偏微分方程word电子讲义
偏微分方程数值解电子教案
第一边界条件：u( 0 ,t) μ(t) 三类边值条件： 第二边界条件：ux ( 0 ,t) ν(t) 第三边界条件：u ( 0 ,t) hu( 0 ,t) θ(t) x 端点的运动规律 端点所受外力 (Tux ) 弹性体受外力 （以x 0为例，对x l也有） 若μ(t)，ν(t)，θ(t)为零，称为奇次边界条 件。 若ux ( 0 ,t) 0 称自由边界条件。
方程(1)在点( x0 , y0 )处是双曲型的, 如果在点( x0 , y0 ) 处 ( x0 , y0 ) 0，其中 b 2 4ac.二阶双曲型方程的 标准型是 2u 2u h( u , u , u, , ) 2 2
方程(1)在点( x0 , y0 )处是抛物型的, 如果在点( x0 , y0 ) 处 ( x0 , y0 ) 0，二阶抛物型方程的标 准型是 2u h( u , u , u, , ) 2
t 2μ
10
以线性二阶偏微分方程为例，简单回顾一 下偏微分方程的分类。考虑二阶偏微分方程 2u 2u 2u u u a 2 b c 2 d e fu g ( x , y ), (1) x xy y x y
注意
其中系数a , b, c , d , e和f设为x和y的函数，即方程(1)是线性的。 u u 如果系数 a , b和c是x , y, u, 和 的函数，称方程(1)是拟线性的 x y
u(0 , t ) 0 两端固定， u( l , t ) 0 边值条件(边界条件) 定解条件 u( x ,0 ) ( x ) 设t 0时的位置、速度为： 初值条件(初始条件) ut ( x ,0 ) ( x )
定解问题=泛定方程+定解条件 定解问题：边值问题，初值问题（Cauchy问题或无边界问题） ， 混合问题。
(整理)偏微分方程word电子讲义.
偏微分方程偏微分方程是一个非常广泛的课题，它包含分析的许多方面内容。
就我们现在的知识水平来说，我们只了解很少一点东西。
从十八世纪初开始，人们就开始结合物理、力学问题来研究偏微分方程，最早研究的几个方程是弦振动方程、热传导方程及调和方程，这部分理论已经被彻底地研究了，而且近乎完备，把它们称为偏微分方程的古典理论。
十八世纪后期在连续介质力学中研究流体的运动规律，在考虑流体的粘性时，描述运动规律的方程称为Navier-Stokes方程组，而在不计流体的粘性时，称为Euler方程组。
在此时期，描述弹性体运动规律的方程称为Saint Venant方程组。
到了十九、二十世纪，人们发现了描述电磁场运动规律的Maxwell方程组，描述微观粒子运动规律的Schrodinger方程及Dirac方程组，广义相对论中确定引力场的基本方程Einstein方程以及基本粒子规范场理论的基本方程Yang-Mills方程，在微分几何中研究极小曲面的极小曲面方程等等。
随着科学理论变得复杂，所提出的偏微分方程就愈多而且更加变化多端，可能出现的偏微分方程和方程组类型之多是出于想象的。
我们的目的是介绍现代偏微分方程理论中用到的一些技巧和方法。
众所周知，一本偏微分方程的书只能包括已有的基本材料的一小部分，因此我们必须作出选择，如何选择不是立足于逻辑基础上的，这种选择的主观性是相当明显的。
偏微分方程的内容是研究偏微分方程解的各种性质。
通常考虑以下问题1．对单个方程或方程组，应配以怎样的初值条件与边值条件使之具有解，这是解的存在性问题。
在研究解的存在性时，要明确解赖以存在的函数类。
2．解的唯一性或究竟有几个解，要明确使解为唯一的函数类。
3．解的正则性或光滑性。
是否为古典解、强解还是弱解？解具有几阶可微性？4．解的连续依赖性，必须明确是什么空间、什么范数实现的。
通常考虑的是解关于初、边值或关于方程系数，或在方程为线性时关于自由项的连续依赖性。
5．定解区域与影响区域。
偏微分方程数值解(双曲方程书稿)word精品文档14页
双曲型方程的有限差分法线性双曲型方程定解问题： （a ）一阶线性双曲型方程()0=∂∂+∂∂xux a t u （b ）一阶常系数线性双曲型方程组0=∂∂+∂∂xt uA u 其中A ，s 阶常数方程方阵，u 为未知向量函数。
（c ）二阶线性双曲型方程（波动方程）()022=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂-∂∂x u x a x t u()x a 为非负函数（d ）二维，三维空间变量的波动方程0222222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂y u x u t u 022222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂z u y u xu t u §1 波动方程的差分逼近 1.1 波动方程及其特征线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程：（1.1） 22222x u a t u ∂∂=∂∂ 其中0>a 是常数。
（1.1）可表示为：022222=∂∂-∂∂x u a t u ，进一步有 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂u x a t x a t由于x a t ∂∂±∂∂当a dt dx ±=时为()t x u ,的全导数（=dt du dt dx x u t u ⋅∂∂+∂∂xua t u ∂∂±∂∂=）,故由此定出两个方向（1.3）adx dt 1±= 解常微分方程（1.3）得到两族直线（1．4） 1C t a x =⋅+ 和 2C t a x =⋅- 称其为特征。
特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。
比如，我们可通过特征给出（1.1）的通解。
（行波法、特征线法） 将（1.4）视为),(t x 与),(21C C 之间的变量替换。
由复合函数的微分法则212211C uC u x C C u x C C u x u ∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ xC C u C u C x C C u C u C x u ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=∂∂2212121122 222122212212C u C C u C C u C u ∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂= 2222122122C uC C u C u ∂∂+∂∂∂+∂∂= 同理可得a t t a t C -=∂∂-=∂∂1，a tC=∂∂2 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂212211C u C u a t C C u t C C u t u t C C u C u a C u t C C u C u a C t u ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅∂∂=∂∂2122112122 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂∂-=21222222221222C C u C u a C u C C u a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂-∂∂=22221221222C u C C u C u a 将22x u ∂∂和22tu∂∂代入（1.1）可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂-∂∂22221221222C u C C u C u a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂+∂∂=22221221222C u C C u C u a 即有0212=∂∂∂C C u求其对2C 的积分得：()11C f C u=∂∂ 其中()1C f 是1C 的任意可微函数。
偏微分方程讲义
G(x) = φ(x/2) − F (0), F (0) + G(0) = φ(0) = ψ (0). ( ) ( ) x − at x + at ⇒ u(x, t) = ψ +φ − φ(0). 2 2
例 2.4 对非齐次波动方程的初值问题 (2.5)、(2.6), 证明: 当 f (x, t) 不变时, (1) 如果初始条件在 x 轴的区间 [x1 , x2 ] 上发生变化, 那么对应的解在区间 [x1 , x2 ] 的影响区域外不发生变化; (2) 在 x 轴区间 [x1 , x2 ] 上所给的初始条件唯一确定区间 [x1 , x2 ] 的决定区域中解的 数值. 解: 弄清影响区域、决定区域的定义. 例 2.5 求解 utt − a2 uxx = 0, x > 0, t > 0, u|t=0 = φ(x), ut |t=0 = 0, ux − kut |x=0 = 0,
其中 k 为正常数. 齐海涛 htqi2008@ 4
山东大学威海分校
2
达朗贝尔公式、波的传播
解: 波动方程的通解为 u = F (x − at) + G(x + at), 由初始条件得 F (x) + G(x) = φ(x), −aF ′ (x) + aG′ (x) = 0
1 C 1 C F (x) − G(x) = C, F (x) = φ(x) + , G(x) = φ(x) − , 2 2 2 2
1 其中 C = F (0) − G(0). 由于 x + at ≥ 0, G(x + at) = 2 φ(x + at) − C 2 . 当 x − at ≥ 0 1 C 1 时, F (x − at) = 2 φ(x − at) + 2 . 此时 u(x, t) = 2 [φ(x + at) + φ(x − at)]. 当 x − at < 0 时, 由边界条件知
偏微分讲义
初始条件：若PDE含时间变量 ，一般需给出 u 在超 平面 t t0 的条件 u |t t0 u x, t0 ，称为初始条件．
定解问题：泛定方程+定解条件 边值问题；初值问题（Cauchy问题或无边界问题）； 混合问题（初边值问题）．
§4 数值求解微分方程
如果能找到一个（或一族）具有所要求阶连续导数 的解析函数，将它代入微分方程（组）中，恰好使得 方程（组）的所有条件都得到满足，我们就将它称为 这个方程（组）的解析解（也称古典解）．寻找解析 解的过程称为求解微分方程． 适定：存在性；唯一性；稳定性． 人们往往只关心某个定义范围内，对应某些特定的 自变量的解的取值或是近似值．这样一组数值称为这 个微分方程在该范围内的数值解，寻找数值解的过程 称为数值求解微分方程．
到显式Euler公式:
un1 un hf (tn , un ) (n 0,1,2,)
b
a
f ( ) f ( x)dx (b a) f (a) (b a) 2 (a, b) 2
有限差分方法是一种微分方法，自上世纪五 十年代以来得到了广泛的应用，该方法概念清晰， 方法简单，直观．虽然其与变分法相结合所形成 的有限元法更有效，但有限差分还是以其固有特 点在数值计算中有其重要地位，是应用最多的一 种数值方法．
§2 偏微分方程分类 齐次、非齐次；定常、非定常； 线性、非线性；方程、方程组．
以二阶拟线性偏微分方程为例，简单回顾 一下偏微分方程的分类．
n 2u u 1 aij x x bi x cu f i, j i 1 i j i n
u 其中 aij , bi , c, f 可以与 xi , u , 有关． xi
椭圆型： 0 抛物型： 0 双曲型： 0
偏微分方程与特征线(Word)
偏微分方程与特征线1函数空间的矢量场给定一个矢量场i x i v ∂=)(x v ，就在空间定义了曲线簇。
比如，经过0x 点的积分曲线就可以描述为下列常微分方程的初值问题)(x i i v x = ，n i ,...,1= 0)0(x x =这些积分曲线就构成了曲线簇。
如果形式地写出这个曲线来就是xvt x t v t v vt t xt x t x x t x )exp(...)!3!21(...!3!2)(332232=++++=++++= 此处x 是0时刻位置，v 是作用于x 的微分算符。
这些曲线，将空间点分成了类，也就是说每条曲线上的点属于一类。
曲线集合的维数是n-1维。
矢量场的可积性那么给定两个矢量场，就会产生两簇曲线，这两簇曲线能否组成面簇呢？我们先看看从一点出发的曲线是否在一个曲面上的条件：从x 点出发的依此沿两簇直线运动的点若能回到来，就可以认为可以组成面。
即x x vd uc vb ua =)exp()exp()exp()(exp如果a,b,c,d 都是1级以上的小量，这个表达式有二级以上的精度，就可以找到这样的a,b,c,d,使得方程精确满足。
按照各级展开，有 一级0a 1111=+=+d b c二级v d b u c a vu uv b a )()()(222211+++=-…由此，得到条件vu vu uv v u βα+=-=],[这就是两个矢量能够构成2维子空间（曲面）的条件，著名的Frobenius 定理。
n 个矢量积分形成n 维积分只空间的条件是，任意两个矢量的对易可以写成这n 个矢量组合。
可以按照下图进行直观理解给定m 个矢量场，他们线性组合能够形成新的矢量场。
组成的矢量场空间一般称为分布。
},{是任意函数i ii i a v a ∑=∆这个分布中任意两个矢量场对易仍然在这个分布之内，这样满足Frobenius 定理的分布称为闭分布，∆⊆∆∆],[他们积分可以给出m 维积分子流形。
偏微分方程讲义
习题3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.5 极坐标系下的分离变量法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 3.5.2 由射线和圆弧所界定区域中问题的解法 . . . . . . . . . . . . . . . 周期边界条件问题的解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv 3.6.3 3.6.4 3.6.5 Legendre方程的级数解、 Legendre多项式 . . . . . . . . . . . . . . Bessel方程的级数解、 Bessel函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 圆盘中热传导方程的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
习题1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.5 线性偏微分方程的叠加原理，定解问题的适定性 1.5.1 叠加原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
习题3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.6 高维曲线坐标系下的分离变量法、球函数和柱函数 . . . . . . . . . . . . 3.6.1 3.6.2 Bessel方程和Legendre方程的导出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 二阶线性齐次常微分方程的级数解法 . . . . . . . . . . . . . . . .
偏微分方程
课程名称：偏微分方程开课学期：秋季总学时：68学分：4先修课程：数学分析，常微分方程，实变函数，复变函数，泛函分析。
基本目的：讲解偏微分方程的基本方法和基本理论，使选课的同学对偏微分方程的最基本的问题和方法有一定的了解。
第一章: 方程的导出和定解条件。
1. 基本内容：通过弦振动、热传导、流体运动以及膜平衡、极小曲面等物理和几何的例子，说明如何从守恒律和变分原理出发导出我们常见的一些偏微分方程2. 基本要求：要求掌握守恒律与变分原理等物理规律的应用以及每个方程的物理背景。
3. 建议课时安排：12学时第二章：波动方程1. 基本内容：主要介绍波动方程的基本理论和基本方法。
首先介绍特征线法、球平均法和降维法，利用这些方法求解出一维、二维和三维波动方程初值问题的表达式。
同时，我们将介绍波动方程最重要的概念――特征线（特征锥），推导波动方程的最基本的先验估计――能量不等式，利用分离变量法来求解出一维波动方程混合问题解的表达式，然后推导波动方程混合问题的能量不等式。
2. 2.基本要求：重点掌握双曲方程的特征理论、能量积分与分离变量法。
3. 3.建议课时安排：20学时第三章：热传导方程1. 基本内容：主要介绍热方程的基本理论和基本方法，重点介绍Fourier变换方法和分离变量法。
利用Fourier变换方法求出热方程的基本解。
利用分离变量法来求解出热方程混合问题解的表达式。
然后介绍关于热方程的混合问题和初值问题的各种极值原理和最大模估计。
2. 基本要求：掌握基本解的概念与物理意义，了解广义函数的概念。
重点掌握Fourier变换，抛物方程的Green函数与极值原理。
3. 建议课时安排：18学时第四章：位势方程1.1.基本内容：主要介绍位势方程的基本理论和基本方法。
重点介绍n维欧式空间上的调和函数及其性质。
并介绍位势方程的基本解和如何基本解来构造位势方程边值问题的Green函数，进而得到位势方程边值问题解的表达式。
然后再介绍位势方程的极值原理以及边值问题的最大模估计和变分法。
偏微分方程概论
流体动力学方程
总结词
描述流体运动的规律
详细描述
流体动力学方程，如Navier-Stokes方程，用于描述流 体的运动规律，包括流体速度、压力、密度等随时间空 间的变化。这些方程在气象预报、航空航天、船舶设计 等领域有广泛应用。
热传导方程
总结词
描述热量传递的过程
详细描述
热传导方程，如Fourier定律，用于描 述热量传递的过程。该方程能够描述 温度场随时间的变化，在材料科学、 能源工程、环境科学等领域有广泛应 用。
龙格-库塔方法
总结词
龙格-库塔方法是偏微分方程数值解法中的一种高精度方法。
详细描述
龙格-库塔方法是一种隐式的数值求解偏微分方程的方法，其 基本思想是通过一系列的迭代步骤逐步逼近原方程的解。该 方法精度较高，稳定性较好，适用于求解各种类型的偏微分 方程。
有限差分法
要点一
总结词
有限差分法是偏微分方程数值解法中的一种常用方法。
有限差分法
总结词
有限差分法是一种数值求解偏微分方程的方法，通过将微分转化为差分，将连续问题离 散化。
详细描述
有限差分法的基本思想是将偏微分方程中的微分项用离散的差分近似代替，从而将连续 问题离散化。这种方法适用于求解偏微分方程的初值问题和边界值问题，具有简单易行、
计算量小等优点。
有限元素法
总结词
偏微分方程的应用领域
自然科学
物理学、化学、生物学等自然科学领域中，偏微分方程被用来描述各种现象，如物理定律、化学 反应和生物进化等。
工程技术与计算
在航空航天、机械工程、电子工程和计算机科学等领域，偏微分方程被用来进行数值模拟和计算 ，如有限元分析、有限差分方法和谱方法等。
二阶线性偏微分方程的分类与小结6页word文档
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成fcu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ①它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中fu c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。
设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。
取自变量变换),(y x ξξ=,),(y x ηη=其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。
=∂∂),(),(y x ηξyx yx ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换,),(ηξx x =,),(ηξy y =因为x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+= xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)(将代入①使其变为F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。
并可验证222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=-这表明，在可逆变换下22211212A A A -与2211212a a a -保持相同的正负号。
偏微分方程讲义
%Input - f1,f2,f3,f4 are boundary functions input as strings % - a and b right endpoints of [0,a] and [0,b] % - h step size % - tol is the tolerance %Output - U solution matrix;
%Initialize parameters and U n=fix(a/h)+1; m=fix(b/h)+1; ave=(a*(feval(f1,0)+feval(f2,0)) ...
+b*(feval(f3,0)+feval(f4,0)))/(2*a+2*b); U=ave*ones(n,m);
一些内点的四个邻居都属于集合Ω，这种点称为正则点， 另一些内点的部分邻居不属于集合Ω，这种点属于非正则 点。对于每个正则点，可以得到一个方程，但是非正则 点不能得到方程，这样最后得到的方程个数少于未知量 个数。因此，对于非正则点要使用一些方法得到方程， 常用的方法是直接转移和线性插值的方法。前者就是直 接用Ω内临近的点的值代替，后者是用Ω内附近点的线性 组合代替。 下面以例子讲解具体的求解过程。
1.2偏微分方程的建模
例子1，弦的振动方程
一根长为L的均匀细线，线密度为ρ(x)，放于x轴上拉紧 后，让它离开平衡位置做微小振动。求任意时刻t弦线的 位移u(x,t)。 使用元素法的思想，在弦上取[x,x+∆x]一段进行分析。因 为弦的质量相对于张力非常小，因此可以看成弦仅仅受 到两个张力，T(x)和T(x+ ∆x)，利用力学基本定律，可以 得到水平和竖直方向两个方程
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偏微分方程偏微分方程是一个非常广泛的课题，它包含分析的许多方面内容。
就我们现在的知识水平来说，我们只了解很少一点东西。
从十八世纪初开始，人们就开始结合物理、力学问题来研究偏微分方程，最早研究的几个方程是弦振动方程、热传导方程及调和方程，这部分理论已经被彻底地研究了，而且近乎完备，把它们称为偏微分方程的古典理论。
十八世纪后期在连续介质力学中研究流体的运动规律，在考虑流体的粘性时，描述运动规律的方程称为Navier-Stokes方程组，而在不计流体的粘性时，称为Euler方程组。
在此时期，描述弹性体运动规律的方程称为Saint Venant方程组。
到了十九、二十世纪，人们发现了描述电磁场运动规律的Maxwell方程组，描述微观粒子运动规律的Schrodinger方程及Dirac方程组，广义相对论中确定引力场的基本方程Einstein方程以及基本粒子规范场理论的基本方程Yang-Mills方程，在微分几何中研究极小曲面的极小曲面方程等等。
随着科学理论变得复杂，所提出的偏微分方程就愈多而且更加变化多端，可能出现的偏微分方程和方程组类型之多是出于想象的。
我们的目的是介绍现代偏微分方程理论中用到的一些技巧和方法。
众所周知，一本偏微分方程的书只能包括已有的基本材料的一小部分，因此我们必须作出选择，如何选择不是立足于逻辑基础上的，这种选择的主观性是相当明显的。
偏微分方程的内容是研究偏微分方程解的各种性质。
通常考虑以下问题1．对单个方程或方程组，应配以怎样的初值条件与边值条件使之具有解，这是解的存在性问题。
在研究解的存在性时，要明确解赖以存在的函数类。
2．解的唯一性或究竟有几个解，要明确使解为唯一的函数类。
3．解的正则性或光滑性。
是否为古典解、强解还是弱解？解具有几阶可微性？4．解的连续依赖性，必须明确是什么空间、什么范数实现的。
通常考虑的是解关于初、边值或关于方程系数，或在方程为线性时关于自由项的连续依赖性。
5．定解区域与影响区域。
6．解的间断线、激波线和激波面。
7．极值原理。
8．其它性质。
9．解如何逼近？如何计算？这属于微分方程与计算数学的边缘分支。
偏微分方程研究的重点是解的存在唯一性和正则性，这是最基本的内容。
从偏微分方程的发展来看，最初人们试图用研究常微分方程的一套方法来研究偏微分方程。
简单的常微分方程总能通过积分来求得通解，复杂一些的常微分方程虽然不能简易地求得通解，但通解总是存在的。
对于带有初、边值条件的特解，可把条件代入通解中，决定出通解中任意常数而得到。
上述方法能否搬到偏微分方程的求解过程中去。
简单的偏微分方程可以求得通解，如0xx yy u u -=的通解为()()u F x y G x y =++-，, F G 为任意函数。
用这样的通解来定出满足初、边值条件的特解还是比较便于应用的。
一阶偏微分方程能套用常微分方程求通解再定特解的方法。
线性一阶方程用特征线解法，非线性一阶方程用特征带解法以及Hamilton-Jacobi 方法, 所以一阶偏微分方程的解法，常附在常微分方程的最后。
高阶方程开始也是按通解的想法研究。
代表性的成果是Cauchy-Kovaleskaya 定理，就二阶方程0001(,,,,,,)(,)()(,)()yy x y xx xy yu F x y u u u u u u x y x u x y x ϕϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ 来说结果是：当01, , F ϕϕ均为解析函数时，这个问题有一解析解。
这是一个类似于通解的解，结果是十分一般的，但用处不大。
以后发展到分型研究，我们主要介绍典型的二阶方程，即椭圆、双曲、抛物型线方程，这方面的研究是很深入的，可以说是已经基本成熟了。
设自变量为12,,,(2)n x x x n ≥，未知函数为12(,,,)n u u x x x =，则关于u 的偏微分方程的一般形式是1(,,,,,,)0N n F x x u Du D u =其中F 是其变元的已知函数，Du 简记u 的一阶偏导数1(,,)nuu Du x x ∂∂=∂∂， 而一般地(2,,)kD u k N =简记u 的k 阶偏导数11211(,,,,0nk kn n k k nuD u k k k k k k x x ∂=+++=≥∂∂为整数）在偏微分方程中所含未知函数u 的偏导数的最高阶数，称为偏微分方程的阶。
如果在一个偏微分方程（组）中，所有的未知函数及其一切偏导数都是线性地出现的，则称这个偏微分方程（组）为线性偏微分方程（组），否则称为非线性偏微分方程（组）。
如果所考察的非线性偏微分方程（组）对未知函数的一切最高阶偏导数是线性的，则称其为拟线性偏微分方程（组）。
对于拟线性方程（组），其含有未知函数的一切最高阶偏导数的部分，即主部，除了可能依赖于自变量外，还可能依赖于未知函数及其较低阶的偏导数。
特别，若这些系数只是自变数的函数，而和未知函数及其偏导数无关，则称此偏微分方程（组）为半线性偏微分方程（组）。
对二阶线性偏微分方程2,11nnij ii j i i j i u u a b cu f x x x ==∂∂++=∂∂∂∑∑ 其中,(,1,,)ij i a b i j n =，c 及f 是n 维空间12(,,,)n x x x 的某区域Ω中的函数，(,1,,)ij a i j n =不同时为零，且不失一般性可设ij ji a a =. 引入二次型,1()nijiji j Q a λλλ==∑若在区域Ω中的一点001(,,)n p x x ，二次型()Q λ为正定或负定，则称方程在p 点为椭圆型；若二次型()Q λ在p 点为退化，且其特征值只有一个为零，而其余特征值有同一符号，则称方程在p 点为抛物型；若二次型()Q λ在p 点不退化，又不为正定或负定，且有1n -个特征值具有同一符号，则称方程在p 点为双曲型。
还可能出现更复杂的情况。
二次型()Q λ在p 点既不退化，又不正定或负定，而正、负特征值的个数都不止一个，这时方程称为在p 点为超双曲型；二次型()Q λ在p 点退化，但有好几个特征值为零，而其余的特征值同号，这时方程在p 点为超抛物型。
如果考察整个区域Ω，就有：（1）若在Ω中的每一点，方程都是双曲型，称方程在区域Ω中为双曲型。
（2）若在Ω中的每一点，方程都是抛物型，就称方程在区域Ω中为抛物型。
（3）若在Ω中的每一点方程都是椭圆型，就称在Ω中方程为椭圆型。
（4）若在Ω中的一部分区域方程为双曲型，在另一部分区域上方程为椭圆型，在区域的分界线上，方程为抛物型，这种类型的方程称为混合型方程。
例如222220 (0)u u a a t x ∂∂-=>∂∂ 2220 (0)u u a a t x ∂∂-=>∂∂ 22220u ux y∂∂+=∂∂ 在平面区域Ω上分别为双曲型、抛物型、椭圆型方程。
而Tricomi 方程22220u uy x y∂∂+=∂∂ 在上半平面0y >为椭圆型，在下半平面0y <为双曲型，而在0y =为抛物型，它在整个平面上就是一个混合型方程。
分型研究在偏微分方程研究上是进了一步。
研究偏微分方程的方法是很多的，例如 1．位势论 2．积分方程法 3．变分法 4．差分法5．闸函数法 6．上、下解的方法 7．连续延拓法 8．泛函方法我们不可能介绍所有的方法，只能侧重于主观上认为重要的部分。
在偏微分方程分型研究后发现了无解方程，在偏微分方程的基础理论上，又跨进了一步。
偏微分方程的通解是难求的，但长期以来，对各类偏微分方程求若干特解是并不困难的，因此，在一段时期里人们相信，除了属于无意义的情况，如2210x y u u ++=无实解外，每一偏微分方程有一大类解是不成问题的，特别是相信一般线性方程||()()()ma x D u x f x ααα≤=∑ 其中1||1121, ||, (,,,)n n nnD x x ααααααααααα∂==++=∂∂，总有一大类解。
但是，事实并非如此，例如22222222222211exp(), 0;1[()()]4 0, 0.t x y x y u t tx y t y x t t t ⎧->⎧⎫∂∂∂∂∂∂∂⎪++++-+=⎨⎬⎨∂∂∂∂∂∂∂⎩⎭⎪≤⎩ 没有任何实解，不仅没有古典解，也没有任何强解和弱解，参见：1．L. H örmander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1963. 2．M. Schechter, Modern Methods in Partial Differential Equations, Mcgraw-Hill, 1977. 3．陈亚浙，吴兰成，二阶椭圆型方程与椭圆型方程组，科学出版社，1991.4．D. Gilbarg and N. S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, 1983.第一章 线性椭圆方程的Schauder 理论我们讨论Dirichlet 问题() |()nLu f x R u x ϕ∂Ω⎧=Ω⊂⎨=⎩于有界区域 （1.1）古典解的存在性，其中L 为线性椭圆算子()()()ij ij i i Lu a x D u b x D u c x u =++这里先用下面的定理来引出要做的主要事情。
定理1.1（连续性方法）设B 是Banach 空间，V 是线性赋范空间，0L 和1L 是V →B 的有界线性算子，对于[0,1]t ∈，令01(1)t L t L tL =-+如果存在常数c 使得对于[0,1]t ∈成立t V u c Lu u ≤∀∈B B则1:L V →B 为满射的充要条件是0:L V →B 为满射 证明：只须证明：存在常数0δ>，使对任意[0,1]s ∈，只要s L 是满射，则对[,][0,1]t s s δδ∈-+，t L 是满射。
假设对某[0,1]s ∈，s L 是满射的，由s V uc L u ≤B知s L 是单射的，于是s L 是双射，存在逆映射1:s L V -→B 。
要证对v V ∀∈以下方程有解u ∈B ：t L u v =此方程等价于01()()()s s t L u v L L u v t s L u t s L u =+-=+---等价于1101()()s s u L v t s L L L u Tu --=+--≡而()112112||sTu Tu t s L LL u u--≤-+-可见当()101||2t s c L L δ-≤=+则t L 在[,][0,1]s s δδ-+是满射的。