形.∴//EF BM ，,BM ABC EF ABC ⊂⊄ 平面平面， ∴//EF ABC 平面.（Ⅱ）取BC 中点N ，连结AN ， ABC ∆ 是正三角形，∴,AN BC AN ⊥==EB ⊥ 平面ABC ，∴EB AN ⊥.,BC BCDE EB BCDE ⊂⊂ 平面平面，且BC EB B = ∴AN BCDE ⊥平面，由（Ⅰ）知底面BCDE 为直角梯形， ∴()132BCDE S BE DC BC =+= ，∴四棱锥A BCDE -的体积13BCDE V AN S ==。

高中数学阶段质量检测(一)立体几何初步苏教版必修2-苏教版高一必修2数学试题

阶段质量检测（一）立体几何初步(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )解析：选 A 由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2 2.2．直线l与平面α不平行，则( )A．l与α相交B．l⊂αC．l与α相交或l⊂αD．以上结论都不对解析：选C 直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交．因为直线l与平面α不平行，所以l与α相交或l⊂α.3．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α解析：选C 对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C.4．设BD1是正方体ABCDA1B1C1D1的一条对角线，则这个正方体中面对角线与BD1异面的有( )A ．0条B ．4条C ．6条D ．12条解析：选C 每个面中各有一条对角线与BD 1异面，它们是：AC ，A 1C 1，B 1C ，A 1D ，AB 1，DC 1. 5．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则( ) A ．A 1E ⊥DC 1 B ．A 1E ⊥BD C ．A 1E ⊥BC 1D ．A 1E ⊥AC解析：选C 法一：由正方体的性质，得A 1B 1⊥BC 1，B 1C ⊥BC 1，A 1B 1∩B 1C ＝B 1，所以BC 1⊥平面A 1B 1CD . 又A 1E ⊂平面A 1B 1CD ，所以A 1E ⊥BC 1.法二：∵A 1E 在平面ABCD 上的投影为AE ，而AE 不与AC ，BD 垂直，∴B 、D 错； ∵A 1E 在平面BCC 1B 1上的投影为B 1C ，且B 1C ⊥BC 1， ∴A 1E ⊥BC 1，故C 正确；(证明：由条件易知，BC 1⊥B 1C ，BC 1⊥CE ，又CE ∩B 1C ＝C ，∴BC 1⊥平面CEA 1B 1. 又A 1E ⊂平面CEA 1B 1，∴A 1E ⊥BC 1.) ∵A 1E 在平面DCC 1D 1上的投影为D 1E ，而D 1E 不与DC 1垂直，故A 错．6．已知在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，若AB ＝2，CD ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角的度数为( )A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°解析：选D 取BC 的中点G ，连结EG ，FG ，则EG ＝1，FG ＝2，EF ⊥EG ，则EF 与CD 所成的角等于∠EFG ，为30°.7．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )A ．3034B ．6034C ．3034＋135D ．135解析：选A 由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为⎝ ⎛⎭⎪⎫922＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1522＝3234，则这个直棱柱的侧面积为4×3234×5＝3034.8．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l解析：选D 由于m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m ，n ，又直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，则交线平行于l ，故选D.9．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3解析：选C 如图，连接AC 1，BC 1，AC .∵AB ⊥平面BB 1C 1C ， ∴∠AC 1B 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角，∴∠AC 1B ＝30°.又AB＝BC ＝2，在Rt △ABC 1中，AC 1＝2sin 30°＝4.在Rt △ACC 1中，CC 1＝AC 21－AC2＝42－(22＋22)＝22，∴V 长方体＝AB ×BC ×CC 1＝2×2×22＝8 2.10.如图所示，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O ，M 为PB 的中点，给出五个结论：①OM ∥PD ；②OM ∥平面PCD ；③OM ∥平面PDA ；④OM ∥平面PBA ；⑤OM ∥平面PBC .其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 显然OM ∥PD ，又PD ⊂平面PCD ，PD ⊂平面PDA .∴OM ∥平面PCD ，OM ∥平面PDA .∴①②③正确．11．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3 C.5π3D ．2π解析：选C 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V圆柱－V圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C.12．在正四棱锥P ABCD 中，PA ＝2，直线PA 与平面ABCD 所成角为60°，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：选C 连结AC ，BD 交于点O ，连结OE ，OP ，BE . 因为E 为PC 的中点，所以OE ∥PA ，所以∠OEB 即为异面直线PA 与BE 所成的角．因为四棱锥P ABCD 为正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，所以AO 为PA 在平面ABCD 内的射影，所以∠PAO 即为PA 与平面ABCD 所成的角，即∠PAO ＝60°.因为PA ＝2，所以OA ＝OB ＝1，OE ＝1.所以在Rt △EOB 中∠OEB ＝45°，即异面直线PA 与BE 所成的角为45°.故选C. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有一点E ，F ，且B 1E ＝C 1F ，则直线EF 与平面ABCD 的位置关系是________．解析：过点E 作EG ∥AB ，交BB 1于点G ，连结GF ，则B 1E B 1A ＝B 1G B 1B .∵B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ，∴C 1F C 1B ＝B 1GB 1B，∴FG ∥B 1C 1∥BC .又EG ∩FG ＝G ，AB ∩BC ＝B ，∴平面EFG ∥平面ABCD .又EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥平面ABCD .答案：平行14.(2018·某某高考)已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH 的体积为________．解析：连接AD 1，CD 1，B 1A ，B 1C ，AC ，因为E ，H 分别为AD 1，CD 1的中点，所以EH ∥AC ，EH ＝12AC ，因为F ，G 分别为B 1A ，B 1C 的中点，所以FG ∥AC ，FG ＝12AC ，所以EH ∥FG ，EH ＝FG ，所以四边形EHGF 为平行四边形，又EG ＝HF ，EH ＝HG ，所以四边形EHGF 为正方形，又点M 到平面EHGF 的距离为12，所以四棱锥M EFGH 的体积为13×222×12＝112.答案：11215．设正三角形ABC 的边长为a ，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ，则A 到平面PBC 的距离为________．解析：如图所示，取BC 中点E ，连结AE ，PE ，则AE ⊥BC ，又BC ⊥PA ， ∴BC ⊥平面PAE . ∴平面PAE ⊥平面PBC .在平面PAE 内过A 作AF ⊥PE ，垂足为F ，则AF ⊥平面PBC . 则AF ＝PA ·AE PE ＝217a . 答案：217a 16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．解析：如图所示，①取BD 中点E ，连结AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，又AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确；②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a . 由①知∠AEC 是直二面角A BD C 的平面角，且∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ， ∴△ACD 是等边三角形，故②正确；③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，故③不正确；④分别取BC ，AC 的中点为M ，N ，连结ME ，NE ，MN . 则MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝12a ，ME ∥CD ，且ME ＝12CD ＝12a ，∴∠EMN 是异面直线AB ，CD 所成的角．在Rt △AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ， ∴NE ＝12AC ＝12a .∴△MEN 是正三角形，∴∠EMN ＝60°，故④正确．答案：①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)如图所示，已知ABCD 是矩形，E 是以DC 为直径的半圆周上一点，且平面CDE ⊥平面ABCD .求证：CE ⊥平面ADE .证明：∵E 是以DC 为直径的半圆周上一点， ∴CE ⊥DE .又∵平面CDE ⊥平面ABCD ，且AD ⊥DC ， ∴AD ⊥平面CDE .又CE ⊂平面CDE ， ∴AD ⊥CE .又DE ∩AD ＝D ， ∴CE ⊥平面ADE .18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°. (1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．解：(1)证明：由∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD . 又AP ∩PD ＝P ，所以AB ⊥平面PAD .又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD . (2)如图所示，在平面PAD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .由(1)知，AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PE ，可得PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x . 故四棱锥P ABCD 的体积V P ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2. 可得四棱锥P ABCD 的侧面积为12PA ·PD ＋12PA ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3. 19．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C A 1DE 的体积．解：(1)证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)因为ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D .所以VC A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.20．(本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q ABP 的体积．解：(1)证明：由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC . 又因为BA ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面ACD . 因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2. 又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝2 2.如图，过点Q 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE 綊13DC .由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1.因此，三棱锥Q ABP 的体积为V Q ABP ＝13×S △ABP ×QE ＝13×12×3×22sin 45°×1＝1.21．(本小题满分12分) 如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC ＝22，PA ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A PB C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．解：(1)证明：因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC .又PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD ，因为AC ∩PA ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥PC .如图，设AC ∩BD ＝F ，连结EF .因为AC ＝22，PA ＝2，PE ＝2EC ，故PC ＝23，EC ＝233，FC ＝2，从而PC FC ＝6，AC EC＝ 6.所以PC FC ＝ACEC，又∠FCE ＝∠PCA ，所以△FCE ∽△PCA ， ∠FEC ＝∠PAC ＝90°. 由此知PC ⊥EF .又BD ∩EF ＝F ，所以PC ⊥平面BED .(2)在平面PAB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．因为二面角A PB C 为90°，所以平面PAB ⊥平面PBC . 又平面PAB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC . 又PA ⊥BC ，PA ∩AG ＝A ，故BC ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面ABC ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，又AC ＝22，故AD ＝2，PD ＝PA 2＋AD 2＝2 2.设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A ，D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝ 2.设PD 与平面PBC 所成的角为α，则sin α＝d PD ＝12. 所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.22．(本小题满分12分)如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，CD ＝1，AD ＝22，∠BAD ＝∠CDA ＝45°.(1)求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值；(2)证明：CD ⊥平面ABF ；(3)求二面角B EF A 的正切值．解：(1)因为四边形ADEF 是正方形，所以FA ∥ED .故∠CED 为异面直线CE 与AF 所成的角．因为FA ⊥平面ABCD ，所以FA ⊥CD .故ED ⊥CD .在Rt △CDE 中，CD ＝1，ED ＝22，CE ＝CD 2＋ED 2＝3，故cos ∠CED ＝ED CE ＝223. 所以异面直线CE 与AF 所成角的余弦值为223. (2)证明：过点B 作BG ∥CD ，交AD 于点G ，则∠BGA ＝∠CDA ＝45°.由∠BAD ＝45°，可得BG ⊥AB .从而CD ⊥AB .又CD ⊥FA ，FA ∩AB ＝A ，所以CD ⊥平面ABF .(3)由(2)及已知，可得AG ＝2，即G 为AD 的中点．取EF 的中点N ，连结GN ，则GN ⊥EF .因为BC ∥AD ，所以BC ∥EF .过点N 作NM ⊥EF ，交BC 于M ，则∠GNM 为二面角B EF A 的平面角．连结GM ，可得AD ⊥平面GNM ，故AD ⊥GM .从而BC ⊥GM .由已知，可得GM ＝22.由NG ∥FA ，FA ⊥GM ，得NG ⊥GM . 在Rt △NGM 中，tan ∠GNM ＝GMNG ＝14.所以二面角B EF A 的正切值为14.。

高中数学第1章立体几何初步章末过关检测卷苏教版必修2

【金版学案】2016-2017学年高中数学第1章立体几何初步章末过关检测卷苏教版必修2(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行B．相交C．垂直D．异面解析：无论l在α内，还是与α平行或相交，都可在α内找到一条直线与l垂直．答案：C2．对两条异面直线a与b，必存在平面α，使得( )A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αD．a⊂α，b⊥αC．a⊥α，b⊥α解析：已知两条异面直线a和b，可以在直线a上任取一点A，则A∉b.过点A作直线c∥b，则过a，c确定平面α，且使得a⊂α，b∥α.答案：B 3．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则( )B．n∥β或n⊂βA．n⊥βC．n⊥αD．n∥α或n⊂α解析：在平面β内作直线l垂直于α，β的交线，则由α⊥β得直线l⊥α.又因为m⊥α，所以l∥m.若m⊂β，要满足题中限制条件，显然只能n∥α或n⊂α；同理m⊄β，仍有n∥α或n⊂α.综上所述，D正确．答案：D 4．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是( )A．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nB．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nC．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nD．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n解析：对于A，m与n还可能平行或相交或异面；对于C，m与n还可能相交或异面；对于D，m与n还可能相交或异面．答案：B 5．(2015·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )38 cm ．A312 cm ．B 3cm 323C.3cm 403D. 解析：该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的体，的正四棱锥cm 2 高为，cm 2 面是底面边长为；上)3cm (8＝22×2×＝1V 体积，正方体．)3cm (323＝2V ＋1V ＝V 所以该几何体的体积，)3cm (83＝2×2×2×13＝2V 积答案：C6．(2015·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()5＋2．A5＋4．B52＋2．C5．D 解析：该三棱锥的直观图如图所示，且过点D 作DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AE ，则BC ＝2，EC ＝1，AD ＝1，ED ＝2，＋2＝5×2×12＋1×5×12＋1×5×12＋2×2×12＝ABC △S ＋ABD △S ＋ACD △S ＋BCD △S ＝表S.52答案：C7．(2015·课标全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8＋16＝2r 5π＋2r 4＝2r π4·12＋2r π12＋2r π12＋r 2·r π2·12＋r 2·r 2，由题意知解析：20π，解得r ＝2.答案：B8．(2015·广东卷)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值()A ．大于5B ．等于5C ．至多等于4D ．至多等于3 解析：当n ＝3时显然成立，故排除A 、B ；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n ＝4时成立．答案：C9．如左下图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为()3cm 500π3A. 3cm 866π3B. 3cm 1 372π3C.3cm 2 048π3D.解析：作出该球轴截面的图象，如图所示，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，所以，5＝AD 故该球的半径，3＝x 解得，2DE ＋2AE ＝2AD 因为，x ＋2＝AD 故，x ＝DE 设．)3cm (500π3＝3R π43＝V 答案：A10.如图所示，等边三角形ABC 的边长为4，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，沿MN 将△AMN 折起，使得平面AMN 与平面MNCB 所成的二面角为30°，则四棱锥A -MNCB 的体积为()3．D 3C. 32B. 32A. 解析：如图所示，作出二面角A -MNB 的平面角∠AED ，AO 为△AED 底边ED 上的高，也是四棱锥A -MNCB 的高．.32＝AO 得，由题意.32＝33×32×13＝V 答案：A11．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是( )A ．1∶2B ．2∶3C ．1∶3D ．1∶4 答案：B12．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，在l 上取线段AB ＝4，AC 、BD 分别在平面α和平面β内，且AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝3，BD ＝12，则CD 的长度为()15．D 312．C 151B.13 ．A 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)为半径OA ，为球心O 则以，3底面边长为，322的体积为ABCD -O 已知正四棱锥．13的球的表面积为________．面正方形的对角底.322＝h 解得高，322＝h 2)3(×13则，h 设正四棱锥的高为解析：＝2)6(π4所以球的表面积为，6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝OA 所以，6＝3×2线长为24π.答案：24π14．(2014·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．解析：根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P -ABC ，由三视图的形状特征及数据，可推知PA ⊥平面ABC ，且PA ＝2.底面为等腰三角形，AB ＝BC ，设D 为AC 中点，AC PA2＋AC2＝PC ，PC 所以最长的棱为，2＝BC ＝AB 易得，1＝BD 且，1＝DC ＝AD 则，2＝.22＝22答案： 15．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．13的圆柱的总体积为8、高为2的圆锥和底面半径为4、高为5底面半径为解析：2r ·π＋4·2r ·π13则，r 设新的圆锥和圆柱的底面半径为.196π3＝8×22·π＋4×25·π.7＝r 解得，196π3＝2r 28π3＝8× 7答案：若它们的侧面积相，2V ，1V 体积分别为，2S ，1S 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为．16．________的值是V1V2则，94＝S1S2且，等，2h ，1h 和2r ，1r 别为设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分解析：，r2r1＝h1h2所以，2h 2r 2π＝1h 1r 2π则，94＝πr 21πr 2＝S1S2又 .32＝r1r2所以.32＝r2r1·r21r 2＝h1h2·r21r 2＝πr 21h 1πr 2h 2＝V1V2所以 32答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分10分)(2014·课标全国Ⅱ卷)如图所示，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；的距离．PBC 到平面A 求，34＝V 的体积ABD -P 三棱锥，3＝AD ，1＝AP 设(2) (1)证明：如图所示，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO .因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC ..H 于点PB 交PB ⊥AH 作.32＝AB 可得，34＝V 又，AB 36＝AD ·AB ·PA 16＝V 由解：(2)由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH .故AH ⊥平面PBC .，132＝PB 由勾股定理可得，中PAB △Rt 在 .31313＝PA·AB PB ＝AH 所以 .31313的距离为PBC 到平面A 所以 18．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠.6＝PA ，2＝PD ＝PB 已知.°60＝BCD(1)证明：PC ⊥BD ；(2)若E 为PA 的中点，求三棱锥P -BCE 的体积．(1)证明：如图所示，连接BD ，AC 交于点O .因为PB ＝PD ，所以PO ⊥BD . 又因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC .而AC ∩PO ＝O ，所以BD ⊥面PAC .所以BD ⊥PC . (2)解：由(1)知BD ⊥面PAC ..3＝PO ，32＝AC ，2＝BD 由已知得 .32＝3×32×12×12＝PAC △S 12＝PEC△S所以 .12＝1×32×13＝BO ·PEC△S·13＝PEC -B V ＝BCE -P V 所以19．(本小题满分12分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的底面半径为r ，；1＝r ，r 2π＝3×2π3；3＝l ，3π＝2l π120360则，4π＝2r π＋rl π＝底面S ＋侧面S ＝表面积S .π223＝22×21·π×13＝Sh 13＝V 20．(本小题满分12分)一个几何体按比例绘制出的三视图如图所示(单位：m)．(1)试画出其直观图；(2)求它的体积．解：(1)几何体的直观图如图所示．＋(1×12＝V 其体积为，该几何体可看成底面立起来的四棱柱，由直观图知(2)．)3m (32＝2)×1×1 21.(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面上移动．BC 在边E 点，的中点PB 是F 点，3＝AD ，1＝AB ＝PA ，ABCD(1)求三棱锥E -PAD 的体积；(2)点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由；(3)求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .(1)解：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥AD ，.36＝1×3×1×12×13＝AB ·PAD △S 13＝V 的体积为PAD -E 所以三棱锥 (2)解：当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行．因为在△PBC 中，E ，F 分别为BC ，PB 的中点，所以EF ∥PC .又EF ⊄平面PAC ，而PC ⊂平面PAC ，所以EF ∥平面PAC .(3)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以EB ⊥PA .因为EB ⊥AB ，AB ∩AP ＝A ，AB ，AP ⊂平面PAB ，所以EB ⊥平面PAB .又因为AF ⊂平面PAB ，所以AF ⊥BE .因为PA ＝AB ＝1，点F 是PB 的中点，所以AF ⊥PB .因为PB ∩BE ＝B ，PB ，BE ⊂平面PBE ，因为PE⊂平面PBE，所以AF⊥PE. 22．(本小题满分12分)(2014·广东卷)如图①所示，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，按图②方式折叠，折痕EF//DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M-CDE的体积．(1)证明：如图所示，因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD.又因为ABCD是矩形，CD⊥AD，PD与CD交于点D，所以AD⊥平面PCD.所以AD ⊥CF ，即MD ⊥CF .又MF ⊥CF ，MD ∩MF ＝M ，所以CF ⊥平面DMF .(2)解：因为PD ⊥DC ，BC ＝2，CD ＝1，∠PCD ＝60°，，CF ⊥FD 知(1)由，3＝PD 所以 .12＝CD 12＝CF ，中DCF 直角三角形在过点F 作FG ⊥CD ，，34＝32×12＝°sin 60FG ＝FG 得 .334＝34－3＝PE ＝ME 故，34＝FG ＝E D 所以 .62＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3342－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝ME2－DE2＝MD 所以 .38＝1×34×12＝DC ·DE 12＝CDE △S.216＝38×62×13＝CDE △S·MD 13＝CDE - M V 故。

苏教版高中数学必修二立体几何初步测试

立体几何初步测试班级姓名学号成绩一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个A 、棱台B 、棱锥C 、棱柱D 、都不对2、已知正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是 A 、16B 、16或64C 、64D 、都不对3、下面表述正确的是A 、空间任意三点确定一个平面B 、分别在不同的三条直线上的三点确定一个平面C 、直线上的两点和直线外的一点确定一个平面D 、不共线的四点确定一个平面 4、两条异面直线是指A 、在空间内不相交的两条直线B 、分别位于两个不同平面内的两条直线C 、某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D 、不同在任一平面内的两条直线 5、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是主视图左视图俯视图A 、垂直B 、平行C 、相交不垂直D 、不确定 6、下列命题中正确命题的个数是①一条直线和另一条直线平行，那么它和经过另一条直线的任何平面平行；②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行；③若直线与平面不平行，则直线与平面内任一直线都不平行；④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行。

A 、0B 、1C 、2D 、37、一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是 A 、异面B 、相交C 、平行D 、不确定8、直线a 与b 垂直，b 又垂直于平面α，则a 与α的位置关系是 A 、a α⊥B 、//a αC 、a α⊆D 、a α⊆或//a α9、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为 A 、7B 、6C 、5D 、310、长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是A 、25πB 、50πC 、125πD 、都不对11、如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是A 、平行B 、相交C 、平行或相交D 、无法确定12、若,m n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为 ①//m n n m αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭；②//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③//m m n n αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭；④//m n m n αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上） 13、三条两两相交的直线可确定个平面。

苏教版高中数学必修二回扣验收特训(一) 立体几何初步

回扣验收特训（一）立体几何初步1．下列命题中假命题是()A．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直B．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行C．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直D．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行解析：选A垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，A错误；选A.2．已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β.其中真命题是()A．①③B．①②C．③④D．①④解析：选D对于①垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；对于②不满足平面与平面平行的判断定理，错误；对于③平面α，β可能相交，错误；对于④满足平面α与平面β平行，正确．3．(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE 与CD所成角的正切值为()A.22 B.32C.52 D.72解析：选C如图，连接BE，因为AB∥CD，所以AE与CD所成的角为∠EAB.在Rt△ABE中，设AB＝2，则BE＝5，则tan ∠EAB＝BEAB＝52，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为52.4．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4 B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定解析：选D由l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4可知l1与l4可能垂直，可能平行，也可能既不垂直又不平行．故选D.5．正三棱锥的底面边长为a ，高为66a ，则此棱锥的侧面积等于( ) A.34a 2 B.32a 2 C.334a 2 D.332a 2 解析：选A 侧棱长为⎝⎛⎭⎫66a 2＋⎝⎛⎭⎫33a 2＝22a ，斜高为 ⎝⎛⎭⎫22a 2－⎝⎛⎭⎫a 22＝a 2， ∴S 侧＝12×3×a ×a 2＝34a 2. 6.如图，三棱锥V -ABC 中，VO ⊥平面ABC ，O ∈CD ，VA ＝VB ，AD＝BD ，则下列结论中不一定成立的是( )A ．AC ＝BCB ．VC ⊥VDC ．AB ⊥VCD ．S △VCD ·AB ＝S △ABC ·VO解析：选B 因为VA ＝VB ，AD ＝BD ，所以VD ⊥AB .因为VO ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以VO ⊥AB .又VO ∩VD ＝V ，所以AB ⊥平面VCD .又CD ⊂平面VCD ，VC ⊂平面VCD ，所以AB ⊥VC ，AB ⊥CD .又AD ＝BD ，所以AC ＝BC (线段垂直平分线的性质)．因为VO ⊥平面ABC ，所以V V -ABC ＝13S △ABC ·VO . 因为AB ⊥平面VCD ，所以V V -ABC ＝V B -VCD ＋V A -VCD ＝13S △VCD ·BD ＋13S △VCD ·AD ＝13S △VCD ·(BD ＋AD )＝13S △VCD·AB ，所以13S △ABC ·VO ＝13S △VCD ·AB ，即S △VCD ·AB ＝S △ABC ·VO .综上知，A 、C 、D 正确．7．下面四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出平面ABC ∥平面MNP 的图形序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．解析：由面面平行的判定定理可得．★★答案★★：①②8．已知四面体A -BCD 的棱都相等，G 为△ABC 的重心，则异面直线AG 与CD 所成角的余弦值为________．解析：设四面体A -BCD 的棱长为a ，延长AG 交BC 于E ，取BD 的中点F ，连结EF ，AF .由题意知E 为BC 的中点，所以CD ∥EF ，所以∠AEF 即异面直线AG 与CD 所成的角．由题意知AE ＝AF ＝32a ，EF ＝12a ，则在△AEF 中，cos ∠AEF ＝12EF AE ＝36. ★★答案★★：36 9.如图，三棱锥V -ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为________．解析：由题意知，该三棱锥的正视图为△VAC ，作VO ⊥AC 于O ，连结OB ，设底面边长为2a ，高VO ＝h ，则△VAC 的面积为12×2a ×h ＝ah ＝23.又三棱锥的侧视图为Rt △VOB ，在正三角形ABC 中，高OB ＝3a ，所以侧视图的面积为12OB ·OV ＝12×3a ×h ＝32×23＝33. ★★答案★★：3310．(2018·北京高考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ；(3)求证：EF ∥平面PCD .证明：(1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形，所以BC ∥AD ，所以PE ⊥BC .(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD .又因为PA ⊥PD ，AB ∩PA ＝A ，所以PD ⊥平面PAB .因为PD ⊂平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 的中点G ，连结FG ，DG .因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以FG ∥BC ，FG ＝12BC . 因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG . 所以四边形DEFG 为平行四边形．所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .11.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2.(1)求证：AC ⊥B 1D ；(2)求三棱锥C -BDB 1的体积．解： (1)证明：如图，∵ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，∴BB 1⊥平面ABCD .∵AC ⊂平面ABCD ，∴BB 1⊥AC .又∵底面ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD .∵BB 1∩BD ＝B ，∴AC ⊥平面BB 1D .∵B 1D ⊂平面BDB 1，∴AC ⊥B 1D .(2)V C -BDB 1＝V B 1-BDC .∵B 1B ⊥平面ABCD ，∴B1B是三棱锥B1-BDC的高．∵V B1-BDC＝13S△BDC·BB1＝13×12×2×2×2＝43.∴三棱锥C-BDB1的体积为4 3.12.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，PA＝1，PA⊥平面ABCD，点E是PC的中点，F是AB的中点．(1)求证：BE∥平面PDF；(2)求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．解：(1)证明：取PD中点为M，连结ME，MF.∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线，∴ME綊12CD.∵F是AB中点且ABCD是菱形，AB綊CD，∴ME綊12AB.∴ME綊FB.∴四边形MEBF是平行四边形．从而BE∥MF，∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，∴BE∥平面PDF.(2)由(1)得BE∥MF，∴直线BE与平面PAD所成角就是直线MF与平面PAD所成角．取AD的中点G，连结BD，BG.∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊥AD，∴BG⊥平面PAD，过F作FH∥BG，交AD于H，则FH⊥平面PAD，连结MH，则∠FMH就是MF与平面PAD所成的角．又F是AB的中点，∴H是AG的中点．连结MG，又M是PD的中点，∴MG綊12PA.在Rt △MGH 中，MG ＝12PA ＝12，GH ＝14AD ＝12， ∴MH ＝22. 在正三角形ABD 中，BG ＝3，∴FH ＝12BG ＝32. 在Rt △MHF 中，MF ＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫322＝52 ∴sin ∠FMH ＝FH FM ＝3252＝155， ∴直线BE 与平面PAD 所成角的正弦值为155.。

苏教版第13章立体几何初步综合提升测试卷

苏教版第13章立体几何初步综合提升测试卷一、单选题1．下列叙述中，错误的一项为（）A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B．棱柱的各个侧面都是平行四边形C．棱柱的两底面是全等的多边形D．棱柱的面中，至少有两个面相互平行2．长方体的12条棱所能确定的平面个数为（）A．8 B．10C．12 D．143．在三棱锥P ABC-中，ABC的内心O到三边的距离均为1，PO⊥平面ABC，且PBC的BC边上的高为2，则该三棱锥的内切球的体积为（）A．323πB．83πC．43πD．43π4．已知空间直线l和平面α，则“直线l在平面α外”是“直线l∥平面α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件5．如图，G，H，M，N分别是直三棱柱的顶点或所在棱的中点，则在下列图形中//GH MN的是（）A．B．C ．D ．6．祖暅(公元5-6世纪，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家).他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β的平面于距平面β任意高d 处截得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =圆环总成立据此，短轴长为2cm ，长轴为4cm 的椭球体的体积是（）3cm .A ．2π3B ．4π3C ．8π3D ．16π37．四面体ABCD 中，90,4,2ABC BCD AD BC ∠=∠=︒==，且AB 与CD 所成角为60︒，则该四面体的外接球表面积为（） A ．10πB ．16πC ．18πD ．20π8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD ==，11AA =，若面对角线1A B 上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（）A ．1B ．3 C．1+D二、多选题9．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是（） A ．平行 B ．相交C ．异面D ．以上皆不可能10．已知a 、b 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A ．若a α⊥，a β⊥，则//αβB ．若a α⊥，b α⊥，则//a bC ．若a b ⊥，b α⊥，//a β，则//αβD ．若//αβ，a 与α所成的角和b 与β所成的角相等，则//a b11．已知正三棱柱111ABC A B C -中，12,1AB AA ==，M 为AB 的中点，点P 在线段1BC 上，则下列结论正确的是（）A ．直线1//BC 平面1A MCB ．A 和P 到平面1A MC 的距离相等 C ．存在点P ，使得AP ⊥平面1A MCD ．存在点P ，使得1AP A C ⊥12．已知三棱锥P ABC -的顶点均在半径为5的球面上，ABC 为等边三角形且外接圆半径为4，平面PAB ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -的体积可能为（） A ．20 B ．40C ．60D ．80三、填空题13．已知l ，m 为直线，α为平面，l //α，m ⊂α，则l 与m 之间的关系是___________. 14．如图，点M 为矩形ABCD 的边BC 的中点，1AB =，2BC =，将矩形ABCD 绕直线AD 旋转所得到的几何体体积记为1V ，将MCD △绕直线CD 旋转所得到的几何体体积记为2V ，则12V V 的值为________15．如图，1111A B C D 是以ABCD 为底面的长方体的一个斜截面，其中4AB =，3BC =，115AA DD ==，118BB CC ==，则该几何体的体积为___________.16．如图圆锥内的球O 与圆锥的侧面与底面都相切，且球的半径为1，则圆锥侧面积的最小值为________．四、解答题17．如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：（1）该几何体的体积；（2）该几何体的表面积.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11A C 的中点，求证：（1）B ，C ，H ，G 四点共面；（2）平面1EFA //平面BCHG .19．在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，1111AA A B ==，120BAD ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD ．（1）E 是棱AD 的中点，求证：1//B E 平面11CDD C ；（2）求四棱锥11C ABB A -的体积．20．已知平面四边形ABCD 中，AB AC ⊥，2AB AC AD CD ====，现将ABC 沿AC 折起，使得点B 移至点P 的位置(如图)，且PC PD =.（1）求证：CD PA ⊥；（2）若M 为PD 的中点，求点D 到平面ACM 的距离.21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11BB AB AB BC ===，D 为AC 的中点，1AB B D ⊥，（1）求证：平面11ABB A ⊥平面ABC ；（2）求直线1DB 与平面11ABB A 所成的角.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，2APB π∠=，3ABC π∠=，23PB =，24PA AD PC ===，点M 是AB 的中点，点N 是线段BC 上的动点.（1）求证：平面PCM ⊥平面PAB ；（2）若点N 到平面PCM 33BN NC 的值.参考答案1．A 【分析】对于A ，通过举反例判断；对于B ，C ，D 由棱柱的定义进行判断【详解】在A 中，棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面，例如正六棱柱的相对侧面互相平行，故A 错误；在B 中，由棱柱的定义知棱柱的各个侧面都是平行四边形，故B 正确；在C 中，由棱柱的定义知棱柱的两底面是互相平行且全等的多边形，故C 正确；在D 中，棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，相邻的公共边互相平行，有这些面围成的几何体是棱柱，由此得到D 正确．故选：A ． 2．C 【分析】由长方体的结构和面的定义可得选项．【详解】在长方体中，由12条棱可构成长方体的6个面和6个对角面，共12个面．故选：C ． 3．C 【分析】由三角形内心、侧面的高有BC ⊥面EPO ，即OE BC ⊥，根据已知有1OE =，2PE =，再根据sin OE FDEPO PE PF∠==即可求内切球的半径，进而求体积. 【详解】如下图，O 为ABC 的内心，若PE BC ⊥，则BC ⊥面EPO ，OE ⊂面EPO ，即有OE BC ⊥，∴1OE =，2PE =，若F 为内切球的球心，且FD PE ⊥，即内切球的半径为r FO FD ==， ∴sin OE FDEPO PE PF∠==，而PF PO FO =-，223PO PE OE -= 123r =-，得33r =，故该三棱锥的内切球的体积3443327V r π==. 故选：C. 4．B 【分析】结合线面位置关系，根据充分必要条件定义判断．【详解】直线l 在平面α外，包括直线l 与平面α平行和相交，不充分，但直线l ∥平面α，一定有直线l 在平面α外，必要的，因此是必要不充分条件．故选：B ． 5．D 【分析】根据异面直线的定义、平行线的性质、平行四边形的性质进行判断即可. 【详解】解：对于A ，若//GH MN ，可得G ，H ，M ，N 四点共面，则直线MG ，HN 共面，这与MG ，NH 异面矛盾，所以A 中的两直线不平行；由异面直线的定义可得B ，C 中的两直线GH ，MN 为异面直线；由N ，H 为中点，可得//NH MG ，且NH MG =，则四边形MGHN 为平行四边形， D 中的两直线为平行直线. 故选：D. 6．C【分析】根据题中的S S =环圆总成立，可得半椭球体的体积，再利用柱体的体积公式和锥体的体积公式求解即可. 【详解】根据题意，因为S S =环圆总成立，所以半椭球体的体积为22212πππ33V V b a b a b a -=-=柱锥，由题意可知，1b =，2a =，所以半椭球体的体积为224ππ1233⋅⨯=，从而椭球体的体积是38π3cm . 故选：C. 7．D 【分析】把四面体放入符合条件的长方体中，四面体外接球即长方体外接球，从而求得半径，求出表面积. 【详解】如图所示，把四面体放入符合条件的长方体中，在Rt AED △中，2ED BC ==，4=AD ，则224223AE =-=又AB 与CD 夹角为60，则60ABE ∠=，在Rt ABE △中，2tan 60AEBE ==，则四面体ABCD 的外接球即为长方体的外接球，则外接球半径为()222112322522AC =++=故外接球表面积为()24520ππ=故答案为：D. 【点睛】方法点睛：将四面体外接球转化为长方体外接球，从而求得半径. 8．D 【分析】将对角面11A BCD 绕1A B 旋转至与平面11ABB A 在同一平面内，可确定当1,,A P D 三点共线时，所求距离之和最短，利用解三角形的知识可求得最小值. 【详解】将长方体对角面11A BCD 绕1A B 旋转至与平面11ABB A 在同一平面内，如下图所示：则当1,,A P D 三点共线时，1AP D P +取得最小值1AD ，又1AA AB ⊥，11AA =，3AB =13AA B π∴∠=，115326AA D πππ∴∠=+=，在11A AD 中，由余弦定理得：222111111152cos 76AD AA A D AA A D π=+-⋅=， 17A D ∴=1AP D P +7.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的距离之和的最值的求解，解题关键是能够通过翻转平面，将问题转化为平面中的两点间的最短距离的求解问题. 9．ABC 【分析】利用空间中两直线的位置关系求解. 【详解】解：当两直线分别平行于交线时，这两条直线平行，A 正确；两条直线可以交于交线上一点，故可以相交，B 正确；一条直线和交线平行，另一条直线在另一个平面内过交线上一点和交线外一点时，两直线异面，C 正确；故选：ABC. 10．AB 【分析】利用线面垂直的性质可判断A 选项、B 选项的正误；举出符合命题题设的事例，可判断C 选项、D 选项的正误. 【详解】对于A ，若a α⊥，a β⊥，由线面垂直的性质及面面平行的定义可得//αβ，故A 正确；对于B ，若a α⊥，b α⊥，由线面垂直的性质定理可得//a b ，故B 正确；对于C ，在如下的正方体中，a ，b 是两条棱所在直线，,αβ是正方体两个表面所在的平面，显然有a b ⊥，b α⊥，//a β，而α与β相交，故C 错误；对于D ，圆锥SO 的底面所在平面为α，与该圆锥底面平行的截面所在平面为β，//αβ，圆锥SO 的两条母线所在为a ，b ，显然a 与α所成的角和b 与β所成的角相等，而a 与b 相交，故D 错误. 故选：AB 11．AB 【分析】由线面平行判定定理可证1//BC 面1A MC ，由题设知1,,A B C 到面1A MC 的距离相等，即有A 和P 到平面1A MC 的距离相等，由面1A MC 与面1ABC 不垂直可判断是否存在AP ⊥平面1A MC ，过P 作//PE BC ，则AE 为AP 在面11ACC A 上的射影，即可判断1AP A C ⊥是否成立. 【详解】A ：连接1AC 交1A C 于D ，连接MD 则D 为1AC 中点，由M 为AB 的中点，所以1//MD BC ，而MD ⊂面1A MC ，1BC ⊄面1A MC ，则1//BC 面1A MC ，正确；B ：由A 知，1,,A BC 到面1A MC 的距离相等，P 在线段1BC 上，所以A 和P 到平面1A MC 的距离相等，正确；C ：由题设，易知面1A MC 与面1ABC 不垂直，AP ⊂面1ABC ，所以不可能有AP ⊥平面1A MC ，错误；D ：由题设知：如下图，过P 作//PE BC ，则AE 为AP 在面11ACC A 上的射影，而由下图知AE 不可能与1A C 垂直，所以1AP A C ⊥不可能成立.故选：AB. 12．AB 【分析】画出三棱锥P ABC -，O 、E 分别为ABC 外接圆的心、P ABC -外接球的球心，D 为BC 的中点，由外接圆、外接球的性质，结合已知确定相关线段的长度，进而求ABC 的面积，令P 到面ABC 的距离为d ，即有13P ABC ABC V d S -=⋅，由面面垂直可知PA PB =时d 最大，即可求P ABC V -的范围.【详解】如下图为三棱锥P ABC -，若O 、E 分别为ABC 外接圆的心、P ABC -外接球的球心，D 为BC 的中点，∴5R EC EP EA EB =====，4r OC ==，而EO ⊥面ABC 且ABC 为等边三角形， ∴43AB BC AC ===，6AD =，3EO =，又平面PAB ⊥平面ABC ，令P 到面ABC 的距离为d ，则1433P ABC ABCV d S d -=⋅=，而当PA PB =时，有22max 352321d =-=，即0321d <≤，∴(0,123127]P ABC V -∈，故选：AB. 【点睛】关键点点睛：利用外接圆、外接球的性质求三棱锥相关线段的长度，由三棱锥体积求法，结合面面垂直及与外接球的几何关系确定P 到面ABC 的距离最大时P 的位置，进而求体积的范围.13．平行或异面【分析】在正方体里举例说明线线关系即可. 【详解】在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1//平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， A 1B 1与AB 平行，A 1B 1与BC 异面，∴l ，m 为直线，α为平面，l //α，m ⊂α，则l 与m 之间的关系是平行或异面. 故答案为：平行或异面. 14．6 【分析】分析几何体的结构，计算出1V 、2V ，由此可得出结果. 【详解】将矩形ABCD 绕直线AD 旋转所得到的几何体是以1为底面圆的半径，母线长为2的圆柱，所以，21122V ππ=⨯⨯=，将MCD △绕直线CD 旋转所得到的几何体是以1为底面圆的半径，高为1的圆锥，所以，2211133V ππ=⨯⨯⨯=. 因此，126V V =. 故答案为：6. 15．78 【分析】易知该几何体是直棱柱，底面为梯形11AA B B ，高为AD ，利用柱体的体积公式可求得结果. 【详解】因为平面11//AA B B 平面11DD C C ，平面1111A B C D 平面1111AA B B A B =，平面1111A B C D平面1111DD C C C D =，1111//A B C D ∴，同理可知，1111//B A C D ，所以，四边形1111D C B A 为平行四边形，则1111A B C D =，1111A D B C =，11AA DD =，11BB DD =，AB CD =且11//AA DD ，11//BB DD ，//AB CD ，易知，梯形11AA B B 与梯形11DD C C 全等，且1111AD A D B C BC ===，1111//////AD A D B C BC ，所以，几何体1111AA B B DD C C -为棱柱，在原长方体中，AD ⊥平面11AA B B ，所以，四棱柱1111AA B B DD C C -的高为AD ，()()11115842622AA B B AA BB AB S +⋅+⨯===梯形，因此，11111126378AA B B DD C C AA B B V S AD -=⋅=⨯=梯形. 故答案为：78. 【点睛】方法点睛：解本题的关键在于分析几何体的形状，再结合几何体的体积公式求解，常见的求几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．16．(3π+ 【分析】设圆锥的底面圆半径为x ，SO y =，根据题意得到211y x y +=-，而圆锥的侧面积S x SA ππ=⋅⋅=转化为，最后利用换元法求解最小值即可. 【详解】设圆锥的底面圆半径为x ，SO y =，设球与侧面相切于点C ，在Rt SCO ∆中，SC =．因为1~SCO SO A ∆∆，则11CO SCO A SO =，即1x =211y x y +=-．在1Rt SAO ∆中，SA ==故圆锥的侧面积S x SA ππ=⋅⋅=π=== 令1y t -=，0t >，则12y t +=+，故23(3S t t ππ⎛⎫===++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当2t t=，即t =，1y =时，取等号，所以圆锥侧面积S的最小值为(3π+．【一题多解】解法一：设1ASO θ∠=，在Rt SCO ∆中，1sin SO θ=，1tan SC θ=．因为1~SCO SO A ∆∆，则11CO SC O A SO =，即111tan 11sin O A θθ=+，所以1sin 1cos O A θθ+=，sin 1sin cos SA θθθ+=⋅，于是圆锥的侧面积212sin 1sin 1(sin 1)sin 1cos sin cos sin cos sin (1sin )S O A SA θθθθππππθθθθθθθ++++=⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅⋅⋅⋅-，令sin 1t θ+=，则sin 1(12)t t θ=-<<，则(322)2(1)(2)3223tS t t t tπππ=⋅=≥=+--⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，当且仅当2t t=，即2t =时取等号，所以圆锥侧面积S 的最小值为(322)π+．解法二：设SO h =，11AO BO r ==．1~SOC SAO ∆∆，且11OC OO ==，1AO OC SO SA∴=即221(1)h r h =++， 22(1)hr r h ∴=++，211h r h +=-， ∴圆锥的侧面积22212(1)13(223)11h S r r h r hr r h h h h h ππππππ+⎛⎫=++=⋅==⋅=-++≥+ ⎪--⎝⎭ 当且仅当21h =+时等号成立，故圆锥侧面积S 的最小值为(322)π+．故答案为：(322)π+. 【点睛】本题考查圆锥的内切球、圆锥中相关量的计算，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查数学运算直观想象核心素养． 17．（1）256；（2）240. 【分析】（1）按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可；（2）先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，继而求长方体的表面积，求和即可.【详解】连接11A C ，11B D 交于点O ，取11B C 的中点E ，连接PO ，OE ，PE（1）883192V =⨯⨯=长方体11111883643P A B C D V -=⨯⨯⨯=∴19264256V =+=总（2）∵3PO =，4OE = ∴225PE PO OE =+=1485802S =⨯⨯⨯=四棱椎侧48388160S =⨯⨯+⨯=长方体80160240S =+=总【点睛】易错点睛：求棱锥的表面积时要注意高为面的高，而不是棱锥的高. 18．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据中位线定理证得11//GH B C ，再由棱柱的性质证得//GH BC ，根据平面公理可得证；（2）根据面面平行的判定定理的推论可得证. 【详解】证明：（1）G ､H 分别为11A B ，11A C 中点，11//GH B C ∴，三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，//GH BC ∴B ∴､C ､H ､G 四点共面；（2）E ､F 分别为AB ､AC 中点，//EF BC ∴，11//////EF BC B C GH ∴，又EF 不在平面BCHG 中，BC ⊂平面 BCHG ，所以//EF 平面BCHG 又E ､G 分别为三棱柱侧面平行四边形11AA B B 对边AB ､11A B 中点，∴四边形1A EBG 为平行四边形，1//A E BG ，又1A E 不在平面BCHG ，BG ⊂平面BCHG ∴平面1EFA 中有两条直线1A E ､EF 分别与平面BCHG 平行 ∴平面1EFA //平面BCHG .19．（1）证明见解析；（2）2．【分析】（1）连1DC ，通过证明四边形11B EDC 为平行四边形，可证得11E//C B D ，进而得证；（2）取AB 中点F ，可证得11CF ABB A ⊥面，进而可得体积. 【详解】（1）证明：连1DC ，由1B C //AD ，E 是棱AD 的中点，得，11//E B C D 且11=E B C D 故四边形11B EDC 为平行四边形．所以11E//C B D ，又1C D ⊂平面11CDD C ，1B E ⊂/平面11CDD C ，所以1//B E 平面11CDD C（2）取AB 中点F ，连接AC ，CF ，因为底面ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，所以CF AB ⊥，又1AA ⊥面ABCD ，∴1AA CF ⊥，∵1AA AB A =所以11CF ABB A ⊥面，即CF 为四棱锥11-C ABB A 的高，且CF 而11(12)1322AA B B S +⨯==直角梯形，所以四棱锥11-C ABB A 的体积1332V =⨯20．（1）证明见解析；（2）2217. 【分析】（1）由题设，易得PA AC ⊥且PAC PAD ≅，即有PA AD ⊥，根据线面垂直的判定及性质即可证PA CD ⊥；（2）由已知结合余弦定理求MC 、sin ACM ∠，进而求出AMC S △，根据D AMC M ADC V V --=即可求D 到平面ACM 的距离. 【详解】（1）证明：由题意知，PA AC ⊥，即90PAC ∠=︒， ∵AC AD =，PC PD =，PA PA =，∴PAC PAD ≅，则90PAD PAC ∠=∠=︒， ∴PA AD ⊥，又ACAD A =，∴PA ⊥平面ACD ，又CD ⊂平面ACD ， ∴PA CD ⊥；（2）由M 为PD 的中点，即2MD =12cos 22CDMDC PD ∠==，在MCD △中，2222cos 24222422MC MD DC MD DC MDC =+-⋅⋅∠=+-=，得2MC =，在AMC 中，2AC MC ==，2AM =3cos 4ACM ∠=，7sin 4ACM ∠=，∴11sin 2222AMC S AC CM ACM =⋅⋅⋅∠=⨯⨯= 设点D 到平面ACM 的距离为d ，则由等体积法有D AMC M ADC V V --=，故111332AMC ADC S d S PA ⋅⋅=⋅⋅221=⨯，解得d =故点D 到平面ACM 的距离为7. 【点睛】关键点点睛：（1）应用三角形全等得线线垂直，根据线面垂直的判定及性质证线线垂直；（2）利用等体积法求点面距.21．（1）证明见解析；（2）30.【分析】（1）先取等腰1ABB ∆底边中点O ，三线合一得线线垂直，由已知1AB B D ⊥，得AB ⊥平面1B OD ，则有AB OD ⊥，再由平行关系及190B BC ∠=︒，得到1OD BB ⊥，得证线面垂直，再证面面垂直；（2）由OD ⊥平面11ABB A ，得线面角，解直角三角形可求.【详解】（1）如图，取AB 中点为O ，连结OD ，1OB ，则//OD BC .在1ABB ∆中，11B B B A =， ∴1OB AB ⊥1AB B D ⊥，111OB B D B ⋂=， ∴AB ⊥平面1B ODOD ⊂平面1B OD ，∴AB OD ⊥. 由已知，1BC BB ⊥，又//OD BC ，∴1OD BB ⊥1AB BB B ， ∴OD ⊥平面11ABB A又OD ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面11ABB A .（2）OD ⊥平面11ABB A ，∴1DB O ∠即为所求.设2BC =.112OD BC ==，又1ABB ∆是等边三角形，1323B O =⨯=， ∴13tan 3DB O ∠=. ∴直线1DB 与平面11ABB A 所成的角为30.【点睛】在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，平面图形中常见的垂直关系有：等腰三角形三线合一；菱形（正方形）对角线互相垂直；矩形的四个内角都是直角；圆的直径所对的角是直角等等.线线垂直的证明，还要注意通过计算的方式（如勾股定理）证明，或者利用已知的垂直关系平移转化得到.22．（1）证明见解析；（2）13. 【分析】（1）要证明面面垂直，需先证明线面垂直，根据垂直关系证明CM ⊥平面PAB ；（2）利用等体积转化P MNC N PMC V V --=，求解NC 的值.【详解】（1）证明：在PAB ∆中，因为2APB π∠=，23PB =2PA =，所以4AB =，因为点M 是AB 的中点，所以2BM PM ==，在BMC ∆中3MBC π∠=，得23CM =所以222BM CM BC +=，所以AB CM ⊥，在PMC ∆中，2PM =，23CM =4PC =，满足222PM CM PC +=，所以PM CM ⊥，而AB PM M =，所以CM ⊥平面PAB ，因为CM ⊂平面PCM ，所以平面PCM ⊥平面PAB .（2）过点P 作PO AB ⊥，垂足为O ，由（1）可知CM ⊥平面PAB ，因为CM ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面PAB ，平面ABCD平面PAB =AB ，所以PO ⊥平面ABCD . 由P MNC N PMC V V --=，11....33MNC PMC S PO S d =，因为33d =3NC =，所以13BN NC =. 【点睛】方法点睛：本题考查面面垂直的证明，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型，本题的关键是第一问，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.。

2017-2018学年高中数学苏教版必修2第一章立体几何初步测试卷含解析

阶段质量检测(一)立体几何初步[考试时间：120分钟试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．下列几何体是旋转体的是________．①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体.2．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线________．3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长l＝3，侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________．4．已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为________．5．一个三角形用斜二测画法画出来是一个边长为1的正三角形，则此三角形的面积是________．6．如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是________．7．已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则直线a与平面β的位置关系为________．8．圆锥侧面展开图的扇形周长为2m，则全面积的最大值为________．9．已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝32，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于________．10．如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．11．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中错误的是________．①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.12．若一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比是________．13.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.14．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥S-ABC的体积的最大值为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，圆柱侧面上从A到C的最短距离是多少？16．(14分)如图所示，已知ABCD是矩形，E是以DC为直径的半圆周上一点，且平面CDE⊥平面ABCD.求证：CE⊥平面ADE.17.(14分)(新课标全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C -A1DE的体积．18．(16分)已知等腰梯形PDCB中(如图①)，PB＝3，DC＝1，PD＝BC＝2，A为PB边上一点，且DA⊥PB.现将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD(如图②)．(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；(2)试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成两部分，其两部分体积比为V PDCMA∶V M－ACB＝2∶1.19.(16分)(江苏高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.20．(16分)如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，CD ＝1，AD ＝22，∠BAD ＝∠CDA ＝45°.(1)求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值； (2)证明CD ⊥平面ABF ； (3)求二面角B-EF-A 的正切值．答案1．①④2．解析：由于直线分别位于两平行平面内，因此它们无公共点，因此它们平行或异面．答案：平行或异面3．解析：设圆台较小底面半径为r ，则S 侧面积＝π(r ＋3r )l ＝84π，r ＝7. 答案：74．解析：设正方体的棱长为a ，则6a 2＝24，解得a ＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长22等于球的直径，则球的半径是2，则此球的体积为43π(2)3＝823π. 答案：823π5．解析：如图所示，将△A ′B ′C ′还原后为△ABC ，由于O ′C ′＝2C ′D ′＝2×1×32＝62，所以CO ＝2O ′C ′＝ 6. ∴S △ABC ＝12×1×6＝62.答案：626．解析：连结AC ，由于四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又MC ⊥平面ABCD ，所以MC ⊥BD ，又MC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面AMC ，所以MA ⊥BD .答案：垂直7．解析：∵a ∥α，α∥β，∴a ∥β或a ⊂β. 答案：a ∥β或a ⊂β8．解析：设圆锥底面半径为r ，母线为l ，则有2l ＋2πr ＝2m . ∴S 全＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr (m －πr )＝(π－π2)r 2＋πrm .∴当r ＝πm 2(π2－π)＝m2(π－1)时，S 全有最大值πm 24(π－1).答案：πm 24(π－1)9. 解析：如图设点A 为圆O 和圆K 公共弦的中点，则在Rt △OAK 中，∠OAK 为圆O 和圆K 所在的平面所成的二面角的一个平面角，即∠OAK ＝60°.由OK ＝32，可得OA ＝3，设球的半径为R ，则(3)2＋⎝⎛⎭⎫R 22＝R 2，解得R ＝2，因此球的表面积为4π·R 2＝16π.答案：16π10. 解析：如图，作AO ⊥β于O ，AC ⊥l 于C ，连结OB ，OC ，则OC ⊥l .设AB 与β所成角为θ，则∠ABO ＝θ，由图得sin θ＝AO AB ＝AC AB ·AO AC ＝sin 30°·sin 60°＝34.答案：3411．解析：对于①，m ，n 均为直线，其中m ，n 平行于α，则m ，n 可以相交也可以异面，故①不正确；对于②，③，α，β还可能相交，故②，③错；对于④，m ⊥α，n ⊥α，则同垂直于一个平面的两条直线平行，故④正确．答案：①②③12．解析：设球的半径为R ，圆柱、圆锥的底面半径为r ，高为h ，则r ＝R ，h ＝2R ，V圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3，V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13πR 2×2R ＝23πR 3，所以V 圆柱∶V 球∶V 圆锥＝2πR 3∶43πR 3∶23πR 3＝3∶2∶1.答案：3∶2∶113．解析：由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可．令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x ，由Rt △CAF ∽Rt △F A 1D ，得ACA 1F ＝AF A 1D ，即2a 3a －x ＝x a .整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0，解得x ＝a 或x ＝2a . 答案：a 或2a14．解析：记球O 的半径为R ，作SD ⊥AB 于D ，连线OD 、OS ，易求R ＝23，又SD ⊥平面ABC ，注意到SD ＝SO 2－OD 2＝R 2－OD 2，因此要使SD 最大，则需OD 最小，而OD 的最小值为12×23＝33，因此高SD 的最大值是⎝⎛⎭⎫232－⎝⎛⎭⎫332＝1，又三棱锥S -ABC的体积为13S △ABC ·SD ＝13×34×22×SD ＝33SD ，因此三棱锥S -ABC 的体积的最大值是33×1＝33. 答案：3315.解：如图，底面半径为52 cm ，母线长为5 cm.沿AB 展开，则C 、D 分别是BB ′、AA ′的中点．依题意AD ＝π×52＝52π.∴AC ＝(52π)2＋52＝5 π2＋42. ∴圆柱侧面上从A 到C 的最短距离为5π2＋42 cm.16．证明：∵E 是以DC 为直径的半圆周上一点， ∴CE ⊥DE .又∵平面CDE ⊥平面ABCD ，且AD ⊥DC ， ∴AD ⊥平面CDE .又CE ⊂面CDE ，∴AD ⊥CE .又DE ∩AD ＝D ，∴CE ⊥平面ADE .17．解：(1)证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD . (2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D . 所以VC -A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.18.解：(1)证明：依题意知，CD ⊥AD ，又∵平面P AD ⊥平面ABCD ，∴DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ， ∴平面P AD ⊥平面PCD . (2)由题意知P A ⊥平面ABCD ， ∴平面P AB ⊥平面ABCD .如上图，在PB 上取一点M ，作MH ⊥AB ，则MH ⊥平面ABCD ，设MH ＝h ，则V M －ABC ＝13S △ABC ·h ＝13×12×2×1×h ＝h3.V P －ABCD ＝13S 梯形ABCD ·P A ＝13×(1＋2)2×1×1＝12.要使V PDCMA ∶V M －ACB ＝2∶1，即(12－h 3)∶h 3＝2∶1，解得h ＝12. 易得M 为PB 中点．19．证明：(1)在△P AD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD . 又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD .所以直线EF ∥平面PCD .(2)连结BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD .因为平面P AD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BF ⊥平面P AD .又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面P AD . 20．解：(1)因为四边形ADEF 是正方形，所以F A ∥ED . 故∠CED 为异面直线CE 与AF 所成的角．因为F A ⊥平面ABCD ，所以F A ⊥CD . 故ED ⊥CD .在Rt △CDE 中，CD ＝1，ED ＝22， CE ＝CD 2＋ED 2＝3，故cos ∠CED ＝ED CE ＝223.所以异面直线CE 与AF 所成角的余弦值为223.(2)证明：过点B 作BG ∥CD ，交AD 于点G ，则∠BGA ＝∠CDA ＝45°.由∠BAD ＝45°，可得BG ⊥AB .从而CD ⊥AB .又CD ⊥F A ，F A ∩AB ＝A ，所以CD ⊥平面ABF .(3)由(2)及已知，可得AG ＝2，即G 为AD 的中点．取EF 的中点N ，连结GN ，则GN ⊥EF . 因为BC ∥AD ，所以BC ∥EF . 过点N 作NM ⊥EF ，交BC 于M ，则∠GNM 为二面角B -EF -A 的平面角．连结GM ，可得AD ⊥平面GNM ，故AD ⊥GM . 从而BC ⊥GM . 由已知，可得GM ＝22. 由NG ∥F A ，F A ⊥GM ，得NG ⊥GM . 在Rt △NGM 中，tan ∠GNM ＝GM NG ＝14.所以二面角B -EF -A 的正切值为14.。

江苏专用2017届高考数学二轮温习上篇专题整合冲破专题四立体几何练习文

专题四立体几何练习文一、填空题1.(2016·浙江卷改编)已知相互垂直的平面α，β交于直线l ，且直线m ，n 知足m ∥α，n ⊥β，给出下列结论： ①m ∥l ；②m ∥n ；③n ⊥l ；④m ⊥n .则上述结论正确的是________(填序号).解析由已知，α∩β＝l ，∴l ⊂β，又∵n ⊥β，∴n ⊥l ，③正确.答案 ③2.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________.解析利用圆柱的侧面积公式求解，该圆柱的侧面积为2π×1×2＝4π，一个底面圆的面积是π，因此该圆柱的表面积为4π＋2π＝6π.答案 6π3.(2016·徐州、宿迁、连云港模拟)已知圆锥的母线长为10 cm ，侧面积为60π cm 2，则此圆锥的体积为________cm 3.解析设圆锥底面圆的半径为r ，母线为l ，则侧面积πrl ＝10πr ＝60π，解得r ＝6，则高h ＝l 2－r 2＝8，则此圆锥的体积为13πr 2h ＝13π×36×8＝96π. 答案 96π4.如图所示，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 别离是AC ，PC 的中点，PA ＝2，AB ＝1，求三棱锥C －PED 的体积为________.解析 ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA 是三棱锥P －CED 的高，PA ＝2.∵ABCD 是正方形，E 是AC 的中点，∴△CED 是等腰直角三角形. AB ＝1，故CE ＝ED ＝22， S △CED ＝12CE ·ED ＝12·22·22＝14. 故V C PED ＝V P CED ＝13·S △CED ·PA ＝13·14·2＝16. 答案 165.如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________.解析 ∵EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，又∵E 是AD 的中点，∴F 是CD 的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴EF ＝12AC ＝12×22＝ 2. 答案 26.(2016·镇江高三期末)设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：①若b ⊂α，c ∥α，则b ∥c ； ②若b ⊂α，b ∥c ，则c ∥α；③若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β；④若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β.其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号). 解析 ①中直线b ，c 平行或异面，则①错误；②中c ∥α或c ⊂α，则②错误；③中c ，β的位置关系可能平行、相交或直线在平面上，则③错误；由线面平行的性质、线面垂直的性质、面面垂直的判定定理可知④正确，故正确命题是④. 答案 ④7.(2016·苏、锡、常、镇调研)设棱长为a 的正方体的体积和表面积别离为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积别离为V 2，S 2，若V 1V 2＝3π，则S 1S 2的值为________. 解析棱长为a 的正方体的体积V 1＝a 3，表面积S 1＝6a 2，底面半径和高均为r 的圆锥的体积V 2＝13πr 3，侧面积S 2＝2πr 2，则V 1V 2＝a 313πr 3＝3π，则a ＝r ，因此S 1S 2＝6a 22πr 2＝32π. 答案 32π8.(2016·无锡高三期末)如图，在圆锥VO 中，O 为底面圆心，半径OA ⊥OB ，且OA ＝VO ＝1，则O 到平面VAB 的距离为________.解析由题意可得三棱锥V －AOB 的体积为V 三棱锥V －AOB ＝13S △AOB ·VO ＝16. △VAB 是边长为2的等边三角形，其面积为34×(2)2＝32，设点O 到平面VAB 的距离为h ，则V 三棱锥O －VAB ＝ 13S △VAB ·h ＝13×32h ＝V 三棱锥V －AOB ＝16，解得h ＝33，即点O 到平面VAB 的距离是33.答案 33 二、解答题 9.(2014·江苏卷)如图，在三棱锥P ABC 中，D ，E ，F 别离为棱PC ，AC ，AB 的中点.已知PA ⊥AC ，PA ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线PA ∥平面DEF ；(2)平面BDE ⊥平面ABC .证明 (1)因为D ，E 别离为棱PC ，AC 的中点，因此DE ∥PA .又因为PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，因此直线PA ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 别离为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，因此DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3，EF ＝12BC ＝4. 又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，因此∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，因此DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，因此DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，因此平面BDE ⊥平面ABC .10.如图，在直三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，AB ⊥BC ，E ，F 别离是A 1B ，AC 1的中点.(1)求证：EF ∥平面ABC ；(2)求证：平面AEF ⊥平面AA 1B 1B ；(3)若A 1A ＝2AB ＝2BC ＝2a ，求三棱锥F ABC 的体积.(1)证明如图连接A 1C .∵直三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，AA 1C 1C 是矩形.∴点F 在A 1C 上，且为A 1C 的中点.在△A 1BC 中，∵E ，F 别离是A 1B ，A 1C 的中点，∴EF ∥BC .又∵BC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，因此EF ∥平面ABC .(2)证明 ∵直三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，B 1B ⊥平面ABC ，∴B 1B ⊥BC .又∵EF ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥EF ，B 1B ⊥EF .∵B 1B ∩AB ＝B ，∴EF ⊥平面ABB 1A 1.∵EF ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面ABB 1A 1.(3)解 V F ABC ＝12VA 1ABC ＝12×13×S △ABC ×AA 1＝12×13×12a2×2a＝a36.11.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥和F别离是CD和PC的中点.求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)因为平面PAD∩平面ABCD＝AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.因此PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，因此AB∥DE，且AB＝DE.因此ABED为平行四边形.因此BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，因此BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形.因此BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，因此PA⊥CD.又因为PA∩AD＝A，因此CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，且CD⊂平面PCD，又E，F别离是CD和CP的中点，因此EF∥PD，故CD⊥EF.由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，因此CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，因此平面BEF⊥平面PCD.。

立体几何试卷苏教版抽测试卷

高二第一次情况调查测试题数学（立体几何）一．填空题（共70分，14题，每题5分） 1．下列命题中，正确序号是①经过不同的三点有且只有一个平面②分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线③垂直于同一个平面的两条直线是平行直线④垂直于同一个平面的两个平面平行 2.如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是．3．给出四个命题：①线段AB 在平面α内，则直线AB 不在α内；②两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；③三条平行直线共面；④有三个公共点的两平面重合. 其中正确命题的个数为4、直线AB 、AD ⊂α，直线CB 、CD ⊂β，点E ∈AB ，点F ∈BC ，点G ∈CD ，点H ∈DA ，若直线EH∩直线FG=M ，则点M 在上5、设棱长为1的正方体ABCD-A /B /C /D /中，M 为AA /的中点，则直线CM 和D /D 所成的角的余弦值为．6、若平面α//β，直线a ⊂ α，直线b ⊂β，那么直线a ，b 的位置关系是 7. 已知1111ABCD A BC D -是棱长为a 的正方体，求：（1）异面直线1AA 与BC 所成的角为（）（2）求异面直线1BC 与AC 所成的角（）8、对于直线m 、 n 和平面 α、β、γ，有如下四个命题：其中正确的命题的个数是9、点p 在平面ABC 上的射影为O ，且PA 、PB 、PC 两两垂直，那么O 是△ABC 的心 10、如图BC 是R t ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数个βαβαγαβγβααααα⊥⊂⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥则若则若则若则若,,)4(,//,,)3(//,,)2(,,,//)1(m m n n m m n n m m αPBA CDx′B 1D 1ABCD A 1C 111、如果规定：z y y x ==,，则 z x = 叫做 z y x ,, 关于等量关系具有传递性，那么空间三直线 c b a ,,关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是___________.12.如果OA ‖11O A ， OB ‖11O B ，那么AOB ∠与111AO B ∠（） 13.OX ，OY ，OZ 是空间交于同一点O 的互相垂直的三条直线，点P 到这三条直线的距离分别为3，4，7，则OP 长为_______. 14.α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n②α⊥β③n ⊥β④m ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题： _________________________. 二．解答题（共90分）15. (14分)已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）C 1O ∥面11AB D ；（2 ）1AC ⊥面11AB D ．16. (15分)如图，正三棱柱ABC--111C B A 中（地面是正三角形，侧棱垂直于地面），D 是BC 的中点，AB = a .（1）求证：111C B D A ⊥（2）判断A 1B 与平面ADC 1的位置关系，并证明你的结论D 1ODB AC 1B 1A 1CABC C 1B 1A 1DCA17. (15分)如图，在多面体ABCDE 中，⊥AE 面ABC ，BD ∥AE ，且BD BC AB AC ===2=，1=AE ，F 为CD 中点．（1）求证：EF// 平面ABC ；（2）求证：⊥EF 平面BCD18.(15分) 如图, PA ⊥矩形ABCD 所在平面, ,M N 分别是AB 和PC 的中点． (1)求证: //MN 平面;PAD (2)求证:;MN CD ⊥ (3)若45PDA ∠=, 求证:MN ⊥平面.PCD19. (15分)如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD , AD ⊥BD ，点E , F 分别是AB , BD 的中点. 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ；（Ⅱ）平面EFC ⊥平面BCD.A B C E D F AB C DMNPD 图乙D B CE 20.(16分)如图甲，在直角梯形PBCD 中，PB ∥CD ，CD ⊥BC ，BC ＝PB ＝2CD ，A 是PB 的中点.现沿AD 把平面PAD 折起，使得PA ⊥AB （如图乙所示），E 、F 分别为BC 、AB 边的中点.（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求证：平面PAE ⊥平面PDE ；（Ⅲ）在PA 上找一点G ，使得FG ∥平面PDE.答案1. ③2. 23. 1个4.BD5. 1/36. 平行或异面7. (1) 90︒ (2) 60︒8. 1个9.垂心 10. 8个 11.平行12. 相等或互补 13.37 14. n m n m ⊥⇒⊥⊥⊥βαβα,,或βαβα⊥⇒⊥⊥⊥n m n m ,,.15. 提示：连接A 1C 1交B 1D 1与点O 1。

2017-2018学年苏教版必修2 第1章立体几何初步单元检测

第1章立体几何初步单元检测(满分：100分时间：90分钟)一、填空题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．请把正确答案填在题中的横线上)1．如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的序号是__________．①AC⊥SB②AB∥平面SCD③SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角2．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是__________．3．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC棱锥O-ABCD的体积为__________．4．下列条件中，不能得出直线a∥平面α的是________．(填序号)①a与α内的两条相交直线不相交②a与α内的所有直线都不相交③a与α内的无数多条直线不相交④a平行于α内的无数条直线5．若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为__________．6．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为__________．7．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的原圆锥的体积是__________．8．下列命题中错误．．的是________．①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β9．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错．误．的序号为__________．①AC⊥BD②AC∥截面PQMN③AC＝BD④异面直线PM与BD所成的角为45°10．△ABC的三边长分别为3,4,5，P为平面ABC外一点，它到三边的距离都等于2，则P到平面ABC的距离为____________．11．夹在两平行平面间的圆锥、球、圆柱在平面内的射影是等圆，那么它们的体积之比是________．12．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于__________．二、解答题(本大题共4小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)13．(8分)如图所示，已知ABCD是矩形，E是以DC为直径的半圆周上一点，且平面CDE⊥平面ABCD.求证：CE⊥平面ADE.14．(10分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.15．(10分)如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，P A⊥底面ABCD，P A＝AD ＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．(1)求证：BM∥平面P AD；(2)在△P AD内找一点N，使MN⊥平面PBD.16．如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．(1)证明直线BC ∥EF ；(2)求棱锥F -OBED 的体积．参考答案与解析一、填空题1．④ ∵SD ⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，∴SD ⊥AC ，又∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，又SD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥面SBD ，AC ⊥SB ，故①对；∵AB ∥CD ，CD ⊂面CDS ，AB 在面CDS 外，∴AB ∥平面SCD ，故②对；设AC ∩BD ＝O ，由上面的分析知，∠ASO 与∠CSO 分别是SA 与平面SBD ，SC 与平面SBD 所成的角，易知∠ASO 与∠CSO 相等，故③对，应填④.2．①④ 由公理4知①正确．由正方体共顶点的三条棱两两垂直知②可能成立，但在同一平面内，由a ⊥b ，b ⊥c 能得出a ∥c ，∴②不正确．平行于同一平面的两直线可能相交，可能异面，但不一定平行，故③不正确．由线面垂直的性质定理知，④正确．3．如图所示，OO ′垂直于矩形ABCD 所在的平面，垂足为O ′，连接O ′B ，OB ，则在Rt △OO ′B 中，由OB ＝4，O B '=，可得OO ′＝2，故-11·6233O ABCD ABCD V S OO ='=⨯⨯=矩形4．①③④由题意可知A 1C 1到平面ABCD 的距离即为正四棱柱的侧棱长，又由∠B 1AB ＝60°6．将几何体补充出来，如图所示．最长棱为TG ==7．54 设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r .设圆台高为h 1，则221152(93?)3h r r r r π=＋＋， ∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似性得13h h r r h -=， ∴132h h ＝ ∴()221139331254322V r h r h ππ=⨯⨯⨯原圆锥＝＝＝. 8．④ ①中，只需α内的直线平行于α与β的交线即平行于β；②正确，根据面面垂直的判定定理，若α内存在直线垂直于β，则α⊥β；③正确，设α内a ⊥γ，β内b ⊥γ，α∩β＝l ，则a ∥b ，所以a ∥β，根据线面平行的性质定理，所以α∥l ，所以l ⊥γ.④错误，平面α内可以存在直线平行于交线而不垂直于平面β.9．③ ∵MN ∥PQ ，由线面平行的性质定理可得MN ∥AC ，从而AC ∥截面PQMN ，②正确；同理可得，MQ ∥BD ，故AC ⊥BD ，①正确；又∠PMQ ＝45°，故④正确．∴填③.因P 到三边的距离相等，故P 在平面ABC 内的射影为△ABC 的内心．由于△ABC 为直角三角形，故三角形内切圆的半径为341345⨯=++.于是P 到平面ABC =11．1∶2∶3 设球的半径为r ，则圆锥的高为2r ，底面圆半径为r ，2312·233V r r r ππ=锥＝；球的体积为343V r π=球；圆柱的高为2r ，底面圆半径为r ，V 柱＝πr 2·2r ＝2πr 3，则其体积之比为1∶2∶3.12.3 如图，连结A 1B 和AB 1交于点O ′，取OB 中点E ，连结O E '，则O ′E 112A O ，∴O ′E ⊥面ABC .连结AE ，∴∠O ′AE 即为AB 1与面ABC 所成的角．∵AO ＝BO ，又∵A 1A ＝AB ，设A 1A ＝a ，则AO '=又23AO ==，∴1AO =∴.O E '=∴sin O E O AE AO '∠'=='. 二、解答题13．证明：∵E 是以DC 为直径的半圆周上一点，∴CE ⊥DE .又∵平面CDE ⊥平面ABCD ，且AD ⊥DC ，∴AD ⊥平面CDE .又CE ⊂面CDE ，∴AD ⊥CE .又DE ∩AD ＝D ，∴CE ⊥平面ADE .14．证明：(1)由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知EF ∥BC ，因为EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .(2)由三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1，又A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D .又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ，CC 1，B 1C ⊂平面BB 1C 1C ，故A 1D ⊥平面BB 1C 1C .又A 1D ⊂平面A 1FD ，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .15．(1)证明：取PD 的中点E ，连结ME 、AE ，在△PCD 中，因为M 、E 分别是PC 、PD 的中点，所以ME ∥CD ，且112M E C D ==.又因为AB ∥CD ，且AB ＝1，所以AB ME .所以四边形ABME 是平行四边形．所以BM ∥AE .又因为AE ⊂平面P AD ，BM ⊄平面P AD ，所以BM ∥平面P AD .(2)解：如图，因为P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面P AD ，所以平面P AD ⊥平面ABCD .又因为平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面P AD .又因为ME ∥CD ，所以ME ⊥平面P AD .所以ME ⊥PD .在△P AD 中，因为P A ＝AD ，PE ＝DE ，所以AE ⊥PD .又因为AE ∩ME ＝E ，因为PD ⊥平面ABME ，因为PD ⊂平面PDB ，所以平面PDB ⊥平面ABME .因为平面PDB ∩平面ABME ＝BE ，所以过M 作MN ⊥BE ，交AE 于点N .则MN ⊥平面PDB .16．(1)证明：设G 是线段DA 与线段EB 延长线的交点．由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，所以OB 12DE ，OG ＝OD ＝2. 同理，设G ′是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有OG ′＝OD ＝2.又由于G 和G ′都在线段DA 的延长线上，所以G 与G ′重合．在△GED 和△GFD 中，由OB 12DE 和OC DF ，可知B ，C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF .(2)解：由OB ＝1，OE ＝2，∠EOB ＝60°，知EOB S =.而△OED 是边长为2的正三角形，故OED S =所以EOB OED OBED S S S 四边形＝＋过点F 作FQ ⊥DG ，交DG 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F -OBED的高，且FQ ，所以-13·32F OBED OBED V FQ S 四边形＝＝。

专题2.2 立体几何中的探索性与存在性问题测试卷-2017年高考数学二轮复习资料江苏版含解析精品

1. （南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点．（1）求证：11B C ∥平面1A DE ；（2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．证明：（1）因为D,E分别是AB ,AC 的中点，所以//DE BC ， ...............2分又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC ，所以11//B C DE . ...............4分又11B C ⊄平面1A D E ，DE ⊂平面1A D E，所以11B C ∥平面1A D E. .............6分2. （南通、泰州市2017届高三第一次调研测）如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP =OC ，PA ⊥PD ．求证：（1）直线PA ∥平面BDE ；（2）平面BDE ⊥平面PCD ．（2）因为OE ∥PA ，PA PD ⊥，所以OE PD ⊥． ………………………………8分因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥． (10)分又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC PD P = ，所以OE ⊥平面PCD ． (12)分又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD ． ……………………14分3. （苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，点F 在棱1CC 上，且1EF C D ⊥．求证：（1）直线1A E ∥平面1ADC ；（2）直线EF ⊥平面1ADC ．【证明】（1）连结ED ，因为D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，所以1B E BD ∥且1B E BD =，所以四边形1B BDE 是平行四边形，…………………2分所以1BB DE ∥且1BB DE =，又11BB AA ∥且11BB AA =，所以1AA DE ∥且1AA DE =，所以四边形1AA ED 是平行四边形，…………………4分所以1A E AD ∥，又因为11A E ADC ⊄平面，1AD ADC ⊂平面，所以直线1A E ∥平面1ADC ．…………………………………………………7分4．（镇江市2017届高三上学期期末）在长方体1111D C B A A B C D -中，121AA EC BC AB ===．（1）求证：//1AC 平面BDE ；（2）求证：⊥E A 1平面BDE ．证明：（1）连结AC 交BD 于点O ，连结OE .在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 长方形，点O 为AC 的中点， ……2分1AA ∥1CC 且11AA CC =，由112EC AA =，则112EC CC =，即点E 为1CC 的中点，于是在1CAC △中，1AC ∥OE . ……4分又因为OE ⊂平面BDE ，1AC / 平面BDE ．所以1AC ∥平面BDE ． ……6分5．（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，EA EB ⊥，点,M N 分别是,AE CD 的中点．求证：（1）直线MN ∥平面EBC ；（2）直线EA ⊥平面EBC ．证明：（1）取BE 中点F ，连结CF ，MF ，又M 是AE 的中点，所以12MF AB =∥，又N 是矩形ABCD 边CD 的中点，所以12NC AB =∥，所以MF NC =∥，所以四边形MNCF 是平行四边形，…4分所以MN CF ∥，又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ，所以MN ∥平面EBC ．………………………………………………………7分6. （无锡市2017届高三上学期期末）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥平面PCD ，E,F 分别为PC,AB 的中点.求证：（1）平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）//EF 平面PAD .7.（扬州市2017届高三上学期期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点.（1）求证：EF∥平面PAB；（2）若AP=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，证明：AF⊥平面PCD.。

2017-2018学年苏教版必修2 第一章立体几何初步单元测试2

本章测评(总分100分时间90分钟)一、选择题(每小题4分,共40分)1.下列命题正确的是( )A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三直线确定一个平面思路解析：考查平面的基本性质，确定一平面的条件.联系平面的基本性质，易知A、B、C 均不正确，故选D.平面的基本性质是研究空间点、线、面关系的基础，应熟练掌握，并会应用.答案：D2.下列说法正确的个数是( )①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行③如果两平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行④若直线l平行于平面α，则l与平面α内任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3思路解析：考查对线、面的位置关系的理解.①不正确，可能l与α相交；②不正确，可能异面；③不一定；④正确(由线面平行的定义可知).该形式的问题多数考查概念，所以应多考虑特殊情形.答案：B3.图1-1是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，①BM∥ED；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM⊥BN.其中正确的命题序号是( )图1-1A.①②③B.②④C.③④D.②③④思路解析：考查空间想象能力，线线的位置关系的判断能力.空间图形的翻折问题，解决时需产生正确的合理的空间想象.将正方体恢复成立体图，易判断出BM与ED异面，CN∥BE，所以①②不正确；又CN与BM成60°角，DM⊥BN，所以③④正确，故选C.答案：C4.平面α与平面β平行的条件可以是( )A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线a∥α,a∥β，且直线a不在α内，也不在β内C.直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β,b∥αD.α内的任何直线都与β平行思路解析：考查两平面平行的条件和推理能力.由面面平行的判定定理和定义可知A、B、C 均错误，只有D符合定义，故选D.答案：D5.已知直线a ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于α的直线( )A.只有一条，不在面α内B.有无数条，不一定在α内C.只有一条，且在平面α内D.有无数条，一定在α内思路解析：考查空间想象能力和推断能力.由线面平行的定义和判定定理，易知过P 且平行于直线a 的直线只有一条，且在面α内，故选C.动手操作实践，有利于空间想象能力的提高.答案：C6.一个四面体的所有棱长都是2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( )A.3πB.4πC.π33D.6π思路解析：关键是找出正四面体的棱与外接球的半径的关系.画出过球的大圆的一截面图，设球半径为R ，由正四面体的性质，知AE=BE=26，BO 1=36，AO 1=3326146=-，OO 1=AO 1-R.在Rt △OBO 1中，由BO 2=BO 12+OO 12，得23=R . ∴S 表=4πR 2=3π.答案：A7.图1-2左侧是一块长方形木料,想象沿图中平面EFGH 所示位置截长方体,若AB ⊥CD,那么是截面图形的是( )图1-2 图1-3思路解析：本题考查学生空间想象能力.观察截面情况，由性质定理首先知道截面是一个平行四边形，又由AB ⊥CD 可得AB ⊥下底面，这样可知截面是一个矩形.答案：A8.已知两个平面互相垂直，下列说法：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一平面.其中正确的个数为( )A.3B.2C.1D.0思路解析：逐一判断：①不正确；②不一定；③不正确；④正确(符合性质).答案：C9.将若干毫升水倒入底面半径为4 cm 的圆柱形器皿中，量得水面高度为8 cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是( ) A.36 B.6 C.3184 D.398 思路解析：设水面高度为h ，由42×8π=2)33(31h ⨯πh ，∴3184=h .故选C. 答案：C10.如图1-4，正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3三点重合，重合后的点记作G ，则在四面体S —EFG 中必有( )图1-4A.SG ⊥△EFG 所在平面B.SD ⊥△EFG 所在平面C.GF ⊥△SEF 所在平面D.GD ⊥△SEF 所在平面思路解析：图形翻折问题，首先应注意折起前后的变与不变，以备运用定理可得出什么结论.由折起前后的不变量可知SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，从而SG ⊥面EFG(判定定理).答案：A二、填空题(每小题4分，共16分)11.如图1-5，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为D 1D 的中点，则BD 1与平面AEC 的位置关系是___________.图1-5思路解析：由条件不难发现，过BD 1的平面BDD 1与面AEC 交于OE(O 为下底面中心)，且OE ∥BD 1，∴BD 1∥面AEC.答案：平行12.已知直线a 、b 和平面α，且a ⊥b ，a ⊥α，则直线b 与平面α的位置关系是___________. 思路解析：由已知画草图，可判断b ⊂α或b ∥α.答案：b ⊂α或b ∥α13.一个正三棱柱的三视图如图1-6所示，则这个正三棱柱的表面积是___________.图1-6思路解析：关键是通过三视图，想象出直观图，以确定该正三棱柱的底面边长和高.由三视图及数据可知正三棱柱的底面边长为32，高为 2.所以S 表=S 侧+2S 底=3×32×2+2×43×(32)2 =318. 答案：318 14.如图1-7(a)所示，在透明塑料制成的长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1容器中灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：①水的形状始终成棱柱形；②水面EFGH 的面积不变；③A 1D 1始终与水面EFGH 平行；④当容器倾斜如图(b)时，BE·BF 是定值.其中正确的命题的序号是___________.图1-7思路解析：观察图形可知①正确；②不正确；③正确；④正确(因为水柱体积不变).通过本题可总结线面的平行、面面的平行关系，等体积时，底面积与高相对不变的道理.答案：①③④三、解答题(15—16题每题10分，17—18题每题12分，共44分)15.如图1-8，α∩β=AB ，PC ⊥α，PD ⊥β，C 、D 是垂足，试判断直线AB 与CD 的位置关系，并证明你的结论.图1-8思路解析：证明线线垂直常常先证线面垂直，由此推出线线垂直.证明：∵PC ⊥α，AB ⊂α，∴PC ⊥AB.∵PD ⊥β，AB ⊂β，∴PD ⊥AB.又∵PC∩PD=P ，∴AB ⊥面PCD.又∵CD 面PCD ，∴AB ⊥CD.16.如图1-9，PA 垂直于矩形ABCD 所在平面，E 、F 分别是AB 、PD 的中点.(1)求证：AF ∥平面PCE ；(2)若二面角PCDB 为45°，求二面角EPCD 的大小.图1-9思路解析：取PC 中点构造平行四边形巧妙解决问题.(1)证明：如图,取PC 中点G ，连结EG 、FG .∵E 、F 分别为AB 、PD 的中点.∴GF CD 21, AE CD 21.∴AE GF.∴EG ∥AF.∴AF ∥平面PCE.(2)解：∠PDA=45°,∴PA=AD.∵F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD.又∵CD ⊥AD ，CD ⊥PA ，∴CD ⊥平面PAD.∴AF ⊥CD.∵AF ∥EG ，∴EG ⊥PD ，EG ⊥CD.∴EG ⊥平面PCD.∴平面PEC ⊥平面PCD ，即二面角E-PC-D 为90°.17.如图1-10，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在平面，C 是圆周上不同于A 、B 的一动点.图1-10(1)三棱锥P —ABC 的四个面中有几个直角三角形？(2)面PAC 与面PBC 所成的二面角的大小是否随动点C 的运动变化而变化？说明理由.(3)若D 为PB 中点，如何过D 作面PAC 的垂线？说明理由.思路解析：首先根据线线垂直、线面垂直找到图中存在的直角三角形.然后用二面角的定义进行判断.解：(1)∵PA ⊥⊙O 所在平面，∴PA ⊥AC ，PA ⊥AB.∴△PAC 、△PAB 都是直角三角形.又∵AB 为直径，C 为圆周角，∴△ACB 为直角三角形.又∵BC ⊥AC 、BC ⊥PA ，BC ⊥平面PAC, ∴BC ⊥PC.∴△PBC 也为直角三角形.因此，三棱锥P —ABC 的四个面中有4个直角三角形.(2)由(1)知BC ⊥平面PAC ，∴平面PBC ⊥平面PAC.无论C 点在圆周上任何地方(A 、B 除外)，平面PBC ⊥平面PAC.因此，面PAC 与面PBC 所成的二面角的大小与C 的运动无关.(3)由(1)知面PAC ⊥面PBC ，又面PAC∩面PBC=PC ，且D ∈面PBC ，∴过D 点作DE ⊥PC ，E 为垂足，则DE ⊥面PAC.18.如图1-11，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的菱形且∠DAB=60°，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.图1-11(1)若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面PAD ；(2)求证：AD ⊥PB ；(3)求二面角A-BC-P 的大小；(4)若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ？证明你的结论.思路解析：本题综合考查线面垂直、线线垂直、面面垂直等证明方法以及二面角的求解.(1)证明：∵在菱形ABCD 中，∠DAB=60°，G 为AD 的中点，得BG ⊥AD.又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD=AD ，∴BG ⊥平面PAD.(2)证明：连结PG .∵△PAD 为正三角形，G 为AD 的中点，得PG ⊥AD.由(1)知BG ⊥AD ，PG∩BG=G ，PG 平面PGB ，BG ⊂平面PGB.∴AD ⊥平面PGB.∵PB ⊂平面PGB ，∴AD ⊥⊂PB.(3)解：由(2)，AD ⊥平面PGB ，∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面PGB.而PB ⊂平面PGB ，BG ⊂平面PGB ，∴BC ⊥PB ，BC ⊥BG .∴∠PBG 为二面角ABCP 的平面角.∵在△PAD 中，PG=a 23，在菱形ABCD 中，BG=a 23，∴在Rt △PGB 中，∠PGB=45°.∴二面角A-BC-P 为45°.(4)解：当F 为PC 的中点时，满足平面DEF ⊥平面ABCD.取PC 的中点F,连结DE 、EF 、DF ，则由平面几何知识，在△PBC 中，FE ∥PB. 在菱形ABCD 中，GB ∥DE ，而FE ⊂平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，FE∩DE=E ， ∴平面DEF ∥平面PGB.由(2)可知，PG ⊥⊂平面ABCD ，而PG ⊂平面PGB.∴平面PGB ⊥平面ABCD.。

2017年高考数学(理)-立体几何(练)-专题练习-答案

4.【江西省新余市 2016 届高三第二次模拟】【答案】D
5.【吉林省长春市普通高中 2017 届高三质量监测（一）】【答案】 4 3 3
6. 【广东省惠州市 2017 届第二次调研考试】【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
15 5
3.练原创
1.【答案】B 2．【答案】C
3.【答案】D
4．【答案】（1）参考解析，（2）参考解析，（3） 5 5
BC 平面 PAM ,
PA 平面 PAM ,同理可证 PA CD,
又 BC CD C,PA 平面 ABCD.…4 分.
P
N E
A G H
B
M
D
F C
13 / 14
5.
14 / 14
综上，四面体 PBCD 的体积的最大值为 1 . 2
5.【2016 高考江苏卷】
4 / 14
6.【2016 年高考北京理数】
5 / 14
设平面 PCD 的法向量为 n (x, y, z) ，则
n n

PD PC

0, 0,
即

2
y x

z z

0, 0,
令 z 2 ，则 x 1, y 2.
轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，…………6 分 z
G
C B
F
A
x
E
D
y
11 / 14
3.练原创 1. 【解析】几何体如图，体积为： 1 23 4 ，故选择 B
2
2．【答案】C
12 / 14
3.
4
【解析】（1）证明取 BC 的中点 M , 连结 AM , PM.

苏教版立体几何习题精选含答案详解

（江苏最后1卷）给出下列四个命题：（1）如果平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面相交（2）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面（3）如果平面⊥平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平面也不垂直（4）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面真命题．．．的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）【答案】（3）（4）（南师大信息卷）在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为 6 .提示：点在以为焦点的椭圆上，分别在、、、、、上. 或者，若在上，设,有. αβαααβαβαβαβαβαβ1111ABCD A B C D -P 12PA PC +=P P 1AC P AB AD 1AA 11C B 11C D 1C C P AB AP x =2211(1)(2)2,2PA PC x x x +=+-+=∴=故上有一点（的中点）满足条件.同理在、、、、上各有一点满足条件.又若点在上上，则.故上不存在满足条件的点，同理上不存在满足条件的点.（南通三模）已知正方体1C的棱长为1C 各个面的中心为顶点的凸多面体为2C ，以2C 各个面的中心为顶点的凸多面体为3C ，以3C 各个面的中心为顶点的凸多面体为4C ，依此类推。

记凸多面体n C 的棱长为n a ，则6a = ▲ .AB P AB AD 1AA 11C B 11C D 1C C P 1BB 12PA PC +=>1BB P 1DD P解析：考查推理方法以及几何体中元素的关系理解应用。

正方体1C 的棱长为1A 1B2A2B 2A2B3A3B2A2B3A3B218111==B A a ,由1C 各个面的中心为顶点的几何体为正八面体2C ，其棱长182211222===B A B A a ，由2C 各个面的中心为顶点的几何体为正方体3C ,其棱长263222333===B A B A a ,如此类推：得到2,22,6654===a a a 。

2017届苏教版 立体几何 阶段验收专练卷

2017届苏教版 解析几何 阶段验收专练卷

江苏省2017届高三数学一轮复习专题突破训练：立体几何 含答案