18.2.3_正方形_(1)
18.2.3 正方形的判定
18.2.3 正方形的判定基础知识、技能与思想方法正方形不仅是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形，还是特殊的菱形，因此，我们可以根据这些特点来判别正方形；典型例题例1 已知：如图所示，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且BF=CE ，⑴求证：△ABC 是等腰三角形；⑵当∠A =90°时，试判断四边形AFDE 是怎样的四边形？说明你的结论。
分析： 解答：例2 已知：如图所示，点A′、B′、C′、D′分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且A A′=B B′=C C′=D D′，试说明四边形A′B′C′D′为正方形。
分析：解答：例3 在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，阅读下列材料，回答问题：⑴连结AC 、BD ，由三角形中位线的性质定理可证四边形 EFGH 是 。
⑵对角线AC 、BD 满足条件 时，四边形 EFGH 是矩形。
⑶对角线AC 、BD 满足条件 时，四边形 EFGH 是菱形。
⑷对角线AC 、BD 满足条件 时，四边形 EFGH 是正方形。
分析： 解答：DF ECBAD'C 'B 'A 'DCBA巩固练习1．如果一个正方形的对角线长为2，那么它的面积______.2．如图，正方形OMNP 的一个顶点与正方形ABCD 的对角线交点O 重合，且正方形ABCD 、OMNP 的边长都是acm ，则图中重合部分的面积是 cm 2．3.如图，设M 、N 分别是正方形ABCD 的边AB 、AD 的中点，MD 与NC 相交于点P ，若△PCD 的面积是S ，则四边形AMPN 的面积是 .4.如图，M 为边长为2的正方形ABCD 对角线上一动点，E 为AD 中点，则AM +EM 的最小值为 .5.边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30 o 到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为 .6．四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，能判定它是正方形的是（ ）. A ．AO ＝OC ，OB ＝OD B ．AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BD C ．AO ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD D ．AO ＝OC ＝OB ＝OD 7．正方形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A 、四个角都是直角 B 、对角线相等 C 、对角线互相平分 D 、对角线互相垂直 8．一组对边平行，并且对角线互相垂直相等的四边形是（ ）A ．菱形或矩形;B ．正方形;C ．矩形;D ．菱形 9．四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，设有下列条件：①AB=AD ；②∠ DAB=900；③AO=CO ，BO=DO ；④矩形ABCD ；⑤菱形ABCD ，⑥正方形ABCD ，则在下列推理不成立的是 ( )A 、①④⇒⑥B 、①③⇒⑤C 、①②⇒⑥D 、②③⇒④10．已知：如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点M 、N 在OB 和OC•上，•且MN ∥BC ，连结DN 、MC ，试猜想DN 与MC 有什么关系？并证明你的猜想．第5题图第4题图第3题图第2题图C'ABCDEMABCDM NB11．如图（1），在正方形ABCD 中，M 为AB 的中点，E 为AB 延长线上一点，MN ⊥DM ，且交∠CBE 的平分线于点N ．（1）DM 与MN 相等吗？试说明理由．（2）若将上述条件“M 为AB 的中点”改为“M 为AB 上任意一点”，其余条件不变，如图2，则DM 与MN 相等吗？为什么？12．已知正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，且1=BE ，P 为AC 上一点，求PD PE +的最小值13．正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点。
2021年人教版数学八年级下册学案 18.2.3《 正方形 》(含答案)
18.2.3 正方形第1课时正方形的性质学习目标：使学生掌握正方形的概念，知道正方形具有矩形和菱形的一切性质，并会用它们进行有关的论证和计算.学习重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．学习难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．学习过程：一、课前预习1、叫做平行四边形，叫做矩形，叫做菱形.2、做一做：用一张长方形的纸片怎样折出一个正方形？【问题】什么样的四边形是正方形？定义：的平行四边形．．．．．是正方形。
●概念中三个条件、、缺一不可.二、自主学习正方形的性质：正方形是特殊的，也是特殊的形、形，所以它具有这些图形的所有性质.正方形是轴对称图形，它有条对称轴。
正方形性质定理1：正方形的四个角都是，四条边都。
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且，每一条对角线平分。
【强调】正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．三、合作探究例1、正方形与平行四边形共同具有的性质为（）A. 对角线平分一组对角B. 对角线相等C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分例2、如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=AC，连结AE交CD于F，则∠E= .ADE C BF第2课时正方形的判定学习目标：理解正方形的判定方法；重难点：利用正方形的性质及判定解决一些简单的实际问题。
学习过程一.复习回顾1、正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？正方形具有哪些性质呢？只要矩形再有一组邻边相等，这样的特殊矩形是正方形；只要菱形再有一个内角为90°，这样的特殊矩形是正方形．它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：正方形性质：（1）边的性质：对边，四条边都．（2）角的性质：四个角都是角．即∠A=∠B=∠∠ = °错误!未找到引用源。
18.2.3正方形 正方形的性质 课件(共30张PPT)人教版数学八年级下册
的冬天，干啥还希望MNE≌△MDF(ASA),∴EM=FM ．
D
∵四边形ABCD和为。正”真方的，形济,南∴的∠人们N在B冬E天=是4面5上°含笑的。他们一看
那些小山，心中便觉得有了着落，有了依靠。他们由天上
∴∠BNE=90°看－到∠山上N，B便E不=知4不5°觉地，想起：“明天也许就是春天了吧？ 这样的温暖，今天夜里山草也许就绿起来了吧？”就是这
M
∴∠NBE=∠BN点E幻,想∴不能B一E时＝实N现E，．他们也并不着急，因为有这样慈善 N
情境导入
仔细观察下列实际生活中的图片,你会发现这些都
是正方形的形象． 小山整把济南围了个圈儿，只有北边缺着点口儿。这一圈 小山在冬天特别可爱，好像是把济南放在一个小摇篮里， 它们全安静不动地低声地说：“你们放心吧，这儿准保暖 和。”真的，济南的人们在冬天是面上含笑的。他们一看 那些小山，心中便觉得有了着落，有了依靠。他们由天上 看到山上，便不知不觉地想起：“明天也许就是春天了吧？ 这样的温暖，今天夜里山草也许就绿起来了吧？”就是这 点幻想不能一时实现，他们也并不着急，因为有这样慈善 的冬天，干啥还希望别的呢！
那些小山，心中便觉得有了着落，有了依靠。他们由天上
（2）若BD与EF相交于点M,连接AM, 看到山上，便不知不觉地想起：“明天也许就是春天了吧？ 这样的温暖，今天夜里山草也许就绿起来了吧？”就是这
点幻想不能一时实现，他们也并不着急，因为有这样慈善
试判断AM与的冬E天F，的干啥数还希量望别关的呢系！ 和位置关
B
C
△DAO是全等的等腰直角三角形.
例题精析
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴AC=B小D山整,把A济C南⊥围了B个圈D儿,，A只O有北=边B缺O着点=口C儿O。这=一D圈O.
2014新人教版八年级下18.2.3正方形教案
18.2.3 正方形一、教学目的1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．二、重点、难点1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．三、例题的意图分析本节课安排了三个例题，例1是教材P111的例4，例2与例3都是补充的题目．其中例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？四、课堂引入1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？正方形定义：有一组邻边相等．．．．．叫做正方形．．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四边形指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）2．【问题】正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．五、例习题分析例1（教材P111的例4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．又DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．∴∠EAO=∠FDO．∴△AEO ≌△DFO．∴OE=OF．例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．求证：四边形PQMN是正方形．分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．证明：∵PN⊥l1，QM⊥l1，∴PN∥QM，∠PNM=90°．∵PQ∥NM，∴四边形PQMN是矩形．∵四边形ABCD是正方形∴ ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC （正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．∴ ∠1+∠2=90°．又 ∠3+∠2=90°， ∴ ∠1=∠3．∴ △ABM ≌△DAN ．∴ AM=DN ． 同理 AN=DP ．∴ AM+AN=DN+DP即 MN=PN ．∴ 四边形PQMN 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．六、随堂练习1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．2．下列说法是否正确，并说明理由．①对角线相等的菱形是正方形；（ ）②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）④四条边都相等的四边形是正方形；（ ）⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）1． 已知：如图，四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为CD 、CB 延长线上的点，且DE ＝BF ．求证：∠AFE ＝∠AEF ．4．如图，E 为正方形ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形，求∠EAD 与∠ECD 的度数．七、课后练习1．已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且DE=BF ． 求证：EA ⊥AF ．2．已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：四边形CFDEA BCD E F是正方形．3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．。
18.2.3正方形的定义与性质
4、已知：如图4－53，点A'、B'、C'、D'分别 是正方形ABCD四条边上的点，并且AA'＝ BB'＝CC'＝DD'。 求证：四边形A‘B’C‘D’是正方形
5．如图，△ABC的外面作正方形ABDE和 ACFG，连结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
你还能得出其 他结论吗？
6、已知正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，且BE=1， P为AC上一点，求PE+PB的最小值.
7、在正方形ABCD中,AC是对角线,AE 平分∠BAC,试猜想AB、AC、BE之间的 关系，并证明你的猜想。
A
F B G
D
E
C
想一想：正方形是怎样的矩形？
正方形 矩形
邻边相等 的矩形
想一想：正方形是怎样的菱形？
正方形 菱形
一个角是直角的菱形
矩形 两组 对边
四边形
分别 平行
平行四 边形 菱 形
菱形
平行四边形
正方 形
矩形
一组邻边相等 平行四边形 一内角是直角
正方形
正方形的定义：
有一组邻边相等 的矩形是正方形。 _________________ 有一个角是直角 _______________的菱形是正方形。 有一组邻边相等且有一个角是直角 _______________________________ 的平行四边形是正方形。
例2、如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O， MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N， 求证：BM＝CN。
分析：要证明BM＝CN，大家观察
图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? △ABM≌△BCN 你所要证明的两个三角形已经满足 了哪些条件?
18.2.3正方形的判定
B
D
)
A
有三个角是直角的四边形是矩形
∴四边形ABCD是正方形（
有一组邻边相等的矩形是正方形 )
例3：如图，已知Rt△ABC中，∠C=900，∠A、 ∠B的角平分线相交于点D，DE⊥BC于点E， DF⊥AC于点F， 求证：四边形AEDF是正方形。
A
D
M
F
C B E
例4：已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分 别在AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH, 试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
A
E P F B
O
D
C
例5、如图，点M是矩形ABCD边AD的中点，2AB＝AD， 点P是边BC上一动点，PE⊥MC，PF⊥MB，垂足分别为 E、F，求点P运动到什么位置时，四边形PEMF为正方形？
A F B M E C D
P
2、已知，如图在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， 垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线， CE⊥AN垂足为点E，
正方形的判定方法3
有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. 求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可 转化为证明有一组邻边相等的矩形即可. 证明: ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900, ∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别是 AB 、BC 、CD 、DA的中点,试判断四边形 EFGH是正方形吗?为什么?
Ａ Ｈ
Ｄ
Ｅ
Ｇ
Ｂ
Ｆ
Ｃ
设计花坛
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路 使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的 四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？
18.2.3正方形的性质与判定
18.2.3正方形的性质一、学习准备：1、有一组相等并且有一个角是的平行四边形叫做正方形。
有一个角是的菱形叫做正方形；一组相等的矩形叫做正方形。
2、正方形既是，又是，所以它具有和的性质：（1）正方形的四个角都是，四条边都；（2）正方形的对角线且，每条对角线平分；（3）正方形是图形，的交点是它的对称中心；（4）正方形是图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴。
如上图，画出该正方形的对称轴。
3、如图，正方形ABCD的对角线把它分成了个三角形，它们是三角形，它们全等吗？请简单说明理由。
二、学习目标：1．理解正方形的定义，掌握正方形的性质和判定；2．能运用正方形的性质和判定进行简单的计算与证明．三、自学提示：（一）自主学习：1、正方形具有而一般菱形不具有的性质是（）A. 四条边都相等B. 对角线互相垂直平分C. 对角线相等D. 每一条对角线平分一组对角2、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（）A. 四个角相等B. 四条边相等C. 对角线互相平分D. 对角线相等3、已知一个正方形的边长为2cm，则对角线长为。
4、已知一正方形的对角线长为2cm，则它的边长为。
5、若正方形的一条对角线长为4cm ，则正方形的周长为 ，面积为 ；对角线的交点到边的距离为 。
（二）合作探究：6、顺次连接正方形各边中点，得4个等腰直角三角形，则每个小三角形的面积为原正方形面积的 。
7、如图，四边形ABCD 是正方形，∠CAB 是多少度？为什么？至少用两种方法说明理由。
四、学习小结： 五、夯实基础：1、如上图正方形有哪些性质？（1）边的性质： 。
（2）角的性质： 。
（3）对角线的性质： 。
2、正方形是轴对称图形，它的对称轴有 条，正方形也中心对称图形，它的对称中心是 。
3、已知一正方形的对角线长为6cm ，则它的边长为 。
4、选择题（1）正方形的边和对角线构成的等腰直角三角形共有（ ） A 、4个 B 、6个 C 、8个 D 、10个（2）如图，在正方形ABCD 中，∠DAE ＝25°，AE 交对角线BD 于E 点， 那么∠BEC 等于（ ）A 、45°B 、60°C 、70°D 、75°（3）如图，在正方形ABCD 中作等边△AEF ，则∠AFD 的度数为（ ） A 、40° B 、75° C 、50° D 、55°5、如图，在正方形ABCD 是，E 为对角线AC 上一点，连结EB 、ED 。
人教版数学八年级下册18.2.3《正方形的性质》(第1课时)教案
人教版数学八年级下册18.2.3《正方形的性质》（第1课时）教案一. 教材分析《正方形的性质》是人教版数学八年级下册第18章的一部分，主要让学生掌握正方形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
本节课的内容包括正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，以及正方形的判定方法。
这些内容是学生进一步学习矩形、菱形和正六边形等图形的基础。
二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了矩形的性质，对图形的性质有一定的了解。
但正方形作为一个特殊的矩形，其性质更为特殊，需要学生进一步理解和掌握。
在导入部分，可以利用学生已知的矩形性质，引导学生发现正方形的特殊性质。
三. 教学目标1.了解正方形的性质，能够运用正方形的性质解决实际问题。
2.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
3.激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.正方形的性质的理解和运用。
2.正方形性质的证明和推导。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和引导发现法进行教学。
通过提出问题，引导学生发现正方形的性质；通过合作学习，让学生共同探讨和解决问题；通过引导发现，让学生自主探究正方形的性质。
六. 教学准备1.正方形和矩形的模型或图片。
2.直尺、量角器等测量工具。
3.教学PPT或黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用学生已知的矩形性质，提出问题：“矩形的四个角都是直角，那么正方形的四个角是什么角？”让学生回答，并引导学生发现正方形的特殊性质。
2.呈现（10分钟）展示正方形和矩形的模型或图片，让学生观察并比较它们的性质。
引导学生发现正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等。
3.操练（15分钟）让学生分组合作，利用直尺、量角器等测量工具，测量和记录正方形和矩形的边长、角度和对角线的长度。
通过实际操作，让学生加深对正方形性质的理解。
4.巩固（10分钟）给出一些实际问题，让学生运用正方形的性质解决。
18.2.3.1正方形的性质(同步课件)-八年级数学下册同步精品课堂(人教版)
如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，连接 BF， DF. 你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明.
全等三角形有：△ AFD ≌ △AFB，
D
△CFD ≌ △CFB，△ACD ≌ △ABD.
证明：∵四边形 ABCD 为正方形，
∴AD = AB ( 正方形的四条边都相等 ).
∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD, ∴AP=PC. 又∵PE⊥BC ， PF⊥DC,
∴四边形PECF是矩形, ∴PC=EF. ∴AP=EF.
A
D
PF
B
EC
用直尺和量角器测量正方形的四条边长度、四个角度数、对角线的长度及 夹角度数和OA、OB、OC、OD的长度，并记录测量结果．
AB BC CD AD
∠ABC ∠BCD ∠ADC ∠BAD
AC BD
∠AOB OA OB OC OD
根据测量的结果，你有什么猜想？
A
D
O
B
C
已知：如图,四边形ABCD是正方形.
解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝2. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得 AD AO2 OD2 2 2, ∴正方形的周长为4AD＝ 8 2， 面积为AD2＝8.
13.如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
解: 连接PC，AC. ∵四边形ABCD是正方形,
证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD.
A
D
O
B
C
图中有 8 个等腰直角三角形.
请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考. 正方形 是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
18.2.3正方形的性质和判定
第18章 平行四边形
18.2.3 特殊的平行四边形
正方形
教学目标
知识与技能
了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形 的性质、判定方法。
过程与方法
经历探索正方形有关性质，判定条件的过程， 在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力， 逐步掌握说理的基本方法。
情感、态度与价值观
培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几 何的内在价值。
D
∴∠HEF=∠EFG=
∠FGH=∠GHE=90°∴ 四边形EFGH是矩形
∵AF平分∠BAD ∴∠BAF=∠DAF=45° 同理∠ABH=∠CBH=45° ∠BCH=∠DCH=45° ∠CDF=∠ADF=45° ∵∠DAF=∠CBH AD=BC ∠ADF=∠BCH ∴△AFD≌△BHC（ASA） ∴AF=BH
2 面积S AB2 （2 2） 8cm2 1 1 2 或面积 S AC 4 2 8cm 2 2 2
1、正方形的面积等于边长的平方。 2、正方形的面积等于等于对角线的平方的一半。 3、正方形的周长等于边长的4倍。
练习3、已知：在正方形ABCD中，E、F分别在BC、DC
EF与AC相交于P点 求证：EF ⊥ AC，EF ∥ BD A
H
A B D G C F ∵∠BAF=∠ABH ∴AE=BE ∴EH=EF ∴四边形EFGH是正方形
E
课堂练习：
1、已知：正方形ABCD中，分别过A、C两点作a∥b,作 BM⊥a于M，DN⊥a于N，直线MB、ND分别交b于Q、P。 求证：四边形PNMQ是正方形。
2 、已知：如图，正方形ABCD和正方形CEFG，延长CD到H， 且DH=CE=BK。求证：四边形AKFH是一个正方形 H A D
人教版数学八年级下册说课稿18.2.3《正方形》
人教版数学八年级下册说课稿 18.2.3《正方形》一. 教材分析《正方形》是人教版数学八年级下册第18章的一部分，本节内容是在学生已经掌握了矩形、菱形的基础上，进一步研究正方形的性质。
正方形既是矩形也是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质，同时还有自己独特的性质。
本节内容主要包括正方形的定义、性质、判定和应用。
通过学习正方形，可以使学生更深入地理解四边形的性质，提高他们的空间想象能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了矩形和菱形的性质，他们对四边形的认识已经有一定的基础。
但是，正方形作为一种特殊的四边形，其性质与矩形和菱形有所不同，需要学生重新理解和掌握。
此外，正方形的一些性质涉及到空间想象和逻辑推理，这对学生的数学思维能力提出了一定的要求。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生了解正方形的定义，掌握正方形的性质，能够运用正方形的性质解决一些简单的问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、严谨求实的科学态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：正方形的性质及其应用。
2.教学难点：正方形性质的推导和证明，以及如何运用正方形的性质解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、启发式教学法，引导学生主动探究正方形的性质。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的正方形实例，如方巾、地板等，引导学生关注正方形，激发他们的学习兴趣。
2.新课导入：介绍正方形的定义，引导学生思考正方形与矩形、菱形的联系与区别。
3.性质探究：引导学生通过观察、操作、猜想、验证等方法，探究正方形的性质。
4.性质总结：引导学生总结正方形的性质，并与矩形、菱形的性质进行对比。
5.性质应用：通过一些实际问题，引导学生运用正方形的性质解决问题。
18.2.3正方形的判定
即BE=AH=DG=CF
∴ △AEH≌△BFE≌ △CGF ≌ △DHG．
∴ EH=EF=GF=HG
∵ ∠1=∠3．
3
又 ∠3+∠2=90° ∠1+∠2=90°
2
1
∴ ∠EFH=90 °
∴ 四边形EFGH是正方形 (有一个角是直角的菱形是正方形）
设计花坛
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路 使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的 四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？
A
D
A
D
G
F
G
F
B
CE
B
CE
4、如图，M为正方形ABCD边AB的中点， E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且交 ∠CBE的平分线于点N。
（1）求证：MD=MN （2）若将上述条件中的“M是AB的中点” 改为“M为AB上任意一点”，其它条件不 变，问结论MD=MN是否仍然成立。
D
C
D
C
F●
N P●
N
练习4 ．四个内角都相等，四条边也都相等
的四边形一定是：（A ）
A．正方形 B．菱形
C．矩形
D．平行四边形
练习5、已知四边形ABCD是平行四边形，对 角线AC、BD相交于点O。
⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（ 菱形 ） ⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ 矩形 ） ⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
A M B E A MB
E
①求证：四边形ADCE是矩形。
M
②当△ABC满足什么条件时，四边形
人教版八下数学18.2.3正方形 课时1 正方形的性质教案+学案
人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形课时1正方形的性质教案【教学目标】知识与技能目标1．理解并运用正方形的定义计算和证明；2．理解并运用正方形的性质进行计算和证明；3．体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系,理解一般与特殊的关系．过程与方法目标经历正方形的定义及其性质的探究过程,丰富认识图形的经验,进一步发展学生的逻辑推理能力和表达能力．情感、态度与价值观目标让学生在发现、归纳、概括中逐步提高思维能力,培养用数学的思想和方法来思考和分析问题的习惯．【教学重点】正方形性质定理的运用．【教学难点】正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系．【教学准备】教师准备：教学中出示的教学插图、问题和例题.学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定.【教学过程设计】一、情境导入做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？二、合作探究知识点一：正方形的性质【类型一】特殊平行四边形的性质的综合例1菱形，矩形，正方形都具有的性质是()A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等解析：选项A不正确，菱形的对角线不相等；选项B不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不互相垂直；选项C正确，三者均具有此性质；选项D 不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相等．故选C.方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质．【类型二】利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题例2如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F.(1)求证：BE＝CF；(2)求BE的长．解析：(1)由角平分线的性质可得到BE＝EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，即可证BE＝CF；(2)设BE＝x，在△CEF中可表示出CE.由BC＝1，可列出方程，即可求得BE.(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°.∵EF⊥AC，∴∠EF A＝90°.∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF.又∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，∴EF＝FC，∴BE＝CF；(2)解：设BE＝x，则EF＝CF＝x，CE＝1－x.在Rt△CEF中，由勾股定理可得CE＝2x.∴2x＝1－x，解得x＝2－1，即BE的长为2－1.方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．【类型三】利用正方形的性质解决角的计算或证明问题例3 在正方形ABCD 中，点F 是边AB 上一点，连接DF ，点E 为DF 的中点．连接BE 、CE 、AE .(1)求证：△AEB ≌△DEC ；(2)当EB ＝BC 时，求∠AFD 的度数．解析：(1)根据“正方形的四条边都相等”可得AB ＝CD ，根据“正方形每一个角都是直角”可得∠BAD ＝∠ADC ＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，根据“等边对等角”可得∠EAD ＝∠EDA ，再得出∠BAE ＝∠CDE ，然后利用“SAS ”证明即可；(2)根据“全等三角形对应边相等”可得EB ＝EC ，再得出△BCE 是等边三角形．根据等边三角形的性质可得∠EBC ＝60°，然后求出∠ABE ＝30°.再根据“等腰三角形两底角相等”求出∠BAE ，然后根据“等边对等角”可得∠AFD ＝∠BAE .(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°.∵点E 为DF中点，∴AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，∴∠EAD ＝∠EDA .∵∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ，∠CDE ＝∠ADC －∠EDA ，∴∠BAE ＝∠CDE .在△AEB 和△DEC 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△AEB ≌△DEC (SAS)；(2)解：∵△AEB ≌△DEC ，∴EB ＝EC .∵EB ＝BC ，∴EB ＝BC ＝EC ，∴△BCE 是等边三角形，∴∠EBC ＝60°，∴∠ABE ＝90°－60°＝30°.∵EB ＝BC ＝AB ，∴∠BAE ＝12×(180°－30°)＝75°.又∵AE ＝EF ，∴∠AFD ＝∠BAE ＝75°.方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段等．探究点二：正方形性质的综合应用【类型一】 利用正方形的性质解决线段的倍、分、和、差关系例4 如图，AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，AE 分别交BD 、BC 于F 、E ，AC 、BD 相交于O .求证：(1)BE ＝BF ；(2)OF ＝12CE . 解析：(1)根据正方形的性质可求得∠ABE ＝∠AOF ＝90°.由于AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO ＝∠AEB .根据“对顶角相等”即可求得∠BFE ＝∠AEB ，BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .根据三角形的中位线的性质即可证得OG ∥BC ，OG ＝12CE .根据平行线的性质即可求得∠OGF ＝∠FEB ，从而证得∠OGF ＝∠AFO ，OG ＝OF ，进而证得OF ＝12CE .证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴∠ABE ＝∠AOF ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝∠CAE ＋∠AFO ＝90°.∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠CAE ＝∠BAE ，∴∠AFO ＝∠AEB .又∵∠AFO ＝∠BFE ，∴∠BFE ＝∠AEB ，∴BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .∵AO ＝CO ，AG ＝EG ，∴OG ∥BC ，OG ＝12CE ，∴∠OGF ＝∠FEB .∵∠AFO ＝∠AEB ，∴∠OGF ＝∠AFO ，∴OG ＝OF ，∴OF ＝12CE .方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决．【类型二】 有关正方形性质的综合应用题例5 如图，正方形AFCE 中，D 是边CE 上一点，B 是CF 延长线上一点，且AB ＝AD ，若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是________cm.解析：∵四边形AFCE 是正方形，∴AF ＝AE ，∠E ＝∠AFC ＝∠AFB ＝90°.在Rt △AED 和Rt △AFB 中，⎩⎨⎧AD ＝AB ，AE ＝AF ，∴Rt △AED ≌Rt △AFB (HL)，∴S △AED ＝S△AFB.∵S四边形ABCD＝24cm2，∴S正方形AFCE＝24cm2，∴AE＝EC＝26cm.根据勾股定理得AC＝（26）2＋（26）2＝43(cm)．故答案为4 3.方法总结：在解决与面积相关的问题时，可通过证三角形全等实现转化，使不规则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积，从而解决问题．三、教学小结师生共同归纳小结.1.本节课,我们学习了正方形的性质和判定,弄清了正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系:2.分小组进行讨论,整理所学的性质:正方形是特殊的平行四边形,它也是特殊的矩形、特殊的菱形,因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.请回忆学过的内容,回答下面的问题(从边、角、对角线、轴对称性四方面考虑):(1)平行四边形有哪些性质?(2)矩形有哪些性质?(3)菱形有哪些性质?(4)正方形有哪些性质?图形对边对角对角线对称性平行四边形平行、相等相等互相平分不是轴对称图形矩形平行、相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称图形,有两条对称轴菱形平行、四条边都相等相等互相垂直且平分,每条对角线平分一组对角轴对称图形,有两条对称轴正方形平行、四条边四个角都是直互相垂直、平分且相轴对称图形,有四条对称都相等角等,每条对角线平分一轴组对角四、学习检测1.下列命题是真命题的是( )A.矩形的对角线互相垂直B.菱形的对角线相等C.正方形的对角线相等且互相垂直D.四边形的对角线互相平分解析:根据矩形的对角线相等,可判断选项A错;根据菱形的对角线互相垂直,可判断选项B错;根据正方形的对角线互相垂直、平分且相等,可判断选项C正确;四边形的对角线无特性,可判断选项D错.故选C.2.如图所示,E是正方形ABCD的边AD上任意一点,EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,若AB=10 cm,则四边形EFOG的周长是.解析:先由题意证明四边形EFOG是矩形,进而可知矩形EFOG的周长为OD 的长的2倍,然后根据勾股定理得OD的长为5 cm.故填10 cm.3.如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G.(1)求证AE=CF.(2)若∠ABE=55°,求∠EGC的大小.【解析】本题考查了等腰直角三角形、正方形的性质,“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”,全等三角形的性质与判定,解题的关键是证明△ABE≌△CBF.(1)用SAS证明△ABE≌△CBF.(2)∠EGC=∠EBG+∠BEF,而∠EBG=90°-∠ABE,△BEF是等腰直角三角形,从而可求∠EGC的度数.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°.∵BE⊥BF,∴∠EBF=90°,从而可知∠ABE=∠CBF.∵AB=BC,∠ABE=∠CBF,BE=BF,∴△ABE≌△CBF,∴AE=CF.解:(2)∵BE=BF,∠EBF=90°,∴∠BEF=45°,∵∠ABC=90°,∠ABE=55°,∴∠GBE=35°,∴∠EGC=∠EBG+∠BEG=80°.[归纳总结]证明线段相等,通常转化成证明这两条线段所在的三角形全等得到对应线段相等.本题要充分利用正方形的性质“四条边相等;四个内角都等于90°;对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角;正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形等”,并根据题意选取合适的性质加以运用.等腰直角三角形的两锐角相等,为45°,底边上的高、中线、顶角的平分线重合.三角形全等的判定方法:SAS,ASA,AAS,SSS,HL(只适用于直角三角形),根据图中的条件选取合适的方法证明三角形全等是关键.【板书设计】18.2 特殊的平行四边形 18.2.3 正方形课时1 正方形的性质1．正方形的定义和性质四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形．对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．2．正方形性质的综合应用3．学习检测【教学反思】在本节数学课的教学中，通过学生动手操作得出的结论归纳矩形和菱形的性质，继而得到正方形的性质，激起了学生的学习热情和兴趣．创设有意义的数学活动，使枯燥乏味的数学变得生动活泼．让学生觉得学习数学是快乐的，使学生保持一颗健康、好学、进取的心及一份浓厚的学习兴趣．人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形课时1正方形的性质学案【学习目标】1．理解正方形的概念；2．探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；3．会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题．【学习重点】探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别．【学习难点】会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题．【自主学习】一、知识回顾1．你还记得长方形有哪些性质吗？2.菱形的性质又有哪些？二、新知探究知识点1：正方形的性质想一想 1.矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？邻边_____2.菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？一个角是_____要点归纳：正方形定义：有一组邻边_____并且有一个角是_____的__________叫正方形.想一想正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.那你能说出正方形的性质吗？1.正方形的四个角都是_________,四条边_________.2.正方形的对角线________且互相______________.证一证已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.证明：∵四边形ABCD是正方形.∴∠A=____°, AB_____AC.又∵正方形是平行四边形.∴正方形是______,亦是______.∴∠A___∠B___∠C___∠D =____°,AB___BC___CD___AD.已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.证明：∵正方形ABCD是矩形,∴AO___BO___CO___DO.∵正方形ABCD是菱形.∴AC___BD.想一想请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?要点归纳：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：正方形的性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 【典例探究】例1如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形.求证：∠EAD＝∠EDA＝15°.DAB CE变式题 1 四边形ABCD是正方形,以正方形ABCD的一边作等边△ADE,求∠BEC的大小．易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．变式题2 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；（2）求证：∠BAP=2∠PAC．例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.方法总结：在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.【跟踪练习】1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等3.如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O,AO＝2,求正方形的周长与面积．三、知识梳理内容正方形的性质定义：有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.性质：1.四个角都是直角2.四条边都相等3.对角线相等且互相垂直平分四、学习过程中我产生的疑惑【学习检测】1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等2.如图,正方形ABCD中,CE⊥MN,∠MCE=35°,那么∠ANM是()A.45°B.55°C.65°D.75°B(解析:因为CE⊥MN,所以∠MCE+∠NMC=90°.所以∠NMC=90°-∠MCE=55°.由题意得AD∥BC,所以∠ANM=∠NMC=55°.故选B.)3.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（）A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm24. 在正方形ABC中,∠ADB=________,∠DAC=_________, ∠BOC=__________.5. 在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________.6.如图,正方形ABCD中,AC是对角线,E是BC延长线上一点,CE=AC,则∠E=度.22.5(解析:由正方形的性质得∠ACB=45°,又CE=AC,所以∠E=∠EAC,因为∠E+∠EAC=45°,所以∠E=∠EAC=22.5°.)第4题图第5题图7.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．8. 如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,∠OCF=∠OBE.试猜想OE与OF的大小关系,并说明理由.解:OE=OF.理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,OB=OC,∴∠AOB=∠BOC=90°.又∵∠OCF=∠OBE,∴△OCF≌△OBE,∴OE=OF.9. 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.10.如左下图,正方形ABCD中,M是BC上任意一点,E在BC的延长线上,MN⊥AM,MN交∠DCE的平分线于N,试猜想AM与MN有怎样的数量关系,并说明理由.【解析】猜想AM=MN,要证AM=MN,如右上图,只需构造并证明△APM≌△MCN即可.解:AM=MN.理由如下:在AB上取一点P,使BP=BM,连接PM,如右上图.∵AB=BC,BP=BM,∴AP=MC,∠BPM=45°,∴∠APM=135°.∵CN平分∠DCE,∴∠MCN=∠APM=135°.∵MN⊥AM,∴∠AMB+∠CMN=90°.∵∠AMB+∠BAM=90°,∴∠BAM=∠CMN.∴△APM≌△MCN.∴AM=MN.。
八年级数学下册18.2.3正方形练习1(新版)新人教版【含答案】
正方形一、选择题1. 如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE ，AC ，BE 订交于点 F ，则∠ BFC 的度数为（）A.45°B.55°C.60°D.75°2. （西安师大附中联考）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 订交于点 O ，则图中的等腰三角形有（）A.4 个B.6 个C.8 个D.10 个3．如图，将一边长为 12 的正方形纸片的极点 A 折叠至边上的点 ，使 ＝ 5，折痕为ABCDDCEDEPQ ，则 PQ 的长为 ( )A.12B.13C.14D.15二、填空题4．正方形的定义：有一组邻边 ______并且有一个角是 ______的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特其他有一组邻边相等的______， 又是一个特其他有一个角是直角的______．5．正方形的判断：(1)_ ___________________________________ 的平行四边形是正方形；(2)____________________________________ 的矩形是正方形；(3)____________________________________ 的菱形是正方形；16．若正方形的边长为a，则其对角线长为______，若正方形ACEF的边是正方形ABCD的对角线，则正方形 ACEF与正方形 ABCD的面积之比等于______．7．在正方形ABCD中，E为 BC上一点， EF⊥ AC，EG⊥ BD，垂足分别为F、G，若是AB52cm ，那么 EF＋ EG的长为______．8.（易错题）如图，在正方形 ABCD中，点 F 为 CD上一点， BF 与 AC交于点 E，若∠ CBF=20°，则∠ AED等于 __________°.9. 如图，正方形ABCD的对角线长为8 2 ， E 为 AB 上一点，若EF⊥AC于点 F， EG⊥ BD于点 G，则EF+EG=_________.10.（山东实验中学期中）如图，正方形ABCD的边长为 2，点 E 为边 BC的中点，点 P 在对角线BD上搬动，则PE+PC的最小值是 __________.三、解答题11. 以下列图，把正方形ABCD绕着点 A 按顺时针方向旋转获取正方形AEFG，边 FG与 BC交于点H. 试问线段HG与线段 HB相等吗？请先观察猜想，尔后再证明你的猜想.12.如图所示，已知点 A′， B′， C′， D′分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′，求证：四边形A′B′C′D′是正方形.213.（西安中学二模）以下列图，在平行四边形ABCD中，对角线 AC，BD交于点 O，E 是 BD延长线上的点，且ACE是等边三角形 .（1）求证：四边形 ABCD是菱形；（2）若∠ AED=2∠EAD，求证：四边形 ABCD是正方形 .14．已知：如图， E 是正方形 ABCD对角线 AC上一点，且A E＝ AB， EF⊥ AC，交 BC于 F．求证：BF＝EC．15．如图，P为正方形ABCD的对角线上任一点，PE⊥ AB于 E，PF⊥ BC于 F，判断 DP与 EF的关系，并证明．3参照答案1. C剖析由已知得AB=AE，∠ BAE=150°，∴∠ ABF=15°，∴∠ BFC=∠ ABF+∠BAF=15°+45°=60°.2. C 剖析：在正方形ABCD中， AB=BC=CD=DA，OA=OB=OC=OD，因此等腰三角形有△ABC，△ADC，△ ABD，△ CBD， OAB，OBC，△ OCD，△ ODA.3． B．4．相等、直角、矩形、菱形．5． (1) 有一组邻边相等，并且有一个角是直角；(2)有一组邻边相等．(3)有一个角是直角．6． 2 a，2∶1．7． 5cm．8.65 剖析在正方形 ABCD中，∠ DCE=∠BCE=45°， CB=CD．在△ CDE和△ CBE中，CD CB ,DCE BCE ,CE CE,∴△ CDE≌△ CBE.∴∠ CDE=∠CBF=20°.∵∠ AED是△ DCE的外角，∴ ∠ AED=∠CDE+∠DCE=65°.9. 4 2剖析设AC与BD订交于点O，由正方形的性质得△BEG是等腰直角三角形，故EG=BG．又∵ EF⊥ AC， EG⊥ BD， AC⊥ BD，∴四边形EGOF为矩形，∴ EF=OG，1 1∴ EF+EG=BG+OG=BO=BD=× 8 2 = 4 22 210. 5 剖析∵ BD是正方形 ABCD的对角线，作点 C 关于 DB的对称点 C′，则点 C′和点 A 重合，连接 AE交 DB于 P′，连接 CP′，则此时 P′E+P′C的值最小，∴ P′E+P′C=AE.在 Rt △ ABE中， AB=2， BE=1，由勾股定理得AE AB2BE 2 5 .11.解：HG=HB.证明：以下列图，连接AH.4∵四边形ABCD， AEFG都是正方形，∴∠ B=∠G=90°， AG=AB.又∵ AH=AH，∴Rt AGH≌ Rt ABH(HL)，∴ HG=HB.12.证明：如图 .∵四边形ABCD为正方形，∴BC=CD=DA=AB，∠ A=∠ B=∠C=∠D=90°.又∵ AA′=BB′=CC′=DD′，∴D′A=A′B=B′C=C′D.∴AA′D′≌△ BB′A′≌△ CC′B′≌△ DD′C′(SAS).∴D′A′=A′B′=B′C′=C′D′，∠2=∠ 3.∴四边形A′B′C′D′为菱形.∵∠ 1+∠2=90°，∴∠ 1+∠3=90°.∴∠ D′A′B′=180° -( ∠1+∠3)=90°.∴四边形A′B′C′D′为正方形.13.证明：（ 1）因为四边形 ABCD是平行四边形，因此 AO=CO,因为△ ACE是等边三角形，因此AE=CE.因此 AC⊥EO，即 AC⊥ BD，因此平行四边形ABCD是菱形 .5（2）因为△ ACE是等边三角形，因此∠ AEC=∠ EAC=60°,1因为 OA=OC，因此∠ AED=∠AEC=30°,因为∠ AED=2∠ EAD，因此∠ EAD=15°，因此∠DAC=∠ ADB=∠ EAD+∠AED=45°,由（ 1）知四边形ABCD是菱形，因此∠ BAC=∠DAC=45°，因此∠ BAD=90°，因此四边形ABCD是正方形 .14．提示：连接AF．15．DP=EF,提示：连接BP．6。
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第一步:根据题意画出图形 第二步:写出已知 第三步：写出求证 第四步:进行证明
这是一道几何命题的证明,该怎么做? 你会做吗? O
A
D
图中共有多少个 等腰直角三角形？
B
C
例1.求证:正方形的两条对角线把正方形 分成四个全等的等腰直角三角形.
已知:四边形ABCD是矩形,对 A 角线AC、BD相交于点O. 求证:△ABO、△BCO、 △CDO、△DAO是全等的 等腰直角三角形.
情境一： 观察体会
平行四边形
矩形
矩形
矩形
菱形
矩形
平行四边形
菱形
矩形
平行四边形
菱形
矩形
平行四边形
菱形
矩形
平行四边形
菱形
矩形
平行四边形
菱形
你能给正方形下一个定义吗？ 矩形
平行四边形
正方形
菱形
探究小结
邻边 相等
发现：
正方形
矩 形
一组邻边相等的矩形 叫正方形
菱 形
一个角是直角
正方形
解： 连接AC. ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠B=90°，AB=BC ∵ EC=30m，EB=10m
A
D
（4） ABCD是一块正方形场地，
E B
A
C
BC ∴ CE2 BE2 800 20 2m
∴ S正方形ABCD=( 20 2)2=800(m2) ∴ AC AB2 BC2 40m
C
1．正方形的两条对角线把正方形分成四个 全等的 等腰直角三角形 __________________ 2.一正方形边长为4,则它的面积为16 ．
8 3.一正方形对角线长为4,则它的面积为
A
．
D
4.正方形ABCD的面积是9cm2。则
AB=________AC=___________ 3 2cm 3cm B源自23想一想：
１．若O点移动至E点时，连接AE、
CE，你有那些结论？
A O B
D
E
C
该怎样证明这些结论？
变一变
如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点， PE⊥BC于E， PF⊥DC于F。试说明：AP=EF
解:
连接PC ∵PE⊥BC ， PF⊥DC
A
P
D
F
而四边形ABCD是正方形 ∴∠FCE=90° B ∴四边形PECF是矩形 E ∴PC=EF 又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形 ∴AP=PC ∴AP=EF
发现：
一个角为直角的菱形叫 正方形
如何来给正方形下定义？
∟
正方形定义
1、有一个角是直角且邻边相等的平行四边形 叫做正方形； 2、有一个角是直角的菱形是正方形； 3、有一组邻边相等的矩形是正方形 正方形是特殊的平行四边形，又是特殊的 菱形，特殊的矩形，你能猜出它具有怎样 的性质？
边 正方形对边平行 四边相等 角 正方形的四个角都是直角
C
3.如图，正方形ABCD中，点E是CD 边上一点，连接AE交对角线BD于点 F，则图中全等三角形共有（ C ）
A B
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
F E
C
D
练习5．如图(5)，在AB上取一点C，
以AC、BC为正方形的一边在同一侧作 正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延 长BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB
回顾：平行四边形,矩形与菱形有哪些性质?
边: 对边平行且相等
平行四边形 角: 对角相等,邻角互补 对角线: 对角线互相平分 具有平行四边形所有性质
矩形
边： 对边平行且相等
角: 四个角是直角 对角线: 对角线相等且互相平分
菱形的性质
具有平行四边形一切性质 菱形的性质
边: 四条边相等
对角相等,邻角互补 角： 对角线: 互相垂直平分 分别平分两组对角
例2.如图四边形ABCD和DEFG都是正方形， 试说明AE=CG
A E D G
F
B C
练一练
已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上 一点，点F是CB的延长线上一点，且 DE=BF．求证：（1）AE=AF；（2） EA⊥AF．
1
2
3
证明：（1）∵ ABCD是正方形 ∴AD=AB，∠ADE=∠ABF=90° 在△ABF与△ADC中 AD=AB ∠ADE=∠ABF=90° DE=BF 1 ∴ △ABF≌△ADE（SAS） ∴ FA=EA ,∠1=∠3 （2）∵∠2+∠3=90 ° ∴∠1+∠2=90 ° ∴ EA⊥FA
证明：
(2) BH⊥AF
6.如图，正方形OPQR的一个顶点 O是边长为2的正方形ABCD对角线 AC与BD的交点，则两 R 正方形重合部分的 Q A D 面积是
O
B
C P
大 显 身 手
7、如图，四边形ABCD.DEFG都是 正方形，连接AE.CG。 （1）求证：AE=CG G F （2）观察图形， A 猜想AE与CG的位置 B D E 关系，并证明你的 C 猜想。
为什么下列三个个图形都是正方形？
5 2 5 2
有一组邻边相等并且有一个 角是直角的平行四边形是正 方形。
7 7 7
两条对角线互相垂直平分且相 等的四边形是正方形。
7
既是矩形又是菱形的四边形是正方形。
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系
四边形
平行四边形
四边形 平行四边形 正 方 形
菱形
矩形
菱形 正方形 矩形
A
D
O
B C
对角线 正方形的对角线相等，互相垂直平分，
每条对角线平分一组对角。
正方形是轴对称图形；
正方形是一个完美的图形
(C) A O
D (B)
它是轴对称图形,有4条对称轴
(D) B C (A)
(1)它具有平行四边形的一切性质 两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分 (2)具有矩形的一切性质 四个角都是直角，对角线相等 (3)具有菱形的一切性质 四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角
小结
性质 图形 平行四 矩形 边形 菱形 正方形
对边平行且相等 四条边都相等 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 每条对角线平分 一组对角
√
√ √
√ √ √ √
√
√ √ √
√ √
√ √ √ √ √ √ √ √
√
8、如图,以△ABC的边AB、AC向形 外作正方形ABDE和ACFG，M是BC的 E 中点．
求证：
D A
G
⑴CE=BG；
⑵EG=2AM．
B
H
F M C
归纳
有 一组邻边相等 并且 有一个角是直角 的
A O
D
平行四边形 是 正方形
B
C
1 .正方形是中心对称图形，轴对称图形。 2.正方形的四条边都相等。 3.正方形的四个角都相等。 4.正方形的对角线互相垂直平分且相等， 且每一条对角线平分一组对角。
D O
B 证明:∵四边形ABCD是正方形 C ∴AC=BD,AC⊥BD,AO=CO=BO=DO. ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直 并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO 角三角形,
课本课堂练习P59
小华和小芳在AB边上取定了一 点E，经测量EC=30m， EB=10m，这块场地的面积和对 角线长分别是多少？
平行四边形
有一个角是直角
有一组邻边相等
矩形
有一组邻边相等
正方形
有一个角是直角
菱形
正 方 形 常 见 的 判 定 法
1 、定义法：
有一组邻边相等并且有一个角是 直角的平行四边形是正方形。 既是矩形又是菱形的四边形是正 方形。 两条对角线互相垂直平分且相 等的四边形是正方形。
2、矩形菱形法：
3、对角线法：
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是(B ) A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角互补. D、对角线相等.
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
学一学 例题解析
例.求证：正方形的两条对角线把 这个正方形分成四个全等的等腰直 角三角形。